《正、余弦定理》教学设计新部编版

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]

任教学科：_____________

任教年级：_____________

任教老师：_____________

xx市实验学校

《正、余弦定理》教学设计

一、教学对象

授课对象系安徽省亳州市亳州一中南校学生，属中上等学习水平，并具备一定的自学能力和推理能力。

二、教材分析

所讲内容为《普通高中课程标准实验教科书·数学（必修5）》（北师大版）第2章的正（余）弦定理，对于这两个定理的推导，书上是用向量法进行证明，并且把正弦定理设在余弦定理之前。教材之所以这样安排主要是基于以下几点考虑：

1.根据初中解直角三角形的经验，学生更容易发现正弦定理，如不用高中知识，学生

发现余弦定理则较难。

2.正弦定理与余弦动力都刻画了三角形边角间的度量规律，但正弦定理反映的边与其

对角的正弦值成正比的规律，比余弦定理简单，有时可以用角的正弦值替代对边。

美学价值更大、更容易激发学生学习解三角形的兴趣。

3.正弦定理与平面几何联系更紧密，讨论正弦定理可以用到较多几何知识，编排在前

便于承前启后。

4.用正弦定理证明余弦定理容易，而用余弦定理证明正弦定理则稍难。[1]

关于教材这样的安排自然有一定的道理，但笔者结合自己的教学实际，发现按照教材的思路来授课仍存在一定的困难,尤其是正弦定理的导课环节，总显得不够自然。关于对教学内容的安排笔者的思路如下：

1.教材证明正弦定理是通过建立直角坐标系，并利用向量在坐标轴上的射影推导出正

弦定理，而证明余弦定理则直接通过向量平方。这个证明过程看起来很容易理解，但由于学生虽然学习了向量，但对向量的应用仍然显得很吃力。而通过向量引导学

生发现正弦定理时实在是有一定困难。给导课带来一定的难度。

2.若用传统的外接圆法或等积法学生明显更容易接受，但这样的话又无法体现新教材

把解三角形安排在向量之后的意图。正弦定理的本质是反映三角形边和角的等量关

系，而数学中能同时描绘长度和角度的量非向量莫属。所以用向量法证明明显更为

自然，这也充分体现了向量的工具性。

3.若用另外一种思路，先用传统方法证明再用向量证明，这样似乎既易于学生理解正

弦定理，又能让学生体会到向量的工具性。但这样亦显得画蛇添足，教学过程略显

曲折而牵强。

4.通过两堂课的教学经验，我发现在用向量引导学生发现三角形边角关系的过程中学

生其实更容易发现余弦定理。为了充分体现新课标以学生为主体的教学思想，我做

了大胆的尝试，不妨顺水推舟，先讲余弦定理，再讲正弦定理。

三、教学目标

1.知识与技能

掌握正弦定理和余弦定理，并能运用定理解三角形。

2.过程与方法

通过对特殊三角形边角间数量关系的研究，发现正（余）弦定理，初步学会运用由特殊到一般的思想方法发现数学规律。

3.情感、态度与价值观

在利用数量积证明的过程中，体会向量工具在解三角形的度量问题中的作用，进一步认识和体会数学知识之间的普遍联系与辩证统一（三角函数、向量、三角形）。

四、教学重难点

本节的重点：正（余）弦定理的发现、证明及基本应用。

本节的难点：正弦定理的发现及证明过程。

五、教学过程

1.提出问题

师：我们初中学过解直角三角形，你能说出解题的依据

吗？

生：勾股定理、两锐角互余、正弦、余弦······

教师板书：

（1）边的关系：；

（2）角的关系：A+B=90○

（3）边与角的关系：

,, ,.[2]

师：除了直角三角形，我们还学过锐角三角形和钝角三角形，统称为斜三角形，

你会解斜三角形吗？

生：沉默片刻，有人回答“作高啊！”

师：对，把斜三角形转化成直角三角形，这正是我们平时强调的“转化思想”，

同学们回答得非常好。

生：被老师肯定，感到很喜悦。

师：但是，如果不作高，仅仅依赖于三角形的边和角能不能直接解斜三角形呢？

生：再次陷入沉默。

师：为什么我们没办法解斜三角形？斜三角形的边和角都有什么关系？

生：（1）边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

（2）角的关系：内角和180度；

（3）边与角的关系：大边对大角；

师：对比直角三角形的边角关系和斜三角形的边角关系，你发现了什么？

生：要解斜三角形必须找到边和角的等量关系！

2.探求问题

师：非常好，我们今天要探求的正是三角形的边角关系，但是我们必须借助一

样工具把边和角联系起来，什么工具能担此重任呢？

生：向量！

（因为必修四学过向量，并且当时也反复强调了向量的工具性，所以学生在此

想到向量并不困难）

师：对，我们前面已经认识到向量是既有大小又有方向的量，它是沟通代数和

几何的桥梁，今天我们以向量为工具，看一看向量在数学中是如何体现其工具

性的。

师：观察黑板上的三角形，我们能想到向量的那些知识？

生：向量的三角形法则、向量的加法、向量的减法······

师：好，大家看到三角形联想到向量的三角形法则，

不妨用向量的加法来表示。

A

B C

A

a

A

B

C

b c

生：AB AC CB =+u u u r u u u r u u u r

师：如何根据向量关系推出三角形的边角关系呢？二者有什么联系？ 生：三角形的边可以用向量的模表示。

师：如何能出现三角形夹角呢？

生：只要出现两个向量的点乘！

师：对！怎样构造向量的点乘？

生：平方，两边同时平方！

（之前求向量的模时接触过通过平方出现向量点乘）

师：非常好，那么，除了平方还有其他方法可以出现点乘吗？

生：那就再乘一个向量。（声音很微弱）

师：对，我们还可以在等式两边同时乘以一个向量！接下来，我们分别就两种方案进行探究。

方案一：两边同时平方

22()AB AC CB =+u u u r u u u r u u u r ，易得

2222cos c a b ab C =+-，同理得

2222cos a b c bc A =+-，

2222cos b a c ac B =+-

方案二：两边同时乘以一个向量

师：我们可以在等式两边同时乘以一个向量，但是，乘以哪个向量呢？（这是本节课的难点）

生：被难住。

师：能不能是任意一个向量呢？（在三角形边上任意画一个向量）

生：不行！（意识到构造点乘的目的之一是要出现三角形的夹角）

师：那就是要一个特殊的向量，什么样的向量比较特殊？

生：零向量，单位向量，平行向量，垂直向量······

师：好，大家再仔细思考刚才的几个特殊向量，看看用哪个好？

零向量很容易排出，大部分同学意识到可以用垂直向量。

生：可以用垂直向量。

师：那么图中有没有与已知向量垂直的向量呢？

生：没有。

师：如何构造一个？

生：只需做三角形的高。（因为有

了新课引入时通过作高将斜三角

形转化为直角三角形的铺垫）

师：好，我们来做三角形BC 边上的高试试。 等式AB AC CB =+u u u r u u u r u u u r 两边同时乘

以刚构造出的向量DA u u u r ，得

A B C D