离散数学_数理逻辑
离散数学第一章数理逻辑
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例3.他既聪明又用功。 例4.他虽聪明但不用功。 例5.除非你努力，否则你将失败。 例6.张三或李四都可以做这件事。
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作业：
（1）判断下列公式哪些是合式公式，哪些不是合 式公式。
a.(Q→R∧S） b.(P ↔(R →S)) c.((┐P→Q)→(Q→P)) d.(RS→T) e.((P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R)) （2）用符号形式写出下列命题。 a.假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读
书或看报。
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b.我今天进城，除非下雨。 c.仅当你走我将留下。
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练习：将下列命题符号化。 1）说逻辑学枯燥无味（P）或毫无意义（Q）是不对的。 2）如果明天有雾（P），则我乘车（Q），不坐飞机（R）。 3）有雨（P）就刮风（Q）。 4）如果小王没来上课（P），一定是他生病了（Q）。 5）如果我上街（P），我就去图书馆看看（Q），除非我很累
2020/6/30
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结论： 命题一定是陈述句，但并非一切陈述句都是命题。 命题的真值有时可明确给出，有时还需要依靠环境、 条件、实际情况时间才能确定其真值。
2020/6/30
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二、命题的分类
1.原子命题(简单命题)：不能再分解为更为简单命 题的命题。
游； （5）两个三角形全等当且仅当三角形的三条边全部
相等。 (6) 张辉与王丽是同学。
2020/6/30
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例 （解）
离散数学-第一部分 数理逻辑-第二章 命题逻辑等值演算
名称
M0 M1 M2 M3
20
实例
由三个命题变项 p, q, r 形成的极小项与极大项.
极小项
公式
成真赋值 名称
p q r 0 0 0 m0
p q r 0 0 1 m1
p q r 0 1 0 m2
p q r 0 1 1 m3
p q r 1 0 0 m4
p q r 1 0 1 m5
p q r 1 1 0 m6
p(qr) (pq) r p(qr) 不与 (pq) r 等值
2
等值式例题
例1 判断下列各组公式是否等值: (1) p(qr) 与 (pq) r
p q r qr p(qr) pq (pq)r
000 1
1
001 1
1
010 0
1
011 1
1
100 1
1
101 1
1Hale Waihona Puke 110 00111 1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
结论: p(qr) (pq) r
3
等值式例题
(2) p(qr) 与 (pq) r
p q r qr p(qr)
000 1
1
001 1
1
010 0
1
011 1
1
100 1
1
101 1
1
110 0
0
111 1
1
pq (pq)r
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
精品文档-离散数学(方世昌)-第1章
第1章 数理逻辑
例 1.1 - 1 下述都是命题: (1) 今天下雪; (2) 3+3=6; (3) 2 是偶数而 3 是奇数; (4) 陈涉起义那天，杭州下雨; (5) 较大的偶数都可表为两个质数之和。
3
第1章 数理逻辑
以上命题中，(1)的真值取决于今天的天气; (2)和(3)是真; (4)已无法查明它的真值，但它是或真或假的， 故将它归属于 命题; (5)目前尚未确定其真假，但它是有真值的，应归属于 命题。
6
第1章 数理逻辑
从以上分析，我们得出他必须既非说谎也不是讲真话。 这 样，断言“我正在说谎”事实上不能指定它的真假，所以不是命 题。 这种断言叫悖论。
若一个命题已不能分解成更简单的命题，则这个命题叫原子 命题或本原命题。 例1.1 - 1中(1)、(2)、(4)、(5)都是本原命 题，但(3)不是，因为它可写成“2 是偶数”和“3 是奇数”两 个命题。
译为P∧Q，但“林芬和林芳是姐妹”就不能翻释成两个命题的合
取，它是一个原子命题。
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第1章 数理逻辑
1.1.3 命题变元和命题公式 通常，如果P代表真值未指定的任意命题，我们就称P为命题
变元; 如果P代表一个真值已指定的命题，我们就称P为命题常元。 但由于在命题演算中并不关心具体命题的涵义，只关心其真假值， 因此，我们可以形式地定义它们。
以“真”、“假”为其变域的变元，称为命题变元; T和F称 为命题常元。
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第1章 数理逻辑
习惯上把含有命题变元的断言称为命题公式。 但这样描述 过于表面，它没能指出命题公式的结构。 因为不是由命题变元、 联结词和一些括号组成的字符串都能成为命题公式，因此在计算 机科学中常用以下定义。
单个命题变元和命题常元叫原子公式。 由以下形成规则生 成的公式叫命题公式(简称公式):
离散数学中数理逻辑的教学探讨
离散数学中数理逻辑的教学探讨
离散数学中数理逻辑是一门面向计算机和信息技术学科的重要基础课程，也是目前计算机
科学中最重要和基础性的学科之一，在世界各地具有重要的地位。
数理逻辑可以帮助学生
了解和获得一定深刻的知识，在数学和计算机科学领域中获得更深度的洞察力。
同时，数
学逻辑也是一门理论性有趣而又实用的学科，可以激发学生好奇心，提高理论思维能力，
并激发他们学习以计算机及其前沿的技术的热情。
数学逻辑的教学内容包括：逻辑基础、语句逻辑、谓词逻辑、证明方法、计算机模型等等。
此外，数理逻辑还既赋予人新思想，又促进“知行合一”。
数学逻辑可以增强学生的发散思
维能力，锻炼学生在解决实际问题和社会问题时，从不同角度的逻辑层次思考的能力。
此外，数理逻辑的教学应该以实践性为主，尽可能地以更详细的应用为背景，优先介绍真实的问题解决，掌握实际的计算机算法知识和技能，让学生将理论知识运用到实践中去，体现出数理逻辑的完善性和实用性。
总之，数学逻辑是一门十分重要的基础课程，它可以帮助学生更深入地理解数学和计算机科学，在有效提高学生知识水平和思维能力的同时，也对他们有一定的节目效果。
数理逻辑和离散数学的关系
数理逻辑和离散数学的关系数理逻辑和离散数学是两个与数学紧密相关的学科，它们在逻辑推理和离散结构上有着密切的联系。
数理逻辑是研究符号逻辑、形式逻辑和数理符号系统的学科，而离散数学则是研究离散对象、离散结构和离散算法的学科。
本文将从数理逻辑和离散数学的定义、研究内容以及它们之间的关系进行探讨。
我们来了解一下数理逻辑。
数理逻辑是研究推理和证明的一门学科，它利用符号和形式系统来研究逻辑的规律和原理。
数理逻辑主要包括命题逻辑、谓词逻辑和模态逻辑等分支。
命题逻辑研究命题之间的逻辑关系，谓词逻辑则引入了谓词和量词的概念，用于研究量化和谓词之间的逻辑关系，而模态逻辑则研究命题的可能性和必然性等模态概念。
数理逻辑在数学、计算机科学、哲学等领域有着广泛的应用，例如在证明定理、验证计算机程序、人工智能等方面起着重要的作用。
接下来，我们来介绍一下离散数学。
离散数学是研究离散对象和离散结构的一门学科，它主要包括集合论、图论、代数结构、组合数学等分支。
离散数学研究的对象是离散的、不连续的数学结构，与连续的实数和实数运算相对应。
离散数学的研究内容包括集合的运算和关系、图的性质和算法、代数系统的结构和性质、组合数学中的排列组合等。
离散数学在计算机科学、密码学、网络优化等领域有着广泛的应用，例如在网络拓扑设计、图像处理、密码算法等方面发挥着重要作用。
数理逻辑和离散数学之间存在着密切的关系。
首先，数理逻辑为离散数学提供了严密的推理和证明方法。
数理逻辑的符号系统和形式化推理方法为离散数学的证明和推理提供了基础。
通过数理逻辑的方法，我们可以准确地表达和证明离散数学中的结论，确保其准确性和严谨性。
离散数学为数理逻辑提供了具体的应用背景和实例。
离散数学中的离散结构和离散算法为数理逻辑提供了实际的应用场景。
例如，图论中的图模型可以用于表示逻辑推理的过程，集合论中的集合运算和关系可以用于描述命题逻辑和谓词逻辑中的逻辑关系。
离散数学中的算法和计算复杂性理论也为数理逻辑中的计算问题提供了解决方案。
离散数学资料库
《离散数学》资料库第一章数理逻辑1、数理逻辑的历史。
逻辑是研究人类思维学科，最早是由古希腊学者亚里士多德创建的，他的《工具论》奠定了逻辑学的理论基础。
中国最早的一部逻辑专著--《墨经》也创造了一个比较完整的逻辑体系。
b5E2RGbCAP 根据所研究的对象和方法的不同，逻辑学可分为形式逻辑、辩证逻辑和数理逻辑。
数理逻辑得用数学方法研究推理，利用符号体系研究推理过程中前提和结论之间的关系，因此也叫符号逻辑。
plEanqFDPw从十七世纪开始，就有一些学者试图用数学的方法来研究逻辑。
德国的哲学家的数学家莱布尼兹&".10让血2＞被公认为是数理逻辑的创始人。
他认为数学之所以能发展如此迅速，数学知识之所以能如此有效，就是因为数学使用了特别的符号语言。
这种符号语言为表达思想和进行推理提供了非常良好的条件。
因此他提出了用一种象数学一样的表意符号体系来研究思维形式和规律，能简洁地表达出各种的推理的逻辑关系，使得推理过程就象数学一样可以利用公式来进行计算，以便用计算来解决争论。
DXDiTa9E3d1847年，英国数学家、逻辑学家布尔（G.Boole＞发表了《逻辑的数学分析》（The mathematical Analysis of Logic＞，建立了“布尔代数”（Boolean Algebra＞，并创造一套符号系统，利用符号来表示逻辑中的各种概念。
布尔建立了一系列的运算法则，利用代数的方法研究逻辑问题，初步奠定了数理逻辑的基础。
RTCrpUDGiT十九世纪七十年代末至二十世纪初，为了理解数学命题的性质和数学思维规律，德国的弗雷格（G.Frege＞、意大利的皮亚诺（G.Peano ＞和英国的罗素（B.Russell＞建立了古典逻辑演算、命题演算和谓词演算。
数理逻辑突破了古典形式逻辑的局限，形成了一个完整的逻辑体系.5PCzVD7HxA而德国的希尔伯特（D.Hilbert^D哥德尔（K.Godel＞的研究努力又使数理逻辑成为一门内容丰富的独立学科。
数理逻辑与离散数学
数理逻辑与离散数学数理逻辑与离散数学是一门研究数学中的逻辑和离散结构的学科。
它们在数学领域中扮演着重要的角色，为数学家和计算机科学家提供了强大的工具和方法。
在这篇文章中，我们将探讨数理逻辑与离散数学的基本概念、应用和发展。
1. 数理逻辑的基本概念数理逻辑是研究逻辑的数学分支，它主要关注命题、谓词和推理的形式化。
数理逻辑的基本概念包括命题逻辑、谓词逻辑和形式系统等。
命题逻辑研究的是命题的真假和推理的正确性，谓词逻辑则引入了个体和谓词的概念，用于描述更加复杂的逻辑结构。
形式系统则是数理逻辑的基础，它定义了逻辑推理的规则和语法。
2. 离散数学的基本概念离散数学是研究离散结构的数学分支，它主要关注离散对象和离散关系的性质。
离散数学的基本概念包括集合论、图论、代数结构等。
集合论研究的是集合的性质和运算，图论则研究的是图的性质和算法。
代数结构则是研究代数系统的抽象结构，包括群、环和域等。
3. 数理逻辑与离散数学的应用数理逻辑和离散数学在数学和计算机科学中有广泛的应用。
在数学领域，它们被用于证明和推理，帮助数学家发现新的定理和结论。
在计算机科学领域，数理逻辑和离散数学为计算机科学家提供了建模和分析的工具。
例如，图论被广泛应用于网络和路由算法的设计，离散数学的概念被用于设计和分析算法的正确性和复杂性。
4. 数理逻辑与离散数学的发展数理逻辑和离散数学作为学科的发展可以追溯到19世纪末。
随着数学和计算机科学的发展，它们变得越来越重要。
在20世纪，数理逻辑和离散数学得到了快速发展，涌现出了许多重要的理论和方法。
例如，哥德尔的不完备性定理揭示了数理逻辑的局限性，图论的四色定理解决了染色问题的一个重要难题。
总结起来，数理逻辑与离散数学是一门研究数学逻辑和离散结构的学科，它们在数学和计算机科学中有重要的应用和发展。
通过形式化和抽象化，数理逻辑和离散数学帮助数学家和计算机科学家研究和理解复杂的问题。
随着科学技术的不断进步，数理逻辑和离散数学将继续发展，为人类的认知和计算能力提供更强大的支持。
离散数学逻辑公式大全化简
离散数学逻辑公式大全化简
离散数学逻辑公式大全：
一、对称表达式
1. 对立矛盾：P∧(¬P)，这就意味着，实际上什么都不是真。
2. 波尔定理：(P→Q)∨(Q→P)，即P和Q之一必定是另一个的条件。
3. 谓词逻辑：∀xPx，表明了P是对任意x是真的。
二、蕴涵表达式
1. 因果关系：P→Q，其中P是因，Q是果。
2. 排中律：P∨(Q∧R)≡(P∨Q)∧(P∨R)，即P既支持Q和R的同时满足，也支持Q和R的分别满足。
3. 简单蕴涵：P→Q，Q即P的蕴涵结果。
三、命题逻辑
1. 范式：¬(P∨Q)即¬P∧¬Q，这表明,若P和Q两者成立其一，则结果
为假。
2. 合取范式：P ∨ Q，表示只要PQ其一成立，结果即成立。
3. 否定范式：P→Q，表示只有当P成立，Q才会成立，否则结果为假。
四、可辩证表达式
1. 含义性质：P→Q，表明当P为真时，Q也可能为真，但可能有证据
表明P为假时，Q也可能为假。
2. 对抗性质：¬P∧Q，表明当P（或Q）被否定时，另一方会加强对这个变量的认可。
3. 不可满足性：P∧¬P，表明两个性质之间存在矛盾，因此，这种形式无法同时满足。
离散数学最全知识点
10 1 1
1
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0
1
2、演绎法
事实库
规则匹配 新事实
事实=结论？
触发规则
N
公理库 将事实加入到事实库中
Y 结束
推理定理
推理规则
3、反证法
例 如果马会飞或羊吃草，则母鸡就会是飞鸟；如果母鸡 是飞鸟，那么烤熟的鸭子还会跑；烤熟的鸭子不会跑。 所以羊不吃草。
例 有红、黄、蓝、白四队参加足球联赛。 如果红队第三，则当黄队第二时，蓝队第四； 或者白队不是第一，或者红队第三； 事实上，黄队第二。 因此，如果白队第一，那么蓝队第四。
莱布尼茨之梦
“精炼我们的推理的唯一方 式是使它们同数学一样切实，这 样我们能一眼就找出我们的错误， 并且在人们有争议的时候，我们 可以简单的说： 让我们计算， 而无须进一步的忙乱，就能看出 谁是正确的。”
莱布尼茨(1646年~1716年) 德国哲学家、数学家。
布尔与布尔代数
“以计算的符号语言来表示 它们，以此为基石建立逻辑的科 学，并且构造他们的方法。”
否定律 分配律
DeMorgan律
矛盾律 排中律 蕴涵 等价
判定公式是永真或永假的方法有：真值表法和公式推演法
法一
法二
例 试用较少的开关设计一个与下图有相同功 能的电路。
3.3 联结词的完备集
一、联结词的个数
1、一元联结词
0001 1 1010 1
2、二元联结词
00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 01 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 10 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 11 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
离散数学-数理逻辑
表示所有个体都满足某个条件的量词，例如“所有的苹果都是水果”。
04
范式理论
范式的定义与分类
范式（Paradigm）是指某一学科领 域中，被广泛接受和认可的观念、理 论、方法或标准。在数理逻辑中，范 式主要指逻辑公式的一种标准形式， 用于简化逻辑推理过程和提高推理的 可靠性。
VS
范式主要分为两类：自然范式和人工 范式。自然范式是指直接从语言和直 观中得出的逻辑形式，如命题逻辑中 的重写规则；人工范式则需要通过特 定的人工构造来获得，如集合论中的 形式化表述。
离散数学-数理逻辑
目录
• 引言 • 命题逻辑 • 谓词逻辑 • 范式理论 • 集合论基础 • 数理逻辑的实际应用
01
引言
数理逻辑的定义
01
数理逻辑是研究推理的数学分支 ，主要关注命题和推理的形式化 、符号化及其演绎关系。
02
它使用数学方法对推理过程进行 精确描述和证明，为计算机科学 、人工智能等领域提供理论基础 。
数理逻辑在其他领域的应用
法律
法律逻辑学运用数理逻辑的方法来分析法律推理 和法律论证。
经济学
数理逻辑用于经济学的决策理论、博弈论和信息 经济学等领域。
心理学
认知心理学中的思维过程和认知模型研究运用了 数理逻辑的概念和方法。
THANKS
感谢观看
范式在逻辑推理中的应用
范式在逻辑推理中具有重要的应用价值。通过使用范式，逻辑推理过程可以更加规范、准确和高效。例如，在人工智能领域 中，范式被广泛应用于知识表示、推理和问题求解等方面。通过将知识表示为范式形式，可以方便地进行逻辑推理和知识推 理，从而提高智能系统的性能和可靠性。
此外，范式还为逻辑推理提供了一种通用的语言和工具，促进了不同学科领域之间的交流和合作。通过学习和掌握范式理论 ，人们可以更好地理解和应用数理逻辑的基本原理和方法，从而更好地解决实际问题和开展科学研究。
离散数学
一阶逻辑等值式与置换规则
设A, B是两个谓词公式, 如果AB是永真式, 则称A 与B等值, 记作AB, 并称AB是等值式 设A0是含命题 基本等值式 变项 p1, p2, …, 第一组 命题逻辑中16组基本等值式的代换实例 pn的命题公式， 例如，xF(x)xF(x), A1, A2, …, An xF(x)yG(y) xF(x)yG(y) 等 是n个谓词公式， 第二组 用Ai (1in) 处 (1) 消去量词等值式 处代替A0中的 设D ={a1, a2, … , an} pi，所得公式A ① xA(x) A(a1)A(a2)…A(an) 称为A0的代换 ② xA(x) A(a1)A(a2)…A(an) 实例. 27
9
在ｎ个变元的简单合取式中，若每个变元及其否定 并不同时存在，且二者之一出现一次且仅出现一 次，则称此简单合取式为极小项。 在ｎ个变元的基本析取式中，若每个变元与其否定， 并不同时存在，且二者之一出现一次且仅出现一 次，则称这种基本析取为极大项。
用mi表示第i个极小项，其中i是该极小项成真赋值的十进制 表示. 用Mi表示第i个极大项，其中i是该极大项成假赋值的 十进制表示. 主析取范式——由极小项构成的析取范式 主合取范式——由极大项构成的合取范式
13
求公式 A=(pq)r的主析取范式和主合取范式 解 (pq)r (pq)r （析取范式） ①
(pq) (pq)(rr) (pqr)(pqr) m6m7 ② r (pp)(qq)r (pqr)(pqr)(pqr)(pqr) m1m3m5m7 ③
19
ห้องสมุดไป่ตู้
推理规则
(10) 构造性二难推理规则 AB CD AC ∴BD
(12) 合取引入规则 A B ∴AC 直接证明法 附加前提证明法 归谬法 (反证法)
离散数学 第五-六章
例 题4
设集合A={ ,}, A上定义的二元运算如表所示. 对*可分配吗? * 对 ?
代数结构 >运算性质
定义5-2.6 设,△是定义在集合A上的两个二元运 算,如果对 x y∈A,都有 x (x△y) = x x△(x y) =x 则称运算和运算△满足吸收律。
代数系统 >代数系统的引入
二元运算的例子 • N上 +, 是N上二元运算,而-, 不是. • 整数集I上 +,-, 是I上的二元运算, 而 不是. • R-{0}上的 , 是R-{0}上的二元运算,而+,-不是. • 矩阵的 +, 是N阶实矩阵集合上的二元运算,但不是 全体实矩阵集合上的二元运算. • ,,, 是真值集合{0,1}上 的二元运算. • ,, 是幂集P(A)上的二元运算. 一元运算的例子 • R上的 求绝对值|X|运算. • 整数 I上求负运算是一元运算,但不是N上的一元运算.
n 例如 实数集上的+, ; 集合上的运算, ;,命题 集合P上的,都是可结合的.
例题3
A为非空集合,*定义为:对任意的a,bA,有 a*b=b. 证*可结合的.
代数结构 >运算性质
定义5-2.4 设是定义在集合A上的一个二元运算, x∈A,若xx=x,称x是等幂元; 若对x∈A,都有
2 独异点(monoid)
定义5-3.3 含有幺元的半群称为独异点。 独异点的判定: 对给定集合S 及运算*, 1)是封闭的, 即对x,y∈S, 有 xy∈S (是代数系统) 2)是可结合的,即对x,y,z∈S, 有(x y) z= x (y z) 3) 有幺元,即e∈S, 对x∈S,有ex=xe=x. 例如 <R, +>是独异点,幺元为0, <I+,+ >不是. <R, * >, <I, * >都是独异点,幺元为1 <{0,1}, > , <{0,1}, >都是独异点,幺元分别为0和1. < P(S), >和 < P(S), >是独异点?
离散数学-数理逻辑共87页
段
想。
12
英国数学家 G.Bool于1847年发表《逻辑的数学分
析》，创建一套表示逻辑推理的基本符号以及符号的
创 运算规律，建立了布尔代数。
立
阶
段
德国数学家 G.Frege于1879年在《概念的演算》
一书中引进谓词符号和量词符号，创建第一个比较严
Hale Waihona Puke 格的逻辑演算系统。13
英国逻辑学家 A.N.Witehead和B.Russel于1910
3.通过演算规则，得出结果
8
（3）内容
命题逻辑 谓词逻辑
9
（4）分支
证明论 模型论 递归论 公理集合论
10
§1.2 数理逻辑的发展简史
起源阶段
发
展
历
创立阶段
史
完善阶段
11
德国数学家、哲学家 G.Leibniz
起 源
（1646~1716），提出建立一种普遍的符
阶 号语言，利用符号语言进行思维演算的设
– 《Discrete Mathematics and Its Applications》(Sixth Edition)， [美]Kenneth H. Rosen，机械工业出版社影印版、译本
1
课程主要内容
• 数理逻辑 • 集合论 • 图论 • 代数系统*
2
目的、意义和要求
• 研究内容：离散量的结构及其相互间的关系。 • 意义：计算机科学的理论基础。 • 目的：打基础
数理逻辑是采用数学方法研究抽象思维推理规律 （形式推理）的一门科学。
命题逻辑是数理逻辑的基本组成部分之一
推理的基本要素是命题 把命题作为基本单位来分析
符号化
研究公式间的关系
离散数学1命题逻辑
第1章
例7
例7、将下列命题符号化，并讨论他们的真值。 (1)如果3＋3＝6，则雪是黑色的； (2)只有a(正整数)能被2整除，a才能被4整除； (1)设：p：3＋3＝6，q：雪是黑色的 原语句符号化为：p→q 真值为0 (2)设p：a(正整数)能被2整除，q：a能被4整除 原语句符号化为：q →p 真值为1
离散数学 第一篇数理逻辑
蔡广军
第1章
数理逻辑简介(1)
数理逻辑(Mathematical Logic) 用数学方法(主要是建立符号体系的方法)来 研究推理形式结构和推理规律的数学学科 。 通过引入一套符号体系来研究推理规律的 学科，故又称之为符号逻辑(Symbolic Logic)
第1章
例题5
例5、p：2＋2＝4 q：3是奇数 (1) 2+2=4当且仅当3是奇数。p↔q (2) 2+2=4当且仅当3不是奇数。p↔┐q (3) 2+2≠4当且仅当3是奇数。┐p↔q (4) 2+2≠4当且仅当3不是奇数。┐p↔┐q
第1章
数理逻辑联结词与自然语言联结词
6、逻辑联结词与自然语言中联结词的关系 否定——不是、没有、非、不 合取——并且、同时、和、既…又…,不但… 而且…，虽然…但是… 析取——或者、或许、可能 蕴含——若…则…，假如…那么…，既然…那就 倘若…就… 等价——当且仅当、充分必要、相同、一样
要回答这样的问题，实际上就是看由一些 诸如“商人戴的是红帽子”这样的前提能否推 出“猜出答案的应试者戴的是黑帽子”这样的 结论来。这又需要经历如下过程： (1) 什么是前提？有哪些前提？ (2) 结论是什么？ (3) 根据什么进行推理？ (4)怎么进行推理？
第1章
第一章命题逻辑
离散数学数理逻辑基础知识
离散数学数理逻辑基础知识离散数学是计算机科学的基础，数理逻辑是离散数学中最重要的分支之一。
它们提供了描述和分析计算机科学中的问题所需的工具和方法。
本文将介绍离散数学和数理逻辑的基础知识。
一、集合论集合是离散数学的基础概念之一。
集合是由一些确定的对象组成的整体。
用大写字母表示集合，用小写字母表示集合的元素。
集合之间可以进行交集、并集、差集等运算。
例如，设集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∩B={2, 3}表示A和B的交集，A∪B={1, 2, 3, 4}表示A和B的并集。
二、命题逻辑命题逻辑是研究命题及其逻辑关系的数理逻辑分支。
命题是陈述句，可以判断为真或者为假。
常见的逻辑关系有与、或、非，分别用∧、∨、¬表示。
例如，如果P表示"今天是星期一"，Q表示"明天是星期二"，则P∧Q表示"今天是星期一并且明天是星期二"，P∨Q表示"今天是星期一或者明天是星期二"。
三、谓词逻辑谓词逻辑是一种扩展的命题逻辑，它引入了谓词和量词。
谓词是陈述句中的关系词，描述了对象之间的关系。
量词则用来说明集合中的元素是否满足某个条件。
谓词逻辑的语句可以用∀表示全称量词，表示对于集合中的所有元素都成立；用∃表示存在量词，表示存在至少一个元素使语句成立。
四、关系和函数关系是用来描述元素之间的联系的数学工具。
关系可以是二元的，也可以是多元的。
例如，设A={1, 2, 3}，则可以定义一个关系R={(1, 2), (2, 3)}，表示元素1与元素2之间存在关系，元素2与元素3之间也存在关系。
函数是一种特殊的关系，它对于集合中的每一个元素，都有唯一对应的输出。
函数可以表示为f: A→B，表示定义在集合A上的函数f，其输出是集合B中的元素。
例如，设集合A={1, 2, 3}，集合B={4, 5}，则可以定义一个函数f={(1, 4), (2, 5)}，表示元素1映射到4，元素2映射到5。
离散数学--数理逻辑测验答案
数理逻辑测验一、 符号化下列命题1. 如果张三和李四都不去，他就去。
（命题符号）解： 设P ：张三去；Q ：李四去；R ：他去。
R Q P →⌝∧⌝)(。
2. 我将去上街，仅当我有时间。
（命题符号）解：设P ：我将去上街；Q ：我有时间。
)Q P (→。
3. 有些人喜欢所有的花。
（谓词符号）解：设P(x)：x 是人； Q(y)：y 是花； R(x ，y)：x 喜欢y 。
))),()()(()()((y x R y Q y x P x →∀∧∃。
4. 所有运动员都敬佩某些教练。
（谓词符号）解：设P(x)：x 是运动员；Q(y)：y 是教练；R(x ，y)：x 敬佩y 。
))),()()(()()((y x R y Q y x P x ∧∃→∀。
5. 每个人或者喜欢乘汽车，或者喜欢骑自行车。
（谓词符号）解：设P(x)：x 是人；Q(x)：x 喜欢乘汽车；R(x)：x 喜欢骑自行车；)))()(()()((x R x Q x P x ∨→∀；二、简答题1、写出R Q P →→)(的析取范式，合取范式。
合取范式））析取范式--(()()()(R Q R P R Q P RQ P RQ P ∨⌝∧∨=--∨⌝∧=∨∨⌝⌝=→→2、设P ：今天下雨。
Q ：我去上街。
R ：我有空。
用自然语言写出以下命题：)(P R Q ⌝∧↔，)(Q R ∨⌝。
解：)(P R Q ⌝∧↔：我去上街当且仅当我有空并且今天不下雨； )(Q R ∨⌝：我没空，并且我不去上街。
3、设Q P ,的真值为0，S R ,的真值为1，求以下命题的真值： )()(S R Q P ∨⌝∧↔，)()))(((S R P R Q P ⌝∨→⌝∧→∨⌝。
解：)()(S R Q P ∨⌝∧↔的真值：1))()((.1)(,1)(,1)(,1)(.0,0,1,1,1,1,0,0=∨⌝∧↔∴=⌝∨=⌝∧=∨⌝=↔∴=⌝=⌝=⌝=⌝∴====S R Q P S R P R S R Q P S R Q P S R Q P)()))(((S R P R Q P ⌝∨→⌝∧→∨⌝的真值：.1))()))((((1))()((.1))()))((((;0))))((((,1))((真值为；真值为即：S R P R Q P S R Q P S R P R Q P P R Q P P R Q ⌝∨→⌝∧→∨⌝∨⌝∧↔=⌝∨→⌝∧→∨⌝∴=⌝∧→∨⌝=⌝∧→∴4、写出谓词公式)),()()()(()),()()((z y Q z y P y y x Q x P x ∃∧∃→→∀的前束范式。