解题方法及提分突破训练：韦达定理及应用专题
专题12 韦达定理及其应用(解析版)
专题12 韦达定理及其应用1.一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，acx x =21。
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
2.根与系数的关系的应用，主要有如下方面： （1）验根；（2）已知方程的一根，求另一根； （3）求某些代数式的值； （4）求作一个新方程。
【例题1】（2020•泸州）已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣4x ﹣7＝0的两个实数根，则x 12+4x 1x 2+x 22的值是 ． 【答案】2【分析】根据根与系数的关系求解． 【解析】根据题意得则x 1+x 2＝4，x 1x 2＝﹣7 所以，x 12+4x 1x 2+x 22＝（x 1+x 2）2+2x 1x 2＝16﹣14＝2【对点练习】（2019湖北仙桃）若方程x 2﹣2x ﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（ ） A ．12 B ．10 C ．4 D ．﹣4【答案】A【解析】∵方程x 2﹣2x ﹣4＝0的两个实数根为α，β，∴α+β＝2，αβ＝﹣4，∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝4+8＝12【例题2】（2020•江西）若关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，则这个一元二次方程的另一个根为．【答案】-2【分析】利用根与系数的关系可得出方程的两根之积为﹣2，结合方程的一个根为1，可求出方程的另一个根，此题得解．【解析】∵a＝1，b＝﹣k，c＝﹣2，=−2．∴x1•x2=ca∵关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，∴另一个根为﹣2÷1＝﹣2．【对点练习】已知方程的一个根是-1/2，求它的另一个根及b的值。
【答案】x1=3 b=-5【解析】设方程的另一根为x1，则由方程的根与系数关系得：解得：【点拨】含字母系数的一元二次方程中，若已知它的一个根，往往由韦达定理可求另一根，并确定字母系数的值。
数学解题方法谈9：韦达定理及应用
数学解题方法谈9：韦达定理及应用一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0(a≠0),当△≥0时，两根分别为x 1、x 2，则x 1＋x 2=－b a x 1·x 2=c a 常称作韦达定理。
反之以x 1、x 2为根的一元二次方程是: x 2＋(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2=0(亦须验证△≥0)一、构造一元二次方程解题：例1、已知a 、b 、c 是不等的实数，且a 2=5－3a b 2=5－3b 求a 3＋b 3的值.解：由已知⎩⎨⎧a 2＋3a －5=0 (1)b 2＋3b －5=0 (2) ∴a 、b 是方程m 2＋3m －5=0的两根由韦达定理可知a ＋b=－3 ab=－5a 3＋b 3=(a ＋b)3－3ab(a ＋b)=(－3)2－3×(－5) ×(－3)=－72例2、已知a 2＋2a －1=0 b 4＋2b 2－1=0且 1－ab 2≠0求⎝ ⎛⎭⎪⎫ab 2＋b 2＋1a 2006的值 解：∵a≠0 故由已知得: ⎩⎪⎨⎪⎧1a 2－2a －1=0 (1)(b 2)2－2b 2－1=0 (2)∴1a 和b 2是方程m 2－2m －1=0的两根由韦达定理知：1a ＋b 2=2 1a ×b 2=－1故⎝ ⎛⎭⎪⎫ab 2＋b 2＋1a 2006=⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋b 2a ＋1a =(2－1)2006=1例3、解方程2x 2－7x ＋1－2x 2－9x ＋4=1解：设y 1=2x 2－7x ＋1－2x 2－9x ＋4=1y 2=2x 2－7x ＋1＋2x 2－9x ＋4=1则y 1＋y 2=22x 2－7x ＋1 y 1y 2=2x －3∴则y 1、y 2是方程y 2－22x 2－7x ＋1＋2x －3=0的两根 ∵y 1=1 ∴1－22x 2－7x ＋1＋2x －3=0得2x 2－7x ＋1=x －1两边平方整理得：x 2－5x=0 ∴x 1=0 x 2=5经检验知x 1=0是增根, x 2=5是原方程的根.例4、解方程： x 2＋x －1－x 2－x ＋1=12解：用题上方法可得y 1＋y 2=2x 2＋x －1 y 1y 2=2x ∴y 1、y 2是方程y 2－22x 2＋x －1 ＋2x=0的两根 ∵y 1=12代入化简可得：x 2=516 ∴x=±54经检验知x=－54是增根x=54是原方程的根二、巧解一元二次方程一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)有一根是1的重要条件是a ＋b ＋c=0，反之a ＋b ＋c=0则方程有一个棂是1例1、解方程(7－43)x －7x ＋43=0)解：∵方程的各项系数的和是0，即7－43－7＋43=0∴x 1=1是方程的根∵x 1x 2=437＋43 ∴x 2=437＋43=48＋283 例2 、已知方程(b －c)x 2＋(C －a)X ＋(a －b)=0 有等根求证a ＋c=2b证明：∵(b －c)＋(C －a)＋(a －b)=0 ∴1是方程的根得 令x 1=1∵方程有等根， ∴x 1x 2=1即 a －b b －c=1 a －b=b －C 得证： a ＋c=2b 三、解一些综合性的题:例1、设关于x 的方程x 2－(2a ＋1)x ＋(a －3)=0的两实根为x 1、x 2，且x 1、x 2是一个Rt △的的两直角边，已知这个Rt △的斜边上的中线长为372，求实数a 的值.解: ∵ x 的方程x 2－(2a ＋1)x ＋(a －3)=0的两实根，为x 1＋x 2=2a ＋1，且x 1x 2=a －3又这个Rt △的斜边上的中线长为372，∴斜边长为37∴ x 12＋x 22=(37)2 ∴(x 1＋x 2)2－2x 1x 2=(37)2=63(2a ＋1) 2－(a －3)－63=0 整理得∶2a 2＋a －28=0∴ (2a －7) (a ＋4)=0 ∴a 1= 72 a 2=－4又 △= (2a ＋1) 2－4(a －3)=4a 2＋4a ＋1－4a ＋12=4a 2＋12＞0当a 1= 72时，x 1＋x 2=2a ＋1=2×72＋1=8＞0 x 1x 2=a －3=72－3=12＞0a 2=－4时，x 1＋x 2=2a ＋1=2×(－4)＋1=－7＜0x 1x 2=a －3=－4－3=－7＜0但x 1、x 2是一个Rt △的的两直角边，故x 1x 2＞0 ∴a=72 例2、已知∶x 1、x 2是一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1=0的两个实数根.(1)是否存在实数k ，使(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)=－32成立?若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由.(2)求使x 1x 2＋x 2x 1－2的值为整数的实数k 的整数k 的整数值.解∶(1) ∵一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1=0的两个实数根.则有k ≠0且△=(－4k) 2－4×4k(k ＋1)=16k ≥0 ∴k ＜0又x 1、x 2是一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1=0的两个实数根∴ x 1＋x 2=1 x 1·x 2=k ＋14k(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)=2(x 12＋x 22)－5x 1·x 2=2(x 1＋x 2)2－9x 1·x 2=－k ＋94k 要使(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)=－32 则－k ＋94k =－32 ∴k=95而k ＜0 ∴不存在实数k ，使(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)=－32成立(2) ∵ x 1x 2＋x 2x 1－2 = x 12＋x 22x 1·x 2－2=(x 1＋x 2)2x 1·x 2－4=4k k ＋1－4=－4k ＋1 ∴要使x 1x 2＋x 2x 1－2的值为整数，只须k ＋1能整除4，故k ＋1只能取±1、±2、±4∵k ＜0 ∴k ＋1＜1 ∴k 只能取－1，－2，－4，∴要使x 1x 2＋x 2x 1－2的值为整数，k 的取值为－2，－3，－5.(说明∶由于网络显示原因,个别要拉长的大中括号可能无法显示出来,只要下载了文档，文章就可完整显示.。
韦达定理经典例题及解题过程
韦达定理经典例题及解题过程摘要：一、韦达定理简介二、韦达定理经典例题1.例题一2.例题二3.例题三三、韦达定理解题过程1.确定韦达定理的应用条件2.分析题目中给出的方程3.应用韦达定理求解方程4.总结解题过程并得出答案正文：一、韦达定理简介韦达定理，又称Vieta 定理，是一元二次方程根与系数关系的定理。
它指出，对于一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0），其两个根x1 和x2 的和与积分别等于方程中一次项系数和常数项系数的相反数和倒数。
具体来说，韦达定理有以下两个公式：x1 + x2 = -b/ax1 * x2 = c/a二、韦达定理经典例题1.例题一题目：已知一元二次方程x-3x-4=0，求该方程的两个根。
2.例题二题目：已知一元二次方程2x-5x+3=0，求该方程的两个根。
3.例题三题目：已知一元二次方程x+2x-3=0，求该方程的两个根。
三、韦达定理解题过程假设我们有一个一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0），我们想要求出它的两个根x1 和x2。
1.确定韦达定理的应用条件首先，我们需要确保方程有两个实数根，即b-4ac≥0。
如果b-4ac<0，则方程没有实数根。
2.分析题目中给出的方程对于每一个例题，我们首先需要将方程写成标准形式ax+bx+c=0。
然后，我们可以根据韦达定理的公式x1 + x2 = -b/a和x1 * x2 = c/a来求解。
3.应用韦达定理求解方程对于每一个例题，我们分别代入方程的系数，计算出x1 和x2 的值。
4.总结解题过程并得出答案最后，我们将求得的x1 和x2 的值代入原方程，验证它们是否是方程的根。
如果是，我们便成功求解了该方程。
综上所述，韦达定理是一种非常有用的解一元二次方程的方法。
韦达定理的应用 讲义及练习
韦达定理的应用-教师版一.综述直线与圆锥曲线相交问题是解析几何综合题中最典型问题,主要考查二次方程韦达定理的应用.一般地解题的框架为:1、直线方程代入曲线方程,判别式保证有两解,准备好韦达定理; 2、主要目标分析,合理转化;3、韦达定理代入,整理求解. 二.例题精讲 破解规律例 1. 已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与 交于 ， 两点，设 ，证明：， ；分析:设直线 的方程为：，与抛物线联立得 ，利用韦达定理即可证得； 答案:见解析解析:设直线 的方程为：，联立方程化简得： ,易知 所以 ，而．点评:当直线恒过x 轴上的点时,可以考虑设直线方程为 这样联立方程消去x 比较容易.规律总结:直线与圆锥曲线相交问题,可以利用韦达定理设而不求来解决问题.要注意联立后的二次方程判别式是否为正.现学现用1: 椭圆离心率为， ， 是椭圆的左、右焦点，以 为圆心， 为半径的圆和以 为圆心、 为半径的圆的交点在椭圆 上. (1)求椭圆 的方程；(2)设椭圆 的下顶点为 ，直线与椭圆 交于两个不同的点 ，是否存在实数使得以 为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由. 解析：（1）由题知,解得，故,椭圆的方程为（2）由题意知 ，联立方程，整理得 ，（化简可得），①设，则，,设 中点为 ，>0∆(),0n由，知，所以点 的坐标为，因为 ，所以 ， 又直线 斜率均存在，所以 . 于是解得，即，将代入①，满足 ．故存在 使得以 为邻边的平行四边形可以是菱形，值为．例2. 已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点.（1）求双曲线的方程；（2）已知双曲线的左右焦点分别为，直线经过，倾斜角为， 与双曲线交于两点，求的面积.分析：第二问, 将直线方程代入曲线方程,化简后写出韦达定理,利用弦长公式求出弦长,点到直线距离求出高,进而得到面积.答案:（1）（2） 解析：（1）设所求双曲线方程为,代入点得，即 所以双曲线方程为，即. （2）.直线的方程为.设 联立得 满足 由弦长公式得点到直线的距离()2222:10,0x y C a b a b -=>>22162y x -=()2,3C C 12F F 、l 2F 34πl C ,A B 1F AB ∆2213y x -=1F AB S ∆=C 2262y x λ-=()2,3223262λ-=12λ=-C 221622y x -=-2213y x -=()()1220,20F F -，，AB ()2y x =--()()1122,,,A x y B x y ()222 13y x y x =---=⎧⎪⎨⎪⎩22470x x +-=0.∆>AB =6==()120F -，:20AB x y +-=d ==所以 点评:三角形面积问题,常转化为求弦长和点到直线距离.有些题目也可借助坐标轴将三角形分割.规律总结:圆锥曲线中的弦长、面积等问题,常将直线与圆锥曲线方程的联立,利用韦达定理和弦长公式来处理.现学现用2: 已知椭圆的中心在原点，焦点为 ， ， ， ，且长轴长为8． Ⅰ 求椭圆的方程；Ⅱ 直线 与椭圆相交于 ， 两点，求弦长 ．解析: Ⅰ 椭圆的中心在原点，焦点为 ， ， ， ， 且长轴长为 故要求的椭圆的方程为Ⅱ 把直线 代入椭圆的方程化简可得 ，，，弦长例3:已知双曲线的左右两个顶点是,,曲线上的动点关于轴对称，直线与交于点， （1）求动点的轨迹的方程；（2）点，轨迹上的点满足，求实数的取值范围.分析:（1）借助题设条件运用两个等式相乘建立等式；（2）依据题设条件运用直线与椭圆的位置关系建立二次方程，运用判别式及根与系数的关系建立不等式,从而求出范围答案:（1）；（2） . 解析:（1）由已知 ，设 则直线 ，直线， 两式相乘得，化简得，即动点的轨迹的方程为；(2)过的直线若斜率不存在则或3,设直线斜率存在，111622F AB S AB d ∆=⋅=⋅⋅=22:14x C y -=1A 2A C ,P Q x 1A P 2A Q M M D ()0,2E D ,A B EA EB λ=λ2214x y +=1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦()()122,0,2,0A A-.,P t Q t ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭)1:2A P y x =+)2:2A Q y x =-()22144y x -=-2214xy +=M D 2214x y +=()0,2E 13λ=k ()()1122,,,A x y B x y， 则 由（2）（4）解得代入（3）式得 ， 化简得，由（1）解得代入上式右端得，,解得, 综上实数的取值范围是. 规律总结:牵涉到共线线段的长度比,或三角形面积比问题,可以转化为坐标的比值,结合韦达定理消去坐标参数.也可以直接利用求根公式,结合坐标比值求解,现学现用3: 已知双曲线的离心率为2，右顶点为.（1）求双曲线的方程； （2）设直线与轴交于点，与双曲线的左、右支分别交于点，且，求的值.解析：（1）∵，∴ （2）设点横坐标为, 点横坐标为.平行线分线段成比例定理：联立： 得： ，()222221416120440y kx k x kx x y ⎧⎨⎩=+⇒+++=+-=()()()()122122120116214123144k x x k x x k x x λ∆≥+=-+=⎧⎪⎪⎨+=⎪⎪⎪⎪⎩12,x x ()2222161214141k k k λλ-⎛⎫⋅= ⎪++⎝⎭+()22314641k λλ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+0∆≥234k ≥()2311641λλ<≤+133λ<<1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>()1,0C y x m =-+y P C ,Q R 2PQ PR=m 2,1,2,e a c b ====22:13y C x -=Q Q x P P x 2Q Px PQ PRx ==22{33y x m x y =-+-=222230x mx m +--=，则或（舍）与实际情况不符故三.课堂练习 强化技巧1.已知椭圆过，且离心率为. （1）求椭圆的方程；（2）过右焦点的直线与椭圆交于两点， 点坐标为，求直线的斜率之和.【答案】（1）；（2）的斜率之和为2. 解析（Ⅰ）解：由已知得解之得，a =2，b，c =1.所以椭圆方程为:（Ⅱ）设，由(1)得，设直线的方程为与椭圆联立得 消去x 得， 所以①所以 ② 将①带入②,化简得:当直线斜率不存在时，A (1, －)，B (1, )，,P Qx =2QP x x ===21,1m m ==1m =-1m =2222:1(0)x y C a b a b +=>>31,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭12e =C F l ,A B D ()4,3,DA DB 22143x y +=,DA DB 222221911,,42c a b c a b a +===+22143x y +=()()1122,,,Ax y B x y ()1,0F l ()1y k x =-221{ 43x y y kx k+==-()222223484120k x k x k +-+-=221212228412,4343k k x x x x k k -+==++121212121233333333=2444444DA DB y y kx k kx k k k k k k x x x x x x --------+=+=+++------()()()1212121281=233=2334+1+14+6x x k k k k x x x x x x ⎛⎫-+-++- ⎪---⎝⎭2DA DB k k +=l 32322DA DB k k +=所以的斜率之和为2.2. 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|=2，点（1，）在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且△AF 2B 的面积为，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程。
韦达定理(精品讲解与专题练习)
x1 ●2= 3k x1 =－3
k =－2
答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2。
1、韦达定理及证明
2、利用韦达定理解决有关一元二次方程 根与系数问题时，注意隐含条件： 根的判别式△ ≥0
1、已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。
解：设方程的另一个根为x1, 19 则x1+1= 3 , ∴ x1=
韦达定理
韦达（1540－1603） 法国数学家 十六世纪最有影响的 数学家之一，被尊称为 “代数学之父”。 他是第一个引进系统的 代数符号，并对方程论 做了改进的数学家。
韦达定理
一：思考、发现， 噢，是这样哎！
二：疑问，为什么会是这样呢？能证明吗？
三：疑问，我学习它有什么用呢？
第一段
做准备：
1.一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：
b b 2 4ac 2a
X=
2.方程合家欢，（
十字相乘 ）
是首选。
第一段
解下列方程并完成填空： （1）x2-7x+12=0 (2)x2+3x-4=0 两根 x1 x2 4 -4
1 2
(3) 2x2+3x-2=0 两根和 X1+x2 7 -3 3 - 2 两根积 x 1x 2 12 -4 -1
又x1 1=
●
m 3
16 3,
,
∴ m= 3x1 = 16 x1+x2= - 2 , x1 · x2=
3 2 3 )+1= 2
2、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。
解： 由韦达定理，得
中考数学解题方法及提分突破训练：韦达定理及应用专题(含解析)
解题方法及提分突破训练：韦达定理及应用专题韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。
韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃。
人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。
历史上流传着一个有关韦达的趣事：有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战。
国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得出一正数解，回去后很快又得出了另外的22个正数解（他舍弃了另外的22个负数解）。
消息传开，数学界为之震惊。
同时，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来。
韦达研究了方程根与系数的关系，在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达定理。
你能利用韦达定理解决下面的问题吗？一 真题链接1.（2012•兰州）若x1、x2是关于一元二次方程ax2+bx+c （a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a 、b 、c 有如下关系：x1+x2=-a b x1•x2=a c把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）的图象与x 轴的两个交点为A （x1，0），B （x2，0）．利用根与系数关系定理可以得到A 、B 连个交点间的距离为：参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数y=ax2+bx+c （a ＞0）的图象与x 轴的两个交点A （x1，0），B （x2，0），抛物线的顶点为C ，显然△ABC 为等腰三角形．（1）当△ABC 为直角三角形时，求b2-4ac 的值； （2）当△ABC 为等边三角形时，求b2-4ac 的值．2.（2010•娄底）阅读材料：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：根据上述材料填空：已知x1，x2是方程x2+4x+2=0的两个实数根，则3.已知关于x 的方程x2+2（a-1）x+a2-7a-b+12=0有两个相等的实数根，且满足2a-b=0． ①利用根与系数的关系判断这两根的正负情况．②若将y=x2+2（a-1）x+a2-7a-b+12图象沿对称轴向下移动3个单位，写出顶点坐标和对称轴方程．4.设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：根据该材料填空：若关于x 的一元二次方程x2+kx+4k2-3=0的两个实数根分别是x1，x2，且满足x1+x2=x1•x2．则k 的值为二 名词释义一元二次方程ax2+bx+c=0（a 、b 、c 属于R ，a≠0）根的判别，△=b2-4ac ，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。
初中数学韦达定理专项
2. 二、韦达定理的推导求根公式法推导一元二次方程²的求根公式为ax ²+bx +c =0 (a≠0)的求根公式为aac b b x 242-±-= 那么两个根aac b b x 2421-+-= aac b b x 2422---=+a ac b b 242---=a b 22-=ab -×a ac b b 242---=2224)4()(a ac b b ---=ac 三、韦达定理的应用1.已知方程求两根之和与两根之积例如，对于方程2x ²-5x +3=0，这里a =2，b =-5，c =3根据韦达定理，两根之和x 1+x 2 =a b -=25232.已知两根之和与两根之积构造方程若已知两根之和为m ，两根之积为n ，则可构造方程x ²-mx +n =0。
比如，两根之和为 4，两根之积为 3，那么构造的方程为x ²-4x +3=0。
3. 不解方程求与两根有关的代数式的值例如，求(x 1-x 2)²的值。
(x 1-x 2)²=(x 1+x 2)²-4x 1x 2 ，已知两根之和与两根之积，代入即可求解。
4. 利用韦达定理判断方程根的情况由韦达定理可知，当b ²-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根，此时两根之和与两根之积均有确定的值。
当b ²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，两根之和为-当b ²-4ac ＜0时，方程无实数根，韦达定理在这种情况下无意义。
四、韦达定理的注意事项1. 韦达定理只有在一元二次方程有实数根的情况下才成立。
2. 在应用韦达定理时，要先确定方程中a 、b 、c 的值，且a ≠0。
3. 对于一些特殊的一元二次方程，如缺项方程（如ax ²+c =0），也可以利用韦达定理求解，但要注意分析具体情况。
五、韦达定理的典型例题及讲解 1.已知方程的一根，求另一根及字母系数的值例题：关于x 的一元二次方程02)1(2=---x x m ，若x=-1是方程的一个根，求m 的值及另一个根。
专题4：韦达定理应用探讨
专题4：韦达定理应用探讨一、不解方程求方程的两根和与两根积：已知一元二次方程，可以直接根据韦达定理求得两根和与两根积。
典型例题：例1：（2012湖北武汉3分）若x1、x2是一元二次方程x2－3x＋2＝0的两根，则x1＋x2的值是【】A．－2 B．2 C．3 D．1【答案】C。
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝3。
故选C。
例2：（2001湖北武汉3分）若x1、x2是一元二次方程x2＋4x＋3＝0的两个根，则x1·x2的值是【】A.4.B.3.C.－4.D.－3.【答案】B。
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，得12c3x x===3a1。
故选B。
例3：（2012山东烟台3分）下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是【】A．x2+2x﹣4=0B．x2﹣4x+4=0C．x2+4x+10=0D．x2+4x﹣5=0【答案】D。
【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。
【分析】根据一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，要使方程的两实数根和为﹣4，必须方程根的判别式△=b2﹣4ac≥0，且x1+x2=﹣ba=﹣4。
据此逐一作出判断：A．x2+2x﹣4=0：△=b2﹣4ac=20＞0，x1+x2=﹣ba=﹣2，所以本选项不合题意；B．x2﹣4x+4=0：△=b2﹣4ac=0，x1+x2=﹣ba=4，所以本选项不合题意；C．x2+4x+10=0：△=b2﹣4ac=﹣28＜0，方程无实数根，所以本选项不合题意；D．x2+4x﹣5=0：b2﹣4ac=36＞0，，x1+x2=﹣ba=﹣4，所以本选项符号题意。
故选D。
例4：（2012广西来宾3分）已知关于x的一元二次方程x2+x+m=0的一个实数根为1，那么它的另一个实数根是【】A ．－2B ．0C ．1D ．2【答案】A 。
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
韦达定理的应用专题(供初三复习用)
韦达定理的应用专题训练★热点专题诠释1．熟练掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理及逆定理）． 2．能够灵活运用一元二次方程根与系数关系确定字母系数的值；求关于两根的对称式的值；根据已知方程的根，构作根满足某些要求的新方程．★典型例题精讲考点1 求待定字母的值或范围【例1】关于x 的一元二次方程2210x x k +++=的实数解是1x 、2x ．如果12121x x x x +-<-，且k 为整数，求k 的值．解：由韦达定理，得122x x +=-，121x x k =+． ∵12121x x x x +-<-，∴2(1)1k --+<-，∴2k >-． 又∵原方程有实数解，∴224(1)0k -+≥，0k ≤． ∴20k -<≤．而k 为整数，∴1,0k =-．【方法指导】当运用一元二次方程的根与系数的关系时，前提条件是方程有根，即判别式△≥0． 【例2】（2012·包头）关于x 的一元二次方程25(5)0x mx m -+-=的两个正实数根分别为1x 、2x ，且1227x x +=，则m 的值是（ B ）A ．2B ．6C ．2或6D ．7解：由韦达定理，得12125(5)x x mx x m +=⎧⎨=-⎩ ，消去m ，得121255250x x x x --+=，∴12(5)(5)0x x --= ，∴15x =或25x =．又∵1227x x +=，∴1253x x =⎧⎨=-⎩或1215x x =⎧⎨=⎩．又∵原方程有两个正实根，12125(5)0x x m x x m +=>⎧⎨=->⎩，∴5m >．∴126m x x =+=．【方法指导】对一元二次方程的根与系数的关系要善于从方程（组）的角度来把握．【例3】已知方程22(2)430x m x m ++++=，根据下列条件求m 的取值范围或值． （1）方程两根互为相反数； （2）方程有两个负根；（3）方程有一个正根，一个负根．解：（1）2(2)0430m m -+=⎧⎨+≤⎩，∴2m =-．（2）2[2(2)]4(43)02(2)0430m m m m ⎧+-+≥⎪-+<⎨⎪+>⎩，∴34m >-．（3）430m +<，∴34m <-． 【方法指导】一元二次方程：有两个正根：△≥0且120x x +>，120x x >；有两个负根：△≥0且120x x +<，120x x >； 一正一负根：120x x <；两根互为相反数：120x x +=，120x x ≤； 两根互为倒数：△≥0且121x x =．考点2 求两根的对称式的值【例4】设1x 、2x 是方程2310x x +-=的两个实数根，求下列代数式的值：（1）2221x x +； （2）2112x x x x +； （3）212()x x - 解：由韦达定理，得123x x +=-，121x x =-．（1）2212x x +=21212()2x x x x +-=11（2）2112x x x x +=2121212()2x x x x x x +-=-11 （3）212()x x -=21212()4x x x x +-=13【方法指导】只要代数式符合两根的对称式，经过适当的变形可得到只含“两根和”、“两根积”的代数式，代入求值即可．考点3 利用根与系数的关系及根的定义求代数式的值【例5】已知m 、n 是一元二次方程2210x x --=的两个实数根．求下列代数式的值． （1）222441m n n +--； （2）35m n +．解：（1）∵m 、n 是一元二次方程2210x x --=的两个实数根，∴2m n +=，1mn =-，221n n -=． ∴222441m n n +--=2222()2(2)1m n n n ++-- =222[()2]2(2)1m n mn n n +-+-- =2(42)211++⨯-=13．（2）∵m 、n 是一元二次方程2210x x --=的两个实数根，∴2m n +=，221m m =+．∴35m n +=(21)5m m n ++=225m m n ++ =2(21)5m m n +++=5()2m n ++=522⨯+=10． 【方法指导】此类代数式不属于对称式,仅仅用根与系数的关系是不够的．常常需要结合根的定义，将式中的高次降低,直至出现对称式，再利用根与系数的关系求值．考点4 构造一元二次方程求值【例6】 （1）已知21550a a --=，21550b b --=，求a bb a+的值； （2） 已知22510m m --=，21520nn +-=，且m n ≠，求11m n+的值．解：（1）当a b =时，2a bb a+=； 当a b ≠时，由已知可把a 、b 看作是一元二次方程21550x x --=的两根．∴15a b +=，5ab =-．∴222()2a b a b a b ab b a ab ab ++-+===2152(5)5-⨯--=47-． （2）由21520n n +-=，得22510n n --=，而22510m m --=，m n ≠，∴可把m 、n 看作是一元二次方程22510x x --=的两根．∴52m n +=，12mn =-． ∴11m n +=m nmn+=5-． 【方法指导】构造一元二次方程的依据是方程根的定义，能用此法解题，必须是题目中两个方程的形式相同，或经过适当的变形后可变成形式相同的两个方程，便可利用根与系数的关系．考点5 韦达定理与抛物线的结合 【例7】若1x 、2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个根，则方程的两个根1x 、2x 和系数a 、b 、c 有如下关系：12b x x a +=-，12cx x a=．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴的两个交点A （1x ，0），B （2x ，0）．利用根与系数关系定理可以得到A 、B 两个交点间的距离为：AB=12||x x -=21212()4x x x x +-=24()bc a a--=24||b aca -．参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象与x 轴的两个交点A （1x ，0），B （2x ，0），抛物线的顶点为C ，显然△ABC 为等腰三角形．（1）当△ABC 为直角三角形时，求24b ac -的值； （2）当△ABC 为等边三角形时，求24b ac -的值．解：（1）当△ABC 为直角三角形时，过C 作CE ⊥AB 于E ，则AB =2CE ．∵抛物线与x 轴有两个交点，∴240b ac ∆=->，则22|4|4ac b b ac -=-．∵0a >，∴2244b ac b acAB --==又∵2244||44ac b b acCE a a--==， ∴224424b ac b aca--=⨯， ∴22442b ac b ac --，∴222(4)44b ac b ac --=，而240b ac ->，∴244b ac -=．（2）当△ABC 为等边三角形时，由（1）知3CE AB =， ∴224344b ac b ac a --=240b ac ->， ∴2412b ac -=．★解题方法点睛一元二次方程根与系数关系作为升学考试的考点之一，在试卷中频频出现，只要同学们掌握了根与系数的关系的常见应用，就能化难为易迅速找到解题的方法．运用中： 1．要善于运用整体思想求两根的对称式的值； 2．已知两根的有关代数式的值求待定字母的值时，一定别忘了判别式的限制作用； 3．要注意从方程（组）的角度看待韦达定理．4．注意由此及彼的思维方法的运用．★中考真题精练1．（2014·玉林）1x 、2x 是关于x 的一元二次方程220x mx m -+-=的两个实数根，是否存在实数m 使12110x x +=成立？则正确的结论是（ A ） A ．0m =时成立 B ． 2m =时成立 C ．0m =或2时成立 D ．不存在2．（2014·呼和浩特）已知函数1||y x =的图象在第一象限的一支曲线上有一点A （a ，c ），点B （b ，c +1）在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程20ax bx c ++=的两根1x 、2x 判断正确的是（ C ） A ．121x x +>，120x x > B ．120x x +<，120x x > C ．1201x x <+<，120x x >D ．12x x +与12x x 的符号都不能确定 3．（2015·泸州）设1x 、2x 是一元二次方程2510x x --=的两实数根，则2212x x +的值为 27 ．4．（2015·江西）已知一元二次方程2430x x --=的两根是m ，n ，则22m mn n -+= 25 ．5．（2014·德州）方程222210x kx k k ++-+=的两个实数根1x 、2x 满足22124x x +=，则k 的值为 1 ．6．（2014·济宁）若一元二次方程2(0)ax b ab =>的两个根分别是1m +与24m -，则ba= 4 ． 7．已知关于x 的一元二次方程2(3)10x m x m ++++=．（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）若1x 、2x 是原方程的两根，且12||22x x -=，求m 的值．（1）证明：△=2(3)4(1)m m +-+=225m m ++ =2(1)4m ++．无论m 取何值，2(1)440m ++≥>，即0∆>． ∴无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根． （2）由韦达定理，得12(3)x x m +=-+，121x x m =+， ∴2121212||()4x x x x x x -=+-=2[(3)]4(1)m m -+-+=225m m ++，而12||22x x -=，∴22522m m ++=，即2230m m +-=， ∴1m =或3m =-．8．已知关于x 的方程222(1)0x k x k --+=有两个实数根1x 、2x ．（1）求k 的取值范围；（2）若1212||1x x x x +=-，求k 的值． 解：（1）由已知，得0∆≥，即22[2(1)]40k k ---≥，∴12k ≤． （2）∵12k ≤，∴122(1)10x x k +=-≤-<，∴1212||()2(1)x x x x k +=-+=--．而212x x k =，1212||1x x x x +=-， ∴2221k k -+=-，即2230k k +-= ， ∴1k =或3k =-．而12k ≤，∴3k =-． 9．请阅读下列材料：问题：已知方程210x x +-=，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为y ，则2y x = ，∴2y x =． 把2y x =代入已知方程，得2()1022y y+-=，化简，得2240y y +-=．故所求方程为2240y y +-=．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读村料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）： （1）已知方程220x x +-=，求一个一元二次方程，使它的根分别为己知方程根的相反数，则所求方程为： ；（2）己知关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是己知方程根的倒数． 解：（1）设所求方程的根为y ，则y x =-，∴x y =-． 把x y =-代入已知方程，得220y y --=，∴所求方程为220y y --=；（2）设所求方程的根为y ，则1y x=（0x ≠）， ∴1x y=（0y ≠ ） 把1x y =代入方程20ax bx c ++=，得20a bc y y++=，∴20cy by a ++=．若0c =，有20ax bx +=，∴方程20ax bx c ++=有一个根为0，不符合题意，∴0c ≠．∴所求方程为20cy by a ++=（0c ≠）． 10．（2014•孝感）已知关于x的方程22(23)10x k x k --++=有两个不相等的实数根1x 、2x ．（1）求k 的取值范围；（2）试说明10x <，20x <；（3）若抛物线22(23)1y x k x k =--++与x 轴交于A 、B 两点，点A 、点B 到原点的距离分别为OA 、OB ，且23OA OB OA OB +=⋅-，求k 的值． 解：（1）由题意，得0∆>，即22[(23)]4(1)0k k ---+> ，解得512k <． （2）∵512k <，∴12230x x k +=-<， 而21210x x k =+>，∴10x <，20x <．（3）由题意，不妨设A （1x ，0），B （2x ，0）． ∴OA +OB =1212|||()(23)x x x x k +=-+=--，21212||||1OA OB x x x x k ⋅===+．∵23OA OB OA OB +=⋅-，∴2(23)2(1)3k k --=+-，解得1k =或2k =-．而512k <，∴2k =-． ★课后巩固提高1．已知方程23(4)10x m x m ++++=的两根互为相反数，则m = -42．关于x 的方程222(1)0x m x m +++=的两根互为倒数，则m = 1 ．已知12x x ≠，且满足211320x x +-=，222320x x +-=，则12(1)(1)x x -- = 2 ．3．（2014·呼和浩特）已知m ，n 是方程2250x x +-=的两个实数根，则23m mn m n -++= 8 ． 4．（2015·荆门）已知关于x 的一元二次方程2(3)10x m x m ++++=的两个实数根为1x ，2x ，若22124x x +=，则m 的值为 -1或-3 ．5．（2014•襄阳）若正数a 是一元二次方程250x x m -+=的一个根，a -是一元二次方程250x x m +-=的一个根，则a的值是 5 ．6．设2210a a +-=，42210b b --=，且210ab -≠，则22531()ab b a a+-+= -32 ．7．（2014·扬州）已知a 、b 是方程230x x --=的两个根，则代数式32223115a b a a b ++--+的值为 23 ．8．已知方程230x x k ++=的两根之差为5，则k = -4 ．9．已知抛物线2y x px q =++与x 轴交于A 、B 两点，且过点（-1，-1），设线段AB 的长为d ，当p = 2 时，2d 取得最小值，最小值为 4 ．10．已知1x 、2x 是关于x 的方程22(21)(1)0x m x m ++++=的两个实数根．（1）用含m 的代数式表示2212x x +； （2）当221215x x +=时，求m 的值．解：由韦达定理，得12(21)x x m +=-+，2121x x m =+． ∴2212x x +=21212()2x x x x +-=22[(21)]2(1)m m -+-+ =2241m m +-．（2）由（1）得，224115m m +-=，解得14m =-，22m =． 当4m =-时，原方程无实根；当2m =时，原方程有实根． ∴2m =．11．（2014·鄂州）一元二次方程2220mx mx m -+-=． （1）若方程有两实数根，求m 的范围．（2）设方程两实数根为1x 、2x ，且12||1x x -=，求m ． 12．已知方程23730x x -+=的两根1x 、2x （12x x >）．求下列代数式的值． （1（2）2212x x -．解：由韦达定理，得1273x x +=，121x x =． （1． （2）∵12x x >，∴120x x ->．∴12x x -=∴2212x x -=1212()()x x x x +-=73=13．（2015·湖北孝感）已知关于x 的一元二次方程：2(3)0x m x m ---=．（1）试判断原方程根的情况；（2）若抛物线2(3)y x m x m =---与x轴交于1(,0)A x ，2(,0)B x 两点，则A ，B 两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由． 解：（1）22[(3)]4()29m m m m ∆=----=-+ ＝2(1)8m -+ ∵2(1)m -≥0，∴2(1)80m ∆=-+> ∴原方程有两个不相等的实数根． （2）存在．由题意知1x 、2x 是原方程的两根． ∴12123,x x m x x m +=-=- ∵12||AB x x =-∴222121212()()4AB x x x x x x =-=+- 22(3)4()(1)8m m m =---=-+ ∴当1m =时，2AB 有最小值8 ∴AB有最小值，即AB =14．（2014·荆门）已知函数2(31)21y ax a x a =-+++（a 为常数）．（1）若该函数图象与坐标轴只有两个交点，求a 的值； （2）若该函数图象是开口向上的抛物线，与x 轴相交于点A （1x ，0），B （2x ，0）两点，与y 轴相交于点C ，且212x x -=． ①求抛物线的解析式；② 作点A 关于y 轴的对称点D ，连结BC 、DC ，求sin DCB ∠的值．解：(1)①当a ＝0时，1y x =-+，其图象与坐标轴有两个交点(0，1)，(1，0)；②当a ≠0且图象过原点时，210a +=，∴12a =-，有两个交点(0，0)，(1，0)；③当a ≠0且图象与x 轴只有一个交点时，令y ＝0，则有0∆=，即2[(31)]4(21)0a a a -+-+=．解得a ＝－1，有两个交点(0，－1)，(1，0)；综上：a ＝0或12-或1-时，函数图象与坐标轴有两个交点． (2)①由题意令y ＝0时，123a x x a ++=，1221a x x a+=．∵212x x -=，∴221()4x x -=，∴21212()44x x x x +-= ，则(24(21)31()4a a a a ++-=，解得113a =-，21a =由题意，得00a >⎧⎨∆>⎩，即20[(31)]4(21)0a a a a >⎧⎨-+-+>⎩， ∴13a =-应舍去．1a =符合题意． ∴抛物线的解析式为243y x x =-+．②令y ＝0得2430x x -+=，解得1x =或3x =．w W∴A (1，0)，B (3，0)．由已知可得，D (－1，0)，C (0，3)． ∴OB ＝OC ＝3，OD ＝1，BD =4． 如图，过D 作DE ⊥BC 于E ，则有∴sin 45DE BD =⋅︒=而CD∴在Rt △CDE 中，sin ∠DCB ＝DE CD．。
韦达定理练习题
韦达定理练习题韦达定理练习题韦达定理是数学中的一个重要定理，它描述了一个三角形内部的一条线段与三边的长度之间的关系。
通过韦达定理，我们可以解决一些有关三角形的问题，比如求解三角形的面积、判断三角形的形状等等。
在本文中，我们将通过一些练习题来巩固和应用韦达定理的知识。
练习题一：求解三角形的面积已知一个三角形的三边长分别为a、b、c，求解该三角形的面积。
解答：根据韦达定理，我们可以得到以下等式：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cosAb^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC其中A、B、C分别为三角形的内角。
现在我们要求解三角形的面积，可以使用海伦公式：S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]其中s为三角形的半周长，可以通过三边长求得：s = (a + b + c) / 2练习题二：判断三角形的形状已知一个三角形的三边长分别为a、b、c，判断该三角形的形状（等边三角形、等腰三角形、直角三角形或一般三角形）。
解答：根据韦达定理，我们可以得到以下等式：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cosAb^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC首先，我们可以通过比较三边长的大小来判断是否为等边三角形。
如果a=b=c，则为等边三角形。
其次，我们可以通过比较两条边的长度来判断是否为等腰三角形。
如果a=b或a=c或b=c，则为等腰三角形。
然后，我们可以通过判断三个内角的大小关系来判断是否为直角三角形。
如果A=90°或B=90°或C=90°，则为直角三角形。
最后，如果以上条件都不满足，则为一般三角形。
练习题三：求解三角形的高已知一个三角形的三边长分别为a、b、c，求解该三角形的高。
解答：根据韦达定理，我们可以得到以下等式：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cosAb^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC现在我们要求解三角形的高，可以使用以下公式：h = 2S / a其中S为三角形的面积，可以通过海伦公式求得。
韦达定理试题
韦达定理试题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：解题方法及提分突破训练：韦达定理及应用专题韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。
韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃。
人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。
一真题链接1.（2010•娄底）阅读材料：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：根据上述材料填空：已知x1，x2是方程x2+4x+2=0的两个实数根，则___________2.已知关于x的方程x2+2（a-1）x+a2-7a-b+12=0有两个相等的实数根，且满足2a-b=0．利用根与系数的关系判断这两根的正负情况．3.设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：根据该材料填空：若关于x的一元二次方程x2+kx+4k2-3=0的两个实数根分别是x1，x2，且满足x1+x2=x1•x2．则k的值为二名词释义一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。
求代数式的值求待定系数一元二次韦达定理应用构造方程方程的求解特殊的二元二次方程组根公式二次三项式的因式分解根系关系的三大用处（1）计算对称式的值例 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2) 1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-， 2121212||()4x x x x x x -=+-，2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．（2）构造新方程理论：以两个数为根的一元二次方程是。
韦达定理公式介绍及典型例题
韦达定理公式介绍及典型例题韦达定理公式介绍及典型例题韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。
法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系,因此,人们把这个关系称为韦达定理。
这里讲一元二次方程两根之间的关系。
一元二次方程aX²+bX+C=0﹙a≠0﹚中,两根X1,X2有如下关系：X1+X2=-b/a ,X1·X2=c/a【定理内容】一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac>0)中,设两个根为x1 ,x2 那么X1+X2= -b/aX1·X2=c/a1/X1+1/X2=X1+X2/X1·X2用韦达定理判断方程的根一元二次方程ax²+bx+c=0 (a≠0)中,假设b²-4ac<0 那么方程没有实数根假设b²-4ac=0 那么方程有两个相等的实数根假设b²-4ac>0 那么方程有两个不相等的实数根【定理拓展】(1)假设两根互为相反数,那么b=0(2)假设两根互为倒数,那么a=c(3)假设一根为0 ,那么c=0(4)假设一根为1 ,那么a+b+c=0(5)假设一根为-1 ,那么a-b+c=0(6)假设a、c异号,方程一定有两个实数根【例题】p+q=198 ,求方程x^2+px+q=0的整数根. (94祖冲之杯数学邀请赛试题)解：设方程的两整数根为x1、x2 ,不妨设x1≤x2.由韦达定理,得x1+x2=-p ,x1x2=q.于是x1·x2-(x1+x2)=p+q=198 ,即x1·x2-x1-x2+1=199.∴运用提取公因式法(x1-1)·(x2-1)=199.注意到(x1-1)、(x2-1)均为整数,解得x1=2 ,x2=200;x1=-198 ,x2=0.。
韦达定理的应用与提高自招题集
应用题例题.1、某商场销售一批衬衫;平均每天可出售30件;每件赚50元;为扩大销售;加盈利;尽量减少库存;商场决定降价;如果每件降1元;商场平均每天可多卖2件;若商场平均每天要赚2100元;问衬衫降价多少元2.某化工材料经售公司购进了一种化工原料;进货价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元;也不得低于30元.市场调查发现：单价每千克70元时日均销售60kg ；单价每千克降低一元;日均多售2kg..在销售过程中;每天还要支出其他费用500元天数不足一天时;按一天计算.如果日均获利1950元;求销售单价3.某服装厂生产一批西服;原来每件的成本价是500元;销售价为625元;经市场预测;该产品销售价第一个月将降低20%;第二个月比第一个月提高6%;为了使两个月后的销售利润达到原来水平;该产品的成本价平均每月应降低百分之几根的判别式1、2017 和平区校级模拟一元二次方程ax 2+bx +c=0中;若a ＞0;b ＜0;c ＜0;则这个方程根的情况是 A ．有两个正根 B ．有两个负根C ．有一正根一负根且正根绝对值大D ．有一正根一负根且负根绝对值大分析根据根的判别式△=b 2﹣4ac 的符号;就可判断出一元二次方程的根的情况；由根与系数的关系可以判定两根的正负情况． 解答解：∵a ＞0;b ＜0;c ＜0; ∴△=b 2﹣4ac ＞0;＜0;﹣＞0;∴一元二次方程ax 2+bx +c=0有两个不相等的实数根;且两根异号;正根的绝对值较大． 故选：C ．点评此题考查了根的判别式；一元二次方程根的情况与判别式△的关系：1△＞0 方程有两个不相等的实数根；2△=0 方程有两个相等的实数根；3△＜0 方程没有实数根．一元二次方程的根与系数的关系韦达定理知识点及应用解析1、定义：若x 1;x 2 是一元二次方程ax 2+bx+c=0 a ≠0的两个根;则有x 1 + x 2 = -ab ; x 1·x 2 =ac..对于二次项系数为1的一元二次方程x2+px+q=0;则有x 1 + x 2 =-p;x 1·x 2 =q 2、应用的前提条件：根的判别式△≥0 ⇔方程有实数根..3、若一个方程的两个为x 1;x 2 ;那么这个一元二次方程为ax 2+x 1+x 2x+ x 1·x 2=0a ≠0 4、根与系数的关系求值常用的转化关系：①x 12+x 22=x 1+x 22-2x 1x 2=a c a 2b -2-⎪⎭⎫⎝⎛=222a ac b -②cbx x x x x x -=+=+21212111 ③x 1+ax 2+a= x 1x 2 +ax 1+x 2 +a 2=ac -b +a 2④x 1-x 22 =x 1+x 22-4x 1x 2 =2a 4ac -b 25、方法归纳：1一元二次方程的根与系数的关系的运用条件条件为一元二次方程;即a ≠0;且必须有实数根;即△≥0；2运用一元二次方程的根与系数的关系时;一元二次方程应化为一般形式;若系数中含字母要注意分类讨论； 3一元二次方程的根与系数的关系有时与一元二次方程根的定义综合运用;注意观察所求代数式是特点..4解题思路：将含有根的代数式变形成含有两根和与两根积的式子;再通过韦达定理转化成关于系数的式子;同时要注意参量的值要满足根的实际意义..6、一元二次方程的根与系数的关系的应用：1不解方程;判别一元二次方程两根的符号..判别根的符号;需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定;判别式判定根的存在与否;若＜0;所以可判定方程的根为一正一负；倘若＞0;仍需考虑的正负;方可判别方程是两个正根还是两个负根..例：不解方程;判别方程两根的符号..解：∵;∴△＝—4×2×—7＝65＞0∴方程有两个不相等的实数根..设方程的两个根为; ∵＜0 ∴原方程有两个异号的实数根..2已知一元二次方程的一个根;求出另一个根以及字母系数的值..3运用判别式及根与系数的关系解题.. 例：已知、是关于的一元二次方程的两个非零实数根;问和能否同号若能同号;请求出相应的的取值范围；若不能同号;请说明理由;解：因为关于的一元二次方程有两个非零实数根∴则有∴又∵、是方程的两个实数根;所以由一元二次方程根与系数的关系;可得：假设、同号;则有两种可能：1 2若; 则有：；即有：解这个不等式组;得∵时方程才有实树根;∴此种情况不成立..若 ; 则有：即有：解这个不等式组;得；又∵;∴当时;两根能同号练习：★★★1设一元二次方程的根分别满足下列条件;试求实数a 的范围..⑴二根均大于1；⑵一根大于1;另一根小于1..2．2013秋 沙湾区期末关于x 的方程x 2+2k +2x +k 2=0的两实根之和大于﹣4;则k 的取值范围是 A ．k ＞﹣1 B ．k ＜0C ．﹣1＜k ＜0D ．﹣1≤k ＜03．2015 南充关于x 的一元二次方程x 2+2mx +2n=0有两个整数根且乘积为正;关于y 的一元二次方程y 2+2ny +2m=0同样也有两个整数根且乘积为正;给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②m ﹣12+n ﹣12≥2；③﹣1≤2m ﹣2n ≤1;其中正确结论的个数是 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个4运用根与系数的关系求代数式的值例:已知一元二次方程2x 2-3x+1=0的两个根分别为x 1;x 2 ;求x 1-x 22的值 解：由题意及韦达定理得：x 1+x 2= --23=23;x 1x 2 =21 ∴x 1-x 22=x 1+x 22-4x 1x 2 =232-4×21=41∴x 1-x 22的值是41 5 运用根与系数的关系解决几何问题例：在△ABC 中;若∠C=90°;AB=5;AC 、BC 的长是关于x 的一元二次方程x 2-2k+3x+k 2+3k+2=0的两个实数根;求k 的值和△ABC 的面积解：∵AC 2+BC 2=25∴AC+BC 2-2AC ·BC=25∵AC+BC=2K+3;AC ·BC=K 2+3K+2∴2K+32-2K 2+3K+2=25整理;得k 2+3k-10=0 解得k 1=-5;k 2=2 ∵AC+BC=2K+3﹥0 ∴k ﹥-1.5; ∴k=2∴S △ABC =21 AC ·BC=21K 2+3K+2=6 要点讲解1．求代数式的值应用韦达定理及代数式变换;可以求出一元二次方程两根的对称式的值.. ★★例1 若a;b 为实数;且;;求的值..思路 注意a;b 为方程的二实根；隐含..解 1当a=b 时;；2当时;由已知及根的定义可知;a;b分别是方程的两根;由韦达定理得; ab=1.说明此题易漏解a=b的情况..★★★例2若;且;试求代数式的值..思路此例可用上例中说明部分的递推式来求解;也可以借助于代数变形来完成..解：因为;由根的定义知m;n为方程的二不等实根;再由韦达定理;得;∴练习：2017 黔东南州二模设a;b是方程x2+x﹣2017=0的两个实数根;则a2+2a+b的值为A．2014 B．2015 C．2016 D．20172．构造一元二次方程如果我们知道问题中某两个字母的和与积;则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程..★★★★例3设一元二次方程的二实根为和..1试求以和为根的一元二次方程；2若以和为根的一元二次方程仍为..求所有这样的一元二次方程..解1由韦达定理知;..;..所以;所求方程为..2由已知条件可得解之可得由②得;分别讨论p;q=0;0;1;0;1-;0;0;1;2;1;2-;1或0; 1-.. 于是;得以下七个方程;;;;;01x 2x 2=++;01x 2=-;其中01x 2=+无实数根;舍去..其余六个方程均为所求..3．证明等式或不等式根据韦达定理或逆定理及判别式;可以证明某些恒等式或不等式.. ★★★ 例4 已知a;b;c 为实数;且满足条件：;;求证a=b..证明 由已知得;..根据韦达定理的逆定理知;以a;b 为根的关于x 的实系数一元二次方程为①由a;b 为实数知此方程有实根....∴0c 2=;故c=0;从而..这表明①有两个相等实根;即有a=b..说明 由“不等导出相等”是一种独特的解题技巧..另外在求得c=0后;由恒等式可得;即a=b..此方法较第一种烦琐;且需一定的跳跃性思维..5．求参数的值与解方程韦达定理及其逆定理在确定参数取值及解方程组中也有着许多巧妙的应用.. ★★★例6 解方程..解：原方程可变形为 ..令;..则;.. 由韦达定理逆定理知;以a;b -为根的一元二次方程是 ..解得;..即a=8-或a=9..或通过求解x 结果相同;且严谨..;舍去..解之得;..此种方法应检验：是或否成立强化训练A 级★★1.若k为正整数;且方程有两个不等的正整数根;则k的值为________________..★★2.若;;则_______________..★★★3 .已知和是方程的二实根;则_____________..★★★4.已知方程m为整数有两个不等的正整数根;求m的值..Ｂ级★★★★5.已知：和为方程及方程的实根;其中n为正奇数;且..求证：;是方程的实根..★★★★6.已知关于x的方程的二实根和满足;试求k的值..参考答案1．2提示：原方程即;所以;由知k=1;2;3;5;11；由知k=2;3;4;7..所以k=2;3;但k=3时原方程有二相等正整数根;不合题意..故k=2..2．提示：由x;y为方程的二根;知;..于..3．21提示：由;;知;4．设二个不等的正整数根为;;由韦达定理;有消去m;得 ..即..则且..;..故.. 5．由韦达定理有;..又;.. 二式相减得..;..将代入有..从而 ;同理和是方程的根..6．当β=α时;可知1=β=α;所以2k 13k 124=⇒⨯=+;当β≠α时;易证得..从而;为方程的二不同实根..;..于是;;..当时;方程为..解得或取;即能符合题意;故k的值为..练习：1、设a、b是方程x2+x﹣2014=0的两个实数根;则a2+2a+b的值为A．2014 B．2015 C．2012 D．201322012 德清县自主招生如果方程x﹣1x2﹣2x+=0的三根可以作为一个三角形的三边之长;那么实数k的取值范围是．3．已知a+b=3;ab=﹣7;则代数式2a2+b2+3b的值为．4．2015 黄冈中学自主招生已知实数a≠b;且满足a+12=3﹣3a+1;3b+1=3﹣b+12．则的值为．5．2013 自贡已知关于x的方程x2﹣a+bx+ab﹣1=0;x1、x2是此方程的两个实数根;现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③x12+x22＜a2+b2．则正确结论的序号是．填上你认为正确结论的所有序号62013 荆门设x1;x2是方程x2﹣x﹣2013=0的两实数根;则=．7．2012 成都模拟若α;β是方程x2﹣3x+1=0的两个根;则α2+αβ﹣3α=．8．2010 南通设x1、x2是一元二次方程x2+4x﹣3=0的两个根;2x1x22+5x2﹣3+a=2;则a=8．9．2010 宁阳县模拟已知实数a、ba≠b分别满足;;试求的值10．2009 河南模拟设A是方程x2﹣x﹣2009=0的所有根的绝对值之和;则A2= ．11．2007 泸州若非零实数a;ba≠b满足a2﹣a﹣2007=0;b2﹣b﹣2007=0;则：=．12．2004 厦门已知关于x的方程x2﹣a+bx+ab﹣2=0．x1、x2是此方程的两个实数根;现给出三个结论：1x1≠x2；2x1x2＞ab；3 x12+x22＞a2+b2;则正确结论的序号是．在横线上填上所有正确结论的序号13．2001 呼和浩特如果关于x的一元二次方程2x2﹣2x+3m﹣1=0有两个实数根x1;x2;且它们满足不等式;则实数m的取值范围是．142013 孝感已知关于x的一元二次方程x2﹣2k+1x+k2+2k=0有两个实数根x1;x2．1求实数k的取值范围；2是否存在实数k使得x1 x2﹣x12﹣x22≥0成立若存在;请求出k的值；若不存在;请说明理由．一元二次方程韦达定理应用作业一．选择题共16小题1．若方程x2﹣m2﹣4x+m=0的两个根互为相反数;则m等于A．﹣2 B．2 C．±2 D．42．若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为1;则另一个根为A．﹣4 B．2 C．4 D．﹣33．设a;b是方程x2+x﹣2017=0的两个实数根;则a2+2a+b的值为A．2014 B．2015 C．2016 D．20174．一元二次方程ax2+bx+c=0中;若a＞0;b＜0;c＜0;则这个方程根的情况是A．有两个正根B．有两个负根C．有一正根一负根且正根绝对值大D．有一正根一负根且负根绝对值大5．已知m、n是方程x2+3x﹣2=0的两个实数根;则m2+4m+n+2mn的值为A．1 B．3 C．﹣5 D．﹣96．已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣8=0的一个实数根为2;则另一实数根及m的值分别为A．4;﹣2 B．﹣4;﹣2 C．4;2 D．﹣4;27．一元二次方程x2+x﹣1=0的两根分别为x1;x2;则+=A．B．1 C．D．8．关于x的方程x2+2k+2x+k2=0的两实根之和大于﹣4;则k的取值范围是A．k＞﹣1 B．k＜0 C．﹣1＜k＜0 D．﹣1≤k＜09．已知方程x2﹣2m2﹣1x+3m=0的两个根是互为相反数;则m的值是A．m=±1 B．m=﹣1 C．m=1 D．m=010．已知a、b是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两根;那么+的值为A．B．C．﹣D．﹣11．已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2;则另一个根为A．5 B．﹣1 C．2 D．﹣512．已知实数x1;x2满足x1+x2=7;x1x2=12;则以x1;x2为根的一元二次方程是A．x2﹣7x+12=0 B．x2+7x+12=0 C．x2+7x﹣12=0 D．x2﹣7x﹣12=013．设a、b是方程x2+x﹣2014=0的两个实数根;则a2+2a+b的值为A．2014 B．2015 C．2012 D．201314．关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正;关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正;给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②m﹣12+n ﹣12≥2；③﹣1≤2m﹣2n≤1;其中正确结论的个数是A．0个B．1个C．2个D．3个15．非课改已知α;β是关于x的一元二次方程x2+2m+3x+m2=0的两个不相等的实数根;且满足+=﹣1;则m的值是A．3 B．1 C．3或﹣1 D．﹣3或116．设a;b是方程x2+x﹣2011=0的两个实数根;则a2+2a+b的值为A．2009 B．2010 C．2011 D．2012二．填空题共30小题17．已知：一元二次方程x2﹣6x+c=0有一个根为2;则另一根为．18．一元二次方程x2+x﹣2=0的两根之积是．19．若α、β是一元二次方程x2+2x﹣6=0的两根;则α2+β2=．20．一元二次方程x2+mx+2m=0的两个实根分别为x1;x2;若x1+x2=1;则x1x2=．21．已知m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解;若m﹣1n﹣1=﹣6;则a的值为．22．某学生在解一元二次方程x2﹣2x=0时;只得出一个根是2;则被他漏掉的另一个根是x=．23．已知a;b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根;则代数式a2+b+3的值为．24．已知关于x的方程x2﹣2ax+a2﹣2a+2=0的两个实数根x1;x2;满足x12+x22=2;则a的值是．25．如果方程x﹣1x2﹣2x+=0的三根可以作为一个三角形的三边之长;那么实数k的取值范围是．26．方程x2﹣3x+1=0中的两根分别为a、b;则代数式a2﹣4a﹣b的值为．27．已知a+b=3;ab=﹣7;则代数式2a2+b2+3b的值为．28．已知x1;x2是关于x的方程x2+nx+n﹣3=0的两个实数根;且x1+x2=﹣2;则x1x2=．29．已知实数a≠b;且满足a+12=3﹣3a+1;3b+1=3﹣b+12．则的值为．30．已知m;n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根;则m2﹣mn+3m+n=．31．阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1;x2;则两根与方程系数之间有如下关系式x1+x2=﹣;x1x2=根据该材料填空;已知x1;x2是方程x2+3x+1=0的两实数根;则的值为．32．已知关于x的方程x2﹣a+bx+ab﹣1=0;x1、x2是此方程的两个实数根;现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③x12+x22＜a2+b2．则正确结论的序号是．填上你认为正确结论的所有序号33．若两个不等实数m、n满足条件：m2﹣2m﹣1=0;n2﹣2n﹣1=0;则m2+n2的值是．34．设x1;x2是方程x2﹣x﹣2013=0的两实数根;则=．35．设x1;x2是方程2x2﹣3x﹣3=0的两个实数根;则的值为．36．若α;β是方程x2﹣3x+1=0的两个根;则α2+αβ﹣3α=．37．已知x1;x2是方程x2+4x+k=0的两根;且2x1﹣x2=7;则k=．38．设x1、x2是一元二次方程x2+4x﹣3=0的两个根;2x1x22+5x2﹣3+a=2;则a=．39．设α和β是方程x2﹣4x+3=0的二根;则α+β的值为．40．已知实数a、ba≠b分别满足;;试求的值．41．设A是方程x2﹣x﹣2009=0的所有根的绝对值之和;则A2=．42．已知α;β为方程x2+4x+2=0的二实根;则α3+14β+50=．43．若非零实数a;ba≠b满足a2﹣a﹣2007=0;b2﹣b﹣2007=0;则：=．44．已知2﹣是一元二次方程x2﹣4x+c=0的一个根;则方程的另一个根是．45．已知关于x的方程x2﹣a+bx+ab﹣2=0．x1、x2是此方程的两个实数根;现给出三个结论：1x1≠x2；2x1x2＞ab；3 x12+x22＞a2+b2;则正确结论的序号是．在横线上填上所有正确结论的序号46．如果关于x的一元二次方程2x2﹣2x+3m﹣1=0有两个实数根x1;x2;且它们满足不等式;则实数m的取值范围是．三．解答题共4小题47．已知关于x的一元二次方程x2+3x﹣m=0有实数根．1求m的取值范围2若两实数根分别为x1和x2;且;求m的值．48．已知一元二次方程2x2﹣6x﹣1=0的两实数根为x1、x2;不解方程;求代数式的值．49．已知关于x的一元二次方程x2﹣2k+1x+k2+2k=0有两个实数根x1;x2．1求实数k的取值范围；2是否存在实数k使得x1 x2﹣x12﹣x22≥0成立若存在;请求出k的值；若不存在;请说明理由．。
韦达定理初三常考题型
韦达定理初三常考题型
【原创版】
目录
1.韦达定理的概述
2.初三阶段韦达定理的常考题型
3.应对韦达定理题型的解题技巧
4.总结
正文
【1.韦达定理的概述】
韦达定理，又称 Vieta 定理，是由法国数学家弗朗索瓦·韦达（Franois Viète）提出的一种有关多项式的定理。
该定理主要描述了多项式的系数与其根之间的关系。
简单来说，韦达定理就是一个关于多项式方程根与系数的性质定理。
【2.初三阶段韦达定理的常考题型】
在初三数学阶段，韦达定理常常出现在各类题型中，主要包括以下几种：
1) 求解多项式方程的根
2) 根据多项式的根与系数关系，判断多项式的性质
3) 利用韦达定理解决有关多项式的最大值、最小值问题
4) 结合其他数学知识点，如代数余子式、韦达定理与行列式的关系等
【3.应对韦达定理题型的解题技巧】
面对韦达定理相关题型，同学们可以运用以下技巧来解题：
1) 熟练掌握韦达定理的基本内容，了解多项式系数与根之间的关系
2) 学会利用韦达定理快速求解多项式方程的根
3) 对于涉及多项式性质判断的题目，要善于运用韦达定理进行分析
4) 对于求解多项式的最值问题，可以利用韦达定理将问题转化为求解线性方程组
【4.总结】
韦达定理是初三数学阶段的一个重要知识点，同学们需要掌握其基本内容和应用技巧。
人教九上：专题三--韦达定理的应用(含解析)
专题三韦达定理的应用1．设x1、x2是关于x的方程x2+kx+2=0的两个实数根，求代数式1x1+1x2+k2的值．2．已知关于x的一元二次方程x2−(k+3)x+3k=0．(1)求证：无论k为何值，此方程总有一个根是定值；(2)若直角三角形的一边为4，另两边恰好是这个方程的两根，求k的值．3．已知关于x的一元二次方程x2+(2k−3)x+k2−1=0的两个实数根分别为x1，x2．(1)求k的取值范围；(2)若x1，x2满足x21+x22=1+x1⋅x2，求实数k的值．4．已知关于x的方程x2−2x+m−1=0．有一个实数根是5，求此方程的另一个根以及m的值．5．关于x的一元二次方程x2−6x+k=0，若方程的一个根x1=2，求k的值和方程的另一个根x2．6．若关于x的一元二次方程x2−bx+2=0有一个根是x=1，求b的值及方程的另一个根．7．关于x的一元二次方程x2+2x−3m=0有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)当m=1时，求方程的根．8．已知x1，x2是关于x的一元二次方程．x2+2x+c=0的两个不相等的实数根．(1)求c的取值范围；(2)若x1x2=−1，直接写出c的值；(3)若x1=−3，直接写出c的值．9．若关于x的一元二次方程x2+4x+m−1=0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．10．已知3，t是方程2x2+2mx−3m=0的两个实数根，求m及t的值．11．若关于x的一元二次方程x2+bx−6=0有一个根是x=2，求b的值及方程的另一个根．12．已知关于x的一元二次方程x2−(m+1)x+m+6=0的其中一个根为3．求m的值及方程的另一个根．13．关于x的一元二次方程x2−8x+m=0有一个根是x=3，求m的值及方程的另一个根．14．已知关于x的方程x2−kx+12=0的一个根为3，求k的值及它的另一个根．15．若关于x的一元二次方程x2−4x+m+3=0有两个相等的实数根，求m的值及此方程的根．16．关于x的一元二次方程x2+2x−m=0有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围：(2)当m=8时，求方程的根．17．已知：关于x的方程x2+mx−8=0有一个根是−4，求另一个根及m的值．18．已知x=−1是一元二次方程x2−2x+c=0的一个根，求c的值及方程另一个根．参考答案1．0【分析】利用根与系数的关系求出x1+x2=−k，x1x2=2，然后根据分式的加减对原式进行变形，整体代入计算即可求出答案．【详解】解：∵x1、x2是关于x的方程x2+kx+2=0的两个实数根，∴x1+x2=−k，x1x2=2，又∵边长k>0，∴k=7，综上所述，k的值为5或7．3．(1)k≤1312(2)k=1【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，若Δ=b2−4ac>0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ=b2−4ac=0，则方程有两个相等的实数根，若Δ=b2−4ac<0，则方程没有实数根，若x1，x2是该方程的两个实数根，则x1+x2=−b，x1x2=c a．a（1）根据题意可得Δ=(2k−3)2−4(k2−1)≥0，据此可得答案；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=−(2k−3)，x1⋅x2=k2−1，再由已知条件和完全平方公式的变形得到(2k−3)2−3(k2−1)=1，解方程即可得到答案．【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2+(2k−3)x+k2−1=0的两个实数根分别为x1，x2，∴Δ=(2k−3)2−4(k2−1)≥0，∴4k2−12k+9−4k2+4≥0，∴k≤13；12（2）解：∵关于x的一元二次方程x2+(2k−3)x+k2−1=0的两个实数根分别为x1，x2，∴x1+x2=−(2k−3)，x1⋅x2=k2−1，∵x21+x22=1+x1⋅x2，∴x21+x22−x1⋅x2=1∴(x1+x2)2−3x1x2=1，∴(2k−3)2−3(k2−1)=1，∴4k2−12k+9−3k2+3=1，∴k2−12k+11=0解得：k1=1，k2=11（舍去）∴k=1．4．x2=−3；m=−14．【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，代入x=5可求出m的值，再利用两根之和等于−b，即可求出方程的另一个根，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．a【详解】解：当x=5时，原方程为52−2×5+m−1=0，解得：m=−14，设方程的另一个实数根为x2，∵5+x2=2，∴x2=−3，∴方程的另一个根为−3，m的值为−14．5．k=8，x2=4【分析】利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，由一个根为2，求出另一根，进而确定出k的值．【详解】设另一根为x2，∴2+x2=6，2x2=k，则x2=4，k=8，则6∴1把则7(2)（（【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴Δ=b2−4ac=4−4×1×(−3m)>0，解得：m>−1，3（2）当m=1时，方程为x2+2x−3=0，(x+3)(x−1)=0，解得x1=−3，x2=1．8．(1)c<1(2)c=−1(3)c=−3【分析】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及一元二次方程的解．（1）根据方程的系数，结合根的判别式Δ<0，可得出关于c的一元一次不等式，解之即可得出c的取值范围；（2）利用根与系数的关系，可得出x1x2=c，结合x1x2=−1，即可得出c的值；（3）代入x1=−3，即可求出c的值．【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+c=0有两个不相等的实数根，∴Δ=22−4×1×c>0，解得：c<1，∴c的取值范围是c<1；（2）解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+c=0的两个不相等的实数根，∴x1x2=c，又∵x1x2=−1，∴c=−1；（3）解：将x1=−3代入原方程得9+2×(−3)+c=0，解得：c=−3，∴若x1=−3，则c的值为−3．9．m=5，x1=x2=−2【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及解法，根据当Δ=0时，方程有两个相等的实数根求得m 值，进而解一元二次方程即可求解．【详解】解：∵一元二次方程x2+4x+m−1=0有两个相等的实数根，∴Δ=42−4(m−1)=0，则m=5，∴x2+4x+4=0，解得x1=x2=−2．10．t=3，m=−6【分析】利用根与系数的关系，建立二元一次方程组进行求解．【详解】解：∵3，t是方程2x2+2mx−3m=0的两个实数根，∴3+t=−2m2，3t=−3m2，3+t=−m①2t=−m②，∴3+t=2t，解得：t=3，∴m=−2×3=−6，答：t=3，m=−6．【点睛】本题考查了根与系数的关系，二元一次方程组，解题的关键是能利用根与系数的关系建立二元一次方程组．11．b=1，方程的另一个根为−3【分析】本题考查了一元二次方程的根及解一元二次方程．将x=2代入x2+bx−6=0求得b的值，然后解方程组即可．【详解】∵x=2是方程x2+bx−6=0有一个根，∴4+2b−6=0，∴b=1当b=1时，原方程为x2+x−6=0，解得x1=2，x2=−3．∴b=1，方程的另一个根为−3．12．m=6，另一个根为4【分析】把x=3代入方程求出m的值，然后解方程求出另一个根即可．【详解】解：把x=3代入x2−(m+1)x+m+6=0，得9−3(m+1)+m+6=0，解得m=6，把m=6代入原方程得x2−7x+12=0，∴(x−3)(x−4)=0，∴x1=3,x2=4，即方程的另一个根为4．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键．13．m的值为15，另一根为5【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，掌握ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1，x2，则有x1+x2=−ba ，x1x2=ca是解题的关键．【详解】解：设另一根为a，则a+3=8，3a=m，解得：a=5，m=15，∴m的值为15，另一根为5．14．k=7，另一根为4【分析】由于一根为3，把x=3代入方程即可求得k的值．然后根据两根之积即可求得另一根．【详解】解：∵方程x2−kx+12=0的一个根为3，∴32−k×3+12=0，解得k=7，设另一根为x，∵3x=12，∴x=4，∴另一根为4．【点睛】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，解题时可利用根与系数的关系使问题简化，难度不大．15．m=1，x1=x2=2【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用以及解一元一次方程，根据Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根列出方程，解方程求出m，利用因式分解法解方程求出方程的根．【详解】解：∵关于x的方程x2−4x+m+3=0有两个相等的实数根，∴△=b2−4ac=(−4)2−4×1×(m+3)=4−4m=0，解得，m=1，∴方程为x2−4x+4=0，∴(x−2)2=0解得：x1=x2=2．16．(1)m>−1(2)x1=−4，x2=2【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及解一元二次方程，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，判别式Δ>0时方程有两个不相等的实数根；Δ=0时方程有两个相等的实数根；Δ<0时方程没有实数根；熟练掌握一元二次方程根与判别式的关系及解一元二次方程的方法是解题关键．（1）根据方程x2+2x−m=0有两个不相等的实数根可得判别式Δ>0，列不等式求出m的取值范围即可；（2）把m=8代入x2+2x−m=0，利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2+2x−m=0有两个不相等实数根，∴Δ=b2−4ac=22−4×1×(−m)>0，解得：m>−1．∴m的取值范围为m>−1．（∴∴x17∴∴18∴1∴c设另一个根为x2，则−1⋅x2=−3，∴x2=3，∴c的值是−3，另一个根是x=3．。
一元二次方程-韦达定理的应用及答案
一元二次方程韦达定理的应用知识点：一元二次方程根的判别式 ：当△>0 时________方程_____________，当△=0 时_________方程有_______________ ，当△<0 时_________方程___________ .韦达定理的应用：1.已知方程的一个根，求另一个根和未知系数2.求与已知方程的两个根有关的代数式的值3.已知方程两根满足某种关系， 确定方程中字母系数的值4.已知两数的和与积， 求这两个数例 1.关于 x 的一元二次方程 2223840x mx m m --+-=.求证： 当 m>2 时,原方程永远有两个实数根.例 2.已知关于 x 的方程22(1)10kx x x k -++-=有两个不相等的实数根.(1)求 k 的取值范围;(2)是否存在实数 k ， 使此方程的两个实数根的倒数和等于 0?若存在， 求出 k 的值;若不存在， 说明理由.例 3.已知关于 x 的方程222(3)410x k x k k --+--=(1)若这个方程有实数根， 求 k 的取值范围;(2)若这个方程有一个根为 1， 求 k 的值;例 4.已知关于 x 的一元二次方程21(2)302x m x m +-+-= (1)求证： 无论m 取什么实数值， 这个方程总有两个不相等的实数根。
(2)若这个方程的两个实数根12,x x 满足1221x x m +=+， 求 m 的值。
例 5.当 m 为何值时， 方程28(1)70x m x m --+-=的两根：(1) 均为正数; (2)均为负数; (3)一个正数， 一个负数; (4)一根为零; (5)互为倒数; (6)都大于 2.例 6.已知 a,b,c,是△ ABC 的三边长， 且关于 x 的方程 22(1)2(1)0b x ax c x --+-=有两个相等的实根，求证： 这个三角形是直角三角形。
例 7.若 n>0 ，关于 x 的方程21(2)04x m n x mn ---=有两个相等的正的实数根， 求m n的值。
韦达定理知识点及应用解析
一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）知识点与应用解析1、定义：若x 1，x 2 是一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的两个根，则有x 1 + x 2 = -a b ， x 1·x 2 = ac 。
对于二次项系数为1的一元二次方程x2+px+q=0，则有x 1 + x 2 =-p ，x 1·x 2 =q2、应用的前提条件：根的判别式△≥0 ⇔方程有实数根。
3、若一个方程的两个为x 1，x 2 ，那么这个一元二次方程为a[x 2+(x 1+x 2)x+ x 1·x 2]=0(a ≠0)4、根与系数的关系求值常用的转化关系：①x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=a c a 2b -2-⎪⎭⎫ ⎝⎛=222a ac b - ②cb x x x x x x -=+=+21212111 ③(x 1+a)(x 2+a)= x 1x 2 +a(x 1+x 2) +a 2 =a c -b +a 2 ④(x 1-x 2)2 =(x 1+x 2)2-4x 1x 2 =2a4ac -b 2 5、方法归纳：（1）一元二次方程的根与系数的关系的运用条件条件为一元二次方程，即a ≠0，且必须有实数根，即△≥0；（2）运用一元二次方程的根与系数的关系时，一元二次方程应化为一般形式，若系数中含字母要注意分类讨论；（3）一元二次方程的根与系数的关系有时与一元二次方程根的定义综合运用，注意观察所求代数式是特点。
（4）解题思路：将含有根的代数式变形成含有两根和与两根积的式子，再通过韦达定理转化成关于系数的式子，同时要注意参量的值要满足根的实际意义。
6、一元二次方程的根与系数的关系的应用：（1）不解方程，判别一元二次方程两根的符号。
（判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，判别式判定根的存在与否，若＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若＞0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。
初中物理竞赛：韦达定理(附练习题及答案)
初中物理竞赛：韦达定理(附练习题及答案)韦达定理是物理学中的一个重要定理，用于求解力学问题。
它是基于能量守恒和功的定义推导出来的。
韦达定理的表达式为：\[W = \Delta KE \]其中，W表示外力做的功，\(\Delta KE\)表示物体动能的变化。
韦达定理可以应用于各种力学问题，帮助我们分析和计算物体的运动情况和动能的变化。
下面是一些韦达定理的练题及答案，供参考：1. 一个质量为2kg的物体在力为10N的作用下沿着力的方向移动了5m，求外力所做的功。
解答：根据韦达定理，外力做的功等于物体动能的变化。
由于力与物体的位移方向相同，所以力做正功。
根据韦达定理的表达式，可以得到：\[W = \Delta KE\]由于物体的质量和加速度未知，无法直接计算动能的变化。
但我们可以利用力和位移的关系求出力所做的功。
根据功的定义，可以得到：\[W = F \cdot s\]代入已知的数值可以计算出外力所做的功：\[W = 10N \cdot 5m = 50J\]所以外力所做的功为50焦耳。
2. 一个质量为1kg的物体从静止开始，受到一个恒力为5N的作用力，沿着力的方向移动了10m，求外力所做的功和物体的末速度。
解答：根据韦达定理，外力做的功等于物体动能的变化。
由于力与物体的位移方向相同，所以力做正功。
根据韦达定理的表达式，可以得到：\[W = \Delta KE\]由于物体的初始速度为零，加速度未知，无法直接计算动能的变化。
但我们可以利用力和位移的关系求出力所做的功。
根据功的定义，可以得到：\[W = F \cdot s\]代入已知的数值可以计算出外力所做的功：\[W = 5N \cdot 10m = 50J\]所以外力所做的功为50焦耳。
根据动能定理，可以得到：\[W = \Delta KE = \frac{1}{2} mv^2 - 0\]由此可以求解出物体的末速度：\[50 = \frac{1}{2} \cdot 1kg \cdot v^2\]\[v^2 = 100\]\[v = 10m/s\]所以物体的末速度为10米每秒。
奥数训练之韦达定理
奥数训练之韦达定理一、不解方程。
求两根的代数式的值 Ⅰ、求两根对称式的值对称式：把式子中的两个字母x 1、x 2对掉后如果能和原式的值相等。
这样的式子叫对称式。
例如：|x 1-x 2| 把x 1换成x 2把x 2换成x 1后为|x 2－x 1|而|x 1-x 2|=︱x 2-x 1︱所以|x 1-x 2|是轮换式，所有轮换式都可以转换成这两个字母和与积的混合运算。
在总体带入数值即可解答例题：已知：方程3x 2+5x+1=0的两根为x 1、x 2，不解方程.求下列代数式的值. ①11x +21x ②x 21+x 22 ③x 21x 2+x 1 x 22 ④（x 1-3）(x 2-3) ⑤|x 1-x 2 | ⑥21x x +12x xⅡ、利用根的定义结合韦达定理求根的非对称式的值例题：已知：方程3x 2+5x+1=0的两根为x 1、x 2，不解方程.求下列代数式的值.（1）3x 21+5x 1+x 1.x 2 (2)3x 12+6x 1+x 2+x 1x 2 (3)4x 21+x 22+6x 1+x 2+10 (4)3x 13-5x 22-x 2+3Ⅲ、求隐形根的代数式的值以隐蔽的形式给出方程的根简称为隐形根例题：已知a 、b 为实数，且a ≠b 若满足012,01222=--=--b b a a 求ba ab +的值结后语：把上述的已知式可以改写成①a 2=2a+1 b 2=2b+1或②a 2-1=2a b 2-2b=1可以求同样的问题，解决这类问题的一般方法是化为一般式例题：已知：实数a 、b 满足0153,03522=++=++b b a a a ·b ≠1求：ba 的值针对性练习1、已知：实数a 、b 满足0357,075322=--=--b b a a 且 a ·b ≠－1 求：ba 的值2、已知实数a ≠b.且满足22)1(3)1(3),1(33)1(+-=++-=+b b a a 求：ba ab +的值3、已知1,1332224≠=-=+b a b b a a 且，求3361bb a +的值4、设实数 s 、t 满足101999,01991922≠=++=++st t t s s 且，求ts st 14++的值5、若正数x 、y 满足x ＋y=x ·y 求x ＋y 的最小值Ⅳ、注意陷阱例题：方程x 2-x+1=0和2x 2-3x-1=0的所有实根的和为二、已知方程的根，求方程中的字母系数 Ⅰ：已知一根可求一个字母的值例题：已知：方程x 2+mx+3=0有一个根为1.求：另一个根及m例题：已知关于x 的方程x 2+(m-1)x+m 2-1=0有一个根为0，求另一根及m 的值Ⅱ：已知两根.可求两个字母系数的值.例题：已知方程x 2+px+q=0的两个根为2和3，求p 与q 的值例题：已知关于x 个方程x 2+(p+q-1)x+3q-2=0的两个根为1和2. 求：p 2+q 的值为：Ⅲ：解两个根含三个字母系数的问题.例题：已知:ax 2+bx+c=0的两个根为2和3 求：cb ac b a ++-+的值例题：已知：ax 2+(b+1)x+c-2=0的两根分别为1和3，且a+2b+3c=6. 求：a 、b 、c.的值三、已知两个根的关系式的值求方程中的字母系数.例题：已知关于x 的一元二次方程：x 2-2(m+1)x+m 2-3=0当两根满足下列关系时，分别求m 的值，（1）互为相反数，（2）互为倒数，（3）有一根为0，（4）两根之比为 31（5）两根的平方和为10例题：已知关于x 的方程x 2+4x+k-1=0的两根之差为6. 求k 值例题：已知关于x 的方程x 2+m 2x+n=0的两个实数根是x 1、x 2.而y 1、y 2是方程y 2+5my+7=0的两根.且x 1-y 1=2 . x 2-y 2=2求m 、n 的值针对性练习：1、已知：关于x 的方程x 2+(a+1)x+b-1=0的两个根之比为2：3 判别式的值为1.求方程的根.2、已知：x1、x2是关于x的方程x2-2(m+2)x+2m2-1=0的两个实根.且满足x21－x22=0.求m的值3、已知关于x的方程x2-2(m-2)x+m2=0.问：是否存在实数m是方程的两个实数根的平方和等于56？若实数m存在.求出m的值.若不存在.请说明理由.4、已知关于x的方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有两个实数根.且这两个根的平方和比两个根的积大21.求m的值5、已知斜边为5的直角三角形的两条直角边a、b的长是方程x2-(2m-1)x+4(m-1)=0的两个根.求m的值6、已知方程组⎩⎨⎧=+-=++-)2(01)1(022 y x a y x 的两组解为⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==2211y y x x y y x x 和，且x 1，x 2是两个不相等的实数，若13221212221--=+-+a a y y x x x x ， （1）求a 的值 （2）不解方程组能否判断方程组的两组解都是正数，为什么？感悟：在求解过程中.涉及求根过程的不用检验△.忽略根的值.只用韦达定理形式解决问题的必须检验△）四、作方程：ax 2+bx+c=0 可化为：x 2+ab x+ac =0 而x 1+x 2=-ab . x 1·x 2=ac∴原方程又可以写为x 2-(x 1+x 2)x+x 1x 2=0说明：两个之和是一次项系数的相反数.两根之积为常数项.Ⅰ：直接给出两根.求做方程例题：以251+-和251--为根的一元二次方程为：Ⅱ：已知方程.所求做方程的根与已知方程的根有联系.例题：已知方程3x 2-5x+1=0的两个根分别为x 1与x 2.当y 1与y 2满足下列条件时分别写出两根为y 1与y 2 的方程. ①y 1=11x . y 2=21x ②y 1=x 2+2 . y 2=x 2+2 ③y 1=2x 1 . y 2=2x 2④y 1= -x 1 . y 2= -x 2 ⑤y 1=x 21 . y 2=x 22 (6)y 1=1x . y 2=2x五、由韦达定理构造方程例题：已知两数的和为5.这两个数的乘积为6.求这两数例题：解下列方程组.（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+21311ab b a （2）⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++144)1)(1(711y x y x例题：已知：x 、y 是正整数，并且xy+x+y=23，x 2y+xy 2=120 求：x 2+y 2的值例题：已知：a ＋b=2 . ab-c 2=1 求：a 、b 、c 的值例题：已知：a 、b 、c 均为实数.且a-b=8 ab+c 2+16=0 求:a 、b 、c.的值.六、由韦达定理解决方程的根的分布两根同为正的条件：⎪⎩⎪⎨⎧>>+≥∆0002121x x x x 两根同为负的条件：⎪⎩⎪⎨⎧><+≥∆0002121x x x x两根异号的条件：x 1x 2<0两根同大于a 的条件：⎪⎩⎪⎨⎧>-->+≥∆0))((202121a x a x ax x 两根同小于a 的条件⎪⎩⎪⎨⎧>--<+≥∆0))((202121a x a x a x x 一个大于a 另一个小于a 的条件：（x 1-a ）(x 2-a)<0例题：关于x 的方程x 2-(m+1)x+5-m=0.有两个正根求m 的取值范围.例题：当m 为何值时.方程x 2-(m+1)x+m=0的两根都大于-1例题：当n 取何值时方程x 2-11x+30+n=0的两实根都大于5.六、韦达定理在函数中的应用例题（千104、4）设二次函数y=x 2+x-1的图像与x 轴交点的横坐标分别是x 1、x 2，求x 15+5x 2的值例题（千106、13）在直角坐标系中，抛物线)0(4322m m mx x y -+=与x 轴交于A 、B （A 点在B 点左侧）两点，若A 、B 两点到原点的距离分别为OA 、OB 且满足3211=-OAOB，求m 的值例题（千109、6）设二次函数y=x 2+2(cos θ+1)x+cos 2θ(0°＜θ≤90°)的图象与x 轴交点的横坐标分别为x 1、x 2，且∣x 1-x 2∣≤22,求θ的取值范围例题（千111、5）已知抛物线C ：y=x 2-(k-2)x+(k+1)2 (1)求证：不论k 为何值，抛物线的顶点总在抛物线y=3x 2+12x+9上；（2）要使抛物线C 和x 轴有两个不同的交点AB 求k的取值范围；（3）当（2）中AB 间的距离取得最大值时，求此时的k 值和∠AMB 的度数（M 是抛物线C 的顶点）例题4：已知抛物线y=21x 2－mx －m －21与x 轴交于A 、B 两点与y 轴交于点C ，若∠ACB=90°,求m 的值例题2：在平面直角坐标系中，过点P （0，2）任作一条直线与抛物线y=ax 2（a ＞0）交于两点的直线，设交点为A 、B ，若∠AOB=90°（1）判断AB 两点的纵坐标的乘积是否为一个确定的值，并说明理由（2）确定抛物线y=ax 2（a ＞0）对应的函数关系式（3）当△AOB 的面积为24时，求直线AB 所对应的函数关系式例题（千、83、例23）已知抛物线y=2x 2+x+1 和直线m x y +=34，如果直线被抛物线所截得的线段长为185，求m 的值七、韦达定理在不等式中的应用例题：已知不等式x 2-bx+c ＜0的解集是3＜x ＜5,则a+b=八、韦达定理在三角函数中的应用例题：已知关于x 的方程4x 2-2(m+1)x+m=0的两根正好是某直角三角形两锐角的正弦值，求m 的值例题：【千巧119】在△ABC 中，已知∠A,∠B,∠C 的对边分别是a,b,c,若a,b 是关于x 的一元二次方程x 2-(c+4)x+4c+8=0的两个根，且9c=25asinA.(1) 求证：△ABC 是直角三角形；（2）求△ABC 的三边长。
初中数学精品试卷： 应用韦达定理解题
第1讲 应用韦达定理解题典型问题例1 设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实根,当m 为何值时,2221x x +有最小值,并求这个最小值.【思路解析】∵1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实根,∴△≥0.∴0)232(24)4(22≥-+⨯⨯--m m m 又∵m x x 221=+，2232221-+=⋅m m x x ,∴87)43(222221+-=+m x x ,2221x +有最小值为9887)324(22=+-⨯.【方法归纳】韦达定理：设方程02=++c bx ax 的两根为1x 、2x ，则a b x x -=+21，ac x x =⋅21. 应用韦达定理的前提条件是：一元二次方程有两个实数根，即必须满足判别式△≥0. 韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是基本思路. 韦达定理的应用主要体现在：1. 应用韦达定理求方程中参数的值或求代数式的值.一般是关于1x 、2x 的对称式，如2221x x +，221)(x x -，3231x x +，1221x x x x +等，这类问题常可通过变形用21x x +，21x x ⋅表示后求解.而非对称式的求值常用到以下技巧：①恰当组合；②根据根的定义降次；③构造对称式.2. 应用韦达定理并结合判别式，讨论根的符号特征.①若21x x +=0，则两根互为相反数；②若21x x ⋅=1，则两根互为倒数；③若21x x +>0,21x x ⋅>0，则两根同正；④若21x x +<0,21x x ⋅>0，则两根同负；⑤若21x x ⋅<0，则两根异号；⑥一根大于m ,另一根小于m ,则)()(21m x m x -⋅-<0.典型问题例2 已知实数a 、b 、c 满足: a +b +c=2, abc =4.(1) 求a 、b 、c 中最大者的最小值; (2)求c b a ++的最小值.【思路解析】(1)首先假设a 、b 、c 中最大的是c ，则必有0>c . 将已知化为a +b=2- c ,c ab 4= .可把a 、b 看成方程04)2(2=+--cx c x 的两个根, 判别式016)2(2≥--=∆cc ,即0)4)(4(2≥-+c c ，解得4≥c . 当c =4，b =a=-1时，满足条件，所以a 、b 、c 中最大者的最小值为4.（2） a ，b ，c 只可能一正二负，设a <0，b <0，c >0，则c b a ++= c –a -b =2c -2，由（1）知4≥c .故2c -2≥6，当c =4，b =a=-1时，满足条件，且使c b a ++= c –a -b =2c -2≥6中等号成立，c b a ++的最小值为6.【方法归纳】若题中有形如a y x =+，b xy =的关系式时，往往构造以x ,y 为根的方程02=+-b az z .构造一元二次方程后，在问题有解的前提下运用判别式△≥0求字母的取值范围或求最值.有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是如果我们能够构造一元二次方程，那么就能运用一元二次方程丰富的知识与方法辅助解题，构造一元二次方程的常用方法有：① 利用根的定义构造.当已知等式具有相同的结构，就可以把某两个变元看成是关于某个字母的一元二次方程.② 利用韦达定理逆定理构造.如例2.③ 确定主元构造.对于含有多个变元的等式，可以将等式整理为关于某个字母的一元二次方程.配套练习 【基础训练】1.已知关于x 的方程04)2(22=---m x m x . (1)求证:无论m 取什么实数,这个方程总有两个相异的实数根;(2)若这个方程的两个实数根1x ,2x ,满足212+=x x ,求m 的值及相应的1x ,2x .2.已知实数a ，b 满足3=++b ab a ,若b ab a m +-=,求m 的取值范围.3. 若方程02=++-q px x 的一个根大于1,另一个根小于1，求证：1>+q p .【拓展训练】4. 已知关于x 的一元二次方程02=++a cx x 的两个整数根恰好比方程02=++b ax x 的两个根都大1,求a +b +c 的值.5. 对于一切不小于2的自然数n ,关于x 的一元二次方程02)2(22=-+-n x n x 的两个根记作n a ，n b （2≥n ），求)2)(2(122--b a +)2)(2(133--b a +……+)2)(2(120172017--b a 的值.6. 设1x 、2x 是关于x 的一元二次方程22=++a ax x 的两个实数根,则)2()2(1221x x x x -⋅-的最大值.7. 已知实数a 、b 满足122=++b ab a ,且22b a ab t --=,求t 的取值范围.8. 已知t 是一元二次方程012=-+x x 的一个根，若正整数a 、b 、m 使得等式m m bt m at 31))((=++成立．求ab 的值．学习感悟1.解:(1) ∵02)1(2442)4(14)2(2222>+-=+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯⨯---=∆m m m m m ,∴方程总有两个不相等的实数根.(2) ∵方程总有两个不相等的实数根,且1x +2x =m -2, 1x 2x =042≤-m .∴1x ≤0，2x ≥0或1x ≥0，2x ≤0，∵212+=x x ，①若1x ≤0，2x ≥0，则2x =-1x +2，∴1x +2x =2，∴m -2=2，得m =4，51±=x ；②若1x ≥0，2x ≤0，则-2x =1x +2，∴1x +2x =-2，∴m -2=-2，得m =0，1x =0，2x =-2.2.23+=+m b a ，23m ab -=，a ，b 可以看作方程023)23(2=-++-m x m x 的两实数根，则0)23(4)23(2≥--+-=∆mm ，整理得015142≥-+m m ，解得m ≤-15或m ≥1.3. 1x +2x =p , 1x 2x =q , ∵一个根大于1,另一个根小于1，∴0)1)(1(21<--x x , ∴1x 2x -(1x +2x )+1<0,得01<+--p q ，∴1>+q p .4. 解:设方程02=++b ax x 的两个根为α,β,其中α,β为整数，且α≤β,则方程02=++a cx x 两根为α+1,β+1, α+β=-a ,a =++)1)(1(βα,两式相加得0122=+++βααβ，即3)2)(2(=++βα，从而⎩⎨⎧=+=+3212βα，⎩⎨⎧-=+-=+1232βα，解得⎩⎨⎧=-=11βα或⎩⎨⎧-=-=35βα，∴0=a ，1-=b ，2-=c ，或8=a ，15=b ，6=c ，所以a +b +c=-3或29.5. 由根与系数的关系得2+=+n b a n n ，22n b a n n -=⋅，∴)1(24)2(224)(2)2)(2(2+-=++--=++-=--n n n n n b a b a b a n n n n n n则)111(21)1(21)2)(2(1+--=+-=--n n n n b a n n ，∴原式=40361008)2018121(21)2018120171(...)4131()3121(21-=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+--.6.∵04)2(84)2(4222>+-=+-=--=∆a a a a a ,∴对于任意实数a ,原方程总有两个实数根.∵21x x +=-a ,21x x ⋅=a -2，∴)2()2(1221x x x x -⋅-=212219)(2x x x x ++-=18922-+-a a =863)49(22---a , ∴当49=a 时，原式有最大值863-. 7.由已知得,21+=t ab ,23+±=+t b a ,(3-≥t ),∴a 、b 是关于x 方程021232=+++±t x t x 的两个实根, 由△≥0计算得31-≤t ,故t 的取值范围是313-≤≤-t .8. 解：（1）∵t 是一元二次方程012=-+x x 的一个根，∴t 是无理数，且t t -=12， 把t t -=12代入m m bt m at 31))((=++ ∴m m t b a m t ab 31)()1(2=+++- ∴[]0)31()(2=-++-+m m ab t ab b a m又∵a 、b 、m 是正整数，t 是无理数，则⎩⎨⎧=-+=-+0310)(2m m ab ab b a m ∴ ⎩⎨⎧-=-=+23131m m ab mb a ∴)31)((b a b a ab --+= ∵⎩⎨⎧-=-=+23131mm ab m b a∴a 、b 是关于x 的一元二次方程031)31(22=-+-+m m x m x 的两个整数根，∴031)31(22=-+-+m m x m x 的判别式0)531)(31()31(4)31(22≥--=---=∆m m m m m∵a 、b 是正整数，∴031>-=+m b a ∴ 5310≤<m 又∵∆是一个完全平方数，经验证，只有6=m 符合要求 把6=m 代入得 150312=-=m m ab。
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解题方法及提分突破训练：韦达定理及应用专题韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。
韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃。
人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。
历史上流传着一个有关韦达的趣事：有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战。
国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得出一正数解，回去后很快又得出了另外的22个正数解（他舍弃了另外的22个负数解）。
消息传开，数学界为之震惊。
同时，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来。
韦达研究了方程根与系数的关系，在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达定理。
你能利用韦达定理解决下面的问题吗？一 真题链接1.（2012•兰州）若x1、x2是关于一元二次方程ax2+bx+c （a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a 、b 、c 有如下关系：x1+x2=-a b x1•x2=a c把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）的图象与x 轴的两个交点为A （x1，0），B （x2，0）．利用根与系数关系定理可以得到A 、B 连个交点间的距离为：参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数y=ax2+bx+c （a ＞0）的图象与x 轴的两个交点A （x1，0），B （x2，0），抛物线的顶点为C ，显然△ABC 为等腰三角形．（1）当△ABC 为直角三角形时，求b2-4ac 的值； （2）当△ABC 为等边三角形时，求b2-4ac 的值．2.（2010•娄底）阅读材料：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：根据上述材料填空：已知x1，x2是方程x2+4x+2=0的两个实数根，则3.已知关于x 的方程x2+2（a-1）x+a2-7a-b+12=0有两个相等的实数根，且满足2a-b=0． ①利用根与系数的关系判断这两根的正负情况．②若将y=x2+2（a-1）x+a2-7a-b+12图象沿对称轴向下移动3个单位，写出顶点坐标和对称轴方程．4.设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：根据该材料填空：若关于x 的一元二次方程x2+kx+4k2-3=0的两个实数根分别是x1，x2，且满足x1+x2=x1•x2．则k 的值为二 名词释义一元二次方程ax2+bx+c=0（a 、b 、c 属于R ，a≠0）根的判别，△=b2-4ac ，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。
求代数式的值 求待定系数 一元二次 韦达定理 应用 构造方程方程的求 解特殊的二元二次方程组 根公式 二次三项式的因式分解根系关系的三大用处 （1）计算对称式的值例 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +；(2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=-(1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---=(2)121212112220072007x x x x x x +-+===- (3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=- (4) 22212121212||()()4(2)4(2007)22008x x x x x x x x -=-=+-=---=说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-， 2121212||()4x x x x x x -=+-，2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．（2）构造新方程 理论：以两个数为根的一元二次方程是。
例 解方程组 x+y=5Xy=6解：显然，x ，y 是方程z 2-5z+6＝0 ① 的两根 由方程①解得 z 1=2,z 2=3 ∴原方程组的解为 x 1=2,y 1=3x 2=3,y 2=2 显然，此法比代入法要简单得多。
（3）定性判断字母系数的取值范围例 一个三角形的两边长是方程的两根，第三边长为2，求k 的取值范围。
解：设此三角形的三边长分别为a 、b 、c ，且a 、b 为的两根，则c=2由题意知△＝k 2-4×2×2≥0，k ≥4或k ≤-4∴ 为所求。
三 典题示例例1 已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值． (1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．分析：(1) 由韦达定理即可求之；(2) 有两种可能，一是120x x =>，二是12x x -=，所以要分类讨论．解：(1) ∵方程两实根的积为5∴ 222121[(1)]4(1)034,412154k k k k x x k ⎧∆=-+-+≥⎪⎪⇒≥=±⎨⎪=+=⎪⎩ 所以，当4k =时，方程两实根的积为5． (2) 由12||x x =得知：①当10x ≥时，12x x =，所以方程有两相等实数根，故302k ∆=⇒=； ②当10x <时，12120101x x x x k k -=⇒+=⇒+=⇒=-，由于302k ∆>⇒>，故1k =-不合题意，舍去．综上可得，32k =时，方程的两实根12,x x 满足12||x x =． 说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足0∆≥．例2 已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由． (2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 解：(1) 假设存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立． ∵ 一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根∴ 2400(4)44(1)160k k k k k k ≠⎧⇒<⎨∆=--⋅+=-≥⎩，又12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根∴ 1212114x x k x x k +=⎧⎪⎨+=⎪⎩∴ 222121212121212(2)(2)2()52()9x x x x x x x x x x x x --=+-=+-939425k k k +=-=-⇒=，但0k <．∴不存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立．(2) ∵ 222121212211212()44224411x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-++∴ 要使其值是整数，只需1k +能被4整除，故11,2,4k +=±±±，注意到0k <，要使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值为2,3,5---． 说明：(1) 存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在．(2) 本题综合性较强，要学会对41k +为整数的分析方法．四 巩固强化1. （2011湖北潜江，17，6分）若关于x 的一元二次方程x 2—4x ＋k —3＝0的两个实数根为x 1、x 2，且满足x 1＝3x 2，试求出方程的两个实数根及k 的值．2. （2011•南充，18，8分）关于的一元二次方程x 2+2x+k+1=0的实数解是x 1和x 2． （1）求k 的取值范围；（2）如果x 1+x 2﹣x 1x 2＜﹣1且k 为整数，求k 的值． 3. （2011•湖南张家界，23，8）阅读材料：如果x 1、x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根，那么， 12b x x a +=-，12cx x a⋅=．这就是著名的韦达定理．现在我们利用韦达定理解决问题： 已知m 与n 是方程2x 2﹣6x+3=0的两根 （1）填空：m+n= ，m•n= ； （2）计算nm 11+的值． 4. （2011湖北孝感，22，10分）已知关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2=0有两个实数根x 1，x 2．（1）求k 的取值范围；（2）若|x 1+x 2|=x 1x 2﹣1，求k 的值．5. （2011•玉林，20，6分）已知：x 1、x 2是一元二次方程x 2﹣4x+1的两个实数根． 求：（x 1+x 2）2÷（2111x x +）的值． 6. （2011贵州遵义，24，10分）有四张卡片（背面完全相同），分别写有数字1、2、－1、－2，把它们背面朝上洗匀后，甲同学抽取一张记下这个数字后放回洗匀，乙同学再从中抽出一张，记下这个数字，用字母b 、c 分别表示甲、乙两同学抽出的数字。
（1）用列表法求关于x 的方程02=++c bx x 有实数解的概率； （2）求（1）中方程有两个相等实数解的概率。
7.（2011广西防城港 20，6分）已知：x1、x2是一元二次方程x2－4x ＋1＝0的两个实数根．求（x1＋x2）2÷)11(21x x +的值．8. （2011湖北潜江、天门、仙桃、江汉油田，17，6分）若关于x 的一元二次方程0342=-+-k x x 的两个实数根为1x 、2x ，且满足213x x =，试求出方程的两个实数根及k 的值.9. （2011江苏苏州，15，3分）巳知a 、b 是一元二次方程x2－2x －1=0的两个实数根，则代数式（a －b ）（a+b －2）+ab 的值等于____． 10. （2011江苏镇江常州，12，3分）已知关于x 的方程x2+mx ﹣6=0的一个根为2，则m= ，另一个根是 ．11. （2011山东日照，14，4分）如图，在以AB 为直径的半圆中，有一个边长为1的内接正方形CDEF ，则以AC 和BC 的长为两根的一元二次方程是 如：x2﹣5x+1=0 ．12. （2011•德州，14，4分）若x1，x2是方程x2+x ﹣1=0的两个根，则x12+x22= ． 13.（2011四川眉山，17，3分）已知一元二次方程y2﹣3y+1=0的两个实数根分别为y1、y2，则（y1﹣1）（y2﹣1）的值为 ﹣1 ．14. （2011四川泸州，16，3分）已知关于x 的方程x2+（2k+1）x+k2－2=0的两实根的平方和等于11，则k 的值为 ． 15. （2011四川遂宁，12，4分）若x1、x2是方程x2﹣2x ﹣5=0的两根，则x12+x1x2+x22= ．五 参考答案真题链接答案： 1.2.3.①解：由△=4（a2-3）2-4（a2-7a-b+12）=0得：a+b-3=0， 又2a-b=0， ∴a=1，b=2．设这个方程的解为x1、x2， 则x1+x2=-2（a-3）=4＞0， x1•x2=a2-7a-b+12）=4＞0， ∴x1、x2均为正根；②∵a=1，b=2，∴y=x2+2（a-1）x+a2-7a-b+12可化为：y=x2-4x+4=（x-2）2， 将此图象向下移动3个单位，得：y=（x-2）2-3， 顶点（2，-3），对称轴为x=2． 4.巩固强化答案1.考点：根与系数的关系。