精细版《高数》导数的应用.ppt
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大学高等数学ppt课件第二章4导数的应用
x1 x2
介于 x1与 x2之间
y
y f (x)
o
a y
•
bx
y f (x) •
oa
bx
于是有函数单调性的判别定理
◆函数单调性的判别定理
设函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续，在 ( a , b ) 内可导，则 （1） 如果函数 f ( x ) 在 ( a , b ) 内有 f (x) 0，则函数在
例5 证明不等式 ex 1x (x0) 证明 令 f(x)ex 1x
则
f (x) ex 1
当 x 0 时 ， f ( x ) 0 , 故 函 数 在 0 , + 内 单 调 增 加
所 以 ， x 0 , ,有 f( x ) f( 0 ) 0
第四节 导数的应用
学习重点
函数的单调性的判别 函数极值及最值的确定方法 曲线凹凸向的判别及拐点的确定
◆函数的单调性
函数单调递增，则
f (x1) f (x2) 0 x1 x2
函数单调递减，则
f (x1) f (x2) 0 x1 x2
由Lagrange中值定理：
f ( ) f ( x1 ) f ( x2 )
xx0,x0 f (x) 0
则 y f (x) 在点 x 0 处取得极小值；
（ 3 ） xx0,x0 xx0,x0
f (x)同号
则 y f (x) 在点 x 0 处无极值；
x0 x 0 x0 x y
x0 x 0 x0 x
练习 求 y f(x ) x 3 3x 2的 单 调 区 间 和 极 值 2
如 y=x2 在区间 [-1，2] 内，只有极小值。 （3）极小值可以大于极大值，如某种股票的交易价格函数； （4）极值一定在区间内部取得。
介于 x1与 x2之间
y
y f (x)
o
a y
•
bx
y f (x) •
oa
bx
于是有函数单调性的判别定理
◆函数单调性的判别定理
设函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续，在 ( a , b ) 内可导，则 （1） 如果函数 f ( x ) 在 ( a , b ) 内有 f (x) 0，则函数在
例5 证明不等式 ex 1x (x0) 证明 令 f(x)ex 1x
则
f (x) ex 1
当 x 0 时 ， f ( x ) 0 , 故 函 数 在 0 , + 内 单 调 增 加
所 以 ， x 0 , ,有 f( x ) f( 0 ) 0
第四节 导数的应用
学习重点
函数的单调性的判别 函数极值及最值的确定方法 曲线凹凸向的判别及拐点的确定
◆函数的单调性
函数单调递增，则
f (x1) f (x2) 0 x1 x2
函数单调递减，则
f (x1) f (x2) 0 x1 x2
由Lagrange中值定理：
f ( ) f ( x1 ) f ( x2 )
xx0,x0 f (x) 0
则 y f (x) 在点 x 0 处取得极小值；
（ 3 ） xx0,x0 xx0,x0
f (x)同号
则 y f (x) 在点 x 0 处无极值；
x0 x 0 x0 x y
x0 x 0 x0 x
练习 求 y f(x ) x 3 3x 2的 单 调 区 间 和 极 值 2
如 y=x2 在区间 [-1，2] 内，只有极小值。 （3）极小值可以大于极大值，如某种股票的交易价格函数； （4）极值一定在区间内部取得。
《高数》导数的应用PPT教学课件
x x
解： lim
x
e e e lim lim 2 x x 2 x x 2
x
10
其他型未定式的极限
其他尚有“ 0 ”，“ ”，“ 1”，“00”， 0 0 “ ”等型的未定式，可化 为“ ”型和“ ”型来解决。 0
例题1 求 lim x n ln x(n 0)
3
y
y x3
单调增加。
19
x
证明：当 x 0 时， x ln(1 x) 证：设 f ( x) x ln(1 x)
1 x f ( x) 1 ，当 x 0 时， 1 x 1 x f ( x) 0 ， 函数 f ( x)单调增加，而 f (0) 0， f ( x) 0 ( x 0) 即 x ln(1 x) 0 x ln(1 x)
1
中值定理 罗尔（Rolle)定理
y
A
B
若函数 f ( x)满足下列条件： 1 ） 在闭区间 [a，b]上 连续； 2） 在开区间(a，b)内 可导； 3） 在区间端点的函 数值相等，即 f (a ) f (b)，
a
1
2 b
x 则在开区间（a，b）内至
少存在一点，使得 f ( ) 0.
x 2
15
函数的单调性
y
y f ( x)
B
导数的 正负号 判断 函数的
y
A
A
y f ( x)
单调性
B
a
b
x
a
b
x
定理
设函数 y f ( x)在[a，b]上连续，在
(a，b)内可导，
16
1 ） 如果 f ( x) 0，则 f ( x)在区间(a，b)单调增加；
解： lim
x
e e e lim lim 2 x x 2 x x 2
x
10
其他型未定式的极限
其他尚有“ 0 ”，“ ”，“ 1”，“00”， 0 0 “ ”等型的未定式，可化 为“ ”型和“ ”型来解决。 0
例题1 求 lim x n ln x(n 0)
3
y
y x3
单调增加。
19
x
证明：当 x 0 时， x ln(1 x) 证：设 f ( x) x ln(1 x)
1 x f ( x) 1 ，当 x 0 时， 1 x 1 x f ( x) 0 ， 函数 f ( x)单调增加，而 f (0) 0， f ( x) 0 ( x 0) 即 x ln(1 x) 0 x ln(1 x)
1
中值定理 罗尔（Rolle)定理
y
A
B
若函数 f ( x)满足下列条件： 1 ） 在闭区间 [a，b]上 连续； 2） 在开区间(a，b)内 可导； 3） 在区间端点的函 数值相等，即 f (a ) f (b)，
a
1
2 b
x 则在开区间（a，b）内至
少存在一点，使得 f ( ) 0.
x 2
15
函数的单调性
y
y f ( x)
B
导数的 正负号 判断 函数的
y
A
A
y f ( x)
单调性
B
a
b
x
a
b
x
定理
设函数 y f ( x)在[a，b]上连续，在
(a，b)内可导，
16
1 ） 如果 f ( x) 0，则 f ( x)在区间(a，b)单调增加；
《高数导数公式》课件
振动与波动
导数可以用来描述振动和波动问题中的物理量，例如振幅、频率等 。
导数的扩展知识
05
高阶导数
高阶导数的定义
高阶导数是函数导数的连续求导过程，表示 函数在某点的变化率随阶数的增加而增加。
高阶导数的计算
高阶导数的计算需要使用到前一阶的导数，通过连 续求导来得到。
高阶导数的应用
高阶导数在数学、物理和工程等领域中有广 泛的应用，例如在研究函数的极值、拐点、 曲线的弯曲程度等方面。
描述物体运动的方向。
03
导数与切线斜率、运动方向的关系
导数可以表示曲线在某一点的切线斜率，进而可以判断物体的运动方向
。
导数在物理问题中的应用
瞬时速度
导数可以用来计算瞬时速度，例如在匀变速直线运动中，物体的瞬 时速度等于其位移的导数。
极值问题
导数可以用来求解函数的极值问题，例如在物理学中，最小作用量 原理就是利用导数求解极值问题的典型例子。
《高数导数公式》ppt 课件
目录
• 导数的定义与几何意义 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的物理意义 • 导数的扩展知识
01
导数的定义与几何
意义
导数的定义
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该 点附近的小范围内变化的情况。
导数的计算方法
通过极限来计算函数在某一点的导数，即求函 数在该点的切线斜率。
THANKS.
利用导数研究曲线的凹凸性
总结词
通过求二阶导数判断函数的凹凸性，有 助于了解函数图像的弯曲趋势和变化规 律。
VS
详细描述
二阶导数大于零表示函数图像向下凸出， 二阶导数小于零表示函数图像向上凸出。 通过分析二阶导数的符号变化，可以确定 函数的凹凸区间和弯曲趋势。
导数可以用来描述振动和波动问题中的物理量，例如振幅、频率等 。
导数的扩展知识
05
高阶导数
高阶导数的定义
高阶导数是函数导数的连续求导过程，表示 函数在某点的变化率随阶数的增加而增加。
高阶导数的计算
高阶导数的计算需要使用到前一阶的导数，通过连 续求导来得到。
高阶导数的应用
高阶导数在数学、物理和工程等领域中有广 泛的应用，例如在研究函数的极值、拐点、 曲线的弯曲程度等方面。
描述物体运动的方向。
03
导数与切线斜率、运动方向的关系
导数可以表示曲线在某一点的切线斜率，进而可以判断物体的运动方向
。
导数在物理问题中的应用
瞬时速度
导数可以用来计算瞬时速度，例如在匀变速直线运动中，物体的瞬 时速度等于其位移的导数。
极值问题
导数可以用来求解函数的极值问题，例如在物理学中，最小作用量 原理就是利用导数求解极值问题的典型例子。
《高数导数公式》ppt 课件
目录
• 导数的定义与几何意义 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的物理意义 • 导数的扩展知识
01
导数的定义与几何
意义
导数的定义
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该 点附近的小范围内变化的情况。
导数的计算方法
通过极限来计算函数在某一点的导数，即求函 数在该点的切线斜率。
THANKS.
利用导数研究曲线的凹凸性
总结词
通过求二阶导数判断函数的凹凸性，有 助于了解函数图像的弯曲趋势和变化规 律。
VS
详细描述
二阶导数大于零表示函数图像向下凸出， 二阶导数小于零表示函数图像向上凸出。 通过分析二阶导数的符号变化，可以确定 函数的凹凸区间和弯曲趋势。
导数的应用 经典课件(最新)
8×1S50003＝1
0002×（8 S5
000－S3），令
u′＝0，解得
S＝20，当
S＜20
时，u′＞0；当
S
＞20 时，u′＜0，所以当 S＝20 时，u 取到最大值．因此甲方应向乙方要求的赔付价格 S
是 20(元/吨)时，获得的净收入最大．
高中数学课件
高频考点 2 利用导数研究恒成立问题及参数求解 【例 2.1】 设函数 f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中 f′(x)是 f(x)的导函数．若 f(x)≥ag(x)恒成立，求实数 a 的取值范围．
(1)将乙方的实际年利润 w(元)表示为年产量 t(吨)的函数，并求出乙方获得最大利润 的年产量；
(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额 y＝0.002t2(元)，在乙方按照获得最大利 润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价 格 S 是多少？
高中数学课件
解：(1)因为赔付价格为 S 元/吨，所以乙方的实际年利润 w＝2 000 t－St，∴w′＝
【思路点拨】 令 φ(x)＝f(x)－ag(x)，只需φ(x)min≥0 即可，利用导数求出 φ(x)的最
小值，进而求出 a 的取值范围． 【解】 已知 f(x)≥ag(x)恒成立， 即 ln(1＋x)≥1a＋xx恒成立． 设 φ(x)＝ln(1＋x)－1a＋xx(x≥0)， 则 φ′(x)＝1＋1 x－（1＋a x）2＝（x＋1＋1－x）a2，
高中数学课件
(4)根据不等式恒(能)成立问题求参数的取值范围主要有三种解题思路：①不分离参 数，带着参数进行讨论函数的单调性和极值情况；② “全分离”参数，转化为函数最值 问题；③“半分离”参数，一般情况下是不等式的两边一边是具体的“超越函数”，另 一边是含参数的基本初等函数(多为过定点的直线系)，根据不等式的关系判断两个函数图 象的相对位置关系，从而达到解决问题的目的．
高中数学导数的应用 ppt
f x 0
y f x
为减函数。
2. 求可导函数单调区间的一般步骤和方法：
① 确定函数 f x 的定义域区间； ② 求 f x ，令 f x ＝０，解此方程，求出它在 定义域区间内的一切实根；
③ 把函数 f x 的间断点（即 f x 的无定义点） 的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后
x0 附近的所有的点 x 都有 f x f x0 （或 f x f x0
则称
x
在点
x0 附近有定义，且对
f x0 为函数的一个极大（小）值，称
x0 为极大（小）
值点。
2. 求可导函数 y f x 极值的步骤：
① 求导数 f x
3 2
解法提示：在某一点切线的斜率或在某
一时刻的瞬时速度就是该点或该时刻对应的
导数.
题型二 ：求函数的单调区间.
例2试确定函数
1 y ln x 1 的单调区间. x
分析：确定函数的单调区间,即在其
定义域区间内确定其导数为正值与负值
的区间.
二、可导函数的极值
1. 极值的概念：设函数 f
导数的应用
知识与技能:
1. 利用导数研究函数的切线、单调性、极大（小）值 以及函数在连续区间[a，b]上的最大（小）值； 2．利用导数求解一些实际问题的最大值和最小值。
过程与方法:
1. 通过研究函数的切线、单调性、极大（小）值以及 函数在连续区间[a，b]上的最大（小）值，培养学生的数学 思维能力； 2. 通过求解一些实际问题的最大值和最小值，培养学 生分析问题、解决问题的能力，以及数学建模能力。
情感态度、价值观：
《高等数学教学课件》05导数应用
f (a)
x
f (b)
x
a
b
a
b
( f (a) 0, f (b) 0 ; 或者 f (a) 0, f (b) 0)
在第一种情形, f (a), f (b) 都不是最小值
所以最小值一定在区间内部达到
[证] 不妨设 f (a) 0, f (b) 0.
由 f (a) 0, 即 lim f ( x) f (a) 0可知
f ( x 0x) f ( x0 ) f ( ) x (x0 , x0 x)
f ( x0x) f ( x0 ) f ( x0 x) x (0 1)
思考题：
比 较 微 小 增 量 公 式 与 有限 增 量 公 式 有什麽区别？
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 ) x o(x)
设函数f ( x)满足条件： (1)在闭区间[a, b]上连续; (2)在开区间(a, b)内可微,
则在(a, b)内至少存在一点 , 使得
f (b) f (a) f ( ) (a b)
ba
四、柯西 (Cauchy )定理
设 函 数f ( x), g( x)满 足 条 件 ： (1)在 闭 区 间[a, b]上 连 续; (2)在 开 区 间(a, b)内 可 微, 且 g( x) 0.
120
4
该方程实根个数
100
3
就是两条曲线
80
60
2
y 2x
40 20 -3
-2 2
1
4-1
6
8
110
y x2 2x 1
交点个数
图形发现三个交点
而且大体上能确定位置
以下证明恰好 有三个根
首先证明至少有三个根
高数上课件3——导数的应用
南京航空航天大学高等数学竞赛培训——3、导数的应用
南京航空航天大学高等数学竞赛培训——3、导数的应用
南京航空航天大学高等数学竞赛培训——3、导数的应用
南京航空航天大学高等数学竞赛培训——3、导数的应用
南京航空航天大学高等数学竞赛培训——3、导数的应用
3 导数的应用III——凹凸函数的性质与判定
边际收益与边际成本
需求弹性
南京航空航天大学高等数学竞赛培训——3、导数的应用
南京航空航天大学高等数学竞赛培训——3、导数的应用
南京航空航天大学高等数学竞赛培训——3、导数的应用
南京航空航天大学高等数学竞赛培训——3、导数的应用
南京航空航天大学高等数学竞赛培训——3、导数的应用
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1 导数的应用I——几何应用
南京航空航天大学高等数学竞赛培训——3、导数的应用
切线与法线
南京航空航天大学高等数学竞赛培训——3、导数的应用
切线与法线
南京航空航天大学高等数学竞赛培训——3、导数的应用
曲率、曲率半径、曲率圆
南京航空航天大学高等数学竞赛培训——3、导数的应用
(A)xyyyx
x
x
(B)
(C)
(D)
南京航空航天大学高等数学竞赛培训——3、导数的应用
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(−∞, −1) −1 (−1,0) 0 (0,1) 1 (1，+∞)
f '( x) −
0+
0−
0
+
f (x)
2
极小 值点
/
高等数学导数的应用 PPT
利用单调性证明不等式 例6 证明：当x>0时，ex>1+x ．
证明 令f(x)=ex-1-x ，则f(x)在[0,+ )上连续、可导,且 f (x)= ex-1
当x>0时， y>0 ,函数在[0,+ )上单调增加
所以x∈ [0,+ ),有f(x)>f(0)=0，即ex-1-x>0
所以当x>0时， ex>1+x
ox
3、对于函数y = |x| , 我们已知 x = 0 是函数的连续不
可导点. 但x = 0是函数的极小值点. 如图.
y=|x|
实际上, 连续不可导点也可能是极值点.
ox
因而函数还可能在连续不可导点处取得极值.
极值的充分条件
定理3.2.3（极值的第一充分条件）设函数f(x)在点 x0某个空心邻域内可导（ f (x0)可以不存在），x为该 邻域内任意一点，
f ( x) +
0
-
0
f (x)
驻点
驻点
(3,+ ) +
所以(-,-1]和[3, +)是单调增区间， [-1,3]是单调减区间．
2
例5 求函数 f ( x) ( x 2) x 3 的单调区间.
解 （1）函数的定义域为(-,+)；
（2） f ( x) 5x 4 33 x
（3）列表，利用第一充分条件或第二充分条件，判 定上述驻点或不可导点是否为函数的极值点，并求出 相应的极值．
例8 求函数 f ( x) ( x 2)2 ( x 1)3的极值
解 （1）函数的定义域为(-,+)；
（2）f ( x) ( x 2)( x 1)2(5x 4) ,无不可导点
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ba
x
在AB上至少有一点，
使得曲线在该点处的切线
精选
平行于弦AB。
柯西（Cauchy)中值定理
若函数 f (x)与F (x)满足下列条件：
1）在闭区间上[a，b]连续； 2）在开区间(a，b)内可导；
3）F ( x)在(a，b)内的每一点均不为零，则在(a，b)
内至少有一点，使得
f (b) f (a) f ( ) . F (b) F (a) F( )
x
x nxn1
x
1 nxn
0
lim 例题2
求
ex
x2
x
(x )
lim lim lim 解：
ex
ex
ex
x 2x 2 2
x
x精选
x
其他型未定式的极限
其他尚有“0 ”，“ ”，“1”，“00”，
“0”等型的未定式，可化 为“0”型和“ ”型来解决。
0
例题1 求 lim xn ln x(n 0) (0)型 x0
x ln x
ln x ( )
x
x0
1 x0
x0 1
x
x2
lim(x) 0 x0
lim x ln x
lim x e x 精选
x0
e0 1
x0
lim 例题5 求
精选
拉格朗日（Lagrange)中值定理
如果函数 f (x)满足下列条件：1）在闭区间[a，b]上连续；
2) 在开区间(a，b)内可导，
y
则在开区间(a，b)内至少存在一点，使得
B
f (b) f (a) f ( )(b a)
定理的几何意义。
A
公式改写
a 1
2 b
f ( ) f (b) f (a)
ln x 1 x
x1
x1
1
而
lim x1
ln 1
x x
( 0) 0
lim x1
x 1
1
1
lim
x1 x e1 精选
例题4 求 lim xx x0 设 y x x ，则 ln y x ln x
(00 )型
lim x ln x
lim lim 故
xx
e e xln x
x0
x0
x0
1
lim lim lim 而
可导，且 g(x) 0；
lim 3） f (x) A(或），则 xx0 g(x)
lim lim f (x)
f (x) A(或）
xx0 g (x) x精x选0 g(x)
lim 例题1 求
ln x (n 0)
xn
x
解：这是x 时 型，由洛必达法则，有
1
lim lim lim x
ln x xn
0
下面介绍洛必达法则就是求这类极限简便有效的方法。
“0”型未定式的极限 0
若 1）lim f (x) 0，limg(x) 0； 2）f (x)和g(x)
x x0
x x0
在 x0 的某邻域内（点x0可除外）可导，且g(x) 0；
lim 3） f (x) A(或），则 xx0 g(x)
lim lim f (x)
第三章 导数的应用
教学目的要求 1、了解罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西
中值定理。
2、理解函数极值的概念。 3、会用洛必达法则求极限；判断函数的单调 性、凹凸性；求函数的极值、最值。
学习重点和难点
重点 未定式的极限，函数的单调性、凹凸 性、极值，导数在实际中的应用。
难点 导数在实际中精选的应用。
中值定理
罗尔（Rolle)定理 若函数 f (x)满足下列条件：
y
1）在闭区间[a，b]上
连续；
2）在开区间(a，b)内
A
B 可导；
3）在区间端点的函
a 1
2 b
数值相等，即 f (a) f (b)，
x 则在开区间（a，b）内至
少存在一点，使得
精选
f ( ) 0.
例 验证罗尔中值定理对函数 f (x) x2 2x 10 在区间[0，2] 上的正确性。
解：xn ln x ln x (x 0时， ）
1
xn
1
lim lim lim lim x0
xn ln x
x0
ln x xn
精选
x0
x nxn1
x0
xn ( )0
n
例题2 求 lim(sec x tan x) π x 2
( )型
解：sec x tan x 1 sin x (x π时，0）
lim lim 解： x0
x
sin x3
x
x0
1 cos x 0
3x2
() 0
sin x 1
sin x
lim lim
(
1)
x0 6x 6 x 精选 x0
lim 例题3
x3 3x 2 x1 x3 x2 x 1
lim lim 解： x1
x3 3x 2 x3 x2 x 1
x1
3x2 3 3x2 2x 1
f (x) A(或）
xxHale Waihona Puke g(x)精选x x0
g ( x)
例题1
lim x0
sin sin
ax bx
(a、b是常数，且b
0)
解：“0”型，由洛必达法则， 有 0
lim x0
s s
in in
ax bx
lim x0
a cos ax b cosbx
a b
lim 例题2
x0
x sin x x3
“0” 0
解：1）f (x) x2 2x 10是定义在（ ， ）上 的初等函数，故 f (x)在区间[0，2]上连续；
2）f (x)在（0，2）内可导，且 f (x) 2x 2
3) f (0) f (2) 10 故 f (x)满足罗尔定理的三个条件 令 f (x) 2x 2 0 得 x 1 显然，在（0，2）内，就有 f (1) 0
lim x1
6
6x x
2
3 2
lim 例题4
ln(1 x)
x0
x2
1
lim lim lim 解：
x0
ln(1 x2
x)
1 x
1
2x 精x选0 x0 2x(1 x)
“”型未定式的极限
若
1）lim f (x) ，limg(x) ；
x x0
x x0
2) f (x) 和 g(x) 在 x0 的某邻域内（点x0 可除外）
定理的几何意义。
在曲线AB弧上至少存在一点，在该点处切线平行
于两端点的连线。
注：取F (x) x，那么F (b) F (a) b a，F(x) 1，
上式就可以写成
f
(b)
f
精选
(a)
f
( )(b a)(a
b)
洛必达(LHospital)法则
对“0”、“”型的未定式的极限可能存在，也可能不存在。
c os x
20
lim(sec π
x
tan
x)
lim π
(1
sin c os x
x
)
x
x
2
2
lim π
(
c s
os x in x
)
x
2
0
精选
1
例题3 求 lim x1x (1 )型
x1
1
解：设 y x1x ，则 ln y
1
ln x
1 x
lim lim 故
1
x1x
ln x
e1 x
e
lim x1
x
在AB上至少有一点，
使得曲线在该点处的切线
精选
平行于弦AB。
柯西（Cauchy)中值定理
若函数 f (x)与F (x)满足下列条件：
1）在闭区间上[a，b]连续； 2）在开区间(a，b)内可导；
3）F ( x)在(a，b)内的每一点均不为零，则在(a，b)
内至少有一点，使得
f (b) f (a) f ( ) . F (b) F (a) F( )
x
x nxn1
x
1 nxn
0
lim 例题2
求
ex
x2
x
(x )
lim lim lim 解：
ex
ex
ex
x 2x 2 2
x
x精选
x
其他型未定式的极限
其他尚有“0 ”，“ ”，“1”，“00”，
“0”等型的未定式，可化 为“0”型和“ ”型来解决。
0
例题1 求 lim xn ln x(n 0) (0)型 x0
x ln x
ln x ( )
x
x0
1 x0
x0 1
x
x2
lim(x) 0 x0
lim x ln x
lim x e x 精选
x0
e0 1
x0
lim 例题5 求
精选
拉格朗日（Lagrange)中值定理
如果函数 f (x)满足下列条件：1）在闭区间[a，b]上连续；
2) 在开区间(a，b)内可导，
y
则在开区间(a，b)内至少存在一点，使得
B
f (b) f (a) f ( )(b a)
定理的几何意义。
A
公式改写
a 1
2 b
f ( ) f (b) f (a)
ln x 1 x
x1
x1
1
而
lim x1
ln 1
x x
( 0) 0
lim x1
x 1
1
1
lim
x1 x e1 精选
例题4 求 lim xx x0 设 y x x ，则 ln y x ln x
(00 )型
lim x ln x
lim lim 故
xx
e e xln x
x0
x0
x0
1
lim lim lim 而
可导，且 g(x) 0；
lim 3） f (x) A(或），则 xx0 g(x)
lim lim f (x)
f (x) A(或）
xx0 g (x) x精x选0 g(x)
lim 例题1 求
ln x (n 0)
xn
x
解：这是x 时 型，由洛必达法则，有
1
lim lim lim x
ln x xn
0
下面介绍洛必达法则就是求这类极限简便有效的方法。
“0”型未定式的极限 0
若 1）lim f (x) 0，limg(x) 0； 2）f (x)和g(x)
x x0
x x0
在 x0 的某邻域内（点x0可除外）可导，且g(x) 0；
lim 3） f (x) A(或），则 xx0 g(x)
lim lim f (x)
第三章 导数的应用
教学目的要求 1、了解罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西
中值定理。
2、理解函数极值的概念。 3、会用洛必达法则求极限；判断函数的单调 性、凹凸性；求函数的极值、最值。
学习重点和难点
重点 未定式的极限，函数的单调性、凹凸 性、极值，导数在实际中的应用。
难点 导数在实际中精选的应用。
中值定理
罗尔（Rolle)定理 若函数 f (x)满足下列条件：
y
1）在闭区间[a，b]上
连续；
2）在开区间(a，b)内
A
B 可导；
3）在区间端点的函
a 1
2 b
数值相等，即 f (a) f (b)，
x 则在开区间（a，b）内至
少存在一点，使得
精选
f ( ) 0.
例 验证罗尔中值定理对函数 f (x) x2 2x 10 在区间[0，2] 上的正确性。
解：xn ln x ln x (x 0时， ）
1
xn
1
lim lim lim lim x0
xn ln x
x0
ln x xn
精选
x0
x nxn1
x0
xn ( )0
n
例题2 求 lim(sec x tan x) π x 2
( )型
解：sec x tan x 1 sin x (x π时，0）
lim lim 解： x0
x
sin x3
x
x0
1 cos x 0
3x2
() 0
sin x 1
sin x
lim lim
(
1)
x0 6x 6 x 精选 x0
lim 例题3
x3 3x 2 x1 x3 x2 x 1
lim lim 解： x1
x3 3x 2 x3 x2 x 1
x1
3x2 3 3x2 2x 1
f (x) A(或）
xxHale Waihona Puke g(x)精选x x0
g ( x)
例题1
lim x0
sin sin
ax bx
(a、b是常数，且b
0)
解：“0”型，由洛必达法则， 有 0
lim x0
s s
in in
ax bx
lim x0
a cos ax b cosbx
a b
lim 例题2
x0
x sin x x3
“0” 0
解：1）f (x) x2 2x 10是定义在（ ， ）上 的初等函数，故 f (x)在区间[0，2]上连续；
2）f (x)在（0，2）内可导，且 f (x) 2x 2
3) f (0) f (2) 10 故 f (x)满足罗尔定理的三个条件 令 f (x) 2x 2 0 得 x 1 显然，在（0，2）内，就有 f (1) 0
lim x1
6
6x x
2
3 2
lim 例题4
ln(1 x)
x0
x2
1
lim lim lim 解：
x0
ln(1 x2
x)
1 x
1
2x 精x选0 x0 2x(1 x)
“”型未定式的极限
若
1）lim f (x) ，limg(x) ；
x x0
x x0
2) f (x) 和 g(x) 在 x0 的某邻域内（点x0 可除外）
定理的几何意义。
在曲线AB弧上至少存在一点，在该点处切线平行
于两端点的连线。
注：取F (x) x，那么F (b) F (a) b a，F(x) 1，
上式就可以写成
f
(b)
f
精选
(a)
f
( )(b a)(a
b)
洛必达(LHospital)法则
对“0”、“”型的未定式的极限可能存在，也可能不存在。
c os x
20
lim(sec π
x
tan
x)
lim π
(1
sin c os x
x
)
x
x
2
2
lim π
(
c s
os x in x
)
x
2
0
精选
1
例题3 求 lim x1x (1 )型
x1
1
解：设 y x1x ，则 ln y
1
ln x
1 x
lim lim 故
1
x1x
ln x
e1 x
e
lim x1