傅里叶光学第1章 傅里叶分析
傅里叶光学解析
20世纪上半叶
20世纪40年代至 60年代 20世纪60年代以来
1、傅里叶光学的发展历史
5）现代光学发展的三件大事
✓ 1948年，全息术的诞生，物理学家第一次精确地拍摄下一张立体的物体 像，它几乎记录了光波所携带的全部信息 (这正是“全息”名称的来历)！ ✓ 1955年，科学家第一次提出“光学传递函数”的新概念，并用它来评价 光学镜头的质量。 ✓ 1960年，一种全新的光源-激光器诞生了，它的出现极大地推动了相关学 科的发展。
2、傅里叶光学的研究内容和研究方法
1）傅里叶光学基于傅里叶变换的方法研究光学信息在线性系统中的 传递、处理、变换与存储等。 2）傅里叶光学主要的研究内容包括： ✓光在空间的传播（衍射和干涉问题） ✓光学成像（相干与非相干成像系统） ✓全息术（包括计算全息） ✓光学信息处理（相干滤波、相关识别等） ✓光学变换、光计算、光学传感等 3）傅里叶光学主要的研究方法：
傅里叶光学 Fourier Optics
薛常喜 光电工程学院
1、傅里叶光学的发展历史
1）光学是一门古老的学科，主要研究光波的本性、光 波
的传播以及光与物质的相互作用。 2）光学的发展历史可以追溯到公元前5世纪，到目前 已经
有2000多年的历史，并逐渐在物理学中形成了一门 独立
的基础学科。 3）光学的发展历史可以看成是人们对光本性认识的历
史，以及人们利用光学技术推动社会不断进步的历 史。 4）在整个发展历史中，光学也从经典光学发展到现代
光学的发展历程
第一阶段：17世纪 中叶之前
经典光学的早期发 展阶段
【几何光学】
第1章二维线性系统及其傅里叶分析2
F.T.
G(f) 1 -1 1 0
频域扩展
f
F.T.
1 G( fx ) aa
1/2
-2 0 2
f
3. 位移定理 SHIFTING
设 g(x,y) F.T. G(fx,fy),
空间位移:原函数在空域中的平移,相应的频谱函数 振幅分布不变,但位相随频率线性改变.
{g(x-a, y-b)}= G(fx, fy) exp[-j2(fxa+fyb)]
4. {Gaus(x)} = Gaus(f ) 高斯函数的F.T.仍为高斯函数
5. {d (x-a)}=exp(-j2fxa)
{exp(j2fax)}= d (fx-fa)
6.
{c os(2f0 x)
1 [d
2
(
fx
f0) d (
fx
f0 )]
{sin(2f 0 x)
1 [d (
2j
fx
f0) d (
• F.T.的积分定理 • F.T.的卷积定理
1.9 常用傅里叶变换对
1. {1}=d (fx,fy);
{d (fx,fy)}=1
1 与d 函数互为F.T.
22.
{comb(x) comb(f )
梳状函数的F.T.仍为梳状函数
1
t
comb( x
t
)
c
omb(tf
)
3. {rect(x)}=sinc(f); {sinc(x)}= rect(f) rect与sinc 函数互为F.T.
频率位移:原函数在空间域的相移,导致频谱的位移.
{g(x,y) exp[j2(fax+fby)]}= G(fx- fa, fy- fb) 推论: 由 {1}= d (fx,fy)
傅里叶分析
傅里叶分析傅里叶分析是一种数学方法，它将任意时域函数变换为频域函数，以研究函数的波形特性。
这项技术的发明者是法国理论物理学家爱德华克劳德傅里叶，他于1822年出生于法国布列塔尼省，此后，傅里叶分析的理论在各个领域被广泛应用，为科学、工程及社会等方面的发展做出了积极的贡献。
傅立叶分析是由傅立叶发现的，他发现存在一类函数，可以通过波形装换技术，将时域信号转换为频域信号，以便分析物理系统的动态特性。
傅立叶分析以“傅里叶变换”作为其基础，它是一种分析函数变化规律的方法，可以将函数从时域变换到频域，从而可以更清楚地研究函数的特性。
傅里叶分析有许多种的应用，其中最基本的是数字信号处理（Digital Signal Processing，简称DSP），它可以用于信号处理和通信、语音识别、视频处理、虚拟现实等多个领域。
换句话说，使用傅里叶分析可以帮助人们更好地理解数字信号，并准确调节信号以达到期望的结果。
此外，傅里叶分析也可用于模拟信号的分析和处理，在这种情况下，傅里叶变换可以模拟信号的频率分析，其模拟信号处理技术可用于研究电磁场、激光、声音等的特性。
此外，它还被广泛用于扫描电子显微镜（Scanning Electron Microscope，简称SEM）。
这种技术可用于测量小型物体的形状和大小，其原理在于运用傅里叶分析得到物体表面的细微变化，从而得出物体精确的尺寸参数和形状信息。
最后，傅里叶分析也被应用到控制系统中。
该方法可以分析控制系统的时域和频域性能，从而帮助设计者提高系统对于某类特殊输入的响应曲线。
从上述可以看出，傅里叶分析被广泛地应用到数学、物理学、电子工程、生物学、经济学等领域，它是一种非常重要的数学工具，具有十分重要的价值。
总之，傅里叶分析是一项十分宝贵的发现，在数学、物理学、化学、工程学等领域有着重要的应用，将为科学及社会的发展做出贡献。
光学成像的傅里叶光学解析
光学成像的傅里叶光学解析光学成像是一种利用光学原理来获取目标物体的图像或信息的技术。
傅里叶光学解析是与光学成像密切相关的一种数学分析方法，它可以帮助我们理解光学成像的原理和性能。
傅里叶光学解析是基于傅里叶变换的数学理论，该理论指出任何波形都可以分解成一系列不同频率的正弦波或余弦波的叠加。
在光学中，傅里叶光学解析将光波分解成不同的频率组成部分，并分析它们对成像的贡献。
在光学成像中，光线从物体表面反射或透过物体后进入成像系统，然后被透镜或其他光学元件聚焦成像。
而傅里叶光学解析则通过对光场的傅里叶变换，计算光场的频谱分布，进而解析出图像的信息。
傅里叶光学解析在光学成像中的应用广泛。
首先，它可以用于评估成像系统的成像性能。
通过分析光波的频谱分布，我们可以了解光学系统在不同频率上的传输特性，从而评估系统的分辨率和失真程度。
这可以帮助我们设计和优化成像系统，以获得更好的图像质量。
其次，傅里叶光学解析可以用于图像复原和重建。
在实际成像过程中，光波会受到各种因素的影响，如散射、衍射、干涉等，并且会产生噪声和畸变。
通过对光场进行傅里叶变换，我们可以在频域上对图像进行修复和重建，减少噪声和畸变的影响，提高图像的质量和清晰度。
此外，傅里叶光学解析还可以用于图像处理和分析。
光学成像获得的图像往往包含大量的信息，通过傅里叶光学解析，我们可以将不同频率的信息分离出来，进一步分析和处理图像。
例如，可以通过滤波的方法去除图像中的某些频率成分，突出图像中的某些特征或结构。
最后，傅里叶光学解析还可以用于其他光学应用，如光学显微镜、光学干涉仪、光学测量等。
通过应用傅里叶光学解析，我们可以获得更多的图像信息，并进一步深入理解和研究光学现象。
综上所述，傅里叶光学解析作为光学成像的数学分析方法，对于理解光学成像的原理和性能非常重要。
它可以帮助我们评估成像系统的性能，修复和重建图像，进行图像处理和分析，以及应用于其他光学领域。
通过深入研究和应用傅里叶光学解析，我们可以进一步推动光学成像技术的发展和创新。
信息光学第1章1
小测试：请在一个坐标系里画出δ(x)，δ(x-5)， 2δ(x-5)的图像。
在本门课程中，δ(x)函数常常用来表示点光源的功率密 度，由于点光源所占面积趋近于零，所以在x=0点功率密度 趋近于无穷大。
？点光源模型中什么量是有限Байду номын сангаас呢？
？如果可以用δ (x)来建立模型的话，由数学公式看出积分 要是1，这代表什么物理意义？
数学物理模型完全吻合。
δ函数三大性质（会理解（图像），会应用）
（1） 函数的筛选性质---采样完成
x,
0
0
由定义，经变量代换，可直接证明。
x0 , y0
（2） 函数采样性质（与普通函数的乘积性质）---采样准备
h ( x) ( x x0 ) h ( x0 ) ( x x0 )
b. 函数图形
c. 二维三角形函数表达式及图形
, a a a b
d.该函数在日后的学习中 将有重要的位置。目前仅 需需注意，该二维函数图 形的侧面并非平面。并非 所有过定点且垂直于xoy的 平面与之相截都能得到三 角形。
5. sinc函数
a. 表达式
b. 图形
x
x
sin
答复：抽样过程在物理上，是以积分的方式实现的。 x0点处的信号在被仪器 记录前表达为f(x0)δ(x-x0)，恰恰是为确保该点信号被仪器记录为f(x0)。过程为：
f ( x0 ) ( x x0 )dx f ( x0 )
f(x0)δ(x-x0)所表达的抽样，意为“被抽样前的准备”，切不可用f(x0)来描述。
rect
x y 1, rect
第1章 傅里叶光学基础
(21)
(8) 矩 (moment) g(x,y)的(k,l g(x,y)的(k,l )阶矩定义为 M k, l = ∫∫∞- ∞ g(x,y)xk yl dxdy 将逆变换表达式( 代入上式， 将逆变换表达式(2)代入上式，得到
M k, l=∫∫∞-∞G(u,v)dudv∫∫∞-∞xkylexp[i2π(ux+vy)]dxdy G(u,v)du [i2π x+v
傅里叶-贝塞尔变换 傅里叶 贝塞尔变换 设函数g(r,θ) = g(r) 具有圆对称， 具有圆对称， 函数 θ 傅里叶-贝塞尔变换为 傅里叶 贝塞尔变换为 G(ρ) = B {g(r)} ρ = 2π ∫∞org(r)Jo(2πρr)dr g(r)J π r)dr π 其中 Jo 为第一类零阶贝塞尔函数 傅里叶-贝塞尔逆变换为 傅里叶 贝塞尔逆变换为 g(r) = B-1 {G(ρ)} ρ = 2π ∫∞o ρ G(ρ)Jo(2πρr)dρ π ρ J π r)dρ
第一章
傅里叶光学基础
第一章 傅里叶光学基础
1．1 二维傅里叶分析 1．2 空间带宽积和测不准关系式 1．3 平面波的角谱和角谱的衍射 1．4 透镜系统的傅里叶变换性质
1.1 二维傅里叶分析
1.1.1 定义及存在条件 傅里叶变换可表为 复变函数器 g(x,y) 的傅里叶变换可表为 G(u,v) = F {g(x,y)} = ∫∫∞- ∞g(x,y)exp[-i2π(ux+vy)]dxdy g(x,y)exp[x+vy)]dxdy (1) 为变换函数或像函数 称g(x,y)为原函数，G(u,v)为变换函数或像函数。 为原函数， 为变换函数或像函数。 (1)式的逆变换为 式的逆变换 式的逆变换为 g(x,y) = F -1{G(u,v) } = ∫∫∞- ∞G(u,v)exp[i2π(ux+vy)]dudv (2) exp[i2 x+vy)]du
第一章 傅里叶分析
第一章主要内容
1、常用函数
2、卷积和相关 3、空间频率及空间频谱 4、傅里叶级数 5、傅里叶变换
本章教学目标
1、本章及下一章内容都将介绍傅里叶光学中基础理论， 包括常用函数、常见的光学运算，以及傅里叶变换方 法和线性系统理论。
圆孔光瞳的非相干脉冲响应 以及圆孔的夫琅和费衍射图样
1、一些常用函数
需要特别说明的是，上面提到的常用函数有的本身就是二维函
数，而那些只给出一维形式的函数也具有二维形式，这里不再赘 述，只给出这些常用二维函数的图形化表示。 二维矩形函数
x x0 y y 0 x x0 y y0 rect ( , ) rect ( )rect ( ) b d b d
x y Circ r0
2 2
应用
1 0 x 2 y 2 r0 others
常用来表示圆孔的透过率。
1、一些常用函数 * 8）斜坡函数( Ramp function) 定义 应用
x x0 常用来表示边界透过率的灰阶变化。 0, x x0 b b ram p( ) x x0 x x0 b , b b b
( x n, y m) comb x comb y
n m
( x na, y mb)
1 x y comb comb ab a b
应用 常用二维梳状函数表示点 光源阵列或小孔阵列的透 过率函数。
1、一些常用函数
二维高斯函数
Gauss( x x0 y y0 x x0 y y0 , ) Gauss( )Gaus( ) b d b d
傅里叶光学(高等物理光学)
第一章光场的表示和Fourier分析1.1 Maxwell方程与标量波1.2 平面波和球面波1.3 二维Fourier变换的定义和物理意义1.4 卷积和相关1.5 Fourier变换的基本性质1.6 可分离变量的Fourier变换1.7 一些常用函数和它们的Fourier变换17空间频率概念的引入f (2j eU )y ,x (U π=/1/1==f f y x λcos =X9112. ( f x , f y )的物理意义方向余弦为(cos α, cos β) 的单色平面波在xoy平面上的复振幅分布是以2π为周期的分布，该复振幅分布可用沿x，y 方向的空间频率( f x , f y ) 来描述3.根据波叠加原理，任何复杂的光场分布可以分解为许多不同方向传播的平面波的叠加，或分解为许多不同空间频率的波的叠加.此式表示一个在xy 平面上沿x方向的空间频率为f x ，沿y方向的空间频率为f y 作周期的复振幅函数，它代表一个传播方向为( cos α＝λf x ，cos β＝λf y )的平面波.)(20),(y f x f j y x eU y x U +=π)cos cos (0),(βαy x jk e U y x U +=四、球面波的复振幅1、定义：点光源发出的单色光波等相位面是球面波1215近轴条件：只考虑xoy 平面上与S 点张角不大的范围.3、近轴条件下球面波的复振幅(1)171.3 Fourier变换的定义和物理意义一、广义变换∫∞∞−=dxx k x f I f ),()()(αα把函数f (x)在x 空间变换成α空间的I f (α)的函数，I f (α) 叫函数f (x) 的以k (α,x) 为核的积分变换.变换Fourier e x k x j −−=−παα2),(拉普拉斯变换−−−x e α梅林变换−−−1αx 阶汉克尔变换n xJ n −−)(α18二、一维Fourier变换1、定义t j eπν2基元函数代表频率为ν的简谐振荡.F (ν)= F {f ( t )}=∫∞∞−−dte tf t j πν2)({}dve v F v F tf vt j π21)()()(∫∞∞−−==F 2、物理意义：1) f (t)可分解为许多基元函数的线性组合;2) F (ν)权重因子.1921四、存在条件(函数g(x,y)存在FT的条件)1、g(x,y)在整个xy平面绝对可积∫∫∞<dxdy y x g |),(|五、广义Fourier变换g (x ,y)＝),(lim y x g n n ∞→G (f x ,f y )＝),(lim y x n n f f G ∞→2、在任一有限区域里，g(x,y) 必须只有有限个间断点和有限个极大和（或）极小点;3、g(x,y)必须没有无限大间断点.23若g(x,y) 为实函数，G( f x , f y ) 是厄米函数，则G (-f x ,-f y ) = ( f x , f y )即振幅|G (-f x ,-f y ) | = |G( f x , f y )|幅角φ(-f x ,-f y ) = -φ( f x , f y )其中( f x , f y )是G( f x , f y )的共轭复数，G ( f x , f y )是中心对称的函数.傅立叶变换并不改变函数的奇偶性,通常该性质称为傅立叶变换的对称性.∗G ∗G24一、卷积（Convolution）1. 定义：αααd x h f x h x f x g )()()()()(−∫=∗=∞∞−展宽：卷积运算的宽度是原来两个函数宽度之和.设f (x) 宽度为b 1, h (x) 的宽度为b 2,则g (x) 的宽度是：b = b 1＋b 2 .1.4 卷积和相关卷积运算的几何解释：先反转h (α)，每平移一个距离x，计算f (α)h (x -α)相乘，∫∞∞−−da a x h a f )()(求面积；再绘成g(x) 随x 变化的图形；积分252627)}()({)}()({)()}()({x h x v b x h x u a x h x bv x au ∗+∗=∗+4)结合性：)()()()()()()()}()({x v x h x u x h x v x u x h x v x u ∗∗=∗∗=∗∗)()()(x u x v x h ∗∗=卷积的次序是无关紧要的.2. 性质：1)平滑性：g (x)的变化率<< f (x)、h (x)的最大变化率；2)对易性：f (x) * h (x)= h (x) * f(x)；3)线性性质：30二、相关（correlation）1. 定义：αααd x h f x h x f x g )()()()()(*−∫==∞∞−★令：x −=αβ得：βββd h x f )()(*∫∞∞−+ηξηξηξd d y x h f y x h y x f y x g ),(),(),(),(),(*−−∫∫=∞∞−＝★ηξηξηξ′′′′∫∫+′+′∞∞−d d h y x f ),(),(*＝与卷积运算的区别：没有反转，只有平移.)(αh )(α−h31相关运算示意图322.性质：1)尖峰化：相关运算是两个信号之间存在相似性的量度.34若f (x) = h (x),则：αααd x f f x f x f x g )()()()()(*−∫==∞∞−★ηξηξηξ∫∫−−=∞∞−d d y x f f y x f y x f ),(),(),(),(*★ηξηξηξ′∫∫′′′+′+′=∞∞−d d f y x f ),(),(*3. 自相关函数：1)定义：3538六、自相关定理七、Fourier积分定理对函数相继进行正FT变换和逆FT，得到原函数.八、FT的FT对函数相继进行FT，所得的函数形式不变，仅将坐标反向.F {g (x,y )☆g (x,y )}=|G (f x , f y )|2F {|G (f x , f y )|2}= g (x,y )☆g (x,y )F –1{F {g (x,y )}}= F {F –1{g (x,y )}}=g (x,y )F {F {g (x,y )}}=g (-x,-y )自相关函数的FT是原函数的功率谱，信号的自相关和功率谱之间存在FT关系.F {g (x,y )☆h (x,y )}= (f x , f y )·H (f x , f y )——互相关定理∗G 两函数的互相关与其互谱密度之间存在FT关系.41结论：在极坐标中可分离变量函数g (r ,θ)=g r (r )g θ(θ)它的频谱在极坐标中也是可分离变量函数，关于φ的函数是exp(j k φ)，关于ρ的函数是G k (ρ) 它为g r (r ) 的k 阶汉克尔变换.=ρ45464748491.7、一些常用函数和它们的FT50。
傅里叶分析
傅里叶分析傅里叶分析（FourierAnalysis）是一种数学理论，主要用于研究特定的波形和信号的组成部分，以及它们之间的关系。
这种理论是由法国数学家和物理学家Jean-Baptiste-Joseph Fourier在19世纪初发明的，他称之为“Fourier级数”。
傅里叶分析的基本思想是任何一个连续的函数可以由它的有限项级数所表示，它称为傅里叶级数（Fourier series）。
它由一系列正弦曲线和余弦曲线组成，每个函数都具有自己的频率和振幅。
傅里叶级数在连续函数的分析中起着重要作用，它可以被用来表示某个连续信号，或者它可以被用来描述一个特定的时间序列。
傅里叶分析可以用于许多不同的应用，这其中包括信号处理、声音编辑、图像处理、系统分析、通信系统，以及高级数字信号处理应用。
在数字信号处理领域，傅里叶分析可以用来分析复杂的时间序列，以及计算信号的频率特性。
它也可以被用来检测信号的周期性，从而可以精确的控制和调整信号的参数。
傅里叶分析还可以被用于以下几个方面：1.乐分析：通过分析音乐中不同声波构成的频率，可以了解音乐的特点，并对音乐艺术上的细节进行调整。
2.路分析：通过分析电路中的信号的频率，可以更好的理解电路的结构和功能，并可以改进电路的性能。
3.域分析：利用傅里叶分析可以分析一个信号在一定时间段内的变化，可以更好地控制信号的参数，从而提高系统的性能。
4.波分析：运用傅里叶分析，可以组合或分解一个比较复杂的电波，从而可以更精确地测量电波的振幅和频率，从而改善信号的性能。
5.像分析：可以通过利用傅里叶分析，精确的把一张图片的信息分解成各种频率的部分，从而可以提高图像的处理效率，并减少图像中噪声的影响。
总而言之，傅里叶分析是一种重要的技术，它可以被用于信号处理，图像处理和时域分析等多种应用中，以及许多其他方面，它为改善信号的质量和性能提供了一种有效的方法。
因此，傅里叶分析是一种非常有用的理论，在许多领域都可以被广泛应用。
《傅里叶光学》课件
光通信
利用傅里叶光学原理实现高速光信号的传输和处 理，提高通信容量和速度。
3
光学仪器设计
傅里叶光学在光学仪器设计中的应用，如干涉仪 、光谱仪等。
傅里叶光学的发展前景和挑战
发展前景
随着光子技术的不断发展，傅里叶光学在光通信、光学仪器、生物医学等领域的应用前 景广阔。
傅里叶光学在光学显微镜、光谱仪和 OCT等生物医学成像技术中被广泛应 用。
光电子器件
利用傅里叶光学原理设计的光电子器 件，如光调制器、光滤波器和光开关 等。
02
傅里叶变换
傅里叶变换的定义和性质
傅里叶变换的定义
将一个时域信号转换为频域信号的过 程，通过正弦和余弦函数的线性组合 来表示信号。
傅里叶变换的性质
傅里叶变换在信号处理中的应用
频域滤波
通过在频域对信号进行滤波，可以实现信号的降噪、增强等处理 。
信号压缩
利用傅里叶变换可以将信号从时域转换到频域，从而实现对信号的 压缩和编码。
图像处理
傅里叶变换在图像处理中也有广泛应用，如图像滤波、图像增强、 图像压缩等。
03
光学信号的傅里叶分析
光学信号的表示和测量
05
傅里叶光学的实践应用
傅里叶光学的实验技术
光学干涉实验
利用干涉现象研究光的波动性质，验证傅里叶光学的 基本原理。
光学衍射实验
通过衍射实验观察光的衍射现象，理解傅里叶光学中 的衍射理论。
光学频谱分析实验
利用傅里叶变换对光信号进行频谱分析，研究光波的 频率成分。
傅里叶光学的应用案例
1 2
图像处理
干涉和衍射在光学系统中的应用
傅立叶光学习题解答及参考答案
第一章 傅里叶分析部份习题解答及参考答案[1-1] 试分别写出图X1－1中所示图形的函数表达式。
图X1-1 习题[1-1]各函数图形解：(a)−∧L x x a 0 (b) () ∧−−L x b a L x a 2rect(c) ()x L x a sgn 2rect (d) x L x cos 2rect[1-2] 试证明下列各式。
(1) += 21comb 21comb x x- (2) ()()x i e x x x πcomb comb 2comb +=(3)()()()x x N x N ππsin sin lim comb ∞→= (4) ()()xx x πωδωsin lim ∞→=(5)()()∫∞∞−=ωωπδd cos 21x x (6)()ωπδωd 21∫∞∞−±=x i e x解：(1)原式左端∑∑∞−∞=∞−∞=+−−=−−=m n m x n x 12121δδ 令()1−=m n=−+=∑∞−∞=m m x 21δ右端 (2)()∑∑∞−∞=∞−∞=−=−= n n n x n x x 2222comb δδ n 2只取偶数()()∑∞−∞=−=m m x x δcomb()()πδδππm m x e m x e x m im m x i cos 2comb ∑∑∞−∞=∞−∞=−=−=当=m 奇数时，()()0comb comb =+xi ex x π；当=m 偶数时，令n m 2=，则12 cos =x π，并且有： ()()()∑∞−∞=−=+n n x x x 22e comb comb xi δπ 得证。
(3)由公式(1-8-7)知：()∑∞−∞=−=n nxex π2i comb上式可视为等比级数求和，其前N 项之和为：()()()()()x Nx e e e e e e e e q q a S x i x i x i Nx i Nx i Nx i x i Nx i N N ππππππππππsin sin 1111221=−−=−−=−−=−−−−−− 所以 ()()()x Nx S x N N N ππsin sin limlim comb ∞→∞→==得证。
傅里叶光学基础01
专题：傅里叶光学基础Fundamentals of Fourier Optics§1.1 数学基础知识和傅里叶变换的基本概念§1.2 光波的傅里叶分析§1.3 平面波角谱理论§1.4 透镜的傅里叶变换§1.5 光阿贝成像原理§1.6 光全息术傅里叶光学：研究以光作为载波，实现信息传递、变换、记录和再现的问题。
§1.1 数学基础知识和傅里叶变换的基本概念一、一些常用函数在现代光学中，常用各种非初等函数和特殊函数来描述光场的分布。
常用函数定义图形表示应用阶跃函数1 x0step(x )1step( ) 2 0x x1x0 x 0直边（或刀口）的透过率符号函数1 0xsgn(x) 0 x 01 x 0孔径的一半嵌有相位板的复振幅透过率矩形函数xrect( )ax1 1/ 2a0 else狭缝或矩孔的透过率常用函数定义图形表示应用三角形函数| x|x1 x 1( ) aa0 else光瞳为矩形的非相干成像系统的光学传递函数狭缝或矩孔的sinc函数x sin( x/ a )sinc( )a x/ a 夫琅禾费衍射图样高斯函数2x xGaus( ) expa a 激光器发出的高斯光束x y2 2circ( )r圆域函数圆孔的透过率2 21 x y r0 else二、傅里叶级数的定义一个周期性函数g(x) ，周期为T（频率f = 1/T ），在满足狄里赫利条件（函数在一个周期内只有有限个极值点和第一类不连续点），可以展开为三傅里叶系数角傅里叶级数:ag x a nfx b nfx()cos(2)sin(2)n n2n1在[-T/2, T/2]区间逐项积分：a aT2T2T2T2g x dx dx a nfx dx b nfx dx T()cos(2)sin(2)00(1) nn2 2T2T2T2T2n1因此有：2T2a g(x)dx 02TT将公式(1)两端同乘以cos(2πmfx)，并利用三角函数的正交性：0,for m n0, sin(mx)sin(nx)dx cos(mx)cos(nx)dx,for m n ,sin(mx)cos(nx)dx0,for any m and n for m n for m n逐项积分：aT2T2g(x)cos(2mfx)dx cos(2mfx)dxT2T2= 02= 0T2T2a cos(2nfx)cos(2mfx)dxb sin(2nfx)cos(2mfx)dxn T n T22 n1(m n)T2aa nfx dx Tcos(2)n2n T222T2a g(x)cos(2nfx)dxn TT2系数：2T/2直流分量a g(x)dx0/2TT2T/2余弦分量的幅度a g(x)cos2nfx dxn TT/22T/2正弦分量的幅度b g(x)s in2nfx dxn TT/2用傅里叶级数展开表示矩形周期函数ag x a nfx b nfx ()cos2sin2n n2n1f 周期信号可分解为直流，基波( )和f nf各次谐波( )的线性组合。
傅里叶分析是什么
二
正弦波是怎样定义的？
二
频域的基本单元也可以理解为一个始终在旋转的圆
二
矩形波，在频域里的另一个模样了：
二
二
回顾一下：
世界是静止的
本课内容：
什么叫频域
傅里叶级数的频谱
下一节课：
傅里叶级数的相位谱
一、神马叫频域
二、傅里叶级数的频谱 三、傅里叶级数的相位谱 四、傅里叶变换
前 言
不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析
不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式
傅里叶分析的公式
复杂
一
我们看到的世界都以时间贯穿
这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。
用另一种方法来观察世界
世界是永恒不变
这个静止的世界就叫做
频域
一
随时间变化的震动
对音乐家来说就是这样
所以频域这一概念对大家都从不陌生，只是从来没意识到而已。
一
为什么说世界是永恒的？
在时域，我们观察到钢琴的琴弦一会上一会 下的摆动，就如同一支股票的走势
在频域，只有那一个永恒的音符。
你眼中看似落叶纷飞变化无常的世界，实际 只是躺在上帝怀中一份早已谱好的乐章。
主要贡献是在研究《热的传播》和《热的分析理论》 时创立了一套数学理论，对19世纪的数学和物理学的 发展都产生了深远影响。
让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶
——生于法国中部欧塞尔一个裁缝家庭，9岁时沦为孤儿， 被当地一主教收养。 1780年起就读于地方军校， 1795年任巴黎综合工科大学助傅立叶的家乡-欧塞尔教，1798年随拿破仑军队远征埃及， 受到拿破仑器重， 1801年回国后被任命为伊泽尔省格伦诺布尔地方长官， 1807年就写成关于热传导的基本论文《热的传播》，向巴黎科学院呈交，但经拉格朗日、 拉普拉斯和勒让德审阅后被科学院拒绝， 1811年又提交了经修改的论文，该文获科学院大奖，却未正式发表， 1817年因传热理论的贡献当选为巴黎科学院院士， 1822年，傅里叶终于出版了专著《热的解析理论》，傅里叶应用三角级数求解热传导方 程，为了处理无穷区域的热传导问题又导出了当前所称的“傅里叶积分”，极大地推动 了偏微分方程边值问题的研究，迫使人们对函数概念作修正、推广，特别是引起了对不 连续函数的探讨；三角级数收敛性问题更刺激了集合论的诞生。 1830年5月16日卒于法国巴黎。
傅里叶光学1-5函数正交展开和级数
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傅里叶光学1-5函数正交展开和级 数
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目录
• 傅里叶光学基础 • 1-5函数的正交展开 • 级数展开 • 傅里叶光学与信息处理 • 傅里叶光学的发展趋势和展望
01 傅里叶光学基础
傅里叶变换的定义
傅里叶变换
将一个时域信号转换为频域信号 的过程，通过将信号表示为不同 频率的正弦波的叠加来实现。
傅里叶光学作为一门独立的学 科，起源于20世纪初，主要研 究光波在空间和时间上的变化
规律。
随着光学技术和计算机科学 的不断发展，傅里叶光学在 信息处理、通信、图像处理 等领域得到了广泛应用。
目前，傅里叶光学已经形成了 较为完善的理论体系，并在实 际应用中取得了显著成果。
傅里叶光学的研究热点和前沿问题
1-5函数正交展开的应用
01
光波传播分析
在傅里叶光学中，光波的传播可以用正交的平面波函数来描述。通过正
交展开，我们可以分析光波的频谱成分和空间分布。
02 03
图像处理
在图像处理中，正交展开可以用于图像的频域分析和滤波。通过对图像 进行傅里叶变换得到频谱，然后对频谱进行滤波处理，可以实现图像的 降噪、增强等效果。
信号处理
在信号处理中，正交展开可以用于信号的频谱分析和滤波。通过将信号 展开为正交函数的线性组合，可以提取信号的频率成分，实现信号的滤 波、去噪等处理。
03 级数展开
级数展开的定义
定义
级数展开是将一个函数表示为无穷序列的和或差的过程。
形式
给定函数f(x)，可以表示为无穷级数∑an x^n的形式，其中an是常数，n是自然数。
傅里叶光学在信号处理中的应用
傅里叶分析
傅里叶分析傅里叶分析是一项重要的数学方法，它从数学的角度解释了任何周期性现象的原理。
这个方法得名于法国数学家约瑟夫·傅里叶，他在1807年首次提出了这个理论。
傅里叶分析的核心思想是将一个周期性函数分解成一系列具有不同频率的正弦和余弦函数的和。
通过分析这些分量的振幅、频率和相位，可以获得原始周期性函数的详细特征。
这个方法的应用非常广泛，涵盖了许多领域，包括物理学、工程学、信号处理和图像处理等等。
在物理学中，傅里叶分析被用于研究波动现象，如声音和光线的传播。
在工程学中，它被应用于电路设计和通信系统的优化。
在信号处理中，傅里叶分析被用于音频和视频的压缩和解压缩。
在图像处理中，它被用于图像的滤波和增强。
傅里叶分析的基本原理是将一个周期性函数表示为周期为T的正弦和余弦函数的和。
数学公式可以表达为：f(t) = a0 + ∑(an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))其中，f(t)是周期性函数，n是一个正整数，an和bn是系数，ω是角频率，通过关系ω = 2π/T与周期T相联系。
a0是直流分量，表示函数在周期内的平均值。
这个公式中的每一项都表示一个谐波分量。
高频的分量对应着函数的细节，低频的分量对应着函数的整体变化。
为了计算这些系数，可以利用傅里叶级数展开的性质，通过积分计算得到。
具体的计算方法可以参考数学相关的教材和资料。
傅里叶分析的强大之处在于，几乎任何周期性函数都可以通过将其展开成傅里叶级数来近似表示。
这使得我们可以更好地理解周期性现象的本质和特征。
傅里叶分析在现代科学和工程中的应用非常广泛。
在物理学中，它被用于研究波动现象，如声音和光线的传播。
通过分解波动信号，可以获得频谱信息，进而了解波动信号的频率分布和强度。
这对于研究和解释各种波动现象具有重要意义。
在工程领域，傅里叶分析被广泛应用于电路设计和通信系统的优化。
通过分析信号的频谱特征，可以得到电路和系统的频率响应，从而设计出更好的电路和系统。
傅里叶光学简介
１．光栅衍射和空间频率
２．阿贝成像原理 3. 空间滤波和光学信息处理 (1) 阿贝-波特空间实验 (2) 网格实验 (3) 调制实验
数学中的傅里叶分析,应用到通信理论中, 将电信号的特征在频率域中讨论; 傅里叶分 析与光学中的衍射理论结合起来,形成傅里叶 光学. 傅里叶光学,是在频率域中讨论图象信 息.通信理论中涉及的是一维时间函数,傅立 叶光学中讨论的是二维空间的信号.
１．光栅衍射和空间频率
波长为的单色平面波垂直入射到平面 光栅G上．设光栅d/a=2, N很大,会聚透镜后 的焦平面上得到各级干涉极大，且偶数干涉 极大缺级.
x
0
3
1 -1
屏
0 -3
G光 栅
f
对于光栅我们可以用透过率函数（x） 来描述,一维透射光栅的透过率函数是一矩形 波函数.
为了讨论问题方便, 设光栅狭缝总数N无限大.
像
倾斜方向的频谱通过
像
灰网 尘格 粘 上 的
过只 让 网 格 的 频 谱 通
失网 格 的 像 灰 尘 消
(3)
调制实验
用白光照明透明物体,物体的不同部分是 由不同取向的透射光栅片组成.频谱面上(除 零级外)干涉主极大呈彩色.物面上不同的部 分的频谱在不同方向上. 将一个方向的频谱, 只保留一种颜色,滤掉其余的颜色,其对应的 象面上,就显示出该频率的颜色来.
5 p0
p
透射光栅的空间频率和功率谱
上图是矩形波在频率域中的表示,横坐标是 空间频率p, 纵坐标分别表示振幅A和功率A2. 周期性函数的频谱都是分立的谱,各谱线的 频率为基频整数倍.在p=0处有直流分量. 再回到光栅装置.由光栅方程,
d sin m ,
python傅里叶光学
python傅里叶光学Python傅里叶光学Python是一种易于学习且功能强大的编程语言，可以应用于各种领域。
近年来，Python在科学计算和数学建模方面的应用越来越广泛。
傅里叶光学是一种利用傅里叶变换技术分析光学信号的方法，Python通过强大的傅里叶变换库SciPy，为傅里叶光学分析提供了很好的支持。
本文将从以下几个方面介绍Python在傅里叶光学分析方面的应用：一、傅里叶分析傅里叶分析是一种将信号分解成不同频率的技术。
在光学中，可以将光信号抽象成不同频率的波，借助傅里叶变换将信号分解为基频和其它高次谐波。
Python通过SciPy库提供了傅里叶变换的函数。
用户只需输入需要进行傅里叶变换的信号，即可得到其频谱信号，从而完成傅里叶分析。
二、光学系统模拟光学系统模拟是一种应用傅里叶光学分析的方法。
通过模拟光学系统的传递函数，可以预测光学系统的性能。
光学系统模拟在光学设计和工程中扮演了重要的角色。
Python通过Zemax OpticStudio等光学模拟软件的API，提供了对光学系统模拟的支持。
用户可以通过Python脚本，调用光学模拟软件的API，进行光学系统模拟和分析，提高工作效率和精度。
三、自适应光学自适应光学是一种通过传感器实时测量光学系统的像差，然后通过变形镜对光束进行实时校正的技术。
自适应光学在现代望远镜、显微镜等光学系统中有着广泛的应用。
Python通过Matplotlib等可视化库，提供了对自适应光学的支持。
用户可以使用Python绘制自适应光学系统的仿真图，并进行实验设计、数据分析和结果可视化。
四、传感技术光学传感技术是一种应用傅里叶光学分析的重要领域。
通过测量光学系统的像差和光学信号，可以为医学成像、机器视觉等科学领域提供基础数据支持。
Python通过OpenCV等图像处理库，提供了对光学传感技术的支持。
用户可以使用Python编写光学传感的程序，调用图像处理库的函数，实现对光学信号的测量和分析。
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x, y x, ydxdy 0,0
x, y 是检验函数；要求检验函数是连续的、在一个有限区间
外为零，并具有所有阶的连续导数。
1、一些常用函数
✓ 函数的常用性质
a) 筛选性质
x x0, y y0 x, y dxdy x0, y0
b) 对称性
(x) (x)
c) 比例变化性质 d) 与其他函数的乘积
(x
x0 )
1
|
|
(x
x0
)
(
x
x0 b
)
b
(x
x0 )
f (x, y) (x x0, y y0 ) f (x0, y0 ) (x x0, y y0 )
1、一些常用函数
1、一些常用函数
✓二维情况
Байду номын сангаас
(x n, y m) comb xcomb y
n m
n
m
(x
na,
y
mb)
1 ab
comb
x a
comb
y b
应用
常用二维梳状函数表示点 光源阵列或小孔阵列的透 过率函数。
9）梳状函数( Comb function)
✓一维情况 沿x轴间隔为1的无穷个脉冲函数的和 沿x轴间隔为的无穷个脉冲函数的和
Comb(x) (x n)
n
Comb(x
n
)
1
n
(x
n)
1
comb
x
应用
可以利用梳状函数对其他 普通函数作等间距抽样。
1、一些常用函数
1）阶跃函数 (Step function)
定义
1 x 0
step
x
1
2
x0
0 x 0
应用
如同一个“开关”，可在某点“开 启”或“关闭”另一个函数，常用 来表示直边（或刀口）的透过率。
1、一些常用函数
2）符号函数 (Sign function)
定义
1 x 0
1 0
x a2 others
常用矩形函数表示狭缝、矩孔的透 过率；它与某函数相乘时，可限制 该函数自变量的范围，起到截取的 作用，故又常称为“门函数”。
1、一些常用函数
4）三角形函数 (Triangle function) 定义
x
tri
x a
1 0
x a
本章主要内容
1、常用函数 2、卷积和相关 3、空间频率及空间频谱 4、傅里叶级数 5、傅里叶变换
本章教学目标
1、本章及下一章内容都将介绍傅里叶光学中基础理论，包括常用函数、 常见的光学运算，以及傅里叶变换方法和线性系统理论。 2、本章主要介绍傅里叶变换方法，使学生掌握一些常用函数的傅里叶变 换； 3、理解常见光学运算，特别是卷积和相关运算的基本概念，并将两者与 傅里叶变换联系起来。
sgn x 0 x 0
1 x 0
应用
Sgn(x-x0)表示间断点移到x0的符号 函数，当它与某函数相乘，可使函 数x<x0部分的函数极性改变。
y0
o
x0
相位板
1、一些常用函数
3）矩形函数 (Rectangle function)
定义
应用
rect
x a
1、一些常用函数
*10）宽边帽函数( Somb function)
定义
somb( r d
)
2J
1
(
r
d
)
r
d
应用
可用来表示圆形光瞳的相干脉 冲响应（对应somb)；圆孔光 瞳的非相干脉冲响应以及圆孔 的夫琅和费衍射图样（对应 somb2)。
1、一些常用函数
✓圆形光瞳的相干脉冲响应
✓圆孔光瞳的非相干脉冲响应 以及圆孔的夫琅和费衍射图样
x a
函数在原点具有最大值1，曲线下的面积 为a。
1、一些常用函数
7）圆域函数 (Circle function)
定义
应用
Circ
x2 r0
y2
1 0
x2 y2 r0 others
常用来表示圆孔的透过率。
1、一些常用函数
8）脉冲函数( function) 定义
1、一些常用函数
✓ 需要特别说明的是，上面提到的常用函数有的本身就是二维函 数，而那些只给出一维形式的函数也具有二维形式，这里不再赘 述，只给出这些常用二维函数的图形化表示。
二维矩形函数
rect( x x0 , y y0 ) rect( x x0 )rect( y y0 )
b
d
b
d
1、一些常用函数
思考题： 能否写出sinc2函数的表达式并画出 图形？其与sinc函数有何区别？
1、一些常用函数
6）高斯函数 (Gauss function)
定义
应用
Gaus
x a
exp
x a
2
常用来描述激光器发出的高斯光束 强度分布。
图形分布特点
S a Gaus
x,
y
lim
N
N
2
exp
N
2
x2 y2
x, y lim N 2rect Nx rect Ny N
x, y lim N 2 sin c Nxsin c Ny N
1、一些常用函数
✓ 函数的运算要通过积分作用于另一个函数才能得到定值，它是一种 “广义函数”。把函数当作广义函数给出比较严格的定义：
others
a
应用
常用来表示光瞳为矩形的非相干成 像系统的光学传递函数。
1、一些常用函数
5）sinc函数 (Sinc function)
定义
sin c
x a
sin
x
a x
a
零点位置：
x nan 1, 2,3,L
应用
常用来描述狭缝或矩形孔的夫琅和 费衍射图样。
x, y 0 x 0, y 0
x,
y
dxdy
1
应用
常用函数代表点质量、点电荷、点脉 冲或者其他在某一坐标系中高度集中 的物理量。
1、一些常用函数
✓对于实际物理问题而言，函数只是一种理想化处理，主要目的是使许 多物理过程的研究更加方便。
✓脉冲函数的另一种定义是可以把函数看作是宽度逐渐减小、高度逐步 增大但体积保持为1的一个脉冲序列的极限：