第三节 简谐运动的合成
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简谐振动的合成课件-高中物理竞赛
频率 2π
周期
T
1
振幅 A x02 v02 2
初相位
0
arc
tan( v02
x0
)
相位 t 0
三、 简谐振动的表示方法
解析法：x A cos(t 0)
曲线法：x— t 曲线
x t
T
A
t 0转矢量法：矢量A绕0以ω转动时，A在x轴投影xAcots(0)
四、简谐振动的能量
Ek
1 2
x1A 1cots(1)0 x2A 2cots (2)0
合振动位移 x = x1+ x2
由 三角函数可以证明
xm
xAcots(0) 0,08
两个同方向、同频率简谐运 0
1
动合成后，仍然为简谐运动，振 0.04
动频率仍为ω.
x1
x2
2
ts
用旋转矢量法求 合振动的振幅与初位相
x1A 1cots ( 1)0 x2A 2cots (2)0
kA2
sin 2 (
t
0)
E
p
1 2
kA2
cos2 (
t
0)
x
E1 2k2 A 1 2m2 A 21 2mm 2v
E
1) 动能变化频率2ω，势能变化频率2ω
t E 1 kA2
2
Ep
2) 一个周期内
Ek
Ep
1E 2
3) 频率一定时 EA2
O
Ek
t
简谐振子的动能、势能随时间变化的曲线
振幅一定时 E2
当一个物体同时参与几个 谐振动时, 就需考虑振动的合 成问题。
两个同方向同频率的合振动振幅与分振动的相位关系
一 两个同方向、同频率简谐运动的合成
Ch11-2简谐运动的合成
x A1 cos(1t 1)
y A2 cos(2t 2 )
1 0
2
0, π 8
,π 4
,
3π 8
,π 2
1 m 2 n
测量振动频率 和相位的方法
李萨如图
x
A Ai NA0
xN A0 cos[t (N 1) ]
1） 2kπ
讨 论
(k 0,1,2,)
2）N 2k 'π
(k' kN, k' 1,2,)
N个矢量依次相接构
i A4
A3
A5
A6
O
A1
A2
tan A1 sin 1 A2 sin 2
两个同方向同频 率简谐运动合成
A1 cos1 A2 cos2 后仍为简谐运动
大学物理电子教案
讨论 A A12 A22 2A1A2 cos(2 1) 1）相位差 2 1 2kπ (k 0，1， 2,)
sin2 (2
A2 y
1 )
讨论 1）2 1 0 或 2π
y A2 x A1
ox
A1
大学物理电子教案
x2 A12
y2 A22
2xy A1 A2
cos(2
1 )
sin2 (2 1)
y
2） 2 1 π
y A2 x A1
3）2 1 π 2
A2
o A1 x
x2 A12
y2 A22
1
x A1 cost
y
A2
cos(t
π) 2
《简谐运动的合成》课件
演化、分支和应用
复杂演化
分支学科
摆锤波、庞加莱山丘和分形结构。
天文学、量子力学、金融市场的 年度周期、周期性疾病等。
应用
音乐制作、机械振动隔振等。
《简谐运的合成》PPT 课件
让我们一起探索简谐运动的奥秘，以及如何合成它们，理解它们的物理和声 学意义。
简谐运动
定义
在保证周期性的前提下，物体在固定外力作用下沿一个固定轨道做的运动称为简谐运动。
特点
周期性、振幅、相位、频率、能量守恒。
物理意义
简谐运动是许多自然现象的基础，例如弹簧振子、波的传播、电路中的交流电等。
4 频率
单位时间内重复运动的次数，即振动的快慢。
简谐振动的模拟
Project 1
通过模拟普通化学键中的键弹 性常数，让分子的振动成为一 个弹性团体的整体振动。
Project 2
开发一个可以模拟波的传播和 反射等现象的平台。
Project 3
设计一个工具用于分析在大量 复杂结构和流体下的流动或运 动。
总结
原理 应用 重要性
简谐运动的周期性、振幅、相位、频率、能量守 恒 声音、机械振动、电路等多个领域。
简谐振动学是理解自然现象及应用科学的基础。
力学和声学之美
1 位移
最基本的力学量，表述物体在空间三维坐标 系所占据的位置。
2 振幅
描述物体围绕平衡位置做小幅度振动的最大 位移量。
3 波长
因为波是重复的，所以它有特定的波长。
简谐振动的合成
概述
两个或多个简谐运动的合成。
合成振幅的求法
矢量法或三角函数法。
合成频率的求法
各组分振动的频率之和。
双摆实验
演示简谐振动的合成原理。
课件：简谐运动的合成(1)
端点。若第一个小球的振动方程为：x1=Acos(t+)
（1）试写出第二个小球的振动方程。
（2）若质点同时参与上述两个谐振动，求合振动的振幅
及振动方程 解：(1)
x2
2 A cos( t
)
2
（2）由旋转矢量可得：
A1
A合
A合 A12 A22 2 A1A2 cos(2 1)
A2
x
A2 (2A)2 2A 2Acos( / 2) 5A cos1( A ) 1.1rad
一 两个同方向同频率简谐运动的合成
x1 A1 cos(t 1)
x2 A2 cos(t 2 )
A2
A
x x1 x2
x Acos(t )
x 0
x2 2 1
x1A1
x
A A12 A22 2 A1A2 cos(2 1)
tan A1 sin1 A2 sin2 A1 cos1 A2 cos2
如 N 5, k 1则 72 （如图） 如 N 5, k 2则 144 144 144
（如图）
c. 次级大 (2k 1)
144
144
30.
例5. 有两个小球都在竖直方向作相同频率的谐振动，第
二个小球的振幅是第一个小球的2倍，当第一个小球自振
动正方向回到平衡位置时，第二个小球正好在正方向的
方法一：解析法
x x1 x2 A1 cos2π 1t A2 cos2π 2t
x
(2
A1
cos
2π
212Fra bibliotekt)cos
2π
2
1
2
t
振幅部分
合振动频率
x
(2 A1
cos
简谐运动的合成
x
A A12 A22 2 A1 A2 cos( 2 1 )
A1 sin 1 A2 sin 2 tan A1 cos1 A2 cos 2
11
x
A1
x
反相
2
o
o
T
减弱
t
A
A2
A A1 A2
2 2
x ( A2 A1 ) cos( t )
A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
7
*三
多个同方向同频率简谐运动的合成
x1 A1 cos( t 1 )
x2 A2 cos( t 2 )
A2
2
x1 A1 cos( t 1 )
x2 A2 cos( t 2 )
0
x2
x
1
x1
A1
x
合振动：x x1 x2
o
？
t
3
x1 A1 cos( t 1 ) x2 A2 cos( t 2 )
2
x x1 x2
x A cos( t )
A4 A3 A5 A2 O A6 A x 1
10
小结：
x1 A1 cos( t 1 )
x2 A2 cos( t 2 )
2
A2
1
A
x x1 x2
x A cos( t )
0
A1
xn An cos( t n )
A3 A
1 A1
x x1 x2 xn
x A cos(t )
§3.3 简谐振动的合成
2 1 2 2
x
x
o ϕ2
ω A2
A1
A = A1 − A2 ϕ = ϕ2
o
T
t
A
相位差
ϕ 2 − ϕ1 = 2 k π
A = A1 + A2
ϕ 2 − ϕ1 = (2k + 1)π
A = A1 − A2
当A1=A2 时，A=0
(k = 0 ， 1， ) ± L
相互加强
相位差
(k = 0 ， 1， ) ± L
A1
在任一时刻离开坐标原点位移为： 在任一时刻离开坐标原点位移为： (2) ϕ 2 − ϕ1 = π 两个分运动反相位， 两个分运动反相位， 得
A2 y= x A1
y A2
o
A1
x
(3) φ2−φ1=π/2，得
x y + 2=1 2 A1 A2
2
2
这是坐标轴为主轴的椭圆，质 这是坐标轴为主轴的椭圆， 点的轨迹是顺时针旋转。 点的轨迹是顺时针旋转。 (4) φ2−φ1=3π/2，仍然得
三、相互垂直的简谐振动的合成 1. 频率相同
若质点同时参与两个同频率的相互垂直的分运 动，其位移表达式分别为
x = A1 cos(ωt + ϕ1 ) y = A2 cos(ωt + ϕ 2 )
消去时间参数， 消去时间参数，得
x 2 y 2 2 xy + 2− cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = sin 2 (ϕ 2 − ϕ1 ) 2 A1 A2 A1 A2
x = A1 cos(ω1t + ϕ1 ) y = A2 cos(ω 2t + ϕ 2 )
李 萨 如 图
ϕ1 = 0
π π 3π π ϕ 2 = 0, , , , 8 4 8 2
x
x
o ϕ2
ω A2
A1
A = A1 − A2 ϕ = ϕ2
o
T
t
A
相位差
ϕ 2 − ϕ1 = 2 k π
A = A1 + A2
ϕ 2 − ϕ1 = (2k + 1)π
A = A1 − A2
当A1=A2 时，A=0
(k = 0 ， 1， ) ± L
相互加强
相位差
(k = 0 ， 1， ) ± L
A1
在任一时刻离开坐标原点位移为： 在任一时刻离开坐标原点位移为： (2) ϕ 2 − ϕ1 = π 两个分运动反相位， 两个分运动反相位， 得
A2 y= x A1
y A2
o
A1
x
(3) φ2−φ1=π/2，得
x y + 2=1 2 A1 A2
2
2
这是坐标轴为主轴的椭圆，质 这是坐标轴为主轴的椭圆， 点的轨迹是顺时针旋转。 点的轨迹是顺时针旋转。 (4) φ2−φ1=3π/2，仍然得
三、相互垂直的简谐振动的合成 1. 频率相同
若质点同时参与两个同频率的相互垂直的分运 动，其位移表达式分别为
x = A1 cos(ωt + ϕ1 ) y = A2 cos(ωt + ϕ 2 )
消去时间参数， 消去时间参数，得
x 2 y 2 2 xy + 2− cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = sin 2 (ϕ 2 − ϕ1 ) 2 A1 A2 A1 A2
x = A1 cos(ω1t + ϕ1 ) y = A2 cos(ω 2t + ϕ 2 )
李 萨 如 图
ϕ1 = 0
π π 3π π ϕ 2 = 0, , , , 8 4 8 2
简谐运动的合成和分解
2 A2 A12 A2 2 A1 A2 cos 2 1 2 2
A A 2 A1 A2 cos 2 1
2 1 2 2
A2
A1
A
A A A 2 A1 A2 cos y A1 sin 1 A2 sin 2 tan x A1 cos 1 A2 cos 2
π π 2 1 1 2 2 π π A2 cos 2 0 2 2
2
t
A2
2
2 1 π A A2 A1
A
x
2 π π (2) 由矢量图: 2 T 2π π x A2 A1 cos( t ) T 2
2
F0 k , 2 , f 0 m m m
驱动力
d x dx 2 2 0 x f 0 cos t 2 dt dt
方程的解：
2
x A0 e
t
2 2 cos 0 t 0 A cost
在阻尼较小时，其通解为对应齐次方程的通解加上一个特解，
2 1 t ) 随时间缓慢变化 振幅 2 A cos( 2
2 1 t ) 快速变化 谐振因子 cos( 2
第一项缓慢变化，第二项快速变化：“拍(beat)” 调制
拍现象的应用： 用音叉振动校准乐器 测定无线电频率 测定超声波 调制高频振荡的振幅和频率
3. 相互垂直的简谐运动的合成 x方向的谐振动 x A1 cos( t 1 )
A1
例12: 两个同方向、同频率的简谐运动,其合振动的 振幅为20cm,与第一个振动的相位差为 1 π 6 .若第 一个振动的振幅为 10 3 cm .则(1)第二个振动的振幅为多 少？(2) 两简谐运动的相位差为多少？ 解： A2 A2 A12 2 AA1 cos π 6
大学物理教程3.2 简谐振动的合成
Ay tg = A x
A1 sin 1 A2 sin 2 tg A1 cos 1 A2 cos 2
第7章 机械振动
3.2 简谐振动的合成
3. 两种特殊情况
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos(2 - 1 )
(1)若两分振动同相
2- 1=0（2k，k=0,1,2,…）
x =A cos( t+ )
第7章 机械振动
3.2 简谐振动的合成
x =A cos( t+ )
由图知：
Ax = A1cos1 + A2cos2 Ay = A1sin1 + A2sin2 由： A2 = Ax2 + Ay2
y Ay
A A2
o
1
A1 A
x
2
x
2 2 A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 - 1 )
x1 4 cos 3t cm x2 2 cos(3t π) cm
求合成振动的振幅、初相位和振动表达式。
解 这两个谐振动的频率相同 3rad s ，振动方向相 同。所以它们的合成振动仍然是在x方向的、具有相同频 率的简谐振动。
-1
第7章 机械振动
3.2 简谐振动的合成
由于这两个振动反相，因此在旋转矢量图上，振幅矢 量 A1 和 A2 的方向始终相反，而合矢量 A 沿 A1 方向。
A 的模，即合成振动振幅为
A (4 - 2) 2
合振动的初相
1 0
x 2cos 3t cm
合振动的表达式为
第7章 机械振动
3.2 简谐振动的合成
二 同方向不同频率的简谐振动的合成 拍
9-5(新)简谐运动的合成
物理学
第五版
9-5 简谐运动的合成 相互垂直不同频率的简谐振动的合成：李萨如图
链接
第九章
振 动
31
物理学
第五版
本章目录
选择进入下一节：
9-2 旋转矢量 9-3 单摆和复摆 9-4 简谐运动的能量 9-5 简谐运动的合成 9-6 阻尼振动 受迫振动 共振 9-7 电磁振荡
第九章 振 动
32
第九章 振 动
y
A2
A1
o
x
15
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
2 2 x y 2 xy 讨 2 cos( ) sin ( 2 1 ) 2 1 2 2 论 A1 A2 A1 A2
（3）2 1 π 2
y
A2
x y 2 1 2 A1 A2
2
2
o
A1
2
2
第九章
振 动
14
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
2 2 x y 2 xy 讨 2 cos( ) sin ( 2 1 ) 2 1 2 2 论 A1 A2 A1 A2
y
2 1 0或 2 π （ 1） A2 y x A1
A2
o
A1
x
2 1 π （ 2） A2 y x A1
x (2 A1 cos 2 π
2 1
2
t ) cos 2 π
2 1
2
t
2 1 2π T π 2
1 T 2 1
拍频（振幅变化的频率）
2 1
第九章
振 动
25
物理学
第五版
3简谐运动的合成
ω
o
x
第九章 振 动
2
物理学
第五版
9-5 简谐运动的合成
当一个质点同时参与多个简谐振动时,质点如何运动? 当一个质点同时参与多个简谐振动时,质点如何运动?
迭加原理: 迭加原理:
合振动的位移等于各个分 振动位移的矢量和. 振动位移的矢量和.
第九章
振 动
3
物理学
第五版
两个同方向同频率 同方向同频率简谐运动的合成 一 两个同方向同频率简谐运动的合成
第五版
两个相互垂直的同频率的简谐运动的合 二 两个相互垂直的同频率的简谐运动的合 成 x = A cos(ωt + )
1 1
y = A2 cos(ωt + 2 )
椭圆方程) 质点运动轨迹 (椭圆方程)
x 2 y 2 2 xy + 2 cos( 2 1 ) = sin 2 ( 2 1 ) A12 A2 A1 A2
A = A1 A2
两分振动相互减弱
第九章 振 动
如 A1=A2 , 则 A=0
7
物理学
第五版
小结 (1)相位差 2 1 = 2k π )
( k = 0 , 1, ) ± L
加强
A = A1 + A2
± L (2)相位差 2 1 = ( 2k + 1) π ( k = 0 , 1, ) )
设一质点同时参与两独立 的同方向, 的同方向,同频率的简谐 振动: 振动:
分振动 :x1
v A 2
2
O
= A1 cos(ω t + 1 ) x 2 = A2 cos(ω t + 2 )
x2
1
v A 1
大学物理(9.3.2)--简谐运动的合成
A2
2
o
1 A1
x
多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐
运动
东北大学 理学院 物理系
大学物理 第九单元 振动
第三讲 简谐运动的合成
* 四、两个同方向不同频率简谐运动的合成
x1
拍
t
x2 t
x t
拍 合振动振幅 随时间周期性加强与减弱的现
两 个 频 率 较 大 且 相 差 极 小 的象同 方 向 谐 振 动 合 成 形 成
东北大学 理学院 物理系
大学物理 第九单元 振动
第三讲 简谐运动的合成
3. 两种特殊情况
A
A2 1
A2 2
2 A1 A2
cos( 2
1 )
(1) 若两分振动同相
2 1=2k
(k=0,1,2,…)
则 A=A1+A2 , 两分振动相互加强
(2) 若两分振动反相
2 1=(2k+1)
第三讲 简谐运动的合成
* 三、多个同方向同频率简谐运动的合成
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 )
xn An cos(t n )
x x1 x2 xn
x A cos(t )
A
A3
3
A1 sin1 A2 sin2 Asin
A A12 A22 2 A1A2 cos(2 1)
tan
A1 sin1 A1 cos1
A2 A2
sin 2 cos2
x Acos cost Asin sint Acos( t )
8.5 简谐运动的合成
ν 2 ν 1
2
t ) cos( 2 π
ν 2 +ν 1
2
t +)
振幅部分 振动频率 振幅
合振动频率
ν = (ν 1 + ν 2 ) 2
A = 2 A1 cos 2π
ν 2 ν 1
2
t
Amax = 2A1
Amin = 0
振幅是随时间变化的， 振幅是随时间变化的，由于振幅的改变也是周期 性的，因此就出现振动忽强忽弱的现象。 性的，因此就出现振动忽强忽弱的现象。
y A2
A2 y= x A1
o
A1
x
x 2 y 2 2 xy + 2 cos( 2 1 ) = sin 2 ( 2 1 ) 2 A1 A2 A1 A2
2） 2 1 = π
3） 2 1 = ± π 2
2 2
A2 y= x A1
o
y
A2
x y + 2 =1 2 A1 A2
π y = A2 cos(ωt + ) 2
合成振动为： 合成振动为： x = x1 + x2 = A1 cos(ω1t + ) + A2 cos(ω 2 t + ) 利用三角函数公式可得
x = 2 A cos(
ω2 ω1
2
t ) cos(
ω2 + ω1
2
t +)
= 2 A cos( 2 π
ν 2 ν 1
2
t ) cos( 2 π
ν 2 +ν 1
两个同方向不同频率简谐运动的合成
频率相近的两个同方向简谐振动的合振动是振幅随 频率相近的两个同方向简谐振动的合振动是振幅随 相近的两个同方向简谐振动的合振动是 时间周期性变化的特殊简谐振动 称为拍振动 的特殊简谐振动， 拍振动。 时间周期性变化的特殊简谐振动，称为拍振动。 单位时间内振动加强或减弱的周期数叫拍频。 单位时间内振动加强或减弱的周期数叫拍频。 拍频 由
大学物理简谐运动的合成
大学物理简谐运动的合 成
目录
• 简谐运动的定义与特性 • 简谐运动的合成原理 • 简谐运动的合成方法 • 简谐运动的合成应用 • 总结与展望
简谐运动的定义与特
01
性
简谐运动的定义
简谐运动
物体在平衡位置附近做往复运动，其位移、速度和加速度随时间按正弦或余弦 规律变化的运动。
简谐运动的数学描述
简谐运动可以用正弦或余弦函数表示，其数学表达式为 $x = Asin(omega t + varphi)$，其中 $A$ 是振幅，$omega$ 是角频率，$varphi$ 是初相。
简谐运动的特性
周期性
简谐运动具有周期性，即物体在每个周期内重复 相同的运动轨迹。
往复性
简谐运动是往复运动，即物体在平衡位置附近来 回振动。
能量守恒
简谐运动过程中，系统的动能和势能相互转化， 总能量保持不变。
简谐运动的分类
自由振动
不受外力作用的简谐运动。
受迫振动
受到周期性外力作用的振动，其振动频率与外力频率 相同或相近。
简谐运动的合成方法
03
旋转矢量法
总结词
旋转矢量法是一种直观且易于理解的方法，用于合成简谐运动。
详细描述
旋转矢量法是通过引入一个旋转矢量来表示简谐运动，该矢量在复平面内以角速 度旋转。通过旋转矢量的长度和角度变化，可以直观地理解简谐运动的合成过程 。
复数法
总结词
复数法是一种基于复数运算的方法，用于合成简谐运动。
自激振动
由系统内部激励产生的振动，不需要外部激励作用。
02
简谐运动的合成原理
线性合成原理
线性合成原理是指两个简谐运动的合成结果仍为简谐运动，其振幅和角频率分别为两个简谐运动振幅 和角频率的线性组合。
目录
• 简谐运动的定义与特性 • 简谐运动的合成原理 • 简谐运动的合成方法 • 简谐运动的合成应用 • 总结与展望
简谐运动的定义与特
01
性
简谐运动的定义
简谐运动
物体在平衡位置附近做往复运动，其位移、速度和加速度随时间按正弦或余弦 规律变化的运动。
简谐运动的数学描述
简谐运动可以用正弦或余弦函数表示，其数学表达式为 $x = Asin(omega t + varphi)$，其中 $A$ 是振幅，$omega$ 是角频率，$varphi$ 是初相。
简谐运动的特性
周期性
简谐运动具有周期性，即物体在每个周期内重复 相同的运动轨迹。
往复性
简谐运动是往复运动，即物体在平衡位置附近来 回振动。
能量守恒
简谐运动过程中，系统的动能和势能相互转化， 总能量保持不变。
简谐运动的分类
自由振动
不受外力作用的简谐运动。
受迫振动
受到周期性外力作用的振动，其振动频率与外力频率 相同或相近。
简谐运动的合成方法
03
旋转矢量法
总结词
旋转矢量法是一种直观且易于理解的方法，用于合成简谐运动。
详细描述
旋转矢量法是通过引入一个旋转矢量来表示简谐运动，该矢量在复平面内以角速 度旋转。通过旋转矢量的长度和角度变化，可以直观地理解简谐运动的合成过程 。
复数法
总结词
复数法是一种基于复数运算的方法，用于合成简谐运动。
自激振动
由系统内部激励产生的振动，不需要外部激励作用。
02
简谐运动的合成原理
线性合成原理
线性合成原理是指两个简谐运动的合成结果仍为简谐运动，其振幅和角频率分别为两个简谐运动振幅 和角频率的线性组合。
物理-相互垂直的简谐运动的合成
y A2 x A1
质点离开 平衡位置 的位移
r(t) A12 A22 cos(t 1 )
y
A2
o A1 x
合振动是与分振动同频率的简谐振动
一、两个相互垂直的谐振动的合成
x A1
2
y A2
2
2xy cos(2 A1 A2
1 )
s in2 ( 2
1 )
(3)
若
2
1
2
x2 A12
y2 A22
合运动的 轨道方程
( x )2 ( y )2 2xycos sin2
A1
A2
A1 A2
其中： (2 1 )t (2 1 ) ——随时间变化
一般情况下，合运动的轨迹是不稳定的。
一、两个相互垂直的谐振动的合成
分振动： x A1 cos(ω1t φ1 ) y A2 cos(ω2t φ2 )
二、振动频谱分析
数学上已经证明：
任意周期函数（周期为T）：x(ωt) 其中 ω 2π /T
均可展开为三角级数
基频
x(ωt ) a0 (ak cos kωt bk sin kωt )
k 1
k次谐频
1 T/2
a0 T
f (ωt )dt
T / 2
2
ak T
T /2
f (ωt)cos kωtdt (k 0)
x A1
2
y A2
2
2xy cos(2
A1 A2
1 )
s in2 ( 2
1 )
合运动一般是在 x A1, y A2 范围内的一个椭圆。
一、两个相互垂直的谐振动的合成
2
2
x A1
y A2
16-2简谐运动的合成
ϕ
v a2
a4 v a3 α
Q
α
2
α
x
Nα sin 2 ∴A= a α sin 2
16 – 2
简谐运动的合成
v M
1 1 Q∠ M = (π − Nα)， CO = (π −α) CO ∠ P 2 2
v a5
α
N −1 ∴ = ∠ P −∠ M = ϕ α CO CO 2
C
α
N α v α
所以合振动为
2π 2π ω= = = π s -1 T 2 -π ϕ= 2 )m
由旋转矢量图可知合振动的振幅及初相分别为
A = A2 − A1 = 0.08 − 0.04 = 0.04 m） （
所以合振动为
x = 0 . 04 cos( πt −
π 2
16 – 2 简谐运动的合成 二、N 二、N 个同方向同频率简谐运动的合成
简谐运动的合成
3．分振动方程分别为 x1 = 3 cos(50πt + 0.25π ) ． ) 制 和 x 2 = 4 cos(50πt + 0.75π （SI制） 则它们的合振动表达式为： 则它们的合振动表达式为： （ ） （A）x = 2 cos(50πt + 0.25π ) ） （B） x = 5 cos(50πt ) ） （C） = 5 cos(50πt + ） x （D） x ）
v A 2
ϕ2
0
ω
v A
xx
x = x1 + x2 x = A cos( ω t + ϕ )
2 1 2 2
ϕ1 x2 x1
ϕ
v A 1
A = A + A + 2 A1 A2 cos(ϕ 2 − ϕ1 ) A1 sin ϕ 1 + A2 sin ϕ 2 tan ϕ = A1 cos ϕ 1 + A2 cos ϕ 2
简谐运动的合成
(2)若另有一振动x3 0.07cos10t 0 ，问0为何值时，
x1 x3的振幅为最大；问0为何值时，x2 x3的振幅为最小。
解：根据题意，画出旋转矢量图
A A12 A22
0.052 0.062
A1
0.078(m)
0 10 0
0 =10
3 4
时，x1
x3的振幅最大
A
A2
tan
A1 sin 1 A1 cos1
A2 A2
sin 2 cos2
讨论 A A12 A22 2 A1A2 cos(2 1)
0，1， 2,)
合振幅最大
A A1 A2
xx
oo
A1 A2
t
A
A A12 A22 2 A1 A2 cos(2 1)
2、两个分振动的相位反相：
相位差 2 1 (2k 1)π (k 0，1,)
合振幅最小 A A1 A2
x
x
A1
2
o
o
t
A
A2
例题 有两个同方向、同频率的简谐振动，它们 的振动表式（SI制）为：
x1
0.05
cos
10t
3 4
x2
0.06 cos 10t
1 4
(1)求它们合成振动的振幅。
简谐运动的合成
一、同方向、同频率两个简谐运动的合成
x1 A1 cos( t 1 )
A2
Q
A
x2 A2 cos( t 2 )
用旋转矢量法求合运动
2 1
P A1
O x2
x1 x
X
合振动位移为： x x1 x2 两个同方向同频率简谐运
x A cos( t ) 动合成后仍为简谐运动
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2 1 2k k 0,1,2,
A1
A A1 A2 合振动加强
A2
若两分振动反相:
2 1 (2k 1) k 0,1,2,
A A1 A2
合振动减弱
若 A1=A2 , 则 A=0
A2
A1
课堂练习：
两个同方向同频率的谐振动，振动方程分别为
x1
6102 cos(5t )m，
2
x2
2102 sin(
t
)
A
ω2t
O
ω2
2
ω1
ω1t
A
(ω 2
A1
ω1)
t
2
2
A
A2 1
A2 2
2A1A2cos(2
1)t
x2 x
x1x1
x2
x
当 (ω2 ω1) t时,2kπ
A 有最大值 A A1 A2
当 (ω2 ω1) t (时2k，1) π
A有最小值 A A1 A2
合振动振幅的频率为: (ω2 ω1) 2π
(2) 0, ,2 (或 )时,退化为直线;
(3) , 3 (或 ) 时,为正椭圆,若A1=A2,则退化
为圆.2 2
2
(4)椭圆轨迹内切于边长为2A1和2A2的矩形; (5)0 时,椭圆顺时针方向转;
0(或 2 ) 椭圆逆时针方向转.
四、相互垂直但频率不同的简谐振动的合成
5t)m
则其合振动的振幅为谐振动,振幅为：
（1）0 ；
（2）4cm；
（3）4 5cm ；
2
（4）8 cm。
二、同方向不同频率谐振动的合成
1. 分振动 : x1 A1 cosω1 t x2 A2 cosω2t
2. 合振动 : x x1 x2
x 2Acos( 2 1 ) t cos( 2 1
4.当
2
1
3
2
,
2
时：
质点沿椭圆的运动方向是逆时针的。
y
A2
x
A1
y
A2
x
A1
= 0 = /4 = /2 = 3/4
=
= 5/4 = 3/2 = 7/4
0 时，逆时针方向转动。 0 时，顺时针方向转动。
相互垂直、频率相同的两列谐振的合振动轨迹有如下规律:
(1)一般情况下轨迹为椭圆;
y
x2 A12
y2 A22
2xy A1 A2
cos(2
1 )
sin 2 (2
1 )
讨论： 1.当
2 1 0 时： y
A2 A1
x
A2
x
A1
y
2.当
2
1
时：
y
A2 A1
x
A2
x
A1
3.当
2
1
2
时：
x2 y2 1
A1 A2
x A1 cos(t 1)
y
A2
cos(t
1
2
)
质点沿椭圆的运动方向是顺时针的。
A cos
A s in
x Acos cost Asin sin t Acos( t )
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
结论：合振动 x 仍是简谐振动
tan A1 sin 1 A2 sin 2 A1 cos1 A2 cos2
旋转矢量法处理谐振动的合成
x1(t) A1 cos(t 1) x2 (t) A2 cos(t 2 )
合振动 ：
2
A2
M2
A
x 2 1
A1
M1
x1
M xx
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
tan A1 sin 1 A2 sin 2 A1 cos1 A2 cos2
合振动是简谐振动,其频率仍为
讨论： A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
若两分振动同相：
v
2 1 2
v2
v1
结论： 合振动可看作振幅缓变的简谐振动
3. 拍的现象：
x1
t
x2
t
x
t
拍: 合振动忽强忽弱的现象
拍频:
单位时间内强弱变化的次数
拍 2 1
T 2 2 1
=|2-1|
三、同频率互相垂直的简谐振动的合成
分振动
x A1 cos(t 1)
y A2 cos(t 2 )
消去参数 t 得轨迹方程
简谐运动的合成
一、同频率同方向简谐振动的合成
分振动 : x1 A1 cos( t 1) x2 A2 cos( t 2 )
合振动 : x x1 x2 A1 cos( t 1) A2 cos( t 2 )
(A1 cos1 A2 cos2)cos t (A1 sin 1 A2 sin 2)sin t
当两列相互垂直、频率成整数比关系的简谐 振动合成时，合振动的轨迹是闭合的，运动是周 期性的，这些图形称为李萨如（J. A. Lissajous 1822-1880 法国）图形。
Nx y Ny x
y
x y
21 0 x
3 1
3 2
x = 0：y = 0
y
π 8
y
π 4
y
3π 8
y
π 2