高教版中职数学(基础模块)上册5.6《三角函数的图像和性质》word教案

5.6三角函数的图像和性质
创设情景兴趣导入
观察钟表，如果当前的时间是2点，那么时针走过12个小时后，显示的时间是多少呢？再经过12个小时后，显示的时间是多少呢？
．
每间隔12小时，当前时间2点重复出现．
类似这样的周期现象还有哪些？
动脑思考探索新知
对于函数()y f x =，如果存在一个不为零的常数T ，当x 取定义域D 内的每一个值时,都有x T D +∈,并且等式()()f x T f x +=成立，那么，函数()y f x =叫做周期函数，常数T 叫做这个函数的一个周期．
由于正弦函数的定义域是实数集R ，对α∈R ，恒有2π()k k α+∈∈R Z ，并且sin(2π)=sin ()k k αα+∈Z ，因此正弦函数是周期函数，并且2π，4π，6π，及2π-，4π-，都是它的周期．
通常把周期中最小的正数叫做最小正周期，简称周期，仍用T 表示．今后我们所研究的函数周期，都是指最小正周期．因此，正弦函数的周期是2π．
构建问题探寻解决
由周期性的定义可知,在长度为2π的区间（如[]0,2π，[]2,0-π,[]2,4ππ）上，正弦函数的图像相同，可以通过平移[]0,2π上的图像得到．因此，重点研究正弦函数在一个周期内，即在[]0,2π上的图像．
用“描点法”作函数x y sin =在[]0,2π上的图像．
把区间[]0,2π分成12等份，并且分别求得函数x y sin =在各分点及区间端点的函数值，列表如下：（见教材）
以表中的y x ,值为坐标，描出点(,)x y ，用光滑曲线依次联结各点，得到[]sin 0,2y x =π在上的图像．（见教材）
将函数sin y x =在[]0,2π上的图像向左或向右平移2π，4π，，就得到sin ,y x =∞+∞在（-）上的图像，这个图像叫做正弦曲线．（见教材）
动脑思考探索新知
正弦曲线夹在两条直线1y =-和1y =之间，即对任意的角x ，都有sin 1x 成立，函数的这种性质叫做有界性．
一般地，设函数)(x f y =在区间),(b a 上有定义，如果存在一个正数M ，对任意的),(b a x ∈都有()f x M ，那么函数)(x f y =叫做区间),(b a 内的有界函数．如果这样的M 不存在，函数)(x f y =叫做区间),(b a 上的无界函数．
显然，正弦函数是R 内的有界函数．
正弦函数x y sin =的定义域是实数集R ．具有下面的性质：
（1）是R 内的有界函数，其值域为[]1,1-．当2()2
x k k π=+π∈Z 时, 1max =y ；当2()x k k π
=-+π∈2
Z 时,1min -=y ． （2）是周期为2π的周期函数．
（3）是奇函数．
（4）在每一个区间(2,222
k k ππ-+π+π)(k ∈Z )上都是增函数,其函数值由−1增大到1；在每一个区间3(2,222
k k ππ+π+π)(k ∈Z )上都是减函数，其函数值由1减小到−1．
动脑思考探索新知
观察发现，正弦函数x y sin =在[]0,2π上的图像中有五个关键点：
(0,0), ,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭, (),0π, 3,12π⎛⎫- ⎪⎝⎭, ()2,0π．
描出这五个点后，正弦函数x y sin =,[]0,2π在上的图像的形状就基本上确定了．因此，在精确度要求不高时，经常首先描出这关键的五个点，然后用光滑的曲线把它们联结起来，从而得到正弦函数在[]0,2π上的简图．这种作图方法叫做“五点法”．
巩固知识典型例题
例1利用“五点法”作函数x y sin 1+=在[]0,2π上的图像．
分析x y sin =图像中的五个关键点的横坐标分别是0，2π，π，23π，2π，这里要求出x y sin 1+=在五个相应的函数值，从而得到五个点的坐标，
最后用光滑的曲线联结这五个点，得到图像．解列表
x0 π
2
π
3π
2
2π
x
sin0 1 0 −1 0
x
y sin
1+
= 1 2 1 0 1
以表5-6中每组对应的x,y值为坐标，描出点)
,
(y
x，用光滑的曲线顺次联结各点,得到函数x
y sin
1+
=在[]
0,2π上的图像．
例2已知sin4
x a
=-, 求a的取值范围．
解因为x
sin≤1，所以4
a-≤1，即
141
a
--，
解得35
a．
故a的取值范围是[3,5]．
例3求使函数sin2
y x
=取得最大值的x的集合，并指出最大值是多少．分析将2x看作正弦函数中的自变量，因此需要进行变量替换．
解设x u 2=，则使函数u y sin =取得最大值1的集合是
π2π,2u u k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭
Z ， 由π22π2
x u k ==+, 得ππ4
x k =+． 故所求集合为ππ,4x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭
Z ，函数sin 2y x =的最大值是1．
运用知识强化练习
教材练习5.6.1
1．利用“五点法”作函数x y sin -=在[]0,2π上的图像．
2．利用“五点法”作函数x y sin 2=在[]0,2π上的图像．
3．已知sin 3a α=-，求a 的取值范围．
4．求使函数sin 4y x =取得最大值的x 的集合，并指出最大值是多少?
构建问题探寻解决
余弦函数的定义域是R ．由于对x ∈R 恒有2π()x k k +∈∈R Z 并且cos(2π)x k +=x cos ，可知余弦函数是周期函数，其周期是2π．
用“描点法”作出余弦函数x y cos =在[]0,2π上的图像．
把区间[]0,2π分成12等份，并且分别求得函数x y cos =在各分点及区间端点的函数值，列表（见教材）．
以表中的y x ,值为坐标，描出点(,)x y ，用光滑曲线顺次联结各点，得到函数[]cos 0,2πy x =在上的图像（见教材）．
将函数[]cos 0,2πy x =在上的图像向左或向右平移2π，4π，，,就得到余弦函数cos ,y x =∞+∞在（-）上的图像（见教材）．这个图像叫做余弦曲线．
动脑思考探索新知
余弦函数cos ()y x x =∈R 的定义域是实数集R ，余弦函数有如下性质：
⑴是有界函数，其值域为[]1,1-．当2π()x k k =∈Z 时, 1max =y ；当(21)π()x k k =+∈Z 时, min 1y =-．
⑵是周期为2π的函数．
⑶是偶函数．
⑷在区间((21)π,2π)k k -()k ∈Z 内是增函数，函数值从1-增加到1；在区间(2π,(21)π)k k +()k ∈Z 内是减函数，函数值从1减少到1-．
巩固知识典型例题
例4 用“五点法”作出函数x y cos -=在[]0,2π上的图像．
分析cos y x =图像中的五个关键点的横坐标分别是0，2π，π，23π，2π，这里要求出x y cos -=在这五个关键点上的相应函数值，从而得到五个点的坐标，最后用光滑的曲线联结这五个点，得到图像．
解列表
x
0 π2 π 3π2 2π x cos 1
0 −1 0 1 x y cos -=
−1 0 1 0 −1
以表中的y x ,值为坐标，描出点(,)x y ，然后用光滑的曲线顺次联结各点，得到函数x y cos -=[]0,2π在上的图像
运用知识强化练习
教材练习5.6.2
用“五点作图法”作出函数x
=在[]
y cos
1-
0,2π上的图像．。