chap3-刚体小结-分析力学

(2) Ox‟y‟z‟ → Ox”y”z” . 刚体(Ox‟y‟z‟)绕ON(Ox‟)轴 转动章动角θ, 使坐标轴到达新位置Ox“y”z“,让Oz” 轴和最终位置Oz轴重合, 如图4.4(c)所示.
Ox‟y‟z‟ → Ox”y”z”的坐标变换关系
i i j jcosθ k sinθ k jsinθ k cosθ
结
1. 刚体的定点转动 1.1 刚体定点转动的描述 设惯性坐标系Ox0y0z0和固定在刚体上并随刚体 一起转动的动坐标系Oxyz初始位置重合, O点是公 共原点, 即转动的定点. 刚体通过进动角φ,章动角θ和自转角ψ三个欧拉角 连续的转动, 固定在刚体上的动坐标系, 从初始位置 Ox0y0z0出发, 依次经过Ox‟y‟z‟和Ox”y”z”两个中间 位置, 随刚体最终转到Oxyz位置.
第三章 刚源自文库运动 小
0. 刚体运动的分解 刚体一般运动可分解为刚体上任一点C的平动和 绕C点的定点转动. 因此可用惯性坐标系描述C点的 平动, 而用固定在刚体上的质心动坐标系来描述刚 体的转动. 平动部分可用C点的三个坐标x0c、y0c、 z0c描述, 定点转动部分可用三个欧拉角φ、θ、ψ描 述. 这6个坐标就是刚体一般运动的广义坐标.
③ Ox”y”z” → Oxyz坐标系间的坐标变换关系
i icosψ jsinψ j isinψ jcosψ k k
i i cosψ jsinψ j i sinψ jcosψ k k
2. 刚体上任一点的线速度和线加速度
i i j jcosθ k sinθ k jsinθ k cosθ
(3) Ox”y”z” → Oxyz. 刚体(Ox”y”z” )绕Oz”(Oz)轴转 动自转角ψ, 使坐标轴达到图4.4(d)中最终位置Oxyz.
Ox”y”z” → Oxyz 的坐标变换关系
(3) 惯量主轴及其简便求法 若坐标系中惯量矩阵三个惯量积都为零, 则其坐 标轴称为刚体的主轴, 或惯量主轴. 因此实对称的惯 量矩阵通过坐标系旋转变换成为对角矩阵, 所对应 的新坐标轴就是惯量主轴. 利用均匀刚体的对称性来确定惯量主轴: 均匀刚体 的对称轴必为惯量主轴. 垂直于均匀刚体对称面的轴 线也一定是惯量主轴. (4) 中心惯量主轴 即以质心为坐标原点的惯量主轴. 可以证明在中心惯量主轴延线上取平行坐标系, 新的 坐标系仍是惯量主轴．
i icosψ jsinψ i i cosψ jsinψ j isinψ jcosψ j i sinψ jcosψ k k k k
① Ox0y0z0→ Ox‟y‟z‟ 坐标系间的坐标变换关系
e1 i cos jsin e2 i sin jcos e3 k
2. 转动惯量张量 (1) 定义在给定坐标系下转动惯量的分量
(6.4) (2) 定义在给定坐标系下的转动惯量矩阵
I 11 I R = - I 21 - I 31 - I 12 I 22 - I 32 - I 13 - I 23 I 33
注意: 转动惯量分量与其矩阵元符号不同!
(3) 用转动惯量张量IR表示角动量L和动能 T
平面平行运动加速度
(3.6) B. 瞬时转轴法
找瞬时转心的两种方法: (1) 刚体上瞬时速度为零的点必是瞬时转心. (2) 已知刚体上两点A和B的速度方向, 分别过A点 和B点作vA和vB的垂线, 其交点为瞬时转心.
3. 刚体的平面平行运动 (1) 定轴转动惯量
I R dm
2
称为刚体绕过O点定轴转动的转动惯量. (2) 平行轴定理
i e1cos e2 sin j e1 sin e2 cos k e3
② Ox‟y‟z‟ → Ox”y”z”坐标系间的坐标变换关系
i i j jcosθ k sinθ k j sinθ k cosθ
i i j jcosθ k sinθ k jsinθ k cosθ
I IC md
2
物体对于任一固定轴线的转动惯量I, 等于通过 质心C的平行轴的转动惯量IC, 加上刚体的质量m 与两轴间的垂直距离d的平方的乘积.
(3) 定轴转动的角动量和动能
k Lz L k Lz I
dLz Mz dt
1 1 1 T L Lz I 2 2 2 2
L IR
T 1 1 L IR 2 2 2
(4) 转动惯量的物理意义
是表征物体转动时惯性的量度, 与表征物体平动时 惯性量度的质量相当.转动惯量不仅与物体质量的大 小, 而且与质量的分布有关. 平动 质量 m (标量) 速度 v (矢量) 动量 p=mv (矢量) 动量定理 转动 转动惯量 I (张量) 角速度 角动量 ω (矢量) L=Iω (矢量)
刚体的平动可由C点的运动来表示, 而刚体的转动 则可由角速度ω 来描述. 因此由C点的速度vC和角速 度ω 可决定刚体上任一点的线速度和线加速度. (1) 刚体只有转动没有平动 速度 加速度 (3.1) (3.2)
(3.1) 由(3.1)式可以推断: 任一常模矢量A对时间的微商, 等于代表常模矢量运动的角速度ω 和常模矢量本身的 矢量积: (2) 刚体既有转动又有平动 A. 固定基点法
角动量定理
3. 惯量主轴 (1) 惯量矩阵是转动惯量张量在给定坐标系中的数 学表示形式 惯量矩阵是实对称矩阵, 只有6个独立元素. 其中对 角元素I11,I22,I33分别是刚体绕x、y、z轴的转动惯量, 非对角元素I12,I23,I31称为惯量积, 惯量矩阵是转动惯 量张量在给定坐标系中的数学表示形式. (2) 惯量矩阵可以通过坐标系的旋转变换成对角矩阵. 由线性代数可知, 一个实对称矩阵总可以通过正交 相似变换对角化. 惯量矩阵是三维空间的实对称矩阵, 可以通过坐标系旋转变换成对角矩阵. 这样在新坐标 系中, 主对角线上的三个对角元素分别是刚体绕三个 新坐标轴的转动惯量.
(1) Ox0y0z0→ Ox‟y‟z‟. 刚体(Oxyz)绕Oz0(Oz)轴转 动进动角φ,使Ox轴转到节线ON(Ox‟)的位置,这时 的Oxyz记作Ox‟y‟z„,如图4.4(b)所示.
Ox0y0z0→ Ox‟y‟z‟ 的坐标变换关系
e1 i cos jsin i e1cos e2 sin e2 i sin jcos j e1 sin e2 cos k e3 e3 k