解题方法及提分突破训练：韦达定理及应用专题

解题方法及提分突破训练：韦达定理及应用专题

韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃。人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。

历史上流传着一个有关韦达的趣事：有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战。国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得出一正数解，回去后很快又得出了另外的22个正数解（他舍弃了另外的22个负数解）。消息传开，数学界为之震惊。同时，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来。

韦达研究了方程根与系数的关系，在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达定理。你能利用韦达定理解决下面的问题吗？

一 真题链接

1.（2012•兰州）若x1、x2是关于一元二次方程ax2+bx+c （a≠0）的两个根，则方程的两个

根x1、x2和系数a 、b 、c 有如下关系：x1+x2=-a b x1•x2=a c

把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）的图象与x 轴的两个交点为A （x1，0），B （x2，0）．利用根与系数关系定理可以得到A 、B 连个交点间的距离为：

参考以上定理和结论，解答下列问题：

设二次函数y=ax2+bx+c （a ＞0）的图象与x 轴的两个交点A （x1，0），B （x2，0），抛物线的顶点为C ，显然△ABC 为等腰三角形．

（1）当△ABC 为直角三角形时，求b2-4ac 的值； （2）当△ABC 为等边三角形时，求b2-4ac 的值．

2.（2010•娄底）阅读材料：

若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：

根据上述材料填空：

已知x1，x2是方程x2+4x+2=0的两个实数根，则

3.已知关于x 的方程x2+2（a-1）x+a2-7a-b+12=0有两个相等的实数根，且满足2a-b=0． ①利用根与系数的关系判断这两根的正负情况．

②若将y=x2+2（a-1）x+a2-7a-b+12图象沿对称轴向下移动3个单位，写出顶点坐标和对称轴方程．

4.设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：

根据该材料填空：若关于x 的一元二次方程x2+kx+4k2-3=0的两个实数根分别是x1，x2，且满足x1+x2=x1•x2．则k 的值为

二 名词释义

一元二次方程ax2+bx+c=0（a 、b 、c 属于R ，a≠0）根的判别，△=b2-4ac ，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。

求代数式的值 求待定系数 一元二次 韦达定理 应用 构造方程

方程的求 解特殊的二元二次方程组 根公式 二次三项式的因式分解

根系关系的三大用处 （1）计算对称式的值

例 若12,x x 是方程2

220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：

(1) 22

12x x +；

(2)

12

11x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．

解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=-

(1) 2222

121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---=

(2)

1212121122

20072007

x x x x x x +-+===- (3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=- (4) 22212121212||()()4(2)4(2007)22008x x x x x x x x -=

-=+-=---=

说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：

222121212()2x x x x x x +=+-，

121212

11x x x x x x ++=，22

121212()()4x x x x x x -=+-， 2121212||()4x x x x x x -=+-，2212121212()x x x x x x x x +=+，

33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．

（2）构造新方程 理论：以两个数

为根的一元二次方程是

。

例 解方程组 x+y=5

Xy=6

解：显然，x ，y 是方程z 2

-5z+6＝0 ① 的两根 由方程①解得 z 1=2,z 2=3 ∴原方程组的解为 x 1=2,y 1=3

x 2=3,y 2=2 显然，此法比代入法要简单得多。 （3）定性判断字母系数的取值范围

例 一个三角形的两边长是方程的两根，第三边长为2，求k 的取值范围。

解：设此三角形的三边长分别为a 、b 、c ，且a 、b 为的两根，则c=2

由题意知

△＝k 2

-4×2×2≥0，k ≥4或k ≤-4

∴ 为所求。

三 典题示例

例1 已知关于x 的方程2

2

1(1)104

x k x k -++

+=，根据下列条件，分别求出k 的值． (1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．

分析：(1) 由韦达定理即可求之；(2) 有两种可能，一是120x x =>，二是12x x -=，所以要分类讨论．

解：(1) ∵方程两实根的积为5

∴ 2

22121[(1)]4(1)034,41215

4

k k k k x x k ⎧∆=-+-+≥⎪⎪⇒≥=±⎨

⎪=+=⎪⎩ 所以，当4k =时，方程两实根的积为5． (2) 由12||x x =得知：

①当10x ≥时，12x x =，所以方程有两相等实数根，故3

02

k ∆=⇒=； ②当10x <时，12120101x x x x k k -=⇒+=⇒+=⇒=-，由于

3

02

k ∆>⇒>

，故1k =-不合题意，舍去．

综上可得，3

2

k =

时，方程的两实根12,x x 满足12||x x =． 说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足0∆≥．

例2 已知12,x x 是一元二次方程2

4410kx kx k -++=的两个实数根．