多元线性回归模型的各种检验方法

对多元线性回归模型的各种检验方法

对于形如

u X X X Y k k +++++=ββββ 22110 （1） 的回归模型，我们可能需要对其实施如下的检验中的一种或几种检验：

一、 对单个总体参数的假设检验：t 检验

在这种检验中，我们需要对模型中的某个（总体）参数是否满足虚拟假设0

H ：j j a =β，做出具有统计意义（即带有一定的置信度）的检验，其中j a 为某个给定的已知数。特别是，当j a =0时，称为参数的（狭义意义上的）显著性检验。如果拒绝0H ，说明解释变量j X 对

被解释变量Y 具有显著的线性影响，估计值j βˆ才敢使

用；反之，说明解释变量j X 对被解释变量Y 不具有显

著的线性影响，估计值j βˆ对我们就没有意义。具体检验

方法如下：

（1） 给定虚拟假设 0H ：j j a =β；

（2） 计算统计量 )ˆ(ˆ)ˆ()(ˆj

j j j j j Se a Se E t βββββ-=-= 的数值； 11ˆ)ˆ(++-==j j jj jj j C C Se 1T X)(X ，其中σβ

（3） 在给定的显著水平α下（α不能大于1.0即 10%，也即我们不能在置信度小于90%以下的前提下做结论），查出双尾t （1--k n ）分布的临界值2/αt ；

（4） 如果出现 2/αt t >的情况，检验结论为拒绝

0H ；反之，无法拒绝0H 。

t 检验方法的关键是统计量 )ˆ(ˆj j

j Se t βββ-=必须服从已

知的t 分布函数。什么情况或条件下才会这样呢？这需要我们建立的模型满足如下的条件（或假定）：

（1） 随机抽样性。我们有一个含n 次观测的随机样(){}n i Y X X X i ik i i ,,2,1:,,,,21 =。这保证了误差u 自身的随机性，即无自相关性，

0))())(((=--j j i i u E u u E u Cov 。

（2） 条件期望值为0。给定解释变量的任何值，误

差

u 的期望值为零。即有

0),,,(21=k X X X u E

这也保证了误差u 独立于解释变量X X X ,,,21 ，即模型中的解释变量是外生性的，也使得0)(=u E 。

(3） 不存在完全共线性。在样本因而在总体中，没有一个解释变量是常数，解释变量之间也不存在严格的线性关系。

（4） 同方差性。常数==2

21),,,(σk X X X u Var 。

（5） 正态性。误差u 满足 ),0(~2σNormal u 。 在以上5个前提下，才可以推导出：

1

~)ˆ(/)ˆ()1,0(~)ˆ(/)ˆ()]ˆ(,[~ˆ----k n j j j j

j j j

j j t Se N Sd Var N βββββββββ

由此可见，t 检验方法所要求的条件是极为苛刻的。

二、 对参数的一个线性组合的假设的检验

需要检验的虚拟假设为 0H ：2

1j j ββ=。比如21ββ=无 法直接检验。设立新参数211ββθ-=。 原虚拟假设等价于0H ：01=θ。将211βθβ+=代入原模型后

得出新模型：

u X X X X Y k k ++++++=ββθβ )(212110 （2）

在模型（2）中再利用t 检验方法检验虚拟假设0

H ：01=θ。 我们甚至还可以检验这样一个更一般的假设 C H k k =+++=βλβλβλ 11000:λβ t 统计量为 )1(~ˆ2---=

-k n t Se t T λX)λ(X λββλ1T

三、 对参数多个线性约束的假设检验：F 检验

需要检验的虚拟假设为 0H ：

0,,,021==+-+-k q k q k βββ 。

该假设对模型（1）施加了q 个排除性约束。模型（1）在该约束下转变为如下的新模型：

u X X X Y q k q k +++++=--ββββ 22110 （3） 模型（1）称为不受约束（ur ）的模型，而模型（3）称为受约束（r ）的模型。模型（3）也称为模型（1）的嵌套模型，或子模型。分别用OLS 方法估计模型（1）和（2）后，可以计算出如下的统计量：

())1/(/---=k n RSS q RSS RSS F ur ur r

关键在于，不需要满足t 检验所需要的假定（3），统计量F 就满足：1,~--k n q F F 。利用已知的F 分布函数，

我们就可以拒绝或接受虚拟假设 0H ：

0,,,021==+-+-k

q k q k βββ 了。所以，一般来讲，F 检验比t 检验更先使用，用的

更普遍，可信度更高。利用关系式)1(2r r R TSS RSS -=，

)1(2ur ur R TSS RSS -=，F 统计量还可以写成：

())1/()1(/222----=k n R q R R F ur r ur

四、 对回归模型整体显著性的检验：F 检验

需要检验的虚拟假设为 0H ：0,,,021==k βββ 。相当于前一个检验问题的特例，k q =。嵌套模型变为 u Y +=0β。02

=r R ，TSS RSS r =，22R R ur =。F 统计量变为： )

1/(/)

1/()1(/22--=---=k n RSS k ESS k n R k R F 五、 检验一般的线性约束

需要检验的虚拟假设比如为 0H ：

0,,,121==k βββ 。受约束模型变为：

u X Y ++=10β