大物电场强度、高斯定理
大学物理 高斯定理
引言概述：在大学物理中，高斯定理是一项重要的物理原理，它描述了电场和磁场的性质。
高斯定理由德国物理学家卡尔·弗里德里希·高斯于18世纪中叶提出，是电磁学的基础之一。
本文将介绍高斯定理的概念、原理及其在电场和磁场中的应用。
正文内容：1. 高斯定理的概念1.1 定义高斯定理是描述电场和磁场分布的一种数学工具，它通过计算电场或磁场通过一个闭合曲面（高斯面）的总通量来研究场的分布。
1.2 数学表达高斯定理可以用数学表达式表示为：∮E·dA = q/ε0，其中∮E·dA表示场在闭合曲面上的总通量，q表示闭合曲面内的电荷量，ε0为真空介电常数。
2. 高斯定理的原理2.1 高斯面的选择高斯定理中的高斯面是根据具体问题选择的，一般情况下我们选择对称性较高的闭合曲面，以简化计算。
2.2 电场线的特性高斯定理的基础是电场线的性质，电场线从正电荷流向负电荷，且与介质边界垂直，通过一个封闭曲面的电场线数目与该封闭曲面内的电荷量有关。
2.3 通量与电场强度高斯定理中的总通量与电场强度呈正相关关系，通过计算总通量可以得到闭合曲面内的电场强度大小。
3. 高斯定理在电场中的应用3.1 点电荷的场分布高斯定理可以用来研究点电荷周围的电场分布，通过选择以点电荷为中心的球面作为高斯面，可以计算出球面内外的电场强度大小。
3.2 均匀带电球壳的场分布对于均匀带电球壳，可以通过选择以球壳为中心的闭合曲面来计算球壳内外的电场分布，根据高斯定理可以得到球壳内外的电场强度大小。
4. 高斯定理在磁场中的应用4.1 磁场的总通量类似于电场，磁场也可以使用高斯定理来描述，通过计算磁场通过闭合曲面的总通量可以了解磁场的分布情况。
4.2 磁场的磁感应强度高斯定理在磁场中的应用可以得到磁场的磁感应强度大小，通过选择合适的闭合曲面，可以计算出曲面内外的磁感应强度。
5. 高斯定理的实际应用5.1 高斯定理在电容器中的应用电容器是电子器件中常见的元件，根据高斯定理，可以计算电容器两极板之间的电场强度，进而了解电容器的性能。
大学物理高斯定理
球对称分布：包括 均匀带电的球面， 球体和多层同心球 壳等
轴对称分布：包 括无限长均匀带 电的直线，圆柱 面大，学物圆理高柱斯壳定理等；
无限大平面电荷： 包括无限大的均 匀带电平面，平 板等。
步骤：
1.进行对称性分析，即由电荷分布的对称性，分 析场强分布的对称性，判断能否用高斯定理来求 电场强度的分布（常见的对称性有球对称性、轴 对称性、面对称性等）； 2.根据场强分布的特点，作适当的高斯面，要求：
静电场的性质与计算 6-3 电场线 高斯定理
大学物理高斯定理
6-3 电场线 高斯定理
一、电场线
1、定义
在电场中画一组带箭头的曲线,
这些曲线与电场强度 E 之间具有
E
以下关系:
①电场线上任一点的切线方向给出了该点电场 强度的方向；
②某点处电场线密度与该点电场强度的大小相 等。
大学物理高斯定理
电场线密度:经过电场中任一点， 作一面积元dS，并使它与该点的 场强垂直，若通过dS面的电场线 条数为dN，则电场线密度
大学物理高斯定理
高斯定理的应用
例1. 求球面半径为R,带电为q的均匀带电球面的电场的
空间分布。
解： 电场分布也应有球对称性，方向沿径向。
作同心且半径为r的高斯面.
S E dS
E 4r2
q
0
q
E 40 r 2
+ +
+ +
+
R
+
r
+q + +
+
rR时，高斯面无电荷，
E＝0
+
+
+++ +
大学物理高斯定理公式
大学物理高斯定理公式大学物理中的高斯定理公式是一种关于电场和电流分布的基本定律。
高斯定理可以用于描述物体电场和电流分布，同时可以用于计算一般电场和电流分布情况下的电容量和电侵蚀率。
这里介绍几种常用的高斯定理公式。
一、单点电荷的高斯定理公式通常情况，单一的常规的静电场的电荷分布是具有点特征的，此时只需要考虑一个点电荷的作用，可以根据高斯定理，给出点电荷产生的电场的表达式：$$E(r)=\frac{q}{4\pi \epsilon_0 r^2}$$其中，$E$ 是点电荷$q$所产生的电场，$\epsilon_0$是空气介电常数，$r$是测量点相较于点电荷的距离。
二、多点电荷组合的高斯定理公式当考虑多点电荷时，就没有简单地表达式了，首先根据高斯定理，给出多点电荷产生的电场的概念的表达式：$$E(r, t)=\sum\limits_{i=1}^n \frac{q_i}{4\pi \epsilon_0 r_i^2}$$其中，$E(r,t)$是测量点相较于多点电荷源的电场强度，$q_i$表示第i个点电荷，$\epsilon_0$是空气介电常数，$r_i$是测量点和第i个点电荷的距离，n表示点电荷的数量。
有时，我们可以使用梯度运算来分析多点电荷组合作用下的电场，即：$$\nabla E(r, t)=\sum\limits_{i=1}^n \frac{q_i \cdot \nabla r_i}{4\pi\epsilon_0 r_i^3}$$三、静电场介电体上的高斯定理公式静电场介电体的电场分布可以根据高斯定理给出：$$E(r, t)=\sum\limits_{i=1}^n \frac{q_i \cdot \nabla r_i}{4\pi \epsilon(r)r_i^2}$$其中，$E(r,t)$是测量点相较于多点电荷源的介电体静电场强度，$q_i$表示第i个点电荷，$\epsilon(r)$是介电体在多点电荷源处的介电常数，$r_i$是测量点和第i个点电荷的距离，n表示点电荷的数量。
大学物理-电场强度通量,高斯定理
2
i
0
q
i
E 4πr 0
E 4 πr
2
q
E 0
0
E
q 4 π 0 r 2
例2 计算均匀带电球体的场强分布，q , R 解： 通量
q 4 πR 3 3
qi 2 Φe E dS E 4πr S 0
r<R r>R 电量
电量
4 3 q π r i 3
S S
n
E
曲面闭合时
Φe E dS E cos dS
S S
S
dS
注： E为dS处的电场强度
n E
例 三棱柱体放置在如图所示的匀强电 场中. 求通过此三棱柱体的电场强度通量. 解
Φe Φei
i 1
5
y
N
S1
P
S2
Φe1 Φe 2
2、高斯 (Gauss) 定理 （1） 证明: 略.书P166-168 （2 ）内容(书P168): 真空中 注:
1 Φe E dS
s
0
q
i 1
n
in i
①公式中S：高斯面(闭合曲面)
②穿过S面的电场强度通量e: 只由S面内的电荷决定
（如图中 q1、q2） ③ E : 面元 dS 处的场强 , 由所有电荷（面内、外电荷） 共同产生（如图中 q1、 q2 、 q3）
；
.
q 8 0
(3) 若将此电荷移到正方体的一 个顶点上，则通过整个 正方体表面的电场强度通量为
1 e E dS
s
0
q
大物高斯定理
大物高斯定理大物高斯定理是电磁学中的基本定理之一，它描述了电场与闭合曲面穿过的电荷之间的关系。
该定理由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯在19世纪提出，被广泛应用于电磁学和物理学的研究中。
大物高斯定理的表述可以简单概括为：闭合曲面上的电场通量等于该闭合曲面内的总电荷量除以真空介电常数。
换句话说，电场通过一个闭合曲面的总量与该闭合曲面内的电荷分布有直接的关系。
在电磁学中，电荷是电场的源头，电场则是电荷作用的结果。
电场的强度可以通过测量电场线的密度来表示，电场线越密集，电场强度越大。
根据大物高斯定理，电场线从正电荷出发，经过空间中的各个点，再回到负电荷。
闭合曲面上的电场线数目与该闭合曲面内的电荷量成正比。
通过大物高斯定理，我们可以推导出一些重要的结论。
首先，如果一个闭合曲面内没有电荷，那么通过该闭合曲面的电场总量为零。
这是因为在没有电荷的情况下，电场线既没有源头也没有终点，因此电场线数目相等，总量为零。
如果闭合曲面内存在电荷，那么通过该闭合曲面的电场总量将不为零。
根据大物高斯定理，电场总量与闭合曲面内的电荷量成正比，电场线越密集，电场强度越大。
大物高斯定理的应用非常广泛，可以用于解决各种电磁场问题。
例如，在分析电场分布时，我们可以选择一个适当的闭合曲面，通过计算该闭合曲面上的电场通量，就可以推导出该闭合曲面内的电荷分布情况。
这对于研究电场的性质和电荷的分布具有重要意义。
除了电场问题，大物高斯定理还可以应用于研究磁场问题。
虽然磁场与电场有所不同，但是通过选择适当的闭合曲面，同样可以利用大物高斯定理来推导出磁场的性质和磁荷的分布情况。
大物高斯定理是电磁学中的重要定理，它描述了电场与闭合曲面穿过的电荷之间的关系。
通过大物高斯定理，我们可以推导出电场和磁场的性质，解决各种电磁场问题。
这一定理在电磁学和物理学的研究中起着重要的作用，为我们深入理解电磁现象提供了基础。
大学物理高斯定理
大学物理高斯定理简介大学物理中，高斯定理（也称为电通量定理）是电学领域中的一个重要定理，它描述了电场通过一个封闭曲面的总电通量与该曲面内的电荷量之间的关系。
高斯定理的数学表达式是一个面积分，通过对电场和曲面的特性进行积分计算，我们可以计算得到相应的电通量。
定理表述高斯定理可以用数学公式表述如下：其中， - 表示对封闭曲面 S 的面积分； - 表示电场的向量；- 表示面元矢量； - 是真空中的介电常数（气体中也可近似使用该值）； - 表示电荷密度在封闭曲面内的体积分。
解读根据高斯定理，电通量与环绕其的电荷量成正比。
如果电场线密集，表示电通量会相应增大，而如果电场线稀疏，表示电通量相应减少。
因此，高斯定理为我们提供了一种计算电场分布和电荷分布之间关系的方法。
高斯定理的背后思想是通过找到一个适当的曲面，使得计算曲面上的电场更加容易，从而求得电场的总电通量。
这个曲面可以是球面、柱面、立方体等等，具体选择曲面要与问题的几何特征和对称性相匹配。
应用举例例子1：均匀带电球考虑一个均匀带电球体，电荷密度为，半径为。
我们想通过高斯定理计算球内外的电场。
在这种情况下，由于球具有球对称性，我们选择一个以球心为中心的球面作为高斯曲面。
根据球对称性，球的电场在球面上处处相等，并且与球面的法线垂直。
因此，和在点积后等于，其中是球面上的电场强度。
曲面的面积元等于球的表面积元。
因此，高斯定理可简化为：等式的右边是整个球的表面积，用！表示。
由于电场是球对称的，且垂直于球面，所以电场与面积元相乘的结果在整个球面上是相等的。
由于曲面上的电场都是相等的，整个球面的面积元乘以电场强度后等于电场强度乘以整个球面的面积，所以可以简化为：解得：其中，为球内的总电荷量。
例子2：无限长均匀带电线考虑一个无限长均匀带电线，线密度为。
我们想通过高斯定理计算线外的电场。
在这种情况下，由于线具有柱对称性，我们选择一个以线为轴的柱面作为高斯曲面。
我们将柱面的两个底面分别设为 A 和 B，其中 A 的面积为，B 的面积为。
大学物理Ⅱ 高斯定理
P
l
e
E dS S
E dS
侧 E dS 上底 E dS 下底 E dS
侧 EdS E 侧 dS E 2r l
根据高斯定理得 E 2r l 1 l 0
E 2 0 r
用高斯定理求场强小结：
1 . 对称性分析
电荷分布对称性→场强分布对称性
点电荷 球对称性 均匀带电球面
均匀带电球壳
球体
轴对称性 柱对称
无限带电直线
无限带电圆柱 无限圆柱面 无限同轴圆柱面
无限大平面 面对称性 无限大平板
若干无限大平面
2. 高斯面的选择
①高斯面必须通过所求的场强的点。
②高斯面上各点场强大小处处相等，方向处处与该 面元线平行；或者使一部分高斯面的法线与场强方 向垂直；或者使一部分场强为零。
+ q+ +
+
0
R
r
高斯定理的应用
例2 均匀带电球体的电场。球半径为R，带电为q。
解：电场分布也应有球对称性，方向沿径向。
作同心且半径为r的高斯面
1）r R时 ，
E ds E ds
E 4r2
s
s
r
q
0
4 r3
3
0
q
4 R3
4 r3330E qr4 0R3
R
高斯面
高斯定理的应用
Φe前 Φe后 Φe下
s
E
dS
0
y
P
N
en
o
zM
en
E
en
Q
Rx
Φe左
s左
E
dS
ES左
cosπ
ES左
Φe右 s右E dS ES右 cos ES左
大物下及公式大物下公式.doc
载流圆圈:磁矩：m =\S =IS nS 0 /亨利 亨利(H) (H)1. 电场强度：E = F /q （） （对点电荷：£ = q f ）M E （）r 22. 电势：U a = r E • dr （对点电荷u = 勺）：电势能：W a =qU a （A= -A W ） Ja4^£0r 3. 电容：C=Q/U ；电容器储能：W=CU 2/2；电场能量密度e = e 0E 2/24. 磁感应强度:大小，B=F max /qv （T ）；方向，小磁针指向（S-N ）。
5. 库仑定律:F = kQ^r （k=l/4n e °） r 26. 高斯定理：争-•低=土 （静电场是有源场）一无穷大平板：E=O /2E （）7. 环路定理：p.6// =0（静电场无旋，因此是保守场）8. 毕奥一沙伐尔定律：d 百="卧匕4" 2直长载流导线：B = 业"（cos 们- cos 们） 4" 12无限长载流导线：百=虹2/rr，圆弧：R ="。
'旦2R2R 2〃电磁学1. 定义:E =F /q （） 单位：N/C =V/mB=F max /qv ；方向，小磁针指向（S-N ）；单位：特斯拉（T ） =10,高斯（G ）F=q(E + V X %1 电势：u = E drF电势差：U =「E •打 电动势：£ =「R •打（K = "孙 ）%1 电通量：虬=jj E • 磁通量：S B = JJ 力磁通链：中B =N6B 单位：韦伯（Wb ）%1 电偶极矩：p=ql ®~厂* %1 电容：C=q/U 单位：法拉（F ） *自感：L=W/I单位：*互感：M=^21/I I=^12/I 2 单位：感生电动势：E E, • dl （ E i 为感生电场）*⑤欧姆定律：U=1R （ E = p j ）其中P 为电导率3. *定理（麦克斯韦方程组） 电场的高斯定理：=—… £。
大学物理之高斯定理
的代数和除以 0，而与闭合曲面（高斯面）外的
电荷无关。
•
其数学表达式为 e
s
E dS
1
0
qi
• 注意： E是高斯面上任一点的电场强度，该E与所 有产生电场的场源有关。
2、高斯定理的验证---以点电荷为例
• 已知 E q ------q为场源点电荷的带电量
S
S/
E
e E S
e ES cos
• 非匀强电场中（曲面）的电通量求法
E
de E dS
S
e
E dS
S
• 电场中的任意闭合曲面S、非均匀电场强度E的通量：
e E cosdS
SE dS
2、有关电通量的注意点
场源电荷为点电荷系或电荷连续分布的带电体qjs?dsie?e??niiee1??????jjiieee???s内s外???ssdee??sdeesjjii????????????????????sjjsiisesedd??????????????ijsjsisese????dd00??iiq0?内q结论?在真空静电场中穿过任一闭合曲面的电场强度通量等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以而与闭合曲面高斯面外的电荷无关
• 2、（静电场中）电场线不是闭合曲线，在静电场中，电场线起 始于正电荷（或无穷远处），终止于负电荷（或无穷远处），不 形成闭合曲线。
• 3、电场线的每一点的切线方向都跟该点的场强方向一致。 • 4、电场线的疏密与电场强弱的关系：电场线的疏密程度与场强
大小有关，电场线密处电场强，电场线疏处电场弱。 • 5、电场线在空间不相交、不相切、不闭合。
大学物理：2第二讲 电场强度计算续、高斯定理
)3/2
E dE x R d (r2 x2 ) 20 0 2(r2 x2 )3/2
E (1 x )iˆ
2 0
R2 x2
讨论：
l
r
Ep
o xpx
1. R E 2 0
无限大均匀带电平板电场
2. x 0 E 2 0
等效于无限大平板电场
4
●推论—两带等量异号均匀分布电荷的无限大平行
rˆ
(0 r R)
E
E
(
r)
q
4 0 r 2
qr
4 0 R 3
rˆ rˆ
Rr 0rR
o
R
r
21
例3：求电荷面密度为+ 的无限大带电平板的电场。
解：由对称性分析可知，该电场以带电平板为对称 面，在其两侧作面对称分布，且电场垂直于平板。
a
d
o c
E x
E
b
22
作垂直于带电板的高斯圆柱面，依高斯定理有
E
q
4 0 r 2
rˆ
(R r )
2.球内电场：作半径为r的高斯球面S
S面外的电荷对S面的电通量贡献为零。
对S面运用高斯定理得
r oq
R
r
o
S
q
E
dS
S
qr
0
1
0
Vr
1
0
4 r3
3
(0 r R)
20
E dS 1 4 r3
S
0 3
E
4
r2
1
0
(4
/
q
3)
R3
4
3
r3
E
qr
4 0 R 3
大学物理静电场的高斯定理
高斯定理的数学表达形式简洁明了，是解决静电场问题的重要
03
工具。
高斯定理在物理中的重要性
高斯定理在物理学中具有广泛 的应用，不仅限于静电场。
它可用于分析恒定磁场、时 变电磁场以及相对论性电磁
场中的问题。
高斯定理是电磁学理论体系中 的重要基石，对于深入理解电 磁场的本质和规律具有不可替
代的作用。
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高斯定理的重要性
总结词
高斯定理是静电场理论中的基本定理之一，它揭示了电场与电荷之间的内在联 系。
详细描述
高斯定理的重要性在于它提供了一种计算电场分布的方法，特别是对于电荷分 布未知的情况。同时，它也揭示了电场线总是从正电荷出发，终止于负电荷， 或者穿过不带电的区域。
高斯定理的历史背景
总结词
高斯定理的发现和证明经历了漫长而曲折的历史过程。
VS
按空间位置分类
静电场可分为点电荷产生的电场、线电荷 产生的电场、面电荷产生的电场等类型。 这些不同类型的电场具有不同的分布规律 和性质。
05
高斯定理的推导过程
利用高斯定理推导电场强度与电通量的关系
总结词
通过高斯定理，我们可以推导出电场强度与 电通量之间的关系，即电场线穿过任意闭合 曲面的电通量等于该闭合曲面所包围的电荷 量与真空电容率的乘积。
静电场的电场强度与电势具有相对独立性
电场强度与电势之间没有直接关系，改变电场中某点的电势，不会影响该点的电场强度。
静电场的分类
按产生方式分类
静电场可分为感应起电和接触起电两种 方式。感应起电是由于带电体在接近导 体时，导体内部电荷重新分布而产生电 场；接触起电是两个不同物体相互接触 时，由于电子的转移而产生电场。
大学物理常用公式(电场磁场 热力学)
第四章 电 场一、常见带电体的场强、电势分布 1）点电荷：2014q E r πε=04q U rπε=2）均匀带电球面（球面半径R ）的电场：200()()4r R E qr R r πε≤⎧⎪=⎨>⎪⎩00()4()4qr R r U q r R R πεπε⎧>⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩3）无限长均匀带电直线（电荷线密度为λ）:02E rλπε=，方向：垂直于带电直线。
4）无限长均匀带电圆柱面（电荷线密度为λ）: 00()()2r R E r R rλπε≤⎧⎪=⎨>⎪⎩5）无限大均匀带电平面（电荷面密度为σ）的电场:0/2E σε=，方向：垂直于平面。
二、静电场定理 1、高斯定理：0e Sq E dS φε=⋅=∑⎰静电场是有源场。
q ∑指高斯面内所包含电量的代数和；E指高斯面上各处的电场强度，由高斯面内外的全部电荷产生；SE dS ⋅⎰指通过高斯面的电通量，由高斯面内的电荷决定。
2、环路定理：0lE dl⋅=⎰ 静电场是保守场、电场力是保守力，可引入电势能三、求场强两种方法1、利用场强势叠加原理求场强 分离电荷系统：1ni i E E ==∑；连续电荷系统：E dE =⎰2、利用高斯定理求场强 四、求电势的两种方法1、利用电势叠加原理求电势 分离电荷系统：1nii U U==∑；连续电荷系统： U dU =⎰2、利用电势的定义求电势 rU E dl =⋅⎰电势零点五、应用点电荷受力：F qE = 电势差： bab a b aU U U E dr =-=⋅⎰a由a 到b六、导体周围的电场1、静电平衡的充要条件： 1）、导体内的合场强为0，导体是一个等势体。
2）、导体表面的场强处处垂直于导体表面。
E ⊥表表面。
导体表面是等势面。
2、静电平衡时导体上电荷分布： 1）实心导体： 净电荷都分布在导体外表面上。
2）导体腔内无电荷： 电荷都分布在导体外表面，空腔内表面无电荷。
3）导体腔内有电荷+q ，导体电量为Q ：静电平衡时，腔内表面有感应电荷-q ，外表面有电荷Q ＋q 。
大学物理电场强度高斯定理概要
E
4 0
Q
a
L
a
Q
4 0
a2
近似为点电荷
22
求解步骤
i 1
n i 1
qi
40
ri 3
r ri
r
r
E Ei
场强叠加原理
i
17
电偶极子
由等值异号的点电荷 +q 及- q 组成
P
条件 l << r
r
电偶极子的轴 -q 到 +q 的径矢 l
电偶极矩(电矩)
p
ql
-q － ＋ +q
l
分＋
＋
子 偶
104 ＋
极 子
－
H2O
正电中心
18
1.2.4. 连续分布带电体产生的场强
E
方向 正电荷在该点处受力的方向
单位 N C、V m
14
1.2.2. 点电荷的场强
根据库仑定律：
r F
1
Q q0 rr
4π0 r3
由定义， 可得P 点处
r r F 1 Qr
E q0 4π0 r3 r
Q>0
r r
q0 0
r E
Q<0rFr r
P
r q0 E
0
P
r F
大方小向：：QE为正4π，1与0 rQrr2 同向； Q 为负，与 rr 反向
y
dq
解: (1) 如图所示, 取电荷 r
dE
x dx
x
元dq, 对整个电场的贡献 P
为
a
L
L
dq=dx
d
E
1
大学物理-高斯定理
电场强度的计算
F
1
4 0
q1q2 r2
r0
电场强度
E
F
q0
(1) 点电荷的场强
E
1 4πε0
q r2
r0
(2) 场强叠加原理
E E1 E2 En
(3) 电荷连续分布的 带电体的电场
电 荷
E dE
dq
r
(q)
(q) 4 0r 3
分 布
dq ρdV (体 分 布) dq σdS (面 分 布) dq λdl (线 分 布)
q2 A P*
s
q2 B
q1
在点电荷 和q 的q静电场中，做如下的三个闭合面
求通过各闭合S面1 ,的S电2 ,通S量3。,
Φe1
E dS
q
S1
0
Φe2 0
Φe3
q
0
q
q
S1
S2
S3
例：一点电荷位于边长为 a 的立方体的顶角上， 求：通过该立方体表面总的电通量。
解： 顶角所在的三个面上的通量为零。 其余三个面上直接计算困难
(3) 天文学和大地测量学中：如小行星轨道的计算，地球大 小和形状的理论研究等。统计 理论和误差理论，发明了最小二乘法，引入高斯误差曲线。
(5) 高斯还创立了电磁量的绝对单位制。
一、电通量 1、电场线 ( Electric Field Line ) （电场的几何描述）
E
n
dS
E
S E cos dS
Φe
E dS
S
为通过 S 面的电通量。
dS 有两个法线方向，dφ 可正可负。
S为封闭曲面
规定：闭合面上各面元的外法
大学物理之54电场强度通量高斯定理
(5) 静电场：有源场.
Φe SE dSε10
n
qin i
i1
四 高斯定理应用举例
用高斯定理求电场强度的一般步骤为 对称性分析； 根据对称性选择合适的高斯面； 应用高斯定理计算.
Φe SE dSε10
n
qin i
i1
例2 设有一半径为R , 均匀带电Q 的球面. 求球面内外任意点的电场强度.
-q
2 高斯定理
高斯面
在真空中静电场，穿过任一闭合曲面 的电场强度通量，等于该曲面所包围的所
有电荷的代数和除以 ε 0 .
Φe SE dSε10
n
qin i
i1
3 高斯定理的讨论
(1) 高斯面：闭合曲面. (2) 电场强度：所有电荷的总电场强度.
(3) 电通量：穿出为正，穿进为负.
(4) 仅面内电荷对电通量有贡献.
二 电场强度通量
1 定义 通过电场中某个面的电场线数
2 表述
匀强电场 ， E垂直平面时.
SS
Een
E
Φe ES
二 电场强度通量
1 定义 通过电场中某个面的电场线数
2 表述
匀强电场 ，
E与平面夹角 θ.
Φe EScoθs ES
S
Sθ
en
E
非匀强电场，曲面S .
dS dSe n
d Φ e E cθ o d S s E d S
库仑定律 电场强度叠加原理
高斯 定理
高斯 (C.F.Gauss 17771855）
高 德国数学家、天文学
家和物理学家，有“数 学王子”美称，他与韦
斯 伯制成了第一台有线电
报机和建立了地磁观测 台，高斯还创立了电磁 量的绝对单位制.
大物下公式
1．电场强度：E =F /q 0 （对点电荷：rr q E ˆ420πε=） 2．电势：⎰∞⋅=aar d E U（对点电荷rq U04πε=）；电势能：W a =qU a (A= –ΔW)3．电容：C=Q/U ；电容器储能：W=CU 2/2；电场能量密度ωe =ε0E 2/24．磁感应强度：大小，B=F max /qv(T)；方向，小磁针指向（S →N ）。
5．库仑定律：r rQq k F ˆ2=（k=1/4πε0） 6．高斯定理：⎰⎰=⋅0εq S d E （静电场是有源场）→无穷大平板：E=σ/2ε07．环路定理：⎰=⋅0l d E（静电场无旋，因此是保守场）8．毕奥—沙伐尔定律：24ˆr r l Id B d πμ⨯=直长载流导线：)cos (cos 4210θθπμ-=r I B无限长载流导线：rI B πμ20=载流圆圈：R I B 20μ= ，圆弧：πθμ220R I B =电磁学1．定义：①E 和B ：F =q(E +V ×B)洛仑兹公式②电势：⎰∞⋅=rr d E U电势差：⎰-+⋅=l d E U电动势：⎰+-⋅=l d K ε（qF K 非静电 =）③电通量：⎰⎰⋅=S d E eφ磁通量：⎰⎰⋅=S d B Bφ磁通链：ΦB =N φB 单位：韦伯（Wb ） 磁矩：m=I S =IS nˆ ④电偶极矩：p =q l⑤电容：C=q/U 单位：法拉（F ）*自感：L=Ψ/I 单位：亨利（H ） *互感：M=Ψ21/I 1=Ψ12/I 2 单位：亨利（H ）E =F/q 0 单位：N/C =V/ｍB=F max /qv ；方向，小磁针指向（S →N ）；单位：特斯拉（T ）=104高斯（G ）Θ⊕-q l⑥电流：I =dtdq ； *位移电流：I D =εdtd e φ 单位：安培（A ）⑦*能流密度： B E S ⨯=μ12．实验定律①库仑定律：0204r r Qq F πε=②毕奥—沙伐尔定律：204ˆr r l Id B d πμ⨯=③安培定律：d F =I l d ×B ④电磁感应定律：ε感= –dtd Bφ 动生电动势：⎰+-⋅⨯=l d B V)(ε感生电动势：⎰-+⋅=l d E iε（E i 为感生电场）*⑤欧姆定律：U=IR （E =ρj）其中ρ为电导率3．*定理（麦克斯韦方程组）电场的高斯定理：⎰⎰=⋅0εq S d E ⎰⎰=⋅0εq S d E 静（E静是有源场）⎰⎰=⋅0S d E感 （E 感是无源场）磁场的高斯定理：⎰⎰=⋅0S d B⎰⎰=⋅0S d B（B 稳是无源场）⎰⎰=⋅0S d B（B 感是无源场）电场的环路定理：⎰-=⋅dtd l d E B φ⎰=⋅0l d E静（静电场无旋）⎰-=⋅dtd l d E Bφ 感（感生电场有旋；变化的磁场产生感生电场） 安培环路定理：d I I l d B 00μμ+=⋅⎰⎰=⋅I l d B 0μ稳（稳恒磁场有旋） dtd l d Be φεμ00⎰=⋅ 感（变化的电场产生感生磁场） 4．常用公式①无限长载流导线：r I B πμ20= 螺线管：B=ｎμ0I②带电粒子在匀强磁场中：半径qBm V R =周期qBm T π2=磁矩在匀强磁场中：受力F=0；受力矩B m M ⨯= ③电容器储能：W c =1CU 2 *电场能量密度：ωe =1ε0E 2 电磁场能量密度：ω=1ε0E 2+021μB 2*电感储能：W L =21LI 2 *磁场能量密度：ωB =01B 2 电磁场能流密度：S=ωV④ *电磁波：C=001εμ=3.0×108m/s 在介质中V=C/ｎ，频率ｆ=ν=021εμπ现代物理（一）量子力学1．普朗克提出能量量子化：ε=ｈν（最小一份能量值） 2．爱因斯坦提出光子假说：光束是光子流。
高斯定理公式物理电场强度
高斯定理公式物理电场强度物理学家克劳德高斯利用了他著名的“高斯定理”来研究和描述电场强度。
这个定理被广泛应用于物理和电子学领域，其中包括计算电场强度、电位差以及电流密度。
本文将讨论高斯定理在电场中的应用，以及它如何用来计算电场强度。
高斯定理的基本定义是：在每一点上，表示电场强度的电场矢量的积分等于这一点的电荷量。
这句简洁而强有力的定义可以帮助我们构造出一个公式来计算任意一点处的电场强度：E = k q/r^2其中，E表示电场的强度，k为库伦常数（是一个特定的常数），q表示电荷量，r表示电场至电荷量的距离。
这个公式很容易理解：电场强度与源电荷量和距离之间存在着反比的关系，也就是说，当距离变大时，电场强度变小，反之亦然。
此外，这个公式也可以用于评估不同点之间的电场强度的差异。
然而，单个电荷量无法产生电场。
必须有多重电荷产生的复杂电场才能描述实际电场，用来表示实际电场的情况下，高斯定理可以用来计算某一点处的电场强度：E = kq/r^2其中，Σq表示电荷量矢量的总和，而r则代表从电荷量到给定点的距离。
另一方面，在磁场中应用高斯定理也是值得深入研究的话题。
磁场中，它可以用来计算磁场强度：B =0ΣI/r^2其中，B表示磁场强度；μ0是真空磁导率；ΣI表示电流的总和；而r则代表从构成电流的电荷量到给定点的距离。
从以上推论可以看出，高斯定理是一个非常强大且有效的公式，它可以帮助我们计算电场和磁场的强度。
它能够帮助我们计算任意一点处的电场强度，从而为研究电场的力学性质以及磁场的影响提供有用的结论和数据。
此外，这个定理也可以帮助我们获得不同点之间的电场强度的差异，从而更好地理解电场的特性。
综上所述，高斯定理是一个重要的定理，它可以用来计算和描述电场和磁场的强度。
它可以用来计算任意一点处的电场强度，并且可以帮助我们获得不同点之间的电场强度的差异。
高斯定理在电磁学中应用非常广泛，它对我们理解电场的本质特性以及磁场的影响提供了很大的帮助。
大物--高斯定理
s
两底
高斯面内电荷 q S
由高斯定理得
E
S
E
2ES
S
/
0
E
2 0
σ
16
34推广
17
对 Q 分布具有某种对称性的情况下
利用高斯定理解 E较为方便
常见的电量分布的对称性：
高斯面的选取：
球对称 轴对称
均匀带电的 无限长
球壳 球体
带电线 柱体
球面
柱面
(点电荷)
面对称 1）选规则闭合曲面
无限大 2）面上： 平面 一部分面 上：E为常量，
平板 E 与 dS 有固定 夹角 剩下的面上：E 0
或 E dS E dS 0
18
例4. 已知: 半径为 a 的带电球,电荷体密度=Kr2,
其中 r 是球心到体内任一点的距离
求:球内外场强的大小? 解：电荷球对称分布，故电场
球对称分布，方向沿径向
作高 斯球 面如图示
r<a: E dS E dS E4r 2
e E dS E dS E
S
S
S
2). 点电荷产生的电场,
高斯面为任意闭合曲面
dS
S
q
4 0 r2
E
4
r
S
2
q
dS
0
q
+
r
i
0 dS E
q
e S E dS 0
q +r
若q在S面外： e 0
S’ 由于电场线的连续性，穿过闭
合曲面S’和穿过球面S的电场线
数目是一样的，因此通过闭曲
900， e 0,
E
dS
6
4）通过闭合曲面的电通量
大物高斯定理
(1) 均匀电场中通过任一平面的电通量
垂直平面
与平面有夹角
(2) 非均匀电场中通过任意曲面的电通量 S为封闭曲面 穿出 穿入
三、真空中静电场的高斯定理 Gauss theorem
高斯定理讨论的是:
封闭曲面的电通量与该曲面内包围的电荷之间的关系
1、点电荷的情况
1) 通过以点电荷为球心, 半径为R的球面的电通量
高斯面的选取要使通过该面的电通量易于计算
本次作业：
作业 9-13、9-18、9-19
下次上课内容：
§9-4 ～§9-6
几种典型电场的电场线分布图形
负 点 电 荷
正 点 电 荷
点电荷的电场线
+
01
一对等量正点电荷的电场线
+
+
一对等量异号点电荷的电场线
+
一对容器的电场线
+ + + + + + + + + + + +
3、电场线的性质：
(1) 电场线起于正电荷(或无穷远)，止于负电荷(或无穷远)，不会构成闭合曲线。
电荷的分布具有某种对称性的情况下利用高斯定理求解 较为方便
1. 求电量为q、半径为R的均匀带电球体的场强分布。
(1) 分析对称性：E沿径向
(2) 取高斯面：同心球面
(3) 计算电通量、场强
讨论：均匀带电球面?
E内= 0
(1) 分析对称性：柱对称 (2) 取高斯面：柱面。 (3) 计算通量、场强 2. 求半径为R的无限长均匀带电圆柱体的电场分布 (单位长度带电量为 )。
连续分布电荷的场强
注意：在具体计算时，要先分解，再积分。
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由定义求.
由点电荷 E 公式和 E 叠加原理求.
由高斯定理求.
mp 1.671027 kg G 6.67 1011N m2 kg2
Fe
1
4π 0
e2 r2
8.1106 N
Fg
G
memp r2
3.7 10-47 N
Fe 2.27 10 39 Fg
（微观领域中,万有引力比库仑力小得多,可忽略不计.）
二.电场力叠加原理
()
q1
F12
r12
F21
q2 ()
r12
F21
()
q2
引入真空电容率： 0
1
4k
8 851012 C2 N1m2
F
1
40
q1q2r r3
q1q2
4 0r 2
r0
目的：使后面的大量电磁学公式不出现 4 因子，
适用范围 : 目前认为在 1017 m 107 m范围均成立。
——伏尔泰
18 世纪：力的超距作用思想风行欧洲大陆。
电荷
电荷
英国法拉第：探索电磁力传递机制,由电极化现 象和磁化现象提出“场”的概念。
19 世纪：英国麦克斯韦建立电磁场方程，定量描述 场的性质和场运动规律。
▲ 电荷
电场
电荷
20世纪：
爱因斯坦： 相对论树立了“场”的实在地位
质能关系揭示出实物与场不能截然划分。场本身参 与能量和动量交换，是物质存在的基本形式之一。
数量级：
四种基本相互作用相对强度
强力 电磁力
弱力
引力
1
10 2
10 13
1038
例 在氢原子内,电子和质子的间距为 5.31011m .
求它们之间电相互作用和万有引力,并比较它们的大小.
F
q1q2
4 0r 2
解 me 9.110 31kg
F
G
m1m2 r2
e 1.61019 C
要点：
1. 两条基本实验定律：库仑定律，静电力叠加原理。
2. ▲ 两个基本物理量：电场强度 E，电势 U。 3. ▲ 两条基本定理：静电场高斯定理，环路定理。
揭示静电场基本性质(有源场、保守场)。 4. 静电场与物质（导体和电介质）的相互作用。
§9.1 电荷和库仑定律
一、电荷
原子是电中性的，原子核中的中子不带电、质子带正 电、核外电子带负电，并且所带电量的绝对值相等。自然 界中有两种电荷：正电荷、负电荷
*关于电场强度的讨论： ①电场强度是反映电场性质的物理量，与引入到电场中
的电荷q0 无关。 ②电场强度是矢量，方向为正电荷在该处所受电场力的
方向。 ③电场强度的单位：N/c 或 V/m ④电场强度是空间位置的函数：
E E(x,y,z )
二. 计算场强 E分布的基本方法
计算 E 方法:
5. 电相互作用是电磁学的基础，也是重点和难点。
第9章 静电场
（研究静电场的基本性质及与导体、电介质的相互作用）
§9.1 电荷和库仑定律 §9.2 电场和电场强度 §9.3 静电场的高斯定理及其应用 §9.4 静电场的环路定理 电势 §9.5 电场强度与电势的关系 §9.6 静电场和物质的相互作用 §9.7 导体的电容 §9.8 静电场的能量
电荷量子化是个实验规律
二. 库仑定律
中学：真空中，两个静止的点电荷间相互作用力
F
k
q1q2 r2
静电力恒量 k 9109 N m2 C2
F写Fr201成是矢k单q量F1r1q位式232r矢：k量qkr1qq2r12q2(2rr1r20)
F12 q1()
英国牛顿:(电场)力可以通过一无所有的空间以无穷大速率 传递，关键是归纳力的数学形式而不必探求其传递机制.
法国笛卡尔：力靠充满空间的“以太”的涡旋运动和 弹性形变传递.
“你在巴黎看见由充满空间稀薄物质的涡旋构成的宇宙， 而这些东西在伦敦却荡然无存，我们什么也看不见，在 你周围只有引起海潮的月亮的引力”
光子理论认为电磁场由光子组成，带电粒子通过 交换光子相互作用。（传球模型）
A
B
2. 静电场： 相对于观察者静止的带电体周围的电场
(1) 场中任何带电体都受电场力作用 —— 动量传递
(2) 带电体在电场中移动时，场对带电体做功 ——能量传递
用 E 、 U 来分别描述静电场的上述两项性质
§9.2 电场强度
由静电场力叠加原理
F F1 F2 Fn
q0 q0 q0 q0
E Ei E1 E2 En
i
静电场强叠加原理：点电荷系电场中某点总场强等
于各点电荷单独存在时在该点产生的场强矢量和。
E:
空间矢量函数
研究静电场也就是研究各种场源电荷的 Er 分布
密立根（likan）用液滴法测定了电子电荷，电子 是自然界中存在的最小负电荷，1986年的推荐值为：
e =1.602 177 33×10-19 C
实验证明微小粒子带电量的变化是不连续的，它只能 是元电荷 e 的整数倍 , 即粒子的电荷是量子化的：
Q = n e ; （n = 1, 2 , 3,…）
场源电荷：产生电场的点电荷、点电荷系或带电体。 检验电荷：电量足够小的点电荷
略去对场源电荷 分布的影响
与场点对应
一.电场强度
大小：等于单位检验电荷在该点
定义
E
F
Why?
q0
所受电场力
方向：与 q0 受力方向相同
单位：N/C ; V/m。
q0是检验电荷； F是q0在某一场点所受的电场 力
实验证明：两点电荷间相互作用力不因其它电荷 的存在而改变。
▲ 点电荷系对某点电荷的作用等于系内各点电荷
单独存在时对该电荷作用的矢量和。
q1
ri
qi
Fqi 0
q2 qn
电场力叠加原理
F F1 F2 Fn
i
q0qi
40ri3
ri
三. 静电场
1. “场”概念的建立和发展 17世纪：
同学们好！
第四篇 电磁学
本篇特点： 1的. 场研，究用对空象间不函再数是（分如离E的 ,实U物,，B而等是）在描空述间其连性续质分。布 2. 场不具有不可入性，所以叠加原理地位重要。 3. 更多地运用高等数学手段，如用求空间矢量的通量 和环流的方法来描述场的规律。
4. 在四种基本相互作用中，电磁相互作用理论最成熟, 所以电磁相互作用和电磁场是全篇重点。