高级微观经济学——包络定理与条件极值

高级微观经济学 微观经济理论
——基本原理与扩展
Contents
包络定理 单变量与多变量情形 条件极值 拉格朗日乘数法
包络定理(envelope theorem) 包络定理(envelope
研究当函数中某一参数变化时， 研究当函数中某一参数变化时， 最优值如何变化。 最优值如何变化。
e.g. 假设y是单一变量(x)与参数(a)的函数 假设y是单一变量(x)与参数(a)的函数 (x)与参数(a)
条件极值： 条件极值：
自变量附加条件的极值问题称为条 件极值。 件极值。
传统解法： 传统解法：
可从约束条件g x,y）=0中解出y=y(x)， 可从约束条件g（x,y）=0中解出y=y(x)， 中解出y=y(x) 代入z= y(x))转化为一元函数的无条件 代入z= f(x, y(x))转化为一元函数的无条件 极值。 极值。 若从g x,y）=0中解不出y=y(x)？ 中解不出y=y(x) 若从g（x,y）=0中解不出y=y(x)？
包络定理结论： 包络定理结论：
dy ∂f = * da ∂a x = x
*
e.g.
在斜边长为L 在斜边长为L的直角三角形中求周长最大的直角三角 设两直角边长为x,y 则求周长z=L+x+y x,y， z=L+x+y在条件 形 。 设两直角边长为 x,y， 则求周长 z=L+x+y在条件 下的最大值。 L2=x2+y2下的最大值。
f i xi的边际收益 → - gi xi的边际成本（多获取一点点x需承担的预 → 的边际成本（多获取一点点x
算负担） 算负担）
xi 的边际收益 λ = xi的边际成本
对偶性
每一个限制条件下的最大化问题都有一 个相应的对偶问题，那就是在目标函数取 最大值时把限制条件函数最小化。
原问题： 原问题：
结论：最佳方法是围一个正方形（x=y） 结论：最佳方法是围一个正方形（x=y）
这里f1表示x每增加一单位目标函数的边际增加；g1表 这里f 表示x每增加一单位目标函数的边际增加； 示随x的增加y的取值范围的减少。这里， 示随x的增加y的取值范围的减少。这里，λ表明周长增加 一单位，面积的增量。 一单位，面积的增量。
引入拉格朗日函数为： 引入拉格朗日函数为：
L = xy + λ ( p − 2 x − 2 y )
∂L = y − 2λ = 0 ∂x ∂L = x − 2λ = 0 ∂y ∂L = p − 2x − 2y = 0 ∂λ
y x = =λ 2 2 p x= y = 4 p λ = 8
y = − x + ax
2
对于参数的不同值a 对于参数的不同值a，这个方程表示一簇反向的抛 物线，请计算当参数a变化时最优值y 物线，请计算当参数a变化时最优值y*是怎样变化 * 的。 dy
da
=?
⒈通过求解单变量最大化问题的方法，求出x*， 通过求解单变量最大化问题的方法，求出 ， 然后代入方程
拉格朗日乘数法： 拉格朗日乘数法：
问题： 问题： 构造拉格朗日函数： 构造拉格朗日函数： 一阶条件： 一阶条件：
f1 f f = 2 = ... = n = λ − g1 − g 2 − gn
拉格朗日乘数（ 的解释： 拉格朗日乘数（ λ）的解释：
e.g.最佳的篱笆尺度： e.g.最佳的篱笆尺度： 最佳的篱笆尺度 给定篱笆的周长p，求它所能围的最大面积（假定 给定篱笆的周长p 求它所能围的最大面积（ 这个区域必须是矩形）。 这个区域必须是矩形）。 这个问题可概括为： 这个问题可概括为： max f ( x, y ) = xy s.t.2 x + 2 y = p
LD = 2 x + 2 y + λ D ( A − xy ) ⇒x= y= A
λD = =
2 x
2 2 = y A
பைடு நூலகம்
在经济学中的意义： 在经济学中的意义：
成本最小化问题就是利润最大化问题的对偶问 题 支出最小化就是效用最大化的对偶问题
Thank You !
The End
拉格朗日乘数法： 拉格朗日乘数法：
问题： 问题： 构造拉格朗日函数： 构造拉格朗日函数： 一阶条件： 一阶条件：
经济学中的绝大多数最大化问题都是限制条件下的 最大化问题。 最大化问题。 ● 效用最大化有预算限制 ● 社会福利最大化受资源限制 ● 利润最大化受技术限制
分析经济学中限制条件下的最大化问题，拉格朗日 分析经济学中限制条件下的最大化问题， 乘数法非常有用。 乘数法非常有用。
2.包络捷径：对于a的很小变化可以在x 2.包络捷径：对于a的很小变化可以在x的最优值 包络捷径 点上令x为常数， 点上令x为常数，对目标函数直接计算∂y / ∂a
直观解释： 直观解释：
dy* ∂y* = { x = x* (a)} da ∂a
多变量情形
对于y是多变量的函数， 对于 y是多变量的函数， 类似的包络定理仍然成 假设y 取决于一组x(x 立 。 假设 y 取决于一组 x(x1,…,xn) 与特殊常数 a ， 通 ,x 与特殊常数a 过求解n 过求解n个一阶方程
p 一单位， 说明放松限制 2 x + 2 y = p 一单位，最大面积 8 就会增加 p 。 8
这里 λ =
检验如下： 检验如下： 取 再取 可见 很接近于限制条件增加一单位时， 的变化量。 这个式子 λ 很接近于限制条件增加一单位时，A的变化量。
的经济学解释（影子价格）： λ 的经济学解释（影子价格）：
∂y = 0(i = 1,..., n ) ∂ xi
得出这些x(x 的最优值。 得出这些 x(x1*,…， xn*) 的最优值 。 假设方程满足二 ， xi* 能够表示为参数a的显函数，即 阶条件， 阶条件，每一个 能够表示为参数a的显函数， xi* = xi* (a )
* * * y* = f [x1 (a), x2 (a),..., xn (a), a]
对偶问题： 对偶问题：
λ =
P
1
λD
e.g.最优篱笆的对偶：对于给定面积为A的矩形土地， e.g.最优篱笆的对偶：对于给定面积为A的矩形土地，农 最优篱笆的对偶 场主要以最短长度的篱笆围住它。 场主要以最短长度的篱笆围住它。 数学表达为： 数学表达为： min p = 2 x + 2 y
s.t.xy = A 建立拉格朗日函数： 建立拉格朗日函数：