集合论-第三章习题
离散数学(集合论)课后总结
第三章集合论基础1、设A={a,{a},{a,b},{{a,b},c}}判断下面命题的真值。
⑴{a}∈A T ⑵⌝({a}⊆ A) F⑶c∈A F ⑷{a}⊆{{a,b},c} F⑸{{a}}⊆A T ⑹{a,b}∈{{a,b},c} T⑺{{a,b}}⊆A T ⑻{a,b}⊆{{a,b},c} F⑼{c}⊆{{a,b},c} T ⑽({c}⊆A)→(a∈Φ) T2、证明空集是唯一的。
（性质1：对于任何集合A，都有Φ⊆A。
）证明：假设有两个空集Φ1 、Φ2 ，则因为Φ1是空集，则由性质1得Φ1 ⊆Φ2 。
因为Φ2是空集，则由性质1得Φ2 ⊆Φ1 。
所以Φ1=Φ2 。
3、设A={Φ},B=P(P(A)).问：(这道题要求知道幂集合的概念)a)是否Φ∈B?是否Φ⊆B?b)是否{Φ}∈B? 是否{Φ}⊆B?c)是否{{Φ}}∈B? 是否{{Φ}}⊆B?解：设A={Φ}，B=P(P(A)) P(A)= {Φ,{Φ}}在求P(P(A))时，一些同学对集合{Φ,{Φ}}难理解，实际上你就将{Φ,{Φ}}中的元素分别看成Φ=a ,{Φ}=b, 于是{Φ,{Φ}}={a,b}B=P(P(A))=P({a,b}) ={B0, B1 , B2 , B3 }={B00, B01,B10 ,B11}={Φ, {b}, {a}, {a,b}}然后再将a,b代回即可B=P(P(A))=P({Φ,{Φ}})={Φ,{Φ} ,{{Φ}}, {Φ,{Φ}}}以后熟悉后就可以直接写出。
a) Φ∈B Φ⊆Bb) {Φ}∈B {Φ} ⊆ Bc) {{Φ}}∈B {{Φ}}⊆Ba)、b)、c)中命题均为真。
4、证明A⊆B ⇔ A∩B=A成立。
证明：A∩B=A ⇔∀x(x∈A∩B ↔x∈A)⇔∀x((x∈A∩B → x∈A)∧(x∈A→ x∈A∩B))⇔∀x((x∉A∩B∨x∈A)∧(x∉A∨x∈A∩B))⇔∀x((⌝(x∈A∧x∈B)∨x∈A)∧(x∉A∨(x∈A∧x∈B))⇔∀x(((x∉A∨x∉B)∨x∈A)∧(x∉A∨(x∈A∧x∈B)))⇔∀x(T∧(T∧( x∉A∨x∈B)))⇔∀x( x∉A∨x∈B)⇔∀x(x∈A→x∈B)⇔ A⊆B5、(A-B)-C=(A-C)-(B-C)证明：任取x∈(A-C)-(B-C)⇔x∈(A-C)∧x∉(B-C)⇔(x∈A∧x∉C)∧⌝(x∈B∧x∉C)⇔(x∈A∧x∉C)∧(x∉B∨x∈C)⇔(x∈A∧x∉C∧x∉B)∨(x∈A∧x∉C∧x∈C)⇔x∈A∧x∉C∧x∉B⇔x∈A∧x∉B∧x∉C⇔(x∈A∧x∉B)∧x∉C⇔x∈A-B∧x∉C⇔x∈(A-B)-C所以(A-B)-C=(A-C)-(B-C)6、A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)证明：任取x∈A-(B∪C)⇔x∈A∧x∉(B∪C)⇔x∈A∧⌝(x∈B∨x∈C)⇔x∈A∧(x∉B∧x∉C)⇔(x∈A∧x∉B)∧(x∈A∧x∉C )⇔x∈A-B∧x∈A-C⇔x∈(A-B)∩(A-C)所以A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C))7、~(A∩B)=~A∪~B ~(A∪B)=~A∩~B 这两个公式称之为底-摩根定律。
第三章 集合论基础
第三章集合论基础1.如何表示集合？请各举一例。
2.一般地用谓词公式描述法定义集合A：A={x|P(x)}, 请问什么样的元素属于A，什么样的元素不属于A？3.判断下面命题的真值，并说明原因。
集合{a}与集合{{a}}是相同的集合。
4.A、B是集合。
试用谓词公式，表达A⊆B、A=B以及A⊂B。
5.证明空集是唯一的。
6.判断下面命题的真值。
对你的回答，给予证明或者举反例。
1．如果A∈B，B⊆C ，则A∈C。
2．如果A∈B，B⊆C，则A⊆C 。
7.判断下面命题的真值。
对你的回答，给予证明或者举反例。
1．如果A⊆B，B∈C，则A∈C。
2．如果A⊆B，B∈C，则A⊆C。
8.设A={a,{a},{a,b},{{a,b},c}}，判断下面命题的真值。
⑴{a}∈A ⑵⌝({a}⊆ A) ⑶c∈A⑷{{a,b}}⊆A ⑸{{{a}}}⊆A9.判断下面命题的真值。
⑴{a,b}∈{{a,b},c} ⑵{a}⊆{{a,b},c} ⑶{a,b}⊆{{a,b},c}⑷{c}⊆{{a,b},c} ⑸({c}⊆{{a,b,c}})→(Φ⊆{a})10.集合A的幂集是如何定义的？令A={1,{1}}，求A的幂集P(A).11.设A={Φ}，B=P(P(A))。
判断下面命题的真值。
1．Φ∈B 2．Φ⊆B 3．{Φ}∈B 4．{Φ} ⊆ B 5．{{Φ}}∈B 6．{{Φ}}⊆B12.填空：设E是全集，A、B、C是任意集合，则⑴A⊕ ~E=( ) ⑵A⊕A=( ) ⑶~A－A =（）⑷A－B( )A ⑸A－B=A( )~B ⑹A( )~A=E13.给定全集E={1,2,3,4,5} A={1,2,3} B={2,3,4}1．求A的幂集P(A)2．求B⊕ ~A14.给定全集N={1,2,3,4,…...}A={1,2,7,8} B={ i | i2<50 }C={i | i可被3整除，0≤i≤30 }D={ i |i=2k, k∈i+, 1≤k≤6 }分别求(1) B-(A∪C) (2) (~A∩B)∪D15.证明A⊆B ⇔ A∩B=A。
大连理工大学软件学院离散数学习题答案
目录第一章命题逻辑 (2)第二章谓词逻辑 (9)第三章集合论习题答案 (13)第四章二元关系习题答案 (21)第五章函数习题答案 (42)第六章代数系统习题答案 (51)第七章群与环习题答案 (57)第八章格与布尔代数习题答案 (66)第九章图的基本概念及其矩阵表示 (71)第十章几种图的介绍 (82)第十一章树 (90)第一章命题逻辑1.（1）不是命题；（2）不是命题；（3）不是命题；（4）是命题；（5）是命题；2.（1）并非大连的每条街都临海；（2）2不是一个偶数或者8不是一个奇数；（3）2不是偶数并且-3不是负数；3.（1）逆命题：如果我去公园，那么天不下雨。
否命题：如果天下雨，我将不去公园。
逆否命题：如果我不去公园，那么天下雨。
（2）逆命题：如果我逗留，那么你去。
否命题：如果你不去，那么我不逗留。
逆否命题：如果我不逗留，那么你不去。
（3）逆命题：如果方程无整数解，那么n是大于2的正整数。
否命题：如果n不是大于2的正整数，那么方程有整数解。
逆否命题：如果方程有整数解，那么n不是大于2的正整数。
（4）逆命题：如果我不能完成这项任务，那么我不获得更多的帮助。
否命题：如果我获得更多的帮助，则我能完成这项任务。
逆否命题：如果我能完成这项任务，则我获得更多的帮助。
4.（1）T；（2）T；（3）T；（4）F；5.6.（1）P:他聪明；Q:他用功；命题：P∧Q。
（2）P:天气好；Q:我骑车上班；命题：Q→P。
（3）P:老李是球迷；Q:小李是球迷；命题：P∨Q。
（4）P:休息好；Q:身体好；命题：Q→P。
7.8.9.（1）（P∧Q）→R；（2）┓P；（3）（┓P∧┓Q）→┓R10.不依赖于命题变元的真值指派，而总取T（1）的命题公式，称为重言式（永真式）；不依赖于命题变元的真值指派，而总取F（0）的命题公式，称为永假式（矛盾式）；至少存在一组真值指派使得命题公式取值为T的命题公式称为可满足的。
本题可用真值表求解：（4）得真值表如下：1，故为重言式。
离散数学集合论练习题
离散数学集合论练习题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN集合论练习题一、选择题1．设B = { {2}, 3, 4, 2}，那么下列命题中错误的是（ ）．A ．{2}∈B B ．{2, {2}, 3, 4}BC ．{2}BD ．{2, {2}}B2．若集合A ={a ，b ，{ 1，2 }}，B ={ 1，2}，则（ ）．A ．B ⊂ A ，且B ∈A B ．B ∈ A ，但B ⊄AC ．B ⊂ A ，但B ∉AD ．B ⊄ A ，且B ∉A3．设集合A = {1, a }，则P (A ) = ( )．A ．{{1}, {a }}B ．{∅,{1}, {a }}C ．{∅,{1}, {a }, {1, a }}D ．{{1}, {a }, {1, a }}4.已知A ⊕B ={1,2,3}, A ⊕C ={2,3,4},若2∈ B,则（ ）A ． 1∈CB ．2∈C C ．3∈CD ．4∈C5. 下列选项中错误的是( )A ． ∅⊆∅B ． ∅∈∅C ． {}∅⊆∅D ．{}∅∈∅6. 下列命题中不正确的是（ ）A ． x ∈{x }-{{x }}B ．{}{}{{}}x x x ⊆-C ．{}A x x =⋃,则x ∈A 且x A ⊆D ． A B A B -=∅⇔=7. A , B 是集合，P (A ),P (B )为其幂集，且A B ⋂=∅，则()()P A P B ⋂=( )A ． ∅B ． {}∅C ． {{}}∅D ．{,{}}∅∅8. 空集∅的幂集()P ∅的基数是( )A ． 0B ．1C ．3D ．49．设集合A = {1，2，3，4，5，6 }上的二元关系R ={<a , b>⎢a , b∈A , 且a +b = 8}，则R具有的性质为（）．A．自反的 B．对称的C．对称和传递的 D．反自反和传递的10.设集合A={1 , 2 , 3 , 4}上的二元关系R = {<1 , 1>，<2 , 2>，<2 , 3>，<4 , 4>}，S = {<1 , 1>，<2 , 2>，<2 , 3>，<3 , 2>，<4 , 4>}，则S是R的（）闭包．A．自反 B．传递 C．对称 D．以上都不对11. 设A={1，2，3，4}，下列关系中为等价关系。
高一数学现代数学阅读附答案
高一数学现代数学阅读附答案可以的，下面是你所要求的文档：在这份文档中，我们将提供高一数学现代数学的阅读材料，并附上答案供参考。
以下是各个章节的内容介绍和相关的练题和答案。
第一章：集合论本章将介绍集合论的基本概念和运算方法。
通过研究本章，学生将深入了解集合的逻辑关系和基本运算。
以下是练题和答案：1. 什么是集合的并集运算？试举例说明。
答案：集合A和集合B的并集，表示为A∪B，是包含了A和B中所有元素的集合。
例如，A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则A∪B = {1, 2, 3, 4, 5}。
2. 什么是集合的交集运算？给出一个具体的例子。
答案：集合A和集合B的交集，表示为A∩B，是包含了同时属于A和B的元素的集合。
例如，A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则A∩B = {3}。
第二章：数理逻辑本章将介绍数理逻辑的基本原理和运算规则。
通过研究本章，学生将掌握数理逻辑中的命题、联结词和推理规则。
以下是练题和答案：1. 什么是命题逻辑中的合取运算？举一个具体的例子。
答案：命题逻辑中的合取运算，也称为逻辑与运算，表示为∧。
它要求两个命题同时为真时结果为真，其他情况均为假。
例如，对于命题P：“今天是星期一”和命题Q：“天气晴朗”，当P和Q同时成立时，P∧Q为真。
2. 什么是命题逻辑中的析取运算？给出一个具体的例子。
答案：命题逻辑中的析取运算，也称为逻辑或运算，表示为∨。
它要求两个命题至少有一个为真时结果为真，其他情况均为假。
例如，对于命题P：“今天是星期一”和命题Q：“天气晴朗”，当P和Q中只要有一个成立时，P∨Q为真。
第三章：概率论本章将介绍概率论的基本概念和计算方法。
通过研究本章，学生将能够理解概率的定义、计算概率的方法和概率与事件的关系。
以下是练题和答案：1. 什么是事件的概率？如何计算事件的概率？答案：事件的概率是指该事件发生的可能性。
计算事件的概率可以通过计算有利结果的数量与总可能结果的数量之比来得到。
离散数学第3章 集合
任取x， xX … xY (2) 证X=Y
方法一 分别证明 XY 和 YX 方法二 任取x，xX … xY
注意：在使用方法二的格式时，必须保证每步推理都是充分 必要的
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第三章 集合
命题演算法
例3-3.2 证明A(AB) = A （吸收律）
元素a属于A，记作aA； 或者a不属于A，记作aA，也可以记作┓(aA)。
（4）任意性：集合的元素也可以是集合。 例：A={1，{2}，2，{3，4}，{6}} A=5，2A，{2}A，6A,{6}A
6
第三章 集合 例如：A={{a,b}，d，{{b}}}。可以用一种树形图来表示这种
隶属关系，该图分层构成，每一层上的结点都表示一个集 合，它的儿子就是它的元素。 集合的树型层次结构
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第三章 集合
§3-3-3 笛卡儿积
定义3-3.2 两个元素a，b组成二元组，若它们有次序 之别，称为二元有序组，或称为有序对或序偶，记为<a， b>，称a为第一分量，b为第二分量；若它们无次序区分， 称为二元无序组，或称为无序对，记为（a，b）。
有序对具有如下性质。 （1）有序性：当x≠y时<x，y>≠<y，x>。 （2）<x，y>与<u，v>相等的充分必要条件是
A
B
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第三章 集合
§3-2 集合之间的关系
§3-2-1 集合之间的关系 （1）相等关系： • 两集合A和B相等，当且仅当它们有相同的元素。 • 若A与B相等，记为A=B；否则，记为A≠B。 • 可形式化为：A=B(x)(xAxB)。
12
第三章 集合
集合论与图论习题册
集合论与图论习题册软件基础教研室刘峰2019.03第一章 集合及其运算8P 习题1. 写出方程2210x x ++=的根所构成的集合。
2.下列命题中哪些是真的，哪些为假a)对每个集A ，A φ∈； b)对每个集A ，A φ⊆； c)对每个集A ，{}A A ∈； d)对每个集A ，A A ∈； e)对每个集A ，A A ⊆； f)对每个集A ，{}A A ⊆； g)对每个集A ，2A A ∈；h)对每个集A ，2A A ⊆；i)对每个集A ，{}2A A ⊆； j)对每个集A ，{}2A A ∈； k)对每个集A ，2A φ∈；l)对每个集A ，2A φ⊆；m)对每个集A ，{}A A =； n) {}φφ=；o){}φ中没有任何元素；p)若A B ⊆，则22A B ⊆q)对任何集A ，{|}A x x A =∈； r)对任何集A ，{|}{|}x x A y y A ∈=∈； s)对任何集A ，{|}y A y x x A ∈⇔∈∈； t)对任何集A ，{|}{|}x x A A A A ∈≠∈。
答案：3.设有n 个集合12,,,n A A A 且121n A A A A ⊆⊆⊆⊆，试证：12n A A A ===。
4.设{,{}}S φφ=，试求2S ？5.设S 恰有n 个元素，证明2S 有2n 个元素。
16P 习题 6.设A 、B 是集合，证明:(\)()\A B B A B B B φ=⇔=。
7.设A 、B 是集合，试证A B A B φ=⇔=∆。
9.设A ，B ，C 为集合，证明：\()(\)\A B C A B C =。
10.设A ，B ，C 为集合，证明：()\(\)(\)A B C A C B C =。
11.设A ，B ，C 为集合，证明：()\(\)(\)A B C A C B C =。
12.设A ，B ，C 都是集合，若A B A C =且A B B C =，试证B=C 。
集合论习题答案
P3 习题1.11.1.1 解：⑴{2,3,5,7,11,13,17,19}；⑵{e,v,n,i,g}；⑶{－3,2}；⑷{－1}；⑸{2,271i+-,271i--}；⑹Φ⑺共14项，前四项为极小因式：不能再分解为其它因式的因式：{①x+1，②x-1，③x2+x+1，④x2-x+1，①②x2-1，①③x3+2x2+2x+1，①④x3+1，②③x3－1，②④x3－2x2+2x－1，③④x4+x2+1，①②③x4+x3-x+1，①②④x4－x3+x－1，①③④x5+x4+x3+x2+x+1，②③④x5-x4+x3-x2+x-1)}1.1.2 解⑴{x | x∈I+ , x<80}；⑵{x | x∈I且∃n∈I使x=2n+1}；⑶{x | x∈I且∃n∈I使x=5n}；⑷{(x,y)| x,y∈R , x2+y2<1}；⑸{(ρ,θ)| ρ,θ∈R, ρ>1}；⑹{ax+b=0| a,b∈R且a≠0}。
P5 习题1.21.2.1 答：为真的有：⑵、⑷、⑻、⑽，其余为假。
1.2.2 答：为真的有：⑴、⑷，其余为假。
1.2.3 解：A=Φ，B={0}，C={…,-4,-2,0,2,4…}，D={2,4}，E={…,-4,-2,0,2,4…}，F={2,4}，G=Φ，H={…,-4,-2,0,2,4…}。
∴C=E=H，D=F，A=G。
1.2.4 答：四个全为真。
证明：⑴例A={a} , B={a,A}⑵例B={A} , C={A , B}⑶例A={Φ}⑷例A={a} , B={a,A} , ∴2B={Φ , {a} , {A} , B} ※1.2.5 解⑴幂集{Φ} ；幂集的幂集{Φ,{Φ}}⑵幂集{Φ,{Φ},{a},{Φ,a}}；幂集的幂集零元素子集{Φ,单元素子集{Φ} , {{Φ}} , {{a}} , {{Φ,a}},双元素子集{Φ,{Φ}} , {Φ,{a}} , {Φ,{Φ,a}} , {{Φ},{a}} , {{Φ},{Φ,a}} , {{a},{Φ,a}} ,三元素子集{Φ,{Φ},{a}} , {Φ,{Φ},{Φ,a}} , {Φ,{a},{Φ,a}} , {{Φ},{a},{Φ,a}}}，四元素子集{Φ,{Φ},{a},{Φ,a}} 。
哈工大集合论习题课-第三章 关系习题课(学生)
习 题 课例1设{,,}A a b c =，给出A 上的一个二元关系，使其同时不满足自反性、反自反性、对称性、反对称和传递性的二元关系，并画出R 的关系图。
解：{(,),(,),(,),(,)}R a a b c c b a c =，关系图如图所示。
例2 设X 是一个集合，X ＝n ，求：1.X 上的二元关系有多少？()22n 2. X 上的自反的二元关系有多少？ 3. X 上的反自反的二元关系有多少？解：因为把所有的反自反的二元关系的每个都加上对角线上的序对，就变成了自反的关系，因此，自反的与反自反的个数一样多。
即22nn-4. X 上的对称的二元关系有多少？2222n n n nn -++=，故共有222n n+个对称的关系。
5. X 上的反对称的二元关系有多少？22(32)n n n -∙6. X 上既是自反的也是反自反的二元关系的个数；(0)个7.X 上既不是自反的也不是反自反的二元关系有多少？2(2(22))n nn --解：解：可用容斥原理来计算设B 表示所有自反关系构成的集合，C 表示所有反自反关系构成的集合，则22nnB C -==。
而B C φ=，故B C B C =+，从而CC B C S B C S B C =-=--2222222222222(22)n n n n n n n n n n n ----=--=-=-于是，既不是自反的，也不是反自反关系共有22(22)n nn --个。
8.自反的且对称的关系有多少？[此结果与“反自反的且对称的关系有多少？”是一样多]即有222n n -（对角线上全去掉）9.自反的或对称的关系有多少？解：设B 表示自反关系的集合，C 表示对称关系的集合，则自反或对称关系的集合为：22222222n n n n nnB C B C B C +--=+-=+-。
10.X 上既是反自反的也是反对称的二元关系的个数为：223n n -；11.X 上既是对称的也是反对称的关系个数；解：X 上既是对称的也是反对称的关系X R I ⊆，故有2n 。
第三四章集合论
,(B-A)∪A=B
4、对称差(环和) (1) 定义 (2) 性质
二、练习 练习1：下面那种运算满足削去律？ A、 A∪B B、A∩B C、A-B=A-C D、
练习2：设 E={1,2,3,{1,2}}，A={1,2,3}，B={{1,2},3}，求： A∪B，A∩B，A-B，B-A，～B ，A B
不包含任何元素的集合是空集,记为∅，
4、全集
在一定范围内，如果所有集合均为某一集合的子集，则称该集合 为全集，记为E。
E={p(x) ∨ ┐P(x)}
5、平凡子集 对于任何非空集合A，至少有两个不同的子集,即A和∅ ，我们称是 非空集合A的平凡子集。 6、集合相等 (1) 外延性原理：两个集合相等当且仅当它们有相同的成员，记作
3、序偶性质
两元素可来自不同集合； 序偶中元素的位置是有序的。 4、n元序偶 三元组：<<x,y>,z>简化为：<x,y,z>； 四元组：<<x,y,z>,w>，简化为：<x,y,z,w>； n元序偶：<<x1,x2, …, xn-1>,xn>，简化为： <x1,x2, …, xn-1,xn>
二、2)
三、幂集 powerset
1、定义:以集合A的所有子集为元素构成的集合称为集合A的幂集， 记为P(A)。
例2：设A={a,b,c}, P(A)={{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}, ∅}
2、幂集的基数 设|A|=n,则|P(A)|=2n 判断：有无最大的集合？
的元素组成的集合为S,则S称为集合A和B的并集。 (2) 并运算的性质
S=A∪B={x∈A ∨ x∈B}
集合论-第三章1
例5 设 A={1,2,3}，R是A的幂集2A上的二元关系且 R={(a,b)|a∩b≠¢}，则R不满足下列哪些性质？ 为什么？[aRb a∩b≠¢] (1) 自反性 (2) 反自反性 (3) 对称性 (4) 反对称性 (5) 传递性 [不满足自反性、反自反性、反对称性、传递性] 例6 设R是复数集合C上的一个二元关系且满足
1.4 关系图 设A，B为有限集合，R是A到B的一个二元关系。 首先在平面上用n个小圆点代表A中的n个元素， 并在这些点的旁边标上a1,a2,…,an；然后用 另外m个小圆点代表B中的m个元素，并在这些 点旁边标上b1,b2,…,bm。于是有： 若(ai,bj)∈R,则在顶点ai做一条带箭头的线 指向bj； 若(ai,bj)∉R，则在ai与bj之间没有线联结。 用这种方法构造的图形称为A到B的关系R 的关系图，或关系图。
有R:A×B→{0,1}，于是R是A×B子集的特征函数。 Ch(A×B)2A×B⇒R就是A×B的子集。 定义2 设A，B是两个集合，A×B的任意子集R称为从A 到B的一个二元关系。 若A＝B，则称R为A上的二元关系。 说明： (1) 由定义2可知,A×B的任一子集R都称为A到B的二 元关系。 (2) Φ、A×B⊆A×B，称A×B为A到B的全关系，空集 φ为A到B的空关系。 恒等关系是一个重要关系。 定义3 集合{(a,a)|a∈A}称为A上的恒等关系，或相 等关系。记为IA，即IA={(a,a)|a∈A}。
xRyx-y=a+bi，a,b为非负整数，试确定R的性质。
若a=b=0时，R=I,满足自反性、反对称性、传递性
若a、b不全为零0时，满足反自反性、反对称性
§3 关系的合成
二元关系是集合的笛卡儿乘积的子集，因此，关 系就有集合的运算：∪、∩、\、△、C、×和逆运算。 但关系又是映射概念推广，所以还应该有合成运算。 3.1定义 定义1 设R是A到B，S是B到C的二元关系。若存在一个 从A到C的二元关系，记为R·S，并且 R· S={(a,c)|(a,c)∈A×C且b∈B，使得 (a,b)∈R且(b,c)∈S}。 则称R· S是R与S的合成。 3.2性质 定理1设R1，R2，R3分别是从A到B，B到C，C到D的二元 关系，则 R1· 2· 3)=(R1· 2)· 3 。 (R R R R
集合论-第三章2
M＞
三、关系矩阵包含关系的信息 设MR是关系R的关系矩阵，则 (1) R是自反的⇔MR的对称线上的元素全为1。 (2) R是反自反的⇔MR对称线上的元素全为0。 (3) R是对称的⇔MR是对称的。 (4) R是反对称的⇔若i≠j,则rij与rji不能同时为1。 [或rij+rji≢1] (5) R是传递的⇔若rij＝1且rjk＝1，则rik＝1。 〔或MR· R≢MR，即R· M R⊆R〕 (6) R-1的关系矩阵为MRT。
tij (ri1 s1 j ) (ri 2 s2 j ) (rip s pj ) (rik skj ), i 1, 2, n“·”运算是先取最小，再取最大]
二、求R∪S，R∩S，R·S关系矩阵 (1)MR∪S= MR∨MS； (2)MR∩S= MR∧MS； (3)MR·S= MR·MS。
6.3 等价类 一、定义 定义2 设R是非空集合A上的一个等价关系，x∈X， 令[x]R={y|y∈X且(x,y)∈R } 则称集合[x]R为x关于R的等价类，简称x的等价类，简 记为[x]。 例：在上例中的等价关系R的三个不同等价类为：
[1]R {1, 4, 7} [4]R [7]R [2]R {2, 5,8} [5]R [8]R [3]R {3, 6} [6]R
二、说明： (1)集合A的商集就是集合A的一个划分，但划分不一定 是商集； (2)当划分块的块数有限时，将划分∏写成： ∏={∏1 ,∏2,„, ∏n}，n为块数。 显然，对于有限集合来说，它的划分块数一定是 有限的。 (3)但对无限集合划分块数不一定有限。 例：1.给定整数集合I的一个划分： ∏1={E,O},其中E是偶数集，O是奇数集; I的另外划分: ∏2={I+,I-,{0}}; ∏3={„,{-2},{-1},{0},{1},{2},„} 等等。
集合论作业
§3 关系的特性
1. 设 A＝{1, 2, 3}, 定义 A 上的二元关系如下: R＝{1, 1, 2, 2}, S＝{1, 1, 1, 2, 2, 1}, T＝{1, 2, 1, 3}, U＝{1, 3, 1, 2, 2, 1}.
试说明 R, S, T, U 是否是 A 上的对称关系和反对称关系.
2. 在 R2 平面上画出下述关系的关系图, 判断每一关系成立哪些性质. (1) R1＝{x, y | x＝y}. (2) R3＝{x, y | | x |≤1 且| y |≥1}.
3. 设 A＝{1, 2, 3, 4}, 确定下列关系是否是自反的, 反自反的, 对称的, 反对称的或 传递的.
.
5
单元测试题（一）
一、单项选择题
1. 若集合 A＝{a, b, c}, 为空集合, 则下列表示正确的是( )
(A) {a}A
(B) {a}A
2. 对任意集合 S, S∪＝S, 满足(
(C) aA )
(D) A
(A) 幂等律
(B) 零一律
(C) 同一律
(D) 互补律
3. 设 S1＝, S2＝{}, S3＝P({}), S4＝P(), 以下命题为假的是( )
3. 找出由关系图所确定的关系并且给出它的关系矩阵.
f d e
b
c
a
7
§2 关系的运算
1. 设 A＝{1, 2, 3, 4}, R＝{1, 2, 2, 4, 3, 4, 4, 4}, S＝{1, 3, 2, 4, 4, 2, 4, 3}. (1) 求出 R∪S, R∩S, R－S, R1. (2) 求出 dom (R), ran (R), dom (R∩S), ran (R∩S).
武汉大学离散数学第3章 集合
l)若AB, 那么, A∩B=A ∵AB,又AA,根据（h）A∩AA∩B，即A A∩B，另一
方面，A∩BA ∴A=A∩B
推论: a)A∪U=U b)A∩U=A
3.2.2 补运算
1.补运算定义 设U是全集，A的补集为 A~=U-A={xxU∧xA}={xxA}
U
2.补运算性质 定理1：a)A∪A~=U
b)A∩A~=
A A~
证：a)xA∪A~xA∨xATxU ∴A∪A~=U
b)xA∩A~xA∧xAFx ∴A∩A~=
举例
1)若全集为{1,2,3,4,5,6,7,8} 而A={1,2,3,4} 则A~ = {5,6,7,8}
注意：属于关系和包含关系都可以是两个集合之间的 关系，对于某些集合可以同时成立这两种关系。
例如A＝{a，{a}}和{a}，既有{a}∈A，又有{a} A。 前者把它们看成是不同层次上的两个集合，后者把它 们看成是同一层次上的两个集合，都是正确的。
3.1.5 全集
讨论的某个具体问题中，所涉及的集合都是某个集合的 子集，此集合称为全集U。
∵x(xxA)永真，∴A。 定理5：空集是唯一的。
证：设有两个空集，，’， 则’，’， ∴=’。
注：与{}不同，前者没有元素，后者是以空集为一个元素 的集合。
3.1.7 幂集
定义:设A是一个集合,A的所有子集的集合,称为A的幂集, 并记为ρ (A)或2A
例1：试求出集合{p,q}的幂集。 解：，{p},{q},{p,q}是{p,q}的子集 ∴ ρ ({p,q})={,{p},{q},{p,q}}是{p,q}的幂集。
(3)称元素可以出现多次的集合为多重集,称某元素出现 的次数为该元素的重复数。 {a,b,a,c,a,b}
集合论-第三四章习题
例7 是否存在一个偏序关系≤，使得(X,≤)中有唯一 的极大元素，但没有最大元素？若有请给出一个具体 例子；若没有，请证明之。 例8 设R是X上的偏序关系，证明：
R是X上的全序关系X×X=R∪R-1。
例9设(A,≤)是偏序集,a∈A,f(a)={x|x∈A,x≤a},
证明：f:A→2A是一个单射，且当a≤b时，有
二、性质 定理1 设A,B,C是三个任意的集合，则 (1)若A⊆B，则|A|≤|B| ； (2)若|A|≤|B|，|B|≤|C|，则|A|≤|C| ； 推论：设A是无穷集合，则|N|≤|A|。 前面介绍了要证明两个集合基数相等必须在两个集 合之间建立起一个一一对应，但这往往是比较困难的。 下面介绍证明两个集合基数相等的一个比较简单的方 法，表示成下面的两个定理形式，这两个定理的证明 是冗长和复杂的，故略去。 定理2 (Zermelo)设A,B是两个任意集合，则|A|=|B|, |A|>|B|, |A|<|B|,三者中恰有一个成立。 这种性质称为三歧性，故这个定理称为三歧性定理。
习题课（2）
例1 设R是A上的二元关系，下面的结论是否正确？并 证明你的结论. （1）R是自反的，则R· R也是自反的 （2）R是对称的，则R· R也是对称的。 （3）R是反自反和传递的，则R是反对称的。 （正确\正确\正确） 例2 设R是集合A上的反对称关系，则t(R)一定是反对 称的吗？ 例3 是否可以定义二元关系的反自反闭包与二元关系 的反对称闭包？为什么？ 例4 是否存在X(|X|=n)上的一个二元关系R，使得 R1,R2,…,Rn两两不相等。 例5 证明：如果R是对称的，则R＋也是对称的。
例3 设集合A={a,b,c,d,e}上关系R定义如下： R={(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,b),(b,c),(b,e), (c,c),(c,e),(d,d),(d,e),(e,e)}。 1.写出R的关系矩阵； 2.验证(A,R)是偏序集; 3.画出Hasse图; 4.若A上的关系如下： R={(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,b),(b,c),(b,e), (c,c), (c,d),(c,e),(d,d),(d,e),(e,e)}，则有如何？ 例4 证明：每个由n2+1个实数组成的数列中必有一个 长至少为n+1的不减子序列，或有一个长至少为n+1 的不增子序列。
离散数学集合论哈工大答案
反之， x X ( Z \ Y ) ，则 x X 或 x Z \ Y 。 若 x X ，则由 X Y Z 有 x Y , x Z ，故 x Y \ X ，因此 x Z \ (Y \ X ) 。 若 x Z \ Y ，则 x Z 但 x Y ，故 x Y \ X ，因此 x Z \ (Y \ X ) 。从而
1
解： 2S { ,{ },{{ }},{ ,{ }}} 7.设 S 恰有 n 个元素，证明 2S 有 2n 个元素。 证明： （1）当 n＝0 时， S , 2 S { }, 2S 1 20 ，命题成立。 （2）假设当 n k ( k 0, k N ) 时命题成立，即 2 S 2k （ S k 时） 。那么对 于 S1 （ S1 k 1 ） ， 2S1 中的元素可分为两类，一类为不包含 S1 中某一元素 x 的 集合，另一类为包含 x 的集合。显然，这两类元素个数均为 2k 。因而 2 S1 2k 1 ， 亦即命题在 n k 1 时也成立。 由（1） 、 （2） ，可证得命题在 n N 时均成立。
S T ( S T ) ( S T ) 。
反之，因为 ( S T ) ( S T ) ，故
教材习题解答
第一章 集合及其运算
P8 习题 3. 写出方程 x 2 2 x 1 0 的根所构成的集合。 解： x 2 2 x 1 0 的根为 x 1 ，故所求集合为 {1} 4.下列命题中哪些是真的，哪些为假 a)对每个集 A， A ；b)对每个集 A， A ； c)对每个集 A， A { A} ；d)对每个集 A， A A ； e)对每个集 A， A A ；f)对每个集 A， A { A} ； g)对每个集 A， A 2 A ；h)对每个集 A， A 2 A ； i)对每个集 A， { A} 2 A ；j)对每个集 A， { A} 2 A ； k)对每个集 A， 2 A ；l)对每个集 A， 2 A ； m)对每个集 A， A { A} ；n) { } ； o) {} 中没有任何元素；p)若 A B ，则 2 A 2 B q)对任何集 A， A {x | x A} ；r)对任何集 A， {x | x A} { y | y A} ； s)对任何集 A，y A y {x | x A} ； t)对任何集 A， {x | x A} { A | A A} ； 答案：假真真假真假真假真假真真假假假真真真真真 5.设有 n 个集合 A1 , A2 , , An 且 A1 A2 An A1 ，试证： A1 A2 An 证明：由 A1 A2 A4 An A1 ，可得 A1 A2 且 A2 A1 ，故 A1 A2 。 同理可得： A1 A3 A4 An 因此 A1 A2 A3 An 6.设 S { ,{ }} ，试求 2S ？
第三章 集合与关系
四、集合与集合 1． 集合与集合之间的关系：, =, ⊈, , , A B x (xAxB) A=BABBA ABABAB A ⊈ B x (xAxB) 思考： 和 的定义 2．注意和是不同层次的问题
五、空集和全集 1．空集 ：不含有任何元素的集合 实例： {x|xRx2+1=0} 定理 6.1 空集是任何集合的子集。 证 对于任意集合 A， A x (xxA) T (恒真命题) 推论 是惟一的 2．全集 E：包含了所有集合的集合 全集具有相对性：与问题有关，不存在绝对的全集 六、幂集 1．定义：P(A)={x | xA} 2．实例： P()={}, P({})={,{}} 3．计数：如果|A|=n，则|P(A)|=2n.
第三章 集合与关系 3-1~3-3
主要内容 集合的基本概念----属于、包含、幂集、空集、 文氏图等 集合的基本运算----并、交、补、差等 集合恒等式----集合运算的算律、 恒等式的证明 方法 与后续内容的关系 是集合论后续内容的基础 是典型的布尔代数系统
第一节 集合的基本概念
一、集合的定义 集合没有精确的数学定义 直观理解： 由离散个体构成的整体称为集合， 称这些个体为集合的元素 常见的数集：N, Z, Q, R, C 等分别表示自然数、整数、有理数、实数、 复数集合 二、集合的表示法 1．枚举法----通过列出全体元素来表示集合 2．谓词法----通过谓词概括集合元素的性质 实例： 枚举法 自然数集合 N={0,1,2,3,…} 谓词法 S={x| x 是实数，x21=0}
3．广义运算的性质 （1）=，无意义 （2）单元集{x}的广义并和广义交都等于 x （2）广义运算减少集合的层次（括弧减少一层） （3）广义运算的计算：一般情况下可以转变成初级运算 {A1,A2,…,An}=A1A2…An {A1,A2,…,An}=A1A2…An 4．引入广义运算的意义 可以表示无数个集合的并、交运算，例如 {{x}|xR}=R 这里的 R 代表实数集合.
集合论-第三章习题
2
3
2
3
例4 设R1,R2是A上的等价关系,则R1∪R2也是A上的等价 关系吗？
例5 设R是A上的对称和传递的关系。若对A中每个a， 存在b∈A,使得(a,b)∈R，证明：R是A上的等价关系。 例6 设R是集合A上的一个自反的和传递的关系； T是A上的一个关系，使得(a,b)∈T(a,b)∈R且 (b,a)∈R。证明：T是A上的等价关系。 例7 设R是A上的二元关系，S={(a,b)|c∈A,使得 (a,c)∈R且(c,b)∈R}。证明：若R是等价关系，则S 也是等价关系。 说明：本题可以证明R＝S。 例8 设{A1,A2,…,An}是集合A的划分，若Ai∩B≠φ，
例1 R是整数集I上的关系，mRn定义为m2＝n2，则 (1) 证明：R是等价关系；(2) 确定R的等价类。 例2设R是A上的一个自反关系，证明： R是等价关系若(a,b)∈R且(a,c)∈R,则(b,c)∈R 。 例3 设A={1,2,3}，A上的两个关系如图所示，则它们是 否是等价关系？
1 1
例5设(A,≤)是偏序集,a∈A,f(a)={x|x∈A,x≤a}, 证明：f:A→2A是一个单射，且当a≤b时，有 f(a) f(b)。 例6 是否存在一个偏序关系≤，使得(X,≤)中有唯 一的极大元素，但没有最大元素？若有请给出一个 具体例子；若没有，请证明之。
例7 设R是X上的偏序关系，证明：
习题课（二）
例1 设R是A上的二元关系，下面的结论是否正确？并 证明你的结论. （1）R是自反的，则R· R也是自反的 （2）R是对称的，则R· R也是对称的。 （3）R是反自反和传递的，则R是反对称的。 （正确\正确\正确） 例2 设R是集合A上的反对称关系，则t(R)一定是反对 称的吗？ 例3 是否可以定义二元关系的反自反闭包与二元关系 的反对称闭包？为什么？ 例4 是否存在X(|X|=n)上的一个二元关系R，使得 R1,R2,…,Rn两两不相等。 例5 证明：如果R是对称的，则R＋也是对称的。
第3章 集合与关系习题答案7.19
习题 31．集合A={1,{2},3,4},B={a,b,{c}},判定下列各题的正确与错误：(1){1}∈A ； (2){c}∈B ； (3) {1，{2}，4}⊆A ；(4){a ，b ，c}⊆B ； (5){2}⊆A ； (6){c}⊆B ； (7)φA ⊂； (8)φ⊆{{2}}⊆A ；(9){φ}⊆B ； (10)φ∈{{2}，3}.解：(1)不正确。
因为{1}是集合，集合与集合之间一般不能有属于关系。
(2)正确。
虽然{c}是集合，但是它又是B 中的元素。
(3)正确。
虽然{1，{2}，4}是A 的真子集，但是同时满足子集定义，故可以这样表示。
(4)不正确。
因为c ∉B 。
(5)不正确。
虽然{2}是一个集合，但是它只是A 中的一个元素，不能有包含关系。
(6)不正确。
理由同(5)。
(7)正确，符合定义。
(8)正确，都符合定义。
(9)不正确，因为B 中本没有元素φ。
(10)不正确。
φ不是{{2}，3}是中的元素，不能有属于关系，若写成φ⊆{{2}，3}则可以。
2．求下列集合的幂集：(1) {a ，{b}}； (2) {1，φ}； (3){X ，Y ，Z}解：(1) 设A={a ，{b}}，则P(A)={ φ，{a}，{{b}}，{a ，{b}}}； (2)设B={1，φ}，则P(B)= { φ，{1}，{φ}，{1，φ}}；(3)设C={X ，Y ，Z}，则P(C)= { φ，{X}，{Y}，{Z}，{X ，Y }，{X ，Z }，{ Y ， Z }，{X ，Y ，Z}}；3．证明：对任意集合A ，B 都有P(A)∩P(B)＝P(A ∩B)，P(A)∪P(B)⊆P(A ∪B)，并举例说明，一般P(A)∪P(B)≠P(A ∪B)。
证明：对任意的集合C ，若C ∈P(A)∩P(B)⇔C ∈P(A)∧C ∈P(B)⇔C ⊆A ∧C ⊆B ⇔C ⊆A ∩B 所以P(A)∩P(B)＝P(A ∩B)成立。
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关系,令(x1,y1)R3(x2,y2)(x1,x2)∈R1且(y1,y2)∈R2，
证明：R3是A×B上的等价关系。
例12设X={1,2,…,n}, S=X×X。R是S上的如下的关系：
1
1
2
3
2
3
例4 设R1,R2是A上的等价关系,则R1∪R2也是A上的等价 关系吗？
例5 设R是A上的对称和传递的关系。若对A中每个a， 存在b∈A,使得(a,b)∈R，证明：R是A上的等价关系。 例6 设R是集合A上的一个自反的和传递的关系；
T是A上的一个关系，使得(a,b)∈T(a,b)∈R且 (b,a)∈R。证明：T是A上的等价关系。 例7 设R是A上的二元关系，S={(a,b)|c∈A,使得 (a,c)∈R且(c,b)∈R}。证明：若R是等价关系，则S
第二节 习题课（一）
例1 设X＝{a,b,c}，给出X上的一个二元关系，使其同 时不满足自反性、反自反性、对称性、反对称和传递性 的二元关系，并画出R的关系图。 例2 设A是集合，R，S ⊆ X×X 且R，S都是传递的， 则 (1) R∪S是否传递的？(2)R∪S是否是不传递的？
(1)不一定是传递的。 (2)不一定不是传递的（有可能传递）]
习题课（四）
例1 R是整数集I上的关系，mRn定义为m2＝n2，则 (1) 证明：R是等价关系；(2) 确定R的等价类。
例2设R是A上的一个自反关系，证明： R是等价关系若(a,b)∈R且(a,c)∈R,则(b,c)∈R 。
例3 设A={1,2,3}，A上的两个关系如图所示，则它们是 否是等价关系？
(I,j),(k,l)∈S，(I,j)R(k,l)i+j=k+l。证明：
（1）R是等价关系；（2）求等价类个数。
例13 设f :XY，定义X上的等价关系R如下：
x1,x2∈X, x1Rx2 f(x1)=f(x2)，求R等价类。 例14 设X={1,2,3},Y={1,2},S={f | f:X→Y}。≌是S 上的二元关系：f,g∈S，f≌g Im(f)=Im(g)。证明 （1）≌是S上的等价关系;（2）求等价类的集合。
例2 在A＝{1,2,3,4,6,8,12,24}和B＝
{2,3,4,8,9,10,11}上定义的整除关系“|”，画出
Hasse图，指出最大(小)元，极大(小)元。
解：如图(a)所示
24
8
最大元：24 最小元：1 8 极大元：24 极小元：1 4
12
6
10
4
9
如图(b)所示
2
3
2
3 11
最大元:无 极大元:8,9,10,11 1 (a)
例4 是否存在X(|X|=n)上的一个二元关系R，使得 R1,R2,…,Rn两两不相等。
例5 证明：如果R是对称的，则R＋也是对称的。
习题课（三）
例1在集合A={1,2,3}上求出尽可能多的等价关系。 推广：A={1,2,3,4},|R|=15个；
A={1,2,3,4,5},|R|=52个。 例2给定集合 A={1,2,3,4,5}，找出A上的等价关系，此 关系R能产生划分{1,2}，{3}，{4,5}，并画出关系图。
习题课（二）
例1 设R是A上的二元关系，下面的结论是否正确？并 证明你的结论. （1）R是自反的，则R·R也是自反的 （2）R是对称的，则R·R也是对称的。 （3）R是反自反和传递的，则R是反对称的。
（正确\正确\正确） 例2 设R是集合A上的反对称关系，则t(R)一定是反对 称的吗？
例3 是否可以定义二元关系的反自反闭包与二元关系 的反对称闭包？为什么？
例15 P113 (2)
例16 P113 (3)
例17 设N是自然数，定义N上的关系R如下：
R={(x,y)|x∈N，y∈N，x+y是偶数}，则
（1）证明：R是一个等价关系；
（2）求关系R的等价类。
Байду номын сангаас 例题（五）
例1 非空集合A上存在二元关系R，使得R既是A上的等
价关系又是A上的偏序关系吗？
解：存在,A上的恒等关系就满足。
例5 设 A={1,2,3}，R是A的幂集2A上的二元关系且 R={(a,b)|a∩b≠¢}，则R不满足下列哪些性质？ 为什么？
(1) 自反性 (2) 反自反性 (3) 对称性 (4) 反对称性 (5) 传递性
[aRb a∩b≠¢]
例6 设R是复数集合C上的一个二元关系且满足
xRyx-y=a+bi，a,b为非负整数，试确定R的性质。
也是等价关系。 说明：本题可以证明R＝S。
例8 设{A1,A2,…,An}是集合A的划分，若Ai∩B≠φ，
1≤i≤n，证明：{A1∩B,A2∩B,…,An∩B}是集合A∩B
的划分。
例9设S={1,2,3,4},并设A＝S×S,在A上定义关系R为: (a,b)R(c,d)a+b=c+d。
证明:(1) R是A上的等价关系；(2) 计算A/R。 例10 设A={1,2,3,4}×{1,2,3,4}，A上的二元关系R定 义为：(x,y)R(u,v)|x-y|=|u-v|，证明：
总结
二元关系
二元运算
aRb
a·b
{是，否}
结果是对象
X,Y=>映射、运算、关系—数学模型
概念：二元关系、性质，合成，闭包R+,R*，等价关系、 等价类、集合的划分，偏序关系、全序关系。
(b)
最小元:无 极小元:2,3,11
(元素11既是极大元又是极小元)
例3 设集合A={a,b,c,d,e}上关系R定义如下：
R={(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,b),(b,c),(b,e), (c,c),(c,e),(d,d),(d,e),(e,e)}。
1.写出R的关系矩阵； 2.验证(A,R)是偏序集; 3.画出Hasse图; 4.若A上的关系如下：
R={(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,b),(b,c),(b,e), (c,c), (c,d),(c,e),(d,d),(d,e),(e,e)}，则有如何？
例4 证明：每个由n2+1个实数组成的数列中必有一个 长至少为n+1的不减子序列，或有一个长至少为n+1 的不增子序列。
例5设(A,≤)是偏序集,a∈A,f(a)={x|x∈A,x≤a}, 证明：f:A→2A是一个单射，且当a≤b时，有
f(a) f(b)。
例6 是否存在一个偏序关系≤，使得(X,≤)中有唯 一的极大元素，但没有最大元素？若有请给出一个 具体例子；若没有，请证明之。
例7 设R是X上的偏序关系，证明： R是X上的全序关系X×X=R∪R-1。
例3 设有集合X，|X|=3，求X上具有反自反且反对称性 的二元关系的数目，并写出计算过程。
[若|X|=n，结果又如何？]
例4 设X是一个集合，|X|＝n，求： (1) X上的二元关系有多少？ (2) X上的自反的二元关系有多少？ (3) X上的反自反的二元关系有多少？ (4) X上的对称的二元关系有多少？ (5) X上的反对称的二元关系有多少？ (6) X上既是自反的也是反自反的关系有多少？(0) (7) X上既不是自反的也不是反自反的关系有多少？ (8) X上自反的且对称的关系有多少？ [ “反自反的且对称的关系有多少？”是一样多] (9) X上自反的或对称的关系有多少？ (10) X上既是反自反的也是反对称的关系有多少？ (11) X上既是对称的也是反对称的关系有多少？ (12) X上既不是对称的也不是反对称的关系有多少？