大学电磁学 高斯定理

设棒上线电荷密度为+e
作高斯面——以细棒为对称轴的圆柱（l长） 求出通过Gauss面的通量
E
S
1 EdS
0
S内
qi

el 0
E d S E d S E d S 2rlE
上底
下底
侧面
E 1 e 2 0 r
E⊥dS
§2.3 电场线+§3 高斯定理
电场线 电通量 高斯定理的表述及证明 高斯定理的应用
1. 电场线
电场线是电场空间中的一组曲线，用来形 象描述电场。曲线上每一点的切线方向反 映电场强度的方向，每一点电场线数密度 反映电场强度大小。
过空间任一点取小面元SE，设穿过S的 电场线有N根，则N/S叫做电场线数密

S
EdS
1
0
qi
S内
eS 0
E d S E d S E d S 2ES
上底
下底
侧面
EΔS
E e ,方向如图 2 0
结论：均匀带电的无限大平面板产生的场强大 小与场点到平面的距离无关
图示c板间场强为何？
讨论：
以上三例电荷分布分别具有球对称性、轴对称性、 面对称性，电荷分布的对称性决定了场的对称性。
2、 高斯定理
场是一定空间范围内连续分布的客体
温度T 温度分布——温度场（标量场） 流速v 流速分布——流速场（矢量场） 电荷产生的场具有什么性质？
已知电荷可以根据场强定义和叠加原理求场分 布
已知场分布也可求得其他带电体在其中的运动 经过探索通过与流体类比找到用矢量场论来描
球对称的电场p24
例题6：求均匀带正电球 壳内外的场强，设球壳所
带电量为Q，半径为R
在 球 坐 标 下 分 析 ： E( p) ~ Er，E，E
球壳电荷均匀分布，围绕任一直径都是旋 转不变——场强分布也不变，但旋转时E 和E变——只有E＝0和E＝0
只有径向分量Er不为零，r相同Er相同—— 场呈球对称分布
根据场的对称性做高斯面 求出通过Gauss面的通量
1
Q
rR
E
S
EdS
0
qi
S内

0

S
EdS

E dS
S

4r 2E

E

Q
4 0r 2
r R EdS E dS 4r2E 0
S
S
E0
结论：球壳内E=0；球壳外 与点电荷场相同

0
类比
流线——电力线 流量——电通量
通过dS的通量 dE EdS cos E d S
物理意义：穿过dS的电力线的根数
电通量与电场强度的关系？
定义电力线数密度：单位面积内电力线的根数 令其等于该处电场强度的大小
人为定义
dS ' E
E dN dS'
dN EdS' E dS dE
述电场
静电场是矢量场。数学上引入“通量”和 “环量”来揭示矢量场的性质。
流速场 水流线 静电场 电场线
流量、通量→源、汇 环流、环量→旋涡
v

v S cos

v
S
v


v
dS
S
流速场
通
量
v
dS
0?
S
0 0
环
流 L
v
dl

0 0
P26例题7
利用例题6的结果，球外一样
在球内任意取半径为r的Gauss面
注意计算r<R时，高斯面内所包 围的电量为 体电荷
q'
e
4r 3
3
E

1
4 0

1
4 0
Q r2 (r R)
Qr R3
(r

R)
轴对称的电场
p27例题8求无限长均 匀带电棒外的场强分 布
高斯定理是静电场的一条重要的定理，有其重 要的理论地位，是静电场基本方程之一 ，它 是由库仑定律导出的， 反映了电力平方反比 律 ，如果电力平方反比律不满足，则高斯定 理也不成立。
静电力是有心力，但高斯定理只给出了 源和通量的关系，并没有反映静电场是 有心力场这一特性，它只反映静电场性 质的一个侧面（下一节还要讲另一个定 理——环路定理）
所以不能说高斯定理与库仑定律完全等价
若不添加附加条件（如场的对称性等）， 无法从高斯定理导出库仑定理
电力平方反比律 ——高斯定理
电荷间的作用力是有心力 ——环路定理
从Gauss定理看电 场线的性质
电场线疏的地方场强小，密 的地方场强大
E E1 cos1S1 E2 cos2S2
0(管内无电荷）
or：－ E1 cos1 ＝ S2 E2 cos2 S1
电场线起始于正电荷或无穷 远，止于负电荷或无穷远
Gauss定理应用列举
定理反映了静电场的性质——有源场 提供求带电体周围的电场强度的方法 P24－p29
球对称的电场 轴对称的电场 无限大带电平面的电场
S
dE
S
d
4 0
4 0
S
d
0
q
包围一个点电荷的任意曲面上的电通量等于 0
结果与电力平方反比律分不开 f r 2
闭合曲面不包围点电荷
闭合曲面不包围点电荷 ， dS´与dS所对的立体角 d' d
则电通量也有 'E E
对于闭合面S’+S，总通量为 E 0
任意曲面
E E d S
S
任意闭合曲面
E E d S
S
规定：取闭合面外法 线方向为正，则



2
, dE

0;


2
, dE

0
Gauss 面 上 的 场 强 ， 是
高斯定理 p22
所有电荷产生的场 面内电量的代
数和，与面外
电荷无关
通过任意
E

场，可以分别求出场强再叠加
E 是常数
无限大带电平面的电场
设带电板的面电荷密度 为 +e
对称性分析
在直角坐标下分析
对yz平面，镜像反射变 换不变,场也不变
——Ex=0 对zx平面镜像反射变换
不变，场也不变
——Ey=0 只有Ez不为零，
无限大平面自身具有平
移不变性， Ez与场点的
坐标无关
E
1q
q

4 0
r2
S
dS
0
4r 2
一个点电荷所产生的电场，在以点电荷为 中心的任意球面的电通量等于 q
0
点电荷q被 任意曲面包围
v
q dS ' q rˆ dS q
dE 40
r2

4 0
r2
d
4 0
对整个闭合面S有
4
q
q
q
E
度。
电 场 线 图
电偶极子电场线
站在雷雨 中的高地
电力线的性质：
1、静电场的电力线始于正电荷（或无穷远）， 终于负电荷（或无穷远）。 电力线连续：不会在没有电荷的地方中断
2、电力线不相交（场强的单值性）
3、静电场的电力线不闭合 库仑力是有心力，是保守力。
下面将揭示静电场性质的 两个基本定理！
用 Gauss定理可以计算具有强对称性场的场强
通量要好算 注意选取合适的Gauss面
Gauss定理可以和场强叠加原理结合起来运用， 计算各种球对称性、轴对称性、面对称性的场。
上述三个例子的结论可以作为已知结论运用，例如 求两块无限大带电平面板的场分布 求均匀带电球体内外的场分布 求均匀带电的无限长圆柱内外场分布 整体不具有对称性，但局部具有对称性的电荷分布的电
在柱坐标下分析 作平面П1和П2 柱体对П1镜像反射变换是不变的——场分布也不变 但此变换下Eφ分量反向，只有Eφ＝0 柱体对П2镜像反射变换是不变的——场分布也不变 但此变换下Ez分量反向，只有Ez＝0 剩下唯一不可能等于0的分量只有Er 无限长圆柱体具有沿z方向的平移不变性
——等r处Er相等——轴对称性
有源（或汇）、有旋 、两者兼而有之
用穿过闭合曲面的通量来表达此区 域内是否有“源”或“汇”？
(1) 流ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ通量=流出通量，可猜
v

ÒS
vv
d
v S

0
区域内无源、无汇。
(2) 类似喷泉，有源，可猜：
v

ÒS
vv d
v S

0
(3) 类似地漏，有汇，可猜：
v

ÒS
vv
d
v S
S
S

S
E k 1 d S


S
En dS
1
0
qi
S内
=0
讨论： Gauss 定理说明
闭合面内的电荷决定通过闭合面的电通量,只 要 S内电荷不为零 ，则通量不为零——有源
正电荷 —— 喷泉形成的流速场—— 源
负电荷 —— 有洞水池中的流速场——汇
闭合面外的电荷虽然对通量没有贡献，但并不 意味着不影响闭合面上的电场，高斯面上的场 强是空间所有带电体所产生的
S
EdS 1
0
qi
S内
闭合曲面
的电通量
Gauss
面
立体角定义
v
d

dS ' r2

rˆ
dS r2
(球面度）
证明： 从特殊到一般
点电荷q被任意球面包围
设q >0，场具有球对称性
1q
E

E dS
S

EdS
S


S
4 0
r2
dS
1 q
E
4 0 r 2
结论：通过不包围点电荷的闭合曲面的 电通量为零
多个点电荷 被任意闭合曲面包围
设带电体系由n个点电 荷组成 ，其中 k个在闭 合面内，n-k个在闭合 面外
由场强叠加原理，通过 闭合面的总通量为
E E d S E1 d S Ek d S
S