北航解析几何课件总复习

解析几何总复习
5. 判断位置关系 (1) 两直线(平行、相交、重合、异面)
(2) 两平面(平行、相交、重合)
(3) 直线与平面(属于、平行、相交)
6. 求旋转面、柱面、锥面方程
(1) 旋转面
设旋转面S 轴线 l 过点M0 , 平行于向量u0; 母线
则 M(x, y) S
M (x, y) , MM u0 = 0,
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圆锥面 定义: 由直线绕与它相交而不垂直的轴线旋转 所得的旋转面称为圆锥面. 母线与轴线的交点 称为锥顶, 夹角称为半顶角. 方程的建立:
方法1: 锥顶为M0, 半顶角为, 点 M 在圆锥面上 |M0M u| = |M0M| |u| cos .
方法2: 锥顶为M0, M1在圆柱面上, 点 M 在圆锥面上
|M0M| = |M0M| .
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圆柱面 定义: 由直线绕与它平行的轴线旋转所得的旋转 面称为圆柱面. 母线与轴线的距离称为它的半径. 方程的建立: 方法1: 轴线过点 M0, 平行于向量 u, 半径为 r,
点 M 在圆柱面上 M0Mu r, u
方法2: 轴线过M0, 平行于向量u, M1在圆柱面上, 点 M 在圆柱面上 |M0M u| = |M0M1 u|.
定理: x, y, z 的 n 次齐次方程的图像 (添上原点) 一定是锥顶为原点的锥面. 在以锥面顶点为原点 的直角坐标系中, 锥面方程必是关于 x, y, z 的齐 次方程.
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(3) 锥面
设锥面S锥顶M0(x0, y0, z0) , 准线 : G F((xx,,yy,,zz))00,,
则M(x, y, z) (不是锥顶)在锥面上存在实数t, 使 G F ( (1 1 ( ( t t) ) x x 0 0 t t, ,( ( x x 1 1 t t) ) y y 0 0 t t, ,( ( y y 1 1 t t) ) z z 0 0 t t) ) z z 0 0 , , 从其中一式解出 t 代入另一式, 即得 S 的方程.
注意: 标准方程与一般方程之间的互化. (3) 直角坐标系中平面的点法式方程 已知一点 M0(x0, y0, z0) , 平面的法向量 n(A, B, C) , 则平面方程为
A (x x0) + B(y y0)+ C(z z0) + D = 0,
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2. 求空间直线方程
(1) 直线的标准方程
已知一点 M0(x0, y0, z0) , 一个方向向量v(X, Y, Z) , 则直线方程为 xx0yy0zz0
XY Z (2) 直线的参数方程
x x0 X ,
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y
y0
Y ,
z z 0 Z .
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(3) 直线的一般方程 A A 1 2xx B B 12yy C C 12 zz D D 1200
a1 a2 a3
b1 b2 b3
一个向量
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a1 a2 a3
(,, ) b1 b2 b3
c1 c2 c3
( ) = ( ) ( )
一个数 一个向量
(2) 向量的夹角
cos,
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(3) 外积、混合积的几何意义.
外积的长度 | | ---以, 为邻边的平行四边形的面积 混合积的绝对值 |(, , )| ---以, , 为同一顶点三条棱的平行六面体体积
|M0M u| |M0M1| = |M0M1 u| |M0M| .
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(2) 柱面
设柱面S // u(k, m, n), 准线 : G F((xx,,yy,,zz))00,,
则点 M(x, y, z) S 存在实数 t, 使得
G F ((x x ttk ,k ,y y ttm m ,,z z ttn )n ) 0 0,, 从其中一式解出 t 代入另一式, 即得 S 一般方程. 定理: 若一个柱面的母线平行于z 轴 (或 x 轴, 或 y 轴), 则它的方程中不含 z (或x, 或y); 反之, 一个 三元方程若不含z (或x, 或y), 则它一定表示一个 母线平行于z 轴 (或 x 轴, 或 y 轴) 的柱面.
= (a1, a2, a3), = (b1, b2, b3), = (c1, c2, c3), R,
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+ = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3) = (a1, a2, a3) = a1b1 + a2b2 + a3b3
一个向量 一个向量 一个数
e1 e2 e3
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第一章 向量代数 第二章 空间解析几何 第三章 坐标变换与二次曲线分类 第四章 正交变换与仿射变换 第五章 考试题型
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向量代数
1. 向量的各种运算 加法、数乘、内积、外积、混合积
重点掌握: (1) 各种向量运算的法则及其坐标运算. 设在某直角坐标系I: [O; e1, e2, e3]中,
2. 向量或点的共线、共面问题
(1) 与 共线 = 0.
(2) , , 共面 (, , ) = 0.
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空间解析几何
1. 求平面方程
(1) 平面的点向式方程
已知一点M0(x0, y0, z0) , 方向向量 v1(X1, Y1, Z1) ,
v2(X2, Y2, Z2) 不共线, 则过M0且平行于 v1, v2的
注意: 标准方程与一般方程之间的互化. 3. 求夹角 (1) 直线与直线
(2) 直线与平面 归结为两向量的夹角
(3) 平面与平面
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4. 求距离
(1) 点到直线
d(P,l)uM0P u
(2) 点到平面
dA0xB0yC0zD A2B2C2
(3) 两异面直线 d(l1,l2)(u1,u u2 1,M u1 2M2)
平面方程为
xx0 yy0 zz0
(M0M, v1, v2) X1
Y1
Z1 0
X2
Y2
Z2
其中 M 为平面上任一点.
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(2) 平面的一般方程 Ax + By + Cz + D = 0
其中 A Y 1 Y 2,B Z 1 Z 2,C X 1 X 2. Z 1 Z 2 X 1 X 2 Y 1 Y 2