中考数学复习 三角形中位线专题
初中数学-三角形中的中线的用法教师版
三角形中的中线的用法模块一：三角形中位线 1．定义：连接三角形两边中点的线段． 2．定理：三角形中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半．若DE 为ABC △的中位线，则DE//BC ，且12DE BC =．3．三角形中位线里隐含重要性质： ①三角形的三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形．EF 、GE 、GF 是ABC △的三条中位线，则有：①AEG EBF CFG FGE △△△△≌≌≌②12EFG ABC C C =△△，14EFG ABC S S =△△②三角形的三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形的周长的一半，其面积为原三角形面积的四分之一． 模块二：直角三角形斜边中线 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．若AD 为Rt ABC △斜边上的中线，则12AD BC =．相关结论：（1）AD BD DC ==； （2）ABD △，ACD △为等腰三角形 （3）2ADB C ∠=∠，2ADC B ∠=∠拓展：在由两个直角三角形组成的图中，M 为中点．相关结论：（1）AM MD =；（2）2AMD ABD ∠=∠． 模块三：中点辅助线综合E DCB AMMABCDA BCDDCBAFA B CE G（1）如图1-1，在ABC△中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，若ABC△的周长为20cm，则DEF△的周长为__________．（2）如图1-2，在Rt ABC△中，30A∠=︒，1BC=，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为__________．图1-1 图1-2（3）如图1-3，ABC△中，6AB AC==，8BC=，AE平分BAC∠交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则BDE△的周长是__________．（4）如图1-4，在四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点．求证：1()2EF AC BD<+．图1-3 图1-4【解析】（1）10cm．（2）1．（3）10．（4）证明：取AD的中点M，连结EM和FM．∵E、F是AB、CD中点，∴12EM BD=，12FM AC=．又∵EF EM FM<+，∴1()2EF AC BD<+．【教师备课提示】考察中位线产生的线段长度关系．第（4）题利用中位线构造出长为12AC，12BD的线段并将线段集中；也可以求证1()2EF AD BC<+，方法是取AC 或BD的中点．FEDCBA模块一三角形中位线例题1MAB CDEF（1）如图2-1，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AD BC =，18PEF ∠=︒，则PFE ∠的度数是__________度．（2）如图2-2，已知四边形ABCD 的对角线AC BD =，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连结EF 分别交AC 、BD 于M 、N ，求证：AMN BNM =∠∠．（3）已知，如图2-3四边形ABCD 中，AD BC =，E 、F 分别是AB 和CD 的中点，AD 、EF 、BC 的延长线分别交于M 、N 两点．求证：AME BNE ∠=∠．图2-1 图2-2 图2-3【解析】（1）18．（2）设AB 的中点为G ，连结GE 、GF ，容易证得：GE //BD ，12EG BD =，GF //AC ，12EF AC =，从而GF GE =，GEF GFE ∠=∠， ∴AMN BNM =∠∠．（构造中位线来利用对角线相等的条件，也可以取AC 或BD 的中点．） （3）连接AC ，取AC 中点H ，连接FH 、EH ．∵DF CF =，AH CH =，∴FH//AD ，12FH AD =，同理，12EH BC =，EH//BC ， ∵AD BC =，∴EH FH =，∴HFE HEF ∠=∠， ∵FH//AM ，EH//BC ， ∴AM E HFE ∠=∠，HEF BNE ∠=∠， ∴AME BNE ∠=∠．【教师备课提示】考察中位线的性质，学会通过构造中位线去利用已知的条件．CM FEND B AA CDM FE NB例题2CM FE G NDB AA H C D MF E NB如图，在ABC △中，D 、G 分别为AB 、AC 上的点，且BD CG =，M 、N 分别是BG 、CD 的中点，过MN 的直线交AB 于点P ，交AC 于点Q ，求证：AP AQ =．【解析】连DG ，找DG 的中点E ，连ME 、NE ，∵M 、N 分别是BG 与CD 的中点．∴ME//AB ，12ME BD =，NE//AC ，12NE GC =．∴APQ EMN ∠=∠，AQP ENM ∠=∠．∵BD GC =，∴EM EN =， ∴EMN ENM ∠=∠，∴APQ AQP ∠=∠，∴AP AQ =． 【教师备课提示】还可以取BC 中点．总结：已知四边形对角线中点，则取一边中点，可出两条中位线，学会构造出中位线去利用题目中给出的等量关系．已知：在ABC △中，90ABC ∠=︒，点E 在直线AB 上，ED 与直线AC 垂直，垂足为D ，且点M 为EC 中点，连接BM 、DM ．（1）如图4-1，若点E 在线段AB 上，探究线段BM 与DM 及BM D ∠与BCD ∠所满足的数量关系，并直接写出你得到的结论；（2）如图4-2，若点E 在BA 延长线上，你（1）中的结论是否发生变化？写出你的猜想并证明．图4-1 图4-2【解析】（1）BM DM =，2BMD BCD ∠=∠；（2）结论不变，由题意知MB MC MD ==，∴2BME BCM ∠=∠，2DME DCM ∠=∠，两式相减，得2BMD BCD ∠=∠．NM PQG D C BAEA BC DG Q PM N 图2图1BEM CDAMEDCBA例题3模块二直角三角形斜边中线例题4如图，90MON∠=︒，ABC△中，90BAC∠=︒，2AB=，1AC=，AB在MON∠上滑动，求OC的最大值．【解析】取AB的中点D，连结OD、DC，则1OD=，2DC=，可得12OC≤+，即OC的最大值为12+（O、D、C三点共线时）．在Rt ABC△中，90BAC∠=︒，AD BC⊥，E、F、G分别是AB、AC、BC的中点，M 是DG的中点，求证：ME MF=．【解析】连结DF、EG，可证DF GE=，MDF MGE∠=∠，MD MG=，则MDF MGE△≌△，得证．例题5模块三中点辅助线综合例题6如图，在五边形ABCDE 中，90ABC AED ∠=∠=︒，BAC EAD ∠=∠，F 为CD 的中点．求证：BF EF =．【解析】方法一：如图1，取AC 中点M ，取AD 中点N ，连BM ，MF ，NF ，EN ． ∵90ABC AED ∠=∠=︒，1122BM AC FN EN AD MF ====，，∴BMF FNE △≌△，∴BF EF =，方法二：如图2，延长CB 到M ，使得MB BC =， 延长DE 到N ，使得NE DE =， 连接AM ，AN ，MD ，CN ． 由90ABC AED ∠=∠=°，AMC △，ADN △是等腰三角形，F 是CD 中点，则BF //MD ，12BF MD =，EF//CN ，12EF CN =，MAD CAN △≌△，MD CN =，∴BF EF =，此题的两种解法中综合了中点的三个基本用法：等腰三角形三线合一；直角三角形斜边中线；中位线，即以下三个模型：图2图1MNN MACBDEF F EDB CA例题7FEDB C A（1）如图1-1，在ABC△中，点D是BC中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，延长BE 交AC于F．若AB=10厘米，AC=16厘米，则DE的长度为__________．（2）如图1-2，已知，在四边形ABCD中，AD BC=，P是对角线BD的中点，N是DC 的中点，M是AB的中点，30DBC∠=︒，70ADB∠=︒．求MNP∠度数．图1-1 图1-2【解析】（1）3厘米；（2）∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，M、N分别是AB、CD的中点，∴NP，PM分别是CDB△与DAB△的中位线，∴12PN BC=，12PM AD=，PN//BC，PM//AD，∴30NPD DBC∠=∠=︒，70MPB ADB∠=∠=︒，∴110DPM∠=︒；∴140NPM∠=︒，∵AD BC=；∴PN PM=，故NMP△是等腰三角形．∵140NPM∠=︒，∴20PMN PNM∠=∠=︒．复习巩固模块一三角形中位线演练1（1）如图2-1,ABC △中，过点A 分别作ABC ∠、ACB ∠的外角平分线．．．．．的垂线．．AD 、AE ，垂足为D 、E ．求证：①//ED BC ；②1()2ED AB AC BC =++．（2）（四川省中考题）如图2-2,已知：AD 是ABC △的中线，AE 是ABD △的中线，且AB BD =，求证：2AC AE =．图2-1 图2-2【解析】（1）①分别延长AD 、AE 与直线BC 交于点F 、G ，∵BD ⊥AD ，且BD 为ABF ∠的角平分线∴AD FD =，且AB BF =（等腰三角形的三线合一） 同理可得AE GE =，AC GC =， ∴DE 为AFG △的中位线，∴ED //BC ，且12DE FG =．②由（1）知12DE FG =，且AB BF =，AC GC =，∴111()()222ED FG=FB BC CG AB BC AC =++=++．（2）取AC 的中点F ，连结DF ，易得DF//AB ，12DF AB =，ADF BAD ∠=∠，而1122DE BD AB ==，故DF DE =．再证ADE ADF △≌△，∴AE AF =，∴2AC AE =．C ED BA演练2CF E D B A（1）如图3-1，四边形ABCD 中，90ADC ∠=︒，取AC 中点O ，BC 中点E ，连接OD 、OE 、DE ，20CAD CAB ∠=∠=︒，则DOE ∠=__________．（2）如图3-2所示，ABC △中，AH BC ⊥于H ，点E 、D 、F 分别是AB 、BC 、AC 的中点，10cm HF =，则ED 的长度是__________．图3-1 图3-2【解析】（1）60︒．（2）10cm ．（1）如图4-1，在ABC △中，2B C ∠=∠，M 是BC 中点，AD BC ⊥于D ．求证：12DM AB =．（2）如图4-2，已知：ABD △和ACE △都是直角三角形，且90ABD ACE ∠=∠=︒，BAD CAE ∠=∠．连接DE ，设M 为DE 的中点．求证：MB MC =．【解析】（1）法一：取AB 中点G ，连结GD 、GM ，则12GD AB =，GM AC ∥．则GMD C ∠=∠． 而GD GB B GDB GMD DGM =⇒∠=∠=∠+∠ C DGM =∠+∠，由于2B C ∠=∠，所以DGM C GMD ∠=∠=∠．∴12MD GD AB ==． OEDC B AMEDCBA模块二直角三角形斜边中线演练3模块三中点辅助线综合演练4CAB GNDMC AB D M法二：同理可以取AC的中点N，连接DN，MN．（2）如图，分别取AD、AE的中点P、Q，连接PB、PM、QC、QM，由P、M、Q分别是AD、DE、AE的中点，∴PM//AE，12PM AE=，QM//AD，12QM AD=，∵ABD△、ACE△是直角三角形，∴12PB AD=，12CQ AE=，∴PB QM=，PM QC=，∵BAD CAE∠=∠，∴ADB AEC∠=∠，∴DPB CQE∠=∠，由AD//QM，AE//PM，∴APM AQM∠=∠，∴BPM MQC∠=∠，∴BPM MQC△≌△，∴MB MC=．QPAB CDE M图3。
2021年中考数学一轮复习训练22 三角形中位线定理应用问题(解析版)
专题22 三角形中位线定理应用问题1．三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
2．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
3.对三角形中位线的深刻理解（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线.【例题1】（2020•福建）如图，面积为1的等边三角形ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，则△DEF 的面积是（ ）A ．1B ．12C ．13D ．14 【答案】D【解析】根据三角形的中位线定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．∵D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，1214∴DE =12AC ，DF =12BC ，EF =12AB ，∴DF BC =EF AB =DE AC =12，∴△DEF ∽△ABC ，∴S △DEFS △ABC =（DE AC ）2＝（12）2=14， ∵等边三角形ABC 的面积为1，∴△DEF 的面积是14.【对点练习】（2019内蒙古赤峰）如图，菱形ABCD 周长为20，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是CD 的中点，则OE 的长是（ ）A ．2.5B ．3C ．4D ．5【答案】A ．【解析】∵四边形ABCD 为菱形，∴CD ＝BC ＝＝5，且O 为BD 的中点， ∵E 为CD 的中点，∴OE 为△BCD 的中位线，∴OE ＝CB ＝2.5。
【点拨】掌握菱形特点，根据三角形中位线定理解决问题。
【例题2】（2020•临沂）如图，在△ABC 中，D 、E 为边AB 的三等分点，EF ∥DG ∥AC ，H 为AF 与DG 的交点．若AC ＝6，则DH ＝ ．【解析】1．【分析】由三等分点的定义与平行线的性质得出BE ＝DE ＝AD ，BF ＝GF ＝CG ，AH ＝HF ，DH 是△AEF 的中位线，易证△BEF ∽△BAC ，得EF AC =BE AB ，解得EF ＝2，则DH =12EF ＝1． 【解析】∵D 、E 为边AB 的三等分点，EF ∥DG ∥AC ，∴BE ＝DE ＝AD ，BF ＝GF ＝CG ，AH ＝HF ，∴AB ＝3BE ，DH 是△AEF 的中位线，∴DH =12EF ，∵EF ∥AC ，∴△BEF ∽△BAC ，∴EF AC =BE AB ，即EF 6=BE 3BE ，解得：EF ＝2，∴DH =12EF =12×2＝1，【对点练习】（2019广西梧州）如图，已知在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，F 、G 分别是AD 、AE 的中点，且FG ＝2cm ，则BC 的长度是 cm ．【答案】8．【解析】利用三角形中位线定理求得FG＝DE，DE＝BC．如图，∵△ADE中，F、G分别是AD、AE的中点，∴DE＝2FG＝4cm，∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴BC＝2DE＝8cm【点拨】连续两次应用三角形中位线定理处理本题，是关键。
苏教版八年级下册数学[三角形中位线定理 知识点整理及重点题型梳理]
![苏教版八年级下册数学[三角形中位线定理 知识点整理及重点题型梳理]](https://img.taocdn.com/s3/m/9c586fc4aef8941ea76e059e.png)
苏教版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习三角形中位线定理【学习目标】1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．2. 掌握中点四边形的形成规律.【要点梳理】要点一、三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的12，每个小三角形的面积为原三角形面积的14.（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.要点二、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.【典型例题】类型一、三角形的中位线1、（2016•北京）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．（1）求证：BM=MN；（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．【思路点拨】（1）根据三角形中位线定理得MN=AD，根据直角三角形斜边中线定理得BM=AC，由此即可证明．（2）首先证明∠BMN=90°，根据BN2=BM2+MN2即可解决问题．【答案与解析】（1）证明：在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，∴MN∥AD，MN=AD，在RT△ABC中，∵M是AC中点，∴BM=AC，∵AC=AD，∴MN=BM．（2）解：∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC=30°，由（1）可知，BM=AC=AM=MC，∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°，∵MN∥AD，∴∠NMC=∠DAC=30°，∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，∴BN2=BM2+MN2，由（1）可知MN=BM=AC=1，∴BN=【总结升华】本题考查三角形中位线定理、直角三角形斜边中线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．举一反三：【变式】如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，B点坐标为（3，2），OB与AC交于点P，D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，则四边形DEFG的周长为_____.【答案】5；解：∵四边形OABC是矩形，∴OA＝BC，AB＝OC；BA⊥OA，BC⊥OC．∵B点坐标为（3，2），∴OA＝3，AB＝2．∵D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，∴DE＝GF＝1.5； EF＝DG＝1．∴四边形DEFG的周长为（1.5＋1）×2＝5．2、如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，AH是高．（1）若BC=10，AH=8，则四边形ADEF的面积为．（2）求证：∠DHF=∠DEF．HF EDCBA【思路点拨】（1）由三角形面积公式可知：△BDE、△EFC的面积都等于△ABC面积的四分之一，进而可求出四边形ADEF的面积．（2）首先证明四边形ADEF是平行四边形，进而可得∠DEF=∠DAF，再利用直角三角形的中线性质得线段相等，从而得角等，最终可得到∠DAF=∠DEF，即可证出∠DHF=∠DEF．【答案解析】（1）解：∵BC=10，AH=8，∴S△ABC=×8×10=40，∵点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，∴△BDE、△EFC的面积都等于△ABC面积的，∴四边形ADEF的面积=40﹣20=20，故答案为：20；（2）证明：∵D 、E 、F 分别是△ABC 各边中点，∴DE ∥AC ，EF ∥AB ，∴四边形ADEF 是平行四边形，∴∠DEF=∠DAF ，∵AH 是△ABC 的高∴△ABH 、△ACH 是直角三角形，∵点D 、点F 是斜边AB 、AC 中点，∴DH=DA ，HF=AF ，∴∠DAH=∠DHA ，∠FAH=∠FHA ，∴∠DAH+∠FAH=∠FHA+∠DHA ，即∠DAF=∠DHF ，∴∠DEF=∠DHF ．【总结升华】此题主要考查了平行四边形的性质与判定，三角形的中位线定理，直角三角形的性质，解决题目的关键是证明∠DHF=∠DAF 与∠DAF=∠DEF ．3、如图所示，在△ABC 中，M 为BC 的中点，AD 为∠BAC 的平分线，BD ⊥AD 于D ，AB ＝12，AC ＝18，求MD 的长．【思路点拨】本题中所求线段MD 与已知线段AB 、AC 之间没有什么联系，但由M 为BC 的中点联想到中位线，另有AD 为角平分线和垂线，根据等腰三角形“三线合一”构造等腰三角形ABN ，D 为BN 的中点，DM 即为中位线，不难求出MD 的长度．【答案与解析】解：延长BD 交AC 于点N ．∵ AD 为∠BAC 的角平分线，且AD ⊥BN ，∴ ∠BAD ＝∠NAD ，∠ADB ＝∠ADN ＝90°，在△ABD 和△AND 中，BAD NAD AD =ADADB ADN ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝ ∴ △ABD ≌△AND(ASA)∴ AN ＝AB ＝12，BD ＝DN ．∵ AC ＝18，∴ NC ＝AC －AN ＝18－12＝6，∵ D 、M 分别为BN 、BC 的中点，∴ DM ＝12CN ＝162⨯＝3． 【总结升华】当条件中含有中点的时候，可以将它与等腰三角形的“三线合一”、三角形的中线、中位线等联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线等图形．举一反三：【变式】如图所示，四边形ABCD中，Q是CD上的一定点，P是BC上的一动点，E、F分别是PA、PQ两边的中点；当点P在BC边上移动的过程中，线段EF的长度将( )．A．先变大，后变小 B．保持不变 C．先变小，后变大 D．无法确定【答案】B；解：连接AQ．∵ E、F分别是PA、PQ两边的中点，∴ EF是△PAQ的中位线，即AQ＝2EF．∵ Q是CD上的一定点，则AQ的长度保持不变，∴线段EF的长度将保持不变．4、我们给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形．请解答下列问题：（1）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且CD=CA，点E、F分别为BC、AD的中点，连接EF并延长交AB于点G．求证：四边形AGEC是等邻角四边形；（2）如图2，若点D在△ABC的内部，（2）中的其他条件不变，EF与CD交于点H，图中是否存在等邻角四边形，若存在，指出是哪个四边形，不必证明；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）运用中位线的性质，找出对应相等的角；（2）根据题意易知满足条件的四边形即为第一题的四边形．【答案与解析】解：（1）取AC的中点H，连接HE、HF∵点E为BC中点∴EH为△ABC的中位线∴EH∥AB，且EH=12AB同理FH∥DC，且FH=12DC∵AB=AC，DC=AC∴AB=DC，EH=FH∴∠1=∠2∵EH∥AB，FH∥DC∴∠2=∠4，∠1=∠3∴∠4=∠3∵∠AGE+∠4=180°，∠GEC+∠3=180°∴∠AGE=∠GEC∴四边形AGEC是邻角四边形（2）存在等邻角四边形，为四边形AGHC．【总结升华】本题考查了三角形的中位线以及等腰三角形的性质的综合运用．本题较灵活，要求学生能够把题中的条件转化成角，从而找出相等的角来解题．举一反三：【变式】如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D；解：连接DE并延长交AB于H，∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE，∵E是AC中点，∴AE=CE，∴△DCE≌△HAE，∴DE=HE，DC=AH，∵F是BD中点，∴EF是△DHB的中位线，∴EF=12 BH，∴BH=AB-AH=AB-DC=2，∴EF=1．类型二、中点四边形5、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形EFGH 是正方形；（2）若AD ＝2，BC ＝4，求四边形EFGH 的面积．【思路点拨】（1）先由三角形的中位线定理求出四边相等，然后由AC⊥BD 入手，进行正方形的判断．（2）连接EG ，利用梯形的中位线定理求出EG 的长，然后结合（1）的结论求出2EH ＝92，也即得出了正方形EHGF 的面积． 【答案与解析】证明：（1）在△ABC 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，故可得：EF ＝12AC ，同理FG ＝12BD ，GH ＝12AC ，HE ＝12BD ， 在梯形ABCD 中，AB ＝DC ，故AC ＝BD ，∴EF＝FG ＝GH ＝HE ，∴四边形EFGH 是菱形．设AC 与EH 交于点M ，在△ABD 中，E 、H 分别是AB 、AD 的中点，则EH∥BD，同理GH∥AC，又∵AC⊥BD，∴EH⊥HG，∴四边形EFGH 是正方形．（2）连接EG ．在梯形ABCD 中，∵E、G 分别是AB 、DC 的中点，∴EG＝12（AD ＋BC ）＝3． 在Rt△EHG 中， ∵222EH GH EG +=，EH ＝GH ，∴2EH ＝92，即四边形EFGH 的面积为92． 【总结升华】此题考查了等腰梯形的性质及三角形、梯形的中位线定理，解答本题的关键是根据三角形的中位线定理得出EH ＝HG ＝GF ＝FE ，这是本题的突破口．举一反三：【变式】如图，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．（1）判断四边形EFGH 的形状，并说明你的理由；（2）连接BD和AC，当BD、AC满足何条件时，四边形EFGH是正方形．【答案】解：（1）四边形EFGH是平行四边形．理由：连接AC，∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF∥AC，且EF＝12 AC，同理，HG∥AC，且HG＝12 AC，∴EF∥HG，且EF＝HG，∴四边形EFGH是平行四边形；（2）当BD＝AC，且BD⊥AC时，EFGH是正方形．理由：连接AC，BD，∵E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴EF＝GH＝12AC，EH＝FG＝12BD，EH∥BD，GH∥AC，∵BD＝AC，BD⊥AC，∴EH＝EF＝FG＝GH，EH⊥GH，∴四边形ABCD是菱形，∠EHG＝90°，∴四边形EFGH是正方形．。
2020中考数学 三角形的中位线 综合练习(含答案)
2020中考数学 三角形的中位线 综合练习（含答案）一、单选题（共有9道小题）1.如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，则∠C 的度数为（ ）A ．50° B．60° C．70° D．80°2.如图，△ABC 中，AB=AC=10，BC=8，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，点E 为AC 的中点，连接DE ，则△CDE 的周长为（ ）A ．20B ． 12C ．14D ． 133.如图，为测量池塘岸边A 、B 两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O ，测得OA 、OB 的中点分别是点D 、E ，且DE ＝14米，则A 、B 间的距离是（ ）A ．18 米B ．24米C ．28米D ． 30米4.如图，△ABC 中，AB=AC=10，BC=8，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，点E 为AC 的中点，连接DE ，则△CDE 的周长为（ ）A ．20B ． 12C ．14D ． 135.如图，已知在Rt△ABC 中，∠ABC=90°,点D 是BC 边的中点，分别以B,C 为圆心，大于线段BC 长度一半的长为半径画弧，两弧在直线BC 上方的交点为P ，直线PD 交AC 于点E,连结BE.则下列结论中，一定正确的是（ ）①ED ⊥BC ②∠A=∠EBA ③EB 平分∠AED ④12ED AB =A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④ED B CAE DA C BEDAB OE D A C B E DBCAP6.如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB ，AD 的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC 等于（ ）A.34B.43C.35D.457.如图，已知在△ABC 中，∠BAC ＞90°，点D 为BC 的中点，点E 在AC 上，将△CDE 沿DE 折叠，使得点C 恰好落在BA 的延长线上的点F 处，连结AD ，则下列结论不一定正确的是( ) A ．AE ＝EFB ．AB ＝2DEC ．△ADF 和△ADE 的面积相等D ．△ADE 和△FDE 的面积相等8.如果三角形的两边长分别是方程28150x x -+=的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是（ ）A ．5.5B ．5C ．4.5D ．4 9.如果三角形的两边分别为3和5，那么连结这个三角形三边中点所得的三角形的周长可能是（ ）A ．5.5B ．5C ．4.5D ．4 二、填空题（共有7道小题）10.在Y ABCD 中，点O 是对角线AC 、BD 的交点，点E 是边CD 的中点，且AB=6，BC=10，则OE=______________．11.如图，顺次连结四边形 ABCD 四边的中点 E 、F 、G 、H ，则四边形 EFGH 的形状一定是 .EF BC ADBF CADE FHEG B C D A12.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，延长BC 至点D ，使13CD BD =，连接DM 、DN 、MN ，若AB=6，则DN 。
备战中考数学专项练习(2022苏版)-三角形的中位线-卷一(含解析)
备战中考数学专项练习（2022苏版）-三角形的中位线-卷一（含解析）一、单选题1.如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB 于点G，若△CEF的面积为12cm2 ，则S△DGF的值为（）A.4cm2B.6cm2C.8cm2D.9cm22.某地需要开创一条隧道，隧道AB长度无法直截了当测量。
如图所示，在地面上取一点C，使点C均可直截了当到达A、B两点，测量找到AC和BC的中点D、E，测得DE的长为1100m，则隧道AB的长度为（）A.3300mB.2200mC.1100mD.550m3.如图，DE是△ABC的中位线，若BC的长为3cm，则DE的长是（）A.2cmB. 1.5cmC. 1.2cmD.1cm4.如图，在梯形中，，中位线与对角线交于两点，若cm, cm，则的长等于()A.10 cmB.13 cmC.20 cmD.26 cm5.如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，已知DE= 6cm，则BC的长是（）A.3cmB.12cmC.18cmD.9cm6.如图所示，A ，B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A ，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个能够直截了当到达A ，B的点C ，找到AC ，BC的中点D ，E ，同时测出DE的长为10m，则A ，B间的距离为（）A.15mB.25mC.30mD.20m7.如图所示，已知四边形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点，E，F 分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（）A.线段EF的长逐步增大B.线段EF的长逐步减少 C.线段EF的长不变 D.线段EF的长不能确定8.如图，已知长方形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动，而点R不动时，那么下列结论成立的是（）A.线段EF的长逐步增大B.线段EF的长逐步减少C.线段EF的长不变D.线段EF的长先增大后变小二、填空题9.如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，BC=8，则D E=________．10.如图，现需测量池塘边上A、B两点间的距离，小强在池塘外选取一个点C，连接AC与BC并找到它们中点E、F，测得EF长为45米，则池塘的宽AB为________米．11.如图,在△ABC中,AB=8,点D,E分别是BC,CA的中点,连接DE,则D E=________.12.已知：如图，在△ABC中，点D为BC上一点，CA=CD，CF平分∠ACB，交AD于点F，点E为AB的中点．若EF=2，则BD=________13.如图，CD是△ABC的中线，点E，F分别是AC、DC的中点，EF =2，则BD=________14.如图，△ABC中，AC、BC上的中线交于点O，且BE⊥AD．若B D=10，BO=8，则AO的长为________15.在△ABC中，已知D、E分别为边AB、AC的中点，若△ADE的周长为3cm，则△ABC的周长为________cm．16.如图，A，B，C三点在⊙O上，且AB是⊙O的直径，半径OD⊥A C，垂足为F，若∠A=30°，OF=3，则BC=________三、解答题17.如图，点O是△ABC内任意一点，G、D、E分别为AC、OA、OB 的中点，F为BC上一动点，问四边形GDEF能否为平行四边形？若能够，指出F点位置，并给予证明．18.如图，D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点．O是△ABC平面上的一动点，连接OB、OC，G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．（1）如图，当点O在△ABC内时，求证：四边形DGFE是平行四边形；（2）若连接AO，且满足AO=BC，AO⊥BC．问现在四边形DGFE又是什么形状？并请说明理由．19.已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC=BD，E、F分别是AB、CD的中点，EF分别交BD、AC于点G、H.求证：OG=OH.四、综合题20.在学习三角形中位线的性质时，小亮对课本给出的解决方法进行了认真摸索：课本研究三角形中位线性质的方法已知：如图①，已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点．求证：DE△BC，DE= BC．证明：延长DE至点F，使EF=DE，连接FC．…则△ADE△△CFE．△…请你利用小亮的发觉解决下列问题：（1）如图③，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE=EF，求证：AC=BF．请你关心小亮写出辅助线作法并完成论证过程：（2）解决问题：如图⑤，在△ABC中，∠B=45°，AB=10，BC=8，DE是△ABC的中位线．过点D，E作DF∥EG，分别交BC于点F，G，过点A作MN∥BC，分别与FD，GE的延长线交于点M，N，则四边形M FGN周长的最小值是________．21.如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B．（1）试判定∠AED与∠ACB的大小关系，并说明你的理由．（2）若D、E、F分别是AB、AC、CD边上的中点，S四边形ADFE =4（平方单位），求S△ABC ．22.如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点．（1）求证：四边形EGFH是菱形（2）若AB=，则当∠ABC+∠DCB=90°时，求四边形EGFH的面积．答案解析部分一、单选题1.【答案】A【考点】三角形中位线定理【解析】【解答】解：如图，取CG的中点H，连接EH，∵E是AC的中点，∴EH是△ACG的中位线，∴EH∥AD，∴∠GDF=∠HEF，∵F是DE的中点，∴DF=EF，在△DFG和△EFH中，∴△DFG≌△EFH（ASA），∴FG=FH，S△EFH=S△DGF ，又∵FC=FH+HC=FH+GH=FH+FG+FH=3FH，∴S△CEF=3S△EFH ，∴S△CEF=3S△DGF ，∴S△DGF=×12=4（cm2）．故选：A．【分析】取CG的中点H，连接EH，依照三角形的中位线定理可得EH∥A D，再依照两直线平行，内错角相等可得∠GDF=∠HEF，然后利用“角边角”证明△DFG和△EFH全等，依照全等三角形对应边相等可得FG=FH，全等三角形的面积相等可得S△EFH=S△DGF ，再求出FC=3FH，再依照等高的三角形的面积比等于底边的比求出两三角形的面积的比，从而得解．2.【答案】B【考点】三角形中位线定理【解析】【解答】解：∵D,E分别是AC,BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，则DE＝AB，则AB=2DE=2200m，故选B。
2021年九年级数学中考一轮复习专题突破训练：三角形的中位线(附答案)
2021年九年级数学中考一轮复习专题突破训练：三角形的中位线（附答案）1．如图，△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（）A．B．1C．D．72．如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为P A，PB的中点，对下列各值：①线段MN的长；②△P AB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤∠APB的大小．其中会随点P的移动而变化的是（）A．②③B．②⑤C．①③④D．④⑤3．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝，AD＝3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（）A．3B．4C．4.5D．54．如图，在矩形ABCD中，P、R分别是BC和DC上的点，E、F分别是AP和RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动，而点R不动时，下列结论正确的是（）A．线段EF的长逐渐增长B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长始终不变D．线段EF的长与点P的位置有关5．如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC＝7，则MN的长度为（）A．B．2C．D．36．如图，△ABC的面积是12，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则△AFG 的面积是（）A．4.5B．5C．5.5D．67．如图，△ABC中，已知AB＝8，∠C＝90°，∠A＝30°，DE是中位线，则DE的长为（）A．4B．3C．D．28．如图，在△ABC中，BD、CE是角平分线，AM⊥BD于点M，AN⊥CE于点N．△ABC 的周长为30，BC＝12．则MN的长是（）A．15B．9C．6D．39．如图，在四边形ABCD中，已知AB＝CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点∠ABD ＝20°，∠BDC＝70°，则∠NMP的度数为（）A．50°B．25°C．15°D．20°10．如图，在△ABC中，延长BC至D，使得CD＝BC，过AC中点E作EF∥CD（点F 位于点E右侧），且EF＝2CD，连接DF．若AB＝8，则DF的长为（）A．3B．4C．2D．311．如图，DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F，则下列结论正确的是（）A．EF＝CF B．EF＝DE C．CF＜BD D．EF＞DE12．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是（）A．10B．8C．6D．513．如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（）A．7B．9C．10D．1114．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝10，BC ＝15，MN＝3，则AC的长是（）A．12B．14C．16D．1815．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，如果△ADE的周长是6，则△ABC 的周长是（）A．6B．12C．18D．2416．如图，∠MAN＝90°，点C在边AM上，AC＝4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE 并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E．当△A′EF为直角三角形时，AB的长为．17．如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD 上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点．若CD＝5，则EF的长为．19．如图，已知AB＝10，P是线段AB上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△ACP和△PDB，连接CD，设CD的中点为G，当点P从点A运动到点B时，则点G移动路径的长是．20．如图，∠ACB＝90°，D为AB中点，连接DC并延长到点E，使CE＝CD，过点B 作BF∥DE交AE的延长线于点F．若BF＝10，则AB的长为．21．如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝8，则EF的长为．22．如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为．23．如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝10，则PQ的长．24．在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD且AC＝6、BD＝8，E、F分别是边AB、CD的中点，则EF＝．25．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD＝BD，连接DM、DN、MN．若AB＝6，则DN＝．26．如图，在四边形ABDC中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，并且E、F、G、H四点不共线．当AC＝6，BD＝8时，四边形EFGH的周长是．27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点M为边AC的中点，点N 为边BC上任意一点，若点C关于直线MN的对称点C′恰好落在△ABC的中位线上，则CN的长为．28．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD ＝BC，∠FPE＝100°，则∠PFE的度数是．29．如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF ＝BC，连接CD和EF．（1）求证：DE＝CF；（2）求EF的长．30．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）求证：∠DHF＝∠DEF．31．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．（1）求证：BM＝MN；（2）∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，求BN的长．32．如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB＝10，AC＝6，求DF的长．33．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，BD＝12，AC＝16，E，F分别为AB，CD的中点，求EF的长．34．在△ABC中，E是AC边上一点，线段BE垂直∠BAC的平分线于D点，点M为BC边的中点，连接DM．（1）求证：DM＝CE；（2）若AD＝6，BD＝8，DM＝2，求AC的长．35．如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点．（1）求证：四边形EGFH是菱形；（2）若AB＝，则当∠ABC+∠DCB＝90°时，求四边形EGFH的面积．36．如图，E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点．（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；（2）当AC、BD满足时，四边形EFGH为菱形．当AC、BD满足时，四边形EFGH为矩形．当AC、BD满足时，四边形EFGH为正方形．37．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF＝（AC﹣AB）；（2）如图2，写出线段AB、AC、EF的数量关系，并证明你的结论．38．已知：△ABC中，AB＝10．（1）如图①，若点D、E分别是AC、BC边的中点，求DE的长；（2）如图②，若点A1，A2把AC边三等分，过A1，A2作AB边的平行线，分别交BC 边于点B1，B2，求A1B1+A2B2的值；（3）如图③，若点A1，A2，…，A10把AC边十一等分，过各点作AB边的平行线，分别交BC边于点B1，B2，…B10．根据你所发现的规律，直接写出A1B1+A2B2+…+A10B10的结果．参考答案1．解：∵AD是△ABC角平分线，CG⊥AD于F，∴△AGC是等腰三角形，∴AG＝AC＝3，GF＝CF，∵AB＝4，AC＝3，∴BG＝1，∵AE是△ABC中线，∴BE＝CE，∴EF为△CBG的中位线，∴EF＝BG＝，故选：A．2．解：∵点A，B为定点，点M，N分别为P A，PB的中点，∴MN是△P AB的中位线，∴MN＝AB，即线段MN的长度不变，故①错误；P A、PB的长度随点P的移动而变化，所以，△P AB的周长会随点P的移动而变化，故②正确；∵MN的长度不变，点P到MN的距离等于l与AB的距离的一半，∴△PMN的面积不变，故③错误；直线MN，AB之间的距离不随点P的移动而变化，故④错误；∠APB的大小点P的移动而变化，故⑤正确．综上所述，会随点P的移动而变化的是②⑤．故选：B．3．解：如图，连结DN，∵DE＝EM，FN＝FM，∴EF＝DN，当点N与点B重合时，DN的值最大即EF最大，在Rt△ABD中，∵∠A＝90°，AD＝3，AB＝3，∴BD＝＝＝6，∴EF的最大值＝BD＝3．故选A．4．解：连接AR，∵矩形ABCD固定不变，R在CD的位置不变，∴AD和DR不变，∵由勾股定理得：AR＝，∴AR的长不变，∵E、F分别为AP、RP的中点，∴EF＝AR，即线段EF的长始终不变，故选：C．5．解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，∴∠NBA＝∠NBE，∠BNA＝∠BNE，在△BNA和△BNE中，∴△BNA≌△BNE，∴BA＝BE，∴△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一），∴MN是△ADE的中位线，∵BE+CD＝AB+AC＝19﹣BC＝19﹣7＝12，∴DE＝BE+CD﹣BC＝5，∴MN＝DE＝．故选：C．6．解：∵点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，∴AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，CE是△ACD的中线，AF是△ABE的中线，AG是△ACE的中线，∴△AEF的面积＝×△ABE的面积＝×△ABD的面积＝×△ABC的面积＝，同理可得△AEG的面积＝，△BCE的面积＝×△ABC的面积＝6，又∵FG是△BCE的中位线，∴△EFG的面积＝×△BCE的面积＝，∴△AFG的面积是×3＝，故选：A．7．解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴BC＝AB＝4，又∵DE是中位线，∴DE＝BC＝2．故选：D．8．证明：∵△ABC的周长为30，BC＝12．∴AB+AC＝30﹣BC＝18．延长AN、AM分别交BC于点F、G．如图所示：∵BM为∠ABC的角平分线，∴∠CBM＝∠ABM，∵BM⊥AG，∴∠ABM+∠BAM＝90°，∠G+∠CBM＝90°，∴∠BAM＝∠AGB，∴AB＝BG，∴AN＝GN，同理AC＝CF，AM＝MF，∴MN为△AFG的中位线，GF＝BG+CF﹣BC，∴MN＝（AB+AC﹣BC）＝（18﹣12）＝3．故选：D．9．解：∵在四边形ABCD中，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PM＝AB，PN＝DC，PM∥AB，PN∥DC，∵AB＝CD，∴PM＝PN，∴△PMN是等腰三角形，∵PM∥AB，PN∥DC，∴∠MPD＝∠ABD＝20°，∠BPN＝∠BDC＝70°，∴∠MPN＝∠MPD+∠NPD＝20°+（180﹣70）°＝130°，∴∠PMN＝＝25°．故选：B．10．解：取BC的中点G，连接EG，∵E是AC的中点，∴EG是△ABC的中位线，∴EG＝AB＝＝4，设CD＝x，则EF＝BC＝2x，∴BG＝CG＝x，∴EF＝2x＝DG，∵EF∥CD，∴四边形EGDF是平行四边形，∴DF＝EG＝4，故选：B．11．解：∵DE是△ABC的中位线，∴E为AC中点，∴AE＝EC，∵CF∥BD，∴∠ADE＝∠F，在△ADE和△CFE中，∵，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴DE＝FE．故选：B．12．解：平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小．∵OD⊥BC，BC⊥AB，∴OD∥AB，又∵OC＝OA，∴CD＝DB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD＝AB＝3，∴DE＝2OD＝6．故选：C．13．解：∵BD⊥DC，BD＝4，CD＝3，由勾股定理得：BC＝＝5，∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，∴HG＝BC＝EF，EH＝FG＝AD，∵AD＝6，∴EF＝HG＝2.5，EH＝GF＝3，∴四边形EFGH的周长是EF+FG+HG+EH＝2×（2.5+3）＝11．故选：D．14．解：延长线段BN交AC于E．∵AN平分∠BAC，∴∠BAN＝∠EAN，在△ABN与△AEN中，∵，∴△ABN≌△AEN（ASA），∴AE＝AB＝10，BN＝NE，又∵M是△ABC的边BC的中点，∴CE＝2MN＝2×3＝6，∴AC＝AE+CE＝10+6＝16．故选：C．15．解：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴AD＝AB，AE＝AC，DE＝BC，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝2AD+2AE+2DE＝2（AD+AE+DE）＝2×6＝12．故选：B．16．解：当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：①当∠A'EF＝90°时，如图1，∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴A'C＝AC＝4，∠ACB＝∠A'CB，∵点D，E分别为AC，BC的中点，∴D、E是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴∠CDE＝∠MAN＝90°，∴∠CDE＝∠A'EF，∴AC∥A'E，∴∠ACB＝∠A'EC，∴∠A'CB＝∠A'EC，∴A'C＝A'E＝4，Rt△A'CB中，∵E是斜边BC的中点，∴BC＝2A'E＝8，由勾股定理得：AB2＝BC2﹣AC2，∴AB＝＝4；②当∠A'FE＝90°时，如图2，∵∠ADF＝∠A＝∠DFB＝90°，∴∠ABF＝90°，∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴∠ABC＝∠CBA'＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC＝4；综上所述，AB的长为4或4；故答案为：4或4；17．解：方法1、延长GE交AB于点O，作PH⊥OE于点H．则PH∥AB．∵P是AE的中点，∴PH是△AOE的中位线，∴PH＝OA＝（3﹣1）＝1．∵直角△AOE中，∠OAE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，即OA＝OE＝2，同理△PHE中，HE＝PH＝1．∴HG＝HE+EG＝1+1＝2．∴在Rt△PHG中，PG＝＝＝．故答案是：．方法2、如图1，延长DA，GP相交于H，∵四边形ABCD和四边形EFCG是正方形，∴EG∥BC∥AD，∴∠H＝∠PGE，∠HAP＝∠GEP，∵点P是AE的中点，∴AP＝EP，∴△AHP≌△EGP，∴AH＝EG＝1，PG＝PH＝HG，∴DH＝AD+AH＝4，DG＝CD﹣CG＝2，根据勾股定理得，HG＝＝2，∴PG＝，故答案为．18．解：∵△ABC是直角三角形，CD是斜边的中线，∴CD＝AB，又∵EF是△ABC的中位线，∴AB＝2CD＝2×5＝10cm，∴EF＝×10＝5cm．故答案为：5．19．解：如图，分别延长AC、BD交于点H，过G作MN∥AB，分别交AH于M，BH于N，∵△APC和△BPD是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，∴△AHB是等边三角形，∵∠A＝∠DPB＝60°，∴AH∥PD，∵∠B＝∠CP A＝60°，∴BH∥PC，∴四边形CPDH为平行四边形，∴CD与HP互相平分．∵G为CD的中点，∴G正好为PH中点，∵△ABH是等边三角形，∴在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为△HAB的中位线MN．∴MN＝AB＝5，即G的移动路径长为5．故答案为：5．20．解：∵点D是AB的中点，BF∥DE，∴DE是△ABF的中位线．∵BF＝10，∴DE＝BF＝5．∵CE＝CD，∴CD＝5，解得CD＝4．∵△ABC是直角三角形，∴AB＝2CD＝8．故答案为：8．21．解：∵DE为△ABC的中位线，∠AFB＝90°，∴DE＝BC，DF＝AB，∵AB＝6，BC＝8，∴DE＝×8＝4，DF＝×6＝3，∴EF＝DE﹣DF＝4﹣3＝1．故答案为：1．22．解：∵DE为△ABC的中位线，∴AD＝BD，∵∠AFB＝90°，∴DF＝AB＝2.5，∵DE为△ABC的中位线，∴DE＝BC＝4，∴EF＝DE﹣DF＝1.5，故答案为：1.5．23．解：∵△ABC的周长是26，BC＝10，∴AB+AC＝26﹣10＝16，∵∠ABC的平分线垂直于AE，∴在△ABQ和△EBQ中，，∴△ABQ≌△EBQ，∴AQ＝EQ，AB＝BE，同理，AP＝DP，AC＝CD，∴DE＝BE+CD﹣BC＝AB+AC﹣BC＝16﹣10＝6，∵AQ＝DP，AP＝DP，∴PQ是△ADE的中位线，∴PQ＝DE＝3．故答案是：3．24．解：如图，取BC的中点G，连接EG、FG，∵E、F分别是边AB、CD的中点，∴EG∥AC且EG＝AC＝×6＝3，FG∥BD且FG＝BD＝×8＝4，∵AC⊥BD，∴EG⊥FG，∴EF＝＝＝5．故答案为：5．25．解：连接CM，∵M、N分别是AB、AC的中点，∴NM＝CB，MN∥BC，又CD＝BD，∴MN＝CD，又MN∥BC，∴四边形DCMN是平行四边形，∴DN＝CM，∵∠ACB＝90°，M是AB的中点，∴CM＝AB＝3，∴DN＝3，故答案为：3．26．解：∵F，G分别为BC，CD的中点，∴FG＝BD＝4，FG∥BD，∵E，H分别为AB，DA的中点，∴EH＝BD＝4，EH∥BD，∴FG∥EH，FG＝EH，∴四边形EFGH为平行四边形，∴EF＝GH＝AC＝3，∴四边形EFGH的周长＝3+3+4+4＝14，故答案为：1427．解：取BC、AB的中点H、G，连接MH、HG、MG．如图1中，当点C′落在MH上时，设NC＝NC′＝x，由题意可知：MC＝MC′＝2，MH＝，HC′＝，HN＝﹣x，在Rt△HNC′中，∵HN2＝HC′2+NC′2，∴（﹣x）2＝x2+（）2，解得x＝．如图2中，当点C′落在GH上时，设NC＝NC′＝x，在Rt△GMC′中，MG＝CH＝，MC＝MC′＝2，∴GC′＝，∵△HNC′∽△GC′M，∴＝，∴＝，∴x＝．如图3中，当点C′落在直线GM上时，易证四边形MCNC′是正方形，可得CN＝CM＝2．此时点C′在中位线GM的延长线上，不符合题意舍弃．综上所述，满足条件的线段CN的长为或．故答案为为或．28．解：∵P是对角线BD的中点，E是AB的中点，∴EP＝AD，同理，FP＝BC，∵AD＝BC，∴PE＝PF，∵∠FPE＝100°，∴∠PFE＝40°，故答案为：40°．29．（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE BC，∵延长BC至点F，使CF＝BC，∴DE＝FC；（2）解：∵DE FC，∴四边形DEFC是平行四边形，∴DC＝EF，∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，∴AD＝BD＝1，CD⊥AB，BC＝2，∴DC＝EF＝．30．证明：（1）∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴DE、EF都是△ABC的中位线，∴EF∥AB，DE∥AC，∴四边形ADEF是平行四边形；（2）∵四边形ADEF是平行四边形，∴∠DEF＝∠BAC，∵D，F分别是AB，CA的中点，AH是边BC上的高，∴DH＝AD，FH＝AF，∴∠DAH＝∠DHA，∠F AH＝∠FHA，∵∠DAH+∠F AH＝∠BAC，∠DHA+∠FHA＝∠DHF，∴∠DHF＝∠DEF．31．（1）证明：在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，∴MN∥AD，MN＝AD，在RT△ABC中，∵M是AC中点，∴BM＝AC，∵AC＝AD，∴MN＝BM．（2）解：∵∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC＝30°，由（1）可知，BM＝AC＝AM＝MC，∴∠BMC＝∠BAM+∠ABM＝2∠BAM＝60°，∵MN∥AD，∴∠NMC＝∠DAC＝30°，∴∠BMN＝∠BMC+∠NMC＝90°，∴BN2＝BM2+MN2，由（1）可知MN＝BM＝AC＝1，∴BN＝32．解：延长CF交AB于点G，∵AE平分∠BAC，∴AF垂直平分CG，∴AC＝AG，GF＝CF，又∵点D是BC中点，∴DF是△CBG的中位线，∴DF＝BG＝（AB﹣AG）＝（AB﹣AC）＝2．33．解：如图，取BC边的中点G，连接EG、FG．∵E，F分别为AB，CD的中点，∴EG是△ABC的中位线，FG是△BCD的中位线，∴EG AC，FG BD．又BD＝12，AC＝16，AC⊥BD，∴EG＝8，FG＝6，EG⊥FG，∴在直角△EGF中，由用勾股定理，得EF＝＝＝10，即EF的长度是10．34．（1）证明：在△ADB和△ADE中，，∴△ADB≌△ADE（ASA）∴AE＝AB，BD＝DE，∵BD＝DE，BM＝MC，∴DM＝CE；（2）解：在Rt△ADB中，AB＝＝10，∴AE＝10，由（1）得，CE＝2DM＝4，∴AC＝CE+AE＝14．35．（1）证明：∵在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，∴EG∥AB，EG＝AB，HF∥AB，HF＝AB，∴EG∥HE，EG＝HE，∴四边形EGFH是平行四边形．又EH＝CD，AB＝CD，∴EG＝EH，∴平行四边形EGFH是菱形；（2）解：∵四边形ABCD中，G、F、H分别是BD、BC、AC的中点，∴GF∥DC，HF∥AB．∴∠GFB＝∠DCB，∠HFC＝∠ABC．∴∠HFC+∠GFB＝∠ABC+∠DCB＝90°．∴∠GFH＝90°．∴菱形EGFH是正方形．∵AB＝，∴EG＝AB＝．∴正方形EGFH的面积＝（）2＝．36．（1）证明：如图，连接BD，∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点，∴EH是△ABD的中位线，FG是△BCD的中位线，∴EH∥BD且EH＝BD，FG∥BD且FG＝BD，∴EH∥FG且EH＝FG，∴四边形EFGH为平行四边形；（2）解：连接AC，同理可得EF∥AC且EF＝AC，所以，AC＝BD时，四边形EFGH为菱形；AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形；AC＝BD且AC⊥BD时，四边形EFGH为正方形．故答案为：AC＝BD；AC⊥BD；AC＝BD且AC⊥BD．37．（1）证明：如图1中，∵AE⊥BD，∴∠AED＝∠AEB＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠DAE+∠ADE＝90°，∵∠BAE＝∠DAE，∴∠ABE＝∠ADE，∴AB＝AD，∵AE⊥BD，∴BE＝DE，∵BF＝FC，∴EF＝DC＝＝（AC﹣AB）．（2）结论：EF＝（AB﹣AC），理由：如图2中，延长AC交BE的延长线于P．∵AE⊥BP，∴∠AEP＝∠AEB＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠P AE+∠APE＝90°，∵∠BAE＝∠P AE，∴∠ABE＝∠APE，∴AB＝AP，∵AE⊥BD，∴BE＝PE，∵BF＝FC，∴EF＝PC＝（AP﹣AC）＝（AB﹣AC）．38．解：（1）∵D、E分别是AC、BD的中点，且AB＝10，∴DE＝AB＝5；（2）设A1B1＝x，则A2B2＝2x．∵A1、A2是AC的三等分点，且A1B1∥A2B2∥AB，∴A2B2是梯形A1ABB1的中位线，即：x+10＝4x，得x＝，∴A1B1+A2B2＝10；（3）同理可得：A1B1+A2B2+…+A10B10＝。
中考数学总复习《构造三角形中位线模型解题》专项提升练习题(附答案)
中考数学总复习《构造三角形中位线模型解题》专项提升练习题(附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、三角形中位线的概念和性质1.连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三遍，且等于第三边的一半3.隐含中点的条件：等腰三角形三线合一（顶角的角平分线底边的中垂线），平行四边形对角线的交点。
例1.如图,点D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点,点F在DE的延长线上,CF∥BA,若BC=8,则EF=( ) A.4 B.8 C.5 D.3例2.如图,在四边形ABCD中,P是对角线BD的中点,E、F分别是AB、CD的中点,AD=BC,∠EPF=136°,则∠EFP的度数是( ) A.68° B.34° C.22° D.44°二、连接两点构造三角形的中位线例3.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AB=12,AD=5.点M、N分别为线段BC、AB上的动点(含端点,但点M不与点B重合),点E、F分别为DM、MN的中点,则EF的最大值是.4例4.如图1,已知点E ,F ,G ,H 分别是四边形ABCD 的边AB ,BC ,CD ,DA 的中点,根据以下思路可以证明四边形EFGH 是平行四边形:如图2,将图1中的点C 移动至与点E 重合的位置,F ,G ,H 仍是BC ,CD ,DA 的中点,求证:四边形CFGH 是平行四边形.三．已知角平分线+垂直构造中位线例5．如图，AD 为ABC 中BAC ∠的外角平分线，BD AD ⊥于D ，E 为BC 中点5DE =，3AC =则AB 长为（ ）A ．8.5B ．8C ．7.5D ．7例6.如图,在△ABC 中,∠ABC =90°,在边AC 上截取AD =AB ,连接BD ,过点A 作AE ⊥BD 于点E ,F 是边BC 的中点,连接EF.若AB =5,BC =12,求EF 的长度.例7.如图,在△ABC中,已知AB＝6,AC＝10,AD平分∠BAC,BD⊥AD于点D,点E为BC的中点,求DE的长.四．倍长法构造三角形的中位线例8.如图,在△ABC中,∠ABC＝90°,BA＝BC,△BEF为等腰直角三角形,∠BEF＝90°,M为AF的中点.求证ME＝12CF.例9.如图,在△ABC中,∠ABC＝90°,AB＝BC,BD⊥AC于点D,CE平分∠ACB,交AB于点E,交BD于点F.求证:(1)△BEF是等腰三角形；(2)BD＝12(BC＋BF)．五．已知一边中点,取另一边中点构造三角形的中位线例10.如图,四边形ABCD中,点E,F分别是边AB,CD的中点,且AD=6,BC=10,则线段EF的长可能为( )A.7B.8.5C.9D.10六．已知两边中点,取第三边中点构造三角形的中位线例11.如图，菱形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ．E ，F 分别是AD OC ，的中点，若1207BAD EF ∠=︒=，ABCD 的周长为（ ）A ．8B ．16C ．3D ．3例12.如图，已知四边形ABCD 中AC BD ⊥，AC=6，8BD =点E 、F 分别是边AD 、BC 的中点，连接EF ，则EF 的长是 __．强化训练题一．选择题1．如图 在△ABC 中 AB ＝4 BC ＝5 AC ＝8．点D E F 分别是相应边上的中点 则四边形DFEB 的周长等于（ ）A ．8B ．9C ．12D ．132．如图 △ABC 中 AB ＝AC ＝12 BC ＝10 AD 平分∠BAC 交BC 于点D 点E 为AC 的中点 连接DE 则△CDE 的周长为（ ）A ．11B ．17C ．18D ．163．如图 在ABC 中 45B ∠=︒ 60C ∠=︒ AD BC ⊥于点D 6BD = 若E F 分别为AB BC 的中点 则EF 的长为（ ）A 2B 6C 6D 34．如图 ABCD 的对角线AC BD 交于点O AE 平分BAD ∠交BC 于点E且60ADC ∠=︒ 12AB BC = 连接OE ．下列结论中不成立的是( )A ．30CAD ∠=︒B ．ABCD S AB AC =⋅ C ．OB AB =D ．14OE BC =5．如图 四边形ABCD 中 ∠B ＝90° AB ＝8 BC ＝6 点M 是对角线AC 的中点 点N 是AD 边的中点 连结BM MN 若BM ＝3MN 则线段CD 的长是（ ）A ．53B ．3C ．103D ．56．已知三角形三边长分别为7cm 8cm 9cm 作三条中位线组成一个新的三角形 同样方法作下去 一共做了五个新的三角形 则这五个新三角形的周长之和为（ ）A ．46.5cmB ．22.5cmC ．23.25cmD ．以上都不对7．如图 在ABC 中 AE 平分BAC ∠ BE AE ⊥于点E 点F 是BC 的中点 若10AB = 6AC = 则EF 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58.如图 在四边形ABCD 中 点E F 分别为AD DC 的中点 连接EB BF EF △EBF 的面积为 S 1 ．点G 为四边形ABCD 外一点 连接AG BG EG FG 使得AG ＝BC ∠GAB ＝∠ABC △EGF 的面积为 S 2 则 S 1 与 S 2 满足的关系是（ ）A ．S 1 = S 2B ．2 S 1 =3 S 2C ．3 S 1 =4 S 2D ．3 S 1 =2 S 29．如图 平行四边形ABCD 中 O 为对角线交点 DP 平分ADC ∠ CP 平分BCD ∠ 7AB = 10AD = 则OP 的长为（ ）A ．1.5B ．2C ．2.5D ．310.如图 ▱ABCD 的顶点A D 分别在直角∠MON 的两边OM ON 上运 动（不与点O 重合） ▱ABCD 的对角线AC BD 相交于点P 连接OP 若OP=5 则▱ABCD 的周长最小值是（ ）A ．20B ．25C ．10D ．15二 填空题11.如图 在平行四边形ABCD 中 E 是CD 的中点 F 是AE 的中点 CF 交BE 于点G 若BE ＝8 则GE ＝ ．12．如图 DE 为△ABC 的中位线 点F 在DE 上 且∠AFC 为直角 若AC ＝6cm BC ＝8cm 则DF 的长为 ．13.如图已知三角形纸片ABC第1次折叠使点B落在BC边上的点B'处折痕AD交BC于点D；第2次折叠使点A落在点D处折痕MN交AB'于点P．若12BC=则MP与MN的和是_________．14．如图在▱ABCD中AC是对角线∠ACD=90°点E是BC的中点AF平分∠BAC CF⊥AF于点F连接EF.已知AB=5BC=13则EF的长为.15．如图在Rt△ABC中∠ACB＝90°AC＝BC＝6 点D是AC边上的一点且AD＝2 以AD为直角边作等腰直角三角形ADE连接BE并取BE的中点F连接CF则CF的长为．16．如图 EF是△ABC的中位线 O是EF上一点且满足OE=2OF.则△ABC的面积与△AOC的面积之比为．17．如图□ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上点E在AB的延长线上 G为DE的中点连接CG．若AD=5 AB=CF=3 则CG的长为．三．解答题18.如图△ABC的中线BE CF相交于G且AB＝12 AC＝16 BC＝20 求GC的长．19．如图在平行四边形ABCD中对角线AC BD、相交于点O点E是边BC中点连接OE并延长至点F使EF OE、．连接BF CF(1)求证：四边形OBFC是平行四边形；(2)求证：OF CD∥．20．如图四边形ABCD为平行四边形 E为AD上的一点连接EB并延长使BF=BE 连接EC并延长使CG=CE连接FG H为FG的中点连接DH（1）求证：四边形AFHD为平行四边形；（2）若CB=CE∠EBC=75°∠DCE=10°求∠DAB的度数.21.如图,点B为AC上一点,分别以AB,BC为边在AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE,点P,M,N分别为AC,AD,CE的中点.(1)求证:PM＝PN;(2)求∠MPN的度数.22.如图,在△ABC中,AB＝AC,AD⊥BC于点D,点P是AD的中点,延长BP交AC于点N,求证:AN＝13AC.23．（1）如图1 在四边形ABCD中AB＝CD E F分别是AD BC的中点连接FE 并延长分别与BA CD的延长线交于点M N．求证：∠BME＝∠CNE；（提示：取BD的中点H连接FH HE作辅助线）（2）如图2 在△ABC中F是BC边的中点D是AC边上一点E是AD的中点直线FE交BA的延长线于点G若AB＝DC＝2 ∠FEC＝45°求FE的长度．24．【发现与证明】如图在四边形ABCD中 E F G H是各边中点对角线AC BD相交于点O I J是AC BD的中点连接EF EH HG GF EI GI EJ FJ IJ GJ IH.结论1：四边形EFGH是平行四边形；结论2：四边形EJGI是平行四边形；结论3：S四边形EFGH =12S四边形ABCD；……（1）请选择其中一个结论加以证明（只需证明一个结论）.（2）【探究与应用】（★温馨提示：以下问题可以直接使用上述结论）①如图1 在四边形ABCD中 F H分别为边AB DC的中点连结HF.已知AD=6 BC=4线段HF的取值范围是 .②如图2 在四边形ABCD中点E F G H分别是AB BC CD DA的中点连接EG FH交于点O EG=8cm FH=6cm ∠EOF=60°求S四边形ABCD.答案部分：例1.A ∵点D E 分别为△ABC 的边AB AC 的中点 ∴DE 是△ABC 的中位线 ∴DE ∥BC ,DE =12BC =4.∴DF ∥BC ∵DF ∥BC ,CF ∥BA∴四边形BCFD 是平行四边形 ∴DF =BC =8,∴EF =DF -DE =4.例2.C ∵P 是BD 的中点,E 是AB 的中点 ∴PE =12AD ,同理,PF =12BC ∵AD =BC ,∴PE =PF∴∠EFP =12×(180°-∠EPF )=22°. 故选C.例3.答案 6.5解：如图,连接DN DB∵点E F 分别为DM MN 的中点 ∴EF 是△MDN 的中位线 ∴EF =12DN当N与点B重合时,DN最大,此时EF的值最大∵∠A=90°,AB=12,AD=5∴DB=√AD2+AB2=13,∴EF的最大值为6.5 故答案为6.5.例4.证明如图,连接BD∵C,H分别是AB,DA的中点∴CH是△ABD的中位线BD∴CH∥BD,CH=12BD同理,FG∥BD,FG=12∴CH∥FG,CH=FG∴四边形CFGH是平行四边形.例5．D解：延长BD CA交于点F∠的外角平分线∵AD为ABC中BAC∴FAD BAD∠=∠∵BD AD⊥∴90∠=∠=︒ADF ADB在ABD△和AFD△中FAD BAD AD ADADF ADB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ABD AFD △≌△ ∴AB AF = BD DF = 又E 为BC 中点 5DE = ∴210CF DE == 又3AC =∴7AF CF AC AB =-==． 故选：D ．例6.解： 在△ABC 中,∠ABC =90°,AB =5,BC =12 则AC =√AB 2+BC 2=√52+122=13 ∵AD =AB =5∴DC =AC -AD =13-5=8 ∵AD =AB ,AE ⊥BD ,∴BE =ED ∵BF =FC ,∴EF =12DC =4.解:如图,延长BD 交AC 于点F ,∵AD 平分∠BAC ,∴∠BAD ＝∠CAD .∵BD ⊥AD ∴∠ADB ＝∠ADF又∵AD ＝AD ,∴△ADB ≌△ADF (ASA ).∴AF ＝AB ＝6,BD ＝FD .∵AC ＝10,∴CF ＝AC －AF ＝10－6＝4.∵E 为BC 的中点,∴DE 是△BCF 的中位线.∴DE ＝12CF ＝12×4＝2.例8.证明:如图,延长FE 至N ,使EN ＝EF ,连接BN ,AN ,则ME ＝12AN . ∵EF ＝EN ,∠BEF ＝90°,∴BE 垂直平分FN . ∴BF ＝BN .∴∠BNF ＝∠BFN . ∵△BEF 为等腰直角三角形,∠BEF ＝90°,∴∠BFN ＝45°.∴∠BNF ＝45°. ∴∠FBN ＝90°,即∠FBA ＋∠ABN ＝90°.又∠FBA ＋∠CBF ＝90° ∴∠CBF ＝∠ABN .在△BCF 和△BAN 中,∵BF ＝BN ,∠CBF ＝∠ABN ,BC ＝BA∴△BCF ≌△BAN (SAS ).∴CF ＝AN .∴ME ＝12AN ＝12CF .例9.(1)证明:在△ABC 中,∵AB ＝BC ,∠ABC ＝90°,∴∠ACB ＝45°. ∵CE 平分∠ACB ,∴∠ECB ＝∠ACE ＝22.5°.∴∠BEF ＝∠CFD ＝∠BFE ＝67.5°.∴BE ＝BF ,即△BEF 是等腰三角形． (2)解:如图,延长AB 至点M ,使得BM ＝AB ,连结CM .易知D 是AC 的中点∴BD ∥MC ,BD ＝12MC .∴∠BFE ＝∠MCE .由(1)得∠BEF ＝∠BFE ,BE ＝BF ,∴∠BEF ＝∠MCE .∴ME ＝MC .∵BM ＝AB ＝BC ,∴BD ＝12MC ＝12ME ＝12(MB ＋BE )＝12(BC ＋BF )．例10.A 如图,连接BD ,取BD 的中点H ,连接HF ,HE∵点E ,H 分别是AB ,BD 的中点,∴EH 是△ABD 的中位线,∴EH =12AD =3 同理可得FH =12BC =5,∴EF ≤FH +EH =8,故选A .例11．B 解：取CD 的中点G 连接EG FG点E 为AD 的中点 点F 为OC 的中点12EG AC ∴=EG AC ∥ 12FG OD = //FG OD四边形ABCD 是菱形 120BAD ∠=︒AC BD ∴⊥ 60ADC ∠=︒ 1302ODC ADC ∠=∠=︒EG GF ∴⊥ AD DC AC ==设CD x = 则12EG x = 3FG 7EF =22213()()(7)2x ∴+= 解得4x =4CD ∴=∴菱形ABCD的周长为：44416CD=⨯=故选：B．例12解：如图取AB的中点G连接EG FG∵E F分别是边AD CB的中点∴EG BD∥且118422EG BD==⨯=FG AC且116322FG AC==⨯=∵AC BD⊥∴EG FG⊥∴2222435EF EG FG=++=．故答案为：5．强化训练题一．选择题1．如图在△ABC中AB＝4 BC＝5 AC＝8．点D E F分别是相应边上的中点则四边形DFEB的周长等于（）A．8 B．9 C．12 D．13解：∵点D F分别是AB AC的中点∴DF＝BC＝2.5同理EF＝AB＝2∴四边形DFEB的周长＝EF+FD+DB+BE＝9故选：B ．2．解：∵AB ＝AC AD 平分∠BAC ∴BD ＝DC ＝BC ＝5 ∵点E 为AC 的中点∴CE ＝AC ＝6 DE ＝AB ＝6 ∴△CDE 的周长＝CD +CE +DE ＝17 故选：B ． 3．A 解：45B ∠=︒ AD BC ⊥ABD ∴是等腰直角三角形 6AD BD ∴=60C ∠=︒30DAC ∴∠=︒12DC AC ∴=2233AD AC DC DC AC ∴-=36AC =22AC ∴=E F 分别为AB BC 的中点1122222EF AC ∴==⨯=故选：A ． 4．C解：四边形ABCD 是平行四边形60ABC ADC ∴∠=∠=︒ 120BAD ∠=︒AE 平分BAD ∠60BAE EAD ∴∠=∠=︒ABE ∴是等边三角形AE AB BE ∴==AB =12BC AE ∴=12BC90BAC ∴∠=︒30CAD ∴∠=︒ 故A 正确； AC AB ⊥∴ABCDSAB AC =⋅ 故B 正确AB =12BC OB =12BDBD BC >AB OB ∴≠ 故C 错误； CE BE = CO OA = OE ∴=12ABOE ∴=14BC 故D 正确． 故选：C ． 5．【答案】C6．已知三角形三边长分别为7cm 8cm 9cm 作三条中位线组成一个新的三角形 同样方法作下去 一共做了五个新的三角形 则这五个新三角形的周长之和为（ ） A ．46.5cmB ．22.5cmC ．23.25cmD ．以上都不对解：由△ABC 三边长分别为7cm 8cm 9cm 三条中位线组成一个新的三角形 可知新三角形与原三角形相似 相似比是1：2 即：后一个三角形的周长都是前一个三角形周长的∵原三角形的周长＝7+8+9＝24 ∴这个新三角形的周长＝×24＝12 ∴这个五个新三角形的周长之和＝24+×24+×24+×24+×24＝23.25故选：C ．7．A解：延长AC BE 交于点M∵AE 平分BAC ∠ BE AE ⊥∴90AEB AEM ∠=∠=︒ CAE BAE ∠=∠∵AE AE =∴ABE AME ≌∴10AB AM == BE EM =∵6AC =∴4CM AM AC =-=∵点F 是BC 的中点 BE EM =∴EF 为BCM 中位线 ∴122EF CM ==．故选：A ．8.【答案】A解：连接 AC∵∠GAB =∠ABC∴AG ∥BC .又 AG = BC可知四边形 AGBC 是平行四边形∴AC ∥BG点 E F 分别为 AD DC 的中点∴EF 是△ ADC 的中位线∴EF ∥AC∴ EF ∥BG .∴点 B 与点 G 到 EF 的距离相等△EBF 与△ EGF 是同底等高的关系∴ S △ EBF = S △ EGF 即S1=S2故选： A9．A解：如图 延长DP 交BC 于点F四边形ABCD 是平行四边形AD BC ∴∥ OD OB = 7AB CD == 10BC AD ==180ADC BCD ∴∠+∠=︒ ADF CFD ∠=∠ DP 平分ADC ∠ CP 平分BCD ∠ADF CDF ∠=∠∴ FCP DCP ∠=∠90CDP DCP ∴∠+∠=︒ CDF CFD ∠=∠7DC CF ∴== DP PF =OP ∴是DBF 的中位线()()111107 1.5222OP BF BC CF ∴==-=-= 故选：A ．10.解：如图 取 AD 的中点 H ,连接 PH , OH∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴AP = PC又∵点 H 是 AD 中点 LAOD =90°∴PH =- AB , OH =- AD∴OH + PH ≥ OP∴AB + AD ≥2OP∴四边形 ABCD 的周长最小值为20故选： A .二．填空题11.解：取 BE 的中点 M 连接 FM , CM∵F 为AE 的中点 M 为 BE 的中点∴MF =AB , FM // AB∵四边形 ABCD 是平行四边形∴DC = AB , DC // AB∵E 为 CD 的中点∴CE =DC∴ CE = FM , CE // FM .∴四边形 EFMC 是平行四边形∴EG = GM∵BM = EM = BE =x8=4∴ EG =x4=2故答案为：212.如图 DE 为△ABC 的中位线 点F 在DE 上 且∠AFC 为直角 若AC ＝6cmBC ＝8cm则DF 的长为 1cm ．解：∵DE 为△ABC 的中位线∴DE ＝BC ＝4（cm ）∵∠AFC 为直角 E 为AC 的中点∴FE ＝AC ＝3（cm ）∴DF ＝DE ﹣FE ＝1（cm ）故答案为：1cm ．13．6解：如图2 由折叠得：AM MD = MN AD ⊥ AD BC ⊥ 连接GD∴GN BC∥GN是AD的垂直平分线∴AG DG=∴GAD GDA∠=∠∵90GBD GAD GDB GDA∠+∠=︒=∠+∠∴GBD GDB∠=∠∴GB GD=∴AG BG=同理可得：AN CN=∴GN是ABC的中位线而12BC=∴162GN BC==∵PM GM=∴6 MP MN GM MN GN+=+==．故答案为：6．14.【答案】7215.解：延长AE BC交于点H∵△ADE是等腰直角三角形∴∠HAC＝45°AE＝AD＝2∴CH＝AC＝BC AH＝AC＝6∴EH＝AH﹣AE＝4∵BC＝CH BF＝FE∴FC＝EH＝2故答案为：2．16．【答案】3 （或3：1）】解： EF 是△ ABC 的中位线.. EF / BC , EF = BCOE =20F: OE =BC =BC设点 A 到 BC 的距离为 h则 S △ ABC = BC · h , S △ aoc =OE · h =BC · h =BC · h:△ ABC 的面积与△ AOC 的面积之比＝3:1.故选： D .17．【答案】52解答】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形∴AD = BC , CD = AB , DC / AB∵AD =5, AB = CF =3.∴CD =3, BC =5∴BF = BC + CF =8∵△ BEF 是等边三角形 G 为 DE 的中点∴BF = BE =8, DG = EG延长 CG 交 BE 于点 H∵DC / AB∴∠CDG=∠HEG在△ DCG 和△ EHG 中∠CDG=∠HEGDG = EG∠DGC =∠ EGH∴△ DCGR △ EHG ( ASA ).∴DC = EH , CG = HG∵ CD =3, BE =8∴HE =3, BH =5∵ LCBH =60°, BC = BH =5∴△CBH 是等边三角形∴CH = BC =5∴CG = CH =52故答案为：52三．解答题18．如图△ABC的中线BE CF相交于G且AB＝12 AC＝16 BC＝20 求GC的长．解：∵AB＝12 AC＝16 BC＝20∴AB2+AC2＝BC2∴△ABC是直角三角形∴∠A＝90°∵F是AB中点∴AF＝6∴CF＝＝＝2∵中线BE CF相交于G∴G是△ABC重心∴CG：GF＝2：1∴CG＝．19．(1)证明见解析(2)证明见解析（1）证明：∵点E是边BC中点∴BE CE=又∵EF OE=∴四边形OBFC是平行四边形；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形对角线AC BD、相交于点O ∴点O是BD的中点又∵点E是边BC中点∴OE是BCD△的中位线∴OE CD即OF CD∥．20．【答案】（1）证明：∵BF=BE CG=CE∴BC为△FEG的中位线FG∴BC//FG BC=12又∵H是FG的中点∴FH=1FG2∴BC=FH .又∵四边形ABCD是平行四边形∴AD//BC AD=BC∴AD//FH AD=FH∴四边形AFHD是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形∴∠DAB=∠DCB∵CE=CB∴∠BEC=∠EBC=75°∴∠BCE=180°−75°−75°=30°∴∠DCB=∠DCE+∠BCE=10°+30°=40°∴∠DAB=40° .21.解:(1)如图,连接CD,AE.由三角形中位线定理可得PM∥12CD,PN∥12AE.∵△ABD和△BCE是等边三角形,∴AB＝DB,BE＝BC,∠ABD＝∠CBE＝60°∴∠ABE＝∠DBC.∴△ABE≌△DBC,∴AE＝DC.∴PM＝PN.(2)如图,设PM交AE于F,PN交CD于G,AE交CD于H,AE交BD于Q.由(1)知△ABE≌△DBC,∴∠BAE ＝∠BDC.又∵∠DQH＝∠BQA,∴∠AHD＝∠ABD＝60°,∴∠FHG＝120°.22.证明:如图,取NC的中点H,连接DH过点H作HE∥AD,交BN的延长线于E.∵AB＝AC,AD⊥BC,∴D为BC的中点.∵H为NC的中点,∴DH∥BN.又∵PD∥EH,∴四边形PDHE是平行四边形.∴HE＝PD.∵P为AD的中点,∴AP＝PD. ∴AP＝EH.又∵HE∥AD,∴∠PAN＝∠EHN,∠APN＝∠HEN.∴△APN≌△HEN(ASA).∴AN＝NH. ∴AN＝NH＝HC. ∴AN＝13AC.23．（1）证明：连接BD取DB的中点H连接EH FH ∵E H分别是AD BD的中点∴EH∥AB EH＝AB∴∠BME＝∠HEF∵F H分别是BC BD的中点∴FH∥CD FH＝CD∴∠CNE＝∠HFE∵AB＝CD∴HE＝FH∴∠HEF＝∠HFE∴∠BME＝∠CNE；（2）连接BD取DB的中点H连接EH FH∵E F分别是AD BC的中点∴EH＝AB FH＝CD FH∥AC∴∠HFE＝∠FEC＝45°∵AB＝CD＝2∴HF＝HE＝1∴∠HEF＝∠HFE＝45°∴∠EHF＝180°﹣∠HFE﹣HEF＝90°∴．24．【答案】（1）解：结论1：四边形EFGH是平行四边形；证明：∵在四边形ABCD中 E F G H是各边中点∴EF为∆ABD的中位线∴EF∥BD EF=12BD同理可得GH∥BD GH=12BD∴GH∥EF GH=EF∴四边形EFGH是平行四边形；结论2：四边形EJGI是平行四边形；证明：∵E J G I分别为DA DB BC AC中点∴EJ为∆ABD的中位线∴EJ∥AB EJ=12AB同理可得IG∥AB IG=12AB∴EJ∥IG EJ=IG∴四边形EJGI是平行四边形；结论3：S四边形EFGH=12S四边形ABCD；证明：由结论1证明可得 EF=12BD GH=12BD∴∆AEF的高为∆ADB高的一半∆CHG的高为∆BCD高的一半∴S�AEF=14S�ADB S�CHG=14S�CDB同理：S�DEH=14S�DAC S�BFG=14S�BCA∴S四边形EFGH=S四边形ABCD−S�AEF−S�CHG−S�DEH−S�BFG=12S四边形ABCD；（2）解：①连接AC 取AC的中点E 连接FE HE∵点E F为AC AB的中点∴EF=12BC=2同理：EH=12AD=3第 31 页 共 31 页 ∴EH-EF<FH<EF+EH即1<EH<5故答案为：1<FH<5；②如图所示 连接EFGH 由结论1可得四边形EFGH 为平行四边形如图所示 过点E 作EM ∥FH 交GH 延长线于点M 过点G 作GN ⊥EM∵EF ∥GM EM ∥FH∴四边形FHME 为平行四边形∴FH=EM=6 ∠EOF=∠GEM=60° FE=HM∴∠EGN=30°∴EN=12EG =4∴GN =√EG 2−EN 2=4√3∴S �EGM =12EM ×GN =12√3由图可得S 四边形EFGH =S �EGM =12√3由结论3可得：S 四边形ABCD =2S 四边形EFGH =24√3.。
中考数学专题复习学案 三角形中位线 (含答案)
中考复习之三角形中位线定义：：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线一、与中点有关的概念三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．直角三角形斜边中线：直角三角形斜边中线等于斜边一半二、常见的题型题型一:求线段的长例1、已知：如图，E、D、F分别为AB、BC、CA的中点.（1）若AC=10cm，则DE= 5 cm. （2）若EF=6cm，则CB= 12 cm.（3）若AB=10，AC=12，BC=8，则△DEF的周长 15练习：1.已知△ABC的周长为50cm，中位线DE=8cm，中位线EF=10cm，则另一条中位线DF的长是（）A.5cmB. 7cmC. 9cmD. 10cm【答案】B3.如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，则∠C的度数为（）A.50°B. 60°C. 70°D. 80°【答案】C3.如图，在△ABC中，E，D，F分别是AB、BC、CA的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF的周长是（）A. 10B. 20C. 30D. 40【答案】B4.如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AC，AB边的中点，AH⊥BC于H，FD=8，则HE等于（）A. 20B. 16C. 12D. 8 【答案】D题型二：证明线段的倍分问题例1.如图,△ABC 中,AB=AC,AD 是中线,BE=CF.(1)求证: △BDE ≌△CDF;(2)当∠B=60°时,G 、H 分别是AB 、AD 的中点,求证:GH=14AB证明：(1)∵AB=AC ∴∠ B=∠ C ∵AD 为中线，∴BD=CD 又∵EB=FC ∴△BDE ≌△CDF(2)∵AB=AC ∴△ABC 为等腰三角形，又∵∠B=60°，∴△ABC 为等边三角形 ∴BC=AB ∵G 、H 分别是AB 、AD 的中点 ∴GH=21BD=14BC 又∵BC=AB 所以GH=41AB. 练习：如图,在△ABC 中,AB=AC,延长AB 到D,使BD=AB,E 为AB 中点,连结CE 、CD ， 求证：CD=2EC证明：延长CE 使EF=CE=1/2CF 即 CF=2CE ∵∠AEC=∠BEF E 是AB 中点，即AE=BE CE=EF∴△ACE ≌△BFE(SAS) ∴BF=AC ∠FBE=∠A ∵AB=AC ∴∠ABC=∠ACB∵∠FBC=∠FBE+∠ABC=∠A+∠ABC ∠DBC=∠A+∠ACB ∴∠FBC=∠DBC∵BD=BA∴BF=BD∵BC=BC∠FBC=∠DBC∴△BCF≌△BCD(SAS)∴CF=CD∴CD=2CE题型三：常规辅助线的添加一：利用角平分线+垂直，构造等腰三角形如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求证：BN=DN；（2）求△ABC的周长．【解析】1）证明：在△ABN和△ADN中，∵12AN ANANB AND ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABN≌△ADN，∴BN=DN．（2）解：∵△ABN≌△ADN，∴AD=AB=10，DN=NB，又∵点M是BC中点，∴MN是△BDC的中位线，∴CD=2MN=6，故△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41．1.如图所示，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB=8，MN=3，则AC的长是（）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】B2.如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（）A．1 B．2 C． 3 D．7【答案】A3.如图，△ABC中，BD平分∠ABC，且AD⊥BD，E为AC的中点，AD=6cm，BD=8cm，BC=16cm，则DE的长为（）cm．【答案】3如图，△ABC中，AB=8cm，AC=5cm，AD平分∠BAC，且AD⊥CD，E为BC中点，则DE=（）A.3 B.5 C.2.5 D.1.5【答案】D二：取中点构造中位线如图，在四边形ABCD 中，AD=BC ，20,110,,,CBD BDA E F P ∠=︒∠=︒分别是AB 、CD 、BD 的中点，探索PF 与EF 的数量关系.证明：连接PE ，20,11090CBD BDA EPF ∠=︒∠=︒⇒∠=︒，易得EF =.三：借助平行四边形的性质1. 如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别是线段AO ，BO 的中点．若AC+BD=24cm ，△OAB 的周长是18cm ，则EF 的长为________cm ．【答案】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，又∵AC+BD=24厘米，∴OA+OB=12厘米，∵△OAB的周长是18厘米，∴AB=6厘米，∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，∴EF是△OAB的中位线，∴EF=1/2AB=3厘米．题型三借助平行四边形的性质边AB、BC的中点，G、H为AC的两个三等分点，连接EG、例3.如图，（1）E,F为ABCFH，并延长交于D，连接AD、CD.求证：四边形ABCD是平行四边形.【答案】如图，E、F分别为△ABC的边AB、BC的中点，G、H是AC上的三等分点。
中考数学每日一练：三角形中位线定理练习题及答案_2020年压轴题版
中考数学每日一练：三角形中位线定理练习题及答案_2020年压轴题版答案答案2020年中考数学：图形的性质_三角形_三角形中位线定理练习题~~第1题~~(2020遵化.中考模拟) 如图，直线OA 与反比例函数的图像交于点A （3，3），向下平移直线OA ，与反比例函数的图像交于点B （6，m ）与y 轴交于点C ，（1） 求直线BC 的解析式；（2） 求经过A 、B 、C 三点的二次函数的解析式；（3） 设经过A 、B 、C 三点的二次函数图像的顶点为D ，对称轴与x 轴的交点为E.问：在二次函数的对称轴上是否存在一点P ，使以O 、E 、P 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.考点： 一次函数的定义;反比例函数的图象;反比例函数的性质;线段的长短比较与计算;勾股定理;三角形中位线定理;相似三角形的性质;~~第2题~~(2019哈尔滨.中考模拟) 如图，已知一次函数y ＝ x+4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，一次函数y ＝﹣x+b 经过点C 与x 轴交于点B ．（1） 求直线BC 的解析式；（2） 点P 为x 轴上方直线BC 上一点，点G 为线段BP 的中点，点F 为线段AB 的中点，连接GF ，取GF 的中点M ，射线PM 交x 轴于点H ，点D 为线段PH 的中点，点E 为线段AH 的中点，连接DE ，求证：DE ＝GF ；（3） 在（2）的条件下，延长PH 至Q ，使PM ＝MQ ，连接AQ 、BM ，若∠BAQ+∠BMQ ＝∠DEB ，求点P 的坐标．考点： 待定系数法求一次函数解析式;全等三角形的判定与性质;三角形中位线定理;~~第3题~~(2019永康.中考模拟) 如图，正方形OABC 的顶点O 与原点重合，点A ，C 分别在x 轴与y 轴的正半轴上，点A 的坐标为（4，0），点D 在边AB 上，且tan ∠AOD ＝，点E 是射线OB 上一动点，EF ⊥x 轴于点F ，交射线OD 于点G ，过点G 作GH ∥x 轴交AE 于点H.答案答案答案（1） 求B ，D 两点的坐标；（2） 当点E 在线段OB 上运动时，求∠HDA 的大小；（3） 以点G 为圆心，GH 的长为半径画⊙G.是否存在点E 使⊙G 与正方形OABC 的对角线所在的直线相切？若不存在，请说明理由；若存在，请求出所有符合条件的点E 的坐标.考点： 坐标与图形性质;三角形中位线定理;正方形的性质;切线的判定;锐角三角函数的定义;~~第4题~~(2019亳州.中考模拟) 已知如图1，在△ABC 中，∠ABC=90°，BC=AB ，点D 在AC 上，DF ⊥AC 交BC 于F ，点E 是AF的中点。
三角形的中位线中考题汇编
4. 三角形的中位线一、 选择题1. (2017·宜昌)如图，要测量被池塘隔开的A ，B 两点的距离．可以在AB 外选一点C ，连接AC ，BC ，并分别找出它们的中点D ，E ，连接ED.现测得AC ＝30 m ，BC ＝40 m ，DE ＝24 m ，则AB 的长为( )A. 50 mB. 48 mC. 45 mD. 35 m第1题 第2题2. (2017·毕节)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，斜边AB ＝9，D 为AB 的中点，F 为CD 上一点，且CF ＝13CD ，过点B 作BE ∥DC 交AF 的延长线于点E ，则BE 的长为( )A. 6B. 4C. 7D. 123. (2017·西宁)如图，O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，OM ∥AB 交AD 于点M.若OM ＝3，BC ＝10，则OB 的长为( )A. 5B. 4C.342D. 34 第3题第4题4. (2017·遵义)如图，△ABC 的面积是12，点D ，E ，F ，G 分别是BC ，AD ，BE ，CE 的中点，则△AFG 的面积是( )A. 4.5B. 5C. 5.5D. 65. (2017·株洲)如图，点E ，F ，G ，H 分别为四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则关于四边形EFGH ，下列说法正确的为( )A. 一定不是平行四边形B. 一定不是中心对称图形C. 可能是轴对称图形D. 当AC ＝BD 时，它是矩形第5题 第6题6. (2017·江西)如图，在任意四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，对于四边形EFGH 的形状，某班的学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是( )A. 当E ，F ，G ，H 是各边的中点，且AC ＝BD 时，四边形EFGH 为菱形B. 当E ，F ，G ，H 是各边的中点，且AC ⊥BD 时，四边形EFGH 为矩形C. 当E ，F ，G ，H 不是各边的中点时，四边形EFGH 可以为平行四边形D. 当E ，F ，G ，H 不是各边的中点时，四边形EFGH 不可能为菱形7. (导学号11744102)(2017·营口)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E ，F 分别是BC ，AC 的中点，以AC 为斜边作 Rt △ADC ，若∠CAD ＝∠CAB ＝45°，则下列结论不正确的是( )第7题A. ∠ECD ＝112.5°B. DE 平分∠FDCC. ∠DEC ＝30°D. AB ＝2CD 二、 填空题8. (1) (2017·南通)如图①，DE 是△ABC 的中位线，BC ＝8，则DE ＝________；(2) (2017·徐州)在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，DE ＝7，则BC ＝________；(3) (2017·河北)如图②，A ，B 两点被池塘隔开，不能直接测量其距离．于是，小明在岸边选一点C ，连接CA ，CB ，分别延长到点M ，N ，使AM ＝AC ，BN ＝BC ，测得MN ＝200 m ，则A ，B 间的距离为________m.第8题9. (2017·淮安)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，F 是AD 的中点．若AB ＝8，则EF ＝________．第9题第10题10. (2017·宿迁)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点．若CD ＝2，则线段EF 的长是________．11. (2017·宁夏)如图，在△ABC 中，AB ＝6，D 是AB的中点，过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ，点M 在DE 上，且ME ＝13DM.当AM ⊥BM 时，BC 的长为________．第11题第12题12. (2017·怀化)如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AB 的中点，OE ＝5 cm ，则AD 的长是________cm.13. (2017·天津)如图，正方形ABCD 和正方形EFCG 的边长分别为3和1，点F ，G 分别在边BC ，CD 上，P 为AE 的中点，连接PG ，则PG 的长为________．第13题第14题14. (2017·广安)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，AC ＝8，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，连接DE ，则△ADE 的面积是________．15. (2017·绥化)如图，顺次连接腰长为2的等腰直角三角形各边的中点得到第1个小三角形，再顺次连接所得的小三角形各边的中点得到第2个小三角形，如此操作下去，则第n 个小三角形的面积为________．第15题三、 解答题16. (2017·贵阳)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，D ，E 分别是边BC ，AB 的中点，连接DE 并延长至点F ，使EF ＝2DE ，连接CE ，AF.(1) 求证：AF ＝CE ；(2) 当∠B ＝30°时，试判断四边形ACEF 的形状并说明理由．第16题17. (导学号11744103)(2017·南通)如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，PQ 垂直平分BE ，分别交AD ，BE ，BC 于点P ，O ，Q ，连接BP ，EQ.(1) 求证：四边形BPEQ 是菱形；(2) 若AB ＝6，F 为AB 的中点，OF ＋OB ＝9，求PQ 的长．第17题18. (2017·呼和浩特)如图，在等腰三角形ABC 中，BD ，CE 分别是两腰上的中线．(1) 求证：BD ＝CE ；(2) 设BD 与CE 相交于点O ，M ，N 分别为线段BO 和CO 的中点，当△ABC 的重心到顶点A 的距离与底边长相等时，判断四边形DEMN 的形状，并说明理由．第18题4. 三角形的中位线一、 1. B 2. A 3. D 4. A 5. C 6. D 7. C 二、 8. (1) 4 (2) 14 (3) 100 9. 2 10. 2 11. 8 12. 10 13. 5 14. 6 15.122n －1三、 16. (1) ∵ D ，E 分别是边BC ，AB 的中点，∴ DE ∥AC ，DE ＝12 AC.又∵ EF ＝2DE ，即DE ＝12EF ，∴ EF ＝AC.∴ 四边形ACEF 是平行四边形．∴ AF ＝CE (2) 当∠B ＝30°时，四边形ACEF 是菱形 理由：∵ ∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，∴ ∠BAC ＝60°，AC ＝12AB ＝AE.∴ △AEC 是等边三角形．∴AC ＝CE.又∵ 四边形ACEF 是平行四边形，∴ 四边形ACEF 是菱形．17. (1) ∵ PQ 垂直平分BE ，∴ QB ＝QE ，OB ＝OE.∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ AD ∥BC.∴ ∠QBO ＝∠PEO.在△BOQ 与△EOP 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠QBO ＝∠PEO ，OB ＝OE ，∠BOQ ＝∠EOP ，∴ △BOQ ≌△EOP.∴ PE ＝QB.又∵ AD ∥BC ，即PE ∥QB ，∴ 四边形BPEQ 是平行四边形．∵ QB ＝QE ，∴ 平行四边形BPEQ 是菱形(2) ∵ △BOQ ≌△EOP ，∴ OB ＝OE.∴ BE ＝2OB.∵ F 为AB 的中点，∴ BF ＝FA.∴ OF 为△BAE 的中位线．∴ AE ＝2OF.∵ OF ＋OB ＝9，∴ AE ＋BE ＝2OF ＋2OB ＝18.设AE ＝x ，则BE ＝18－x.∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ ∠BAE ＝90°.∴ 在Rt △ABE 中，62＋x 2＝(18－x)2，解得x ＝8.∴ AE ＝8，BE ＝18－x ＝10.∴ OB ＝12BE ＝5.设PE ＝y ，则AP ＝8－y.∵ 四边形BPEQ 是菱形，∴ BP ＝PE ＝y ，PQ ＝2PO.在Rt △ABP 中，由62＋(8－y)2＝y 2，得y ＝254，即BP ＝254.∴ 在Rt △BOP中，PO ＝BP 2－OB 2＝154.∴ PQ ＝15218. (1) 由题意，得AB ＝AC.∵ BD ，CE 分别是两腰上的中线，∴ AD ＝12AC ，AE ＝12AB.∴ AD ＝AE.在△ABD 和△ACE中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠A ＝∠A ，AD ＝AE ，∴ △ABD ≌△ACE.∴ BD ＝CE(2) 四边形DEMN 是正方形 理由：如图，∵ E ，D 分别是AB ，AC 的中点，∴ ED 是△ABC 的中位线．∴ ED ∥BC ，ED ＝12BC.∵ M ，N 分别为线段BO 和CO 中点，∴ BM ＝OM ，CN ＝ON ，MN 是△OBC 的中位线．∴ MN ∥BC ，MN ＝12BC.∴ ED∥MN ，ED ＝MN.∴ 四边形DEMN 是平行四边形．∴ OD ＝OM ，OE ＝ON.∴ OD ＝OM ＝BM ，OE ＝ON ＝CN.由(1)知BD ＝CE ，∴ DM ＝EN.∴ ▱DEMN 是矩形．∵ BD ，CE 分别是AC ，AB 上的中线，∴ 点O 是△ABC 的重心．连接OA ，则OA ＝BC.∵ 在△AOC 中，N ，D 分别是OC ，AC 的中点，∴ DN 是△AOC 的中位线．∴ DN ＝12OA.∴ MN ＝DN.∴ 矩形DEMN 是正方形．第18题。
中考重点三角形的中位线定理
中考重点三角形的中位线定理三角形是几何学中一种基本的图形，其中位线定理作为三角形的重要定理在中考中往往会被重点考察。
本文将对中考重点三角形的中位线定理进行详细阐述，以帮助同学们更好地理解和掌握这一定理。
一、中位线的定义及性质在三角形ABC中，连接三角形的一个顶点到对边中点的线段称为该顶点的中位线。
设AD是BC的中线，可以得出以下几个性质：1. 中位线的三个交点连接起来一定是一个点，称为三角形的重心，用G表示。
重心是三角形内部离三边距离之和最小的点。
2. 重心将每条中位线分成两段，其中一段的长度是另一段的两倍。
3. 重心到三角形三个顶点的距离满足OG = 2DG，其中O是坐标原点。
二、中位线定理的表述中位线定理是指：三角形的三条中位线交于一点，且这个交点与三个顶点之间的距离满足OG = 2DG。
即在三角形ABC中，连接三个顶点到对边中点的中位线交于一点G，且OG = 2DG。
三、中位线定理的证明为了证明中位线定理，我们可以利用向量的方法进行推导。
设向量OA = a，OB = b，OC = c，且D为BC的中点，则向量OD = (b + c) / 2。
根据中位线的定义，由向量的加法运算，我们可以得到：OG = OA + OB + OC = a + b + cDG = OD - OG/3 = (b + c)/2 - (a + b + c)/3 = (c - a) / 6由此可以得到OG = 2DG，证明了中位线定理的正确性。
四、中位线定理的应用中位线定理在解决三角形相关问题时有着广泛的应用，下面将介绍两个常见的问题：1. 求三角形三条中位线的交点坐标已知三角形的三个顶点坐标A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，可通过中位线的定义和公式求得交点坐标。
设中位线交点为G(x, y)，则有：x = (x1 + x2 + x3) / 3y = (y1 + y2 + y3) / 3通过计算可得到交点G的坐标。
云南中考数学 22_第22讲 三角形的中位线、直角三角形斜边上的中线
实战预测 1.如图,DE为△ABC的中位线,点F在DE上,且∠AFB=90°,若AB=6 cm,BC=8 cm,则EF的长为1 cm.
类型二 直角三角形斜边上的中线性质
例2如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,斜边AB=9,D为AB的中点,F为CD上的一点,
且CF= 1 CD,过点B作BE∥DC交AF的延长线于点E,则BE的长为A.
定义:三角形两边中点之间的线段叫做三角ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的中位线
性质
图形语言
文字语言
符号语言
三角形的中位线平行并且等于第 ∵DE是△ABC的中位线,∴DE∥B
三边的一半
1
C,DE= 2 BC
即学即练 1.(2018贵州贵阳,5,3分)如图,在菱形ABCD中,E是AC的中点,EF∥CB,交AB于 点F,如果EF=3,那么菱形ABCD的周长为 ( A )
精讲案·学易
类型一 三角形中位线的性质
例1(2018曲靖)如图,在△ABC中,AB=13,BC=12,点D、E分别是AB、BC的中
点,连接DE、CD,如果DE= 52 ,那么△ACD的周长是18.
命题思路 本题主要考查三角形的中位线的性质、勾股定理的逆定理、直 角三角形斜边上的中线的性质. 失分警示 判断△ABC是直角三角形是本题的解题关键.
A.1∶4 B.1∶3 C.1∶2 D.1∶1
命题点二 直角三角形斜边上的中线性质
3.(2014昆明)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AC=10 cm,点D为AC的中点,则
BD=5cm.
探疑难·知易
易错题如图所示,锐角△ABC中,BE,CF均为高,点M,N分别为BC,EF的中点.求 证:MN⊥EF.
解 (1)证明:∵D、E分别是AB、AC的中点,F是BC延长线上的一点, ∴ED是Rt△ABC的中位线,∴ED∥FC,∴BC=2DE, 又EF∥DC,∴四边形CDEF是平行四边形. (2)由(1)可知DC=EF,DE=CF, ∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线, ∴AB=2DC,∴四边形DCFE的周长=AB+BC, ∵四边形DCFE的周长为25 cm,AC的长为5 cm, ∴BC=25-AB, ∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°, ∴AB2=BC2+AC2,即AB2=(25-AB)2+52,解得AB=13 cm.
中考数学总复习《三角形中位线综合》专题训练(附答案)
中考数学总复习《图形的旋转综合题》专题训练（附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，是边长为的等边三角形，边在射线上，且，点从点出发，沿的方向以的速度运动，当不与点重合是，将绕点逆时针方向旋转得到，连接.（1）求证：是等边三角形；（2）当时，的周长是否存在最小值？若存在，求出的最小周长；若不存在，请说明理由.（3）当点在射线上运动时，是否存在以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由.2．如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，∠A=30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P顺时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．l l l，正方形1234且垂直于于点Ｅ，分别交24,l l于点F，G，1,2===．EF DG DF（1）AE=____，正方形ABCD的边长＝____；（2）如图2，将AEG∠绕点A顺时针旋转得到AE D∠''，旋转角为(090)αα<<，点D'在直线3l'''，使点,B C''分别在直线24,l l上．上，以AD'为边在的E D''左侧作菱形AD C B①写出B AD∠''与α的函数关系并给出证明；'''的边长．②若α=30°，求菱形AD C B5．如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．（1）求证：DE⊥AG；（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，如图2．①在旋转过程中当∠OAG′是直角时，求α的度数；②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．6．(1)如图1，在△ABC中BA=BC，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE=1∠ABC(0°＜∠CBE2（2）类比引申如图2，四边形ABCD中AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系时，仍有EF=BE+DF．（3）联想拓展如图3，在△ABC中∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．8．如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．（1）当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：M为AN的中点；（2）将图1中的△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），求证：△ACN 为等腰直角三角形；（3）将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．9．1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，当ABC的三个内角均小于''，连接如图1，将得到A P C已知当ABC有一个内角大于或等于≥︒，则该三角形的“费马点”为120如图4，在ABC中三个内角均小于为ABC的“费马点”，求PA PB+参考答案：1．解：（1）证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE∴∠DCE=60°，DC=EC∴△CDE是等边三角形；（2）存在，当6＜t＜10时由旋转的性质得，BE=AD∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE由（1）知，△CDE是等边三角形∴DE=CD∴C△DBE=CD+4由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小此时，CD=23cm∴△BDE的最小周长=CD+4=23+4；（3）存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形∴当点D与点B重合时，不符合题意②当0≤t＜6时，由旋转可知，∠ABE=∠CBE-∠ABC=∠CAD-∠ABC=60°，∠BDE＜60°∴∠BED=90°由（1）可知，△CDE是等边三角形∴∠DEC=60°∴∠CEB=30°∵∠CEB=∠CDA∴∠CDA=30°∵∠CAB=60°∴∠ACD=∠ADC=30°∴DA=CA=4∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2∴t=2÷1=2s；③当6＜t＜10s时，由∠DBE=∠CBE+∠ABC=∠CAD+∠ABC=120°＞90°∴此时不存在；④当t＞10s时，由旋转的性质可知，∠DBE=180°-∠CBE-∠ABC=180°-∠CAB-∠ABC=60°又由（1）知∠CDE=60°∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC而∠BDC＞0°∴∠BDE＞60°∴只能∠BDE=90°∴∠BDC=30°∴∠BCD=60°-30°=30°∴∠BDC=∠BCD∴BD=BC=4∴OD=14cm∴t=14÷1=14s综上所述：当t=2或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．2．（1）结论：BQ=CP．理由：如图1中作PH∥AB交CO于H．在Rt△ABC中∵∠ACB=90°，∠A=30°，点O为AB中点∴CO=AO=BO，∠CBO=60°∴△CBO是等边三角形∴∠CHP=∠COB=60°，∠CPH=∠CBO=60°∴∠CHP=∠CPH=60°∴△CPH是等边三角形∴PC=PH=CH，∴OH=PB∵∠OPB=∠OPQ+∠QPB=∠OCB+∠COP∵∠OPQ=∠OCP=60°∴∠POH=∠QPB∵PO=PQ∴△POH≌△QPB∴PH=QB∴PC=BQ．（2）成立：PC=BQ．理由：作PH∥AB交CO的延长线于H．在Rt△ABC中∵∠ACB=90°，∠A=30°，点O为AB中点∴CO=AO=BO，∠CBO=60°∴△CBO是等边三角形∴∠CHP=∠COB=60°，∠CPH=∠CBO=60°∴∠CHP=∠CPH=60°∴△CPH是等边三角形∴PC=PH=CH3．（1）如图1将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′∴△ABP′≌△CBP∴∠PBP′=90°，BP′=BP=2，AP′=CP=3在Rt△PBP′中BP=BP′=2∴∠BPP′=45°，根据勾股定理得，PP′=2BP=22∵AP=1∴AP2+PP′2=1+8=9∵AP′2=32=9∴AP2+PP′2=AP′2∴△APP′是直角三角形，且∠APP′=90°∴∠APB=∠APP′+∠BPP′=90°+45°=135°；（2）如图2将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′在Rt△AED′和Rt△B′MA 中'''B M AE AB AD =⎧⎨=⎩ ∴Rt△AED′≌Rt△B′MA（HL ）∴∠D′AE+∠B′AM=90°∠B′AD′+α=90°∴∠B′AD′=90°﹣α；②过点E 作ON 垂直于l 1分别交l 1，l 2于点O ，N若α=30°，则∠ED′N=60°，AE=1，故EO=，EN=，ED′=533由勾股定理可知菱形的边长为：2584133+=．5．解：（1）如图1，延长ED 交AG 于点H∵点O 是正方形ABCD 两对角线的交点∴OA =OD ，OA ⊥OD∵OG =OE在△AOG 和△DOE 中同理可求∠BOG′=30°∴α=180°−30°=150°．综上所述，当∠OAG′=90°时，α=30°或150°．②如图3，当旋转到A．O、F′在一条直线上时，AF′的长最大∵正方形ABCD的边长为1∴OA=OD=OC=OB=22∵OG=2OD∴OG′=OG=2∴OF′=2∴AF′=AO+OF′=22+2∵∠COE′=45°∴此时α=315°．6．解：（1）∵△BE′A是△BEC按逆时针方向旋转∠ABC得到∴BE′=BE，∠E′BA=∠EBC．∵∠DBE=12∠ABC，∴∠ABD＋∠EBC =12∠ABC．∴∠ABD＋∠E′BA =12∠ABC，即∠E′BD=12∠ABC．∴∠E′BD=∠DBE．在△E′BD和△EBD中∵BE′=BE，∠E’BD=∠DBE，BD=BD ∴△E′BD≌△EBD（SAS）．∴DE′=DE．（2）以点B为旋转中心，将△BEC按逆时针方向旋转∠ABC=90°，得到△BE′A（点C与点A 重合，点E到点E′处），连接DE′．由（1）知DE′=DE．由旋转的性质，知E′A=EC，∠E′ AB=∠ECB．又∵BA=BC，∠ABC=90°，∴∠BAC=∠ACB=45°．∴∠E′AD=∠E′AB＋∠BAC=90°．在Rt△DE′A中DE′2=AD2+E′A2∴DE2=AD2+EC2．7．解：（1）思路梳理∵AB=AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图1∵∠ADC=∠B=90°∴∠FDG=180°，点F、D、G共线则∠DAG=∠BAE，AE=AG，BE=DG∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°-45°=45°=∠EAF 即∠EAF=∠FAG在△EAF和△GAF中AE AG{EAF FAGAF AF=∠=∠=∴△AFG≌△AEF（SAS）．∴EF=FG=DG+DF=BE+DF；故答案为：SAS；△AFG；（2）类比引申∠B+∠ADC=180°时，EF=BE+DF；理由如下：∵AB=AD∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图2所示：∴∠BAE=∠DAG，BE=DG∵∠BAD=90°，∠EAF=45°∴∠BAE+∠DAF=45°∴∠EAF=∠FAG∵∠ADC+∠B=180°∴∠FDG=180°，点F、D、G共线在△AFE和△AFG中,,AE AG FAE FAGAF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AFE≌△AFG（SAS ）∴EF=FG∵FG=DG+DF∴EF=BE+DF故答案为：∠B+∠ADC=180°；（3）联想拓展猜想：DE 2=BD 2+EC 2．理由如下：把△ACE 绕点A 逆时针旋转90°到ABF 的位置，连接DF ，如图3所示：则△ABF≌△ACE，∠FAE=90°∴∠FAB=∠CAE．BF=CE ，∠ABF=∠C∴∠FAE=∠BAC=90°∵∠DAE=45°∴∠FAD=90°-45°=45°∴∠FAD=∠DAE=45°在△ADF 和△ADE 中,AF AE FAD DAE ADAD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADF≌△ADE（SAS ）∴DF=DE∵∠BAC=90°，AB=AC∴∠ABC=∠C=45°∴∠C=∠ABF=45°∴∠DBF=∠ABF+∠ABC=90°∴△BDF 是直角三角形∴BD 2+BF 2=DF 2∴BD 2+EC 2=DE 2．8．（1）证明：如图1∵EN∥AD，∴∠MAD=∠MNE，∠ADM=∠NEM．∵点M 为DE 的中点，∴DM=EM．在△ADM 和△NEM 中∵MAD MNE ADM NEM DM EM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADM≌△NEM（AAS ）． ∴AM=MN．∴M 为AN 的中点．（2）证明：如图2∵△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∴AB=AD，CB=CE，∠CBE=∠CEB=45°．∵AD∥NE，∴∠DAE+∠NEA=180°．∵∠DAE=90°，∴∠NEA=90°．∴∠NEC=135°．∵A，B，E三点在同一直线上，∴∠ABC=180°﹣∠CBE=135°．∴∠ABC=∠NEC．∵△ADM≌△NEM（已证），∴AD=NE．∵AD=AB，∴AB=NE．在△ABC和△NEC中∵AB NEABC NECBC EC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC≌△NEC（SAS）．∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．∴∠ACN=∠BCE=90°．∴△ACN为等腰直角三角形．（3）△ACN仍为等腰直角三角形．证明如下：如图3，此时A、B、N三点在同一条直线上．∵AD∥EN，∠DAB=90°，∴∠ENA=∠DAN=90°．∵∠BCE=90°，∴∠CBN+∠CEN=360°﹣90°﹣90°=180°．∵A、B、N三点在同一条直线上，∴∠ABC+∠CBN=180°．∴∠ABC=∠NEC．∵△ADM≌△NEM（已证），∴AD=NE．∵AD=AB，∴AB=NE．在△ABC和△NEC中∵AB NEABC NECBC EC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC≌△NEC（SAS）．∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．∴∠ACN=∠BCE=90°．∴△ACN 为等腰直角三角形．9．（1）解：∵60PC P C PCP ''=∠=︒，∴PCP '△为等边三角形；∴PP PC '= 60P PC PP C ''∠=∠=︒又P A PA ''=，故PA PB PC PA PB PP A B '''++=++≥由两点之间线段最短可知，当B ，P ，P ' A 在同一条直线上时，PA PB PC ++取最小值 最小值为A B '，此时的P 点为该三角形的“费马点”∴180BPC P PC '∠+∠=︒ 180A P C PP C ∠+∠='''︒∴120BPC ∠=︒ 120A P C ''∠=︒又∵A P C APC ≅''∴120APC AP C '∠=∠=︒∴360120APB APC BPC ∠=︒-∠-∠=︒∴120APC BPC APB ∠=∠=∠=︒；∵120BAC ∠≥︒∴BC AC > BC AB >∴BC AB AC AB +>+ BC AC AB AC +>+∴三个顶点中顶点A 到另外两个顶点的距离和最小．又∵已知当ABC 有一个内角大于或等于120︒时，“费马点”为该三角形的某个顶点． ∴该三角形的“费马点”为点A故答案为：①等边；②两点之间线段最短；③120︒；④A ．（2）将APC △绕，点C 顺时针旋转60︒得到A P C ''，连接PP '2(PA a PB a PC a a PA ++=最小时，总的铺设成本最低 顺时针旋转90︒得到A P C ''，连接PC 90PCP ACA ''∠=∠=︒过点A '作A H BC '⊥，垂足为H∵60ACB ∠=︒ 90ACA '∠=︒∴30A CH '∠=︒∴12km 2A H A C ''==∴22224223(km)HC AC AH =-=-= ∴2323=43(km)BH BC CH =+=+∴2222(43)2213(km)A B AH BH '=+=+= 2PA PB PC ++的最小值为213km 总的铺设成本2(2)=213PA a PB a PC a a PA PB PC a =++=++（元） 故答案为：213a。
中考数学每日一练：三角形中位线定理练习题及答案_2020年解答题版
中考数学每日一练：三角形中位线定理练习题及答案_2020年解答题版答案答案答案2020年中考数学：图形的性质_三角形_三角形中位线定理练习题~~第1题~~(2020长春.中考模拟) 如图，在⊙O 中，点C 为OB 的中点，点D 为弦AB 的中点，连结CD 并延长，交过点A 的切线于点E.求证：AE ⊥CE.考点： 平行线的性质;三角形中位线定理;切线的性质;~~第2题~~(2019丹阳.中考模拟) 在△ABC 中，点D 、E 、F 分别是BC 、AB 、AC 边的中点.求证：△BED ≌△DFC.考点： 三角形全等的判定;三角形中位线定理;~~第3题~~(2019乐陵.中考模拟) 如图，在⊙O 中，C ， D 分别为半径OB ， 弦AB 的中点，连接CD 并延长，交过点A 的切线于点E ．（1） 求证：AE ⊥CE ．（2） 若AE = ，sin ∠ADE = ，求⊙O 半径的长．考点： 勾股定理;三角形中位线定理;~~第4题~~(2019中山.中考模拟) 如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（0，8），点 B （b ，t ）在直线x=b 上运动，点D 、E 、F 分别为OB 、OA 、AB 的中点，其中b 是大于零的常数．答案答案（1） 判断四边形DEFB 的形状．并证明你的结论；（2） 试求四边形DEFB 的面积S 与b 的关系式；（3） 设直线x=b 与x 轴交于点C ，问：四边形DEFB 能不能是矩形？若能．求出t 的值；若不能，说明理由．考点： 三角形中位线定理;矩形的判定与性质;相似三角形的判定与性质;~~第5题~~(2018夷陵.中考模拟) 如图所示，PA 、PB 为⊙O 的切线，M 、N 是PA 、AB 的中点，连接MN 交⊙O 点C ，连接PC 交⊙O 于D，连接ND 交PB 于Q ，求证：MNQP 为菱形．考点： 三角形中位线定理;菱形的判定;切线的性质;相似三角形的判定与性质;2020年中考数学：图形的性质_三角形_三角形中位线定理练习题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：。
中考数学复习三角形的中位线【培优讲练】
9.5 三角形的中位线同步培优讲练综合三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.一、三角形中位线有关的求解问题【例1】如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中点C，D，量得10=，则A，B之间的距离是()CD mA.5m B．10mC．20m D．40m【例2】如图，在ABC∆中，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE，ABC∠的平分线BF交DE于点F，若4AB=，6BC=，则EF的长为．【例3】如图，在四边形ABCD 中，点P 是对角线BD 的中点，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD BC =，30PEF ∠=︒，则EPF ∠的度数是 ．【例4】在ABC 中，120AB AC BAC =∠=︒，，D 为ABC 形内一点，以AD 为腰作等腰DAE ，使DAE BAC ∠=∠，连接BE CD 、，若M N 、分别是DE BC 、的中点，1MN =，则CD 的长为_______．【例5】有一块梯形形状的土地，现要平均分给两个农户种植（即将梯形面积两等分），试设计两种方案，并说明理由．（平分图案画在备用图上，保留作图痕迹）【例6】如图，在ABC ∆中，点D ，E ，F 分别是边AB ，BC ，CA 上的中点，且10AB cm =，16AC cm =，则四边形ADEF 的周长等于 cm ．【例7】如图，四边形ABCD 中，1AB =，4CD =，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，则线段MN 的取值范围是( )A ．35MN <<B ．35MN <C ．3522MN <<D ．3522MN <【例8】如图，Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，6AB =，10BC =，AD 、AE 分别是其角平分线和中线，过点B 作BG AD ⊥于G ，交AC 于F ，连接EG ，则线段EG 的长为（ ）A ．12 B ．1 C ．32 D ．2二、三角形中位线相关的面积问题【例1】如图，在ABC ∆中，D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AD 的中点，若ABC ∆的面积是40，则四边形BDEF 的面积是( )A ．10B ．12.5C ．15D ．20【例2】E 、F 是线段AB 上的两点，且16AB =，2AE =，4BF =，点G 是线段EF 上的一动点，分别以AG 、BG 为斜边在AB 同侧作两个等腰直角三角形，直角顶点分别为D 、C ，如图所示，连接CD 并取中点P ，连接PG ，点G 从E 点出发运动到F 点，则线段PG 扫过的图形面积为______．【例3】如图，在ABC 中，D ，E ，F 分别是BC AD CE ，，的中点，22cm BCF S =，则ABC S =_____2cm【例4】如图，ABC 三边的中线AD ，BE ，CF 的公共点为G ，且:2:1AG GD =，若12ABC S =△，则图中阴影部分的面积是_____．【例5】如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，,E F 分别是,BC AB 的中点，延长CA 到点D ，使得2AC AD =，连接,,,,DE DF AE EF AF 与DE 交于点O ．5,13AB BC ==，求四边形AEFD 的面积．三、与三角形中位线有关的应用和证明【例1】在ABC ∆中，点M 是边BC 的中点，AD 平分BAC ∠，BD AD ⊥，BD 的延长线交AC 于点E ，12AB =，20AC =．（1）求证：BD DE =；（2）求DM 的长．【例2】如图，ABC ∆中，AH BC ⊥于点H ，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，连接DH ，EH ，DE ．（1）求证：AD DH =；（2）若四边形ADHE 的周长是30，ADE ∆的周长是21，求BC 的长．【例3】如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD BC =，20PEF ∠=︒，求PFE ∠的度数．【例4】在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，E 、F 分别是BC 、AC 的中点，延长BA 到点D ，使2AB AD =，连接DE 、DF 、AE 、EF ，AF 与DE 交于点O ．(1)试说明AF 与DE 互相平分；(2)若8AB =，12BC =，求DO 的长．四、梯形中位线【例1】已知一个梯形的中位线长为5cm ，其中一条底边的长为6cm ，那么该梯形的另一条底边的长是 cm ．【例2】如图，已知直角梯形ABCD 的一条对角线把梯形分为一个直角三角形和一个边长为8cm 的等边三角形，则梯形ABCD 的中位线长为( )A. 4cm B ．6cmC ．8cmD ．10cm【例3】如图，梯形ABCD 的两底长为6AD =，10BC =，中位线为EF ，且90B ∠=︒，若P 为AB 上的一点，且PE 将梯形ABCD 分成面积相同的两区域，则EFP ∆与梯形ABCD 的面积比为 ．五、中点四边形【例1】顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，则原四边形一定是( )A ．平行四边形B ．对角线相等的四边形C ．矩形D ．对角线互相垂直的四边【例2】若顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得到的四边形是矩形，则原四边形必定是（ ）A ．正方形B ．对角线相等的四边形C ．菱形D ．对角线互相垂直的四边形【例3】依次连接下列四边形四条边的中点得到四边形不是菱形的是（ ）A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．等腰梯形【例4】如图，四边形ABCD 中，AC a =，BD b =．且AC BD ⊥，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形1111D C B A ，再顺次连接四边形1111D C B A 各边中点，得到四边形2222,A B C D ⋅⋅⋅，如此进行下去，得到四边形n n n n A B C D ．下列结论正确的是（ ）①四边形2222A B C D 是矩形；②四边形4444A B C D 是菱形；③四边形5555A B C D 的周长是4a b+，④四边形n n n n A B C D 的面积是12n ab+．A ．①②③B ．②③④C ．①②D ．②③1、如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，5AC =，12BC =．若D ，E 分别为边AC ，BC 的中点，则DE 的长为( )A ．5B ．5.5C ．6D ．6.52、如图是屋架设计图的一部分，其中30A ∠=︒，点D 是斜梁AB 的中点，BC 、DE 垂直于横梁AC ，16AB m =，则DE 的长为( )A. 8mB ．4mC ．2mD ．6m3、如图，点D 、E 、F 分别是AC 、BC 、AB 中点，且BD 是ABC ∆的角平分线．求证：BE AF =．4．如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于O ，2BD AD =，E ， F ， G 分别是OC ， OD ，AB 的中点，下列结论中：①BE AC ⊥；②四边形BEFG 是平行四边形；③EG GF =；④EA 平分GEF ∠，正确的是（ ）A ．①②B ．①②④C ．①②③D ．②③④5．如图，四边形ABCD 中，对角线AC BD ⊥，且8AC =，4BD =，各边中点分别为1A ，1B ，1C ，1D ，顺次连接得到四边形1111D C B A ；再取各边中点2A ，2B ，2C ，2D ，顺次连接得到四边形2222A B C D ；依此类推，这样得到四边形n n n n A B C D ，则四边形n n n n A B C D 的面积为____．6．已知一个对角线长分别为12cm 和16cm 的菱形，顺次连接它的四边中点得到的四边形的面积是______．7．如图，在ABC 和ABD △中，90ACB ADB ∠=∠=︒，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，若1DE =，则FG =________．8、如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，延长BC 至点D ，使13CD BD =．连接DM 、DN 、MN ．若6AB =，求DN 的长．9．如图，在四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD BC ，的中点．(1)若102430120AB CD ABD BDC ==∠=︒∠=︒，，，，求EF 的长．(2)若90BDC ABD ∠-∠=︒，求证：2224AB CD EF +=．10．已知：如图，四边形ABCD 四条边上的中点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连接EF 、FG 、GH 、HE ，得到四边形(EFGH 即四边形ABCD 的中点四边形)．(1)四边形EFGH 的形状是______，请证明你的结论；(2)当四边形ABCD 的对角线满足______条件时，四边形EFGH 是菱形；(3)你学过的哪种特殊的平行四边形的中点四边形是菱形？请写出一种．11．定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如图1，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，AB AC =，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD AE =，连接DE 、DC ，点M 、P 、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点，且连接PM 、PN ．(1)观察猜想线段PM 与PN ______填（“是”或“不是”）“等垂线段”．(2)ADE 绕点A 按逆时针方向旋转到图2所示的位置，连接BD ，CE ，试判断PM 与PN 是否为“等垂线段”，并说明理由．(3)拓展延伸把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若2DE =，4BC =，请直接写出PM 与PN 的积的最大值．9.5 三角形的中位线同步培优讲练综合三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.一、三角形中位线有关的求解问题【例1】如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中点CD m，则A，B之间的距离是()C，D，量得10B.5m B．10mC．20m D．40m【答案】C【解析】解：点C，D分别是OA，OB的中点，220()AB CD m ∴==，故选：C ．【例2】如图，在ABC ∆中，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，连接DE ，ABC ∠的平分线BF 交DE 于点F ，若4AB =，6BC =，则EF 的长为 ．【答案】1【解析】解：连接AF 并延长交BC 于H ，点D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，//DE BC ∴，132DE BC ==，FH =， 在BFA ∆和BFH ∆中，ABF HBF AFB HFB FA FH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BFA BFH AAS ∴∆≅∆，4BH AB ∴==，AD DB =，AF FH =，122DF BH ∴==， 1EF DE DF ∴=-=，故答案为：1．【例3】如图，在四边形ABCD 中，点P 是对角线BD 的中点，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD BC =，30PEF ∠=︒，则EPF ∠的度数是 ．【答案】120【解析】 解：点P 是对角线BD 的中点，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，12PF BC ∴=，12PE AD =，又AD BC =， PE PF ∴=，30PFE PEF ∴∠=∠=︒，120EPF ∴∠=︒，故答案为：120︒．【例4】在ABC 中，120AB AC BAC =∠=︒，，D 为ABC 形内一点，以AD 为腰作等腰DAE ，使DAE BAC ∠=∠，连接BE CD 、，若M N 、分别是DE BC 、的中点，1MN =，则CD 的长为_______．【答案】2【解析】解：如图，连接BD ，取BD 的中点F ，连接FM FN ，，∵BAC EAD ∠=∠，BAC EAD ∠=∠， ∴BAC BAD EAD BAD ∠-∠=∠-∠，即BAE CAD ∠=∠，在AEB △和ADC △中，AE AD BAE CADAB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AEB ADC SAS ≌（），∴BE CD =，∵M 是ED 的中点，F 是BD 的中点，∴FM 是BED 的中位线， ∴12FM BE =，FM BE ∥，∴DFM EBD ∠=∠， 同理得，1 2FN CD =，FN CD ，FM FN FNB DCB ∴=∠=∠，，∵DFN DBC FNB DBC DCB ∠=∠+∠=∠+∠，∴18012060MFN DFM DFN EBD DBC DCB ∠=∠+∠=∠+∠+∠=︒-︒=︒，∴FMN 是等边三角形，∴1MN FN ==，∴2CD =．故答案为：2．【例5】有一块梯形形状的土地，现要平均分给两个农户种植（即将梯形面积两等分），试设计两种方案，并说明理由．（平分图案画在备用图上，保留作图痕迹）【答案】见解析【解析】解：设梯形上、下底分别为a 、b ，高为h ．方案一：如图1，连接梯形上、下底的中点E 、F ，则()4ABFE EFCD a b h S S +==四边形四边形；方案二：如图2，连接AC ，取AC 的中点E ，连接BE ED 、，则图中的四边形ABED 的面积=梯形ABCD 的面积的一半，∵AE EC =，∴ABE BEC S S =，AED ECD S S =， ∴ABE AED BEC ECD S S S S +=+，∴四边形ABED 的面积=梯形ABCD 的面积的一半．方案三：如图3，分别量出梯形上、下底a 、b 的长，在下底BC 上截取2a b BE +=，连接AE ， ∴()1•24ABE a b h S BE h +==，()()()244ABE AECD ABCD a b h a b h a b h S S S +++=-=-=四边形梯形，则()4ABE AECD a b h S S +==四边形．【例6】如图，在ABC ∆中，点D ，E ，F 分别是边AB ，BC ，CA 上的中点，且10AB cm =，16AC cm =，则四边形ADEF 的周长等于 cm ．【答案】26【解析】解：点D ，E ，F 分别是边AB ，BC ，CA 上的中点，DE ∴，EF 都是ABC ∆的中位线，182DE AC cm ∴==，//DE AC ，152EF AB cm ==，//EF AB ， ∴四边形ADEF 是平行四边形，∴四边形ADEF 的周长2()21326()DE EF cm =+=⨯=．故答案为：26．【例7】如图，四边形ABCD 中，1AB =，4CD =，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，则线段MN 的取值范围是( )A ．35MN <<B ．35MN <C ．3522MN <<D ．3522MN < 【答案】D【解析】解：连接AC ，取AC 的中点H ，连接MH 、NH ，M 、H 分别是AD 、AC 的中点，122MH CD ∴==， 同理可得，1122NH AB ==， 在MHN ∆中，MH NH MN MH NH -<<+，即3522MN <<， 当H 在MN 上时，52MN MH NH =+=，∴3522MN <， 故选：D ．【例8】如图，Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，6AB =，10BC =，AD 、AE 分别是其角平分线和中线，过点B 作BG AD ⊥于G ，交AC 于F ，连接EG ，则线段EG 的长为（ ）A ．12 B ．1 C ．32 D ．2【答案】B【解析】解：Rt ABC △中，6AB =，10BC =，∴8AC ==，∵BG AD ⊥，∴AGB AGF ∠=∠．∵AD 平分BAC ∠，∴BAG FAG ∠=∠， 在AGB 和AGF 中BAG FAG AG AGAGB AGF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴AGB AGF ≌∴6,AB AF BG FG ===，∴2CF =，∵AE 是ABC 的中线，∴BE CE =，∴EG 是BCF △的中位线，∴112EG CF ==，故选：B ．二、三角形中位线相关的面积问题【例1】如图，在ABC ∆中，D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AD 的中点，若ABC ∆的面积是40，则四边形BDEF 的面积是( )A ．10B ．12.5C ．15D ．20 【答案】C【解析】解：D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AD 的中点，12ADE ADC S S ∆∆∴=，12ADC ABC S S ∆∆=，12DEF ADE S S ∆∆=， 1140588DEF ABC S S ∆∆∴==⨯=， D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AD 的中点，11402022ABD ABC S S ∆∆∴==⨯=， 11201022BDF ADB S S ∆∆∴==⨯=， ∴四边形BDEF 的面积15BDF DEF S S ∆∆=+=，故选：C ．【例2】E 、F 是线段AB 上的两点，且16AB =，2AE =，4BF =，点G 是线段EF 上的一动点，分别以AG 、BG 为斜边在AB 同侧作两个等腰直角三角形，直角顶点分别为D 、C ，如图所示，连接CD 并取中点P ，连接PG ，点G 从E 点出发运动到F 点，则线段PG 扫过的图形面积为______．【答案】30【解析】解：分别延长AD 、BC 相交于点H ，连接PH ，EH ，FH ，∵ADG △、GCB △为等腰直角三角形，∴45DGA CGB A B ∠=∠=∠=∠=︒，∴90DGC ∠=︒，∴AH GC ∥，又∵90HCG ∠=︒，∴90HCG DGC ∠=∠=︒，∴DG HB ∥，∴四边形DGCH 为矩形，∵点P 为DC 中点，∴点G 、P 、H 三点共线，且P 为HG 的中点，过P 作MN AB ∥分别交EH 、FH 与M 、N ，∴MN 为HEF 的中位线，且MN 即为点P 的运动轨迹， ∴GP 扫过的图形即为梯形MEFN ，∵16AB =，2AE =，4BF =，∴162410EF =--=， ∴152MN EF ==，过点H 作HO 垂直AB 于O ，∵45A B ∠=∠=︒，∴AH BH =，180454590AHB ∠=︒-︒-︒=︒， ∴182HO AO BO AB ====，∵MN 为HEF 的中位线， ∴118422PO HO ==⨯=，即梯形的高为4， ∴()14105302MEFN S =⨯⨯+=梯形，即线段PG 扫过的图形面积为30．故答案为：30．【例3】如图，在ABC 中，D ，E ，F 分别是BC AD CE ，，的中点，22cm BCF S =，则ABC S =_____2cm【答案】8【解析】解：如图，连接BE ，∵E 是AD 的中点， ∴12ABE ABD S S =△△，12ACE ACD S S =， ∴()11112222ABE ACE ABD ACD ABD ACD ABC S S S S S S S +++===， ∴12CBE ABC S S =，∵F 是CE 的中点， ∴1124FBC EBC ABC S S S ==， 而22cm BCF S =， ∴28cm ABC S =． 故答案为：8．【例4】如图，ABC 三边的中线AD ，BE ，CF 的公共点为G ，且:2:1AG GD =，若12ABC S =△，则图中阴影部分的面积是_____．【答案】4【解析】解：∵ABC 的三条中线AD ，BE ，CF 交于点G ，:2:1AG GD =，∴AE CE =， ∴13CGE AGE ACF S S S ==△△△，13BGF BGD BCF S S S ==，∵1112622ACF BCF ABC S S S ===⨯=△△△，∴231316CGE ACF S S ==⨯=，231316BGF BCF S S ==⨯=， ∴4CGE BGF S S S +==阴影．故答案为：4．【例5】如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，,E F 分别是,BC AB 的中点，延长CA 到点D ，使得2AC AD =，连接,,,,DE DF AE EF AF 与DE 交于点O ．5,13AB BC ==，求四边形AEFD 的面积．【答案】15【解析】解：∵,E F 分别是,BC AB 的中点，∴EF 是ABC 的中位线，∴EF AC ∥，2AC EF =，∵2AC AD =，∴AD EF =，又∵AD EF ∥，∴四边形ADFE 是平行四边形，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，5,13AB BC ==，∴12AC =，162EF AC AD ===， ∴1522AF AB ==， ∴56152ADFE S AD AF ==⨯=⨯平行四边形．与三角形中位线有关的应用和证明【例1】在ABC ∆中，点M 是边BC 的中点，AD 平分BAC ∠，BD AD ⊥，BD 的延长线交AC 于点E ，12AB =，20AC =．（1）求证：BD DE =；（2）求DM 的长．【答案】见解析【解析】（1）证明：AD 平分BAC ∠，BAD DAE ∴∠=∠．AD BD ⊥，90ADB ADE ∴∠=∠=︒．在ADB ∆与ADE ∆中，BAD EAD AD ADADB ADE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ADB ADE ∴∆≅∆，BD DE ∴=．（2）ADB ADE ∆≅∆，12AE AB ∴==，8EC AC AE ∴=-=． M 是BC 的中点，BD DE =，142DM EC ∴==． 【例2】如图，ABC ∆中，AH BC ⊥于点H ，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，连接DH ，EH ，DE ．（1）求证：AD DH =；（2）若四边形ADHE 的周长是30，ADE ∆的周长是21，求BC 的长．【答案】见解析【解析】解：（1）AH BC ⊥，90AHB ∴∠=︒，点D 是AB 的中点，12AD DH AB ∴==； （2）AH BC ⊥，90AHB AHC ∴∠=∠=︒，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，12AD DH AB ∴==，12AE HE AC ==， 四边形ADHE 的周长是30，130152AD AE ∴+=⨯=， ADE ∆的周长是21，21156DE ∴=-=，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，DE ∴是ABC ∆的中位线，212BC DE ∴==．【例3】如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD BC =，20PEF ∠=︒，求PFE ∠的度数．【答案】20【解析】解：P 是BD 的中点，E 是AB 的中点，PE ∴是ABD ∆的中位线，12PE AD ∴=， 同理，12PF BC =， AD BC =，PE PF ∴=，20PFE PEF ∴∠=∠=︒．【例4】在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，E 、F 分别是BC 、AC 的中点，延长BA 到点D ，使2AB AD =，连接DE 、DF 、AE 、EF ，AF 与DE 交于点O ．(1)试说明AF 与DE 互相平分；(2)若8AB =，12BC =，求DO 的长．【答案】(1)见解析 【解析】（1）∵E 、F 分别是BC 、AC 的中点，∴EF 是ABC 的中位线，∴EF AB ∥且12EF AB =．又2AB AD =，即12AD AB =， ∴AD EF ，AD EF =，∴四边形AEFD 是平行四边形，∴AF 与DE 互相平分；（2）∵在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，8AB =，12BC =，∴由勾股定理得AC又由（1）知，OA OF =，且AF CF =，∴14OA AC =∴在AOD △中，90DAO ∠=︒，142AD AB ==，OA∴由勾股定理得 DO ==三、梯形中位线【例1】已知一个梯形的中位线长为5cm ，其中一条底边的长为6cm ，那么该梯形的另一条底边的长是 cm ．【答案】4【解析】解：设梯形的另一条底边为xcm ，由题意得：625x +=⨯，解得4x =．即梯形的另一条底边的长为4cm ．故答案为：4．【例2】如图，已知直角梯形ABCD 的一条对角线把梯形分为一个直角三角形和一个边长为8cm 的等边三角形，则梯形ABCD 的中位线长为( )B. 4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm【答案】B【解析】解：DBC ∆是等边三角形，8DB DC BC cm ∴===，60DBC ∠=︒，90ABC ∠=︒，30ABD ∴∠=︒，90A ∠=︒，142AD BD cm ∴==，∴梯形ABCD 的中位线是11()(48)622AD BC cm cm cm +=⨯+=， 故选：B ．【例3】如图，梯形ABCD 的两底长为6AD =，10BC =，中位线为EF ，且90B ∠=︒，若P 为AB 上的一点，且PE 将梯形ABCD 分成面积相同的两区域，则EFP ∆与梯形ABCD 的面积比为 ．【答案】1：16【解析】 解：梯形ABCD 的两底长为6AD =，10BC =，11()(610)822EF AD BC ∴=+=⨯+=，()()11610822ABCD S AD BC AB AB AB ∴=+⨯=⨯+⨯=梯形．()()1117682242AFED S AD EF AB AB AB =+⨯=+⨯=梯形，1714222EFP ABCD AFED S S S AB AB AB ∆∴=-=-=梯形梯形，1::81:162EFP ABCD S S ∆∴==梯形．故答案为：1:16．四、中点四边形【例1】顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，则原四边形一定是() A ．平行四边形 B ．对角线相等的四边形C ．矩形D ．对角线互相垂直的四边【答案】B【解析】 解：四边形EFGH 是菱形，1122EH FG EF HG BD AC ∴=====，故AC BD =．故选：B ．【例2】若顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得到的四边形是矩形，则原四边形必定是（）A ．正方形B ．对角线相等的四边形C ．菱形D ．对角线互相垂直的四边形【答案】D【解析】 解：如图， 四边形EFGH 是矩形90FEH ∴∠=︒点E 、F 的分别是AD 、AB 的中点EF ∴是ABD ∆的中位线EF BD ∴∥90FEH OMH ∴∠=∠=︒点E 、H 的分别是AD 、CD 的中点EH ∴是ACD ∆的中位线EH AC ∴90OMH COB ∴∠=∠=︒AC BD ∴⊥．故选：D【例3】依次连接下列四边形四条边的中点得到四边形不是菱形的是（ ）A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．等腰梯形【答案】B【解析】解：如图所示，依次连接四边形四条边的中点，∵矩形ABCD ，∴AB CD ，AD BC ∥，AB CD =，AD BC =，且点E ，F ，G ，H 分别为四边的中点，∴AEF BGF CGH DEH △≌△≌△≌△， ∴EF GF GH EH ===，∴EFGH 是菱形；∴A 选项不符合题意；如上图所示，由A 选项结论得菱形EFGH ，点O ，P ，Q ，R 分别为四边的中点，∴EO OF FP PG QG QH HR ER =======，且菱形的对角相等，∴(SAS)EOR GPQ △≌△，(SAS)OFP HQR △≌△，∴OR PQ =，OP QR =，∴四边形OPRQ 是平行四边形，不一定是菱形；∴B 选项符合题意；如下图所示，正方形ABCD ，点E ，F ，G ，H 分别为四边的中点，∴AE AF FB BG GC CH HD DE =======，且90A B C D ∠=∠=∠=∠=︒，∴AEF BGF CGH DEH △≌△≌△≌△， ∴EF GF GH EH ===，∴EFGH 是菱形；∴C 选项不符合题意；如下图所示，等腰梯形ABCD ，点E ，F ，G ，H 分别为四边的中点，∴AE DE =，AF DH =，A D ∠=∠，∴(SAS)AEF DEH △≌△，∴EF EH =，同理可得，FG GH =，连接AC ，在ACD ，ACB △中，点E ，F ，G ，H 分别为四边的中点，根据三角形的中位线的性质可知，FG AC ，12FG AC =，EH AC ，12EH AC =，∴FG EH =，FG EH ∥，∴四边形EFGH 是平行四边形，又∵EF EH =，FG GH =，∴EFGH 是菱形；∴D 选项不符合题意．故选：B ．【例4】如图，四边形ABCD 中，AC a =，BD b =．且AC BD ⊥，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形1111D C B A ，再顺次连接四边形1111D C B A 各边中点，得到四边形2222,A B C D ⋅⋅⋅，如此进行下去，得到四边形n n n n A B C D ．下列结论正确的是（ ）①四边形2222A B C D 是矩形；②四边形4444A B C D 是菱形；③四边形5555A B C D 的周长是4a b+，④四边形n n n n A B C D 的面积是12n ab+．A ．①②③B ．②③④C ．①②D ．②③【答案】B【解析】解：①连接A 1C 1，B 1D 1．∵在四边形ABCD 中，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1，∴A 1D 1∥BD ，B 1C 1∥BD ，C 1D 1∥AC ，A 1B 1∥AC ；∴A 1D 1∥B 1C 1，A 1B 1∥C 1D 1，∴四边形A 1B 1C 1D 1是平行四边形；∵AC ⊥BD ，∴四边形A 1B 1C 1D 1是矩形，∴B 1D 1=A 1C 1（矩形的两条对角线相等）；∴A 2D 2=C 2D 2=C 2B 2=B 2A 2（中位线定理），∴四边形A 2B 2C 2D 2是菱形；故①错误；②由①知，四边形A2B2C2D2是菱形；∴根据中位线定理知，四边形A4B4C4D4是菱形；故②正确；③根据中位线的性质易知，A 5B 5=12A 3B 3=1122⨯A 1B 1=111222⨯⨯AC ， B 5C 5=12B 3C 3=1122⨯B 1C 1=111222⨯⨯BD ， ∴四边形A 5B 5C 5D 5的周长是()1284a b a b +⨯+=故③正确；④∵四边形ABCD 中，AC=a ，BD=b ，且AC ⊥BD ，∴S 四边形ABCD=12ab ； 由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，四边形AnBnCnDn 的面积是12n ab+故④正确；综上所述，②③④正确．故选：B ．1、如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，5AC =，12BC =．若D ，E 分别为边AC ，BC 的中点，则DE 的长为( )A ．5B ．5.5C ．6D ．6.5【答案】D【解析】解：90C ∠=︒，5AC =，12BC =，13AB ∴=，AD DC =，CE EB =，1 6.52DE AB ∴==， 故选：D ．2、如图是屋架设计图的一部分，其中30A ∠=︒，点D 是斜梁AB 的中点，BC 、DE 垂直于横梁AC ，16AB m =，则DE 的长为( )B. 8mB ．4mC ．2mD ．6m 【答案】B【解答】解：30A ∠=︒，16AB m =，1116822BC AB m ∴==⨯=， BC 、DE 垂直于横梁AC ，//BC DE ∴，点D 是斜梁AB 的中点，118422DE BC m ∴==⨯=． 故选：B ．3、如图，点D 、E 、F 分别是AC 、BC 、AB 中点，且BD 是ABC ∆的角平分线．求证：BE AF =．【答案】见解析【解析】【解答】证明：连接DE ，点D 、E 、F 分别是AC 、BC 、AB 中点．//DE AB ∴，//EF AC ，∴四边形ADEF 是平行四边形，AF DE ∴=， BD 是ABC ∆的角平分线，ABD DBE ∴∠=∠，DBE BDE ∴∠=∠，BE DE ∴=，BE AF ∴=．4．如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于O ，2BD AD =，E ， F ， G 分别是OC ，OD ，AB 的中点，下列结论中：①BE AC ⊥；②四边形BEFG 是平行四边形；③EG GF =；④EA 平分GEF ∠，正确的是（ ）A ．①②B ．①②④C ．①②③D ．②③④【答案】B【解析】解：如图，四边形ABCD 是平行四边形BO DO ∴==12BD ，AD BC =，AB CD =，又2BD AD =，OB BC OD DA ∴===，且点E 是OC 中点，BE AC ∴⊥，故①正确，E 、F 分别是OC 、OD 的中点，∴EF CD ∥，EF =12CD ，点G 是Rt ABE △斜边AB 上的中点，GE ∴=12AB AG BG ==EG EF AG BG ∴===，无法证明GE GF =，故③错误，BG EF =，BG EF CD ∥∥∴四边形BEFG 是平行四边形故②正确，EF CD AB ∥∥，BAC ACD AEF ∠∠∠∴==，AG GE =，GAE AEG ∠∠∴=，EF CD ∥AEF ACD ∴∠=∠,AB CD ∥，GAE ACD ∴∠=∠，AEG AEF ∠∠∴=，AE ∴平分GEF ∠，故④正确；故选：B ．5．如图，四边形ABCD 中，对角线AC BD ⊥，且8AC =，4BD =，各边中点分别为1A ，1B ，1C ，1D ，顺次连接得到四边形1111D C B A ；再取各边中点2A ，2B ，2C ，2D ，顺次连接得到四边形2222A B C D ；依此类推，这样得到四边形n n n n A B C D ，则四边形n n n n A B C D 的面积为____．【答案】162n【解析】∵四边形ABCD 中，对角线AC BD ⊥，且8AC =，4BD = ∴11841622=⨯⨯=⨯⨯=ABCD S AC BD∵中点四边形的面积是原四边形面积的一半 ∴11111162==⨯A B C D ABCD S S222221162==⨯A B C D ABCD S S 以此类推，1161622==⨯=n n n n A B C D ABCD n n S S6．已知一个对角线长分别为12cm 和16cm 的菱形，顺次连接它的四边中点得到的四边形的面积是______．【答案】48【解析】解：E 、F 、G 、H 分别为各边中点，EF GH AC ∴∥∥，2EF GH AC ==，12EH FG BD ==，EH FG BD ∥∥，DB AC ⊥， EF EH ∴⊥，∴四边形EFGH 是矩形， 16cm 2EH BD ==，18cm 2EF AC ==，∴矩形EFGH 的面积26848cm EH EF =⨯=⨯=，故答案为：248cm ．7．如图，在ABC 和ABD △中，90ACB ADB ∠=∠=︒，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，若1DE =，则FG =________．【答案】1【解析】解：Rt ABC 中，点E 是AB 的中点，1DE =，22AB DE ∴==，点F 、G 分别是AC 、BC 中点， ∴112FG AB ==，故答案为：18、如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，延长BC 至点D ，使13CD BD =．连接DM 、DN 、MN ．若6AB =，求DN 的长．【答案】3【解析】解：连接CM ，90ACB ∠=︒，M 是AB 的中点，132CM AB ∴==， M 、N 分别是AB 、AC 的中点，12MN BC ∴=，//MN BC ， 13CD BD =，MN CD ∴=，又//MN BC ，∴四边形NDCM 是平行四边形，3DN CM ∴==．9．如图，在四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD BC ，的中点．(1)若102430120AB CD ABD BDC ==∠=︒∠=︒，，，，求EF 的长．(2)若90BDC ABD ∠-∠=︒，求证：2224AB CD EF +=．【答案】（1）13 （2）见解析【解析】（1）如图，取BD 的中点P ，连接EP FP 、，∵E ，F 分别是AD BC 、的中点，1024AB CD ==，，∴PE AB ∥，且152PE AB ==，PF CD ∥，且1122PF CD ==．又∵30120ABD BDC ∠=︒∠=︒，，∴3018060EPD ABD DPF BDC ∠=∠=︒∠=︒-∠=︒，，∴90EPF EPD DPF ∠=∠+∠=︒．在Rt EPF中，13EF ===．（2）证明：如图，取BD 的中点P ，连接EP FP 、．∵E ，F 分别是AD BC 、的中点，∴PE AB ，且12PE AB =，PF CD ∥，且12PF CD =．∴180EPD ABD DPF BDC ∠=∠∠=︒-∠，．∵90BDC ABD ∠-∠=︒，∴90∠=︒+∠BDC ABD ，∴180EPF EPD DPF ABD BDC ∠=∠+∠=∠+︒-∠180(90)90ABD ABD =∠+︒-︒+∠=︒， ∴222221122PE PF AB CD EF ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴2224AB CD EF +=．10．已知：如图，四边形ABCD 四条边上的中点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连接EF 、FG 、GH 、HE ，得到四边形(EFGH 即四边形ABCD 的中点四边形)．(1)四边形EFGH 的形状是______，请证明你的结论；(2)当四边形ABCD 的对角线满足______条件时，四边形EFGH 是菱形；(3)你学过的哪种特殊的平行四边形的中点四边形是菱形？请写出一种．【答案】(1)平行四边形．证明见解析(2)AC BD =；(3)矩形的中点四边形是菱形．【解析】（1）四边形EFGH 的形状是平行四边形．理由如下：如图1，连接BD ．E 、H 分别是AB 、AD 中点，EH BD ∴∥，12EH BD =，同理FG BD ∥，12FG BD =，EH FG ∴∥，EH FG =，∴四边形EFGH 是平行四边形；故答案为：平行四边形；（2）当四边形ABCD 的对角线满足AC BD =的条件时，四边形EFGH 是菱形．理由如下： 如图2，连接AC 、BD ．E 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 四条边上的中点，EH BD ∴∥，HG AC ∥，1=2EH BD ，12HG AC =，AC BD =，EH HG ∴=， 又四边形EFGH 是平行四边形∴平行四边形EFGH 是菱形；故答案为：AC BD =；（3）矩形的中点四边形是菱形．理由如下：连接AC 、BD ．E 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 四条边上的中点，EH BD ∴∥，HG AC ∥，FG BD ∥，EF AC ∥，12FG EH BD ==，12EF HG AC ==，四边形ABCD 是矩形，AC BD ∴=，EH BD HG AC ===，∴四边形EFGH 是菱形．11．定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如图1，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，AB AC =，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD AE =，连接DE 、DC ，点M 、P 、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点，且连接PM 、PN ．(1)观察猜想线段PM 与PN ______填（“是”或“不是”）“等垂线段”．(2)ADE 绕点A 按逆时针方向旋转到图2所示的位置，连接BD ，CE ，试判断PM 与PN 是否为“等垂线段”，并说明理由．(3)拓展延伸把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若2DE =，4BC =，请直接写出PM 与PN 的积的最大值．【答案】】(1)是(2)是，答案见解析(3)92【解析】（1）解：线段PM 与PN 是“等垂线段”．理由如下：∴12MP EC =，12PN BD =，∵AB AC =，AD AE =，∴AB AD AC AE -=-，即BD CE =，∴MP PN =．∵点M 、P 、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点，∴MP EC ∥，PN BD ∥，∵在Rt ABC △中，90A ∠=，AB AC =，∴45B ACB ∠=∠=︒，∴45ACD DCB ∠=︒-∠，180135BDC B DCB DCB ∠=︒-∠-∠=︒-∠，∵MP EC ∥，PN BD ∥，∴45MPD ACD DCB ∠=∠=︒-∠，()180********DPN BDC DCB DCB ∠=︒-∠=︒-︒-∠=︒+∠， ∴454590MPD DPN DCB DCB ∠+∠=︒-∠+︒+∠=︒，∴MP PN ⊥，即线段PM 与PN 是“等垂线段”，故答案为：是．（2）解：线段PM 与PN 是“等垂线段”，理由如下：∵ADE 绕点A 按逆时针方向旋转到图2所示的位置，∴AD AE =，=90DAE ∠︒，∵90BAC ∠=︒，∴BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠，即BAD CAE ∠=∠，在ABD △与ACE △中，∵AB AC BAD CAE DA EA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()SAS ABD ACE △≌△， ∴BD CE =，∴12MP EC =，12PN BD =，∵BD CE =，∴MP PN =．∵点M 、P 、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点，∴MP EC ∥，PN BD ∥，∵在Rt ABC △中，90BAC ∠=，AB AC =，∴45ABC ACB ∠=∠=︒，∴45ACD DCB ∠=︒-∠，45DBC ABD ∠=︒-∠，()180********BDC DBC DCB ABD DCB ABD DCB ∠=︒-∠-∠=︒-︒-∠-∠=︒+∠-∠ ∵MP EC ∥，PN BD ∥，∴MPD ECD ECA ACD ∠=∠=∠+∠，∵()SAS ABD ACE △≌△，∴ABD ACE ∠=∠，即MPD ECD ABD ACD ∠=∠=∠+∠()18018045DPN BDC ABD DCB ABD DCB ∠=︒-∠=︒-︒+∠-∠=︒-∠+∠， ∴45454590MPD DPN ABD ACD ABD DCB ∠+∠=∠+∠+︒-∠+∠=︒+︒=︒， ∴MP PN ⊥．∵MP PN =，MP PN ⊥．故线段PM 与PN 是“等垂线段”．（3）解：由（2）可知，MP PN =，MP PN ⊥， 故222MN PM PN PM ⨯==， 当MN 取最大值时，PM 与PN 的积有最大值．∵把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，∴当N 、A 、M 三点共线，且点A 在NM 之间时，MN 取最大值．∴此时MN NA AM =+．∵在Rt ABC △中，90BAC ∠=，AB AC =，4BC =，N 为BC 的中点， ∴122NA BC ==， 同理可得，112MA DE ==， ∴MN 的最大值为3，PM 与PN 的积有最大值92．。
中考数学总复习《三角形中位线定理》练习题(含答案)
三角形中位线定理一 、选择题1.如图，四边形ABCD 中，E F ，分别是边AB CD ，的中点，则AD BC ，和EF 的关系是（ ）A ．2AD BC EF +>B ．2AD BC EF +≥C ．2AD BC EF +< D ．2AD BC EF +≤二 、填空题2.如图，△ABC 的周长为64，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，A ′、B ′、C ′分别为EF 、EG 、GF 的中点，△A ′B ′C ′的周长为_________．如果△ABC 、△EFG 、△A ′B ′C ′分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n 个三角形的周长是__________________．3.已知如图，四边形ABCD 中，90ABC ADC ∠=∠=︒，E F 、分别是AC BD 、的中点，如果2612AC BF ==，，则EF = ．4.如图，ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，CE AD ⊥于E ，M 为BC 的中点，14cm AB =，10cm AC =，则ME 的长为 ．A BD F ECFEDCB A5.已知：如图，△ABC 中，D 是BC 边的中点，AE 平分∠BAC ，BE ⊥AE 于E 点，若AB ＝5，AC ＝7，则ED= ．三 、解答题6.已知：△ABC 的中线BD 、CE 交于点O ，F 、G 分别是OB 、OC 的中点．求证：四边形DEFG 是平行四边形．7.已知：如图，AD BC ⊥于D 点，2B C ∠=∠，CE EB =，求证：2AB DE =．8.已知：如图，E 为□ABCD 中DC 边的延长线上的一点，且CE ＝DC ，连结AE 分别交BC 、BD 于点F 、G ，连结AC 交BD 于O ，连结OF ．求证：AB ＝2OF ．M ED CBAE D C BA9.已知：如图，四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形．10.已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，E 、F 分别是DC 、AB 边的中点，FE的延长线分别与AD 、BC 的延长线交于H 、G 点．求证：∠AHF ＝∠BGF ．11.已知：如图，在□ABCD 中，E 是CD 的中点，F 是AE 的中点，FC 与BE 交于G ．求证：GF ＝GC ．12.如图在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 上的点，且BD ＝CE ，M 、N 分别是BE 、CD 的中点．过MN 的直线交AB 于P ，交AC 于Q ，线段AP 、AQ 相等吗?为什么?HGF EDC BA三角形中位线定理答案解析一 、选择题1.B ；连结BD ，取BD 的中点P ，连结FP EP ，，由三角形的中位线可知选B二 、填空题2.16；11642n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭3.54.2；延长CE 交AB 于点N ．利用中位线的性质和直角三角形斜边中线可得()14102cm 2-=．5.1；延长BE 交AC 于点G ，故2GC ED =，1ED =三 、解答题6.∵12ED BC ED BC =∥，，12FG BC FG BC =∥，，∴ED FG ED FG =，∥ 7.取AB 边中点F ，连接EF ，DF ，∵DF BF B FDB =∠=∠，， ∴2FDB C ∠=∠，∴AC EF ∥，∴ACE FEB ∠=∠，∴2FDB FEB ∠=∠,故2DE DF AB DE ==， 【解析】利用斜边中线与三角形中位线8.∵ABF CEF ≌△△，BF CF =，12OF AB =9.连接BD ，通过中位线就能证明四边形EFGH 是平行四边形10.∵取AC 中点P ，连接EP FP 、，故1122EP AD PF BC AD BC EP FP ====，，，，EP AH ∥，∴∠AHF =PEF ∠，PF BH ∥，PFH BGF ∠=∠∴∠AHF ＝∠BGFC E FPD B AE NM D C B A11.∵取BE 中点P ，连接FP ，12PF AB PF AB =∥，，故四边形EFPC 为平行四边形，故GF ＝GC12.取BC 中点F ，连接MF NF 、，得到NF AB MF AC ∥，∥又12MF EC =、12NF BD =，∴APN FNP FMQ AQP ∠=∠∠=∠，，AP AQ = PHGF ED CB A。
专题07 三角形中的中位线与中垂线模型--2024年中考数学核心几何模型重点突破(学生版)
专题07三角形中的中位线与中垂线模型【模型1】三角形中位线如图，已知D 、E 分别为AB 、AC 的中点，根据三角形中位线的性质，可得BC DE BC DE 21,//=且,根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，可得ABC ADE S S ∆∆=41。
【模型2】梯形中位线如图，已知CD AB //，E、F 分别为梯形两腰AD、BC 的中点，根据梯形中位线的性质，可得)(21,////CD AB EF EF CD AB +=且,【模型拓展1】常见的中位线辅助线作法如图，在ABC ∆中，已知点D 为AB 的中点，通常情况下，过点D 作BC DE //，可知DE 为ABC ∆的中位线。
【模型拓展2】常见的中位线辅助线作法如图，在ABC ∆中，已知点D 为AB 的中点，通常情况下，过点D 作BC DE //，可知BC 为ADE ∆的中位线。
【模型3】中垂线模型如图，已知直线l 是AB 的垂直平分线，点A 是直线l 上的一点，连接AB、AC,根据线段垂直平分线的性质可得AB=AC。
【例1】已知：ABC ∆中，D 为BC 的中点，AG 平分,BAC CG AG ∠⊥于G ，连结DG ，若6,4AB AC ==，求DG 的长．【例2】如图，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，点E 、F 分别为边BC 、DC 的中点，连接EF ，求证：3EF BE ．【例3】已知：如图，在△ABC中，D在边AB上．（1）若∠ACD=∠ABC，求证：AC2=AD·AB；（2）若E为CD中点，∠ACD=∠ABE，AB=3，AC=2，求BD的长．一、单选题1．如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，点E是BC边的中点，1OE ，则AB 的长是（）A．1B．2C．3D．42．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若OE=2cm，则AB的长为（）A．4cm B．8cm C．2cm D．6cm3．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，若DE=4，则BC等于（）A ．2B ．4C ．8D ．104．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，AE 平分BAD ∠交BC 于点.E 点F ，G 分别是AD ，AE 的中点，则FG 的长为（）A ．32B 10C ．4D ．5二、填空题5．如图，已知在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是AC 延长线上的一点，AD ＝24，点E 是BC 上一点，BE ＝10，连接DE ，M 、N 分别是AB 、DE 的中点，则MN ＝____．6．如图，在四边形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、AD 的中点，BC=5，CD=3，EF=2，∠AFE=45°，则∠ADC 的度数为________．7．梯形ABCD 中，AB CD ，点E ，F ，G 分别是BD ，AC ，DC 的中点，已知：两底差是3，两腰的和是6，则△EFG 的周长是______________．8．如图，正方形ABCD 的边长为2，点E ，点F 分别是边BC ，边CD 上的动点，且BE ＝CF ，AE 与BF 相交于点P ．若点M 为边BC 的中点，点N 为边CD 上任意一点，则MN +PN 的最小值等于_____．9．如图，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AB =OB ，E 为AC 上一点，BE 平分∠ABO ，EF ⊥BC 于点F ，∠CAD =45°，EF 交BD 于点P ，BP 5BC 的长为_______．10．如图，梯形ABCD 中，90D ∠=︒，AB CD ，将线段CB 绕着点B 按顺时针方向旋转，使点C 落在CD 延长线上的点E 处．联结AE 、BE ，设BE 与边AD 交于点F ，如果4AB =，且12AEF ABF S S =△△，那么梯形ABCD 的中位线等于______．11．如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，2BD AD =，E ，F ，G 分别是OC ，OD ，AB 的中点．下列结论正确的是__________．（填序号）①EG EF =；②EFG GBE ≌△△；③EA 平分GEF ∠；④FB 平分EFG Ð；⑤四边形BEFG 是菱形．12．如图，三角形纸片ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，BF =2，CF =6，将这张纸片沿直线DE 翻折，点A 与点F 重合．若DE ∥BC ，BF =DF ，则△ADE 的面积为_____．三、解答题13．如图，在四边形ABCD 中，AD BC =，E 、F 分别是边DC 、AB 的中点，FE 的延长线分别AD 、BC 的延长线交于点H 、G ，求证：AHF BGF ∠=∠．14．如图所示，ABC ∆中，90BAC ∠=︒，延长BA 到D ，使12AD AB =，点E 是AC 的中点，求证：2BC DE =.15．如图，已知菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于点E ，DE =4cm ，∠A =45°，求菱形ABCD 的面积和梯形DEBC 的中位线长（精确到0.1cm ）16．如图，已知在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC 与BD 的交点，OE 是△ABC 的中位线，连接AE 并延长，与DC 的延长线相交于点F ，且AF =AD ，连接BF .证明四边形ABFC 为矩形17．已知：如图，在等边ABC ∆中，060ADE ∠=，且DE 交ABC ∆外角平分线CE 于点E .（1）当点D 为BC 中点时，试说明AD 与DE 的数量关系；（2）当点D 不是BC 中点时，试说明AD 与DE 的数量关系.18．ABC 中，BC=4，AC=6，∠ACB=m°，将ABC 绕点A 顺时针旋转n°得到AEF ，E 与B 是对应点，如图1．（1）延长BC 、EF ，交于点K ，求证：∠BKE=n°；（2）当m=150，n=60时，求四边形CEFA 的面积；（3）如图3．当n=150时，取BE 的中点P 和CF 的中点Q ，直接写出2PQ 的值．19．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 是线段AB 延长线上一动点，连结CE ．（1）如图1，过点C作CF⊥CE交线段DA于点F．①求证：CF=CE；②若BE=m（0＜m＜4），用含m的代数式表示线段EF的长；（2）在（1）的条件下，设线段EF的中点为M，探索线段BM与AF的数量关系，并用等式表示．（3）如图2，在线段CE上取点P使CP=2，连结AP，取线段AP的中点Q，连结BQ，求线段BQ的最小值．。