傅里叶光学第1章 傅里叶分析

1、一些常用函数
*10）宽边帽函数( Somb function)
定义
somb( r d
)

2J
1
(
r
d
)
r
d
应用
可用来表示圆形光瞳的相干脉 冲响应（对应somb)；圆孔光 瞳的非相干脉冲响应以及圆孔 的夫琅和费衍射图样（对应 somb2)。
1、一些常用函数
✓圆形光瞳的相干脉冲响应
✓圆孔光瞳的非相干脉冲响应 以及圆孔的夫琅和费衍射图样
b) 对称性
(x) (x)
c) 比例变化性质 d) 与其他函数的乘积

(x

x0 )

1
|

|
(x

x0

)

(
x
x0 b
)

b
(x

x0 )
f (x, y) (x x0, y y0 ) f (x0, y0 ) (x x0, y y0 )
1、一些常用函数
b
d
1、一些常用函数
9）梳状函数( Comb function)
✓一维情况 沿x轴间隔为1的无穷个脉冲函数的和 沿x轴间隔为的无穷个脉冲函数的和

Comb(x) (x n)
n
Comb(x

n
)

1

n

(x


n)

1

comb

x


应用
可以利用梳状函数对其他 普通函数作等间距抽样。
1、一些常用函数
1）阶跃函数 (Step function)
定义
1 x 0
step

x


1
2
x0
0 x 0
应用
如同一个“开关”，可在某点“开 启”或“关闭”另一个函数，常用 来表示直边（或刀口）的透过率。
1、一些常用函数
2）符号函数 (Sign function)
定义
1 x 0
sgn x 0 x 0
1 x 0
应用
Sgn(x-x0)表示间断点移到x0的符号 函数，当它与某函数相乘，可使函 数x<x0部分的函数极性改变。
y0
o
x0
相位板
1、一些常用函数
3）矩形函数 (Rectangle function)
定义
应用
rect

x a


1 0
x a2 others
常用矩形函数表示狭缝、矩孔的透 过率；它与某函数相乘时，可限制 该函数自变量的范围，起到截取的 作用，故又常称为“门函数”。
1、一些常用函数
4）三角形函数 (Triangle function) 定义
x
tri

x a


1 0
x a
x a

函数在原点具有最大值1，曲线下的面积 为a。
1、一些常用函数
7）圆域函数 (Circle function)
定义
应用

Circ

x2 r0
y2


1 0
x2 y2 r0 others
常用来表示圆孔的透过率。
1、一些常用函数
8）脉冲函数( function) 定义
1、一些常用函数
✓二维情况

(x n, y m) comb xcomb y
n m

n


m
(x

na,
y

mb)

1 ab
comb

x a

comb

y b

应用
常用二维梳状函数表示点 光源阵列或小孔阵列的Fra Baidu bibliotek 过率函数。
1、一些常用函数
✓ 需要特别说明的是，上面提到的常用函数有的本身就是二维函 数，而那些只给出一维形式的函数也具有二维形式，这里不再赘 述，只给出这些常用二维函数的图形化表示。
二维矩形函数
rect( x x0 , y y0 ) rect( x x0 )rect( y y0 )
b
d

x, y x, ydxdy 0,0
x, y 是检验函数；要求检验函数是连续的、在一个有限区间
外为零，并具有所有阶的连续导数。
1、一些常用函数
✓ 函数的常用性质
a) 筛选性质

x x0, y y0 x, y dxdy x0, y0
思考题： 能否写出sinc2函数的表达式并画出 图形？其与sinc函数有何区别？
1、一些常用函数
6）高斯函数 (Gauss function)
定义
应用
Gaus

x a


exp



x a
2

常用来描述激光器发出的高斯光束 强度分布。
图形分布特点
S a Gaus
others

a
应用
常用来表示光瞳为矩形的非相干成 像系统的光学传递函数。
1、一些常用函数
5）sinc函数 (Sinc function)
定义
sin c

x a


sin


x
a x

a
零点位置：
x nan 1, 2,3,L
应用
常用来描述狭缝或矩形孔的夫琅和 费衍射图样。
x, y 0 x 0, y 0






x,
y

dxdy

1

应用
常用函数代表点质量、点电荷、点脉 冲或者其他在某一坐标系中高度集中 的物理量。
1、一些常用函数
✓对于实际物理问题而言，函数只是一种理想化处理，主要目的是使许 多物理过程的研究更加方便。
✓脉冲函数的另一种定义是可以把函数看作是宽度逐渐减小、高度逐步 增大但体积保持为1的一个脉冲序列的极限：


x,
y


lim
N
N
2
exp
N
2
x2 y2

x, y lim N 2rect Nx rect Ny N
x, y lim N 2 sin c Nxsin c Ny N
1、一些常用函数
✓ 函数的运算要通过积分作用于另一个函数才能得到定值，它是一种 “广义函数”。把函数当作广义函数给出比较严格的定义：
本章主要内容
1、常用函数 2、卷积和相关 3、空间频率及空间频谱 4、傅里叶级数 5、傅里叶变换
本章教学目标
1、本章及下一章内容都将介绍傅里叶光学中基础理论，包括常用函数、 常见的光学运算，以及傅里叶变换方法和线性系统理论。 2、本章主要介绍傅里叶变换方法，使学生掌握一些常用函数的傅里叶变 换； 3、理解常见光学运算，特别是卷积和相关运算的基本概念，并将两者与 傅里叶变换联系起来。