线性代数1.5 克拉默法则&习题课

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1.5 克拉默法则

证设f(x)=a0+a1x+a2x2+ +anxn为一个次数不超过n的多项式, f(x)经过平面上n+1个点(xi,bi) (i1 2 n+1) , 当且仅当系数a0,a1, an满足以下n+1个方程
a 0 a 1 x 1 a 2 x 1 a n x 1 b1 ,
2x1 x2 5x3 x4 x1 3x2 6x4 例 1 解线性方程组 x2 x3 2x4 x1 4x2 7 x3 6x4 8 9 5 0
解因为 D27 D181 D2108 D327 D427 所以所给方程组的唯一解为
§15 克拉默法则
本节讨论n个未知数n个方程的线性方程组(n元一次方程组)
a11x1 a12 x2 a1n xn b1 a21x1 a22 x2 a2n xn b2 an1x1 an2 x2 ann xn bn
设方程组的唯一解为x1=c1, x2=c2, x3=c3, 则
a 1 1 c 1 a 1 2 c 2 a 1 3 c 3 b1 a 2 1 c1 a 2 2 c 2 a 2 3 c 3 b 2 a c a c a c b 32 2 33 3 3 31 1
从而r(R)r(R,d), 故无解; (3) 当=1时, 仿(2)得方程组有无穷多解.
综上可知当2时方程组有解.
插值多项式的存在性及唯一性定理给定平面上n+1个点(xi,bi) (i1 2 n+1) , 设i≠j 时xi≠xj, 则存在唯一的一个次数不超过n的多项式f(x)使得 f(xi)=bi((i1 2 n+1).

《线性代数》1.5第五节克莱姆法则

按第一行展开. 由于第一行第 j 1 列的元素 aij 的代数余子式为
b1 A1 j 1 1
1 j 1
a11 a21 an1
a1 j 1 a2 j 1 anj 1
a1 j 1 a2 j 1 anj 1
a1n a2 n ann
b2 bn
把 A1 j 1 的第1列依次与第2列、第3列、…、第j列互换，有所以有
现在验证（2）式是方程组（1）的解，也就是要证明
ai1
D1 D D ai 2 2 ain n bi , D D D
(i 1,2, , ,n)
即 ai1 D1 ai 2 D2 ain Dn bi D 考虑有两行相同的 n 1 阶行列式
bi b1 B b2 bn ai1 a11 a21 an1 ain a1n a2 n 0, ann (i 1, 2, , n)
D1
2 4 1 4 1 2 3 1
1 0 2 2 1 0 2 2
1 2 1 4 1 1 2 4 1 4 0 2 2 4 0 2
＝ 2，D2＝
1 2 3 1 1 2 3
2 4 1 4 1 0 2 2 1 1 1
1 2 1 4 1 1 2 4 1 0 2
线性代数
(第二版)
第五节克莱姆法则
现在，我们应用 n阶行列式来解含有n个未知量的 n 个线性方程的方程组. 一、克莱姆（Cramer）法则定理1.5.1（克莱姆法则）若线性方程组
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 an1 x1 an 2 x2 a1n xn b1 , a2 n xn b2 , ann xn bn .

线性代数课件1-5克莱姆法则

线性方程组的解的个数
有唯一解
当系数矩阵的行列式不为零时，线性方程组有唯一解。
VS
无解或多解
当系数矩阵的行列式为零时，线性方程组可能无解或多解，此时克莱姆法则不适用。
03
克莱姆法则的证明过程
系数矩阵的行列式的性质
系数矩阵的行列式不为零
克莱姆法则的前提条件是系数矩阵的行列式不为零，这是保证线性方程组有唯一解的重要条件。
线性方程组解的个数的判断
总结词
克莱姆法则可以用于判断线性方程组解的个数。
详细描述
通过计算系数矩阵的行列式值和各列的代数余子式，可以确定线性方程组的解的个数。如果行列式值不为零，则线性方程组有唯一解；如果行列式值为零且系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则线性方程组有无穷多解；如果行列式值为零且系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，则线性方程组无解。
Ax=b，其中A是系数矩阵，x是未知数矩阵，b是常数矩阵。
特殊形式
当系数矩阵A为方阵时，即行数和列数相等的矩阵，克莱姆法则适用。
系数矩阵的行列式
非零行列式
克莱姆法则的前提是系数矩阵的行列式不为零，即|A|≠0。
行列式的计算
行列式的值是通过其对应元素的代数余子式计算得出的，即|A|=Σ(-1)^(i+j)a_{ij}，其中a_{ij}是A的元素。
解的唯一性
除了证明解的存在性，还需要证明解是唯一的。这可以通过利用系数矩阵的行列式不为零的条件和线性方程组的解的性质来证明。
克莱姆法则的证明
证明过程
克莱姆法则的证明过程涉及多个步骤，包括利用代数余子式计算系数矩阵的行列式、将线性方程组的解表示为系数矩阵的行列式的值等。这个过程需要仔细推导和计算，确保

1.5克拉默法则_线性代数_[共3页]

含有一列全零列，所以其值都为零. 则
1 D=
2 × (−1)(3+4)+(3+4) 75
92 = (31−144) × (−75) = 8475 .
72 31
0 −1
1.5
克拉默法则
在这一节，研究下列具有 n 个未知量 n 个方程的线性方程组
⎧ a11x1 + a12 x2 + " + a1n xn = b1,
⎪⎪⎨a21 x1 ⎪
+ a22 x2 + " + a2n xn ""
=
b2 ,
⎪⎩an1x1 + an2 x2 +" + ann xn = bn .
（1.5.1）
若方程组（1.5.1）中，b1 = b2 = " = bn = 0 ，则称该方程组为齐次线性方程组，否则称为非齐次
线性方程组.
与二元、三元线性方程组相类似，它的解可用 n 阶行列式表示，这就是著名的克拉默（Cramer）
中每个方程，验证每个方程是否都变成恒等式.
22
阶行列式，即
a11 " a1, j−1 b1 a1, j +1 " a1n
Dj
=
a21 #
"
a2, j −1 #
b2 #
a2, j +1 #
"
a2n #
.
an1 " an, j−1 bn an, j+1 " ann
*证首先证明式（1.5.2）就是线性方程组（1.5.1）的解. 为此只要将式（1.5.2）代入方程组（1.5.1）

克拉默法则

142
线性代数讲稿
⎧λx1 + x 2 + x3 = 0 ⎪ ⎨ x1 + λx 2 + x3 = 0 ⎪ x + x + λx = 0 2 3 ⎩ 1
有非零解．解：按题意要求方程组的系数行列式为零，即
λ 1 1 0 = 1 λ 1 ====== (λ + 2) 1 λ 1 再c1 ÷( λ + 2 ) 1 1 λ 1 1 λ === (λ + 2) 1 λ − 1 0 = (λ + 2)(λ − 1) 2 , j = 2,3 1 0 λ −1
线性代数讲稿
§1.4
一.基本概念
克拉默（Cramer）法则
关于 n 个待求量 xi 的 n 个线性方程联立而成的线性方程组：
⎧ a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 ⎪a x + a x + L + a x = b ⎪ 21 2 22 2 2n n 2 ⎨ M M ⎪ ⎪ ⎩ a n1 x1 + a n 2 x 2 + L + a nn x n = bn
xj = Dj D
( j = 1,2, L , n)
（2）
其中 Dj 是把 D 中的第 j 列换成（1）中右端的 b1,b2,…,bn 所构成的 n 阶行列式，
即
Dj =
a11 L a1 j −1 a 21 L a 2 j −1
b1 b2
a1 j +1 L a1n a 2 j +1 L a 2 n M a n j +1 M M L an n
c j −c1 c1 + ( c2 + c3 )

线性代数课件1-7克拉默法则

克拉默法则也可以用来判断线性方程组的解的情况，通过计算系数行列式和常数项的乘积，可以判断方程组是否有唯一解、无解或无穷多解。
VS
如果系数行列式不为零，则方程组有唯一解；如果系数行列式为零但常数项的乘积不为零，则方程组无解；如果系数行列式为零且常数项的乘积为零，则方程组有无穷多解。
解决实际问题的应用
克拉默法则可以用来解线性方程组，通过将方程组转化为行列式形式，然后利用行列式的性质进行求解。
具体步骤包括将方程组整理成标准形式，计算系数行列式和常数项的乘积，然后求解每个未知数的值。
需要注意的是，克拉默法则只适用于线性方程组有唯一解的情况，对于无解或无穷多解的情况不适用。
判断线性方程组的解的情况
克拉默法则可以作为迭代解法的一种基础算法，用于计算迭代过程中的系数矩阵和常数矩阵。
3
求解步骤
在迭代解法中，需要设定合适的迭代初值，然后通过迭代公式不断逼近方程的解，直到达到预设的精度要求。
05
克拉默法则的注意事项与限制
系数矩阵的行列式必须不为零
克拉默法则要求系数矩阵的行列式不为零，否则该法则无法应用。这是因为行列式为零意味着矩阵是奇异的，此时线性方程组可能无解或有无穷多解，克拉默法则不再适用。
线性代数课件1-7克拉默法则
目录
• 克拉默法则概述 • 克拉默法则的推导过程 • 克拉默法则的应用实例 • 克拉默法则的扩展与推广 • 克拉默法则的注意事项与限制
01
克拉默法则概述
克拉默法则的定义
克拉默法则定义
克拉默法则是指对于线性方程组，如果系数行列式不为0，则方程组有唯一解，且其解可以通过系数行列式与常数列的转置矩阵的行列式之商来求解。
克拉默法则给出了线性方程组解的表达式，该表达式基于系数矩阵的行列式值和代数余子式。通过计算这些值，可以得到线性方程组的解。

线性代数1-4 克拉默法则

第一章行列式
克拉默法则仅适用于解方程的个数与未知量的个数相等，且系数行列式不为零的线性方程组.
它的优点在于给出了方程组的解与方程组的系数及常数项之间的关系式，因此具有重要的理论价值.
二、齐次线性方程组及其有关解的定理
第一章行列式
a11 x1 a12 x2 +
n元线性方程组 a21 x1 a22 x2 +
2 1 5 8 1 3 0 9 D4 0 2 1 5 1 4 7 0
27,
x2

D2 D

108 27

4,
x4

D4 D

27 27

1.
例3 问取何值时，齐次方程组
1

2
x1
x1 3
2x2 4x3
x2 x3
0, 0,
(1.12)
称为齐次线性方程组。
a11x1 a12 x2 a1n xn 0 a21x1a22x2 a2nxn0 an1x1 an2 x2 ann xn 0
第一章行列式
(1.12)
显然齐次线性方程组一定有解 x1 x2 xn 0,
1 4 7 6
8 1 5 1
2 8 5 1
9 3 0 6 D1 5 2 1 2
1 9 0 6 D2 0 5 1 2
0 4 7 6
1 0 7 6
21 8 1 1 3 9 6 D3 0 2 5 2 14 0 6
2 1 5 8 1 3 0 9 D4 0 2 1 5 1 4 7 0
这个解叫做齐次线性方程组(1.12)的零解。
推论如果齐次线性方程组的系数行列式 D 0, 则齐次线性方程组只有零解。

克拉默法则

则即
A1 ( AX ) A1b
X A1b
故 A 1b 是方程组（9）的唯一解向量． | An | | A1 | | A2 | 1 , , , 最后证明 A b 的n个分量就是： | A| | A| | A| 1 1 1 1 Ab 由逆阵公式 A A ，有 x A b | A| | A| A11 A21 An1 b1 x1 x2 A12 A22 An2 b2 1 即 | A | xn A1n A2 n Ann bn
证明把方程组（9）写成矩阵方程
Ax b
因 | A | 0 ，故 A 1存在.
1
（ 9）
代入（9）中有首先证明（9）有解：将 A b ，
A( A b) ( AA )b bБайду номын сангаас
故 A 1b 是（9）的解. 再证明（9）的解是唯一的：设 X 是（9）的任意一个解，有
1
1
AX b
| A1 | 1 | A2 | | A| | An |
b1
a12 a1n
b2 a22 a2 n | A1 | bn an2 ann
例16 用克拉默法则解方程组
x1 x2 x3 2 2 x1 x2 3 x3 1 3 x 2 x 5 x 0 1 2 3
即有 x1 5, x2 0, x3 3
二、小结
克拉默法则注：用克拉默法则求解方程组时要注意两个条件 (1)方程个数等于未知量个数; (2)系数行列式不等于零.
三、作业
P.54. 15
| A3 | 9 | A2 | 0 | A1 | 15 3, 0, x3 x1 5, x2 | A| 3 | A| 3 | A| 3

线性代数1.5-克拉默法则

, 有
ai 1 a11 ai 1 an1
ai 2 a12 ai 2 an 2

ain bi a1n b1 0, ain bi ann bn
ai 1 a11 ai 1 an1
ai 2 a12 ai 2 an 2
本次课[3]的教学要求
1、理解克拉默法则，会使用克拉默法则求解线性方程组。
2、通过练习巩固行列式的性质和运算。
第五节克拉默法则
方形非齐次线性方组与方形齐次线性方程组的概念
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 设线性方程组 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
若常数项b1 , b2 ,, bn不全为零, 则称此方程组为方形
非齐次线性方程组; 若常数项 b1 , b2 ,, bn 全为零, 此时称方程组为方形齐次线性方程组.
一、克拉默(Cramer)法则如果方形线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
于是
由代数余子式的性质可知, 上式中x j的系数等于D ,
Dx j D j j 1,2,, n.
D1 D2 D3 Dn x1 , x2 , x3 , , x n , D D D D
3
当 D 0 时, 方程组3 有唯一的一个解
Dj D1 Dn 另外，可以证明 ai 1 aij ain bi D D D Dj D1 Dn x1 , , x j , , x n D D D

第五节克拉默法则

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111设线性方程组,,,,21不全为零若常数项n b b b 则称此方程组为非齐次线性方程组;,,,,21全为零若常数项n b b b 此时称方程组为齐次线性方程组.非齐次线性方组与齐次线性方程组的概念()证明()得个方程的依次乘方程组列元素的代数余子式中第用,1,,,21n A A A j D njj j 在把个方程依次相加，得n )1( 11222121111111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++n n nn j nj n n n j j n n j j b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ()j A 1j A 12111x A a n k kj k ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∑=j n k kj kj x A a ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++∑=1 nn k kj kn x A a ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++∑=1,1∑==nk kj k A b ()j A 2j A 2()nj A nj AD1按第,行展开得例2 已知多项式函数解将代入函数.由题设得到关于的线性方程组:).(.6)2(,6)2()1()1(2,1)(332210x f f f f f x x x a x a x a a x f 试求处的值：在−=−−=−===+++=+−+−2,2,1,1−+−+=x 3210,,,a a a a结论1 如果线性方程组的系数行列式则一定有解,且解是唯一的 .()1()1,0≠D 结论2 如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.()1二、重要结论)1(22112222212111212111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a齐次线性方程组的相关定理三、小结1. 用克拉默法则解方程组的两个条件(1)方程个数等于未知量个数（方形的）.(2)系数行列式不等于零.2. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系.3. 克拉默法则的不足或缺点:一般来说, 其计算量较大.。

《线性代数》克拉默法则

《线性代数》克拉默法则克拉默法则是线性代数中的一种重要方法，它可以用于解决线性方程组的问题。

克拉默法则基于行列式的概念，通过计算各个未知数对应的行列式值来求解方程组。

本文将详细介绍克拉默法则的概念、原理和应用，以及该方法的优缺点。

克拉默法则是由法国数学家克拉默于18世纪创立的，它通过计算系数矩阵的各个子行列式对应的行列式值来求解线性方程组。

设线性方程组为：a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2......an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn其中a11, a12, ..., ann为系数矩阵，b1, b2, ..., bn为常数向量，x1, x2, ..., xn为未知数向量。

则克拉默法则的求解步骤如下：1.计算系数矩阵的行列式值D：D=，a11a12 (1)a21a22...a2........an1 an2 ... an2.计算常数向量和第i列系数矩阵替换的行列式值Di：将第i列系数替换为常数向量，得到新的矩阵Ai，然后计算行列式值Di=，a'11a'12...a'1na'21a'22...a'2........a'n1 a'n2 ... a'n3. 计算未知数xi的值：未知数xi的值等于Di除以D的商，即xi= Di / D。

4.重复步骤2和步骤3，求解所有的未知数。

克拉默法则的优点是简单易懂，可以直接通过计算行列式的值来求解未知数的值，不需要进行矩阵的运算。

同时，克拉默法则适用于各种大小的方程组，不论是2x2的方程组还是nxn的方程组都可以使用该方法求解。

此外，克拉默法则也可以用于求解非线性方程组，只需要将非线性方程线性化后，再使用克拉默法则求解即可。

然而，克拉默法则也存在一些缺点。

首先，克拉默法则在实际应用中计算量较大，特别是当方程组的规模较大时，求解时间会显著增加。

《线性代数》教学课件—第1章行列式第七节克拉默法则

克拉默法则如果线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1 ,
a21
x1
a22 x2 a2n xn
b2
,
(1)
an1x1 an2 x2 ann xn bn
的系数行列式不等于零,即
a11 a12
D
a21
a22
an1 an2
那么,方程组(1)有唯一解
第七节克拉默法则
主要内容
克拉默法则线性方程组有解的条件举例
在本章的第一节,我们在引进了二阶、三阶行列式以后，得到了二元、三元线性方程组的很好记忆的求解公式. 定义了 n 阶行列式以后, 对于含有 n 个未知数 n 个方程的线性方程组, 也有类似的求解公式——克拉默法则.
一、克拉默法则
例 15 设曲线
y = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 通过四点 (1, 3) , (2, 4) , (3, 3) , (4, -3)，求系数
a0 , a1 , a2 , a3 .
解把四个点的坐标代入曲线方程，得线性
方程组
a0 a1 a2 a3 3,
aa00
2a1 3a1
1
式D
an2 x2
0
,
则 (1)一定有解,
annxn bn .
且解是唯一的.
定理 1 的逆否命题为
定理 1′如果线性方程组 (1) 无解或有无
穷个不同的解,则它的系数行列式必为零.
1n n 1
a2n xn b2 ,
线性方程组(1) 右端的常数项
b1 , b2 , ···,
an不nx全n为零b时n .,线性方程组 (1)
2x (6 ) y 0,

线性代数第一章第5节

D an1
0
an1,2
( 1)
4.

a2 ,n1

an1,2 an1
a1n a2 ,n1
0
n ( n 1 ) 2
a1na2,n1 an1
5. a11 a1r
ar 1 arr c11 c1r c s1 c sr
0 0

0 0
b11 b1 s bs1 bss
b11 b1 s bs1 bss
8. c11 c1 s a11 a1 r
cr 1 crs b11 b1 s bs1 bss ar 1 arr
(1) rs
a11 a1 r ar 1 arr
③两种计算行列式的方法
一、n阶行列式
n阶行列式|aij|n是所有不同行不同列元素乘积的代数和，其定义可分为三个步骤，冠符取项 (以逆序数确求和 (不同行不列) 定符号) (乘积项的和）
|aij|n
j1 j2 jn

( 1) ( j1 j2 jn )
a1 j1 a2 j2 anjn
例设ai≠aj （i ≠j，i，j＝1,2,…,n)求解方程组
x1 a1 x2 a12 x3 ... a1n1 x4 1 x a x a 2 x ... a n1 x 1 2 4 1 2 2 22 3 n 1 x1 a3 x2 a3 x3 ... a3 x4 1 ......................................... x a x a 2 x ... a n1 x 1 n 4 1 n 2 n 3

1-4克拉默法则

则三元线性方程组的解为: 则三元线性方程组的解为
D1 x1 = , D
D2 x2 = , D
D3 x3 = . D
非齐次与齐次线性方程组的概念
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a x + a x + L+ a x = b 21 1 22 2 2n n 2 设线性方程组 LLLLLLLLLLLL an1 x1 + an 2 x2 + L + ann xn = bn
Dn D1 D2 D2 x1 = , x2 = , x3 = ,L , x n = . D D D D
Dn D1 D2 D2 x1 = , x2 = , x3 = ,L , x n = . D D D D
也是方程组的 (1) 解.
例1 用克莱姆则解方程组
2 x1 + x 2 − 5 x 3 + x 4 = 8, x − 3x − 6 x 4 = 9, 1 2 2 x 2 − x 3 + 2 x 4 = − 5, x1 + 4 x 2 − 7 x 3 + 6 x 4 = 0.
得
a11 b1 D2 = a21 b2 a31 b3
a13 a23 , a33 a12 a22 a32 b1 b2 . b3
a11 a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 , a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 , ⇒ D3 = a21 a x + a x + a x = b ; a31 31 1 32 2 33 3 3
则称此方程组为非若常数项 b1 , b2 ,L, bn不全为零 , 则称此方程组为非非齐次线性方程组; 非齐次线性方程组若常数项 b1 , b2 ,L, bn 全为零 , 此时称方程组为齐次线性方程组此时称方程组为齐次线性方程组. 齐次线性方程组

线性代数克拉默法则

线性代数克拉默法则线性代数是数学中的一个重要分支，它研究了向量空间和线性映射的性质。

克拉默法则是线性代数中的一个重要定理，它可以用来求解线性方程组的解。

本文将介绍克拉默法则的基本概念，以及如何应用克拉默法则来求解线性方程组。

首先，让我们来回顾一下线性方程组的基本概念。

一个线性方程组可以写成如下形式：a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1。

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2。

...am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm。

其中，aij和bi（i=1,2,...,m；j=1,2,...,n）是已知的常数，x1,x2,...,xn是未知数。

线性方程组的解就是一组满足所有方程的未知数的取值。

现在，让我们来介绍克拉默法则。

假设有一个n元线性方程组，它的系数矩阵为A，常数矩阵为B。

如果系数矩阵A的行列式不为0，那么这个线性方程组有唯一解，可以用克拉默法则来求解。

克拉默法则的表达式如下：xi = det(Ai) / det(A)。

其中，xi是线性方程组的解中第i个未知数的值，det(Ai)是将系数矩阵A的第i列替换为常数矩阵B后的矩阵A的行列式，det(A)是系数矩阵A的行列式。

接下来，让我们通过一个例子来说明如何应用克拉默法则来求解线性方程组。

考虑如下的线性方程组：2x + y = 5。

x 3y = -2。

首先，我们可以写出系数矩阵A和常数矩阵B：A = | 2 1 |。

| 1 -3 |。

B = | 5 |。

| -2|。

然后，我们计算系数矩阵A的行列式det(A)：det(A) = 2(-3) 11 = -6 1 = -7。

接下来，我们分别计算将系数矩阵A的第一列和第二列替换为常数矩阵B后的行列式det(A1)和det(A2)：det(A1) = | 5 1 | = 5(-3) 1(-2) = -15 + 2 = -13。

| -2 -3 |。

1.5克莱姆法则

k 1 n
由代数余子式的性质可知, 上式中 x j的系数等于 D ,
而其余 xi i j 的系数均为 0; 又等式右端为 D j .
于是
当 D 0 时,方程组 2 有唯一的一个解
Dx j D j j 1,2,, n .
2
Dn D1 D2 D2 x1 , x2 , x3 , , x n . D D D D
在把 n 个方程依次相加，得
数学科学学院徐鑫
2016年9月3日星期六
n n n ak 1 Akj x1 akj Akj x j akn Akj xn k 1 k 1 k 1 bk Akj ,
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c2 c1 c3 (1)c1
1 3 2 2 3 2 1 2 1 1 0 0
徐鑫
2016年9月3日星期六
3 2 2 3 3 ( 1)( 3) 1 2 1 1 2 1
( 3) 1 1 ( 1) 2 1 ( 3)(2 2 )

逆否定理为：

数学科学学院
徐
鑫
请你注意
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等价定理为：

n×n线性齐次方程组的系数行列式D=0既是方程组有非零解的必要条件，也是充分条件(第三章)。
数学科学学院徐鑫
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三、线性方程组解的情况 1、线性齐次方程组恒有解，且其解有两种情形： ① 只有零解（唯一解）； ② 有非零解（无穷多解）。 2、线性非齐次方程组解分为三种情形： ① 无解； ② 有唯一解； ③ 有无穷多解。
数学科学学院徐鑫
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线性代数1.5 克拉默法则&习题课

1.5 克拉默法则

《线性代数》1.5第五节 克莱姆法则

线性代数课件1-5克莱姆法则

1.5克拉默法则_线性代数_[共3页]

克拉默法则

线性代数课件1-7克拉默法则

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线性代数1.5-克拉默法则

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《线性代数》教学课件—第1章 行列式 第七节 克拉默法则

线性代数第一章第5节

1-4克拉默法则

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