线性代数1.5 克拉默法则&习题课

5.行 列 式 中 某 一 行(列) 的 所 有 元 素 的 公 因 子 可以 提到行列式符号的外面.
6.行列式中如果有两行(列) 元素成比例,则此行列 式为零.
7.若 行 列 式 的 某 一 列(行) 的 元 素 都 是 两 数 之 和, 则 此行列式等于两个行列式之和.
8.把 行 列 式 的 某 一 列(行) 的 各 元 素 乘 以 同 一 数,然 后加到另一列(行) 对应的元素上去,行列式的值不变.
证明 用D中第j列元素的代数余子式A1 j , A2 j , , Anj
依次乘方程组1的n个方程,得
证明 用D中第j列元素的代数余子式A1 j , A2 j , , Anj
依次乘方程组1的n个方程,得
( a11x1 a1 j x j a1n xn )A1 j b1 A1 j
D 301 49 1/ 2 299 51 1/ 2
a1 0 0 b1 4.四阶行列式 0 a2 b2 0
0 b3 a3 0 b4 0 0 a4

abcd
5. 设四阶行列式D4

c d
b b
d c
a ,
a
abd c
则A14 A24 A34 A44
6. 在五阶行列式中a12a53a41a24a35的符号为
定理1 如果线性方程组1的系数行列式 D 0, 则 1一定有解,且解是唯一的 .
定理2 如果线性方程组 1 无解或有两个不同的
解，则它的系数行列式必为零.
齐次线性方程组的相关定理
a11x1 a12x2 a1n xn 0

a21
x1

a22x2 a2n xn


a2n xn b2
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
若常数项b1,b2 , ,bn不全为零, 则称此方程组为方形 非齐次线性方程组; 若常数项 b1, b2 , ,bn 全为零,
此时称方程组为方形齐次线性方程组.
一、克拉默(Cramer)法则
如果方形线性方程组
a11x1 a12x2 a1n xn b1

a21
x1
a22x2


a2n xn
b2
(1)
an1x1 an2 x2 ann xn bn
a11 a12 a1n
的系数行列式不等于零，即 D a21 a22 a2n 0
3. 行列式
298 50 1 D 301 49 1/ 2 600
299 51 1/ 2
a1 0 0 b1 4.四阶行列式 0 a2 b2 0
0 b3 a3 0 b4 0 0 a4
(a1a4 b1b4 )(a2a3 b2b3 )
abcd
5. 设四阶行列式D4

c d
0 2 1 2
1 4 7 6
2 x1 x2 5 x3 x4 8,
2 1 5 1

x1 3 x2 6 x4 9, 2 x2 x3 2 x4 5,
1 3 0 6
D
27
0 2 1 2
x1 4 x2 7 x3 6 x4 0.
b b
d c
a ,
a
abd c
则A14 A24 A34 A44
0
6. 在五阶行列式中a12a53a41a24a35的符号为 负()
2x 1 1
7. 在函数f x x x x 中x3的系数是 2
1 2x
0x0 y
8. 四阶行列式 y
0
x
0
( x2 y2 )2

D1 D
,
x2

D2 D
,
x3

D3 D
,
,
xn

Dn D
,
另外，可以证明
ai1
D1 D

aij
Dj D
ain
Dn D
bi
x1

D1 D
,
,
xj

Dj D
,
,
xn

Dn D
也是方程组的 1 解. i 1,2, ,n, 有
ai1 ai2 ain bi a11 a12 a1n b1 ai1 ai2 ain bi 0,
2 2 1 1 0 求 A15 3 A25 2 A35 2 A55 .
本次课[3]的教学要求
1、理解克拉默法则，会使用克拉默法则求解 线性方程组。 2、通过练习巩固行列式的性质和运算。
第五节 克拉默法则
方形非齐次线性方组与方形齐次线性方程组的概念
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
设线性方程组

a21
x1

a22 x2
例1 用克拉默则解方程组
2 x1 x2 5 x3 x4 8,

x1 3 x2 6 x4 9, 2 x2 x3 2 x4 5,
x1 4 x2 7 x3 6x4 0.
解 2 1 5 1
1 3 0 6
D
27 0,
a11x1 a12 x2 a1n xn 0

a21x1
a22 x2 a2n xn
0
an1 x1 an2 x2 ann xn 0
必有非零解.
方形Baidu Nhomakorabea次线性方程组有非零解的充要条件 是系数行列式等于零.
an1 an2 ann
那么线性方程组1 有解，并且解是唯一的，且
解可以表示为
x1

D1 D
,
x2

D2 D
,
x3

D3 D
,
,
xn

Dn D
.
a11 a1, j1 ab11j a1, j1 a1n 其中： D j
an1 an, j1 abnnj an, j1 ann
1 4 7 6
8 1 5 1
9 3 0 6
D1 5
2
1
81,
2
0 4 7 6
D2 108, D3 27, D4 27,

x1

D1 D

3,
x2

D2 D

4,
x3

D3 D

1,
x4

D4 D

1.
例2 问 取何值时，齐次方程组
1

2
x1
( a21x1 a2 j x j a2n xn)A2 j b2 A2 j


(12)
( an1x1 anj x j ann xn )Anj bn Anj
在把 n 个方程依次相加，得

n
ak
k 1

ann
an1 an2
a1n a2n . ann
课 堂 习 题 解答
一、填空题
1. 若Dn aij 2,则D aij (1)n 2
2. 设x1, x2 , x3是方程 x3 px q 0的三个根, x1 x2 x3
则行列式 x3 x1 x2 0 x2 x3 x1

x1 x1

x2 x2

0 0
无非零解.
称为方程组(2)的零解.
不是零解的解, 称为方程组( 2)的非零解.
定理 若齐次线性方程组的系数行列式不为零, 则该齐次性方程组只有零解.
定理 若齐次线性方程组的系数行列式不为零, 则该齐次性方程组只有零解.
另外，以后将证明：若系数行列式 D 0
k1

k1

k1

n
bk Akj ,
k 1
由代数余子式的性质可知, 上式中x j的系数等于D,
而其余xi i j的系数均为0; 又等式右端为Dj .
于是 Dxj Dj j 1,2, ,n.
3
当 D 0 时, 方程组3 有唯一的一个解
x1
an1 an2 ann bn
ain (1)1n(1)nn Dn
bi (1)1(n1) D 0,
ai1(1)n1 D1 aij (1)n1 D j ain (1)n1 Dn
bi (1)n1 D
ai1D1 aij Dj ainDn bi D
1
Akj

x1




n k 1
akj
Akj

x
j



n
akn
k 1
Akj

xn
n
bk Akj ,
k 1
n

n

n

ak1 Akj x1 akj Akj x j akn Akj xn

0
2
an1x1 an2 x2 ann xn 0

x1 x1

x2 x2

x3 x3

0 0
x1 x3
0
x1 x2 x3 0,
x1 1, x3 1, x2 0.
x1 0, x2 0, , xn 0
1 1 2 31
3 二、已知 D5 2
1
1 1 2 2 3 1 1 0, 2 3 01
2 2 1 1 0
求 A15 3 A25 2 A35 2 A55 .
三、证明:
a11
a12 b1
a 21 b
a22


an1 bn1 an2 bn2
a1n b1n a11 a12 a2n b2n a21 a22
an1 an2 ann bn
ai1 ai2 ain bi a11 a12 a1n b1
按第 1 行展开,得 ai1(1)11(1)n1 D1
ai1
ai 2
ain
bi
0,
ai2 (1)12(1)n2 D2 aij (1)1 j (1)n j Dj
2x 1 1
7. 在函数f x x x x 中x3的系数是
1 2x
0x0 y
8. 四阶行列式 y
0
x
0
0 y0x
x0 y0
9. 若a,b为实数,则当a
ab0 b a 0 0 1 0 1
10. 排列 i1i2 in1in可经 排列 inin1 i2i1.
且b 时, 次对换后变为
ai1
D1 D

aij
Dj D
ain
Dn D

bi .
二、重要结论
a11x1 a12x2 a1n xn b1

a21
x1
a22x2


a2n xn
b2
(1)
an1x1 an2 x2 ann xn bn
0 y0x
x0 y0
9. 若a,b为实数,则当a 0 且b 0 时,
ab0
b a 0 0
1 0 1
10. 排列 i1i2
in1in可经
1 n(n 1) 2
次对换后变为
排列 inin1 i2i1.
1 1 2 31
二、已知
3 1 1 2 2
D5 2 3 1 1 0 , 1 2 3 01
9.行列式的按行(按列)展开定理(降阶).
课 堂习 题
一、填空题
1. 若Dn aij 2,则D aij
2. 设x1, x2 , x3是方程 x3 px q 0的三个根, x1 x2 x3
则行列式 x3 x1 x2 x2 x3 x1
3. 行列式 298 50 1
x1 3
2x2 4x3
x2 x3

0, 0,
x1 x2 1 x3 0,
有非零解？
解
1 2 4
D 2 3 1
1
1 1
32 ,
因为D=0时，齐次方程组有非零解
所以 0, 2 或 3时齐次方程组有非零解.
三、小结
1. 用克拉默法则解方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数（方形的）. (2)系数行列式不等于零.
2. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.
3. 克拉默法则的不足或缺点: 一般来说, 其计算量较大.
n阶行列式的性质
1.行列式与它的转置行列式相等,即D DT . 2.互换行列式的两行(列),行列式变号. 3.如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式 等于零. 4.行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同 一数k,等于用数 k 乘此行列式.