空间几何体求解平面投影的分类与总结

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空间几何体求解平面投影的分类与总结

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潘俊君　(西北工业大学11系　西安　710072)求空间曲线的平面投影和空间立体的平面投影是空间解析几何中常常遇到的问题。对于这类问题,高等数学课程给出了常用的解法。本文把这类问题根据不同的情况作了进一步分类,给出了总结。

(a )空间曲线在平面上投影的求法

通常先将空间曲面方程联立,消去x ,y ,z 中的一个变元得到一个二元方程。再附上此投影面的解析式,最后得到一个含有两个方程的方程组。例如“两个空间曲面方程分别为F (x ,y ,z )=0和G (x ,y ,z )=0,设FG (x ,y )是两个方程联立消去z 后的解析式,则该空间曲线在x oy 平面上的投影

就为FG (x ,y )=0z =0

。这类问题的解法较为简单。(b )空间立体在平面上投影的求法

通常这类问题比较复杂,依据投影曲线的封闭性还要细分成两种情况,它是本文讨论的重点。情况(1):一般先把空间立体两截交面相交而成的空间曲线求出来。再求出空间曲线在平面上的投影,方法与求解空间曲线的投影相同。最后把所得的二元方程组构造成适当的不等式组。这时它表示的便是投影曲线在平面上所围的点集,也就是立体的投影。此方法便是高等数学书中给出的常用解法,但它对投影曲线为封闭时的情况往往适用,而当其为非封闭曲线时,情况(2)中的方法则可能更为有效。

情况(2):先将所围立体看成几个立体的交,求出每个立体在平面上的投影,再求出各投影面的交集。即把各不等式联立成不等式组,则此不等式组的解便是立体在平面上的投影。

例1:求上半球体:0≤z ≤

a 2-x 2-y 2与圆柱体x 2+y 2≤ax (a >0)的公共部分在x oy

平面上和x oz 平面上的投影。图1解　分析:这是求立体的投影,所以投影是面而不是线。

(1)在x oy 面上的投影:依据(b )中情况(1)的方法:先求出上

半球面与圆柱面所交的空间曲线(图1所示A B CD )为:

z =

a 2-x 2-y 2x 2+y 2-ax =0①②

②式中无变元z ,故x 2+y 2-ax =0直接就为x oy 面上的投

影曲线。又x oy 平面方程为z =0,所以联立得

x 2+y 2-

ax =0z =0

它为闭曲线,投影面就为此曲线所围的圆。因

此x 2+y 2-

ax ≤0

z =0便是该投影的表达式。93V o l 15,N o 11M ar .,2002 高等数学研究STUD IES I N COLL EGE M A TH E M A T I CS Ξ收稿日期:2001-10-29

(2)求x oz 面上的投影:如果形式上套用情况(1)中的方法,便有:从z

=a 2-x 2-y 2x 2+y 2=ax (x ≥0)

中消去y 得z =a 2-ax x ≥0,若这时就说0≤z ≤a 2-ax x ≥0,y =0

为x oz 面上的投影就错了。因为此时所(图2所示为M N )故要运用(b )中情况(2)的方法。先分别求出这两个相交立体在x oz 平面上的投影:

图2半球投影:0≤z ≤a 2-x 2-y 2y =0

解得:0≤z ≤a 2-x 2

圆柱投影:x 2+y 2≤ax y =0

解得:x 2≤ax ,即0≤x ≤a 。联立不等组得x 2+z 2≤a 2z ≥0,x ≥0,y =0

,如图2所示为其阴影部分。例2　求锥面z =x 2+y 2与柱面z 2=2x 所围立体在三个

坐标面上的投影。

解　如图3所示:(1)求x oy 面上的投影:由z =

x 2+y 2z =0

与z +2=2x 联立得投影曲线为图3x 2-2x +y 2=0

z =0,此立体投影为

x 2+y 2-

2x ≤0

z =0(2)求z oy 面上的投影:用以上方法同理可得投影为z 22-12

+y 2≤1x =0

。它们用的均是(b )中情况(1)的方法,因为投影曲线都是封闭的。

(3)求z ox 面上的投影:柱面z 2=2x 中无变元y ,所以投影曲图4

线是抛物线,非封闭的。运用情况(2)中的方法,分别求出各个立体的投影:

由z =

x 2+y 2y =0知 z ≥x 2= x ①

由z 2=2x ,知 0≤z ≤

2x ②①,②联立得所求投影为:x ≤z ≤

2x x ≥0,图4中所示阴影

部分。

空间几何体关于平面求投影的题在考试与考研中通常都以坐标平面为其投影平面,所以题型较为简单,解法不会太难。只要能画出图形,分清情况,思路清晰,计算正确,解题就比较有把握。04 高等数学研究STUD IES I N COLL EGE M A TH E M A T I CS V o l 15,N o 11M ar .,2002