电动力学第9讲24讯变电磁场的矢势和标势

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《电动力学》简答题参考答案

《电动力学》简答题参考答案1. 分别写出电流的连续性方程的微分形式与积分形式,并简单说明它的物理意义。

解答:电流的连续性方程的微分形式为0J t ρ∂∇⋅+=∂K 。

其积分形式为d d d d S J S V t ρΩ⋅=−∫∫∫∫K K v 。

电流的连续性方程实际上就是电荷守恒定律的公式表示形式,它表示:当某区域内电荷减少时,是因为有电荷从该区域表面流出的缘故;相反,当某区域内电荷增加时,是因为有电荷通过该区域的表面流入的缘故。

2. 写出麦克斯韦方程组,并对每一个方程用一句话概括其物理意义。

解答:(1)f D ρ∇⋅=K 电荷是电场的源;(2)B E t∂∇×=−∂K K 变化的磁场产生电场; (3)0B ∇⋅=K 磁场是无源场;(4)f D H J t∂∇×=+∂K K K 传导电流以及变化的电场产生磁场。

3. 麦克斯韦方程组中的电场与磁场是否对称?为什么?解答:麦克斯韦方程组中的电场与磁场并不对称,因为电场是有源场,电荷是电场的源,而磁场是无源场,不存在磁荷。

4. 一个空间矢量场A K ,给出哪些条件能把它唯一确定?解答:由矢量场的唯一性定理:(1)位于空间有限区域内的矢量场,当它的散度,旋度以及它在区域边界上的场分布给定之后,该矢量场就被唯一确定;(2)对于无限大空间,如果矢量在无限远处减少至零,则该矢量由其散度和旋度唯一确定。

5. 写出极化电流与极化强度、磁化电流密度与磁化强度之间的关系式。

解答:极化电流与极化强度之间的关系式为P P J t ∂=∂K K ; 磁化电流密度与磁化强度之间的关系式为M J M =∇×K K 。

6. 简述公式d d d d d V V w V f V S tσ−=⋅+⋅∫∫∫v K K K K v 的物理意义。

解答:d d d Vw V t −∫表示单位时间区域V 内电磁场能量的减少,d V f V ⋅∫v K K 表示单位时间电磁场对该区域的电荷系统所作的功,d S σ⋅∫K K v 表示单位时间流出该区域的能量。

电动力学期末各章复习题选择填空

电动力学期末各章复习题(选择+填空)第一章选择题1. 方程/E B t ∇⨯=-∂∂的建立主要依据哪一个实验定律 ( )A 电荷守恒定律B 安培定律C 电磁感应定律D 库仑定律 2.已知电极化强度，则极化电荷密度为（） A.B.C.D.3.若在某区域已知电位移矢量，则该区域的电荷体密度为（）4.下面说法正确的是（）A. 空间任一点的场强是由该点的电荷密度决定的;B. 空间任一点的场强的散度是由所有在场的电荷ｑ决定的;C. 空间任一点的场强的散度只与该点的x yD xe ye =+.2D ρ=-.2A ρε=-.2B ρ=.2C ρε=电荷密度有关; D. 空间某点，则该点，可见该点也必为零.5. H Bμ= 是（）A ．普适的 B. 仅适用于铁磁性物质C ．仅适用于线性非铁磁性物质 D. 不适用于非铁磁性物质6、对任意介质，下列方程一定正确的有（） A.极化强度矢量EP)(0εε-= B.极化强度矢量0e P E χε=C.磁化强度矢量Mu B H -=0D.磁化强度矢量01()M H μμμ=-7、对于表达式 (I)dvE D W e•=⎰⎰⎰21和（II ）⎰⎰⎰=dv W eϕρ21,下列说法中正确的有（） A ．表达式I 和II 在任何电场情况下总是等价的B ．I 中的被积函数是电场能量密度，而II 中的被积函数则无此物理意义C ．ϕρ21的单位不是能量密度的单位 D ． I 中的被积函数不代表电场的能量密度，而II 中的被积函数则有此物理意义8、对任意介质，下列方程一定正确的有（）A.极化强度矢量0P D E ε=- B.极化强度矢量0e P E χε=C.磁化强度矢量mM Hχ= D.磁化强度矢量01()M H μμμ=-9、一般情况下电磁场切向分量的边值关系为：< > A: ()210n DD ⋅-=；()210n B B ⋅-=； B: ()21n DD σ⋅-=；()210n B B ⋅-= ；C: ()210n EE ⨯-=；()210n H H ⨯-=； D: ()210n EE ⨯-=；()21n H H α⨯-=。

5.1 电磁场的矢势和标势(2)

A
0
若采用库仑规范
Α
2
Α 0
μ0 J
1 Α
2
c
2
t
2

1 c t
2

2
0
特点：
标势所满足的方程与静电场情形相同，解为库仑势。
解出后代入可解出A，因而可以确定辐射电磁场。
§5.1.3 达朗贝尔(d’Alembert)方程
A A A B
t t A A t

E
A , 和 A , 描述同一电磁场
A和描述电磁场不是唯一的，给定的E和B并不对应于唯一的A和
l 库仑规范规范条件： A 0
E A t
E A
结论：在库仑规范下，电磁场的纵场部分完全由描述，横场部分完全由 A 描述。
t 2 E
在库仑规范下，所满足的方程
/
51变化电磁场的矢势和标势直接解电磁场方程往往比较困难直接解电磁场方程往往比较困难时变电磁场的处理方法给变化电磁场引入势给变化电磁场引入势导出势满足的微分方程导出势满足的微分方程求出势方程的解求出势方程的解利用场与势的关系定量地确定场量利用场与势的关系定量地确定场量51变化电磁场的矢势和标势512规范变换和规范不变性引入势描述时变电磁场问题
辅助条件
研究用于确定势的两种
§5.1.2 规范变换和规范不变性
为什么引入辅助条件？使电磁场的解简单，基本方程对称或物理意义明显。 l 库仑规范
规范条件： A 0
A 为无散场

第09讲讯变电磁场的失势和标势

第9讲讯变电磁场的失势和标势第二章电磁场的标势、矢势和电磁辐射(4)§2.4讯变电磁场的失势和标势§2.4.1 讯变电磁场的失势和标势1. 用势描述电磁场为简单起见，我们只讨论真空中的电磁场，麦克斯韦方程组为0t t μμερε∂∇⨯=-∂∂∇⨯=+∂∇=∇=B E E B J E B 000 (2.4---1)在恒定场中，由B 的无源性引入矢势A ，使.=∇⨯B A （2.4---2）在一般情况下，B 仍然保持无源性，所以B 与矢势A 的关系（2.4---2）式普遍成立的。

矢势A 的物理意义是：在任一时刻，A 沿任意闭合回路的线积分等于该时可通过回路的磁通量。

在一般的变化情况中，电场E 的特性与静电场不同。

电场E 一方面受到电荷的激发，另一方面也受到变化磁场的激发，后者所激发的电场是有旋的。

因此在一般情况，电场是有源和有旋的场，它不可能单独用一个标势来描述。

在变化情况下电场与磁场发生直接联系，因而电场的表示式必然包含矢势A 在内。

把（2.4---2）式代入（2.4---1）第一式得()0t∂∇⨯+=∂A E 该式表示矢量E + ∂A /∂t 是无旋场，因此它可以用标势φ描述，.tϕ∂+=-∇∂A E 因此，一般情况下电场的表示式为.tϕ∂=-∇-∂A E （2.4---3）（2.4---2）和（2.4---3）式把电磁场用矢势和标势表示出来。

注意现在电场E 不再是保守力场，一般不存在势能的概念，标势φ失去作为电场中势能的意义。

因此，在高频系统中，电压的概念也失去确切的意义。

在变化场中，磁场和电场是相互作用的整体，必须把矢势和标势作为一个整体来描述电磁场。

2. 规范变换和规范不变性用矢势A 和标势φ描述电磁场不是唯一的，即给定的E 和B 并不对应唯一的A 和φ 。

这是因为对矢势A 可以加上一个任意函数的梯度，结果不影响B ，而这加在A 上的梯度部分在（2.4---3）式中有可以从▽φ中除去，结果亦不影响E 。

电磁场的矢势和标势

E
=
−∇ϕ
−
∂A ∂t
矢势和标势（续）
∇
×
E
=
−
∂B ∂t
⇒
∇
×
(E
+
∂A ∂t
)
=
0
★由(E
+
∂A ∂t
)的无旋性引入标势ϕ：
∇ × (E + ∂A ) = 0 ⇒ E + ∂A = −∇ϕ
∂t
∂t
一般而言：
【讨论】
E
=
−∇ϕ
−
∂A ∂t
★ 电场E不再是保守力场，势能、电压的概念失去原来意义；
矢势和标势（续）
★从∇ × A = B可看出：要确定A还需要另加条件； ★用矢势A与标势ϕ描述电磁场不唯一！
A → A = A + ∇ψ
ϕ → ϕ = ϕ − ∂ψ ∂t
存
(1) (2)
§ 1.2 规范变换和规范不变性
★从∇ × A = B可看出：要确定A还需要另加条件； ★用矢势A与标势ϕ描述电磁场不唯一！
A → A = A + ∇ψ
§ 1.3 库仑规范与洛伦兹规范
规范的选择是多样的：挑选出计算方便简化，且物理意义明显的规范，有两种：库仑规范与洛伦兹规范。
★库仑规范
∇·A=0
§ 1.3 库仑规范与洛伦兹规范
规范的选择是多样的：挑选出计算方便简化，且物理意义明显的规范，有两种：库仑规范与洛伦兹规范。
★库仑规范
∇·A=0 ◆库仑规范纵横分明：库仑场和感应场
A
∇·B =0
⇒
B =∇×A
E ? = −∇ϕ
第一节电磁场的矢势和标势
§ 1.1 矢势和标势

电动力学判断题

判断题第一章电磁现象的普遍规律1. 无论是稳恒磁场还是变化的磁场，磁感应强度总是无源的。

(√)2. 无论是静电场还是感应电场，都是无旋的。

(×)3. 在任何情况下电场总是有源无旋场。

(×)4. 在无电荷分布的区域内电场强度的散度总为零。

(√)5. 任何包围电荷的曲面都有电通量，但是散度只存在于有电荷分布的区域内。

(√)6. 电荷只直接激发其临近的场，而远处的场则是通过场本身的内部作用传递出去的。

(√)7. 稳恒传导电流的电流线总是闭合的。

(√)8. 在任何情况下传导电流总是闭合的。

(×)9. 非稳恒电流的电流线起自于正电荷减少的地方。

(√)10. 极化强度矢量p 的矢量线起自于正的极化电荷，终止于负的极化电荷。

(×)11. 均匀介质内部各点极化电荷为零，则该区域中无自由电荷分布。

(√)12. 在两介质的界面处，电场强度的切向分量总是连续的。

(√)13. 在两均匀介质分界面上电场强度的法向分量总是连续的。

(×)14. 在两介质的界面处，磁感应强度的法向分量总是连续的。

(√)15. 无论任何情况下，在两导电介质的界面处，电流线的法向分量总是连续的。

(×)16. 两不同介质表面的面极化电荷密度同时使电场强度和电位移矢量沿界面的法向分量不连续。

(×)17. 电介质中，电位移矢量D 的散度仅由自由电荷密度决定，而电场的散度则由自由电荷密度和束缚电荷密度共同决定。

(√)18. 两不同介质界面的面电流密度不改变磁场强度和磁感应强度的连续性。

(×)19. 关系式P E D +=0ε适用于各种介质。

(√)20. 静电场的能量密度为ρϕ21。

(×) 21. 稳恒电流场中，电流线是闭合的。

（ √ ）22. 电介质中E D ε=的关系是普遍成立的。

（ × ）23. 跨过介质分界面两侧，电场强度E 的切向分量一定连续。

5-1 电磁场的矢势与标势

5
2. 电磁场的标势：电磁场的标势：由于 ∇×E ≠ 0 ，所以，不可能用一个单独的所以，所以标势来描述E。标势来描述。虽然 ∇×E ≠ 0 ，但由 ∇×Ε = − ∂Β 可得：但由可得：
∂A ∇× Ε = −∇× ∂t ∂A ∂A 所以 ∇× Ε +∇× = ∇×(Ε + ) = 0 ∂t ∂t ∂A 是无旋场，该式表示 Ε + 是无旋场，可以引入标势ϕ ∂t
8
二、规范变换和规范不变性 1. 规范变换：规范变换：用矢势A和标势描述电磁场不是唯一的，用矢势和标势ϕ描述电磁场不是唯一的，即给定的E和并不对应于唯一的并不对应于唯一的A和定的和B并不对应于唯一的和ϕ。设矢势A和标势是描述电磁场的一组势，设矢势和标势ϕ是描述电磁场的一组势，ψ为任意时空函数，任意时空函数，做变换
17
2. 达朗贝尔达朗贝尔(d’Alembert)方程方程当采用洛伦兹规范时，当采用洛伦兹规范时，所对应的势的方程称为达朗贝尔方程。朗贝尔方程。 1 ∂2 A ∇2 A− 2 2 = −µ0J c ∂t
的源，和均为有源情况下的波动。的源，A和 ϕ均为有源情况下的波动。
这说明，在洛伦兹规范下，是的源的源，这说明，在洛伦兹规范下，J是A的源，ρ 是
ω
ω
=−
c2
ω
k×B = cB×n
此处n为传播方向单位矢量。此处为传播方向单位矢量。为传播方向单位矢量
7
(2) 变化的电磁场中，磁场和电场是相互作用着的变化的电磁场中，整体，整体，必须把矢势和标势作为一个整体来描述电磁场。因此我们说，描述电磁场的势有4个电磁场。因此我们说，描述电磁场的势有个分量。分量。思考：思考：与时间无关，当A与时间无关，即∂A/∂t=0时，电磁场的特点？与时间无关时电磁场的特点？与时间无关， ϕ 当A与时间无关，即∂A/∂t=0时， E = −∇ 与时间无关时就直接归结为电势。这时ϕ 就直接归结为电势。

矢势和标势_45p

不稳定电荷电流所激发的电磁场随时间变化，不稳定电荷电流所激发的电磁场随时间变化，电磁波从波源出发，出发，以有限速度ν在媒质中向四面八方传播, 电场和磁场密切地联系在一起，一部分电磁场以波的形式脱离波源以波的形式脱离波源向外运动脱离波源向外运动不向外运动不地联系在一起，一部分电磁场以波的形式再返回波源，再返回波源，这种现象称为电磁波的辐射这种现象称为电磁波的辐射．电磁波的辐射． 5-1 矢势标势
5-1 矢势标势 13
r §5-1-1 用势 A , ϕ 描述电磁场
本节使用最普遍的电磁场方程引入矢势然后讨论电磁辐射问题（仅讨论均匀介质）。仅讨论均匀介质）。与静电场不同, 引入的矢势与时间相关 (1) 矢势的引入 r ∇⋅D = ρ r 为简单起见, 只讨论真空中电磁场. r ∂B ∇×E = − 由Maxwell’s equations出发 ∂t r r r ∇⋅B = 0 r 齐次方程 , 显然的散度为零 B ∇ ⋅ B = 0 r r r r ∂D r ∇×H = j + 意味着 B 是某个矢量的旋度, 即 B = ∇ × A ∂t r v r v r r r r r A ⋅ dl = B ⋅ ds D = ε0E , B = µ0H A 的物理意义
2
二、研究电磁辐射的目的及意义脱离场源的电磁波在空间运动时, 与周围物质发生相互作用, 影响电磁波的传播．影响电磁波的传播．并发生各种重要的物理现象．并发生各种重要的物理现象．无线电通讯、无线电通讯、电视、电视、遥控、遥控、遥测等等，遥测等等，都是利用电磁波来进行的，行的，都与辐射和传播问题密切相关；都与辐射和传播问题密切相关；光的反射、光的反射、折射、折射、干涉、衍射、衍射、偏振，偏振，以及散射、以及散射、吸收、吸收、色散等等现象，色散等等现象，也都能从变化电磁场理论得到解释．化电磁场理论得到解释．电磁波辐射和传播的理论，电磁波辐射和传播的理论，是经典电磁场理论中最重要的部分，也是无线电物理和物理光学的理论基础；也是无线电物理和物理光学的理论基础；因此研究电磁波的辐射和传播问题，因此研究电磁波的辐射和传播问题，对于科学研究、对于科学研究、生产实践、基础理论以及实验科学，基础理论以及实验科学，都是十分重要的．都是十分重要的．无论是天线辐射还是其他辐射，无论是天线辐射还是其他辐射，本质上都是时变电荷、本质上都是时变电荷、电流与电磁场之间的相互作用。流与电磁场之间的相互作用。时变电荷、时变电荷、电流激发电磁场，电流激发电磁场，而电磁场又反过来影响电荷、而电磁场又反过来影响电荷、电流分布。流分布。因此，，电磁波的辐射问题也是一个边值问题因此 5-1 矢势标势

5.1 电磁场的矢势和标势(2)

A A A B
t t A A t

E
A , 和 A , 描述同一电磁场
A和描述电磁场不是唯一的，给定的E和B并不对应于唯一的A和
2
A
§5.1.3 达朗贝尔(d’Alembert)方程
1. 真空中标势所满足的微分方程
Β Α
Ε Α t
D
D 0E
D 0 E E / 0 A t 0
A
1 c
2
t
0
得
0
c
2
( i ) 0

k A0
由此可见，只要给定了A0，就可以确定单色平面电磁波。
B A ik A
E i c
2
A t
ik iA ik (
2
c
2

k A) iA
2
c
2
t
2
0 J

2
1
2
c
2
t
2

0
注意：两种规范，方程不同，所得矢势和标势不同，但由
其所得E和B是完全相同的，即E和B波动性质和规范无关。
例：讨论单色平面电磁波的势。
单色平面电磁波是在没有电荷、电流分布的自由空间中传播
的，因而势的方程（达朗贝尔方程）变为齐次方程：

2
1
2
c A
2
2
t
2
0 0
1 A
2

电磁场的矢势和标势

r
4 0r
如果电荷不在原点处
Q(t) (r,t) ( r r )
(r, t )
Q(r,
t
R c
)
4 0R
其中 R r r
由叠加原理，一般电荷分布所激发标势为
r,t
V
(r, t 4
R) c dV
0R
Ar,t
0 4
V
j (r,t R
R) c dV
r,t
V
(r,t R )
c dV
§1、电磁场的矢势和标势
引入矢势的物理意义
在任一时刻，矢量沿任一闭合回路的线积分等于该时刻通过回路内的磁通量
是无旋场，引入标势
电磁势和
和完全由电磁势决定
a)此处的标势与静电场中的电势不能混为一谈。因为在非稳恒的情况下，不再是保守力场，不存在势能的概念.因此，在高频系统中，电压的概念失去确切的意义
c dV
4 0R
Ar,t
0 4
V
j (r,t R
R) c dV
a) 和 A是分布在有限体积内的变化电荷和变化电流在空间任意点激发的标势和矢势。
b)电荷密度和电流密度中的时刻是t R c，而不是 t 这说明 t R c时刻 r 处电荷或电流产生的场并不能在同一时刻就到达r 点，而是需要一个传输时
线性方程 ---- 叠加原理对于源分布在有限体积内的势，可先求出场源中某一体积元所激发的势，然后对场源区域积分，即可得出总的势
设坐标原点处有一假想变化电荷
2
1 c2
2
t 2
1
0
Q(t) (r)
在原点以外空间
2
1 c2

电磁场矢势和标势从洛伦兹势变换到库仑势的证明_李伙全

这正是库仑规范下的矢势Ａ所满足的方程．其次证明 φ库满足库仑规范下的势方程．
ψ 表达式代入洛伦兹规范下满将 φ洛＝φ库＋ｔ
足的势方程
２
１ φ洛 ρ，得２２＝－ φ洛－ｃｔ ε０
２
２２ ψ －１ ψ ＝－ρ φ库＋２２ φ库＋ｔｃｔｔ ε０
Δ
Δ
Δ
２
１ φ洛＝－ ρ ２２ φ洛－ｃｔ ε０
２
（）１
）得将表达式Ａ库＝Ａ洛＋ ψ 代入表达式（９ ·（Ａ洛＋ ψ）＝０
Δ
·Ａ＝－ρ φ ＋ｔ ε０
Δ
Δ
Δ
Δ Δ
１ＡＡ－２２－ｃｔ
１ φ ＝－Ｊ（ ·Ａ＋ｃｔ） μ
Ｂ，将Ｂ＝ × Ａ代入 × Ｅ＝－得ｔＡ × Ｅ＋＝０ｔ
（
）
因此可引入标势 φ ，使得
ＡＥ＋＝－ φ ｔ
从而求出
１］由麦克斯韦方程组［
Ｂ ×Ｅ＝－ｔ
Ａ中，在表达式Ｂ＝ ×Ａ和Ｅ＝－ φ －对ｔ
矢势Ａ可以加上任意一个函数的梯度，结果不影响而且加在Ａ上的梯度部分在Ｅ的表达式中，又可Ｂ，结果也不影响Ｅ．设 ψ 是具有二阶以从 φ 中消去，偏导数的任意时空函数，作变换
即
即－
２
）式代入（）式得将（１７１６
）式代入（）式得将（１５１１
这正是库仑规范下所满足的势方程．
Ａ库１１２Ａ库－２Ｊ库＝－２－２ μ０ｔ φ ｃｔｃ

电动力学判断题

电动⼒学判断题判断题第⼀章电磁现象的普遍规律1. ⽆论是稳恒磁场还是变化的磁场，磁感应强度总是⽆源的。

(√)2. ⽆论是静电场还是感应电场，都是⽆旋的。

(×)3. 在任何情况下电场总是有源⽆旋场。

(×)4. 在⽆电荷分布的区域内电场强度的散度总为零。

(√)5. 任何包围电荷的曲⾯都有电通量，但是散度只存在于有电荷分布的区域内。

(√)6. 电荷只直接激发其临近的场，⽽远处的场则是通过场本⾝的内部作⽤传递出去的。

(√)7. 稳恒传导电流的电流线总是闭合的。

(√)8. 在任何情况下传导电流总是闭合的。

(×)9. ⾮稳恒电流的电流线起⾃于正电荷减少的地⽅。

(√)10. 极化强度⽮量p 的⽮量线起⾃于正的极化电荷，终⽌于负的极化电荷。

(×)11. 均匀介质内部各点极化电荷为零，则该区域中⽆⾃由电荷分布。

(√)12. 在两介质的界⾯处，电场强度的切向分量总是连续的。

(√)13. 在两均匀介质分界⾯上电场强度的法向分量总是连续的。

(×)14. 在两介质的界⾯处，磁感应强度的法向分量总是连续的。

(√)15. ⽆论任何情况下，在两导电介质的界⾯处，电流线的法向分量总是连续的。

(×)16. 两不同介质表⾯的⾯极化电荷密度同时使电场强度和电位移⽮量沿界⾯的法向分量不连续。

(×)17. 电介质中，电位移⽮量D 的散度仅由⾃由电荷密度决定，⽽电场的散度则由⾃由电荷密度和束缚电荷密度共同决定。

(√)18. 两不同介质界⾯的⾯电流密度不改变磁场强度和磁感应强度的连续性。

(×)19. 关系式P E D +=0ε适⽤于各种介质。

(√)20. 静电场的能量密度为ρ?21。

(×) 21. 稳恒电流场中，电流线是闭合的。

（ √ ）22. 电介质中E D ε=的关系是普遍成⽴的。

（ × ）23. 跨过介质分界⾯两侧，电场强度E 的切向分量⼀定连续。

电动力学第9讲24讯变电磁场的矢势和标势

《电动力学》简答题参考答案

电动力学期末各章复习题选择填空

5.1 电磁场的矢势和标势(2)

第09讲讯变电磁场的失势和标势

电磁场的矢势和标势

电动力学判断题

5-1 电磁场的矢势与标势

最新大学物理第09章变化的电磁场课件讲义说课材料

矢势和标势_45p

5.1 电磁场的矢势和标势(2)

电磁场的矢势和标势

电磁场矢势和标势从洛伦兹势变换到库仑势的证明_李伙全

电动力学判断题