常德市中考数学试题及答案
2023年湖南省常德市中考数学真题(原卷与解析)
2023年常德市初中学业水平考试数学试题卷考生注意：1．请考生在试题卷首填写好准考证号及姓名．2．请将答案填写在答题卡上，填写在试题卷上的无效。
3．本学科试题卷共4页，七道大题，满分120分，考试时量120分钟．一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）1.3的相反数是（）A.3B.3-C.13D.13-2.下面算法正确的是()A.()()5995-+=-- B.()710710--=- C.()505-+=- D.()()8484-+-=+3.不等式组32312x x x -<⎧⎨+≥⎩的解集是()A.5x < B.15x ≤< C.15x -≤< D.1x ≤-4.我市“神十五”航天员张陆和他的两位战友已于2023年6月4日回到地球家园，“神十六”的三位航天员已在中国空间站开始值守，空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设“神十六”甲、乙、丙三名航天员从核心舱进入问天实验舱和梦天实验舱开展实验的机会均等，现在要从这三名航天员中选2人各进入一个实验舱开展科学实验，则甲、乙两人同时被选中的概率为()A.12B.13C.14D.155.若2340a a +-=，则2263a a +-=()A.5B.1C.1-D.06.下列命题正确的是()A.正方形的对角线相等且互相平分B.对角互补的四边形是平行四边形C.矩形的对角线互相垂直D.一组邻边相等的四边形是菱形7.如图1，在正方形ABCD 中，对角线AC BD 、相交于点O ，E ，F 分别为AO ，DO 上的一点，且EF AD ∥，连接,AF DE ．若15FAC ∠=︒，则AED ∠的度数为()A.80︒B.90︒C.105︒D.115︒8.观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数202023若排在第a 行b 列，则a b -的值为()11122113223114233241……A.2003B.2004C.2022D.2023二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）9.计算：（a 2b ）3=___．10.分解因式：3222a a b ab ++=_______．11.x 应满足的条件是__________．12.联合国2022年11月15日宣布，全世界人口已达80亿．将8000000000用科学记数法表示为__________．13.若关于x 的一元二次方程220x x k -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是_________．14.我市体育中考有必考和选考项目，掷实心球是必考项目之一，在一次训练中，张华同学掷实心球10次的成绩依次是（单位：米）7.6，8.5，8.6，8.5，9.1，8.5，8.4，8.6，9.2，73．则张华同学撰实心球成绩的众数是__________．15.如图1，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，8AB =，6BC =，D 是AB 上一点，且2AD =，过点D 作DE BC ∥交AC 于E ，将ADE V 绕A 点顺时针旋转到图2的位置．则图2中BDCE的值为__________．16.沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图． AB 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是弦AB 的中点，D 在 AB 上，CD AB ⊥．“会圆术”给出 AB 长l的近似值s 计算公式：2CD s AB OA=+，当2OA =，90AOB ∠=︒时，l s -=__________．（结果保留一位小数）三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）17.计算：1011sin 6022-⎛⎫-⋅︒+- ⎪⎝⎭18.解方程组：213423x y x y -=⎧⎨+=⎩①②四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）19.先化简，再求值：231242x x x x ++⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭，其中5x =．20.如图所示，一次函数1y x m =-+与反比例函数2ky x=相交于点A 和点()3,1B -．（1）求m 的值和反比例函数解析式；（2）当12y y 时，求x 的取值范围．五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21.党的二十大报告指出：“我们要全方位夯实粮食安全根基，牢牢守住十八亿亩耕地红线．确保中国人的饭碗牢牢端在自己手中”．为了了解粮食生产情况，某校数学兴趣小组调查了某种粮大户2018年至2022年粮食总产量及2022年粮食分季节占比情况如下：请根据图中信息回答下列问题：（1）该种粮大户2022年早稻产量是__________吨；（2）2018年至2022年该种粮大户粮食总产量的中位数是__________，平均数是__________；（3）该粮食大户估计2023年的粮食总产量年增长率与2022年的相同，那么2023年该粮食大户的粮食总产量是多少吨？22.“六一”儿童节将至，张老板计划购买A 型玩具和B 型玩具进行销售，若用1200元购买A 型玩具的数量比用1500元购买B 型玩具的数量多20个，且一个B 型玩具的进价是一个A 型玩具进价的1.5倍．（1）求A 型玩具和B 型玩具的进价分别是多少？（2）若A 型玩具的售价为12元/个，B 型玩具的售价为20元/个，张老板购进A ，B 型玩具共75个，要使总利润不低于300元，则A 型玩具最多购进多少个？六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）23.今年“五一”长假期间，小陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩，坐在如图的椅子上休息时，小陈感觉很舒服，激发了她对这把椅子的好奇心，就想出个问题考考同学小余，小陈同学先测量，根据测量结果画出了图1的示意图（图2）．在图2中，已知四边形ABCD 是平行四边形，座板CD 与地面MN 平行，EBC 是等腰三角形且BC CE =，114.2FBA ∠=︒，靠背57cm FC =，支架43cm AN =，扶手的一部分16.4cm BE =．这时她问小余同学，你能算出靠背顶端F 点距地面（MN ）的高度是多少吗？请你帮小余同学算出结果（最后结果保留一位小数）．（参考数据：sin 65.80.91︒=，cos 65.80.41︒=，tan 65.8 2.23︒=）24.如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，AB 是直径，C 是 BD的中点，过点C 作CE AD ⊥交AD 的延长线于点E ．（1）求证：CE 是O 的切线；（2）若6BC =，8AC =，求,CE DE 的长．七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）25.如图，二次函数的图象与x 轴交于()1,0A -，()5,0B 两点，与y 轴交于点C ，顶点为D ．O 为坐标原点，1tan 5ACO ∠=．（1）求二次函数的表达式；（2）求四边形ACDB 的面积；（3）P 是抛物线上的一点，且在第一象限内，若ACO PBC ∠=∠，求P 点的坐标．26.如图，在ABC 中，AB AC =，D 是BC 的中点，延长DA 至E ，连接,EB EC ．（1）求证：BAE CAE ≌；（2）在如图1中，若AE AD =，其它条件不变得到图2，在图2中过点D 作DF AB ⊥于F ，设H 是EC 的中点，过点H 作HG AB 交FD 于G ，交DE 于M ．求证：①AF MHAM AE ⋅=⋅；②GF GD =．2023年常德市初中学业水平考试数学试题卷一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）1.【答案】B【解析】解：∵3的相反数是3-，故选B ．2.【答案】C【解析】A 选项，()5995-+=-，故A 不符合题意；B 选项，()710710--=+，故B 不符合题意；C 选项，()505-+=-，故C 符合题意；D 选项，()()()8484-+-=-+，故D 不符合题意；故选：C ．3.【答案】C 【解析】32312x x x -<⎧⎨+≥⎩①②解不等式①，移项，合并同类项得，5x <；解不等式②，移项，合并同类项得，1x ≥-故不等式组的解集为：15x -≤<．故选：C ．4.【答案】B 【解析】甲乙丙甲（乙，甲）（丙，甲）乙（甲，乙）（丙，乙）丙（甲，丙）（乙，丙）有表格可得，一共有6种等可能得结果，其中甲、乙两人同时被选中的结果有2种，∴甲、乙两人同时被选中的概率为2163=．故选：B ．5.【答案】A【解析】∵2340a a +-=，∴234+=a a ∴()222632332435a a a a +-=+-=⨯-=，故选：A ．6.【答案】A【解析】A 选项，正方形的对角线相等且互相垂直平分，描述正确；B 选项，对角互补的四边形不一定是平行四边形，只是内接于圆，描述错误；C 选项，矩形的对角线不一定垂直，但相等，描述错误；D 选项，一组邻边相等的平行四边形才构成菱形，描述错误．故选：A ．7.【答案】C【解析】∵四边形ABCD 是正方形∴45OAD ODA ∠=∠=︒，AO DO =∵EF AD∥∴45OEF OAD ∠=∠=︒，45OFE ODA ∠=∠=︒∴OEF OFE ∠=∠∴OE OF=又∵90AOF DOE ∠=∠=︒，AO DO =∴()SAS AOF DOE △≌△∴15ODE FAC ∠=∠=︒∴30ADE ODA ODE ∠=∠-∠=︒∴180105AED OAD ADE ∠=︒-∠-∠=︒故选：C ．8.【答案】C【解析】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致，故202023在第20列，即20b =；向前递推到第1列时，分数为201912023192042-=+，故分数202023与分数12042在同一行．即在第2042行，则2042a =．∴2042202022.a b -=-=故选：C ．二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）9.【答案】a 6b 3【解析】根据积的乘方运算法则可得（a 2b ）3=a 6b 3.10.【答案】()2a ab +【解析】解：3232222(2)()a a b b a a ab b a a b ++=++=+，故答案为：2()a a b +．11.【答案】4x ≥【解析】根据题意得：40x -≥，解得：4x ≥，故答案为：4x ≥．12.【答案】9810⨯【解析】98000000000810=⨯，故答案为：9810⨯．13.【答案】1k <【解析】解：∵关于x 的方程220x x k -+=有两个不相等的实数根，∴()224240b ac k ∆=-=-->，解得1k <．故答案为：1k <．14.【答案】8.5【解析】张华同学掷实心球10次的成绩出现频次最高的是8.5米，共3次，故张华同学掷实心球成绩的众数是8.5．故荅案为：8.5．15.【答案】45##0.8【解析】∵在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，8AB =，6BC =，∴2210AC AB BC =+=∵DE BC∥∴90ADE ABC ∠=∠=︒，AED ACB ∠=∠∴ADE ABC△△∽∴AD AEAB AC =∴AD ABAE AC=∵BAC DAE∠=∠∴BAC CAD DAE CAD ∠+∠=∠+∠∴BAD CAE ∠=∠∴ABD ACE∽∴84105BD AB CD AC ===．故答案为：45．16.【答案】0.1【解析】∵290OA OB AOB ︒==∠=，，∴22AB =，∵C 是弦AB 的中点，D 在 AB 上，CD AB ⊥，∴延长DC 可得O 在DC 上，122OC AB ==∴22CD OD OC =-=，∴(22222322CD s AB OA-=+=+=，9022360l ππ⨯⨯==，∴30.1l s π-=-≈．故答案为：0.1．三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）17.【答案】0【解析】原式1212=-⋅+11=-0=．18.【答案】52x y =⎧⎨=⎩【解析】解：将①2⨯得：242x y -=③+②③得：5x =将5x =代入①得：2y =所以52x y =⎧⎨=⎩是原方程组的解．四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）19.【答案】12x -，13【解析】解：原式()()3241222x x x x x x ++--=÷+-+()()32223x x x x x ++=⨯+-+12x =-，当5x =时，原式11523==-20.【答案】（1）2m =，3y x=-（2）1x <-或03x <<【解析】（1）将点()3,1B -代入1y x m =-+得：31m -+=-解得：2m =将()3,1B -代入2k y x=得：()313k =⨯-=-∴23y x =-（2）由12y y =得：32x x --+=，解得121,3x x =-=所以,A B 的坐标分别为()()1,3,3,1A B --由图形可得：当1x <-或03x <<时，12y y >五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21.【答案】（1）9.2（2）160吨；172吨（3）264.5吨【解析】（1）()230175%21%9.2⨯--=（吨）故答案为：9.2．（2）2018年至2022年该种粮大户粮食总产量从小到大排列如下：120，150，160，200，230∴2018年至2022年该种粮大户粮食总产量的中位数是160吨；()1201501602002305172++++÷=（吨）∴2018年至2022年该种粮大户粮食总产量的平均数是172吨；故答案为：160吨，172吨；（3）()230200200100%15%-÷⨯=()230115%264.5⨯+=（吨）∴2023年该粮食大户的粮食总产量是264.5吨．22.【答案】（1）A 型，B 型玩具的单价分别是10元/个，15元/个（2）最多可购进A 型玩具25个【解析】（1）设A 型玩具的单价为x 元/件．由题意得：12001500201.5x x-=，解得：10x =经检验，10x =是原方程的解B 型玩具的单价为101.515⨯=元/个∴A 型，B 型玩具的单价分别是10元/个，15元/个．（2）设购进A 型玩具m 个．()()()1210201575300m m -+--≥解得：25m ≤∴最多可购进A 型玩具25个．六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）23.【答案】72.8cm【解析】解：方法一：过点F 作FQ DC ⊥交DC 的延长线于点Q ，四边形ABCD 是平行四边形，114.2FBA ∠=︒，∴180114.265.8FCQ CBH ∠︒=∠=︒-︒=，57FC =∴sin 57sin 65.8FQ FC FCQ =⋅∠=⋅︒，过点A 作AP MN ⊥于点P ，由题意知AB CD MN ∥∥，FC AN ∥，∴65.8ANP FCQ ∠=∠=︒，又 43AN =，∴sin 43sin 65.8AP AN ANP =⋅∠=⋅︒，过C 作CH AB ⊥于点H ，BC CE =，16.4EB =，∴8.2BH =,∴tan 8.2tan 65.88.2 2.2318.29CH BH CBH =⋅∠=⨯︒=⨯≈，∴靠背顶端F 点距地面()MN 高度为57sin 65.843sin 65.818.29FQ AP HC +-=︒+︒-1000.9118.2972.7172.7cm =⨯-=≈；方法二：如图，过点F 作FQ DC ⊥交DC 的延长线于点Q ，过点C 作CH AB ⊥于点H ，延长AB 交FQ 于点S ，BC CE =，16.4EB =，∴8.2BH =，又 AB CD ，∴180114.265.8FCQ HBC ∠=∠=︒-︒=︒，∴8.20.4120cm cos BH BC CBH==÷=∠，∴()sin sin 5720sin 65.837sin 65.8FS FB FBS FB HBC =⋅∠=⋅∠=-⋅︒=︒，过A 作AP MN ⊥于P ，由题意知AB CD MN ∥∥，FC AN ∥，∴65.8ANP FCQ ∠=∠=︒，又 43AN =，∴sin 43sin65.8AP AN ANP =⋅∠=︒，∴靠背顶端F 点距地面()MN 高度为37sin65.843sin65.8FS AP +=︒+︒800.9172.8cm =⨯=．24.【答案】（1）证明见解析；（2）245EC =，185DE =．【解析】（1）连接OC ∵C 为 BD的中点，∴CD BC = ，∴12∠=∠，又∵OA OC =，∴23∠∠=，∴13∠=∠，∴AE OC ∥，又∵CE AE ⊥，∴CE OC ⊥，OC 为半径，∴CE 为O 的切线，（2）∵AB 为O 直径，∴90ACB ∠=︒，∵6,8BC AC ==，∴10AB =，又∵12∠=∠，90AEC ACB ∠=∠=︒，∴AEC ACB ∽，∴EC AC CB AB =，即8610EC =，∴245EC =，∵ CDCB =，∴CD BC 6==，在DEC Rt △中，由勾股定理得：185DE ===．七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）25.【答案】（1）()()15y x x =-+-（2）30（3）127,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）∵二次函数的图象与x 轴交于()()1,0,5,0A B -两点．∴设二次函数的表达式为()()15y a x x =+-∵11,tan 5AO ACO =∠=，∴5OC =，即C 的坐标为()0,5则()()50105a =+-，得1a =-∴二次函数的表达式为()()15y x x =-+-；（2）()()215(2)9y x x x =-+-=--+∴顶点的坐标为()2,9过D 作DN AB ⊥于N ，作DM OC ⊥于M ，四边形ACDB 的面积AOC CDM DNBOMDN S S S S =+-+△△△矩形()()111152929552930222=⨯⨯+⨯-⨯⨯-+⨯-⨯=；（3）如图，P 是抛物线上的一点，且在第一象限，当ACO PBC ∠=∠时，连接PB ，过C 作CE BC ⊥交BP 于E ，过E 作EF OC ⊥于F ，∵5OC OB ==，则OCB 为等腰直角三角形，45OCB ∠=︒．由勾股定理得：52CB =∵ACO PBC ∠=∠，∴tan tan ACO PBC ∠=∠，即1552CE CB ==，∴2CE =由CH BC ⊥，得90BCE ∠=︒，∴180180904545ECF BCE OCB ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．∴EFC 是等腰直角三角形∴1FC FE ==∴E 的坐标为()1,6所以过B E 、的直线的解析式为31522y x =-+令()()3152215y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=-+-⎩解得50x y =⎧⎨=⎩，或12274x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以BE 直线与抛物线的两个交点为()1275,0,,24B P ⎛⎫ ⎪⎝⎭即所求P 的坐标为127,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭26.【答案】（1）证明见解析（2）①见解析，②见解析【解析】（1）证明：∵AB AC D =，是BC 的中点，∴AD 是BC 的垂直平分线，又∵E 在AD 上，∴EB EC =，在BAE 和CAE V 中，,,AB AC EB EC AE AE===∴(SSS)BAE CAE △≌△（2）证明：①连接AH，∵,A H 分别是ED 和EC 的中点，∴AH 为EDC △的中位线，∴∥AH DC ，∴90EAH EDC ∠=∠=︒，又∵DF AB ⊥，∴90AFD ∠=︒，又∵HG AB ，∴FAD AMH ∠=∠，在AFD △和MAH 中，90,AFD MAH FAD AMH ∠=∠=︒∠=∠，∴AFD MAH △∽△，∴AF AD AM MH=，∴AF MH AM AD ⋅=⋅，又∵AE AD =，∴AF MH AM AE ⋅=⋅；②在AMH 和DAC △中，90MAH ADC ∠=∠=︒，∵AB AC =，∴A ABC CB =∠∠，∵DF AB ⊥，∴90FAD ADF ∠+∠=︒，∵90F AB D D A +=︒∠∠，∴F ABD AD =∠∠，∵AB HG ∥，∴90AFD HGD ==︒∠∠，∵AMH GMD ∠=∠，∴F AHM AD =∠∠，∴ABD ADF AHM ∠=∠=∠，∴AHM ACB ∠=∠，∴AMH DAC △∽△，又∵A 、H 分别为ED 和EC 中点，∴AH 为EDC △的中位线，∴12AM AH AD DC ==，∴12AM AD =，即M 为AD 中点，∥，又∵AF GH ∴G为FD中点，.∴GF GD。
湖南省常德市2022年中考数学真题试题(含解析)
湖南省常德市 2022年中考数学真题试题一、选择题〔本大题共8小题，每题3分，共24分〕 1．以下各数中无理数为〔 〕 A ．2 B ．0 C ．12017D ．﹣1 【答案】A ．考点：无理数．2．假设一个角为75°，那么它的余角的度数为〔 〕A ．285°B ．105°C ．75°D ．15° 【答案】D ． 【解析】试题分析：它的余角=90°﹣75°=15°，应选D ． 考点：余角和补角．3．一元二次方程23410x x -+=的根的情况为〔 〕 A ．没有实数根 B ．只有一个实数根 C ．两个相等的实数根 D ．两个不相等的实数根 【答案】D ． 【解析】试题分析：∵△=〔﹣4〕2﹣4×3×1=4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．应选D ． 考点：根的判别式．4．如图是根据我市某天七个整点时的气温绘制成的统计图，那么这七个整点时气温的中位数和平均数分别是〔 〕A ．30，28B ．26，26C ．31，30D ．26，22 【答案】B ．考点：中位数；加权平均数．5．以下各式由左到右的变形中，属于分解因式的是〔 〕 A ．a 〔m +n 〕=am +an B ．2222()()a b c a b a b c --=-+- C ．21055(21)x x x x -=- D ．2166(4)(4)6x x x x x -++=+-+ 【答案】C ． 【解析】试题分析：A ．该变形为去括号，故A 不是因式分解；B ．该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故B 不是因式分解； D ．该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故D 不是因式分解； 应选C ．考点：因式分解的意义．6．如图是一个几何体的三视图，那么这个几何体是〔 〕A ．B ．C ．D ．【答案】B ． 【解析】试题分析：结合三个视图发现，应该是由一个正方体在一个角上挖去一个小正方体，且小正方体的位置应该在右上角，应选B ． 考点：由三视图判断几何体．7．将抛物线22x y =向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的表达式为〔 〕 A.5)3(22--=x y B ．5)3(22++=x y C ．5)3(22+-=x y D ．5)3(22-+=x y 【答案】A ．考点：二次函数图象与几何变换；几何变换．8．如表是一个4×4〔4行4列共16个“数〞组成〕的奇妙方阵，从这个方阵中选四个“数〞，而且这四个“数〞中的任何两个不在同一行，也不在同一列，有很多项选择法，把每次选出的四个“数〞相加，其和是定值，那么方阵中第三行三列的“数〞是〔 〕302sin60° 22 ﹣3 ﹣2 ﹣sin45° 0 |﹣5| 6 23（）﹣14（）﹣1A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】C ．【解析】试题分析：∵第一行为1，2，3，4；第二行为﹣3，﹣2，﹣1，0；第四行为3，4，5，6，∴第三行为5，6，7，8，∴方阵中第三行三列的“数〞是7，应选C ．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 二、填空题〔本小题共8小题，每题3分，共24分〕 9．计算：328-- = ． 【答案】0． 【解析】试题分析：原式=2﹣2=0．故答案为：0． 考点：实数的运算；推理填空题． 10．分式方程xx 412=+的解为 ． 【答案】x =2．考点：解分式方程．11．据统计：我国微信用户数量已突破887000000人，将887000000用科学记数法表示为 ． 【答案】8.87×108． 【解析】试题分析：887000000=8.87×108．故答案为：8.87×108． 考点：科学记数法—表示较大的数．12．命题：“如果m 是整数，那么它是有理数〞，那么它的逆命题为： ． 【答案】“如果m 是有理数，那么它是整数〞． 【解析】试题分析：命题：“如果m 是整数，那么它是有理数〞的逆命题为“如果m 是有理数，那么它是整数〞． 故答案为：“如果m 是有理数，那么它是整数〞． 考点：命题与定理．13．彭山的枇杷大又甜，在今年5月18日“彭山枇杷节〞期间，从山上5棵枇杷树上采摘到了200千克枇杷，请估计彭山近600棵枇杷树今年一共收获了枇杷 千克． 【答案】24000． 【解析】试题分析：根据题意得：200÷5×600=24000〔千克〕．故答案为：24000． 考点：用样本估计总体．14．如图，Rt △ABE 中∠A =90°，∠B =60°，BE =10，D 是线段AE 上的一动点，过D 作CD 交BE 于C ，并使得∠CDE =30°，那么CD 长度的取值范围是 ．【答案】0≤CD ≤5．考点：含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线．15．如图，正方形EFGH 的顶点在边长为2的正方形的边上．假设设AE =x ，正方形EFGH 的面积为y ，那么y 与x 的函数关系为 ．【答案】2244y x x =-+〔0＜x ＜2〕．考点：根据实际问题列二次函数关系式；正方形的性质．16．如图，有一条折线A1B1A2B2A3B3A4B4…，它是由过A1〔0，0〕，B1〔2，2〕，A2〔4，0〕组成的折线依次平移4，8，12，…个单位得到的，直线y=kx+2与此折线恰有2n〔n≥1，且为整数〕个交点，那么k的值为．【答案】12n -．【解析】试题分析：∵A1〔0，0〕，A2〔4，0〕，A3〔8，0〕，A4〔12，0〕，…，∴A n〔4n﹣4，0〕．∵直线y=kx+2与此折线恰有2n〔n≥1，且为整数〕个交点，∴点A n+1〔4n，0〕在直线y=kx+2上，∴0=4nk+2，解得：k=12n-．故答案为：12n-．考点：一次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化﹣平移；规律型；综合题．三、解答题〔此题共2小题，每题5分，共10分．〕17．甲、乙、丙三个同学站成一排进行毕业合影留念，请用列表法或树状图列出所有可能的情形，并求出甲、乙两人相邻的概率是多少？【答案】23． 【解析】试题分析：用树状图表示出所有情况，再根据概率公式求解可得． 试题解析：用树状图分析如下：∴一共有6种情况，甲、乙两人恰好相邻有4种情况，∴甲、乙两人相邻的概率是46=23． 考点：列表法与树状图法．18．求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧⋯-≤-⋯+≤-+②①)23(2352513)1(4x x x x 的整数解． 【答案】0，1，2．考点：一元一次不等式组的整数解．四、解答题：本大题共2小题，每题6分，共12分． 19．先化简，再求值：⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+-22231231334222x x x x x x x x x ，其中x =4． 【答案】x ﹣2，2．考点：分式的化简求值．20．在“一带一路〞建议下，我国已成为设施联通，贸易畅通的促进者，同时也带动了我国与沿线国家的货物交换的增速开展，如图是湘成物流园 2022年通过“海、陆〔汽车〕、空、铁〞四种模式运输货物的统计图．请根据统计图解决下面的问题：〔1〕该物流园 2022年货运总量是多少万吨？〔2〕该物流园 2022年空运货物的总量是多少万吨？并补全条形统计图；〔3〕求条形统计图中陆运货物量对应的扇形圆心角的度数？【答案】〔1〕240；〔2〕36；〔3〕18°．〔2〕 2022年空运货物的总量是240×15%=36吨，条形统计图如下：〔3〕陆运货物量对应的扇形圆心角的度数为12240×360°=18°． 考点：条形统计图；扇形统计图．五、解答题：本大题共2小题，每题7分，共14分． 21．如图，反比例函数xky =的图象经过点A 〔4，m 〕，AB ⊥x 轴，且△AOB 的面积为2． 〔1〕求k 和m 的值；〔2〕假设点C 〔x ，y 〕也在反比例函数xky =的图象上，当﹣3≤x ≤﹣1时，求函数值y 的取值范围．【答案】〔1〕k =4，m =1；〔2〕﹣4≤y ≤﹣43． 【解析】试题分析：〔1〕根据反比例函数系数k 的几何意义先得到k 的值，然后把点A 的坐标代入反比例函数解析式，可求出k 的值；〔2〕先分别求出x =﹣3和﹣1时y 的值，再根据反比例函数的性质求解．考点：反比例函数系数k 的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征． 22．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 与⊙O 相切于C ，BE ∥CO ． 〔1〕求证：BC 是∠ABE 的平分线；〔2〕假设DC =8，⊙O 的半径OA =6，求CE 的长．【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕4.8． 【解析】试题分析：〔1〕由BE ∥CO ，推出∠OCB =∠CBE ，由OC =OB ，推出∠OCB =∠OBC ，可得∠CBE =∠CBO ； 〔2〕在Rt △CDO 中，求出OD ，由OC ∥BE ，可得DC DOCE OB=，由此即可解决问题； 试题解析：〔1〕证明：∵DE 是切线，∴OC ⊥DE ，∵BE ∥CO ，∴∠OCB =∠CBE ，∵OC =OB ，∴∠OCB =∠OBC ，∴∠CBE =∠CBO ，∴BC 平分∠ABE ．〔2〕在Rt △CDO 中，∵DC =8，OC =0A =6，∴OD 22CD OC +，∵OC ∥BE ，∴DC DO CE OB =，∴8106CE =，∴EC =4.8． 考点：切线的性质．六、解答题：本大题共2小题，每题8分，共16分．23．收发微信红包已成为各类人群进行交流联系，增强感情的一局部，下面是甜甜和她的双胞胎妹妹在六一儿童节期间的对话．请问：〔1〕 2022年到 2022年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是多少？ 〔2〕 2022年六一甜甜和她妹妹各收到了多少钱的微信红包？【答案】〔1〕10%；〔2〕甜甜在 2022年六一收到微信红包为150元，那么她妹妹收到微信红包为334元．试题解析：〔1〕设 2022年到 2022年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是x，依题意得：400〔1+x〕2=484，解得xx2=﹣2.1〔舍去〕．1=0.1=10%，答： 2022年到 2022年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是10%；〔2〕设甜甜在 2022年六一收到微信红包为y元，依题意得：2y+34+y=484，解得y=150，所以484﹣150=334〔元〕．答：甜甜在 2022年六一收到微信红包为150元，那么她妹妹收到微信红包为334元．考点：一元一次方程的应用；一元二次方程的应用；增长率问题．24．如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，底座BC=0.60米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB=75°，支架AF的长为2.50米，篮板顶端F点到篮框D的距离FD=1.35米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE=60°，求篮框D到地面的距离〔精确到0.01米〕〔参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.7323 1.7322≈1.414〕【答案】3.05．答：篮框D到地面的距离是3.05米．考点：解直角三角形的应用．七、解答题：每题10分，共20分．25．如图，抛物线的对称轴是y轴，且点〔2，2〕，〔1，54〕在抛物线上，点P是抛物线上不与顶点N重合的一动点，过P作PA⊥x轴于A，PC⊥y轴于C，延长PC交抛物线于E，设M是O关于抛物线顶点N的对称点，D是C点关于N的对称点．〔1〕求抛物线的解析式及顶点N的坐标；〔2〕求证：四边形PMDA是平行四边形；〔3〕求证：△DPE ∽△PAM ，并求出当它们的相似比为3时的点P 的坐标． 【答案】〔1〕2114y x =+， N 〔0，1〕；〔2〕证明见解析；〔3〕证明见解析，P 〔23，4〕或〔﹣23，4〕． 试题解析：〔1〕解：∵抛物线的对称轴是y 轴，∴可设抛物线解析式为2y ax c =+ ，∵点〔2，2〕，〔1，54〕在抛物线上，∴4254a c a c +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：141a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为2114y x =+，∴N 点坐标为〔0，1〕； 〔2〕证明：设P 〔t ，2114t +〕，那么C 〔0，2114t +〕，PA =2114t +，∵M 是O 关于抛物线顶点N 的对称点，D 是C 点关于N 的对称点，且N 〔0，1〕，∴M 〔0，2〕，∵OC =2114t +，ON =1，∴DM =CN =2114t +﹣1=214t ，∴OD =2114t -，∴D 〔0，2114t -+〕，∴DM =2﹣〔2114t -+〕=2114t +=PA ，且PM ∥DM ，∴四边形PMDA 为平行四边形；〔3〕解：同〔2〕设P 〔t ，2114t +〕，那么C 〔0，2114t +〕，PA =2114t +，PC =|t |，∵M 〔0，2〕，∴CM =2114t +﹣2=2114t -，在Rt △PMC 中，由勾股定理可得PM =22PC CM + =2221(1)4t t +- =221(1)4t + =2114t +=PA ，且四边形PMDA 为平行四边形，∴四边形PMDA 为菱形，∴∠APM =∠ADM =2∠PDM ，∵PE ⊥y 轴，且抛物线对称轴为y 轴，∴DP =DE ，且∠PDE =2∠PDM ，∴∠PDE =∠APM ，且PD DE PA PM =，∴△DPE ∽△PAM ；∵OA =|t |，OM =2，∴AM =24t +，且PE =2PC =2|t |，当相似比为3时，那么AM PE =3，即224t t + =3，解得t =23或t =﹣23，∴P 点坐标为〔23，4〕或〔﹣23，4〕．考点：二次函数综合题；压轴题．26．如图，直角△ABC 中，∠BAC =90°，D 在BC 上，连接AD ，作BF ⊥AD 分别交AD 于E ，AC 于F ． 〔1〕如图1，假设BD =BA ，求证：△ABE ≌△DBE ；〔2〕如图2，假设BD =4DC ，取AB 的中点G ，连接CG 交AD 于M ，求证：①GM =2MC ；②AG 2=AF •AC ．【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕①证明见解析；②证明见解析．试题解析：〔1〕在Rt △ABE 和Rt △DBE 中，∵BA =BD ，BE =BE ，∴△ABE ≌△DBE ；〔2〕①过G 作GH ∥AD 交BC 于H ，∵AG =BG ，∴BH =DH ，∵BD =4DC ，设DC =1，BD =4，∴BH =DH =2，∵GH ∥AD ，∴21GM HD MC DC ==，∴GM =2MC ；考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；和差倍分．。
2023年湖南省常德市中考数学真题(解析版)
2023年常德市初中学业水平考试数学试题卷一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）1.【答案】B【解析】解：∵3的相反数是3-，故选B ．2.【答案】C【解析】A 选项，()5995-+=-，故A 不符合题意；B 选项，()710710--=+，故B 不符合题意；C 选项，()505-+=-，故C 符合题意；D 选项，()()()8484-+-=-+，故D 不符合题意；故选：C ．3.【答案】C【解析】32312x x x -<⎧⎨+≥⎩①②解不等式①，移项，合并同类项得，5x <；解不等式②，移项，合并同类项得，1x ≥-故不等式组的解集为：15x -≤<．故选：C ．4.【答案】B【解析】甲乙丙甲（乙，甲）（丙，甲）乙（甲，乙）（丙，乙）丙（甲，丙）（乙，丙）有表格可得，一共有6种等可能得结果，其中甲、乙两人同时被选中的结果有2种，∴甲、乙两人同时被选中的概率为2163=．故选：B ．5.【答案】A【解析】∵2340a a +-=，∴234+=a a ∴()222632332435a a a a +-=+-=⨯-=，故选：A ．6.【答案】A【解析】A 选项，正方形的对角线相等且互相垂直平分，描述正确；B 选项，对角互补的四边形不一定是平行四边形，只是内接于圆，描述错误；C 选项，矩形的对角线不一定垂直，但相等，描述错误；D 选项，一组邻边相等的平行四边形才构成菱形，描述错误．故选：A ．7.【答案】C【解析】∵四边形ABCD 是正方形∴45OAD ODA ∠=∠=︒，AO DO=∵EF AD∥∴45OEF OAD ∠=∠=︒，45OFE ODA ∠=∠=︒∴OEF OFE∠=∠∴OE OF=又∵90AOF DOE ∠=∠=︒，AO DO=∴()SAS AOF DOE △≌△∴15ODE FAC ∠=∠=︒∴30ADE ODA ODE ∠=∠-∠=︒∴180105AED OAD ADE ∠=︒-∠-∠=︒故选：C ．8.【答案】C【解析】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致，故202023在第20列，即20b =；向前递推到第1列时，分数为201912023192042-=+，故分数202023与分数12042在同一行．即在第2042行，则2042a =．∴2042202022.a b -=-=故选：C ．二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）9.【答案】a 6b 3【解析】根据积的乘方运算法则可得（a 2b ）3=a 6b 3.10.【答案】()2a ab +【解析】解：3232222(2)()a a b b a a ab b a a b ++=++=+，故答案为：2()a a b +．11.【答案】4x ≥【解析】根据题意得：40x -≥，解得：4x ≥，故答案为：4x ≥．12.【答案】9810⨯【解析】98000000000810=⨯，故答案为：9810⨯．13.【答案】1k <【解析】解：∵关于x 的方程220x x k -+=有两个不相等的实数根，∴()224240b ac k ∆=-=-->，解得1k <．故答案为：1k <．14.【答案】8.5【解析】张华同学掷实心球10次的成绩出现频次最高的是8.5米，共3次，故张华同学掷实心球成绩的众数是8.5．故荅案为：8.5．15.【答案】45##0.8【解析】∵在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，8AB =，6BC =，∴2210AC AB BC =+=∵DE BC ∥∴90ADE ABC ∠=∠=︒，AED ACB∠=∠∴ADE ABC △△∽∴AD AE AB AC =∴AD AB AE AC =∵BAC DAE∠=∠∴BAC CAD DAE CAD∠+∠=∠+∠∴BAD CAE∠=∠∴ABD ACE∽∴84105BD AB CD AC ===．故答案为：45．16.【答案】0.1【解析】∵290OA OB AOB ︒==∠=，，∴22AB =，∵C 是弦AB 的中点，D 在 AB 上，CD AB ⊥，∴延长DC 可得O 在DC 上，122OC AB ==∴22CD OD OC =-=，∴(22222322CD s AB OA -=+=+=，9022360l ππ⨯⨯==，∴30.1l s π-=-≈．故答案为：0.1．三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）17.【答案】0【解析】原式1212=-⋅+11=-0=．18.【答案】52x y =⎧⎨=⎩【解析】解：将①2⨯得：242x y -=③+②③得：5x =将5x =代入①得：2y =所以52x y =⎧⎨=⎩是原方程组的解．四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）19.【答案】12x -，13【解析】解：原式()()3241222x x x x x x ++--=÷+-+()()32223x x x x x ++=⨯+-+12x =-，当5x =时，原式11523==-20.【答案】（1）2m =，3y x=-（2）1x <-或03x <<【解析】（1）将点()3,1B -代入1y x m =-+得：31m -+=-解得：2m =将()3,1B -代入2k y x=得：()313k =⨯-=-∴23y x =-（2）由12y y =得：32x x --+=，解得121,3x x =-=所以,A B 的坐标分别为()()1,3,3,1A B --由图形可得：当1x <-或03x <<时，12y y >五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21.【答案】（1）9.2（2）160吨；172吨（3）264.5吨【解析】（1）()230175%21%9.2⨯--=（吨）故答案为：9.2．（2）2018年至2022年该种粮大户粮食总产量从小到大排列如下：120，150，160，200，230∴2018年至2022年该种粮大户粮食总产量的中位数是160吨；()1201501602002305172++++÷=（吨）∴2018年至2022年该种粮大户粮食总产量的平均数是172吨；故答案为：160吨，172吨；（3）()230200200100%15%-÷⨯=()230115%264.5⨯+=（吨）∴2023年该粮食大户的粮食总产量是264.5吨．22.【答案】（1）A 型，B 型玩具的单价分别是10元/个，15元/个（2）最多可购进A 型玩具25个【解析】（1）设A 型玩具的单价为x 元/件．由题意得：12001500201.5x x-=，解得：10x =经检验，10x =是原方程的解B 型玩具的单价为101.515⨯=元/个∴A 型，B 型玩具的单价分别是10元/个，15元/个．（2）设购进A 型玩具m 个．()()()1210201575300m m -+--≥解得：25m ≤∴最多可购进A 型玩具25个．六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）23.【答案】72.8cm【解析】解：方法一：过点F 作FQ DC ⊥交DC 的延长线于点Q ，四边形ABCD 是平行四边形，114.2FBA ∠=︒，∴180114.265.8FCQ CBH ∠︒=∠=︒-︒=，57FC =∴sin 57sin 65.8FQ FC FCQ =⋅∠=⋅︒，过点A 作AP MN ⊥于点P ，由题意知AB CD MN ∥∥，FC AN ∥，∴65.8ANP FCQ ∠=∠=︒，又 43AN =，∴sin 43sin 65.8AP AN ANP =⋅∠=⋅︒，过C 作CH AB ⊥于点H ，BC CE =，16.4EB =，∴8.2BH =,∴tan 8.2tan 65.88.2 2.2318.29CH BH CBH =⋅∠=⨯︒=⨯≈，∴靠背顶端F 点距地面()MN 高度为57sin 65.843sin 65.818.29FQ AP HC +-=︒+︒-1000.9118.2972.7172.7cm =⨯-=≈；方法二：如图，过点F 作FQ DC ⊥交DC 的延长线于点Q ，过点C 作CH AB ⊥于点H ，延长AB 交FQ 于点S ，BC CE =，16.4EB =，∴8.2BH =，又 AB CD ，∴180114.265.8FCQ HBC ∠=∠=︒-︒=︒，∴8.20.4120cm cos BH BC CBH==÷=∠，∴()sin sin 5720sin 65.837sin 65.8FS FB FBS FB HBC =⋅∠=⋅∠=-⋅︒=︒，过A 作AP MN ⊥于P ，由题意知AB CD MN ∥∥，FC AN ∥，∴65.8ANP FCQ ∠=∠=︒，又 43AN =，∴sin 43sin65.8AP AN ANP =⋅∠=︒，∴靠背顶端F 点距地面()MN 高度为37sin65.843sin65.8FS AP +=︒+︒800.9172.8cm =⨯=．24.【答案】（1）证明见解析；（2）245EC =，185DE =．【解析】（1）连接OC ∵C 为 BD的中点，∴CD BC = ，∴12∠=∠，又∵OA OC =，∴23∠∠=，∴13∠=∠，∴AE OC ∥，又∵CE AE ⊥，∴CE OC ⊥，OC 为半径，∴CE 为O 的切线，（2）∵AB 为O 直径，∴90ACB ∠=︒，∵6,8BC AC ==，∴10AB =，又∵12∠=∠，90AEC ACB ∠=∠=︒，∴AEC ACB ∽，∴EC AC CB AB =，即8610EC =，∴245EC =，∵ CDCB =，∴CD BC 6==，在DEC Rt △中，由勾股定理得：185DE ===．七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）25.【答案】（1）()()15y x x =-+-（2）30（3）127,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）∵二次函数的图象与x 轴交于()()1,0,5,0A B -两点．∴设二次函数的表达式为()()15y a x x =+-∵11,tan 5AO ACO =∠=，∴5OC =，即C 的坐标为()0,5则()()50105a =+-，得1a =-∴二次函数的表达式为()()15y x x =-+-；（2）()()215(2)9y x x x =-+-=--+∴顶点的坐标为()2,9过D 作DN AB ⊥于N ，作DM OC ⊥于M ，四边形ACDB 的面积AOC CDM DNB OMDN S S S S =+-+△△△矩形()()111152929552930222=⨯⨯+⨯-⨯⨯-+⨯-⨯=；（3）如图，P 是抛物线上的一点，且在第一象限，当ACO PBC ∠=∠时，连接PB ，过C 作CE BC ⊥交BP 于E ，过E 作EF OC ⊥于F ，∵5OC OB ==，则OCB 为等腰直角三角形，45OCB ∠=︒．由勾股定理得：52CB =∵ACO PBC ∠=∠，∴tan tan ACO PBC ∠=∠，即1552CE CB ==，∴2CE =由CH BC ⊥，得90BCE ∠=︒，∴180180904545ECF BCE OCB ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．∴EFC 是等腰直角三角形∴1FC FE ==∴E 的坐标为()1,6所以过B E 、的直线的解析式为31522y x =-+令()()3152215y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=-+-⎩解得50x y =⎧⎨=⎩，或12274x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以BE 直线与抛物线的两个交点为()1275,0,,24B P ⎛⎫ ⎪⎝⎭即所求P 的坐标为127,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭26.【答案】（1）证明见解析（2）①见解析，②见解析【解析】（1）证明：∵AB AC D =，是BC 的中点，∴AD 是BC 的垂直平分线，又∵E 在AD 上，∴EB EC =，在BAE 和CAE V 中，,,AB AC EB EC AE AE===∴(SSS)BAE CAE △≌△（2）证明：①连接AH，∵,A H 分别是ED 和EC 的中点，∴AH 为EDC △的中位线，∴∥AH DC ，∴90EAH EDC ∠=∠=︒，又∵DF AB ⊥，∴90AFD ∠=︒，又∵HG AB ，∴FAD AMH ∠=∠，在AFD △和MAH 中，90,AFD MAH FAD AMH ∠=∠=︒∠=∠，∴AFD MAH △∽△，∴AF AD AM MH=，∴AF MH AM AD ⋅=⋅，又∵AE AD =，∴AF MH AM AE ⋅=⋅；②在AMH 和DAC △中，90MAH ADC ∠=∠=︒，∵AB AC =，∴A ABC CB =∠∠，∵DF AB ⊥，∴90FAD ADF ∠+∠=︒，∵90F AB D D A +=︒∠∠，∴F ABD AD =∠∠，∵AB HG ∥，∴90AFD HGD ==︒∠∠，∵AMH GMD ∠=∠，∴F AHM AD =∠∠，∴ABD ADF AHM ∠=∠=∠，∴AHM ACB ∠=∠，∴AMH DAC △∽△，又∵A 、H 分别为ED 和EC 中点，∴AH 为EDC △的中位线，∴12AM AH AD DC ==，∴12AM AD =，即M 为AD 中点，∥，又∵AF GH ∴G为FD中点，.∴GF GD。
常德中考数学试题及答案
常德中考数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. 0.5B. √2C. 3.14D. 0.33333...答案：B2. 已知等腰三角形的两边长分别为3和5，那么它的周长是多少？A. 11B. 13C. 16D. 17答案：B3. 函数y=2x+3的图像与x轴的交点坐标是？A. (-3/2, 0)B. (3/2, 0)C. (0, 3)D. (0, -3)答案：A4. 下列哪个选项是二次函数y=ax^2+bx+c的顶点坐标？A. (-b/2a, 4ac-b^2/4a)B. (b/2a, 4ac-b^2/4a)C. (-b/a, c)D. (b/a, c)答案：B5. 一个圆的半径为5，那么它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π答案：B6. 一个长方体的长、宽、高分别为2、3、4，那么它的体积是多少？A. 24B. 36C. 48D. 64答案：A7. 一个角的正弦值是1/2，那么这个角的度数是多少？A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：A8. 一个等差数列的首项是1，公差是2，那么它的第5项是多少？A. 9B. 10C. 11D. 12答案：A9. 一个二次方程ax^2+bx+c=0的判别式是b^2-4ac，那么当判别式大于0时，方程的解的情况是？A. 无实数解B. 有两个不相等的实数解C. 有两个相等的实数解D. 无法确定答案：B10. 一个函数的图像是一条直线，那么这个函数是？A. 一次函数B. 二次函数C. 三次函数D. 常数函数答案：A二、填空题（每题3分，共15分）11. 一个数的相反数是-5，那么这个数是________。
答案：512. 一个数的绝对值是8，那么这个数可以是________或________。
答案：8或-813. 一个角的补角是120°，那么这个角是________。
2020年湖南省常德市中考数学试卷(解析版)
2020年湖南省常德市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）4的倒数为（ ）A．B．2C．1D．﹣4【分析】根据倒数的意义，乘积是1的两个数叫做互为倒数，求倒数的方法，是把一个数的分子和分母互换位置即可，是带分数的化成假分数，再把分子分母互换位置，据此解答．【解答】解：4的倒数为．故选：A．2．（3分）下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是（ ）A．B ．C ．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；故选：C．第1页（共23页）3．（3分）如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（ ）A．70°B．65°C．35°D．5°【分析】根据平行线的性质和∠1＝30°，∠2＝35°，可以得到∠BCE的度数，本题得以解决．【解答】解：作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴AB∥DE∥DE，∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，∵∠1＝30°，∠2＝35°，∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，∴∠BCE＝65°，故选：B．4．（3分）下列计算正确的是（ ）A．a2+b2＝（a+b）2B．a2+a4＝a6C．a10÷a5＝a2D．a2•a3＝a5【分析】根据完全平方公式、合并同类项法则、同底数幂的乘除法计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、a2+2ab+b2＝（a+b）2，原计算错误，故此选项不符合题意；B、a2与a4不是同类项不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；第2页（共23页）C、a10÷a5＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意；D、a2•a3＝a5，原计算正确，故此选项符合题意；故选：D．5．（3分）下列说法正确的是（ ）A．明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上C．了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式D．一组数据的众数一定只有一个【分析】根据必然事件的概念、众数的定义、随机事件的概率逐项分析即可得出答案．【解答】解：A、明天的降水概率为80%，则明天下雨可能性较大，故本选项错误；B 、抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面朝上的概率是，故本选项错误；C、了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式，故本选项正确；D、一组数据的众数不一定只有一个，故本选项错误；故选：C．6．（3分）一个圆锥的底面半径r＝10，高h＝20，则这个圆锥的侧面积是（ ）A．100πB．200πC．100πD．200π【分析】先利用勾股定理计算出母线长，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．【解答】解：这个圆锥的母线长＝＝10，这个圆锥的侧面积＝×2π×10×10＝100π．故选：C．7．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：第3页（共23页）①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（ ）A．4B．3C．2D．1【分析】先由抛物线与x周董交点个数判断出结论①，利用抛物线的对称轴为x＝2，判断出结论②，先由抛物线的开口方向判断出a＜0，进而判断出b＞0，再用抛物线与y轴的交点的位置判断出c＞0，判断出结论③，最后用x＝﹣2时，抛物线在x轴下方，判断出结论④，即可得出结论．【解答】解：由图象知，抛物线与x轴有两个交点，∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＞0，故①正确，由图象知，抛物线的对称轴直线为x＝2，∴﹣＝2，∴4a+b＝0，故②正确，由图象知，抛物线开口方向向下，∴a＜0，∵4a+b＝0，∴b＞0，而抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0，∴abc＜0，故③正确，由图象知，当x＝﹣2时，y＜0，第4页（共23页）∴4a﹣2b+c＜0，故④错误，即正确的结论有3个，故选：B．8．（3分）如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（ ）A．C、E B．E、F C．G、C、E D．E、C、F【分析】设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝k（k+1），然后根据题目中所给的第k次依次移动k个顶点的规则，可得到不等式最后求得解．【解答】解：经实验或按下方法可求得顶点C，E和F棋子不可能停到．设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k ＝k（k+1），应停在第k（k+1）﹣7p格，这时P是整数，且使0≤k（k+1）﹣7p≤6，分别取k＝1，2，3，4，5，6，7时，k（k+1）﹣7p＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，若7＜k≤2020，设k＝7+t（t＝1，2，3）代入可得，k（k+1）﹣7p＝7m +t（t+1），由此可知，停棋的情形与k＝t时相同，第5页（共23页）故第2，4，5格没有停棋，即顶点C，E和F棋子不可能停到．故选：D．二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）9．（3分）分解因式：xy2﹣4x＝ x（y+2）（y﹣2） ．【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝x（y2﹣4）＝x（y+2）（y﹣2），故答案为：x（y+2）（y﹣2）10．（3分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x＞3 ．【分析】根据二次根式有意义的条件可得2x﹣6＞0，再解即可．【解答】解：由题意得：2x﹣6＞0，解得：x＞3，故答案为：x＞3．11．（3分）计算：﹣+＝ 3 ．【分析】直接化简二次根式进而合并得出答案．【解答】解：原式＝﹣+2＝3．故答案为：3．12．（3分）如图，若反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积为6，则k＝ ﹣12 ．第6页（共23页）第7页（共23页）【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义即可解决问题．【解答】解：∵AB ⊥OB ，∴S △AOB ＝＝6，∴k ＝±12，∵反比例函数的图象在二四象限，∴k ＜0，∴k ＝﹣12，故答案为﹣12．13．（3分）4月23日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时间，统计如下：阅读时间（x 小时）x ≤3.5 3.5＜x ≤55＜x ≤6.5x ＞6.5人数12864若该校共有1200名学生，试估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为 400人 ．【分析】用总人数×每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数所占的百分比即可得到结论．【解答】解：1200×＝400（人），答：估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为400人．14．（3分）今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是 4 次．【分析】设李红出门没有买到口罩的次数是x，买到口罩的次数是y，根据买口罩的次数是10次和家里现有口罩35只，可列出关于x和y的二元一次方程组，求解即可．【解答】解：设李红出门没有买到口罩的次数是x，买到口罩的次数是y ，由题意得：，整理得：，解得：．故答案为：4．15．（3分）如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2， ．此时DA与DC重合（A、C都落在G点），若GF＝4，EG＝6，则DG的长为 12【分析】设正方形ABCD的边长为x，由翻折及已知线段的长，可用含x的式子分别表示出BE、BF及EF 的长；在Rt△BEF中，由勾股定理得关于x的方程，解得x的值，即为DG的长．【解答】解：设正方形ABCD的边长为x，由翻折可得：DG＝DA＝DC＝x，∵GF＝4，EG＝6，∴AE＝EG＝6，CF＝GF＝4，∴BE＝x﹣6，BF＝x﹣6，EF＝6+4＝10，如图1所示：第8页（共23页）第9页（共23页）在Rt △BEF 中，由勾股定理得：BE 2+BF 2＝EF 2，∴（x ﹣6）2+（x ﹣4）2＝102，∴x 2﹣12x +36+x 2﹣8x +16＝100，∴x 2﹣10x ﹣24＝0，∴（x +2）（x ﹣12）＝0，∴x 1＝﹣2（舍），x 2＝12．∴DG ＝12．故答案为：12．16．（3分）阅读理解：对于x 3﹣（n 2+1）x +n 这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x 3﹣（n 2+1）x +n ＝x 3﹣n 2x ﹣x +n ＝x （x 2﹣n 2）﹣（x ﹣n ）＝x （x ﹣n ）（x +n ）﹣（x ﹣n ）＝（x ﹣n ）（x 2+nx ﹣1）．理解运用：如果x 3﹣（n 2+1）x +n ＝0，那么（x ﹣n ）（x 2+nx ﹣1）＝0，即有x ﹣n ＝0或x 2+nx ﹣1＝0，因此，方程x ﹣n ＝0和x 2+nx ﹣1＝0的所有解就是方程x 3﹣（n 2+1）x +n ＝0的解．解决问题：求方程x 3﹣5x +2＝0的解为 x ＝2或x ＝﹣1+或x ＝﹣1﹣ ．【分析】将原方程左边变形为x 3﹣4x ﹣x +2＝0，再进一步因式分解得（x ﹣2）[x （x +2）﹣1]＝0，据此得到两个关于x 的方程求解可得．【解答】解：∵x 3﹣5x +2＝0，∴x 3﹣4x ﹣x +2＝0，∴x（x2﹣4）﹣（x﹣2）＝0，∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，则（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0，∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0，解得x＝2或x＝﹣1，故答案为：x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣．三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）17．（5分）计算：20+（）﹣1•﹣4tan45°．【分析】先计算20、、（）﹣1、tan45°，再按运算顺序求值即可．【解答】解：原式＝1+3×2﹣4×1＝1+6﹣4＝3．18．（5分）解不等式组．【分析】首先分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律确定不等式组的解集．【解答】解：，由①得：x＜5，由②得：x≥﹣1，不等式组的解集为：﹣1≤x＜5．四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）第10页（共23页）19．（6分）先化简，再选一个合适的数代入求值：（x +1﹣）÷．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：（x +1﹣）÷＝＝＝＝，当x＝2时，原式＝＝﹣．20．（6分）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G 与5G的下载速度分别是每秒多少兆？【分析】首先设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，根据题意可得等量关系：4G下载600兆所用时间﹣5G下载600兆所用时间＝140秒．然后根据等量关系，列出分式方程，再解即可．【解答】解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，由题意得：﹣＝140，解得：x＝4，经检验：x＝4是原分式方程的解，且符合题意，15×4＝60，第11页（共23页）答：该地4G的下载速度是每秒4兆，则该地5G的下载速度是每秒60兆．五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21．（7分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（3，18）和B（﹣2，8）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y ＝（m≠0）的图象只有一个交点，求交点坐标．【分析】（1）直接把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数y＝kx+b中可得关于k、b的方程组，再解方程组可得k、b的值，进而求出一次函数的解析式；（2）联立一次函数解析式和反比例函数解析式，根据题意得到△＝0，解方程即可得到结论．【解答】解：（1）把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数y＝kx+b（k≠0），得，解得，∴一次函数的解析式为y＝2x+12；（2）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象只有一个交点，∴只有一组解，即2x2+12x﹣m＝0有两个相等的实数根，∴△＝122﹣4×2×（﹣m）＝0，∴m＝﹣18．把m＝﹣18代入求得该方程的解为：x＝﹣3，把x＝﹣3代入y＝2x+12得：y＝6，即所求的交点坐标为（﹣3，6）．第12页（共23页）22．（7分）如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，若AC＝2米，求BC的长度．（结果保留一位小数）（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41）【分析】直接过点C作CF⊥AB于点F，利用锐角三角函数关系得出CF的长，进而得出BC的长．【解答】方法一：解：如图1，过点C作CF⊥AB于点F，在Rt△ACF中，∵sin∠CAB＝sin（60°+5°）＝sin65°＝，∴CF＝AC•sin65°≈2×0.91＝1.82，在Rt△BCF中，∵∠ABC＝45°，∴CF＝BF，∴BC＝CF＝1.41×1.82＝2.5662≈2.6，答：所求BC的长度约为2.6米．方法二：解：如图2，过点A作AE⊥BC于点E，在Rt△ACE中，∵∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°，∴cos C＝cos70°＝，第13页（共23页）即CE＝AC×cos70°≈2×0.34＝0.68，sin C＝sin70°＝，即AE＝AC×sin70°≈2×0.94＝1.88，又∵在Rt△AEB中，∠ABC＝45°，∴AE＝BE，∴BC＝BE+CE＝0.68+1.88＝2.56≈2.6，米．答：所求BC的长度约为2.6六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）23．（8分）今年2﹣4月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．（1）轻症患者的人数是多少？（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A、B、C、D、E五位患者任选两位第14页（共23页）转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率．【分析】（1）因为总人数已知，由轻症患者所占的百分比即可求出其的人数；（2）求出该市危重症患者所占的百分比，即可求出其共花费的钱数；（3）用加权平均数公式求出各种患者的平均费用即可；（4）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与恰好选中B、D两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）轻症患者的人数＝200×80%＝160（人）；（2）该市为治疗危重症患者共花费钱数＝200×（1﹣80%﹣15%）×10＝100（万元）；（3）所有患者的平均治疗费用＝＝2.15（万元）；（4）列表得：A B C D EA（B，A）（C，A）（D，A）（E，A）B（A，B）（C，B）（D，B）（E，B）C（A，C）（B，C）（D，C）（E，C）D（A，D）（B，D）（C，D）（E，D）第15页（共23页）第16页（共23页）E （A ，E ）（B ，E ）（C ，E ）（D ，E ）由列表格，可知：共有20种等可能的结果，恰好选中B 、D 两位同学的有2种情况，∴P （恰好选中B 、D ）＝＝．24．（8分）如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，D 是AB 上的一点，DE ⊥AB 于D ，DE 交BC 于F，且EF ＝EC ．（1）求证：EC 是⊙O 的切线；（2）若BD ＝4，BC ＝8，圆的半径OB ＝5，求切线EC 的长．【分析】（1）连接OC ，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得∠OCB +∠ECF ＝90°，可证EC 是⊙O 的切线；（2）由勾股定理可求AC ＝6，由锐角三角函数可求BF ＝5，可求CF ＝3，通过证明△OAC ∽△ECF ，可得，可求解．【解答】解：（1）连接OC ，∵OC ＝OB ，∴∠OBC ＝∠OCB ，∵DE⊥AB，∴∠OBC+∠DFB＝90°，∵EF＝EC，∴∠ECF＝∠EFC＝∠DFB，∴∠OCB+∠ECF＝90°，∴OC⊥CE，∴EC是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OB＝5，∴AB＝10，∴AC＝＝＝6，∵cos∠ABC＝，∴，∴BF＝5，∴CF＝BC﹣BF＝3，∵∠ABC+∠A＝90°，∠ABC+∠BFD＝90°，∴∠BFD＝∠A，∴∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，第17页（共23页）∴△OAC∽△ECF，∴，∴EC＝＝＝．七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）25．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线l过点A，M （，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB；（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．（2）构建方程组确定点B的坐标，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．（3）如图2中，设P（t ，t2），根据PD＝CD构建方程求出t即可解决问题．【解答】解：（1）把点A（﹣3，）代入y＝ax2，得到＝9a，∴a＝，第18页（共23页）∴抛物线的解析式为y＝x2．（2）设直线l的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线l的解析式为y＝﹣x +，令x＝0，得到y ＝，∴C（0，），由，解得或，∴B（1，），如图1中，过点A作AA1⊥x轴于A1，过B作BB1⊥x轴于B1，则BB1∥OC∥AA1，第19页（共23页）∴＝＝＝，＝＝＝，∴＝，即MC2＝MA•MB．（3）如图2中，设P（t ，t2）∵OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，∴PD∥OC，PD＝OC，∴D（t，﹣t +），∴|t2﹣（﹣t +）|＝，整理得：t2+2t﹣6＝0或t2+2t＝0，解得t＝﹣1﹣或﹣1＝或﹣2或0（舍弃），∴P（﹣1﹣，2+）或（﹣1+，2﹣）或（﹣2，1）．26．（10分）已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF 交于N．第20页（共23页）（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；．（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°【分析】（1）①证明△CBP是直角三角形，根据直角三角形斜边中线可得结论；②根据同位角相等可得BC∥EF，由平行线的性质得BP⊥EF，可得EF是线段BP的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠PFE＝∠BFE＝30°；（2）如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ，证明△QEP≌△DEC（SAS），则PQ＝DC＝DB，由QE＝DE，∠DEF＝90°，知EF是DQ的垂直平分线，证明△FQP≌△FDB（SAS），再由EF是DQ的垂直平分线，可得结论．【解答】证明（1）①∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝90°﹣30°＝60°，同理∠EDF＝60°，∴∠A＝∠EDF＝60°，∴AC∥DE，∴∠DMB＝∠ACB＝90°，∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，AC∥DM，∴，即M是BC的中点，第21页（共23页）∵EP＝CE，即E是PC的中点，∴ED∥BP，∴∠CBP＝∠DMB＝90°，∴△CBP是直角三角形，∴BE ＝PC＝EP；②∵∠ABC＝∠DFE＝30°，∴BC∥EF，由①知：∠CBP＝90°，∴BP⊥EF，∵EB＝EP，∴EF是线段BP的垂直平分线，∴PF＝BF，∴∠PFE＝∠BFE＝30°；，（2）如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ∵EC＝EP，∠DEC＝∠QEP，∴△QEP≌△DEC（SAS），则PQ＝DC＝DB，第22页（共23页）∵QE＝DE，∠DEF＝90°∴EF是DQ的垂直平分线，∴QF＝DF，∵CD＝AD，∴∠CDA＝∠A＝60°，∴∠CDB＝120°，∴∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP，∴△FQP≌△FDB（SAS），∴∠QFP＝∠BFD，∵EF是DQ的垂直平分线，∴∠QFE＝∠EFD＝30°，∴∠QFP+∠EFP＝30°，∴∠BFD+∠EFP＝30°．第23页（共23页）。
2022年湖南省常德市中考数学试题(解析版)
2022年常德市初中学业水平考试数学试题卷一、选择题1.在3317，π，2022这五个数中无理数的个数为（）A.2B.3C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】根据无理数的概念，无限不循环小数是无理数即可判断．【详解】解：在3317，π，2022π，共2个．故选：A ．【点睛】本题主要考查无理数的概念，掌握无理数的概念是解题的关键．2.国际数学家大会每四举行一届，下面四届国际数学家大会会标中是中心对称图形的是（）A. B. C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据中心对称的概念对各图形分析判断即可得解．【详解】解：A 不是中心对称图形，故A 错误；B 是中心对称图形，故B 正确；C 不是中心对称图形，故C 错误；D 不是中心对称图形，故D 错误；故选B ．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180︒后两部分重合，理解并掌握如何判断中心对称图形的条件是解题的关键．3.计算434x x ⋅的结果是（）A.x B.4xC.74x D.11x 【答案】C 【解析】【分析】根据同底数幂的乘法进行计算即可得出结果．【详解】解：43437444x x x x +⋅==，故C 正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则，是解题的关键．4.下列说法正确的是（）A.为了解近十年全国初中生的肥胖人数变化趋势，采用扇形统计图最合适B.“煮熟的鸭子飞了”是一个随机事件C.一组数据的中位数可能有两个D.为了解我省中学生的睡眠情况，应采用抽样调查的方式【答案】D 【解析】【分析】根据统计图的选择，随机事件的定义，中位数的定义，抽样调查与普查逐项分析判断即可求解．【详解】解：A.为了解近十年全国初中生的肥胖人数变化趋势，采用折线统计图最合适，故该选项不正确，不符合题意；B.“煮熟的鸭子飞了”是一个不可能事件，故该选项不正确，不符合题意；C.一组数据的中位数只有1个，故该选项不正确，不符合题意；D.为了解我省中学生的睡眠情况，应采用抽样调查的方式，故该选项正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了统计图的选择，随机事件的定义，中位数的定义，抽样调查与普查，掌握相关定义以及统计图知识是解题的关键．必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系．5.从1，2，3，4，5这五个数中任选两个数，其和为偶数的概率为（）A.15 B.25 C.35 D.45【答案】B【解析】【分析】根据列表法求概率即可求解．【详解】解：列表如下，12345 13456 23567 34578 45679 56789共有20种等可能结果，其中和为偶数的有8种，则其和为偶数的概率为820=25故选B【点睛】本题考查了列表法求概率，掌握求概率的方法是解题的关键．6.关于x 的一元二次方程240x x k -+=无实数解，则k 的取值范围是（）A.4k > B.4k < C.4k <- D.1k >【答案】A 【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式小于0即可求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程240x x k -+=无实数解，∴1640k ∆=-<解得：4k >故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++=(0a a b c ≠，，，为常数)的根的判别式24b ac ∆=-，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当∆<0时，方程没有实数根．7.如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，30ACB ∠=︒，将ABC 绕点C 顺时针旋转60︒得到DEC ，点A 、B 的对应点分别是D ，E ，点F 是边AC 的中点，连接BF ，BE ，FD ．则下列结论错误的是（）A.BE BC =B.BF DE ∥，BF DE=C.90DFC ∠=︒ D.3DG GF=【答案】D【解析】【分析】根据旋转的性质可判断A；根据直角三角形的性质、三角形外角的性质、平行线的判定方法可判断B；根据平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质可判断C；利用等腰三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质可判断D．【详解】A．∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，∴∠BCE=∠ACD=60°，CB=CE，∴△BCE是等边三角形，∴BE=BC，故A正确；B．∵点F是边AC中点，∴CF=BF=AF=12 AC，∵∠BCA=30°，∴BA=12 AC，∴BF=AB=AF=CF，∴∠FCB=∠FBC=30°，延长BF交CE于点H，则∠BHE=∠HBC+∠BCH=90°，∴∠BHE=∠DEC=90°，∴BF//ED，∵AB=DE，∴BF=DE，故B正确．C．∵BF∥ED，BF=DE，∴四边形BEDF是平行四边形，∴BC =BE =DF ，∵AB =CF ，BC =DF ，AC =CD ，∴△ABC ≌△CFD ，∴=90DFC ABC ∠=∠︒，故C 正确；D ．∵∠ACB =30°，∠BCE =60°，∴∠FCG =30°，∴FG =12CG ，∴CG =2FG ．∵∠DCE =∠CDG =30°，∴DG =CG ，∴DG =2FG ．故D 错误．故选D ．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含30°角的直角边等于斜边的一半，以及平行四边形的判定与性质等知识，综合性较强，正确理解旋转性质是解题的关键．8.3=3=3=，…，3n =个根号，一般地，对于正整数a，b，如果满足n a =个根号时，称(),a b 为一组完美方根数对．如上面()3,6是一组完美方根数对．则下面4个结论：①()4,12是完美方根数对；②()9,91是完美方根数对；③若(),380a 是完美方根数对，则20a =；④若(),x y 是完美方根数对，则点(),P x y 在抛物线2y x x =-上．其中正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】【分析】根据定义逐项分析判断即可．【详解】解：4=，∴()4,12是完美方根数对；故①正确；10=9≠∴()9,91不是完美方根数对；故②不正确；若(),380a a =即2380a a =+解得20a =或19a =-a 是正整数则20a =故③正确；若(),x y x=2y x x ∴+=,即2y x x =-故④正确故选C【点睛】本题考查了求算术平方根，解一元二次方程，二次函数的定义，理解定义是解题的关键．二、填空题9.|－6|＝______．【答案】6【解析】【分析】根据绝对值的意义，直接求解即可．【详解】|66|=－故答案为6．【点睛】本题考查了绝对值的意义，正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；理解绝对值的意义是解题的关键．10.分解因式：329x xy -=________．【答案】(3)(3)x x y x y -+【解析】【分析】先提取公因式，然后再根据平方差公式即可得出答案．【详解】原式=32229(9)x xy x x y -=-=(3)(3)x x y x y -+．故答案为：(3)(3)x x y x y -+．【点睛】本题考查分解因式，解题的关键是熟练掌握分解因式的方法．11.x 的取值范围是______．【答案】4x >【解析】【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【详解】解：根据题意，得：4040x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得：x >4，故答案为：x >4．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件是二次根式的被开方数是非负数，分式有意义的条件是分母不为0．12.方程()21522x x x x+=-的解为________．【答案】4x =【解析】【分析】根据方程两边同时乘以()22x x -，化为整式方程，进而进行计算即可求解，最后注意检验．【详解】解：方程两边同时乘以()22x x -，()()222252x x ⨯-+=⨯-482510x x -+=-解得4x =经检验，4x =是原方程的解故答案为：4x =【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程一定要注意检验．13.如图是一个正方体的展开图，将它拼成正方体后，“神”字对面的字是________．【答案】月【解析】【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．【详解】解：由正方体的展开图特点可得：“神”字对面的字是“月”．故答案为：月．【点睛】此题考查了正方体相对两个面上的文字的知识；掌握常见类型展开图相对面上的两个字的特点是解决本题的关键．14.今年4月23日是第27个世界读书日，某校举行了演讲大赛，演讲得分按“演讲内容”占40%、“语言表达”占40%、“形象风度”占10%、“整体效果”占10%进行计算，小芳这四项的得分依次为85，88，92，90，则她的最后得分是________分．【答案】87.4【解析】【分析】根据加权平均数的计算公式列式计算可得．【详解】解：根据题意得她的最后得分是为：8540%8840%9210%9010%87.4⨯+⨯+⨯+⨯=（分）；故答案为：87.4．【点睛】本题考查的是加权平均数的求法，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．15.如图，已知F 是ABC 内的一点，FD BC ∥，FE AB ∥，若BDFE 的面积为2，13BD BA =，14BE BC =，则ABC 的面积是________．【答案】12【解析】【分析】延长EF 、DF 分布交AC 于点M 、N ，可以得到相似三角形并利用相似三角形分别求出AM 、MN 、CN 之间的关系，从而得到三角形的面积关系即可求解．【详解】解：如图所示：延长EF 、DF 分布交AC 于点M 、N ，FD BC ∥，FE AB ∥，13BD BA =，14BE BC =，∴32CE BE AD BD ==，，32CM CE AN AD AM BE CN BD∴====，，∴令AM x =，则3CM x =，4AC x ∴=，28143333AN AC x CN AC x ∴====，，53MN x ∴=，∴5589NM NM AN MC ==，，25:6425:81NMF NAD NMF MEC S S S S ==△△△△：，：，∴设256481NMF NAD MEC S a S a S a ===△△△，，，56FECN S a ∴=四边形，2120ABC S a ∴=+△，264421209ADN ABC S a AD S a AB ⎛⎫∴=== ⎪+⎝⎭△，求出112a =,212012ABC S a ∴=+=△，故答案为：12．【点睛】本题考查了相似三角形中的A 型，也可以利用平行线分线段成比例知识，具有一定的难度，不断的利用相似三角形的性质：对应线段成比例进行求解线段的长度；利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键．16.剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；……；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为________．【答案】6【解析】【分析】根据多边形的内角和进行即可求解．【详解】解：根据题意用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，则每剪一次，所有的多边形的内角和增加360°，10张纸片，则剪了9次，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5张四边形纸片，设还有一张多边形纸片的边数为n ，()()()52180318042180521803603609n ∴-⨯︒+⨯︒+-⨯︒⨯+-⨯︒=︒+︒⨯，解得6n =．故答案为：6．【点睛】本题考查了多边形内角和公式，理解题意是解题的关键．三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）17.计算：2013sin 30452-︒︒⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【答案】1【解析】【分析】根据零次幂，负整指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质进行计算即可求解．【详解】解：原式＝11422-⨯+1=．【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握零次幂，负整指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质是解题的关键．18.求不等式组5134{1233x x x x ＞---≤-的解集．【答案】32-＜x≤1．【解析】【分析】要求不等式组的解，只需要求出这两个不等式得解，然后根据不等式的解的公共部分确定不等式组的解．【详解】解：51341233x x x x --⎧⎪⎨-≤-⎪⎩＞①②由①得：x ＞32-，由②得：x ≤1，所以原不等式组的解集为32-＜x ≤1．四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）19.化简：231122a a a a a +-⎛⎫-+÷ ⎪++⎝⎭【答案】11a a +-【解析】【分析】原式括号中通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，再将分子分母分别因式分解，进而约分得到最简结果即可．【详解】解：原式()()()()12322211a a a a a a a a -+⎡⎤++=+⋅⎢⎥+++-⎣⎦()()22232211a a a a a a a a -+-+++=⋅++-()()22111a a a a ++=+-()()()2111a a a +=+-11a a +=-．【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式运算法则是解本题的关键．20.小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小时，某天，他们以平常的速度行驶了12的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20千米／小时，到达奶奶家时共用了5小时，问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？【答案】240千米【解析】【分析】平常速度行驶了12的路程用时为2小时，后续减速后用了3小时，用遇到暴雨前行驶路程加上遇到暴雨后行驶路程等于总路程这个等量关系列出方程求解即可．【详解】解：设小强家到他奶奶家的距离是x 千米，则平时每小时行驶4x 千米，减速后每小时行驶204x ⎛⎫- ⎪⎝⎭千米，由题可知：遇到暴雨前用时2小时，遇到暴雨后用时5-2=3小时，则可得：232044x x x ⎛⎫⨯+-= ⎪⎝⎭，解得：240x =，答：小强家到他奶奶家的距离是240千米．【点睛】本题考查了一元一次方程应用中的行程问题，直接设未知数法，找到准确的等量关系，列出方程正确求解是解题的关键．五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21.如图，已知正比例函数1y x =与反比例函数2y 的图象交于()2,2A ，B 两点．（1）求2y 的解析式并直接写出12y y <时x 的取值范围；（2）以AB 为一条对角线作菱形，它的周长为10，在此菱形的四条边中任选一条，求其所在直线的解析式．【答案】（1）02x <<或2x <-（2）14+33y x =或1433y x =-或34y x =-或34y x =+【解析】【分析】（1）由点()2,2A 可求出反比例函数2y 的解析式，根据反比例函数的对称性可求出()2,2B --，从而求解出12y y <时x 的取值范围；（2）由菱形的性质和判定可知另外两个点在直线y x =-的图象上且两个点关于原点对称，从而可求出这两个点的坐标即可求解．【小问1详解】解：设2(0)k y k x =≠， ()2,2A 在反比例函数2(0)k y k x =≠的图象上，224k xy ∴==⨯=，24y x∴=， 由反比例函数图象的性质对称性可知：A 与B 关于原点对称，即()2,2B --，∴当02x <<或2x <-时，12y y <；【小问2详解】如图所示，菱形的另外两个点设为M 、N，由菱形的性质和判定可知M 、N 在直线y x =-的图象上且两个点关于原点对称，不妨设()()0M a a a -<，，则()N a a -，， 菱形AMBN的周长为，AM ∴=AO == ，AB MN ⊥，MO ∴==1a ∴=-，即()11M -，，(11)N -，，设直线AM 的解析式为：y mx n =+,则：122m n m n -+=⎧⎨+=⎩，解得：1343m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴AM 的解析式为：14+33y x =，同理可得AN 的解析式为：34y x =-，BM 的解析式为：34y x =+，BN的解析式为：1433 y x=-．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合性问题，涉及了菱形性质的应用，勾股定理等知识，熟练掌握反比例函数与一次函数解析式求法，菱形性质的灵活应用是解题的关键．22.2020年7月，教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》中明确要求中小学劳动教育课平均每周不少于1课时，初中生平均每周劳动时间不少于3小时．某初级中学为了解学生劳动教育的情况，从本校学生中随机抽取了500名进行问卷调查．下图是根据此次调查结果得到的统计图．请根据统计图回答下列问题：（1）本次调查中，平均每周劳动时间符合教育部要求的人数占被调查人数的百分比为多少？（2）若该校有2000名学生，请估计最喜欢的劳动课程为木工的有多少人．（3）请你根据本次问卷调查的结果给同学和学校各提一条合理化建议．【答案】（1）21%（2）320人（3）见解析【解析】【分析】（1）由条形统计图求出平均每周劳动时间不少于3小时的人数，然后代入即可得出答案；（2）由扇形统计图得木工所占比例为16%，然后代入即可得出答案；（3）对学校来说应该多增加一些与学生生活息息相关的劳动课程，锻炼生活技能；对学生来说应该在学习的同时多多参加课外劳动课程，学一些与生活有关的技能，增加生活经验．【小问1详解】由条形统计图可知：平均每周劳动时间不少于3小时的人数为50013018085105---=人，故平均每周劳动时间符合教育部要求的人数占被调查人数的百分比为10521%500=．【小问2详解】由扇形统计图得木工所占比例为140%27%10%7%16%----=，故最喜欢的劳动课程为木工的有200016%320⨯=人．【小问3详解】对学校：劳动课程应该多增加操作简单、与学生生活息息相关且能让学生有所收获的生活技能内容；对学生：多多参加课外劳动课程，劳逸结合，学习一些基本的生活技能，比如烹饪、种植等【点睛】本题考查调查统计，解题的关键是能够根据统计图得出关键信息并加以转化运算．六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）23.第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图是其示意图，已知：助滑坡道50AF =米，弧形跳台的跨度7FG =米，顶端E 到BD 的距离为40米，HG BC ∥，40AFH ∠=︒，25EFG ∠=︒，36ECB ∠=︒．求此大跳台最高点A 距地面BD 的距离是多少米（结果保留整数）．（参考数据：sin 400.64︒≈，cos 400.77︒≈，tan 400.84︒≈，sin 250.42︒≈，cos 250.91︒≈，tan 250.47︒≈，sin 360.59︒≈，cos360.81︒≈，tan 360.73︒≈）【答案】70【解析】【分析】过点E 作EN BC ⊥，交GF 于点M ，则四边形HBNM 是矩形，可得HB MN =，在Rt AHF △中，求得AH ，根据,tan tan tan EM EM EM FM MG EFG EGF ECB ===∠∠∠，7FG =，求得FM ，进而求得MN ，根据AB AH HB AH MN =+=+即可求解．【详解】如图，过点E 作EN BC ⊥，交GF 于点M ，则四边形HBNM 是矩形，HB MN ∴=，50AF =，40AFH ∠=︒，在Rt AHF △中，sin 500.6432AH AF AFH =⋅∠≈⨯=米，HG BC ∥，EGF ECB∴∠=∠ 25EFG ∠=︒，36ECB ∠=︒，7FG =,tan tan tan EM EM EM FM MG EFG EGF ECB ===∠∠∠ 70.470.73EM EM ∴+=，解得2EM ≈，顶端E 到BD 的距离为40米，即40EN =米40238MN EN EM ∴=-=-=米．323870AB AH HB AH MN ∴=+=+=+=米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．24.如图，已知AB 是O 的直径，BC AB ⊥于B ，E 是OA 上的一点，ED BC ∥交O 于D ，OC AD ∥，连接AC 交ED 于F ．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若8AB =，1AE =，求ED 、EF 的长．【答案】（1）证明见详解（2）2【解析】【分析】（1）连接OD ，由OC AD ∥可以推出DOC BOC ∠=，从而证明ODC OBC ≌△△即可；（2）作DM BC ⊥交BC 于点M ，根据勾股定理求出BC 的长，然后再根据平行得到AEF ABC △△∽即可求解．【小问1详解】证明：连接OD ，如图所示：AD OC∥ ADO DOC DAO BOC∴∠=∠∠=∠，OA OD= ADO DAO∴∠=∠DOC BOC∴∠=∠OD OB OC OC== ，ODC OBC∴≌△△∴OBC ODC∠=∠ BC AB⊥∴90OBC ODC ∠=∠=︒OD 为经过圆心的半径∴CD 是O 的切线．【小问2详解】如图所示：作DM BC ⊥交BC 于点M8AB =，1AE =，1432OA OB OD AB OE OA AE ∴=====-=，227DE BM OD OE ==-=令=CM x CB CD x ==+，，7BE DM ==∴在222Rt DMC CM DM CD +=△，222(7x x ∴=+，解得：x =BC ∴=D E B C∥ADE ABC∴△△∽18EF AE BC AB ∴===2EF ∴=【点睛】本题考查了圆的切线证明，勾股定理，相似三角形，全等三角形的判定等知识，综合性较强，熟练掌握几何基础知识并联系各知识体系并正确的作出辅助线是解题的关键．七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）25.如图，已经抛物线经过点(0,0)O ，(5,5)A ，且它的对称轴为2x =．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点B 是抛物线对称轴上的一点，且点B 在第一象限，当OAB 的面积为15时，求B 的坐标；（3）在（2）的条件下，P 是抛物线上的动点，当PA PB -的值最大时，求P 的坐标以及PA PB -的最大值【答案】（1）24.y x x =-（2）()2,8B（3）()2,12,P -PA PB -的最大值为【解析】【分析】（1）根据题意可设抛物线为2,y ax bx =+再利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；（2）设()2,,B y 且0,y >记OA 与对称轴的交点为Q ，设直线OA 为：,y kx =解得：1,k =可得直线OA 为：,y x =则()2,2,Q 利用()12OAB BOQ ABQ A O S S S BQ x x =+=创-V V V 列方程，再解方程即可；（3）如图，连接AB ，延长AB 交抛物线于P ，则此时PA PB AB -=最大，由勾股定理可得最小值，再利用待定系数法求解AB 的解析式，联立一次函数与二次函数的解析式，解方程组可得P 的坐标．【小问1详解】解： 抛物线经过点(0,0)O ，∴设抛物线为：2,y ax bx =+ 抛物线过(5,5)A ，且它的对称轴为2x =．2555,22a b b a+=⎧⎪∴⎨-=⎪⎩解得：1,4a b =⎧⎨=-⎩∴抛物线为：24.y x x =-【小问2详解】解：如图，点B 是抛物线对称轴上的一点，且点B 在第一象限，设()2,,B y 且0,y >记OA 与对称轴的交点为Q，设直线OA 为：,y kx =55,k \=解得：1,k =∴直线OA 为：,y x =()2,2,Q \()12OAB BOQ ABQ A O S S S BQ x x \=+=创-V V V 12515,2y =-´=解得：8y =或4,y =-∵0,y >则8,y =()2,8.B \【小问3详解】如图，连接AB ，延长AB 交抛物线于P ，则此时PA PB AB -=最大，()()5,5,2,8,A B QAB \==设AB 为：,y kx b =+代入A 、B 两点坐标，55,28k b k b +=⎧∴⎨+=⎩解得：1,10k b =-⎧⎨=⎩∴AB 为：10,y x =-+210,4y x y x x =-+⎧∴⎨=-⎩解得：52,,512x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩()2,12.P ∴-【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，坐标与图形面积，三角形三边关系的应用，勾股定理的应用，确定PA PB -最大时P 的位置是解本题的关键．26.在四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线AF 交BC 于F ，延长AB 到E 使BE FC =，G 是AF 的中点，GE 交BC 于O ，连接GD ．（1）当四边形ABCD 是矩形时，如图，求证：①GE GD =；②BO GD GO FC ⋅=⋅．（2）当四边形ABCD 是平行四边形时，如图，（1）中的结论都成立，请给出结论②的证明．【答案】（1）证明见详解（2）证明见详解【解析】【分析】（1）①证明ADG AEG ≌△ 即可；②连接BG ，CG ，证明ADG BCG ≌△ ，BOE GOC ∽△△即可证明；（2）①的结论和（1）中证明一样，证明ADG AEG ≌△ 即可；②的结论，作DM BC GM ⊥，连接，证明BOE GOM ∽△△即可．【小问1详解】证明：①证明过程：四边形ABCD 为矩形，90ABC BAD ∴∠=∠=︒AF 平分BAD∠45BAF DAF ∴∠=∠=︒ABF ∴ 为等腰直角三角形AB BF∴= BE FC=AB BE BF CF AE BC AD∴+=+==，即AG AG= ∴ADG AEG≌△ ∴GE GD=②证明：连接BG ，CG ，G 为AF 的中点，四边形ABCD 为矩形，90ABC BAD AD BC∴∠=∠=︒=，BG AG FG∴== AF 平分BAD ABF ∠ ，为等腰直角三角形，45BAF DAF ABG CBG∴∠=∠=︒=∠=∠∴ADG BCG≌△ ∴ADG BCG∠=∠ ADG AEG≌△ E ADG∴∠=∠E BCG∴∠=∠BOE GOC∠=∠ BOE GOC∴∽△△BO GO GO BO BE GC GD CF∴===∴BO GD GO FC⋅=⋅【小问2详解】作DM BC BC M GM GN DM DM N ⊥⊥交于，连接，作交于点，如图所示90DMB GNM GND DMC∴∠=︒=∠=∠=∠由（1）同理可证：ADG AEG≌△ E ADG∴∠=∠ 四边形ABCD 为平行四边形AD BC∴∥90ADM DMC ∴∠=∠=︒BC GN AD∴∥∥ G 为AF 的中点，由平行线分线段成比例可得DN MN=DG MG ∴=，,GDM GMD \Ð=ÐADG BMG E\Ð=Ð=ÐBOE GOM∠=∠ BOE GOM∴∽△△BO GO GO BO BE GM GD CF∴===∴BO GD GO FC⋅=⋅【点睛】本题考查了以矩形与平行四边形为桥梁，涉及全等三角形的证明，相似三角形的证明，正确作出辅助线并由此得到相应的全等三角形和相似三角形是解题的关键．。
常德中考数学试题及答案
常德中考数学试题及答案常德市中考数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 若a、b、c是三角形的三边长，且a²+b²=c²，则三角形的形状是（）A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 等腰三角形2. 已知x²-3x+2=0，下列哪个选项是方程的解（）A. x=1B. x=2C. x=-1D. x=-23. 函数y=-2x+3的图象经过第几象限（）A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限C. 第一、三、四象限D. 第二、三、四象限4. 已知一个扇形的圆心角为60°，半径为6cm，那么这个扇形的面积是多少（）A. 18π cm²B. 9π cm²C. 36π cm²D. 6π cm²5. 已知一个等腰三角形的底边长为6cm，腰长为8cm，那么这个三角形的面积是多少（）A. 12 cm²B. 18 cm²C. 24 cm²D. 30 cm²6. 已知一个数列的前三项为1，2，4，那么这个数列的第四项是多少（）A. 6B. 8C. 12D. 167. 已知一个二次函数的顶点坐标为(2,-1)，且经过点(0,3)，那么这个二次函数的解析式为（）A. y=-(x-2)²-1B. y=-(x-2)²+1C. y=(x-2)²-1D. y=(x-2)²+18. 已知一个圆的半径为5cm，那么这个圆的周长是多少（）A. 10π cmB. 20π cmC. 30π cmD. 40π cm9. 已知一个等差数列的首项为3，公差为2，那么这个数列的第10项是多少（）A. 23B. 25C. 27D. 2910. 已知一个直角三角形的两直角边长分别为3cm和4cm，那么这个三角形的斜边长是多少（）A. 5cmB. 6cmC. 7cmD. 8cm二、填空题（每题3分，共30分）1. 已知一个数的平方根为±2，那么这个数是______。
湖南省常德市2022年中考数学真题试卷(含解析)
湖南省常德市2022年中考数学真题试卷一、选择题〔共8小题〕.1．4的倒数为〔〕A．B．2 C．1 D．﹣4 2．下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是〔〕A．B．C．D．3．如图，AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，那么∠BCE的度数为〔〕A．70°B．65°C．35°D．5°4．以下计算正确的选项是〔〕A．a2+b2＝〔a+b〕2B．a2+a4＝a6C．a10÷a5＝a2D．a2•a3＝a55．以下说法正确的选项是〔〕A．明天的降水概率为80%，那么明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上C．了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式D．一组数据的众数一定只有一个6．一个圆锥的底面半径r＝10，高h＝20，那么这个圆锥的侧面积是〔〕A．100πB．200πC．100πD．200π7．二次函数y＝ax2+bx+c〔a≠0〕的图象如下图，以下结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是〔〕A．4 B．3 C．2 D．18．如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2022次．移动规那么是：第k次移动k个顶点〔如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处〕，按这样的规那么，在这2022次移动中，跳棋不可能停留的顶点是〔〕A．C、E B．E、F C．G、C、E D．E、C、F二、填空题〔本大题8个小题，每题3分，总分值24分〕9．分解因式：xy2﹣4x＝．10．假设代数式在实数范围内有意义，那么x的取值范围是．11．计算：﹣+＝．12．如图，假设反比例函数y＝〔x＜0〕的图象经过点A，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积为6，那么k＝．13．4月23日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时间，统计如表：阅读时间〔x小时〕x≤3.5 3.5＜x≤5 5＜x≤6.5 x＞6.5 人数12 8 6 4 假设该校共有1200名学生，试估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为．14．今年新冠病毒疫情初期，口罩供给短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．李红家原有库存15只，出门10次购置后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是次．15．如图1，四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合〔A、C都落在G点〕，假设GF＝4，EG＝6，那么DG的长为．16．阅读理解：对于x3﹣〔n2+1〕x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3﹣〔n2+1〕x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x〔x2﹣n2〕﹣〔x﹣n〕＝x〔x﹣n〕〔x+n〕﹣〔x﹣n〕＝〔x﹣n〕〔x2+nx﹣1〕．理解运用：如果x3﹣〔n2+1〕x+n＝0，那么〔x﹣n〕〔x2+nx﹣1〕＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣〔n2+1〕x+n＝0的解．解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为．三、〔本大题2个小题，每题5分，总分值10分〕17．计算：20+〔〕﹣1•﹣4tan45°．18．解不等式组．四、〔本大题2个小题，每题6分，总分值12分〕19．先化简，再选一个适宜的数代入求值：〔x+1﹣〕÷．20．第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？五、〔本大题2个小题，每题7分，总分值14分〕21．一次函数y＝kx+b〔k≠0〕的图象经过A〔3，18〕和B〔﹣2，8〕两点．〔1〕求一次函数的解析式；〔2〕假设一次函数y＝kx+b〔k≠0〕的图象与反比例函数y＝〔m≠0〕的图象只有一个交点，求交点坐标．22．如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，假设AC＝2米，求BC的长度．〔结果保存一位小数〕〔参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41〕六、〔本大题2个小题，每题8分，总分值16分〕23．今年2﹣4月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图〔不完整〕，图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请答复以下问题．〔1〕轻症患者的人数是多少？〔2〕该市为治疗危重症患者共花费多少万元？〔3〕所有患者的平均治疗费用是多少万元？〔4〕由于局部轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A、B、C、D、E五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率．24．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB于D，DE交BC 于F，且EF＝EC．〔1〕求证：EC是⊙O的切线；〔2〕假设BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求切线EC的长．七、〔本大题2个小题，每题10分，总分值20分〕25．如图，抛物线y＝ax2过点A〔﹣3，〕．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕直线l过点A，M〔，0〕且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB；〔3〕假设点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D 的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．26．D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．〔1〕如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；〔2〕如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．参考答案一、选择题〔本大题8个小题，每题3分，总分值24分〕1．4的倒数为〔〕A．B．2 C．1 D．﹣4【分析】根据倒数的意义，乘积是1的两个数叫做互为倒数，求倒数的方法，是把一个数的分子和分母互换位置即可，是带分数的化成假分数，再把分子分母互换位置，据此解答．解：4的倒数为．应选：A．2．下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是〔〕A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；应选：C．3．如图，AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，那么∠BCE的度数为〔〕A．70°B．65°C．35°D．5°【分析】根据平行线的性质和∠1＝30°，∠2＝35°，可以得到∠BCE的度数，此题得以解决．解：作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴AB∥DE∥DE，∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，∵∠1＝30°，∠2＝35°，∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，∴∠BCE＝65°，应选：B．4．以下计算正确的选项是〔〕A．a2+b2＝〔a+b〕2B．a2+a4＝a6C．a10÷a5＝a2D．a2•a3＝a5【分析】根据完全平方公式、合并同类项法那么、同底数幂的乘除法计算得到结果，即可作出判断．解：A、a2+2ab+b2＝〔a+b〕2，原计算错误，故此选项不符合题意；B、a2与a4不是同类项不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；C、a10÷a5＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意；D、a2•a3＝a5，原计算正确，故此选项符合题意；应选：D．5．以下说法正确的选项是〔〕A．明天的降水概率为80%，那么明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上C．了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式D．一组数据的众数一定只有一个【分析】根据必然事件的概念、众数的定义、随机事件的概率逐项分析即可得出答案．解：A、明天的降水概率为80%，那么明天下雨可能性较大，故本选项错误；B、抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面朝上的概率是，故本选项错误；C、了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式，故本选项正确；D、一组数据的众数不一定只有一个，故本选项错误；应选：C．6．一个圆锥的底面半径r＝10，高h＝20，那么这个圆锥的侧面积是〔〕A．100πB．200πC．100πD．200π【分析】先利用勾股定理计算出母线长，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．解：这个圆锥的母线长＝＝10，这个圆锥的侧面积＝×2π×10×10＝100π．应选：C．7．二次函数y＝ax2+bx+c〔a≠0〕的图象如下图，以下结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是〔〕A．4 B．3 C．2 D．1【分析】先由抛物线与x周董交点个数判断出结论①，利用抛物线的对称轴为x＝2，判断出结论②，先由抛物线的开口方向判断出a＜0，进而判断出b＞0，再用抛物线与y轴的交点的位置判断出c＞0，判断出结论③，最后用x＝﹣2时，抛物线在x轴下方，判断出结论④，即可得出结论．解：由图象知，抛物线与x轴有两个交点，∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＞0，故①正确，由图象知，抛物线的对称轴直线为x＝2，∴﹣＝2，∴4a+b＝0，故②正确，由图象知，抛物线开口方向向下，∴a＜0，∵4a+b＝0，∴b＞0，而抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0，∴abc＜0，故③正确，由图象知，当x＝﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，故④错误，即正确的结论有3个，应选：B．8．如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2022次．移动规那么是：第k次移动k个顶点〔如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处〕，按这样的规那么，在这2022次移动中，跳棋不可能停留的顶点是〔〕A．C、E B．E、F C．G、C、E D．E、C、F【分析】设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝k〔k+1〕，然后根据题目中所给的第k次依次移动k个顶点的规那么，可得到不等式最后求得解．解：经实验或按下方法可求得顶点C，E和F棋子不可能停到．设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝k〔k+1〕，应停在第k〔k+1〕﹣7p格，这时P是整数，且使0≤k〔k+1〕﹣7p≤6，分别取k＝1，2，3，4，5，6，7时，k〔k+1〕﹣7p＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，假设7＜k≤2022，设k＝7+t〔t＝1，2，3〕代入可得，k〔k+1〕﹣7p＝7m+t〔t+1〕，由此可知，停棋的情形与k＝t时相同，故第2，4，5格没有停棋，即顶点C，E和F棋子不可能停到．应选：D．二、填空题〔本大题8个小题，每题3分，总分值24分〕9．分解因式：xy2﹣4x＝x〔y+2〕〔y﹣2〕．【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．解：原式＝x〔y2﹣4〕＝x〔y+2〕〔y﹣2〕，故答案为：x〔y+2〕〔y﹣2〕10．假设代数式在实数范围内有意义，那么x的取值范围是x＞3 ．【分析】根据二次根式有意义的条件可得2x﹣6＞0，再解即可．解：由题意得：2x﹣6＞0，解得：x＞3，故答案为：x＞3．11．计算：﹣+＝3．【分析】直接化简二次根式进而合并得出答案．解：原式＝﹣+2＝3．故答案为：3．12．如图，假设反比例函数y＝〔x＜0〕的图象经过点A，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积为6，那么k＝﹣12 ．【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义即可解决问题．解：∵AB⊥OB，∴S△AOB＝＝6，∴k＝±12，∵反比例函数的图象在二四象限，∴k＜0，∴k＝﹣12，故答案为﹣12．13．4月23日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时间，统计如表：阅读时间〔x小时〕x≤3.5 3.5＜x≤5 5＜x≤6.5 x＞6.5 人数12 8 6 4 假设该校共有1200名学生，试估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为400人．【分析】用总人数×每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数所占的百分比即可得到结论．解：1200×＝400〔人〕，答：估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为400人．14．今年新冠病毒疫情初期，口罩供给短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．李红家原有库存15只，出门10次购置后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是 4 次．【分析】设李红出门没有买到口罩的次数是x，买到口罩的次数是y，根据买口罩的次数是10次和家里现有口罩35只，可列出关于x和y的二元一次方程组，求解即可．解：设李红出门没有买到口罩的次数是x，买到口罩的次数是y，由题意得：，整理得：，解得：．故答案为：4．15．如图1，四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合〔A、C都落在G点〕，假设GF＝4，EG＝6，那么DG的长为12 ．【分析】设正方形ABCD的边长为x，由翻折及线段的长，可用含x的式子分别表示出BE、BF及EF的长；在Rt△BEF中，由勾股定理得关于x的方程，解得x的值，即为DG的长．解：设正方形ABCD的边长为x，由翻折可得：DG＝DA＝DC＝x，∵GF＝4，EG＝6，∴AE＝EG＝6，CF＝GF＝4，∴BE＝x﹣6，BF＝x﹣6，EF＝6+4＝10，如图1所示：在Rt△BEF中，由勾股定理得：BE2+BF2＝EF2，∴〔x﹣6〕2+〔x﹣4〕2＝102，∴x2﹣12x+36+x2﹣8x+16＝100，∴x2﹣10x﹣24＝0，∴〔x+2〕〔x﹣12〕＝0，∴x1＝﹣2〔舍〕，x2＝12．∴DG＝12．故答案为：12．16．阅读理解：对于x3﹣〔n2+1〕x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3﹣〔n2+1〕x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x〔x2﹣n2〕﹣〔x﹣n〕＝x〔x﹣n〕〔x+n〕﹣〔x﹣n〕＝〔x﹣n〕〔x2+nx﹣1〕．理解运用：如果x3﹣〔n2+1〕x+n＝0，那么〔x﹣n〕〔x2+nx﹣1〕＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣〔n2+1〕x+n＝0的解．解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣．【分析】将原方程左边变形为x3﹣4x﹣x+2＝0，再进一步因式分解得〔x﹣2〕[x〔x+2〕﹣1]＝0，据此得到两个关于x的方程求解可得．解：∵x3﹣5x+2＝0，∴x3﹣4x﹣x+2＝0，∴x〔x2﹣4〕﹣〔x﹣2〕＝0，∴x〔x+2〕〔x﹣2〕﹣〔x﹣2〕＝0，那么〔x﹣2〕[x〔x+2〕﹣1]＝0，即〔x﹣2〕〔x2+2x﹣1〕＝0，∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0，解得x＝2或x＝﹣1，故答案为：x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣．三、〔本大题2个小题，每题5分，总分值10分〕17．计算：20+〔〕﹣1•﹣4tan45°．【分析】先计算20、、〔〕﹣1、tan45°，再按运算顺序求值即可．解：原式＝1+3×2﹣4×1＝1+6﹣4＝3．18．解不等式组．【分析】首先分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律确定不等式组的解集．解：，由①得：x＜5，由②得：x≥﹣1，不等式组的解集为：﹣1≤x＜5．四、〔本大题2个小题，每题6分，总分值12分〕19．先化简，再选一个适宜的数代入求值：〔x+1﹣〕÷．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答此题．解：〔x+1﹣〕÷＝＝＝＝，当x＝2时，原式＝＝﹣．20．第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？【分析】首先设该地4G的下载速度是每秒x兆，那么该地5G的下载速度是每秒15x兆，根据题意可得等量关系：4G下载600兆所用时间﹣5G下载600兆所用时间＝140秒．然后根据等量关系，列出分式方程，再解即可．解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，那么该地5G的下载速度是每秒15x兆，由题意得：﹣＝140，解得：x＝4，经检验：x＝4是原分式方程的解，且符合题意，15×4＝60，答：该地4G的下载速度是每秒4兆，那么该地5G的下载速度是每秒60兆．五、〔本大题2个小题，每题7分，总分值14分〕21．一次函数y＝kx+b〔k≠0〕的图象经过A〔3，18〕和B〔﹣2，8〕两点．〔1〕求一次函数的解析式；〔2〕假设一次函数y＝kx+b〔k≠0〕的图象与反比例函数y＝〔m≠0〕的图象只有一个交点，求交点坐标．【分析】〔1〕直接把〔3，18〕，〔﹣2，8〕代入一次函数y＝kx+b中可得关于k、b的方程组，再解方程组可得k、b的值，进而求出一次函数的解析式；〔2〕联立一次函数解析式和反比例函数解析式，根据题意得到△＝0，解方程即可得到结论．解：〔1〕把〔3，18〕，〔﹣2，8〕代入一次函数y＝kx+b〔k≠0〕，得，解得，∴一次函数的解析式为y＝2x+12；〔2〕∵一次函数y＝kx+b〔k≠0〕的图象与反比例函数y＝〔m≠0〕的图象只有一个交点，∴只有一组解，即2x2+12x﹣m＝0有两个相等的实数根，∴△＝122﹣4×2×〔﹣m〕＝0，∴m＝﹣18．把m＝﹣18代入求得该方程的解为：x＝﹣3，把x＝﹣3代入y＝2x+12得：y＝6，即所求的交点坐标为〔﹣3，6〕．22．如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，假设AC＝2米，求BC的长度．〔结果保存一位小数〕〔参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41〕【分析】直接过点C作CF⊥AB于点F，利用锐角三角函数关系得出CF的长，进而得出BC的长．【解答】方法一：解：如图1，过点C作CF⊥AB于点F，在Rt△ACF中，∵sin∠CAB＝sin〔60°+5°〕＝sin65°＝，∴CF＝AC•sin65°≈2×0.91＝1.82，在Rt△BCF中，∵∠ABC＝45°，∴CF＝BF，∴BC＝CF＝1.41×1.82＝2.5662≈2.6，答：所求BC的长度约为2.6米．方法二：解：如图2，过点A作AE⊥BC于点E，在Rt△ACE中，∵∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°，∴cos C＝cos70°＝，即CE＝AC×cos70°≈2×0.34＝0.68，sin C＝sin70°＝，即AE＝AC×sin70°≈2×0.94＝1.88，又∵在Rt△AEB中，∠ABC＝45°，∴AE＝BE，∴BC＝BE+CE＝0.68+1.88＝2.56≈2.6，答：所求BC的长度约为2.6米．六、〔本大题2个小题，每题8分，总分值16分〕23．今年2﹣4月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图〔不完整〕，图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请答复以下问题．〔1〕轻症患者的人数是多少？〔2〕该市为治疗危重症患者共花费多少万元？〔3〕所有患者的平均治疗费用是多少万元？〔4〕由于局部轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A、B、C、D、E五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率．【分析】〔1〕因为总人数，由轻症患者所占的百分比即可求出其的人数；〔2〕求出该市危重症患者所占的百分比，即可求出其共花费的钱数；〔3〕用加权平均数公式求出各种患者的平均费用即可；〔4〕首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与恰好选中B、D两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．解：〔1〕轻症患者的人数＝200×80%＝160〔人〕；〔2〕该市为治疗危重症患者共花费钱数＝200×〔1﹣80%﹣15%〕×10＝100〔万元〕；〔3〕所有患者的平均治疗费用＝＝2.15〔万元〕；〔4〕列表得：A B C D EA〔B，A〕〔C，A〕〔D，A〕〔E，A〕B〔A，B〕〔C，B〕〔D，B〕〔E，B〕C〔A，C〕〔B，C〕〔D，C〕〔E，C〕D〔A，D〕〔B，D〕〔C，D〕〔E，D〕E〔A，E〕〔B，E〕〔C，E〕〔D，E〕由列表格，可知：共有20种等可能的结果，恰好选中B、D两位同学的有2种情况，∴P〔恰好选中B、D〕＝＝．24．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB于D，DE交BC 于F，且EF＝EC．〔1〕求证：EC是⊙O的切线；〔2〕假设BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求切线EC的长．【分析】〔1〕连接OC，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得∠OCB+∠ECF＝90°，可证EC是⊙O的切线；〔2〕由勾股定理可求AC＝6，由锐角三角函数可求BF＝5，可求CF＝3，通过证明△OAC ∽△ECF，可得，可求解．解：〔1〕连接OC，∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB，∵DE⊥AB，∴∠OBC+∠DFB＝90°，∵EF＝EC，∴∠ECF＝∠EFC＝∠DFB，∴∠OCB+∠ECF＝90°，∴OC⊥CE，∴EC是⊙O的切线；〔2〕∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OB＝5，∴AB＝10，∴AC＝＝＝6，∵cos∠ABC＝，∴，∴BF＝5，∴CF＝BC﹣BF＝3，∵∠ABC+∠A＝90°，∠ABC+∠BFD＝90°，∴∠BFD＝∠A，∴∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，∴△OAC∽△ECF，∴，∴EC＝＝＝．七、〔本大题2个小题，每题10分，总分值20分〕25．如图，抛物线y＝ax2过点A〔﹣3，〕．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕直线l过点A，M〔，0〕且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB；〔3〕假设点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D 的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．【分析】〔1〕利用待定系数法即可解决问题．〔2〕构建方程组确定点B的坐标，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．〔3〕如图2中，设P〔t，t2〕，根据PD＝CD构建方程求出t即可解决问题．解：〔1〕把点A〔﹣3，〕代入y＝ax2，得到＝9a，∴a＝，∴抛物线的解析式为y＝x2．〔2〕设直线l的解析式为y＝kx+b，那么有，解得，∴直线l的解析式为y＝﹣x+，令x＝0，得到y＝，∴C〔0，〕，由，解得或，∴B〔1，〕，如图1中，过点A作AA1⊥x轴于A1，过B作BB1⊥x轴于B1，那么BB1∥OC∥AA1，∴＝＝＝，＝＝＝，∴＝，即MC2＝MA•MB．〔3〕如图2中，设P〔t，t2〕∵OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，∴PD∥OC，PD＝OC，∴D〔t，﹣t+〕，∴|t2﹣〔﹣t+〕|＝，整理得：t2+2t﹣6＝0或t2+2t＝0，解得t＝﹣1﹣或﹣1＝或﹣2或0〔舍弃〕，∴P〔﹣1﹣，2+〕或〔﹣1+，2﹣〕或〔﹣2，1〕．26．D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF ＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．〔1〕如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；〔2〕如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．【分析】〔1〕①证明△CBP是直角三角形，根据直角三角形斜边中线可得结论；②根据同位角相等可得BC∥EF，由平行线的性质得BP⊥EF，可得EF是线段BP的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠PFE＝∠BFE＝30°；〔2〕如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ，证明△QEP≌△DEC〔SAS〕，那么PQ＝DC＝DB，由QE＝DE，∠DEF＝90°，知EF是DQ的垂直平分线，证明△FQP≌△FDB〔SAS〕，再由EF是DQ的垂直平分线，可得结论．【解答】证明〔1〕①∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝90°﹣30°＝60°，同理∠EDF＝60°，∴∠A＝∠EDF＝60°，∴AC∥DE，∴∠DMB＝∠ACB＝90°，∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，AC∥DM，∴，即M是BC的中点，∵EP＝CE，即E是PC的中点，∴ED∥BP，∴∠CBP＝∠DMB＝90°，∴△CBP是直角三角形，∴BE＝PC＝EP；②∵∠ABC＝∠DFE＝30°，∴BC∥EF，由①知：∠CBP＝90°，∴BP⊥EF，∵EB＝EP，∴EF是线段BP的垂直平分线，∴PF＝BF，∴∠PFE＝∠BFE＝30°；〔2〕如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ，∵EC＝EP，∠DEC＝∠QEP，∴△QEP≌△DEC〔SAS〕，那么PQ＝DC＝DB，∵QE＝DE，∠DEF＝90°∴EF是DQ的垂直平分线，∴QF＝DF，∵CD＝AD，∴∠CDA＝∠A＝60°，∴∠CDB＝120°，∴∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣〔60°+∠EDC〕＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP，∴△FQP≌△FDB〔SAS〕，∴∠QFP＝∠BFD，∵EF是DQ的垂直平分线，∴∠QFE＝∠EFD＝30°，∴∠QFP+∠EFP＝30°，∴∠BFD+∠EFP＝30°．。
湖南省常德市中考数学试卷及答案解析（）
湖南省常德市中考数学试卷一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）1．4的平方根是（）A．2 B．﹣2 C．±D．±22．下面实数比较大小正确的是（）A．3＞7 B．C．0＜﹣2 D．22＜33．如图，已知直线a∥b，∠1=100°，则∠2等于（）A．80° B．60° C．100° D．70°4．如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是（）A．B．C．D．5．下列说法正确的是（）A．袋中有形状、大小、质地完全一样的5个红球和1个白球，从中随机抽出一个球，一定是红球B．天气预报“明天降水概率10%”，是指明天有10%的时间会下雨C．某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票1000张，一定会中奖D．连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上6．若﹣x3y a与x b y是同类项，则a+b的值为（）A．2 B．3 C．4 D．57．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b＜0；②c ＞0；③a+c＜b；④b2﹣4ac＞0，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．48．某气象台发现：在某段时间里，如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么早晨是晴天，已知这段时间有9天下了雨，并且有6天晚上是晴天，7天早晨是晴天，则这一段时间有（）A．9天B．11天C．13天D．22天二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）9．使代数式有意义的x的取值范围是．10．计算：a2•a3=．11．如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OB于点C，且PC=3，点P到OA的距离为．12．已知反比例函数y=的图象在每一个象限内y随x的增大而增大，请写一个符合条件的反比例函数解析式．13．张朋将连续10天引体向上的测试成绩（单位：个）记录如下：16，18，18，16，19，19，18，21，18，21．则这组数据的中位数是．14．如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为3，则图中阴影部分的面积是．15．如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D1，折痕为EF，若∠BAE=55°，则∠D1AD=．16．平面直角坐标系中有两点M（a，b），N（c，d），规定（a，b）⊕（c，d）=（a+c，b+d），则称点Q（a+c，b+d）为M，N的“和点”．若以坐标原点O 与任意两点及它们的“和点”为顶点能构成四边形，则称这个四边形为“和点四边形”，现有点A（2，5），B（﹣1，3），若以O，A，B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”，则点C的坐标是．三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）17．计算：﹣14+sin60°+（）﹣2﹣（）0．18．解不等式组，并把解集在是数轴上表示出来．．四、(本大题2个小题，每小题6分，满分12分）19．先化简，再求值：（），其中x=2．20．如图，直线AB与坐标轴分别交于A（﹣2，0），B（0，1）两点，与反比例函数的图象在第一象限交于点C（4，n），求一次函数和反比例函数的解析式．五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21．某服装店用4500元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又用2100元购进第二批该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了10元．（1）这两次各购进这种衬衫多少件？（2）若第一批衬衫的售价是200元/件，老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于1950元，则第二批衬衫每件至少要售多少元？22．南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在C处成功拦截不明船只，问我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里（最后结果保留整数）？（参考数据：cos75°=0.2588，sin75°=0.9659，tan75°=3.732，=1.732，=1.414）六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）23．今年元月，国内一家网络举报平台发布了《网络趋势研究报告》，根据报告提供的数据绘制了如下的两幅统计图：（1）该平台共收到网络举报多少例？（2）通过该平台举报的总金额大约是多少亿元？（保留三个有效数字）（3）每例的损失年增长率是多少？（4）为提高学生的防患意识，现准备从甲、乙、丙、丁四人中随机抽取两人作为受骗演练对象，请用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两人的概率是多少？24．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且BD=BC，延长AD到E，且有∠EBD=∠CAB．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）若BC=，AC=5，求圆的直径AD及切线BE的长．七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）25．已知四边形ABCD中，AB=AD，AB⊥AD，连接AC，过点A作AE⊥AC，且使AE=AC，连接BE，过A作AH⊥CD于H交BE于F．（1）如图1，当E在CD的延长线上时，求证：①△ABC≌△ADE；②BF=EF；（2）如图2，当E不在CD的延长线上时，BF=EF还成立吗？请证明你的结论．26．如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于C（0，﹣2）．（1）求抛物线的解析式；（2）H是C关于x轴的对称点，P是抛物线上的一点，当△PBH与△AOC相似时，求符合条件的P点的坐标（求出两点即可）；（3）过点C作CD∥AB，CD交抛物线于点D，点M是线段CD上的一动点，作直线MN与线段AC交于点N，与x轴交于点E，且∠BME=∠BDC，当CN 的值最大时，求点E的坐标．湖南省常德市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）1．4的平方根是（）A．2 B．﹣2 C．±D．±2【考点】平方根．【分析】直接利用平方根的定义分析得出答案．【解答】解：4的平方根是：±=±2．故选：D．2．下面实数比较大小正确的是（）A．3＞7 B．C．0＜﹣2 D．22＜3【考点】实数大小比较．【分析】根据实数比较大小的法则对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、3＜7，故本选项错误；B、∵≈1.7，≈1.4，∴＞，故本选项正确；C、0＞﹣2，故本选项错误；D、22＞3，故本选项错误．故选B．3．如图，已知直线a∥b，∠1=100°，则∠2等于（）A．80° B．60° C．100° D．70°【考点】平行线的性质．【分析】先根据对顶角相等求出∠3，再根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．【解答】解：如图，∵∠1与∠3是对顶角，∴∠3=∠1=100°，∵a∥b，∴∠2=180°﹣∠3=180°﹣100°=80°．故选A．4．如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．【解答】解：从上面看易得上面第一层中间有1个正方形，第二层有3个正方形．下面一层左边有1个正方形，故选A．5．下列说法正确的是（）A．袋中有形状、大小、质地完全一样的5个红球和1个白球，从中随机抽出一个球，一定是红球B．天气预报“明天降水概率10%”，是指明天有10%的时间会下雨C．某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票1000张，一定会中奖D．连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上【考点】概率的意义．【分析】根据概率的意义对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、袋中有形状、大小、质地完全一样的5个红球和1个白球，从中随机抽出一个球，一定是红球的概率是，故本选项错误；B、天气预报“明天降水概率10%”，是指明天有10%的概率会下雨，故本选项错误；C、某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票1000张，可能会中奖，故本选项错误；D、连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上，故本选项正确．故选D．6．若﹣x3y a与x b y是同类项，则a+b的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】同类项．【分析】根据同类项中相同字母的指数相同的概念求解．【解答】解：∵﹣x3y a与x b y是同类项，∴a=1，b=3，则a+b=1+3=4．故选C．7．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b＜0；②c ＞0；③a+c＜b；④b2﹣4ac＞0，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由二次函数的开口方向，对称轴0＜x＜1，以及二次函数与y的交点在x轴的上方，与x轴有两个交点等条件来判断各结论的正误即可．【解答】解：∵二次函数的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴，∴a＜0，c＞0，故②正确；∵0＜﹣＜1，∴b＞0，故①错误；当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，∴a+c＜b，故③正确；∵二次函数与x轴有两个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，故④正确正确的有3个，故选：C．8．某气象台发现：在某段时间里，如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么早晨是晴天，已知这段时间有9天下了雨，并且有6天晚上是晴天，7天早晨是晴天，则这一段时间有（）A．9天B．11天C．13天D．22天【考点】二元一次方程组的应用．【分析】根据题意设有x天早晨下雨，这一段时间有y天；有9天下雨，即早上下雨或晚上下雨都可称之为当天下雨，①总天数﹣早晨下雨=早晨晴天；②总天数﹣晚上下雨=晚上晴天；列方程组解出即可．【解答】解：设有x天早晨下雨，这一段时间有y天，根据题意得：①+②得：2y=22y=11所以一共有11天，故选B．二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）9．使代数式有意义的x的取值范围是x≥3．【考点】二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可．【解答】解：∵代数式有意义，∴2x﹣6≥0，解得：x≥3．故答案为：x≥3．10．计算：a2•a3=a5．【考点】同底数幂的乘法．【分析】根据同底数的幂的乘法，底数不变，指数相加，计算即可．【解答】解：a2•a3=a2+3=a5．故答案为：a5．11．如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OB于点C，且PC=3，点P到OA的距离为3．【考点】角平分线的性质．【分析】过P作PD⊥OA于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PD=PC，从而得解．【解答】解：如图，过P作PD⊥OA于D，∵OP为∠AOB的平分线，PC⊥OB，∴PD=PC，∵PC=3，∴PD=3．故答案为：3．12．已知反比例函数y=的图象在每一个象限内y随x的增大而增大，请写一个符合条件的反比例函数解析式y=﹣．【考点】反比例函数的性质．【分析】由反比例函数的图象在每一个象限内y随x的增大而增大，结合反比例函数的性质即可得出k＜0，随便写出一个小于0的k值即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数y=的图象在每一个象限内y随x的增大而增大，∴k＜0．故答案为：y=﹣．13．张朋将连续10天引体向上的测试成绩（单位：个）记录如下：16，18，18，16，19，19，18，21，18，21．则这组数据的中位数是18．【考点】中位数．【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．【解答】解：先对这组数据按从小到大的顺序重新排序：16，16，18，18，18，18，19，19，21，21．位于最中间的两个数都是18，所以这组数据的中位数是18．故答案为：18．14．如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为3，则图中阴影部分的面积是3π．【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理；扇形面积的计算．【分析】根据等边三角形性质及圆周角定理可得扇形对应的圆心角度数，再根据扇形面积公式计算可得．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C=60°，根据圆周角定理可得∠AOB=2∠C=120°，∴阴影部分的面积是=3π，故答案为：3π．15．如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D1，折痕为EF，若∠BAE=55°，则∠D1AD=55°．【考点】平行四边形的性质．【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠D1AE=∠BAD，得出∠D1AD=∠BAE=55°即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠C，由折叠的性质得：∠D1AE=∠C，∴∠D1AE=∠BAD，∴∠D1AD=∠BAE=55°；故答案为：55°．16．平面直角坐标系中有两点M（a，b），N（c，d），规定（a，b）⊕（c，d）=（a+c，b+d），则称点Q（a+c，b+d）为M，N的“和点”．若以坐标原点O 与任意两点及它们的“和点”为顶点能构成四边形，则称这个四边形为“和点四边形”，现有点A（2，5），B（﹣1，3），若以O，A，B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”，则点C的坐标是（1，8）．【考点】点的坐标．【分析】先根据以O，A，B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”，判断点C为点A、B的“和点”，再根据点A、B的坐标求得点C的坐标．【解答】解：∵以O，A，B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”∴点C的坐标为（2﹣1，5+3），即C（1，8）故答案为：（1，8）三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）17．计算：﹣14+sin60°+（）﹣2﹣（）0．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方、开方和乘法，然后从左向右依次计算，求出算式﹣14+sin60°+（）﹣2﹣（）0的值是多少即可．【解答】解：﹣14+sin60°+（）﹣2﹣（）0=﹣1+2×+4﹣1=﹣1+3+3=518．解不等式组，并把解集在是数轴上表示出来．．【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．【解答】解：，由①得：x≥﹣，由②得：x＜4，∴不等式组的解集为﹣≤x＜4，四、(本大题2个小题，每小题6分，满分12分）19．先化简，再求值：（），其中x=2．【考点】分式的化简求值．【分析】先算括号里面的，再算除法，最后把x的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=[+]÷[﹣]=÷=÷=•=，当x=2时，原式==．20．如图，直线AB与坐标轴分别交于A（﹣2，0），B（0，1）两点，与反比例函数的图象在第一象限交于点C（4，n），求一次函数和反比例函数的解析式．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】设一次函数的解析式为y=kx+b，把A（﹣2，0），B（0，1）代入得出方程组，解方程组即可；求出点C的坐标，设反比例函数的解析式为y=，把C（4，3）代入y=求出m即可．【解答】解：设一次函数的解析式为y=kx+b，把A（﹣2，0），B（0，1）代入得：，解得：，∴一次函数的解析式为y=x+1；设反比例函数的解析式为y=，把C（4，n）代入得：n=3，∴C（4，3），把C（4，3）代入y=得：m=3×4=12，∴反比例函数的解析式为y=．五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21．某服装店用4500元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又用2100元购进第二批该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了10元．（1）这两次各购进这种衬衫多少件？（2）若第一批衬衫的售价是200元/件，老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于1950元，则第二批衬衫每件至少要售多少元？【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．【分析】（1）设第一批T恤衫每件进价是x元，则第二批每件进价是（x﹣10）元，再根据等量关系：第二批进的件数=×第一批进的件数可得方程；（2）设第二批衬衫每件售价y元，由利润=售价﹣进价，根据这两批衬衫售完后的总利润不低于1950元，可列不等式求解．【解答】解：（1）设第一批T恤衫每件进价是x元，则第二批每件进价是（x ﹣10）元，根据题意可得：，解得：x=150，经检验x=150是原方程的解，答：第一批T恤衫每件进价是150元，第二批每件进价是140元，（件），（件），答：第一批T恤衫进了30件，第二批进了15件；（2）设第二批衬衫每件售价y元，根据题意可得：30×+15（y﹣140）≥1950，解得：y≥170，答：第二批衬衫每件至少要售170元．22．南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在C处成功拦截不明船只，问我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里（最后结果保留整数）？（参考数据：cos75°=0.2588，sin75°=0.9659，tan75°=3.732，=1.732，=1.414）【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【分析】过B作BD⊥AC，在直角三角形ABD中，利用勾股定理求出BD与AD的长，在直角三角形BCD中，求出CD的长，由AD+DC求出AC的长即可．【解答】解：过B作BD⊥AC，∵∠BAC=75°﹣30°=45°，∴在Rt△ABD中，∠BAD=∠ABD=45°，∠ADB=90°，由勾股定理得：BD=AD=×20=10（海里），在Rt△BCD中，∠C=25°，∠CBD=75°，∴tan∠CBD=，即CD=10×3.732=52.77048，则AC=AD+DC=10+10×3.732=66.91048≈67（海里），即我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了67海里．六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）23．今年元月，国内一家网络举报平台发布了《网络趋势研究报告》，根据报告提供的数据绘制了如下的两幅统计图：（1）该平台共收到网络举报多少例？（2）通过该平台举报的总金额大约是多少亿元？（保留三个有效数字）（3）每例的损失年增长率是多少？（4）为提高学生的防患意识，现准备从甲、乙、丙、丁四人中随机抽取两人作为受骗演练对象，请用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两人的概率是多少？【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；条形统计图；折线统计图．【分析】（1）利用条形统计图求解；（2）利用每例的损失乘以收到网络举报的数量即可；（3）用每例的损失减去每例的损失，然后用其差除以每例的损失即可；（4）画树状图（用A、B、C、D分别表示甲乙丙丁）展示所有12种等可能的结果数，再找出选中甲、乙两人的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）该平台共收到网络举报24886例；（2）通过该平台举报的总金额大约是24886×5.106≈1.27亿元；（3）每例的损失年增长率=÷2070=147%；（4）画树状图为：（用A、B、C、D分别表示甲乙丙丁）共有12种等可能的结果数，其中选中甲、乙两人的结果数为2，所以恰好选中甲、乙两人的概率==．24．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且BD=BC，延长AD到E，且有∠EBD=∠CAB．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）若BC=，AC=5，求圆的直径AD及切线BE的长．【考点】切线的判定；三角形的外接圆与外心．【分析】（1）先根据等弦所对的劣弧相等，再结合∠EBD=∠CAB从而得到∠BAD=∠EBD，最后用直径所对的圆周角为直角即可；（2）利用三角形的中位线先求出OF，再用平行线分线段成比例定理求出半径R，最后用切割线定理即可．【解答】解：如图，连接OB，∵BD=BC，∴∠CAB=∠BAD，∵∠EBD=∠CAB，∴∠BAD=∠EBD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°，OA=BO，∴∠BAD=∠ABO，∴∠EBD=∠ABO，∴∠OBE=∠EBD+∠OBD=∠ABD+∠OBD=∠ABD=90°，∵点B在⊙O上，∴BE是⊙O的切线，（2）如图2，设圆的半径为R，连接CD，∵AD为⊙O的直径，∴∠ACCD=90°，∵BC=BD，∴OB⊥CD，∴OB∥AC，∵OA=OD，∴OF=AC=，∵四边形ACBD是圆内接四边形，∴∠BDE=∠ACB，∵∠DBE=∠ACB，∴△DBE∽△CAB，∴，∴，∴DE=，∵∠OBE=∠OFD=90°，∴DF∥BE，∴，∴，∵R＞0，∴R=3，∵BE是⊙O的切线，∴BE===．七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）25．已知四边形ABCD中，AB=AD，AB⊥AD，连接AC，过点A作AE⊥AC，且使AE=AC，连接BE，过A作AH⊥CD于H交BE于F．（1）如图1，当E在CD的延长线上时，求证：①△ABC≌△ADE；②BF=EF；（2）如图2，当E不在CD的延长线上时，BF=EF还成立吗？请证明你的结论．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】（1）①利用SAS证全等；②易证得：BC∥FH和CH=HE，根据平行线分线段成比例定理得BF=EF，也可由三角形中位线定理的推论得出结论．（2）作辅助线构建平行线和全等三角形，首先证明△MAE≌△DAC，得AD=AM，根据等量代换得AB=AM，根据②同理得出结论．【解答】证明：（1）①如图1，∵AB⊥AD，AE⊥AC，∴∠BAD=90°，∠CAE=90°，∴∠1=∠2，在△ABC和△ADE中，∵∴△ABC≌△ADE（SAS）；②如图1，∵△ABC≌△ADE，∴∠AEC=∠3，在Rt△ACE中，∠ACE+∠AEC=90°，∴∠BCE=90°，∵AH⊥CD，AE=AC，∴CH=HE，∵∠AHE=∠BCE=90°，∴BC∥FH，∴==1，∴BF=EF；（2）结论仍然成立，理由是：如图2所示，过E作MN⊥AH，交BA、CD延长线于M、N，∵∠CAE=90°，∠BAD=90°，∴∠1+∠2=90°，∠1+∠CAD=90°，∴∠2=∠CAD，∵MN∥AH，∴∠3=∠HAE，∵∠ACH+∠CAH=90°，∠CAH+∠HAE=90°，∴∠ACH=∠HAE，∴∠3=∠ACH，在△MAE和△DAC中，∵∴△MAE≌△DAC（ASA），∴AM=AD，∵AB=AD，∴AB=AM，∵AF∥ME，∴==1，∴BF=EF．26．如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于C（0，﹣2）．（1）求抛物线的解析式；（2）H是C关于x轴的对称点，P是抛物线上的一点，当△PBH与△AOC相似时，求符合条件的P点的坐标（求出两点即可）；（3）过点C作CD∥AB，CD交抛物线于点D，点M是线段CD上的一动点，作直线MN与线段AC交于点N，与x轴交于点E，且∠BME=∠BDC，当CN 的值最大时，求点E的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣4），然后将（0，﹣2）代入解析式即可求出a的值；（2）当△PBH与△AOC相似时，△PBH是直角三角形，由可知∠AHB=90°，所以求出直线AH的解析式后，联立一次函数与二次函数的解析式后即可求出P的坐标；（3）设M的坐标为（m，0），由∠BME=∠BDC可知∠EMC=∠MBD，所以△NCM∽△MDB，利用对应边的比相等即可得出CN与m的函数关系式，利用二次函数的性质即可求出m=时，CN有最大值，然后再证明△EMB∽△BDM，即可求出E的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），∴设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣4），把（0，﹣2）代入y=a（x+1）（x﹣4），∴a=，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2；（2）当△PBH与△AOC相似时，∴△AOC是直角三角形，∴△PBH也是直角三角形，由题意知：H（0，2），∴OH=2，∵A（﹣1，0），B（4，0），∴OA=1，OB=4，∴∵∠AOH=∠BOH，∴△AOH∽△BOH，∴∠AHO=∠HBO，∴∠AHO+∠BHO=∠HBO+∠BHO=90°，∴∠AHB=90°，设直线AH的解析式为：y=kx+b，把A（﹣1，0）和H（0，2）代入y=kx+b，∴，∴解得，∴直线AH的解析式为：y=2x+2，联立，解得：x=1或x=﹣8，当x=﹣1时，y=0，当x=8时，y=18∴P的坐标为（﹣1，0）或（8，18）（3）过点M作MF⊥x轴于点F，设点E的坐标为（n，0），M的坐标为（m，0），∵∠BME=∠BDC，∴∠EMC+∠BME=∠BDC+∠MBD，∴∠EMC=∠MBD，∵CD∥x轴，∴D的纵坐标为﹣2，令y=﹣2代入y=x2﹣x﹣2，∴x=0或x=3，∴D（3，﹣2），∵B（4，0），∴由勾股定理可求得：BD=，∵M（m，0），∴MD=3﹣m，CM=m（0≤m≤3）∴由抛物线的对称性可知：∠NCM=∠BDC，∴△NCM∽△MDB，∴，∴，∴CN==﹣（m﹣）2+，∴当m=时，CN可取得最大值，∴此时M的坐标为（，﹣2），∴MF=2，BF=，MD=∴由勾股定理可求得：MB=，∵E（n，0），∴EB=4﹣n，∵CD∥x轴，∴∠NMC=∠BEM，∠EBM=∠BMD，∴△EMB∽△BDM，∴，∴MB2=MD•EB，∴=×（4﹣n），∴n=﹣，∴E的坐标为（﹣，0）．7月3日。
2023年湖南省常德市中考数学试卷(含答案)132459
2023年湖南省常德市中考数学试卷试卷考试总分：117 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、 选择题 （本题共计 7 小题 ，每题 3 分 ，共计21分 ）1. 下列运算有错误的是( )A.B.C.D.2. 如果一元一次不等式组的解集是，那么的取值范围是( )A.B.C.D.3. 假定有一排蜂房，形状如图，一只蜜蜂在左下角的蜂房中，由于受伤，只能爬，不能飞，而且只能永远向右方（包括右上、右下）爬行，从一间蜂房爬到与之相邻的右蜂房中去．则从最初位置爬到号蜂房中，不同的爬法有（ ）A.种B.种C.种D.种4. 如图是一数值转换机，若输入的为，则输出的结果为A.B.C.D.8×(−2)×(−)=812−5×(−)×6=1512(2−7)×3=15−1×(−)=1313{x >2，x >ax >2a a >2a ≥2a ≤2a <2446810x −5()11−9−17215. 如图，直线，▱的顶点，分别在直线和直线上.若，则的度数是( )A.B.C.D.6. 如图，正方形的边长，为的中点，为的中点，分别与，相交于点，，则的长为( )A.B.C.D.7. 观察下列关于自然数的式子：①②③ 根据上述规律，则第个式子的值是( )A.B.C.D.二、 填空题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ）8. 计算：________．9. 若，，则代数式的值是________．10. 要使式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是________．11. 年国家级经济开发区成为经济发展重要增长点，实现进口总额亿元，用科学记数法表示为________元．a//b ABCD A C a b ∠1=35∘∠235∘45∘55∘65∘ABCD AB =2E AB F BC AF DE BD M N MN 55–√6−125–√345–√153–√34×−12324×−22524×−3272⋯201980768077−8077−8076×=0.25201942020y−x =−1xy =2−y+−x 12x 3x 2y 212y 3a −3−−−−√−1a 2a 201862000−2x+m=0212. 如果关于的方程有两个相等的实数根，那么实数的值是________．13. 祖冲之是中国数学史上第一个名列正史的数学家，他把圆周率精确到小数点后位，这是祖冲之最重要的数学贡献，胡老师对圆周率的小数点后位数字进行了如下统计：数字频数那么，圆周率的小数点后位数字的众数为________．14. 如图，矩形中，，将矩形沿对角线折叠，记的像为．已知于点，为的中点，交于点，若，，则的值为________(用含，的代数式表示）.15. 如图，在矩形中，，，以点为圆心，长为半径画圆弧交边于点，则的长度为________．三、 解答题 （本题共计 10 小题 ，共计72分 ）16. （5分） 计算．17.(5分) 解下列方程组 18. （6分） 先化简，再在的范围内选择一个合适的整数代入求值．19.(6分) 如图，一次函数＝与反比例函数的图象相交于点，点，与轴交于点，其中点和点．（1）填空：＝________，＝________；x −2x+m=0x 2m 71000123456789881211108981214100ABCD AB >BC ABCD AC △ABC △ANC DM ⊥AN M G MN GH ⊥MN CD H DM =a GH =b BC a b ABCD AB =4AD =2A AB DC E BE^(1){3x−2y =8,y+4x =7;(2){+=2，x 3y 43x−4y =−7.(a −1−)÷3a +1−4a +4a 2a +1−<a <2–√5–√y kx+b (x <0)A B x C A(−1,3)B(−3,n)m n（2）求一次函数的解析式和的面积．（3）根据图象回答：当为何值时，．（请直接写出答案） 20.(7分) 国家为了实现年全面脱贫目标，实施“精准扶贫”战略，采取异地搬迁，产业扶持等措施．使贫困户的生活条件得到改善，生活质量明显提高．某县为了全面了解贫困户对扶贫工作的满意度情况，进行随机抽样调查，分为四个类别：，非常满意；，满意；，基本满意；，不满意．依据调查数据绘制成图和图的统计图（不完整）．根据以上信息，解答下列问题：将图补充完整；通过分析，贫困户对扶贫工作的满意度（、、类视为满意）是________；市扶贫办从该县甲乡镇户、乙乡镇户共户贫困户中，随机抽取两户进行满意度回访，试用树状图或列表法求这两户贫困户恰好都是同一乡镇的概率． 21.(7分) 为迎接“六一”儿童节，某儿童品牌玩具专卖店购进了，两种玩具，其中类玩具的进价比玩具的进价每个多元，经调查：用元购进类玩具的数量与用元购进类玩具的数量相同.求,两类玩具的进价分别是每个多少元？该玩具店共购进了，两类玩具共个，若玩具店将每个类玩具定价为元出售，每个类玩具定价元出售，且全部售出后所获得利润不少于元，则商店至少购进类玩具多少个？ 22.(8分) 超速行驶是引发交通事故的主要原因．小明等三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在距成纪大道米的点处，如图所示，直线表示成纪大道．这时一辆小汽车由成纪大道上的处向处匀速行驶，用时秒．经测量，点在点的北偏西方向上，点在点的北偏西方向上．求点，之间的路程（精确到米）；请判断此车是否超过了成纪大道千米/时的限制速度？（参考数据：，）. 23.(8分) 已知是的直径，点是延长线上一点，，是的弦，．求证：直线是的切线；若，垂足为，的半径为，求的长．24.(10分) 如图，已知抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点，直线经过点，与轴相交于点．△AOB x kx+b ≤2020A B C D 12(1)1(2)A B C (3)325A B A B 3900A 750B (1)A B (2)A B 100A 30B 251080A 100C l A B 5A C 60∘B C 45∘(1)A B 0.1(2)60≈1.4142–√≈1.7323–√BC ⊙O D BC AB =AD AE ⊙O ∠AEC =30∘(1)AD ⊙O (2)AE ⊥BC M ⊙O 4AE y =−+34x 2bx+c x A B(4,0)y C y =−x+3C x D求抛物线的解析式；点为第一象限抛物线上一点，过点作轴的垂线，垂足为点，与线段相交于点，过点作轴的垂线，垂足为点，连接，过点作的垂线，与轴相交于点，连接、，设的面积为，点的横坐标为，求与的函数关系式；在的条件下，过点作直线的垂线，垂足为点，若，求值及点到抛物线对称轴的距离． 25.(10分) 如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么称这个三角形为这边上的“奇特三角形”，这条边称为“奇特边”．（1）如图，已知________是奇特三角形，，且＝．．①________的奇特边是________；②设＝，＝，＝，求；（2）如图，是的中线，若是边上的奇特三角形，找出与之间的关系．（3）如图，在四边形中，＝，＝，对角线把它分成了两个奇特三角形，且是以为腰的等腰三角形，求等腰三角形的底边长．(1)(2)P P x E PE CD G G y F EF G EF y M ME MD △MDE S P t S t (3)(2)B GM K BK =OD t P 1△AC >BC ∠C 90∘△BC a AC b AB c a :b :c 2AM △ABC △ABC BC BC 2A +A B 2C 23ABCD ∠B (AB <BC)90∘BC 27–√AC △ACD AC ACD参考答案与试题解析2023年湖南省常德市中考数学试卷试卷一、 选择题 （本题共计 7 小题 ，每题 3 分 ，共计21分 ）1.【答案】C【考点】有理数的混合运算【解析】原式各项计算得到结果，即可做出判断．【解答】解：，原式，正确；，原式，正确；，原式，错误；，原式，正确.故选.2.【答案】C【考点】解一元一次不等式组【解析】根据不等式组的解集的确定方法，就可以得出的范围．【解答】解：因为不等式组的解集是，所以．故选．3.【答案】C【考点】列表法与树状图法【解析】本题应分两种情况考虑：①当蜜蜂先向右爬行时；②当蜜蜂先向右上爬行时；然后将两种情况中所以可能的爬行路线一一列出，即可求出共有多少种不同的爬法．A =8×1=8B =×6=1552C =−5×3=−15D =13C a {x >2，x >ax >2a ≤2C解：本题可分两种情况：①蜜蜂先向右爬，则可能的爬法有：一、；二、；三、；共有种爬法；②蜜蜂先向右上爬，则可能的爬法有：一、；二、；三、；四、；五、；共种爬法；因此不同的爬法共有种．故选．4.【答案】D【考点】列代数式求值【解析】按照：计算即可．【解答】解：由图示可知：结果．故选．5.【答案】A【考点】平行四边形的性质与判定【解析】此题暂无解析【解答】解：如图所示，延长交于点，延长交于点，因为是平行四边形，所以,即；又，所以四边形为平行四边形，所以，所以.1⇒2⇒41⇒3⇒41⇒3⇒2⇒430⇒3⇒40⇒3⇒2⇒40⇒1⇒2⇒40⇒1⇒3⇒40⇒1⇒3⇒2⇒453+5=8C (x−2)×(−3)=(−5−2)×(−3)=7×3=21D AB bE CD aF ABCD AB//CD AE//CF a//b AECF ∠EAF =∠ECF ∠1=∠2=35∘6.【答案】C【考点】相似三角形的性质与判定正方形的性质勾股定理【解析】首先过作于，交于，于是得到，根据勾股定理求得，根据平行线分线段成比例定理求得，由相似三角形的性质求得与的长，根据相似三角形的性质，求得的长，即可得到结论．【解答】解：过作于，交于，则，∵，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故选.7.【答案】C【考点】规律型：数字的变化类【解析】F FH ⊥AD H ED O FH =AB =2AF OH AM AF AN F FH ⊥AD H ED O FH =AB =2BF =FC BC =AD =2BF =AH =1FC =HD =1AF ===F +A H 2H 2−−−−−−−−−−√+2212−−−−−−√5–√OH//AE ==HO AE DH AD 12OH =AE =1212OF =FH−OH =2−=1232AE//FO △AME ∼FMO ==AM FM AE OF 23AM =AF =2525–√5AD//BF △AND ∼△FNB ==2AN FN AD BF AN =2NF =25–√3MN =AN −AM =−=25–√325–√545–√15C此题暂无解析【解答】解：∵①，②③∴第个式子是，∴第个式子的值是：.故选.二、 填空题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ）8.【答案】【考点】幂的乘方与积的乘方【解析】根据积的乘方运算法则计算即可，积的乘方，等于每个因式乘方的积．【解答】．9.【答案】【考点】提公因式法与公式法的综合运用【解析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解，把已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：原式，当，，即，时，原式．故答案为：.10.【答案】且【考点】二次根式有意义的条件4×−12324×−22524×−3272⋯n 4−(2n+1n 2)220194×−(2×2019+120192)2=[2×2019+(2×2019+1)]×[2×2019−(2×2019+1)]=−8077C 4×0.25201942020=××40.25201942019=(0.25×4×4)2019=×412019=4−1=−xy(−2xy+)=−xy(x−y 12x 2y 212)2y−x =−1xy =2x−y =1xy =2=−1−1a ≥−3a ≠±1【解析】此题暂无解析【解答】解：要使式子在实数范围内有意义，则且，解得：且．故答案为：且．11.【答案】【考点】科学记数法--表示较大的数【解析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，整数位数减即可．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．【解答】亿元＝元＝元，12.【答案】【考点】根的判别式【解析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，解之即可得出结论．【解答】解：∵关于的方程有两个相等的实数根，∴，解得．故答案为：.13.【答案】【考点】众数【解析】众数：众数数样本观测值在频数分布表中频数最多的那一组的组中值，即在一组数据中，出现次数最多的数据，是一组数据中的原数据，而不是相应的次数．【解答】a −3−−−−√−1a 2a −3≥0−1≠0a 2a ≥−3a ≠±1a ≥−3a ≠±16.2×1012a ×10n 1≤|a |<10n n 1>10n <1n 620006200000000000 6.2×10121△=4−4m=0x −2x+m=0x 2Δ=(−2−4m=4−4m=0)2m=119解：由题目的频数分布表可观察到数字的频数为，出现次数最多，所以众数为．故答案为：．14.【答案】【考点】矩形的性质翻折变换（折叠问题）相似三角形的性质与判定【解析】此题暂无解析【解答】解：如图所示，连接并延长交于，∵，，，∴，又∵为的中点，∴，，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，即.故答案为：.15.【答案】【考点】含30度角的直角三角形弧长的计算【解析】连接，根据直角三角形的性质求出的度数，根据平行线的性质求出的度数，根据弧长公式求出的长度．【解答】91499a +2bDG CN Q DM ⊥AN GH ⊥AN CN ⊥AN DM//GH//CN G MN DG =GQ DH =HC GH =CQ 12CQ =2GH =2b DM//CN △DGM ∽△QGN ==DM NQ DG GQ 11DM =NQ =a CN =CQ +QN =a +2bBC =CN =a +2b a +2b π23AE ∠DEA ∠EAB BE^连接，在三角形中，，，∴，∵，∴，∴的长度为：，三、 解答题 （本题共计 10 小题 ，共计72分 ）16.【答案】原式＝＝＝．【考点】特殊角的三角函数值零指数幂负整数指数幂实数的运算【解析】直接利用二次根式的性质、负整数幂的性质、零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．【解答】原式＝＝＝．17.【答案】解：②①得，，解得，，将代入②中，得，解得，∴原方程组的解为即①②得，，解得，，将代入①中得，，解得，，∴原方程组的解为【考点】加减消元法解二元一次方程组AE Rt ADE AE =4AD =2∠DEA =30∘AB//CD ∠EAB =∠DEA =30∘BE ^=π30×π×4180232×+4−1−2+4−1−23−2×+4−1−2+4−1−23−(1){3x−2y =8，①y+4x =7，②×2+11x =22x =2x =2y+8=7y =−1{x =2，y =−1.(2){+=2，x 3y 43x−4y =−7，{4x+3y =24，①3x−4y =−7，②×4+×325x =75x =3x =312+3y =24y =4{x =3，y =4.【解析】此题暂无解析【解答】解：②①得，，解得，，将代入②中，得，解得，∴原方程组的解为即①②得，，解得，，将代入①中得，，解得，，∴原方程组的解为18.【答案】解：原式，∵ ，且为整数，∴，，，，又∵分母不能为，∴有意义的或，当时，原式．【考点】分式的化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：原式，∵ ，且为整数，∴，，，，又∵分母不能为，∴有意义的或，当时，原式．19.【答案】,把，分别代入＝得，(1){3x−2y =8，①y+4x =7，②×2+11x =22x =2x =2y+8=7y =−1{x =2，y =−1.(2){+=2，x 3y 43x−4y =−7，{4x+3y =24，①3x−4y =−7，②×4+×325x =75x =3x =312+3y =24y =4{x =3，y =4.=[−]÷(a +1)(a −1)a +13a +1(a −2)2a +1=×(a +2)(a −2)a +1a +1(a −2)2=a +2a −2−<a <2–√5–√a a =−10120a =01a =0=−1=[−]÷(a +1)(a −1)a +13a +1(a −2)2a +1=×(a +2)(a −2)a +1a +1(a −2)2=a +2a −2−<a <2–√5–√a a =−10120a =01a =0=−1−31A(−5,3)1)y kx+b解得，∴一次函数解析式为＝，当＝时，＝，则∵＝，∴＝；观察图象可得：当时，的取值范围为：或．故答案为或．【考点】反比例函数与一次函数的综合【解析】（1）把点坐标代入＝，得＝，则反比例函数解析式为＝-，再利用反比例函数解析式确定点坐标；（2）先利用待定系数法求出一次函数解析式，则可确定，根据三角形面积公式，利用＝进行计算；（3）结合函数图象，写出反比例函数图象在一次函数图象上方所对应的自变量的范围即可．【解答】把代入＝；∴反比例函数解析式为＝-，把代入＝-，解得＝；故答案为，；把，分别代入＝得，解得，∴一次函数解析式为＝，当＝时，＝，则∵＝，∴＝；观察图象可得：当时，的取值范围为：或．故答案为或．20.【答案】解：被调查的总户数为，类别户数为，补全图形如下：贫困户对扶贫工作的满意度（、、类视为满意）是.故答案为：.画树状图如下：y x+4y 6x+40C(−3S △AOB −S △AOC S △BOC S △AOB ×2×3−kx+b ≤x −1≤x <0x ≤−4−1≤x <0x ≤−2A y m −3y B C(−4,0)S △AOB −S △AOC S △BOC A(−1,3)y y B(−3,n)y n 8−31A(−5,3)1)y kx+b y x+4y 6x+40C(−3S △AOB −S △AOC S △BOC S △AOB ×2×3−kx+b ≤x −1≤x <0x ≤−4−1≤x <0x ≤−2(1)60÷60%=100C 100−(60+20+5)=15(2)A B C ×100%=95%60+20+1510095%(3)由树状图知共有种等可能结果，其中这两户贫困户恰好都是同一乡镇的有种结果，所以这两户贫困户恰好都是同一乡镇的概率为.【考点】条形统计图扇形统计图列表法与树状图法【解析】（1）先由类别户数和所占百分比求得样本总量，再根据各类别户数和等于总户数求得的数量即可补全图形；（2）用、、户数和除以总户数即可得；（3）画树状图列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．【解答】解：被调查的总户数为，类别户数为，补全图形如下：贫困户对扶贫工作的满意度（、、类视为满意）是.故答案为：.画树状图如下：由树状图知共有种等可能结果，其中这两户贫困户恰好都是同一乡镇的有种结果，所以这两户贫困户恰好都是同一乡镇的概率为.21.【答案】解：设的进价为元，则的进价是元，由题意得，解得，经检验是原方程的解．所以（元）答：的进价是元，的进价是元.设商店至少购进类玩具个，则玩具购进个，由题意得：，解得．答：商店至少购进类玩具个．【考点】分式方程的应用208=82025A C ABC (1)60÷60%=100C 100−(60+20+5)=15(2)A B C ×100%=95%60+20+1510095%(3)208=82025(1)B x a (x+3)=900x+3750x x =15x =1515+3=18A 18B 15(2)A a B (100−a)12a +10(100−a)≥1080a ≥40A 40一元一次不等式的实际应用【解析】（1）设的进价为元，则的进价是元；根据用元购进类玩具的数量与用元购进类玩具的数量相同这个等量关系列出方程即可．（2）设玩具个，则玩具个，结合“玩具店将每个类玩具定价为元出售，每个类玩具定价元出售，且全部售出后所获得利润不少于元”列出不等式并解答．【解答】解：设的进价为元，则的进价是元，由题意得，解得，经检验是原方程的解．所以（元）答：的进价是元，的进价是元.设商店至少购进类玩具个，则玩具购进个，由题意得：，解得．答：商店至少购进类玩具个．22.【答案】解：过点作的延长线于点，由题意知，米，，，在直角三角形中，，.在直角三角形中，，，（米）；该车的速度为（米/秒），∵千米/小时千米/小时，∴该车没有超速．【考点】解直角三角形的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：过点作的延长线于点，B x a (x+3)900A 750B A a B (100−a)A 30B 251080(1)B x a (x+3)=900x+3750x x =15x =1515+3=18A 18B 15(2)A a B (100−a)12a +10(100−a)≥1080a ≥40A 40(1)C CO ⊥AB O CO =100∠ACO =60∘∠BCO =45∘BCO ∵∠BCO =45∘∴BO =CO =100m ACO ∵∠ACO =60∘∴AO =CO ⋅tan =10060∘3–√∴AB =AO −BO =(100−100)≈73.23–√(2)73.2÷5=14.6414.64×3.6≈52.7<60(1)C CO ⊥AB O由题意知，米，，，在直角三角形中，，.在直角三角形中，，，（米）；该车的速度为（米/秒），∵千米/小时千米/小时，∴该车没有超速．23.【答案】证明：∵，∴，∵，∴，根据三角形的内角和定理得，，连接，∴，∴，∴，∴，∵点在上，∴直线是的切线；解：连接，∵，∴，∵于，∴，，，CO =100∠ACO =60∘∠BCO =45∘BCO ∵∠BCO =45∘∴BO =CO =100m ACO ∵∠ACO =60∘∴AO =CO ⋅tan =10060∘3–√∴AB =AO −BO =(100−100)≈73.23–√(2)73.2÷5=14.6414.64×3.6≈52.7<60(1)∠AEC =30∘∠ABC =30∘AB =AD ∠D =∠ABC =30∘∠BAD =120∘OA OA =OB ∠OAB =∠ABC =30∘∠OAD =∠BAD−∠OAB =90∘OA ⊥AD A ⊙O AD ⊙O (2)OA ∠AEC =30∘∠AOC =60∘BC ⊥AE M AE =2AM ∠OMA =90∘∠OAM =30∘M =AO =21，在中，，∴．【考点】圆周角定理切线的判定与性质垂径定理【解析】（1）先求出，进而求出，即可求出，结论得证；（2）先求出，用三角函数求出，再用垂径定理即可得出结论．【解答】证明：∵，∴，∵，∴，根据三角形的内角和定理得，，连接，∴，∴，∴，∴，∵点在上，∴直线是的切线；解：连接，∵，∴，∵于，∴，，，，在中，，∴．24.【答案】解：()对于直线，当时，，∴.把代入抛物线解析式中，∴ ∴OM =AO =212Rt △AOM AM ==2A −O O 2M 2−−−−−−−−−−√3–√AE =2AM =43–√∠ABC =30∘∠BAD =120∘∠OAB =30∘∠AOC =60∘AM (1)∠AEC =30∘∠ABC =30∘AB =AD ∠D =∠ABC =30∘∠BAD =120∘OA OA =OB ∠OAB =∠ABC =30∘∠OAD =∠BAD−∠OAB =90∘OA ⊥AD A ⊙O AD ⊙O (2)OA ∠AEC =30∘∠AOC =60∘BC ⊥AE M AE =2AM ∠OMA =90∘∠OAM =30∘∴OM =AO =212Rt △AOM AM ==2A −O O 2M 2−−−−−−−−−−√3–√AE =2AM =43–√1y =−x+3x =0y =3C(0,3)B(4,0),C(0,3) 0=−×+b ×4+c ，34423=c, =,9∴ ∴.当时，.又∵，∴四边形是矩形，∴又∵，∴∴．∴在中，,∴中，，∴∴∴当时，．过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两直线相交于点．设直线交于点，交轴于点．∵，∴四边形是平行四边形．又∵，∴四边形是矩形．∴ ，又∵，∴，又∵,∴∴又∵，∴∴延长与相交于点．对于直线，当是，，∴∴，∵，∴,∴．∵，∴∵，∴．∵，∴又∵ ，∴ ．∴，∴∴．∴设，则，中，，∴．∴．∴，∴ b =,94c =3,y =−+x+334x 294(2)0<t <32P (t,−+t+3),G(t,−t+3)34t 294FG ⊥CO,GE ⊥OD,CO ⊥OD FOEC OE =FG =t,GE =ED =OF =3−t.MG ⊥FE,FG ⊥GE ∠GEF +∠GFE =90∘∠GFE+∠FGM =90∘∠GEF =∠FGM.Rt △FGE tan ∠FEG ==FG GE t 3−t Rt △FGM tan ∠FGM ==FM CF t 3−t FM =.t 23−t OM =FO −FM =(3−t)−=.t 23−t 9−6t 3−t =DE ⋅OM =×(3−t)×=.S △MDE 12129−6t 3−t 9−6t 2<t <332S =DE ⋅OM =DE ⋅(FM −OF)1212=−9+6t 2(3)C x B y Q CM CQ N x Z CQ//BO,BQ//CO COBQ ∠COB =90∘COBQ ∠CQB ==∠BKN,CO =BQ =390∘BK =OD BK =BQ BN =BN Rt △KBN ≅Rt △QBN.∠KNB =∠QNB.NQ//OB ∠QNB =∠NBO =∠KNB.ZN =ZB.EG CQ H y =−x+3y =0x =3D(0,3),OD =3=OC.∠OCD =∠ODC CQ//OB ∠QHG =∠HEO =,∠HCD =∠CDO 90∘∠OCD =∠HCD GF ⊥OC,GH ⊥CH GH =GF.GM ⊥EF,GH ⊥HN ∠GEM +∠MGE =,∠HGN +∠HNG =90∘90∘∠HGN =∠MGE ∠GEM =∠HNG.∠GFO =∠FOE =∠OEG =90∘∠FGE ==∠GHN 90∘△HNG ≅△FGE CH =OE =t =HG.HN =GE =3−t.CN =3−t+t =3NQ =BD =1=NK.ZK =m ZB =ZN =m+1Rt △KZB =+(m+1)2m 232m=4ZB =5tan ∠GZB =.tan ∠GEF =3434=.t 3−t 34=9解得，抛物线的对称轴为直线，∴点到抛物线对称轴的距离为．【考点】二次函数综合题【解析】此题暂无解析【解答】解：()对于直线，当时，，∴.把代入抛物线解析式中，∴ ∴ ∴.当时，.又∵，∴四边形是矩形，∴又∵，∴∴．∴在中，,∴中，，∴∴∴当时，．过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两直线相交于点．设直线交于点，交轴于点．∵，∴四边形是平行四边形．又∵，∴四边形是矩形．∴ ，t =97x =−=b 2a 32P −=32973141y =−x+3x =0y =3C(0,3)B(4,0),C(0,3) 0=−×+b ×4+c ，34423=c, b =,94c =3,y =−+x+334x 294(2)0<t <32P (t,−+t+3),G(t,−t+3)34t 294FG ⊥CO,GE ⊥OD,CO ⊥OD FOEC OE =FG =t,GE =ED =OF =3−t.MG ⊥FE,FG ⊥GE ∠GEF +∠GFE =90∘∠GFE+∠FGM =90∘∠GEF =∠FGM.Rt △FGE tan ∠FEG ==FG GE t 3−t Rt △FGM tan ∠FGM ==FM CF t 3−t FM =.t 23−t OM =FO −FM =(3−t)−=.t 23−t 9−6t 3−t =DE ⋅OM =×(3−t)×=.S △MDE 12129−6t 3−t 9−6t 2<t <332S =DE ⋅OM =DE ⋅(FM −OF)1212=−9+6t 2(3)C x B y Q CM CQ N x Z CQ//BO,BQ//CO COBQ ∠COB =90∘COBQ ∠CQB ==∠BKN,CO =BQ =390∘又∵，∴，又∵,∴∴又∵，∴∴延长与相交于点．对于直线，当是，，∴∴，∵，∴,∴．∵，∴∵，∴．∵，∴又∵ ，∴ ．∴，∴∴．∴设，则，中，，∴．∴．∴，∴解得，抛物线的对称轴为直线，∴点到抛物线对称轴的距离为．25.【答案】,,,,,较长直角边,,,,,,,,,作边上的中线，由得，是“奇特边”，∵＝，则＝，＝，由勾股定理得，，，是“奇特三角形”，当为“奇特边”时，，BK =OD BK =BQ BN =BN Rt △KBN ≅Rt △QBN.∠KNB =∠QNB.NQ//OB ∠QNB =∠NBO =∠KNB.ZN =ZB.EG CQ H y =−x+3y =0x =3D(0,3),OD =3=OC.∠OCD =∠ODC CQ//OB ∠QHG =∠HEO =,∠HCD =∠CDO 90∘∠OCD =∠HCD GF ⊥OC,GH ⊥CH GH =GF.GM ⊥EF,GH ⊥HN ∠GEM +∠MGE =,∠HGN +∠HNG =90∘90∘∠HGN =∠MGE ∠GEM =∠HNG.∠GFO =∠FOE =∠OEG =90∘∠FGE ==∠GHN 90∘△HNG ≅△FGE CH =OE =t =HG.HN =GE =3−t.CN =3−t+t =3NQ =BD =1=NK.ZK =m ZB =ZN =m+1Rt △KZB =+(m+1)2m 232m=4ZB =5tan ∠GZB =.tan ∠GEF =3434=.t 3−t 34t =97x =−=b 2a 32P −=3297314ABC AC BC C ABC BC a AC bAB c a bc BC AE BC BC 27–√AE 27–√BE EC =7–√AB ==A −B E 2E 2−−−−−−−−−−√21−−√AC ==7A +B B 2C 2−−−−−−−−−−√△ACD AC +A =×72D 25272D =76–√解得，，当为“奇特边”时，＝，解得，．【考点】三角形综合题【解析】（1）①根据是“奇特边”的定义、直角三角形的性质判断；②设＝＝，根据勾股定理计算；（2）作于，于，设＝，＝，＝，根据勾股定理计算；（3）分为“奇特边”、为“奇特边”两种情况，根据（2）的结论计算．【解答】（1）①∵直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，∴斜边不是“奇特边”，∵较短直角边上的中线大于较长直角边，∴较短直角边不是“奇特边”，∴较长直角边为奇特边，AD =76–√2AD (AD +A 12)2D 272AD =145–√5AC BH 2x BD ⊥AM D CE ⊥AM E BD x DM y BM z AC AD。
湖南省常德市中考数学真题试卷(含解析)
湖南省常德市中考数学真题试卷一、选择题（共8小题）.1．4的倒数为（）A．B．2 C．1 D．﹣4 2．下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是（）A．B．C．D．3．如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（）A．70°B．65°C．35°D．5°4．下列计算正确的是（）A．a2+b2＝（a+b）2B．a2+a4＝a6C．a10÷a5＝a2D．a2•a3＝a55．下列说法正确的是（）A．明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上C．了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式D．一组数据的众数一定只有一个6．一个圆锥的底面半径r＝10，高h＝20，则这个圆锥的侧面积是（）A．100πB．200πC．100πD．200π7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．18．如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（）A．C、E B．E、F C．G、C、E D．E、C、F二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）9．分解因式：xy2﹣4x＝．10．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．11．计算：﹣+＝．12．如图，若反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积为6，则k＝．13．4月23日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时间，统计如表：阅读时间（x小时）x≤3.5 3.5＜x≤5 5＜x≤6.5 x＞6.5 人数12 8 6 4 若该校共有1200名学生，试估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为．14．今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是次．15．如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合（A、C都落在G点），若GF＝4，EG＝6，则DG的长为．16．阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为．三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）17．计算：20+（）﹣1•﹣4tan45°．18．解不等式组．四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）19．先化简，再选一个合适的数代入求值：（x+1﹣）÷．20．第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（3，18）和B（﹣2，8）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象只有一个交点，求交点坐标．22．如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，若AC＝2米，求BC的长度．（结果保留一位小数）（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41）六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）23．今年2﹣4月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．（1）轻症患者的人数是多少？（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A、B、C、D、E五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率．24．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB于D，DE 交BC于F，且EF＝EC．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求切线EC的长．七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）25．如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线l过点A，M（，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB；（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．26．已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．参考答案一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）1．4的倒数为（）A．B．2 C．1 D．﹣4【分析】根据倒数的意义，乘积是1的两个数叫做互为倒数，求倒数的方法，是把一个数的分子和分母互换位置即可，是带分数的化成假分数，再把分子分母互换位置，据此解答．解：4的倒数为．故选：A．2．下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；故选：C．3．如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（）A．70°B．65°C．35°D．5°【分析】根据平行线的性质和∠1＝30°，∠2＝35°，可以得到∠BCE的度数，本题得以解决．解：作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴AB∥DE∥DE，∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，∵∠1＝30°，∠2＝35°，∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，∴∠BCE＝65°，故选：B．4．下列计算正确的是（）A．a2+b2＝（a+b）2B．a2+a4＝a6C．a10÷a5＝a2D．a2•a3＝a5【分析】根据完全平方公式、合并同类项法则、同底数幂的乘除法计算得到结果，即可作出判断．解：A、a2+2ab+b2＝（a+b）2，原计算错误，故此选项不符合题意；B、a2与a4不是同类项不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；C、a10÷a5＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意；D、a2•a3＝a5，原计算正确，故此选项符合题意；故选：D．5．下列说法正确的是（）A．明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上C．了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式D．一组数据的众数一定只有一个【分析】根据必然事件的概念、众数的定义、随机事件的概率逐项分析即可得出答案．解：A、明天的降水概率为80%，则明天下雨可能性较大，故本选项错误；B、抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面朝上的概率是，故本选项错误；C、了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式，故本选项正确；D、一组数据的众数不一定只有一个，故本选项错误；故选：C．6．一个圆锥的底面半径r＝10，高h＝20，则这个圆锥的侧面积是（）A．100πB．200πC．100πD．200π【分析】先利用勾股定理计算出母线长，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．解：这个圆锥的母线长＝＝10，这个圆锥的侧面积＝×2π×10×10＝100π．故选：C．7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】先由抛物线与x周董交点个数判断出结论①，利用抛物线的对称轴为x＝2，判断出结论②，先由抛物线的开口方向判断出a＜0，进而判断出b＞0，再用抛物线与y轴的交点的位置判断出c＞0，判断出结论③，最后用x＝﹣2时，抛物线在x轴下方，判断出结论④，即可得出结论．解：由图象知，抛物线与x轴有两个交点，∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＞0，故①正确，由图象知，抛物线的对称轴直线为x＝2，∴﹣＝2，∴4a+b＝0，故②正确，由图象知，抛物线开口方向向下，∴a＜0，∵4a+b＝0，∴b＞0，而抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0，∴abc＜0，故③正确，由图象知，当x＝﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，故④错误，即正确的结论有3个，故选：B．8．如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（）A．C、E B．E、F C．G、C、E D．E、C、F【分析】设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝k（k+1），然后根据题目中所给的第k次依次移动k个顶点的规则，可得到不等式最后求得解．解：经实验或按下方法可求得顶点C，E和F棋子不可能停到．设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝k（k+1），应停在第k（k+1）﹣7p格，这时P是整数，且使0≤k（k+1）﹣7p≤6，分别取k＝1，2，3，4，5，6，7时，k（k+1）﹣7p＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，若7＜k≤，设k＝7+t（t＝1，2，3）代入可得，k（k+1）﹣7p＝7m+t（t+1），由此可知，停棋的情形与k＝t时相同，故第2，4，5格没有停棋，即顶点C，E和F棋子不可能停到．故选：D．二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）9．分解因式：xy2﹣4x＝x（y+2）（y﹣2）．【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．解：原式＝x（y2﹣4）＝x（y+2）（y﹣2），故答案为：x（y+2）（y﹣2）10．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是x＞3 ．【分析】根据二次根式有意义的条件可得2x﹣6＞0，再解即可．解：由题意得：2x﹣6＞0，解得：x＞3，故答案为：x＞3．11．计算：﹣+＝3．【分析】直接化简二次根式进而合并得出答案．解：原式＝﹣+2＝3．故答案为：3．12．如图，若反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积为6，则k＝﹣12 ．【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义即可解决问题．解：∵AB⊥OB，∴S△AOB＝＝6，∴k＝±12，∵反比例函数的图象在二四象限，∴k＜0，∴k＝﹣12，故答案为﹣12．13．4月23日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时间，统计如表：阅读时间（x小时）x≤3.5 3.5＜x≤5 5＜x≤6.5 x＞6.5 人数12 8 6 4 若该校共有1200名学生，试估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为400人．【分析】用总人数×每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数所占的百分比即可得到结论．解：1200×＝400（人），答：估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为400人．14．今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是 4 次．【分析】设李红出门没有买到口罩的次数是x，买到口罩的次数是y，根据买口罩的次数是10次和家里现有口罩35只，可列出关于x和y的二元一次方程组，求解即可．解：设李红出门没有买到口罩的次数是x，买到口罩的次数是y，由题意得：，整理得：，解得：．故答案为：4．15．如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合（A、C都落在G点），若GF＝4，EG＝6，则DG的长为12 ．【分析】设正方形ABCD的边长为x，由翻折及已知线段的长，可用含x的式子分别表示出BE、BF及EF的长；在Rt△BEF中，由勾股定理得关于x的方程，解得x的值，即为DG的长．解：设正方形ABCD的边长为x，由翻折可得：DG＝DA＝DC＝x，∵GF＝4，EG＝6，∴AE＝EG＝6，CF＝GF＝4，∴BE＝x﹣6，BF＝x﹣6，EF＝6+4＝10，如图1所示：在Rt△BEF中，由勾股定理得：BE2+BF2＝EF2，∴（x﹣6）2+（x﹣4）2＝102，∴x2﹣12x+36+x2﹣8x+16＝100，∴x2﹣10x﹣24＝0，∴（x+2）（x﹣12）＝0，∴x1＝﹣2（舍），x2＝12．∴DG＝12．故答案为：12．16．阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣．【分析】将原方程左边变形为x3﹣4x﹣x+2＝0，再进一步因式分解得（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，据此得到两个关于x的方程求解可得．解：∵x3﹣5x+2＝0，∴x3﹣4x﹣x+2＝0，∴x（x2﹣4）﹣（x﹣2）＝0，∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，则（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0，∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0，解得x＝2或x＝﹣1，故答案为：x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣．三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）17．计算：20+（）﹣1•﹣4tan45°．【分析】先计算20、、（）﹣1、tan45°，再按运算顺序求值即可．解：原式＝1+3×2﹣4×1＝1+6﹣4＝3．18．解不等式组．【分析】首先分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律确定不等式组的解集．解：，由①得：x＜5，由②得：x≥﹣1，不等式组的解集为：﹣1≤x＜5．四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）19．先化简，再选一个合适的数代入求值：（x+1﹣）÷．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．解：（x+1﹣）÷＝＝＝＝，当x＝2时，原式＝＝﹣．20．第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？【分析】首先设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，根据题意可得等量关系：4G下载600兆所用时间﹣5G下载600兆所用时间＝140秒．然后根据等量关系，列出分式方程，再解即可．解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，由题意得：﹣＝140，解得：x＝4，经检验：x＝4是原分式方程的解，且符合题意，15×4＝60，答：该地4G的下载速度是每秒4兆，则该地5G的下载速度是每秒60兆．五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（3，18）和B（﹣2，8）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象只有一个交点，求交点坐标．【分析】（1）直接把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数y＝kx+b中可得关于k、b的方程组，再解方程组可得k、b的值，进而求出一次函数的解析式；（2）联立一次函数解析式和反比例函数解析式，根据题意得到△＝0，解方程即可得到结论．解：（1）把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数y＝kx+b（k≠0），得，解得，∴一次函数的解析式为y＝2x+12；（2）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象只有一个交点，∴只有一组解，即2x2+12x﹣m＝0有两个相等的实数根，∴△＝122﹣4×2×（﹣m）＝0，∴m＝﹣18．把m＝﹣18代入求得该方程的解为：x＝﹣3，把x＝﹣3代入y＝2x+12得：y＝6，即所求的交点坐标为（﹣3，6）．22．如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，若AC＝2米，求BC的长度．（结果保留一位小数）（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41）【分析】直接过点C作CF⊥AB于点F，利用锐角三角函数关系得出CF的长，进而得出BC的长．【解答】方法一：解：如图1，过点C作CF⊥AB于点F，在Rt△ACF中，∵sin∠CAB＝sin（60°+5°）＝sin65°＝，∴CF＝AC•sin65°≈2×0.91＝1.82，在Rt△BCF中，∵∠ABC＝45°，∴CF＝BF，∴BC＝CF＝1.41×1.82＝2.5662≈2.6，答：所求BC的长度约为2.6米．方法二：解：如图2，过点A作AE⊥BC于点E，在Rt△ACE中，∵∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°，∴cos C＝cos70°＝，即CE＝AC×cos70°≈2×0.34＝0.68，sin C＝sin70°＝，即AE＝AC×sin70°≈2×0.94＝1.88，又∵在Rt△AEB中，∠ABC＝45°，∴AE＝BE，∴BC＝BE+CE＝0.68+1.88＝2.56≈2.6，答：所求BC的长度约为2.6米．六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）23．今年2﹣4月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．（1）轻症患者的人数是多少？（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A、B、C、D、E五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率．【分析】（1）因为总人数已知，由轻症患者所占的百分比即可求出其的人数；（2）求出该市危重症患者所占的百分比，即可求出其共花费的钱数；（3）用加权平均数公式求出各种患者的平均费用即可；（4）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与恰好选中B、D两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．解：（1）轻症患者的人数＝200×80%＝160（人）；（2）该市为治疗危重症患者共花费钱数＝200×（1﹣80%﹣15%）×10＝100（万元）；（3）所有患者的平均治疗费用＝＝2.15（万元）；（4）列表得：A B C D EA（B，A）（C，A）（D，A）（E，A）B（A，B）（C，B）（D，B）（E，B）C（A，C）（B，C）（D，C）（E，C）D（A，D）（B，D）（C，D）（E，D）E（A，E）（B，E）（C，E）（D，E）由列表格，可知：共有20种等可能的结果，恰好选中B、D两位同学的有2种情况，∴P（恰好选中B、D）＝＝．24．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB于D，DE 交BC于F，且EF＝EC．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求切线EC的长．【分析】（1）连接OC，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得∠OCB+∠ECF＝90°，可证EC是⊙O的切线；（2）由勾股定理可求AC＝6，由锐角三角函数可求BF＝5，可求CF＝3，通过证明△OAC ∽△ECF，可得，可求解．解：（1）连接OC，∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB，∵DE⊥AB，∴∠OBC+∠DFB＝90°，∵EF＝EC，∴∠ECF＝∠EFC＝∠DFB，∴∠OCB+∠ECF＝90°，∴OC⊥CE，∴EC是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OB＝5，∴AB＝10，∴AC＝＝＝6，∵cos∠ABC＝，∴，∴BF＝5，∴CF＝BC﹣BF＝3，∵∠ABC+∠A＝90°，∠ABC+∠BFD＝90°，∴∠BFD＝∠A，∴∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，∴△OAC∽△ECF，∴，∴EC＝＝＝．七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）25．如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线l过点A，M（，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB；（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．（2）构建方程组确定点B的坐标，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．（3）如图2中，设P（t，t2），根据PD＝CD构建方程求出t即可解决问题．解：（1）把点A（﹣3，）代入y＝ax2，得到＝9a，∴a＝，∴抛物线的解析式为y＝x2．（2）设直线l的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线l的解析式为y＝﹣x+，令x＝0，得到y＝，∴C（0，），由，解得或，∴B（1，），如图1中，过点A作AA1⊥x轴于A1，过B作BB1⊥x轴于B1，则BB1∥OC∥AA1，∴＝＝＝，＝＝＝，∴＝，即MC2＝MA•MB．（3）如图2中，设P（t，t2）∵OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，∴PD∥OC，PD＝OC，∴D（t，﹣t+），∴|t2﹣（﹣t+）|＝，整理得：t2+2t﹣6＝0或t2+2t＝0，解得t＝﹣1﹣或﹣1＝或﹣2或0（舍弃），∴P（﹣1﹣，2+）或（﹣1+，2﹣）或（﹣2，1）．26．已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．【分析】（1）①证明△CBP是直角三角形，根据直角三角形斜边中线可得结论；②根据同位角相等可得BC∥EF，由平行线的性质得BP⊥EF，可得EF是线段BP的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠PFE＝∠BFE＝30°；（2）如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ，证明△QEP≌△DEC（SAS），则PQ＝DC＝DB，由QE＝DE，∠DEF＝90°，知EF是DQ的垂直平分线，证明△FQP≌△FDB （SAS），再由EF是DQ的垂直平分线，可得结论．【解答】证明（1）①∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝90°﹣30°＝60°，同理∠EDF＝60°，∴∠A＝∠EDF＝60°，∴AC∥DE，∴∠DMB＝∠ACB＝90°，∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，AC∥DM，∴，即M是BC的中点，∵EP＝CE，即E是PC的中点，∴ED∥BP，∴∠CBP＝∠DMB＝90°，∴△CBP是直角三角形，∴BE＝PC＝EP；②∵∠ABC＝∠DFE＝30°，∴BC∥EF，由①知：∠CBP＝90°，∴BP⊥EF，∵EB＝EP，∴EF是线段BP的垂直平分线，∴PF＝BF，∴∠PFE＝∠BFE＝30°；（2）如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ，∵EC＝EP，∠DEC＝∠QEP，∴△QEP≌△DEC（SAS），则PQ＝DC＝DB，∵QE＝DE，∠DEF＝90°∴EF是DQ的垂直平分线，∴QF＝DF，∵CD＝AD，∴∠CDA＝∠A＝60°，∴∠CDB＝120°，∴∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP，∴△FQP≌△FDB（SAS），∴∠QFP＝∠BFD，∵EF是DQ的垂直平分线，∴∠QFE＝∠EFD＝30°，∴∠QFP+∠EFP＝30°，∴∠BFD+∠EFP＝30°．。
2020年湖南常德中考数学试卷(附答案)
2020年湖南省常德市中考数学试卷一．选择题（共8小题）1.4的倒数为（）A. 14B. 2C. 1D. ﹣4【答案】A【解析】【分析】根据倒数的定义进行解答即可.【详解】4的倒数为14．故选：A．【点睛】本题考查求一个数的倒数，正确理解倒数的定义是解答的关键.2.下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项逐个分析判断即可解答.【详解】A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，正确理解轴对称图形和中心对称图形的概念是解答的关键.3.如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（）A. 70°B. 65°C. 35°D. 5°【答案】B【解析】【分析】作CF∥AB，根据平行线的性质可以得到∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，从而可得∠BCE的度数，本题得以解决．【详解】作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴AB∥DE∥DE，∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，∵∠1＝30°，∠2＝35°，∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，∴∠BCE＝65°，故选：B．【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．4.下列计算正确的是（）A. a2+b2＝（a+b）2B. a2+a4＝a6C. a10÷a5＝a2D. a2•a3＝a5【答案】D【解析】【分析】根据完全平方公式、合并同类项法则、同底数幂的乘除法计算得到结果，即可作出判断．【详解】解：A、a2+2ab+b2＝（a+b）2，原计算错误，故此选项不符合题意；B 、a 2与a 4不是同类项不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；C 、a 10÷a 5＝a 5，原计算错误，故此选项不符合题意；D 、a 2•a 3＝a 5，原计算正确，故此选项符合题意；故选：D ．【点睛】此题主要考查幂与整式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．5.下列说法正确的是（ ）A. 明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨B. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上C. 了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式D. 一组数据的众数一定只有一个【答案】C【解析】【分析】根据必然事件的概念、众数的定义、随机事件的概率逐项分析即可得出答案．【详解】解：A 、明天的降水概率为80%，则明天下雨可能性较大，故本选项错误；B 、抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面朝上的概率是12，故本选项错误； C 、了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式，故本选项正确；D 、一组数据的众数不一定只有一个，故本选项错误；故选：C ．【点睛】此题主要考查统计与概率的定义，解题的关键是熟知概率的定义、统计调查的方法及众数的定义． 6.一个圆锥的底面半径r ＝10，高h ＝20，则这个圆锥的侧面积是（ ）A.B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先利用勾股定理计算出母线长，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．这个圆锥的侧面积＝12． 故选：C ．【点睛】此题主要考查圆锥的侧面积，解题的关键是熟知母线的定义及圆锥侧面积的公式．7.二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①b 2﹣4ac ＞0；②abc ＜0；③4a +b ＝0；④4a ﹣2b +c ＞0．其中正确结论的个数是（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】B【解析】【分析】 先由抛物线与x 轴的交点个数判断出结论①，先由抛物线的开口方向判断出a ＜0，进而判断出b ＞0，再用抛物线与y 轴的交点的位置判断出c ＞0，判断出结论②，利用抛物线的对称轴为x ＝2，判断出结论③，最后用x ＝﹣2时，抛物线在x 轴下方，判断出结论④，即可得出结论．【详解】解：由图象知，抛物线与x 轴有两个交点，∴方程ax 2+bx +c ＝0有两个不相等的实数根，∴b 2﹣4ac ＞0，故①正确， 由图象知，抛物线的对称轴直线为x ＝2， ∴﹣2b a＝2， ∴4a +b ＝0，故③正确，由图象知，抛物线开口方向向下，∴a ＜0，∵4a +b ＝0，∴b ＞0，而抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，∴c ＞0，∴abc ＜0，故②正确，由图象知，当x ＝﹣2时，y ＜0，∴4a ﹣2b +c ＜0，故④错误，即正确的结论有3个，故选：B ．【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知各系数与图像的关系．8.如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG 的顶点A 处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k 次移动k 个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B 处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D 处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（ ）A. C 、EB. E 、FC. G 、C 、ED. E 、C 、F【答案】D【解析】【分析】 设顶点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k 次后走过的总格数是1+2+3+…+k ＝12k （k +1），然后根据题目中所给的第k 次依次移动k 个顶点的规则，可得到不等式最后求得解．【详解】设顶点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k 次后走过的总格数是1+2+3+…+k ＝12k （k +1），应停在第12k （k +1）﹣7p 格， 这时P 是整数，且使0≤12k （k +1）﹣7p ≤6，分别取k ＝1，2，3，4，5，6，7时， 12k （k +1）﹣7p ＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋， 若7＜k ≤2020，设k ＝7+t （t ＝1，2，3）代入可得，12k （k +1）﹣7p ＝7m +12t （t +1）， 由此可知，停棋的情形与k ＝t 时相同，故第2，4，5格没有停棋，即顶点C ，E 和F 棋子不可能停到．故选：D ．【点睛】本题考查的是探索图形、数字变化规律，从图形中提取信息，转化为数字信息，探索数字变化规律是解答的关键.二．填空题（共8小题）9.分解因式：24xy x -=_________________．【答案】x （y+2）（y-2）【解析】【分析】首先提公因式x ，然后利用平方差公式分解即可；【详解】解：224)4(2)((2)x y x y y y x x --+-==故答案为：x （y+2）（y-2）【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解止． 10.在实数范围内有意义，则x 的取值范围是_____． 【答案】x ＞3【解析】【分析】本题考查二次根式是否有意义以及分式是否有意义，按照对应自变量要求求解即可．【详解】因为二次根式有意义必须满足被开方数为非负数所以有260x -≥．又因为分式分母不为零所以260x -≠．故综上：26x -＞0则：3x ＞．故答案为：x ＞3【点睛】二次根式以及分式的结合属于常见组合，需要着重注意分母不为零的隐藏陷阱．11._____．【答案】【解析】【分析】直接化简二次根式进而合并得出答案．＝故答案为：【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解答的关键.12.如图，若反比例函数y ＝kx（x ＜0）的图象经过点A ，AB ⊥x 轴于B ，且△AOB 的面积为6，则k ＝_____．【答案】﹣12【解析】【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义即可解决问题．【详解】解：∵AB ⊥OB ，∴S △AOB ＝||2k ＝6， ∴k ＝±12， ∵反比例函数的图象在二四象限，∴k ＜0，∴k ＝﹣12，故答案为﹣12．【点睛】此题主要考查反比例函数的图像与性质，解题的关键是熟知反比例函数比例系数的几何意义． 13.4月23日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时间，统计如表： 阅读时间（x 小时）x ≤3.5 3.5＜x ≤5 5＜x ≤6.5 x ＞6.5 人数12 8 6 4若该校共有1200名学生，试估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为_____．【答案】400【解析】【分析】用总人数×每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数所占的百分比即可得到结论．【详解】解：1200×6412864++++＝400（人）， 答：估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为400人．故答案为：400．【点睛】本题主要考查了用样本所占百分比估算总体的数量的知识．正确的理解题意是解题的关键． 14.今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是_____次．【答案】4【解析】【分析】设李红出门没有买到口罩的次数是x ，买到口罩的次数是y ，根据买口罩的次数是10次和家里现有口罩35只，可列出关于x 和y 的二元一次方程组，求解即可．【详解】解：设李红出门没有买到口罩的次数是x ，买到口罩的次数是y ，由题意得：1015110535x y y +=⎧⎨-⨯+=⎩， 整理得：10530x y y +=⎧⎨=⎩， 解得：46x y =⎧⎨=⎩． 故答案为：4．【点睛】此题主要考查二元一次方程应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列出方程组求解． 15.如图1，已知四边形ABCD 是正方形，将DAE △，DCF 分别沿DE ，DF 向内折叠得到图2，此时DA 与DC 重合（A 、C 都落在G 点），若GF ＝4，EG ＝6，则DG 的长为_____．【答案】12【解析】【分析】设正方形ABCD 的边长为x ，由翻折及已知线段的长，可用含x 的式子分别表示出BE 、BF 及EF 的长；在Rt BEF △中，由勾股定理得关于x 的方程，解得x 的值，即为DG 的长．【详解】设正方形ABCD 的边长为x ，则AB BC DC DA x ====，90B ∠=︒由翻折的性质得：DG DA DC x ===，AE EG =，CF GF =∵4,6GF EG ==∴6AE =，4CF =，10EF GF EG =+=∴6BE AB AE x =-=-，4BF BC CF x =-=-如图，在Rt BEF △中，由勾股定理得：222BE BF EF +=即222(6)1()04x x -=+-整理得：210240x x --=，即(12)(2)0x x -+=解得12x =或2x =-（不符题意，舍去）则12DG =故答案为：12．【点睛】本题考查了正方形的性质、翻折的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握翻折的性质是解题关键． 16.阅读理解：对于x 3﹣（n 2+1）x +n 这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x 3﹣（n 2+1）x +n ＝x 3﹣n 2x ﹣x +n ＝x （x 2﹣n 2）﹣（x ﹣n ）＝x （x ﹣n ）（x +n ）﹣（x ﹣n ）＝（x ﹣n ）（x 2+nx ﹣1）．理解运用：如果x 3﹣（n 2+1）x +n ＝0，那么（x ﹣n ）（x 2+nx ﹣1）＝0，即有x ﹣n ＝0或x 2+nx ﹣1＝0， 因此，方程x ﹣n ＝0和x 2+nx ﹣1＝0的所有解就是方程x 3﹣（n 2+1）x +n ＝0的解．解决问题：求方程x 3﹣5x +2＝0的解为_____．【答案】x ＝2或x ＝﹣2x ＝﹣12【解析】【分析】将原方程左边变形为x 3﹣4x ﹣x +2＝0，再进一步因式分解得（x ﹣2）[x （x +2）﹣1]＝0，据此得到两个关于x 的方程求解可得．【详解】解：∵x 3﹣5x +2＝0，∴x 3﹣4x ﹣x +2＝0，∴x （x 2﹣4）﹣（x ﹣2）＝0，∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，则（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0，∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0，解得x＝2或x＝﹣1故答案为：x＝2或x＝﹣x＝﹣1【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到解方程的方法．三．解答题（共10小题）17.计算：20+（13）﹣14tan45°．【答案】3 【解析】【分析】先计算20（13）﹣1、tan45°，再按运算顺序求值即可．【详解】20+（13）﹣14tan45°＝1+3×2﹣4×1＝1+6﹣4＝3．【点睛】本题考查了零指数、负整数指数幂、特殊角的三角函数值等知识点，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式的运算及特殊角的三角函数值是解决本题的关键．18.解不等式组2142311323x xxx-<+⎧⎪⎨+-≤⎪⎩①②．【答案】﹣1≤x＜5【解析】【分析】首先分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律确定不等式组的解集．【详解】解：2142311323x xxx-<+⎧⎪⎨+-≤⎪⎩①②，由①得：x＜5，由②得：x≥﹣1，不等式组的解集为：﹣1≤x＜5．【点睛】此题主要考查不等式组的求解，解题的关键是熟知不等式的性质．19.先化简，再选一个合适的数代入求值：（x+1﹣79xx-）÷29xx-．【答案】33xx-+，当x＝2时，原式=﹣15．【解析】【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】解：（x+1﹣79xx-）÷29xx-＝(1)(79)(3)(3) x x x xx x x+--⋅+-＝279 (3)(3) x x xx x+-++-＝2 (3) (3)(3)xx x-+-＝33xx-+，当x＝2时，原式＝2323-+＝﹣15．【点睛】此题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟知分式的运算法则．20.第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？【答案】该地4G的下载速度是每秒4兆，则该地5G的下载速度是每秒60兆．【解析】【分析】首先设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，根据题意可得等量关系：4G 下载600兆所用时间﹣5G下载600兆所用时间＝140秒．然后根据等量关系，列出分式方程，再解即可．【详解】解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，由题意得：600x ﹣60015x＝140， 解得：x ＝4，经检验：x ＝4是原分式方程的解，且符合题意， 15x =15×4＝60，答：该地4G 的下载速度是每秒4兆，则该地5G 的下载速度是每秒60兆．【点睛】本题主要考察的是分式方程的应用；解答此题，首先确定5G 与4G 下载的速度关系，在根据题意找出下载600兆的公益片所用时间的等量关系，是解答此题的关键．21.已知一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象经过A （3，18）和B （﹣2，8）两点． （1）求一次函数的解析式；（2）若一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象与反比例函数y ＝mx（m ≠0）的图象只有一个交点，求交点坐标． 【答案】（1）一次函数的解析式为y ＝2x +12；（2）（﹣3，6）． 【解析】 【分析】（1）直接把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数y ＝kx +b 中可得关于k 、b 的方程组，再解方程组可得k 、b 的值，进而求出一次函数的解析式；（2）联立一次函数解析式和反比例函数解析式可得2x 2+12x ﹣m ＝0，再根据题意得到△＝0时，两函数图像只有一个交点，解方程即可得到结论．【详解】解：（1）把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数y ＝kx +b （k ≠0），得31828k b k b +=⎧⎨-+=⎩， 解得212k b =⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式为y ＝2x +12；（2）∵一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象与反比例函数y ＝mx（m ≠0）的图象只有一个交点， ∴212y x my x =+⎧⎪⎨=⎪⎩只有一组解， 即2x 2+12x ﹣m ＝0有两个相等的实数根， ∴△＝122﹣4×2×（﹣m ）＝0， ∴m ＝-18．把m＝-18代入求得该方程的解为：x＝-3，把x＝-3代入y＝2x+12得：y＝6，即所求的交点坐标为（-3，6）．【点睛】本题主要考查了用待定系数法确定一次函数的解析式，运用判别式△求两个不同函数的交点坐标；特别地，小题（2）联立一次函数解析式和反比例函数解析式，运用只有一个交点时△＝0的知识点，是解答本小题关键所在．22.如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，若AC＝2米，求BC的长度．（结果保留一位小数）（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.752）【答案】所求BC的长度约为2.6米．【解析】【分析】过点A作AE⊥BC于点E，先求出∠C，再运用锐角三角函数关系的知识求得CE和AE，然后再说明△AEB 是等腰直角三角形得到AE＝BE，最后根据BC＝BE+CE解答即可．【详解】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，∵在Rt△ACE中，∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°，∴cos C＝cos70°＝CEAC，即CE＝AC×cos70°≈2×0.34＝0.68，sin C＝sin70°＝AEAC，AE＝AC×sin70°≈2×0.94＝1.88，又∵在Rt△AEB中，∠ABC＝45°，∴△AEB是等腰直角三角形∴AE＝BE，∴BC＝BE+CE＝0.68+1.88＝2.56≈2.6，答：所求BC的长度约为2.6米．【点睛】本题考查了运用锐角三角函数解直角三角形，正确做出辅助线、构造合适的直角三角形是解答本题的关键．23.今年2﹣4月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．（1）轻症患者的人数是多少？（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A、B、C、D、E五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率．【答案】（1）160人；（2）100万元；（3）2.15万；（4）1 10【解析】【分析】（1）因为总人数已知，由轻症患者所占的百分比即可求出其的人数；（2）求出该市危重症患者所占的百分比，即可求出其共花费的钱数；（3）用加权平均数公式求出各种患者的平均费用即可；（4）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与恰好选中B、D两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】解：（1）轻症患者的人数＝200×80%＝160（人）；（2）该市为治疗危重症患者共花费钱数＝200×（1﹣80%﹣15%）×10＝100（万元）；（3）所有患者的平均治疗费用＝1.51603(20015%)100200⨯+⨯⨯+＝2.15（万元）；（4）列表得：A B C D EA （B，A）（C，A）（D，A）（E，A）B （A，B）（C，B）（D，B）（E，B）C （A，C）（B，C）（D，C）（E，C）D （A，D）（B，D）（C，D）（E，D）E （A，E）（B，E）（C，E）（D，E）由列表格，可知：共有20种等可能的结果，恰好选中B、D两位同学的有2种情况，∴P（恰好选中B、D）＝220＝110．【点睛】此题主要考查统计与概率，解题的关键是熟知列表的方法及概率公式的应用．24.如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB于D，DE交BC于F，且EF＝EC．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求切线EC的长．【答案】（1）见解析；（2）5 2【解析】【分析】（1）连接OC，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得∠OCB+∠ECF＝90°，可证EC是⊙O的切线；（2）由勾股定理可求AC＝6，由锐角三角函数可求BF＝5，可求CF＝3，通过证明△OAC∽△ECF，可得EC CFOA AC=，可求解．【详解】解：（1）连接OC，∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB，∵DE⊥AB，∴∠OBC+∠DFB＝90°，∵EF＝EC，∴∠ECF＝∠EFC＝∠DFB，∴∠OCB+∠ECF＝90°，∴OC⊥CE，∴EC是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OB＝5，∴AB＝10，∴AC22AB BC-10064-6，∵cos∠ABC＝BD BC BF AB=，∴8410BF=，∴BF＝5，∴CF＝BC﹣BF＝3，∵∠ABC+∠A＝90°，∠ABC+∠BFD＝90°，∴∠BFD＝∠A，∴∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，∴△OAC∽△ECF，∴EC CF OA AC=，∴EC＝OA CFAC⋅＝536⨯＝52．【点睛】此题主要考查切线的判定与性质与相似三角形综合，解题的关键是熟知切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质．25.如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，94）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线l过点A，M（32，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB；（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．【答案】（1）y＝14x2；（2）见解析；（3）P（﹣172+72）或（﹣72﹣72）或（﹣2，1）．【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．（2）构建方程组确定点B的坐标，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．（3）如图2中，设P（t，14t2），根据PD＝CD构建方程求出t即可解决问题．详解】解：（1）把点A（﹣3，94）代入y＝ax2，得到94＝9a，∴a＝14，∴抛物线的解析式为y＝14x2．（2）设直线l的解析式为y＝kx+b，则有93432k bk b⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得1234kb⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线l的解析式为y＝﹣12x+34，令x＝0，得到y＝34，∴C（0，34），由2141324y xy x⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得114xy=⎧⎪⎨=⎪⎩或394xy=-⎧⎪⎨=⎪⎩，∴B（1，14），如图1中，过点A作AA1⊥x轴于A1，过B作BB1⊥x轴于B1，则BB1∥OC∥AA1，∴BMMC＝1MBMO＝31232-＝13，MCMA＝1MOMA＝323(3)2--＝13，∴BMMC＝MCMA，即MC2＝MA•MB．（3）如图2中，设P（t，14t2）∵OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，∴PD∥OC，PD＝OC，∴D（t，﹣12t+34），∴|14t2﹣（﹣12t+34）|＝34，整理得：t2+2t﹣6＝0或t2+2t＝0，解得t＝﹣1﹣7或﹣1＝7或﹣2或0（舍弃），∴P（﹣1﹣7，2+72）或（﹣1+7，2﹣72）或（﹣2，1）．【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质、平行线分线段成比例的性质．26.已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF 交于N．（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．【答案】（1）①见解析②30°（2）见解析【解析】【分析】（1）①本题主要考查通过角度计算求证平行，继而证明△CBP是直角三角形，根据直角三角形斜边中线可得结论．②本题以上一问结论为解题依据，考查平行线以及垂直平分线的应用，根据同位角相等可得BC∥EF，由平行线的性质得BP⊥EF，可得EF是线段BP的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠PFE ＝∠BFE＝30°．（2）本题主要考查辅助线的做法以及垂直平分线性质的应用，需要延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ，证明△QEP≌△DEC（SAS），则PQ＝DC＝DB，由QE＝DE，∠DEF＝90°，知EF是DQ的垂直平分线，证明△FQP≌△FDB（SAS），再由EF是DQ的垂直平分线，可得结论．【详解】证明（1）①∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°∴∠A＝90°﹣30°＝60°同理∠EDF＝60°∴∠A＝∠EDF＝60°∴AC∥DE∴∠DMB＝∠ACB＝90°∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，AC∥DM∴12 BM BD BC AB==即M是BC的中点∵EP＝CE，即E是PC的中点∴ED∥BP∴∠CBP＝∠DMB＝90°∴△CBP是直角三角形∴BE＝12PC＝EP②∵∠ABC＝∠DFE＝30°∴BC∥EF由①知：∠CBP＝90°∴BP⊥EF∵EB＝EP∴EF是线段BP的垂直平分线∴PF＝BF∴∠PFE＝∠BFE＝30°（2）如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ∵EC＝EP，∠DEC＝∠QEP∴△QEP≌△DEC（SAS）则PQ＝DC＝DB∵QE＝DE，∠DEF＝90°∴EF是DQ的垂直平分线∴QF＝DF∵CD＝AD∴∠CDA＝∠A＝60°∴∠CDB＝120°∴∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP∴△FQP≌△FDB（SAS）∴∠QFP＝∠BFD∵EF是DQ的垂直平分线∴∠QFE＝∠EFD＝30°∴∠QFP+∠EFP＝30°∴∠BFD+∠EFP＝30°【点睛】本题考点较多，涉及平行与角等的互推，垂直平分线的应用，全等的证明，特殊角度的利用，难度主要在于辅助线的构造，该类型题目必须多做专题训练以培养题感．考试小提示：同学们，天道酬勤，十年寒窗十年苦，大巧若拙勤为路。
湖南省常德市中考数学试卷(word版,含答案解析)
湖南省常德市中考数学试卷一.选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）1.（3分）﹣2相反数是（）A.2B.﹣2C.2﹣1D.﹣【分析】直接利用相反数定义分析得出答案.【解答】解：﹣2相反数是：2.故选：A.【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数定义是解题关键.2.（3分）已知三角形两边长分别是3和7，则此三角形第三边长可能是（）A.1B.2C.8D.11【分析】根据三角形三边关系可得7﹣3＜x＜7+3，再解即可.【解答】解：设三角形第三边长为x，由题意得：7﹣3＜x＜7+3，4＜x＜10，故选：C.【点评】此题主要考查了三角形三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边.三角形两边差小于第三边.3.（3分）已知实数a，b在数轴上位置如图所示，下列结论中正确是（）A.a＞bB.|a|＜|b|C.ab＞0D.﹣a＞b【分析】根据数轴可以判断a.b正负，从而可以判断各个选项中结论是否正确，从而可以解答本题.【解答】解：由数轴可得，﹣2＜a＜﹣1＜0＜b＜1，∴a＜b，故选项A错误，|a|＞|b|，故选项B错误，ab＜0，故选项C错误，﹣a＞b，故选项D正确，故选：D.【点评】本题考查实数与数轴.绝对值，解答本题关键是明确题意，利用数形结合思想解答.4.（3分）若一次函数y=（k﹣2）x+1函数值y随x增大而增大，则（）A.k＜2B.k＞2C.k＞0D.k＜0【分析】根据一次函数性质，可得答案.【解答】解：由题意，得k﹣2＞0，解得k＞2，故选：B.【点评】本题考查了一次函数性质，y=kx+b，当k＞0时，函数值y随x增大而增大.5.（3分）从甲.乙.丙.丁四人中选一人参加诗词大会比赛，经过三轮初赛，他们2=1.5，S乙2=2.6，S丙2=3.5，S丁2=3.68，你平均成绩都是86.5分，方差分别是S甲认为派谁去参赛更合适（）A.甲B.乙C.丙D.丁【分析】根据方差是反映一组数据波动大小一个量.方差越大，则平均值离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值离散程度越小，稳定性越好可得答案.【解答】解：∵1.5＜2.6＜3.5＜3.68，∴甲成绩最稳定，∴派甲去参赛更好，故选：A.【点评】此题主要考查了方差，关键是掌握方差越小，稳定性越大.6.（3分）如图，已知BD是△ABC角平分线，ED是BC垂直平分线，∠BAC=90°，AD=3，则CE长为（）A.6B.5C.4D.3【分析】根据线段垂直平分线性质得到DB=DC，根据角平分线定义.三角形内角和定理求出∠C=∠DBC=∠ABD=30°，根据直角三角形性质解答.【解答】解：∵ED是BC垂直平分线，∴DB=DC，∴∠C=∠DBC，∵BD是△ABC角平分线，∴∠ABD=∠DBC，∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°，∴BD=2AD=6，∴CE=CD×cos∠C=3，故选：D.【点评】本题考查是线段垂直平分线性质.直角三角形性质，掌握线段垂直平分线上点到线段两端点距离相等是解题关键.7.（3分）把图1中正方体一角切下后摆在图2所示位置，则图2中几何体主视图为（）A. B. C. D.【分析】根据从正面看得到图形是主视图，可得答案.【解答】解：从正面看是一个等腰三角形，高线是虚线，故选：D.【点评】本题考查了简单组合体三视图，从正面看得到图形是主视图.8.（3分）阅读理解：a，b，c，d是实数，我们把符号称为2×2阶行列式，并且规定：=a×d﹣b×c，例如：=3×（﹣2）﹣2×（﹣1）=﹣6+2=﹣4.二元一次方程组解可以利用2×2阶行列式表示为：；其中D=，D x=，D y=.问题：对于用上面方法解二元一次方程组时，下面说法错误是（）A.D==﹣7 B.D x=﹣14C.D y=27D.方程组解为【分析】分别根据行列式定义计算可得结论.【解答】解：A.D==﹣7，正确；B.D x==﹣2﹣1×12=﹣14，正确；C.D y==2×12﹣1×3=21，不正确；D.方程组解：x===2，y===﹣3，正确；故选：C.【点评】本题是阅读理解问题，考查了2×2阶行列式和方程组解关系，理解题意，直接运用公式计算是本题关键.二.填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）9.（3分）﹣8立方根是﹣2.【分析】利用立方根定义即可求解.【解答】解：∵（﹣2）3=﹣8，∴﹣8立方根是﹣2.故答案为：﹣2.【点评】本题主要考查了平方根和立方根概念.如果一个数x立方等于a，即x三次方等于a（x3=a），那么这个数x就叫做a立方根，也叫做三次方根.读作“三次根号a”其中，a叫做被开方数，3叫做根指数.10.（3分）分式方程﹣=0解为x=﹣1.【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程解得到x值，经检验即可得到分式方程解.【解答】解：去分母得：x﹣2﹣3x=0，解得：x=﹣1，经检验x=1是分式方程解.故答案为：﹣1【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化思想，解分式方程注意要检验. 11.（3分）已知太阳与地球之间平均距离约为150000000千米，用科学记数法表示为 1.5×108千米.【分析】科学记数法表示形式为a×10n形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n绝对值与小数点移动位数相同.当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数绝对值＜1时，n是负数.【解答】解：1 5000 0000=1.5×108，故答案为：1.5×108.【点评】此题考查科学记数法表示方法.科学记数法表示形式为a×10n形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a值以及n值.12.（3分）一组数据3，﹣3，2，4，1，0，﹣1中位数是1.【分析】将数据按照从小到大重新排列，根据中位数定义即可得出答案.【解答】解：将数据重新排列为﹣3.﹣1.0.1.2.3.4，所以这组数据中位数为1，故答案为：1.【点评】本题考查了中位数概念：将一组数据按照从小到大（或从大到小）顺序排列，如果数据个数是奇数，则处于中间位置数就是这组数据中位数；如果这组数据个数是偶数，则中间两个数据平均数就是这组数据中位数.13.（3分）若关于x一元二次方程2x2+bx+3=0有两个不相等实数根，则b值可能是6（只写一个）.【分析】根据方程系数结合根判别式△＞0，即可得出关于b一元二次不等式，解之即可得出b取值范围，取其内任意一值即可得出结论.【解答】解：∵关于x一元二次方程2x2+bx+3=0有两个不相等实数根，∴△=b2﹣4×2×3＞0，解得：b＜﹣2或b＞2.故答案可以为：6.【点评】本题考查了根判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等实数根”是解题关键.14.（3分）某校对初一全体学生进行了一次视力普查，得到如下统计表，则视力在4.9≤x＜5.5这个范围频率为0.35.视力x频数4.0≤x＜4.3204.3≤x＜4.6404.6≤x＜4.9704.9≤x≤5.2605.2≤x＜5.510【分析】直接利用频数÷总数=频率进而得出答案.【解答】解：视力在4.9≤x＜5.5这个范围频数为：60+10=70，则视力在4.9≤x＜5.5这个范围频率为：=0.35.故答案为：0.35.【点评】此题主要考查了频率求法，正确把握频率定义是解题关键.15.（3分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上点G处，点C 落在点H处，已知∠DGH=30°，连接BG，则∠AGB=75°.【分析】由折叠性质可知：GE=BE，∠EGH=∠ABC=90°，从而可证明∠EBG=∠EGB.，然后再根据∠EGH﹣∠EGB=∠EBC﹣∠EBG，即：∠GBC=∠BGH，由平行线性质可知∠AGB=∠GBC，从而易证∠AGB=∠BGH，据此可得答案.【解答】解：由折叠性质可知：GE=BE，∠EGH=∠ABC=90°，∴∠EBG=∠EGB.∴∠EGH﹣∠EGB=∠EBC﹣∠EBG，即：∠GBC=∠BGH.又∵AD∥BC，∴∠AGB=∠GBC.∴∠AGB=∠BGH.∵∠DGH=30°，∴∠AGH=150°，∴∠AGB=∠AGH=75°，故答案为：75°.【点评】本题主要考查翻折变换，解题关键是熟练掌握翻折变换性质：折叠前后图形形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.16.（3分）5个人围成一个圆圈做游戏，游戏规则是：每个人心里都想好一个实数，并把自己想好数如实地告诉他相邻两个人，然后每个人将他相邻两个人告诉他数平均数报出来，若报出来数如图所示，则报4人心里想数是9.【分析】设报4人心想数是x，则可以分别表示报1，3，5，2人心想数，最后通过平均数列出方程，解方程即可.【解答】解：设报4人心想数是x，报1人心想数是10﹣x，报3人心想数是x ﹣6，报5人心想数是14﹣x，报2人心想数是x﹣12，所以有x﹣12+x=2×3，解得x=9.故答案为9.【点评】本题属于阅读理解和探索规律题，考查知识点有平均数相关计算及方程思想运用.规律与趋势：这道题解决方法有点奥数题思维，题意理解起来比较容易，但从哪下手却不容易想到，一般地，当数字比较多时，方程是首选方法，而且，多设几个未知数，把题中等量关系全部展示出来，再结合题意进行整合，问题即可解决.本题还可以根据报2人心想数可以是6﹣x，从而列出方程x﹣12=6﹣x求解.三.（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）17.（5分）计算：（﹣π）0﹣|1﹣2|+﹣（）﹣2.【分析】本题涉及零指数幂.负指数幂.二次根式化简和绝对值4个考点.在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数运算法则求得计算结果.【解答】解：原式=1﹣（2﹣1）+2﹣4，=1﹣2+1+2﹣4，=﹣2.【点评】本题主要考查了实数综合运算能力，是各地中考题中常见计算题型.解决此类题目关键是熟练掌握负整数指数幂.零指数幂.二次根式.绝对值等考点运算.18.（5分）求不等式组正整数解.【分析】根据不等式组解集表示方法：大小小大中间找，可得答案.【解答】解：，解不等式①，得x＞﹣2，解不等式②，得x≤，不等式组解集是﹣2＜x≤，不等式组正整数解是1，2，3，4.【点评】本题考查了解一元一次不等式组，利用解一元一次不等式组解集表示方法是解题关键.四.（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）19.（6分）先化简，再求值：（+）÷，其中x=.【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式混合运算法则计算得出答案.【解答】解：原式=[+]×（x﹣3）2=×（x﹣3）2=x﹣3，把x=代入得：原式=﹣3=﹣.【点评】此题主要考查了分式化简求值，正确掌握分式混合运算法则是解题关键.20.（6分）如图，已知一次函数y1=k1x+b（k1≠0）与反比例函数y2=（k2≠0）图象交于A（4，1），B（n，﹣2）两点.（1）求一次函数与反比例函数解析式；（2）请根据图象直接写出y1＜y2时x取值范围.【分析】（1）由点A坐标利用反比例函数图象上点坐标特征可求出k2值，进而可得出反比例函数解析式，由点B纵坐标结合反比例函数图象上点坐标特征可求出点B坐标，再由点A.B坐标利用待定系数法，即可求出一次函数解析式；（2）根据两函数图象上下位置关系，找出y1＜y2时x取值范围.【解答】解：（1）∵反比例函数y2=（k2≠0）图象过点A（4，1），∴k2=4×1=4，∴反比例函数解析式为y2=.∵点B（n，﹣2）在反比例函数y2=图象上，∴n=4÷（﹣2）=﹣2，∴点B坐标为（﹣2，﹣2）.将A（4，1）.B（﹣2，﹣2）代入y1=k1x+b，，解得：，∴一次函数解析式为y=x﹣1.（2）观察函数图象，可知：当x＜﹣2和0＜x＜4时，一次函数图象在反比例函数图象下方，∴y1＜y2时x取值范围为x＜﹣2或0＜x＜4.【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及反比例函数图象上点坐标特征，解题关键是：（1）利用反比例函数图象上点坐标特征求出点B坐标；（2）根据两函数图象上下位置关系，找出不等式y1＜y2解集.五.（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21.（7分）某水果店5月份购进甲.乙两种水果共花费1700元，其中甲种水果8元/千克，乙种水果18元/千克.6月份，这两种水果进价上调为：甲种水果10元千克，乙种水果20元/千克.（1）若该店6月份购进这两种水果数量与5月份都相同，将多支付货款300元，求该店5月份购进甲.乙两种水果分别是多少千克？（2）若6月份将这两种水果进货总量减少到120千克，且甲种水果不超过乙种水果3倍，则6月份该店需要支付这两种水果货款最少应是多少元？【分析】（1）设该店5月份购进甲种水果x千克，购进乙种水果y千克，根据总价=单价×购进数量，即可得出关于x.y二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进甲种水果a千克，需要支付货款为w元，则购进乙种水果（120﹣a）千克，根据总价=单价×购进数量，即可得出w关于a函数关系式，由甲种水果不超过乙种水果3倍，即可得出关于a一元一次不等式，解之即可得出a取值范围，再利用一次函数性质即可解决最值问题.【解答】解：（1）设该店5月份购进甲种水果x千克，购进乙种水果y千克，根据题意得：，解得：.答：该店5月份购进甲种水果190千克，购进乙种水果10千克.（2）设购进甲种水果a千克，需要支付货款为w元，则购进乙种水果（120﹣a）千克，根据题意得：w=10a+20（120﹣a）=﹣10a+2400.∵甲种水果不超过乙种水果3倍，∴a≤3（120﹣a），解得：a≤90.∵k=﹣10＜0，∴w随a值增大而减小，∴当a=90时，w取最小值，最小值﹣10×90+2400=1500.∴月份该店需要支付这两种水果货款最少应是1500元.【点评】本题考查了二元一次方程组应用.一元一次不等式应用以及一次函数应用，解题关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间关系，找出w关于a函数关系式.22.（7分）图1是一商场推拉门，已知门宽度AD=2米，且两扇门大小相同（即AB=CD），将左边门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转37°，将右边门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图2，求此时B与C之间距离（结果保留一位小数）.（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，≈1.4）【分析】作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE=CM，则EM=BC，在Rt△ABE.Rt△CDF中可求出AE.BE.DF.FC长度，进而可得出EF长度，再在Rt△MEF中利用勾股定理即可求出EM长，此题得解.【解答】解：作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE=CM，如图所示.∵AB=CD，AB+CD=AD=2，∴AB=CD=1.在Rt△ABE中，AB=1，∠A=37°，∴BE=AB•sin∠A≈0.6，AE=AB•cos∠A≈0.8.在Rt△CDF中，CD=1，∠D=45°，∴CF=CD•sin∠D≈0.7，DF=CD•cos∠D≈0.7.∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴BE∥CM，又∵BE=CM，∴四边形BEMC为平行四边形，∴BC=EM，CM=BE.在Rt△MEF中，EF=AD﹣AE﹣DF=0.5，FM=CF+CM=1.3，∴EM=≈1.4，∴B与C之间距离约为1.4米.【点评】本题考查了解直角三角形应用.勾股定理以及平行四边形判定与性质，构造直角三角形，利用勾股定理求出BC长度是解题关键.六.（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）23.（8分）某校体育组为了解全校学生“最喜欢一项球类项目”，随机抽取了部分学生进行调查，下面是根据调查结果绘制不完整统计图.请你根据统计图回答下列问题：（1）喜欢乒乓球学生所占百分比是多少？并请补全条形统计图（图2）；（2）请你估计全校500名学生中最喜欢“排球”项目有多少名？（3）在扇形统计图中，“篮球”部分所对应圆心角是多少度？（4）篮球教练在制定训练计划前，将从最喜欢篮球项目甲.乙.丙.丁四名同学中任选两人进行个别座谈，请用列表法或树状图法求抽取两人恰好是甲和乙概率.【分析】（1）先利用喜欢足球人数和它所占百分比计算出调查总人数，再计算出喜欢乒乓球人数，然后补全条形统计图；（2）用500乘以样本中喜欢排球百分比可根据估计全校500名学生中最喜欢“排球”项目写生数；（3）用360°乘以喜欢篮球人数所占百分比即可；（4）画树状图展示所有12种等可能结果数，再找出抽取两人恰好是甲和乙结果数，然后根据概率公式求解.【解答】解：（1）调查总人数为8÷16%=50（人），喜欢乒乓球人数为50﹣8﹣20﹣6﹣2=14（人），所以喜欢乒乓球学生所占百分比=×100%=28%，补全条形统计图如下：（2）500×12%=60，所以估计全校500名学生中最喜欢“排球”项目有60名；（3），篮球”部分所对应圆心角=360×40%=144°；（4）画树状图为：共有12种等可能结果数，其中抽取两人恰好是甲和乙结果数为2，所以抽取两人恰好是甲和乙概率==.【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能结果n，再从中选出符合事件A或B结果数目m，然后利用概率公式计算事件A 或事件B概率.也考查了统计图.24.（8分）如图，已知⊙O是等边三角形ABC外接圆，点D在圆上，在CD延长线上有一点F，使DF=DA，AE∥BC交CF于E.（1）求证：EA是⊙O切线；（2）求证：BD=CF.【分析】（1）根据等边三角形性质可得：∠OAC=30°，∠BCA=60°，证明∠OAE=90°，可得：AE是⊙O切线；（2）先根据等边三角形性质得：AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，由四点共圆性质得：∠ADF=∠ABC=60°，得△ADF是等边三角形，证明△BAD≌△CAF，可得结论.【解答】证明：（1）连接OD，∵⊙O是等边三角形ABC外接圆，∴∠OAC=30°，∠BCA=60°，∵AE∥BC，∴∠EAC=∠BCA=60°，∴∠OAE=∠OAC+∠EAC=30°+60°=90°，∴AE是⊙O切线；（2）∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，∵A.B.C.D四点共圆，∴∠ADF=∠ABC=60°，∵AD=DF，∴△ADF是等边三角形，∴AD=AF，∠DAF=60°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD，即∠BAF=∠CAF，在△BAD和△CAF中，∵，∴△BAD≌△CAF，∴BD=CF.【点评】本题考查了全等三角形性质和判定，等边三角形及外接圆，四点共圆等知识点综合运用，属于基础题，熟练掌握等边三角形性质是关键.七.（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）25.（10分）如图，已知二次函数图象过点O（0，0）.A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x=3.（1）求该二次函数解析式；（2）若M是OB上一点，作MN∥AB交OA于N，当△ANM面积最大时，求M 坐标；（3）P是x轴上点，过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q.过A作AC⊥x轴于C，当以O，P，Q为顶点三角形与以O，A，C为顶点三角形相似时，求P点坐标.【分析】（1）先利用抛物线对称性确定B （6，0），然后设交点式求抛物线解析式；（2）设M （t ，0），先其求出直线OA 解析式为y=x ，直线AB 解析式为y=2x ﹣12，直线MN 解析式为y=2x ﹣2t ，再通过解方程组得N （t ，t ），接着利用三角形面积公式，利用S △AMN =S △AOM ﹣S △NOM 得到S △AMN =•4•t ﹣•t•t ，然后根据二次函数性质解决问题；（3）设Q （m ，m 2﹣m ），根据相似三角形判定方法，当=时，△PQO ∽△COA ，则|m 2﹣m |=2|m |；当=时，△PQO ∽△CAO ，则|m 2﹣m |=|m |，然后分别解关于m 绝对值方程可得到对应P 点坐标.【解答】解：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线x=3，∴B 点坐标为（6，0），设抛物线解析式为y=ax （x ﹣6），把A （8，4）代入得a•8•2=4，解得a=，∴抛物线解析式为y=x （x ﹣6），即y=x 2﹣x ；（2）设M （t ，0），易得直线OA 解析式为y=x ，设直线AB 解析式为y=kx +b ，把B （6，0），A （8，4）代入得，解得，∴直线AB 解析式为y=2x ﹣12，∵MN ∥AB ，∴设直线MN 解析式为y=2x +n ，把M （t ，0）代入得2t +n=0，解得n=﹣2t ，∴直线MN 解析式为y=2x ﹣2t ， 解方程组得，则N （t ，t ），∴S △AMN =S △AOM ﹣S △NOM =•4•t ﹣•t•t=﹣t 2+2t=﹣（t ﹣3）2+3，当t=3时，S △AMN 有最大值3，此时M 点坐标为（3，0）；（3）设Q （m ，m 2﹣m ），∵∠OPQ=∠ACO ， ∴当=时，△PQO ∽△COA ，即=，∴PQ=2PO ，即|m 2﹣m |=2|m |， 解方程m 2﹣m=2m 得m 1=0（舍去），m 2=14，此时P 点坐标为（14，28）； 解方程m 2﹣m=﹣2m 得m 1=0（舍去），m 2=﹣2，此时P 点坐标为（﹣2，4）； ∴当=时，△PQO ∽△CAO ，即=，∴PQ=PO ，即|m 2﹣m |=|m |， 解方程m 2﹣m=m 得m 1=0（舍去），m 2=8（舍去）， 解方程m 2﹣m=﹣m 得m 1=0（舍去），m 2=2，此时P 点坐标为（2，﹣1）； 综上所述，P 点坐标为（14，28）或（﹣2，4）或（2，﹣1）.【点评】本题考查了二次函数综合题：熟练掌握二次函数图象上点坐标特征和二次函数性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；灵活运用相似比表示线段之间关系；会运用分类讨论思想解决数学问题.26.（10分）已知正方形ABCD中AC与BD交于O点，点M在线段BD上，作直线AM交直线DC于E，过D作DH⊥AE于H，设直线DH交AC于N.（1）如图1，当M在线段BO上时，求证：MO=NO；（2）如图2，当M在线段OD上，连接NE，当EN∥BD时，求证：BM=AB；（3）在图3，当M在线段OD上，连接NE，当NE⊥EC时，求证：AN2=NC•AC.【分析】（1）先判断出OD=OA，∠AOM=∠DON，再利用同角余角相等判断出∠ODN=∠OAM，判断出△DON≌△AOM即可得出结论；（2）先判断出四边形DENM是菱形，进而判断出∠BDN=22.5°，即可判断出∠AMB=67.5°，即可得出结论；（3）设CE=a，进而表示出EN=CE=a，CN=a，设DE=b，进而表示AD=a+b，根据勾股定理得，AC=（a+b），同（1）方法得，∠OAM=∠ODN，得出∠EDN=∠DAE，进而判断出△DEN∽△ADE，得出，进而得出a=b，即可表示出CN=b，AC=b，AN=AC﹣CN=b，即可得出结论.【解答】解：（1）∵正方形ABCD对角线AC，BD相交于O，∴OD=OA，∠AOM=∠DON=90°，∴∠OND+∠ODN=90°，∵∠ANH=∠OND，∴∠ANH+∠ODN=90°，∵DH⊥AE，∴∠DHM=90°，∴∠ANH+∠OAM=90°，∴∠ODN=∠OAM，∴△DON≌△AOM，∴OM=ON；（2）连接MN，∵EN∥BD，∴∠ENC=∠DOC=90°，∠NEC=∠BDC=45°=∠ACD，∴EN=CN，同（1）方法得，OM=ON，∵OD=OD，∴DM=CN=EN，∵EN∥DM，∴四边形DENM是平行四边形，∵DN⊥AE，∴▱DENM是菱形，∴DE=EN，∴∠EDN=∠END，∵EN∥BD，∴∠END=∠BDN，∴∠EDN=∠BDN，∵∠BDC=45°，∴∠BDN=22.5°，∵∠AHD=90°，∴∠AMB=∠DME=90°﹣∠BDN=67.5°，∵∠ABM=45°，∴∠BAM=67.5°=∠AMB，∴BM=AB；（3）设CE=a（a＞0）∵EN⊥CD，∴∠CEN=90°，∵∠ACD=45°，∴∠CNE=45°=∠ACD，∴EN=CE=a，∴CN=a，设DE=b（b＞0），∴AD=CD=DE+CE=a+b，根据勾股定理得，AC=AD=（a+b），同（1）方法得，∠OAM=∠ODN，∵∠OAD=∠ODC=45°，∴∠EDN=∠DAE，∵∠DEN=∠ADE=90°，∴△DEN∽△ADE，∴，∴，∴a=b（已舍去不符合题意）∴CN=a=b，AC=（a+b）=b，∴AN=AC﹣CN=b，∴AN2=2b2，AC•CN=b•b=2b2∴AN2=AC•CN.【点评】此题是相似形综合题，主要考查了正方形性质，平行四边形，菱形判定，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质，勾股定理，判断出四边形DENM 是菱形是解（2）关键，判断出△DEN∽△ADE是解（3）关键.。
2022年湖南省常德市中考数学试卷(解析版)
2022年湖南省常德市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）在3317π，2022这五个数中无理数的个数为()A ．2B ．3C ．4D ．5【分析】先化简2=-，根据无理数的定义即可得出答案．【解答】解：2=-，π共2个，故选：A ．2．（3分）国际数学家大会每四年举行一届，下面四届国际数学家大会会标中是中心对称图形的是()A ．B ．C ．D ．【分析】利用中心对称图形的定义解答即可．【解答】解： 将图形绕着一点旋转180︒后能和它本身重合的图形是中心对称图形，∴选项B 符合上述特征，故选：B ．3．（3分）计算434x x ⋅的结果是()A ．xB ．4xC ．74xD ．11x 【分析】根据同底数幂的乘法运算法则进行计算便可．【解答】解：原式434x +=⋅74x =，故选：C ．4．（3分）下列说法正确的是()A．为了解近十年全国初中生的肥胖人数变化趋势，采用扇形统计图最合适B．“煮熟的鸭子飞了”是一个随机事件C．一组数据的中位数可能有两个D．为了解我省中学生的睡眠情况，应采用抽样调查的方式【分析】根据扇形统计图的特点，随机事件的定义，中位数的概念，抽样调查的特点解答即可．【解答】解：A．为了解近十年全国初中生的肥胖人数变化趋势，应采用折线统计图最合适，不符合题意；B．“煮熟的鸭子飞了”是一个不可能事件，不符合题意；C．一组数据的中位数只有一个，不符合题意；D．为了解我省中学生的睡眠情况，应采用抽样调查的方式，符合题意，故选：D．5．（3分）从1，2，3，4，5这五个数中任选两个数，其和为偶数的概率为()A．15B．25C．35D．45【分析】画树状图列出所有等可能的结果，再从中找出两个数的和为偶数的结果，即可求出概率．【解答】解：画树状图如图：∴共有20种等可能的结果，其中两个数的和为偶数的有(1,3)，(1,5)，(2,4)，(3,1)，(3,5)，(4,2)，(5,1)，(5,3)，共8种，∴这五个数中任选两个数的和为偶数的概率为82 205=．故选：B．6．（3分）关于x的一元二次方程240x x k-+=无实数解，则k的取值范围是() A．4k>B．4k<C．4k<-D．1k>【分析】根据一元二次方程判别式得到△2(4)410k =--⨯⨯<，然后求出不等式的解集即可．【解答】解： 关于x 的一元二次方程240x x k -+=无实数解，∴△2(4)410k =--⨯⨯<，解得：4k >，故选：A ．7．（3分）如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，30ACB ∠=︒，将ABC ∆绕点C 顺时针旋转60︒得到DEC ∆，点A ，B 的对应点分别是D ，E ，点F 是边AC 的中点，连接BF ，BE ，FD ．则下列结论错误的是()A ．BE BC =B ．//BF DE ，BF DE =C ．90DFC ∠=︒D ．3DG GF=【分析】根据等边三角形的判定定理得到BCE ∆为等边三角形，根据等边三角形的性质得到BE BC =，判断A 选项；证明ABC CFD ∆≅∆，根据全等三角形的性质判断B 、C 选项；解直角三角形，用CF 分别表示出GF 、DF ，判断D 选项．【解答】解：A 、由旋转的性质可知，CB CE =，60BCE ∠=︒，BCE ∴∆为等边三角形，BE BC ∴=，本选项结论正确，不符合题意；B 、在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，30ACB ∠=︒，点F 是边AC 的中点，12AB AC CF BF ∴===，由旋转的性质可知，CA CD =，60ACD ∠=︒，A ACD ∴∠=∠，在ABC ∆和CFD ∆中，AB CF A FCD CA CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABC CFD SAS ∴∆≅∆，DF BC BE ∴==，DE AB BF == ，∴四边形EBFD 为平行四边形，//BF DE ∴，BF DE =，本选项结论正确，不符合题意；C 、ABC CFD ∆≅∆ ，90DFC ABC ∴∠=∠=︒，本选项结论正确，不符合题意；D 、在Rt GFC ∆中，30GCF ∠=︒，GF ∴=，同理可得，DF =，3DF GF ∴=，故本选项结论错误，符合题意；故选：D ．8．（3分）我们发现：3=，3=，3=，⋯，3n 个根号，一般地，对于正整数a ，b ，如果满足n a 个根号时，称(,)a b 为一组完美方根数对．如上面(3,6)是一组完美方根数对，则下面4个结论：①(4,12)是完美方根数对；②(9,91)是完美方根数对；③若(,380)a 是完美方根数对，则20a =；④若(,)x y 是完美方根数对，则点(,)P x y 在抛物线2y x x =-上，其中正确的结论有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】将(4,12)，(9,91)代入验证即可判断①②；将(,380)a 代入公式，建立方程可得出结论；若(,)x y 是完美方根数对，则满足给出公式，化简可得出结论．【解答】解：将(4,12)4=4=4=，⋯，(4,12)∴是完美方根数对；故①正确；将(9,91)代入109=≠=，(9,91)∴不是完美方根数对，故②错误；③(,380)a 是完美方根数对，∴将(,380)a a =a =，解得20a =或19a =-（舍去），故③正确；④若(,)x y x =x =，整理得2y x x =-，∴点(,)P x y 在抛物线2y x x =-上，故④正确；故选：C ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）9．（3分）|6|-=6．【分析】根据绝对值的化简，由60-<，可得|6|(6)6-=--=，即得答案．【解答】解：60-<，则|6|(6)6-=--=，故答案为6．10．（3分）分解因式，329x xy -=(3)(3)x x y x y +-．【分析】利用提公因式法和平方差公式进行分解，即可得出答案．【解答】解：329x xy -22(9)x x y =-(3)(3)x x y x y =+-，故答案为：(3)(3)x x y x y +-．11．（3有意义，则x 的取值范围为4x >．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：40x ->，解得：4x >，故答案为：4x >．12．（3分）方程215(2)2x x x x+=-的解为4x =．【分析】方程两边同乘2(2)x x -，得到整式方程，解整式方程求出x 的值，检验后得到答案．【解答】解：方程两边同乘2(2)x x -，得482510x x -+=-，解得：4x =，检验：当4x =时，2(2)160x x -=≠，4x ∴=是原方程的解，∴原方程的解为4x =．13．（3分）如图是一个正方体的展开图，将它拼成正方体后，“神”字对面的字是月．【分析】根据图形，可以直接写出“神”字对面的字．【解答】解：由图可得，“神”字对面的字是“月”，故答案为：月．14．（3分）今年4月23日是第27个世界读书日，某校举行了演讲大赛，演讲得分按“演讲内容”占40%、“语言表达”占40%、“形象风度”占10%、“整体效果”占10%进行计算，小芳这四项的得分依次为85，88，92，90，则她的最后得分是87.4分．【分析】根据加权平均数的定义列式计算可得．【解答】解：她的最后得分是8540%8840%9210%9010%87.4⨯+⨯+⨯+⨯=（分)，故答案为：87.4．15．（3分）如图，已知F 是ABC ∆内的一点，//FD BC ，//FE AB ，若BDFE 的面积为2，13BD BA =，14BE BC =，则ABC ∆的面积是12．【分析】连接DE ，CD ，由平行四边形的性质可求1BDE S ∆=，结合14BE BC =可求解4BDC S ∆=，再利用13BD BA =可求解ABC ∆的面积．【解答】解：连接DE ，CD ，四边形BEFD 为平行四边形，BDFE 的面积为2，112BDE BDFE S S ∆∴== ，14BE BC =，44BDC BDE S S ∆∆∴==，13BD BA = ，312ABC BDC S S ∆∆∴==，故答案为：12．16．（3分）剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片；从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；⋯；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为6．【分析】根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，多边形的边数增加4，如第一次，将其中两个边分成四条边，且剪刀所在那条直线增加两条边，即为222128441+⨯+⨯==+⨯（边)，分成两个图形；第二次，边数为：82222112442-+⨯+⨯==+⨯，分成三个图形；⋯⋯；当剪第n 刀时，边数为44n +，分成(1)n +个图形；令9n =即可得出结论．【解答】解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，多边形的边数增加4，第一次，将其中两个边分成四条边，且剪刀所在那条直线增加两条边，即为222128441+⨯+⨯==+⨯（边)，分成两个图形；第二次，边数为：82222112442-+⨯+⨯==+⨯，分成三个图形；⋯⋯；当剪第n 刀时，边数为44n +，分成(1)n +个图形；最后得到10张纸片，设还有一张多边形纸片的边数为m ，∴令9n =，有44953354m +⨯=+⨯+⨯+，解得6m =．故答案为：6．三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）17．（5分）计算：0213(sin 30452--︒︒．【分析】根据不等于0的实数零指数幂为1、负整数指数幂是整数指数幂的倒数，特殊角的三角函数值要记住，化简平方根．【解答】解：0213()sin 30452--︒+︒，11422=-⨯+，122=-+，1=．故答案为：1．18．（5分）解不等式组51341233x x x x ->-⎧⎪⎨--⎪⎩．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：由5134x x ->-，得：32x >-，由1233x x --，得：1x ，则不等式组的解集为312x -<．四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）19．（6分）化简：231(122a a a a a +--+÷++．【分析】根据分式混合运算的法则计算即可．【解答】解：231(1)22a a a a a +--+÷++(1)(2)32[]22(1)(1)a a a a a a a a -+++=+⋅+++-22122(1)(1)a a a a a a +++=⋅++-11a a +=-．20．（6分）小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小时．某天，他们以平常的速度行驶了12的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20千米/小时，到达奶奶家时共用了5小时，问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？【分析】设平常的速度是x 千米/小时，根据“到达奶奶家时共用了5小时”列分式方程，求解即可．【解答】解：设平常的速度是x 千米/小时，根据题意，得1(1)422520xx -⋅+=-，解得60x =，经检验，60x =是原方程的根，460240⨯=（千米），答：小强家到他奶奶家的距离是240千米．五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21．（7分）如图，已知正比例函数1y x =与反比例函数2y 的图象交于(2,2)A ，B 两点．（1）求2y 的解析式并直接写出12y y <时x 的取值范围；（2）以AB为一条对角线作菱形，它的周长为所在直线的解析式．【分析】（1）运用待定系数法即可求得反比例函数解析式，求出点B 的坐标，（也可以直接利用反比例函数和正比例函数图象的对称性得出点B 的坐标．)观察图象即可得出x 的取值范围；（2）过点A 作AE x ⊥轴于点E ，过点D 作DF x ⊥轴于点F ，可证得AOE ∆是等腰直角三角形，得出：45AOE ∠=︒，OA ==，再根据菱形性质可得：AB CD ⊥，OC OD =，利用勾股定理即可求得(1,1)D -，再根据对称性可得(1,1)C -，运用待定系数法即可求得菱形的边所在直线的解析式．【解答】解：（1）设反比例函数2k y x =，把(2,2)A 代入，得：22k =，解得：4k =，24y x∴=，由4y xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：1122x y =⎧⎨=⎩，2222x y =-⎧⎨=-⎩，(2,2)B ∴--，由图象可知：当12y y <时，2x <-或02x <<；注明：也可以直接利用反比例函数和正比例函数图象的对称性得出点B 的坐标．（2）过点A 作AE x ⊥轴于点E ，过点D 作DF x ⊥轴于点F ，(2,2)A ，2AE OE ∴==，AOE ∴∆是等腰直角三角形，45AOE ∴∠=︒，OA ==， 四边形ACBD 是菱形，AB CD ∴⊥，OC OD =，9045DOF AOE ∴∠=︒-∠=︒，90DFO ∠=︒ ，DOF ∴∆是等腰直角三角形，DF OF ∴=，菱形ACBD的周长为AD ∴=，在Rt AOD∆中，OD==1DF OF∴==，(1,1)D∴-，由菱形的对称性可得：(1,1)C-，设直线AD的解析式为y mx n=+，则1 22 m nm n+=-⎧⎨+=⎩，解得：34 mn=⎧⎨=-⎩，AD∴所在直线的解析式为34y x=-；同理可得BC所在直线的解析式为34y x=+，AC所在直线的解析式为1433y x=+，BD所在直线的解析式为1433 y x=-．22．（7分）2020年7月，教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》中明确要求中小学劳动教育课平均每周不少于1课时，初中生平均每周劳动时间不少于3小时．某初级中学为了解学生劳动教育的情况，从本校学生中随机抽取了500名进行问卷调查．如图是根据此次调查结果得到的统计图．请根据统计图回答下列问题：（1）本次调查中，平均每周劳动时间符合教育部要求的人数占被调查人数的百分比为多少？（2）若该校有2000名学生，请估计最喜欢的劳动课程为木工的有多少人．（3）请你根据本次问卷调查的结果给同学和学校各提一条合理化建议．【分析】（1）根据平均每周劳动时间不少于3小时的学生人数计算即可；（2）计算出木工所占的比例然后估算即可；（3）答案不唯一，合理即可．【解答】解：（1）50013018085100%21%500---⨯=，∴本次调查中，平均每周劳动时间符合教育部要求的人数占被调查人数的百分比为21%；（2）2000(140%27%7%10%)320⨯----=（人)，∴若该校有2000名学生，则最喜欢的劳动课程为木工的有320人；（3）（答案不唯一，合理即可）如：建议学生积极参加学校的劳动课程，多做家务等等；建议学校增设特色劳动课程，增加劳动课的课时等．六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）23．（8分）第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图1)，它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图2是其示意图，已知：助滑坡道50AF=米，弧形跳台的跨度7FG=米，顶端E到BD的距离为40米，//HG BC，40AFH∠=︒，25EFG∠=︒，36ECB∠=︒．求此大跳台最高点A距地面BD的距离是多少米（结果保留整数）．（参考数据：sin400.64︒≈，cos400.77︒≈，tan400.84︒≈，sin250.42︒≈，cos250.91︒≈，tan250.47︒≈，sin360.59︒≈，cos360.81︒≈，tan360.73)︒≈【分析】过点F 作FN BC ⊥于点N ，交HG 于点M ，则AB AH EM EN =-+，分别在Rt AHF ∆中，Rt FEM ∆和Rt EMG ∆中，解直角三角形即可得出结论．【解答】解：如图，过点F 作FN BC ⊥于点N ，交HG 于点M ，则AB AH EM EN =-+．根据题意可知，90AHF EMF EMG ∠=∠=∠=︒，40EN =（米)，//HG BC ，36EGM ECB ∴∠=∠=︒，在Rt AHF ∆中，40AFH ∠=︒，50AF =，sin 500.6432AH AF AFH ∴=⋅∠≈⨯=（米)，在Rt FEM ∆和Rt EMG ∆中，设MG m =米，则(7)FM m =-米，tan tan 360.73EM MG EGM MG m ∴=⋅∠=⋅︒=，tan tan 250.47(7)EM FM EFM FM m =⋅∠=⋅︒=-，0.730.47(7)m m ∴=-，解得 2.7m ≈（米)，0.47(7) 2.021EM m ∴=-≈（米)，32 2.0214070AB AH EM EN ∴=-+≈-+≈（米)．∴此大跳台最高点A 距地面BD 的距离是70米．24．（8分）如图，已知AB 是O 的直径，BC AB ⊥于B ，E 是OA 上的一点，//ED BC 交O 于D ，//OC AD ，连接AC 交ED 于F ．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若8AB =，1AE =，求ED ，EF 的长．【分析】（1）连接OD ，证明BOC DOC ∆≅∆根据全等三角形的性质得到90ODC OBC ∠=∠=︒，根据切线的判定定理得到CD 是O 的切线；（2）过点D 作DH BC ⊥于H ，根据勾股定理求出ED ，根据矩形的性质、勾股定理求出BC ，再根据相似三角形的性质求出EF ．【解答】（1）证明：连接OD ，//AD OC ，BOC OAD ∴∠=∠，DOC ODA ∠=∠，OA OD = ，OAD OAD ∴∠=∠，BOC DOC ∴∠=∠，在BOC ∆和DOC ∆中，OB OD BOC DOC OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BOC DOC SAS ∴∆≅∆，90ODC OBC ∴∠=∠=︒，OD 为O 的半径，CD ∴是O 的切线；（2）解：过点D 作DH BC ⊥于H ，//ED BC ，18090OED ABC ∴∠=︒-∠=︒，则四边形EBHD 为矩形，BH ED ∴=，7DH BE ==，8AB = ，1AE =，3OE ∴=，ED ∴===，CB 、CD 是O 的切线CB CD ∴=，设CB CD x ==，则CH x =，在Rt DHC ∆中，222DH CH CD +=，即2227(x x +=，解得：x =BC =//ED BC ，∴EF AEBC AB =18=，解得：EF =七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）25．（10分）如图，已知抛物线过点(0,0)O ，(5,5)A ，且它的对称轴为2x =．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点B 是抛物线对称轴上的一点，且点B 在第一象限，当OAB ∆的面积为15时，求B 的坐标；（3）在（2）的条件下，P 是抛物线上的动点，当PA PB -的值最大时，求P 的坐标以及PA PB -的最大值．【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）设(2B ，)(0)m m >，运用待定系数法求得直线OA 的解析式为y x =，设直线OA 与抛物线对称轴交于点H ，则(2,2)H ，2BH m =-，利用三角形面积公式建立方程求解即可得出答案；（3）运用待定系数法求得直线AB 的解析式为10y x =-+，当PA PB -的值最大时，A 、B 、P 在同一条直线上，联立方程组求解即可求得点P 的坐标，利用两点间距离公式可求得AB ，即PA PB -的最大值．【解答】解：（1） 抛物线过点(0,0)O ，(5,5)A ，且它的对称轴为2x =，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(4,0)，设抛物线解析式为(4)y ax x =-，把(5,5)A 代入，得55a =，解得：1a =，2(4)4y x x x x ∴=-=-，故此抛物线的解析式为24y x x =-；（2） 点B 是抛物线对称轴上的一点，且点B 在第一象限，∴设(2B ，)(0)m m >，设直线OA 的解析式为y kx =，则55k =，解得：1k =，∴直线OA 的解析式为y x =，设直线OA 与抛物线对称轴交于点H ，则(2,2)H ，2BH m ∴=-，15OAB S ∆= ，∴1(2)5152m ⨯-⨯=，解得：8t =，∴点B 的坐标为(2,8)；（3）设直线AB 的解析式为y cx d =+，把(5,5)A ，(2,8)B 代入得：5528c d c d +=⎧⎨+=⎩，解得：110c d =-⎧⎨=⎩，∴直线AB 的解析式为10y x =-+，当PA PB -的值最大时，A 、B 、P 在同一条直线上，P 是抛物线上的动点，∴2104y x y x x =-+⎧⎨=-⎩，解得：11212x y =-⎧⎨=⎩，2255x y =⎧⎨=⎩（舍去），(2,12)P ∴-，此时，PA PB AB -===26．（10分）在四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线AF 交BC 于F ，延长AB 到E 使BE FC =，G 是AF 的中点，GE 交BC 于O ，连接GD ．（1）当四边形ABCD 是矩形时，如图1，求证：①GE GD =；②BO GD GO FC ⋅=⋅．（2）当四边形ABCD 是平行四边形时，如图2，（1）中的结论都成立．请给出结论②的证明．【分析】（1）连接CG ，过点G 作GJ CD ⊥于点J ．证明()EAG DAG SAS ∆≅∆，可得EG DG =，AEG ADG ∠=∠，再证明OBE OGC ∆∆∽，推出BE OB GC OG=，可得结论；（2）过点D 作DT BC ⊥于点T ，连接GT ．证明()EAG DAG SAS ∆≅∆，推出EG DG =，AEG ADG ∠=∠，再证明OBE OGT ∆∆∽，推出BE OB GT OG =，可得结论．【解答】（1）证明：连接CG ，过点G 作GJ CD ⊥于点J ．四边形ABCD 是矩形，90BAD ABC ∴∠=∠=︒，AD BC =，AF 平分BAD ∠，45BAF DAF ∴∠=∠=︒，45AFB BAF ∴∠=∠=︒，BA BF ∴=，BE CF = ，AE AB BE BF CF BC AD ∴=+=+==，AG AG = ，()EAG DAG SAS ∴∆≅∆，EG DG ∴=，AEG ADG ∠=∠，//AD FC ，AG GF =，GJ CD⊥，GD GC∴=，GDC GCD∴∠=∠，90ADC BCD∠=∠=︒ ，ADG GCO∴∠=∠，OEB OCG∴∠=∠，BOE GOC∠=∠，OBE OGC∴∆∆∽，∴BE OB GC OG=，GC GD=，BE CF=，BO GD GO FC∴⋅=⋅；（2）解：过点D作DT BC⊥于点T，连接GT．四边形ABCD是平行四边形，AD BC∴=，//AD BC，DAG AFB∴∠=∠，AF平分DAB∠，DAG BAF∴∠=∠，BAF AFB∴=∠，AB BF∴=，AE AB BE BF CF BC AD∴=+=+==，()EAG DAG SAS∴∆≅∆，AEG ADG∴∠=∠，//AD FT，AG GF=，DJ JT∴=，GJ DT⊥，GD GT∴=，GDT GTD∴∠=∠，90ADT BTD∠=∠=︒ ，ADG GTO∴∠=∠，OEB OTG∴∠=∠，BOE GOT∠=∠，OBE OGT∴∆∆∽，∴BE OB GT OG=，GC GD=，BE CF=，BO GD GO FC∴⋅=⋅．。
(中考精题)湖南省常德市中考数学试卷 (解析版)
2020年常德市中考数学试卷一、选择题（共8小题）.1．4的倒数为（ ）A．B．2C．1D．﹣4 2．下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是（ ）A．B．C．D．3．如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（ ）A．70°B．65°C．35°D．5°4．下列计算正确的是（ ）A．a2+b2＝（a+b）2B．a2+a4＝a6C．a10÷a5＝a2D．a2•a3＝a55．下列说法正确的是（ ）A．明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上C．了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式D．一组数据的众数一定只有一个6．一个圆锥的底面半径r＝10，高h＝20，则这个圆锥的侧面积是（ ）A．100πB．200πC．100πD．200π7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（ ）A．4B．3C．2D．18．如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（ ）A．C、E B．E、F C．G、C、E D．E、C、F二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）9．分解因式：xy2﹣4x＝ ．10．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．11．计算：﹣+＝ ．12．如图，若反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积为6，则k＝ ．13．4月23日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时间，统计如表：阅读时间（x小时）x≤3.5 3.5＜x≤55＜x≤6.5x＞6.5人数12864若该校共有1200名学生，试估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为 ．14．今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是 次．15．如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合（A、C都落在G点），若GF＝4，EG＝6，则DG的长为 ．16．阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为 ．三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）17．计算：20+（）﹣1•﹣4tan45°．18．解不等式组．四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）19．先化简，再选一个合适的数代入求值：（x+1﹣）÷．20．第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（3，18）和B（﹣2，8）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象只有一个交点，求交点坐标．22．如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，若AC＝2米，求BC的长度．（结果保留一位小数）（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41）六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）23．今年2﹣4月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．（1）轻症患者的人数是多少？（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A、B、C、D、E 五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率．24．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB于D，DE交BC于F，且EF＝EC．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求切线EC的长．七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）25．如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线l过点A，M（，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB；（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D 的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．26．已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．参考答案一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）1．4的倒数为（ ）A．B．2C．1D．﹣4【分析】根据倒数的意义，乘积是1的两个数叫做互为倒数，求倒数的方法，是把一个数的分子和分母互换位置即可，是带分数的化成假分数，再把分子分母互换位置，据此解答．解：4的倒数为．故选：A．2．下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是（ ）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；故选：C．3．如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（ ）A．70°B．65°C．35°D．5°【分析】根据平行线的性质和∠1＝30°，∠2＝35°，可以得到∠BCE的度数，本题得以解决．解：作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴AB∥DE∥DE，∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，∵∠1＝30°，∠2＝35°，∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，∴∠BCE＝65°，故选：B．4．下列计算正确的是（ ）A．a2+b2＝（a+b）2B．a2+a4＝a6C．a10÷a5＝a2D．a2•a3＝a5【分析】根据完全平方公式、合并同类项法则、同底数幂的乘除法计算得到结果，即可作出判断．解：A、a2+2ab+b2＝（a+b）2，原计算错误，故此选项不符合题意；B、a2与a4不是同类项不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；C、a10÷a5＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意；D、a2•a3＝a5，原计算正确，故此选项符合题意；故选：D．5．下列说法正确的是（ ）A．明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上C．了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式D．一组数据的众数一定只有一个【分析】根据必然事件的概念、众数的定义、随机事件的概率逐项分析即可得出答案．解：A、明天的降水概率为80%，则明天下雨可能性较大，故本选项错误；B、抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面朝上的概率是，故本选项错误；C、了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式，故本选项正确；D、一组数据的众数不一定只有一个，故本选项错误；故选：C．6．一个圆锥的底面半径r＝10，高h＝20，则这个圆锥的侧面积是（ ）A．100πB．200πC．100πD．200π【分析】先利用勾股定理计算出母线长，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．解：这个圆锥的母线长＝＝10，这个圆锥的侧面积＝×2π×10×10＝100π．故选：C．7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（ ）A．4B．3C．2D．1【分析】先由抛物线与x周董交点个数判断出结论①，利用抛物线的对称轴为x＝2，判断出结论②，先由抛物线的开口方向判断出a＜0，进而判断出b＞0，再用抛物线与y 轴的交点的位置判断出c＞0，判断出结论③，最后用x＝﹣2时，抛物线在x轴下方，判断出结论④，即可得出结论．解：由图象知，抛物线与x轴有两个交点，∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＞0，故①正确，由图象知，抛物线的对称轴直线为x＝2，∴﹣＝2，∴4a+b＝0，故②正确，由图象知，抛物线开口方向向下，∴a＜0，∵4a+b＝0，∴b＞0，而抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0，∴abc＜0，故③正确，由图象知，当x＝﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，故④错误，即正确的结论有3个，故选：B．8．如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（ ）A．C、E B．E、F C．G、C、E D．E、C、F【分析】设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝k（k+1），然后根据题目中所给的第k次依次移动k个顶点的规则，可得到不等式最后求得解．解：经实验或按下方法可求得顶点C，E和F棋子不可能停到．设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝k（k+1），应停在第k（k+1）﹣7p格，这时P是整数，且使0≤k（k+1）﹣7p≤6，分别取k＝1，2，3，4，5，6，7时，k（k+1）﹣7p＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，若7＜k≤2020，设k＝7+t（t＝1，2，3）代入可得，k（k+1）﹣7p＝7m+t（t+1），由此可知，停棋的情形与k＝t时相同，故第2，4，5格没有停棋，即顶点C，E和F棋子不可能停到．故选：D．二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）9．分解因式：xy2﹣4x＝ x（y+2）（y﹣2） ．【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．解：原式＝x（y2﹣4）＝x（y+2）（y﹣2），故答案为：x（y+2）（y﹣2）10．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x＞3 ．【分析】根据二次根式有意义的条件可得2x﹣6＞0，再解即可．解：由题意得：2x﹣6＞0，解得：x＞3，故答案为：x＞3．11．计算：﹣+＝ 3 ．【分析】直接化简二次根式进而合并得出答案．解：原式＝﹣+2＝3．故答案为：3．12．如图，若反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积为6，则k＝ ﹣12 ．【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义即可解决问题．解：∵AB⊥OB，∴S△AOB＝＝6，∴k＝±12，∵反比例函数的图象在二四象限，∴k＜0，∴k＝﹣12，故答案为﹣12．13．4月23日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时间，统计如表：阅读时间（x小时）x≤3.5 3.5＜x≤55＜x≤6.5x＞6.5人数12864若该校共有1200名学生，试估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为 400人 ．【分析】用总人数×每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数所占的百分比即可得到结论．解：1200×＝400（人），答：估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为400人．14．今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是 4 次．【分析】设李红出门没有买到口罩的次数是x，买到口罩的次数是y，根据买口罩的次数是10次和家里现有口罩35只，可列出关于x和y的二元一次方程组，求解即可．解：设李红出门没有买到口罩的次数是x，买到口罩的次数是y，由题意得：，整理得：，解得：．故答案为：4．15．如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合（A、C都落在G点），若GF＝4，EG＝6，则DG的长为 12 ．【分析】设正方形ABCD的边长为x，由翻折及已知线段的长，可用含x的式子分别表示出BE、BF及EF的长；在Rt△BEF中，由勾股定理得关于x的方程，解得x的值，即为DG的长．解：设正方形ABCD的边长为x，由翻折可得：DG＝DA＝DC＝x，∵GF＝4，EG＝6，∴AE＝EG＝6，CF＝GF＝4，∴BE＝x﹣6，BF＝x﹣6，EF＝6+4＝10，如图1所示：在Rt△BEF中，由勾股定理得：BE2+BF2＝EF2，∴（x﹣6）2+（x﹣4）2＝102，∴x2﹣12x+36+x2﹣8x+16＝100，∴x2﹣10x﹣24＝0，∴（x+2）（x﹣12）＝0，∴x1＝﹣2（舍），x2＝12．∴DG＝12．故答案为：12．16．阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为 x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣ ．【分析】将原方程左边变形为x3﹣4x﹣x+2＝0，再进一步因式分解得（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，据此得到两个关于x的方程求解可得．解：∵x3﹣5x+2＝0，∴x3﹣4x﹣x+2＝0，∴x（x2﹣4）﹣（x﹣2）＝0，∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，则（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0，∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0，解得x＝2或x＝﹣1，故答案为：x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣．三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）17．计算：20+（）﹣1•﹣4tan45°．【分析】先计算20、、（）﹣1、tan45°，再按运算顺序求值即可．解：原式＝1+3×2﹣4×1＝1+6﹣4＝3．18．解不等式组．【分析】首先分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律确定不等式组的解集．解：，由①得：x＜5，由②得：x≥﹣1，不等式组的解集为：﹣1≤x＜5．四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）19．先化简，再选一个合适的数代入求值：（x+1﹣）÷．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．解：（x+1﹣）÷＝＝＝＝，当x＝2时，原式＝＝﹣．20．第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？【分析】首先设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，根据题意可得等量关系：4G下载600兆所用时间﹣5G下载600兆所用时间＝140秒．然后根据等量关系，列出分式方程，再解即可．解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，由题意得：﹣＝140，解得：x＝4，经检验：x＝4是原分式方程的解，且符合题意，15×4＝60，答：该地4G的下载速度是每秒4兆，则该地5G的下载速度是每秒60兆．五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（3，18）和B（﹣2，8）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象只有一个交点，求交点坐标．【分析】（1）直接把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数y＝kx+b中可得关于k、b的方程组，再解方程组可得k、b的值，进而求出一次函数的解析式；（2）联立一次函数解析式和反比例函数解析式，根据题意得到△＝0，解方程即可得到结论．解：（1）把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数y＝kx+b（k≠0），得，解得，∴一次函数的解析式为y＝2x+12；（2）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象只有一个交点，∴只有一组解，即2x2+12x﹣m＝0有两个相等的实数根，∴△＝122﹣4×2×（﹣m）＝0，∴m＝﹣18．把m＝﹣18代入求得该方程的解为：x＝﹣3，把x＝﹣3代入y＝2x+12得：y＝6，即所求的交点坐标为（﹣3，6）．22．如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，若AC＝2米，求BC的长度．（结果保留一位小数）（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41）【分析】直接过点C作CF⊥AB于点F，利用锐角三角函数关系得出CF的长，进而得出BC的长．【解答】方法一：解：如图1，过点C作CF⊥AB于点F，在Rt△ACF中，∵sin∠CAB＝sin（60°+5°）＝sin65°＝，∴CF＝AC•sin65°≈2×0.91＝1.82，在Rt△BCF中，∵∠ABC＝45°，∴CF＝BF，∴BC＝CF＝1.41×1.82＝2.5662≈2.6，答：所求BC的长度约为2.6米．方法二：解：如图2，过点A作AE⊥BC于点E，在Rt△ACE中，∵∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°，∴cos C＝cos70°＝，即CE＝AC×cos70°≈2×0.34＝0.68，sin C＝sin70°＝，即AE＝AC×sin70°≈2×0.94＝1.88，又∵在Rt△AEB中，∠ABC＝45°，∴AE＝BE，∴BC＝BE+CE＝0.68+1.88＝2.56≈2.6，答：所求BC的长度约为2.6米．六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）23．今年2﹣4月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．（1）轻症患者的人数是多少？（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A、B、C、D、E 五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率．【分析】（1）因为总人数已知，由轻症患者所占的百分比即可求出其的人数；（2）求出该市危重症患者所占的百分比，即可求出其共花费的钱数；（3）用加权平均数公式求出各种患者的平均费用即可；（4）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与恰好选中B、D两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．解：（1）轻症患者的人数＝200×80%＝160（人）；（2）该市为治疗危重症患者共花费钱数＝200×（1﹣80%﹣15%）×10＝100（万元）；（3）所有患者的平均治疗费用＝＝2.15（万元）；（4）列表得：A B C D EA（B，A）（C，A）（D，A）（E，A）B（A，B）（C，B）（D，B）（E，B）C（A，C）（B，C）（D，C）（E，C）D（A，D）（B，D）（C，D）（E，D）E（A，E）（B，E）（C，E）（D，E）由列表格，可知：共有20种等可能的结果，恰好选中B、D两位同学的有2种情况，∴P（恰好选中B、D）＝＝．24．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB于D，DE交BC于F，且EF＝EC．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求切线EC的长．【分析】（1）连接OC，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得∠OCB+∠ECF＝90°，可证EC是⊙O的切线；（2）由勾股定理可求AC＝6，由锐角三角函数可求BF＝5，可求CF＝3，通过证明△OAC∽△ECF，可得，可求解．解：（1）连接OC，∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB，∵DE⊥AB，∴∠OBC+∠DFB＝90°，∵EF＝EC，∴∠ECF＝∠EFC＝∠DFB，∴∠OCB+∠ECF＝90°，∴OC⊥CE，∴EC是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OB＝5，∴AB＝10，∴AC＝＝＝6，∵cos∠ABC＝，∴，∴BF＝5，∴CF＝BC﹣BF＝3，∵∠ABC+∠A＝90°，∠ABC+∠BFD＝90°，∴∠BFD＝∠A，∴∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，∴△OAC∽△ECF，∴，∴EC＝＝＝．七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）25．如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线l过点A，M（，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB；（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D 的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．（2）构建方程组确定点B的坐标，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．（3）如图2中，设P（t，t2），根据PD＝CD构建方程求出t即可解决问题．解：（1）把点A（﹣3，）代入y＝ax2，得到＝9a，∴a＝，∴抛物线的解析式为y＝x2．（2）设直线l的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线l的解析式为y＝﹣x+，令x＝0，得到y＝，∴C（0，），由，解得或，∴B（1，），如图1中，过点A作AA1⊥x轴于A1，过B作BB1⊥x轴于B1，则BB1∥OC∥AA1，∴＝＝＝，＝＝＝，∴＝，即MC2＝MA•MB．（3）如图2中，设P（t，t2）∵OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，∴PD∥OC，PD＝OC，∴D（t，﹣t+），∴|t2﹣（﹣t+）|＝，整理得：t2+2t﹣6＝0或t2+2t＝0，解得t＝﹣1﹣或﹣1＝或﹣2或0（舍弃），∴P（﹣1﹣，2+）或（﹣1+，2﹣）或（﹣2，1）．26．已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF 使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．【分析】（1）①证明△CBP是直角三角形，根据直角三角形斜边中线可得结论；②根据同位角相等可得BC∥EF，由平行线的性质得BP⊥EF，可得EF是线段BP的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠PFE＝∠BFE＝30°；（2）如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ，证明△QEP≌△DEC （SAS），则PQ＝DC＝DB，由QE＝DE，∠DEF＝90°，知EF是DQ的垂直平分线，证明△FQP≌△FDB（SAS），再由EF是DQ的垂直平分线，可得结论．【解答】证明（1）①∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝90°﹣30°＝60°，同理∠EDF＝60°，∴∠A＝∠EDF＝60°，∴AC∥DE，∴∠DMB＝∠ACB＝90°，∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，AC∥DM，∴，即M是BC的中点，∵EP＝CE，即E是PC的中点，∴ED∥BP，∴∠CBP＝∠DMB＝90°，∴△CBP是直角三角形，∴BE＝PC＝EP；②∵∠ABC＝∠DFE＝30°，∴BC∥EF，由①知：∠CBP＝90°，∴BP⊥EF，∵EB＝EP，∴EF是线段BP的垂直平分线，∴PF＝BF，∴∠PFE＝∠BFE＝30°；（2）如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ，∵EC＝EP，∠DEC＝∠QEP，∴△QEP≌△DEC（SAS），则PQ＝DC＝DB，∵QE＝DE，∠DEF＝90°∴EF是DQ的垂直平分线，∴QF＝DF，∵CD＝AD，∴∠CDA＝∠A＝60°，∴∠CDB＝120°，∴∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP ＝∠FQP，∴△FQP≌△FDB（SAS），∴∠QFP＝∠BFD，∵EF是DQ的垂直平分线，∴∠QFE＝∠EFD＝30°，∴∠QFP+∠EFP＝30°，∴∠BFD+∠EFP＝30°．。
精品解析：湖南省常德市2020年中考数学试题(原卷版)附答案.doc
2020年湖南省常德市中考数学试卷一．选择题（共8小题）1.4的倒数为（）A. 1 4B. 2C. 1D. ﹣42.下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是（）A. B.C. D.3.如图,已知AB∥DE,∠1＝30°,∠2＝35°,则∠BCE的度数为（）A. 70°B. 65°C. 35°D. 5°4.下列计算正确的是（）A. a2+b2＝（a+b）2B. a2+a4＝a6C. a10÷a5＝a2D. a2•a3＝a55.下列说法正确的是（）A. 明天的降水概率为80%,则明天80%的时间下雨,20%的时间不下雨B. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次,必有一次正面朝上C. 了解一批花炮的燃放质量,应采用抽样调查方式D. 一组数据的众数一定只有一个6.一个圆锥的底面半径r＝10,高h＝20,则这个圆锥的侧面积是（）A. 1003πB. 2003πC. 1005πD. 2005π7.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示,下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A. 4B. 3C. 2D. 18.如图,将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处,按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点,跳棋停留在B处,第二次移动2个顶点,跳棋停留在D处）,按这样的规则,在这2020次移动中,跳棋不可能停留的顶点是（）A. C、EB. E、FC. G、C、ED. E、C、F二．填空题（共8小题）9.分解因式：24xy x-=_________________．10.若代数式26x-在实数范围内有意义,则x的取值范围是_____．11.计算：92﹣1+82＝_____．12.如图,若反比例函数y＝kx（x＜0）的图象经过点A,AB⊥x轴于B,且△AOB的面积为6,则k＝_____．13.4月23日是世界读书日,这天某校为了解学生课外阅读情况,随机收集了30名学生每周课外阅读的时间,统计如表：阅读时间（x小时）x≤3.5 3.5＜x≤55＜x≤6.5x＞6.5人数12 8 6 4若该校共有1200名学生,试预计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为_____．14.今年新冠病毒疫情初期,口罩提供短缺,某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时,无论是否买到,都会消耗家里库存的口罩一只,如果有口罩买,他将买回5只．已知李红家原有库存15只,出门10次购买后,家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是_____次．△,DCF分别沿DE,DF向内折叠得到图2,此时DA与15.如图1,已知四边形ABCD是正方形,将DAEDC重合（A、C都落在G点）,若GF＝4,EG＝6,则DG的长为_____．16.阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0,那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0,即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0,因此,方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为_____．三．解答题（共10小题）17.计算：20+（13）﹣144tan45°．18.解不等式组2142311323x x x x-<+⎧⎪⎨+-≤⎪⎩①②．19.先化简,再选一个合适数代入求值：（x+1﹣79x x-）÷29x x-．20.第5代移动通信技术简称5G,某地已开通5G业务,经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍,小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片,小明比小强所用的时间快140秒,求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？21.已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（3,18）和B（﹣2,8）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）若一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象与反比例函数y ＝mx（m ≠0）的图象只有一个交点,求交点坐标． 22.如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图,图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC 的底部支撑点B 在水平线AD 的下方,AB 与水平线AD 之间的夹角是5°,卸货时,车厢与水平线AD 成60°,此时AB 与支撑顶杆BC 的夹角为45°,若AC ＝2米,求BC 的长度．（结果保留一位小数）（参考数据：sin65°≈0.91,cos65°≈0.42,tan65°≈2.14,sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75,2≈1.41） 23.今年2﹣4月某市出现了200名新冠肺炎患者,市委根据党中央的决定,对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整）,图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．（1）轻症患者的人数是多少？（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？ （3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？（4）由于部分轻症患者康复出院,为减少病房拥挤,拟对某病房中的A 、B 、C 、D 、E 五位患者任选两位转入另一病房,请用树状图法或列表法求出恰好选中B 、D 两位患者的概率．24.如图,已知AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上的一点,D 是AB 上的一点,DE ⊥AB 于D ,DE 交BC 于F ,且EF ＝EC ．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若BD＝4,BC＝8,圆的半径OB＝5,求切线EC的长．25.如图,已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3,94）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线l过点A,M（32,0）且与抛物线交于另一点B,与y轴交于点C,求证：MC2＝MA•MB；（3）若点P,D分别是抛物线与直线l上的动点,以OC为一边且顶点为O,C,P,D的四边形是平行四边形,求所有符合条件的P点坐标．26.已知D是Rt△ABC斜边AB的中点,∠ACB＝90°,∠ABC＝30°,过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°,∠DFE＝30°,连接CE并延长CE到P,使EP＝CE,连接BE,FP,BP,设BC与DE交于M,PB与EF交于N．（1）如图1,当D,B,F共线时,求证：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如图2,当D,B,F不共线时,连接BF,求证：∠BFD+∠EFP＝30°．2020年湖南省常德市中考数学试卷一．选择题（共8小题）1.4的倒数为（）A. 14B. 2C. 1D. ﹣4【参考答案】A【解析】【分析】根据倒数的定义进行解答即可.【详解】4的倒数为14．故选：A．【点睛】本题考查求一个数的倒数,正确理解倒数的定义是解答的关键.2.下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是（）A. B.C. D.【参考答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项逐个分析判断即可解答.【详解】A、不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故本选项不合题意；B、不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故本选项不合题意；C、既是轴对称图形,又是中心对称图形,故此选项正确；D、不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项不合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形,正确理解轴对称图形和中心对称图形的概念是解答的关键.3.如图,已知AB∥DE,∠1＝30°,∠2＝35°,则∠BCE的度数为（）A. 70°B. 65°C. 35°D. 5°【参考答案】B【解析】【分析】作CF∥AB,根据平行线的性质可以得到∠1＝∠BCF,∠FCE＝∠2,从而可得∠BCE的度数,本题得以解决．【详解】作CF∥AB,∵AB∥DE,∴CF∥DE,∴AB∥DE∥DE,∴∠1＝∠BCF,∠FCE＝∠2,∵∠1＝30°,∠2＝35°,∴∠BCF＝30°,∠FCE＝35°,∴∠BCE＝65°,故选：B．【点睛】本题考查平行线的性质,解答本题的关键是明确题意,利用平行线的性质解答．4.下列计算正确的是（）A. a2+b2＝（a+b）2B. a2+a4＝a6C. a10÷a5＝a2D. a2•a3＝a5【参考答案】D【解析】【分析】根据完全平方公式、合并同类项法则、同底数幂的乘除法计算得到结果,即可作出判断．【详解】解：A、a2+2ab+b2＝（a+b）2,原计算错误,故此选项不符合题意；B、a2与a4不是同类项不能合并,原计算错误,故此选项不符合题意；C、a10÷a5＝a5,原计算错误,故此选项不符合题意；D、a2•a3＝a5,原计算正确,故此选项符合题意；故选：D．【点睛】此题主要考查幂与整式的运算,解题的关键是熟知其运算法则．5.下列说法正确的是（）A. 明天的降水概率为80%,则明天80%的时间下雨,20%的时间不下雨B. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次,必有一次正面朝上C. 了解一批花炮的燃放质量,应采用抽样调查方式D. 一组数据的众数一定只有一个【参考答案】C【解析】【分析】根据必然事件的概念、众数的定义、随机事件的概率逐项分析即可得出参考答案．【详解】解：A、明天的降水概率为80%,则明天下雨可能性较大,故本选项错误；B、抛掷一枚质地均匀的硬币两次,正面朝上的概率是12,故本选项错误；C、了解一批花炮的燃放质量,应采用抽样调查方式,故本选项正确；D、一组数据的众数不一定只有一个,故本选项错误；故选：C．【点睛】此题主要考查统计与概率的定义,解题的关键是熟知概率的定义、统计调查的方法及众数的定义．6.一个圆锥的底面半径r＝10,高h＝20,则这个圆锥的侧面积是（）A. 1003πB.2003π C. 1005π D. 2005π【参考答案】C【解析】【分析】先利用勾股定理计算出母线长,然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．【详解】解：这个圆锥的母线长＝221020＝105,这个圆锥的侧面积＝12×2π×10×105＝1005π．故选：C．【点睛】此题主要考查圆锥的侧面积,解题的关键是熟知母线的定义及圆锥侧面积的公式．7.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示,下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a ﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A. 4B. 3C. 2D. 1【参考答案】B【解析】【分析】先由抛物线与x轴的交点个数判断出结论①,先由抛物线的开口方向判断出a＜0,进而判断出b＞0,再用抛物线与y轴的交点的位置判断出c＞0,判断出结论②,利用抛物线的对称轴为x＝2,判断出结论③,最后用x＝﹣2时,抛物线在x轴下方,判断出结论④,即可得出结论．【详解】解：由图象知,抛物线与x轴有两个交点,∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根,∴b2﹣4ac＞0,故①正确,由图象知,抛物线的对称轴直线为x＝2,∴﹣2ba＝2,∴4a+b＝0,故③正确,由图象知,抛物线开口方向向下,∴a＜0,∵4a+b＝0,∴b＞0,而抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上,∴c＞0,∴abc＜0,故②正确,由图象知,当x＝﹣2时,y＜0,∴4a﹣2b+c＜0,故④错误,即正确的结论有3个,故选：B．【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质,解题的关键是熟知各系数与图像的关系．8.如图,将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处,按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点,跳棋停留在B处,第二次移动2个顶点,跳棋停留在D处）,按这样的规则,在这2020次移动中,跳棋不可能停留的顶点是（）A. C、EB. E、FC. G、C、ED. E、C、F【参考答案】D【解析】【分析】设顶点A,B,C,D,E,F,G分别是第0,1,2,3,4,5,6格,因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝12k（k+1）,然后根据题目中所给的第k次依次移动k个顶点的规则,可得到不等式最后求得解．【详解】设顶点A,B,C,D,E,F,G分别是第0,1,2,3,4,5,6格,因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝12k（k+1）,应停在第12k（k+1）﹣7p格,这时P是整数,且使0≤12k（k+1）﹣7p≤6,分别取k＝1,2,3,4,5,6,7时,12k（k+1）﹣7p＝1,3,6,3,1,0,0,发现第2,4,5格没有停棋, 若7＜k≤2020,设k ＝7+t （t ＝1,2,3）代入可得,12k （k +1）﹣7p ＝7m +12t （t +1）, 由此可知,停棋的情形与k ＝t 时相同,故第2,4,5格没有停棋,即顶点C ,E 和F 棋子不可能停到． 故选：D ．【点睛】本题考查的是探索图形、数字变化规律,从图形中提取信息,转化为数字信息,探索数字变化规律是解答的关键.二．填空题（共8小题）9.分解因式：24xy x -=_________________．【参考答案】x （y+2）（y-2） 【解析】 【分析】首先提公因式x ,然后利用平方差公式分解即可； 【详解】解：224)4(2)((2)x y x y y y x x --+-== 故参考答案为：x （y+2）（y-2）【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解止．10.在实数范围内有意义,则x 的取值范围是_____．【参考答案】x ＞3 【解析】 【分析】本题考查二次根式是否有意义以及分式是否有意义,按照对应自变量要求求解即可． 【详解】因为二次根式有意义必须满足被开方数为非负数 所以有260x -≥． 又因为分式分母不为零 所以260x -≠． 故综上：26x -＞0 则：3x ＞． 故参考答案为：x ＞3【点睛】二次根式以及分式的结合属于常见组合,需要着重注意分母不为零的隐藏陷阱．11.计算：92﹣1+82＝_____．【参考答案】32【解析】【分析】直接化简二次根式进而合并得出参考答案．【详解】解：原式＝322﹣22+22＝32．故参考答案为：32．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算,正确化简二次根式是解答的关键.12.如图,若反比例函数y＝kx（x＜0）的图象经过点A,AB⊥x轴于B,且△AOB的面积为6,则k＝_____．【参考答案】﹣12【解析】【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义即可解决问题．【详解】解：∵AB⊥OB,∴S△AOB＝||2k＝6,∴k＝±12,∵反比例函数的图象在二四象限,∴k＜0,∴k＝﹣12,故参考答案为﹣12．【点睛】此题主要考查反比例函数的图像与性质,解题的关键是熟知反比例函数比例系数的几何意义．13.4月23日是世界读书日,这天某校为了解学生课外阅读情况,随机收集了30名学生每周课外阅读的时间,统计如表：若该校共有1200名学生,试预计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为_____． 【参考答案】400 【解析】 【分析】用总人数×每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数所占的百分比即可得到结论． 【详解】解：1200×6412864++++＝400（人）,答：预计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为400人． 故参考答案为：400．【点睛】本题主要考查了用样本所占百分比估算总体的数量的知识．正确的理解题意是解题的关键． 14.今年新冠病毒疫情初期,口罩提供短缺,某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时,无论是否买到,都会消耗家里库存的口罩一只,如果有口罩买,他将买回5只．已知李红家原有库存15只,出门10次购买后,家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是_____次． 【参考答案】4 【解析】 【分析】设李红出门没有买到口罩的次数是x ,买到口罩的次数是y ,根据买口罩的次数是10次和家里现有口罩35只,可列出关于x 和y 的二元一次方程组,求解即可．【详解】解：设李红出门没有买到口罩的次数是x ,买到口罩的次数是y ,由题意得：1015110535x y y +=⎧⎨-⨯+=⎩, 整理得：10530x y y +=⎧⎨=⎩,解得：46x y =⎧⎨=⎩．故参考答案为：4．【点睛】此题主要考查二元一次方程应用,解题的关键是根据题意找到等量关系列出方程组求解．15.如图1,已知四边形ABCD 是正方形,将DAE △,DCF 分别沿DE ,DF 向内折叠得到图2,此时DA 与DC 重合（A 、C 都落在G 点）,若GF ＝4,EG ＝6,则DG 的长为_____．【参考答案】12 【解析】 【分析】设正方形ABCD 的边长为x ,由翻折及已知线段的长,可用含x 的式子分别表示出BE 、BF 及EF 的长；在Rt BEF △中,由勾股定理得关于x 的方程,解得x 的值,即为DG 的长．【详解】设正方形ABCD 的边长为x ,则AB BC DC DA x ====,90B ∠=︒ 由翻折的性质得：DG DA DC x ===,AE EG =,CF GF = ∵4,6GF EG ==∴6AE =,4CF =,10EF GF EG =+= ∴6BE AB AE x =-=-,4BF BC CF x =-=- 如图,在Rt BEF △中,由勾股定理得：222BE BF EF += 即222(6)1()04x x -=+-整理得：210240x x --=,即(12)(2)0x x -+= 解得12x =或2x =-（不符题意,舍去） 则12DG = 故参考答案为：12．【点睛】本题考查了正方形的性质、翻折的性质、勾股定理等知识点,熟练掌握翻折的性质是解题关键． 16.阅读理解：对于x 3﹣（n 2+1）x +n 这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x 3﹣（n 2+1）x +n ＝x 3﹣n 2x ﹣x +n ＝x （x 2﹣n 2）﹣（x ﹣n ）＝x （x ﹣n ）（x +n ）﹣（x ﹣n ）＝（x ﹣n ）（x 2+nx ﹣1）．理解运用：如果x 3﹣（n 2+1）x +n ＝0,那么（x ﹣n ）（x 2+nx ﹣1）＝0,即有x ﹣n ＝0或x 2+nx ﹣1＝0, 因此,方程x ﹣n ＝0和x 2+nx ﹣1＝0的所有解就是方程x 3﹣（n 2+1）x +n ＝0的解． 解决问题：求方程x 3﹣5x +2＝0的解为_____．【参考答案】x ＝2或x ＝﹣或x ＝﹣1． 【解析】 【分析】将原方程左边变形为x 3﹣4x ﹣x +2＝0,再进一步因式分解得（x ﹣2）[x （x +2）﹣1]＝0,据此得到两个关于x 的方程求解可得．【详解】解：∵x 3﹣5x +2＝0, ∴x 3﹣4x ﹣x +2＝0,∴x （x 2﹣4）﹣（x ﹣2）＝0, ∴x （x +2）（x ﹣2）﹣（x ﹣2）＝0,则（x ﹣2）[x （x +2）﹣1]＝0,即（x ﹣2）（x 2+2x ﹣1）＝0, ∴x ﹣2＝0或x 2+2x ﹣1＝0,解得x ＝2或x ＝﹣1故参考答案为：x ＝2或x ＝﹣或x ＝﹣1．【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用,解题的关键是根据题意找到解方程的方法．三．解答题（共10小题）17.计算：20+（13）﹣14tan45°． 【参考答案】3 【解析】 【分析】先计算20、（13）﹣1、tan45°,再按运算顺序求值即可．【详解】20+（13）﹣1﹣4tan45°＝1+3×2﹣4×1 ＝1+6﹣4 ＝3．【点睛】本题考查了零指数、负整数指数幂、特殊角的三角函数值等知识点,熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式的运算及特殊角的三角函数值是解决本题的关键．18.解不等式组2142311323x xxx-<+⎧⎪⎨+-≤⎪⎩①②．【参考答案】﹣1≤x＜5【解析】【分析】首先分别解出两个不等式的解集,再根据解集的规律确定不等式组的解集．【详解】解：2142311323x xxx-<+⎧⎪⎨+-≤⎪⎩①②,由①得：x＜5,由②得：x≥﹣1,不等式组的解集为：﹣1≤x＜5．【点睛】此题主要考查不等式组的求解,解题的关键是熟知不等式的性质．19.先化简,再选一个合适的数代入求值：（x+1﹣79xx-）÷29xx-．【参考答案】33xx-+,当x＝2时,原式=﹣15．【解析】【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子,然后选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】解：（x+1﹣79xx-）÷29xx-＝(1)(79)(3)(3) x x x xx x x+--⋅+-＝279 (3)(3) x x xx x+-++-＝2 (3) (3)(3)xx x-+-＝33xx-+,当x＝2时,原式＝2323-+＝﹣15．【点睛】此题主要考查分式的化简求值,解题的关键是熟知分式的运算法则．20.第5代移动通信技术简称5G,某地已开通5G业务,经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍,小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片,小明比小强所用的时间快140秒,求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？【参考答案】该地4G的下载速度是每秒4兆,则该地5G的下载速度是每秒60兆．【解析】【分析】首先设该地4G的下载速度是每秒x兆,则该地5G的下载速度是每秒15x兆,根据题意可得等量关系：4G 下载600兆所用时间﹣5G下载600兆所用时间＝140秒．然后根据等量关系,列出分式方程,再解即可．【详解】解：设该地4G的下载速度是每秒x兆,则该地5G的下载速度是每秒15x兆,由题意得：600x﹣60015x＝140,解得：x＝4,经检验：x＝4是原分式方程的解,且符合题意,15x =15×4＝60,答：该地4G的下载速度是每秒4兆,则该地5G的下载速度是每秒60兆．【点睛】本题主要考察的是分式方程的应用；解答此题,首先确定5G与4G下载的速度关系,在根据题意找出下载600兆的公益片所用时间的等量关系,是解答此题的关键．21.已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（3,18）和B（﹣2,8）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝mx（m≠0）的图象只有一个交点,求交点坐标．【参考答案】（1）一次函数的解析式为y＝2x+12；（2）（﹣3,6）．【解析】【分析】（1）直接把（3,18）,（﹣2,8）代入一次函数y＝kx+b中可得关于k、b的方程组,再解方程组可得k、b的值,进而求出一次函数的解析式；（2）联立一次函数解析式和反比例函数解析式可得2x 2+12x ﹣m ＝0,再根据题意得到△＝0时,两函数图像只有一个交点,解方程即可得到结论．【详解】解：（1）把（3,18）,（﹣2,8）代入一次函数y ＝kx +b （k ≠0）,得31828k b k b +=⎧⎨-+=⎩, 解得212k b =⎧⎨=⎩,∴一次函数的解析式为y ＝2x +12；（2）∵一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象与反比例函数y ＝mx（m ≠0）的图象只有一个交点, ∴212y x my x =+⎧⎪⎨=⎪⎩只有一组解, 即2x 2+12x ﹣m ＝0有两个相等的实数根, ∴△＝122﹣4×2×（﹣m ）＝0, ∴m ＝-18．把m ＝-18代入求得该方程的解为：x ＝-3, 把x ＝-3代入y ＝2x +12得：y ＝6, 即所求的交点坐标为（-3,6）．【点睛】本题主要考查了用待定系数法确定一次函数的解析式,运用判别式△求两个不同函数的交点坐标；特别地,小题（2）联立一次函数解析式和反比例函数解析式,运用只有一个交点时△＝0的知识点,是解答本小题关键所在．22.如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图,图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC 的底部支撑点B 在水平线AD 的下方,AB 与水平线AD 之间的夹角是5°,卸货时,车厢与水平线AD 成60°,此时AB 与支撑顶杆BC 的夹角为45°,若AC ＝2米,求BC 的长度．（结果保留一位小数）（参考数据：sin65°≈0.91,cos65°≈0.42,tan65°≈2.14,sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75,2≈1.41）【参考答案】所求BC的长度约为2.6米．【解析】【分析】过点A作AE⊥BC于点E,先求出∠C,再运用锐角三角函数关系的知识求得CE和AE,然后再说明△AEB是等腰直角三角形得到AE＝BE,最后根据BC＝BE+CE解答即可．【详解】解：如图,过点A作AE⊥BC于点E,∵在Rt△ACE中,∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°,∴cos C＝cos70°＝CEAC,即CE＝AC×cos70°≈2×0.34＝0.68,sin C＝sin70°＝AEAC,AE＝AC×sin70°≈2×0.94＝1.88,又∵在Rt△AEB中,∠ABC＝45°,∴△AEB是等腰直角三角形∴AE＝BE,∴BC＝BE+CE＝0.68+1.88＝2.56≈2.6,答：所求BC的长度约为2.6米．【点睛】本题考查了运用锐角三角函数解直角三角形,正确做出辅助线、构造合适的直角三角形是解答本题的关键．23.今年2﹣4月某市出现了200名新冠肺炎患者,市委根据党中央的决定,对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整）,图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．（1）轻症患者的人数是多少？（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？（4）由于部分轻症患者康复出院,为减少病房拥挤,拟对某病房中的A、B、C、D、E五位患者任选两位转入另一病房,请用树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率．【参考答案】（1）160人；（2）100万元；（3）2.15万；（4）1 10【解析】【分析】（1）因为总人数已知,由轻症患者所占的百分比即可求出其的人数；（2）求出该市危重症患者所占的百分比,即可求出其共花费的钱数；（3）用加权平均数公式求出各种患者的平均费用即可；（4）首先根据题意列出表格,然后由表格求得所有等可能的结果与恰好选中B、D两位同学的情况,再利用概率公式即可求得参考答案．【详解】解：（1）轻症患者的人数＝200×80%＝160（人）；（2）该市为治疗危重症患者共花费钱数＝200×（1﹣80%﹣15%）×10＝100（万元）；（3）所有患者的平均治疗费用＝1.51603(20015%)100200⨯+⨯⨯+＝2.15（万元）；（4）列表得：A B C D EA （B,A）（C,A）（D,A）（E,A）B （A,B）（C,B）（D,B）（E,B）C （A,C）（B,C）（D,C）（E,C）D （A,D）（B,D）（C,D）（E,D）E （A,E）（B,E）（C,E）（D,E）由列表格,可知：共有20种等可能的结果,恰好选中B、D两位同学的有2种情况,∴P（恰好选中B、D）＝220＝110．【点睛】此题主要考查统计与概率,解题的关键是熟知列表的方法及概率公式的应用．24.如图,已知AB是⊙O的直径,C是⊙O上的一点,D是AB上的一点,DE⊥AB于D,DE交BC于F,且EF ＝EC．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若BD＝4,BC＝8,圆的半径OB＝5,求切线EC的长．【参考答案】（1）见解析；（2）5 2【解析】【分析】（1）连接OC,由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得∠OCB+∠ECF＝90°,可证EC是⊙O的切线；（2）由勾股定理可求AC＝6,由锐角三角函数可求BF＝5,可求CF＝3,通过证明△OAC∽△ECF,可得EC CFOA AC,可求解．【详解】解：（1）连接OC,∵OC＝OB,∴∠OBC＝∠OCB,∵DE⊥AB,∴∠OBC+∠DFB＝90°,∵EF＝EC,∴∠ECF＝∠EFC＝∠DFB,∴∠OCB+∠ECF＝90°,∴OC⊥CE,∴EC是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB＝90°,∵OB＝5,∴AB＝10,∴AC22AB BC-10064-6,∵cos∠ABC＝BD BC BF AB=,∴8410BF=,∴BF＝5,∴CF＝BC﹣BF＝3,∵∠ABC+∠A＝90°,∠ABC+∠BFD＝90°, ∴∠BFD＝∠A,∴∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC,∵OA＝OC,∴∠OCA＝∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC, ∴△OAC∽△ECF,∴EC CF OA AC=,∴EC＝OA CFAC⋅＝536⨯＝52．【点睛】此题主要考查切线的判定与性质与相似三角形综合,解题的关键是熟知切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质．25.如图,已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3,94）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线l过点A,M（32,0）且与抛物线交于另一点B,与y轴交于点C,求证：MC2＝MA•MB；（3）若点P,D分别是抛物线与直线l上的动点,以OC为一边且顶点为O,C,P,D的四边形是平行四边形,求所有符合条件的P点坐标．【参考答案】（1）y＝14x2；（2）见解析；（3）P（﹣17,7）或（﹣7,27）或（﹣2,1）．【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．（2）构建方程组确定点B的坐标,再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．（3）如图2中,设P（t,14t2）,根据PD＝CD构建方程求出t即可解决问题．详解】解：（1）把点A（﹣3,94）代入y＝ax2,得到94＝9a,∴a＝14,∴抛物线的解析式为y＝14x2．（2）设直线l的解析式为y＝kx+b,则有93432k bk b ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,解得1234kb⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴直线l的解析式为y＝﹣12x+34,令x＝0,得到y＝34,∴C（0,34）,由2141324y xy x⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,解得114xy=⎧⎪⎨=⎪⎩或394xy=-⎧⎪⎨=⎪⎩,∴B（1,14）,如图1中,过点A作AA1⊥x轴于A1,过B作BB1⊥x轴于B1,则BB1∥OC∥AA1, ∴BMMC＝1MBMO＝31232-＝13,MCMA＝1MOMA＝323(3)2--＝13,∴BMMC＝MCMA,即MC2＝MA•MB．（3）如图2中,设P（t,14t2）∵OC为一边且顶点为O,C,P,D的四边形是平行四边形, ∴PD∥OC,PD＝OC,∴D（t,﹣12t+34）,∴|14t2﹣（﹣12t+34）|＝34,整理得：t2+2t﹣6＝0或t2+2t＝0,解得t＝﹣1﹣7或﹣1＝7或﹣2或0（舍弃）,∴P（﹣1﹣7,2+72）或（﹣1+7,2﹣72）或（﹣2,1）．【点睛】此题主要考查二次函数综合,解题的关键是熟知二次函数的图像与性质、平行线分线段成比例的性质．26.已知D是Rt△ABC斜边AB的中点,∠ACB＝90°,∠ABC＝30°,过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°,∠DFE＝30°,连接CE并延长CE到P,使EP＝CE,连接BE,FP,BP,设BC与DE交于M,PB与EF交于N．（1）如图1,当D,B,F共线时,求证：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如图2,当D,B,F不共线时,连接BF,求证：∠BFD+∠EFP＝30°．【参考答案】（1）①见解析②30°（2）见解析【分析】（1）①本题主要考查通过角度计算求证平行,继而证明△CBP是直角三角形,根据直角三角形斜边中线可得结论．②本题以上一问结论为解题依据,考查平行线以及垂直平分线的应用,根据同位角相等可得BC∥EF,由平行线的性质得BP⊥EF,可得EF是线段BP的垂直平分线,根据等腰三角形三线合一的性质可得∠PFE＝∠BFE＝30°．（2）本题主要考查辅助线的做法以及垂直平分线性质的应用,需要延长DE到Q,使EQ＝DE,连接CD,PQ,FQ,证明△QEP≌△DEC（SAS）,则PQ＝DC＝DB,由QE＝DE,∠DEF＝90°,知EF是DQ的垂直平分线,证明△FQP≌△FDB（SAS）,再由EF是DQ的垂直平分线,可得结论．【详解】证明（1）①∵∠ACB＝90°,∠ABC＝30°∴∠A＝90°﹣30°＝60°同理∠EDF＝60°∴∠A＝∠EDF＝60°∴AC∥DE∴∠DMB＝∠ACB＝90°∵D是Rt△ABC斜边AB的中点,AC∥DM∴12 BM BD BC AB==即M是BC的中点∵EP＝CE,即E是PC的中点∴ED∥BP∴∠CBP＝∠DMB＝90°∴△CBP是直角三角形∴BE＝12PC＝EP②∵∠ABC＝∠DFE＝30°∴BC∥EF由①知：∠CBP＝90°∴BP⊥EF∵EB＝EP∴EF是线段BP的垂直平分线∴∠PFE＝∠BFE＝30°（2）如图2,延长DE到Q,使EQ＝DE,连接CD,PQ,FQ∵EC＝EP,∠DEC＝∠QEP∴△QEP≌△DEC（SAS）则PQ＝DC＝DB∵QE＝DE,∠DEF＝90°∴EF是DQ的垂直平分线∴QF＝DF∵CD＝AD∴∠CDA＝∠A＝60°∴∠CDB＝120°∴∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP∴△FQP≌△FDB（SAS）∴∠QFP＝∠BFD∵EF是DQ的垂直平分线∴∠QFE＝∠EFD＝30°∴∠QFP+∠EFP＝30°∴∠BFD+∠EFP＝30°【点睛】本题考点较多,涉及平行与角等的互推,垂直平分线的应用,全等的证明,特殊角度的利用,难度主要在于辅助线的构造,该类型题目必须多做专题训练以培养题感．知识改变命运。
2022年湖南省常德市中考数学试卷和答案
2022年湖南省常德市中考数学试卷和答案一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）在，，﹣，π，2022这五个数中无理数的个数为（）A．2B．3C．4D．52．（3分）国际数学家大会每四年举行一届，下面四届国际数学家大会会标中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）计算x4•4x3的结果是（）A．x B．4x C．4x7D．x114．（3分）下列说法正确的是（）A．为了解近十年全国初中生的肥胖人数变化趋势，采用扇形统计图最合适B．“煮熟的鸭子飞了”是一个随机事件C．一组数据的中位数可能有两个D．为了解我省中学生的睡眠情况，应采用抽样调查的方式5．（3分）从1，2，3，4，5这五个数中任选两个数，其和为偶数的概率为（）A．B．C．D．6．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0无实数解，则k的取值范围是（）A．k＞4B．k＜4C．k＜﹣4D．k＞1 7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC绕点C 顺时针旋转60°得到△DEC，点A，E，点F是边AC的中点，连接BF，FD．则下列结论错误的是（）A．BE＝BC B．BF∥DE，BF＝DEC．∠DFC＝90°D．DG＝3GF8．（3分）我们发现：＝3，＝3，，…，＝3，一般地，b，如果满足＝a时，称（a，b）（3，6）是一组完美方根数对，则下面4个结论：①（4，12）；②（9，91）是完美方根数对；③若（a，380），则a＝20；④若（x，y），则点P（x，y）在抛物线y＝x2﹣x上，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）9．（3分）|﹣6|＝．10．（3分）分解因式：x3﹣9xy2＝．11．（3分）要使代数式有意义，则x的取值范围为．12．（3分）方程+＝的解为．13．（3分）如图是一个正方体的展开图，将它拼成正方体后，“神”字对面的字是．14．（3分）今年4月23日是第27个世界读书日，某校举行了演讲大赛，演讲得分按“演讲内容”占40%、“语言表达”占40%、“形象风度”占10%、“整体效果”占10%进行计算，88，92，则她的最后得分是分．15．（3分）如图，已知F是△ABC内的一点，FD∥BC，若▱BDFE 的面积为2，BD＝，BE＝BC．16．（3分）剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，这样共有3张纸片；从这3张中任选一张，这样共有4张纸片；…；如此下去，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为．三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）17．（5分）计算：30﹣（）﹣2sin30°+cos45°．18．（5分）解不等式组．四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）19．（6分）化简：（a﹣1+）÷．20．（6分）小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小时．某天，他们以平常的速度行驶了，立即将车速减少了20千米/小时，到达奶奶家时共用了5小时五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21．（7分）如图，已知正比例函数y1＝x与反比例函数y2的图象交于A（2，2），B两点．（1）求y2的解析式并直接写出y1＜y2时x的取值范围；（2）以AB为一条对角线作菱形，它的周长为4，在此菱形的四条边中任选一条22．（7分）2020年7月，教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》中明确要求中小学劳动教育课平均每周不少于1课时，从本校学生中随机抽取了500名进行问卷调查．如图是根据此次调查结果得到的统计图．请根据统计图回答下列问题：（1）本次调查中，平均每周劳动时间符合教育部要求的人数占被调查人数的百分比为多少？（2）若该校有2000名学生，请估计最喜欢的劳动课程为木工的有多少人．（3）请你根据本次问卷调查的结果给同学和学校各提一条合理化建议．六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）23．（8分）第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉（如图1），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图2是其示意图，已知：助滑坡道AF＝50米，顶端E到BD的距离为40米，HG∥BC，∠EFG＝25°，∠ECB＝36°．求此大跳台最高点A距地面BD的距离是多少米（结果保留整数）．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）24．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB于B，ED∥BC 交⊙O于D，OC∥AD（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB＝8，AE＝1，求ED七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）25．（10分）如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为x＝2，且点B在第一象限．（1）求此抛物线的解析式；（2）当△OAB的面积为15时，求B的坐标；（3）在（2）的条件下，P是抛物线上的动点，求P的坐标以及PA﹣PB的最大值．26．（10分）在四边形ABCD中，∠BAD的平分线AF交BC于F，延长AB到E使BE＝FC，GE交BC于O，连接GD．（1）当四边形ABCD是矩形时，如图1，求证：①GE＝GD （2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，（1）中的结论都成立．请给出结论②的证明．答案一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）1．【知识点】无理数；算术平方根；立方根．【答案】解：﹣＝﹣3，无理数有：，π共2个，故选：A．2．【知识点】中心对称图形；数学常识．【答案】解：∵将图形绕着一点旋转180°后能和它本身重合的图形是中心对称图形，∴选项B符合上述特征，故选：B．3．【知识点】单项式乘单项式．【答案】解：原式＝4•x4+3＝4x7，故选：C．4．【知识点】随机事件；全面调查与抽样调查；扇形统计图；中位数．【答案】解：A．为了解近十年全国初中生的肥胖人数变化趋势，不符合题意；B．“煮熟的鸭子飞了”是一个不可能事件；C．一组数据的中位数只有一个；D．为了解我省中学生的睡眠情况，符合题意，故选：D．5．【知识点】列表法与树状图法．【答案】解：画树状图如图：∴共有20种等可能的结果，其中两个数的和为偶数的有（1，3），3），4），1），8），2），1），3），∴这五个数中任选两个数的和为偶数的概率为．故选：B．6．【知识点】根的判别式．【答案】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝3无实数解，∴Δ＝（﹣4）2﹣5×1×k＜0，解得：k＞5，故选：A．7．【知识点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．【答案】解：A、由旋转的性质可知，∠BCE＝60°，∴△BCE为等边三角形，∴BE＝BC，本选项结论正确；B、在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，∴AB＝AC＝CF＝BF，由旋转的性质可知，CA＝CD，∴∠A＝∠ACD，在△ABC和△CFD中，，∴△ABC≌△CFD（SAS），∴DF＝BC＝BE，∵DE＝AB＝BF，∴四边形EBFD为平行四边形，∴BF∥DE，BF＝DE，不符合题意；C、∵△ABC≌△CFD，∴∠DFC＝∠ABC＝90°，本选项结论正确；D、在Rt△GFC中，∴GF＝CF，同理可得，DF＝，∴DF＝5GF，故本选项结论错误；故选：D．8．【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；算术平方根；规律型：数字的变化类．【答案】解：将（4，12）代入，＝4，，…，∴（6，12）是完美方根数对；将（9，91）代入，＝，∴（9，91）不是完美方根数对；③∵（a，380）是完美方根数对，∴将（a，380）代入公式，，＝a，解得a＝20或a＝﹣19（舍去），故③正确；④若（x，y）是完美方根数对，则，＝x，整理得y＝x2﹣x，∴点P（x，y）在抛物线y＝x2﹣x上，故④正确；故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）9．【知识点】绝对值．【答案】解：﹣6＜0，则|﹣8|＝﹣（﹣6）＝6，故答案为3．10．【知识点】提公因式法与公式法的综合运用．【答案】解：x3﹣9xy5＝x（x2﹣9y6）＝x（x+3y）（x﹣3y），故答案为：x（x+3y）（x﹣3y）．11．【知识点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．【答案】解：由题意得：x﹣4＞0，解得：x＞5，故答案为：x＞4．12．【知识点】解分式方程．【答案】解：方程两边同乘2x（x﹣2），得6x﹣8+2＝7x﹣10，解得：x＝4，检验：当x＝4时，8x（x﹣2）＝16≠0，∴x＝2是原方程的解，∴原方程的解为x＝4．13．【知识点】专题：正方体相对两个面上的文字．【答案】解：由图可得，“神”字对面的字是“月”，故答案为：月．14．【知识点】加权平均数．【答案】解：她的最后得分是85×40%+88×40%+92×10%+90×10%＝87.4（分），故答案为：87.4．15．【知识点】平行四边形的性质；三角形的面积．【答案】解：连接DE，CD，∵四边形BEFD为平行四边形，▱BDFE的面积为2，∴S△BDE＝S▱BDFE＝1，∵BE＝BC，∴S△BDC＝4S△BDE＝4，∵BD＝BA，∴S△ABC＝3S△BDC＝12，故答案为：12．16．【知识点】规律型：图形的变化类．【答案】解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，多边形的边数增加4，第一次，将其中两个边分成四条边，即为2+3×2+1×7＝8＝4+3×1（边）；第二次，边数为：8﹣6+2×2+3×1＝12＝4+4×2；……；当剪第n刀时，边数为4+7n；∵最后得到10张纸片，设还有一张多边形纸片的边数为m，∴令n＝9，有4+7×9＝5+5×3+5×6+m，解得m＝6．故答案为：6．三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）17．【知识点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【答案】解：30﹣（）﹣2sin30°+cos45°，＝1﹣4×+2×，＝3﹣2+2，＝6．故答案为：1．18．【知识点】解一元一次不等式组．【答案】解：由5x﹣1＞5x﹣4，得：x＞﹣，由﹣≤﹣x，则不等式组的解集为﹣＜x≤1．四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）19．【知识点】分式的混合运算．【答案】解：（a﹣1+）÷＝[+]•＝•＝．20．【知识点】分式方程的应用．【答案】解：设平常的速度是x千米/小时，根据题意，得，解得x＝60，经检验，x＝60是原方程的根，4×60＝240（千米），答：小强家到他奶奶家的距离是240千米．五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21．【知识点】反比例函数综合题．【答案】解：（1）设反比例函数y2＝，把A（2，得：3＝，解得：k＝4，∴y2＝，由，解得：，，∴B（﹣2，﹣2），由图象可知：当y1＜y2时，x＜﹣8或0＜x＜2；注明：也可以直接利用反比例函数和正比例函数图象的对称性得出点B的坐标．（2）过点A作AE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，∵A（2，2），∴AE＝OE＝2，∴△AOE是等腰直角三角形，∴∠AOE＝45°，OA＝，∵四边形ACBD是菱形，∴AB⊥CD，OC＝OD，∴∠DOF＝90°﹣∠AOE＝45°，∵∠DFO＝90°，∴△DOF是等腰直角三角形，∴DF＝OF，∵菱形ACBD的周长为4，∴AD＝，在Rt△AOD中，OD＝＝＝，∴DF＝OF＝1，∴D（1，﹣3），由菱形的对称性可得：C（﹣1，1），设直线AD的解析式为y＝mx+n，则，解得：，∴AD所在直线的解析式为y＝3x﹣4；同理可得BC所在直线的解析式为y＝3x+4，AC所在直线的解析式为y＝，BD所在直线的解析式为y＝．22．【知识点】条形统计图；调查收集数据的过程与方法；用样本估计总体；扇形统计图．【答案】解：（1）×100%＝21%，∴本次调查中，平均每周劳动时间符合教育部要求的人数占被调查人数的百分比为21%；（2）2000×（1﹣40%﹣27%﹣7%﹣10%）＝320（人），∴若该校有2000名学生，则最喜欢的劳动课程为木工的有320人；（3）（答案不唯一，合理即可）如：建议学生积极参加学校的劳动课程，多做家务等等，增加劳动课的课时等．六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）23．【知识点】解直角三角形的应用．【答案】解：如图，过点E作EN⊥BC于点N，则AB＝AH﹣EM+EN．根据题意可知，∠AHF＝∠EMF＝∠EMG＝90°，∵HG∥BC，∴∠EGM＝∠ECB＝36°，在Rt△AHF中，∠AFH＝40°，∴AH＝AF•sin∠AFH≈50×0.64＝32（米），在Rt△FEM和Rt△EMG中，设MG＝m米，∴EM＝MG•tan∠EGM＝MG•tan36°＝0.73m，EM＝FM•tan∠EFM＝FM•tan25°＝4.47（7﹣m），∴0.73m＝2.47（7﹣m），解得m≈2.7（米），∴EM＝0.47（7﹣m）≈6.021（米），∴AB＝AH﹣EM+EN≈32﹣2.021+40≈70（米）．∴此大跳台最高点A距地面BD的距离是70米．24．【知识点】相似三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定与性质．【答案】（1）证明：连接OD，∵AD∥OC，∴∠BOC＝∠OAD，∠DOC＝∠ODA，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠BOC＝∠DOC，在△BOC和△DOC中，，∴△BOC≌△DOC（SAS），∴∠ODC＝∠OBC＝90°，∵OD为⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：过点D作DH⊥BC于H，∵ED∥BC，∴∠OED＝180°﹣∠ABC＝90°，则四边形EBHD为矩形，∴BH＝ED，DH＝BE＝7，∵AB＝8，AE＝6，∴OE＝3，∴ED＝＝＝，∵CB、CD是⊙O的切线∴CB＝CD，设CB＝CD＝x，则CH＝x﹣，在Rt△DHC中，DH2+CH2＝CD3，即72+（x﹣）2＝x2，解得：x＝2，即BC＝4，∵ED∥BC，∴＝，即＝，解得：EF＝．七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）25．【知识点】二次函数综合题．【答案】解：（1）∵抛物线过点O（0，0），8），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0），设抛物线解析式为y＝ax（x﹣2），把A（5，得5a＝3，解得：a＝1，∴y＝x（x﹣4）＝x4﹣4x，故此抛物线的解析式为y＝x2﹣4x；（2）∵点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，∴设B（2，m）（m＞0），设直线OA的解析式为y＝kx，则7k＝5，解得：k＝1，∴直线OA的解析式为y＝x，设直线OA与抛物线对称轴交于点H，则H（4，∴BH＝m﹣2，∵S△OAB＝15，∴×（m﹣2）×5＝15，解得：t＝8，∴点B的坐标为（2，8）；（3）设直线AB的解析式为y＝cx+d，把A（7，B（2，解得：，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+10，当PA﹣PB的值最大时，A、B、P在同一条直线上，∵P是抛物线上的动点，∴，解得：，（舍去），∴P（﹣2，12），此时，PA﹣PB＝AB＝．26．【知识点】相似形综合题．【答案】（1）证明：连接CG，过点G作GJ⊥CD于点J．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AD＝BC，∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF＝45°，∴∠AFB＝∠BAF＝45°，∴BA＝BF，∵BE＝CF，∴AE＝AB+BE＝BF+CF＝BC＝AD，∵AG＝AG，∴△EAG≌△DAG（SAS），∴EG＝DG，∠AEG＝∠ADG，∵AD∥FC，AG＝GF，∴DJ＝JC，∵GJ⊥CD，∴GD＝GC，∴∠GDC＝∠GCD，∵∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠ADG＝∠GCO，∴∠OEB＝∠OCG，∵∠BOE＝∠GOC，∴△OBE∽△OGC，∴＝，∵GC＝GD，BE＝CF，∴BO•GD＝GO•FC；（2）解：过点D作DT⊥BC于点T，连接GT．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAG＝∠AFB，∵AF平分∠DAB，∴∠DAG＝∠BAF，∴BAF＝∠AFB，∴AB＝BF，∴AE＝AB+BE＝BF+CF＝BC＝AD，∵AG＝AG，∴△EAG≌△DAG（SAS），∴∠AEG＝∠ADG，∵AD∥FT，AG＝GF，∴DJ＝JT，∵GJ⊥DT，∴GD＝GT，∴∠GDT＝∠GTD，∵∠ADT＝∠BTD＝90°，∴∠ADG＝∠GTO，∴∠OEB＝∠OTG，∵∠BOE＝∠GOT，∴△OBE∽△OGT，∴＝，∵GT＝GD，BE＝CF，∴BO•GD＝GO•FC．解法二：延长EG交AD于点M，在DM上取一点N．证明△OGF≌△MGA，推出GM＝OG＝GN，再证明△BOE∽△GDN，可得结论．优网小程序。
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2010年湖南常德市初中毕业学业考试数学试题卷一．填题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分） 1.2的倒数为________. 2.函数y =x 的取值范围是_________.3.如图1，已知直线AB ∥CD ，直线EF 与直线AB 、CD 分别交于点E 、F ，且有170,2∠=︒∠=则__________. 4.分解因式：269___________.x x ++=5.已知一组数据为：8，9，7，7，8，7，则这组数据的众数为____.6.______.=7.如图2，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，要使四边形ABCD 为平行四边形，则可添加的条件为_____________________.(填一个即可)8.如图3，一个数表有7行7列，设ij a 表示第i 行第j 列上的数（其中i=1,2,3,...,j=1,2,3,...,）.例如：第5行第3列上的数537a =. 则（1）()()23225253______.a a a a -+-= (2)此数表中的四个数,,,,np nk mp mk a a a a 满足()()______.npnk mk mp aa a a -+-=DABC图2图3图1BD ACE F1 2二．选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分） 9.四边形的内角和为（ ）A 。
900B 。
180oC 。
360oD 。
720o10.某市在一次扶贫助残活动中，共捐款2580000元，将2580000用科学记数法表示为（ ） A 。
72.5810⨯元 B 。
62.5810⨯元 C 。
70.25810⨯元 D 。
625.810⨯元11.已知⊙O 1的半径为5㎝,⊙O 2的半径为6㎝,两圆的圆心距O 1O 2=11㎝，则两圆的位置关系为（ ） A 。
内切 B 。
外切 C 。
相交 D 。
外离 12.方程2560x x --=的两根为（ ）A 。
6和-1B 。
-6和1C 。
-2和-3D 。
2和313.下列几个图形是国际通用的交通标志，其中不是中心对称图形的是（ ）14.2008年常德GDP 为1050亿元，比上年增长13.2%，提前两年实现了市委、市政府在“十一五规划”中提出“到2010年全年GDP 过千亿元”的目标.如果按此增长速度，那么我市今年的GDP 为（ ） A 。
1050×(1+13.2%)2B 。
1050×(1－13.2%)2C 。
1050×(13.2%)2D 。
1050×(1+13.2%) 15.在Rt sin ABC A V 中，若AC=2BC,则的值是（ ）A 。
12B 。
2C 。
55D 。
5216.如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”.则半径为2的“等边扇形”的面积为（ ）A 。
πB 。
1C 。
2D 。
23π 三．（本大题2小题，每小题5分，满分10分）17.计算：()013112223-⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭18.化简：221y xy x y x⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭ A B DC图4四．（本大题2个小题，每小题6分，满分 12分）19.在毕业晚会上，同学们表演哪一类型的节目由自己摸球来决定.在一个不透明的口袋中，装有除标号外其它完全相同的A 、B 、C 三个小球，表演节目前，先从袋中摸球一次（摸球后又放回袋中），如果摸到的是A 球，则表演唱歌；如果摸到的是B 球，则表演跳舞；如果摸到的是C 球，则表演朗诵.若小明要表演两个节目，则他表演的节目不是同一类型的概率是多少？20.如图，已知四边形AB ∥CD 是菱形，DE ∥AB ，DFBC.求证ABC V ≌CDF V五．（本大题2小题，每小题7分，满分14分）21.“城市让生活更美好”，上海世博会吸引了全世界的目光，五湖四海的人欢聚上海，感觉世博.5月24日至5月29日参观世博会的总人数为230万，下面的统计图6是每天参观人数的条形统计图：（1）5月25日这天的参观人数有多少万人？并补全统计图； （2）这6天参加人数的极差是多少万人？（3）这6天平均每天的参观人数约为多少万人？（保留三位有效数学）（4）本届世博会会期为184天，组委会预计参观人数将达到7000万，根据上述信息，请你估计：世博会结束时参观者的总人数能否达到组委会的预期目标？22.已知图7中的曲线函数5m y x-=(m 为常数)图象的一支. CB参观日期图6(1)求常数m 的取值范围；(2)若该函数的图象与正比例函数2y x =图象在第一象限的交点为A （2，n ）,求点A 的坐标及反比例函数的解析式.六．（本大题2个小题，每个题8分，满分16分）23.今年春季我国西南地区发生严重旱情，为了保障人畜饮水安全，某县急需饮水设备12台，现有甲、乙两种设备可供选择，其中甲种设备的购买费用为4000元/台，安装及运输费用为600元/台；乙种设备的购买费用为3000元/台，安装及运输费用为800元/台.若要求购买的费用不超过40000元，安装及运输费用不超过9200元，则可购买甲、乙两种设备各多少吧？24.如图8.AB 是⊙O 的直径，∠A=30o,延长OB 到D 使BD=OB. (1)ABC V 是否是等边三角形？说明理由. (2)求证：DC 是⊙O 的切线.七．（本大题2个小题，每小题1025.如图9，已知抛物线212y x bx c x =++与轴交于点A （-4，0）和B （1，0）两点，与y 轴交于C 点.x图8(1)求此抛物线的解析式；(2)设E 是线段AB 上的动点，作EF ∥AC 交BC 于F ，连接CE ，当CEF V 的面积是BEF V 面积的2倍时，求E 点的坐标；(3)若P 为抛物线上A 、C 两点间的一个动点，过P 作y 轴的平行线，交AC 于Q ，当P 点运动到什么位置时，线段PQ 的值最大，并求此时P 点的坐标.26.如图10，若四边形ABCD 、四边形CFED 都是正方形，显然图中有AG=CE ，AG ⊥CE.（1）当正方形GFED 绕D 旋转到如图11的位置时，AG=CE 是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.（2）当正方形GFED 绕D 旋转到如图12的位置时，延长CE 交AG 于H ，交AD 于M. ①求证：AG ⊥CH;②当AD=4，时，求CH 的长。
2010年常德市初中毕业学业考试图9xCD E图110AD图11F EBCGADBCEFH M图12数学试题参考答案及评分标准说明:(一)《答案》中各行右端所注分数表示正确作完该步应得的累加分数,全卷满分120分.(二)《答案》中的解法只是该题解法中的一种或几种,如果考生的解法和本《答案》不同,可参照本答案中的标准给分。
(三)评卷时要坚持每题评阅到底,勿因考生解答中出现错误而中断本题的评阅。
如果考生的解答在某一步出现错误，影响后继部分而末改变本题的内容和难度者，视影响程度决定后面部分的得分，但原则上不超过后面部分应得分数的一半，如有严重的概念错误，就不给分。
一、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分） 1．122．3x ≥ 3．110︒ 4．2(3)x +5．767．AB CD A C AD =∠=∠或或∥BC 等8．（1）0 （2）0注：第8题第一空为1分，第二空2分.二、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分） 9．C 10．B 11．B 12．A 13．D 14．A 15．C 16．C三、(本大题2个小题,每小题5分,满分10分) 17．解:原式= 1-8+3+2 …………………4分 = -2…………………5分注:第一个等号中每错一处扣1分.18．解:原式=22y x y xy x y x +-÷+- …………………2分=22x y x y x x-⨯+ …………………3分 =y x -…………………5分四、 (本大题2个小题,每小题6分,满分12分) 19．解：法一：列表如下：A B C A AA AB AC B BA BB BC C CA CB CC法二：画树状图如下：A 开 始A B CA BC A B CB C…………………4分……………………4分 因此他表演的节目不是同一类型的概率是69=23……………………6分20．证明：在△ADE 和△CDF 中,∵四边形ABCD 是菱形,∴∠A =∠C ，AD =CD .……………………2分 又DE ⊥AB ，DF ⊥BC ,∴∠AED =∠CFD =900.……………………4分 ∴△ADE ≌△CDF .……………………6分 五、(本大题2个小题,每小题7分,满分14分) 21．解：（1）35万；………………2分补图略………………3分 （2）51－32＝19万； ………………4分 （3）230÷6≈38.3万；………………5分（4）38.3×184＝7047.2>7000,估计世博会结束时,参观的总人数能达到组委会的预期目标. …………7分22．解：（1）∵这个反比例函数的图象分布在第一、第三象限， ∴50m ->，解得5m >.………………3分 （2）∵点A (2,n )在正比例函数2y x =的图象上，∴224n =⨯=,则A 点的坐标为(2,4) .………………4分又Q 点A 在反比例函数5m y x-=的图象上， 542m -∴=，即58m -=. ∴反比例函数的解析式为8y x =..……………7分六、(本大题2个小题,每小题8分,满分16分)23．解：设购买甲种设备x 台，则购买乙种设备(12－x )台，购买设备的费用为：40003000(12)x x +-； 安装及运输费用为：600800(12)x x +-.………………1分 由题意得：40003000(12)40000,600800(12)9200.x x x x +-≤⎧⎨+-≤⎩………………5分解之得：24x ≤≤.∴可购甲种设备2台，乙种设备10台或购甲种设备3台，乙种设备9台，或购甲种设备4台，乙种设备8台.………………8分24．（1）解法一：∵∠A ＝30o ，∴∠COB ＝60o． ………………2分 又OC ＝OB ，∴△OCB 是等边三角形． ………………4分解法二：∵AB 是⊙Ｏ的直径，∴∠ACB ＝90o．又∵∠A ＝30o ， ∴∠ABC ＝60o． ………………2分又OC ＝OB ， ∴△OCB 是等边三角形．………………4分 （2）证明：由（1）知：BC ＝OB ，∠OCB ＝∠OBC ＝60o．又∵BD ＝OB ，∴BC ＝BD ．………………6分∴∠BCD ＝∠BDC ＝12∠OBC ＝30o ． ∴∠OCD ＝∠OCB ＋∠BCD ＝90o ， 故DC 是⊙Ｏ的切线． ………………8分七、(本大题2个小题,每小题10分,满分20分)25．解：（1）由二次函数212y x bx c =++与x 轴交于(4,0)A -、(1,0)B 两点可得：221(4)4021102b c b c ⎧--+=⎪⎪⎨⎪⋅++=⎪⎩，． 解得： 322b c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，．故所求二次函数的解析式为213222y x x =+-． ………………3分（2）∵S △CEF =2 S △BEF , ∴1,2BF CF =1.3BF BC = ………………4分 ∵EF //AC , ∴B ,EF BAC BFE BCA ∠=∠∠=∠ , ∴△BEF ～△BAC , ………………5分∴1,3BE BF BA BC ==得5,3BE = ………………6分 故E 点的坐标为(23-,0). ………………7分（3）解法一：由抛物线与y 轴的交点为C ，则C 点的坐标为（0，－2）．若设直线AC 的解析式为y kx b =+，则有20,04b k b -=+⎧⎨=-+⎩． 解得：1,22k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩．故直线AC 的解析式为122y x =-－．………………8分若设P 点的坐标为213,222a a a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，又Q 点是过点P 所作y 轴的平行线与直线AC 的交点，则Q点的坐标为（1,2)2a a --．则有：2131[(2)](2)222PQ a a a =-+----＝2122a a --＝()21222a -++即当2a =-时，线段PQ 取大值，此时P 点的坐标为（－2，－3）………10分解法二：延长PQ 交x 轴于D 点，则PD AB ⊥．要使线段PQ 最长，则只须△APC 的面积取大值时即可. ………………8分 设P 点坐标为（),00y x ，则有:ACO DPCO S APC ADP S S S =+-V V V 梯形＝111()222AD PD PD OC OD OA OC ⋅++⋅-⋅ ＝()()000001112242222x y y y x --+-+⋅--⨯⨯＝0024y x ---＝20001322422x x x ⎛⎫-+--- ⎪⎝⎭＝2004xx -- ＝－()22024x ++ 即02x =-时，△APC 的面积取大值，此时线段PQ 最长，则P 点坐标 为（－2，－3） ……………10分26．解：（1）AG CE =成立．Θ四边形ABCD 、四边形DEFG 是正方形，∴,,GD DE AD DC == ……………1分∠GDE =∠90ADC =︒. ∴∠GDA =90°-∠ADE =∠EDC .……………2分 ∴△AGD ≅△CED . ∴AG CE =. ……………3分 （2）①类似（1）可得△AGD ≅△CED ， ∴∠1＝∠2 …………………4分又∵∠HMA ＝∠DMC .∴∠AHM =∠ADC ＝90︒. 即.AG CH ⊥ …………………5分 ② 解法一: 过G 作AD 于P , 由题意有sin 451GP PD =︒=,∴3AP =，则tan ∠1＝13GP AP =. ………6分而∠1＝∠2，∴tan ∠2＝DM DC ＝tan ∠1＝13.∴43DM = ，即83AM AD DM =-=.…………………7分在Rt DMC ∆中，CM =…………………8分而AMH ∆∽CMD ∆,∴AH AMDC CM =, 即84AH =, ∴AH…………………9分再连接AC，显然有AC =,∴CH AB C D E F G图11 B A C D E F G 1 2 图12H PM所求CH 的长为5108. …………………10分解法二：研究四边形ACDG 的面积 过G 作GP AD ⊥于,由题意有sin 451O GP==, ∴3AP =, AG =………………8分 而以CD 为底边的三角形CDG 的高=PD =1, AGDACG CGD ACDG S S S S S +=+V V V V 四边形, ∴4×1+4×CH+4 ×1.∴CH =5108.………………10分注：本题算法较多，请参照此标准给分.BACDE F G12图12H PM。