2020学年 湖南省长沙市长郡中学 高一下学期入学考试数学试题(解析版)

2020学年湖南省长沙市长郡中学高一下学期入学考试数学试题一、单选题1．已知}3{1A =，，5{}34B =，，，则集合A B =（ ）A ．{}3B ．{4}5，C ．15}2{4，，， D ．{345}，， 【答案】A【解析】由交集的定义直接求解即可. 【详解】}3{1A =，，5{}34B =，，，∴{}3A B ⋂=.故选：A. 【点睛】本题考查交集的求法，属于基础题.2．已知函数31(0)()2(0)x a x f x x x -⎧+≤=⎨+>⎩，若((1))18f f -=，那么实数a 的值是（ ）A ．4B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】先求出(1)4f -=，((1))18f f -=变成(4)18f =，可得到4218a +=，解方程即可得解. 【详解】(1)4f -=，((1))18f f -=变成(4)18f =，即4218a +=，解之得：2a =.故选：C. 【点睛】本题考查已知函数值求参数的问题，考查分段函数的知识，考查计算能力，属于常考题. 3．已知()f x =22x x -+,若()3f a =,则()2f a 等于 A ．5 B ．7C ．9D ．11【答案】B【解析】因为()f x =22x x -+,所以()f a =223a a -+=,则()2f a =2222a a -+=2(22)2a a -+-=7.选B.4．设α是第三象限角，且cos cos22αα=-，则2α所在象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】先由α是第三象限角，得出2α可能在第二、四象限，进一步由cos cos 22αα=-再判断出2α所在的象限. 【详解】α是第三象限角，∴3222k k πππαπ+<<+，k Z ∈， 3224k k παπππ∴+<<+，k Z ∈， ∴2α在第二、四象限， 又coscos22αα=-，∴cos02α<，∴2α在第二象限. 故选：B. 【点睛】本题考查由三角函数式的符号判断角所在象限的问题，考查逻辑思维能力和分析能力，属于常考题.5 ）A ．0sin15cos15B ．22cos sin 1212ππ- C ．01tan151tan15+- D 【答案】B【解析】A.0011sin15cos15sin 3024==B ．223cos sin cos.121262πππ-==C ．001tan151tan15+-0tan 752 3.==+ D ．001cos306-2cos15=24+= 故答案为B.6．已知AD ，BE 分别为ABC ∆的边BC ，AC 上的中线，且AD a =，BE b =，则BC 为（ ）A ．4233a b + B ．2433a b + C ．2233a b - D ．2433b a - 【答案】B【解析】易得22AB AC AD a +==，22BA BC BE b +==，再由AC BC BA =-，可得222BC BA aBC BA b ⎧-=⎨+=⎩，解出BC 即可.【详解】 如图：因为AD ，BE 分别为ABC ∆的边BC ，AC 上的中线，所以有：22AB AC AD a +==，22BA BC BE b +==，AC BC BA =-，整理得：222BC BA a BC BA b⎧-=⎨+=⎩，解得：2433BC a b =+. 故选：B. 【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理和加减法的几何意义，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.7．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()f x 为减函数，且()11f -=，若(2)1f x -≥-，则x 的取值范围是（ ）A ．(,3]-∞B ．(,1]-∞C ．[3,)+∞D ．[1,)+∞【答案】A【解析】函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()f x 为减函数，，故函数()f x 在R 上单调递减，又()11f -=，因此()21f x -≥-(2)(1)213f x f x x ⇔-≥⇔-≤⇔≤.故选A.点睛：本题属于对函数单调性应用的考察，若函数()f x 在区间上单调递增，则1212,,()()x x D f x f x 且∈>时，有12x x >，事实上，若12x x ≤,则12()()f x f x ≤，这与12()()f x f x >矛盾，类似地，若()f x 在区间上单调递减，则当1212,,()()x x D f x f x 且∈>时有12x x <；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.本题中可以利用对称性数形结合即可.8．已知点(0,1)A ，(1,2)B ，(2,1)C --，(3,4)D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ） A ．322B ．2C ．322-D ．3152-【答案】B【解析】()()1,1.5,5AB CD ==则向量AB 在CD 方向上的投影为10cos ,252AB CD AB AB CD AB AB CD⋅=⋅== 故选B9．函数ln |1|x y e x =--的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据函数的形式和图象，分1x ≥和01x <<两种情况去绝对值，判断选项. 【详解】 当1x ≥时，()ln 111xy ex x x =--=--=，当01x <<时，()ln ln 1111xx y e x e x x x-=--=--=+- 只有D 满足条件. 故选：D 【点睛】本题考查含绝对值图象的识别，属于基础题型. 一般根据选项判断函数的奇偶性，零点，特殊值的正负，以及单调性，极值点等排除选项.10．正方形ABCD 边长为2，中心为O ，直线l 经过中心O ，交AB 于M ，交CD 于N ，P 为平面上一点，且2(1),OP OB OC λλ=+-则PM PN ⋅的最小值是（ ）A ．34-B ．1-C ．74-D ．2- 【答案】C【解析】由题意可得：()()()222222114444PM PN PM PNPM PN PO NO PO NO ⎡⎤⋅=+-+=-=-⎢⎥⎣⎦,设2OP OQ =，则()()1,11,,,OQ OB OC Q B C λλλλ=+-+-=∴三点共线. 当MN 与BD 重合时，NO 最大，且2max2NO =，据此：()min17244PM PN⋅=-=-本题选择C 选项.11．2cos10tan 20cos 20︒︒︒-=（ ） A ．1 B．12CD【答案】C【解析】将所求关系式中的“切”化“弦”，再利用两角差的余弦化cos10cos(3020)︒︒︒=-，整理运算即可.【详解】2cos10tan 20cos 20︒︒︒- 2cos10sin 20cos 20cos 20︒︒︒︒=- 2cos(3020)sin 20cos 20cos 20︒︒︒︒︒-=- 2(cos30cos 20sin 30sin 20)sin 20cos 20cos 20︒︒︒︒︒︒︒+-=20sin 20sin 20cos 20cos 20︒︒︒︒︒+=-sin 20sin 20cos 20cos 20︒︒︒︒-==故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，切”化“弦”是关键，考查分析与运算能力，属于中档题.12．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x ，且(](]22log (1)10()173122x x f x x x x ⎧--∈-⎪=⎨---∈-∞-⎪⎩，，，，，若关于x 的方程()f x t =（t R ∈）恰有5个不同的实数根1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，则12345x x x x x ++++的取值范围是（ ）A ．(2,1)--B ．(1,1)-C ．(1,2)D ．(2,3)【答案】B【解析】由分段函数的解析式作出(,0)-∞的图象，由题意得出()f x 为奇函数，根据函数关于原点对称作出(0,)+∞的图象，由数形结合得出答案. 【详解】由分段函数的解析式作出(,0)-∞的图象，由题意得出()f x 为奇函数，根据函数关于原点对称作出(0,)+∞的图象，所以其图象如图：由图可知，若关于x 的方程()f x t =（t R ∈）恰有5个不同的实数根，则(1,1)t ∈-, 设12345x x x x x <<<<，则126x x +=-，456x x +=， 由图可知，3(1,1)x ∈-，所以123453(1,1)x x x x x x ++++=∈-. 故选：B. 【点睛】本题考查奇偶函数图象的对称性，考查函数的零点，考查分析能力和数形结合思想，属于中档题.13．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积=()212⨯+弦矢矢，弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为23π，半径等于4米的弧田.下列说法不．正确的是（ ）A ．“弦” 3AB =“矢”2CD =米B ．按照经验公式计算所得弧田面积（432+）平方米C ．按照弓形的面积计算实际面积为（16233π-）平方米 D ．按照经验公式计算所得弧田面积比实际面积少算了大约0.9平方米（参考数据3 1.73≈， 3.14π≈) 【答案】C【解析】运用解直角三角形可得AD ，DO ，可得弦、矢的值，以及弧田面积，运用扇形的面积公式和三角形的面积公式，可得实际面积，计算可得结论． 【详解】解：如图，由题意可得∠AOB 23π=，OA ＝4， 在Rt △AOD 中，可得∠AOD 3π=，∠DAO 6π=，OD 12=AO 1422=⨯=，可得矢＝4﹣2＝2，由AD ＝AO sin 3π=432⨯=23， 可得弦＝2AD ＝43，所以弧田面积12=（弦×矢+矢2）12=（43⨯2+22）＝432+平方米． 实际面积2121164432432323ππ=⋅⋅-⋅⋅=-， 168320.9070.93π--=≈． 可得A ，B ，D 正确；C 错误． 故选C ．【点睛】本题考查扇形的弧长公式和面积公式的运用，考查三角函数的定义以及运算能力、推理能力，属于基础题．14．已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则A B -=（ ） A ．16 B ．16-C ．2216a a --D ．2216a a +-【答案】B【解析】试题分析：设()()()()228h x f x g x x a =-=--，由()0h x =得2x a =±，此时()()f x g x =；由()0h x >得22x a x a >+<-或，此时()()f x g x >；由()0h x <得22a x a -<<+，此时()()f x g x <；综上可知2x a ≤-时()()()()12,H x f x H x g x ==，当22a x a -≤≤+时()()()()12,H x g x H x f x ==，当2x a ≥+时()()()()12,H x f x H x g x ==，所以()()244,2412A g a a B g a a =+=--=-=-+16A B ∴-=-【考点】1．二次函数值域；2．分情况讨论15．定义一种新运算：,(){,()b a b a b a a b ≥⊗=<，已知函数24()(1)log f x x x=+⊗，若函数()()g x f x k =-恰有两个零点，则k 的取值范围为（ ） A ．(]1,2 B ．(1,2)C ．(0,2)D ．(0,1)【答案】B【解析】试题分析：这类问题，首先要正确理解新运算，能通过新运算的定义把新运算转化为我们已经学过的知识，然后解决问题.本题中a b ⊗实质上就是取,a b 中的最小值，因此()f x 就是41x +与2log x 中的最小值，函数41y x=+在(0,)+∞上是减函数，函数2log y x =在(0,)+∞上是增函数，且241log 44+=，因此当(0,4)x ∈时，24log 1x x <+，(4,)x ∈+∞时，241log x x+<，因此2log ,04,(){41,4x x f x x x<≤=+>，由函数的单调性知4x =时()f x 取得最大值(4)2f =，又(0,4)x ∈时，()f x 是增函数，且200lim ()limlog x x f x x →→==-∞，，又(4,)x ∈+∞时，()f x 是减函数，且04lim ()lim (1)1x x f x x→→+∞=+=.函数()()g x f x k =-恰有两个零点，说明函数()y f x =的图象与直线y k =有两个交点，从函数()f x 的性质知12k <<.选B. 【考点】函数的图象与性质.二、填空题16．已知函数()sin()f x x ωϕ=+的图象如图所示，则(2)f =_____．【答案】2【解析】根据周期求出ω，再根据五点法作图求得ϕ，可得函数的解析式，从而求得(2)f 的值．【详解】根据函数()sin()f x x ωϕ=+的图象可得：3323144T πω=⋅=-，34πω=， 再根据五点法作图可得3142ππϕ⨯+=， ∴4πϕ=-，∴3sin 44()x f x ππ=-⎛⎫⎪⎝⎭，∴352(2)sin sin sin 24442f ππππ⎛⎫⎪⎝==⎭=--=. 故答案为：22-. 【点睛】本题考查由sin()y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式并求值的问题，考查识图能力和计算能力，属于常考题.17．若()(0)xf x a a =>的图象过点()2,4，则a =______.【答案】2【解析】把已知点代入函数，即可解得a 值. 【详解】解：函数f （x ）的图象过点（2，4），可得4＝a 2，又a ＞0，解得a ＝2．故答案为2 【点睛】本题考查了指数函数的图象和性质，属于基础题． 18．cos18cos 42cos72sin 42⋅-⋅=_____. 【答案】12【解析】利用诱导公式变形，再由两角和的余弦求解． 【详解】 解：11842724218421842602cos cos cos sin cos cos sin sin cos ︒⋅︒-︒⋅︒=︒⋅︒-︒⋅︒=︒=， 故答案为12． 【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查两角和的余弦，是基础题．19．已知函数()f x 的定义域是(0)+∞，，且满足()()()f xy f x f y =+，1()12f =，如果对于0x y <<，都有()()f x f y >，则不等式()(3)2f x f x -+-≥-的解集为_____． 【答案】[)1,0-【解析】由已知令1x y ==，求得(1)0f =，再求(2)1f =-，即有(4)2f =-，原不等式()(3)2f x f x -+-≥-即为(3)[])(4f x x f --≥，再由单调性即可得到不等式组，解出它们即可． 【详解】由于()()()f xy f x f y =+，令1x y ==，则(1)2(1)f f =，即(1)0f =， 则11(1)(2)(2)()022f f f f =⨯=+=， 由1()12f =，则(2)1f =-， 即有(4)2(2)2f f ==-，不等式()(3)2f x f x -+-≥-即为(3)[])(4f x x f --≥， 由于对于0x y <<，都有()()f x f y >，则()f x 在(0)+∞，上递减， 则原不等式即为030(3)4x x x x ->⎧⎪->⎨⎪--≤⎩，即有0314x x x <⎧⎪<⎨⎪-≤≤⎩，即有10x -≤<，即解集为[)1,0-. 故答案为：[)1,0-. 【点睛】本题考查抽象函数及其应用，考查由函数的单调性解不等式，考查逻辑思维能力和运算能力，属于中档题.20．如图，Rt ABC ∆中，AB AC =，4BC =，O 为BC 的中点，以O 为圆心，1为半径的半圆与BC 交于点D ，P 为半圆上任意一点，则BP AD ⋅的最小值为_____．【答案】25-【解析】建立空间直角坐标系，利用向量数量积的定义结合三角函数的性质进行求解即可． 【详解】如图，以O 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，所以(2,0)B -，(1,0)D ，(0,2)A ， 设(,)P x y (0y ≥)，且221x y +=，所以(2,)(1,2)22x y BP AD x y =+⋅-=⋅+-， 令cos x α=，sin y α=，[]0,απ∈，则2sin 2cos (o )s 2BP AD αααϕ⋅+=+=-+，其中：tan 2,(0,)2πϕϕ=∈，所以当απϕ=-时，BP AD ⋅有最小值，最小值为：2-. 故答案为：2【点睛】本题考查利用坐标法解决数量积的问题，考查平面向量数量积的运算，考查逻辑思维能力和运算能力，属于中档题.三、解答题21．已知向量()1,2a =，向量()3,2b =-. （1）求向量2a b -的坐标；（2）当k 为何值时，向量ka b +与向量2a b -共线. 【答案】（1）()7,2-（2）12k =-【解析】试题分析：（1）根据向量坐标运算公式计算；（2）求出ka b +的坐标，根据向量共线与坐标的关系列方程解出k; 试题解析：（1）()()()21,223,27,2a b -=--=-（2）()()()1,23,23,22ka b k k k +=+-=-+，()()()21,223,27,2a b -=--=-∵ka b +与2a b -共线， ∴()()72223k k +=-- ∴12k =-22．（1）计算：2222lg 6(log 3)log 3log 6lg 2-⋅+. （2）若1tan 3α=-，求sin 2cos 5cos sin αααα+-. 【答案】(1)1 (2) 516【解析】（1）直接利用对数的运算性质化简求值；（2）利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解． 【详解】(1)()2222lg6log 3log 3log 6lg2-⋅+ ()22222log 3log 3log 6log 6=-⋅+()2222log 3log 3log 6log 6=-+，22log 3log 61=-+=，(2) 〖解法1〗由题知cos 0α≠∴sin 2cos sin 2cos cos 5cos sin 5cos sin cos αααααααααα++=--.tan 25tan αα+=-， 516=， 〖解法2〗1tan 3sin cos 3ααα=-⇒-=∴()()sin 23sin sin 2cos 5cos sin 53sin sin αααααααα+-+=---. 516=， 【点睛】本题考查对数的运算性质，考查三角函数的化简求值，是基础题． 23．已知函数2()cos cos f x x x x a =++． （1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）当63ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，函数()f x 的最大值与最小值的和为32，求实数a 的值．【答案】（1）最小正周期为π，单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）0a =. 【解析】（1）利用二倍角公式和两角和的正弦公式进行化简为正弦型函数，进而求得最小正周期和单调递增区间；（2）当63ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，52666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，，再求出()f x 的最大值与最小值，然后列出方程求得a 的值．【详解】（1）函数2()cos cos f x x x x a =++12(1cos 2)22x x a =+++ 1sin(2)62x a π=+++，∴函数()f x 的最小正周期为：22T ππ==， 令222262k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，解得：36k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，∴函数()f x 的单调递增区间为：,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）当63ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时， 52666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，， 令ππ266x，解得：6x π=-，此时函数()f x 取得最小值为：min 11()22f x a a =-++=， 令262x ππ+=，解得：6x π=，此时函数()f x 取得最大值为：max 13(221)f a a x =++=+， 又()f x 的最大值与最小值的和为32，所以有： 33()22a a ++=，解之得：0a =.【点睛】本题考查三角恒等变换，考查正弦型函数的性质，考查运算求解能力，考查逻辑思维能力，属于中档题.24．已知函数f(x)＝log 4(4x ＋1)＋kx(k ∈R)是偶函数． (1)求k 的值；(2)设g(x)＝log 44•23xa a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦－，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）k ＝－12.（2）{－3}∪(1，＋∞)．【解析】(1)由函数f(x)是偶函数，可知f(x)＝f(－x)， ∴log 4(4x ＋1)＋kx ＝log 4(4－x ＋1)－kx.log 44141x x －＋＋＝－2kx ，即x ＝－2kx 对一切x ∈R 恒成立，∴k ＝－12.(2)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，即方程log 4(4x ＋1)－12x ＝log 44•23xa a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦－有且只有一个实根，化简得方程2x ＋12x＝a ·2x－43a 有且只有一个实根．令t ＝2x >0，则方程(a －1)t 2－43at －1＝0有且只有一个正根． ①a ＝1t ＝－34，不合题意；②a ≠1时，Δ＝0a ＝34或－3.若a ＝34t ＝－2，不合题意，若a ＝－3t ＝12；③a ≠1时，Δ>0，一个正根与一个负根，即11a --<0a>1.综上，实数a 的取值范围是{－3}∪(1，＋∞)．25．设函数21()?(01)x xa f x a a a-=>≠且是定义域为R 的奇函数． （1）若(1)0f >，求使不等式2()(1)0f kx x f x -+-<对一切x ∈R 恒成立的实数k 的取值范围；（2）若函数()f x 的图象过点3(1,)2P ，是否存在正数(1)m m ≠，使函数22()log [()]x x m g x a a mf x -=+-在2[1,log 3]上的最大值为0？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()3,1- （2）见解析 【解析】（1）由f （1）＞0得a 1a-又a ＞0，求出a ＞1，判断函数的单调性f （x ）＝a x ﹣a ﹣x 为R 上的增函数，不等式整理为x 2﹣（k +1）x +1＞0对一切x ∈R 恒成立，利用判别式法求解即可；（2）把点代入求出a ＝2，假设存在正数m ，构造函数设s ＝2x ﹣2﹣x 则（2x ﹣2﹣x ）2﹣m （2x ﹣2﹣x ）+2＝s 2﹣ms +2，对底数m 进行分类讨论，判断m 的值． 【详解】（1） ()xxf x a a -=-，由()10f > 得 10a a->，又 0a > ∴ 1a >. ∵ ()()210f kx xf x -+-<，函数()f x 是奇函数，∴()()21f kx x f x -<-∵ ()1,xxa f x a a ->=-在R 上为增函数，即 21kx x x -<-对一切x 恒成立， 即()2110x k x -++> 在R 恒成立，有0∆<，∴()2140k +-<得 31k -<<，所以k 的取值范围是()3,1-（2）假设存在正数()1m m ≠符合，∵ ()f x 过31,)2（ ∴ 2a = ()()()2log 22222x xx x m g x m --⎡⎤=---+⎢⎥⎣⎦，设22x x s -=-, ()22h s s ms =-+(i) 若01m <<，则函数()22h s s ms =-+在38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最小值为1∵ 对称轴 122m s =<，()min 31731312426h s h m m ⎛⎫==-=⇒= ⎪⎝⎭（舍）(ii) 若1m >，则()220h s s ms =-+>在38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，且最大为1，最小值大于①()12522127382413maxm m h s h ⎧<≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪== ⎪⎪⎝⎭⎩此时7338,24823m ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，()min 73048h s h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭故不合题意 ②()25252126313136maxm m m h s h m ⎧⎧>>⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎛⎫⎪⎪=== ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩无解 综上所述，不存在正数()1m m ≠满足条件． 【点睛】本题考查了奇函数的性质，利用奇函数的性质整理不等式，利用构造函数，用分类讨论的方法解决实际问题．。