初三数学提优专题4(动点产生的特殊四边形问题)

第四节 动点产生的特殊四边形问题

讲方法

一、平行四边形存在性

1.三定一动

如图1,已知△ABC,找点D,使以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为平行四边形操作:分别过点A 、B 、C 作对边BC 、AC 、AB 的平行线,交点即为所求D 点

图1 图2 图3

2.两定两动

已知线段AB,找点C 、D,使得以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为平行四边形

(1)如图2,AB 为边:平移型,利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形

(2)如图3,AB 为对角线:旋转型,利用对角线互相平分的四边形为平行四边形

3.计算点坐标

(1)通过中点坐标公式求点的坐标

(2)通过点的平移求点的坐标

(3)通过两点之间距离公式根据对边相等建立等式

二、菱形存在性

1.转化为等腰三角形存在性,然后对称补全

2.转化为菱形的判定建立等式

三、矩形存在性

1.转化为直角三角形存在性,然后对称补全

2.转化为矩形的判定建立等式

四、正方形存在性

1.转化为等腰直角三角形存在性,然后对称补全

2.转化为正方形的判定建立等式

学思路

铺垫

(山东泰安中考)如图,是将抛物线y=x 2平移后得到的抛物线,其对称轴为直线x=1,与x

轴的一个交点为A(-1,0),另一个交点为B,与y 轴的交点为C

(1)抛物线的函数表达式为

(2)点P 是抛物线上一点,点Q 是一次函数y=23x+2

3的图象上一点, 若四边形OAPQ 为平行四边形,这样的点P 、Q 是否存在?若存在,分别求出点P,Q 的坐标;若不存在,说明理由

提示：①平行四边形OAPQ 点的位置已经确定,并且O 、A 坐标已知,可根据PQ∥AO,PQ=AO 建立等式

压轴题

（湖南岳阳中考)如图,抛物线y=32 x 2+bx+c 经过点B(3,0),C(0,-2),直线l:y=-32x-32交y 轴于点E,且与抛物线交于A,D 两点,P 为抛物线上一动点(不与A,D 重合

(1)抛物线的解析式为

(2)设F 为直线l 上的点,以E,C,P,F 为顶点的四边形能否构成平行四边形?若能,求出点F 的坐标;若不能,请说明理由

提能力

1.(陕西中考)如图,在同一直角坐标系中,抛物线C1:y=ax2-2x-3与抛物线C2:y=x2+mx+n关于y轴对称,C2与x轴交于A、B两点,其中点A在点B的左侧

(1)抛物线C2的函数表达式为

(2)在抛物线C1上是否存在一点P,在抛物线C2上是否存在一点Q,使得以AB为边,且以A、

B、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出P、Q两点的坐标;若不存在,请说明理由.

2.(青海西宁中考)如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A,C分别在x轴,y轴的正半轴上,且OA=4,OC=3,若抛物线经过O,A两点,且顶点在BC边上,对称轴交BE于点F,点E的坐标为(0,1)

(1)抛物线的解析式为

(2)点M在对称轴右侧的抛物线上,点N在x轴上,请问是否存在以点A,F,M,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由

3.(四川宜宾中考)如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴分别交于A(-1,0),B(5,0)两点

(1)则抛物线的解析式为

(2)在第二象限内取一点C,作CD垂直x轴于点D,连接AC,且AD=5,CD=8,将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位,当点C落在抛物线上时,求m的值;

(3)在(2)的条件下,当点C第一次落在抛物线上记为点E,点P是抛物线对称轴上一点,试探究:在抛物线上是否存在点Q,使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由

4.(甘肃天水中考)如图,在平面直角坐标系中xOy中,抛物线y=ax2-2ax-3a(a<0)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),经过点A的直线1:y=kx+b与y轴负半轴交于C,与抛物线的另一个交点为D,且CD=4AC

(1)则A、B两点的坐标为,抛物线的对称轴为

(2)设P是抛物线对称轴上的一点,点Q在抛物线上,以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否为矩形?若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理由

5.(江宁营口中考)如图,抛物线y=ax2+bx-2的对称轴是直线x=1,与x轴交于A,B两点,与y 轴交于点C,点A的坐标为(-2,0),点P为抛物线上的一个动点,过点P作PD⊥x轴于点D,交直线BC于点E.

(1)求抛物线解析式为

(2)若点P在第一象限内,OD=4PE,若点M为直线BC上一点,点N为平面直角坐标系内一点,是否存在这样的点M和点N,使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是菱形?若存在,直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由