2020学年 湖南省长沙市长郡中学 高一下学期入学考试数学试题(解析版)

2020学年湖南省长沙市长郡中学高一下学期入学考试数学

试题

一、单选题

1．已知}3{1

A =，，5{}34

B =，，，则集合A B =（ ）

A ．{}3

B ．{4}5，

C ．1

5}2{4，，， D ．{345}，

， 【答案】A

【解析】由交集的定义直接求解即可. 【详解】

}3{1A =，，5{}34B =，，，

∴{}3A B ⋂=.

故选：A. 【点睛】

本题考查交集的求法，属于基础题.

2．已知函数31(0)

()2(0)

x a x f x x x -⎧+≤=⎨+>⎩，若((1))18f f -=，那么实数a 的值是（ ）

A ．4

B ．1

C ．2

D ．3

【答案】C

【解析】先求出(1)4f -=，((1))18f f -=变成(4)18f =，可得到4218a +=，解方程即可得解. 【详解】

(1)4f -=，((1))18f f -=变成(4)18f =，即4218a +=，解之得：2a =.

故选：C. 【点睛】

本题考查已知函数值求参数的问题，考查分段函数的知识，考查计算能力，属于常考题. 3．已知()f x =22x x -+,若()3f a =,则()2f a 等于 A ．5 B ．7

C ．9

D ．11

【答案】B

【解析】因为()f x =22x x -+,所以()f a =223a a -+=,则

()2f a =2222a a -+=2(22)2a a -+-=7.

选B.

4．设α是第三象限角，且cos cos

2

2

α

α

=-，则

2

α

所在象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限

D ．第四象限

【答案】B

【解析】先由α是第三象限角，得出2

α

可能在第二、四象限，进一步由cos cos 22αα=-再判断出

2

α

所在的象限. 【详解】

α是第三象限角，

∴3222

k k π

ππαπ+<<+

，k Z ∈， 32

2

4

k k π

α

π

ππ∴+<

<+

，k Z ∈， ∴

2

α

在第二、四象限， 又cos

cos

22

α

α

=-，∴cos

02

α

<，

∴

2

α

在第二象限. 故选：B. 【点睛】

本题考查由三角函数式的符号判断角所在象限的问题，考查逻辑思维能力和分析能力，属于常考题.

5 ）

A ．0

sin15cos15

B ．2

2

cos sin 1212ππ

- C ．0

1tan151tan15+- D 【答案】B

【解析】A.0

011sin15cos15sin 3024

=

=

B ．2

2

3cos sin cos

.12

12

6

2

π

π

π

-==

C ．00

1tan151tan15

+-0tan 752 3.==+ D ．0

01cos306-2cos15=

24

+= 故答案为B.

6．已知AD ，BE 分别为ABC ∆的边BC ，AC 上的中线，且AD a =，BE b =，则

BC 为（ ）

A ．

4233

a b + B ．

24

33

a b + C ．

22

33

a b - D ．

24

33

b a - 【答案】B

【解析】易得22AB AC AD a +==，22BA BC BE b +==，再由AC BC BA =-，

可得222BC BA a

BC BA b ⎧-=⎨+=⎩

，解出BC 即可.

【详解】 如图：

因为AD ，BE 分别为ABC ∆的边BC ，AC 上的中线，所以有：

22AB AC AD a +==，22BA BC BE b +==，AC BC BA =-，

整理得：222BC BA a BC BA b

⎧-=⎨+=⎩，解得：24

33

BC a b =

+. 故选：B. 【点睛】

本题主要考查平面向量的基本定理和加减法的几何意义，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.

7．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()f x 为减函数，且()11f -=，若

(2)1f x -≥-，则x 的取值范围是（ ）

A ．(,3]-∞

B ．(,1]-∞

C ．[3,)+∞

D ．[1,)+∞

【答案】A

【解析】函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()f x 为减函数，，故函数()f x 在R 上单调递减，又()11f -=，因此

()21f x -≥-(2)(1)213f x f x x ⇔-≥⇔-≤⇔≤.

故选A.

点睛：本题属于对函数单调性应用的考察，若函数()f x 在区间上单调递增，则

1212,,()()x x D f x f x 且∈>时，有12x x >，事实上，若12x x ≤,则12()()f x f x ≤，这

与12()()f x f x >矛盾，类似地，若()f x 在区间上单调递减，则当

1212,,()()x x D f x f x 且∈>时有12x x <；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单

调性就可以得自变量的大小关系.本题中可以利用对称性数形结合即可.

8．已知点(0,1)A ，(1,2)B ，(2,1)C --，(3,4)D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ） A ．

32

2

B ．2

C ．32

2

-

D ．315

2

-

【答案】B

【解析】()()1,1.5,5AB CD ==则向量AB 在CD 方向上的投影为

10

cos ,252

AB CD AB AB CD AB AB CD

⋅=⋅

=

= 故选B

9．函数ln |1|x y e x =--的图像大致是（ ）

A ．

B ．