线性动态电路的复频域分析

(2) 单位冲激函数 f(t) = (t)
(3) 指数函数 f(t) = e t
解：(1) 单位阶跃函数 (t) 的象函数
Fs L
f t
(t)es tdt
0
es tdt 1es t
0
s
0
1 s
(2) 单位冲激函数 (t) 的象函数
Fs L f t
(t) es tdt
(t)
§14 - 1 拉普拉斯变换的定义
1、拉普拉斯变换
定义在 [0, ) 即 (0 t < )区间的函数 f(t) ，它的拉氏变换式 为 F(s)
Fs f (t)es tdt 0 s = + j为复数，有时称为复频率。
① F(s)称为 f(t) 的象函数， f(t) 称为 F(s) 的原函数。
(1) f (t) cos t
(2) f t (t)
解：(1)
d
sin dt
t
cos
t
,
cos
t
1
d
sin dt
t
,
L[sin
t]
s2
2
Lcos
t
L1
d
sin dt
t
1
(s
s2
2
0)
s2
s
2
(2)
t
d (t)
dt
,
L
t
1 s
L
t
L
d (t
dt
)
s
(1s
0)
1
3. 积分性质
Chapter 14 线性动态电路的复频域分析
主要内容
1.拉普拉斯变换的定义和基本性质； 2.拉普拉斯反变换的部分分式法（分解定理）； 3. KCL、KVL 的运算形式、运算阻抗(导纳)、运 算电路； 4.运用拉普拉斯变换分析线性电路。 5.网络函数在电路分析中的应用;
6.网络函数极点和零点的概念; 7.极点和零点分布对时域响应和频率特性的影响.
ki
(s pi )F (s)
s pi
N ( pi ) D( pi )
i 1, 2 , , n
f t L1 F s
n
kie pit
i 1
n i 1
N ( pi ) e pit D( pi )
例14-7：求
F(s)
s3
2s 1 7s2 10s
的原函数 f(t) 。
解：∵
F (s)
F s
A
N
' 0
(
s
)
D(s)
3. 展开有理分式F(s) 时，要求出 D(s) = 0 的根，再根据根的 不同情况展开。
① D(s) = 0 有 n 个单根，n 个单根分别为 p1, p2, …, pn , 则可展 开为
F (s) k1 k2 kn
s P1 s P2
s Pn
k1、k2、 、kn 为待定系数
求其象函数。
解:（1） Ls in
t
L
1 2j
(e
j
t
e
j
t
)
1 2j
[s
1
j
s
1
j
]
s2
2
（2） L K(1 e t )
LK L Ke t
K s
s
K
K s(s
)
2. 微分性质
L f t F(s) ,
f
(t)
df (t dt
)
L f (t) sF (s) f (0 )
例14-4：应用导数性质求下列函数的象函数。
解： f t A[ (t) (t )]
L[
(t )]
1 s
,
L[ (t )] 1 es
s
L[ f (t)] L{A[ (t) (t )]} A(1 1 es ) A (1 es )
ss
s
常用函数的拉氏变换表（表14-1 PP350）。
§14 - 3 拉普拉斯反变换的部分分式展开
1
es T
0
s
推论： L f t Fs L f t T esT Fs
§14 - 2 拉普拉斯变换的基本性质
1. 线性性质
LA1 f1(t) A2 f2 (t) A1L f1(t) A2 f2 (t)
A1F1(s) A2F2 (s)
例14-3：若（1） f (t) sin t ,（2） f t K (1 e t ), t [0, ) ,
故 f (t) 0.1 0.5 e2t 0.6 e5t
② D(s) = 0 具有共轭复根，p1 = + j , p2 = - j , 则
k1
s
j
F (s) s j
N (s) D(s)
s3
2s 1 7s2 10s
2s 1 s(s 2)(s 5)
∴ Ds s(s 2)(s 5) 0的根分别为 p1 0, p2 2, p3 5
又 D' (s) 3s2 14s 10
k1
N (s) D(s)
s p1
3s
2
2s 1 14s 10
s0
0.1
同理
k2 0.5, k3 0.6
Hale Waihona Puke Baidu
1. 电路响应的象函数通常表示为两个实系数的 s 的多项式之 比，也就是 s 的一个有理分式。
Fs
N (s) D(s)
a0 s m b0 s n
a1sm1 b1sn1
am bn
m n
2. 用部分分式展开有理分式 F(s) 时，首先要把有理分式化为
真分式，若 n > m ，则为真分式；若 n = m ，则将化为
f
t
1
2j
c
j
F
(s)
e st
ds
c j
拉氏变换 L f (t) f (t)estdt Fs 0
拉氏反变换
L1
F (s)
1
2j
c
j
F (s)
es
t ds
f (t)
c j
原函数
电流 i(t) 电压 u(t)
象函数
电流 I (s) 电压 U (s)
例 14-1：求以下函数的象函数。
(1) 单位阶跃函数 f(t) = (t)
L f t Fs
L
t 0
f
(
)d
1 s
F
s
例14-5：利用积分性质求单位斜坡函数 f(t) = t 的象函数。
解：
f
t
t
t
0
(
)d
L
f
t
Lt
1 s
1 s
1 s2
4. 延迟性质
L[ f t ] F[s]
L[ f (t t0 )] es t0 F s
例14-6：求下图所示矩形脉冲的象函数。
es t dt
e0
1
0
0
(3) 指数函数e t 的象函数
F s L f t
e
0
tes t dt
1
(s )
e(s ) 0
s
1
例 14-2：求 f(t) = ( t - T ) 的象函数。
解：
F s L f t (t T )es tdt 0
(t
T)
es(t T )
es T dt
② 拉氏变换是一种积分变换，把 f(t) 与 e-s t 构成的乘积由 t = 0-到 ∞对 t 进行积分，定积分的值不再是 t 的函数，而是复 变数 s 的函数。
③ 拉氏变换把时域函数 f(t) 变换到 s 域复变函数 F(s) 。
④ 运算法（复频率分析）：应用拉氏变换进行电路分析。
2、拉普拉斯反变换