1.5.1求曲边梯形的面积(优秀课件二)
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1.5.1求曲边梯形的面积
曲边梯形的面积
兆麟中学高二数学
问：形如上图的曲边梯形的概念是什么？ 把由直线 x a, x b(a b), y 0 和曲线 y f ( x) 所围成的图形称为曲边梯形.
2 先研究一个特殊情形：求 y x
与直线 x 0, x 1, y 0
所围的平面图形的 面积S
(i 1, 2, ...,n)
每个区间的长度为 x i n i 1 n 1 n
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯 形，它们的面积分别记作：
S1 S2
...
Sn
∴曲边梯形面积
S Si
i 1
n
（2）近似代替 当 x 0 时，我们可以把小曲边 梯形近似看成什么图形？ 又如何计算每个近似图形
i-1 f( ) n
y f ( x)
第i个曲 边梯形
的面积ห้องสมุดไป่ตู้
Si ' ？
（用矩形代替曲边梯形）
i 1 i 1 2 1 Si Si =f ( )x ( ) n n n (i 1, 2, ...,n)
'
i-1 n
i n
（3）求和
S S1 S2 Sn Si
n
（4）取极限
分别将区间[0，1]等分成8，16，32，…1024,……等份（如下图）,可以看到， 当n
,即 x 0 时， S n 1 (1 1 )(1 1 ) S ,
3 n 2n
n
从而有
1 i 1 1 1 1 1 S lim Sn lim f ( ) lim (1 )(1 ) n n n 3 n n 2n 3 i 1 n
y x2
兆麟中学高二数学
问：形如上图的曲边梯形的概念是什么？ 把由直线 x a, x b(a b), y 0 和曲线 y f ( x) 所围成的图形称为曲边梯形.
2 先研究一个特殊情形：求 y x
与直线 x 0, x 1, y 0
所围的平面图形的 面积S
(i 1, 2, ...,n)
每个区间的长度为 x i n i 1 n 1 n
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯 形，它们的面积分别记作：
S1 S2
...
Sn
∴曲边梯形面积
S Si
i 1
n
（2）近似代替 当 x 0 时，我们可以把小曲边 梯形近似看成什么图形？ 又如何计算每个近似图形
i-1 f( ) n
y f ( x)
第i个曲 边梯形
的面积ห้องสมุดไป่ตู้
Si ' ？
（用矩形代替曲边梯形）
i 1 i 1 2 1 Si Si =f ( )x ( ) n n n (i 1, 2, ...,n)
'
i-1 n
i n
（3）求和
S S1 S2 Sn Si
n
（4）取极限
分别将区间[0，1]等分成8，16，32，…1024,……等份（如下图）,可以看到， 当n
,即 x 0 时， S n 1 (1 1 )(1 1 ) S ,
3 n 2n
n
从而有
1 i 1 1 1 1 1 S lim Sn lim f ( ) lim (1 )(1 ) n n n 3 n n 2n 3 i 1 n
y x2
曲边梯形的面积PPT教学课件
闽江口湿地状况的调查
闽江口湿地现状
• 闽江河口湿地既是闽江流域最大的天然湿地， 又是最富生物多样性的地区，它为鸟类提供了 良好的生存空间和丰富的食物资源。但是，由 于城市建设和改造，我市城区水域面积二十年 来明显减少，许多河汊和河浦被填埋利用，其 中包括有保护价值的湿地。这些改变，加上其 它综合因素的作用，给城市气候、水文、生物 以及城市生态的其它方面带来负面的影响。
S
n3
(n 1)n(2n 1) 6
(1 6
)(2 n
) n
（4）取极限
当分割的份数无限增多, 即n → ∞,△x → 0时
S 1 (1 1 )(2 1 ) 1 6n n3
所以S 1 . 3
我们还可以 从数值上可 以看出这一 变化趋势 （请见表）
区间[0，1] 的等分数n
2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 …
1.5.1 曲边梯形的面积
一. 求曲边梯形的面积
1. 曲 边 梯 形 ： 在 直 角 坐 标 系 中 ， 由 连 续 曲 线
y=f(x)，直线x=a、x=b及x轴所围成的图形叫做曲边
梯形。 y
y=f (x)
x=a
Oa
x=b
bx
P 放大
P
再放大
P
因此，我们可以用这条直线L来代替点P附 近的曲线，也就是说：在点P附近，曲线可以看 作直线（即在很小范围内以直代曲）．
y = f(x) y
A1
Ai
An
Oa
bx
将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵
形的面积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形
的面积A近似为
A A1+ A2 + + An
1.5.1曲边梯形的面积.ppt1
？
y = f(x) y
A1 Oa
A2 b
用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1+ A2
如 何 求 曲 边 梯 形 的 x面 积 ？
y = f(x) y
A1
A2
A3
A4
Oa
b
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1+ A2+ A3+ A4
如 何 求 曲 边 梯 形 的 x面 积 ？
y yf (x)
b
c
b
f (x)dx f (x)dx
f (x)dx。
a
a
c
Oa
bx
特别地，当 ab 时，有b a
f (x)dx0。
定积分的几何意义：
从几何上看，如果在区间[a,b]上函数连续且恒有（f x） 0；
那么定积分 b （f x)dx表示由直线x=a,x=b,y=0,和曲线y = f(x)所 a
？
—— 以直代曲,无限逼近
典型例题：
例1.求抛物线y=x2、直线x=0、直线 y
x=1和y=0所围成的曲边三角形的面积。
y x2
⑴分割
第i个小区间
把底边[0,1]分成n等份,
[0, 1],[1 , 2],,[i 1, i ],,[n 1,1],
n nn n n n
然后在每个分点作底边的垂
,
xi
上取一点
i i 1,2,
,n
，作和式：Sn n
i 1
f
(i )x
n i 1
ba n
f (i )
如果 x 无限接近于 0（亦即 n ）时，上述和式 Sn
高中数学(新课标)选修2课件1.5.1-2曲边梯形的面积
＝n＋i－n1n＋i.
(3)求和
小曲边梯形的面积和
n
n
Sn＝ ΔSi＝
i＝1
i＝1
n n＋i－1n＋i
＝nn1－n＋1 1＋n＋1 1－n＋1 2＋…＋n＋1n－1－n＋1 n＝nn1－21n＝12. (4)取极限 当 n 趋向于无穷大，即 Δx 趋向于 0 时，Sn 越来越趋向于 S，
从而有 linm→∞Sn＝12，所以由直线 x＝1，x＝2，y＝0 和曲线 y＝x12围成
＝－n13[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]＋n12[0＋1＋2＋…＋(n－1)] ＝－n13·16n(n－1)(2n－1)＋n12·nn2－1 ＝－－n62n＋2 1＝－16n12－1.
(4)取极限
当分割无限变细，即 Δx 趋向于 0 时，n 趋向于∞，此时
－16n12－1趋向于
S.从而有
S＝li m n→∞
跟踪训练 1 求由直线 x＝1，x＝2，y＝0 及曲线 y＝x12围成图 形的面积 S.
解析：(1)分割 在区间[1,2]上等间隔地插入 n－1 个点，将它分成 n 个小区间 为n＋ni－1，n＋n i(i＝1,2，…，n)，其长度为 Δx＝1n.分别过上述 n －1 个点作 x 轴的垂线，把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形，它们的 面积记 ΔSi(i＝1,2，…，n)． (2)近似代替 在区间n＋ni－1，n＋n i上，当 n 趋向于无穷大，即 Δx 趋向于 0 时，我们用小矩形面积近似地代替 ΔSi，则有 ΔSi≈n＋i－n12n＋i·1n
状元随笔 曲边梯形面积的求解过程，其实可以用下面的表
述：
(1)将区间[a，b]分割，等分为 n 个小区间，每个小区间的长度 为 Δx＝b－n a；
(2)“近似代替”中每个小区间上函数 f(x)的值可任意取一点 ξi∈[xi －1，xi]，用 f(ξi)来代替，不影响极限的值．为了计算方便， 可以取区间的一些特殊点，如区间的端点或中点等；
(3)求和
小曲边梯形的面积和
n
n
Sn＝ ΔSi＝
i＝1
i＝1
n n＋i－1n＋i
＝nn1－n＋1 1＋n＋1 1－n＋1 2＋…＋n＋1n－1－n＋1 n＝nn1－21n＝12. (4)取极限 当 n 趋向于无穷大，即 Δx 趋向于 0 时，Sn 越来越趋向于 S，
从而有 linm→∞Sn＝12，所以由直线 x＝1，x＝2，y＝0 和曲线 y＝x12围成
＝－n13[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]＋n12[0＋1＋2＋…＋(n－1)] ＝－n13·16n(n－1)(2n－1)＋n12·nn2－1 ＝－－n62n＋2 1＝－16n12－1.
(4)取极限
当分割无限变细，即 Δx 趋向于 0 时，n 趋向于∞，此时
－16n12－1趋向于
S.从而有
S＝li m n→∞
跟踪训练 1 求由直线 x＝1，x＝2，y＝0 及曲线 y＝x12围成图 形的面积 S.
解析：(1)分割 在区间[1,2]上等间隔地插入 n－1 个点，将它分成 n 个小区间 为n＋ni－1，n＋n i(i＝1,2，…，n)，其长度为 Δx＝1n.分别过上述 n －1 个点作 x 轴的垂线，把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形，它们的 面积记 ΔSi(i＝1,2，…，n)． (2)近似代替 在区间n＋ni－1，n＋n i上，当 n 趋向于无穷大，即 Δx 趋向于 0 时，我们用小矩形面积近似地代替 ΔSi，则有 ΔSi≈n＋i－n12n＋i·1n
状元随笔 曲边梯形面积的求解过程，其实可以用下面的表
述：
(1)将区间[a，b]分割，等分为 n 个小区间，每个小区间的长度 为 Δx＝b－n a；
(2)“近似代替”中每个小区间上函数 f(x)的值可任意取一点 ξi∈[xi －1，xi]，用 f(ξi)来代替，不影响极限的值．为了计算方便， 可以取区间的一些特殊点，如区间的端点或中点等；
2019年曲边梯形的面积课件_新人教A版选修2-2精品教育.ppt
Sn
n
ΔSi'
i1
n f i 1Δx i1 n
n
i
12
1
i1 n n
0
1
1
2
1
n
12
1
n n n
n n
1 n3
12
22
n 12
可以证明
12 22 n 12 n 1n2n 1.
1 2n
2.
事实上,我们可以 4取极限 当n趋向于无穷
认为汽车在每个 大,即Δt趋向于0时,
小时时间间隔
i
1, n
i n
上近似地
以任意时刻ξi
i
1, n
i n
处的速度
vξi 作匀速行驶,
并且我们有
Sn
1 1 3
1 1 n
i n
(i
1,2,
,n)
上时间速度变化很小,不妨
认为它近似地以时刻i
1处的速度v
i
1
i
12
n
n n
2作匀速行驶,即在局部范围内"以匀速代变速",于是
ΔSi
ΔSi'
v
i
12
Δt
n
i
1
2
n
求曲边梯形的面积PPT教学课件
教学反馈环节一
能满足人们物质生活或 精神生活方面的需要
事物（物质现象）
积 具有 极
意 义
事物（精神现象）
影视小说
具有
艺术价值
人生价值两个方面的内容
1）个人对社会的责任和贡献——社会 价值（贡献）
2）社会对个人的尊重和满足——自我 价值（索取）
个别我 + 集体我
完整的我
正确理解价值的基本含义
1、我们这里所说的价值不是具体领域的价值，而是哲学 世界观领域的价值，它比具体领域事物的价值更广泛、更 抽象。二者是共性和个性，一般和个别的关系。
这在国内目前的省级交通厅长犯案
中可谓涉案数额最为巨大、情节最为 恶劣。
一个67岁的老人，一个功成 名就的中国工程院院士，面对医 学界与人类社会全然陌生的一种 不明原因的急性重症呼吸道传染 病的肆虐，慷慨请缨要求把危重 病人转送到他所领导的广州呼吸 病研究所集中隔离治疗。尔后又 临危受命，担任广东省“非典型 肺炎”医疗救护专家指导小组组 长，奔忙在抗“非典”的第一线， 乃至发生连续工作38小时一度累 倒的情形。钟南山的身上洋溢着 一种强大而崇高的人格力量。他 在和平时期所表现的奋不顾身、 身先士卒的英雄气质，比战争年 代那些舍身取义英勇无畏的先烈 毫不逊色。
1 n3
S第2个黄色矩形
1 n
f
(2) n
4 n3
y f (x)
i-1 i nn
S第n个黄色矩形
1 n
f
(n) n
1 n
3、求和
S黄色部分 S第1个黄色矩形 S第2个黄色矩形 ... S第n个黄色矩形
12 n3
22 n3
...
i2 n3
...
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第一章 1.5 1.5.1 曲边梯形的面积
2
栏 目 链 接
值的变化逐渐缩小，当 n 很大时，f(x)的值变化很小． 答案：D
自 测 自 评
i－1 i 2． 当 n 很大时， 函数 f(x)＝x 在区间 ，n上的值可 n
2
以用下列哪个值近似代替(
1 A ．f n 2 B．f n
)
i C．f n
2 y ＝ x ，x≥0， 由 得交点为(2,4)， y＝4， 2
栏 目 链 接
跟 踪 训 练
如图所示，先求由直线 x＝2，y＝0 和曲线 y＝x2 围成的曲边梯形的面积．
栏 目 链 接
跟 踪 训 练
2 (1)分割：将区间[0,2]n 等分，则 Δx＝n， 取小矩形的
2i－1 . 高为 f n
栏 目 链 接
nn＋1
2
；1 ＋2 ＋3 ＋„＋n ＝
2
2
2
2
nn 训 练
2． 求由抛物线 y＝x2 与直线 y＝4 所围成的曲边梯形的面积．
解析：因为 y＝x2 为偶函数，图象关于 y 轴对称， 所以所求曲边梯形的面积应为抛物线 y＝x (x≥0)与 直线 x＝0，y＝4 所围图形面积 S 的 2 倍，下面求阴 影部分的面积 S.
栏 目 链 接
自 测 自 评
i－1 i 1．函数 f(x)＝x 在区间 ，n上( n
2
)
A．f(x)的值变化很小 B．f(x)的值变化很大 C．f(x)的值不变化 D．当 n 很大时，f(x)的值变化很小
i－1 i 解析：函数 f(x)＝x 在区间 ，n上，随着 n 的增大，f(x)的 n
第一章
导数及其应用
1．5 定积分的概念 1．5.1 曲边梯形的面积
栏 目 链 接
值的变化逐渐缩小，当 n 很大时，f(x)的值变化很小． 答案：D
自 测 自 评
i－1 i 2． 当 n 很大时， 函数 f(x)＝x 在区间 ，n上的值可 n
2
以用下列哪个值近似代替(
1 A ．f n 2 B．f n
)
i C．f n
2 y ＝ x ，x≥0， 由 得交点为(2,4)， y＝4， 2
栏 目 链 接
跟 踪 训 练
如图所示，先求由直线 x＝2，y＝0 和曲线 y＝x2 围成的曲边梯形的面积．
栏 目 链 接
跟 踪 训 练
2 (1)分割：将区间[0,2]n 等分，则 Δx＝n， 取小矩形的
2i－1 . 高为 f n
栏 目 链 接
nn＋1
2
；1 ＋2 ＋3 ＋„＋n ＝
2
2
2
2
nn 训 练
2． 求由抛物线 y＝x2 与直线 y＝4 所围成的曲边梯形的面积．
解析：因为 y＝x2 为偶函数，图象关于 y 轴对称， 所以所求曲边梯形的面积应为抛物线 y＝x (x≥0)与 直线 x＝0，y＝4 所围图形面积 S 的 2 倍，下面求阴 影部分的面积 S.
栏 目 链 接
自 测 自 评
i－1 i 1．函数 f(x)＝x 在区间 ，n上( n
2
)
A．f(x)的值变化很小 B．f(x)的值变化很大 C．f(x)的值不变化 D．当 n 很大时，f(x)的值变化很小
i－1 i 解析：函数 f(x)＝x 在区间 ，n上，随着 n 的增大，f(x)的 n
第一章
导数及其应用
1．5 定积分的概念 1．5.1 曲边梯形的面积
《曲边梯形的面积》优秀课件
土地规划中的面积计算
在土地规划中，需要计算土地的面积，以确定土地的开发强度、容积率等指标。
06
总结与回顾
本课程的主要内容回顾
曲边梯形定义
曲边梯形面积计算方法
曲边梯形是一个具有曲边的四边形，其面 积计算需要考虑曲边的长度和高度。
通过分割曲边梯形为若干个小矩形或平行 四边形，再求和这些小图形的面积，得出 曲边梯形的面积。
实例二：不规则曲边梯形
不规则曲边梯形可能由多个不同的函数定义，计算面积需要 分别对每个函数进行积分，然后将得到的面积相加。
例如，一个不规则曲边梯形由y=x^2和y=√x定义，可以先分别 计算由这两个函数定义的曲边梯形的面积，然后将结果相加。
实例三：实际应用中的曲边梯形面积计算
在实际应用中，曲边梯形面积计算可能涉及到更复杂的函 数和更广泛的应用场景。例如，金融领域中的投资组合优 化问题、工程领域中的材料成本估算等。
优点
缺点
需要一定的微积分基础，计算过程较 为复杂。
精度高，适用于各种形状的曲边梯形。
04
曲边梯形面积计算的实例
实例一：规则曲边梯形
规则曲边梯形是一个具有明确函数表达式的图形，可以通过积分计算其面积。例 如，一个由y=sinx定义的曲边梯形，其面积可以通过对y=sinx进行积分来获得。
具体计算过程为：首先确定曲边梯形的上下限，然后使用定积分公式计算面积， 即∫上限 下限 dsinx。
形得到。
曲边梯形的性质
曲边梯形具有直边和曲边的特 性，其面积计算需要考虑曲边 的形状和大小。
曲边梯形的面积与直边的长度 和曲边的形状、高度、宽度等 参数有关。
曲边梯形的面积可以通过积分 计算得到，也可以通过近似方 法估算。
03
在土地规划中，需要计算土地的面积，以确定土地的开发强度、容积率等指标。
06
总结与回顾
本课程的主要内容回顾
曲边梯形定义
曲边梯形面积计算方法
曲边梯形是一个具有曲边的四边形，其面 积计算需要考虑曲边的长度和高度。
通过分割曲边梯形为若干个小矩形或平行 四边形，再求和这些小图形的面积，得出 曲边梯形的面积。
实例二：不规则曲边梯形
不规则曲边梯形可能由多个不同的函数定义，计算面积需要 分别对每个函数进行积分，然后将得到的面积相加。
例如，一个不规则曲边梯形由y=x^2和y=√x定义，可以先分别 计算由这两个函数定义的曲边梯形的面积，然后将结果相加。
实例三：实际应用中的曲边梯形面积计算
在实际应用中，曲边梯形面积计算可能涉及到更复杂的函 数和更广泛的应用场景。例如，金融领域中的投资组合优 化问题、工程领域中的材料成本估算等。
优点
缺点
需要一定的微积分基础，计算过程较 为复杂。
精度高，适用于各种形状的曲边梯形。
04
曲边梯形面积计算的实例
实例一：规则曲边梯形
规则曲边梯形是一个具有明确函数表达式的图形，可以通过积分计算其面积。例 如，一个由y=sinx定义的曲边梯形，其面积可以通过对y=sinx进行积分来获得。
具体计算过程为：首先确定曲边梯形的上下限，然后使用定积分公式计算面积， 即∫上限 下限 dsinx。
形得到。
曲边梯形的性质
曲边梯形具有直边和曲边的特 性，其面积计算需要考虑曲边 的形状和大小。
曲边梯形的面积与直边的长度 和曲边的形状、高度、宽度等 参数有关。
曲边梯形的面积可以通过积分 计算得到，也可以通过近似方 法估算。
03
1.5.1《曲边梯形的面积》课件
y = f ( x) y
A1 O
a
Ai
An
b x
将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代 替小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积A近似为 A A1+ A2 + + An
分割越细，面积的近似值就越精确.当分割无限变细 时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S.
下面用第一种方案“以直代曲”的具体操作过程解 决以下问题。
一般曲边梯形的面积的表达式
ba S lim f i n n i 1
n
以上计算曲边三角形面积的过程可以用流程图表示：
分割
y
近似代替
求和
y
逼近
y
y
O
x
O
x
O
x
O
x
1.求直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯
形的面积. 解:(1)分割:将区间[0,2]n等分,则
8 4(n 1)(2n 1) 2 2 2 3 [1 2 3 (n 1) ] 2 n 3n
(4)取极限
4(n 1)(2n 1) S lim S n lim n n 3n 2 8 即曲边梯形的面积为 3
一个案例 两种思想 三个方案 四个步骤
4、取极限
当分割无限变细，即 x 0(亦 即n )时 ， 1 1 1 S n (1 )(1 )趋 向S， 从 而 3 n 2n n 1 i 1 1 1 1 S l i mS n l i m f ( ) l i m (1 )(1 ) n n n 3 n n 2n i 1 n 1 1 1 所 以S ， 即 所 求 曲 边 三 角 形 面 的积 为 。 3 3 3
高二数学曲边梯形的面积2精选教学PPT课件
作业：
P42 练习.
长久以来，一颗流浪的心忽然间找到了一个可以安歇的去处。坐在窗前，我在试问我自己：你有多久没有好好看看这蓝蓝的天，闻一闻这芬芳的花香，听一听那鸟儿的鸣唱？有多久没有回家看看，听听家人的倾诉？有多久没和他们一起吃饭了，听听那年老的欢笑？有多久没与他们谈心，听听他门的烦恼、他们的心声呢？是不是因为一路风风雨雨， 而忘了天边的彩虹？是不是因为行色匆匆的脚步，而忽视了沿路的风景？除了一颗疲惫的心，麻木的心，你还有一颗感恩的心吗？不要因为生命过于沉重，而忽略了感恩的心！ 也许坎坷，让我看到互相搀扶的身影； 也许失败，我才体会的一句鼓励的真诚； 也许不幸，我才更懂得珍惜幸福。
y y＝x2
O
1x
第i个矩形的高为 hi 1
=
( i )2， n
每个矩形的宽为 .
n
思考4：利用公式
12 + 22 + L + n 2
=
n (n
+
1)(2n
+
1)
6
计算，这n－1个小矩形的面积之和Sn－1
等于多少？
y
y＝x2
O
1x
(n - 1)n(2n - 1)
Sn- 1 =
6n 3
思考5：如何利用各小矩形的面积之和求 曲边梯形的面积S？所得的结果是什么？
我感恩，感恩生活，感恩网络，感恩朋友，感恩大自然，每天，我都以一颗感动的心去承接生活中的一切。 我感谢……
感谢伤害我的人，因为他磨练了我的心志； 感谢欺骗我的人, 因为他增进了我的见识； 感谢遗弃我的人, 因为他教导了我应自立； 感谢绊倒我的人，因为他强化了我的能力； 感谢斥责我的人，因为他助长了我的智慧； 感谢藐视我的人，因为他觉醒了我的自尊；
P42 练习.
长久以来，一颗流浪的心忽然间找到了一个可以安歇的去处。坐在窗前，我在试问我自己：你有多久没有好好看看这蓝蓝的天，闻一闻这芬芳的花香，听一听那鸟儿的鸣唱？有多久没有回家看看，听听家人的倾诉？有多久没和他们一起吃饭了，听听那年老的欢笑？有多久没与他们谈心，听听他门的烦恼、他们的心声呢？是不是因为一路风风雨雨， 而忘了天边的彩虹？是不是因为行色匆匆的脚步，而忽视了沿路的风景？除了一颗疲惫的心，麻木的心，你还有一颗感恩的心吗？不要因为生命过于沉重，而忽略了感恩的心！ 也许坎坷，让我看到互相搀扶的身影； 也许失败，我才体会的一句鼓励的真诚； 也许不幸，我才更懂得珍惜幸福。
y y＝x2
O
1x
第i个矩形的高为 hi 1
=
( i )2， n
每个矩形的宽为 .
n
思考4：利用公式
12 + 22 + L + n 2
=
n (n
+
1)(2n
+
1)
6
计算，这n－1个小矩形的面积之和Sn－1
等于多少？
y
y＝x2
O
1x
(n - 1)n(2n - 1)
Sn- 1 =
6n 3
思考5：如何利用各小矩形的面积之和求 曲边梯形的面积S？所得的结果是什么？
我感恩，感恩生活，感恩网络，感恩朋友，感恩大自然，每天，我都以一颗感动的心去承接生活中的一切。 我感谢……
感谢伤害我的人，因为他磨练了我的心志； 感谢欺骗我的人, 因为他增进了我的见识； 感谢遗弃我的人, 因为他教导了我应自立； 感谢绊倒我的人，因为他强化了我的能力； 感谢斥责我的人，因为他助长了我的智慧； 感谢藐视我的人，因为他觉醒了我的自尊；
1.5.1求曲边梯形的面积及路程共19张
驶的路程
s
lim
n
sn
在数
值上就等于相应曲边梯形 面积.
v DS1 DS2
2
g
g
D
g
S3
gD S
4
DSj
gD Sn
O 1 2 3 j n-1 1
t
nnn n n
从而，汽车行驶的路程S
lim
n
Sn在数值上等于
由直线 t 0,t 1, v 0和曲线v t2 2所围成的曲
边梯形的面积.
▪ 2．已知某正电荷在某电场中做变速直线运动， 在时刻t的速度为v(t)＝t2(单位m/s)，求它在 0≤t≤1这段时间运动的路程是什么？
S第i个黄色矩形
1 n
f
(i) n
i2 n3
n
S第1个黄色矩形
1 n
f
(1) n
1 n3
1 24
S第2个黄色矩形
n
f
() n
n3
y f (x)
i-1 i nn
S第n个黄色矩形
1 n
f
(n) n
1 n
x 1 n
3、求和
S黄色部分 S第1个黄色矩形 S第2个黄色矩形 ... S第n个黄色矩形
y
f b
y fx
f a
oa
bx
图1.5 1
思考 图1.5 1中,阴影部分类似于一个梯 形, 但有一
边是曲线 y f x的一段,我们把由直线 x a, x b a b, y 0和曲线 y f x 所围成的图形称为曲边
梯形,如何计算这个曲边梯形 的面积呢 ?
-----割圆术
魏晋时期的数学家刘徽的割圆术
解：（1）分割 在时间区间 0 ,1 上等间隔地插入
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nn n
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯 形，它们的面积分别记作：
... S1 S2
n
Sn ∴曲边梯形面积 S Si
i 1
（2）近似代替
当 x 0 时，我们可以把小曲边
梯形近似看成什么图形？又如何计 f (i-1)
n
算每个近似图形的面积 Si' ？这
样给我们研究问题带来了哪些帮助？
练一练:
求直线 x 0, x 2, y 0 与曲线 y x2 所围成的
曲边梯形的面积.
小结：
一.求曲边梯形面积的步骤：
分割
近似代替
求和
取极限
二.运用的数学思想： 1.以直代曲思想 2.逼近思想
作业： 1.阅读并思考课本P48页 《曲边梯形的面积》 2.书面作业：P50页B.1
0.125 000 00 0.218 750 00 0.273 437 50 0.302 734 50 0.317 871 09 0.325 561 52 0.329 437 26 0.331 382 75 0.332 357 41 0.332 845 21 0.333 089 23
…
方法总结：我们能否得到求一般性曲边梯形的面积 方法（如下图所示）？ 一般地，对如图所示的曲边梯形，我们也可采用分 割、近似代替、求和、取极限的方法，求出其面积。
y x2
n 等分
O
0.2 0.4 0.6 0.8 1
x
0.1
(1)分割
将曲边梯形分割为等高的小曲边梯形
“等分” “等分” 分割梯形 分割x轴 分割定义域
即把定义域[0，1]等分成n个小区间：
[0, 1 ],[ 1 , 2][i 1, i ][n 1, n ]. n nn n n n n
(i 1, 2,...,n) 每个区间的长度为 x i i 1 1
1.5.1求曲边梯形的面积
连续函数的定义：
y
y
x
x
oa
b oa
b
一般地,如果函数y=f(x)在某个区间I上的图象是 一条连续不断的曲线,那么就把它称为区间I上的 连续函数.
问：形如上图的曲边梯形的概念是什么？
把由直线 x a, x b(a b), y 0 和曲线 y f (x)
所围成的图形称为曲边梯形.
y f (x)
第i个曲 边梯形
请同学们相互讨论。
i-1 i
nn
Si
Si' =f (i
1)x n
(i
1)2 n
1（用矩形代替曲边梯形） n
(i 1, 2,...,n)
（3）求和
n
S S1 S2 Sn Si i1
n f( i-1) 1 n (i-1)2 1 i1 n n i1 n n
(i 1, 2,...,n)
1 n3
[02
12
22
(n
1)2 ]
1 (n 1)n(2n 1) 1 1 1
n3
6
(1 )(1 ) 3 n 2n
（4）取极限
分别将区间[0，1]等分成8，16，32，…1024,……等份（如下图）,可以看到，
当n
,即 x
0 时，
Sn
1 (1 3
1 )(1 n
对它的面积又如何求呢？
曲边梯形的定义：
曲边梯形：在直角坐标系中，由连续
曲线y=f(x)，直线x=a、x=b及x轴所围成的图
形叫做曲边梯形。
y
y=f (x)
x=a
Oa
x=b
bx
先研究一个特殊情形：求 y x2 与直线 x 0, x 1, y 0
所围的平面图形的
面积S
y x2
y
10 等分
1) 2n
S,
从而有
S
lim
n
Sn
lim
n
n i 1
1 n
f
(i
1) n
lim
n
1 (1 3
1 )(1 n
1) 2n
1 3
我们还可 以从数值上 可以看出这 一变化趋势 （请见表）
区间[0，1] 的等分数n
2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 …
S的近似值 Sn
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯 形，它们的面积分别记作：
... S1 S2
n
Sn ∴曲边梯形面积 S Si
i 1
（2）近似代替
当 x 0 时，我们可以把小曲边
梯形近似看成什么图形？又如何计 f (i-1)
n
算每个近似图形的面积 Si' ？这
样给我们研究问题带来了哪些帮助？
练一练:
求直线 x 0, x 2, y 0 与曲线 y x2 所围成的
曲边梯形的面积.
小结：
一.求曲边梯形面积的步骤：
分割
近似代替
求和
取极限
二.运用的数学思想： 1.以直代曲思想 2.逼近思想
作业： 1.阅读并思考课本P48页 《曲边梯形的面积》 2.书面作业：P50页B.1
0.125 000 00 0.218 750 00 0.273 437 50 0.302 734 50 0.317 871 09 0.325 561 52 0.329 437 26 0.331 382 75 0.332 357 41 0.332 845 21 0.333 089 23
…
方法总结：我们能否得到求一般性曲边梯形的面积 方法（如下图所示）？ 一般地，对如图所示的曲边梯形，我们也可采用分 割、近似代替、求和、取极限的方法，求出其面积。
y x2
n 等分
O
0.2 0.4 0.6 0.8 1
x
0.1
(1)分割
将曲边梯形分割为等高的小曲边梯形
“等分” “等分” 分割梯形 分割x轴 分割定义域
即把定义域[0，1]等分成n个小区间：
[0, 1 ],[ 1 , 2][i 1, i ][n 1, n ]. n nn n n n n
(i 1, 2,...,n) 每个区间的长度为 x i i 1 1
1.5.1求曲边梯形的面积
连续函数的定义：
y
y
x
x
oa
b oa
b
一般地,如果函数y=f(x)在某个区间I上的图象是 一条连续不断的曲线,那么就把它称为区间I上的 连续函数.
问：形如上图的曲边梯形的概念是什么？
把由直线 x a, x b(a b), y 0 和曲线 y f (x)
所围成的图形称为曲边梯形.
y f (x)
第i个曲 边梯形
请同学们相互讨论。
i-1 i
nn
Si
Si' =f (i
1)x n
(i
1)2 n
1（用矩形代替曲边梯形） n
(i 1, 2,...,n)
（3）求和
n
S S1 S2 Sn Si i1
n f( i-1) 1 n (i-1)2 1 i1 n n i1 n n
(i 1, 2,...,n)
1 n3
[02
12
22
(n
1)2 ]
1 (n 1)n(2n 1) 1 1 1
n3
6
(1 )(1 ) 3 n 2n
（4）取极限
分别将区间[0，1]等分成8，16，32，…1024,……等份（如下图）,可以看到，
当n
,即 x
0 时，
Sn
1 (1 3
1 )(1 n
对它的面积又如何求呢？
曲边梯形的定义：
曲边梯形：在直角坐标系中，由连续
曲线y=f(x)，直线x=a、x=b及x轴所围成的图
形叫做曲边梯形。
y
y=f (x)
x=a
Oa
x=b
bx
先研究一个特殊情形：求 y x2 与直线 x 0, x 1, y 0
所围的平面图形的
面积S
y x2
y
10 等分
1) 2n
S,
从而有
S
lim
n
Sn
lim
n
n i 1
1 n
f
(i
1) n
lim
n
1 (1 3
1 )(1 n
1) 2n
1 3
我们还可 以从数值上 可以看出这 一变化趋势 （请见表）
区间[0，1] 的等分数n
2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 …
S的近似值 Sn