高考文科数学练习题古典概型与几何概型

时跟踪检测（五十九） 古典概型与几何概型

1．(2019·长沙长郡中学选拔性考试)长郡中学要从师生推荐的参加讲课比赛的3名男教师和2名女教师中，任选2人参加讲课比赛，则选取的2人恰为一男一女的概率为( )

A.25

B.35

C.13

D.23

解析：选B 从3名男教师和2名女教师中任选2人参加讲课比赛，基本事件总数为10，选取的2人恰为一男一女包含的基本事件个数为6，故选取的2人恰为一男一女的概率

为P ＝m n ＝610＝35

.故选B. 2．(2019·合肥质检)某小组有男生8人，女生3人，从中随机抽取男生1人，女生2人，则男生甲和女生乙都被抽到的概率为( )

A.16

B.18

C.112

D.124

解析：选C 某小组有男生8人，分别记为M 甲，M 2，M 3，M 4，M 5，M 6，M 7，M 8，女生3人，分别记为W 乙，W 2，W 3.从中随机抽取男生1人，女生2人的基本事件为(M 甲，W 乙，W 2)，(M 甲，W 乙，W 3)，(M 甲，W 2，W 3)，…，(M 8，W 乙，W 2)，(M 8，W 乙，W 3)，(M 8，W 2，W 3)，共24个，男生甲和女生乙都被抽到的基本事件为(M 甲，W 乙，W 2)，(M 甲，W 乙，

W 3)，共2个，所以男生甲和女生乙都被抽到的概率为224＝112

.故选C. 3．(2019·广西五市联考)在{3,5}和{2,4}两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个数能被5整除的概率是( )

A.12

B.13

C.14

D.16

解析：选C 在{3,5}和{2,4}两个集合中各取一个数组成的两位数有：32,34,52,54,23,25,43,45，共8个，其中能被5整除的两位数有：25,45，共2个，故所求概

率P ＝28＝14

，选C. 4．(2019·成都外国语学校月考)《九章算术》中有如下问题：今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：已知直角三角形的两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步．现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是( )

A.3π10

B.3π20 C ．1－3π10 D ．1－3π20

解析：选D 直角三角形的斜边长为82＋152＝17，

设内切圆的半径为r ，则8－r ＋15－r ＝17，解得r ＝3.

∴内切圆的面积为πr 2＝9π，

∴豆子落在内切圆外的概率P ＝1－9π12×8×15＝1－3π20. 5．(2019·长春质检)如图，扇形AOB 的圆心角为120°，点P 在弦AB 上，且AP ＝13

AB ，延长OP 交弧AB 于点C ，现向扇形AOB 内投一点，则该点落在扇形AOC 内的概率为( )

A.14

B.13

C.27

D.38

解析：选A 设OA ＝3，则AB ＝33，AP ＝3，由余弦定理可求得OP ＝3，则∠AOP

＝30°，所以扇形AOC 的面积为3π4，又扇形AOB 的面积为3π，从而所求概率为3π

43π＝14

. 6．在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且

所对的圆心角为π3

，若在圆内随机取一点，则此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是( )

A ．2－33π

B ．4－63π

C ．413－32π

D ．423 解析：选B 设圆的半径为r ，根据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积

S ＝24×⎝⎛⎭⎫16

πr 2－34r 2＝4πr 2－63r 2，圆的面积S ′＝πr 2，所以此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率为S S ′

＝4－63π，故选B. 7．已知函数f (x )＝13

x 3＋ax 2＋b 2x ＋1，若a 是从1,2,3三个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为( )

A.79

B.13

C.59

D.23

解析：选D f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b 2，要使函数f (x )有两个极值点，则有Δ＝(2a )2－4b 2＞0，即a 2＞b 2.由题意知所有的基本事件有9个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．满足a 2＞b 2的有

6个基本事件，即(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，所以所求事件的概率为69＝23

.

8．(2019·安阳模拟)在边长为a 的正三角形内任取一点P ，则点P 到三个顶点的距离均大于a 2的概率是( ) A ．1112－36π B ．1－36π C ．13 D ．14 解析：选B 如图，正△ABC 的边长为a ，分别以它的三个顶点为

圆心，a 2

为半径，在△ABC 内部画圆弧，得到三个扇形，则点P 在这三个扇形外，因此所求概率为34a 2－12×π×⎝⎛⎭⎫a 2234

a 2＝1－36π，故选B. 9．(2019·石家庄毕业班摸底)一个三位数，个位、十位、百位上的数字依次为x ，y ，z ，当且仅当y ＞x ，y ＞z 时，称这样的数为“凸数”(如243)，现从集合{1,2,3,4}中取出三个不相同的数组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为( )

A.23

B.13

C.16

D.112

解析：选B 从集合{1,2,3,4}中取出三个不相同的数组成一个三位数共有24个结果：123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432，其中是“凸数”的是132,142,143,231,241,243,341,342，共8个结果，所以这个三位

数是“凸数”的概率为824＝13

，故选B. 10．(2018·全国卷Ⅰ)如图，来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几

何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC

的斜边BC ，直角边AB ，AC .△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部

分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则( )

A ．p 1＝p 2

B ．p 1＝p 3

C ．p 2＝p 3

D ．p 1＝p 2＋p 3

解析：选A 法一：∵S △ABC ＝12AB ·AC ，以AB 为直径的半圆的面积为12π·⎝⎛⎭⎫AB 22＝π8

AB 2，以AC 为直径的半圆的面积为12π·⎝⎛⎭⎫AC 22＝π8AC 2，以BC 为直径的半圆的面积为12π·⎝⎛⎭⎫BC 22＝π8

BC 2， ∴S Ⅰ＝12AB ·AC ，S Ⅲ＝π8BC 2－12

AB ·AC ，