附录 截面的几何性质(材料力学)PPT课件

材料力学Ⅰ电子教案
材料力学
附录Ⅰ 截面的几何性质
2020年12月3日
材料力学Ⅰ电子教案
附录Ⅰ 截面的几何性质 §Ⅰ-1 静距和形心 §Ⅰ-2 惯性矩和惯性半径 §Ⅰ-3 惯性积 §Ⅰ-4 平行移轴公式 §Ⅰ-5 转轴公式和主惯性轴
2
材料力学Ⅰ电子教案
受力杆件的应力与应变，不仅与外力相关，而且与 截面的几何性质也相关。
50 10
A1
z
60
A2
10
y
yc
yc1
A1 yc2 A1 A2
A2
12
材料力学Ⅰ电子教案
例 半径为r的半圆：求半圆的形心。 解 在距 z 轴任意高度 y 处取狭长条 作为微面积，即
dA2 r2y2dy
r
y
A
ydA A
0
y2
r2
r2
y2dy
4r
3
2
材料力学Ⅰ电子教案
§Ⅰ.2 惯性矩、极惯性矩、惯性积
SzAydAAydA1AydA2AydAn
1
1
y1A1y2A2ynAn yi Ai
n
Ai zi z i1n
Ai
i1
n
Ai yi y i1 n
Ai
i1
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材料力学Ⅰ电子教案
例 试计算图示三角形截面对于与其底边重合的x轴的静矩。 y
解： 取平行于x轴的狭长条，
dy
b(y)b(hy)
h
b(y )
x
80
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所以
x A1x1 A2x2 A1 A2
37500 20 m m 1900
y A1 y1 A2 y2 A1 A2
75500 40 m m 1900
y 10
1 x1
C(y, x)
y1
2 y2
10
o x2
x
80
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思考： 求下图所示截面的形心位置
x
I p A 2 d A A x 2 y 2 d A A x 2 d A A y 2 d A I y I x
即截面图形对任意一对正交坐标轴的惯性矩之和，等 于它对该两轴交点的极惯性矩。
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z
y
dA
y' A
z'
z
o
且
2 z2y2
IP
2dA
A
(z2y2)dA A
拉压变形： 扭转变形：
F l Fl
Leabharlann Baidu
A
EA
T
IP
maxW TP
Tl
GIP
弯曲变形：
My
Iz
max
M Wz
A, IP, WP, Iz, Wz——表征截面几何性质的量
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材料力学Ⅰ电子教案
Ⅰ-1 静距和形心
一、静矩（或一次矩） z
对单位厚度的均质薄
板，其形心坐标为：
y
xAxdA, yAydA
A
A
A
y
定义为截面图形对于z轴和y 轴
的惯性积。
o
Z
① 惯性积的数值可能为正，可能为负，也可能为零， 常用单位为m4 。
② 若y , z 两坐标轴中有一个为截面的对称轴,则截面对
y , z轴的惯性积一定等于零。
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Ⅰ-4 平行移轴公式
一、平行移轴公式
z
zC
C点为截面图形的形心，
y
dA
yC轴和zC轴为一对通过形心 的形心轴,图形对形心轴的惯性
Sy xA
Sx y A
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结论：
z
静矩的值与所选的坐标有
关,可正、可负，也可为零。
C
y
A
结论 ： 截面图形对通过其形心的轴的静矩为零；
反之，若截面图形对某一轴的静矩为零，则该轴必为形心轴。
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三、组合图形的静矩与形心
由静矩的定义知：整个截面对某轴的静矩应等于它的 各组成部分对同一轴的静矩的代数和:
h
y
dA b(hy)dy h
O
b
x
所以对x 轴的静矩为
SxAydA0 hb h(hy)ydyb62h
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例 试确定图示截面心 C 的位置。
解：将截面分为 1，2 两个矩形。
y 10
取 x 轴和 y 轴分别与截面 的底边和左边缘重合
n
x
Ai xi
i1 n
Ai
A1x1 A1
A2x2 A2
一、惯性矩
y
定义：面积与它到轴的距离的
平方之积
x
dA
I x
A
y
2d
A
I y A x 2 d A
y x
分别称为截面图形对于z轴和y 轴的惯性矩。
惯性矩的数值恒为正，常用单位为m4 。
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二、极惯性矩
y
Ip
2dA
A
x 称为截面图形对O点的极惯性矩。
dA
2 x2 y2
y
1 2 Ip
d4 64
y
d
x
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常见截面的惯性矩和惯性半径
z h
b
矩形
bh3 Iz 12
h iz 2 3
22
dz
Dd
z
圆形
d 4 Iz 64
d iz 4
圆环
Iz
64
(D4
d4)
D2 d2
iz
4
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§Ⅰ.3 惯性积
y
Ixy
xydA
A
ZZ
dA dA y
定义： S x ydA
A
Sy xdA
o
A
分别称为截面图形对于z轴和y 轴的静矩。
dA z y
静矩的数值可能为正，可能为负，也可能为零，单位为m3。
4
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二、形心（平面图形面积的几何中心称为形心。）
z
zdA
A
Sy
AA
y
ydA A
Sz
AA
求静矩的另一公式：
z y A
o
dA z y
IyAz2dA bb//22hz2dzh1b23
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y
若截面是高度为h的
平行四边形，则其对形心
轴x 的惯性矩同样为
h
C
x
Ix
bh 3 12
b (b)
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例5 求圆形截面的惯性矩。
已知
IP
2dA
A
d4 32
则
Iy Ix Ip
而
Iy Ix
所以
Iy Ix
i1
y A1y1A2y2 A1A2
1 x1
y1
o x2
80
y2
2 10 x
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矩形 1 A 1 1 0 12 102 m 0 2 m 0 y 10
x15mm
y160mm
1 x1
矩形 2 y1
A 2 1 0 7 0 7m 00 2m
x21072045mm
o
y2 5mm
2 y2
10
x2
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例Ⅰ-3 计算矩形截面对其对称轴y轴和z轴的惯性矩。
解：先计算截面对z轴的惯性矩。取 平行于z轴的狭长条为微面积，即:
dAbdy
Iz
y2dAh/2by2dybh3
A
h/2
12
h
y z dz
dy
y
C
z
同理，计算对y轴的惯性矩。取
平行于z轴的狭长条为微面积，即:
b
dAhdz
Iy Iz
Iy Iz
y
即：对O点极惯矩等于对过O点同一平面内任意一对 相互垂直轴的惯矩之和。
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所以 I P 只与原点O有关，即
Iy Iz const
Iz 0,Iy 0 Ip恒0
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三、惯性半径
Ix
A
i
2 x
Iy
A
i
2 y
ix
Ix A
iy
Iy A
ix 和iy分别称为截面图形对于x轴和 y轴的惯性半径， 单位为m。