第05章能能量守恒方程

v x v x v x P (vx vy vz ) gx x y z x v y v y v y P (vx vy vz ) g y (3 53) x y z y v z v z v z P (vx vy vz ) gz x y z z
0
2
R
0
1 2 vx rdrd 2
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则引入流股速度分布修正系数后，伯努利方程变为：
v1 v2 1 gz1 p1 gz2 p2 2 1 22 1
v1 v2 1 1 z1 p1 z2 p2 g 2 1 g g 22 g
2 2
2
2
(5 6a )
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伯努利方程的物理意义及几何意义
物理意义：运动状态单位重量理想流体所携
带的总能量在它所流经的路径上的任何位置 均保持不变，但三种能量可相互转换。
几何意义：总水头线是平行于基准线的水平
线。
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5.2伯努利方程的应用

Applications of Bernoulli’s Equation
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要将适用于流体单一质点 或微团沿流线运动的情况，推 广到管流系统中，则除不可压 缩、理想流体、稳定流动条件 外，还要求： 流线相互平行； 过流截面上的速度均相等。 只有在缓变流条件下，才 能较准确地应用。
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1 2 按平均流速计算平均动能： v x 2

实际平均动能：
1 R 2

可写成：
dv x 1 P gx dx x dv y 1 P vy gy dy y dv z 1 P vz gz dz z vx
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如坐标系的z轴垂直地面，则gx=gy=0,gz= -g，再对 上面三式的两端分别乘以dx、dy、dz，则：
z p g v2 const 2g
位置水头 压力水头 速度水头
此式各项的量纲都是m，依次各项的物理意义为 分别为单位质量流体所具有的位能(位置水头)、压 力能(压力水头)和动能(速度水头)。 流体的位能、压力能、和动能三者之和称为总 能量(机械能)。
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另一方面，由于 伯努利方程(5-4)中 每项都具有长度单 位，即表示某一高 度， 所以可以用一 几何图形表示各项 之间的关系，如图 所示：
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各速度分量对时间t的导数可以写成：
dv x dv x dx dvx dt dx dt dx v x dv y dv y dy dv y vy dy dt dy dt dvz dvz dz dvz vz dz dt dz dt
4
因此第三章中的欧拉方程式：
1 P v x dv x dx x 1 P v y dv y dy y 1 P v z dv z dz g z dz z
将三式相加得：
1 P P P v x dv x v y dv y v z dv z dx dy dz g z dz x y z (5 1)
对于管道中流量和流速的计算，人们通常采用管 道中地平均速度计算。当流体是无粘性的理想流体， 并以稳定的缓变层流方式流动时，管道中某截面上各 点速度基本相等。此时伯努利方程可给出准确地定量 计算。但是对于实际流体由于有粘性，无论是层流还 是紊流，管道中任一截面上各点流速不相等(由于粘性 作用，管壁上的流速为零，中心线上最大)。 此时采用平均速度计算管路系统中任意截面的能 量平衡时，在伯努利方程中引入流股速度分布修正系 数β。
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图中流线同时也代表流线上各点距基准线上的位 置高度，称为位置水头；P/ρg项指在任意点z处由压 力作用水头上升的高度，称为压力水头；顶部水平 线与P/ρg项之差代表由速度作用水头上升的高度 （v2/2g），表示z点处流体的速度v垂直向上喷射时 所能达到的射程高度，称为速度水头。
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伯努利方程中，位置水头、压力水头和速度水头三 项之和称为总水头。 由图可见，尽管各点位置1、2的两种水头各不相等， 但每处的三项之和为一常数，即总水平线为平行于基准 线的水平线。
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摩擦阻力损失 Friction Losses
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局部损失
Local losses due to Enlargement and Contraction
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三、应用实例—金属液从底注浇包内的流出 Flow from Ladles
伯努利能量方程是动 量传输的基本方程之一， 在解决涉及流体流动及输 运工程的实际问题中具有 极其重要的作用和地位。 在冶金及铸造工程中亦是 如此。应用伯努利方程来 解析钢液浇包的出流速度/ 流量，及铸件浇注系统各 浇口出流速度及浇注（充 满型腔）时间等。
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但由于伯努利方程是从流体流动体系的能量平衡角 度描述流体的力学关系及运动规律，方程的物理意义明 确，特别是方程具有简单的代数方程的形式，应用十分 简便，所以已被人们作为涉及流体传输的动力、化工、 冶金工程中广泛应用的、流体输运工艺参数设计的一个 基本理论和计算工具。然而，由于工程中所涉及的实际 流体都是具有粘性的，如：水、石油、和液态金属等； 另一方面，实际容器和管道中流动的液体运动状态通常 是十分复杂的 ，不满足伯努利方程所要求的：沿一根 流线的稳定缓变流条件、流线平行、在过流截面上流速 处处相等等条件。
导出伯努利方程的限制条件是： 无粘性流动； 稳定流动； 不可压缩流体； 沿一根流线。 在实际管道系统中，不可能获得这样的流体条 件，但在缓变流的情况下，伯努利方程仍能较准确 地确定管道流体流动的能量平衡关系。 所谓缓变流，是指流场内各流线之间的夹角很 小；如果流场转向，各流线也能一致地转向，转向 的曲率半径又很大。
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充型时间、浇道面积的计算 Calculation of Filling Time and Ingate Size
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gz
位能
p

压力能
1 2 v 2 动能
const
(5- 4)
此式各项的量纲都是kgm/s2m2或Nm/m3，可把(5-3)式中 各项视为能量的表现形式。式(5-4)中各项相应的视为单 位体积流体所具有的位能、压力能和动能。
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把(5-4)式各项除以常数ρg，则可得伯努利方程 的常用形式：
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工程上解决上述矛盾的做法是在伯努利方程中引入 一定的修正项和修正系数，一方面保持伯努利方程的简 洁的数学形式，另一方面用修正项/修正系数来计算由于 不满足伯努利方程的应用条件，如：粘性、紊流和惯性 流等，而引起的偏差。
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一、在管流流动中的应用 Applications in Conduits
dv v dx v dy v dz dt x dt y dt z dt
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相应的速度分量vx,vy,vz对时间t的导数可以写成：
v x v x v x dv x dt v x x v y y v z z v y v y v y dv y vx vy vz x y z dt dv z v z v z v z v v v x y z dt流体的流动状态。
层流流动时 0.5 式中： 1/1.06 1.0 紊流流动时
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二、实际管路系统中粘性流体的输运
Transport of Viscous Fluids in Conduits
实际工程及生活中接触到的流体均具有粘性，另 一方面，实际流体的管路输送系统的结构十分复杂， 不仅有管道的长短、粗细差别(对沿程粘性摩擦阻力影 响很大)，而且有管道转弯，管道截面变化和阀门等， 对流体流动产生局部阻力。
第五章 能量守恒方程 —伯努利方程
Chapter 5 Conservation of Energy ——Bernoulli’s Theorem
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5.1伯努利方程的微分形式
Differential Form of Bernoulli’s Equation
在流体的任意方向流动中，沿着流体流线方向考 查流体的流动，则流体的流动只有一维流动的特征。 设重力场垂直向下，从稳定理想流体的动量方程(3-44) 出发，推导伯努利方程。 按全微分的定义，流体质点的流动速度的微分为： v v v dv dx dy dz x y z 故：
管流的沿程摩擦阻力 管道的长度、直径、粗糙度 管路的急弯度、截面的变化 管流流动的能量损失 (扩张和缩小)及阀体 管流的局部阻力 流体的惯性和粘性 流体的粘性
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上述各种因素产生的阻力均会产生管流流动的能量 损失，为正确反映这些能量损失，在伯努利方程中引入 能量损失项，即：
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流体质点在空间任意方向上的速度与各方向上速 度分量的关系为:
v 2 v x 2 v y 2 vz 2
即：
vdv vx dvx v y dv y vz dvz
将此式代入(5-1)式，又右端第一项括号内为压力的全 微分dp，故(5-1)可写成：
gdz
1

dp vdv 0
(5 2)
此式即为流体质点在微元空间(dx,dy,dz)内沿任意方向 流线运动时的伯努利方程—能量平衡关系式。
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当流体质点沿流线由空间一点p1(v1,z1)运动到 p2(v2,z2)，如图所示。 质点流动过程中的能量 平衡关系可由积分形式的伯 努利方程确定。 将微分形式伯努利方程 (5-1)积分求解即可得到：
表示为如下的统一形式：
v2 h失 K 2g
式中：K—流体的阻力系数，它包括了所有摩擦阻力
系数K摩和局部阻力系数K局；