高教版中职数学(基础模块)上册5.6《三角函数的图像和性质》word教案

5.6三角函数的图像和性质

创设情景兴趣导入

观察钟表，如果当前的时间是2点，那么时针走过12个小时后，显示的时间是多少呢？再经过12个小时后，显示的时间是多少呢？

．

每间隔12小时，当前时间2点重复出现．

类似这样的周期现象还有哪些？

动脑思考探索新知

对于函数()y f x =，如果存在一个不为零的常数T ，当x 取定义域D 内的每一个值时,都有x T D +∈,并且等式()()f x T f x +=成立，那么，函数()y f x =叫做周期函数，常数T 叫做这个函数的一个周期．

由于正弦函数的定义域是实数集R ，对α∈R ，恒有2π()k k α+∈∈R Z ，并且sin(2π)=sin ()k k αα+∈Z ，因此正弦函数是周期函数，并且2π，4π，6π，及2π-，4π-，都是它的周期．

通常把周期中最小的正数叫做最小正周期，简称周期，仍用T 表示．今后我们所研究的函数周期，都是指最小正周期．因此，正弦函数的周期是2π．

构建问题探寻解决

由周期性的定义可知,在长度为2π的区间（如[]0,2π，[]2,0-π,[]2,4ππ）上，正弦函数的图像相同，可以通过平移[]0,2π上的图像得到．因此，重点研究正弦函数在一个周期内，即在[]0,2π上的图像．

用“描点法”作函数x y sin =在[]0,2π上的图像．

把区间[]0,2π分成12等份，并且分别求得函数x y sin =在各分点及区间端点的函数值，列表如下：（见教材）

以表中的y x ,值为坐标，描出点(,)x y ，用光滑曲线依次联结各点，得到[]sin 0,2y x =π在上的图像．（见教材）

将函数sin y x =在[]0,2π上的图像向左或向右平移2π，4π，，就得到sin ,y x =∞+∞在（-）上的图像，这个图像叫做正弦曲线．（见教材）

动脑思考探索新知

正弦曲线夹在两条直线1y =-和1y =之间，即对任意的角x ，都有sin 1x 成立，函数的这种性质叫做有界性．

一般地，设函数)(x f y =在区间),(b a 上有定义，如果存在一个正数M ，对任意的),(b a x ∈都有()f x M ，那么函数)(x f y =叫做区间),(b a 内的有界函数．如果这样的M 不存在，函数)(x f y =叫做区间),(b a 上的无界函数．

显然，正弦函数是R 内的有界函数．

正弦函数x y sin =的定义域是实数集R ．具有下面的性质：

（1）是R 内的有界函数，其值域为[]1,1-．当2()2

x k k π=+π∈Z 时, 1max =y ；当2()x k k π

=-+π∈2

Z 时,1min -=y ． （2）是周期为2π的周期函数．

（3）是奇函数．

（4）在每一个区间(2,222

k k ππ-+π+π)(k ∈Z )上都是增函数,其函数值由−1增大到1；在每一个区间3(2,222

k k ππ+π+π)(k ∈Z )上都是减函数，其函数值由1减小到−1．

动脑思考探索新知

观察发现，正弦函数x y sin =在[]0,2π上的图像中有五个关键点：

(0,0), ,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭, (),0π, 3,12π⎛⎫- ⎪⎝⎭, ()2,0π．

描出这五个点后，正弦函数x y sin =,[]0,2π在上的图像的形状就基本上确定了．因此，在精确度要求不高时，经常首先描出这关键的五个点，然后用光滑的曲线把它们联结起来，从而得到正弦函数在[]0,2π上的简图．这种作图方法叫做“五点法”．

巩固知识典型例题

例1利用“五点法”作函数x y sin 1+=在[]0,2π上的图像．

分析x y sin =图像中的五个关键点的横坐标分别是0，2π，π，23π，2π，这里要求出x y sin 1+=在五个相应的函数值，从而得到五个点的坐标，

最后用光滑的曲线联结这五个点，得到图像．解列表

x0 π

2

π

3π

2

2π

x

sin0 1 0 −1 0

x

y sin

1+

= 1 2 1 0 1

以表5-6中每组对应的x,y值为坐标，描出点)

,

(y

x，用光滑的曲线顺次联结各点,得到函数x

y sin

1+

=在[]

0,2π上的图像．

例2已知sin4

x a

=-, 求a的取值范围．

解因为x

sin≤1，所以4

a-≤1，即

141

a

--，

解得35

a．

故a的取值范围是[3,5]．

例3求使函数sin2

y x

=取得最大值的x的集合，并指出最大值是多少．分析将2x看作正弦函数中的自变量，因此需要进行变量替换．

解设x u 2=，则使函数u y sin =取得最大值1的集合是

π2π,2u u k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭

Z ， 由π22π2

x u k ==+, 得ππ4

x k =+． 故所求集合为ππ,4x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭

Z ，函数sin 2y x =的最大值是1．

运用知识强化练习

教材练习5.6.1

1．利用“五点法”作函数x y sin -=在[]0,2π上的图像．

2．利用“五点法”作函数x y sin 2=在[]0,2π上的图像．

3．已知sin 3a α=-，求a 的取值范围．

4．求使函数sin 4y x =取得最大值的x 的集合，并指出最大值是多少?