第03章 空间问题有限元法

注意：在轴对称空间问题中，单元是圆环，所有的节点 力和等效节点载荷都必须是均 匀地施 加在环 形铰的 整圈上 ， 且 环形单元的边界是一 回转面。
A点的 径 向位移 u B点的 径向位移 u +
∂u dr ∂r
3
轴对称问题 同 理，可导出其 他应变 分量。 则 空间轴对称问题的几何方程 为
轴对称问题
空间问题有限元法的基本概念、基本理论，建立计算格式的基本 过程以及实施步骤，与平面问题完全相同。这里只着重研究其单元和 单元刚度矩阵，通过几种常用单元来阐明空间问题的有限元法。
二 几何、物理方程
在 三维弹性体 中，一 般都假 定材料 是各向同性的，本构 方程为 σ = Dε = [D ][B] {δ } = [S ] {δ }
(r , s = 1,2,3,4 )
u = ∑ N i ui
i =1
8
v = ∑ N i vi
i =1
8
w = ∑ N i wi
i =1
8
式中，形函数为 N i =
1 (1 + ξ i ξ )(1 + η iη )(1 + ζ iζ ) 8
单元刚度矩阵
单元刚度矩阵 ε =Bd
几何矩阵
单元刚度矩阵
K e = ∫∫∫ B T DB d V
3.1.2 几何矩阵
式中， B称为三维弹性问题的几何矩阵， B = [B1
σ = Dε = [D][B] {δ } = [S ] {δ }
e
e
式中， S为 单元 应力矩阵， S = DB 弹性矩阵 D为
四 面体单元的应力为常 量 ，故又 称为常应力元。
由 于 Bi的元 素均为常 数，故四 面体单元为 常应变单元。
T
轴向 径向
环向
轴对称问题 用有限元法分析 轴对称空间问题，通常采用 环形单元。 将 连续 体离散 成 由 有限个 圆环组 成的 体 系。环 和 roz 面 (子 午 面 )正交的 截面通 常 是三角 形或矩 形， 称 三角形 或矩 形 截面 环 形元。
轴对称问题
5.2 几何方程
对 于图 (b)中 的微分 线段 AB
IN 3
IN 4 ] i = 1,2,3,4
(i = 1,2,3,4 )
(a i + bi x + ci y + d i z ) 6V
3.1.1 位移函数
位移函数 应取线性形式 保证两相邻单元 在 公共边界上的 位移是连续的。 四 面体单元的体 积
1
单元刚度矩阵
单元刚度矩阵 ε =Bd ε =Bd B2 B3 B4 ]
5.3 物理方程
σ = Dε
轴对称问题
轴对称问题
5.4 三角形截面环形单元分析 5.4.1 单元节点位移和节点力向量 节点位移向量
u i di = w i u j dj= w j dm um = w m
节点力向量
Ri Pi = Z i Ri Pi = Z i P e = PiT Ri Pi = Z i
轴对称问题
5 轴对称问题
轴对称问题
五 轴对称问题
5.1 基本概念 轴对称问题 —— 弹性体的几何形状、约束条件以及
它所受的 外力都 对称于 某一轴，则所 有的应力，应变及位移 也 都对称 于此轴。 在 进行轴对称问题分析 时 ，采用 圆柱坐标比较方便。 如果 以弹性 体的对称轴作 为 z 轴，则所 有应力 、应变和位移均 与坐标 θ 无 关，只是坐标 r 和 z 的 函 数，因此，原 来的空间三维 问 题就可简化为平 面二维 问题。
e e
单元刚度矩阵
3 单元刚度矩阵
单元刚度矩阵 f = Nd 式中， N为形函 数矩阵 N = [IN 1 N i = (− 1 )
i +1
三 单元刚度矩阵
3.1 四面体单元
4节点 12自由度的 常应变 单元， 其节点 顺序按右手螺旋 排列，节点坐标和位移 分别为 x i , yi , z i ui , v i , w i IN 2
目录
目录
第03章 空间问题有限元法
目 录
1 概述 2几何、物理方程 3 单元刚度矩阵 4 单元等效节点载荷 5 轴对称问题
概述
1 概述
几何、物理方程
2 几何、物理方程
一 概述
空间问题的计算比较复杂。主要反映在以下几个方面： (1) 自由度数多 (2) 单元划分不易 特别是体内单元，往往只能想像而 无法显现，这 就给数据准备工作带来一定的困难。 (3) 准备工作且大 从程序设计到编制完成，空间问题不 会比平 面问题 麻烦。
T Pm
[
PjT
]
5.4.2 单元位移函数
取线性位移模式
d = d iT
[
dT j
T dmwenku.baidu.com
]
f = Nd
轴对称问题 f = Nd 式中，
轴对称问题
5.4.3 单元刚度矩阵
ε =Bd
σ = Dε = [D ][B ] {δ } = S {δ }
e e
Pe = K e d
虚功方程 其中： 矩阵 B的元素 并 不全都 是 常量，则 单 元 应变不 再 为常量。
位移分量
(1) 径 向位移 u (沿 坐标 r 方 向 )； (2) 轴 向位移 w (沿 坐标 z 方 向 )； (3) 环 向位移 v =0 (沿 坐标 θ 方 向 )；
d = [u w ]
T
应变分量
(1) 径 向 正应变 ε r； (2) 轴 向 正应变 εz； (3) 剪 应变 γzr ； (4) 环 (切 )向正 应变 ε θ 。 ε = [ε r εz εθ γ rz ]
4
轴对称问题
轴对称问题 于 是，矩阵 B中 的元素变为常量，单元刚度矩阵就 可近似 地 写成
单元刚度矩阵 矩阵 B的元素并 不全都 是常量 ，故不能提到 积分号外，使运 算 变得复杂。为 了避免 复杂的 积分运 算，并 且消除 在对称轴上 的节点上 的节点 处 r=0 所引起的奇异性， 取单元的形心坐标以 代替 r、 z ， 把每个单元中的 r 及 z 近似地当 成常量 。 实 践 证明 : 只要划分 网格不 太稀，这样处 理所引起的误差是 很小的。
5.4.4 等效节点载荷
5
单元刚度矩阵
单元刚度矩阵
3.1.3 单元刚度矩阵
K e = ∫∫∫ B T DB d V
V
3.2 六面体单元 3.2.1 8节点六面体单元
局部坐标原 点放在单 形心 O上，坐标轴的方向 与 直角坐标方向 一致。
单元位移函数
f = Nd 各子块的计算公式
e K rs = ∫∫∫ Br DBs d V T V
V
式中
式中
2
单元刚度矩阵
单元等效节点载荷
4 单元等效节点载荷
3.2.2 20节点六面体单元 单元位移函数
u = ∑ N i ui
i =1 20
四 单元等效节点载荷
w = ∑ N i wi
i =1 20
v = ∑ N i vi
i =1
20
与平 面问题一样 ，建立 空间问题计算 模型时 ，作用 在 单元上的 外载荷 必须按 静力等效原则 移置到节点上 。