高一数学复合函数讲解

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高一数学复合函数

高一数学复合函数复合函数是高一数学中的一个重要概念，它在函数学习的过程中起着关键作用。

本文将详细介绍复合函数的定义、性质以及其在实际问题中的应用。

1. 复合函数的定义复合函数是由两个函数相互组合而成的新函数。

设有函数f(x)和g(x)，则复合函数记作f(g(x))，表示先用g(x)对x进行映射，然后再将结果代入f(x)进行映射。

2. 复合函数的性质（1）复合函数的定义域：复合函数的定义域取决于中间函数的定义域，要求中间函数的值域必须在f(x)的定义域内。

（2）复合函数的值域：复合函数的值域取决于最后一个函数的值域，要求最后一个函数的值域在f(x)的值域内。

（3）复合函数的可逆性：当复合函数中的所有函数都是可逆函数时，复合函数才是可逆的。

（4）复合函数的性质：复合函数满足结合律，即f(g(h(x)))=(f∘g)∘h(x)。

3. 复合函数的应用举例（1）物理问题：假设一辆汽车的速度与时间的函数关系为v(t)，而时间与位置的函数关系为s(t)，则汽车的位置随时间的变化可以用复合函数s(v(t))来表示。

（2）经济问题：假设某商品的价格与销量的函数关系为p(x)，而销量与利润的函数关系为l(x)，则利润随销量的变化可以用复合函数l(p(x))来表示。

（3）生物问题：假设某种细胞的密度与时间的函数关系为d(t)，而时间与增长率的函数关系为r(t)，则细胞的密度随时间的变化可以用复合函数d(r(t))来表示。

4. 复合函数的求导对于复合函数f(g(x))，可以利用链式法则来求导。

链式法则规定，复合函数的导数等于外函数对内函数的导数乘以内函数对自变量的导数。

通过链式法则，可以将复合函数的求导简化为对中间函数和最后一个函数的导数的求导。

5. 复合函数的图像复合函数的图像可以通过画出中间函数和最后一个函数的图像，并根据复合函数的定义进行变换得到。

具体来说，先画出中间函数的图像，然后根据复合函数的定义，将中间函数的输出作为最后一个函数的输入，再画出最后一个函数的图像。

高一必修一复合函数知识点

高一必修一复合函数知识点复合函数是高中数学中的一个重要概念，它在函数的运算和应用中扮演着重要的角色。

本文将详细介绍高一必修一中与复合函数相关的知识点。

一、复合函数的定义及表示方法复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入，通过一系列的运算得到最终结果。

一般表示为f(g(x))，其中g(x)是先于f(x)进行的函数操作。

二、复合函数的求解方法1. 基本复合函数的求解：将内函数的输出作为外函数的输入，逐步代入求解。

2. 复合函数的符号表示法：若f(x) = u(x)和g(x) = v(x)，则复合函数可以表示为(u∘v)(x)，即f(g(x))。

3. 复合函数的运算规则：满足结合律，即(f∘g)∘h = f∘(g∘h)。

三、复合函数的图像变换1. 反函数的复合：若f(g(x)) = x，g(f(x)) = x，即f(x)和g(x)互为反函数，则(f∘g)(x) = (g∘f)(x) = x。

2. 复合函数的图像对称性：若f(x)在点x处对称，则(f∘g)(x)在g(x)处也有对称性。

四、复合函数的应用领域复合函数在高中数学的各个章节中都有广泛的应用，包括函数的求导、函数的极值、解函数方程等各个方面。

1. 函数的求导：对于复合函数f(g(x))，可以利用链式法则求导，即[f(g(x))]' = f'(g(x)) * g'(x)。

2. 函数的极值：根据函数的极值存在性定理，可以通过求解复合函数的导数等方法求得函数的极值。

3. 解函数方程：对于给定的函数方程f(g(x)) = 0，可以通过求解复合函数的根来解得方程的解。

综上所述，复合函数是高一必修一数学中重要的知识点之一。

它不仅在数学理论的研究中有重要应用，也在实际问题的求解中占据重要地位。

通过对复合函数的学习和理解，同学们可以更好地应用数学知识解决实际问题，提高数学水平。

希望本文对大家的学习有所帮助！。

复合函数课件-高一上学期数学人教A版

新授课课时10 复合函数
学习目标
学习活动
学习总结
1.了解复合函数的概念并学会求复合函数定义域； 2.掌握复合函数单调性的判断方法； 3.学会复合函数奇偶性的判断方法.
学习目标
学习活动
学习总结
目标一：了解复合函数的概念并学会求复合函数定义域
任务1：观察下列函数，归纳复合函数的概念. 设y是u的函数，且满足关系式 y f (u) 1 ，同时u是x的函数，且u=g（x）
u =2x+1.那么y与x的函数关系是什么，如何表示呢？
解： y f (u) f [g(x)] 1 .
2x 1
学习目标
学习活动
学习总结
归纳总结
复合函数定义：
如果y是u的函数，记为 y f (u) ，又u是x的函数，记为 u g(x) ，且 g(x) 的值域与f（u）的定义域交集不为空集，则确定了一个y关于 x的函数 y f [g(x)] ，这时y叫做x的复合函数，其中u叫中间变量， y f (u) 叫外层函数，u g(x) 叫内层函数.
2.已知复合函数 f (x) 的定义域为A，求函数 f [g(x)] 的定义
域解不等式 g(x) A .
学习目标
学习活动
学习总结
目标二：掌握复合函数单调性的判断方法
任务：判断复合函数单调性，归纳复合函数单调性的判断方法.
1.已知函数 f (u) 在区间A上单调递增，函数 u g(x) 在区间B上单调递增，判断函数f [g(x)] 在区间B上的单调性.
解：1.因为函数 f (u) 在区间A上是奇函数，所以 f (u) f (u) ，函数 g(x) 在区间B上是奇函数，所以 g(x) g(x) ，则对于在区间B上，，所以f [g函(数x)]在区f [间g(Bx上)] 是奇f [函g(x数)].

高考数学复合函数基础理论总结

高考数学复合函数基础理论总结复合函数是高一数学学习的重点和难点之一，也是高考数学考试的常见考点。

理解和掌握复合函数的基础理论是学好高等数学、应用数学、物理、化学等学科的前提。

本文将围绕复合函数的定义、性质、运算规则以及应用进行总结和分析。

一、复合函数的定义复合函数的定义：设函数f的定义域为Df，值域为Rf，函数g的定义域为Dg，值域为Rg。

如果存在一个函数h(x)使得对于f的定义域Df中的每一个元素x，都有g的定义域Dg中恰有一个元素y与之对应，并且y是f(x)在g的范围内的唯一值，则称h(x)为f和g的复合函数，表示为h(x) = f(g(x))。

二、复合函数的性质1. 复合函数的定义域：复合函数的定义域由g的定义域和f的值域的交集构成，即Dh = {x|x∈Dg且g(x)∈Df}。

2. 复合函数的值域：复合函数的值域为f的值域的子集，即Rh ⊆ Rf。

3. 复合函数的单调性：若f(x)和g(x)在其定义域内单调增加（或单调减少），则h(x) = f(g(x))也在其定义域内单调增加（或单调减少）。

4. 复合函数的奇偶性：若f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则h(x) = f(g(x))为奇函数；若f(x)和g(x)均为偶函数，则h(x) = f(g(x))为偶函数。

5. 复合函数的周期性：若f(x)的周期为T1，g(x)的周期为T2，则当T2是T1的正整数倍时，h(x) = f(g(x))的周期为T1。

三、复合函数的运算规则1. 复合函数的加法：设h1(x) = f1(g1(x))，h2(x) = f2(g2(x))，且f1(x)和f2(x)的值域相等。

则有(h1 + h2)(x) = f1(g1(x))+f2(g2(x))。

2. 复合函数的减法：设h1(x) = f1(g1(x))，h2(x) = f2(g2(x))，且f1(x)和f2(x)的值域相等。

则有(h1 - h2)(x) = f1(g1(x))-f2(g2(x))。

高一数学必修1_复合函数定义域的求法_1.ppt

1, 2 (2, )
探究学习：已知函数的解析式，若未加特殊说明，则定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围。一般有以下几种情况(初等函数) ●分式中的分母不为零； ●偶次方根下的数（或式）大于或等于零； ●指数式的底数大于零且不等于1； ●对数式的底数大于零且不等于1，真数大于零。 ●由几部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是
其解法是：若f [g(x)]的定义域为m x n ，则由
m x n 确定 g(x) 的范围即为f (x)的定义域。
题型三：已知 f gx的定义域，求 f hx的定义域。
例3. 函数 y f (x 1) 定义域是 [2,3] ，则
y f (2x 1)的定义域是（）
A. [1,4] B.[5,5] C.[3,7]
其解法是：若f (x)的定义域为 a x b ，则 f [g(x)] 中
x a g(x) b ，从中解得的取值范围即为 f [g(x)]的定义域
练习:若f (x)的定义域是0,2,求f (x2)的定义域
解：由题意知: 0 x2 2
2 x 2
故 : f x2 的定义域是 [ 2, 2 ]
a4
综上知:实数a 的取值范围为 0 a 4
布置作业：
1.已知函数f (x)的定义域是[2, 2]，求y f x 的定义域
2.已知函数 f 2x 1的定义域是[0,2],求f (13x)的定义域
D.[0, 5 ] 2
归纳:已知f [g(x)] 的定义域，求 f [h(x)]的定义域
其解法是：可先由 f [g(x)] 的定义域求得 f (x) 的定义域，再由 f (x)定义域求得f [h(x)]的定义域。
练习
已知f (2x 1)的定义域1,5,求f (2 5x)的定义域

高一数学复合函数讲解

1、复合函数的概念如果y是a的函数,a又是x的函数,即y=fa,a=gx,那么y关于x的函数y=fgx叫做函数y=fx和a=gx的复合函数,其中a是中间变量,自变量为x,函数值y;例如：函数是由复合而成立;函数是由复合而成立;a是中间变量;2、复合函数单调性由引例对任意a,都有意义a＞0且a≠1且;对任意,当a＞1时,单调递增,当0＜a＜1时,单调递减;∵当a＞1时,∵y=fu是上的递减函数∴∴∴是单调递减函数类似地, 当0＜a＜1时,是单调递增函数一般地,定理：设函数u=gx在区间M上有意义,函数y=fu在区间N上有意义,且当X∈M 时,u∈N;有以下四种情况：1若u=gx在M上是增函数,y=fu在N上是增函数,则y=fgx在M上也是增函数；2若u=gx在M上是增函数,y=fu在N上是减函数,则y=fgx在M上也是减函数；3若u=gx在M上是减函数,y=fu在N上是增函数,则y=fgx在M上也是减函数；4若u=gx在M上是减函数,y=fu在N上是减函数,则y=fgx在M上也是增函数;注意：内层函数u=gx的值域是外层函数y=fu的定义域的子集;例1、讨论函数的单调性12又是减函数∴函数的增区间是-∞,2,减区间是2,+∞;②x∈-1,3令∴x∈-1,1上,u是递增的,x∈1,3上,u是递减的;∵是增函数∴函数在-1,1上单调递增,在1,3上单调递减;注意：要求定义域练习：求下列函数的单调区间;1、1减区间,增区间；2增区间-∞,-3,减区间1,+∞；3减区间,增区间；4减区间,增函数;2、已知求gx的单调区间;提示：设,则gx=fu利用复合函数单调性解决：gx的单调递增区间分别为-∞,-1,0,1,单调递减区间分别为-1,0,1,+∞;例2、y=fx,且lglgy=lg3x+lg3-x1y=fx的表达式及定义域；2求y=fx的值域；3讨论y=fx的单调性,并求其在单调区间上相应的反函数;答案：1x∈0,320,3y=fx在上单调递增函数,在上是单调递减函数当x∈时,；当x∈时,;例3、确定函数的单调区间;提示,先求定义域：-∞,0,0,+∞,再由奇函数,先考虑0,+∞上单调性,并分情况讨论; 函数的递增区间分别为-∞,-1,0,+∞函数的递减区间分别为-1,0,0,1;1、求下列函数的单调区间;1232、求函数的递减区间;3、求函数的递增区间;4、讨论下列函数的单调性;12答案：11递减区间2递增区间0,+∞3递减区间-∞,0递增区间2,+∞2、,23、-∞,-24、1在上是增函数,在上是减函数；2a ＞1时,在-∞,1上是减函数,在3,+∞上是增函数；用待定系数法求函数解析式一、填空题：1、已知二次函数m x x y ++=32的图象与x 轴只有一个交点,则m ＝;2、抛物线c bx x y ++=2过点1,0,与x 轴两交点间距离3,则b ＝,c ＝;3、抛物线42++=bx x y 与x 轴只有一个交点,则b ＝;4、抛物线的顶点是C2,3,它与x 轴交于A 、B 两点,它们的横坐标是方程0342=+-x x 的两个根,则AB ＝,S △ABC ＝;5、如图,二次函数5)2(2-+--=a x a x y 的图象交x 轴于A 、B 两点,交y 轴于点C,当线段AB 最短时,线段OC 的长是;6、若抛物线c x x y +-=212的顶点在x 轴上,则c 的值是;7、抛物线12--=mx x y 与x 轴有个交点; 二、选择题1、抛物线()5322--=x y 与y 轴的交点坐标是A0,－5；B0,13；C0,4；D3,－52、抛物线x x y --=221的顶点坐标为 A ⎪⎭⎫ ⎝⎛211，－B ⎪⎭⎫ ⎝⎛211，－C ⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21－D －1,0 3、若抛物线()322++--=m x m x y 的顶点在y 轴上,则m 的值为 A －3B3C －2D24、若抛物线c x x y +-=212的顶点在x 轴上,则c 的值为A 41；B 41－；C 161；D 161－ 5、函数()x x y -=32图象可能为 6、若2,5,4,5是抛物线c bx ax y ++=2上的两点,那么它的对称轴为直线A ab x -=B 1=x C 2=x D 3=x7、抛物线12--=mx x y 与x 轴的交点个数是A0；B1；C2；D 无数个;三、求符合下列条件的二次函数式图象：1、过点0,1,1,1,－1,－1；2、对称轴是x ＝2,经过1,4和5,0两点;3、抛物线与x 轴的一个交点6,0,顶点是4,－84、当x ＝3时,y 有最大值为－1,且抛物线过点4,－3;5、抛物线以点－1,－8为顶点,且与y 轴交点纵坐标为－6;6、顶点在x 轴上,对称轴方程x ＝－3,且经过点－1,4;7、求二次函数)4()232-+-+=m m x m x y （的图象与x 轴两交点间的距离的最小值,此时m 的值是多少8、二次函数图象经过A0,2和B5,7两点,且它的顶点在直线y ＝－x 上;。

高考数学复合函数知识点

高考数学复合函数知识点高考数学是高中数学的重点，其中数学复合函数是高考的难点之一。

复合函数是指在一个函数的基础上再嵌套上一个或多个函数，一般可以表示为f(g(x))，其中g是定义域为x的函数，f是定义域为g(x)的函数。

在自然科学研究领域中，大量的问题是采用函数的复合形式来表示的，所以在数学中复合函数有着广泛的应用和深刻的理论意义。

学习数学复合函数知识点是学习高等数学的重要一环，下面详细介绍高考数学复合函数知识点。

一、符号化表示方法在数学中，符号化表示方法是表示复合函数的标准形式，可以简化复合函数的表达和计算。

在符号化表示中，设有函数y=f(u),u=g(x)，则复合函数可以表示为y=f(g(x))。

在函数y=f(u)中，u是自变量，f(u)是因变量，他们都表示实数。

我们可以把y当作g(x)的自变量，因为f(u)的自变量是u，而u又是g(x)，所以就有了f(g(x))这个符号化表示方法。

这种方式可以简化学习和计算，便于我们对复杂函数关系进行求解。

二、复合函数的求法计算复合函数时，一般需要利用函数的复合法则。

复合函数的基本法则可以表示为：若有函数y=f(u), u=g(x)，则y=f(g(x))。

简单来讲，就是先用x求出g(x)的值，然后用g(x)的值代入f(u)中，得到f(g(x))的值。

需要强调的是，当有多个函数嵌套时，求解复合函数时，应该由内向外逐层求解。

三、除零问题在复合函数的计算中，除零问题是一个重要的考点。

因为如果在复合函数计算中出现除零，结果会得不到解，而造成解题失败。

需要注意，当输入的自变量是使得f(u)=0的值时，可能会出现f(g(x))=f(u)/u，这难以处理，因为除了极少数特定函数之外，0不是任何函数的定值点。

如果g(x)是使得f(u)=0的解，那么f(g(x))将等于未定义。

在数学中，可以通过限定定义域的范围来避免此类问题。

四、基本变换函数的复合基本变换函数的复合也是经常考点之一，他可以帮助我们解决复杂的函数嵌套，同时也是进一步学习函数的基础。

高一复合函数知识点总结

高一复合函数知识点总结复合函数是高中数学中的重要概念之一，它是由两个或多个函数组合而成的函数。

在高一阶段学习复合函数时，需要掌握一些基本知识点和技巧。

本文将对高一复合函数的相关知识进行总结，包括定义、性质和常见解题方法等方面。

1. 复合函数的定义复合函数是由两个函数构成的函数。

设有函数f(x)和g(x)，则复合函数f(g(x))表示先对自变量进行g(x)的变换，再对结果进行f(x)的变换。

可以用以下形式表示：f(g(x))，也可以写作(f ∘g)(x)。

2. 复合函数的求解对于给定的复合函数f(g(x))，求解的方法如下：Step 1: 先确定内层函数g(x)的定义域和值域，保证f(g(x))有意义。

Step 2: 将g(x)的结果代入f(x)中，得到f(g(x))的表达式。

Step 3: 综合以上结果，确定f(g(x))的定义域和值域。

3. 复合函数的性质（1）复合函数的定义域：复合函数的定义域等于内层函数g(x)的定义域中，使得g(x) ∈ f(x)的值域。

（2）复合函数的值域：与内层函数g(x)的值域相对应，即g(x)的值域是f(g(x))的值域。

（3）复合函数的奇偶性：若f(x)是奇函数，g(x)是任意函数，则f(g(x))也是奇函数；若f(x)是偶函数，g(x)是任意函数，则f(g(x))也是偶函数。

（4）复合函数的单调性：若f(x)在[a, b]上单调增加（或单调减少），g(x)是单调函数，则f(g(x))在[a, b]上也单调增加（或单调减少）。

4. 复合函数的常见解题方法（1）求函数的复合逆：对于复合函数f(g(x))，若要求它的复合逆，可以先求g(x)的逆函数g^(-1)(x)，然后将g^(-1)(x)代入f(x)中即可。

（2）复合函数的导数：若已知内层函数g(x)可导，外层函数f(x)在g(x)的值域上可导，则可以利用链式法则求得复合函数的导数。

（3）复合函数与反函数的关系：若复合函数f(g(x))恒等于x，且g(x)为f(x)的反函数，则f(x)和g(x)互为反函数。

高一数学复习考点知识讲解课件46---简单复合函数的导数

高一数学复习考点知识讲解课件5.2.3简单复合函数的导数考点知识1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导．导语同学们，大家有没有过网购的经历？大家一定有过这样的感受，即便你知道你买的什么东西，但当你拆开包装袋的时候，一样能给你带来无限的期盼与喜悦，犹如“拨开云雾见天日，守得云开见月明”，在我们数学上，也有一样让我们期盼的例子，那就是我们今天要学习的复合函数．一、复合函数概念的理解问题1函数y＝ln(2x－1)是如何构成的？提示y＝ln(2x－1)，其中的2x－1“占据”了对数函数y＝ln x中x的位置，f(x)＝ln x，而f(2x－1)＝ln(2x－1)，这里有代入、代换的思想，则函数y＝ln(2x－1)是由内层函数和外层函数复合而成，是复合函数．知识梳理复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．注意点：内、外层函数通常为基本初等函数．例1(多选)下列哪些函数是复合函数()A ．y ＝x ln xB ．y ＝(3x ＋6)2C ．y ＝e sin xD ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3 答案BCD解析A 不是复合函数；BCD 都是复合函数．反思感悟若f (x )与g (x )均为基本初等函数，则函数y ＝f (g (x ))或函数y ＝g (f (x ))均为复合函数，而f (x )，g (x )不是复合函数．跟踪训练1(多选)下列哪些函数是复合函数()A ．y ＝log 2(2x ＋1)B ．y ＝2x 2－1xC ．y ＝2ln xD ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π6 答案ACD二、求复合函数的导数问题2如何求函数y ＝sin2x 的导数？提示y ＝2sin x cos x ，由两个函数相乘的求导法则可知：y ′＝2cos 2x －2sin 2x ＝2cos2x ；从整体上来看，外层函数是基本初等函数y ＝sin u ，它的导数y ′＝cos u ，内层函数是幂函数的线性组合u ＝2x ，它的导数是u ′＝2，发现y ′x ＝y ′u ·u ′x .知识梳理复合函数的求导法则一般地，我们有，若y ＝f (u )，u ＝ax ＋b ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y ′x ＝y ′u ·a .注意点：(1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构；(2)求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则；(3)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导．例2求下列函数的导数：(1)y ＝1(1－3x )4； (2)y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3； (3)y ＝log 2(2x ＋1)；(4)y ＝e 3x ＋2.解(1)令u ＝1－3x ，则y ＝1u 4＝u －4，所以y ′u ＝－4u －5，u ′x ＝－3.所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝12u －5＝12(1－3x )5. (2)令u ＝2x ＋π3，则y ＝cos u ，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝－sin u ·2＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (3)设y ＝log 2u ，u ＝2x ＋1，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝2u ln2＝2(2x ＋1)ln2. (4)设y ＝e u ，u ＝3x ＋2，则y ′x ＝(e u )′·(3x ＋2)′＝3e u ＝3e 3x ＋2.反思感悟(1)求复合函数的导数的步骤(2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁．跟踪训练2求下列函数的导数：(1)y ＝11－2x； (2)y ＝5log 2(1－x )；(3)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6. 解(1)y ＝1212()x -－，设y ＝12u -，u ＝1－2x ，则y ′x ＝12(1))2(u x -'-'＝3221()·2u -⎛⎫- ⎪⎝⎭－＝3212()x -－.(2)函数y ＝5log 2(1－x )可看作函数y ＝5log 2u 和u ＝1－x 的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝5(log 2u )′·(1－x )′＝－5u ln2＝5(x －1)ln2. (3) 设y ＝sin u ，u ＝4x ＋π6，则y ′x ＝(sin u )′⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6′＝cos u ·4＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6.三、复合函数的导数的应用例3已知函数f (x )＝ax 2＋2ln(2－x )(a ∈R )，设曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线为l ，若l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相切，求a 的值．解∵f ′(x )＝a (x 2)′＋2·12－x ·(2－x )′ ＝2ax －22－x， ∴f ′(1)＝2a －2，又f (1)＝a ＋2ln1＝a ，∴切线l 的方程为y －a ＝2(a －1)(x －1)，即2(a －1)x －y －a ＋2＝0.∵直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相切，∴圆心(0,0)到直线l 的距离为12，∴|2－a|4(a－1)2＋1＝12，解得a＝118.反思感悟正确的求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．跟踪训练3曲线y＝f(x)＝e2x·cos3x在点(0,1)处的切线与平行直线l的距离为5，求直线l的方程．解y＝e2x·cos 3x的导数为y′＝2e2x·cos 3x＋(－3sin 3x)·e2x＝e2x·(2cos 3x－3sin 3x)．曲线在点(0,1)处的切线斜率为e0·(2cos 0－3sin 0)＝2，则曲线在点(0,1)处的切线方程为y＝2x＋1，设直线l：y＝2x＋t，由d＝|t－1|1＋4＝5，解得t＝6或－4.则直线l的方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.1.知识清单：(1)复合函数的概念．(2)复合函数的求导法则．(3)复合函数的导数的应用．2.方法归纳：转化法．3.常见误区：求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分清是对哪个变量求导；计算结果复杂化．1．(多选)函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是()A．y＝u n，u＝x2－1B．y＝(u－1)n，u＝x2C．y＝t n，t＝(x2－1)n D.t＝x2－1, y＝t n答案AD2．已知函数f(x)＝ln(ax－1)的导函数是f′(x)，且f′(2)＝2，则实数a的值为()A.12B.23C.34D．1答案B解析求导得f′(x)＝aax－1，则f′(2)＝a2a－1＝2，解得a＝23.3．设f(x)＝ln(3x＋2)－3x2，则f′(0)等于()A．1B.32C．－1D．－2答案B解析f′(x)＝33x＋2－6x，故f′(0)＝32－0＝32.4．设曲线y＝e ax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________. 答案2解析易知y ′＝a e ax ，k ＝a e 0＝a ，故a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，则a ＝2. 课时对点练1．(多选)下列函数是复合函数的是()A ．y ＝－x 3－1x ＋1B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4C ．y ＝1ln xD ．y ＝(2x ＋3)4答案BCD解析A 不是复合函数，B ，C ，D 均是复合函数，其中B 由y ＝cos u ，u ＝x ＋π4复合而成；C 由y ＝1u ，u ＝ln x 复合而成；D 由y ＝u 4，u ＝2x ＋3复合而成．2．设f (x )＝log 3(x －1)，则f ′(2)等于()A ．ln3B ．－ln3C.1ln3D ．－1ln3答案C解析f ′(x )＝1(x －1)ln3，故f ′(2)＝1ln3.3．函数y＝x ln(2x＋5)的导数为()A．ln(2x＋5)－x2x＋5B．ln(2x＋5)＋2x2x＋5C．2x ln(2x＋5) D.x 2x＋5答案B解析∵y＝x ln(2x＋5)，∴y′＝ln(2x＋5)＋2x2x＋5.4．函数y＝f(x)＝x(1－ax)2(a>0)，且f′(2)＝5，则a等于()A．1B．－1C．2D．－2答案A解析y′＝(1－ax)2－2ax(1－ax)，则f′(2)＝12a2－8a＋1＝5(a>0)，解得a＝1(舍负)．5．曲线y＝2x e x－2在点(2,4)处切线的斜率等于()A．2eB．eC．6D．2答案C解析∵y＝2x e x－2，∴y′＝2e x－2＋2x e x－2，∴k＝2e0＋4e0＝6，故选C.6．(多选)下列结论中不正确的是()A．若y＝cos 1x，则y′＝－1x sin1xB．若y＝sin x2，则y′＝2x cos x2 C．若y＝cos5x，则y′＝－sin5xD．若y＝12x sin2x，则y′＝x sin2x答案ACD解析对于A，y＝cos 1x，则y′＝1x2sin1x，故错误；对于B，y＝sin x2，则y′＝2x cos x2，故正确；对于C，y＝cos5x，则y′＝－5sin5x，故错误；对于D，y＝12x sin2x，则y′＝12sin2x＋x cos2x，故错误．7．已知f(x)＝x ln x，若f′(x0)＋f(x0)＝1，则x0的值为________．答案1解析因为f′(x)＝ln x＋1.所以由f′(x0)＋f(x0)＝1，得ln x0＋1＋x0ln x0＝1.解得x0＝1.8．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________．答案2解析设直线y＝x＋1切曲线y＝ln(x＋a)于点(x0，y0)，则y0＝1＋x0，y0＝ln(x0＋a)，又曲线的导数为y′＝1x＋a，∴k＝1x0＋a＝1，即x0＋a＝1.又y0＝ln(x0＋a)，∴y0＝0，∴x0＝－1，∴a＝2.9．求下列函数的导数：(1)y ＝ln(e x ＋x 2)；(2)y ＝102x ＋3；(3)y ＝11－x 2； (4)y ＝sin2x cos3x .解(1)令u ＝e x ＋x 2，则y ＝ln u .∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝1u ·(e x ＋x 2)′＝1e x ＋x 2·(e x ＋2x )＝e x ＋2x e x ＋x2. (2)令u ＝2x ＋3，则y ＝10u ，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝10u ·ln10·(2x ＋3)′＝2ln10·102x ＋3.(3)设y ＝12u -，u ＝1－x 2，则y ′x ＝122(()1)u x -''－223321()·21().2u x x x --=-－＝－ (4)∵y ＝sin2x cos3x ，∴y ′＝(sin2x )′cos3x ＋sin2x (cos3x )′＝2cos2x cos3x －3sin2x sin3x .10．曲线y ＝e 2x ＋1在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为5，求直线l 的方程．解因为y ＝e 2x ＋1，所以y ′＝2e 2x ＋1，所以k ＝2，故曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1处的切线方程为2x －y ＋2＝0，设直线l 的方程为2x －y ＋m ＝0(m ≠2)，由||m －25＝5得，m ＝7或－3，所以直线l 的方程为2x －y ＋7＝0或2x －y －3＝0.11．曲线y ＝e －2x ＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为() A.13B.12C.23D ．1答案A解析依题意得y ′＝e －2x ·(－2)＝－2e －2x ，k ＝－2e －2×0＝－2.所以曲线y ＝e －2x ＋1在点(0,2)处的切线方程是y －2＝－2x ，即y ＝－2x ＋2.在平面直角坐标系中作出直线y ＝－2x ＋2，y ＝0与y ＝x 的图象，如图所示．因为直线y ＝－2x ＋2与y ＝x 的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，直线y ＝－2x ＋2与x 轴的交点坐标是(1,0)，所以结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积为12×1×23＝13.12．曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是() A.5B ．25C ．35D ．0答案A解析设曲线y ＝ln(2x －1)在点(x 0，y 0)处的切线与直线2x －y ＋3＝0平行．∵y ′＝22x －1， ∴k ＝22x 0－1＝2，解得x 0＝1，∴y 0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1,0)．∴切点(1,0)到直线2x －y ＋3＝0的距离为d ＝|2－0＋3|4＋1＝5，即曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是 5.13．(多选)已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值可以是()A.π4B.π2C.3π4D.7π8答案CD解析因为y ＝4e x ＋1，所以y ′＝－4e x(e x ＋1)2＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1＝－4e x ＋1e x ＋2. 因为e x >0，所以e x ＋1e x ≥2(当且仅当x ＝0时取等号)，所以y ′∈[－1,0)，所以tan α∈[－1,0)．又因为α∈[0，π)，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 14．设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0<φ<π)，若f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝________.答案π6解析∵f ′(x )＝－3sin(3x ＋φ)， ∴f (x )＋f ′(x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)，令g (x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)，∵其为奇函数，∴g (0)＝0，即cos φ－3sin φ＝0， ∴tan φ＝33，又0<φ<π，∴φ＝π6.15．若曲线y ＝14sin2x ＋32cos 2x 在A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点处的切线互相垂直，则|x 1－x 2|的最小值为()A.π3B.π2C.2π3D ．π答案B解析∵y ＝14sin2x ＋32cos 2x ＝14sin2x ＋32×1＋cos2x 2＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋34， ∴y ′＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴曲线的切线斜率在[－1,1]范围内，又曲线在两点处的切线互相垂直，故在A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点处的切线斜率必须一个是1，一个是－1. 不妨设在A 点处切线的斜率为1，则有2x 1＋π3＝2k 1π(k 1∈Z )，2x 2＋π3＝2k 2π＋π(k 2∈Z )，则可得x 1－x 2＝(k 1－k 2)π－π2＝k π－π2(k ∈Z )，所以|x 1－x 2|min ＝π2.16．(1)已知f (x )＝e πx sinπx ，求f ′(x )及f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12； (2)在曲线y ＝11＋x 2上求一点，使在该点的切线平行于x 轴，并求切线方程．解(1)∵f (x )＝e πx sinπx ，∴f ′(x )＝πe πx sinπx ＋πe πx cosπx＝πe πx (sinπx ＋cosπx )．∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝π2πe ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2＋cos π2＝π2πe . (2)设切点坐标为P (x 0，y 0)，由题意可知k ＝0.又y ′＝－2x (1＋x 2)2，∴k＝－2x0(1＋x20)2＝0.解得x0＝0，此时y0＝1.即切点坐标为P(0,1)，切线方程为y－1＝0.。

高中数学求解复合函数的思路与方法详解

高中数学求解复合函数的思路与方法详解在高中数学中，复合函数是一个非常重要的概念。

理解和掌握复合函数的求解方法对于解决各类数学问题至关重要。

本文将详细介绍复合函数的思路与方法，并通过具体的例题进行分析和说明，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用复合函数。

一、复合函数的定义与思路复合函数是指由两个或多个函数构成的函数。

在求解复合函数时，我们需要按照一定的思路进行操作。

首先，要明确复合函数的定义，即将一个函数的输出作为另一个函数的输入。

其次，要根据题目给出的条件，确定复合函数的具体形式。

最后，根据已知的函数关系，通过代入和运算等方法求解复合函数的值。

二、复合函数的求解方法1. 代入法代入法是求解复合函数的常用方法之一。

通过将已知的函数关系代入到复合函数中，可以得到复合函数的具体表达式。

例如，已知函数f(x) = 2x + 1，g(x) = x^2，求解复合函数h(x) = f(g(x))。

我们可以将g(x)代入到f(x)中，得到h(x) = 2(x^2) + 1。

通过代入法，我们得到了复合函数h(x)的表达式。

2. 分解法分解法是求解复合函数的另一种常用方法。

通过将复合函数分解成多个简单的函数，可以更方便地求解复合函数的值。

例如，已知函数f(x) = 2x + 1，g(x) = x^2，求解复合函数h(x) = f(g(x))。

我们可以先求解g(x)，再将g(x)的结果代入到f(x)中。

即先求解g(x) = x^2，再将g(x)的结果代入到f(x)中，得到h(x) = 2(x^2) + 1。

通过分解法，我们得到了复合函数h(x)的表达式。

三、具体例题分析与解答为了更好地理解和应用复合函数的思路与方法，我们将通过具体的例题进行分析和解答。

例题1：已知函数f(x) = 2x + 1，g(x) = x^2，求解复合函数h(x) = f(g(x))。

解答：首先，我们可以通过代入法求解复合函数h(x)的表达式。

高一数学知识点总结复合函数

高一数学知识点总结复合函数高一数学知识点总结：复合函数在高一数学学习中，复合函数是一个重要的概念。

复合函数结合了两个或多个简单函数，通过将一个函数的输出作为另一个函数的输入，进而产生了一个新的函数。

本文将对复合函数的概念、性质和应用进行总结。

一、复合函数的定义与表示复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入，并得到一个新的函数。

设有函数f(x)和g(x)，那么在定义域内存在h(x) = g(f(x))，其中h(x)表示函数f(x)和g(x)的复合函数。

我们可以将复合函数表示为h(x) = g(f(x))，其中f(x)为内函数，g(x)为外函数。

此时，内函数的定义域必须是外函数的值域。

二、复合函数的性质1. 交换律：f(g(x)) = g(f(x))。

即复合函数的结果与函数的先后顺序无关。

2. 结合律：(f(g(x))) • h(x) = f(g(h(x)))。

即复合函数连续运算的结果与加括号的方式无关。

3. 单位元：f(x) • 1 = 1 • f(x) = f(x)。

即复合函数与单位元的运算结果不变。

4. 复合函数不具有交换率。

5. 逆函数与复合函数：若f(g(x)) = x，g(f(x)) = x，则f(x)和g(x)互为逆函数。

三、复合函数的应用1. 函数的求值：复合函数可以用于求函数在特定点的值。

通过将内函数的输出作为外函数的输入，可以简化计算过程。

2. 函数的复合关系：复合函数可以帮助我们研究函数之间的关系。

通过分析复合函数的性质，可以得出函数的单调性、奇偶性等特征。

3. 函数的图像平移与变形：复合函数可以用于对函数图像进行平移、伸缩、镜像等操作，从而得到新的函数图像。

4. 物理问题的建模：复合函数在物理学中有广泛的应用。

例如，通过将距离与时间的函数复合，可以建立运动物体的位移函数。

总结：复合函数是数学中重要的概念之一，它将两个或多个函数进行组合，形成一个新的函数。

复合函数具有交换律、结合律和单位元等性质。

复合函数高考知识点

复合函数高考知识点复合函数是数学中一个重要的概念，也是高考考查的知识点之一。

在解析几何、微积分和数列等数学领域中都广泛应用到复合函数的概念。

本文将介绍复合函数的定义、性质和求导法则，希望对高考复合函数的考察有所帮助。

一、复合函数的定义复合函数是由两个函数组合而成的新函数。

设有两个函数f(x)和g(x)，则f(g(x))称为复合函数，记作(f∘g)(x)。

其中，g(x)的定义域必须是f(x)的值域，使得复合函数有意义。

二、复合函数的性质1. 结合律：对于三个函数f(x)、g(x)和h(x)，有(f∘g)∘h = f∘(g∘h)。

即复合函数的结果不受函数的结合顺序影响。

2. 交换律：对于两个可以复合的函数f(x)和g(x)，通常有(f∘g)(x) ≠ (g∘f)(x)。

即复合函数的次序对结果有影响。

3. 恒等函数：对于任意函数f(x)，有(f∘g)(x) = f(x)和(g∘f)(x) = g(x)。

即恒等函数不改变函数的性质。

三、复合函数的求导法则1. 链式法则：若函数y=f(u)和u=g(x)均可导，则复合函数y=f(g(x))也可导，且有dy/dx=(dy/du)(du/dx)。

2. 特殊情况：若f(x)可导，g(x)在x点可导，则复合函数(f∘g)(x)也可导，在x点的导数为(f∘g)'(x)=f'(g(x))·g'(x)。

四、复合函数的应用举例1. 解析几何：复合函数广泛应用于平面几何和立体几何中的坐标计算和变换问题。

例如，已知三角形ABC的顶点坐标分别为A(2,1)、B(4,5)、C(7,3)，求三角形的重心G的坐标。

首先，根据重心的定义可知G的坐标为G((x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3)。

设函数x=f(t)=(x1(t)+x2(t)+x3(t))/3，其中x1(t)、x2(t)和x3(t)分别为顶点A、B、C的横坐标的函数。

同理，设函数y=g(t)=(y1(t)+y2(t)+y3(t))/3，其中y1(t)、y2(t)和y3(t)分别为顶点A、B、C的纵坐标的函数。

高一数学复合函数

引理2：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间引理2：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数
y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。即：x → u → y
(a,b)上是减函数，其值域为(c,d),又函数定义：如果y是u的函数，记为y=f(u),u 又是x的函数，记为u=g(x),且g(x)的值域与f(u)的定义域的交集不空，则确定了一个y关于x的函
合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。引理1：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数
y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。 (2)y=f[g(x)]的定义域为D，则g(x)在D上的取值范围(g(x)的值域)即为f(x)的定义域. 即：x → u → y 若复合函数y=f[g(x)]，外函数y=f(u)，内函数u=g(x)：即：x → u → y 即：x → u → y
y=f[g(x)],这时y叫x的复合函数，其中u叫中间变量，y=f(u)叫外层函数，u=g(x)叫内层函数.
y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复即：x → u → y
引理2：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数 y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。
的单调区间.
例题 2、求 y x2 4x5函数的单调.
例3：求函数 f (x) 1 x2 3x2 的单调性。

(完整版)高一必修一数学-复合函数定义域

复合函数的定义域讲解内容：复合函数的定义域求法讲解步骤：第一步：函数概念及其定义域函数的概念：设是,A B 非空数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为集合A 到集合B 的函数，记作：(),y f x x A =∈。

其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值.第二步：复合函数的定义一般地：若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.例如: 2()35,()1f x x g x x =+=+；复合函数(())f g x 即把()f x 里面的x 换成()g x ，22(())3()53(1)538f g x g x x x =+=++=+问：函数()f x 和函数(5)f x +所表示的定义域是否相同？为什么？（不相同；原因：定义域是求x 的取值范围，这里x 和5x +所属范围相同，导致它们定义域的范围就不同了。

）第三步：介绍复合函数的定义域求法例1. 已知()f x 的定义域为](3,5-，求函数(32)f x -的定义域；解：由题意得35x -<≤Q3325x ∴-<-≤ 137x -<≤1733x ∴-<≤ 所以函数(32)f x -的定义域为17,33⎛⎤- ⎥⎝⎦. 练1.已知)(x f 的定义域为]30(，，求)2(2x x f +定义域。

解因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中，即⎩⎨⎧≤≤->-<⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+⇔≤+<13023202320222x x x x x x x x x ，或即23-<≤-x 或10≤<x故)2(2x x f +的定义域为[)(]1,02,3Y -- 例2. 若函数()x f 23-的定义域为[]2,1-，求函数()x f 的定义域解:由题意得23x ∴-≤≤639x ∴-≤≤42311x ∴-≤+≤所以函数()f x 的定义域为：[]4,11-例3. 已知)1(+x f 的定义域为)32[，-，求()2-x f 的定义域。

高中复合函数

高中复合函数复合函数是数学中一种重要的函数，它把两个函数泛化为一个函数，二者在实践中有着许多有用的应用。

高中复合函数在数学教师的课堂中是常见的，分为数学考试题的考试内容。

本文将介绍复合函数的定义、性质、图象表示与常见高中复合函数，以帮助读者全面了解复合函数的内容。

一、定义复合函数的定义是把两个函数f（x）和g（x）结合起来构成一个新的函数，叫做复合函数。

通常形式为：h（x）=f（g（x））。

若f （x）、g（x）是定义在A和B上的函数，则复合函数h（x）也是定义在A上的函数。

二、性质1.合函数的定义域和值域分别是两个函数f（x）和g（x）的定义域和值域的交集，并且复合函数h（x）的定义域可以更小。

2.果复合函数h（x）=f（g（x）），函数f（x）和g（x）可以互换，而新的复合函数H（X）=g（f（x））也是复合函数。

3.合函数可以看作由函数f（x）所包含的所有函数组成的集合，这些函数的参数都是有限的，由函数g（x）的值决定。

三、图象表示图象表示一个复合函数的形式是把每一步的函数用图形表示出来。

例如复合函数h（x）=f（g（x）），把f（x）和g（x）图象放在一起，它们的结合就可以表示复合函数h（x）的定义域和值域。

四、常见的高中复合函数1. 一阶复合函数：形式为h（x）=f（g（x）），其中f（x）和g （x）都是一阶函数，例如h（x）=x2+3x+3。

2. 二阶复合函数：形式为h（x）=f（g（x）），其中f（x）和g （x）都是二阶函数，例如h（x）=x3+3x2+3x+1。

3. 三阶复合函数：形式为h（x）=f（g（x）），其中f（x）和g （x）都是三阶函数，例如h（x）=x4+4x3+6x2+4x+1。

4.式复合函数：形式为h（x）=f（g（x）），其中f（x）和g（x）都是多项式，例如h（x）=x3+2x+1。

五、结论高中复合函数是数学考试的重要考察内容，其定义、特征、图象表示及常见的高中复合函数等有助于高中生更好的认识复合函数的内容，从而更高效的复习复合函数的内容。

复合函数(知识点总结、例题分类讲解)

千里之行，始于足下。

复合函数(知识点总结、例题分类讲解)复合函数是指由两个或多个函数相互作用形成的新函数。

在数学中，复合函数是一种常见的概念，并且在高等数学、线性代数、微积分等多个领域中都有应用。

本文将对复合函数的知识点进行总结，并通过分类讲解一些例题。

一、复合函数的定义：设有函数f和g，对于g的定义域中的每个x，存在f的定义域中的y，使得y=g(x)，则有一个复合函数h(x)=f(g(x))，它的定义域是所有能使得g(x)的值能成为f(x)定义域中的自变量的值的x。

二、复合函数的求解步骤：1. 确定复合函数的形式h(x)=f(g(x))。

2. 确定g(x)的定义域和f(x)的定义域，并找到能使得g(x)的值成为f(x)的自变量的值。

3. 将g(x)的值代入f(x)中，得到新的函数h(x)。

三、复合函数的性质：1. 复合函数的定义域是g(x)的定义域和f(x)的定义域的交集。

2. 复合函数的值域是f(x)的值域的子集。

四、复合函数的例题分类讲解：1. 简单的复合函数求导：例题1：已知f(x)=x²和g(x)=2x+1，求复合函数h(x)=f(g(x))的导函数h'(x)。

第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。

解析：首先计算g'(x)=2，然后计算f'的导函数f'(x)=2x。

根据链式法则，h'(x)=f'(g(x))*g'(x)=2(2x+1)*2=8x+4。

2. 复合函数中含有指数函数：例题2：已知f(x)=eˣ和g(x)=ln(x)，求复合函数h(x)=f(g(x))的导函数h'(x)。

解析：首先计算g'(x)=1/x，然后计算f'的导函数f'(x)=eˣ。

根据链式法则，h'(x)=f'(g(x))*g'(x)=eˣ*(1/x)=eˣ/x。

3. 复合函数中含有三角函数：例题3：已知f(x)=sin(x)和g(x)=x²，求复合函数h(x)=f(g(x))的导函数h'(x)。

高考数学复合函数知识点

高考数学复合函数知识点不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数，只有当 Mx∩Du≠?时，二者才可以构成一个复合函数。

下面是小编为大家精心推荐数学复合函数知识点总结，希望能够对您有所帮助。

1.复合函数定义域若函数 y=f(u)的定义域是 B,u=g(x)的定义域是 A,则复合函数 y=f[g(x)]的定义域是D= {x|x∈A,且 g(x)∈B} 综合考虑各部分的 x 的取值范围，取他们的交集。

求函数的定义域主要应考虑以下几点：⑴当为整式或奇次根式时，R 的值域;⑵当为偶次根式时，被开方数不小于 0(即≥0);⑶当为分式时，分母不为 0;当分母是偶次根式时，被开方数大于 0 ;⑷当为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为 0(如，中)。

⑸当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。

⑹分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。

⑺由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求⑻对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非空集合。

⑼对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于 1。

⑽三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。

注：设 y=f(u)的最小正周期为T1, μ= φ (x)的最小正周期为 T2,则y=f(μ)的最小正周期为 T1_2,任一周期可表示为 k_1_2(k 属于 R+)2.复合函数单调性依 y=f(u)，μ= φ (x)的单调性来决定。

即“增+增=增;减+减=增;增+减=减 ; 减+增=减” ，可以简化为“同增异减”。

⑴求复合函数的定义域;⑵将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数);⑶判断每个常见函数的单调性;⑷将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围;⑸求出复合函数的单调性。

三角函数诱导公式记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限” 。

复合函数(讲义)

复合函数(讲义)1.复合函数定义如果函数y=f(u)，u=g(x)，那么函数y=f(g(x))就被称为复合函数，其中f(u)是外层函数，g(x)是内层函数，u是中间变量。

2.复合函数定义域的求法①如果y=f(x)的定义域为[a,b]，那么复合函数y=f(g(x))的定义域即为不等式a≤g(x)≤b的解集；②如果y=f(g(x))的定义域为[a,b]，那么函数y=f(x)的定义域即为x∈[a,b]时g(x)的取值范围。

注：同一对应法则f下的范围相同，即f(u)、f(g(x))、f(h(x))三个函数中，u，g(x)，f(x)的范围相同。

3.复合函数的单调性口诀：同增异减。

已知函数y=f(g(x))，则求其单调区间的一般步骤如下：1）确定定义域；2）将复合函数y=f(g(x))分解成：y=f(u)，u=g(x)；3）分别确定这两个函数的单调区间。

4.复合函数的奇偶性口诀：有偶则偶，全奇为奇。

即：f(x)。

偶函数。

奇函数。

奇函数g(x)。

偶函数。

奇函数。

偶函数。

奇函数f(g(x))。

偶函数。

奇函数精讲精练】1.1）f(g(x))=2(3x-5)+3=6x-7，g(f(x))=3(2x+3)-5=6x+4 2）f(x+1)=(x+1)²+1= x²+2x+22.1）f(x²)，则x²≥0，即定义域为[0,+∞)f(x-2)，则x-2≥0，即定义域为[2,+∞)2）f(x+1)，则x+1∈[-2,1]，即定义域为[-3,0]f(2)，则2∈[-2,1]，即定义域为[-3,0]3）f(2x)，则2x∈[-1,+∞)，即定义域为[-1/2,+∞)f(log₂x)，则log₂x∈[-1,+∞)，即定义域为[1/2,+∞) 4）f(x)=log₃x，则定义域为(0,+∞)3.1）y=log₁⁄₂(x²+6x+13)，x²+6x+13>0，即x∈(-∞,-3]∪(-3,-2]∪(-2,+∞)，值域为(-∞,+∞)2）y=(f(x²)+f(2-x))/(2-x²)，x²≤2，即x∈[-√2,√2]，(2-x)²>0，即2-x≠0，即x≠2，值域为(-∞,a]∪[b,+∞)，其中a=f(2-√2)+f(√2-2)，b=f(2+√2)+f(-√2-2)3）y=log₂(4x²-1)，4x²-1>0，即x∈(-∞,-1/2)∪(1/2,+∞)，值域为(-∞,+∞)4.已知y=ax²/(x²+1)-11x²/(x²+4)，化简得y=-3x²(x²+1)/(x²+4)(x²+1)，x²+4>0，即x∈(-∞,-2)∪(-2,+∞)，x²+1>0，即x∈(-∞,+∞)，因此定义域为(-∞,-2)∪(-2,+∞)，值域为(-∞,0]1.函数f(x)=3x^2-18x+24在x∈[1,8]时有最小值8，则函数的最小值为8，求a的值。

复合函数的性质及解析方法

复合函数的性质及解析方法复合函数是高中数学中一个重要的概念，也是初学微积分的基础，本文将从复合函数的定义、性质及解析方法三个方面介绍这个概念。

一、复合函数的定义所谓复合函数，就是由两个函数组成的一个新函数。

设有函数$f(x)$ 和 $g(x)$，则它们的复合函数 $F(x)$ 定义为：$$F(x)=f[g(x)]$$其中，$x$ 是自变量，$g(x)$ 是 $x$ 的函数，$f(x)$ 是 $g(x)$ 的函数。

二、复合函数的性质1. 复合函数的可交换性：设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都有定义域 $X$ 和值域 $Y$，则当 $f[g(x)]$ 和 $g[f(x)]$ 均有定义时，有：$$f[g(x)]=g[f(x)]$$这被称为复合函数的可交换性，也就是说，多次复合函数的结果与复合的次序无关。

2. 复合函数的可微性：如果 $f(x)$ 在点 $g(a)$ 处可导，$g(x)$ 在点$a$ 处可导，则复合函数 $F(x)$ 在点 $a$ 处也可导，且有：$$F'(a)=f'[g(a)]\cdot g'(a)$$这个公式被称为复合函数求导法则或链式法则。

3. 复合函数的反函数：如果 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是一对反函数，即$f[g(x)]=x$，$g[f(x)]=x$，则有：$$F^{-1}(x)=g^{-1}[f^{-1}(x)]$$其中，$F^{-1}(x)$ 表示 $F(x)$ 的反函数。

三、复合函数的解析方法有些复合函数的解析比较简单，比如 $F(x)=\sqrt{1+e^{2x}}$ 就可以直接分解成 $F(x)=f[g(x)]$ 的形式，其中 $f(x)=\sqrt{1+x}$，$g(x)=e^{2x}$，从而应用函数复合的定义进行计算。

对于一些较为复杂的复合函数，我们需要运用一些解析方法进行求解，如下面几种方法：1. 基本初等复合函数：这种复合函数是由基本初等函数（包括正弦、余弦、指数、对数、幂、三角函数等）和加、减、乘、除等运算所组成的。