精细版《高数》导数的应用.ppt

解：1）f (x) x2 2x 10是定义在（ ， ）上 的初等函数，故 f (x)在区间[0，2]上连续；
2）f (x)在（0，2）内可导，且 f (x) 2x 2
3) f (0) f (2) 10 故 f (x)满足罗尔定理的三个条件 令 f (x) 2x 2 0 得 x 1 显然，在（0，2）内，就有 f (1) 0
ba
x
在AB上至少有一点，
使得曲线在该点处的切线
精选
平行于弦AB。
柯西（Cauchy)中值定理
若函数 f (x)与F (x)满足下列条件：
1）在闭区间上[a，b]连续； 2）在开区间(a，b)内可导；
3）F ( x)在(a，b)内的每一点均不为零，则在(a，b)
内至少有一点，使得
f (b) f (a) f ( ) . F (b) F (a) F( )
解：xn ln x ln x (x 0时， ）
1
xn
1
lim lim lim lim x0
xn ln x
x0
ln x xn
精选
x0
x nxn1
x0
xn ( )0
n
例题2 求 lim(sec x tan x) π x 2
( )型
解：sec x tan x 1 sin x (x π时，0）
f (x) A(或）
xx0 g(x)
精选
x x0
g ( x)
例题1
lim x0
sin sin
ax bx
(a、b是常数，且b
0)
解：“0”型，由洛必达法则， 有 0
lim x0
s s
in in
ax bx
lim x0
a cos ax b cosbx
a b
lim 例题2
x0
x sin x x3
“0” 0
精选
拉格朗日（Lagrange)中值定理
如果函数 f (x)满足下列条件：1）在闭区间[a，b]上连续；
2) 在开区间(a，b)内可导，
y
则在开区间(a，b)内至少存在一点，使得
B
f (b) f (a) f ( )(b a)
定理的几何意义。
A
公式改写
a 1
2 b
f ( ) f (b) f (a)
定理的几何意义。
在曲线AB弧上至少存在一点，在该点处切线平行
于两端点的连线。
注：取F (x) x，那么F (b) F (a) b a，F(x) 1，
上式就可以写成
f
(b)
f
精选
(a)
f
( )(b a)(a
b)
洛必达(LHospital)法则
对“0”、“”型的未定式的极限可能存在，也可能不存在。
0
下面介绍洛必达法则就是求这类极限简便有效的方法。
“0”型未定式的极限 0
若 1）lim f (x) 0，limg(x) 0； 2）f (x)和g(x)
x x0
x x0
在 x0 的某邻域内（点x0可除外）可导，且g(x) 0；
lim 3） f (x) A(或），则 xx0 g(x)
lim lim f (x)
可导，且 g(x) 0；
lim 3） f (x) A(或），则 xx0 g(x)
lim lim f (x)
f (x) A(或）
xx0 g (x) x精x选0 g(x)
lim 例题1 求
ln x (n 0)
xn
x
解：这是x 时 型，由洛必达法则，有
1
lim lim lim x
ln x xn
lim x1
6
6x x
2
3 2
lim 例题4
ln(1 x)
x0
x2
1
lim lim lim 解：
x0
ln(1 x2
x)
1 x
1
2x 精x选0 x0 2x(1 x)
“”型未定式的极限
若
1）lim f (x) ，limg(x) ；
x x0
x x0
2) f (x) 和 g(x) 在 x0 的某邻域内（点x0 可除外）
第三章 导数的应用
教学目的要求 1、了解罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西
中值定理。
2、理解函数极值的概念。 3、会用洛必达法则求极限；判断函数的单调 性、凹凸性；求函数的极值、最值。
学习重点和难点
重点 未定式的极限，函数的单调性、凹凸 性、极值，导数在实际中的应用。
难点 导数在实际中精选的应用。
中值定理
x ln x
ln x ( )
x
x0
1 x0
x0 1
x
x2
lim(x) 0 x0
lim x ln x
lim x e x 精选
x0
e0 1
x0
lim 例题5 求
x
x nxn1
x
1 nxn
0
lim 例题2
求
ex
x2
x
(x )
lim lim lim 解：
ex
ex
ex
x 2x 2 2
x
x精选
x
其他型未定式的极限
其他尚有“0 ”，“ ”，“1”，“00”，
“0”等型的未定式，可化 为“0”型和“ ”型来解决。
0
例题1 求 lim xn ln x(n 0) (0)型 x0
lim lim 解： x0
x
sin x3
x
x0
1 cos x 0
3x2
() 0
sin x 1
sin x
ห้องสมุดไป่ตู้
lim lim
(
1)
x0 6x 6 x 精选 x0
lim 例题3
x3 3x 2 x1 x3 x2 x 1
lim lim 解： x1
x3 3x 2 x3 x2 x 1
x1
3x2 3 3x2 2x 1
c os x
20
lim(sec π
x
tan
x)
lim π
(1
sin c os x
x
)
x
x
2
2
lim π
(
c s
os x in x
)
x
2
0
精选
1
例题3 求 lim x1x (1 )型
x1
1
解：设 y x1x ，则 ln y
1
ln x
1 x
lim lim 故
1
x1x
ln x
e1 x
e
lim x1
罗尔（Rolle)定理 若函数 f (x)满足下列条件：
y
1）在闭区间[a，b]上
连续；
2）在开区间(a，b)内
A
B 可导；
3）在区间端点的函
a 1
2 b
数值相等，即 f (a) f (b)，
x 则在开区间（a，b）内至
少存在一点，使得
精选
f ( ) 0.
例 验证罗尔中值定理对函数 f (x) x2 2x 10 在区间[0，2] 上的正确性。
ln x 1 x
x1
x1
1
而
lim x1
ln 1
x x
( 0) 0
lim x1
x 1
1
1
lim
x1 x e1 精选
例题4 求 lim xx x0 设 y x x ，则 ln y x ln x
(00 )型
lim x ln x
lim lim 故
xx
e e xln x
x0
x0
x0
1
lim lim lim 而