2020湖南常德中考数学试题及答案
2020年湖南省常德市中考数学试卷(附详解)
一、选择题（本大题 8 个小题，每小题 3 分，满分 24 分） 1．（3 分）（2020•常德）4 的倒数为（ ）
A．
B．2
C．1
D．﹣4
2．（3 分）（2020•常德）下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（3 分）（2020•常德）如图，已知 AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE 的度数为
解决问题：求方程 x3﹣5x+2＝0 的解为
．
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三、（本大题 2 个小题，每小题 5 分，满分 10 分） 17．（5 分）（2020•常德）计算：20+（ ）﹣1• 4tan45°．
18．（5 分）（2020•常德）解不等式组
＜①
． ②
四、（本大题 2 个小题，每小题 6 分，满分 12 分）
次．
15．（3 分）（2020•常德）如图 1，已知四边形 ABCD 是正方形，将△DAE，△DCF 分别沿
DE，DF 向内折叠得到图 2，此时 DA 与 DC 重合（A、C 都落在 G 点），若 GF＝4，EG
＝6，则 DG 的长为
．
16．（3 分）（2020•常德）阅读理解：对于 x3﹣（n2+1）x+n 这类特殊的代数式可以按下面的
且△AOB 的面积为 6，则 k＝
．
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13．（3 分）（2020•常德）4 月 23 日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随 机收集了 30 名学生每周课外阅读的时间，统计如下：
阅读时间（x 小时）
x≤3.5
2020年湖南省常德市中考数学试题(含答案)
2020年湖南省常德市中考数学试卷一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）4的倒数为（）A．B．2C．1D．﹣4 2．（3分）下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是（）A．B．C．D．3．（3分）如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（）A．70°B．65°C．35°D．5°4．（3分）下列计算正确的是（）A．a2+b2＝（a+b）2B．a2+a4＝a6C．a10÷a5＝a2D．a2•a3＝a55．（3分）下列说法正确的是（）A．明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上C．了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式D．一组数据的众数一定只有一个6．（3分）一个圆锥的底面半径r＝10，高h＝20，则这个圆锥的侧面积是（）A．100πB．200πC．100πD．200π7．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．18．（3分）如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B 处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（）A．C、E B．E、F C．G、C、E D．E、C、F二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）9．（3分）分解因式：xy2﹣4x＝．10．（3分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．11．（3分）计算：﹣+＝．12．（3分）如图，若反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A，AB⊥x轴于B，且△AOB 的面积为6，则k＝．13．（3分）4月23日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时间，统计如下：阅读时间（x小时）x≤3.5 3.5＜x≤55＜x≤6.5x＞6.5人数12864若该校共有1200名学生，试估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为．14．（3分）今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是次．15．（3分）如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合（A、C都落在G点），若GF＝4，EG＝6，则DG的长为．16．（3分）阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为．三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）17．（5分）计算：20+（）﹣1•﹣4tan45°．18．（5分）解不等式组．四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）19．（6分）先化简，再选一个合适的数代入求值：（x+1﹣）÷．20．（6分）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G 下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21．（7分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（3，18）和B（﹣2，8）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象只有一个交点，求交点坐标．22．（7分）如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，若AC＝2米，求BC的长度．（结果保留一位小数）（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41）六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）23．（8分）今年2﹣4月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．（1）轻症患者的人数是多少？（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A、B、C、D、E 五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率．24．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB 于D，DE交BC于F，且EF＝EC．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求切线EC的长．七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）25．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线l过点A，M（，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB；（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D 的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．26．（10分）已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．2020年湖南省常德市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）4的倒数为（）A．B．2C．1D．﹣4【分析】根据倒数的意义，乘积是1的两个数叫做互为倒数，求倒数的方法，是把一个数的分子和分母互换位置即可，是带分数的化成假分数，再把分子分母互换位置，据此解答．【解答】解：4的倒数为．故选：A．【点评】本题主要考查倒数的意义．解题的关键倒数的意义，注意求倒数的方法，把分子分母互换位置．2．（3分）下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后完全可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分完全重合．3．（3分）如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（）A．70°B．65°C．35°D．5°【分析】根据平行线的性质和∠1＝30°，∠2＝35°，可以得到∠BCE的度数，本题得以解决．【解答】解：作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴AB∥DE∥DE，∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，∵∠1＝30°，∠2＝35°，∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，∴∠BCE＝65°，故选：B．【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．4．（3分）下列计算正确的是（）A．a2+b2＝（a+b）2B．a2+a4＝a6C．a10÷a5＝a2D．a2•a3＝a5【分析】根据完全平方公式、合并同类项法则、同底数幂的乘除法计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、a2+2ab+b2＝（a+b）2，原计算错误，故此选项不符合题意；B、a2与a4不是同类项不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；C、a10÷a5＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意；D、a2•a3＝a5，原计算正确，故此选项符合题意；故选：D．【点评】此题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5．（3分）下列说法正确的是（）A．明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上C．了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式D．一组数据的众数一定只有一个【分析】根据必然事件的概念、众数的定义、随机事件的概率逐项分析即可得出答案．【解答】解：A、明天的降水概率为80%，则明天下雨可能性较大，故本选项错误；B、抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面朝上的概率是，故本选项错误；C、了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式，故本选项正确；D、一组数据的众数不一定只有一个，故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查了必然事件的概念、众数的定义、求随机事件的概率，解题的关键是熟练掌握众数的定义以及求随机事件的概率．6．（3分）一个圆锥的底面半径r＝10，高h＝20，则这个圆锥的侧面积是（）A．100πB．200πC．100πD．200π【分析】先利用勾股定理计算出母线长，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．【解答】解：这个圆锥的母线长＝＝10，这个圆锥的侧面积＝×2π×10×10＝100π．故选：C．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．7．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1【分析】先由抛物线与x周董交点个数判断出结论①，利用抛物线的对称轴为x＝2，判断出结论②，先由抛物线的开口方向判断出a＜0，进而判断出b＞0，再用抛物线与y 轴的交点的位置判断出c＞0，判断出结论③，最后用x＝﹣2时，抛物线在x轴下方，判断出结论④，即可得出结论．【解答】解：由图象知，抛物线与x轴有两个交点，∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＞0，故①正确，由图象知，抛物线的对称轴直线为x＝2，∴﹣＝2，∴4a+b＝0，故③正确，由图象知，抛物线开口方向向下，∴a＜0，∵4a+b＝0，∴b＞0，而抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0，∴abc＜0，故②正确，由图象知，当x＝﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，故④错误，即正确的结论有3个，故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数图形与系数的关系，抛物线与y轴的交点，抛物线的对称轴，掌握抛物线的性质是解本题的关键．8．（3分）如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B 处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（）A．C、E B．E、F C．G、C、E D．E、C、F【分析】设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝k（k+1），然后根据题目中所给的第k次依次移动k个顶点的规则，可得到不等式最后求得解．【解答】解：经实验或按下方法可求得顶点C，E和F棋子不可能停到．设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝k（k+1），应停在第k（k+1）﹣7p 格，这时P是整数，且使0≤k（k+1）﹣7p≤6，分别取k＝1，2，3，4，5，6，7时，k（k+1）﹣7p＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，若7＜k≤2020，设k＝7+t（t＝1，2，3）代入可得，k（k+1）﹣7p＝7m+t（t+1），由此可知，停棋的情形与k＝t时相同，故第2，4，5格没有停棋，即顶点C，E和F棋子不可能停到．故选：D．【点评】本题考查规律型：图形的变化类，理解题意能力，关键是知道棋子所停的规则，找到规律，然后得到不等式求解．二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）9．（3分）分解因式：xy2﹣4x＝x（y+2）（y﹣2）．【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝x（y2﹣4）＝x（y+2）（y﹣2），故答案为：x（y+2）（y﹣2）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．10．（3分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是x＞3．【分析】根据二次根式有意义的条件可得2x﹣6＞0，再解即可．【解答】解：由题意得：2x﹣6＞0，解得：x＞3，故答案为：x＞3．【点评】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．分式分母不为零．11．（3分）计算：﹣+＝3．【分析】直接化简二次根式进而合并得出答案．【解答】解：原式＝﹣+2＝3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．12．（3分）如图，若反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A，AB⊥x轴于B，且△AOB 的面积为6，则k＝﹣12．【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义即可解决问题．【解答】解：∵AB⊥OB，＝＝6，∴S△AOB∴k＝±12，∵反比例函数的图象在二四象限，∴k＜0，∴k＝﹣12，故答案为﹣12．【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．13．（3分）4月23日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时间，统计如下：阅读时间（x小时）x≤3.5 3.5＜x≤55＜x≤6.5x＞6.5人数12864若该校共有1200名学生，试估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为400人．【分析】用总人数×每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数所占的百分比即可得到结论．【解答】解：1200×＝400（人），答：估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为400人．【点评】本题考查了频数（率）分布表，用样本估计总体，正确的理解题意是解题的关键．14．（3分）今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是4次．【分析】设李红出门没有买到口罩的次数是x，买到口罩的次数是y，根据买口罩的次数是10次和家里现有口罩35只，可列出关于x和y的二元一次方程组，求解即可．【解答】解：设李红出门没有买到口罩的次数是x，买到口罩的次数是y，由题意得：，整理得：，解得：．故答案为：4．【点评】本题考查了二元一次方程组在实际问题中的应用，本题数量关系清晰，难度不大．15．（3分）如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合（A、C都落在G点），若GF＝4，EG＝6，则DG的长为12．【分析】设正方形ABCD的边长为x，由翻折及已知线段的长，可用含x的式子分别表示出BE、BF及EF的长；在Rt△BEF中，由勾股定理得关于x的方程，解得x的值，即为DG的长．【解答】解：设正方形ABCD的边长为x，由翻折可得：DG＝DA＝DC＝x，∵GF＝4，EG＝6，∴AE＝EG＝6，CF＝GF＝4，∴BE＝x﹣6，BF＝x﹣6，EF＝6+4＝10，如图1所示：在Rt△BEF中，由勾股定理得：BE2+BF2＝EF2，∴（x﹣6）2+（x﹣4）2＝102，∴x2﹣12x+36+x2﹣8x+16＝100，∴x2﹣10x﹣24＝0，∴（x+2）（x﹣12）＝0，∴x1＝﹣2（舍），x2＝12．∴DG＝12．故答案为：12．【点评】本题主要考查了翻折变换、正方形的性质、勾股定理及解一元二次方程，数形结合并明确相关性质及定理是解题的关键．16．（3分）阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣．【分析】将原方程左边变形为x3﹣4x﹣x+2＝0，再进一步因式分解得（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，据此得到两个关于x的方程求解可得．【解答】解：∵x3﹣5x+2＝0，∴x3﹣4x﹣x+2＝0，∴x（x2﹣4）﹣（x﹣2）＝0，∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，则（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0，∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0，解得x＝2或x＝﹣1，故答案为：x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣．【点评】本题主要考查因式分解的应用，因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）17．（5分）计算：20+（）﹣1•﹣4tan45°．【分析】先计算20、、（）﹣1、tan45°，再按运算顺序求值即可．【解答】解：原式＝1+3×2﹣4×1＝1+6﹣4＝3．【点评】本题考查了零指数、负整数指数幂、特殊角的三角函数值等知识点，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式的运算及特殊角的三角函数值是解决本题的关键．18．（5分）解不等式组．【分析】首先分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律确定不等式组的解集．【解答】解：，由①得：x＜5，由②得：x≥﹣1，不等式组的解集为：﹣1≤x＜5．【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的确定方法：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）19．（6分）先化简，再选一个合适的数代入求值：（x+1﹣）÷．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：（x+1﹣）÷＝＝＝＝，当x＝2时，原式＝＝﹣．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．20．（6分）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G 下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？【分析】首先设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，根据题意可得等量关系：4G下载600兆所用时间﹣5G下载600兆所用时间＝140秒．然后根据等量关系，列出分式方程，再解即可．【解答】解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，由题意得：﹣＝140，解得：x＝4，经检验：x＝4是原分式方程的解，且符合题意，15×4＝60，答：该地4G的下载速度是每秒4兆，则该地5G的下载速度是每秒60兆．【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数列出方程．五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21．（7分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（3，18）和B（﹣2，8）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象只有一个交点，求交点坐标．【分析】（1）直接把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数y＝kx+b中可得关于k、b的方程组，再解方程组可得k、b的值，进而求出一次函数的解析式；（2）联立一次函数解析式和反比例函数解析式，根据题意得到△＝0，解方程即可得到结论．【解答】解：（1）把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数y＝kx+b（k≠0），得，解得，∴一次函数的解析式为y＝2x+12；（2）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象只有一个交点，∴只有一组解，即2x2+12x﹣m＝0有两个相等的实数根，∴△＝122﹣4×2×（﹣m）＝0，∴m＝﹣18．把m＝﹣18代入求得该方程的解为：x＝﹣3，把x＝﹣3代入y＝2x+12得：y＝6，即所求的交点坐标为（﹣3，6）．【点评】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．22．（7分）如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，若AC＝2米，求BC的长度．（结果保留一位小数）（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41）【分析】直接过点C作CF⊥AB于点F，利用锐角三角函数关系得出CF的长，进而得出BC的长．【解答】方法一：解：如图1，过点C作CF⊥AB于点F，在Rt△ACF中，∵sin∠CAB＝sin（60°+5°）＝sin65°＝，∴CF＝AC•sin65°≈2×0.91＝1.82，在Rt△BCF中，∵∠ABC＝45°，∴CF＝BF，∴BC＝CF＝1.41×1.82＝2.5662≈2.6，答：所求BC的长度约为2.6米．方法二：解：如图2，过点A作AE⊥BC于点E，在Rt△ACE中，∵∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°，∴cos C＝cos70°＝，即CE＝AC×cos70°≈2×0.34＝0.68，sin C＝sin70°＝，即AE＝AC×sin70°≈2×0.94＝1.88，又∵在Rt△AEB中，∠ABC＝45°，∴AE＝BE，∴BC＝BE+CE＝0.68+1.88＝2.56≈2.6，答：所求BC的长度约为2.6米．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）23．（8分）今年2﹣4月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．（1）轻症患者的人数是多少？（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A、B、C、D、E 五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率．【分析】（1）因为总人数已知，由轻症患者所占的百分比即可求出其的人数；（2）求出该市危重症患者所占的百分比，即可求出其共花费的钱数；（3）用加权平均数公式求出各种患者的平均费用即可；（4）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与恰好选中B、D两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）轻症患者的人数＝200×80%＝160（人）；（2）该市为治疗危重症患者共花费钱数＝200×（1﹣80%﹣15%）×10＝100（万元）；（3）所有患者的平均治疗费用＝＝2.15（万元）；（4）列表得：A B C D EA（B，A）（C，A）（D，A）（E，A）B（A，B）（C，B）（D，B）（E，B）C（A，C）（B，C）（D，C）（E，C）D（A，D）（B，D）（C，D）（E，D）E（A，E）（B，E）（C，E）（D，E）由列表格，可知：共有20种等可能的结果，恰好选中B、D两位同学的有2种情况，∴P（恰好选中B、D）＝＝．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及条形统计图的应用．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．24．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB 于D，DE交BC于F，且EF＝EC．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求切线EC的长．【分析】（1）连接OC，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得∠OCB+∠ECF＝90°，可证EC是⊙O的切线；（2）由勾股定理可求AC＝6，由锐角三角函数可求BF＝5，可求CF＝3，通过证明△OAC ∽△ECF，可得，可求解．【解答】解：（1）连接OC，∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB，∵DE⊥AB，∴∠OBC+∠DFB＝90°，∵EF＝EC，∴∠ECF＝∠EFC＝∠DFB，∴∠OCB+∠ECF＝90°，∴OC⊥CE，∴EC是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OB＝5，∴AB＝10，∴AC＝＝＝6，∵cos∠ABC＝，∴，∴BF＝5，∴CF＝BC﹣BF＝3，∵∠ABC+∠A＝90°，∠ABC+∠BFD＝90°，∴∠BFD＝∠A，∴∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，∴△OAC∽△ECF，∴，∴EC＝＝＝．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，切线的判定和性质，锐角三角函数等知识，证明△OAC∽△ECF是本题的关键．七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）25．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线l过点A，M（，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB；（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D 的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．（2）构建方程组确定点B的坐标，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．（3）如图2中，设P（t，t2），根据PD＝CD构建方程求出t即可解决问题．【解答】解：（1）把点A（﹣3，）代入y＝ax2，得到＝9a，∴a＝，∴抛物线的解析式为y＝x2．（2）设直线l的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线l的解析式为y＝﹣x+，令x＝0，得到y＝，∴C（0，），由，解得或，∴B（1，），如图1中，过点A作AA1⊥x轴于A1，过B作BB1⊥x轴于B1，则BB1∥OC∥AA1，∴＝＝＝，＝＝＝，∴＝，即MC2＝MA•MB．（3）如图2中，设P（t，t2）∵OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，∴PD∥OC，PD＝OC，∴D（t，﹣t+），∴|t2﹣（﹣t+）|＝，整理得：t2+2t﹣6＝0或t2+2t＝0，解得t＝﹣1﹣或﹣1＝或﹣2或0（舍弃），∴P（﹣1﹣，2+）或（﹣1+，2﹣）或（﹣2，1）．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．26．（10分）已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．【分析】（1）①证明△CBP是直角三角形，根据直角三角形斜边中线可得结论；②根据同位角相等可得BC∥EF，由平行线的性质得BP⊥EF，可得EF是线段BP的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠PFE＝∠BFE＝30°；（2）如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ，证明△QEP≌△DEC（SAS），则PQ＝DC＝DB，由QE＝DE，∠DEF＝90°，知EF是DQ的垂直平分线，证明△FQP ≌△FDB（SAS），再由EF是DQ的垂直平分线，可得结论．【解答】证明（1）①∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝90°﹣30°＝60°，同理∠EDF＝60°，∴∠A＝∠EDF＝60°，∴AC∥DE，∴∠DMB＝∠ACB＝90°，∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，AC∥DM，∴，即M是BC的中点，∵EP＝CE，即E是PC的中点，∴ED∥BP，∴∠CBP＝∠DMB＝90°，∴△CBP是直角三角形，∴BE＝PC＝EP；②∵∠ABC＝∠DFE＝30°，∴BC∥EF，由①知：∠CBP＝90°，∴BP⊥EF，∵EB＝EP，∴EF是线段BP的垂直平分线，∴PF＝BF，∴∠PFE＝∠BFE＝30°；（2）如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ，∵EC＝EP，∠DEC＝∠QEP，∴△QEP≌△DEC（SAS），则PQ＝DC＝DB，∵QE＝DE，∠DEF＝90°∴EF是DQ的垂直平分线，∴QF＝DF，∵CD＝AD，∴∠CDA＝∠A＝60°，∴∠CDB＝120°，∴∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP，∴△FQP≌△FDB（SAS），∴∠QFP＝∠BFD，∵EF是DQ的垂直平分线，∴∠QFE＝∠EFD＝30°，∴∠QFP+∠EFP＝30°，∴∠BFD+∠EFP＝30°．【点评】本题是三角形的综合题，考查了平行线分线段成比理、勾股定理、三角形全等的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，难度适中，属于中考常考题型．。
2020年湖南省常德市中考数学试卷解析版
2020年湖南省常德市中考数学试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.4的倒数为（）A. B. 2 C. 1 D. -42.下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是（）A. B. C. D.3.如图，已知AB∥DE，∠1=30°，∠2=35°，则∠BCE的度数为（）A. 70°B. 65°C. 35°D. 5°4.下列计算正确的是（）A. a2+b2=（a+b）2B. a2+a4=a6C. a10÷a5=a2D. a2•a3=a55.下列说法正确的是（）A. 明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨B. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上C. 了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式D. 一组数据的众数一定只有一个6.一个圆锥的底面半径r=10，高h=20，则这个圆锥的侧面积是（）A. 100πB. 200πC. 100πD. 200π7.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b2-4ac＞0；②abc＜0；③4a+b=0；④4a-2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A. 4B. 3C. 2D. 18.如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（）A. C、EB. E、FC. G、C、ED. E、C、F二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9.分解因式：xy2-4x=______．10.若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．11.计算：-+=______．12.如图，若反比例函数y=（x＜0）的图象经过点A，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积为6，则k=______．13.4月23日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时间，统计如下：阅读时间（x小时）x≤3.5 3.5＜x≤55＜x≤6.5x＞6.5人数12864若该校共有名学生，试估计全校每周课外阅读时间在小时以上的学生人数为______．14.今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是______次．15.如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合（A、C都落在G点），若GF=4，EG=6，则DG的长为______．16.阅读理解：对于x3-（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3-（n2+1）x+n=x3-n2x-x+n=x（x2-n2）-（x-n）=x（x-n）（x+n）-（x-n）=（x-n）（x2+nx-1）．理解运用：如果x3-（n2+1）x+n=0，那么（x-n）（x2+nx-1）=0，即有x-n=0或x2+nx-1=0，因此，方程x-n=0和x2+nx-1=0的所有解就是方程x3-（n2+1）x+n=0的解．解决问题：求方程x3-5x+2=0的解为______．三、计算题（本大题共3小题，共20.0分）17.计算：20+（）-1•-4tan45°．18.已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过A（3，18）和B（-2，8）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）若一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=（m≠0）的图象只有一个交点，求交点坐标．19.今年2-4月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．（1）轻症患者的人数是多少？（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A、B、C、D、E五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率．四、解答题（本大题共7小题，共52.0分）20.解不等式组．21.先化简，再选一个合适的数代入求值：（x+1-）÷．22.第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？23.如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，若AC=2米，求BC的长度．（结果保留一位小数）（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41）24.如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB于D，DE交BC于F，且EF=EC．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若BD=4，BC=8，圆的半径OB=5，求切线EC的长．25.如图，已知抛物线y=ax2过点A（-3，）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线l过点A，M（，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2=MA•MB；（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．26.已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB=90°，∠ABC=30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF=90°，∠DFE=30°，连接CE并延长CE到P，使EP=CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB=EP；②∠EFP=30°；（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP=30°．答案和解析1.【答案】A【解析】解：4的倒数为．故选：A．根据倒数的意义，乘积是1的两个数叫做互为倒数，求倒数的方法，是把一个数的分子和分母互换位置即可，是带分数的化成假分数，再把分子分母互换位置，据此解答．本题主要考查倒数的意义．解题的关键倒数的意义，注意求倒数的方法，把分子分母互换位置．2.【答案】C【解析】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；故选：C．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后完全可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分完全重合．3.【答案】B【解析】解：作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴AB∥DE∥DE，∴∠1=∠BCF，∠FCE=∠2，∵∠1=30°，∠2=35°，∴∠BCF=30°，∠FCE=35°，∴∠BCE=65°，故选：B．根据平行线的性质和∠1=30°，∠2=35°，可以得到∠BCE的度数，本题得以解决．本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．4.【答案】D【解析】解：A、a2+2ab+b2=（a+b）2，原计算错误，故此选项不符合题意；B、a2与a4不是同类项不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；C、a10÷a5=a5，原计算错误，故此选项不符合题意；D、a2•a3=a5，原计算正确，故此选项符合题意；故选：D．根据完全平方公式、合并同类项法则、同底数幂的乘除法计算得到结果，即可作出判断．此题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5.【答案】C【解析】解：A、明天的降水概率为80%，则明天下雨可能性较大，故本选项错误；B、抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面朝上的概率是，故本选项错误；C、了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式，故本选项正确；D、一组数据的众数不一定只有一个，故本选项错误；故选：C．根据必然事件的概念、众数的定义、随机事件的概率逐项分析即可得出答案．本题考查了必然事件的概念、众数的定义、求随机事件的概率，解题的关键是熟练掌握众数的定义以及求随机事件的概率．6.【答案】C【解析】解：这个圆锥的母线长==10，这个圆锥的侧面积=×2π×10×10=100π．故选：C．先利用勾股定理计算出母线长，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．7.【答案】B【解析】解：由图象知，抛物线与x轴有两个交点，∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，∴b2-4ac＞0，故①正确，由图象知，抛物线的对称轴直线为x=2，∴-=2，∴4a+b=0，故②正确，由图象知，抛物线开口方向向下，∴a＜0，∵4a+b=0，∴b＞0，而抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0，∴abc＜0，故③正确，由图象知，当x=-2时，y＜0，∴4a-2b+c＜0，故④错误，即正确的结论有3个，故选：B．先由抛物线与x周董交点个数判断出结论①，利用抛物线的对称轴为x=2，判断出结论②，先由抛物线的开口方向判断出a＜0，进而判断出b＞0，再用抛物线与y轴的交点的位置判断出c＞0，判断出结论③，最后用x=-2时，抛物线在x轴下方，判断出结论④，即可得出结论．此题主要考查了二次函数图形与系数的关系，抛物线与y轴的交点，抛物线的对称轴，掌握抛物线的性质是解本题的关键．8.【答案】D【解析】解：经实验或按下方法可求得顶点C，E和F棋子不可能停到．设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k=k（k+1），应停在第k（k+1）-7p格，这时P是整数，且使0≤k（k+1）-7p≤6，分别取k=1，2，3，4，5，6，7时，k（k+1）-7p=1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，若7＜k≤2020，设k=7+t（t=1，2，3）代入可得，k（k+1）-7p=7m+t（t+1），由此可知，停棋的情形与k=t时相同，故第2，4，5格没有停棋，即顶点C，E和F棋子不可能停到．故选：D．设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k=k（k+1），然后根据题目中所给的第k次依次移动k个顶点的规则，可得到不等式最后求得解．本题考查规律型：图形的变化类，理解题意能力，关键是知道棋子所停的规则，找到规律，然后得到不等式求解．9.【答案】x（y+2）（y-2）【解析】解：原式=x（y2-4）=x（y+2）（y-2），故答案为：x（y+2）（y-2）原式提取x，再利用平方差公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．10.【答案】x＞3【解析】解：由题意得：2x-6＞0，解得：x＞3，故答案为：x＞3．根据二次根式有意义的条件可得2x-6＞0，再解即可．此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．分式分母不为零．11.【答案】3【解析】解：原式=-+2=3．故答案为：3．直接化简二次根式进而合并得出答案．此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．12.【答案】-12【解析】解：∵AB⊥OB，∴S△AOB==6，∴k=±12，∵反比例函数的图象在二四象限，∴k＜0，∴k=-12，故答案为-12．根据反比例函数比例系数的几何意义即可解决问题．本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．13.【答案】400人【解析】解：1200×=400（人），答：估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为400人．用总人数×每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数所占的百分比即可得到结论．本题考查了频数（率）分布表，用样本估计总体，正确的理解题意是解题的关键．14.【答案】4【解析】解：设李红出门没有买到口罩的次数是x，买到口罩的次数是y，由题意得：，整理得：，解得：．故答案为：4．设李红出门没有买到口罩的次数是x，买到口罩的次数是y，根据买口罩的次数是10次和家里现有口罩35只，可列出关于x和y的二元一次方程组，求解即可．本题考查了二元一次方程组在实际问题中的应用，本题数量关系清晰，难度不大．15.【答案】12【解析】解：设正方形ABCD的边长为x，由翻折可得：DG=DA=DC=x，∵GF=4，EG=6，∴AE=EG=6，CF=GF=4，∴BE=x-6，BF=x-6，EF=6+4=10，如图1所示：在Rt△BEF中，由勾股定理得：BE2+BF2=EF2，∴（x-6）2+（x-4）2=102，∴x2-12x+36+x2-8x+16=100，∴x2-10x-24=0，∴（x+2）（x-12）=0，∴x1=-2（舍），x2=12．∴DG=12．故答案为：12．设正方形ABCD的边长为x，由翻折及已知线段的长，可用含x的式子分别表示出BE、BF及EF的长；在Rt△BEF中，由勾股定理得关于x的方程，解得x的值，即为DG的长．本题主要考查了翻折变换、正方形的性质、勾股定理及解一元二次方程，数形结合并明确相关性质及定理是解题的关键．16.【答案】x=2或x=-1+或x=-1-【解析】解：∵x3-5x+2=0，∴x3-4x-x+2=0，∴x（x2-4）-（x-2）=0，∴x（x+2）（x-2）-（x-2）=0，则（x-2）[x（x+2）-1]=0，即（x-2）（x2+2x-1）=0，∴x-2=0或x2+2x-1=0，解得x=2或x=-1，故答案为：x=2或x=-1+或x=-1-．将原方程左边变形为x3-4x-x+2=0，再进一步因式分解得（x-2）[x（x+2）-1]=0，据此得到两个关于x的方程求解可得．本题主要考查因式分解的应用，因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．17.【答案】解：原式=1+3×2-4×1=1+6-4=3．【解析】先计算20、、（）-1、tan45°，再按运算顺序求值即可．本题考查了零指数、负整数指数幂、特殊角的三角函数值等知识点，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式的运算及特殊角的三角函数值是解决本题的关键．18.【答案】解：（1）把（3，18），（-2，8）代入一次函数y=kx+b（k≠0），得，解得，∴一次函数的解析式为y=2x+12；（2）∵一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=（m≠0）的图象只有一个交点，∴只有一组解，即2x2+12x-m=0有两个相等的实数根，∴△=122-4×2×（-m）=0，∴m=-18．把m=-18代入求得该方程的解为：x=-3，把x=-3代入y=2x+12得：y=6，即所求的交点坐标为（-3，6）．【解析】（1）直接把（3，18），（-2，8）代入一次函数y=kx+b中可得关于k、b的方程组，再解方程组可得k、b的值，进而求出一次函数的解析式；（2）联立一次函数解析式和反比例函数解析式，根据题意得到△=0，解方程即可得到结论．此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．19.【答案】解：（1）轻症患者的人数=200×80%=160（人）；（2）该市为治疗危重症患者共花费钱数=200×（1-80%-15%）×10=100（万元）；（3）所有患者的平均治疗费用==2.15（万元）；4A B C D EA（B，A）（C，A）（D，A）（E，A）B（A，B）（C，B）（D，B）（E，B）C（A，C）（B，C）（D，C）（E，C）D（A，D）（B，D）（C，D）（E，D）E（A，E）（B，E）（C，E）（D，E）2种情况，∴P（恰好选中B、D）==．【解析】（1）因为总人数已知，由轻症患者所占的百分比即可求出其的人数；（2）求出该市危重症患者所占的百分比，即可求出其共花费的钱数；（3）用加权平均数公式求出各种患者的平均费用即可；（4）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与恰好选中B、D两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及条形统计图的应用．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．20.【答案】解：，由①得：x＜5，由②得：x≥-1，不等式组的解集为：-1≤x＜5．【解析】首先分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律确定不等式组的解集．此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的确定方法：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．21.【答案】解：（x+1-）÷====，当x=2时，原式==-．【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．22.【答案】解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x 兆，由题意得：-=140，解得：x=4，经检验：x=4是原分式方程的解，且符合题意，15×4=60，答：该地4G的下载速度是每秒4兆，则该地5G的下载速度是每秒60兆．【解析】首先设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，根据题意可得等量关系：4G下载600兆所用时间-5G下载600兆所用时间=140秒．然后根据等量关系，列出分式方程，再解即可．此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数列出方程．23.【答案】方法一：解：如图1，过点C作CF⊥AB于点F，在Rt△ACF中，∵sin∠CAB=sin（60°+5°）=sin65°=，∴CF=AC•sin65°≈2×0.91=1.82，在Rt△BCF中，∵∠ABC=45°，∴CF=BF，∴BC=CF=1.41×1.82=2.5662≈2.6，答：所求BC的长度约为2.6米．方法二：解：如图2，过点A作AE⊥BC于点E，在Rt△ACE中，∵∠C=180°-65°-45°=70°，∴cos C=cos70°=，即CE=AC×cos70°≈2×0.34=0.68，sin C=sin70°=，即AE=AC×sin70°≈2×0.94=1.88，又∵在Rt△AEB中，∠ABC=45°，∴AE=BE，∴BC=BE+CE=0.68+1.88=2.56≈2.6，答：所求BC的长度约为2.6米．【解析】直接过点C作CF⊥AB于点F，利用锐角三角函数关系得出CF的长，进而得出BC的长．此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．24.【答案】解：（1）连接OC，∵OC=OB，∴∠OBC=∠OCB，∵DE⊥AB，∴∠OBC+∠DFB=90°，∵EF=EC，∴∠ECF=∠EFC=∠DFB，∴∠OCB+∠ECF=90°，∴OC⊥CE，∴EC是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵OB=5，∴AB=10，∴AC===6，∵cos∠ABC=，∴，∴BF=5，∴CF=BC-BF=3，∵∠ABC+∠A=90°，∠ABC+∠BFD=90°，∴∠BFD=∠A，∴∠A=∠BFD=∠ECF=∠EFC，∵OA=OC，∴∠OCA=∠A=∠BFD=∠ECF=∠EFC，∴△OAC∽△ECF，∴，∴EC===．【解析】（1）连接OC，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得∠OCB+∠ECF=90°，可证EC是⊙O的切线；（2）由勾股定理可求AC=6，由锐角三角函数可求BF=5，可求CF=3，通过证明△OAC∽△ECF，可得，可求解．本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，切线的判定和性质，锐角三角函数等知识，证明△OAC∽△ECF是本题的关键．25.【答案】解：（1）把点A（-3，）代入y=ax2，得到=9a，∴a=，∴抛物线的解析式为y=x2．（2）设直线l的解析式为y=kx+b，则有，解得，∴直线l的解析式为y=-x+，令x=0，得到y=，∴C（0，），由，解得或，∴B（1，），如图1中，过点A作AA1⊥x轴于A1，过B作BB1⊥x轴于B1，则BB1∥OC∥AA1，∴===，===，∴=，即MC2=MA•MB．（3）如图2中，设P（t，t2）∵OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，∴PD∥OC，PD=OC，∴D（t，-t+），∴|t2-（-t+）|=，整理得：t2+2t-6=0或t2+2t=0，解得t=-1-或-1=或-2或0（舍弃），∴P（-1-，2+）或（-1+，2-）或（-2，1）．【解析】（1）利用待定系数法即可解决问题．（2）构建方程组确定点B的坐标，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．（3）如图2中，设P（t，t2），根据PD=CD构建方程求出t即可解决问题．本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．26.【答案】证明（1）①∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴∠A=90°-30°=60°，同理∠EDF=60°，∴∠A=∠EDF=60°，∴AC∥DE，∴∠DMB=∠ACB=90°，∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，AC∥DM，∴，即M是BC的中点，∵EP=CE，即E是PC的中点，∴ED∥BP，∴∠CBP=∠DMB=90°，∴△CBP是直角三角形，∴BE=PC=EP；②∵∠ABC=∠DFE=30°，∴BC∥EF，由①知：∠CBP=90°，∴BP⊥EF，∵EB=EP，∴EF是线段BP的垂直平分线，∴PF=BF，∴∠PFE=∠BFE=30°；（2）如图2，延长DE到Q，使EQ=DE，连接CD，PQ，FQ，∵EC=EP，∠DEC=∠QEP，∴△QEP≌△DEC（SAS），则PQ=DC=DB，∵QE=DE，∠DEF=90°∴EF是DQ的垂直平分线，∴QF=DF，∵CD=AD，∴∠CDA=∠A=60°，∴∠CDB=120°，∴∠FDB=120°-∠FDC=120°-（60°+∠EDC）=60°-∠EDC=60°-∠EQP=∠FQP，∴△FQP≌△FDB（SAS），∴∠QFP=∠BFD，∵EF是DQ的垂直平分线，∴∠QFE=∠EFD=30°，∴∠QFP+∠EFP=30°，∴∠BFD+∠EFP=30°．【解析】（1）①证明△CBP是直角三角形，根据直角三角形斜边中线可得结论；②根据同位角相等可得BC∥EF，由平行线的性质得BP⊥EF，可得EF是线段BP的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠PFE=∠BFE=30°；（2）如图2，延长DE到Q，使EQ=DE，连接CD，PQ，FQ，证明△QEP≌△DEC（SAS），则PQ=DC=DB，由QE=DE，∠DEF=90°，知EF是DQ的垂直平分线，证明△FQP≌△FDB （SAS），再由EF是DQ的垂直平分线，可得结论．本题是三角形的综合题，考查了平行线分线段成比理、勾股定理、三角形全等的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，难度适中，属于中考常考题型．。
2020年湖南省常德市中考数学试卷(解析版)
2020年湖南省常德市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）4的倒数为（ ）A．B．2C．1D．﹣4【分析】根据倒数的意义，乘积是1的两个数叫做互为倒数，求倒数的方法，是把一个数的分子和分母互换位置即可，是带分数的化成假分数，再把分子分母互换位置，据此解答．【解答】解：4的倒数为．故选：A．2．（3分）下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是（ ）A．B ．C ．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；故选：C．第1页（共23页）3．（3分）如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（ ）A．70°B．65°C．35°D．5°【分析】根据平行线的性质和∠1＝30°，∠2＝35°，可以得到∠BCE的度数，本题得以解决．【解答】解：作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴AB∥DE∥DE，∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，∵∠1＝30°，∠2＝35°，∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，∴∠BCE＝65°，故选：B．4．（3分）下列计算正确的是（ ）A．a2+b2＝（a+b）2B．a2+a4＝a6C．a10÷a5＝a2D．a2•a3＝a5【分析】根据完全平方公式、合并同类项法则、同底数幂的乘除法计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、a2+2ab+b2＝（a+b）2，原计算错误，故此选项不符合题意；B、a2与a4不是同类项不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；第2页（共23页）C、a10÷a5＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意；D、a2•a3＝a5，原计算正确，故此选项符合题意；故选：D．5．（3分）下列说法正确的是（ ）A．明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上C．了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式D．一组数据的众数一定只有一个【分析】根据必然事件的概念、众数的定义、随机事件的概率逐项分析即可得出答案．【解答】解：A、明天的降水概率为80%，则明天下雨可能性较大，故本选项错误；B 、抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面朝上的概率是，故本选项错误；C、了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式，故本选项正确；D、一组数据的众数不一定只有一个，故本选项错误；故选：C．6．（3分）一个圆锥的底面半径r＝10，高h＝20，则这个圆锥的侧面积是（ ）A．100πB．200πC．100πD．200π【分析】先利用勾股定理计算出母线长，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．【解答】解：这个圆锥的母线长＝＝10，这个圆锥的侧面积＝×2π×10×10＝100π．故选：C．7．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：第3页（共23页）①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（ ）A．4B．3C．2D．1【分析】先由抛物线与x周董交点个数判断出结论①，利用抛物线的对称轴为x＝2，判断出结论②，先由抛物线的开口方向判断出a＜0，进而判断出b＞0，再用抛物线与y轴的交点的位置判断出c＞0，判断出结论③，最后用x＝﹣2时，抛物线在x轴下方，判断出结论④，即可得出结论．【解答】解：由图象知，抛物线与x轴有两个交点，∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＞0，故①正确，由图象知，抛物线的对称轴直线为x＝2，∴﹣＝2，∴4a+b＝0，故②正确，由图象知，抛物线开口方向向下，∴a＜0，∵4a+b＝0，∴b＞0，而抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0，∴abc＜0，故③正确，由图象知，当x＝﹣2时，y＜0，第4页（共23页）∴4a﹣2b+c＜0，故④错误，即正确的结论有3个，故选：B．8．（3分）如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（ ）A．C、E B．E、F C．G、C、E D．E、C、F【分析】设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝k（k+1），然后根据题目中所给的第k次依次移动k个顶点的规则，可得到不等式最后求得解．【解答】解：经实验或按下方法可求得顶点C，E和F棋子不可能停到．设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k ＝k（k+1），应停在第k（k+1）﹣7p格，这时P是整数，且使0≤k（k+1）﹣7p≤6，分别取k＝1，2，3，4，5，6，7时，k（k+1）﹣7p＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，若7＜k≤2020，设k＝7+t（t＝1，2，3）代入可得，k（k+1）﹣7p＝7m +t（t+1），由此可知，停棋的情形与k＝t时相同，第5页（共23页）故第2，4，5格没有停棋，即顶点C，E和F棋子不可能停到．故选：D．二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）9．（3分）分解因式：xy2﹣4x＝ x（y+2）（y﹣2） ．【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝x（y2﹣4）＝x（y+2）（y﹣2），故答案为：x（y+2）（y﹣2）10．（3分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x＞3 ．【分析】根据二次根式有意义的条件可得2x﹣6＞0，再解即可．【解答】解：由题意得：2x﹣6＞0，解得：x＞3，故答案为：x＞3．11．（3分）计算：﹣+＝ 3 ．【分析】直接化简二次根式进而合并得出答案．【解答】解：原式＝﹣+2＝3．故答案为：3．12．（3分）如图，若反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积为6，则k＝ ﹣12 ．第6页（共23页）第7页（共23页）【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义即可解决问题．【解答】解：∵AB ⊥OB ，∴S △AOB ＝＝6，∴k ＝±12，∵反比例函数的图象在二四象限，∴k ＜0，∴k ＝﹣12，故答案为﹣12．13．（3分）4月23日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时间，统计如下：阅读时间（x 小时）x ≤3.5 3.5＜x ≤55＜x ≤6.5x ＞6.5人数12864若该校共有1200名学生，试估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为 400人 ．【分析】用总人数×每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数所占的百分比即可得到结论．【解答】解：1200×＝400（人），答：估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为400人．14．（3分）今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是 4 次．【分析】设李红出门没有买到口罩的次数是x，买到口罩的次数是y，根据买口罩的次数是10次和家里现有口罩35只，可列出关于x和y的二元一次方程组，求解即可．【解答】解：设李红出门没有买到口罩的次数是x，买到口罩的次数是y ，由题意得：，整理得：，解得：．故答案为：4．15．（3分）如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2， ．此时DA与DC重合（A、C都落在G点），若GF＝4，EG＝6，则DG的长为 12【分析】设正方形ABCD的边长为x，由翻折及已知线段的长，可用含x的式子分别表示出BE、BF及EF 的长；在Rt△BEF中，由勾股定理得关于x的方程，解得x的值，即为DG的长．【解答】解：设正方形ABCD的边长为x，由翻折可得：DG＝DA＝DC＝x，∵GF＝4，EG＝6，∴AE＝EG＝6，CF＝GF＝4，∴BE＝x﹣6，BF＝x﹣6，EF＝6+4＝10，如图1所示：第8页（共23页）第9页（共23页）在Rt △BEF 中，由勾股定理得：BE 2+BF 2＝EF 2，∴（x ﹣6）2+（x ﹣4）2＝102，∴x 2﹣12x +36+x 2﹣8x +16＝100，∴x 2﹣10x ﹣24＝0，∴（x +2）（x ﹣12）＝0，∴x 1＝﹣2（舍），x 2＝12．∴DG ＝12．故答案为：12．16．（3分）阅读理解：对于x 3﹣（n 2+1）x +n 这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x 3﹣（n 2+1）x +n ＝x 3﹣n 2x ﹣x +n ＝x （x 2﹣n 2）﹣（x ﹣n ）＝x （x ﹣n ）（x +n ）﹣（x ﹣n ）＝（x ﹣n ）（x 2+nx ﹣1）．理解运用：如果x 3﹣（n 2+1）x +n ＝0，那么（x ﹣n ）（x 2+nx ﹣1）＝0，即有x ﹣n ＝0或x 2+nx ﹣1＝0，因此，方程x ﹣n ＝0和x 2+nx ﹣1＝0的所有解就是方程x 3﹣（n 2+1）x +n ＝0的解．解决问题：求方程x 3﹣5x +2＝0的解为 x ＝2或x ＝﹣1+或x ＝﹣1﹣ ．【分析】将原方程左边变形为x 3﹣4x ﹣x +2＝0，再进一步因式分解得（x ﹣2）[x （x +2）﹣1]＝0，据此得到两个关于x 的方程求解可得．【解答】解：∵x 3﹣5x +2＝0，∴x 3﹣4x ﹣x +2＝0，∴x（x2﹣4）﹣（x﹣2）＝0，∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，则（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0，∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0，解得x＝2或x＝﹣1，故答案为：x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣．三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）17．（5分）计算：20+（）﹣1•﹣4tan45°．【分析】先计算20、、（）﹣1、tan45°，再按运算顺序求值即可．【解答】解：原式＝1+3×2﹣4×1＝1+6﹣4＝3．18．（5分）解不等式组．【分析】首先分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律确定不等式组的解集．【解答】解：，由①得：x＜5，由②得：x≥﹣1，不等式组的解集为：﹣1≤x＜5．四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）第10页（共23页）19．（6分）先化简，再选一个合适的数代入求值：（x +1﹣）÷．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：（x +1﹣）÷＝＝＝＝，当x＝2时，原式＝＝﹣．20．（6分）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G 与5G的下载速度分别是每秒多少兆？【分析】首先设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，根据题意可得等量关系：4G下载600兆所用时间﹣5G下载600兆所用时间＝140秒．然后根据等量关系，列出分式方程，再解即可．【解答】解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，由题意得：﹣＝140，解得：x＝4，经检验：x＝4是原分式方程的解，且符合题意，15×4＝60，第11页（共23页）答：该地4G的下载速度是每秒4兆，则该地5G的下载速度是每秒60兆．五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21．（7分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（3，18）和B（﹣2，8）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y ＝（m≠0）的图象只有一个交点，求交点坐标．【分析】（1）直接把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数y＝kx+b中可得关于k、b的方程组，再解方程组可得k、b的值，进而求出一次函数的解析式；（2）联立一次函数解析式和反比例函数解析式，根据题意得到△＝0，解方程即可得到结论．【解答】解：（1）把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数y＝kx+b（k≠0），得，解得，∴一次函数的解析式为y＝2x+12；（2）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象只有一个交点，∴只有一组解，即2x2+12x﹣m＝0有两个相等的实数根，∴△＝122﹣4×2×（﹣m）＝0，∴m＝﹣18．把m＝﹣18代入求得该方程的解为：x＝﹣3，把x＝﹣3代入y＝2x+12得：y＝6，即所求的交点坐标为（﹣3，6）．第12页（共23页）22．（7分）如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，若AC＝2米，求BC的长度．（结果保留一位小数）（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41）【分析】直接过点C作CF⊥AB于点F，利用锐角三角函数关系得出CF的长，进而得出BC的长．【解答】方法一：解：如图1，过点C作CF⊥AB于点F，在Rt△ACF中，∵sin∠CAB＝sin（60°+5°）＝sin65°＝，∴CF＝AC•sin65°≈2×0.91＝1.82，在Rt△BCF中，∵∠ABC＝45°，∴CF＝BF，∴BC＝CF＝1.41×1.82＝2.5662≈2.6，答：所求BC的长度约为2.6米．方法二：解：如图2，过点A作AE⊥BC于点E，在Rt△ACE中，∵∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°，∴cos C＝cos70°＝，第13页（共23页）即CE＝AC×cos70°≈2×0.34＝0.68，sin C＝sin70°＝，即AE＝AC×sin70°≈2×0.94＝1.88，又∵在Rt△AEB中，∠ABC＝45°，∴AE＝BE，∴BC＝BE+CE＝0.68+1.88＝2.56≈2.6，米．答：所求BC的长度约为2.6六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）23．（8分）今年2﹣4月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．（1）轻症患者的人数是多少？（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A、B、C、D、E五位患者任选两位第14页（共23页）转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率．【分析】（1）因为总人数已知，由轻症患者所占的百分比即可求出其的人数；（2）求出该市危重症患者所占的百分比，即可求出其共花费的钱数；（3）用加权平均数公式求出各种患者的平均费用即可；（4）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与恰好选中B、D两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）轻症患者的人数＝200×80%＝160（人）；（2）该市为治疗危重症患者共花费钱数＝200×（1﹣80%﹣15%）×10＝100（万元）；（3）所有患者的平均治疗费用＝＝2.15（万元）；（4）列表得：A B C D EA（B，A）（C，A）（D，A）（E，A）B（A，B）（C，B）（D，B）（E，B）C（A，C）（B，C）（D，C）（E，C）D（A，D）（B，D）（C，D）（E，D）第15页（共23页）第16页（共23页）E （A ，E ）（B ，E ）（C ，E ）（D ，E ）由列表格，可知：共有20种等可能的结果，恰好选中B 、D 两位同学的有2种情况，∴P （恰好选中B 、D ）＝＝．24．（8分）如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，D 是AB 上的一点，DE ⊥AB 于D ，DE 交BC 于F，且EF ＝EC ．（1）求证：EC 是⊙O 的切线；（2）若BD ＝4，BC ＝8，圆的半径OB ＝5，求切线EC 的长．【分析】（1）连接OC ，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得∠OCB +∠ECF ＝90°，可证EC 是⊙O 的切线；（2）由勾股定理可求AC ＝6，由锐角三角函数可求BF ＝5，可求CF ＝3，通过证明△OAC ∽△ECF ，可得，可求解．【解答】解：（1）连接OC ，∵OC ＝OB ，∴∠OBC ＝∠OCB ，∵DE⊥AB，∴∠OBC+∠DFB＝90°，∵EF＝EC，∴∠ECF＝∠EFC＝∠DFB，∴∠OCB+∠ECF＝90°，∴OC⊥CE，∴EC是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OB＝5，∴AB＝10，∴AC＝＝＝6，∵cos∠ABC＝，∴，∴BF＝5，∴CF＝BC﹣BF＝3，∵∠ABC+∠A＝90°，∠ABC+∠BFD＝90°，∴∠BFD＝∠A，∴∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，第17页（共23页）∴△OAC∽△ECF，∴，∴EC＝＝＝．七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）25．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线l过点A，M （，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB；（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．（2）构建方程组确定点B的坐标，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．（3）如图2中，设P（t ，t2），根据PD＝CD构建方程求出t即可解决问题．【解答】解：（1）把点A（﹣3，）代入y＝ax2，得到＝9a，∴a＝，第18页（共23页）∴抛物线的解析式为y＝x2．（2）设直线l的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线l的解析式为y＝﹣x +，令x＝0，得到y ＝，∴C（0，），由，解得或，∴B（1，），如图1中，过点A作AA1⊥x轴于A1，过B作BB1⊥x轴于B1，则BB1∥OC∥AA1，第19页（共23页）∴＝＝＝，＝＝＝，∴＝，即MC2＝MA•MB．（3）如图2中，设P（t ，t2）∵OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，∴PD∥OC，PD＝OC，∴D（t，﹣t +），∴|t2﹣（﹣t +）|＝，整理得：t2+2t﹣6＝0或t2+2t＝0，解得t＝﹣1﹣或﹣1＝或﹣2或0（舍弃），∴P（﹣1﹣，2+）或（﹣1+，2﹣）或（﹣2，1）．26．（10分）已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF 交于N．第20页（共23页）（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；．（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°【分析】（1）①证明△CBP是直角三角形，根据直角三角形斜边中线可得结论；②根据同位角相等可得BC∥EF，由平行线的性质得BP⊥EF，可得EF是线段BP的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠PFE＝∠BFE＝30°；（2）如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ，证明△QEP≌△DEC（SAS），则PQ＝DC＝DB，由QE＝DE，∠DEF＝90°，知EF是DQ的垂直平分线，证明△FQP≌△FDB（SAS），再由EF是DQ的垂直平分线，可得结论．【解答】证明（1）①∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝90°﹣30°＝60°，同理∠EDF＝60°，∴∠A＝∠EDF＝60°，∴AC∥DE，∴∠DMB＝∠ACB＝90°，∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，AC∥DM，∴，即M是BC的中点，第21页（共23页）∵EP＝CE，即E是PC的中点，∴ED∥BP，∴∠CBP＝∠DMB＝90°，∴△CBP是直角三角形，∴BE ＝PC＝EP；②∵∠ABC＝∠DFE＝30°，∴BC∥EF，由①知：∠CBP＝90°，∴BP⊥EF，∵EB＝EP，∴EF是线段BP的垂直平分线，∴PF＝BF，∴∠PFE＝∠BFE＝30°；，（2）如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ∵EC＝EP，∠DEC＝∠QEP，∴△QEP≌△DEC（SAS），则PQ＝DC＝DB，第22页（共23页）∵QE＝DE，∠DEF＝90°∴EF是DQ的垂直平分线，∴QF＝DF，∵CD＝AD，∴∠CDA＝∠A＝60°，∴∠CDB＝120°，∴∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP，∴△FQP≌△FDB（SAS），∴∠QFP＝∠BFD，∵EF是DQ的垂直平分线，∴∠QFE＝∠EFD＝30°，∴∠QFP+∠EFP＝30°，∴∠BFD+∠EFP＝30°．第23页（共23页）。
2020年湖南省常德中考数学试卷(附答案与解析)
绝密★启用前2020年湖南省常德市中考试卷数 学一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1.4的倒数为（ ）A .14B .2C .1D .4- 2.下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是（ ）ABCD 3.如下图，已知°°1=302=35AB DE ∠∠∥，，，则BCE ∠的度数为（ ）A .70°B .65°C .35°D .5° 4.下列计算正确的是（ ）A .()222=a b a b ++B .246=a a a + C .1052=a a a ÷D .235a a a =5.下列说法正确的是（ ）A .明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨B .抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上C .了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式D .一组数据的众数一定只有一个6.一个圆锥的底面半径=10r ，高=20h ，则这个圆锥的侧面积是（ ）A.πB.πC.πD.π7.二次函数()2=0y ax bx c a ++≠的图象如下图所示，下列结论：①240b ac -＞；②0abc ＜；③4=0a b +；④420a b c -+＞. 其中正确结论的个数是（ ）A .4B .3C .2D .18.如下图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG 的顶点A 处，按顺时针方向移动这枚跳棋2 020次。
移动规则是：第k 次移动k 个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B 处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D 处），按这样的规则，在这2 020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是 （ ）A .C E 、B .E F 、C .G C E 、、D .E CF 、、二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）9.分解因式：24=xy x -________.10.在实数范围内有意义，则x 的取值范围是________. 11.________. 12.如下图，若反比例函数()=0ky x x＜的图象经过点A ，AB x ⊥轴于B ，且AOB △的面积为6，则=k ________.-------------在------------------此------------------卷------------------上-------------------答-------------------题-------------------无-------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________13.4月23日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生若该校共有1 200名学生，试估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为________.14.今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只.李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只.已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只.请问李红出门没有买到口罩的次数是________次.15.如下图1，已知四边形ABCD 是正方形，将DAE △，DCF △分别沿DE ，DF 向内折叠得到图2，此时DA 与DC 重合（A C 、都落在G 点），若=4=6GF EG ，，则DG 的长为________.16.阅读理解：对于()321x n x n -++这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：()()()()()()3232221x n x n x n x x n x x n x n x x n x n x n -++=--+=---=-+--()()21x n x nx =-+-.理解运用：如果()3210x n x n -++=，那么()()210x n x nx -+-=，即有0x n -=或210x nx +-=，因此，方程0x n -=和210x nx +-=的所有解就是方程()3210x n x n -++=的解. 解决问题：求方程3520x x -+=的解为________.三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）17.计算：1°°1244tan 453-⎛⎫+- ⎪⎝⎭. 18.解不等式组2142311323x x x x -+⎧⎪⎨+-⎪⎩＜①≤②.四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）19.先化简，再选一个合适的数代入求值：27991x x x x x --⎛⎫+-÷⎪⎝⎭. 20.第5代移动通信技术简称5G ，某地已开通5G 业务，经测试5G 下载速度是4G 下载速度的15倍，小明和小强分别用5G 与4G 下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G 与5G 的下载速度分别是每秒多少兆？五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21.已知一次函数()0y kx b k =+≠的图象经过()318A ，和()28B -，两点. （1）求一次函数的解析式；（2）若一次函数()0y kx b k =+≠的图象与反比例函数()0my m x=≠的图象只有一个交点，求交点坐标.22.如下图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图.汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC 的底部支撑点B 在水平线AD 的下方，AB 与水平线AD 之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD 成60°，此时AB 与支撑顶杆BC 的夹角为45°，若=2AC 米，求BC 的长度.（结果保留一位小数）（参考数据：°sin650.91≈，°°°°cos650.42tan65 2.14sin700.94cos700.34≈≈≈≈，，，，°tan70 2.75 1.41≈≈）六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）23.今年24～月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗.如下图，图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图2是这三类患者的人均治疗费用统计图.请回答下列问题. （1）轻症患者的人数是多少？（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？ （3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A B C D E、、、、五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B D 、两位患者的概率.24.如下图，已知AB 是O ⊙的直径，C 是O ⊙上的一点，D 是AB 上的一点，DE AB⊥于D ，DE 交BC 于F ，且EF EC =. （1）求证：EC 是O ⊙的切线；（2）若=4=8BD BC ，，圆的半径=5OB ，求切线EC 的长.七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）25.如下图，已知抛物线2=y ax 过点934A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，.（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线l 过点302A M ⎛⎫⎪⎝⎭，，且与抛物线交于另一点B ，与y 轴交于点C ，求证：2=MC MA MB ；（3）若点P D ，分别是抛物线与直线l 上的动点，以OC 为一边且顶点为O C P D，，，的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P 点坐标.26.已知D 是Rt ABC △斜边AB 的中点，°°=90=30ACB ABC ∠∠，，过点D 作Rt DEF △使°°=90=30DEF DFE ∠∠，，连接CE 并延长CE 到P ，使=EP CE ，连接BE FP BP ，，，设BC 与DE 交于M ，PB 与EF 交于N . （1）如下图1，当D B F ，，共线时，求证： ①=EB EP ； ②°=30EFP ∠；（2）如下图2，当D B F ，，不共线时，连接BF ，求证：°=30BFD EFP ∠+∠.-------------在------------------此------------------卷------------------上-------------------答-------------------题-------------------无-------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________2020年湖南省常德市中考试卷数学答案解析一、 1．【答案】A【解析】根据倒数的意义，乘积是1的两个数叫做互为倒数，求倒数的方法，是把一个数的分子和分母互换位置即可，是带分数的化成假分数，再把分子分母互换位置，据此解答． 解：4的倒数为14． 故选：A ． 2．【答案】C【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解：A 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； B 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； C 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确； D 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：C ． 3．【答案】B【解析】根据平行线的性质和°°1=302=35∠∠，，可以得到BCE ∠的度数，本题得以解决．解：作CF AB ∥，AB DE ∵∥， CF DE ∴∥，AB DE DE ∴∥∥，1==2BCF FCE ∠∠∠∠∴，，°°1=302=35∠∠∵，， °°=30=35BCF FCE ∠∠∴，，°=65BCE ∠∴，故选：B ． 4．【答案】D【解析】根据完全平方公式、合并同类项法则、同底数幂的乘除法计算得到结果，即可作出判断．解：A 、()2222=a ab b a b +++，原计算错误，故此选项不符合题意； B 、2a 与4a 不是同类项不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意； C 、1055=a a a ÷，原计算错误，故此选项不符合题意； D 、235=a a a ，原计算正确，故此选项符合题意； 故选：D ． 5．【答案】C【解析】根据必然事件的概念、众数的定义、随机事件的概率逐项分析即可得出答案． 解：A 、明天的降水概率为80%，则明天下雨可能性较大，故本选项错误； B 、抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面朝上的概率是12，故本选项错误； C 、了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式，故本选项正确； D 、一组数据的众数不一定只有一个，故本选项错误； 故选：C ． 6．【答案】C【解析】先利用勾股定理计算出母线长，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．解：这个圆锥的母线长，这个圆锥的侧面积1=2π102⨯⨯⨯． 故选：C ． 7．【答案】B【解析】先由抛物线与x 轴的交点个数判断出结论①，利用抛物线的对称轴为2x =，判断出结论②，先由抛物线的开口方向判断出0a ＜，进而判断出0b ＞，再用抛物线与y 轴的交点的位置判断出0c ＞，判断出结论③，最后用=2x -时，抛物线在x 轴下方，判断出结论④，即可得出结论．解：由图象知，抛物线与x 轴有两个交点，∴方程2=0ax bx c ++有两个不相等的实数根，240b ac -∴＞，故①正确，由图象知，抛物线的对称轴直线为2x =，=22ba-∴，4=0a b +∴，故②正确，由图象知，抛物线开口方向向下，0a ∴＜， 4=0a b +∵，0b ∴＞，而抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上， 0c ∴＞，0abc ∴＜，故③正确，由图象知，当=2x -时，0y ＜，420a b c -+∴＜，故④错误，即正确的结论有3个， 故选：B ． 8．【答案】D【解析】设顶点A B C D E F G ，，，，，，分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k 次后走过的总格数是()1123=12k k k +++++，然后根据题目中所给的第k 次依次移动k 个顶点的规则，可得到不等式最后求得解． 解：经实验或按下方法可求得顶点C E ，和F 棋子不可能停到．设顶点A B C D E F G ，，，，，，分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k 次后走过的总格数是()1123=12k k k +++++，应停在第()1172k k p +-格， 这时P 是整数，且使()101762k k p +-≤≤，分别取=1234567k ，，，，，，时，()117=13631002k k p +-，，，，，，，发现第2，4，5格没有停棋， 若72020k ＜≤，设()=7123k t t +=，，代入可得，()()1117=7+122k k p m t t +-+， 由此可知，停棋的情形与=k t 时相同，故第2，4，5格没有停棋，即顶点C E ，和F 棋子不可能停到． 故选：D ． 二、9．【答案】()()22x y y +-【解析】原式提取x ，再利用平方差公式分解即可． 解：原式()()()2422x y x y y =-=+-， 故答案为：()()22x y y +- 10．【答案】3x ＞【解析】根据二次根式有意义的条件可得260x -＞，再解即可． 解：由题意得：260x -＞， 解得：3x＞， 故答案为：3x ＞． 11．【答案】【解析】直接化简二次根式进而合并得出答案．解：原式故答案为： 12．【答案】12-【解析】根据反比例函数比例系数的几何意义即可解决问题． 解：AB OB ∵⊥， ==62AOB kS △∴，=12k ±∴，∵反比例函数的图象在二四象限， 0k ∴＜， =12k -∴，故答案为12-． 13．【答案】400人【解析】用总人数⨯每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数所占的百分比即可得到结论． 解：641200=40012864+⨯+++（人）， 答：估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为400人． 14．【答案】4【解析】设李红出门没有买到口罩的次数是x ，买到口罩的次数是y ，根据买口罩的次数是10次和家里现有口罩35只，可列出关于x 和y 的二元一次方程组，求解即可． 解：设李红出门没有买到口罩的次数是x ，买到口罩的次数是y ，由题意得：=0151105=35x y y +⎧⎨-⨯+⎩， 整理得：=105=30x y y +⎧⎨⎩，解得：=4=6x y ⎧⎨⎩．故答案为：4． 15．【答案】12【解析】设正方形ABCD 的边长为x ，由翻折及已知线段的长，可用含x 的式子分别表示出BE BF 、及EF 的长；在BEF Rt △中，由勾股定理得关于x 的方程，解得x 的值，即为DG 的长．解：设正方形ABCD 的边长为x ，由翻折可得：===DG DA DC x ， =4=6GF EG ∵，， ==6==4AE EG CF GF ∴，，=6=6=64=10BE x BF x EF --+∴，，，如图1所示：在BEF Rt △中，由勾股定理得：222=BE BF EF +，()()22264=10x x -+-∴，221236816=100x x x x -++-+∴，21024=0x x --∴，()()212=0x x +-∴，1=2x -∴（舍），2=12x ．=12DG ∴．故答案为：12．16．【答案】=2x或=1x -或=1x --【解析】将原方程左边变形为342=0x x x --+，再进一步因式分解得()()221=0x x x -+-⎡⎤⎣⎦，据此得到两个关于x 的方程求解可得．解：352=0x x -+∵，342=0x x x --+∴，()()242=0x x x ---∴， ()()()222=0x x x x +---∴，则()()221=0x x x -+-⎡⎤⎣⎦，即()()2221=0x x x -+-， 2=0x -∴或221=0x x +-，解得=2x或=1x -，故答案为：=2x或=1x -或=1x - 三、17．【答案】解：原式=13241+⨯-⨯=164+- =3．【解析】先计算1°°12tan 453-⎫⎛ ⎪⎝⎭、，再按运算顺序求值即可． 具体解题过程可参考答案.18．【答案】解： 2142311323x x x x -+⎧⎪⎨+-⎪⎩＜①≤②，由①得：5x ＜， 由②得：1x -≥，不等式组的解集为：15x -≤＜．【解析】首先分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律确定不等式组的解集．具体解题过程可参考答案. 四、19．【答案】解：27991x x x x x --⎫⎛+-÷⎪⎝⎭()()()()179=33x x x x x x x +--+-()()279=33x x x x x +-++- ()()()23=33x x x -+- 3=3x x -+， 当=2x 时，原式＝231=235--+． 【解析】先化简，再选一个合适的数代入求值：27991x x x x x --⎫⎛+-÷⎪⎝⎭． 根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题． 具体解题过程可参考答案.20．【答案】解：设该地4G 的下载速度是每秒x 兆，则该地5G 的下载速度是每秒15x 兆，由题意得：600600=14015x x -，解得：=4x ，经检验：=4x 是原分式方程的解，且符合题意，154=60⨯，答：该地4G 的下载速度是每秒4兆，则该地5G 的下载速度是每秒60兆．【解析】首先设该地4G 的下载速度是每秒x 兆，则该地5G 的下载速度是每秒15x 兆，根据题意可得等量关系：4G 下载600兆所用时间5G -下载600兆所用时间=140秒．然后根据等量关系，列出分式方程，再解即可． 具体解题过程可参考答案. 五、21．【答案】解：（1）把()318，，()28-，代入一次函数()=0y kx b k +≠，得 3=182=8k b k b +⎧⎨-+⎩， 解得=2=12k b ⎧⎨⎩，∴一次函数的解析式为=212y x +；（2）∵一次函数()=0y kx b k +≠的图象与反比例函数()=0my m x≠的图象只有一个交点，=212=y x my x +⎧⎪⎨⎪⎩∴只有一组解， 即2212=0x x m +-有两个相等的实数根，()2=1242=0m ∆-⨯⨯-∴，=18m -∴．把=18m -代入求得该方程的解为：=3x -， 把=3x -代入=212y x +得：=6y ，即所求的交点坐标为()36-，． 【解析】（1）直接把()318，，()28-，代入一次函数=y kx b +中可得关于k b 、的方程组，再解方程组可得k b 、的值，进而求出一次函数的解析式；（2）联立一次函数解析式和反比例函数解析式，根据题意得到=0∆，解方程即可得到结论．具体解题过程可参考答案.22．【答案】方法一：解：如图1，过点C 作CF AB ⊥于点F ， 在Rt ACF △中，()°°°sin =sin 605sin65=CFCAB AC+=∵∠， °=sin6520.91=1.82CF AC ≈⨯∴， 在Rt BCF △中，°=45ABC ∵∠，=CF BF ∴，=1.41 1.82=2.5662 2.6BC ⨯≈∴，答：所求BC 的长度约为2.6米．方法二：解：如图2，过点A 作AE BC ⊥于点E ， 在Rt ACE △中，°°°°=1806545=70C --∵∠，°cos =cos70=CEC AC ∴， 即°=cos7020.34=0.68CE AC ⨯≈⨯，°sin =sin70=AEC AC ， 即°=sin7020.94=1.88AE AC ⨯≈⨯， 又∵在Rt AEB △中，°=45ABC ∠，=AE BE ∴，==0.68 1.88=2.56 2.6BC BE CE ++≈∴，答：所求BC 的长度约为2.6米．【解析】直接过点C 作CF AB ⊥于点F ，利用锐角三角函数关系得出CF 的长，进而得出BC 的长．具体解题过程可参考答案. 六、23.【答案】解：（1）轻症患者的人数=20080%=160⨯（人）；（2）该市为治疗危重症患者共花费钱数()=200180%15%10100⨯--⨯=（万元）； （3）所有患者的平均治疗费用()1.5160320015%1002.15200⨯+⨯⨯+==（万元）； （4由列表格，可知：共有20种等可能的结果，恰好选中B D 、两位同学的有2种情况，P ∴（恰好选中B D 、）21==2010．【解析】（1）因为总人数已知，由轻症患者所占的百分比即可求出其的人数； （2）求出该市危重症患者所占的百分比，即可求出其共花费的钱数； （3）用加权平均数公式求出各种患者的平均费用即可；（4）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与恰好选中B D 、两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．24．【答案】解：（1）连接OC ，=OC OB ∵， =OBC OCB ∴∠∠，DE AB ⊥∵，°+=90OBC DFB ∴∠∠，=EF EC ∵，==ECF EFC DFB ∴∠∠∠，°+=90OCB ECF ∴∠∠，OC CE ⊥∴， EC ∴是O ⊙的切线；（2）AB ∵是O ⊙的直径，°=90ACB ∴∠，=5OB ∵， =10AB ∴，AC ∴，cos =BD BCABC BF AB=∵∠， 84=10BF∴， =5BF ∴，==3CF BC BF -∴，°°=90=90ABC A ABC BFD ++∵∠∠，∠∠，=BFD A ∴∠∠，===A BFD ECF EFC ∴∠∠∠∠，=OA OC ∵，====OCA A BFD ECF EFC ∴∠∠∠∠∠，OAC ECF ∴△∽△，=EC CFOA AC∴， 535==62OA CF EC AC ⨯=∴．【解析】（1）连接OC ，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得°=90OCB ECF +∠∠，可证EC 是O ⊙的切线；（2）由勾股定理可求=6AC ，由锐角三角函数可求=5BF ，可求=3CF ，通过证明OAC ECF △∽△，可得=EC CFOA AC ，可求解． 具体解题过程可参考答案. 七、25．【答案】解：（1）把点934A ⎫⎛- ⎪⎝⎭，代入2=y ax ，得到9=94a ，1=4a ∴，∴抛物线的解析式为21=4y x ．（2）设直线l 的解析式为=y kx b +，则有9=3430=2k b k b ⎧-+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩，解得1=23=4k b ⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩， ∴直线l 的解析式为1324y x =-+，令=0x ，得到3=4y ，304C ⎫⎛ ⎪⎝⎭∴，，由21=41324y x y x ⎧⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得=11=4x y ⎧⎪⎨⎪⎩或=39=4x y -⎧⎪⎨⎪⎩，114B ⎫⎛ ⎪⎝⎭∴，，如图1中，过点A 作1AA x ⊥轴于1A ，过B 作1BB x ⊥轴于1B ，则11BB OC AA ∥∥，()113311122======3333322BM MB MC MO MC MO MA MA ---∴，，=BM MCMC MA∴， 即2=MC MA MB ．（3）如图2中，设214P t t ⎫⎛ ⎪⎝⎭，OC ∵为一边且顶点为O C P D ，，，的四边形是平行四边形， =PD OC PD OC ∴∥，，1324D t t ⎫⎛-+ ⎪⎝⎭∴，，211334244t t ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭∴， 整理得：226=0t t +-或22=0t t +，解得=1t --或2-或0（舍弃），1P ⎛-+ ⎝⎭∴或1⎛- ⎝⎭或()2,1-． 【解析】（1）利用待定系数法即可解决问题．（2）构建方程组确定点B 的坐标，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． （3）如图2中，设214P t t ⎫⎛ ⎪⎝⎭，，根据PD CD =构建方程求出t 即可解决问题．具体解题过程可参考答案.26．【答案】证明（1）①°°=90=30ACB ABC ∵∠，∠，°°°=9030=60A -∴∠，同理°=60EDF ∠，°==60A EDF ∴∠∠，AC DE ∴∥，°==90DMB ACB ∴∠∠，D ∵是ABC Rt △斜边AB 的中点，AC DM ∥，1==2BM BD BC AB ∴， 即M 是BC 的中点，=EP CE ∵，即E 是PC 的中点，ED BP ∴∥，°==90CBP DMB ∴∠∠， CBP ∴△是直角三角形，1==2BE PC EP ∴；②°==30ABC DFE ∵∠∠，BC EF ∴∥，由①知：°=90CBP ∠，BP EF ⊥∴， =EB EP ∵，EF ∴是线段BP 的垂直平分线，数学试卷 第21页（共22页） 数学试卷 第22页（共22页） =PE BF ∴，°==30PFE BFE ∴∠∠；（2）如图2，延长DE 到Q ，使=EQ DE ，连接CD PQ FQ ，，，==EC EP DEC QEP ∵，∠∠，()QEP DEC SAS ∴△≌△，则==PQ DC DB ，°==90QE DE DEF ∵，∠EF ∴是DQ 的垂直平分线，=QF DF ∴，CD AD =∵，°==60CDA A ∴∠∠，°=120CDB ∴∠，()°°°°°=120=12060=60=60=FDB FDC EDC EDC EQP FQP --+--∴∠∠∠∠∠∠， ()FQP FDB SAS ∴△≌△，=QFP BFD ∴∠∠，EF ∵是DQ 的垂直平分线，°==30QFE EFD ∴∠∠，°=30QFP EFP +∴∠∠，°=30BFD EFP +∴∠∠．【解析】（1）①证明CBP △是直角三角形，根据直角三角形斜边中线可得结论；②根据同位角相等可得BC EF ∥，由平行线的性质得BP EF ⊥，可得EF 是线段BP 的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一的性质可得°==30PFE BFE ∠∠； （2）如图2，延长DE 到Q ，使=EQ DE ，连接CD PQ FQ ，，，证明()QEP DEC SAS △≌△，则==PQ CD DB ，由°==90QE DE DEF ，∠，知EF 是DQ 的垂直平分线，证明()FQP FDB SAS △≌△，再由EF 是DQ 的垂直平分线，可得结论．具体解题过程可参考答案.。
2020年湖南省常德市中考数学试卷(附答案解析)
2020年湖南省常德市中考数学试卷一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）4的倒数为()A．14B．2C．1D．4-2．（3分）下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是()A．B．C．D．3．（3分）如图，已知//AB DE，130∠=︒，235∠=︒，则BCE∠的度数为()A．70︒B．65︒C．35︒D．5︒4．（3分）下列计算正确的是()A．222()a b a b+=+B．246a a a+=C．1052a a a÷=D．235a a a= 5．（3分）下列说法正确的是()A．明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上C．了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式D．一组数据的众数一定只有一个6．（3分）一个圆锥的底面半径10r=，高20h=，则这个圆锥的侧面积是()A．B．C．D．7．（3分）二次函数2(0)y ax bx c a=++≠的图象如图所示，下列结论：①240b ac->；②0abc<；③40a b+=；④420a b c-+>．其中正确结论的个数是()A ．4B ．3C ．2D ．18．（3分）如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG 的顶点A 处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k 次移动k 个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B 处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D 处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是( )A ．C 、EB ．E 、FC ．G 、C 、ED ．E 、C 、F二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分） 9．（3分）分解因式：24xy x -= ． 10．（3在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ．11．（3= ． 12．（3分）如图，若反比例函数(0)ky x x=<的图象经过点A ，AB x ⊥轴于B ，且AOB ∆的面积为6，则k = ．13．（3分）4月23日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时间，统计如下：小时以上的学生人数为 ． 14．（3分）今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是 次．15．（3分）如图1，已知四边形ABCD 是正方形，将DAE ∆，DCF ∆分别沿DE ，DF 向内折叠得到图2，此时DA 与DC 重合(A 、C 都落在G 点），若4GF =，6EG =，则DG 的长为 ．16．（3分）阅读理解：对于32(1)x n x n -++这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式： 3232222(1)()()()()()()(1)x n x n x n x x n x x n x n x x n x n x n x n x nx -++=--+=---=-+--=-+-．理解运用：如果32(1)0x n x n -++=，那么2()(1)0x n x nx -+-=，即有0x n -=或210x nx +-=，因此，方程0x n -=和210x nx +-=的所有解就是方程32(1)0x n x n -++=的解． 解决问题：求方程3520x x -+=的解为 ． 三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分） 17．（5分）计算：0112()44tan 453-+-︒．18．（5分）解不等式组2142311323x x x x -<+⎧⎪⎨+-⎪⎩①②．四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）19．（6分）先化简，再选一个合适的数代入求值：2799(1)x x x x x--+-÷． 20．（6分）第5代移动通信技术简称5G ，某地已开通5G 业务，经测试5G 下载速度是4G 下载速度的15倍，小明和小强分别用5G 与4G 下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G 与5G 的下载速度分别是每秒多少兆？ 五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21．（7分）已知一次函数(0)y kx b k =+≠的图象经过(3,18)A 和(2,8)B -两点． （1）求一次函数的解析式；（2）若一次函数(0)y kx b k =+≠的图象与反比例函数(0)my m x=≠的图象只有一个交点，求交点坐标．22．（7分）如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5︒，卸货时，车厢与水平线AD成60︒，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45︒，若2AC=米，求BC的长度．（结果保留一位小数）（参考数据：sin650.91︒≈，︒≈，cos650.42︒≈，cos700.34︒≈，sin700.94︒≈，tan65 2.14≈︒≈ 1.41)tan70 2.75六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）23．（8分）今年24-月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．（1）轻症患者的人数是多少？（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A、B、C、D、E 五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率．24．（8分）如图，已知AB是O的直径，C是O上的一点，D是AB上的一点，DE AB⊥于D，DE交BC于F，且EF EC=．（1）求证：EC是O的切线；（2）若4BD=，8BC=，圆的半径5OB=，求切线EC的长．七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）25．（10分）如图，已知抛物线2y ax=过点9 (3,)4A-．（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线l过点A，3(2M，0)且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：2MC MA MB=；（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．26．（10分）已知D是Rt ABC∆斜边AB的中点，90ACB∠=︒，30ABC∠=︒，过点D作Rt DEF∆使90DEF∠=︒，30DFE∠=︒，连接CE并延长CE到P，使EP CE=，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB EP=；②30EFP∠=︒；（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：30BFD EFP∠+∠=︒．参考答案一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分） 1．【解答】解：4的倒数为14． 故选：A ．2．【解答】解：A 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；B 、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不合题意；C 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；D 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：C ．3．【解答】解：作//CF AB ， //AB DE ， //CF DE ∴， ////AB DE DE ∴，1BCF ∴∠=∠，2FCE ∠=∠， 130∠=︒，235∠=︒， 30BCF ∴∠=︒，35FCE ∠=︒，65BCE ∴∠=︒，故选：B ．4．【解答】解：A 、2222()a ab b a b ++=+，原计算错误，故此选项不符合题意；B 、2a 与4a 不是同类项不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；C 、1055a a a ÷=，原计算错误，故此选项不符合题意；D 、235a a a =，原计算正确，故此选项符合题意；故选：D ．5．【解答】解：A 、明天的降水概率为80%，则明天下雨可能性较大，故本选项错误；B 、抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面朝上的概率是12，故本选项错误； C 、了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式，故本选项正确；D 、一组数据的众数不一定只有一个，故本选项错误；故选：C ．6．【解答】解：这个圆锥的母线长这个圆锥的侧面积12102π=⨯⨯⨯．故选：C ．7．【解答】解：由图象知，抛物线与x 轴有两个交点，∴方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根，240b ac ∴->，故①正确，由图象知，抛物线开口方向向下， 0a ∴<， 40a b +=，0b ∴>，而抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上， 0c ∴>，0abc ∴<，故②正确，由图象知，抛物线的对称轴直线为2x =， 22ba∴-=， 40a b ∴+=，故③正确，由图象知，当2x =-时，0y <， 420a b c ∴-+<，故④错误，即正确的结论有3个， 故选：B ．8．【解答】解：经实验或按下方法可求得顶点C ，E 和F 棋子不可能停到． 设顶点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k 次后走过的总格数是1123(1)2k k k +++⋯+=+，应停在第1(1)72k k p +-格，这时p 是整数，且使1(1)762k k p +-，分别取1k =，2，3，4，5，6，7时， 1(1)712k k p +-=，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋， 若72020k <，设7(1k t t =+=，2，3)代入可得，11(1)77(1)22k k p m t t +-=++，由此可知，停棋的情形与k t =时相同，故第2，4，5格没有停棋，即顶点C ，E 和F 棋子不可能停到． 故选：D ．二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）9．【分析】原式提取x ，再利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式2(4)(2)(2)x y x y y =-=+-， 故答案为：(2)(2)x y y +-10．【分析】根据二次根式有意义的条件和分母不为零的性质，可得260x ->，再解即可． 【解答】解：由题意得：260x ->， 解得：3x >， 故答案为：3x >．11．【分析】直接化简二次根式进而合并得出答案．【解答】解：原式22=-+=故答案为：12．【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义即可解决问题． 【解答】解：AB OB ⊥，||62AOB k S ∆∴==， 12k ∴=±，反比例函数的图象在二四象限， 0k ∴<， 12k ∴=-，故答案为12-．13．【分析】用总人数⨯每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数所占的百分比即可得到结论．【解答】解：64120040012864+⨯=+++（人)，答：估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为400人．14．【分析】设李红出门没有买到口罩的次数是x ，买到口罩的次数是y ，根据买口罩的次数是10次和家里现有口罩35只，可列出关于x 和y 的二元一次方程组，求解即可． 【解答】解：设李红出门没有买到口罩的次数是x ，买到口罩的次数是y ，由题意得： 1015110535x y y +=⎧⎨-⨯+=⎩， 整理得：10530x y y +=⎧⎨=⎩，解得：46x y =⎧⎨=⎩．故答案为：4．15．【分析】设正方形ABCD 的边长为x ，由翻折及已知线段的长，可用含x 的式子分别表示出BE 、BF 及EF 的长；在Rt BEF ∆中，由勾股定理得关于x 的方程，解得x 的值，即为DG 的长．【解答】解：设正方形ABCD 的边长为x ，由翻折可得： DG DA DC x ===， 4GF =，6EG =，6AE EG ∴==，4CF GF ==，6BE x ∴=-，4BF x =-，6410EF =+=，如图1所示：在Rt BEF ∆中，由勾股定理得：222BE BF EF +=，222(6)(4)10x x ∴-+-=， 221236816100x x x x ∴-++-+=， 210240x x ∴--=， (2)(12)0x x ∴+-=， 12x ∴=-（舍)，212x =．12DG ∴=．故答案为：12．16．【分析】将原方程左边变形为3420x x x --+=，再进一步因式分解得(2)[(2)1]0x x x -+-=，据此得到两个关于x 的方程求解可得．【解答】解：3520x x -+=， 3420x x x ∴--+=，2(4)(2)0x x x ∴---=， (2)(2)(2)0x x x x ∴+---=，则(2)[(2)1]0x x x -+-=，即2(2)(21)0x x x -+-=，20x ∴-=或2210x x +-=，解得2x =或1x =-±故答案为：2x =或1x =-+1x =- 三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）17．【分析】先计算0211()3-、tan45︒，再按运算顺序求值即可．【解答】解：原式13241=+⨯-⨯ 164=+- 3=．18．【分析】首先分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律确定不等式组的解集． 【解答】解：2142311323x x x x -<+⎧⎪⎨+-⎪⎩①②，由①得：5x <， 由②得：1x -，不等式组的解集为：15x -<．四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）19．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：2799(1)x x x x x--+-÷(1)(79)(3)(3)x x x xx x x +--=+-279(3)(3)x x x x x +-+=+- 2(3)(3)(3)x x x -=+- 33x x -=+， 当2x =时，原式231235-==-+． 20．【分析】首先设该地4G 的下载速度是每秒x 兆，则该地5G 的下载速度是每秒15x 兆，根据题意可得等量关系：4G 下载600兆所用时间5G -下载600兆所用时间140=秒．然后根据等量关系，列出分式方程，再解即可．【解答】解：设该地4G 的下载速度是每秒x 兆，则该地5G 的下载速度是每秒15x 兆，由题意得：60060014015x x-=， 解得：4x =，经检验：4x =是原分式方程的解，且符合题意， 15460⨯=，答：该地4G 的下载速度是每秒4兆，则该地5G 的下载速度是每秒60兆． 五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21．【分析】（1）直接把(3,18)，(2,8)-代入一次函数y kx b =+中可得关于k 、b 的方程组，再解方程组可得k 、b 的值，进而求出一次函数的解析式；（2）联立一次函数解析式和反比例函数解析式，根据题意得到△0=，解方程即可得到结论．【解答】解：（1）把(3,18)，(2,8)-代入一次函数(0)y kx b k =+≠，得 31828k b k b +=⎧⎨-+=⎩， 解得2,12k b =⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式为212y x =+；（2）一次函数(0)y kx b k =+≠的图象与反比例函数(0)my m x=≠的图象只有一个交点， ∴212y x my x =+⎧⎪⎨=⎪⎩只有一组解， 即22120x x m +-=有两个相等的实数根，∴△21242()0m =-⨯⨯-=，18m ∴=-．把18m =-代入求得该方程的解为：3x =-， 把3x =-代入212y x =+得：6y =， 即所求的交点坐标为(3,6)-．22．【分析】直接过点C 作CF AB ⊥于点F ，利用锐角三角函数关系得出CF 的长，进而得出BC 的长．【解答】方法一：解：如图1，过点C 作CF AB ⊥于点F ，在Rt ACF∆中，sin sin(605)sin65CFCABAC∠=︒+︒=︒=，sin6520.91 1.82CF AC∴=︒≈⨯=，在Rt BCF∆中，45ABC∠=︒，CF BF∴=，1.41 1.822.5662 2.6BC∴==⨯=≈，答：所求BC的长度约为2.6米．方法二：解：如图2，过点A作AE BC⊥于点E，在Rt ACE∆中，180654570C∠=︒-︒-︒=︒，cos cos70CECAC∴=︒=，即cos7020.340.68 CE AC=⨯︒≈⨯=，sin sin70AECAC=︒=，即sin7020.94 1.88AE AC=⨯︒≈⨯=，又在Rt AEB∆中，45ABC∠=︒，AE BE∴=，0.68 1.88 2.56 2.6BC BE CE∴=+=+=≈，答：所求BC的长度约为2.6米．六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）23．【分析】（1）因为总人数已知，由轻症患者所占的百分比即可求出其的人数；（2）求出该市危重症患者所占的百分比，即可求出其共花费的钱数；（3）用加权平均数公式求出各种患者的平均费用即可；（4）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与恰好选中B、D患者概率的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）轻症患者的人数20080%160=⨯=（人)；（2）该市为治疗危重症患者共花费钱数200(180%15%)10100=⨯--⨯=（万元）；（3）所有患者的平均治疗费用1.51603(20015%)1002.15200⨯+⨯⨯+==（万元）；（4）列表得：2种情况，P∴（恰好选中B、21)2010D==．24．【分析】（1）连接OC，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得90OCB ECF∠+∠=︒，可证EC是O的切线；（2）由勾股定理可求6AC=，由锐角三角函数可求5BF=，可求3CF=，通过证明OAC ECF∆∆∽，可得EC CFOA AC=，可求解．【解答】解：（1）连接OC，OC OB=，OBC OCB∴∠=∠，DE AB⊥，90OBC DFB∴∠+∠=︒，EF EC=，ECF EFC DFB ∴∠=∠=∠， 90OCB ECF ∴∠+∠=︒， OC CE ∴⊥，EC ∴是O 的切线；（2）AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒， 5OB =， 10AB ∴=，6AC ∴===， cos BD BCABC BF AB∠==， ∴8410BF=， 5BF ∴=，3CF BC BF ∴=-=，90ABC A ∠+∠=︒，90ABC BFD ∠+∠=︒，BFD A ∴∠=∠，A BFD ECF EFC ∴∠=∠=∠=∠， OA OC =，OCA A BFD ECF EFC ∴∠=∠=∠=∠=∠， OAC ECF ∴∆∆∽，∴EC CFOA AC=， 53562OA CF EC AC ⨯∴===． 七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分） 25．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．（2）构建方程组确定点B 的坐标，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． （3）如图2中，设21(,)4P t t ，根据PD CD =构建方程求出t 即可解决问题．【解答】解：（1）把点9(3,)4A -代入2y ax =，得到994a =， 14a ∴=，∴抛物线的解析式为214y x =． （2）设直线l 的解析式为y kx b =+，则有934302k b k b ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得1234k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线l 的解析式为1324y x =-+， 令0x =，得到34y =， 3(0,)4C ∴，由2141324y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得114x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或394x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，1(1,)4B ∴，如图1中，过点A 作1AA x ⊥轴于1A ，过B 作1BB x ⊥轴于1B ，则11////BB OC AA ，∴13112332MB BM MC MO -===，131233(3)2MC MO MA MA ===--，∴BM MC MC MA=， 即2MC MA MB =． （3）如图2中，设21(,)4P t tOC 为一边且顶点为O ，C ，P ，D 的四边形是平行四边形，//PD OC ∴，PD OC =， 13(,)24D t t ∴-+，21133|()|4244t t ∴--+=， 整理得：2260t t +-=或220t t +=，解得1t =-1-+2-或0（舍弃），(1P ∴--2+或(1-2或(2,1)-． 26．【分析】（1）①证明CBP ∆是直角三角形，根据直角三角形斜边中线可得结论； ②根据同位角相等可得//BC EF ，由平行线的性质得BP EF ⊥，可得EF 是线段BP 的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一的性质可得30PFE BFE ∠=∠=︒；（2）如图2，延长DE 到Q ，使EQ DE =，连接CD ，PQ ，FQ ，证明()QEP DEC SAS ∆≅∆，则PQ DC DB ==，由QE DE =，90DEF ∠=︒，知EF 是DQ 的垂直平分线，证明()FQP FDB SAS ∆≅∆，再由EF 是DQ 的垂直平分线，可得结论．【解答】证明（1）①90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒， 903060A ∴∠=︒-︒=︒，同理60EDF ∠=︒， 60A EDF ∴∠=∠=︒， //AC DE ∴，90DMB ACB ∴∠=∠=︒，D 是Rt ABC ∆斜边AB 的中点，//AC DM ，∴12BM BD BC AB ==， 即M 是BC 的中点，EP CE =，即E 是PC 的中点， //ED BP ∴，90CBP DMB ∴∠=∠=︒，CBP ∴∆是直角三角形，12BE PC EP ∴==； ②30ABC DFE ∠=∠=︒， //BC EF ∴，由①知：90CBP ∠=︒，BP EF ∴⊥，EB EP =，EF ∴是线段BP 的垂直平分线， PF BF ∴=，30PFE BFE ∴∠=∠=︒；（2）如图2，延长DE 到Q ，使EQ DE =，连接CD ，PQ ，FQ ，EC EP =，DEC QEP ∠=∠，()QEP DEC SAS ∴∆≅∆，则PQ DC DB ==， QE DE =，90DEF ∠=︒EF ∴是DQ 的垂直平分线，QF DF ∴=， CD AD =， 60CDA A ∴∠=∠=︒， 120CDB ∴∠=︒，120120(60)6060FDB FDC EDC EDC EQP FQP ∴∠=︒-∠=︒-︒+∠=︒-∠=︒-∠=∠， ()FQP FDB SAS ∴∆≅∆， QFP BFD ∴∠=∠，EF 是DQ 的垂直平分线，30QFE EFD ∴∠=∠=︒，30∴∠+∠=︒，QFP EFP∴∠+∠=︒．30BFD EFP。
2020年湖南省常德市中考数学试卷(含答案解析)
2020年湖南省常德市中考数学试卷副标题题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.4的倒数为()B. 2C. 1D. −4A. 142.下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是()A. B. C. D.3.如图，已知AB//DE，∠1=30°，∠2=35°，则∠BCE的度数为()A. 70°B. 65°C. 35°D. 5°4.下列计算正确的是()A. a2+b2=(a+b)2B. a2+a4=a6C. a10÷a5=a2D. a2⋅a3=a55.下列说法正确的是()A. 明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨B. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上C. 了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式D. 一组数据的众数一定只有一个6.一个圆锥的底面半径r=10，高ℎ=20，则这个圆锥的侧面积是()A. 100√3πB. 200√3πC. 100√5πD. 200√5π7.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①b2−4ac>0；②abc<0；③4a+b=0；④4a−2b+c>0．其中正确结论的个数是()A. 4B. 3C. 2D. 18.如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点(如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处)，按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是()A. C、EB. E、FC. G、C、ED. E、C、F二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9.分解因式：xy2−4x=______．10.若代数式√2x−6在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．11.计算：√92−√12+√8=______．12.如图，若反比例函数y=kx(x<0)的图象经过点A，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积为6，则k=______．13.4月23日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时间，统计如下：阅读时间(x小时)x≤3.5 3.5<x≤55<x≤6.5x>6.5人数12864为______．14.今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是______次．15.如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合(A、C都落在G点)，若GF=4，EG=6，则DG的长为______．16.阅读理解：对于x3−(n2+1)x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3−(n2+1)x+n=x3−n2x−x+n=x(x2−n2)−(x−n)=x(x−n)(x+n)−(x−n)=(x−n)(x2+nx−1)．理解运用：如果x3−(n2+1)x+n=0，那么(x−n)(x2+nx−1)=0，即有x−n=0或x2+nx−1=0，因此，方程x−n=0和x2+nx−1=0的所有解就是方程x3−(n2+1)x+n=0的解．解决问题：求方程x3−5x+2=0的解为______．三、计算题（本大题共3小题，共20.0分）17.计算：20+(13)−1⋅√4−4tan45°．18. 已知一次函数y =kx +b(k ≠0)的图象经过A(3,18)和B(−2,8)两点．(1)求一次函数的解析式；(2)若一次函数y =kx +b(k ≠0)的图象与反比例函数y =m x(m ≠0)的图象只有一个交点，求交点坐标．19. 今年2−4月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图(不完整)，图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题． (1)轻症患者的人数是多少？(2)该市为治疗危重症患者共花费多少万元？ (3)所有患者的平均治疗费用是多少万元？(4)由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A 、B 、C 、D 、E 五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B 、D 两位患者的概率．四、解答题（本大题共7小题，共52.0分） 20. 解不等式组{2x −1<x +4①23x −3x+12≤13②．21.先化简，再选一个合适的数代入求值：(x+1−7x−9x )÷x2−9x．22.第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？23.如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，若AC=2米，求BC的长度．(结果保留一位小数)(参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，√2≈1.41)24.如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB于D，DE交BC于F，且EF=EC．(1)求证：EC是⊙O的切线；(2)若BD=4，BC=8，圆的半径OB=5，求切线EC的长．).25.如图，已知抛物线y=ax2过点A(−3,94(1)求抛物线的解析式；,0)且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：(2)已知直线l过点A，M(32MC2=MA⋅MB；(3)若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．26.已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB=90°，∠ABC=30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF=90°，∠DFE=30°，连接CE并延长CE到P，使EP=CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．(1)如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB=EP；②∠EFP=30°；(2)如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP=30°．答案和解析1.【答案】A．【解析】解：4的倒数为14故选：A．根据倒数的意义，乘积是1的两个数叫做互为倒数，求倒数的方法，是把一个数的分子和分母互换位置即可，是带分数的化成假分数，再把分子分母互换位置，据此解答．本题主要考查倒数的意义．解题的关键倒数的意义，注意求倒数的方法，把分子分母互换位置．2.【答案】C【解析】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；故选：C．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后完全可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分完全重合．3.【答案】B【解析】解：作CF//AB，∵AB//DE，∴CF//DE，∴AB//DE//DE，∴∠1=∠BCF，∠FCE=∠2，∵∠1=30°，∠2=35°，∴∠BCF=30°，∠FCE=35°，∴∠BCE=65°，故选：B．根据平行线的性质和∠1=30°，∠2=35°，可以得到∠BCE的度数，本题得以解决．本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．4.【答案】D【解析】解：A、a2+2ab+b2=(a+b)2，原计算错误，故此选项不符合题意；B、a2与a4不是同类项不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；C、a10÷a5=a5，原计算错误，故此选项不符合题意；D、a2⋅a3=a5，原计算正确，故此选项符合题意；故选：D．根据完全平方公式、合并同类项法则、同底数幂的乘除法计算得到结果，即可作出判断．此题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5.【答案】C【解析】解：A、明天的降水概率为80%，则明天下雨可能性较大，故本选项错误；B、抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面朝上的概率是1，故本选项错误；2C、了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式，故本选项正确；D、一组数据的众数不一定只有一个，故本选项错误；故选：C．根据必然事件的概念、众数的定义、随机事件的概率逐项分析即可得出答案．本题考查了必然事件的概念、众数的定义、求随机事件的概率，解题的关键是熟练掌握众数的定义以及求随机事件的概率．6.【答案】C【解析】解：这个圆锥的母线长=√102+202=10√5，×2π×10×10√5=100√5π.这个圆锥的侧面积=12故选：C．先利用勾股定理计算出母线长，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．7.【答案】B【解析】解：由图象知，抛物线与x轴有两个交点，∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，∴b2−4ac>0，故①正确，由图象知，抛物线的对称轴直线为x=2，∴−b=2，2a∴4a+b=0，故②正确，由图象知，抛物线开口方向向下，∴a<0，∵4a+b=0，∴b>0，而抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c>0，∴abc<0，故③正确，由图象知，当x=−2时，y<0，∴4a−2b+c<0，故④错误，即正确的结论有3个，故选：B．先由抛物线与x周董交点个数判断出结论①，利用抛物线的对称轴为x=2，判断出结论②，先由抛物线的开口方向判断出a<0，进而判断出b>0，再用抛物线与y轴的交点的位置判断出c>0，判断出结论③，最后用x=−2时，抛物线在x轴下方，判断出结论④，即可得出结论．此题主要考查了二次函数图形与系数的关系，抛物线与y轴的交点，抛物线的对称轴，掌握抛物线的性质是解本题的关键．8.【答案】D【解析】解：经实验或按下方法可求得顶点C，E和F棋子不可能停到．设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+⋯+k=12k(k+1)，应停在第12k(k+1)−7p格，这时P是整数，且使0≤12k(k+1)−7p≤6，分别取k=1，2，3，4，5，6，7时，12k(k+1)−7p=1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，若7<k≤2020，设k=7+t(t=1,2，3)代入可得，12k(k+1)−7p=7m+12t(t+1)，由此可知，停棋的情形与k=t时相同，故第2，4，5格没有停棋，即顶点C，E和F棋子不可能停到．故选：D．设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+⋯+k=12k(k+1)，然后根据题目中所给的第k次依次移动k个顶点的规则，可得到不等式最后求得解．本题考查规律型：图形的变化类，理解题意能力，关键是知道棋子所停的规则，找到规律，然后得到不等式求解．9.【答案】x(y+2)(y−2)【解析】解：原式=x(y2−4)=x(y+2)(y−2)，故答案为：x(y+2)(y−2)原式提取x，再利用平方差公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．10.【答案】x>3【解析】解：由题意得：2x−6>0，解得：x>3，故答案为：x>3．根据二次根式有意义的条件可得2x−6>0，再解即可．此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．分式分母不为零．11.【答案】3√2【解析】解：原式=3√22−√22+2√2=3√2．故答案为：3√2．直接化简二次根式进而合并得出答案．此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．12.【答案】−12【解析】解：∵AB⊥OB，∴S△AOB=|k|2=6，∴k=±12，∵反比例函数的图象在二四象限，∴k <0， ∴k =−12， 故答案为−12．根据反比例函数比例系数的几何意义即可解决问题．本题考查反比例函数系数k 的几何意义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．13.【答案】400人【解析】解：1200×6+412+8+6+4=400(人)，答：估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为400人．用总人数×每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数所占的百分比即可得到结论． 本题考查了频数(率)分布表，用样本估计总体，正确的理解题意是解题的关键． 14.【答案】4【解析】解：设李红出门没有买到口罩的次数是x ，买到口罩的次数是y ，由题意得： {x +y =1015−1×10+5y =35， 整理得：{x +y =105y =30，解得：{x =4y =6．故答案为：4．设李红出门没有买到口罩的次数是x ，买到口罩的次数是y ，根据买口罩的次数是10次和家里现有口罩35只，可列出关于x 和y 的二元一次方程组，求解即可．本题考查了二元一次方程组在实际问题中的应用，本题数量关系清晰，难度不大． 15.【答案】12【解析】解：设正方形ABCD 的边长为x ，由翻折可得： DG =DA =DC =x ， ∵GF =4，EG =6，∴AE =EG =6，CF =GF =4，∴BE =x −6，BF =x −6，EF =6+4=10，如图1所示：在Rt △BEF 中，由勾股定理得： BE 2+BF 2=EF 2，∴(x −6)2+(x −4)2=102，∴x 2−12x +36+x 2−8x +16=100， ∴x 2−10x −24=0， ∴(x +2)(x −12)=0， ∴x 1=−2(舍)，x 2=12． ∴DG =12．故答案为：12．设正方形ABCD 的边长为x ，由翻折及已知线段的长，可用含x 的式子分别表示出BE 、BF 及EF 的长；在Rt △BEF 中，由勾股定理得关于x 的方程，解得x 的值，即为DG 的长．本题主要考查了翻折变换、正方形的性质、勾股定理及解一元二次方程，数形结合并明确相关性质及定理是解题的关键．16.【答案】x =2或x =−1+√2或x =−1−√2【解析】解：∵x 3−5x +2=0， ∴x 3−4x −x +2=0， ∴x(x 2−4)−(x −2)=0，∴x(x +2)(x −2)−(x −2)=0，则(x −2)[x(x +2)−1]=0，即(x −2)(x 2+2x −1)=0， ∴x −2=0或x 2+2x −1=0， 解得x =2或x =−1±√2，故答案为：x =2或x =−1+√2或x =−1−√2． 将原方程左边变形为x 3−4x −x +2=0，再进一步因式分解得(x −2)[x(x +2)−1]=0，据此得到两个关于x 的方程求解可得．本题主要考查因式分解的应用，因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入． 17.【答案】解：原式=1+3×2−4×1 =1+6−4 =3．【解析】先计算20、√4、(13)−1、tan45°，再按运算顺序求值即可．本题考查了零指数、负整数指数幂、特殊角的三角函数值等知识点，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式的运算及特殊角的三角函数值是解决本题的关键． 18.【答案】解：(1)把(3,18)，(−2,8)代入一次函数y =kx +b(k ≠0)，得 {3k +b =18−2k +b =8， 解得{k =2,b =12，∴一次函数的解析式为y =2x +12；(2)∵一次函数y =kx +b(k ≠0)的图象与反比例函数y =m x(m ≠0)的图象只有一个交点，∴{y =2x +12y =m x只有一组解， 即2x 2+12x −m =0有两个相等的实数根， ∴△=122−4×2×(−m)=0， ∴m =−18．把m =−18代入求得该方程的解为：x =−3， 把x =−3代入y =2x +12得：y =6， 即所求的交点坐标为(−3,6)．【解析】(1)直接把(3,18)，(−2,8)代入一次函数y=kx+b中可得关于k、b的方程组，再解方程组可得k、b的值，进而求出一次函数的解析式；(2)联立一次函数解析式和反比例函数解析式，根据题意得到△=0，解方程即可得到结论．此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．19.【答案】解：(1)轻症患者的人数=200×80%=160(人)；(2)该市为治疗危重症患者共花费钱数=200×(1−80%−15%)×10=100(万元)；(3)所有患者的平均治疗费用=1.5×160+3×(200×15%)+100200=2.15(万元)；2种情况，∴P(恰好选中B、D)=220=110．【解析】(1)因为总人数已知，由轻症患者所占的百分比即可求出其的人数；(2)求出该市危重症患者所占的百分比，即可求出其共花费的钱数；(3)用加权平均数公式求出各种患者的平均费用即可；(4)首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与恰好选中B、D两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及条形统计图的应用．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．20.【答案】解：{2x−1<x+4①23x−3x+12≤13②，由①得：x<5，由②得：x≥−1，不等式组的解集为：−1≤x<5．【解析】首先分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律确定不等式组的解集．此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的确定方法：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．21.【答案】解：(x+1−7x−9x )÷x2−9x=x(x+1)−(7x−9)x⋅x(x+3)(x−3)=x2+x−7x+9 (x+3)(x−3)=(x−3)2 (x+3)(x−3)=x−3x+3，当x=2时，原式=2−32+3=−15．【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．22.【答案】解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x 兆，由题意得：600 x −60015x=140，解得：x=4，经检验：x=4是原分式方程的解，且符合题意，15×4=60，答：该地4G的下载速度是每秒4兆，则该地5G的下载速度是每秒60兆．【解析】首先设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，根据题意可得等量关系：4G下载600兆所用时间−5G下载600兆所用时间=140秒．然后根据等量关系，列出分式方程，再解即可．此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数列出方程．23.【答案】方法一：解：如图1，过点C作CF⊥AB于点F，在Rt△ACF中，∵sin∠CAB=sin(60°+5°)=sin65°=CFAC，∴CF=AC⋅sin65°≈2×0.91=1.82，在Rt△BCF中，∵∠ABC=45°，∴CF=BF，∴BC=√2CF=1.41×1.82=2.5662≈2.6，答：所求BC的长度约为2.6米．方法二：解：如图2，过点A作AE⊥BC于点E，在Rt△ACE中，∵∠C=180°−65°−45°=70°，∴cosC=cos70°=CEAC，即CE=AC×cos70°≈2×0.34=0.68，sinC=sin70°=AEAC，即AE=AC×sin70°≈2×0.94=1.88，又∵在Rt△AEB中，∠ABC=45°，∴AE=BE，∴BC=BE+CE=0.68+1.88=2.56≈2.6，答：所求BC的长度约为2.6米．【解析】直接过点C作CF⊥AB于点F，利用锐角三角函数关系得出CF的长，进而得出BC的长．此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．24.【答案】解：(1)连接OC，∵OC=OB，∴∠OBC=∠OCB，∵DE⊥AB，∴∠OBC+∠DFB=90°，∵EF=EC，∴∠ECF=∠EFC=∠DFB，∴∠OCB+∠ECF=90°，∴OC⊥CE，∴EC是⊙O的切线；(2)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵OB=5，∴AB=10，∴AC=√AB2−BC2=√100−64=6，∵cos∠ABC=BDBF =BCAB，∴810=4BF，∴BF=5，∴CF=BC−BF=3，∵∠ABC+∠A=90°，∠ABC+∠BFD=90°，∴∠BFD=∠A，∴∠A=∠BFD=∠ECF=∠EFC，∵OA=OC，∴∠OCA=∠A=∠BFD=∠ECF=∠EFC，∴△OAC∽△ECF，∴ECOA =CFAC，∴EC=OA⋅CFAC =5×36=52．【解析】(1)连接OC，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得∠OCB+∠ECF= 90°，可证EC是⊙O的切线；(2)由勾股定理可求AC=6，由锐角三角函数可求BF=5，可求CF=3，通过证明△OAC∽△ECF，可得ECOA =CFAC，可求解．本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，切线的判定和性质，锐角三角函数等知识，证明△OAC∽△ECF 是本题的关键．25.【答案】解：(1)把点A(−3,94)代入y =ax 2，得到94=9a ， ∴a =14，∴抛物线的解析式为y =14x 2．(2)设直线l 的解析式为y =kx +b ，则有{94=−3k +b0=32k +b， 解得{k =−12b =34， ∴直线l 的解析式为y =−12x +34， 令x =0，得到y =34， ∴C(0,34)，由{y =14x 2y =−12x +34，解得{x =1y =14或{x =−3y =94， ∴B(1,14)，如图1中，过点A 作AA 1⊥x 轴于A 1，过B 作BB 1⊥x 轴于B 1，则BB 1//OC//AA 1，∴BMMC =MB 1MO =32−132=13，MC MA =MOMA 1=3232−(−3)=13，∴BMMC =MCMA ， 即MC 2=MA ⋅MB ．(3)如图2中，设P(t,14t 2)∵OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，∴PD//OC，PD=OC，∴D(t,−12t+34)，∴|14t2−(−12t+34)|=34，整理得：t2+2t−6=0或t2+2t=0，解得t=−1−√7或−1=√7或−2或0(舍弃)，∴P(−1−√7,2+√72)或(−1+√7,2−√72)或(−2,1)．【解析】(1)利用待定系数法即可解决问题．(2)构建方程组确定点B的坐标，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．(3)如图2中，设P(t,14t2)，根据PD=CD构建方程求出t即可解决问题．本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．26.【答案】证明(1)①∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴∠A=90°−30°=60°，同理∠EDF=60°，∴∠A=∠EDF=60°，∴AC//DE，∴∠DMB=∠ACB=90°，∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，AC//DM，∴BMBC =BDAB=12，即M是BC的中点，∵EP=CE，即E是PC的中点，∴ED//BP，∴∠CBP=∠DMB=90°，∴△CBP是直角三角形，∴BE=12PC=EP；②∵∠ABC=∠DFE=30°，∴BC//EF，由①知：∠CBP=90°，∴BP⊥EF，∵EB=EP，∴EF是线段BP的垂直平分线，∴PF=BF，∴∠PFE=∠BFE=30°；(2)如图2，延长DE到Q，使EQ=DE，连接CD，PQ，FQ，∵EC=EP，∠DEC=∠QEP，∴△QEP≌△DEC(SAS)，则PQ=DC=DB，∵QE=DE，∠DEF=90°∴EF是DQ的垂直平分线，∴QF=DF，∵CD=AD，∴∠CDA=∠A=60°，∴∠CDB=120°，∴∠FDB=120°−∠FDC=120°−(60°+∠EDC)=60°−∠EDC=60°−∠EQP=∠FQP，∴△FQP≌△FDB(SAS)，∴∠QFP=∠BFD，∵EF是DQ的垂直平分线，∴∠QFE=∠EFD=30°，∴∠QFP+∠EFP=30°，∴∠BFD+∠EFP=30°．【解析】(1)①证明△CBP是直角三角形，根据直角三角形斜边中线可得结论；②根据同位角相等可得BC//EF，由平行线的性质得BP⊥EF，可得EF是线段BP的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠PFE=∠BFE=30°；(2)如图2，延长DE到Q，使EQ=DE，连接CD，PQ，FQ，证明△QEP≌△DEC(SAS)，则PQ=DC=DB，由QE=DE，∠DEF=90°，知EF是DQ的垂直平分线，证明△FQP≌△FDB(SAS)，再由EF是DQ的垂直平分线，可得结论．本题是三角形的综合题，考查了平行线分线段成比理、勾股定理、三角形全等的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，难度适中，属于中考常考题型．。
2020年湖南省常德市中考数学试卷(含详细解析)
x≤3.5
3.5＜x≤5
5＜x≤6.5
x＞6.5
人数
12
8
6
4
若该校共有1200名学生，试估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为_____．
14．今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是_____次．
（1）求证：EC是⊙O的切线；
（2）若BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求切线EC的长．
25．如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3， ）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知直线l过点A，M（ ，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB；
（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．
（1）轻症患者的人数是多少？
（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？
（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？
（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A、B、C、D、E五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率．
24．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB于D，DE交BC于F，且EF＝EC．
18．解不等式组 ．
19．先化简，再选一个合适的数代入求值：（x+1﹣ ）÷ ．
20．第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？
2020年湖南省常德市中考数学试卷(含答案)
2020年湖南省常德市中考数学试卷一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）4的倒数为（）A．B．2C．1D．﹣4 2．（3分）下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是（）A．B．C．D．3．（3分）如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（）A．70°B．65°C．35°D．5°4．（3分）下列计算正确的是（）A．a2+b2＝（a+b）2B．a2+a4＝a6C．a10÷a5＝a2D．a2•a3＝a55．（3分）下列说法正确的是（）A．明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上C．了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式D．一组数据的众数一定只有一个6．（3分）一个圆锥的底面半径r＝10，高h＝20，则这个圆锥的侧面积是（）A．100πB．200πC．100πD．200π7．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．18．（3分）如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B 处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（）A．C、E B．E、F C．G、C、E D．E、C、F二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）9．（3分）分解因式：xy2﹣4x＝．10．（3分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．11．（3分）计算：﹣+＝．12．（3分）如图，若反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A，AB⊥x轴于B，且△AOB 的面积为6，则k＝．13．（3分）4月23日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时间，统计如下：阅读时间（x小时）x≤3.5 3.5＜x≤55＜x≤6.5x＞6.5人数12864若该校共有1200名学生，试估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为．14．（3分）今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是次．15．（3分）如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合（A、C都落在G点），若GF＝4，EG＝6，则DG的长为．16．（3分）阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为．三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）17．（5分）计算：20+（）﹣1•﹣4tan45°．18．（5分）解不等式组．四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）19．（6分）先化简，再选一个合适的数代入求值：（x+1﹣）÷．20．（6分）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G 下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21．（7分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（3，18）和B（﹣2，8）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象只有一个交点，求交点坐标．22．（7分）如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，若AC＝2米，求BC的长度．（结果保留一位小数）（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41）六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）23．（8分）今年2﹣4月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．（1）轻症患者的人数是多少？（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A、B、C、D、E 五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率．24．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB 于D，DE交BC于F，且EF＝EC．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求切线EC的长．七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）25．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线l过点A，M（，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB；（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D 的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．26．（10分）已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．2020年湖南省常德市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）4的倒数为（）A．B．2C．1D．﹣4【解答】解：4的倒数为．故选：A．【点评】本题主要考查倒数的意义．解题的关键倒数的意义，注意求倒数的方法，把分子分母互换位置．2．（3分）下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后完全可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分完全重合．3．（3分）如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（）A．70°B．65°C．35°D．5°【解答】解：作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴AB∥DE∥DE，∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，∵∠1＝30°，∠2＝35°，∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，∴∠BCE＝65°，故选：B．【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．4．（3分）下列计算正确的是（）A．a2+b2＝（a+b）2B．a2+a4＝a6C．a10÷a5＝a2D．a2•a3＝a5【解答】解：A、a2+2ab+b2＝（a+b）2，原计算错误，故此选项不符合题意；B、a2与a4不是同类项不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；C、a10÷a5＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意；D、a2•a3＝a5，原计算正确，故此选项符合题意；故选：D．【点评】此题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5．（3分）下列说法正确的是（）A．明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上C．了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式D．一组数据的众数一定只有一个【解答】解：A、明天的降水概率为80%，则明天下雨可能性较大，故本选项错误；B、抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面朝上的概率是，故本选项错误；C、了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式，故本选项正确；D、一组数据的众数不一定只有一个，故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查了必然事件的概念、众数的定义、求随机事件的概率，解题的关键是熟练掌握众数的定义以及求随机事件的概率．6．（3分）一个圆锥的底面半径r＝10，高h＝20，则这个圆锥的侧面积是（）A．100πB．200πC．100πD．200π【解答】解：这个圆锥的母线长＝＝10，这个圆锥的侧面积＝×2π×10×10＝100π．故选：C．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．7．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1【解答】解：由图象知，抛物线与x轴有两个交点，∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＞0，故①正确，由图象知，抛物线的对称轴直线为x＝2，∴﹣＝2，∴4a+b＝0，故②正确，由图象知，抛物线开口方向向下，∴a＜0，∵4a+b＝0，∴b＞0，而抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0，∴abc＜0，故③正确，由图象知，当x＝﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，故④错误，即正确的结论有3个，故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数图形与系数的关系，抛物线与y轴的交点，抛物线的对称轴，掌握抛物线的性质是解本题的关键．8．（3分）如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B 处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（）A．C、E B．E、F C．G、C、E D．E、C、F【解答】解：经实验或按下方法可求得顶点C，E和F棋子不可能停到．设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝k（k+1），应停在第k（k+1）﹣7p 格，这时P是整数，且使0≤k（k+1）﹣7p≤6，分别取k＝1，2，3，4，5，6，7时，k（k+1）﹣7p＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，若7＜k≤2020，设k＝7+t（t＝1，2，3）代入可得，k（k+1）﹣7p＝7m+t（t+1），由此可知，停棋的情形与k＝t时相同，故第2，4，5格没有停棋，即顶点C，E和F棋子不可能停到．【点评】本题考查规律型：图形的变化类，理解题意能力，关键是知道棋子所停的规则，找到规律，然后得到不等式求解．二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）9．（3分）分解因式：xy2﹣4x＝x（y+2）（y﹣2）．【解答】解：原式＝x（y2﹣4）＝x（y+2）（y﹣2），故答案为：x（y+2）（y﹣2）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．10．（3分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是x＞3．【解答】解：由题意得：2x﹣6＞0，解得：x＞3，故答案为：x＞3．【点评】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．分式分母不为零．11．（3分）计算：﹣+＝3．【解答】解：原式＝﹣+2＝3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．12．（3分）如图，若反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A，AB⊥x轴于B，且△AOB 的面积为6，则k＝﹣12．【解答】解：∵AB⊥OB，＝＝6，∴S△AOB∵反比例函数的图象在二四象限，∴k＜0，∴k＝﹣12，故答案为﹣12．【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．13．（3分）4月23日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时间，统计如下：阅读时间（x小时）x≤3.5 3.5＜x≤55＜x≤6.5x＞6.5人数12864若该校共有1200名学生，试估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为400人．【解答】解：1200×＝400（人），答：估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为400人．【点评】本题考查了频数（率）分布表，用样本估计总体，正确的理解题意是解题的关键．14．（3分）今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是4次．【解答】解：设李红出门没有买到口罩的次数是x，买到口罩的次数是y，由题意得：，整理得：，解得：．故答案为：4．【点评】本题考查了二元一次方程组在实际问题中的应用，本题数量关系清晰，难度不大．15．（3分）如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合（A、C都落在G点），若GF＝4，EG＝6，则DG的长为12．【解答】解：设正方形ABCD的边长为x，由翻折可得：DG＝DA＝DC＝x，∵GF＝4，EG＝6，∴AE＝EG＝6，CF＝GF＝4，∴BE＝x﹣6，BF＝x﹣6，EF＝6+4＝10，如图1所示：在Rt△BEF中，由勾股定理得：BE2+BF2＝EF2，∴（x﹣6）2+（x﹣4）2＝102，∴x2﹣12x+36+x2﹣8x+16＝100，∴x2﹣10x﹣24＝0，∴（x+2）（x﹣12）＝0，∴x1＝﹣2（舍），x2＝12．∴DG＝12．故答案为：12．【点评】本题主要考查了翻折变换、正方形的性质、勾股定理及解一元二次方程，数形结合并明确相关性质及定理是解题的关键．16．（3分）阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣．【解答】解：∵x3﹣5x+2＝0，∴x3﹣4x﹣x+2＝0，∴x（x2﹣4）﹣（x﹣2）＝0，∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，则（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0，∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0，解得x＝2或x＝﹣1，故答案为：x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣．【点评】本题主要考查因式分解的应用，因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）17．（5分）计算：20+（）﹣1•﹣4tan45°．【解答】解：原式＝1+3×2﹣4×1＝1+6﹣4＝3．【点评】本题考查了零指数、负整数指数幂、特殊角的三角函数值等知识点，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式的运算及特殊角的三角函数值是解决本题的关键．18．（5分）解不等式组．【解答】解：，由①得：x＜5，由②得：x≥﹣1，不等式组的解集为：﹣1≤x＜5．【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的确定方法：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）19．（6分）先化简，再选一个合适的数代入求值：（x+1﹣）÷．【解答】解：（x+1﹣）÷＝＝＝＝，当x＝2时，原式＝＝﹣．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．20．（6分）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G 下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？【解答】解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，由题意得：﹣＝140，解得：x＝4，经检验：x＝4是原分式方程的解，且符合题意，15×4＝60，答：该地4G的下载速度是每秒4兆，则该地5G的下载速度是每秒60兆．【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数列出方程．五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21．（7分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（3，18）和B（﹣2，8）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象只有一个交点，求交点坐标．【解答】解：（1）把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数y＝kx+b（k≠0），得，解得，∴一次函数的解析式为y＝2x+12；（2）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象只有一个交点，∴只有一组解，即2x2+12x﹣m＝0有两个相等的实数根，∴△＝122﹣4×2×（﹣m）＝0，∴m＝﹣18．把m＝﹣18代入求得该方程的解为：x＝﹣3，把x＝﹣3代入y＝2x+12得：y＝6，即所求的交点坐标为（﹣3，6）．【点评】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．22．（7分）如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，若AC＝2米，求BC的长度．（结果保留一位小数）（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41）【解答】方法一：解：如图1，过点C作CF⊥AB于点F，在Rt△ACF中，∵sin∠CAB＝sin（60°+5°）＝sin65°＝，∴CF＝AC•sin65°≈2×0.91＝1.82，在Rt△BCF中，∵∠ABC＝45°，∴CF＝BF，∴BC＝CF＝1.41×1.82＝2.5662≈2.6，答：所求BC的长度约为2.6米．方法二：解：如图2，过点A作AE⊥BC于点E，在Rt△ACE中，∵∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°，∴cos C＝cos70°＝，即CE＝AC×cos70°≈2×0.34＝0.68，sin C＝sin70°＝，即AE＝AC×sin70°≈2×0.94＝1.88，又∵在Rt△AEB中，∠ABC＝45°，∴AE＝BE，∴BC＝BE+CE＝0.68+1.88＝2.56≈2.6，答：所求BC的长度约为2.6米．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）23．（8分）今年2﹣4月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．（1）轻症患者的人数是多少？（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A、B、C、D、E 五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率．【解答】解：（1）轻症患者的人数＝200×80%＝160（人）；（2）该市为治疗危重症患者共花费钱数＝200×（1﹣80%﹣15%）×10＝100（万元）；（3）所有患者的平均治疗费用＝＝2.15（万元）；（4）列表得：A B C D EA（B，A）（C，A）（D，A）（E，A）B（A，B）（C，B）（D，B）（E，B）C（A，C）（B，C）（D，C）（E，C）D（A，D）（B，D）（C，D）（E，D）E（A，E）（B，E）（C，E）（D，E）由列表格，可知：共有20种等可能的结果，恰好选中B、D两位同学的有2种情况，∴P（恰好选中B、D）＝＝．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及条形统计图的应用．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．24．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB 于D，DE交BC于F，且EF＝EC．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求切线EC的长．【解答】解：（1）连接OC，∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB，∵DE⊥AB，∴∠OBC+∠DFB＝90°，∵EF＝EC，∴∠ECF＝∠EFC＝∠DFB，∴∠OCB+∠ECF＝90°，∴OC⊥CE，∴EC是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OB＝5，∴AB＝10，∴AC＝＝＝6，∵cos∠ABC＝，∴，∴BF＝5，∴CF＝BC﹣BF＝3，∵∠ABC+∠A＝90°，∠ABC+∠BFD＝90°，∴∠BFD＝∠A，∴∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，∴△OAC∽△ECF，∴，∴EC＝＝＝．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，切线的判定和性质，锐角三角函数等知识，证明△OAC∽△ECF是本题的关键．七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）25．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线l过点A，M（，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB；（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D 的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．【解答】解：（1）把点A（﹣3，）代入y＝ax2，得到＝9a，∴a＝，∴抛物线的解析式为y＝x2．（2）设直线l的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线l的解析式为y＝﹣x+，令x＝0，得到y＝，∴C（0，），由，解得或，∴B（1，），如图1中，过点A作AA1⊥x轴于A1，过B作BB1⊥x轴于B1，则BB1∥OC∥AA1，∴＝＝＝，＝＝＝，∴＝，即MC2＝MA•MB．（3）如图2中，设P（t，t2）∵OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，∴PD∥OC，PD＝OC，∴D（t，﹣t+），∴|t2﹣（﹣t+）|＝，整理得：t2+2t﹣6＝0或t2+2t＝0，解得t＝﹣1﹣或﹣1＝或﹣2或0（舍弃），∴P（﹣1﹣，2+）或（﹣1+，2﹣）或（﹣2，1）．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．26．（10分）已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．【解答】证明（1）①∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝90°﹣30°＝60°，同理∠EDF＝60°，∴∠A＝∠EDF＝60°，∴AC∥DE，∴∠DMB＝∠ACB＝90°，∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，AC∥DM，∴，即M是BC的中点，∵EP＝CE，即E是PC的中点，∴ED∥BP，∴∠CBP＝∠DMB＝90°，∴△CBP是直角三角形，∴BE＝PC＝EP；②∵∠ABC＝∠DFE＝30°，∴BC∥EF，由①知：∠CBP＝90°，∴BP⊥EF，∵EB＝EP，∴EF是线段BP的垂直平分线，∴PF＝BF，∴∠PFE＝∠BFE＝30°；（2）如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ，∵EC＝EP，∠DEC＝∠QEP，∴△QEP≌△DEC（SAS），则PQ＝DC＝DB，∵QE＝DE，∠DEF＝90°∴EF是DQ的垂直平分线，∴QF＝DF，∵CD＝AD，∴∠CDA＝∠A＝60°，∴∠CDB＝120°，∴∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP，∴△FQP≌△FDB（SAS），∴∠QFP＝∠BFD，∵EF是DQ的垂直平分线，∴∠QFE＝∠EFD＝30°，∴∠QFP+∠EFP＝30°，∴∠BFD+∠EFP＝30°．【点评】本题是三角形的综合题，考查了平行线分线段成比理、勾股定理、三角形全等的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，难度适中，属于中考常考题型．。
常德市2020年中考数学试题与答案
常德市2020年中考数学试题与答案注意事项：1、本试卷满分 120 分，考试时间 120 分钟。
2、本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上。
答在试卷上的答案无效。
一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）1．4的倒数为（）A．B．2 C．1 D．﹣42．下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是（）A．B．C．D．3．如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（）A．70°B．65°C．35°D．5°4．下列计算正确的是（）A．a2+b2＝（a+b）2B．a2+a4＝a6C．a10÷a5＝a2D．a2•a3＝a55．下列说法正确的是（）A．明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上C．了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式D．一组数据的众数一定只有一个6．一个圆锥的底面半径r＝10，高h＝20，则这个圆锥的侧面积是（）A．100πB．200πC．100πD．200π7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．18．如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（）A．C、E B．E、F C．G、C、E D．E、C、F二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）9．分解因式：xy2﹣4x＝．10．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．11．计算：﹣+＝．12．如图，若反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积为6，则k＝．13．4月23日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时间，统计如表：阅读时间（x小时）x≤3.5 3.5＜x≤5 5＜x≤6.5 x＞6.5人数12 8 6 4若该校共有1200名学生，试估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为．14．今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是次．15．如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合（A、C都落在G点），若GF＝4，EG＝6，则DG的长为．16．阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx ﹣1）．理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为．三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）17．计算：20+（）﹣1•﹣4tan45°．18．解不等式组．四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）19．先化简，再选一个合适的数代入求值：（x+1﹣）÷．20．第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（3，18）和B（﹣2，8）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象只有一个交点，求交点22．如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，若AC＝2米，求BC的长度．（结果保留一位小数）（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41）六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）23．今年2﹣4月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．（1）轻症患者的人数是多少？（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A、B、C、D、E五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率．24．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB于D，DE交BC于F，且（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求切线EC的长．七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）25．如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线l过点A，M（，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB；（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．26．已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．参考答案一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）1．A 2.C 3.B 4.D 5.C 6.C 7.B 8.D二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）9．x（y+2）（y﹣2）10．x＞3．11．3．12．﹣12．13．400．14．4．15．12．16．x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣．三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）17．解：原式＝1+3×2﹣4×1＝1+6﹣4＝3．18．解：，由①得：x＜5，由②得：x≥﹣1，不等式组的解集为：﹣1≤x＜5．四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）19．解：（x+1﹣）÷＝＝＝＝，当x＝2时，原式＝＝﹣．20．解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，由题意得：﹣＝140，解得：x＝4，经检验：x＝4是原分式方程的解，且符合题意，15×4＝60，答：该地4G的下载速度是每秒4兆，则该地5G的下载速度是每秒60兆．五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21．解：（1）把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数y＝kx+b（k≠0），得，解得，∴一次函数的解析式为y＝2x+12；（2）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象只有一个交点，∴只有一组解，即2x2+12x﹣m＝0有两个相等的实数根，∴△＝122﹣4×2×（﹣m）＝0，∴m＝﹣18．把m＝﹣18代入求得该方程的解为：x＝﹣3，把x＝﹣3代入y＝2x+12得：y＝6，即所求的交点坐标为（﹣3，6）．22．解：如图2，过点A作AE⊥BC于点E，在Rt△ACE中，∵∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°，∴cos C＝cos70°＝，即CE＝AC×cos70°≈2×0.34＝0.68，sin C＝sin70°＝，即AE＝AC×sin70°≈2×0.94＝1.88，又∵在Rt△AEB中，∠ABC＝45°，∴AE＝BE，∴BC＝BE+CE＝0.68+1.88＝2.56≈2.6，答：所求BC的长度约为2.6米．六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）23．解：（1）轻症患者的人数＝200×80%＝160（人）；（2）该市为治疗危重症患者共花费钱数＝200×（1﹣80%﹣15%）×10＝100（万元）；（3）所有患者的平均治疗费用＝＝2.15（万元）；（4）列表得：A B C D EA（B，A）（C，A）（D，A）（E，A）B（A，B）（C，B）（D，B）（E，B）C（A，C）（B，C）（D，C）（E，C）D（A，D）（B，D）（C，D）（E，D）E（A，E）（B，E）（C，E）（D，E）由列表格，可知：共有20种等可能的结果，恰好选中B、D两位同学的有2种情况，∴P（恰好选中B、D）＝＝．24．解：（1）连接OC，∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB，∵DE⊥AB，∴∠OBC+∠DFB＝90°，∵EF＝EC，∴∠ECF＝∠EFC＝∠DFB，∴∠OCB+∠ECF＝90°，∴OC⊥CE，∴EC是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OB＝5，∴AB＝10，∴AC＝＝＝6，∵cos∠ABC＝，∴，∴BF＝5，∴CF＝BC﹣BF＝3，∵∠ABC+∠A＝90°，∠ABC+∠BFD＝90°，∴∠BFD＝∠A，∴∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，∴△OAC∽△ECF，∴，∴EC＝＝＝．七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）25．解：（1）把点A（﹣3，）代入y＝ax2，得到＝9a，∴a＝，∴抛物线的解析式为y＝x2．（2）设直线l的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线l的解析式为y＝﹣x+，令x＝0，得到y＝，∴C（0，），由，解得或，∴B（1，），如图1中，过点A作AA1⊥x轴于A1，过B作BB1⊥x轴于B1，则BB1∥OC∥AA1，∴＝＝＝，＝＝＝，∴＝，即MC2＝MA•MB．（3）如图2中，设P（t，t2）∵OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，∴PD∥OC，PD＝OC，∴D（t，﹣t+），∴|t2﹣（﹣t+）|＝，整理得：t2+2t﹣6＝0或t2+2t＝0，解得t＝﹣1﹣或﹣1＝或﹣2或0（舍弃），∴P（﹣1﹣，2+）或（﹣1+，2﹣）或（﹣2，1）．26．证明（1）①∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝90°﹣30°＝60°，同理∠EDF＝60°，∴∠A＝∠EDF＝60°，∴AC∥DE，∴∠DMB＝∠ACB＝90°，∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，AC∥DM，∴，即M是BC的中点，∵EP＝CE，即E是PC的中点，∴ED∥BP，∴∠CBP＝∠DMB＝90°，∴△CBP是直角三角形，∴BE＝PC＝EP；②∵∠ABC＝∠DFE＝30°，∴BC∥EF，由①知：∠CBP＝90°，∴BP⊥EF，∵EB＝EP，∴EF是线段BP的垂直平分线，∴PF＝BF，∴∠PFE＝∠BFE＝30°；（2）如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ，∵EC＝EP，∠DEC＝∠QEP，∴△QEP≌△DEC（SAS），则PQ＝DC＝DB，∵QE＝DE，∠DEF＝90°∴EF是DQ的垂直平分线，∴QF＝DF，∵CD＝AD，∴∠CDA＝∠A＝60°，∴∠CDB＝120°，∴∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP，∴△FQP≌△FDB（SAS），∴∠QFP＝∠BFD，∵EF是DQ的垂直平分线，∴∠QFE＝∠EFD＝30°，∴∠QFP+∠EFP＝30°，∴∠BFD+∠EFP＝30°．。
2020年湖南省常德市中考数学试卷(有详细解析)
2020年湖南省常德市中考数学试卷姓名：___________班级：___________得分：___________一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.4的倒数为()A. 14B. 2C. 1D. −42.下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是()A. B. C. D.3.如图，已知AB//DE，∠1=30°，∠2=35°，则∠BCE的度数为()A. 70°B. 65°C. 35°D. 5°4.下列计算正确的是()A. a2+b2=(a+b)2B. a2+a4=a6C. a10÷a5=a2D. a2⋅a3=a55.下列说法正确的是()A. 明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨B. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上C. 了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式D. 一组数据的众数一定只有一个6.一个圆锥的底面半径r=10，高ℎ=20，则这个圆锥的侧面积是()A. 100√3πB. 200√3πC. 100√5πD. 200√5π7.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①b2−4ac>0；②abc<0；③4a+b=0；④4a−2b+c>0．其中正确结论的个数是()A. 4B. 3C. 2D. 18.如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点(如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处)，按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是()A. C、EB. E、FC. G、C、ED. E、C、F二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9.分解因式：xy2−4x=______．10.若代数式2√2x−6在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．11.计算：√92−√12+√8=______．(x<0)的图象经过点A，AB⊥x轴12.如图，若反比例函数y=kx于B，且△AOB的面积为6，则k=______．13.4月23日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时间，统计如下：阅读时间(x小时)x≤3.5 3.5<x≤55<x≤6.5x>6.5人数12864若该校共有名学生，试估计全校每周课外阅读时间在小时以上的学生人数为______．14.今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是______次．15.如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合(A、C都落在G点)，若GF=4，EG=6，则DG的长为______．16.阅读理解：对于x3−(n2+1)x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3−(n2+1)x+n=x3−n2x−x+n=x(x2−n2)−(x−n)=x(x−n)(x+n)−(x−n)=(x−n)(x2+nx−1)．理解运用：如果x3−(n2+1)x+n=0，那么(x−n)(x2+nx−1)=0，即有x−n=0或x2+nx−1=0，因此，方程x−n=0和x2+nx−1=0的所有解就是方程x3−(n2+1)x+n=0的解．解决问题：求方程x3−5x+2=0的解为______．三、计算题（本大题共3小题，共20.0分）)−1⋅√4−4tan45°．17.计算：20+(1318.已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过A(3,18)和B(−2,8)两点．(1)求一次函数的解析式；(m≠0)的图象只有一(2)若一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=mx个交点，求交点坐标．19. 今年2−4月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图(不完整)，图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题． (1)轻症患者的人数是多少？(2)该市为治疗危重症患者共花费多少万元？ (3)所有患者的平均治疗费用是多少万元？(4)由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A 、B 、C 、D 、E 五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B 、D 两位患者的概率．四、解答题（本大题共7小题，共52.0分） 20. 解不等式组{2x −1<x +4①23x −3x+12≤13②．21.先化简，再选一个合适的数代入求值：(x+1−7x−9x )÷x2−9x．22.第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？23.如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，若AC=2米，求BC的长度．(结果保留一位小数)(参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，√2≈1.41)24.如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB于D，DE交BC于F，且EF=EC．(1)求证：EC是⊙O的切线；(2)若BD=4，BC=8，圆的半径OB=5，求切线EC的长．).25.如图，已知抛物线y=ax2过点A(−3,94(1)求抛物线的解析式；,0)且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：(2)已知直线l过点A，M(32MC2=MA⋅MB；(3)若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．26.已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB=90°，∠ABC=30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF=90°，∠DFE=30°，连接CE并延长CE到P，使EP=CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．(1)如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB=EP；②∠EFP=30°；(2)如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP=30°．答案和解析1.【答案】A．【解析】解：4的倒数为14故选：A．根据倒数的意义，乘积是1的两个数叫做互为倒数，求倒数的方法，是把一个数的分子和分母互换位置即可，是带分数的化成假分数，再把分子分母互换位置，据此解答．本题主要考查倒数的意义．解题的关键倒数的意义，注意求倒数的方法，把分子分母互换位置．2.【答案】C【解析】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；故选：C．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后完全可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分完全重合．3.【答案】B【解析】解：作CF//AB，∵AB//DE，∴CF//DE，∴AB//DE//DE，∴∠1=∠BCF，∠FCE=∠2，∵∠1=30°，∠2=35°，∴∠BCF=30°，∠FCE=35°，∴∠BCE=65°，故选：B．根据平行线的性质和∠1=30°，∠2=35°，可以得到∠BCE的度数，本题得以解决．本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．4.【答案】D【解析】解：A、a2+2ab+b2=(a+b)2，原计算错误，故此选项不符合题意；B、a2与a4不是同类项不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；C、a10÷a5=a5，原计算错误，故此选项不符合题意；D、a2⋅a3=a5，原计算正确，故此选项符合题意；故选：D．根据完全平方公式、合并同类项法则、同底数幂的乘除法计算得到结果，即可作出判断．此题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5.【答案】C【解析】解：A、明天的降水概率为80%，则明天下雨可能性较大，故本选项错误；B、抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面朝上的概率是1，故本选项错误；2C、了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式，故本选项正确；D、一组数据的众数不一定只有一个，故本选项错误；故选：C．根据必然事件的概念、众数的定义、随机事件的概率逐项分析即可得出答案．本题考查了必然事件的概念、众数的定义、求随机事件的概率，解题的关键是熟练掌握众数的定义以及求随机事件的概率．6.【答案】C【解析】解：这个圆锥的母线长=√102+202=10√5，×2π×10×10√5=100√5π.这个圆锥的侧面积=12故选：C．先利用勾股定理计算出母线长，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．7.【答案】B【解析】解：由图象知，抛物线与x轴有两个交点，∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，∴b2−4ac>0，故①正确，由图象知，抛物线的对称轴直线为x=2，∴−b=2，2a∴4a+b=0，故②正确，由图象知，抛物线开口方向向下，∴a<0，∵4a+b=0，∴b>0，而抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c>0，∴abc<0，故③正确，由图象知，当x=−2时，y<0，∴4a−2b+c<0，故④错误，即正确的结论有3个，故选：B．先由抛物线与x周董交点个数判断出结论①，利用抛物线的对称轴为x=2，判断出结论②，先由抛物线的开口方向判断出a<0，进而判断出b>0，再用抛物线与y轴的交点的位置判断出c>0，判断出结论③，最后用x=−2时，抛物线在x轴下方，判断出结论④，即可得出结论．此题主要考查了二次函数图形与系数的关系，抛物线与y轴的交点，抛物线的对称轴，掌握抛物线的性质是解本题的关键．8.【答案】D【解析】解：经实验或按下方法可求得顶点C，E和F棋子不可能停到．设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+⋯+k=12k(k+1)，应停在第12k(k+1)−7p格，这时P是整数，且使0≤12k(k+1)−7p≤6，分别取k=1，2，3，4，5，6，7时，12k(k+1)−7p=1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，若7<k≤2020，设k=7+t(t=1,2，3)代入可得，12k(k+1)−7p=7m+12t(t+1)，由此可知，停棋的情形与k=t时相同，故第2，4，5格没有停棋，即顶点C，E和F棋子不可能停到．故选：D．设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+⋯+k=12k(k+1)，然后根据题目中所给的第k次依次移动k个顶点的规则，可得到不等式最后求得解．本题考查规律型：图形的变化类，理解题意能力，关键是知道棋子所停的规则，找到规律，然后得到不等式求解．9.【答案】x(y+2)(y−2)【解析】解：原式=x(y2−4)=x(y+2)(y−2)，故答案为：x(y+2)(y−2)原式提取x，再利用平方差公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．10.【答案】x>3【解析】解：由题意得：2x−6>0，解得：x>3，故答案为：x>3．根据二次根式有意义的条件可得2x−6>0，再解即可．此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．分式分母不为零．11.【答案】3√2【解析】解：原式=3√22−√22+2√2=3√2．故答案为：3√2．直接化简二次根式进而合并得出答案．此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．12.【答案】−12【解析】解：∵AB⊥OB，∴S△AOB=|k|2=6，∴k=±12，∵反比例函数的图象在二四象限，∴k <0， ∴k =−12， 故答案为−12．根据反比例函数比例系数的几何意义即可解决问题．本题考查反比例函数系数k 的几何意义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．13.【答案】400人【解析】解：1200×6+412+8+6+4=400(人)，答：估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为400人．用总人数×每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数所占的百分比即可得到结论． 本题考查了频数(率)分布表，用样本估计总体，正确的理解题意是解题的关键． 14.【答案】4【解析】解：设李红出门没有买到口罩的次数是x ，买到口罩的次数是y ，由题意得： {x +y =1015−1×10+5y =35， 整理得：{x +y =105y =30，解得：{x =4y =6．故答案为：4．设李红出门没有买到口罩的次数是x ，买到口罩的次数是y ，根据买口罩的次数是10次和家里现有口罩35只，可列出关于x 和y 的二元一次方程组，求解即可．本题考查了二元一次方程组在实际问题中的应用，本题数量关系清晰，难度不大． 15.【答案】12【解析】解：设正方形ABCD 的边长为x ，由翻折可得： DG =DA =DC =x ， ∵GF =4，EG =6，∴AE =EG =6，CF =GF =4，∴BE =x −6，BF =x −6，EF =6+4=10，如图1所示：在Rt △BEF 中，由勾股定理得： BE 2+BF 2=EF 2，∴(x −6)2+(x −4)2=102，∴x 2−12x +36+x 2−8x +16=100， ∴x 2−10x −24=0， ∴(x +2)(x −12)=0， ∴x 1=−2(舍)，x 2=12． ∴DG =12．故答案为：12．设正方形ABCD 的边长为x ，由翻折及已知线段的长，可用含x 的式子分别表示出BE 、BF 及EF 的长；在Rt △BEF 中，由勾股定理得关于x 的方程，解得x 的值，即为DG 的长．本题主要考查了翻折变换、正方形的性质、勾股定理及解一元二次方程，数形结合并明确相关性质及定理是解题的关键．16.【答案】x =2或x =−1+√2或x =−1−√2【解析】解：∵x 3−5x +2=0， ∴x 3−4x −x +2=0， ∴x(x 2−4)−(x −2)=0，∴x(x +2)(x −2)−(x −2)=0，则(x −2)[x(x +2)−1]=0，即(x −2)(x 2+2x −1)=0， ∴x −2=0或x 2+2x −1=0， 解得x =2或x =−1±√2，故答案为：x =2或x =−1+√2或x =−1−√2． 将原方程左边变形为x 3−4x −x +2=0，再进一步因式分解得(x −2)[x(x +2)−1]=0，据此得到两个关于x 的方程求解可得．本题主要考查因式分解的应用，因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入． 17.【答案】解：原式=1+3×2−4×1 =1+6−4 =3．【解析】先计算20、√4、(13)−1、tan45°，再按运算顺序求值即可．本题考查了零指数、负整数指数幂、特殊角的三角函数值等知识点，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式的运算及特殊角的三角函数值是解决本题的关键． 18.【答案】解：(1)把(3,18)，(−2,8)代入一次函数y =kx +b(k ≠0)，得 {3k +b =18−2k +b =8， 解得{k =2,b =12，∴一次函数的解析式为y =2x +12；(2)∵一次函数y =kx +b(k ≠0)的图象与反比例函数y =m x(m ≠0)的图象只有一个交点，∴{y =2x +12y =m x只有一组解， 即2x 2+12x −m =0有两个相等的实数根， ∴△=122−4×2×(−m)=0， ∴m =−18．把m =−18代入求得该方程的解为：x =−3， 把x =−3代入y =2x +12得：y =6， 即所求的交点坐标为(−3,6)．【解析】(1)直接把(3,18)，(−2,8)代入一次函数y=kx+b中可得关于k、b的方程组，再解方程组可得k、b的值，进而求出一次函数的解析式；(2)联立一次函数解析式和反比例函数解析式，根据题意得到△=0，解方程即可得到结论．此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．19.【答案】解：(1)轻症患者的人数=200×80%=160(人)；(2)该市为治疗危重症患者共花费钱数=200×(1−80%−15%)×10=100(万元)；(3)所有患者的平均治疗费用=1.5×160+3×(200×15%)+100200=2.15(万元)；2种情况，∴P(恰好选中B、D)=220=110．【解析】(1)因为总人数已知，由轻症患者所占的百分比即可求出其的人数；(2)求出该市危重症患者所占的百分比，即可求出其共花费的钱数；(3)用加权平均数公式求出各种患者的平均费用即可；(4)首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与恰好选中B、D两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及条形统计图的应用．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．20.【答案】解：{2x−1<x+4①23x−3x+12≤13②，由①得：x<5，由②得：x≥−1，不等式组的解集为：−1≤x<5．【解析】首先分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律确定不等式组的解集．此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的确定方法：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．21.【答案】解：(x+1−7x−9x )÷x2−9x=x(x+1)−(7x−9)x⋅x(x+3)(x−3)=x2+x−7x+9 (x+3)(x−3)=(x−3)2 (x+3)(x−3)=x−3x+3，当x=2时，原式=2−32+3=−15．【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．22.【答案】解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x 兆，由题意得：600 x −60015x=140，解得：x=4，经检验：x=4是原分式方程的解，且符合题意，15×4=60，答：该地4G的下载速度是每秒4兆，则该地5G的下载速度是每秒60兆．【解析】首先设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，根据题意可得等量关系：4G下载600兆所用时间−5G下载600兆所用时间=140秒．然后根据等量关系，列出分式方程，再解即可．此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数列出方程．23.【答案】方法一：解：如图1，过点C作CF⊥AB于点F，在Rt△ACF中，∵sin∠CAB=sin(60°+5°)=sin65°=CFAC，∴CF=AC⋅sin65°≈2×0.91=1.82，在Rt△BCF中，∵∠ABC=45°，∴CF=BF，∴BC=√2CF=1.41×1.82=2.5662≈2.6，答：所求BC的长度约为2.6米．方法二：解：如图2，过点A作AE⊥BC于点E，在Rt△ACE中，∵∠C=180°−65°−45°=70°，∴cosC=cos70°=CEAC，即CE=AC×cos70°≈2×0.34=0.68，sinC=sin70°=AEAC，即AE=AC×sin70°≈2×0.94=1.88，又∵在Rt△AEB中，∠ABC=45°，∴AE=BE，∴BC=BE+CE=0.68+1.88=2.56≈2.6，答：所求BC的长度约为2.6米．【解析】直接过点C作CF⊥AB于点F，利用锐角三角函数关系得出CF的长，进而得出BC的长．此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．24.【答案】解：(1)连接OC，∵OC=OB，∴∠OBC=∠OCB，∵DE⊥AB，∴∠OBC+∠DFB=90°，∵EF=EC，∴∠ECF=∠EFC=∠DFB，∴∠OCB+∠ECF=90°，∴OC⊥CE，∴EC是⊙O的切线；(2)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵OB=5，∴AB=10，∴AC=√AB2−BC2=√100−64=6，∵cos∠ABC=BDBF =BCAB，∴810=4BF，∴BF=5，∴CF=BC−BF=3，∵∠ABC+∠A=90°，∠ABC+∠BFD=90°，∴∠BFD=∠A，∴∠A=∠BFD=∠ECF=∠EFC，∵OA=OC，∴∠OCA=∠A=∠BFD=∠ECF=∠EFC，∴△OAC∽△ECF，∴ECOA =CFAC，∴EC=OA⋅CFAC =5×36=52．【解析】(1)连接OC，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得∠OCB+∠ECF= 90°，可证EC是⊙O的切线；(2)由勾股定理可求AC=6，由锐角三角函数可求BF=5，可求CF=3，通过证明△OAC∽△ECF，可得ECOA =CFAC，可求解．本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，切线的判定和性质，锐角三角函数等知识，证明△OAC∽△ECF 是本题的关键．25.【答案】解：(1)把点A(−3,94)代入y =ax 2，得到94=9a ， ∴a =14，∴抛物线的解析式为y =14x 2．(2)设直线l 的解析式为y =kx +b ，则有{94=−3k +b0=32k +b， 解得{k =−12b =34， ∴直线l 的解析式为y =−12x +34， 令x =0，得到y =34， ∴C(0,34)，由{y =14x 2y =−12x +34，解得{x =1y =14或{x =−3y =94， ∴B(1,14)，如图1中，过点A 作AA 1⊥x 轴于A 1，过B 作BB 1⊥x 轴于B 1，则BB 1//OC//AA 1，∴BMMC =MB 1MO =32−132=13，MC MA =MOMA 1=3232−(−3)=13，∴BMMC =MCMA ， 即MC 2=MA ⋅MB ．(3)如图2中，设P(t,14t 2)∵OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，∴PD//OC，PD=OC，∴D(t,−12t+34)，∴|14t2−(−12t+34)|=34，整理得：t2+2t−6=0或t2+2t=0，解得t=−1−√7或−1=√7或−2或0(舍弃)，∴P(−1−√7,2+√72)或(−1+√7,2−√72)或(−2,1)．【解析】(1)利用待定系数法即可解决问题．(2)构建方程组确定点B的坐标，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．(3)如图2中，设P(t,14t2)，根据PD=CD构建方程求出t即可解决问题．本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．26.【答案】证明(1)①∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴∠A=90°−30°=60°，同理∠EDF=60°，∴∠A=∠EDF=60°，∴AC//DE，∴∠DMB=∠ACB=90°，∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，AC//DM，∴BMBC =BDAB=12，即M是BC的中点，∵EP=CE，即E是PC的中点，∴ED//BP，∴∠CBP=∠DMB=90°，∴△CBP是直角三角形，∴BE=12PC=EP；②∵∠ABC=∠DFE=30°，∴BC//EF，由①知：∠CBP=90°，∴BP⊥EF，∵EB=EP，∴EF是线段BP的垂直平分线，∴PF=BF，∴∠PFE=∠BFE=30°；(2)如图2，延长DE到Q，使EQ=DE，连接CD，PQ，FQ，∵EC=EP，∠DEC=∠QEP，∴△QEP≌△DEC(SAS)，则PQ=DC=DB，∵QE=DE，∠DEF=90°∴EF是DQ的垂直平分线，∴QF=DF，∵CD=AD，∴∠CDA=∠A=60°，∴∠CDB=120°，∴∠FDB=120°−∠FDC=120°−(60°+∠EDC)=60°−∠EDC=60°−∠EQP=∠FQP，∴△FQP≌△FDB(SAS)，∴∠QFP=∠BFD，∵EF是DQ的垂直平分线，∴∠QFE=∠EFD=30°，∴∠QFP+∠EFP=30°，∴∠BFD+∠EFP=30°．【解析】(1)①证明△CBP是直角三角形，根据直角三角形斜边中线可得结论；②根据同位角相等可得BC//EF，由平行线的性质得BP⊥EF，可得EF是线段BP的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠PFE=∠BFE=30°；(2)如图2，延长DE到Q，使EQ=DE，连接CD，PQ，FQ，证明△QEP≌△DEC(SAS)，则PQ=DC=DB，由QE=DE，∠DEF=90°，知EF是DQ的垂直平分线，证明△FQP≌△FDB(SAS)，再由EF是DQ的垂直平分线，可得结论．本题是三角形的综合题，考查了平行线分线段成比理、勾股定理、三角形全等的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，难度适中，属于中考常考题型．。
2020年湖南省常德市中考数学试卷和答案解析
2020年湖南省常德市中考数学试卷和答案解析一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）4的倒数为（）A．B．2C．1D．﹣4解析：根据倒数的意义，乘积是1的两个数叫做互为倒数，求倒数的方法，是把一个数的分子和分母互换位置即可，是带分数的化成假分数，再把分子分母互换位置，据此解答．参考答案：解：4的倒数为．故选：A．点拨：本题主要考查倒数的意义．解题的关键倒数的意义，注意求倒数的方法，把分子分母互换位置．2．（3分）下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是（）A．B．C．D．解析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．参考答案：解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；故选：C．点拨：此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后完全可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分完全重合．3．（3分）如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE 的度数为（）A．70°B．65°C．35°D．5°解析：根据平行线的性质和∠1＝30°，∠2＝35°，可以得到∠BCE的度数，本题得以解决．参考答案：解：作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴AB∥DE∥DE，∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，∵∠1＝30°，∠2＝35°，∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，∴∠BCE＝65°，故选：B．点拨：本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．4．（3分）下列计算正确的是（）A．a2+b2＝（a+b）2B．a2+a4＝a6C．a10÷a5＝a2D．a2•a3＝a5解析：根据完全平方公式、合并同类项法则、同底数幂的乘除法计算得到结果，即可作出判断．参考答案：解：A、a2+2ab+b2＝（a+b）2，原计算错误，故此选项不符合题意；B、a2与a4不是同类项不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；C、a10÷a5＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意；D、a2•a3＝a5，原计算正确，故此选项符合题意；故选：D．点拨：此题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5．（3分）下列说法正确的是（）A．明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上C．了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式D．一组数据的众数一定只有一个解析：根据必然事件的概念、众数的定义、随机事件的概率逐项分析即可得出答案．参考答案：解：A、明天的降水概率为80%，则明天下雨可能性较大，故本选项错误；B、抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面朝上的概率是，故本选项错误；C、了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式，故本选项正确；D、一组数据的众数不一定只有一个，故本选项错误；故选：C．点拨：本题考查了必然事件的概念、众数的定义、求随机事件的概率，解题的关键是熟练掌握众数的定义以及求随机事件的概率．6．（3分）一个圆锥的底面半径r＝10，高h＝20，则这个圆锥的侧面积是（）A．100πB．200πC．100πD．200π解析：先利用勾股定理计算出母线长，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．参考答案：解：这个圆锥的母线长＝＝10，这个圆锥的侧面积＝×2π×10×10＝100π．故选：C．点拨：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．7．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1解析：先由抛物线与x周董交点个数判断出结论①，利用抛物线的对称轴为x＝2，判断出结论②，先由抛物线的开口方向判断出a＜0，进而判断出b＞0，再用抛物线与y轴的交点的位置判断出c ＞0，判断出结论③，最后用x＝﹣2时，抛物线在x轴下方，判断出结论④，即可得出结论．参考答案：解：由图象知，抛物线与x轴有两个交点，∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＞0，故①正确，由图象知，抛物线的对称轴直线为x＝2，∴﹣＝2，∴4a+b＝0，故③正确，由图象知，抛物线开口方向向下，∴a＜0，∵4a+b＝0，∴b＞0，而抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0，∴abc＜0，故②正确，由图象知，当x＝﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，故④错误，即正确的结论有3个，故选：B．点拨：此题主要考查了二次函数图形与系数的关系，抛物线与y 轴的交点，抛物线的对称轴，掌握抛物线的性质是解本题的关键．8．（3分）如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k 个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（）A．C、E B．E、F C．G、C、E D．E、C、F解析：设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝k （k+1），然后根据题目中所给的第k次依次移动k个顶点的规则，可得到不等式最后求得解．参考答案：解：经实验或按下方法可求得顶点C，E和F棋子不可能停到．设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝k（k+1），应停在第k（k+1）﹣7p格，这时P是整数，且使0≤k（k+1）﹣7p≤6，分别取k＝1，2，3，4，5，6，7时，k（k+1）﹣7p＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，若7＜k≤2020，设k＝7+t（t＝1，2，3）代入可得，k（k+1）﹣7p＝7m+t（t+1），由此可知，停棋的情形与k＝t时相同，故第2，4，5格没有停棋，即顶点C，E和F棋子不可能停到．故选：D．点拨：本题考查规律型：图形的变化类，理解题意能力，关键是知道棋子所停的规则，找到规律，然后得到不等式求解．二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）9．（3分）分解因式：xy2﹣4x＝x（y+2）（y﹣2）．解析：原式提取x，再利用平方差公式分解即可．参考答案：解：原式＝x（y2﹣4）＝x（y+2）（y﹣2），故答案为：x（y+2）（y﹣2）点拨：此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．10．（3分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是x＞3．解析：根据二次根式有意义的条件可得2x﹣6＞0，再解即可．参考答案：解：由题意得：2x﹣6＞0，解得：x＞3，故答案为：x＞3．点拨：此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．分式分母不为零．11．（3分）计算：﹣+＝3．解析：直接化简二次根式进而合并得出答案．参考答案：解：原式＝﹣+2＝3．故答案为：3．点拨：此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．12．（3分）如图，若反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A，AB ⊥x轴于B，且△AOB的面积为6，则k＝﹣12．解析：根据反比例函数比例系数的几何意义即可解决问题．参考答案：解：∵AB⊥OB，∴S△AOB＝＝6，∴k＝±12，∵反比例函数的图象在二四象限，∴k＜0，∴k＝﹣12，故答案为﹣12．点拨：本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．13．（3分）4月23日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时间，统计如下：阅读时间（x小时）x≤3.5 3.5＜x≤55＜x≤6.5x＞6.5人数12864若该校共有1200名学生，试估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为400人．解析：用总人数×每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数所占的百分比即可得到结论．参考答案：解：1200×＝400（人），答：估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为400人．点拨：本题考查了频数（率）分布表，用样本估计总体，正确的理解题意是解题的关键．14．（3分）今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是4次．解析：设李红出门没有买到口罩的次数是x，买到口罩的次数是y，根据买口罩的次数是10次和家里现有口罩35只，可列出关于x 和y的二元一次方程组，求解即可．参考答案：解：设李红出门没有买到口罩的次数是x，买到口罩的次数是y，由题意得：，整理得：，解得：．故答案为：4．点拨：本题考查了二元一次方程组在实际问题中的应用，本题数量关系清晰，难度不大．15．（3分）如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF 分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合（A、C 都落在G点），若GF＝4，EG＝6，则DG的长为12．解析：设正方形ABCD的边长为x，由翻折及已知线段的长，可用含x的式子分别表示出BE、BF及EF的长；在Rt△BEF中，由勾股定理得关于x的方程，解得x的值，即为DG的长．参考答案：解：设正方形ABCD的边长为x，由翻折可得：DG＝DA＝DC＝x，∵GF＝4，EG＝6，∴AE＝EG＝6，CF＝GF＝4，∴BE＝x﹣6，BF＝x﹣6，EF＝6+4＝10，如图1所示：在Rt△BEF中，由勾股定理得：BE2+BF2＝EF2，∴（x﹣6）2+（x﹣4）2＝102，∴x2﹣12x+36+x2﹣8x+16＝100，∴x2﹣10x﹣24＝0，∴（x+2）（x﹣12）＝0，∴x1＝﹣2（舍），x2＝12．∴DG＝12．故答案为：12．点拨：本题主要考查了翻折变换、正方形的性质、勾股定理及解一元二次方程，数形结合并明确相关性质及定理是解题的关键．16．（3分）阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x ﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣．解析：将原方程左边变形为x3﹣4x﹣x+2＝0，再进一步因式分解得（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，据此得到两个关于x的方程求解可得．参考答案：解：∵x3﹣5x+2＝0，∴x3﹣4x﹣x+2＝0，∴x（x2﹣4）﹣（x﹣2）＝0，∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，则（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0，∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0，解得x＝2或x＝﹣1，故答案为：x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣．点拨：本题主要考查因式分解的应用，因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）17．（5分）计算：20+（）﹣1•﹣4tan45°．解析：先计算20、、（）﹣1、tan45°，再按运算顺序求值即可．参考答案：解：原式＝1+3×2﹣4×1＝1+6﹣4＝3．点拨：本题考查了零指数、负整数指数幂、特殊角的三角函数值等知识点，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式的运算及特殊角的三角函数值是解决本题的关键．18．（5分）解不等式组．解析：首先分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律确定不等式组的解集．参考答案：解：，由①得：x＜5，由②得：x≥﹣1，不等式组的解集为：﹣1≤x＜5．点拨：此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的确定方法：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）19．（6分）先化简，再选一个合适的数代入求值：（x+1﹣）÷．解析：根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．参考答案：解：（x+1﹣）÷＝＝＝＝，当x＝2时，原式＝＝﹣．点拨：本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．20．（6分）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G 与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？解析：首先设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，根据题意可得等量关系：4G下载600兆所用时间﹣5G下载600兆所用时间＝140秒．然后根据等量关系，列出分式方程，再解即可．参考答案：解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，由题意得：﹣＝140，解得：x＝4，经检验：x＝4是原分式方程的解，且符合题意，15×4＝60，答：该地4G的下载速度是每秒4兆，则该地5G的下载速度是每秒60兆．点拨：此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数列出方程．五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21．（7分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（3，18）和B（﹣2，8）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m ≠0）的图象只有一个交点，求交点坐标．解析：（1）直接把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数y＝kx+b中可得关于k、b的方程组，再解方程组可得k、b的值，进而求出一次函数的解析式；（2）联立一次函数解析式和反比例函数解析式，根据题意得到△＝0，解方程即可得到结论．参考答案：解：（1）把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数y＝kx+b （k≠0），得，解得，∴一次函数的解析式为y＝2x+12；（2）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m ≠0）的图象只有一个交点，∴只有一组解，即2x2+12x﹣m＝0有两个相等的实数根，∴△＝122﹣4×2×（﹣m）＝0，∴m＝﹣18．把m＝﹣18代入求得该方程的解为：x＝﹣3，把x＝﹣3代入y＝2x+12得：y＝6，即所求的交点坐标为（﹣3，6）．点拨：此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．22．（7分）如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，若AC＝2米，求BC的长度．（结果保留一位小数）（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41）解析：直接过点C作CF⊥AB于点F，利用锐角三角函数关系得出CF的长，进而得出BC的长．参考答案：方法一：解：如图1，过点C作CF⊥AB于点F，在Rt△ACF中，∵sin∠CAB＝sin（60°+5°）＝sin65°＝，∴CF＝AC•sin65°≈2×0.91＝1.82，在Rt△BCF中，∵∠ABC＝45°，∴CF＝BF，∴BC＝CF＝1.41×1.82＝2.5662≈2.6，答：所求BC的长度约为2.6米．方法二：解：如图2，过点A作AE⊥BC于点E，在Rt△ACE中，∵∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°，∴cosC＝cos70°＝，即CE＝AC×cos70°≈2×0.34＝0.68，sinC＝sin70°＝，即AE＝AC×sin70°≈2×0.94＝1.88，又∵在Rt△AEB中，∠ABC＝45°，∴AE＝BE，∴BC＝BE+CE＝0.68+1.88＝2.56≈2.6，答：所求BC的长度约为2.6米．点拨：此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）23．（8分）今年2﹣4月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．（1）轻症患者的人数是多少？（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A、B、C、D、E五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率．解析：（1）因为总人数已知，由轻症患者所占的百分比即可求出其的人数；（2）求出该市危重症患者所占的百分比，即可求出其共花费的钱数；（3）用加权平均数公式求出各种患者的平均费用即可；（4）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与恰好选中B、D两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．参考答案：解：（1）轻症患者的人数＝200×80%＝160（人）；（2）该市为治疗危重症患者共花费钱数＝200×（1﹣80%﹣15%）×10＝100（万元）；（3）所有患者的平均治疗费用＝＝2.15（万元）；（4）列表得：A B C D EA（B，A）（C，A）（D，A）（E，A）B（A，B）（C，B）（D，B）（E，B）C（A，C）（B，C）（D，C）（E，C）D（A，D）（B，D）（C，D）（E，D）E（A，E）（B，E）（C，E）（D，E）由列表格，可知：共有20种等可能的结果，恰好选中B、D两位同学的有2种情况，∴P（恰好选中B、D）＝＝．点拨：此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及条形统计图的应用．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．24．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D 是AB上的一点，DE⊥AB于D，DE交BC于F，且EF＝EC．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求切线EC的长．解析：（1）连接OC，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得∠OCB+∠ECF＝90°，可证EC是⊙O的切线；（2）由勾股定理可求AC＝6，由锐角三角函数可求BF＝5，可求CF＝3，通过证明△OAC∽△ECF，可得，可求解．参考答案：解：（1）连接OC，∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB，∵DE⊥AB，∴∠OBC+∠DFB＝90°，∵EF＝EC，∴∠ECF＝∠EFC＝∠DFB，∴∠OCB+∠ECF＝90°，∴OC⊥CE，∴EC是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OB＝5，∴AB＝10，∴AC＝＝＝6，∵cos∠ABC＝，∴，∴BF＝5，∴CF＝BC﹣BF＝3，∵∠ABC+∠A＝90°，∠ABC+∠BFD＝90°，∴∠BFD＝∠A，∴∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，∴△OAC∽△ECF，∴，∴EC＝＝＝．点拨：本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，切线的判定和性质，锐角三角函数等知识，证明△OAC∽△ECF是本题的关键．七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）25．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线l过点A，M（，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB；（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．解析：（1）利用待定系数法即可解决问题．（2）构建方程组确定点B的坐标，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．（3）如图2中，设P（t，t2），根据PD＝CD构建方程求出t即可解决问题．参考答案：解：（1）把点A（﹣3，）代入y＝ax2，得到＝9a，∴a＝，∴抛物线的解析式为y＝x2．（2）设直线l的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线l的解析式为y＝﹣x+，令x＝0，得到y＝，∴C（0，），由，解得或，∴B（1，），如图1中，过点A作AA1⊥x轴于A1，过B作BB1⊥x轴于B1，则BB1∥OC∥AA1，∴＝＝＝，＝＝＝，∴＝，即MC2＝MA•MB．（3）如图2中，设P（t，t2）∵OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，∴PD∥OC，PD＝OC，∴D（t，﹣t+），∴|t2﹣（﹣t+）|＝，整理得：t2+2t﹣6＝0或t2+2t＝0，解得t＝﹣1﹣或﹣1＝或﹣2或0（舍弃），∴P（﹣1﹣，2+）或（﹣1+，2﹣）或（﹣2，1）．点拨：本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．26．（10分）已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．解析：（1）①证明△CBP是直角三角形，根据直角三角形斜边中线可得结论；②根据同位角相等可得BC∥EF，由平行线的性质得BP⊥EF，可得EF是线段BP的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠PFE＝∠BFE＝30°；（2）如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ，证明△QEP≌△DEC（SAS），则PQ＝DC＝DB，由QE＝DE，∠DEF＝90°，知EF是DQ的垂直平分线，证明△FQP≌△FDB （SAS），再由EF是DQ的垂直平分线，可得结论．参考答案：证明（1）①∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝90°﹣30°＝60°，同理∠EDF＝60°，∴∠A＝∠EDF＝60°，∴AC∥DE，∴∠DMB＝∠ACB＝90°，∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，AC∥DM，∴，即M是BC的中点，∵EP＝CE，即E是PC的中点，∴ED∥BP，∴∠CBP＝∠DMB＝90°，∴△CBP是直角三角形，∴BE＝PC＝EP；②∵∠ABC＝∠DFE＝30°，∴BC∥EF，由①知：∠CBP＝90°，∴BP⊥EF，∵EB＝EP，∴EF是线段BP的垂直平分线，∴PF＝BF，∴∠PFE＝∠BFE＝30°；（2）如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ，∵EC＝EP，∠DEC＝∠QEP，∴△QEP≌△DEC（SAS），则PQ＝DC＝DB，∵QE＝DE，∠DEF＝90°∴EF是DQ的垂直平分线，∴QF＝DF，∵CD＝AD，∴∠CDA＝∠A＝60°，∴∠CDB＝120°，∴∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP，∴△FQP≌△FDB（SAS），∴∠QFP＝∠BFD，∵EF是DQ的垂直平分线，∴∠QFE＝∠EFD＝30°，∴∠QFP+∠EFP＝30°，∴∠BFD+∠EFP＝30°．点拨：本题是三角形的综合题，考查了平行线分线段成比理、勾股定理、三角形全等的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，难度适中，属于中考常考题型．。
2020年湖南省常德市中考数学试卷
2020年湖南省常德市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1. （3分）下列各数中无理数为（）A. 丁B. 0C.D. - 120172. （3分）若一个角为75°,则它的余角的度数为（）A. 285B. 105℃. 750 D. 15°3. （3分）一元二次方程3x2-4x+1=0的根的情况为（）A.没有实数根B.只有一个实数根C.两个相等白实数根D.两个不相等的实数根4. （3分）如图是根据我市某天七个整点时的气温绘制成的统计图，则这七个整点时气温的中位数和平均数分别是（）5. （3分）下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（）A. a （m+n） =am+anB. a2 - b2 - c2= （a-b）（a+b） - c2C. 10x2 - 5x=5x （2x-1）D. x2-16+6x= （x+4）（x- 4） +6x6. （3分）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）主法窗左视图侑良宦7. （3分）将抛物线y=2x2向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的表达式为（）A. y=2 （x-3）2-5B. y=2 （x+3）2+5C. y=2 （x- 3）2+5D. y=2 （x+3）2一58. （3分）如表是一个4X 4 （4行4列共16个数”组成）的奇妙方阵，从这个方阵中选四个数”，而且这四个数”中的任何两个不在同一行，也不在同一列，有很多选法，把每次选出的四个数”相力口，其和是定值，则方阵中第三行三列的二、填空题（本小题共8小题，每小题3分，共24分）9. （3 分）计算：| - 2| -帆=.10. （3分）分式方程2+11■的解为. K K11. （3分）据统计：我国微信用户数量已突破887000000人，将887000000用科学记数法表示为.12. （3分）命题：如果m是整数，那么它是有理数”，则它的逆命题为： .13. （3分）彭山的枇杷大又甜，在今年5月18日彭山枇杷节”期间，从山上5 棵枇杷树上采摘到了200千克枇杷，请估计彭山近600棵枇杷树今年一共收获了枇杷千克.14. （3 分）如图，已知RtA ABE 中/A=90°, / B=60°, BE=10, D 是线段AE 上的一动点，过D作CD交BE于C,并使得/ CDE=30,则CD长度的取值范围是 .15. （3分）如图，正方形EFGH 的顶点在边长为2的正方形的边上.若设 AE=R 正方形EFGH 的面积为y,则y 与x 的函数关系为 .力| ---- 乂 ------- 1（?F16. （3 分）如图，有一条折线 A 1B 1A 2B 2A 3E 3A 4B 4 -,它是由过 A I （0, 0）, B i （2, 2）, A 2 （4, 0）组成的折线依次平移 4, 8, 12, ♦•个单位得到的，直线 y=kx+2 与此折线恰有2n （n>1,且为整数）个交点，则k 的值为.三、解答题（本题共2小题，每小题5分，共10分.）17. （5分）甲、乙、丙三个同学站成一排进行毕业合影留念，请用列表法或树 状图列出所有可能的情形，并求出甲、乙两人相邻的概率是多少?’也产-14等…①- 的整数解・ 篮一 541（3k2）…②四、解答题：本大题共2小题，每小题6分，共12分.22 .19. （6分）先化简，再求值：（'芝+3 -；）（ K产+1 —工）,其中x=4.工-3 3r K -3x+218. （5分）求不等式组三20. (6分)在"带一路”倡议下，我国已成为设施联通，贸易畅通的促进者，同时也带动了我国与沿线国家的货物交换的增速发展，如图是湘成物流园2016年通过海、陆(汽车)、空、铁”四种模式运输货物的统计图.请根据统计图解决下面的问题：(1)该物流园2016年货运总量是多少万吨?(2)该物流园2016年空运货物的总量是多少万吨？并补全条形统计图;(3)求条形统计图中陆运货物量对应的扇形圆心角的度数.五、解答题：本大题共2小题，每小题7分，共14分.21. (7分)如图，已知反比例函数y上的图象经过点A (4, m), AB，x轴，且K△ AOB的面积为2.(1)求k和m的值；(2)若点C (x, y)也在反比例函数y上的图象上，当-3&x& - 1时，求函数K22. (7分)如图，已知AB是。
湖南省常德市2020年中考数学试卷
湖南省常德市2020年中考数学试卷一、单选题（共8题；共16分）1.4的倒数为（）A. B. 2 C. 1 D. ﹣42.下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是（）A. B. C. D.3.如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（）A. 70°B. 65°C. 35°D. 5°4.下列计算正确的是（）A. a2+b2＝（a+b）2B. a2+a4＝a6C. a10÷a5＝a2D. a2•a3＝a55.下列说法正确的是（）A. 明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨B. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上C. 了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式D. 一组数据的众数一定只有一个6.一个圆锥的底面半径r＝10，高h＝20，则这个圆锥的侧面积是（）A. 100 πB. 200 πC. 100 πD. 200 π7.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a ﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A. 4B. 3C. 2D. 18.如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（）A. C、EB. E、FC. G、C、ED. E、C、F二、填空题（共8题；共8分）9.分解因式：________．10.若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是________．11.计算：﹣＝________．12.如图，若反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积为6，则k ＝________．13.4月23日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时间，统计如表：若该校共有1200名学生，试估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为________．14.今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是________次．15.如图1，已知四边形ABCD是正方形，将，分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合（A、C都落在G点），若GF＝4，EG＝6，则DG的长为________．16.阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx ﹣1）．理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为________．三、解答题（共10题；共90分）17.计算：20+（）﹣1• ﹣4tan45°．18.解不等式组．19.先化简，再选一个合适的数代入求值：（x+1﹣）÷ ．20.第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G 的下载速度分别是每秒多少兆？21.已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（3，18）和B（﹣2，8）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象只有一个交点，求交点坐标．22.如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，若AC＝2米，求BC的长度．（结果保留一位小数）（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，t an65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41）23.今年2﹣4月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．（1）轻症患者的人数是多少？（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A、B、C、D、E五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率．24.如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB于D，DE交BC于F，且EF＝EC．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求切线EC的长．25.如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线l过点A，M（，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB；（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．26.已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE ＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB 与EF交于N．（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．答案解析部分一、单选题1.【答案】A2.【答案】C3.【答案】B4.【答案】D5.【答案】C6.【答案】C7.【答案】B8.【答案】D二、填空题9.【答案】10.【答案】x＞311.【答案】312.【答案】﹣1213.【答案】40014.【答案】415.【答案】1216.【答案】x＝2或x＝﹣1+ 或x＝﹣1﹣三、解答题17.【答案】解：20+（）﹣1• ﹣4tan45°＝1+3×2﹣4×1＝1+6﹣4＝3．18.【答案】解：，由①得：x＜5，由②得：x≥﹣1，不等式组的解集为：﹣1≤x＜5．19.【答案】解：（x+1﹣）÷＝＝＝＝，当x＝2时，原式＝＝﹣．20.【答案】解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，由题意得：﹣＝140，解得：x＝4，经检验：x＝4是原分式方程的解，且符合题意，15x =15×4＝60，答：该地4G的下载速度是每秒4兆，则该地5G的下载速度是每秒60兆．21.【答案】（1）解：把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数y＝kx+b（k≠0），得，解得，∴一次函数的解析式为y＝2x+12；（2）解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象只有一个交点，∴只有一组解，即2x2+12x﹣m＝0有两个相等的实数根，∴△＝122﹣4×2×（﹣m）＝0，∴m＝-18．把m＝-18代入求得该方程的解为：x＝-3，把x＝-3代入y＝2x+12得：y＝6，即所求的交点坐标为（-3，6）．22.【答案】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，∵在Rt△ACE中，∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°，∴cosC＝cos70°＝，即CE＝AC×cos70°≈2×0.34＝0.68，sinC＝sin70°＝，AE＝AC×sin70°≈2×0.94＝1.88，又∵在Rt△AEB中，∠ABC＝45°，∴△AEB是等腰直角三角形∴AE＝BE，∴BC＝BE+CE＝0.68+1.88＝2.56≈2.6，答：所求BC的长度约为2.6米．23.【答案】（1）解：轻症患者的人数＝200×80%＝160（人）；（2）解：该市为治疗危重症患者共花费钱数＝200×（1﹣80%﹣15%）×10＝100（万元）；（3）解：所有患者的平均治疗费用＝＝2.15（万元）；（4）解：列表得：由列表格，可知：共有20种等可能的结果，恰好选中B、D两位同学的有2种情况，∴P（恰好选中B、D）＝＝．24.【答案】（1）解：连接OC，∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB，∵DE⊥AB，∴∠OBC+∠DFB＝90°，∵EF＝EC，∴∠ECF＝∠EFC＝∠DFB，∴∠OCB+∠ECF＝90°，∴OC⊥CE，∴EC是⊙O的切线；（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OB＝5，∴AB＝10，∴AC＝＝＝6，∵cos∠ABC＝，∴，∴BF＝5，∴CF＝BC﹣BF＝3，∵∠ABC+∠A＝90°，∠ABC+∠BFD＝90°，∴∠BFD＝∠A，∴∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，∴△OAC∽△ECF，∴，∴EC＝＝＝．25.【答案】（1）解：把点A（﹣3，）代入y＝ax2，得到＝9a，∴a＝，∴抛物线的解析式为y＝x2．（2）解：设直线l的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线l的解析式为y＝﹣x+ ，令x＝0，得到y＝，∴C（0，），由，解得或，∴B（1，），如图1中，过点A作AA1⊥x轴于A1，过B作BB1⊥x轴于B1，则BB1∥OC∥AA1，∴＝＝＝，＝＝＝，∴＝，即MC2＝MA•MB．（3）解：如图2中，设P（t，t2）∵OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，∴PD∥OC，PD＝OC，∴D（t，﹣t+ ），∴| t2﹣（﹣t+ ）|＝，整理得：t2+2t﹣6＝0或t2+2t＝0，解得t＝﹣1﹣或﹣1＝或﹣2或0（舍弃），∴P（﹣1﹣，2+ ）或（﹣1+ ，2﹣）或（﹣2，1）．26.【答案】（1）解：①∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°∴∠A＝90°﹣30°＝60°同理∠EDF＝60°∴∠A＝∠EDF＝60°∴AC∥DE∴∠DMB＝∠ACB＝90°∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，AC∥DM∴即M是BC的中点∵EP＝CE，即E是PC的中点∴ED∥BP∴∠CBP＝∠DMB＝90°∴△CBP是直角三角形∴BE＝PC＝EP②∵∠ABC＝∠DFE＝30°∴BC∥EF由①知：∠CBP＝90°∴BP⊥EF∵EB＝EP∴EF是线段BP的垂直平分线∴PF＝BF∴∠PFE＝∠BFE＝30°（2）解：如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ∵EC＝EP，∠DEC＝∠QEP∴△QEP≌△DEC（SAS）则PQ＝DC＝DB∵QE＝DE，∠DEF＝90°∴EF是DQ的垂直平分线∴QF＝DF∵CD＝AD∴∠CDA＝∠A＝60°∴∠CDB＝120°∴∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP ∴△FQP≌△FDB（SAS）∴∠QFP＝∠BFD∵EF是DQ的垂直平分线∴∠QFE＝∠EFD＝30°∴∠QFP+∠EFP＝30°∴∠BFD+∠EFP＝30°。
2020年湖南省常德市中考数学试卷含答案解析A)
2020年湖南省常德市中考数学试卷一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）﹣2的相反数是（）A．2 B．﹣2 C．2﹣1D．﹣【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．【解答】解：﹣2的相反数是：2．故选：A．【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．2．（3分）已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（）A．1 B．2 C．8 D．11【分析】根据三角形的三边关系可得7﹣3＜x＜7+3，再解即可．【解答】解：设三角形第三边的长为x，由题意得：7﹣3＜x＜7+3，4＜x＜10，故选：C．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边．3．（3分）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．a＞b B．|a|＜|b|C．ab＞0 D．﹣a＞b【分析】根据数轴可以判断a、b的正负，从而可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：由数轴可得，﹣2＜a＜﹣1＜0＜b＜1，∴a＜b，故选项A错误，|a|＞|b|，故选项B错误，ab＜0，故选项C错误，﹣a＞b，故选项D正确，故选：D．【点评】本题考查实数与数轴、绝对值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．4．（3分）若一次函数y=（k﹣2）x+1的函数值y随x的增大而增大，则（）A．k＜2 B．k＞2 C．k＞0 D．k＜0【分析】根据一次函数的性质，可得答案．【解答】解：由题意，得k﹣2＞0，解得k＞2，故选：B．【点评】本题考查了一次函数的性质，y=kx+b，当k＞0时，函数值y随x的增大而增大．5．（3分）从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加诗词大会比赛，经过三轮初赛，2=1.5，S乙2=2.6，S丙2=3.5，S丁2=3.68，他们的平均成绩都是86.5分，方差分别是S甲你认为派谁去参赛更合适（）A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】根据方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好可得答案．【解答】解：∵1.5＜2.6＜3.5＜3.68，∴甲的成绩最稳定，∴派甲去参赛更好，故选：A．【点评】此题主要考查了方差，关键是掌握方差越小，稳定性越大．6．（3分）如图，已知BD是△ABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线，∠BAC=90°，AD=3，则CE的长为（）A．6 B．5 C．4 D．3【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DB=DC，根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出∠C=∠DBC=∠ABD=30°，根据直角三角形的性质解答．【解答】解：∵ED是BC的垂直平分线，∴DB=DC，∴∠C=∠DBC，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠DBC，∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°，∴BD=2AD=6，∴CE=CD×cos∠C=3，故选：D．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．7．（3分）把图1中的正方体的一角切下后摆在图2所示的位置，则图2中的几何体的主视图为（）A．B．C．D．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看是一个等腰三角形，高线是虚线，故选：D．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．8．（3分）阅读理解：a，b，c，d是实数，我们把符号称为2×2阶行列式，并且规定：=a×d﹣b×c，例如：=3×（﹣2）﹣2×（﹣1）=﹣6+2=﹣4．二元一次方程组的解可以利用2×2阶行列式表示为：；其中D=，D x=，D y=．问题：对于用上面的方法解二元一次方程组时，下面说法错误的是（）A．D==﹣7 B．D x=﹣14C．D y=27 D．方程组的解为【分析】分别根据行列式的定义计算可得结论．【解答】解：A、D==﹣7，正确；B、D x==﹣2﹣1×12=﹣14，正确；C、D y==2×12﹣1×3=21，不正确；D、方程组的解：x===2，y===﹣3，正确；故选：C．【点评】本题是阅读理解问题，考查了2×2阶行列式和方程组的解的关系，理解题意，直接运用公式计算是本题的关键．二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）9．（3分）﹣8的立方根是﹣2．【分析】利用立方根的定义即可求解．【解答】解：∵（﹣2）3=﹣8，∴﹣8的立方根是﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查了平方根和立方根的概念．如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a（x3=a），那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根．读作“三次根号a”其中，a叫做被开方数，3叫做根指数．10．（3分）分式方程﹣=0的解为x=﹣1．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x﹣2﹣3x=0，解得：x=﹣1，经检验x=1是分式方程的解．故答案为：﹣1【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．11．（3分）已知太阳与地球之间的平均距离约为150000000千米，用科学记数法表示为 1.5×108千米．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：1 5000 0000=1.5×108，故答案为：1.5×108．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12．（3分）一组数据3，﹣3，2，4，1，0，﹣1的中位数是1．【分析】将数据按照从小到大重新排列，根据中位数的定义即可得出答案．【解答】解：将数据重新排列为﹣3、﹣1、0、1、2、3、4，所以这组数据的中位数为1，故答案为：1．【点评】本题考查了中位数的概念：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．13．（3分）若关于x的一元二次方程2x2+bx+3=0有两个不相等的实数根，则b 的值可能是6（只写一个）．【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于b的一元二次不等式，解之即可得出b的取值范围，取其内的任意一值即可得出结论．【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2+bx+3=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4×2×3＞0，解得：b＜﹣2或b＞2．故答案可以为：6．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．14．（3分）某校对初一全体学生进行了一次视力普查，得到如下统计表，则视力在4.9≤x＜5.5这个范围的频率为0.35．视力x频数4.0≤x＜4.3204.3≤x＜4.6404.6≤x＜4.9704.9≤x≤5.2605.2≤x＜5.510【分析】直接利用频数÷总数=频率进而得出答案．【解答】解：视力在4.9≤x＜5.5这个范围的频数为：60+10=70，则视力在4.9≤x＜5.5这个范围的频率为：=0.35．故答案为：0.35．【点评】此题主要考查了频率求法，正确把握频率的定义是解题关键．15．（3分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C 落在点H处，已知∠DGH=30°，连接BG，则∠AGB=75°．【分析】由折叠的性质可知：GE=BE，∠EGH=∠ABC=90°，从而可证明∠EBG=∠EGB．，然后再根据∠EGH﹣∠EGB=∠EBC﹣∠EBG，即：∠GBC=∠BGH，由平行线的性质可知∠AGB=∠GBC，从而易证∠AGB=∠BGH，据此可得答案．【解答】解：由折叠的性质可知：GE=BE，∠EGH=∠ABC=90°，∴∠EBG=∠EGB．∴∠EGH﹣∠EGB=∠EBC﹣∠EBG，即：∠GBC=∠BGH．又∵AD∥BC，∴∠AGB=∠GBC．∴∠AGB=∠BGH．∵∠DGH=30°，∴∠AGH=150°，∴∠AGB=∠AGH=75°，故答案为：75°．【点评】本题主要考查翻折变换，解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．16．（3分）5个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个实数，并把自己想好的数如实地告诉他相邻的两个人，然后每个人将他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报4的人心里想的数是9．【分析】设报4的人心想的数是x，则可以分别表示报1，3，5，2的人心想的数，最后通过平均数列出方程，解方程即可．【解答】解：设报4的人心想的数是x，报1的人心想的数是10﹣x，报3的人心想的数是x﹣6，报5的人心想的数是14﹣x，报2的人心想的数是x﹣12，所以有x﹣12+x=2×3，解得x=9．故答案为9．【点评】本题属于阅读理解和探索规律题，考查的知识点有平均数的相关计算及方程思想的运用．规律与趋势：这道题的解决方法有点奥数题的思维，题意理解起来比较容易，但从哪下手却不容易想到，一般地，当数字比较多时，方程是首选的方法，而且，多设几个未知数，把题中的等量关系全部展示出来，再结合题意进行整合，问题即可解决．本题还可以根据报2的人心想的数可以是6﹣x，从而列出方程x﹣12=6﹣x求解．三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）17．（5分）计算：（﹣π）0﹣|1﹣2|+﹣（）﹣2．【分析】本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简和绝对值4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式=1﹣（2﹣1）+2﹣4，=1﹣2+1+2﹣4，=﹣2．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．18．（5分）求不等式组的正整数解．【分析】根据不等式组解集的表示方法：大小小大中间找，可得答案．【解答】解：，解不等式①，得x＞﹣2，解不等式②，得x≤，不等式组的解集是﹣2＜x≤，不等式组的正整数解是1，2，3，4．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，利用解一元一次不等式组的解集的表示方法是解题关键．四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）19．（6分）先化简，再求值：（+）÷，其中x=．【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式混合运算法则计算得出答案．【解答】解：原式=[+]×（x﹣3）2=×（x﹣3）2=x﹣3，把x=代入得：原式=﹣3=﹣．【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．20．（6分）如图，已知一次函数y1=k1x+b（k1≠0）与反比例函数y2=（k2≠0）的图象交于A（4，1），B（n，﹣2）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）请根据图象直接写出y1＜y2时x的取值范围．【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k2的值，进而可得出反比例函数的解析式，由点B的纵坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，再由点A、B的坐标利用待定系数法，即可求出一次函数的解析式；（2）根据两函数图象的上下位置关系，找出y1＜y2时x的取值范围．【解答】解：（1）∵反比例函数y2=（k2≠0）的图象过点A（4，1），∴k2=4×1=4，∴反比例函数的解析式为y2=．∵点B（n，﹣2）在反比例函数y2=的图象上，∴n=4÷（﹣2）=﹣2，∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）．将A（4，1）、B（﹣2，﹣2）代入y1=k1x+b，，解得：，∴一次函数的解析式为y=x﹣1．（2）观察函数图象，可知：当x＜﹣2和0＜x＜4时，一次函数图象在反比例函数图象下方，∴y1＜y2时x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜4．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征求出点B的坐标；（2）根据两函数图象的上下位置关系，找出不等式y1＜y2的解集．五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21．（7分）某水果店5月份购进甲、乙两种水果共花费1700元，其中甲种水果8元/千克，乙种水果18元/千克．6月份，这两种水果的进价上调为：甲种水果10元千克，乙种水果20元/千克．（1）若该店6月份购进这两种水果的数量与5月份都相同，将多支付货款300元，求该店5月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克？（2）若6月份将这两种水果进货总量减少到120千克，且甲种水果不超过乙种水果的3倍，则6月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是多少元？【分析】（1）设该店5月份购进甲种水果x千克，购进乙种水果y千克，根据总价=单价×购进数量，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进甲种水果a千克，需要支付的货款为w元，则购进乙种水果（120﹣a）千克，根据总价=单价×购进数量，即可得出w关于a的函数关系式，由甲种水果不超过乙种水果的3倍，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．【解答】解：（1）设该店5月份购进甲种水果x千克，购进乙种水果y千克，根据题意得：，解得：．答：该店5月份购进甲种水果190千克，购进乙种水果10千克．（2）设购进甲种水果a千克，需要支付的货款为w元，则购进乙种水果（120﹣a）千克，根据题意得：w=10a+20（120﹣a）=﹣10a+2400．∵甲种水果不超过乙种水果的3倍，∴a≤3（120﹣a），解得：a≤90．∵k=﹣10＜0，∴w随a值的增大而减小，∴当a=90时，w取最小值，最小值﹣10×90+2400=1500．∴月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是1500元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于a的函数关系式．22．（7分）图1是一商场的推拉门，已知门的宽度AD=2米，且两扇门的大小相同（即AB=CD），将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转37°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图2，求此时B与C之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，≈1.4）【分析】作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE=CM，则EM=BC，在Rt△ABE、Rt△CDF中可求出AE、BE、DF、FC的长度，进而可得出EF的长度，再在Rt△MEF中利用勾股定理即可求出EM的长，此题得解．【解答】解：作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE=CM，如图所示．∵AB=CD，AB+CD=AD=2，∴AB=CD=1．在Rt△ABE中，AB=1，∠A=37°，∴BE=AB•sin∠A≈0.6，AE=AB•cos∠A≈0.8．在Rt△CDF中，CD=1，∠D=45°，∴CF=CD•sin∠D≈0.7，DF=CD•cos∠D≈0.7．∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴BE∥CM，又∵BE=CM，∴四边形BEMC为平行四边形，∴BC=EM，CM=BE．在Rt△MEF中，EF=AD﹣AE﹣DF=0.5，FM=CF+CM=1.3，∴EM=≈1.4，∴B与C之间的距离约为1.4米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理以及平行四边形的判定与性质，构造直角三角形，利用勾股定理求出BC的长度是解题的关键．六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）23．（8分）某校体育组为了解全校学生“最喜欢的一项球类项目”，随机抽取了部分学生进行调查，下面是根据调查结果绘制的不完整的统计图．请你根据统计图回答下列问题：（1）喜欢乒乓球的学生所占的百分比是多少？并请补全条形统计图（图2）；（2）请你估计全校500名学生中最喜欢“排球”项目的有多少名？（3）在扇形统计图中，“篮球”部分所对应的圆心角是多少度？（4）篮球教练在制定训练计划前，将从最喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两人进行个别座谈，请用列表法或树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率．【分析】（1）先利用喜欢足球的人数和它所占的百分比计算出调查的总人数，再计算出喜欢乒乓球的人数，然后补全条形统计图；（2）用500乘以样本中喜欢排球的百分比可根据估计全校500名学生中最喜欢“排球”项目的写生数；（3）用360°乘以喜欢篮球人数所占的百分比即可；（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽取的两人恰好是甲和乙的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）调查的总人数为8÷16%=50（人），喜欢乒乓球的人数为50﹣8﹣20﹣6﹣2=14（人），所以喜欢乒乓球的学生所占的百分比=×100%=28%，补全条形统计图如下：（2）500×12%=60，所以估计全校500名学生中最喜欢“排球”项目的有60名；（3），篮球”部分所对应的圆心角=360×40%=144°；（4）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好是甲和乙的结果数为2，所以抽取的两人恰好是甲和乙的概率==．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．24．（8分）如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DF=DA，AE∥BC交CF于E．（1）求证：EA是⊙O的切线；（2）求证：BD=CF．【分析】（1）根据等边三角形的性质可得：∠OAC=30°，∠BCA=60°，证明∠OAE=90°，可得：AE是⊙O的切线；（2）先根据等边三角形性质得：AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，由四点共圆的性质得：∠ADF=∠ABC=60°，得△ADF是等边三角形，证明△BAD≌△CAF，可得结论．【解答】证明：（1）连接OD，∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，∴∠OAC=30°，∠BCA=60°，∵AE∥BC，∴∠EAC=∠BCA=60°，∴∠OAE=∠OAC+∠EAC=30°+60°=90°，∴AE是⊙O的切线；（2）∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠ADF=∠ABC=60°，∵AD=DF，∴△ADF是等边三角形，∴AD=AF，∠DAF=60°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD，即∠BAF=∠CAF，在△BAD和△CAF中，∵，∴△BAD≌△CAF，∴BD=CF．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形及外接圆，四点共圆等知识点的综合运用，属于基础题，熟练掌握等边三角形的性质是关键．七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）25．（10分）如图，已知二次函数的图象过点O（0，0）．A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x=3．（1）求该二次函数的解析式；（2）若M是OB上的一点，作MN∥AB交OA于N，当△ANM面积最大时，求M的坐标；（3）P是x轴上的点，过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q．过A作AC⊥x轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标．【分析】（1）先利用抛物线的对称性确定B（6，0），然后设交点式求抛物线解析式；（2）设M（t，0），先其求出直线OA的解析式为y=x，直线AB的解析式为y=2x ﹣12，直线MN的解析式为y=2x﹣2t，再通过解方程组得N（t，t），接着利用三角形面积公式，利用S △AMN =S △AOM ﹣S △NOM 得到S △AMN =•4•t ﹣•t•t ，然后根据二次函数的性质解决问题；（3）设Q （m ，m 2﹣m ），根据相似三角形的判定方法，当=时，△PQO ∽△COA ，则|m 2﹣m |=2|m |；当=时，△PQO ∽△CAO ，则|m 2﹣m |=|m |，然后分别解关于m 的绝对值方程可得到对应的P 点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线x=3，∴B 点坐标为（6，0），设抛物线解析式为y=ax （x ﹣6），把A （8，4）代入得a•8•2=4，解得a=，∴抛物线解析式为y=x （x ﹣6），即y=x 2﹣x ；（2）设M （t ，0），易得直线OA 的解析式为y=x ，设直线AB 的解析式为y=kx +b ，把B （6，0），A （8，4）代入得，解得，∴直线AB 的解析式为y=2x ﹣12，∵MN ∥AB ，∴设直线MN 的解析式为y=2x +n ，把M （t ，0）代入得2t +n=0，解得n=﹣2t ，∴直线MN 的解析式为y=2x ﹣2t ， 解方程组得，则N （t ，t ），∴S △AMN =S △AOM ﹣S △NOM =•4•t ﹣•t•t=﹣t 2+2t=﹣（t ﹣3）2+3，当t=3时，S有最大值3，此时M点坐标为（3，0）；△AMN（3）设Q（m，m2﹣m），∵∠OPQ=∠ACO，∴当=时，△PQO∽△COA，即=，∴PQ=2PO，即|m2﹣m|=2|m|，解方程m2﹣m=2m得m1=0（舍去），m2=14，此时P点坐标为（14，28）；解方程m2﹣m=﹣2m得m1=0（舍去），m2=﹣2，此时P点坐标为（﹣2，4）；∴当=时，△PQO∽△CAO，即=，∴PQ=PO，即|m2﹣m|=|m|，解方程m2﹣m=m得m1=0（舍去），m2=8（舍去），解方程m2﹣m=﹣m得m1=0（舍去），m2=2，此时P点坐标为（2，﹣1）；综上所述，P点坐标为（14，28）或（﹣2，4）或（2，﹣1）．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；灵活运用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．26．（10分）已知正方形ABCD中AC与BD交于O点，点M在线段BD上，作直线AM交直线DC于E，过D作DH⊥AE于H，设直线DH交AC于N．（1）如图1，当M在线段BO上时，求证：MO=NO；（2）如图2，当M在线段OD上，连接NE，当EN∥BD时，求证：BM=AB；（3）在图3，当M在线段OD上，连接NE，当NE⊥EC时，求证：AN2=NC•AC．【分析】（1）先判断出OD=OA，∠AOM=∠DON，再利用同角的余角相等判断出∠ODN=∠OAM，判断出△DON≌△AOM即可得出结论；（2）先判断出四边形DENM是菱形，进而判断出∠BDN=22.5°，即可判断出∠AMB=67.5°，即可得出结论；（3）设CE=a，进而表示出EN=CE=a，CN=a，设DE=b，进而表示AD=a+b，根据勾股定理得，AC=（a+b），同（1）的方法得，∠OAM=∠ODN，得出∠EDN=∠DAE，进而判断出△DEN∽△ADE，得出，进而得出a=b，即可表示出CN=b，AC=b，AN=AC﹣CN=b，即可得出结论．【解答】解：（1）∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于O，∴OD=OA，∠AOM=∠DON=90°，∴∠OND+∠ODN=90°，∵∠ANH=∠OND，∴∠ANH+∠ODN=90°，∵DH⊥AE，∴∠DHM=90°，∴∠ANH+∠OAM=90°，∴∠ODN=∠OAM，∴△DON≌△AOM，∴OM=ON；（2）连接MN，∵EN∥BD，∴∠ENC=∠DOC=90°，∠NEC=∠BDC=45°=∠ACD，∴EN=CN，同（1）的方法得，OM=ON，∵OD=OD，∴DM=CN=EN，∵EN∥DM，∴四边形DENM是平行四边形，∵DN⊥AE，∴▱DENM是菱形，∴DE=EN，∴∠EDN=∠END，∵EN∥BD，∴∠END=∠BDN，∴∠EDN=∠BDN，∵∠BDC=45°，∴∠BDN=22.5°，∵∠AHD=90°，∴∠AMB=∠DME=90°﹣∠BDN=67.5°，∵∠ABM=45°，∴∠BAM=67.5°=∠AMB，∴BM=AB；（3）设CE=a（a＞0）∵EN⊥CD，∴∠CEN=90°，∵∠ACD=45°，∴∠CNE=45°=∠ACD，∴EN=CE=a，∴CN=a，设DE=b（b＞0），∴AD=CD=DE+CE=a+b，根据勾股定理得，AC=AD=（a+b），同（1）的方法得，∠OAM=∠ODN，∵∠OAD=∠ODC=45°，∴∠EDN=∠DAE，∵∠DEN=∠ADE=90°，∴△DEN∽△ADE，∴，∴，∴a=b（已舍去不符合题意的）∴CN=a=b，AC=（a+b）=b，∴AN=AC﹣CN=b，∴AN2=2b2，AC•CN=b•b=2b2∴AN2=AC•CN．【点评】此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，平行四边形，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出四边形DENM是菱形是解（2）的关键，判断出△DEN∽△ADE是解（3）的关键．。
2020年湖南省常德市中考数学试卷及答案解析
2020年湖南省常德市中考数学试卷
一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）
1．4的倒数为（）
A ．B．2C．1D．﹣4 2．下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（）
A．70°B．65°C．35°D．5°4．下列计算正确的是（）
A．a2+b2＝（a+b）2B．a2+a4＝a6
C．a10÷a5＝a2D．a2•a3＝a5
5．下列说法正确的是（）
A．明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨
B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上
C．了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式
D．一组数据的众数一定只有一个
6．一个圆锥的底面半径r＝10，高h＝20，则这个圆锥的侧面积是（）A．100πB．200πC．100πD．200π7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：
①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．
其中正确结论的个数是（）
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