勒让德多项式资料

勒让德多项式

边( z − z0 )的各次幂的系数均为零 ]来确定。
一、勒让德方程的级数解
2
− 2x l (l + 1) p(x ) = , q(x ) = , 2 2 − 1− x 1 x ∞
令
∞ ∞
(1 − x )y′′ − 2 xy′ + l (l + 1)y = 0
y = ∑ ck x
k =0 k
§14.1 勒让德多项式
(11)
( ( − 1) (4 − 0 )! − 1) (4 − 2)! 2 P2 (x ) = 2 x + 2 x0 2 0!(2 − 0 )!(2 − 0 )! 2 1!(2 − 1)!(2 − 2)!
1 2 = (3x − 1) 2
→ 无穷级数
三、本征值问题
§14.1 勒让德多项式
总之，本征值问题 1 − x 2 y ′′ − 2 xy ′ + l (l + 1) y = 0, l (l + 1) − 常数 (8) y x = ±1 → 有限,
(
)
本征值 : l (l + 1), l = 0,1,2,...
本征函数：
n
y0 ( x ) = c0 + c2 x + ... + cl x , l = 2n
( 2l )! cl = l 2 2 (l !)
记上述l次多项式y0 ( x )或y1 (x )为Pl ( x ),
称之为l阶Legendre多项式。
四、勒让德多项式
l 2
§14.1 勒让德多项式
l -勒让德多项式 , l = 2n l 2 其中 = 2 l − 1 , l = 2n + 1 2 1 − x 2 y ′′ − 2 xy ′ + l (l + 1) y = 0, l (l + 1) − 常数 (8 ) 于是： y x = ±1 → 有限 ,

数学物理方程课件第六章勒让德多项式

0
2 (2n)!
2n n!
2n n! 2n n!2n 1 2n 153
2 (2n)!
2n 1!
2 2n 1
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
性质2 递推公式
(n 1)Pn1 (x) (2n 1)xPn (x) nPn1 (x) 0
Pn1 (x) Pn1 (x) 2n 1Pn (x)
n0
Cn
2n 1 2
1 1
x Pn (x)dx
C0
1 2
1
1 x P0 (x)dx
1 2
1
x dx
1
1 2
C2n1 0
C2n
4n 1 2
1 1
x
P2n
(x)dx
4n
1
1 0
xP2n
( x)dx
4n 1
22n 2n!
1 d2n 0 x dx2n
(x2 1)2n dx
4n 1 22n 2n !
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
三勒让德多项式
y APn (x) BQn (x)
Pn
(x)
M
(1)m
m0
2n 2m!
2n m!(n m)!(n
2m)!
xn2m
Pn
1 2n n!
dn dx n
(x2
1)n
当n为偶数时M
n 2
当n为奇数时 M
n 1 2
P0 (x) 1
P1(x) x
2)(n 1)(n 4!
3)
x4
]
c 1 c0
y2
a1[ x
(n
1)(n 3!
2)

勒让德(legendre)多项式及其性质

勒让德（legendre）多项式及其性质一．勒让德多项式勒让德多项式是由勒让德方程的通解推导出来的，所以我们首先引入勒让德方程，以及勒让德方程的幂级数解，勒让德方程的表达式如下：其中为非负实数（1.1）它的幂级数解如下：（1.2）其中：（1.3）（1.4）由达朗贝尔判别法可知，当不为整数时，这两个级数的收敛半径为1，在（1.3）式和（1.4）式中，与可以任意取值，它们起着任意常数的作用，显然，在区间（－1，1）内和都是方程（1.1）的解，所以（1.2）是（1.1）的通解。

上面（1.3）和（1.4）幂级数当时级数收敛，此外级数是发散的。

并且，我们发现，当取非负整数时，和中有一个便退化为次多项式，它就是方程（1.1）在闭区间[-1,1]上的有界解。

此时，适当的选定这个多项式的最高次幂系数，所得的多项式称为阶勒让德多项式或第一类勒让德函数，记作，下面我们来推导勒让德多项式的表达式。

1 当为正偶数时退化为次多项式。

为求得的表达式，在中我们通过来表示其它各项的系数。

为此，将系数递推关系式改写成下列形式：（1.5）在（1.5）式中取，得：（1.6）习惯上取为（1.7）于是有：（1.8）在（1.5）式中取，并利用之值得：（1.9）一般地，我们有（）（1.10）我们将这些系数带入（1.3）中，并把此时的记作，可得：（1.11）这就是当为正偶数时勒让德多项式。

2 当为正奇数时退化为次多项式，我们把记作，同理可得：（1.12）把（1.11）和（1.12）写成统一的形式，得（1.13）其中表示的整数部分由上述讨论可知，当为非负整数时，和中有一个是阶勒让德多项式，而另一个是无穷级数，记作，称为第二类勒让德函数，此时方程（1.1）通解为：（1.14）特别当时，由（1.11）和（1.12）式得：它们的图形如下：二．勒让德多项式的性质首先介绍一下勒让德多项式的母函数：试将函数（1.15）展开成的幂级数（1.16）可以证明级数展开式中的系数恰好是勒让德多项式，最终得到（1.17）因此称为勒让德多项式的母函数。

legendre正交多项式的定义

legendre正交多项式的定义
勒让德正交多项式（Legendre Orthogonal Polynomials）是一类有限多项式，可用于详细描述不同空间机械变换过程中函数的变化情况。

它们是18th 世纪法国数学家兼物理学家Adrien-Marie Legendre所提出的一组多项式，他把它们命名为“set of world polynomials”。

它们和其他多项式，例如伯努利多项式有很多共性：如果我们把函数拆分成若干个断开的t点，他们都可以用简洁易懂的表达式来描述它们之间的变化。

Legendre正交多项式的定义是：它们是按照一定程序构成的一组正交多项式，用来表示一组函数值，使其具有正交性质。

它们都能满足下列条件：
1、有限值：在给定的连续函数序列中，勒让德正交多项式具有使其有限值的性质；
2、正交性：每一个多项式与任意一个多项式都可以构成正交（Orthogonal）关系，即互不相关；
3、定义域：它们的定义域是一个有限范围内的数值；
4、等号绝对值：它们在[-1，+1] 上具有相同的等号绝对值；
5、有限偏导：它们有限次地可以偏导；
6、可微性：它们是可微的；
8、变换性：他们具有变换性，可以通过使用标准变换来改变它们的大小；
总之，勒让德正交多项式是一组特定的，同时具有上述特性的有限多项式，可以通过它们来详细描述函数的变化情况及它们在空间机械变换历程中的变化趋势。

勒让德多项式

§3 勒让德多项式的性质
(1) k (2l 2k )! l 2 k Pl ( x) l x k 0 2 k!(l k )!(l 2k )!
n
一. 特殊值、奇偶性和图形
l 2 l 1 n 当l为奇数时 2
当l为偶数时 n
Pl (1) 1,
P2 n (0) c0 (1) n
六. 勒让德多项式的正交性、完备性与模
0, lk 2 1 Pl ( x)Pk ( x)dx Nl2 , l k 2l 1
1
勒让德多项式完备性若f(x)是定义在[-1,1]区间上任意一个平方可积的函数,
那么
f ( x) cl Pl ( x)
l 0
(l 1) P l 1 ( x) lP l 1 ( x) (2l 1) xP l ( x)
2. P l ( x) P l 1 ( x) 2 xP l ( x) P l 1 ( x)
3. 4.
P l 1 ( x) xP l ( x) (l 1) P( x) Pl 1 ( x) P l 1 ( x) 2l 1P l ( x)
1 1 2rx r xr

2
r Pl ( x)
l l 0 2

(l 1) P l 1 ( x) lP l 1 ( x) (2l 1) xP l ( x)
1 2rx r 2
(1 2rx r ) lr l 1Pl ( x)
l 0

( x r ) r l Pl ( x) (1 2rx r 2 ) lr l 1Pl ( x)
证
2 l
1 dl 2 l Pl ( x) l ( x 1 ) 2 l! dx l

勒让德多项式

函数： Φ 函数： (ϕ + 2π ) = Φ (ϕ ) 。这就是说上面的那个常数必须等于 m 2 ( m = 0,1, 2, ⋯),
从而得到
1
ห้องสมุดไป่ตู้
Θ
sin θ
d dΘ (sin θ ) + n( n + 1) sin 2 θ = m 2 dθ dθ
( 6. 4 )
( 6. 5 )
1 d 2Φ + m2 = 0 2 Φ dϕ
（2 勒让德多项式的一些性质；）
有关的定解问题。（3 会用勒让德多项式求解有关的定解问题。）
§6.1
勒让德方程的引出
u xx + u yy + uzz = 0
在第四章中，域内的迪利克雷问题：在第四章中，我们用格林函数法解决了球形区域内的迪利克雷问题：
{
球函数
z
θ
●
拉普拉斯方程第一类边界条件
数学物理方法
第六章勒让德多项式 ( Legendre polynomials )
勒让德（勒让德（1752～1833）～） Legendre . Adrien-Marie 阿德利昂·玛利埃勒让德公元1752─公元1833 为法国数学家，勒让德（ 1752─公元1833）阿德利昂玛利·埃·勒让德（公元1752─公元1833）为法国数学家，生于玛利巴黎，卒于巴黎。 1770年毕业于马扎兰学院 1775年任巴黎军事学院数学年毕业于马扎兰学院。巴黎，卒于巴黎。约1770年毕业于马扎兰学院。1775年任巴黎军事学院数学教授。1782年以关於阻尼介质中的弹道研究》获柏林科学院奖金，年以《教授。1782年以《关於阻尼介质中的弹道研究》获柏林科学院奖金，次年当选为巴黎科学院院士。1787年成为伦敦皇家学会会员年成为伦敦皇家学会会员。选为巴黎科学院院士。1787年成为伦敦皇家学会会员。曾与拉格朗日（）、拉普拉斯拉普拉斯（勒让德 (Legendre) 曾与拉格朗日（Lagrange）、拉普拉斯（Laplace）并列为法国数学界的“ 世纪末19世纪初法国数学的复兴，并列为法国数学界的“三 L ”，为18世纪末19世纪初法国数学的复兴，做出了， 18世纪末19世纪初法国数学的复兴卓越的贡献。卓越的贡献。

n阶勒让德多项式

n阶勒让德多项式
n阶勒让德多项式，即费马以及17世纪数学家阶勒让德发明的多项式，是一类可以累加次方系数形成多项式的代数结构，其格式通常为： p(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 +…+ a1x + a0，其中n为次方，an为系数。

它是多元多项式中最为简单和最引人注目的
代数结构之一，可以用来求解多项式等级，数学研究和科学模型。

费马在16. 和 17. 世纪，把多项式用来描述它发现的定理，但是他的定理中只有阶勒让
德多项式作为一种类型的多元多项式。

以后，哥白尼，除了把它用作几何定理的数学工具，也尝试用来求解力学模型，机械和重力计算等。

最后，阶勒让德多项式发展成为具有一系
列应用的重要数学结构，帮助我们解决一系列数学和科学的问题。

阶勒让德多项式可以用来解决非常复杂的问题。

它的精确性可以解决复杂的微分方程，并
用来模拟科学问题，如建模，反应，预测和决策。

有诸多的科学应用，如气体和液体的物理，数值计算，天气预报，航空飞行路径规划，传送原理等。

阶勒让德多项式在数学中也
有重要作用。

它可以用来解决数学中多元多项式的问题，包括拟合数据点，最小二乘法，
求导数和斐波那契数列等。

此外，阶勒让德多项式还可以用于绘图，带来更多精彩可视化效果，其动态图式可使数学
变得更容易理解。

因此，阶勒让德多项式在数学及其相关领域中应用大大改善，提升了可
视化和数学解决问题的效率。

通过阶勒让德多项式的应用，我们已经实现了解决许多复杂问题的能力，同时也为科学发
展做出了贡献，我们可以期望它会继续发展，带来更多的突破和发现。

勒让德多项式是区间什么的正交函数

勒让德多项式是一类具有重要性质的正交函数，它们在数学和工程领域中有着广泛的应用。

本文将介绍勒让德多项式的定义、性质、正交关系以及其在实际问题中的应用。

一、勒让德多项式的定义勒让德多项式是勒让德微分方程的解，该微分方程形式如下：\[ (1-x^2)y''-2xy'+n(n+1)y=0 \]其中n为非负整数。

根据其定义，勒让德多项式可以通过勒让德微分方程的解出来。

勒让德多项式的具体形式可以表示为：\[ P_n(x)= \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n \]其中n为非负整数，P_n(x)表示第n阶的勒让德多项式。

二、勒让德多项式的性质勒让德多项式具有许多重要的性质，例如：1. 勒让德多项式是正交的，即对于不同的n和m，有以下正交性质成立：\[ \int_{-1}^{1}P_n(x)P_m(x)dx=0, \quad(n\neq m) \]2. 勒让德多项式满足勒让德微分方程，这也是它的定义所在。

3. 勒让德多项式具有递推关系，即通过递推关系可以方便地计算高阶的勒让德多项式。

三、勒让德多项式的正交关系及应用勒让德多项式的正交性质在数学和工程领域中有着重要的应用。

在数学分析中，勒让德多项式的正交性质可以用来进行函数的展开和逼近，例如在傅立叶级数、泰勒级数及函数的插值逼近中。

在数值计算和数值分析中，勒让德多项式的正交特性也被广泛应用，例如在数值积分方法中，通过勒让德多项式的正交性质可以得到高效的数值积分算法。

勒让德多项式还具有广泛的物理应用，例如在量子力学中，勒让德多项式常常用来描述原子轨道的形状。

在实际问题中，勒让德多项式的正交性质为我们提供了一种简便而有效的数学工具，通过利用勒让德多项式的正交性质，我们可以更加方便地解决各种数学和工程问题。

勒让德多项式作为一类重要的正交函数，在数学和工程领域中具有着广泛的应用。

通过深入研究勒让德多项式的定义、性质、正交关系及其应用，我们可以更好地理解和运用这一类特殊的函数，从而为解决各种实际问题提供更加有效的数学工具。

勒让德多项式归一化

勒让德多项式归一化（原创版）目录1.勒让德多项式的基本概念2.勒让德多项式归一化的定义3.勒让德多项式归一化的方法4.勒让德多项式归一化的应用正文1.勒让德多项式的基本概念勒让德多项式（Legendre polynomial）是一种特殊的多项式，用于描述球坐标系中的函数。

在数学、物理和工程领域中，勒让德多项式被广泛应用。

勒让德多项式的基本形式为：Pn(x) = Rn(x) / Rn(1)，其中 Rn(x) 是勒让德多项式的 n 阶导数，Rn(1) 是勒让德多项式在 x=1 处的值。

2.勒让德多项式归一化的定义勒让德多项式归一化是指将勒让德多项式进行标准化处理，使得它在某个区间内具有特定的性质，如归一化常数、正交性等。

勒让德多项式归一化的目的是为了将复杂的函数表示为简单的多项式形式，从而方便进行求解和分析。

3.勒让德多项式归一化的方法常见的勒让德多项式归一化方法有以下几种：（1）直接积分法：通过对勒让德多项式进行积分，可以得到其归一化后的形式。

这种方法适用于较简单的勒让德多项式。

（2）正交化方法：通过对勒让德多项式进行正交化处理，使得它们满足正交条件。

正交化方法包括：格拉米 - 施密特正交化、勒让德正交化等。

这种方法适用于较复杂的勒让德多项式。

（3）单位化方法：通过对勒让德多项式进行单位化处理，使得它们满足归一化条件。

单位化方法通常用于具有特定边界条件的问题。

4.勒让德多项式归一化的应用勒让德多项式归一化在许多领域具有广泛的应用，如：（1）在数值分析中，勒让德多项式归一化可用于求解微分方程、插值和逼近问题。

（2）在物理学中，勒让德多项式归一化可用于描述原子、分子和凝聚态系统的波函数。

（3）在工程领域中，勒让德多项式归一化可用于优化控制系统、信号处理和数据压缩等问题。

第六章_勒让德多项式

6.1 勒让德方程的引出
引入参数 n n 1 分解整理得
d 2R dR 2 r 2r n n 1 R 0 2 dr dr
欧拉型方程
1 d d 1 d 2 sin d sin 2 2 n n 1 0 sin d
引入参数分解可得两个常微分方程
" 0
d d sin sin n n 1 sin 2 0 d d
§1 勒让德方程的引出
第一个方程与自然周期条件 2 结合，构成本征值问题
d 2 dR R d d R d 2 r dr r 2 sin d sin d r 2 sin 2 d 2 0 2 r dr
用
r 遍乘各项并移项整理，即得 R
2
1 d 2 dR 1 d d 1 d 2 r dr sin d sin d sin 2 d 2 R dr
k n 1 2
这两个多项式可以统一写成
(2n 2k )! Pn ( x) (1) n x n2 k , n 0,1, 2, 2 k !(n k )!(n 2k )! k 0
k n 2
n 阶勒让德多项式
6. 3 勒让德多项式
0～4阶Legendre多项式为
(2k 2 l )(2k 4 l ) (l )(l 1)(l 2k 1) a2 k a0 (2k )!
6. 2
勒让德方程的求解
(1 l )(l 2) a3 a1 3! (3 l )(l 4) (3 l )(1 l )(l 2)(l 4) a5 a3 a1 54 5!

第六章勒让德多项式

第六章勒让德多项式在这一章，我们将通过在球坐标系中对Laplace 方程进行分离变量，引出§2.6中曾指出过的勒让德方程，并讨论这个方程的解法及解的有关性质。

勒让德方程在区间[1,1]-上的有界解构成了另一类正交函数系－勒让德多项式。

§6.1 勒让德方程的引出现在对球坐标系中的Laplace 方程进行分离变量，在球坐标系中Laplace 方程为2222222111()(sin )0sin sin u u ur r r r r r θθθθθϕ∂∂∂∂∂++=∂∂∂∂∂ （6.1）令 (,,)()()()u r R r θϕθϕ=ΘΦ，代入（6.1）得2222222111()(sin )0sin sin d dR d d d r R R r dr dr r d d r d θθθθθϕΘΦΘΦ+Φ+Θ= 以2r R ΦΘ乘上式各项得 2222111()(sin )0sin sin d dR d d d r R dr dr d d d θθθθθϕΘΦ++=ΘΦ 或2222111()(sin )sin sin d dR d d d r R dr dr d d d θθθθθϕΘΦ=--ΘΦ 上式左端只与r 有关，右端只与θ，ϕ有关，要它们相等只有当它们都是常数时才有可能。

为了以后的需要，我们把这个常数写成(1)n n +的形式（这是可以做到的，因为任何一个实数总可以写成这种形式，这里的n 可能为实数，也有可能为复数），则得21()(1)d dRr n n R dr dr=+ （6.2）22211(sin )(1)sin sin d d d n n d d d θθθθθϕΘΦ+=-+ΘΦ （6.3）将方程（6.2）左端的导数计算出来，即有2222(1)0d R dRr r n n R dr dr+-+= 这是一个欧拉方程，它的通解为(1)12()n n R r A r A r -+=+其中12,A A 为任意常数。

勒让德多项式

数学物理方法于承斌泰山医学院第十六章勒让德函数球坐标系中求解物理方程,解函数是一类特殊函数,其形式为多项式，最早研究的是法国数学家勒让德，故称其为勒让德函数以及勒让德多项式。

§16.1 勒让德多项式的定义及表示16.1.1. 定义及级数表示oϕθr xyz勒让德方程0,21(1)2c n n ⋅+−x+ x+4(23)2(1)!(2)!(24)!,n n n n n −−−−,0,1,2,,m =⎢ 220(22)!()(1)2!()!(2)!l k l k l l k l k P x x k l k l k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦−=−=−−−∑()l P x 221112122112(!)d d 1d (1)d d (1)d d (1)d d l ll l l l llll x l x x x x x x−−−−−⋅−⎢⎥⎣⎦⎡−−⋅⎢⎡⎤−⎢⎥⎣⎦∫∫注意到lllx x x )1()1()1(2+−=−以1±=x 为l 级零点，故其(1)l −阶导数121d (1)d l ll x x −−−必然以1±=x 112121222111(1)d (1)d (1)d 2(!)d d l l l ll ll l x x N x l x x−+−+−−−−=∫再进行l 次分部积分，即得221222221(1)d (1)(1)d 2(!)d ll llll l x N x x l x−−−=−∫为一级零点，从而上式已积出部分的值为零lx )1(2−是l 2次多项式，其l 2阶导数也就是最高幂项lx2的l 2阶导数为)!2(l ．故12221(2)!(1)(1)(1)d 2(!)ll llll N x x xl −=−−+∫再对上式分部积分一次112112211111221(2)!1(1)(1)(1)(1)(1)d 2(!)1(2)!(1)(1)(1)(1)d 2(!)1ll l l l ll l l l l l N x x l x x x l l l l x x x l l −+−−−+−⎡⎤=−⋅−+−−+⎢⎥⎣⎦+=−⋅−−++∫∫容易看出已积出部分以1±=x 为零点．至此，分部积分的结果是使)1(−x 的幂次降低一次，)1(+x 的幂次升高一次，且积分乘上一个相应的常数因子．继续分部积分（计l 次），即得120222112121(2)!11(1)(1)(1)(1)d 2(!)122112(1)22121ll lll l l l l l N x x x l l l l x l l −+−−=−⋅−⋅⋅⋅−+++=⋅+=++∫ 故勒让德多项式的模为122+=l N l ),2,1,0( =l 且有112P ()P ()d 21l lx x x l −=+∫=2m P ++16.2.4. 勒让德多项式的递推公式利用母函数(16.1.13)对x求导, 勒让德多项式有以下的递推公式11(2)(1)()(21)()()n n n n P x n xP x nP x +−+=+−1(3)()()()n n n nP x xP x P x −′′=−1(4)'()()(1)()n n n P x xP x n P x +′′=++11(1)()'()2'()'()n n n n P x P x xP x P x +−=−+11(5)(21)()()()n n n n P x P x P x +−′′+=−21(6)(1)'()()()n n n x P x nxP x nP x −−=−1(7)(21)()'()'()nln n l l P x P x P x +=+=+∑例16.2. 1求积分11P ()P ()d l n I x x x x−=∫【解】利用递推公式（2）11(1)P ()(21)P ()P ()k k k k x k x x k x +−+=+−．(1)k ≥故有1111111111111P ()P ()d {[(1)P ()P ()]}P ()d 211 P ()P ()d P ()P ()d 2121l n l l n l n l n I x x x x l x l x x x l l lx x x x x x l l +−−−+−−−==++++=+++∫∫∫∫22 (1)412(1) (1)(23)(21)0 (1)nl n n n l n n n l n ⎧⎪=−−⎪⎪+==+⎨++⎪⎪⎪−≠±⎩例16.2. 2求积分1P ()d l I x x=∫【解】利用递推公式（5）11110011101111P ()d d[P ()P ()]2111[P ()P ()][P (0)-P (0)]2(120)1=1l l l l l l l l I x x x x l x x l l l P +−−+−+−==−+=−=+++∫∫112x 0(1)(0)(21)0(0)(0)n n n n P n P nP +−+=+−利用递推式：令=代入11(0)(0)1l l lP P l −+−=+(1)(21)!!21(22)k k l k k −−=++!!02l k =111001P ()d d 12x x x x l ===∫∫11000P ()d d 1x x x l ===∫∫⎧⎪=⎨⎪⎩例16.2. 3求积分1P ()d l Ix x x=∫【解】利用递推公式（5）1111001111011021012011P ()d d[P ()P ()]211[P ()P ()]|[P ()P ()]d 2121P (0)P (0)P (0)1[-] = -212(2)(1)1d 021d 13021(1)(23)!!2(22)!!l l l l l l l l l l k I x x x x x x l x x x x x x l l l l ll l x x l x x l l k k l k +−+−+−−+==−+=−−−++=−+++−======+−−=+∫∫∫∫∫k⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩1101P ()d P (0)1∵l l x x l −=+∫112(0)(0)1(0)(0)1l l l l lP P l lP P l −+−−=+−=−例16.2. 4利用递推公式（2）可得如下结果；212021P ()P ()P ()33x x x x x ==+3212021P ()[P ()P ()]33x x x x x x x x x =⋅=⋅=⋅+3123P ()P ()55x x =+43142023841[P ()P ()]P ()P ()P ()553575x x x x x x x =+=++1()P x x=221()(31)2P x x =−331()(53)2P x x x =−4241()(35303)8P x x x =−+111()[(21)()()]1l l l P x l xP x lP x l +−=+++特别1()P x x=∵利用递推公式（2）P (cos )n θ，这时有0(cos )P (cos )n n n f C θθ+∞==∑θcos =x ,此时勒让德方程的解为在实际应用中,经常要作代换π21(cos )P (cos )sin d 2n n n C f θθθθ+=∫其中系数为结论1：设k 为正整数，可以证明：222222200212121232311P ()P ()P ()P ()P ()P ()k k k k k k k k k k x C x C x C x xC x C x C x −−−−−−−=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+结论2 ：根据勒让德函数的奇偶性，若需展开的函数()f x 为奇函数，则展开式的系数20n C =；若需展开的函数()f x 为偶函数，则展开式的系数.210n C +=0,1,2,3,n =⋅⋅⋅例16.2.6以勒让德多项式为基，在[-1,1]区间上把3()234f x x x =++展开为广义傅里叶级数．【解】本例不必应用一般公式，事实上，()f x 是三次多项式，设它表示为3323012323021323234P ()111(31)(53)221335()()2222n nn x x C x C C x C x C x x C C C C x C x C x=++==⋅+⋅+⋅−+⋅−=−+−++∑比较同次幂即得到3210421, 0, , 455C C C C ====由此得到30132142344P ()P ()P ()55x x x x x ++=++例16.2.7将函数cos 2 (0π)θθ≤≤展开为勒让德多项式P (cos )n θ的形式【解】用直接展开法令cos x θ=，则由22cos 22cos 121x θθ=−=−我们知道：20121P ()1, P (), P ()(31)2x x x x x ===−可设200112221P ()P ()P ()x C x C x C x −=++10C =2202121(31)2x C C x −=+−由20,x x 项的系数，显然得出2041, 33C C ==−02021414cos(2)P ()P ()P (cos )P (cos )3333x x θθθ=−+=−+考虑到勒让德函数的奇偶性，显然。

勒让德多项式拟合

勒让德多项式拟合
勒让德多项式是一类常见的数学函数，通常用于数据拟合和插值。

该多项式的形式为P_n(x)=1/(2^n * n!) * d^n[(x^2-1)^n]/dx^n，其中n为整数，d^n表示对x进行n次求导。

在数据拟合中，勒让德多项式通常用于拟合连续函数。

当给定一
组离散数据点时，可以使用最小二乘法或线性规划等方法来求解最佳
拟合函数。

在这种情况下，通常使用一组递增的x值，然后使用勒让
德多项式来拟合对应的y值。

实际应用中，勒让德多项式通常与其他多项式、三角函数等组合
使用，以获得更精确的拟合结果。

此外，该方法还可以用于图像处理、信号处理等领域。

总之，勒让德多项式是一种广泛使用的数学工具，可以在不同领
域中用于数据拟合和信号处理等任务。

数学物理方程第五章勒让德多项式

u(r , , ) R(r )Y ( , )
d 2R dR r 2r R 0 (1.5) 2 dr dr
2
2Y cos Y 1 2Y Y 0 2 2 2 sin sin
(1.6)
二次分离Y ( , ) ( )( )
(1.7)
如果u( , , )与无关，则 (1.7)式中m 0,这时有：
d2y dy (1 x ) 2 2 x y 0 (1.10) dx dx
2
x [1.1]
为后面计算方便，记 n(n 1)
2 d y dy 2 (1 x ) 2 2 x n( n 1) y 0 (1.11) x [1.1] dx dx
(1.5)是欧拉方程，会解！
2Y cos Y 1 2Y 2 Y 0 2 2 sin sin
(1.6)
u (r , , ) R(r )Y ( , )
2Y cos Y 1 2Y Y 0 2 2 2 sin sin (1.6)
1 1 2 xz z 2 Pn ( x )z n
n 0
勒让德多项式的母函数 G( x, z )
*函数展开成勒让德级数
§1 勒让德方程的导出
考虑球域上的狄利克雷问题
其中f ( x, y, z )为已知函数. R为球域半径. 引入 x r sin cos sin x r sin z r cos
2u 2u 2u 2 2 2 2 0 x y z R 2 2 2 x y z u f ( x, y, z ) x 2 y 2 z 2 R2

勒让德多项式递推公式的证明

勒让德多项式递推公式的证明1 关于勒让德多项式勒让德多项式通常称为磁力线多项式，是一种特殊的线性代数多项式。

它由著名数学家勒让德在1898年提出，用来描述空间中磁场线的强度。

因为它有着易于计算的特性以及它的复杂性，它在磁学、电子、物理等很多领域得到了广泛的应用。

2 勒让德多项式递推公式勒让德多项式的定义有两种形式：一种是递推公式，另一种是泰勒级数展开。

其中，勒让德多项式递推公式常用来表示磁力线在空间上分布的状态：n^{2}B_{n,m}(\varphi,\theta)=\frac{1}{\sqrt{1-m^{2}}}\sum_{\substack{j=0\\j \neq m}}^{n-1}\left(\frac{\sqrt{n^{2}-m^{2}}}{n-j}B_{j,m}(\varphi,\theta )-\frac{\sqrt{n^{2}-j^{2}}}{n-m}B_{n,j}(\varphi,\theta )\right)其中，B_{n, m}(\varphi,\theta) 表示一维勒让德多项式的系数，n、m是多项式的指数。

式中的\varphi, \theta表示空间坐标系，它们按照以下关系标准化：\varphi=2\pi(x/a) \, \theta=\pi(y/b)其中，a, b是所考虑空间的特定尺寸，x, y表示空间坐标系的x, y分量。

3 证明勒让德多项式递推公式首先，我们考虑一维勒让德多项式定义：B_{n, m} =\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}e^{im\varphi }f(\varphi )d\varphi因此，由定义式可得：B_{n, m}=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} e^{i(n-m)\varphi }f(\varphi )d\varphi我们可以把积分定义为，用p表示：p=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}e^{i(n-m)\varphi }f(\varphi )d\varphi由Leibniz积分公式可得：\begin{aligned} p &=\sum_{j=0}^{n-1}\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}e^{i(n-m)\varphi }\dfrac{\partial^{j}f(\varphi )}{\partial\varphi^{j}}d\varphi \\ &=\sum_{j=0}^{n-1}\frac{\sqrt{n^{2}-m^{2}}}{n-j}\dfrac{\partial^{j}f(0)}{\partial \varphi^{j}}-\sum_{j=0}^{n-1}\frac{\sqrt{n^{2}-j^{2}}}{n-m}\dfrac{\partial^{j}f(\pi)}{\partial \varphi^{j}}\end{aligned}也就是说：p=\frac{\sqrt{n^{2}-m^{2}}}{n-m}B_{n,m}(0,\pi )+\sum_{j=0}^{n-1}\left(\frac{\sqrt{n^{2}-m^{2}}}{n-j}B_{j,m}(0,\pi )-\frac{\sqrt{n^{2}-j^{2}}}{n-m}B_{n,j}(0,\pi )\right)联立以上两个式子，可以得到：\begin{aligned} &n^{2}B_{n,m}(\varphi ,\theta )\\&=\frac{1}{\sqrt{1-m^{2}}}\sum_{j=0}^{n-1}\left(\frac{\sqrt{n^{2}-m^{2}}}{n-j}B_{j,m}(\varphi ,\theta )-\frac{\sqrt{n^{2}-j^{2}}}{n-m}B_{n,j}(\varphi ,\theta )\right) \end{aligned}因此，以上公式就可作为勒让德多项式的递推公式。

数学物理方程 7勒让德多项式

1 d d 2 2 sin sin sin m d d
1 d2 2 m d 2
( ) B1 cos m B2 sin m d 2 d m2 ctg [ 2 ] 0 2 d d sin d d d 2 d d 2 2 x cos sin cos sin 2 2 d dx d dx dx
x n2 m
勒让德多项式的微分表示形式：罗德立格(Rodrigues)公式
1 dn 2 n Pn ( x) n ( x 1) 2 n! dxn
n 2 n 1 当n为奇数时 M 2
当n为偶数时M
P0 ( x) 1
P 1 ( x) x
1 (3 x 2 1) 2 1 P3 ( x) (5 x 3 3x) 2 P2 ( x)
1 2

/2
0
sin 2 n1 d
/2

/2
0
sin
2 n 1
d
2
/2
0
sin dcos 2n
2n
0
cos2 sin 2n1 d
/2
2n
/2
0
1- sin sin
sin
2 n 1
2 n 1
2 n 1 2 n 1 d 2n0 sin d 2n0 sin d
1 2 dR 1 d d 1 d 2 0 r ＋ sin 2 2 R dr dr sin d d sin d
1 d 2 dR r R dr dr
2
1 d d 1 d 2 sin 2 2 sin d d sin d

勒让德多项式

数学物理方程课件第六章勒让德多项式

勒让德(legendre)多项式及其性质

legendre正交多项式的定义

勒让德多项式

勒让德多项式

n阶勒让德多项式

勒让德多项式是区间什么的正交函数

勒让德多项式归一化

第六章_勒让德多项式

第六章 勒让德多项式

勒让德多项式

勒让德多项式拟合

数学物理方程第五章勒让德多项式

勒让德多项式递推公式的证明

数学物理方程 7勒让德多项式

第六章勒让德多项式