人教版高中数学总复习题总结(有答案)高考必备及参考答案
【2020】人教版最新高考复习题数学(附答案)Word版及解析
15．在平面直角坐标系中，设点，其中O为坐标原点，对于以下结论：
①符合[OP]=1的点P的轨迹围成的图形的面积为2；
②设P为直线上任意一点，则[OP]的最小值为1；
③设P为直线上的任意一点，则“使[OP]最小的点P有无数个”
的必要不充分条件是“”. x_k_b_1
其中正确的结论有 （填上你认为正确的所有结论的序号）.
的轨迹方程；
（2）若P是抛物线C1与椭圆C2的一个公共点，且∠PF1F2=，∠PF2F1=,求cos
的值及PF1F2的面积.
21．（本小题满分14分）已知函数(常数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）讨论函数在区间上零点的个数（为自然对数的底数）.
答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
（3）证明：由（2）知，
所以… 10分
所以
w w w .x k b 1.c o m
………
20．（本小题满分13分）已知抛物线C1:y2=4x的焦点与椭圆C2:的右焦点F2X K B 1.C O M
重合，F1是椭圆的左焦点.
（1）在ABC中，若A(-4,0)，B(0,-3)，点C在抛物线y2=4x上运动，求ABC重心G
C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5 D．(x＋4)2＋(y＋2)2＝20
9．已知二次函数的导函数为，且＞0，的图象与x
轴恰有一个交点，则的最小值为 ( )
A．3 B． C．2 D．
10．设，分别为双曲线：的左、右焦点，为双曲线
的左顶点，以为直径的圆交双曲线某条渐近线于、两点，且满足：
，则该双曲线的离心率为（ ）
「精选」人教版最新高考数学总复习(各种专题训练)附参考答案-精选文档
第1讲集合第2讲(附参考答案)一．课标要求：1．集合的含义与表示（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；2．集合间的基本关系（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义；3．集合的基本运算（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。
二．命题走向有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。
考试形式多以一道选择题为主，分值5分。
预测2013年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。
具体题型估计为：（1）题型是1个选择题或1个填空题；（2）热点是集合的基本概念、运算和工具作用。
三．要点精讲1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。
a∈；若b不是集合A的元素，（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作Ab∉；记作A（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。
教育最新2019年人教版高中数学总复习题总结(有答案)高考必备Word版
数学总复习题总结(附参考答案)第一章 集合与函数概念一、选择题1．设全集U ＝{(x ，y )| x ∈R ，y ∈R }，集合M ＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧1＝2－3－|),(x y y x ， P ＝{(x ，y )| y ≠x ＋1}，那么C U (M ∪P )等于( )．A ．∅B ．{(2，3)}C ．(2，3)D ．{(x ，y )| y ＝x ＋1} 2．若A ＝{a ，b }，B ⊆A ，则集合B 中元素的个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．0或1或2 3．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的公共点数目是( )．A ．1B ．0C ．0或1D ．1或2 4．设函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )的表达式是( )． A ．2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3 D ．2x ＋7 5. 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则( )．A ．b ∈(－∞，0)B ．b ∈(0，1)C ．b ∈(1，2)D ．b ∈(2，＋∞) 6．设函数f (x )＝⎩⎨⎧0＋＋2 x c x c bx x ，，≤， 若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为( )．A ．1B ．2C ．3D ．47．设集合A ＝{x | 0≤x ≤6}，B ＝{y | 0≤y ≤2}，下列从A 到B 的对应法则f 不是映射的是( )．A ．f :x →y ＝21x B ．f :x →y ＝31xC ．f :x →y ＝41xD ．f :x →y＝61x8．有下面四个命题：①偶函数的图象一定与y 轴相交； ②奇函数的图象一定通过原点； ③偶函数的图象关于y 轴对称；④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f (x )＝0(x ∈R )． 其中正确命题的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4 9．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2，4)上是( )． A ．递减函数 B ．递增函数 C ．先递减再递增 D ．先递增再递减10．二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴是x ＝2，则有( )． A ．f (1)＜f (2)＜f (4) B ．f (2)＜f (1)＜f (4) C ．f (2)＜f (4)＜f (1) D ．f (4)＜f (2)＜f (1)(第5题)＞二、填空题11．集合{3，x ，x 2－2x }中，x 应满足的条件是 ．12．若集合A ＝{x | x 2＋(a －1)x ＋b ＝0}中，仅有一个元素a ，则a ＝___，b ＝___．13．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为 元．14．已知f (x ＋1)＝x 2－2x ，则f (x )＝ ；f (x －2)＝ ． 15．y ＝(2a －1)x ＋5是减函数，求a 的取值范围 ．16．设f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈［0，＋∞)时，f (x )＝x (1＋x 3)，那么当x ∈(－∞，0］时，f (x )＝ ．三、解答题17．已知集合A ＝{x ∈R | ax 2－3x ＋2＝0}，其中a 为常数，且a ∈R ． ①若A 是空集，求a 的范围；②若A 中只有一个元素，求a 的值；③若A 中至多只有一个元素，求a 的范围．18．已知M ＝{2，a ，b }，N ＝{2a ，2，b 2}，且M ＝N ，求a ，b 的值．19．证明f (x )＝x 3在R 上是增函数．20．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝3x 4＋21x ；(2)f (x )＝(x －1)xx－＋11； (3)f (x )＝1－x ＋x －1；(4)f (x )＝12－x ＋21x －．第一章 集合与函数概念参考答案一、选择题1．B 解析：集合M 是由直线y ＝x ＋1上除去点(2，3)之后，其余点组成的集合．集合P 是坐标平面上不在直线y ＝x ＋1上的点组成的集合，那么M P 就是坐标平面上不含点(2，3)的所有点组成的集合．因此C U (M P )就是点(2，3)的集合．C U(M P )＝{(2，3)}．故选B ．2．D解析：∵A 的子集有∅，{a }，{b }，{a ，b }．∴集合B 可能是∅，{a }，{b }，{a ，b }中的某一个，∴选D ．3．C解析：由函数的定义知，函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1是有可能没有交点的，如果有交点，那么对于x ＝1仅有一个函数值．4．B解析：∵g (x ＋2)＝2x ＋3＝2(x ＋2)－1，∴g (x )＝2x －1． 5．A 解析：要善于从函数的图象中分析出函数的特点．解法1：设f (x )＝ax (x －1)(x －2)＝ax 3－3ax 2＋2ax ，比较系数得b ＝－3a ，c ＝2a ，d ＝0．由f (x )的图象可以知道f (3)＞0，所以f (3)＝3a (3－1)(3－2)＝6a ＞0，即a ＞0，所以b ＜0．所以正确答案为A ．解法2：分别将x ＝0，x ＝1，x ＝2代入f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 中，求得d ＝0，a ＝－31b ，c ＝－32b . ∴f (x )＝b (－31x 3＋x 2－32x )＝－3bx ［(x －23)2－41］． 由函数图象可知，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＜0，又［(x －23)2－41］＞0，∴b ＜0．x ∈(0，1)时，f (x )＞0，又［(x －23)2－41］＞0，∴b ＜0．x ∈(1，2)时，f (x )＜0，又［(x －23)2－41］＜0，∴b ＜0．x ∈(2，＋∞)时，f (x )＞0，又［(x －23)2－41］＞0，∴b ＜0．故b ∈(－∞，0)．6．C解：由f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，得22422b bc ⎧-=-⎪⎨⎪-+=-⎩，∴42b c =⎧⎨=⎩ ． ∴f (x )=⎩⎨⎧)0 ( 2)0 (2＋4＋2x ，x ，x x 由⎩⎨⎧ 得x ＝－1或x＝－2；由得x ＝2． 综上，方程f (x )＝x 的解的个数是3个． 7．A解：在集合A 中取元素6，在f ：x →y ＝21x 作用下应得象3，但3不在集合B ＝｛y ｜0≤y ≤2｝中，所以答案选A ．8．A提示：①不对；②不对，因为偶函数或奇函数的定义域可能不包含0；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数还可以为f (x )＝0，x ∈(－a ，a )．所以答案选A ．9．C解析：本题可以作出函数y ＝x 2－6x ＋10的图象，根据图象可知函数在(2，x ＞0 x ＝2≤＞x ≤0 x 2＋4x ＋2＝x (第5题)4)上是先递减再递增．答案选C ．10．B解析：∵对称轴 x ＝2，∴f (1)＝f (3). ∵y 在〔2，＋∞〕上单调递增， ∴f (4)＞f (3)＞f (2)，于是 f (2)＜f (1)＜f (4)． ∴答案选B ． 二、填空题11．x ≠3且x ≠0且x ≠－1．解析：根据构成集合的元素的互异性，x 满足⎪⎩⎪⎨⎧ 解得x ≠3且x ≠0且x ≠－1． 12．a ＝31，b ＝91．解析：由题意知，方程x 2＋(a －1)x ＋b ＝0的两根相等且x ＝a ，则△＝(a－1)2－4b ＝0①，将x ＝a 代入原方程得a 2＋(a －1)a ＋b ＝0 ②，由①②解得a ＝31，b ＝91．13．1 760元．解析：设水池底面的长为x m ，水池的总造价为y 元，由已知得水池底面面积为4 m 2.，水池底面的宽为x4m ． 池底的造价 y 1＝120×4＝480．池壁的造价 y 2＝(2×2x ＋2×2×x4)×80＝(4x ＋x16)×80． 水池的总造价为 y ＝y 1＋y 2＝480＋(4x ＋x16)×80， 即 y ＝480＋320(x ＋x4)＝480＋320⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4＋22x －x ． 当 x ＝x2， 即x ＝2时，y 有最小值为 480＋320×4=1 760元．14．f (x )＝x 2－4x ＋3，f (x －2)＝x 2－8x ＋15．解析：令x ＋1＝t ，则x ＝t －1，因此f (t )＝(t －1)2－2(t －1)＝t 2－4t ＋3，即f (x )＝x 2－4x ＋3．∴f (x －2)＝(x －2)2－4(x －2)＋3＝x 2－8x ＋15．15．(－∞，21)．解析：由y =(2a －1)x ＋5是减函数，知2a －1＜0，a ＜21．16．x (1－x 3)．解析：任取x ∈(－∞，0］， 有－x ∈［0，＋∞)，∴f (－x )＝－x ［1＋(－x )3］＝－x (1－x 3)，∵f (x )是奇函数，∴ f (－x )＝－f (x ). ∴ f (x )＝－f (－x )＝x (1－x 3)， 即当x ∈(－∞，0］时，f (x )的表达式为x (1－x 3)．三、解答题17．解：①∵A 是空集，∴方程ax 2－3x ＋2＝0无实数根．x ≠3，x 2－2x ≠3， x 2－2x ≠x ．∴⎩⎨⎧∆，a a 08－9＝,0 解得a ＞89．②∵A 中只有一个元素，∴方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实数根．当a ＝0时，方程化为－3x ＋2＝0，只有一个实数根x ＝32；当a ≠0时，令Δ＝9－8a ＝0，得a ＝89，这时一元二次方程ax 2－3x ＋2＝0有两个相等的实数根，即A 中只有一个元素．由以上可知a ＝0，或a ＝89时，A 中只有一个元素．③若A 中至多只有一个元素，则包括两种情形：A 中有且仅有一个元素；A 是空集．由①②的结果可得a ＝0，或a ≥89．18．解：根据集合中元素的互异性，有 ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==a b b a b b a a 2222或解得 或 或再根据集合中元素的互异性，得 或 19．证明：设x 1，x 2∈R 且x 1＜x 2，则 f (x 1)－f (x 2)＝31x －32x ＝(x 1－x 2)(21x ＋x 1x 2＋22x )．又21x ＋x 1x 2＋22x ＝(x 1＋21x 2)2＋4322x ．由x 1＜x 2得x 1－x 2＜0，且x 1＋21x 2与x 2不会同时为0，否则x 1＝x 2＝0与x 1＜x 2矛盾，所以 21x ＋x 1x 2＋22x ＞0．因此f (x 1)－ f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， f (x )＝x 3 在 R 上是增函数．20．解：(1)∵ 函数定义域为{x | x ∈R ，且x ≠0}， f (－x )＝3(－x )4＋21）（－x ＝3x 4＋21x ＝f (x )，∴f (x )＝3x 4＋21x 是偶函数．(2)由x x －＋11≥0⇔⎩⎨⎧≠01－－1＋1x x x ))(( 解得－1≤x ＜1．∴ 函数定义域为x ∈［－1，1)，不关于原点对称，∴f (x )＝(x －1)xx－11＋为非奇非偶函数．(3)f (x )＝1－x ＋x －1定义域为x ＝1， ∴ 函数为f (x )＝0(x ＝1)，定义域不关于原点对称，∴f (x )＝1－x ＋x －1为非奇非偶函数． a ＝0 b ＝1a ＝0b ＝0a ＝41b ＝21 a ＝0 b ＝1a ＝41 b ＝21≥0≠＜(4)f (x )＝1－2x ＋2－1x 定义域为≥ －10≥1－22x x ⇒ x ∈{±1}，∴函数变形为f (x )＝0 (x ＝±1)，∴f (x )=1－2x ＋2－1x 既是奇函数又是偶函数．高一数学必修1一、选择题：（每小题5分，共30分）。
2020最新人教版最新高考数学复习专题一集合附参考答案
注意：（1）空集中没有任何元素，要区分φ和{0}，集合{0}中有1个元素0，而φ中没有任何元素，两者有着本质的不同.（2）空集在实际问题中是实实在在存在的，如在实数范围内方程x2+1=0的解集和不等式x2+1<0的解集都是空集.6、常用数集的符号为了书写方便对于常用数集用特定的字母表示：（1）全体非负整数组成的集合通常简称非负整数集（或自然数集），记作N；（2）非负整数集内排除0的集合，称为正整数集，表示成N*（或N+）；（3）全体整数组成的集合通常简称为整数集，记作Z；（4）全体有理数组成的集合通常简称为有理数集，记作Q；（5）全体实数组成的集合通常简称为实数集，记作R；二、集合间的关系1、包含关系如果任意x∈A，=＞x ∈B,则集合A是集合B的子集，记作A B或BA.显然，任何集合是他自身的子集，即A A，空集是任何集合的子集，即φA.⊆⊇⊆⊆2、相等关系对于两个集合A、B，如果A B同时B A，那么成集合A和集合B相等，记作A=B.显然，两个相等的集合的元素完全相同.⊆⊆3、真包含关系对于两个集合A和B，如果A B，并且A≠b,称集合A是集合B的真子集，记作AB,显然，空集是任何非空集合的真子集，若AB，则B中至少存在一个元素不属于A.⊆三、集合与集合间的运算1、交集；一般的对于两个给定的集合A、B，由属于集合A且属于集合B的所有元素构成的集合，叫做A和B的交集，记作A∩B.2、并集；一般的对于两个给定的集合A、B，由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B.3、全集与补集；含有所要研究的各集合的全部元素的集合称为全集，一般可记作U，全集是相对的.若A是全集U的子集，则由全集中不属于A的元素组成的集合称为A的补集，记作CUA.专题二：命题一、四种命题及其关系1、命题的定义可以判断真假的语句叫做命题。
如：12>5，3是12的约数都是命题.。
【2020】人教版最新高中数学高考总复习等差数列习题及详解及参考答案
即an2－2an＋1＝an－12, 也即(an－1)2＝an－12，
因此an－1＝an－1或an－1＝－an－1.
若an－1＝－an－1，则an＋an－1＝1，而a1＝3，所以a2＝－2这与数列{an}的各项均为正数相矛盾，所以an－1＝an－1，即an－an－1＝1，因此{an}为等差数列．
∴T1＝b1＝1.
当n≥2时，Tn－1＝2－bn－1，Tn＝2－bn，
∴bn＝Tn－Tn－1＝bn－1－bn，∴bn＝bn－1，
∴bn＝21－n.
(2)解法1：由cn＝an2·bn＝n2·25－n，
得＝2.
当且仅当n≥3时，1＋≤<，即cn＋1<cn.
解法2：由cn＝an2·bn＝n2·25－n得，
A．20xx×20xxB．20xx×20xx
C．20xx×20xxD．20xx×20xx
[答案] C
[解析] 解法1：a1＝0，a2＝2，a3＝6，a4＝12，考虑到所给结论都是相邻两整数乘积的形式，可变形为：
a1＝0×1 a2＝1×2 a3＝2×3 a4＝3×4
猜想a20xx＝20xx×20xx，故选D.
A．S3B．S4或S5
C．S5D．S6
[答案] B
[解析] 由an＝20－4n≥0得n≤5，故当n>5时，an<0，所以S4或S5最大，选B.
(理)(20xx·山师大附中)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是( )
∵q≠0，∴2q6＝1＋q3，∴q3＝1或－，q3＝1时，S3、S9、S6不成等差数列，应舍去，∴q3＝－，∴S6＝(a1＋a2＋a3)＋(a1＋a2＋a3)q3＝S3(1＋q3)＝S3.
「精选」人教版最新高中数学复习试题(完整版)及参考答案-精选文档
}x-x=0,B={x ax-2x+4=0,且π________Q，1精选文档可编辑修改§1.1集合(附参考答案)重难点：（1）集合的含义及表示．（2）集合的基本关系（3）集合的基本运算经典例题：1.若x∈R，则｛3，x，x2－2x｝中的元素x应满足什么条件?2.已知A=｛x|x=8m+14n，m、n∈Z｝，B=｛x|x=2k，k∈Z｝，问：（1）数2与集合A的关系如何?（2）集合A与集合B的关系如何?3.已知集合A={x22}A⋂B=B，求实数a的取值范围．基础训练：1．下面给出的四类对象中，构成集合的是（）A．某班个子较高的同学B．长寿的人C．2的近似值D．倒数等于它本身的数2．对于集合A＝{2，4，6}，若a∈A，则6－a∈A，那么a的值是__________．3．平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合是()A．{x,y且x<0,y>0}B．{(x,y)x<0,y>0}C.{(x,y)x<0,y>0}D.{x,y且x<0,y>0}4．用适当的符合填空：0__________{0}，a__________{a}，2________Z，－1________R，0________N，0Φ．{a}_______{a,b,c}.{a}_________{{a},{b},{c}},Φ_______{a,b}5．由所有偶数组成的集合可表示为{x x=}．6．用列举法表示集合D={(x,y)y=-x2+8,x∈N,y∈N}为．7.已知集合A={x ax2+2x+1=0,a∈R,x∈R}.(1)若A中只有一个元素,求a的值;(2)若A中至多有一个元素,求a的取值范围.8．设U为全集，集合M、N U，且M⊆N，则下列各式成立的是（）A．C M⊇C N B．C M⊆MU U UC．C M⊆C N D．C M⊆NU U U9.已知全集U＝{x｜－2≤x≤1}，A＝{x｜－2＜x＜1＝，B＝{x｜x2＋x－2＝0}，C＝{x｜－2≤x＜1＝，则（）A．C⊆A B．C⊆C uA1精选文档可编辑修改2 +}x+px+2=0,N={x x-x-q=0,且M⋂N={2}，则p,q的值为（）．．g(x)=0的解集是（U精选文档可编辑修改C.C uB＝C D．CuA＝B10．已知全集U＝{0，1，2，3}且C UA＝{2}，则集合A的真子集共有（）A．3个B．5个C．8个D．7个11．如果M＝{x｜x＝a2＋1，a∈N*}，P＝{y｜y＝b2－2b＋2，b∈N＋}，则M和P的关系为M_________P．12．集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，若B A，则实数m的值是．13．判断下列集合之间的关系：（1）A={三角形}，B={等腰三角形}，C={等边三角形}；（2）A={x|x2-x-2=0},B={x|-1≤x≤2},C={x|x2+4=4x};（3）A={x|1≤x≤1010},B={x|x=t2+1,t∈R},C={x|2x+1≥3};（4）A={x|x=k14,k∈Z},B={x|x=k4+12,k∈Z}.1．已知集合M={x22}A．p=-3,q=-2B．p=-3,q=2C．p=3,q=-2D．p=3,q=22．设集合A＝｛（x，y）｜4x＋y＝6｝，B＝｛（x，y）｜3x＋2y＝7｝，则满足C⊆A∩B的集合C的个数是（A．0B．1C．2D．33．已知集合A={x|-3≤x≤5}，B={x|a+1≤x≤4a+1}，且A⋂B=B，B≠φ，则实数a的取值范围是（）．A.a≤1B.0≤a≤1C.a≤0D.-4≤a≤1）4.设全集U=R，集合M={x f(x)=0},N={x g(x)=0},则方程f(x)）．A．M B．M∩（CuN）C．M∪（CUN）D．M⋃N5.有关集合的性质:(1)Cu(A⋂B)=(Cu A)∪（Cu B）;(2)Cu(A⋃B)=(Cu A)⋂（Cu B）(3)A⋃(Cu A)=U(4)A⋂(Cu A)=Φ其中正确的个数有（）个．A.1B．2C．3D．46．已知集合M＝｛x｜－1≤x＜2＝，N＝｛x｜x—a≤0｝，若M∩N≠Φ，则a的取值范围是．7．已知集合A＝｛x｜y＝x2－2x－2，x∈R｝，B＝｛y｜y＝x2－2x＋2，x∈R｝，则A∩B＝8．表示图形中的阴影部分．A BC9．集合U，M，N，P如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是（）（A）M∩（N∪P）（B）M∩C（N∪P）U精选文档可编辑修改P M N2UU{, 且M ⋂ N = {2 } ,求实数 + 2( a + 1) x + ax + 1 ，则函数 f [ f ( x)] 的定义域是（ 6．规定记号“ ∆ ”表示一种运算，即 a ∆ b = ab + a + b ，a 、b ∈ R +. 若 1 ∆ k = 3 ，则函数 f ( x ) = k ∆ x 的值域是 精选文档 可编辑修改（C ）M ∪C （N ∩P ）（D ）M ∪C （N ∪P ）10.在直角坐标系中,已知点集 A=( x, y) y - 2}= 2 ,B= {( x , y) y = 2 x } ,则x - 1(CuA) ⋂ B=．11．已知集合 M= {2, a + 2, a 2- 4}, N = {a + 3, a2 + 2, a 2- 4 a + 6 }a 的的值12.已知集合 A= {x ∈ R x 2+ 4 x = 0}，B= {x ∈ R x 22- 1 = 0}，且 A ∪B=A ，试求 a 的取值范围．§1.2 函数与基本初等函数重难点：（1）函数（定义域、值域、单调性、奇偶性、最大值、最小值）（2）基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数）（函数基本性质）典型例题：1.设函数 f （x ）的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域（1）H （x ）=f （x 2+1）；（2）G （x ）=f （x +m ）+f （x －m ）（m ＞0）.2．已知函数 f (x )=2x 2-mx +3，当 x ∈ (-2, +∞ ) 时是增函数，当 x ∈ (-∞, -2 ) 时是减函数，则 f (1)等于（ ） A ．-3 B ．13 C ．7 D ．含有 m 的变量基础训练：1． 下列四组函数中,表示同一函数的是（ ）A ． f ( x ) = x , g ( x ) =x 2 B ． f ( x ) = x , g ( x ) = ( x )2x 2 - 1 C ． f ( x ) =, g ( x ) = x + 1D ． f ( x ) = x + 1 ⋅ x - 1, g ( x ) = x 2 - 1x - 12．函数 y = f ( x ) 的图象与直线 x = a 交点的个数为（ ）A ．必有一个B ．1 个或 2 个C ．至多一个D ．可能 2 个以上3．已知函数 f ( x ) =1）A ． {x x ≠ 1}B ． {x x ≠ -2}C ． {x x ≠ -1, -2}D ． {x x ≠ 1, -2}4．函数 f ( x ) =11 - x(1- x)的值域是（ ）5 5 4 4A ． [ , +∞)B ． (-∞, ]C ． [ , +∞)D ． (-∞, ]4 4 3 35．函数 f ( x ) 对任何 x ∈ R +恒有 f ( x ⋅ x ) = f ( x ) + f ( x ) ，已知 f (8) = 3 ，则 f ( 2) = ．1 2 1 2___________．7．求函数 y = x - 3x - 2 的值域．3 精选文档 可编辑修改13． 已知函数 f(x)在区间 (0, +∞) 上是减函数,则 f ( x 2 + x + 1) 与 f ( ) 的大小关系是．1 1 1 精选文档 可编辑修改8． 求下列函数的定义域 ： f ( x ) =2 -x 1x - 19．已知 f(x)=x 2+4x+3，求 f(x)在区间[t,t+1]上的最小值 g(t)和最大值 h(t)．10．函数 f ( x ) =1 + x2 + x - 1是（ ） 1 + x 2 + x + 1A ． 非奇非偶函数B ．既不是奇函数,又不是偶函数奇函数C ． 偶函数D ． 奇函数11．奇函数 y =f （x ）（x ≠0），当 x ∈（0，+∞）时， f （x ）=x －1，则函数 f （x －1）的图象为（ ）12．函数 f ( x ) = -2 x 2 + 4tx + t 在区间[0, 1]上的最大值 g(t)是．3 414．如果函数 y =f (x +1)是偶函数，那么函数 y =f (x )的图象关于_________对称x 2 + 2 x +115. 已知函数 f ( x ) =2 ,其中 x ∈ [1,+∞) ，(1)试判断它的单调性；(2)试求它的最小值．x16．已知映射 f:A → B,其中集合 A={-3,-2,-1,1,2,3,4},集合 B 中的元素都是 A 中元素在映射 f 下的象,基础训练：（指数函数）经典例题：求函数 y =3 - x 2+2 x +3 的单调区间和值域1 1 11．数 a = ( )- 4 , b = ( )- 6 , c = ( )- 8 的大小关系是（）2 3 5A ． a < b < cB ． b < a < cC ． c < a < bD ． c < b < a2．下列函数中，图象与函数 y =4x 的图象关于 y 轴对称的是（ ）A ．y =－4xB ．y =4－xC ．y =－4－xD ．y =4x +4－x3．把函数 y=f(x)的图象向左、向下分别平移 2 个单位长度，得到函数 y = 2 x 的图象，则（ ）A ． f ( x) = 2x -2+ 2 B ． f ( x) = 2 x -2 - 2 C ． f ( x) = 2 x +2 + 2 D ． f ( x) = 2 x +2 - 24．设函数 f ( x ) = a - x ( a > 0, a ≠ 1) ，f(2)=4，则（）A ．f(-2)>f(-1)B ．f(-1)>f(-2)C ．f(1)>f(2)D ．f(-2)>f(2)m - n5．设 x +x 2 - 1 = a 2 mn，求x - x 2 - 1 = ．6．函数 f ( x ) = a x -1 - 1(a > 0, a ≠ 1) 的图象恒过定点．精选文档 可编辑修改42x + 1 的最小值与最大值．(1) f ( x ) = ( ) x( x +1)； (2) y = 1 - 2x +（对数函数）经典例题：已知 f （log a x ）= a( x 2 - 1) ⎩lg(x + 1), x > 04．已知函数 f （x ）= ⎨ ⎧log x( x > 0) 1（1）1.5 3 1323 ，（－103 ，1.1 2－ 的定义域是（）精选文档 可编辑修改7．(1)已知 x ∈ [-3,2]，求 f(x)=14x-1(2)已知函数 f ( x ) = a x 2-3 x +3 在[0,2]上有最大值 8,求正数 a 的值．8．求下列函数的单调区间及值域:2 34x基础训练：； (3)求函数 f ( x ) = 2- x 2 3x+2 的递增区间．x(a 2 - 1)，其中 a ＞0，且 a ≠1．（1）求 f （x ）； （2）求证：f （x ）是奇函数； （3）求证：f （x ）在 R 上为增函数． 1．若 lg 2 = a, lg 3 = b ,则 lg 0.18 = （ ） A ． 2a + b - 2B ． a + 2b - 2C ． 3a - b - 2D ． a + 3b - 12．函数 y = lg(-3x 2 + 6 x + 7) 的值域是（ ）A ． [1 - 3,1 + 3]B ．[0,1]C ．[0, +∞)D ．{0}⎧ x 2 , x ≤ 03．设函数 f ( x ) = ⎨ , 若f ( x ) > 1,则x 的取值范围为（）0 0A ．（－1，1）B ．（－1，+∞）C ． (-∞,9)D ． (-∞, -1) (9, +∞)2 ，则 f ［f （ ）］的值是（）⎩3x ( x ≤ 0)4A ．9B ． 19C ．－9D ．－ 195．计算 log2008[log (log 8)] = ． 3 26．函数 f(x)的定义域为[0,1],则函数 f [log (3 - x)] 的定义域为．3基础训练：（幂函数）经典例题：比较下列各组数的大小：1，1.7 ，1； （2）（－） -2 ） 2- 43 ；2 711．函数 y ＝（x －2x ） 2A ．{x |x ≠0 或 x ≠2}B ．（－∞，0） （2，＋∞）C ．（－∞，0） ［2，＋∞ ）D ．（0，2）22．函数 y ＝ x 5 的单调递减区间为（）A ．（－∞，1）B ．（－∞，0）C ．［0，＋∞ ］D ．（－∞，＋∞）3．如图，曲线 c 1, c 2 分别是函数 y ＝x m 和 y ＝x n 在第一象限的图象， y c1那么一定有（）A ．n<m<0B ．m<n<0C ．m>n>0D ．n>m>05精选文档 可编辑修改c2x4．幂函数的图象过点(2,14),则它的单调递增区间是．5．设x∈(0,1)，幂函数y＝x a的图象在y＝x的上方，则a的取值范围是．§1.3函数的应用重难点：（1）函数与方程（零点与一元二次方程根存在性的关系，了解二分法）（2）函数模型及其应用（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数的增长特点）（函数与方程）经典例题：研究方程|x2－2x－3|=a（a≥0）的不同实根的个数．1．如果抛物线f(x)=x2+bx+c的图象与x轴交于两点(-1,0)和(3,0),则f(x)>0的解集是（）A．(-1,3)B．[-1,3]C．(-∞,-1)⋃(3,+∞)D．(-∞,-1]⋃[3,+∞)2．某厂生产中所需一些配件可以外购,也可以自己生产,如外购,每个价格是1.10元;如果自己生产,则每月的固定成本将增加800元,并且生产每个配件的材料和劳力需0.60元,则决定此配件外购或自产的转折点是（）件(即生产多少件以上自产合算)A．1000B．1200C．1400D．16003．某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式是y=3000+20x－0.1x2（0<x<240，x∈N），若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是（）A．100台B．120台C．150台D．180台精选文档可编辑修改6（§2.1空间几何体重难点：1）空间几何体的结构(2)空间几何体的三视图和直观图（3）空间几何体的表面积和体积典型例题：半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）A．3355πR3B．πR3C．πR3D．πR3248248基础训练：一、选择题1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个()A.棱台B.棱锥C.棱柱D.都不对主视图左视图俯视图2．下图是由哪个平面图形旋转得到的（）A B C D3．棱长都是1的三棱锥的表面积为（）A.3B.23C.33D.434．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A．25πB．50πC．125πD．都不对5．正方体的内切球和外接球的半径之比为（）A．3:1B．3:2C．2:3D．3:3△6．在ABC中，AB=2,BC=1.5,∠ABC=1200,若使绕直线BC旋转一周，7精选文档可编辑修改A.9，精选文档可编辑修改则所形成的几何体的体积是（）753π B.π C.π D.π22227．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（）A．130B．140C．150D．160二、填空题1．一个棱柱至少有_____个面，面数最少的一个棱锥有________个顶点，顶点最少的一个棱台有________条侧棱。
人教A版数学课本优质习题总结训练-必修二题目+参考答案-2025届高三数学一轮复习
人教A 版数学课本优质习题总结训练——必修二P241．已知ABC 的外接圆圆心为O ，且2AO AB AC =+ ，AO AB = ，则向量BA在向量BC 上的投影向量为()A ．14BC BC ．14BC - D． 2．如图，O 是平行四边形ABCD 外一点，用,,OA OB OC 表示OD.P373．如图，设,Ox Oy 是平面内相交成60°角的两条数轴，12,e e分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，若向量12OP xe ye =+ ，则把有序数对(x ，y )叫做向量OP在坐标系xOy 中的坐标，设1232OP e e =+.(1)计算||OP的大小；(2)根据平面向量基本定理判断，本题中对向量坐标的规定是否合理.P394．如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ．设AB mAM AC nAN ＝，＝，求m n ＋的值4题图5题图P515．如图，在山脚A 测得出山顶P 的仰角为a ，沿倾斜角为β的斜坡向上走a 米到B ，在B 处测得山顶P 的仰角为γ，求证：山高()()sin sin sin -a a h a γβγ-=．P526．已知非零向量AB、AC 满足0AB AC BC AB AC⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭，且12AB AC AB AC ⋅=，则ABC 的形状是()A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰(非等边)三角形D ．等边三角形7．已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且•••PA PB PB PC PC PA ==，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的()(注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心)A ．重心外心垂心B ．重心外心内心C ．外心重心垂心D ．外心重心内心P538．如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .现测得BCD α∠=，BDC β∠=，CD s =，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB .9．如下左图，在ABC 中，已知2,5,60AB AC BAC ︒==∠=，BC ，AC 边上的两条中线AM ，BM 相交于点P ，求MPN ∠的余弦值.P5410．如上右图，在ABC ∆中，求证：22(cos cos )c a B b A a b -=-.11．已知ABC 的三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设1()2p a b c =++，求证：(1)三角形的面积S =；(2)若r 为三角形的内切圈半径，则r =；(3)把边BC ，AC ，AB 上的高分别记为,,a b c h h h ,则a h =，b h =c h =12．已知a 、b 、c 分别为ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，cos sin 0a C C b c --=.(1)求A ；(2)若a =2，ΔABC 的面积为3，求b 、c .P6013．设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA OB OC OD+++等于A ．OMB ．2OMC ．3OMD ．4OMP6114．已知OA a = ，OB b = ，OC c = ，OD d =，且四边形ABCD 为平行四边形，则()A ．0a b c d +++= B ．0a b c d -+-= C ．0a b c d +--= D ．0a b c d --+= 15．若1e ，2e 是夹角为60︒的两个单位向量，且122a e e =+ 与1232b e e =-+的夹角为()A ．60︒B ．120︒C ．30︒D ．150︒16．若平面向量a ，b ，c两两的夹角相等，且1==a b r r ，3c = ，则a b c ++= ()A ．2B ．5C ．2或5D或5P6217．如图，直线l 与ABC 的边AB ，AC 分别相交于点D ，E ．设AB c =，BC a =，=CA b ，ADE θ∠=，请用向量方法探究θ与ΔABC 的边和角之间的等量关系．P8018．在复数范围内解下列方程：(1)29160x +=(2)210x x ++=P8119．利用公式a 2+b 2=(a +bi )(a -bi )，把下列各式分解成一次因式的积：(1)x 2+4；(2)a 4-b 4.P9520．已知复数z 1=m +(4-m 2)i (m ∈R)和z 2=2cos θ+(λ+3sin θ)i (λ∈R)，若z 1=z 2，试求λ的取值范围.P11921．已知圆锥的表面积为2am ，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面直径.P12022．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA 1=8，若侧面AA 1B 1B 水平放置时，液面恰好过AC ，BC ，A 1C 1，B 1C 1的中点，当底面ABC 水平放置时，液面高为多少？23．分别以一个直角三角形的斜边、两条直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体，这3个几何体的体积之间有什么关系？P13224．正方体各面所在平面将空间分成几部分？25．已知△ABC 在平面α外，其三边所在的直线满足AB ∩α＝P ，BC ∩α＝Q ，AC ∩α＝R ，如图所示，求证：P ，Q ，R 三点共线.P14426．一木块如图所示，点P 在平面VAC 内，过点P 将木块锯开，使截面平行于直线VB 和AC ，应该怎样画线？4题图5题图6题图P14527．如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜度的不同，有下面五个命题：(1)有水的部分始终呈棱柱形；(2)没有水的部分始终呈棱柱形；(3)水面EFGH 所在四边形的面积为定值；(4)棱A 1D 1始终与水面所在平面平行；(5)当容器倾斜如图(3)所示时，BE·BF 是定值．其中所有正确命题的序号是______，为什么？P15228．过ABC 所在平面α外一点P ，作PO α⊥，垂足为O ，连接PA PB PC ，，.(1)若PA PB PC ==，则点O 是ABC 的心.(2)若PA PB PC ==，90︒∠=C ，则点O 是AB 边的.(3)若PA PB ⊥，PB PC ⊥，PC PA ⊥，垂足都为P ，则点O 是ABC 的心.P16229．若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是()A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定30．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.(1)过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直.()(2)过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行.()(3)过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直.()(4)过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行.()(5)过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.()P16431．如图，在正方形123SG G G 中，E ，F 分别是1223G G G G ,的中点，D 是EF 的中点，若沿SE ，SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使123,,G G G 三点重合，重合后的点记为G ，则在四面体S -EFG 中，哪些棱与面互相垂直？32．如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上的动点，过动点C 的直线VC 垂直于O 所在平面，D ，E 分别是VA ，VC 的中点，判断直线DE 与平面VBC 的位置关系，并说明理由.P16933．如图，一块边长为10cm 的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，把容器的容积V (单位：3cm )表示为x (单位：cm )的函数.11题图12题图34．三个平面可将空间分成几部分？请分情况说明.P17035．如图，一块正方体形木料的上底面有一点E .若经过点E 在上底面上画一条直线与CE 垂直，则应该怎样画？35题图36题图36．如图所示，边长为2的正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，将,AED DCF △△分别沿,DE DF 折起，使,A C 两点重合于点A '.(1)求证:A D EF '⊥；(2)求三棱锥A EFD '-的体积.P17137．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，求证：(1)B 1D ⊥平面A 1BC 1；(2)B 1D 与平面A 1BC 1的交点H 是ΔA 1C 1B 的重心.38．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，,l α⊄,l β⊄则()A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于lP18439．高二年级有男生490人，女生510人，张华按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到男生、女生的平均身高分别为170.2cm和160.8cm.(1)如果张华在各层中按比例分配样本，总样本量为100，那么在男生、女生中分别抽取了多少名？在这种情况下，请估计高二年级全体学生的平均身高.(2)如果张华从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70，那么在这种情况下，如何估计高二年级全体学生的平均身高更合理？P21440．某学校有高中学生500人，其中男生320人，女生180人.有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值(单位：cm)，计算得男生样本的均值为173.5，方差为17，女生样本的均值为163.83，方差为30.03.(1)根据以上信息，能够计算出总样本的均值和方差吗？为什么？(2)如果已知男、女样本量按比例分配，你能计算出总样本的均值和方差各为多少吗？(3)如果已知男、女的样本量都是25，你能计算出总样本的均值和方差各为多少吗？它们分别作为总体均值和方差的估计合适吗？为什么？P22241．四名同学各掷骰子5次，并各自记录每次骰子出现的点数，分别统计四名同学的记录结果，可以判断出一定没有出现点数6的是()A．平均数为3，中位数为2B．中位数为3，众数为2C．中位数为3，方差为2.8D．平均数为2，方差为2.4P22342．为了解某市家庭用电量的情况，该市统计局调查了200户居民去年一年的月均用电量(单位：kWh)，数据从小到大排序如下：8182231424849505156575760616161626263636566676970707172727476777778788080828282 8384848888899091939394959696969798989899100100100101101101105106106106107107107107 108108109109110110110111112113113114115116118120120120121123124127127127130130130131 131132132132133133134134134135135135135136137137138139139140141142144146146147148149 151152154156159160162163163164165167169170170172174174177178178180182182187189191191 192194194200201201202203203206208212213214216223224237247250250251253254258260265274 274283288289304319320324339462498530542626为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，使75%的居民缴费在第一档，20%的居民缴费在第二档，其余5%的居民缴费在第三档，请确定各档的范围.P22443．某人有4把钥匙，其中2把能打开门，如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，那么第二次才能打开门的概率有多大？如果试过的钥匙又混进去，第二次能打开门的概率又有多大？P24944．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A =“第1枚正面朝上”，事件B =“第2枚正面朝上”，事件C =“2枚硬币朝上的面相同”，A B C ，，中哪两个相互独立？45．设样本空间{},,,a b c d Ω=含有等可能的样本点，且{}{}{},,,,,A a b B a c C a d ===，请验证A ，B ，C 三个事件两两独立，但()()()()P ABC P A P B P C ≠.P25046．假设()0.7P A =，()0.8P B =，且A ，B 相互独立，则()P AB =；()P A B =.47．若()0P A >，()0P B >，证明：事件A ，B 相互独立与A ，B 互斥不能同时成立．P26448．一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球.(1)求第二次取到红球的概率；(2)求两次取到的球颜色相同的概率；(3)如果是4个红球，n 个绿球，已知取出的2个球都是红球的概率为16，那么n 是多少？-必修二结束-人教A 版数学课本优质习题总结训练——必修二参考答案：1．A【分析】设AB 中点为D ，确定AO AD =，ABO 为正三角形，再计算向量的投影得到答案.【详解】设AB 中点为D ，则22AO AB AC AD =+= ，即AO AD =，故BC 边为圆O 的直径，则AO OB =，又AO AB = ，则ABO 为正三角形，则有12BA BC = ，向量BA在向量BC 上的投影向量1cos604BC BA BC BC ︒⨯=，故选：A2．OD OA OB OC=-+ 【解析】由OD OA AD =+ ，AD BC = ，BC OC OB =-，即可得到结论.【详解】OD OA AD OA BC OA OC OB OA OB OC =+=+=+-=-+.【点睛】本题考查向量加法，向量减法，属于基础题.3．（1（2）合理【分析】（1）结合图形作辅助线在直角三角形中求解；（2）根据平面向量基本定理，12,e e 作为一组基底，则平面内任意向量都有唯一有序数对(),x y 使得12OP xe ye =+ .【详解】解：（1）建立如图所示的直角坐标系，将OP分解到Ox '轴和Oy '轴可求得|||4PM OM ==，所以||OP ==.（2）12,e e 作为一组基底，对于任意向量12,,OP xe ye x y =+都是唯一确定的，所以本题中对向量坐标的规定合理.【点睛】此题考查平面向量基本运算，涉及数形结合处理模长问题，对平面向量基本定理辨析4．2【分析】利用平面向量基本定理表示出AO，列方程组即可求解.【详解】因为点O 是BC 的中点，所以1111=2222AO AB AC mAM nAN =++ .而M 、N 、O 三点共线，所以()1AO t AM t AN =+-，则有122112m t m n n t ⎧=⎪⎪⇒+=⎨⎪=-⎪⎩5．()()sin sin -sin -h ααγβγα=解：在ABP 中，180+ABP γβ∠=- ，()()()180- 180-180+ =-BPA ABP αβαβγβγα∠=--∠=--- ．在ABP 中，根据正弦定理，()()()()sin sin sin -sin 180+αsin -sin -AP ABABP APBAP AP αγαγβγβγα=∠∠=-⨯=所以山高为()()sin sin -sin sin -h AP ααγβαγα==．6．D【分析】由0AB AC BC AB AC⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭ 可得AB AC =，再由12AB AC AB AC ⋅=可求出A ∠，即得三角形形状.【详解】因为||AB AB和AC AC uuu r uuu r 分别表示向量AB 和向量AC 方向上的单位向量，由0AB AC BC AB AC⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭，可得A ∠的角平分线与BC 垂直，所以ABC 为等腰三角形，且AB AC =，22||||cos AB AC AB AC A ⋅=⋅⋅且12AB AC ABAC ⋅= ，所以1cos 2A Ð=，又()0,πA ∠∈，所以π3A ∠=，所以π3B C A ∠=∠=∠=，所以三角形为等边三角形．故选：D ．7．C【详解】试题分析：因为OA OB OC ==，所以O 到定点,,A B C 的距离相等，所以O 为ABC ∆的外心，由0NA NB NC ++= ，则NA NB NC +=-，取AB 的中点E ，则2N A N B N E C N +=-= ，所以2NE CN = ，所以N 是ABC ∆的重心；由•••PA PB PB PC PC PA ==，得()0PA PC PB -⋅= ，即0AC PB ⋅= ，所以AC PB ⊥，同理AB PC ⊥，所以点P 为ABC ∆的垂心，故选C.考点：向量在几何中的应用.8．tan sin sin()s θβαβ⋅+【详解】在△BCD 中，CBD παβ∠=--.由正弦定理得,sin sin BC CD BDC CBD=∠∠所以sin sin CD BDCBC CBD∠=∠sin .sin()s βαβ⋅=+在Rt △ABC 中，tan AB BC ACB=∠tan sin .sin()s θβαβ⋅=+塔高AB 为tan sin sin()s θβαβ⋅+.9【解析】MPN ∠即为AM 与AN 的夹角，先用,AB AC 将AM 与AN 表示出来，求出AM BN ⋅ 以及AM ，AN ，代入公式cos ||||AM BN MPN AM BN ⋅∠= 即可．【详解】解：∵M ，N 分别是BC ，AC 的中点，11(),22AM AB AC BN AN AB AC AB ∴=+=-=- .AM 与BN 的夹角等于,cos ||||AM BN MPN MPN AM BN ⋅∠∴∠= .11()22AM BN AB AC AC AB ⎛⎫⋅=+⋅- ⎪⎝⎭211114242AB AC AB AC AB AC =⋅-+-⋅ 2211125cos 60253424︒=-⨯⨯⨯-⨯+⨯=，||2AM ===，||2BN =，cos 91MPN ∴∠=．【点睛】本题考查平面向量基本定理以及向量的夹角公式，考查计算能力，是中档题．10．证明见解析【分析】利用余弦定理的推理将左边的余弦式进行角化边，化简整理即可得到右边.【详解】根据余弦定理的推论222222cos ,cos 22b c a c a b A B bc ca+-+-==，得左边222222222222(cos cos )()(2222a c b b c a a c b b c a c a B b A c a b c ac bc c c+-+-+-+-=-=⋅-⋅=-22221(22)2a b a b =-=-=右边，故等式成立.【点睛】本题考查了余弦定理的推理的应用，考查了证明等式的方法及推理论证能力，属于基础题.11．（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】（1）设三角形的三边a ，b ，c 的对角分别为A ，B ，C ，则由余弦定理可得222cos 2a b c C ab+-=，求出sin C 并代入三角形面积公式in 12s S ab C =，设1()2p a b c =++，则111(),(),()222b c a p a c a b p b a b c p c +-=-+-=-+-=-，即可化简得证；（2）由（1）可得S =．而又因为2l a b c p =++=，12S lr =，结合上述两式即可得证；（3）由三角形面积公式可得111222a b c S ah bh ch ====，即可得解．【详解】证明：（1）根据余弦定理的推论得222cos 2a b c C ab+-=，则sin C ==in 12s S ab C =，得12S ===又1()2p a b c =++，所以111(),(,()222b c a p a c a b p b a b c p c +-=-+-=-+-=-，代入可得S =；（2）因为1()2p a b c =++，所以三角形的周长2l a b c p =++=，又三角形的面积11222S lr p r pr ==⋅⋅=，其中r 为内切圆半径，所以S r p ==（3）根据三角形的面积公式111222a b c S ah bh ch ===，得2a S h a ==同理可证b h =c h =【点睛】本题主要考查了余弦定理、三角形面积公式，平方差公式的应用，计算量较大，属于中档题．12．(1)π3A =(2)2b c ==【分析】（1）在ABC 中，由cos sin 0a C C b c --=及正弦定理得到π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得出角A ；（2）由三角形面积公式结合余弦定理可得2b c ==．【详解】（1）根据正弦定理，cos sin 0a C Cbc +--=变为sin cos sin sin sin 0A C A C B C --=，即sin cos sin sin sin A C A C B C =+，也即()sin cos sin sin sin A C A C A C C =++，所以sin cos sin sin cos cos sin sin A C A C A C A C C =++．cos 1A A -=，即11cos 222A A -=，所以()π1sin ,0,π62A A ⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，所以ππ66A -=，则π3A =．（2）由π3A =，1sin 2ABC S bc A == ，得4bc =．由余弦定理，得()22222cos 22cos a b c bc A b c bc bc A =+-=+--，则()223=4+12=16b c a bc +=+，所以4b c +=．则2b c ==．13．D【详解】试题分析：由已知得，而,,CA AC DB BD =-=- 所以4OA OB OC OD OM +++= ，选D.考点：平面向量的线性运算，相反向量.14．B【分析】利用向量减法和向量相等的定义即可求得,,,a b c d 之间的关系，进而得到正确选项.【详解】OB OA AB OC OD DC -=-= ，，而在平行四边形ABCD 中，AB DC = ，所以OB OA OC OD -=- ，又OA a = ，OB b = ，OC c = ，OD d = ，则b a c d -=- ，也即0a b c d -+-= .故选：B .15．B【分析】先求得12e e ⋅ 的值，根据数量积的运算法则求得a b ⋅ 以及,a b 的模，再根据向量的夹角公式，即可求得答案.【详解】因为1e ，2e 是夹角为60︒的两个单位向量，所以12111cos602e e ⋅=⨯⨯︒= ，故2212121122(2)(32)62a b e e e e e e e e ⋅=+⋅-+=-+⋅+ 176222=-++=-，||a ==，||b = 故712cos ,2||||a b a b a b -⋅〈〉==-⋅ ，由于0,180a b ︒≤〈〉≤︒ ，故,120a b 〈〉=︒ .故选：B.16．C【分析】根据给定条件，利用向量运算律计算即得.【详解】由向量a ，b ，c 两两的夹角相等，得,,,0a b b c a c 〈〉=〈〉=〈〉= 或2π,,,3a b b c a c 〈〉=〈〉=〈〉= ，当,,,0a b b c a c 〈〉=〈〉=〈〉= 时，||5a b c ++= ，当2π,,,3a b b c a c 〈〉=〈〉=〈〉=时，||a b c ++=2==.故选：C17．cos()cos()cos a B b A c θθθ⋅-+⋅+=⋅【分析】由BA BC CA =+ ，结合数量积可得DE BA DE BC DE CA ⋅=⋅+⋅ ，再运用数量积定义可分别求出DE BA ⋅ 、DE BC ⋅ 、DE CA ⋅ ，代入整理即可.【详解】如图所示，因为BA BC CA =+ ，所以()DE BA DE BC CA ⋅=⋅+ ，即DE BA DE BC DE CA ⋅=⋅+⋅ ，又因为||||cos ||cos DE BA DE BA EDA c DE θ⋅=∠= ，||||cos()||cos()DE BC DE BC B a DE B θθ⋅=-=- ，||||cos()||cos()DE CA DE CA A b DE A θθ⋅=+=+ ，所以||cos ||cos()||cos()c DE a DE B b DE A θθθ=-++ ，即cos cos()cos()c a B b A θθθ=-++.18．(1)4i 3x =±(2)1i 22x =-±【分析】根据题意，由一元二次方程的解法结合复数的运算，即可得到结果.【详解】（1）将方程29160x +=的二次项系数化为1，得2160.9x +=得2169x =-，即4i.3x =±所以原方程的根为4i 3x =±（2）方程210x x ++=的二次项系数为1，配方，得21324x ⎫-⎛+= ⎪⎝⎭，由Δ0<，知()30.4-->可得1i.22x +=所以原方程的根为122x =-±.19．（1）24(2)(2)x x i x i +=+-；（2）44()()()()a b a b a b a bi a bi -=+-+-.【解析】（1）运用平方差公式进行因式分解即可；（2）运用平方差公式进行因式分解即可.【详解】（1）22224(4)(2)(2)(2)x x x i x i x i +=--=-=+-；（2）442222()()()()()()a b a b a b a b a b a bi a bi -=-+=+-+-.【点睛】本题考查了在复数范围内因式分解，考查了平方差公式的应用，属于基础题.20．9716λ-≤≤.【详解】试题分析：当12z z =时，复数的实部和虚部分别相等，求得24sin 3sin =-λθθ，根据[]sin 1,1θ∈-，求函数的值域.试题解析：∵12z z =，∴()()242cos 3sin m m i i θλθ+-=++，∴22{43m cos m sin θλθ=-=+，消去m 得：24cos 3sin θλθ-=+，∴22394sin 3sin 4sin 816λθθθ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，∵1sin 1θ-≤≤，∴当3sin 8θ=时，min 916λ=-.当sin 1θ=-时，max 7λ=.所以λ的取值范围为：9716λ-≤≤.21【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，根据圆锥的表面积公式和半圆的面积公式列方程组，解出即可.【详解】解：设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则由题意得2a r rl ππ=+.又圆锥的侧面展开图为半圆，2r l ππ∴=，即2l r =.将②式代入①式得23a r π=，23a r π∴=，即r =.【点睛】本题考查圆锥的表面积公式，是基础题.22．6【分析】按侧面11ABB A 放置时，液面以上部分为三棱柱，其体积为原来棱柱的14，故可得水的体积为棱柱的34，由此可得按底面ABC 放置时液面的高．【详解】设三棱锥的体积为V ，按侧面11ABB A 水平放置时液面以上部分的体积为14V ，故水的体积为34V ，设按底面ABC 放置时液面的高为h ，则33484V h V ==，故6h =．【点睛】一定形状的几何体容器，按不同位置放置时容器内的液体的体积计算方法不一致，可根据同一体积的不同计算方法得到关键几何量之间的相互关系．23．222123111V V V +=【解析】直角三角形ABC 的两条直角边分别为a ，b ，斜边为c ，依照题意，得到三个几何体的体积．【详解】解：设直角三角形ABC 的两条直角边分别为a ，b ，斜边为c ，以a 为轴，进行旋转，形成底面半径为b ，高为a 的圆锥，其体积221133V b a ab ππ=⨯⨯⨯=；以b 为轴，进行旋转，形成底面半径为a ，高为b 的圆锥，其体积222133V a b a b ππ=⨯⨯⨯=，以c 为轴，进行旋转，形成底面半径为ab c，高的和为c 的两个圆锥的组合体，其体积22231(33ab a b V c c c ππ=⨯⨯⨯=．()222222242422442442291199933b a c a b a b a b a b ab a b ππππππ++=+=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以222123111V V V +=.【点睛】本题考查几何体的体积公式．较易．解题时要认真审题，仔细解答．24．27个部分【分析】根据题意画出图形即可得出答案.【详解】如图，图中画出了正方体最上层把空间分成9个部分，个部分，因此共将空间分成27个部分.【点睛】本题主要考查的是平面基本性质，正确理解确定平面的几个公理及由题意画出图形且有较强的空间想象能力是解题的关键，是中档题.25．证明见解析【分析】推导出P ，Q ，R 都在平面ABC 与平面α的交线上，即可证明.【详解】证明：法一：∵AB ∩α＝P ，∴P ∈AB ，P ∈平面α.又AB ⊂平面ABC ，∴P ∈平面ABC .∴由基本事实3可知：点P 在平面ABC 与平面α的交线上，同理可证Q ，R 也在平面ABC 与平面α的交线上.∴P ，Q ，R 三点共线.法二：∵AP ∩AR ＝A ，∴直线AP 与直线AR 确定平面APR .又∵AB ∩α＝P ，AC ∩α＝R ，∴平面APR ∩平面α＝PR .∵B ∈平面APR ，C ∈平面APR ，∴BC ⊂平面APR .∵Q ∈BC ，∴Q ∈平面APR ，又Q ∈α，∴Q ∈PR ，∴P ，Q ，R 三点共线.26．画线见解析．【详解】试题分析：利用线面平行的判定定理去确定．试题解析：过平面内一点作直线，交于，交于；过平面内一点作直线，交于，则，所确定的截面为所求．考点：棱锥的结构特征，线面平行的判定和实际应用．27．(1)(2)(4)(5)【分析】根据题意，结合棱柱的特征进行判断，观察即可得到答案.【详解】根据棱柱的定义知，有两个面是互相平行且是全等的多边形，其余每相邻两个面的交线也互相平行，而这些面都是平行四边形，所以(1)和(2)正确；因为水面EFGH 所在四边形，从图2，图3可以看出，有两条对边边长不变而另外两条对边边长随倾斜度变化而变化，所以水面四边形EFGH 的面积是变化的，(3)错误；因为棱11A D 始终与BC 平行，BC 与水面始终平行，所以(4)正确；因为水的体积是不变的，高始终是BC 也不变，所以底面积也不会变，即BE BF ⋅是定值，所以(5)正确；综上知(1)(2)(4)(5)正确，故答案为：(1)(2)(4)(5).28．外中点垂【分析】(1)由PO α⊥可得PO AO ⊥，PO BO ⊥，根据题意可得POA POB ∆≅∆，可得OA OB =，从而可得OA OB OC ==，从而得到结果；(2)由(1)得到OA OB OC ==，根据在直角三角形中，斜边的中线是斜边的一半可得，点O 为斜边AB 的中点；(3)由PA PB ⊥，PB PC ⊥可得PB ⊥平面PAC ，进而可得PB AC ⊥，又PO AC ⊥，可得AC ⊥平面PBO ，进而可得BO AC ⊥，同理可得CO AB ⊥,AO BC ⊥，从而得出答案。
高考数学压轴专题人教版备战高考《不等式》知识点总复习含答案
高中数学《不等式》知识点归纳一、选择题1．已知实数x 、y 满足约束条件103300x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．1-B ．2C ．7D ．8【答案】C【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，作出目标函数对应的直线，结合图象知当直线过点C 时，z 取得最大值. 【详解】解：作出约束条件表示的可行域是以(1,0),(1,0),(2,3)-为顶点的三角形及其内部，如下图表示：当目标函数经过点()2,3C 时，z 取得最大值，最大值为7.故选：C.【点睛】本题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识,属于中档题.2．若33log (2)1loga b ab +=+42a b +的最小值为（ ） A ．6B ．83C ．163D ．173 【答案】C【解析】【分析】 由33log (2)1log a b ab +=+213b a+=，且0,0a b >>，又由12142(42)3a b a b b a ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开之后利用基本不等式，即可得到本题答案. 【详解】因为33log (2)1log a b ab +=+，即()()3333log 2log 3log log 3a b ab ab +=+=， 所以，23a b ab +=，等式两边同时除以ab 得213b a +=，且0,0a b >>， 所以12118211642(42)()(8)(8216)3333a b a b a b b a b a +=++=++≥+=， 当且仅当82a b b a=，即2b a =时取等号，所以42a b +的最小值为163. 故选：C.【点睛】 本题主要考查利用基本不等式求最值，其中涉及对数的运算，考查计算能力，属于中等题.3．在平面直角坐标系中，不等式组20{200x y x y y +-≤-+≥≥，表示的平面区域的面积是（ ）A ．42B ．4C ．22D ．2【答案】B【解析】试题分析：不等式组表示的平面区域如图所示的三角形ABC 及其内部．可得，A （2，0），B （0，2），C （-2，0），显然三角形ABC 的面积为．故选B ．考点：求不等式组表示的平面区域的面积．4．已知,x y 满足约束条件23023400x y x y y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩，若目标函数2z mx ny =+-的最大值为1（其中0,0m n >>），则112m n +的最小值为（ ） A ．3 B ．1 C ．2 D ．32 【答案】D【解析】【分析】 画出可行域，根据目标函数z 的最大值求得,m n 的关系式23m n +=，再利用基本不等式求得112m n+的最小值. 【详解】 画出可行域如下图所示，由于0,0m n >>，所以基准直线0mx ny +=的斜率为负数，故目标函数在点()1,2A 处取得最大值，即221m n +-=，所以23m n +=.()111111515193222323232322n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯+=⨯++≥⨯+⋅=⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当,1n m m n m n ===时等号成立，所以112m n +的最小值为32. 故选：D【点睛】本小题主要考查根据目标函数的最值求参数，考查基本不等式求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.5．已知函数())22log 1f x x x =+，若对任意的正数,a b ，满足()()310f a f b +-=，则31a b+的最小值为（ ） A ．6B ．8C ．12D ．24【答案】C【解析】【分析】先确定函数奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性化简方程得31a b +=，最后根据基本不等式求最值.【详解】0,x x x x ≥-=所以定义域为R ， 因为()2log f x =，所以()f x 为减函数因为()2log f x =，())2log f x x -=,所以()()()f x f x f x =--，为奇函数，因为()()310f a f b +-=，所以()()1313f a f b a b =-=-，，即31a b +=， 所以()3131936b a a b a b a b a b⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，因为96b a a b +≥=， 所以3112a b +≥（当且仅当12a =，16b =时，等号成立），选C. 【点睛】 本题考查函数奇偶性与单调性以及基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.6．已知0a b >>，则下列不等式正确的是（ ）A ．ln ln a b b a ->-B ．|||b a <C ．ln ln a b b a -<-D ．|||b a ->【答案】C【解析】【分析】利用特殊值代入法，作差比较法，排除不符合条件的选项，即可求解，得到答案.【详解】由题意，因为0a b >>，取,1a e b ==，则ln 0,ln a b b a e -=-=，1b a e ==-，可排除A 、D 项；取11,49a b ==711812b a ==，可排除B 项； 因为满足0a b >>条件的排除法，可得A 、B 、D 是错误的.故选：C .【点睛】本题主要考查了不等式与不等关系，以及不等式的的基本性质，其中解答中合理赋值，代入排除是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.7．在ABC V 中，,,a b c 分别为A ∠，B Ð，C ∠所对的边，函数2232()13a c f x x bx x +-=+++的导函数为()f x '，当函数[]()ln ()g x f x '=的定义域为R 时，B Ð的取值范围为( ) A ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】【分析】首先求出函数的导数，依题意即222()3203a c f x x bx +-'=++>恒成立，所以()222(2)40b a c ∆=-+-<，再结合余弦定理即可求出B 的取值范围；【详解】解：因为2232()13a c f x x bx x +-=+++，所以222()323a c f x x bx +-'=++，若()g x 的定义域为R，则有()222(2)40b a c ∆=-+-<，即222a c b +->，结合余弦定理，222cos 22a cb B ac +-=>，故0,6B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选：D. 【点睛】本题考查导数的计算，对数函数的定义域以及不等式恒成立问题，属于中档题.8．已知点()4,3A ，点B 为不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示平面区域上的任意一点，则AB 的最小值为（ ）A ．5B．5 CD【答案】C【解析】【分析】作出不等式组所表示的平面区域，标出点A 的位置，利用图形可观察出使得AB 最小时点B 的位置，利用两点间的距离公式可求得AB 的最小值.【详解】作出不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如下图所示： 联立0260x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩， 由图知AB 的最小值即为()4,3A 、()2,2B 两点间的距离，所以AB ()()2242325-+-=故选：C ．【点睛】本题考查目标函数为两点之间的距离的线性规划问题，考查数形结合思想的应用，属中等题．9．若x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩且z ax y =+的最大值为26a +，则a 的取值范围是（ ）A ．[1,)-+∞B ．(,1]-∞-C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞-【答案】A【解析】【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a 的范围即可．【详解】作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为z ax y =+的最大值为26a +，所以z ax y =+在点(2,6)A 处取得最大值，则1a -≤，即1a ≥-.故选：A【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．10．以A 为顶点的三棱锥A BCD -，其侧棱两两互相垂直，且该三棱锥外接球的表面积为8π，则以A 为顶点，以面BCD 为下底面的三棱锥的侧面积之和的最大值为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．7【答案】B【解析】【分析】根据题意补全几何图形为长方体，设AB x =，AC y =，AD z =，球半径为R ，即可由外接球的表面积求得对角线长，结合侧面积公式即可由不等式求得面积的最大值.【详解】将以A 为顶点的三棱锥A BCD -，其侧棱两两互相垂直的三棱锥补形成为一个长方体，如下图所示：长方体的体对角线即为三棱锥A BCD -外接球的直径，设AB x =，AC y =，AD z =，球半径为R ，因为三棱锥外接球的表面积为8π，则284R π=π， 解得2R =，所以体对角线为2， 所以2228x y z ++=，111222S yz xy xz =++侧面积 由于()()()()222222240x y z S x y y x x z ++-=-+-+-≥，所以416S ≤，故4S ≤，即三棱锥的侧面积之和的最大值为4，故选：B.【点睛】本题考查了空间几何体的综合应用，三棱锥的外接球性质及应用，属于中档题.11．已知实数x y ，满足1030350x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则()22(4)2z x y =-+-的最小值为（ ） AB ．5C ．3D ．52【答案】D【解析】【分析】由题意作出其平面区域，22(4)(2)z x y =-+-可看成阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方，求阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方最小值即可．【详解】 解：由题意作出实数x ，y 满足1030350x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩………平面区域， 22(4)(2)z x y =-+-可看成阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方，则22(4)(2)z x y =-+-的最小值为P 到350x y --=的距离的平方，解得，2252d ⎛⎫==； 所以min 52z =故选：D ．【点睛】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，用到了表达式的几何意义的转化，属于中档题．12．某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在A B 、两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时. A B 、两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（ ） A ．320千元B ．360千元C ．400千元D ．440千元 【答案】B【解析】设生产甲、乙两种产品x 件,y 件时该企业每月利润的最大值，由题意可得约束条件： 2348069600,0,x y x y x y x N y N+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥≥⎪⎪∈∈⎩， 原问题等价于在上述约束条件下求解目标函数2z x y =+的最大值.绘制目标函数表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知：目标函数在点()150,60B 处取得最大值：max 2215060360z x y =+=⨯+=千元. 本题选择B 选项.点睛：含有实际背景的线性规划问题其解题关键是找到制约求解目标的两个变量，用这两个变量建立可行域和目标函数，在解题时要注意题目中的各种相互制约关系，列出全面的制约条件和正确的目标函数．13．已知实数x ，y 满足20x y >>，且11122x y x y+=-+，则x y +的最小值为（ ）. A ．335+ B ．4235+ C ．2435+ D 343+ 【答案】B【解析】【分析】 令22x y m x y n-=⎧⎨+=⎩，用,m n 表示出x y +，根据题意知111m n +=，利用1的代换后根据基本不等式即可得x y +的最小值.【详解】20,20,20x y x y x y >>∴->+>Q ，令22x y m x y n -=⎧⎨+=⎩，解得2525m n x n my +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，则0,0m n >>，111m n +=， 223111555m n n m n m x y m n +-+⎛⎫⎛⎫∴+=+⨯=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭131313(42)55n m nm m n m n⎛⎫=⨯+++≥⨯+⋅ ⎪⎝⎭ 423+= 当且仅当3n m m n =，即3m n =，即23(2)x y x y -=+ 即97333,1515x y +-==时取等号. 故选：B .【点睛】本题主要考查的是利用基本不等式求最值的问题，换元后根据1的代换是解题的关键，考查学生的计算能力，是中档题.14．已知x ，y 满足约束条件02340x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y =+的最大值为4，则a =（ ）A ．2B ．12C ．-2D ．12- 【答案】A【解析】【分析】由约束条件可得到可行域，根据图象可知最优解为()2,0A ，代入可构造方程求得结果.【详解】由约束条件可知可行域如下图阴影部分所示：当直线:l y ax z =-+经AOB V 区域时，当l 过点()2,0A 时，在y 轴上的截距最大， 即()2,0A 为最优解，42a ∴=，解得：2a =.故选：A .【点睛】本题考查线性规划中的根据目标函数的最值求解参数值的问题，关键是能够通过约束条件准确得到可行域，根据数形结合的方式确定最优解.15．若、a b 均为实数，则“()0->ab a b ”是“0a b >>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】通过列举，和推理证明可以推出充要性.【详解】 若()0ab a b -＞中，取12a b --＝，＝，则推不出0a b ＞＞； 若0a b ＞＞，则0a b -＞，则可得出()0ab a b -＞；故“()0ab a b -＞”是“0a b ＞＞”的必要不充分条件，故选：B.【点睛】本题考查充分必要不条件的定义以及不等式的性质，可通过代入特殊值解决．16．已知在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos cos b C c B =，则111tan tan tan A B C ++的最小值为（ ）A ．3BC ．3D ．【答案】A【解析】【分析】先根据已知条件，把边化成角得到B,C 关系式，结合均值定理可求.【详解】∵2cos cos b C c B =，∴2sin cos sinCcos B C B =，∴tan 2tan C B =.又A B C π++=，∴()()tan tan tan A B C B C π=-+=-+⎡⎤⎣⎦22tan tan 3tan 3tan 1tan tan 12tan 2tan 1B C B B B C B B +=-=-=---， ∴21112tan 111tan tan tan 3tan tan 2tan B A B C B B B -++=++27tan 36tan B B =+.又∵在锐角ABC ∆中, tan 0B >,∴27tan 36tan 3B B +≥=，当且仅当tan 2B =时取等号，∴min111tan tan tan A B C ⎛⎫++= ⎪⎝⎭ A. 【点睛】本题主要考查正弦定理和均值定理，解三角形时边角互化是求解的主要策略，侧重考查数学运算的核心素养.17．若均不为1的实数a 、b 满足0a b >>，且1ab >，则（ ）A ．log 3log 3a b >B ．336a b +>C ．133ab a b ++>D ．b a a b > 【答案】B【解析】【分析】举反例说明A,C,D 不成立，根据基本不等式证明B 成立.【详解】当9,3a b ==时log 3log 3a b <; 当2,1a b ==时133ab a b ++=; 当4,2a b ==时b a a b =; 因为0a b >>，1ab >，所以336a b +>=>>，综上选B.【点睛】本题考查比较大小，考查基本分析论证能力，属基本题.18．若实数x ，y 满足不等式组11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最小值是( )A ．3B ．32C ．0D ．3- 【答案】D【解析】【分析】根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再由目标函数2z x y =+可得2y x z =-+，此时Z 为直线在y 轴上的截距，根据条件可求Z 的最小值．【详解】解：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示得阴影部分的ABC ∆，由2z x y =+可得2y x z =-+，则z 为直线在y 轴上的截距把直线:2l y x =-向上平移到A 时，z 最小，此时由1y x y =⎧⎨=-⎩可得(1,1)A -- 此时3z =-，故选：D ．【点睛】本题考查用图解法解决线性规划问题，分析题目的已知条件，找出目标函数中的z 的意义是关键，属于中档题．19．若函数()sin 2x x f x e e x -=-+，则满足2(21)()0f x f x -+>的x 的取值范围为（ ）A ．1(1,)2- B ．1(,1)(,)2-∞-+∞UC ．1(,1)2- D ．1(,)(1,)2-∞-⋃+∞ 【答案】B【解析】【分析】 判断函数()f x 为定义域R 上的奇函数，且为增函数，再把()()2210f x f x -+>化为221x x ->-，求出解集即可．【详解】解：函数()sin2x x f x e e x -=-+，定义域为R ，且满足()()sin 2x x f x e e x --=-+- ()()sin2x x e e x f x -=--+=-，∴()f x 为R 上的奇函数；又()'2cos222cos20x x f x e e x x x -=++≥+≥恒成立，∴()f x 为R 上的单调增函数；又()()2210f x f x -+>， 得()()()221f x f x f x ->-=-，∴221x x ->-，即2210x x +->，解得1x <-或12x >，所以x 的取值范围是()1,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭． 故选B ．【点睛】本题考查了利用定义判断函数的奇偶性和利用导数判断函数的单调性问题，考查了基本不等式，是中档题．20．若,x y 满足4,20,24,x y x y x y +≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩则4y x -的最大值为（ ） A ．72- B ．52- C ．32- D ．1-【答案】D【解析】【分析】画出平面区域，结合目标函数的几何意义，求解即可.【详解】该不等式组表示的平面区域，如下图所示4y x-表示该平面区域中的点(),x y 与(0,4)A 确定直线的斜率 由斜率的性质得出，当区域内的点为线段AB 上任意一点时，取得最大值.不妨取84(,)33B 时，4y x -取最大值443183-=- 故选：D【点睛】本题主要考查了求分式型目标函数的最值，属于中档题.。
人教版高中数学必修一专题复习及参考答案
人教版高中数学必修一专题复习及参考答案知识架构第一讲集合★知识梳理一：集合的含义及其关系1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性;2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图；①两个集合的交集:= ;A B {}x x A x B ∈∈且②两个集合的并集: =;A B {}x x A x B ∈∈或③设全集是U,集合,则A U ⊆U C A ={}x x U x A ∈∉且{|B x x ={|B x x =★重、难点突破重点：集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。
难点：正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化，准确进行集合的交、并、补三种运算。
重难点：1.集合的概念掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特别注意集合中元素的互异性，在解题过程中最易被忽视，因此要对结果进行检验；2．集合的表示法（1）列举法要注意元素的三个特性；（2）描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质，如、、等的差别，如果对集合中代表元素认识不清，将导致求解错误：{})(x f y x ={})(x f y y ={})(),(x f y y x =问题：已知集合（ ） 221,1,9432x y x y M x N y ⎧⎫⎧⎫=+==+=⋂⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭则M N= A. ；B.；C. ；D. Φ{})2,0(),0,3([]3,3-{}3,2[错解]误以为集合表示椭圆，集合表示直线，由于这直线过椭圆的两个顶点，于是错选B M 14922=+y x N 123=+y x [正解] C ； 显然，，故{}33≤≤-=x x M R N =]3,3[-=N M(3)Venn 图是直观展示集合的很好方法，在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用Venn 图。
3．集合间的关系的几个重要结论（1）空集是任何集合的子集，即A ⊆φ（2）任何集合都是它本身的子集，即A A ⊆（3）子集、真子集都有传递性，即若，，则B A ⊆C B ⊆C A ⊆4．集合的运算性质（1）交集：①；②；③；④，⑤；A B B A =A A A = φφ= A A B A ⊆ B B A ⊆ B A A B A ⊆⇔=（2）并集：①；②；③；④，⑤；A B B A =A A A = A A =φ A B A ⊇ B B A ⊇ A B A B A ⊆⇔=（3）交、并、补集的关系①；φ=A C A U U A C A U =②；)()()(B C A C B A C U U U =)()()(B C A C B A C U U U =★热点考点题型探析考点一：集合的定义及其关系题型1：集合元素的基本特征[例1]（2008年江西理）定义集合运算：．设{}|,,A B z z xy x A y B *==∈∈{}{}1,2,0,2A B ==，则集合的所有元素之和为（）A B *A ．0；B ．2；C ．3；D ．6[解题思路]根据的定义，让在中逐一取值，让在中逐一取值，在值就是的元素A B *x A y B xy A B *[解析]：正确解答本题,必需清楚集合中的元素，显然，根据题中定义的集合运算知=，故应选择D A B *A B *{}4,2,0【名师指引】这类将新定义的运算引入集合的问题因为背景公平，所以成为高考的一个热点，这时要充分理解所定义的运算即可，但要特别注意集合元素的互异性。
「精选」人教版最新高三复习数学题及参考答案-精选文档
精选文档 可编辑修改1 俯视图侧视图正视图334高考复习数学试题(附参考答案)本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第I 卷（选择题）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合33{|0},{|||},""""122x P x Q x x m P m Q x =≤=-≤∈∈-那么是的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2.公差不为0的等差数列{}n a 中,2200520072009330a a a -+=,数列{}n b 是等比数列，且20072007b a =,则20062008b b =（ ）A ．4B ．8C ．16D ．363. 若纯虚数z 满足2(2i)4(1i)z b -=-+（其中i 是虚数单位，b 是实数），则b =（ ）A ．2-B ．2C ．-4D ．44．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（ ）A. 123B. 363C. 273D. 65．已知直线0=++C By Ax （其中0,222≠=+C C B A ）与圆422=+y x 交于N M ,，O 是坐标原点，则OM ·ON =（ ） A ．- 1 B ．- 1 C ． - 2 D ．2 6．设0(sin cos )a x x dx π=+⎰，则二项式61()a x x-，展开式中含2x 项的系数是（ ） A. 192- B. 192 C. -6 D. 6 7．已知对数函数()log a f x x =是增函数,则函数(||1)f x +的图象大致是（ ）8．关于x 的方程2(1)10(0,)x a x a b a a b +++++=≠∈R 、的两实根为12,x x ，若A B C D精选文档 可编辑修改212012x x <<<<，则ba的取值范围是（ ） A ．4(2,)5--B ．34(,)25--C ．52(,)43--D ．51(,)42--第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9—12题）9. 右图是2008年北京奥运会上，七位评委为某奥运项目打出 的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为 ；方差为 .10.已知⎩⎨⎧>+-≤=0,1)1(0,cos )(x x f x x x f π，则4()3f 的值为_______．11. 在如下程序框图中，已知：0()x f x xe =，则输出的是_________ _.12. 设椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，且120PF PF ⋅=，123tan 3PF F ∠=，则该椭圆的离心率为 ． （二）选做题（13—15题，考生只能从中选做两题）13.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，从极点O 作直线与另一直线:cos 4l ρθ=相交于点M ，在OM 上取一点P ，使12OM OP ⋅=.设R 为l 上任意一点，则RP 的最小值 ．14. （不等式选讲选做题）若关于x 的不等式1x x a +-<(a ∈R )的解集为∅，则a 的取值范围是 ．15. （几何证明选讲选做题）如图，⊙O 1与⊙O 2交于M 、N 两点，直线AE 与这两个圆及MN 依次交于A 、B 、C 、D 、E ．且AD ＝19，BE ＝16，BC ＝4，则AE ＝ ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知在ABC V 中，A B C ∠∠∠﹑﹑所对的边分别为a ﹑b﹑c ，若cos cos A bB a= 且sin cos C A = (Ⅰ)求角A 、B 、C 的大小；(Ⅱ)设函数()()sin cos 222C f x x x A ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，求函数()f x 的单调递增．．区间，并指出它相邻两对称轴间的距离.7 98 4 4 6 4 7 9 3否 是开始 输入f 0 (x ) 0=i )()(1'x f x f i i -= 结束1+=i i i =2009输出 f i (x )精选文档 可编辑修改317. （本小题满分13分）在2008年北京奥运会某项目的选拔比赛中, A 、B 两个代表队进行对抗赛, 每队三名队员, A 队队员是123,A A A 、、B 队队员是123,B B B 、、按以往多次比赛的统计, 对阵队员之间胜负概率如下表, 现按表中对阵方式出场进行三场比赛, 每场胜队得1分,负队得0分, 设A 队、B 队最后所得总分分别为ξ、η, 且3ξη+=.（Ⅰ）求A 队得分为1分的概率；（Ⅱ）求ξ的分布列;并用统计学的知识说明哪个队实力较强.18. （本小题满分13分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左右顶点分别为A C 、，上顶点为B ，过C B F ,,三点作圆P ，其中圆心P 的坐标为()n m ,.(Ⅰ)当0m n +≤时，椭圆的离心率的取值范围. (Ⅱ)直线AB 能否和圆P 相切？证明你的结论.19. （本小题满分13分）在正三角形ABC 中，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 边上的点，满足AE:EB ＝CF:FA ＝CP:PB ＝1:2（如图1）.将△AEF 沿EF 折起到EF A 1∆的位置，使二面角A 1－EF －B 成直二面角，连结A 1B 、A 1P （如图2）（Ⅰ）求证：A 1E ⊥平面BEP ；（Ⅱ）求直线A 1E 与平面A 1BP 所成角的大小； （III ）求二面角B －A 1P －F 的余弦值. 20. （本小题满分14分）已知函数()log k f x x =（k 为常数，0k >且1k ≠），且数列{}()n f a 是首项为4， 公差为2的等差数列.(Ⅰ)求证：数列{}n a 是等比数列； (Ⅱ) 若()n n n b a f a =⋅，当2k =时，求数列{}n b 的前n 项和n S ；（III ）若lg n n n c a a =，问是否存在实数k ，使得{}n c 中的每一项恒小于它后面的项？若存在，求出k 的范围；若不存在，说明理由． 21. （本小题满分14分）已知函数F (x )=|2x －t |－x 3+x +1（x ∈R ，t 为常数，t ∈R ）.对阵队员A 队队员胜 A 队队员负 1A 对1B 23 132A 对2B 2535 3A 对3B 37 35精选文档 可编辑修改 4(Ⅰ)写出此函数F (x )在R 上的单调区间；(Ⅱ)若方程F (x )－k =0恰有两解，求实数k 的值．【答案及详细解析】一、选择题：本大题理科共8小题，每小题5分，共40分. 文科共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
人教A版数学课本优质习题总结训练-必修一参考答案-2025届高三数学一轮复习
人教A 版数学课本优质习题总结训练——必修一参考答案：1．223,0123()233,1223,2t t f t t t t t ⎧<⎪⎪⎪⎪=-+-<⎨⎪⎪>⎪⎪⎩，函数图象见解析；【分析】在求()f t 的解析式时，关键是要根据图象，对t 的取值进行恰当的分类，然后分类讨论，给出分段函数的解析式后，再根据解析式画出函数的图象．【详解】解：(1)当01t <时，如图，设直线x t =与OAB 分别交于C 、D 两点，则||OC t =，又3CD BCOC OE==，∴||3CD t =，∴2113()||||3222f t OC CD t t t=⋅=⋅⋅=(2)当12t <时，如图，设直线x t =与OAB 分别交于M 、N 两点，则||2AN t =-，又||||33||||1MN BE AN AE ===，∴||3(2)MN t =-，∴221133()23||||3(2)2332222f t AN MN t t t =⋅⋅-⋅⋅=--=-+-(3)当2t >时，()3f t =，综上所述223,0123()233,1223,2t t f t t t t t ⎧<⎪⎪⎪⎪=-+-<⎨⎪⎪>⎪⎪⎩2．(1)3150(0)y x x =-+>(2)232404500(0)P x x x =-+->，销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润300元【分析】(1)猜想y 与x 是一次函数关系，设(0)y ax b a =+≠，代入数据计算得到答案.(2)232404500(0)P x x x =-+->，根据二次函数的单调性得到最值.【详解】(1)如图，猜想y 与x 是一次函数关系，设(0)y ax b a =+≠.将(30,60),(40,30)代入得60303040a b a b =+⎧⎨=+⎩,解得3150a b =-⎧⎨=⎩.∴y 与x 的一次函数解析式为3150(0)y x x =-+>.(2)2(3150)(30)32404500(0)P x x x x x =-+-=-+->，当240402(3)x =-=⨯-时，max 300P =.∴销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润300元.【点睛】本题考查了求函数解析式，函数图像，函数的最值，意在考查学生对于函数知识的应用能力.3．(1)3；(2)73.【解析】(1)根据指数幂运算法则将原式转化为321010mn ÷即可求值；(2)利用立方和公式化简因式分解再求值.【详解】(1)原式()3332221010103233mnm =÷=÷=÷=；(2)原式()()22xx x x x xx xaa a a a a a a ----+-+=+221xx aa -=-+173133=-+=.【点睛】此题考查根据指数幂的运算法则求代数式的值，利用整体代换，涉及因式分解.4．(1)7；(2)47.【解析】(1)对等式11223a a -+=两边同时平方即可得解；(2)根据(1)对17a a -+=两边同时平方即可得解.【详解】(1)11223a a -+= ，∴两边平方得129a a -++=.17a a -∴+=.(2)由(1)知17a a -+=，两边平方得2222249,47a a a a --++=∴+=.【点睛】此题考查与指数幂运算相关的化简求值，关键在于找准关系，准确化简代换求值.5．(1)见解析；(2)是，没有.【解析】(1)利用计算器依次计算求值；(2)根据(1)的计算结果分析，11nn骣琪+琪桫越来越大，没有最大值.【详解】(1)12331191412;1 2.25;1 2.370412433⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+==+=≈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；1010010100111 1.125937;1 1.012.704810100⎛⎫⎛⎫+=≈+=≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；100010011 1.001 2.71691000⎛⎫+=≈ ⎪⎝⎭；100001000011 1.0001 2.718110000⎛⎫+=≈ ⎪⎝⎭；10000010000011 1.00001 2.7183100000⎛⎫+=≈ ⎪⎝⎭.(2)由(1)知，当n 越来越大时，11nn骣琪+琪桫的值也会越来越大，但没有最大值.【点睛】此题考查利用计算机计算指数幂的值，根据指数幂的大小关系分析代数式的变化趋势，和最值的情况，体现了根据有限的事实与类比无限的思想.6．(1)||2122x y ⎛⎫=- ⎪⎭+⎝，图象见解析；(2)()f x 为偶函数，()f x 在(,0]-∞上为减函数，在[0,)+∞上为增函数.【分析】(1)由函数图象过原点可得0a b +=，又由图象无限接近直线2y =可得2b =，由此可求出函数的解析式，去掉绝对值再结合指数函数图象特征即可画出函数图象；(2)利用奇偶性的定义即可判断函数的奇偶性，去掉绝对值得()122,02122,02xxx f x x -⎧⎛⎫-+≥⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+< ⎪⎪⎝⎭⎩，根据单调性的性质即可求得函数的单调性．【详解】解：(1)由题意知，0,2a b b +==，2a ∴=-，()||1222x f x ⎛⎫∴=- ⎪⎝+⎭，∴()122,02122,02xxx f x x -⎧⎛⎫-+≥⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+< ⎪⎪⎝⎭⎩，图象如图：(2)∵||1()222x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴1()222xf x -⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭122()2xf x ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，()f x ∴为偶函数，又()122,02122,02xxx f x x -⎧⎛⎫-+≥⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+< ⎪⎪⎝⎭⎩，∴()f x 在(,0]-∞上为减函数，在[0,)+∞上为增函数．【点睛】本题主要考查指数函数图象的应用，属于基础题．7．10,2⎛⎫⎪⎝⎭【分析】分别根据对数和指数函数的单调性解不等式，再求交集即可．【详解】解:11log 1log log 22aa a a <⇔< ，当1a >时1log log 2a a a <成立；②当01a <<时，解得102a <<．又011110222aaa ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<⇔<⇔> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，121101a a <⇔<⇔≤<，∴a 的取值范围是10,2⎛⎫⎪⎝⎭．8．(1)0.20.30.4log 6log 6log 6>>(2)234log 3log 4log 5>>【解析】(1)利用换底公式分析即可.(2)分别两两作差,根据基本不等式分析作差后的正负再判定即可.【详解】解:(1)因为0.20.30.4lg 6lg 6log 66,log 6lg 0.3lg 0.4===,lg 60>，且lg 0.2lg 0.3lg 0.40<<<,故0.20.30.4log 6log 6log 6>>(2)223lg 3lg 4(lg 3)lg 2lg 4log 3log 4lg 2lg 3lg 2lg 3--=-= 222222lg 2lg 4lg8lg 9(lg 3)(lg 3)(lg 3)2220lg 2lg 3lg 2lg 3lg 2lg 3+⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭>=>=,23log 3log 4∴>同理可证35234log 4log 5,log 3log 4log 5>∴>>.【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性以及作差比较大小的问题,属于中档题.9．π6α=，π4β=【分析】由①易知：tantan 2tan 21tan tan 2αβαβαβ+⎛⎫+== ⎪⎝⎭-tan tan 32αβ+=tantan 22αβ⋅=与α为锐角，则可求出tan22α=，tan 1β=，即可得出答案.【详解】存在.由①得π23αβ+=，∴tantan 2tan 21tan tan 2αβαβαβ+⎛⎫+== ⎪⎝⎭-将②代入上式得tan tan 32αβ+=，因此，tan 2α，tan β是方程(2320x x -+=的两根，解得11x =，22x =当tan12α=时，∵π02α<<，∴π024α<<，此时α不存在，故tan22α=-tan 1β=，所以22tan2tan 31tan 2ααα==-，∵α，β均为锐角，∴π6α=，π4β=.10．(1)周期为2π，单调递增区间为75,,248248k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.(2)值为【解析】(1)利用诱导公式、辅助角公式化简函数的解析式，利用正弦型函数的周期公式和单调性求解即可；(2)利用辅助角公式直接求解即可.【详解】解：(1)()sin 4sin 4sin 4cos 433233f x x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦443412x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭⎝⎭，最小正周期为242ππ=；由242,2122k x k k Z πππππ-+++∈，得75,248248k k x k Z ππππ-+∈，∴单调递增区间为75,,248248k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.(2)()sin cos )f x a x b x x ϕ=+=+，其中cos ϕϕ==()f x ∴【点睛】本题考查了用辅助角公式求解正弦型函数的最小正周期、单调区间和最值，考查了数学运算能力.11．证明见解析【分析】取线段AB 的中点M ，求出它的坐标，再利用圆的几何性质和锐角三角函数中正弦的定义和余弦的定义证明即可.【详解】证明：线段AB 的中点M 的坐标为11(cos cos ),(sin sin )22αβαβ⎛⎫++ ⎪⎝⎭.过点M 作1MM 垂直于x 轴，交x 轴于1M ，如图，则111()()22MOM βαααβ∠=-+=+.在Rt OMA 中，coscos22OM OA βααβ--==.在1Rt OM M 中，11cos cos cos22OM OM MOM αβαβ+-=∠=.11sin sincos22M M OM MOM αβαβ+-=∠=于是有1(cos cos )cos cos 222αβαβαβ+-+=，1(sin sin )sin cos 222αβαβαβ+-+=.【点睛】本题考查了利用单位圆、锐角三角函数中正弦的定义、余弦的定义证明三角恒等式，考查了数形结合思想.12．猜想，当2,x k k +=∈N 时，11()12k f α-≤≤.【解析】根据同角三角函数的平方关系，二倍角的正弦公式，分别求出当2,4,6x =时，()f α的取值范围，然后猜想出x 取一般值时()f α的取值范围.【详解】解：当2x =时，22()sin cos 1f ααα=+=；当4x =时，()244222221()sin cos sin cos 2sin cos 1sin 22f αααααααα=+=+-=-，此时有1()12f α≤≤；当6x =时，()()36622222223()sin cos sin cos 3sin cos sin cos 1sin 24f αααααααααα=+=+-+=-，此时有1()14f α，由此猜想，当2,x k k +=∈N 时，11()12k f α-≤≤.【点睛】本题考查了同角三角函数的平方关系，考查了正弦的二倍角的公式，考查了正弦函数的值域，运用代数式的恒等变形是解题的关键.13．(1)证明见解析；(3)2(4)【解析】分别根据两角和的正切公式即求出或证明．【详解】(1)证明：tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=- tan tan tan()(1tan tan )tan()tan tan tan()αβαβαβαβαβαβ∴+=+-=+-+=右边，tan tan tan()tan tan tan()αβαβαβαβ∴+=+-+(2)解：()tan 20tan 40tan 60tan 20401tan 20tan 40︒︒︒︒︒︒︒+=+==-tan 20tan 4020tan 40︒︒︒︒∴+=tan 20tan 4020tan 40︒︒︒︒∴+=(3)解：tan tan 3tan()tan 11tan tan 4αβπαβαβ++===-- tan tan tan tan 10αβαβ∴+-+=()()1tan 1tan 1(tan tan )tan tan 2αβαβαβ∴--=-++=.(4)解：tan120tan 60=-︒=tan 20tan 40tan(2040)(1tan 20tan 40)tan 60(1tan 20tan 40)20tan 40︒+︒=︒+︒-︒︒=︒-︒︒=︒︒∴tan 20tan 40tan120tan 20tan 40︒+︒+︒=-︒︒【点睛】本题考查了两角和的正切公式，考查了运算求解能力和转化与划归思想，属于中档题．15．(1)4；(2)-1(3)-1；(4)1【解析】(1)利用辅助角公式及二倍角公式计算可得；(2)利用同角三角函数的商数关系将切化弦，通分，再利用辅助角公式及诱导公式计算可得；(3)利用同角三角函数的商数关系将切化弦，通分，再利用辅助角公式及诱导公式计算可得；(4)利用同角三角函数的商数关系将切化弦，通分，再利用辅助角公式及诱导公式计算可得；【详解】解：(1)原式=14cos1022sin10cos10︒︒︒︒⎛⎫-⎪⎝⎭=()4sin 30cos10cos30sin102sin10cos10︒︒︒︒︒︒-=()4sin 30104sin 20︒︒︒-==；(2)原式sin10sin 40cos10︒︒︒⎛=- ⎝sin 40︒=12sin102sin 40cos10︒︒︒︒⎛⎫ ⎪⎝⎭=⋅()2cos 30cos10sin 30sin10sin 40cos10︒︒︒︒︒︒--=⋅2sin 40cos 40cos10︒︒︒-=sin 80cos10︒︒-=()sin 9010cos101cos10cos10︒︒︒︒︒-=--==-(3)原式20tan 70cos101cos 20︒︒︒︒⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭20cos 20tan 70cos10cos 20︒︒︒︒︒-=1220202tan 70cos10cos 20︒︒︒︒︒⎫-⎪⎝⎭⋅=()o co 2sin 3020cos30sin 20tan 70cos10c s 20s ︒︒︒︒︒︒︒--⋅=()2sin 3020tan 70cos10cos 20︒︒︒︒︒--⋅=sin 702sin10cos10cos70cos 20︒︒︒︒︒-=⋅⋅()()sin 702cos10sin10cos 900cos 90270︒︒︒︒︒︒︒-⋅--=sin 201sin 20︒︒-=-(4)原式sin 501cos10︒︒︒⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭sin 50︒=12cos102sin 50cos10︒︒︒︒⎛⎫ ⎪⎝⎭=⋅()2cos 60cos10sin 60sin10sin 50cos10︒︒︒︒︒︒+=⋅2cos50sin 50cos10︒︒︒=⋅sin100cos10︒︒=()sin 90cos1010︒︒︒+=cos101cos10︒︒==【点睛】此题考查了二倍角的正弦公式，诱导公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题．15．(1)95；(2)2425；(3)3±；(4)1725【解析】(1)由3cos 5θ=-，利用同角的三角函数关系求出sin θ，再计算2sin cos 22θθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；(2)由1sincos225αα-=，两边平方利用二倍角正弦公式求出sin α的值；(3)由445sin cos 9+=θθ，根据平方公式和二倍角公式求出sin 2θ的值；(4)由3cos 25θ=，利用平方关系结合题意求得44sin cos θθ+的值．【详解】解：(1)由3cos 5θ=-，32ππθ<<，得4sin 5θ==-，所以22249sin cos sin 2sin cos cos 1sin 122222255θθθθθθθ⎛⎫-=-+=-=+= ⎪⎝⎭；(2)由1sincos225αα-=，所以2221sin cos sin 2sin cos cos 1sin 22222225ααααααα⎛⎫-=-+=-= ⎪⎝⎭，解得24sin 25α=；(3)由445sin cos 9+=θθ，得2224422251(sin cos )sin cos 2sin cos sin 2192θθθθθθθ+=++=+=，解得28sin 29θ=，则sin 23θ=±；(4)由3cos 25θ=，得：4422222sin cos (sin cos )2sin cos θθθθθθ+=+-211sin 22θ=-()2111cos 22θ=--21131225⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭1725=．【点睛】本题考查了三角函数的求值与应用问题，也考查了三角恒等变换应用问题，属于中档题．16．(1)12；(2)5972-【分析】(1)利用两角和与差的余弦函数公式化简可求1sin sin ,52cos cos ,5αβαβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩进而根据同角三角函数基本关系式化简即可求解．(2)将两边同时平方，再相加即可得解；【详解】解：(1) 13cos(),cos()55αβαβ+=-=，∴1cos()cos cos sin sin ,53cos()cos cos sin sin ,5αβαβαβαβαβαβ⎧+=-=⎪⎪⎨⎪-=+=⎪⎩∴1sin sin ,52cos cos ,5αβαβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴1tan tan 2αβ= ．(2)因为1cos cos 2αβ+=，1sin sin 3αβ+=，所以()21cos cos 4αβ+=，()291sin sin αβ+=，上述两式相加得222211cos 2cos cos cos sin 2sin sin sin 94ααββααββ+++++=+即()1322cos 36αβ+-=解得()59cos 72α-=-17．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析；(4)证明见解析【解析】(1)利用二倍角公式即可证明；(2)利用二倍角正弦公式及商数关系即可证明；(3)利用两角和的正弦公式化简证明；(4)利用二倍角余弦公式及完全平方公式化简证明；【详解】证明：(1)左边22cos 214cos 23αα=-++()()222242cos 22cos 212(cos 21)22cos 8cos ααααα=++=+===右边(2)左边2222sin cos 2sin cos (sin cos )sin cos 11tan 2cos 2sin cos 2cos (cos sin )2cos 22αααααααααααααααα++++===+=++右边.(3)左边sin(2)2cos()sin sin αβαβαα+-+=sin[()]2cos()sin sin αβααβαα++-+=sin()cos cos()sin sin sin sin αβααβαβαα+-+===右边(4)左边()()22222cos 22cos 2134cos 22cos 2134cos 22cos 212cos 22cos 21A A A A A A A A -+-+-==++-++()()22242222sin (1cos 2)tan (1cos 2)2cos A A A A A -====+右边.【点睛】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，以及完全平方公式的运用，三角恒等变换公式是的灵活应用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．18．50.【分析】依题意可得0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且4sin 5α=，3cos 5α=.然后可得sin 2α，cos2α，进而可得sin 24πα⎛⎫- ⎪⎝⎭.【详解】将1sin cos 5αα-=平方得112sin cos 25αα-=，所以242sin cos 25αα=，所以0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.所以22449(sin cos )12sin cos 12525αααα+=+=+=，从而7sin cos 5αα+=.联立1sin cos 57sin cos 5αααα⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得sin 53cos 5αα⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.所以24sin 22sin cos 25ααα==，2222347cos 2cos sin 5525ααα⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故)247sin 2sin 2cos 2422252550πααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-=⨯--= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.19．证明见解析【解析】由22sin cos 1θθ+=，得到2(sin cos )12sin cos θθθθ+=+，把已知两等式代入，整理即可得证．【详解】证明：22sin cos 1θθ+= ，2(sin cos )12sin cos θθθθ∴+=+，把sin cos 2sin θθα+=，2sin cos sin θθβ= 代入得：224sin 12sin αβ=+，即224(1cos )12(1cos )αβ-=+-，整理得：224cos 12cos αβ=+．224cos 212cos αβ-=-+．2cos 2cos 2αβ=，两边平方可得：224cos 2cos 2αβ=．【点睛】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，以及完全平方公式的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．20．(1)T π=，(2)38x π⎧⎫∈⎨⎩⎭，时()min f x =【分析】(1)先利用同角平方关系及二倍角公式，辅助角公式进行化简，即可求解；(2)由x 的范围先求出24x π+的范围，结合余弦函数的性质即可求解．【详解】解：(1)44()cos 2sin cos sin f x x x x x =-- ，2222(cos sin )(cos sin )sin 2x x x x x =-+-，cos 2sin 2x x =-，4x π=+，故()f x 的最小正周期T π=；(2)由[0,2x π∈可得2[44x ππ+∈，54π，当得24x ππ+=即38x π=时，函数取得最小值．所以38x π⎧⎫∈⎨⎩⎭，时()min f x =21．tan()1,4παβαβ+=∴+=4PCQ π∴∠=【详解】试题分析：分析设出角,,PCB QCD αβ∠=∠=，然后借助于正方形的性质得到tan tan αβ+=结合内角和为直角，间接法得到tan tan 1tan tan αβαβ∴+=-⋅进而表示所求的角的大小．设,,PCB QCD αβ∠=∠=则tan ,tan PB DQ αβ==,则1tan ,1tan AP AQ αβ=-=-21tan 1tan PQ αβ=∴=-+-tan tan tan tan αβαβαβ+=∴+=-⋅即tan()1,4παβαβ+=∴+=4PCQ π∴∠=考点：本题主要是考查运用三就爱哦函数表示边长，进而结合两角和差的关系式得到结论．点评：解决该试题的关键是能根据边表示出,,PCB QCD αβ∠=∠=的正切值，借助于两角差的正切公式得到结论．。
高考数学压轴专题人教版备战高考《复数》知识点总复习附答案
【高中数学】数学《复数》期末复习知识要点一、选择题1．复数的共轭复数对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，再利用共轭复数的概念求出复数的共轭复数，进一步求出对应点的坐标得结果 .【详解】，的共轭复数为，对应坐标是在第三象限，故选C.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2．已知i 是虚数单位，则31ii+-=（ ） A ．1-2i B ．2-iC ．2+iD ．1+2i【答案】D 【解析】试题分析：根据题意，由于33124121112i i i ii i i i ++++=⨯==+--+，故可知选D. 考点：复数的运算点评：主要是考查了复数的除法运算，属于基础题．3．若复数z 满足232,z z i +=-其中i 为虚数单位，则z= A ．1+2i B ．1-2iC ．12i -+D ．12i --【答案】B 【解析】试题分析：设i z a b =+，则23i 32i z z a b +=+=-，故，则12i z =-，选B.【考点】注意共轭复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时对复数的运算与概念、复数的几何意义等进行综合考查，也是考生必定得分的题目之一.4．设i 是虚数单位，则()()3211i i -+等于()A ．1i -B ．1i -+C ．1i +D ．1i --【答案】B 【解析】 【分析】 化简复数得到答案. 【详解】()()3221(1)(1)2(1)1221i i i i i i i ii -----===-++故答案选B 【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.5．若43i z =+，则zz=（ ）A ．1B ．1-C ．4355i + D ．4355i - 【答案】D 【解析】 【详解】 由题意可得 ：22435z =+=，且：43z i =-，据此有：4343555z i i z -==-. 本题选择D 选项.6．已知复数i z x y =+（x ，y ∈R ），且23z +=1y x-的最大值为（ ） A 3B 6C．2+ D．2【答案】C 【解析】 【分析】根据模长公式，求出复数z 对应点的轨迹为圆，1y x-表示(,)x y 与(0,1)连线的斜率，其最值为过(0,1)点与圆相切的切线斜率，即可求解. 【详解】∵复数i z x y =+（x ，y ∈R），且2z +==()2223x y ++=.设圆的切线l ：1y kx =+=化为2420k k--=，解得2k =∴1yx -的最大值为2 故选:C. 【点睛】本题考查复数的几何意义、轨迹方程、斜率的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题.7．已知复数z 满足(1)43z i i +=-，其中i 是虚数单位，则复数z 在复平面中对应的点到原点的距离为（ ）AB ．2C ．52D ．54【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简z, 复数z 在复平面中对应的点到原点的距离为||,z 利用模长公式即得解. 【详解】由题意知复数z 在复平面中对应的点到原点的距离为||,z43(43)(1)1717,12222||2i i i i z i i z ----====-+∴==故选：B 【点睛】本题考查了复数的除法运算，模长公式和几何意义，考查了学生概念理解，数学运算，数形结合的能力，属于基础题.8．已知复数12z =-，则z z +=（ ）A ．122i -- B ．122-+ C ．122i + D ．122- 【答案】C 【解析】分析：首先根据题中所给的复数z ，可以求得其共轭复数，并且可以求出复数的模，代入求得12z z +=+，从而求得结果.详解：根据12z =-，可得12z =-+，且1z ==，所以有1112222z z +=-++=+，故选C.点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的共轭复数、复数的模、以及复数的加法运算，属于基础题目.9．若复数z 满足2(12)1i z z +=+，则其共轭复数z 为（ ） A ．1188i + B ．1188i -+C ．1188i --D ．1188i - 【答案】B 【解析】 【分析】 计算得到18iz --=，再计算共轭复数得到答案. 【详解】21111(12)1,,44888i i z z z z i i --+=+∴===-+-Q . 故选：B . 【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，意在考查学生的计算能力.10．设i 是虚数单位，则复数734ii++在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】因为734i i++(7)(34)2525=1(34)(34)25i i i i i i +--==-+-， 所以所对应的点为(1,1)-，位于第四象限，选D.11．已知z C ∈，2z i z i ++-=，则z 对应的点Z 的轨迹为（ ） A ．椭圆 B ．双曲线C ．抛物线D ．线段【答案】D 【解析】 【分析】由复数模的几何意义，结合三角不等式可得出点Z 的轨迹. 【详解】2z i z i ++-=的几何意义为复数z 对应的点Z 到点()0,1A -和点()0,1B 的距离之和为2，即ZA ZB AB +=，另一方面，由三角不等式得ZA ZB AB +≥.当且仅当点Z 在线段AB 上时，等号成立. 因此，点Z 的轨迹为线段. 故选：D. 【点睛】本题考查复数模的几何意义，将问题转化为距离之和并结合三角不等式求解是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12．若202031i iz i+=+，则z 在复平面内对应点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】化简得到2z i =+，得到答案. 【详解】()()()()202013131342211112i i i i i i z i i i i i +-+++=====++++-，对应的点在第一象限.故选：A . 【点睛】本题考查了复数对应象限，意在考查学生的计算能力.13．复数11i+的共轭复数是 （ ）A ．1122i + B ．1122i - C ．1i - D ．1i +【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数11i+，进而可得结果. 【详解】因为()()111121211i i i i i -+--==+， 所以11i+的共轭复数是1122i +，故选：A. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.14．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由著名数学家欧拉发明的，他将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式，若将2i e π表示的复数记为z ，则(12)z i +的值为（ ） A ．2i -+ B ．2i -- C ．2i + D ．2i -【答案】A 【解析】 【分析】根据欧拉公式求出2cos sin22iz e i i πππ==+=，再计算(12)z i +的值.【详解】∵2cossin22iz e i i πππ==+=，∴(12)(12)2z i i i i +=+=-+. 故选：A. 【点睛】此题考查复数的基本运算，关键在于根据题意求出z .15．如果复数z 满足336z i z i ++-=，那么1z i ++的最小值是（ ）A ．1 BC ．2D 【答案】A 【解析】分析：先根据已知336z i z i ++-=找到复数z 对应的点Z 的轨迹，再利用数形结合求1z i ++的最小值.详解：设复数z 对应的点Z(x,y),6=，它表示点Z 到A （0，-3）和B （0,3）的距离和为6， 所以点Z 的轨迹为线段AB,因为1z i ++Z 到点C （-1,-1）的距离， 所以当点Z 在点D(0，-1)时，它和点C （-1,-1）的距离最小，且这个最小距离为1. 故答案为：A点睛：（1）本题主要考查复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合的思想方法.(2)z a bi ++表示复数z 对应的点到（-a,-b ）的距离，类似这样的结论还有一些，大家要结合直角坐标理解它的几何意义，并做到能利用它解题.16．若复数()21a ia R i-∈+为纯虚数，则3ai -=（ ）A B ．13C ．10D【答案】A 【解析】 【分析】由题意首先求得实数a 的值，然后求解3ai -即可． 【详解】由复数的运算法则有：2(2)(1)221(1)(1)22a i a i i a ai i i i ++-+-==+++-, 复数()21a ia R i -∈+为纯虚数，则2020a a +=⎧⎨-≠⎩，即2,|3|a ai =--= 本题选择A 选项. 【点睛】复数中，求解参数(或范围)，在数量关系上表现为约束参数的方程(或不等式).由于复数无大小之分，所以问题中的参数必为实数，因此，确定参数范围的基本思想是复数问题实数化.17．已知复数z 满足121iz i i+⋅=--（其中z 为z 的共轭复数），则z 的值为( )A ．1B ．2C D 【答案】D 【解析】 【分析】按照复数的运算法则先求出z ，再写出z ，进而求出z . 【详解】21(1)21(1)(1)2i i i i i i i ++===--+Q ， 1222(2)121i iz i i z i z i i i i i+-∴⋅=-⇒⋅=-⇒==--=---，12||z i z ∴=-+⇒==故选：D 【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题.18．已知复数134z i=+，则下列说法正确的是（ ） A ．复数z 的实部为3 B ．复数z 的虚部为425i C ．复数z 的共轭复数为342525i + D ．复数的模为1【答案】C 【解析】 【分析】直接利用复数的基本概念得选项. 【详解】1343434252525i z i i -===-+， 所以z 的实部为325，虚部为425-，z 的共轭复数为342525i +15=， 故选C. 【点睛】该题考查的是有关复数的概念和运算，属于简单题目.19．复数52i -的共轭复数是( ) A ．2i + B ．2i - C ．2i -+ D ．2i --【答案】C 【解析】 【分析】先化简复数代数形式，再根据共轭复数概念求解.【详解】因为522i i =---，所以复数52i -的共轭复数是2i -+，选C. 【点睛】本题考查复数运算以及共轭复数概念，考查基本求解能力.20．已知下列三个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数；②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数；③复数z 是实数的充要条件是z z =.则其中正确命题的个数为( ) A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C 【解析】 【分析】运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断. 【详解】对于①中复数1z 和2z 的模相等,例如1=1+z i ,2z ,则1z 和2z 是共轭复数是错误的;对于②1z 和2z 都是复数,若12+z z 是虚数,则其实部互为相反数,则1z 不是2z 的共轭复数,所以②是正确的;对于③复数z 是实数,令z a =,则z a =所以z z =,反之当z z =时,亦有复数z 是实数,故复数z 是实数的充要条件是z z =是正确的.综上正确命题的个数是2个. 故选C 【点睛】本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.。
「最新」人教版最新高中数学总复习题总结(有答案)高考必备及参考答案-可编辑修改
数学总复习题总结(附参考答案)第一章 集合与函数概念一、选择题1．设全集U ＝{(x ，y )| x ∈R ，y ∈R }，集合M ＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧1＝2－3－|),(x y y x ， P ＝{(x ，y )| y ≠x ＋1}，那么C U (M ∪P )等于( )．A ．∅B ．{(2，3)}C ．(2，3)D ．{(x ，y )| y ＝x ＋1} 2．若A ＝{a ，b }，B ⊆A ，则集合B 中元素的个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．0或1或2 3．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的公共点数目是( )．A ．1B ．0C ．0或1D ．1或2 4．设函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )的表达式是( )． A ．2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3 D ．2x ＋7 5. 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则( )．A ．b ∈(－∞，0)B ．b ∈(0，1)C ．b ∈(1，2)D ．b ∈(2，＋∞) 6．设函数f (x )＝⎩⎨⎧00＋＋2 x c x c bx x ，，≤， 若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为( )．A ．1B ．2C ．3D ．47．设集合A ＝{x | 0≤x ≤6}，B ＝{y | 0≤y ≤2}，下列从A 到B 的对应法则f 不是映射的是( )．A ．f :x →y ＝21x B ．f :x →y ＝31xC ．f :x →y ＝41xD ．f :x →y＝61x8．有下面四个命题：①偶函数的图象一定与y 轴相交； ②奇函数的图象一定通过原点； ③偶函数的图象关于y 轴对称；④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f (x )＝0(x ∈R )． 其中正确命题的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4 9．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2，4)上是( )． A ．递减函数 B ．递增函数 C ．先递减再递增 D ．先递增再递减10．二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴是x ＝2，则有( )．(第5题)＞A ．f (1)＜f (2)＜f (4)B ．f (2)＜f (1)＜f (4)C ．f (2)＜f (4)＜f (1)D ．f (4)＜f (2)＜f (1) 二、填空题11．集合{3，x ，x 2－2x }中，x 应满足的条件是 ．12．若集合A ＝{x | x 2＋(a －1)x ＋b ＝0}中，仅有一个元素a ，则a ＝___，b ＝___．13．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为 元．14．已知f (x ＋1)＝x 2－2x ，则f (x )＝ ；f (x －2)＝ ． 15．y ＝(2a －1)x ＋5是减函数，求a 的取值范围 ．16．设f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈［0，＋∞)时，f (x )＝x (1＋x 3)，那么当x ∈(－∞，0］时，f (x )＝ ．三、解答题17．已知集合A ＝{x ∈R | ax 2－3x ＋2＝0}，其中a 为常数，且a ∈R ． ①若A 是空集，求a 的范围；②若A 中只有一个元素，求a 的值；③若A 中至多只有一个元素，求a 的范围．18．已知M ＝{2，a ，b }，N ＝{2a ，2，b 2}，且M ＝N ，求a ，b 的值．19．证明f (x )＝x 3在R 上是增函数．20．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝3x 4＋21x ；(2)f (x )＝(x －1)xx－＋11； (3)f (x )＝1－x ＋x －1；(4)f (x )＝12－x ＋21x －．第一章 集合与函数概念参考答案一、选择题 1．B 解析：集合M 是由直线y ＝x ＋1上除去点(2，3)之后，其余点组成的集合．集合P 是坐标平面上不在直线y ＝x ＋1上的点组成的集合，那么M P 就是坐标平面上不含点(2，3)的所有点组成的集合．因此C U (M P )就是点(2，3)的集合．C U(M P )＝{(2，3)}．故选B ．2．D解析：∵A 的子集有∅，{a }，{b }，{a ，b }．∴集合B 可能是∅，{a }，{b }，{a ，b }中的某一个，∴选D ．3．C解析：由函数的定义知，函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1是有可能没有交点的，如果有交点，那么对于x ＝1仅有一个函数值．4．B解析：∵g (x ＋2)＝2x ＋3＝2(x ＋2)－1，∴g (x )＝2x －1． 5．A 解析：要善于从函数的图象中分析出函数的特点．解法1：设f (x )＝ax (x －1)(x －2)＝ax 3－3ax 2＋2ax ，比较系数得b ＝－3a ，c ＝2a ，d ＝0．由f (x )的图象可以知道f (3)＞0，所以f (3)＝3a (3－1)(3－2)＝6a ＞0，即a ＞0，所以b ＜0．所以正确答案为A ．解法2：分别将x ＝0，x ＝1，x ＝2代入f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 中，求得d ＝0，a ＝－31b ，c ＝－32b . ∴f (x )＝b (－31x 3＋x 2－32x )＝－3bx ［(x －23)2－41］． 由函数图象可知，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＜0，又［(x －23)2－41］＞0，∴b ＜0．x ∈(0，1)时，f (x )＞0，又［(x －23)2－41］＞0，∴b ＜0．x ∈(1，2)时，f (x )＜0，又［(x －23)2－41］＜0，∴b ＜0．x ∈(2，＋∞)时，f (x )＞0，又［(x －23)2－41］＞0，∴b ＜0．故b ∈(－∞，0)． 6．C解：由f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，得22422b b c ⎧-=-⎪⎨⎪-+=-⎩，∴42b c =⎧⎨=⎩ ． ∴f (x )=⎩⎨⎧)0 ( 2)0 (2＋4＋2x ，x ，x x 由⎩⎨⎧ 得x ＝－1或x＝－2；由得x ＝2． 综上，方程f (x )＝x 的解的个数是3个． 7．A解：在集合A 中取元素6，在f ：x →y ＝21x 作用下应得象3，但3不在集合B ＝｛y ｜0≤y ≤2｝中，所以答案选A ．8．A提示：①不对；②不对，因为偶函数或奇函数的定义域可能不包含0；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数还可以为f (x )＝0，x ∈(－a ，a )．所以答案选A ．x ＞0 x ＝2≤＞x ≤0 x 2＋4x ＋2＝x (第5题)9．C解析：本题可以作出函数y ＝x 2－6x ＋10的图象，根据图象可知函数在(2，4)上是先递减再递增．答案选C ．10．B解析：∵对称轴 x ＝2，∴f (1)＝f (3). ∵y 在〔2，＋∞〕上单调递增， ∴f (4)＞f (3)＞f (2)，于是 f (2)＜f (1)＜f (4)． ∴答案选B ． 二、填空题11．x ≠3且x ≠0且x ≠－1．解析：根据构成集合的元素的互异性，x 满足⎪⎩⎪⎨⎧ 解得x ≠3且x ≠0且x ≠－1． 12．a ＝31，b ＝91．解析：由题意知，方程x 2＋(a －1)x ＋b ＝0的两根相等且x ＝a ，则△＝(a－1)2－4b ＝0①，将x ＝a 代入原方程得a 2＋(a －1)a ＋b ＝0 ②，由①②解得a ＝31，b ＝91．13．1 760元．解析：设水池底面的长为x m ，水池的总造价为y 元，由已知得水池底面面积为4 m 2.，水池底面的宽为x4m ． 池底的造价 y 1＝120×4＝480．池壁的造价 y 2＝(2×2x ＋2×2×x4)×80＝(4x ＋x16)×80． 水池的总造价为 y ＝y 1＋y 2＝480＋(4x ＋x16)×80， 即 y ＝480＋320(x ＋x4)＝480＋320⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛4＋22x －x ． 当 x ＝x2， 即x ＝2时，y 有最小值为 480＋320×4=1 760元．14．f (x )＝x 2－4x ＋3，f (x －2)＝x 2－8x ＋15．解析：令x ＋1＝t ，则x ＝t －1，因此f (t )＝(t －1)2－2(t －1)＝t 2－4t ＋3，即f (x )＝x 2－4x ＋3．∴f (x －2)＝(x －2)2－4(x －2)＋3＝x 2－8x ＋15．15．(－∞，21)．解析：由y =(2a －1)x ＋5是减函数，知2a －1＜0，a ＜21．16．x (1－x 3)．解析：任取x ∈(－∞，0］， 有－x ∈［0，＋∞)， ∴f (－x )＝－x ［1＋(－x )3］＝－x (1－x 3)，∵f (x )是奇函数，∴ f (－x )＝－f (x ). ∴ f (x )＝－f (－x )＝x (1－x 3)， 即当x ∈(－∞，0］时，f (x )的表达式为x (1－x 3)．三、解答题x ≠3，x 2－2x ≠3， x 2－2x ≠x ．17．解：①∵A 是空集，∴方程ax 2－3x ＋2＝0无实数根． ∴⎩⎨⎧∆，a a 08－9＝,0 解得a ＞89．②∵A 中只有一个元素，∴方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实数根．当a ＝0时，方程化为－3x ＋2＝0，只有一个实数根x ＝32；当a ≠0时，令Δ＝9－8a ＝0，得a ＝89，这时一元二次方程ax 2－3x ＋2＝0有两个相等的实数根，即A 中只有一个元素．由以上可知a ＝0，或a ＝89时，A 中只有一个元素．③若A 中至多只有一个元素，则包括两种情形：A 中有且仅有一个元素；A 是空集．由①②的结果可得a ＝0，或a ≥89．18．解：根据集合中元素的互异性，有 ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==a b b a b b a a 2222或解得 或 或再根据集合中元素的互异性，得 或 19．证明：设x 1，x 2∈R 且x 1＜x 2，则 f (x 1)－f (x 2)＝31x －32x ＝(x 1－x 2)(21x ＋x 1x 2＋22x )．又21x ＋x 1x 2＋22x ＝(x 1＋21x 2)2＋4322x ．由x 1＜x 2得x 1－x 2＜0，且x 1＋21x 2与x 2不会同时为0，否则x 1＝x 2＝0与x 1＜x 2矛盾，所以 21x ＋x 1x 2＋22x ＞0．因此f (x 1)－ f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， f (x )＝x 3 在 R 上是增函数．20．解：(1)∵ 函数定义域为{x | x ∈R ，且x ≠0}， f (－x )＝3(－x )4＋21）（－x ＝3x 4＋21x ＝f (x )，∴f (x )＝3x 4＋21x 是偶函数．(2)由xx －＋11≥0⇔⎩⎨⎧≠01－－1＋1x x x ))(( 解得－1≤x ＜1． ∴ 函数定义域为x ∈［－1，1)，不关于原点对称，∴f (x )＝(x －1)xx－11＋为非奇非偶函数．(3)f (x )＝1－x ＋x －1定义域为x ＝1，a ＝0b ＝1a ＝0b ＝0a ＝41b ＝21 a ＝0 b ＝1a ＝41 b ＝21≥0≠＜∴ 函数为f (x )＝0(x ＝1)，定义域不关于原点对称， ∴f (x )＝1－x ＋x －1为非奇非偶函数． (4)f (x )＝1－2x ＋2－1x 定义域为≥ －10≥1－22x x ⇒ x ∈{±1}，∴函数变形为f (x )＝0 (x ＝±1)，∴f (x )=1－2x ＋2－1x 既是奇函数又是偶函数．高一数学必修1一、选择题：（每小题5分，共30分）。
人教版最新高三数学专题总复习及参考答案
人教版最新高三数学专题总复习及参考答案
高考数学
复习专题
专题一集合、逻辑与不等式
集合概念及其基本理论，是近代数学最基本的内容之一，集合的语言、思想、观点渗透于中学数学内容的各个分支．有关简易逻辑的常识与原理始终贯穿于数学的分析、推理与计算之中，学习关于逻辑的有关知识，可以使我们对数学的有关概念理解更透彻，表达更准确．不等式是高中数学的重点内容之一，是工具性很强的一部分内容，解不等式、不等式的性质等都有很重要的应用．
关注本专题内容在其他各专题中的应用是学习这一专题内容时要注意的．
§1－1 集合
【知识要点】
1．集合中的元素具有确定性、互异性、无序性．
2．集合常用的两种表示方法：列举法和描述法，另外还有大写字母表示法，图示法(韦恩图)，一些数集也可以用区间的形式表示．3．两类不同的关系：
(1)从属关系——元素与集合间的关系；
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人教版高中数学高考总复习抛物线习题及详解及参考答案
人教版高中数学高考总复习抛物线习题及详解及参考答案(附参考答案)一、选择题1．(2010·湖北黄冈)若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为()A．－2 B．2C．－4 D．4[答案]D[解析]椭圆中，a2＝6，b2＝2，∴c＝＝2，∴右焦点(2,0)，由题意知＝2，∴p＝4.2．已知点M是抛物线y2＝2px(p>0)上的一点，F为抛物线的焦点，若以|MF|为直径作圆，则这个圆与y轴的关系是()A．相交B．相切C．相离D．以上三种情形都有可能[答案]B[解析]如图，由MF的中点A作准线l的垂线AE，交直线l于点E，交y轴于点B；由点M作准线l的垂线MD，垂足为D，交y轴于点C，则MD＝MF，ON＝OF，∴AB＝＝ON＋CM2＝＝，∴这个圆与y轴相切．3．(2010·山东文)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()A．x＝1 B．x＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2[答案]B[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB 的中点(，)，∴＝2，∵A 、B 在抛物线y2＝2px 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧y12＝2px1 ①y22＝2px2 ②①－②得y12－y22＝2p(x1－x2)， ∴kAB ＝＝＝，∵kAB ＝1，∴，p ＝2∴抛物线方程为y2＝4x ，∴准线方程为：x ＝－1，故选B.4．双曲线－＝1的渐近线上一点A 到双曲线的右焦点F 的距离等于2，抛物线y2＝2px(p>0)过点A ，则该抛物线的方程为()A ．y2＝9xB ．y2＝4xC ．y2＝xD ．y2＝x[答案]C[解析]∵双曲线－＝1的渐近线方程为y ＝±x ，F 点坐标为(，0)，设A 点坐标为(x ，y)，则y ＝±x ，由|AF|＝2⇒＝2⇒x ＝，y ＝±，代入y2＝2px 得p ＝，所以抛物线方程为y2＝x ，所以选C.5．已知点P 是抛物线y2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A.B ．3C.D.92[答案]A[解析]记抛物线y2＝2x 的焦点为F ，准线是l ，由抛物线的定义知点P 到焦点F 的距离等于它到准线l 的距离，因此要求点P 到点(0,2)的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P 到点(0,2)的距离与点P 到焦点F 的距离之和的最小值，结合图形不难得知相应的最小值就等于焦点F 与点(0,2)的距离，因此所求的最小值等于＝，选A.6．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过抛物线C上的点A作准线l的垂线，垂足为M，若△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为31，则点A的坐标为()A．(2,2) B．(2，－2)C．(2，±) D．(2，±2)[答案]D [解析]如图，由题意可得，|OF|＝1，由抛物线定义得，|AF|＝|AM|，∵△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3∶1，∴＝＝3，∴|AM|＝3，设A，∴＋1＝3，解得y0＝±2，∴＝2，∴点A的坐标是(2，±2)，故选D. 7．(2010·河北许昌调研)过点P(－3,1)且方向向量为a＝(2，－5)的光线经直线y＝－2反射后通过抛物线y2＝mx，(m≠0)的焦点，则抛物线的方程为()A．y2＝－2xB．y2＝－xC．y2＝4xD．y2＝－4x[答案]D [解析]设过P(－3,1)，方向向量为a＝(2，－5)的直线上任一点Q(x，y)，则∥a，∴＝，∴5x＋2y＋13＝0，此直线关于直线y＝－2对称的直线方程为5x＋2(－4－y)＋13＝0，即5x－2y＋5＝0，此直线过抛物线y2＝mx的焦点F，∴m＝－4，故选D. 8．已知mn≠0，则方程是mx2＋ny2＝1与mx＋ny2＝0在同一坐标系内的图形可能是()[答案]A [解析]若mn>0，则mx2＋ny2＝1应为椭圆，y2＝－x应开口向左，故排除C、D；∴mn<0，此时抛物线y2＝－x应开口向右，排除B，选A. 9．(2010·山东聊城模考)已知A、B为抛物线C：y2＝4x上的不同两点，F为抛物线C的焦点，若＝－4，则直线AB的斜率为()A ．±B ．±32 C ．±D ．±43[答案]D[解析]∵＝－4，∴||＝4||，设|BF|＝t ，则|AF|＝4t ，∴|BM|＝|AA1|－|BB1|＝|AF|－|BF|＝3t ，又|AB|＝|AF|＋|BF|＝5t ，∴|AM|＝4t ，∴tan ∠ABM ＝，由对称性可知，这样的直线AB 有两条，其斜率为±.10．已知抛物线C 的方程为x2＝y ，过点A(0，－4)和点B(t,0)的直线与抛物线C 没有公共点，则实数t 的取值范围是()A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B.∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(，＋∞)[答案]B[解析]由题意知方程组无实数解 由②得y ＝－4，代入①整理得， 2x2－＋4＝0，∴Δ＝－32<0，∴t>或t<－，故选B.[点评]可用数形结合法求解，设过点A(0，－4)与抛物线x2＝y 相切的直线与抛物线切点为M(x0，y0)，则切线方程为y －y0＝4x0(x －x0)，∵过A 点，∴－4－2x02＝4x0(0－x0)，∴x0＝±，∴y0＝4，∴切线方程为y －4＝±4x －8， 令y ＝0得x ＝±，即t ＝±，由图形易知直线与抛物线无公共点时，t<－或t>.二、填空题11．已知点A(2,0)、B(4,0)，动点P在抛物线y2＝－4x上运动，则·取得最小值时的点P的坐标是______．[答案](0,0)[解析]设P，则＝，＝，·＝＋y2＝＋y2＋8≥8，当且仅当y＝0时取等号，此时点P的坐标为(0,0)．12．(文)(2010·泰安市模拟)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60°的直线l，交抛物线于A、B两点，且|FA|＝3，则抛物线的方程是________．[答案]y2＝3x[解析]设抛物线准线为l，作AA1⊥l，BB1⊥l，FQ⊥l，垂足分别为A1、B1、Q，作BM⊥AA1垂足为M，BM交FQ于N，则由条件易知∠ABM＝30°，设|BF|＝t，则|NF|＝，|MA|＝，∵|AM|＝|QN|，∴3－＝p－，∴p＝，∴抛物线方程为y2＝3x. (理)(2010·泰安质检)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线l依次交抛物线及其准线于点A、B、C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程是________．[答案]y2＝3x[解析]解法1：过A、B作准线垂线，垂足分别为A1，B1，则|AA1|＝3，|BB1|＝|BF|，∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|，∴|AC|＝2|AA1|＝2|AF|＝6，∴|CF|＝3，∴p＝|CF|＝，∴抛物线方程为y2＝3x.解法2：由抛物线定义，|BF|等于B到准线的距离，由|BC|＝2|BF|得∠BCB1＝30°，又|AF|＝3，从而A在抛物线上，代入抛物线方程y2＝2px，解得p＝.点评：还可以由|BC|＝2|BF|得出∠BCB1＝30°，从而求得A点的横坐标为|OF|＋|AF|＝＋或3－，∴＋＝3－，∴p＝. 13．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A、B两点．设|FA|>|FB|，则|FA|与|FB|的比值等于________．[答案]3＋22 [解析]分别由A和B向准线作垂线，垂足分别为A1，B1，则由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧|AA1|＋|BB1|＝|AB|，|AA1|－|BB1|＝22|AB|，解得，∴＝3＋2，即＝3＋2.14．(文)若点(3,1)是抛物线y2＝2px 的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p ＝________.[答案]2[解析]设弦两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则，两式相减得，＝＝2，∵y1＋y2＝2，∴p ＝2.(理)(2010·衡水市模考)设抛物线x2＝12y 的焦点为F ，经过点P(2,1)的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，又知点P 恰为AB 的中点，则|AF|＋|BF|＝________.[答案]8[解析]过A 、B 、P 作准线的垂线AA1、BB1与PP1，垂足A1、B1、P1，则|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|＝2|PP1|＝2[1－(－3)]＝8.三、解答题15．(文)若椭圆C1：＋＝1(0<b<2)的离心率等于，抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点在椭圆C1的顶点上．(1)求抛物线C2的方程；(2)若过M(－1,0)的直线l 与抛物线C2交于E 、F 两点，又过E 、F 作抛物线C2的切线l1、l2，当l1⊥l2时，求直线l 的方程．[解析](1)已知椭圆的长半轴长为a ＝2，半焦距c ＝，由离心率e ＝＝＝得，b2＝1.∴椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)，∴p ＝2，抛物线的方程为x2＝4y.(2)由题知直线l 的斜率存在且不为零，则可设直线l 的方程为y ＝k(x ＋1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)， ∵y ＝x2，∴y ′＝x ，∴切线l1，l2的斜率分别为x1，x2，当l1⊥l2时，x1·x 2＝－1，即x1·x 2＝－4，由得：x2－4kx －4k ＝0，由Δ＝(－4k)2－4×(－4k)>0，解得k<－1或k>0.又x1·x 2＝－4k ＝－4，得k ＝1. ∴直线l 的方程为x －y ＋1＝0.(理)在△ABC 中，⊥，＝(0，－2)，点M 在y 轴上且＝(＋)，点C 在x 轴上移动．(1)求B 点的轨迹E 的方程；(2)过点F 的直线l 交轨迹E 于H 、E 两点，(H 在F 、G 之间)，若＝，求直线l的方程．[解析](1)设B(x ，y)，C(x0,0)，M(0，y0)，x0≠0，∵⊥，∴∠ACB ＝，∴·＝－1，于是x02＝2y0①M 在y 轴上且＝(＋)，所以M 是BC 的中点，可得⎩⎪⎨⎪⎧x0＋x2＝0y ＋02＝y0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x0＝－x ②y0＝y2 ③把②③代入①，得y ＝x2(x ≠0)，所以，点B 的轨迹E 的方程为y ＝x2(x ≠0)．(2)点F ，设满足条件的直线l 方程为：y ＝kx －，H(x1，y1)，G(x2，y2)，由消去y 得，x2－kx ＋＝0.Δ＝k2－1>0⇒k2>1，∵＝，即＝(x2－x1，y2－y1)，∴x1＝x2－x1⇒3x1＝x2.∵x1＋x2＝k ，x1x2＝，∴k ＝±，故满足条件的直线有两条，方程为：8x＋4y＋＝0和8x－4y－＝0. 16．(文)已知P(x，y)为平面上的动点且x≥0，若P到y轴的距离比到点(1,0)的距离小1.(1)求点P的轨迹C的方程；(2)设过点M(m,0)的直线交曲线C于A、B两点，问是否存在这样的实数m，使得以线段AB为直径的圆恒过原点．[解析](1)由题意得：－x＝1，化简得：y2＝4x(x≥0)．∴点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)．(2)设直线AB为y＝k(x－m)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，得ky2－4y－4km＝0，∴y1＋y2＝，y1·y2＝－4m.∴x1·x2＝m2，∵以线段AB为直径的圆恒过原点，∴OA⊥OB，∴x1·x2＋y1·y2＝0.即m2－4m＝0⇒m＝0或4.当k不存在时，m＝0或4.∴存在m＝0或4，使得以线段AB为直径的圆恒过原点．[点评](1)点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1，即点P到定点F(1,0)的距离与到定直线l：x＝－1的距离相等．∴P点轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，∴p＝2，∴方程为y2＝4x. (理)已知抛物线y2＝4x，过点(0，－2)的直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点．(1)若·＝4，求直线AB的方程．(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点(n,0)，求n的取值范围．[解析](1)设直线AB的方程为y＝kx－2(k≠0)，代入y2＝4x中得，k2x2－(4k＋4)x＋4＝0①设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.y1y2＝(kx1－2)·(kx2－2)＝k2x1x2－2k(x1＋x2)＋4＝－.∵·＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝－＝4，∴k2＋2k－1＝0，解得k＝－1±.又由方程①的判别式Δ＝(4k ＋4)2－16k2＝32k ＋16>0得k>－，∴k ＝－1＋，∴直线AB 的方程为(－1)x －y －2＝0.(2)设线段AB 的中点的坐标为(x0，y0)，则由(1)知x0＝＝，y0＝kx0－2＝，∴线段AB 的垂直平分线的方程是y －＝－.令y ＝0，得n ＝2＋＝＋＋2＝22＋.又由k>－且k ≠0得<－2，或>0，∴n>22＋＝2.∴n 的取值范围为(2，＋∞)．17．(文)(2010·全国Ⅰ)已知抛物线C ：y2＝4x 的焦点为F ，过点K(－1,0)的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D.(1)证明：点F 在直线BD 上；(2)设·＝，求△BDK 的内切圆M 的方程．[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x1，－y1)，l 的方程为x ＝my －1(m ≠0)(1)将x ＝my －1(m ≠0)代入y2＝4x 并整理得y2－4my ＋4＝0，从而y1＋y2＝4m ，y1y2＝4①直线BD 的方程为y －y2＝(x －x2)即y －y2＝4y2－y1⎝⎛⎭⎪⎫x －y224令y ＝0，得x ＝＝1，所以点F(1,0)在直线BD 上．(2)由(1)知，x1＋x2＝(my1－1)＋(my2－1)＝4m2－2，x1x2＝(my1－1)(my2－1)＝1因为＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，·＝(x1－1，y1)·(x 2－1，y2)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋4＝8－4m2， 故8－4m2＝，解得m ＝±，直线l 的方程为3x ＋4y ＋3＝0,3x －4y ＋3＝0.从而y2－y1＝±＝±，故＝±37因而直线BD的方程为3x＋y－3＝0,3x－y－3＝0.因为KF为∠BKD的角平分线，故可设圆心M(t,0)，(－1<t<1)，M(t,0)到直线l及BD的距离分别为，，由＝得t＝或t＝9(舍去)，故圆M的半径为r＝＝，所以圆M的方程为2＋y2＝. (理)(2010·揭阳市模考)已知点C(1,0)，点A、B是⊙O：x2＋y2＝9上任意两个不同的点，且满足·＝0，设P为弦AB的中点．(1)求点P的轨迹T的方程；(2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x＝－1的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．[解析](1)法一：连结CP，由·＝0知，AC⊥BC，∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝|AB|，由垂径定理知|OP|2＋|AP|2＝|OA|2，即|OP|2＋|CP|2＝9，设点P(x，y)，有(x2＋y2)＋[(x－1)2＋y2]＝9，化简得，x2－x＋y2＝4.法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，根据题意知，x12＋y12＝9，x22＋y22＝9,2x＝x1＋x2,2y＝y1＋y2，∴4x2＝x12＋2x1x2＋x22,4y2＝y12＋2y1y2＋y22故4x2＋4y2＝(x12＋y12)＋(2x1x2＋2y1y2)＋(x22＋y22)＝18＋2(x1x2＋y1y2)①又∵·＝0，∴(1－x1，－y1)·(1－x2，－y2)＝0∴(1－x1)×(1－x2)＋y1y2＝0，故x1x2＋y1y2＝(x1＋x2)－1＝2x－1，代入①式得，4x2＋4y2＝18＋2(2x－1)，化简得，x2－x＋y2＝4. (2)根据抛物线的定义，到直线x＝－1的距离等于到点C(1,0)的距离的点都在抛物线y2＝2px上，其中＝1，∴p＝2，故抛物线方程为y2＝4x，由方程组得，x2＋3x－4＝0，解得x1＝1，x2＝－4，由于x≥0，故取x＝1，此时y＝±2，故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1,2)．。
高考数学压轴专题人教版备战高考《数列》知识点总复习含答案
高中数学《数列》知识点归纳一、选择题1．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2611203a a a a --+=，则21S 的值为（ ）A ．63B ．21C ．63-D ．21【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列性质，原式可变为()220616113()a a a a a +-+-=，即可求得21112163S a ==-.【详解】∵261116203a a a a a ---+=， ∴()220616113()a a a a a +-+-=， ∴113a =-，∴21112163S a ==-， 故选：C ． 【点睛】此题考查等差数列性质和求和公式，需要熟练掌握等差数列基本性质，根据性质求和.2．已知等差数列{}n a 中，若311,a a 是方程2210x x --=的两根，单调递减数列{}()*n b n N ∈通项公式为27n b n a n λ=+.则实数λ的取值范围是（ ）A ．(),3-∞-B ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．()3,-+∞【答案】B 【解析】 【分析】先求出71a =，再根据{}n b 是递减数列，得到121n λ<-+对*n N ∈恒成立，即得解. 【详解】∵311,a a 是方程220x x --=的两根，∴3112a a +=. ∵{}n a 是等差数列，∴311722a a a +==，∴71a =，∴2n b n n λ=+，又∵{}n b 是递减数列，∴10n n b b +-<对*n N ∈恒成立， 则()()()22110n n nn λλ+++-+<，∴()2110n λ++<，∴121n λ<-+对*n N ∈恒成立，∴13λ<-.故选：B. 【点睛】本题主要考查等差中项的应用，考查数列的单调性和数列不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．设等比数列{}n a 的前n 项和记为n S ,若105:1:2S S =,则155:S S =( ) A ．34B ．23C ．12D ．13【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列前n 项和的性质求解可得所求结果． 【详解】∵数列{}n a 为等比数列，且其前n 项和记为n S ， ∴51051510,,S S S S S --成等比数列． ∵105:1:2S S =，即1051 2S S =， ∴等比数列51051510,,S S S S S --的公比为105512S S S -=-， ∴()1510105511 24S S S S S -=--=， ∴15510513 44S S S S =+=， ∴1553:4S S =． 故选A ． 【点睛】在等比数列{}n a 中，其前n 项和记为n S ，若公比1q ≠，则233,,,k k k k k S S S S S --L 成等比数列，即等比数列中依次取k 项的和仍为等比数列，利用此性质解题时可简化运算，提高解题的效率．4．数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．即：21n n n a a a ++=+.记该数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（ ）A ．201920202S a =+B ．201920212S a =+C ．201920201S a =-D ．201920211S a =-【答案】D 【解析】 【分析】根据递推关系利用裂项相消法探求和项与通项关系，即得结果. 【详解】 因为1233243546521()()()()()n n n n S a a a a a a a a a a a a a a ++=++++=-+-+-+-+-L L 2221n n a a a ++=-=-，所以201920211S a =-，选D. 【点睛】本题考查裂项相消法，考查基本分析判断能力，属中档题.5．元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题：今有银一秤一斤十两（1秤15=斤，1斤16=两），令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何？其意思是：现有银一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半．若银的数量不变，按此法将银依次分给7个人，则得银最少的一个人得银（ ） A ．9两 B ．266127两 C ．26663两 D ．250127两 【答案】B 【解析】 【分析】先计算出银的质量为266两，设分银最少的为a 两，由题意可知7人的分银量构成首项为a ，公比为2的等比数列，利用等比数列的求和公式可求得a 的值.【详解】共有银161610266⨯+=两，设分银最少的为a 两，则7人的分银量构成首项为a ，公比为2的等比数列， 故有()71226612a -=-，所以266127a =， 故选：B ． 【点睛】本题以元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提出的问题为背景，贴近生活，考查了等比数列的求和问题，本题注重考查考生的阅读理解能力、提取信息能力、数学建模能力以及通过计算解决问题的能力，属中等题．6．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2019这2019个数中，能被3除余2且被5整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列所有项中，中间项的值为（ ） A ．992 B ．1022C ．1007D ．1037【答案】C 【解析】 【分析】首先将题目转化为2n a -即是3的倍数，也是5的倍数，也即是15的倍数.再写出{}n a 的通项公式，算其中间项即可. 【详解】将题目转化为2n a -即是3的倍数，也是5的倍数，也即是15的倍数. 即215(1)n a n -=-，1513n a n =-当135n =，135151351320122019a =⨯-=<， 当136n =，136151361320272019a =⨯-=>， 故1,2,n =……，135数列共有135项．因此数列中间项为第68项，681568131007a =⨯-=. 故答案为：C ． 【点睛】本题主要考查数列模型在实际问题中的应用，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.7．数列{}n a 满足12a =，对于任意的*n N ∈，111n na a +=-，则2018a =（ ） A ．-1 B ．12C ．2D ．3【答案】A 【解析】 【分析】先通过递推公式111n na a +=-，找出此周期数列的周期，再计算2018a 的值. 【详解】111n na a +=-Q ，2111111111n n n na a a a ++∴===----， 32111111n nn n a a a a ++∴===-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故有3n n a a +=，则20183672221111a a a a ⨯+====-- 故选：A 【点睛】本题考查根据数列递推公式求数列各项的值，属于中档题.8．设数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=，76a =.则这个数列的前7项和等于（ ） A ．12 B ．21C ．24D ．36【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质可得3a ，由等差数列求和公式可得结果. 【详解】因为数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=， 所以336a =，即32a =， 又76a =， 所以73173a a d -==-，1320a a d =-=， 故1777()212a a S +== 故选：B 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，性质，等差数列的和，属于中档题.9．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则小满日影长为（ ） A ．1.5尺 B ．2.5尺C ．3.5尺D ．4.5尺【答案】C 【解析】 【分析】结合题意将其转化为数列问题,并利用等差数列通项公式和前n 项和公式列方程组,求出首项和公差,由此能求出结果. 【详解】解:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列{}n a ,冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺,前九个节气日影长之和为85.5尺,∴()()111913631.598985.52a a d a d S a d ⎧++++=⎪⎨⨯=+=⎪⎩, 解得113.5a =,1d =-,∴小满日影长为1113.510(1) 3.5a =+⨯-=（尺）. 故选C . 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式,以及等差数列通项公式的运算等基础知识,掌握各公式并能熟练运用公式求解,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,属于基础题.10．已知等比数列{a n }，a n ＞0，a 1=256，S 3=448，T n 为数列{a n }的前n 项乘积，则当T n 取得最大值时，n =（ ） A ．8 B ．9C ．8或9D ．8.5【答案】C 【解析】 【分析】设等比数列{a n }的公比为q ，由a n ＞0，可得q ＞0．根据a 1＝256，S 3＝448，可得256（1+q +q 2）＝448，解得q ．可得a n ，T n ，利用二次函数的单调性即可得出． 【详解】设等比数列{a n }的公比为q ，∵a n ＞0，∴q ＞0． ∵a 1＝256，S 3＝448， ∴256（1+q +q 2）＝448， 解得q 12=． ∴a n ＝25611()2n -⨯=29﹣n ．T n ＝28•27•……•29﹣n＝28+7+…+9﹣n()217289[)89242222n n n ⎛⎤--- ⎥+-⎝⎦==．∴当n ＝8或9时，T n 取得最大值时， 故选C ． 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式及其性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．设{a n }为等比数列，{b n }为等差数列，且S n 为数列{b n }的前n 项和.若a 2＝1，a 10＝16且a 6＝b 6，则S 11＝（ ） A ．20 B ．30C ．44D ．88【答案】C【解析】 【分析】设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2＝1，a 10＝16列式求得q 2，进一步求出a 6，可得b 6，再由等差数列的前n 项和公式求解S 11. 【详解】设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2＝1，a 10＝16， 得810216a q a ==，得q 2＝2. ∴4624a a q ==，即a 6＝b 6＝4，又S n 为等差数列{b n }的前n 项和， ∴()1111161111442b b S b+⨯===.故选：C. 【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及性质，训练了等差数列前n 项和的求法，是中档题.12．已知单调递增的等比数列{}n a 中，2616a a ⋅=，3510a a +=，则数列{}n a 的前n 项和n S =（ ）A ．2124n -- B ．1122n -- C ．21n - D ．122n +-【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质，可得到35,a a 是方程210160x x -+=的实数根，求得1,a q ，再结合等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】由题意，等比数列{}n a 中，2616a a ⋅=，3510a a +=， 根据等比数列的性质，可得3516a a ⋅=，3510a a +=，所以35,a a 是方程210160x x -+=的实数根，解得352,8a a ==或358,2a a ==， 又因为等比数列{}n a 为单调递增数列，所以352,8a a ==， 设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为(1)q q >可得214128a q a q ⎧=⎨=⎩，解得11,22a q ==，所以数列{}n a 的前n 项和11(12)122122n n n S --==--. 故选：B . 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的基本量的运算，以及等比数列的前n 项和公式的应用，着重考查了推理与运算能力.13．在数列{}n a 中，()111,1nn n a a a n +==++-，则2018a 的值为（ ）A ．2017⨯1008B ．2017⨯1009C ．2018⨯1008D ．2018⨯1009【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件()nn 1n a a n 1+-=+-,利用累加法并结合等差数列的前n 项和公式即可得到答案. 【详解】()nn 1n a a n 1+-=+-,()()20182017201720162016201520152014a a 20171,a a 20161,a a 20151,a a 20141,-=+--=+-=+--=+⋅⋅⋅32a a 21-=+,()21a a 11,-=+-将以上式子相加得20181a a 20172016-=++⋅⋅⋅+2， 即2018a 20172016=++⋅⋅⋅+2+1=2017(12017)201710092+=⨯，故选：B. 【点睛】本题考查数列递推关系式的应用和累加法求和，考查等差数列前n 项和公式的应用.14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23109a a a ++=，则9S =（ ） A ．3 B ．9C ．18D ．27【答案】D 【解析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d . ∵23109a a a ++=∴13129a d +=，即143a d += ∴53a =∴1999()272a a S ⨯+== 故选D.15．对于实数,[]x x 表示不超过x 的最大整数.已知正项数列{}n a 满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和，则[][][]1240S S S +++=L （ ）A ．135B ．141C ．149D ．155【答案】D 【解析】 【分析】利用已知数列的前n 项和求其n S 得通项，再求[]n S 【详解】解：由于正项数列{}n a 满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈，所以当1n =时，得11a =，当2n ≥时，111111[()]22n n n n n n n S a S S a S S --⎛⎫=+=-+⎪-⎝⎭ 所以111n n n n S S S S ---=-，所以2=n S n ，因为各项为正项，所以=n S因为[][][]1234851,1,[]1,[][]2S S S S S S =======L ,[]05911[][]3S S S ====L ,[]161724[][]4S S S ====L ,[]252635[][]5S S S ====L , []363740[][]6S S S ====L .所以[][][]1240S S S +++=L 13+25+37+49+511+65=155⨯⨯⨯⨯⨯⨯， 故选：D 【点睛】此题考查了数列的已知前n 项和求通项，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题.16．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1313,,a a a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则263n n S a ++的最小值为（ ）A ．4B ．3C．2D ．2【答案】D 【解析】 【分析】由题意得2(12)112d d +=+，求出公差d 的值，得到数列{}n a 的通项公式，前n 项和，从而可得263n n S a ++，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．【详解】解：11a =Q ，1a 、3a 、13a 成等比数列，2(12)112d d ∴+=+． 得2d =或0d =（舍去），21n a n ∴=-，2(121)2n n n S n +-∴==， ∴()()22211426263322112n n n n S n n a n n n ++++++===+-+++． 令1t n =+，则2642223n n S t a t +=+-≥=+ 当且仅当2t =，即1n =时，∴263n n S a ++的最小值为2．故选：D ． 【点睛】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．17．等差数列{}n a 中，1599a a a ++=，它的前21项的平均值是15，现从中抽走1项，余下的20项的平均值仍然是15，则抽走的项是( ) A ．11a B ．12aC ．13aD ．14a【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列的性质可知5113,15a a ==，再根据前21项的均值和抽取一项后的均值可知抽取的一项的大小为15，故可确定抽走的是哪一项. 【详解】因为1952a a a +=，所以539a =即53a =. 有211521S =得1115a =，设抽去一项后余下的项的和为S ，则2015300S =⨯=，故抽取的一项的大小为11， 所以抽走的项为11a ，故选A.【点睛】一般地，如果{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则有性质：（1）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，则m n p q a a a a +=+；（2）()1,1,2,,2k n k n n a a S k n +-+==L 且()2121n n S n a -=- ； （3）2n S An Bn =+且n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （4）232,,,n n n n n S S S S S --L 为等差数列.18．在一个数列中，如果*n N ∀∈，都有12n n n a a a k ++=（k 为常数），那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积.已知数列{}n a 是等积数列，且11a =，22a =，公积为8，则122020a a a ++⋅⋅⋅+=（ ）A ．4711B ．4712C ．4713D ．4715 【答案】B【解析】【分析】计算出3a 的值，推导出()3n n a a n N*+=∈，再由202036731=⨯+，结合数列的周期性可求得数列{}n a 的前2020项和.【详解】由题意可知128n n n a a a ++=，则对任意的n *∈N ，0n a ≠，则1238a a a =，31284a a a ∴==， 由128n n n a a a ++=，得1238n n n a a a +++=，12123n n n n n n a a a a a a +++++∴=，3n n a a +∴=， 202036731=⨯+Q ，因此，()1220201231673673714712a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+++=⨯+=.故选：B.【点睛】本题考查数列求和，考查了数列的新定义，推导出数列的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.19．根据下面的程序框图，输出的S 的值为（ ）A ．1007B ．1009C ．0D ．-1【答案】A【解析】【分析】 按照程序框图模拟运行即可得解.【详解】1i =，1112x ==--，0(1)1S =+-=-；2i =，111(1)2x ==--， 11122S =-+=-；3i =，12112x ==-， 13222S =-+=；4i =，1112x ==--， 31(1)22S =+-=，…， 由此可知，运行程序过程中，x 呈周期性变化，且周期为3， 所以输出112672110072S ⎛⎫=-++⨯-= ⎪⎝⎭. 故选A【点睛】本题主要考查程序框图和数列的周期性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20．《九章算术·均输》中有如下问题：“今有五人分十钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分10钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ）A．43钱B．73钱C．83钱D．103钱【答案】C【解析】【分析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，由题意求得a ＝﹣6d，结合a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d＝5a＝10求得a＝2，则答案可求．【详解】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，则由题意可知，a﹣2d+a﹣d＝a+a+d+a+2d，即a＝﹣6d，又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d＝5a＝10，∴a＝2，则a﹣2d＝a48 333aa+==．故选：C．【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查实际应用，正确设出等差数列是计算关键，是基础的计算题．。
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人教版高中数学总复习题总结(有答案)高考必备及参考答案(附参考答案)第一章 集合与函数概念一、选择题1．设全集U ＝{(x ，y)| x ∈R ，y ∈R}，集合M ＝，⎭⎬⎫⎩⎨⎧1＝2－3－|),(x y y x P ＝{(x ，y)| y ≠x ＋1}，那么CU(M ∪P)等于( )．A ．B ．{(2，3)}∅C ．(2，3)D ．{(x ，y)| y ＝x ＋1} 2．若A ＝{a ，b}，BA ，则集合B 中元素的个数是( )．⊆ A ．0 B ．1 C ．2 D ．0或1或2 3．函数y ＝f(x)的图象与直线x ＝1的公共点数目是( )． A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．1或24．设函数f(x)＝2x ＋3，g(x ＋2)＝f(x)，则g(x)的表达式是( )． A ．2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3 D ．2x ＋7 5. 已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx ＋d 的图象如图所示，则( )．A ．b ∈(－∞，0)B ．b ∈(0，1)C ．b ∈(1，2)D ．b ∈(2，＋∞) 6．设函数f(x)＝， 若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x 的方程f(x)＝x 的解的个数为( )．⎩⎨⎧00＋＋2 x c x c bx x ，，≤A ．1B ．2C ．3D ．47．设集合A ＝{x | 0≤x ≤6}，B ＝{y | 0≤y ≤2}，下列从A 到B 的对应法则f 不是映射的是( )．A ．f:x →y ＝xB ．f:x →y ＝xC ．f:x →y ＝xD ．f:x →y ＝x213141618．有下面四个命题：①偶函数的图象一定与y 轴相交； ②奇函数的图象一定通过原点； ③偶函数的图象关于y 轴对称；④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x ∈R)． 其中正确命题的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4 9．函数y ＝x2－6x ＋10在区间(2，4)上是( )． A ．递减函数 B ．递增函数 C ．先递减再递增 D ．先递增再递减10．二次函数y ＝x2＋bx ＋c 的图象的对称轴是x ＝2，则有( )． A ．f(1)＜f(2)＜f(4) B ．f(2)＜f(1)＜f(4) C ．f(2)＜f(4)＜f(1) D ．f(4)＜f(2)＜f(1)(第5题)＞二、填空题11．集合{3，x ，x2－2x}中，x 应满足的条件是．12．若集合A ＝{x | x2＋(a －1)x ＋b ＝0}中，仅有一个元素a ，则a ＝___，b ＝___．13．建造一个容积为8 m3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为元．14．已知f(x ＋1)＝x2－2x ，则f(x)＝；f(x －2)＝． 15．y ＝(2a －1)x ＋5是减函数，求a 的取值范围．16．设f(x)是R 上的奇函数，且当x ∈［0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋x3)，那么当x ∈(－∞，0］时，f(x)＝．三、解答题17．已知集合A ＝{x ∈R| ax2－3x ＋2＝0}，其中a 为常数，且a ∈R ． ①若A 是空集，求a 的范围；②若A 中只有一个元素，求a 的值；③若A 中至多只有一个元素，求a 的范围．18．已知M ＝{2，a ，b}，N ＝{2a ，2，b2}，且M ＝N ，求a ，b 的值． 19．证明f(x)＝x3在R 上是增函数． 20．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝3x4＋；(2)f(x)＝(x －1)；21x x x －＋11(3)f(x)＝＋；(4)f(x)＝＋．1－x x－112－x 21x －第一章 集合与函数概念参考答案一、选择题 1．B解析：集合M 是由直线y ＝x ＋1上除去点(2，3)之后，其余点组成的集合．集合P 是坐标平面上不在直线y ＝x ＋1上的点组成的集合，那么MP 就是坐标平面上不含点(2，3)的所有点组成的集合．因此CU(MP)就是点(2，3)的集合．CU(MP)＝{(2，3)}．故选B ． 2．D解析：∵A 的子集有，{a}，{b}，{a ，b}．∴集合B 可能是，{a}，{b}，{a ，b}中的某一个，∴选D ．∅∅3．C 解析：由函数的定义知，函数y ＝f(x)的图象与直线x ＝1是有可能没有交点的，如果有交点，那么对于x ＝1仅有一个函数值．4．B解析：∵g(x ＋2)＝2x ＋3＝2(x ＋2)－1，∴g(x)＝2x －1．5．A解析：要善于从函数的图象中分析出函数的特点． 解法1：设f(x)＝ax(x －1)(x －2)＝ax3－3ax2＋2ax ，比较系数得b ＝－3a ，c ＝2a ，d ＝0．由f(x)的图象可以知道f(3)＞0，所以f(3)＝3a(3－1)(3－2)＝6a ＞0，即a ＞0，所以b＜0．所以正确答案为A ．解法2：分别将x ＝0，x ＝1，x ＝2代入f(x)＝ax3＋bx2＋cx ＋d 中，求得d ＝0，a ＝－b ，c ＝－b. ∴f(x)＝b(－x3＋x2－x)＝－［(x －)2－］．313231323bx 2341由函数图象可知，当x ∈(－∞，0)时，f(x)＜0，又［(x －)2－］＞0，∴b ＜0．2341x ∈(0，1)时，f(x)＞0，又［(x －)2－］＞0，∴b ＜0．2341x ∈(1，2)时，f(x)＜0，又［(x －)2－］＜0，∴b ＜0．2341x ∈(2，＋∞)时，f(x)＞0，又［(x －)2－］＞0，∴b ＜0．2341故b ∈(－∞，0)． 6．C解：由f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，得，∴ ．22422b b c ⎧-=-⎪⎨⎪-+=-⎩42b c =⎧⎨=⎩ ∴f(x)=⎩⎨⎧)0 ( 2)0 (2＋4＋2x ，x ，x x 由 得x ＝－1或x＝－2；由 得x ＝2．⎩⎨⎧ 综上，方程f(x)＝x 的解的个数是3个． 7．A解：在集合A 中取元素6，在f ：x →y ＝x 作用下应得象3，但3不在集合B ＝21｛y ｜0≤y ≤2｝中，所以答案选A ．8．A提示：①不对；②不对，因为偶函数或奇函数的定义域可能不包含0；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数还可以为f(x)＝0，x ∈(－a ，a)．所以答案选A ．9．C解析：本题可以作出函数y ＝x2－6x ＋10的图象，根据图象可知函数在(2，4)上是先递减再递增．答案选C ．10．B解析：∵对称轴 x ＝2，∴f(1)＝f(3). ∵y 在〔2，＋∞〕上单调递增， ∴f(4)＞f(3)＞f(2)，于是 f(2)＜f(1)＜f(4)． ∴答案选B ．x ＞0 x ＝2≤ ＞x ≤0x 2＋4x ＋2＝x (第5题)二、填空题11．x ≠3且x ≠0且x ≠－1．解析：根据构成集合的元素的互异性，x 满足⎪⎩⎪⎨⎧解得x ≠3且x ≠0且x ≠－1． 12．a ＝，b ＝．3191解析：由题意知，方程x2＋(a －1)x ＋b ＝0的两根相等且x ＝a ，则△＝(a －1)2－4b ＝0①，将x ＝a 代入原方程得a2＋(a －1)a ＋b ＝0 ②，由①②解得a ＝，b ＝．319113．1 760元．解析：设水池底面的长为x m ，水池的总造价为y 元，由已知得水池底面面积为4 m2.，水池底面的宽为m ．x4池底的造价 y1＝120×4＝480．池壁的造价 y2＝(2×2x ＋2×2×)×80＝(4x ＋)×80．x 4x16水池的总造价为 y ＝y1＋y2＝480＋(4x ＋)×80，x16 即 y ＝480＋320(x ＋)x4＝480＋320．⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛4＋22x －x 当 ＝， 即x ＝2时，y 有最小值为 480＋320×4=1 760元．xx214．f(x)＝x2－4x ＋3，f(x －2)＝x2－8x ＋15．解析：令x ＋1＝t ，则x ＝t －1，因此f(t)＝(t －1)2－2(t －1)＝t2－4t ＋3，即f(x)＝x2－4x ＋3．∴f(x －2)＝(x －2)2－4(x －2)＋3＝x2－8x ＋15．15．(－∞，)．21解析：由y =(2a －1)x ＋5是减函数，知2a －1＜0，a ＜．2116．x(1－x3)．解析：任取x ∈(－∞，0］， 有－x ∈［0，＋∞)， ∴f(－x)＝－x ［1＋(－x)3］＝－x(1－x3)，∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x). ∴f(x)＝－f(－x)＝x(1－x3)， 即当x ∈(－∞，0］时，f(x)的表达式为x(1－x3)．三、解答题17．解：①∵A 是空集，∴方程ax2－3x ＋2＝0无实数根．∴解得a ＞．⎩⎨⎧∆，a a 08－9＝,089②∵A 中只有一个元素，x ≠3， x 2－2x ≠3， x 2－2x ≠x ． ≠ ＜∴方程ax2－3x ＋2＝0只有一个实数根．当a ＝0时，方程化为－3x ＋2＝0，只有一个实数根x ＝；32当a ≠0时，令Δ＝9－8a ＝0，得a ＝，这时一元二次方程ax2－3x ＋2＝0有两个相等的实数根，即A 中只有一个元素．89由以上可知a ＝0，或a ＝时，A 中只有一个元素．89③若A 中至多只有一个元素，则包括两种情形：A 中有且仅有一个元素；A 是空集．由①②的结果可得a ＝0，或a ≥．8918．解：根据集合中元素的互异性，有 解得 或 或再根据集合中元素的互异性，得 或19．证明：设x1，x2∈R 且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝(x1－x2)(＋x1x2＋)．31x 32x 21x 22x又＋x1x2＋＝(x1＋x2)2＋．21x 22x 214322x 由x1＜x2得x1－x2＜0，且x1＋x2与x2不会同时为0，21 否则x1＝x2＝0与x1＜x2矛盾， 所以 ＋x1x2＋＞0．21x 22x因此f(x1)－ f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，f(x)＝x3 在 R 上是增函数．20．解：(1)∵ 函数定义域为{x | x ∈R ，且x ≠0}，f(－x)＝3(－x)4＋＝3x4＋＝f(x)，∴f(x)＝3x4＋是偶函数．21）（－x 21x 21x(2)由≥0 解得－1≤x ＜1．x x －＋11⇔⎩⎨⎧≠01－－1＋1x x x ))(( ∴ 函数定义域为x ∈［－1，1)，不关于原点对称，∴f(x)＝(x －1)为非奇非偶函数．xx－11＋(3)f(x)＝＋定义域为x ＝1，1－x x －1∴ 函数为f(x)＝0(x ＝1)，定义域不关于原点对称， ∴f(x)＝＋为非奇非偶函数．1－x x －1 (4)f(x)＝＋定义域为 Þx ∈{±1}，1－2x 2－1x 0≥ －10≥1－22x x∴函数变形为f(x)＝0 (x ＝±1)，∴f(x)=＋既是奇函数又是偶函数．1－2x 2－1x高一数学必修1一、选择题：（每小题5分，共30分）。