2014年全国高考-四川卷理科数学试题及答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(四川卷,解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试理科参考答案〔四川卷〕一．选择题：本大题共10小题，每一小题5分，共50分．在每一小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．集合2{|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，如此A B ⋂= A ．{1,0,1,2}- B ．{2,1,0,1}-- C ．{0,1} D ．{1,0}- 【答案】A【解析】{|12}A x x =-≤≤，B Z =，故A B ⋂={1,0,1,2}- 2．在6(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为A ．30B ．20C ．15D ．10 【答案】C【解析】含3x 项为24236(1)15x C x x ⋅=3．为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上 所有的点A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度 【答案】A【解析】因为，故可由函数sin 2y x =的图象上所有的点向左平行移动12个单位长度得到4．假设0a b >>，0c d <<，如此一定有A ．a b c d >B ．a b c d <C ．a b d c >D ．a b d c < 【答案】D【解析】由1100c d d c <<⇒->->，又0a b >>，由不等式性质知：0a b d c ->->，所以a bd c <5．执行如图1所示的程序框图，如果输入的,x y R ∈，如此输出的S 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C【解析】当001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时，函数2S x y =+的最大值为2，否如此，S 的值为1.6．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能拍甲，如此不同的排法共有 A ．192种 B ．216种 C ．240种 D ．288种 【答案】B【解析】当最左端为甲时，不同的排法共有55A 种；当最左端为乙时，不同的排法共有14C 44A 种。
2014年高考真题——理科数学(四川卷)解析版
2014年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（理工类）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1、已知集合2{|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B =（ ）A 、{1,0,1,2}-B 、{2,1,0,1}--C 、{0,1}D 、{1,0}- 【答案】A 【解析】AB A x x 选，，，，2}.10{-1∴2][-1A 01)2)(x -(x 2--2=∩=∴≤+=2、在6(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为（ ）A 、30B 、20C 、15D 、10 【答案】C 【解析】C x x x C 选 36222615x)x(1∴15=+=3、为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（ ）A 、向左平行移动12个单位长度 B 、向右平行移动12个单位长度C 、向左平行移动1个单位长度D 、向右平行移动2个单位长度 【答案】A 【解析】Ax y x y x x 选得到左移动把).12sin(21)2sin(∴)21(2sin )12sin(+==+=+4、若0a b >>，0c d <<，则一定有（ ）A 、a b c d >B 、a b c d <C 、a b d c >D 、a b d c<【答案】D 【解析】Dcbd a c b d a c d b a cd c d d c 选.0∴0--∴01-1-,001-1-∴011∴0<<>>>>>>>><<<<5、执行如图的程序框图，如果输入的,x y R ∈，那么输出的S 的最大值为（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3【答案】C【解析】..2)0,1(2.2,1,0,0.C y x S y x S y x y x 选处取最大值在点，目标函数画出可行区域为三角形的最大值求限制条件为相性规划问题+=+=≤+≥≥6、六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能拍甲，则不同的排法共有（ ）A 、192种B 、216种C 、240种D 、288种 【答案】B【解析】BA A A A A A 选甲不排队尾时，有乙排队首甲排队首时，有分情况.216∴,)2.()1.(441455441555=+7、平面向量(1,2)a =，(4,2)b =，c ma b =+（m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =（ ）A 、2-B 、1-C 、1D 、2 【答案】D 【解析】Dm m m m m c b a m c b a 选.2∴52208585∴,cos ,cos ).22,4(∴,),2,4(),2,1(=+=+><>=<++=+===8、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点。
2014年全国高考理科数学试题及答案-四川卷
2014年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科数学一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．已知集合2{|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B ⋂=A ．{1,0,1,2}-B ．{2,1,0,1}--C ．{0,1}D ．{1,0}- 2．在6(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为A ．30B ．20C ．15D ．103．为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动12个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度 4．若0a b >>，0c d <<，则一定有A ．a b c d > B ．a b c d < C ．a b d c > D ．a bd c< 5．执行如图1所示的程序框图，如果输入的,x y R ∈，则输出的S 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．36．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能拍甲，则不同的排法共有A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种 7．平面向量(1,2)a =，(4,2)b =，c ma b =+（m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m = A ．2- B ．1- C ．1 D ．28．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点。
设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是A ．B ．C ．D ． 9．已知()ln(1)ln(1)f x x x =+--，(1,1)x ∈-。
现有下列命题：①()()f x f x -=-； ②22()2()1xf f x x =+； ③|()|2||f x x ≥。
2014四川高考真题数学理(含解析)
2014 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类）一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A ={x | x2 -x - 2 ，集合B 为整数集，则A （）．A．{-1, 0,1, 2} B．{-2,-1, 0,1} C．{0, 1} D．{-1, 0}2．在x(1+x)6 的展开式中，含x3 项的系数为（）．A．30 B．20 C．15 D．103．为了得到函数y = sin(2x +1) 的图象，只需把函数y = sin 2x 的图象上所有的点（）．A．向左平行移动12个单位长度B．向右平行移动12个单位长度C．向左平行移动1个单位长度D．向右平行移动1个单位长度4．若a >b > 0，c <d < 0，则一定有（）．A．a b>B．a <b C．a b>D．c d c d d ca b<d c5．执行如图 1 所示的程序框图，如果输入的x, y ∈R ，则输出的S的最大值为（）．A．0 B．1 C．2 D．36．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）．A．192种B．216 种C．240 种D．288 种7．平面向量a = (1, 2)，b = (4, 2)，c =m a +b（m∈R ），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =（）．A．-2 B．-1 C．1 D．28．如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1 中，点O 为线段BD的中点．设点P 在线段CC 上，直线OP1与平面A1BD 所成的角为α，则sinα的取值范围是（）．A．[ 3 ,1]3 B．[ 6 ,1]3C．[ 6 , 2 2 ]3 3D．[2 2 ,1]39．已知f (x) = ln(1+x) - ln(1-x) ，x∈(-1, 1) ．现有下列命题：（）．①f (-x) =-f (x) ；②2xf ( ) = 2 f (x)x 1；③| f (x) |≥ 2 | x | ．其中的所2有正确命题的序号是A．①②③B．②③C．①③D．①②1/ 1510．已知F 是抛物线y =x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA⋅OB = 2（其中2O 为坐标原点），则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是（）．17 28A．2 B．3 C．D．10二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分．11．复数2 2i-=1+i．12．设f (x) 是定义在R 上的周期为2 的函数，当x∈[-1, 1) 时，f (x)⎧- 2 +-≤<4x 2, 1 x 0, =⎨x, 0 ≤x <1,⎩，则3f ( ) =．213．如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为67 ，30 ，此时气球的高是46m ，则河流的宽度 BC 约等于m ．（用46m30°67°四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：s i n 6 7≈0 . ，cos 67 ≈ 0.39，sin 37 ≈ 0.60 ，cos 37 ≈ 0.80 ， 3 ≈1.73）B C14．设m∈R，过定点A的动直线x +my = 0 和过定点B的动直线mx -y -m + 3 = 0交于点P(x, y) ，则| PA|⋅| PB |的最大值是．15．以A 表示值域为 R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数ϕ(x) 组成的集合：对于函数ϕ，存在一个正数M ，使得函数ϕ(x) 的值域包含于区间[-M,M ] ．例如，当ϕ=，(x) 1(x) x3 ϕ=时，ϕ1(x)∈A， 2 (x) B2(x) sin xϕ∈．现有如下命题：①设函数f (x) 的定义域为D ，则“f (x)∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f (a) =b ”；②函数f (x)∈B 的充要条件是f (x) 有最大值和最小值；③若函数f (x) ，g(x) 的定义域相同，且f (x)∈A，g(x)∈B ，则f (x) +g(x)∉B ；④若函数f (x) =a ln(x + 2) +x（x >-2，a∈R ）有最大值，则f (x)∈B ．x +12其中的真命题有．（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6 小题，共75 分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．已知函数πf (x) = sin(3x +) ．4（1）求f (x) 的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，(α ) = 4 cos(α+π) cos 2αf3 5 4，求cosα-sinα的值．2/ 1517．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得 10 分，出现两次音乐获得 20 分，出现三次音乐获得 100 分，没有出现音乐则扣除 200 分（即获得 200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为且各次击鼓出现音乐相互独立．（1）设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？12，（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．3/ 1518．三棱锥A-BCD及其侧视图、俯视图如图所示．设M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点，P 为线段BC 上的点，且MN ⊥NP ．（1）证明：P 为线段BC 的中点；（2）求二面角A-NP-M 的余弦值．4/ 1519．设等差数列{a }的公差为d ，点(a ,b )在函数f (x) = 2x 的图象上（n∈N* ）．n n n（1）若a1 =-2 ，点(a ,4b ) 在函数f (x) 的图象上，求数列{a }的前n 项和8 7 n S ；n(a ,b ) 处的切线在x 轴上的截距为2 1（2）若a1 =1，函数f (x) 的图象在点a-，求数列{ n } 2 2b ln 2n 的前n 项和T ．n5/ 15x y2 2+=（a >b > 0）的焦距为 4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正20．已知椭圆C： 2 2 1a b三角形．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x =-3上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P，Q．（i）证明：OT 平分线段PQ（其中O 为坐标原点）；（ii）当|TF || PQ |最小时，求点T 的坐标．6/ 1521．已知函数f (x) = e x -ax2 -bx -1，其中a,b∈R ，e = 2.71828 为自然对数的底数．（1）设g(x) 是函数f (x) 的导函数，求函数g(x) 在区间[0,1]上的最小值；（2）若f (1) = 0，函数f (x) 在区间(0,1) 内有零点，求a 的取值范围．7/ 152014 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷理科）答案解析一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．A【解析】A ={x -1 ，所以A , 0,1, 2}2．C【解析】x(1+x)6 =x(1+6x+15x2 +20x3 +15x4 +6x5 +x6)，所以含x 项的系数为 1533．Ay =x +=x +，所以只需把y = sin 2x 的图像上所有的点向左平移1sin(2 1) sin 2( )1【解析】2 2个单位4．D∴->->，又a >b > 0， a b 01 1 ∴->->， a b【解析】0 ，∴-c >-d > 0 ，∴<d c d c d c 5．C⎧x⎪⎨y【解析】该程序执行以下运算，已知⎪+x y⎩，求S=2x y+的最大值，作出⎧x⎪⎨y⎪+x y⎩表示的区域如图所示，由图可知，当⎧x =1⎨=⎩y 0时，S = 2 x+y的取最大值，最大值为S = 26．B【解析】最左端排甲，有A5 =种排法，最左端排乙，有4A4 = 96种排法，共有120+96 = 216 种5 1204排法7．D【解析】由题意得c ⋅a c ⋅b a b +8 8m+ 20=⇒m = 5 2 528．B【解析】设正方体的棱长为 1，AC =，1 12 AC =，1 3A O =OC =+=， 11 OC =，1 31 12 2 2 8/ 153 3+- 2 12 2cos∠AOC ==所以 1 13 32⨯2 ，sin3 1+-3 32 2 2 2cos∠AOC ==-AOC =， 11 13 332⨯2，sin6AOC =，所以sinα的范围为13⎡⎤6⎢,1⎥3⎣⎦9．C【解析】①f (-x) = ln(1-x) - ln(1+x) =-f (x) ，成立②左边的x可以取任意值，而右边的x ∈ (-1,1) ，故不成立③作出图像易知成立10．B【解析】依题意，1F ( ,0) ，设4A(x , y )，1 1B x y ，则 2 1 2 1 2 2( , ) x =y ， 2x =y ，y2 y2 +y y =，得2 2 1 1 2 2y y =-或1 2 2 y y =，因为A ，B 位于x 轴两侧所以，1 2 1y y =-两面积之和为1 2 21 1 12 1 2 9 S =x y -x y +⨯⨯y =+y +⨯y =+y1 2 2 1 1 1 1 12 2 4 y 8 y 81 1二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分．11．-2i【解析】2-2i 2(1-i)2= =-2i 1+i (1+i)(1-i)12． 1【解析】3 1 1f ( ) =f (-) =-4⨯+ 2 =12 2 413．60【解析】AC = 92，14．546AB =，cos 67AB =BC ，AB sin 37 60BC =≈sin 30 sin 37 sin 309/ 15【解析】易得A(0, 0) ，B(1, 3) ，设P(x,y) ，则消去m得：x2 +y2 -x-3y =0，所以点P 在以AB为直径的圆上，PA ⊥PB，所以PA ⨯PB AB22515．①③④【解析】①若对任意的b∈R ，都有∃a∈D，使得f (a) =b ，则f (x) 的值域必为R ；反之f (x) 的值域为，则对任意的R ，b∈R，都有∃a∈D，使得f (a) =b ；②比如函数f (x) =x(-1 <x < 1) 属于B ，但是它既无最大值也无最小值，故错误；③正确；④正确三、解答题：本大题共6 小题，共75 分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．π16．已知函数f (x) = sin(3x +) ．4（1）求f (x) 的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，(α ) = 4 cos(α+π ) cos 2αf3 5 4，求cosα-sinα的值．πππ解：（1）2kπ-k ∈Z2 4 23ππ2kπ-,4 42 2kπ-πkππ,3 4 3 12∴求f (x) 的单调递增区间为⎡2kπ-π2kπ+π⎤∈，，k Z ．⎢⎥⎣ 3 4 3 12⎦（2）fα=α+π=α+πα,4( ) sin( ) cos( )cos 2 3 4 5 42 4 2( s i n c o s ) ( c o s s i n ) ( c o s α+α=⋅α-α2 α+α, 2 5 22 5(cos sin )α-α=, α是第二象限角，4∴sinα> cosα5∴cosα-sinα=-．217．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得 10 分，出现两次音乐获得 20 分，出现三次音乐获得 100 分，没有出现音乐则扣除 200 分（即获得-200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为各次击鼓出现音乐相互独立．（1）设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？12，且10/ 15（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．解：X 可取 10,20,100,-200．1 2⎛ 1 ⎫⎛ 1 ⎫ 3P(X 10) C 1== ⎪ -⎪=13⎝ 2 ⎭⎝ 2 ⎭82 1⎛ 1 ⎫⎛ 1 ⎫ 3P(X = 20) = C ⎪ 1-⎪=23⎝ 2 ⎭⎝ 2 ⎭83 0⎛ 1 ⎫⎛ 1 ⎫ 1P(X =100) = C ⎪ 1-⎪=33⎝ 2 ⎭⎝ 2 ⎭80 3⎛ 1 ⎫⎛ 1 ⎫ 1P(X 200) C 1=-=0 ⎪ -⎪=3⎝ 2 ⎭⎝ 2 ⎭8X 10 20 100 -200P 3 3 1 18 8 8 8 （2）设至少有一盘出现音乐为事件A ．一盘中不出现音乐的概率为1 P =P(X =-200) =．83P =P A =-⎛⎪⎫=( ) 11 511⎝ 8 ⎭512．（3）每一盘游戏的期望为：10E(X ) =10⋅P(X =10) + 20⋅P(X = 20) +100⋅P(X =100) + (-200)⋅P(X =-200) =-8 这说明每盘游戏得分是负分，由概率统计的知识可知：若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．18．三棱锥A-BCD及其侧视图、俯视图如图所示．设M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点，P 为线段BC 上的点，且MN ⊥NP ．（1）证明：P 为线段BC 的中点；（2）求二面角A-NP-M 的余弦值．解：（1）由三棱锥A-BCD及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥中，平面ABD ⊥平面CBD， AB =AD =BD =CD =CB = 2，设O 为BD的中点，连接OA，OC ，于是OA ⊥BD ，OC ⊥BD ，所以BD ⊥平面OAC ⇒BD ⊥AC，因为M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点，所以MN//BD ，11/ 15又 MN ⊥ NP ，故 BD ⊥ NP ，假设 P 不是线段 BC 的中点，则直线 NP 与直线 AC 是平面 ABC 内 相交直线，从而 BD ⊥平面 ABC ，这与 ∠DBC = 60 矛盾，所以 P 是线段 BC 的中点（2）以O 为坐标原点，OB 、OC 、OA 分别为 x 、 y 、 z 轴建立空间直角坐标系，则 A (0, 0, 3) ， B，C (0,1, 0) ， M (- 1 ,0, 3)， (1 ,0, 3)(1, 0, 0)N， 22221 3 P ( , ,0)2 2于是 AN = ( ,0,- 3) ， (0, 3 , 3)PN = - ， MN = (1, 0, 0) 2 2 2 2设平面 ANP 和平面 NPM 的法向量分别为 m = (x , y , z ) 和 111n = (x , y , z )222由⎧ 1 3 x - z = 0⎪⎧⎪ ⇒ ⎪ ⎨⎨1 12 2 ⎪⎪PN ⋅m = 0 33 ⎩- + =yz ⎪ ⎩ 2211，设 y 1 =1，则 m = ( 3 ,1,1)由 ⎧x = 0 ⎧⎪ ⇒ ⎪ ⎨ ⎨332⎩⎩ PN n ⋅ = 0 - y +z =⎪ ⎪212 2，设 y 2 =1，则 n = (0,1,1) 0 cos2 10 m ⋅n == ⋅ 5m n5 2，所以二面角 A - NP -M 的余弦值 10 5 19．设等差数列{ }a 的公差为 d ，点(a ,b )在函数 f (x ) = 2x 的图象上（ n ∈ N * ）．nnn（1）若 a 1 = -2 ，点(a ,4b ) 在函数 f (x ) 的图象上，求数列{a }的前 n 项和87nS ；n(a ,b ) 处的切线在 x 轴上的截距为 21a（2）若a1 =1，函数f (x) 的图象在点-，求数列{ n } 2 2b ln 2n 的前n 项和T ．nb =，又等差数列{} 【解析】（1）点(a ,b )在函数f (x) = 2x 的图像上，所以 2a 的公差为d ，所ann n n n以b 1 2 2an+1n+==d b 2ann因为点(a8,4b7 ) 在函数f (x) 的图像上，所以b4b = 2a =b ，所以8 d2d == 4 ⇒= 2 ，又87 8 b7a =-，1 2所以n(n -1)S =na + d =-2n +n -n =n -3n2 2n 12（ 2 ）由 f (x) = 2x ，得到 f '(x ) = x2 l n，函数f (x) 的图像在点(a ,b ) 处的切线方程为2 2by -b2 = (2 ln 2)(x -a2 ) ，所以切线在x 轴上的截距为a a -，得22a=，从而222 2a ln 22 a =n ，b = 2n ，n n得到anbn1=n⋅( )2n1 1 1T =⋅+⋅ 2 +①，1 2 ( ) )nn2 2 212/ 151 1 1 1 1T =⋅+⋅+⋅+n⋅+②，1 ( )2 ( ) ) ( ) ( )2 3 n n 1 n2 2 2 2 2①-②，得1 1 1 1 1 1T =++-n⋅+=-n ++( ) ( ) 1 ( 2)( )2 n 1 n 1 n2 2 2 2 2 21T =-n ++2 ( 2)( )n 1故n2x y2 2+=（a >b > 0）的焦距为 4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构20．已知椭圆 C： 2 2 1a b成正三角形．（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）设 F 为椭圆 C 的左焦点，T 为直线x =-3上任意一点，过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P，Q．（i）证明：OT 平分线段 PQ（其中 O 为坐标原点）；（ii）当|TF || PQ |最小时，求点 T 的坐标．解：（1）2c = 4,c = 2a =b, a2 = 3b2 = 4 +b23∴b2 = 2,a2 = 6∴椭圆C 的标准方程：x +y =．2 216 2（2）（i）m - 0 1F(-2, 0), T(-3,m),k ==-m,∴k =FT PQ-3+ 2 m．P Q: y1 (x )m∴=+m⎧=+1() y x m ⎪⎪m ,⎛+⎫++-=3 12 121 x x 6 02⎪⎝m ⎭m m2 2 2, ()m2 + 3 x2 +12x +12 - 6m2 = 0⎨ xy22⎪ += 1⎪⎩ 6 2 ∆ > 0 x + x =P Q12 - 6m2x ⋅ x =PQm2-12 m 2+11144m ()() ()y + y =x + 2 + x + 2 = x + x += PQPQPQ+mmmm m 32PQ 中点⎛ -m ⎫m6 2 ，O T : y = -x + + ⎪ ⎝ m 3 m 3⎭322-6 ⋅⎛- ⎫⎪= 2 m mm 3 3 m 32 + ⎝ ⎭ 2 +∴OT 平分 PQ （ii）TF =-2 + 3 + 0 - m = m +1,222PQ()1 2 6 m m +122 6 m +1 2= 1+=mm3m3 22+2+13 / 15tTF m + 32==PQ m +2 6 12t 2 =()()()2 2m2 m2 m2 m2+ 3 +1 +4 +1 +4 +1 1 1 1 1 1 = = + + + = ()()()24 m +1 24 m +1 24 6 6 m +1 144 6 32 2 2m2 +1 1=当且仅当()24 6 2 1m +时取到等于号，∴(+)，m2 +1=2 ，m2 =1，∴T(-3,±1)．2m2 1 =421．已知函数f (x) =e x -ax2 -bx -1，其中a,b∈R ，e = 2.71828 为自然对数的底数．（1）设g(x) 是函数f (x) 的导函数，求函数g(x) 在区间[0,1]上的最小值；（2）若f (1) = 0，函数f (x) 在区间(0,1) 内有零点，求a 的取值范围．解：（1）g (x)=f '(x)=e - 2ax -b , g'(x)=e - 2a ．因为x∈[0,1],1 ,所以x x①若1a 则2a 所以函数g (x)在区间[0，1]上单增，2g (x)=g ()=-min 0 1 b②若'()()[][]gx=e 1 e<<则1< 2a <e, 于是当0 <x < ln(2a)时，() 2 0,a ,g'x =e x - a <当ln(2a)<x <1时，2 2x-2a>0,ln(2a)ln(2a)1gx，，所以函数在区间上单减，在区间上单增，g x =g ⎣⎡ a ⎦⎤= a - a a -min ln 2 2 2 ln(2 ) b()()③若ea 则2a ()x 2g'x =e - a 所以函数g (x)在区间[0，1]上单减，2g (x)=g ()=e - a -min 1 2 b⎧ -1 1 ba⎪ 2⎪ ⎪1e综上：函数 g (x )在区间[0，1]上的最小值为( )= ⎨ -- < <gx 2a 2a ln(2a ) b a,min2 2 ⎪ ⎪--ee 2a ba ⎪ ⎩2（2）由 f (1)= 0,e - a -b -1= 0,b = e - a -1, 又 f (0) = 0若函数 f (x ) 在区间 (0,1) 内有零点，则函数 f (x ) 在区间(0,1) 内至少有三个单调区间．1由（1）知当 a 或ea函数 f (x ) 在区间(0,1) 上单调，不可能满足条件．若11 ' = - ( ) h x x ln 0,由( )' = - > ⇒ < h x1 e 3< < g (x ) = g ⎡⎣ ( a )⎤⎦ = a - a a - ，令 ( ) ( ) a , min ln 2 2 2 ln(2 ) b h x = x - x ln x -e -1 1< x < e , 2 2 2 ln 2 2xxe14/ 15所以函数h(x) 在区间(1, e)上单增，在区间( e，e) 上单减．3h x =h e = e - e e -e -<即()()()ln 1 0g min x < 0 恒成立．max2于是，函数f (x) 在区间(0,1) 内至少有三个单调区间⎧(0)= 2 -+> 0 ⎧>- 2⎪g e a a e⇔⎨⇒⎨,g (1)=-a +1> 0 a <1⎪⎩⎩又1 e<a <,所以e-2 <a <1．2 2综上，a 的取值范围为(e - 2，1)．15/ 15。
2014年全国高考四川省数学(理)试卷及答案【精校版】
2014年普通高等学校招生全国统一考试理科（四川卷）参考答案第I 卷（选择题 共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．已知集合2{|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B ⋂=A ．{1,0,1,2}-B ．{2,1,0,1}--C ．{0,1}D ．{1,0}-【答案】A2．在6(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为A ．30B ．20C ．15D ．10【答案】C3．为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度【答案】A4．若0a b >>，0c d <<，则一定有A ．a b c d > B ．a b c d< C ．a b d c > D ．a b d c < 【答案】D5．执行如图1所示的程序框图，如果输入的,x y R ∈，则输出的S 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C6．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种【答案】B7．平面向量a=(1,2)， b=(4,2), c=ma+b （m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】D8．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点。
设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是A ．B ．C ．D ． 【答案】B9．已知()ln(1)ln(1)f x x x =+--，(1,1)x ∈-。
2014年四川高考数学试卷(理科)(含答案解析)
2014年四川省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2014•四川）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1，2} B．{﹣2，﹣1，0，1} C．{0，1} D．{﹣1，0}2．（5分）（2014•四川）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）A．30 B．20 C．15 D．103．（5分）（2014•四川）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动1个单位长度D．向右平行一定1个单位长度4．（5分）（2014•四川）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．＞B．＜C．＞D．＜5．（5分）（2014•四川）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（）A．0B．1C．2D．36．（5分）（2014•四川）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A．192种B．216种C．240种D．288种7．（5分）（2014•四川）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1D．28．（5分）（2014•四川）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）A．[，1]B．[，1]C．[，]D．[，1]9．（5分）（2014•四川）已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）．现有下列命题：①f（﹣x）=﹣f（x）；②f（）=2f（x）③|f（x）|≥2|x|其中的所有正确命题的序号是（）A．①②③B．②③C．①③D．①②10．（5分）（2014•四川）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）A．2B．3C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）（2014•四川）复数=_________．12．（5分）（2014•四川）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）=_________．13．（5分）（2014•四川）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于_________m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）14．（5分）（2014•四川）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB|的最大值是_________．15．（5分）（2014•四川）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B．现有如下命题：①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B．④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B．其中的真命题有_________．（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（2014•四川）已知函数f（x）=sin（3x+）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值．17．（12分）（2014•四川）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．18．（12分）（2014•四川）三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP．（1）证明：P是线段BC的中点；（2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值．19．（12分）（2014•四川）设等差数列{a n}的公差为d，点（a n，b n）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）．（1）若a1=﹣2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{a n}的前n项和S n；（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{}的前n项和T n．20．（13分）（2014•四川）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；②当最小时，求点T的坐标．21．（14分）（2014•四川）已知函数f（x）=e x﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．2014年四川省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2014•四川）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1，2} B．{﹣2，﹣1，0，1} C．{0，1} D．{﹣1，0}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：计算集合A中x的取值范围，再由交集的概念，计算可得．解答：解：A={x|﹣1≤x≤2}，B=Z，∴A∩B={﹣1，0，1，2}．故选：A．点评：本题属于容易题，集合知识是高中部分的基础知识，也是基础工具，高考中涉及到对集合的基本考查题，一般都比较容易，且会在选择题的前几题，考生只要够细心，一般都能拿到分．2．（5分）（2014•四川）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）A．30 B．20 C．15 D．10考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：利用二项展开式的通项公式求出（1+x）6的第r+1项，令x的指数为2求出展开式中x2的系数．然后求解即可．解答：解：（1+x）6展开式中通项T r+1=C6r x r，令r=2可得，T3=C62x2=15x2，∴（1+x）6展开式中x2项的系数为15，在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为：15．故选：C．点评：本题考查二项展开式的通项的简单直接应用．牢记公式是基础，计算准确是关键．3．（5分）（2014•四川）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动1个单位长度D．向右平行一定1个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据y=sin（2x+1）=sin2（x+），利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．解答：解：∵y=sin（2x+1）=sin2（x+），∴把y=sin2x的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，即可得到函数y=sin（2x+1）的图象，故选：A．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．4．（5分）（2014•四川）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．＞B．＜C．＞D．＜考点：不等式比较大小；不等关系与不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用特例法，判断选项即可．解答：解：不妨令a=3，b=1，c=﹣3，d=﹣1，则，，∴A、B不正确；，=﹣，∴C不正确，D正确．故选：D．点评：本题考查不等式比较大小，特值法有效，导数计算正确．5．（5分）（2014•四川）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（）A．0B．1C．2D．3考点：程序框图．专题：计算题；算法和程序框图．分析：算法的功能是求可行域内，目标还是S=2x+y的最大值，画出可行域，求得取得最大值的点的坐标，求出最大值．解答：解：由程序框图知：算法的功能是求可行域内，目标还是S=2x+y的最大值，画出可行域如图：当时，S=2x+y的值最大，且最大值为2．故选：C．点评：本题借助选择结构的程序框图考查了线性规划问题的解法，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．6．（5分）（2014•四川）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A．192种B．216种C．240种D．288种考点：排列、组合及简单计数问题．专题：应用题；排列组合．分析：分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论．解答：解：最左端排甲，共有=120种，最左端只排乙，最右端不能排甲，有=96种，根据加法原理可得，共有120+96=216种．故选：B．点评：本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题．7．（5分）（2014•四川）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1D．2考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由已知求出向量的坐标，再根据与的夹角等于与的夹角，代入夹角公式，构造关于m的方程，解方程可得答案．解答：解：∵向量=（1，2），=（4，2），∴=m+=（m+4，2m+2），又∵与的夹角等于与的夹角，∴=，∴=，∴=，解得m=2，故选：D点评：本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，难度中档．8．（5分）（2014•四川）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）A．[，1]B．[，1]C．[，]D．[，1]考点：直线与平面所成的角．专题：空间角．分析：由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪．再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出．解答：解：由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪．不妨取AB=2．在Rt△AOA1中，==．sin∠C1OA1=sin（π﹣2∠AOA1）=sin2∠AOA1=2sin∠AOA1cos∠AOA1=，=1．∴sinα的取值范围是．故选：B．点评：本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系即可、线面角的求法，考查了推理能力，属于中档题．9．（5分）（2014•四川）已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）．现有下列命题：①f（﹣x）=﹣f（x）；②f（）=2f（x）③|f（x）|≥2|x|其中的所有正确命题的序号是（）A．①②③B．②③C．①③D．①②考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据已知中函数的解析式，结合对数的运算性质，分别判断三个结论的真假，最后综合判断结果，可得答案．解答：解：∵f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1），∴f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣f（x），即①正确；f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln（）﹣ln（）=ln（）=ln[（）2]=2ln（）=2[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=2f（x），故②正确；当x∈[0，1）时，|f（x）|≥2|x|⇔f（x）﹣2x≥0，令g（x）=f（x）﹣2x=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）﹣2x（x∈[0，1））∵g′（x）=+﹣2=≥0，∴g（x）在[0，1）单调递增，g（x）=f（x）﹣2x≥g（0）=0，又f（x）≥2x，又f（x）与y=2x为奇函数，所以丨f（x）丨≥2丨x丨成立，故③正确；故正确的命题有①②③，故选：A点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了对数的运算性质，代入法求函数的解析式等知识点，难度中档．10．（5分）（2014•四川）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）A．2B．3C．D．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及•=2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题．解答：解：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB与x轴的交点为M（（0，m），由⇒y2﹣ty﹣m=0，根据韦达定理有y1•y2=﹣m，∵•=2，∴x1•x2+y1•y2=2，从而，∵点A，B位于x轴的两侧，∴y1•y2=﹣2，故m=2．不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，又，∴S△ABO+S△AFO==．当且仅当，即时，取“=”号，∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3，故选B．点评：求解本题时，应考虑以下几个要点：1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式．2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高．3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）（2014•四川）复数=﹣2i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用两个复数代数形式的乘除法法则化简所给的复数，可得结果．解答：解：复数===﹣2i，故答案为：﹣2i．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．12．（5分）（2014•四川）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）=1．考点：函数的值．专题：计算题．分析：由函数的周期性f（x+2）=f（x），将求f（）的值转化成求f（）的值．解答：解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的函数，∴=1．故答案为：1．点评：本题属于容易题，是考查函数周期性的简单考查，学生在计算时只要计算正确，往往都能把握住，在高考中，属于“送分题”．13．（5分）（2014•四川）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于60m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）考点：余弦定理的应用；正弦定理；正弦定理的应用．专题：应用题；解三角形．分析：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，分别在Rt△ACD、Rt△ABD中利用三角函数的定义，算出CD、BD的长，从而可得BC，即为河流在B、C两地的宽度．解答：解：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，则Rt△ACD中，∠C=30°，AD=46m∴CD==46≈79.58m．又∵Rt△ABD中，∠ABD=67°，可得BD==≈19.5m∴BC=CD﹣BD=79.58﹣19.5=60.08≈60m故答案为：60m点评：本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题．14．（5分）（2014•四川）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB|的最大值是5．考点：点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值．解答：解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）故答案为：5点评：本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．15．（5分）（2014•四川）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B．现有如下命题：①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B．④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B．其中的真命题有①③④．（写出所有真命题的序号）考点：命题的真假判断与应用；充要条件；函数的值域．专题：新定义；极限思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：根据题中的新定义，结合函数值域的概念，可判断出命题①②③是否正确，再利用导数研究命题④中函数的值域，可得到其真假情况，从而得到本题的结论．解答：解：（1）对于命题①“f（x）∈A”即函数f（x）值域为R，“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”表示的是函数可以在R中任意取值，故有：设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”∴命题①是真命题；（2）对于命题②若函数f（x）∈B，即存在一个正数M，使得函数f（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．∴﹣M≤f（x）≤M．例如：函数f（x）满足﹣2＜f（x）＜5，则有﹣5≤f（x）≤5，此时，f（x）无最大值，无最小值．∴命题②“函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值．”是假命题；（3）对于命题③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）值域为R，f（x）∈（﹣∞，+∞），并且存在一个正数M，使得﹣M≤g（x）≤M．∴f（x）+g（x）∈R．则f（x）+g（x）∉B．∴命题③是真命题．（4）对于命题④∵函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，∴假设a＞0，当x→+∞时，→0，ln（x+2）→+∞，∴aln（x+2）→+∞，则f（x）→+∞．与题意不符；假设a＜0，当x→﹣2时，→，ln（x+2）→﹣∞，∴aln（x+2）→+∞，则f（x）→+∞．与题意不符．∴a=0．即函数f（x）=（x＞﹣2）当x＞0时，，∴，即；当x=0时，f（x）=0；当x＜0时，，∴，即．∴．即f（x）∈B．故命题④是真命题．故答案为①③④．点评：本题考查了函数值域的概念、基本不等式、充要条件，还考查了新定义概念的应用和极限思想．本题计算量较大，也有一定的思维难度，属于难题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（2014•四川）已知函数f（x）=sin（3x+）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值．考点：两角和与差的余弦函数；正弦函数的单调性．专题：三角函数的求值．分析：（1）令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间．（2）由函数的解析式可得f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，可得sin（α+）=cos（α+）cos2α，化简可得（cosα﹣sinα）2=．再由α是第二象限角，cosα﹣sinα＜0，从而求得cosα﹣sinα的值．解答：解：（1）∵函数f（x）=sin（3x+），令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得﹣≤x≤+，故函数的增区间为[﹣，+]，k∈z．（2）由函数的解析式可得f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，∴sin（α+）=cos（α+）cos2α，即sin（α+）=cos（α+）（cos2α﹣sin2α），∴sinαcos+cosαsin=（cos2α﹣sin2α）（sinα+cosα）．又∵α是第二象限角，∴cosα﹣sinα＜0，当sinα+cosα=0时，此时cosα﹣sinα=﹣．当sinα+cosα≠0时，此时cosα﹣sinα=﹣．综上所述：cosα﹣sinα=﹣或﹣．点评：本题主要考查正弦函数的单调性，三角函数的恒等变换，属于中档题．17．（12分）（2014•四川）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（1）设每盘游戏获得的分数为X，求出对应的概率，即可求X的分布列；（2）求出有一盘出现音乐的概率，独立重复试验的概率公式即可得到结论．（3）计算出随机变量的期望，根据统计与概率的知识进行分析即可．解答：解：（1）X可能取值有﹣200，10，20，100．则P（X=﹣200）=，P（X=10）==P（X=20）==，P（X=100）==，故分布列为：X ﹣200 10 20 100P由（1）知，每盘游戏出现音乐的概率是p=+=，则至少有一盘出现音乐的概率p=1﹣．由（1）知，每盘游戏或得的分数为X的数学期望是E（X）=（﹣200）×+10×+20××100=﹣=．这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，入最初的分数相比，分数没有增加反而会减少．点评：本题主要考查概率的计算，以及离散型分布列的计算，以及利用期望的计算，考查学生的计算能力．18．（12分）（2014•四川）三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP．（1）证明：P是线段BC的中点；（2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角．专题：空间向量及应用．分析：（1）用线面垂直的性质和反证法推出结论，（2）先建空间直角坐标系，再求平面的法向量，即可求出二面角A﹣NP﹣M的余弦值．解答：解：（1）由三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥A﹣BCD中：平面ABD⊥平面CBD，AB=AD=BD=CD=CB=2设O为BD的中点，连接OA，OC于是OA⊥BD，OC⊥BD 所以BD⊥平面OAC⇒BD⊥AC因为M，N分别为线段AD，AB的中点，所以MN∥BD，MN∥NP，故BD⊥NP假设P不是线段BC的中点，则直线NP与直线AC是平面ABC内相交直线从而BD⊥平面ABC，这与∠DBC=60°矛盾，所以P为线段BC的中点（2）以O为坐标原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，），M（，O，），N（，0，），P（，，0）于是，，设平面ANP和平面NPM的法向量分别为和由，则，设z1=1，则由，则，设z2=1，则cos===所以二面角A﹣NP﹣M的余弦值点评：本题考查线线的位置关系，考查二面角知识的应用，解题的关键是掌握用向量的方法求二面角大小的步骤，属于中档题．19．（12分）（2014•四川）设等差数列{a n}的公差为d，点（a n，b n）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）．（1）若a1=﹣2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{a n}的前n项和S n；（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{}的前n项和T n．考点：数列的求和；数列与函数的综合．专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：（1）由于点（a8，4b7）在函数f（x）=2x的图象上，可得，又等差数列{a n}的公差为d，利用等差数列的通项公式可得=2d．由于点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，可得=b8，进而得到=4=2d，解得d．再利用等差数列的前n项和公式即可得出．（2）利用导数的几何意义可得函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程，即可解得a2．进而得到a n，b n．再利用“错位相减法”即可得出．解答：解：（1）∵点（a8，4b7）在函数f（x）=2x的图象上，∴，又等差数列{a n}的公差为d，∴==2d，∵点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，∴=b8，∴=4=2d，解得d=2．又a1=﹣2，∴S n==﹣2n+=n2﹣3n．（2）由f（x）=2x，∴f′（x）=2x ln2，∴函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程为，又，令y=0可得x=，∴，解得a2=2．∴d=a2﹣a1=2﹣1=1．∴a n=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n，∴b n=2n．∴．∴T n=+…++，∴2T n=1+++…+，两式相减得T n=1++…+﹣=﹣==．点评：本题综合考查了指数函数的运算性质、导数的几何意义、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力、计算能力、“错位相减法”，属于难题．20．（13分）（2014•四川）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；②当最小时，求点T的坐标．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：第（1）问中，由正三角形底边与高的关系，a2=b2+c2及焦距2c=4建立方程组求得a2，b2；第（2）问中，先设点的坐标及直线PQ的方程，利用两点间距离公式及弦长公式将表示出来，由取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点T的坐标．解答：解：（1）依题意有解得所以椭圆C的标准方程为+=1．（2）设T（﹣3，m），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为N（x0，y0），①证明：由F（﹣2，0），可设直线PQ的方程为x=my﹣2，由⇒（m2+3）y2﹣4my﹣2=0，所以于是，从而，即，则，所以O，N，T三点共线，从而OT平分线段PQ，故得证．②由两点间距离公式得，由弦长公式得==，所以，令，则（当且仅当x2=2时，取“=”号），所以当最小时，由x2=2=m2+1，得m=1或m=﹣1，此时点T的坐标为（﹣3，1）或（﹣3，﹣1）．点评：本题属相交弦问题，应注意考虑这几个方面：1、设交点坐标，设直线方程；2、联立直线与椭圆方程，消去y或x，得到一个关于x或y一元二次方程，利用韦达定理；3、利用基本不等式或函数的单调性探求最值问题．21．（14分）（2014•四川）已知函数f（x）=e x﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：（1）求出f（x）的导数得g（x），再求出g（x）的导数，对它进行讨论，从而判断g（x）的单调性，求出g（x）的最小值；（2）利用等价转换，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，所以g（x）在（0，1）上应有两个不同的零点．解答：解：∵f（x）=e x﹣ax2﹣bx﹣1，∴g（x）=f′（x）=e x﹣2ax﹣b，又g′（x）=e x﹣2a，x∈[0，1]，∴1≤e x≤e，∴①当时，则2a≤1，g′（x）=e x﹣2a≥0，∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递增，g（x）min=g（0）=1﹣b；②当，则1＜2a＜e，∴当0＜x＜ln（2a）时，g′（x）=e x﹣2a＜0，当ln（2a）＜x＜1时，g′（x）=e x﹣2a＞0，∴函数g（x）在区间[0，ln（2a）]上单调递减，在区间[ln（2a），1]上单调递增，g（x）min=g[ln（2a）]=2a﹣2aln（2a）﹣b；③当时，则2a≥e，g′（x）=e x﹣2a≤0，∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递减，g（x）min=g（1）=e﹣2a﹣b，综上：函数g（x）在区间[0，1]上的最小值为；（2）由f（1）=0，⇒e﹣a﹣b﹣1=0⇒b=e﹣a﹣1，又f（0）=0，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，由（1）知当a≤或a≥时，函数g（x）在区间[0，1]上单调，不可能满足“函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间”这一要求．若，则g min（x）=2a﹣2aln（2a）﹣b=3a﹣2aln（2a）﹣e+1令h（x）=（1＜x＜e）则．由＞0⇒x＜∴h（x）在区间（1，）上单调递增，在区间（，e）上单调递减，=+＜0，即g min（x）＜0 恒成立，∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间⇔⇒，又，所以e﹣2＜a＜1，综上得：e﹣2＜a＜1．点评：本题考查了，利用导数求函数的单调区间，分类讨论思想，等价转换思想，函数的零点等知识点．是一道导数的综合题，难度较大．参与本试卷答题和审题的老师有：任老师；王老师；孙佑中；刘长柏；qiss；尹伟云；翔宇老师；szjzl；caoqz；清风慕竹；静定禅心；maths（排名不分先后）菁优网2014年6月24日。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)(理科数学)【全word,精心排版】
2014年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求． 1．已知集合{}220A x x x =--…，集合B 为整数集，则AB =（ ）A ．{}1,0,1,2-B ．{}2,1,0,1--C ．{}0,1D ．{}1,0- 2．在()61x x +的展开式中，含3x 项的系数为（ ） A ．30 B ．20 C ．15 D ．103．为得到函数()sin 21y x =+的图像，只需把函数sin 2y x =的图像上所有的点（ ）A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动12个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度 4．若0a b >>，0c d <<，则一定有（ ）A ．a b c d >B ．a b c d <C ．a b d c >D ．a b d c<5．执行如图所示的程序框图，如果输入的,x y ∈R ，则输出的S 的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（ ） A ．192种 B ．216种 C ．240种 D ．288种7．平面向量()1,2=a ，()4,2=b ，m =+c a b ()m ∈R ，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．28．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，点O 为线段BD 的中点。
设点P 在线段 1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是（ ）A．⎤⎥⎣⎦ B．⎤⎥⎣⎦ C．⎣⎦ D．⎤⎥⎣⎦9．已知()()()ln 1ln 1f x x x =+--，()1,1x ∈-．现有下列命题： ①()()f x f x -=-；②()2221x f f x x ⎛⎫=⎪+⎝⎭；③()2f x x …． 其中的所有正确命题的序号是（ ）A ．①②③B ．②③C ．①③D ．①②10．已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO △与AFO △面积之和的最小值是（ ） 23OD 1C 1B 1A 1DCA二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．复数22i1i-=+ ． 12．设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当[)1,1x ∈-时，()242,10, 01x x f x x x ⎧-+-<=⎨<⎩…剎，则32f ⎛⎫=⎪⎝⎭． 13．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸,B C 的俯角分别为67，30，此时气球的高是46m ，则河流的宽度BC 约等于 m ． （用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 670.92≈， cos670.39≈，sin 370.60≈，cos370.80≈1.73≈）14．设m ∈R ，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB ⋅的最大值是 ．15．以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数()x ϕ组成的集合：对于函数()x ϕ，存在一个正数M ，使得函数()x ϕ的值域包含于区间[],M M -．例如，当()31x x ϕ=，()2sin x x ϕ=时，()1x A ϕ∈，()2x B ϕ∈．现有如下命题：① 设函数()f x 的定义域为D ，则“()f x A ∈”的充要条件是“b ∀∈R ，a D ∃∈，()f a b =”； ② 函数()f x B ∈的充要条件是()f x 有最大值和最小值；③ 若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()g x B ∈，则()()f x g x B +∉； ④ 若函数()()2ln 21xf x a x x =+++()2,x a >-∈R 有最大值，则()f x B ∈． 其中的真命题有 ．（写出所有真命题的序号）三．解答题：本大题共6小题，共 75分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．已知函数()πsin 34f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭．（1）求()f x 的单调递增区间； （2）若α是第二象限角，4πcos cos 2354f ααα⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求cos sin αα-的值．17．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得200-分）．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立． （1）设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？ （3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．18．三棱锥A BCD -及其侧视图、俯视图如图所示．设M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点，P 为线段BC 上的点，且MN NP ⊥．（1）证明：P 为线段BC 的中点；（2）求二面角A NP M --的余弦值．19．设等差数列{}n a 的公差为d ，点(),n n a b 在函数()2xf x =的图像上()*n ∈N ．（1）若12a =-，点()87,4a b 在函数()f x 的图像上，求数列{}n a 的前n 项和n S ； （2）若11a =，函数()f x 的图像在点()22,a b 处的切线在x 轴上的截距为12ln 2-，求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线3x =-上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点,P Q ． （i ）证明：OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点）；（ii ）当TF PQ最小时，求点T 的坐标．21．已知函数()2e 1x f x ax bx =---，其中,a b ∈R ，e 2.71828=为自然对数的底数．（1）设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间[]0,1上的最小值； （2）若()10f =，函数()f x 在区间()0,1内有零点，求a 的取值范围．2014年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理科）参考答案一、选择题：ACADC BDBAB二、填空题：11．2i - 12．1 13．60 14．5 15．①③④ 详解：1．22012x x x --⇒-剟 ，故集合A 中整数为1-，0，1，2．所以{}1,0,1,2AB =-．故选A2．在()61x +的展开式中，含2x 的项为22236C 15T x x =⋅=，故含3x 的项的系数为15．故选C 3．()1sin 21sin 22y x x ⎡⎤⎛⎫=+=+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故只需把函数sin 2y x =的图像上所有的点向左平移移动12个单位长度 即可得到()sin 21y x =+的图像．故选A4．解法一：110001100 0 0c d cd c d d c c d cd cd d ca b --⎫<<⇒>>>⎫⎪⇒<<⇒<<⇒⇒⎬⎬<<⎭⎪>>⎭a b a b d c d c -->⇒<． 解法二：依题意取2a =，1b =，2c =-，1d =-，代入验证得A ，B ，C ，均错误，只有D 正确．故选D5．在条件001x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩………下，2S x y =+的最大值应在点()1,0处取得，即max 2102S =⨯+=，显然21>，故选C ．6．若最左端排甲，其他位置共有55A 120=种排法；若最左端排乙，最右端共有4种排法，其余4个位置 有44A 24=种排法，所以共有120424216+⨯=种排法．故选B7．解法一：由c 与a 的夹角等于c 与b的夹角，可设()λλ⎛⎫+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭R a b c =a b ，因为m +c =a b，所以21m m ⎧=⎪⎪⇒=⎨⎪=⎪⎩．故选D解法二：()4,22m m m +=++c =a b ，因为c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，且向量夹角的取值范围是[]0,π，所以⋅⋅=⋅⋅a cb ca cb c，所以()()22444416442m m m m m ⋅=⋅⇒+++=+++⇒=a c b c ． 8．由正方体的性质易求得11sin 3C OA ∠=，1sin 3COA ∠=，9．()()()()()()ln 1ln 1ln 1ln 1f x x x x x f x -=--+=-+--=-⎡⎤⎣⎦，①正确，()()222222211222ln 1ln 1ln ln 11111x x x x x f x x x x x +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=- ⎪ ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为()1,1x ∈-，所以()()()()()222ln 12ln 12ln 1ln 121x f x x x x f x x ⎛⎫=+--=+--=⎡⎤⎪⎣⎦+⎝⎭，②正确．当[)0,1x ∈时，()()()1ln 1ln 1ln1x f x x x x +=+--=-，22x x =，令()1ln21xg x x x+=--， 则()22201x g x x'=-…，所以()g x 在[)0,1上为增函数，所以()()00g x g =…，即()2f x x >>； 当()1,0x ∈-时，()()()1ln 1ln 1ln1xf x x x x+=--+=--，22x x =-， 令()12ln 1xh x x x +=--，则()22201x h x x -'=<-，所以()h x 在()1,0-上为减函数， 所以()0h x >，即()2f x x >>．所以当()1,1x ∈-时，()2f x x …，③正确．故选A 10．不妨设(1A x，(2,B x，12222OA OB x x ⋅=⇒=⇒=1=-（舍去）．当12x x =时，有122x x ==，则ABO AFO S S +==△△； 当12x x ≠时，直线AB的方程为)112y x x =-，则直线AB 与x 轴的交点坐标为()2,0．于是112322ABO AFO S S +=⨯⨯+△△=“=”），而38>．故选B ． 11．()()()221i 22i 2i 1i 1i 1i --==-++-． 12．2311124212222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-=-⨯-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 13．不妨设气球A 在地面的投影为点D ，则46AD =，于是()cos67tan 90674619.5sin 67BD AD =⋅-=⨯=，()tan 90304679.6DC AD =⋅-=≈，所以()79.619.560m BC DC BD =-=-≈．14．易知()0,0A ，()1,3B 且PA PB ⊥，所以22210PA PB AB +==，所以2252PA PBPA PB +⋅=…（当且仅当PA PB =时取“=”）． 15．依题意可直接判定①正确；令()(]()2,1xf x x =∈-∞，显然存在正数2，使得()f x 的值域(][]0,22,2⊆-，但()f x 无最小值，②错误；假设()()f x g x B +∈，则存在正数M ，使得当x 在其公共定义域内取值时， 有()()f x g x M +…，则()()f x M g x -…，又因为()g x B ∈，则存在正数1M ，使()[]11,g x M M ∈-， 所以()1g x M -…，即()1M g x M M -+…，所以()1f x M M +…，与()f x A ∈矛盾，③正确； 当0a =时，()211,122x f x x ⎡⎤=∈-⎢⎥+⎣⎦，即()f x B ∈，当0a ≠时，因为()ln 2y a x =+的值域为(),-∞+∞， 而211,122x x ⎡⎤∈-⎢⎥+⎣⎦，此时()f x 无最大值，故0a =，④正确． 三、解答题：16．解：（1）因为函数sin y x =的单调递增区间为ππ2π,2π22k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．由πππ2π32π242k x k -+++剟，k ∈Z ，得π2ππ2π43123k k x -++剟，k ∈Z ． 所以，函数()f x 的单调递增区间为π2ππ2π,43123k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ． （2）由已知，有()22π4πsin cos cos sin 454αααα⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()22ππ4ππsin coscos sin cos cos sin sin cos sin 44544αααααα⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭． 即()()24sin cos cos sin sin cos 5αααααα+=-+．当sin cos 0αα+=时，由α是第二象限角，知3π2π4k α=+，k ∈Z ．此时，cos sin αα-=．当sin cos 0αα+≠时，有()25cos sin 4αα-=．由α是第二象限角，知cos sin 0αα-<，此时cos sin αα-=．综上所述，cos sin αα-=或 17．解：（1）X 可能的取值为10，20，100，200-．根据题意，有()121311310C 1228P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()212311320C 1228P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()333111100C 1228P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3111⎛⎫⎛⎫（2）设“第i 盘游戏没有出现音乐”为事件()1,2,3i A i =，则()()()()2312008i P A P A P A P X ====-=． 所以，“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为()323115111118512512i P A A A ⎛⎫-=-=-=⎪⎝⎭． 因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512． （3）X 的数学期望为33115102010020088884EX =⨯+⨯+⨯-⨯=-．这表明，获得分数X 的均值为负．因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．18．解：（1）如图，取BD 中点O ，连接AO ，CO ．由侧视图及俯视图知，ABD △，BCD △为正三角形，因此AO BD ⊥，OC BD ⊥． 因为AO ，OC ⊂平面AOC 内，且AO OC =O ，所以BD ⊥平面AOC ．又因为AC ⊂平面AOC ，所以BD AC ⊥．取BO 的中点H ，连接NH ，PH ． 又M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点，所以//NHAO ，//MN BD ．因为AO BD ⊥，所以NH BD ⊥．因为MN NP ⊥，所以NP BD ⊥．因为NH ，NP ⊂平面NHP ，且NH NP N =，所以BD ⊥平面NHP ． 又因为HP ⊂平面NHP ，所以BD HP ⊥．又OC BD ⊥，HP ⊂平面BCD ， OC ⊂平面BCD ，所以//HP OC ．因为H 为BO 中点，故P 为BC 中点． （2）解法一：如图，作NQ AC ⊥于Q ，连接MQ ．由（I ）知，//NP AC ，所以NQ NP ⊥．因为MN NP ⊥，所以MNQ ∠为二面角A NP M --的一个平面角．由（1）知，ABD △，BCD △是边长为2的正三角形，所以AO=OC = 由俯视图可知，AO ⊥平面BCD ．因为OC ⊂平面BCD ，所以AO OC ⊥．因此在等腰Rt AOC △中，AC ．作BR AC ⊥于R ．在ABC △中，AB BC =，所以2BR ==．因为在平面ABC 内，NQ AC ⊥，BR AC ⊥，所以//NQ BR ． 又因为N 为AB 的中点，所以Q 为AR 的中点，因此2BR NQ ==MQ =， 所以在等腰MNQ △中，24cos MN BDMNQ NQ NQ ∠===．故二面角A NP M --的余弦值是解法二：由俯视图（I ）可知，AO ⊥平面BCD ．因为OC ，OB ⊂平面BCD ，所以AO OC ⊥，AO OB ⊥．又OC OB ⊥，所以直线OA ，OB ，OC 如图，以O 为坐标原点，以OB ，OC ，OA 的方向为x 轴，y 轴，z (()CH OPN M D BARPBNM DCAH OQ因为M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点，又由（I ）知，P 为线段BC 的中点，所以12M ⎛-⎝⎭，12N ⎛ ⎝⎭，12P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．于是(1,0,AB =，()BC =-，()1,0,0MN =，NP ⎛= ⎝⎭．设平面ABC 的一个法向量()1111,,x y z =n ，则11,,AB BC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n 即110,0,AB BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 有()(()()111111,,1,0,0,,,0,x y z x y z ⎧⋅=⎪⎨⋅-=⎪⎩从而11110,0.x x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩取11z =，则1x =11y =，所以)1=n ．设平面MNP 的一个法向量()2222,,x y z =n ，则22,,MN NP ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n 即220,0,MN NP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，有()()()222222,,1,0,00,,,0,x y z x y z ⋅=⎧⎪⎛⎨⋅= ⎪ ⎝⎭⎩从而2220,0.22x y z =⎧-=⎪⎩，取21z =，所以()20,1,1=n ． 设二面角A NP M --的大小为θ，则1212cos θ⋅===⋅n nn n ． 故二面角A NP M -- 19．解：（1）由已知，772ab =，88724ab b ==，有87722422aaa +=⨯=．解得872d a a =-=．所以，()()2112132n n n S na d n n n n n -=+=-+-=-． （2）函数()2x f x =在()22,a b 处的切线方程为()()22222ln 2aay x a -=-，它在x 轴上的截距为21ln 2a -．由题意，2112ln 2ln 2a -=-，解得22a =．所以211d a a =-=．从而n a n =，2nn b =．所以231123122222n n n n n T --=+++++，3112321222n n n T -=++++．因此，12111111222122222222n n n n n n n n n nn T T +-----=++++-=--=．所以，1222n n nn T +--=． 20．解：（1）由已知可得224b c ===⎪⎩解得26a =，22b =，所以椭圆C 的标准方程是22162x y +=． （2）（i ）由（1）可得，F 的坐标是()2,0-，设T 点的坐标为()3,m -．则直线TF 的斜率()32TF m k m -==----．当0m ≠时，直线PQ 的斜率1k =．直线PQ 的方程是2x my =-．设()11,P x y ，()22,Q x y ，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得222162x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩．消去x ，得()223420m y my +--=，其判别式()2216830m m ∆=++>．所以12243m y y m +=+，12223y y m -=+，()121221243x x m y y m -+=+-=+． 所以PQ 的中点M 的坐标为2262,33m m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭．所以直线OM 的斜率3OM m k =-， 又直线OT 的斜率3OT mk =-，所以点M 在直线OT 上，因此OT 平分线段PQ ． （ii ）由（i）可得，TF =．所以PQ ===)2213m m +=+．所以TF PQ==． 当且仅当22411m m +=+，即1m =±时，等号成立，此时TF PQ取得最小值．所以当TF PQ最小时，T 点的坐标是()3,1-或()3,1--．21．解：（1）由()2e 1x f x ax bx =---，有()()e 2x g x f x ax b '==--．所以()e 2x g x a '=-． 因此，当[]0,1x ∈时，()[]12,e 2g x a a '∈--．当12a …时，()0g x '…，所以()g x 在[]0,1上单调递增． 因此()g x 在[]0,1上的最小值是()01gb =-；当e 2a …时，()0g x '…，所以()g x 在[]0,1上单调递减．因此()g x 在[]0,1上的最小值是()1e 2g ab =--； 当1e22a <<时，令()0g x '==，得()()ln 20,1x a =∈．所以函数()g x 在区间()0,ln 2a ⎡⎤⎣⎦上单调递减，在区间()(ln 2,1a ⎤⎦上单调递增．于是，()g x 在[]0,1上的最小值是()()()ln 222ln 2g a a a ab =--．综上所述，当12a …时，()g x 在[]0,1上的最小值是()01gb =-； 当1e22a <<时，()g x 在[]0,1上的最小值是()()()ln 222ln 2g a a a ab =--； 当ea …时，()g x 在[]0,1上的最小值是()1e 2g ab =--．11 （2）设0x 为()f x 在区间()0,1内的一个零点，则由()()000f f x ==可知，()f x 在区间()00,x 上不可能单调递增，也不可能单调递减．则()g x 不可能恒为正，也不可能恒为负．故()g x 在区间()00,x 内存在零点1x ． 同理()g x 在()0,1x 区间内存在零点2x ．所以()g x 在区间()0,1内至少有两个零点．由（1）知，当12a …时，()g x 在[]0,1上单调递增，故()g x 在()0,1内至多有一个零点． 当e 2a …时，()g x 在[]0,1上单调递减，故()g x 在()0,1内至多有一个零点．所以1e 22a <<． 此时()g x 在区间()0,ln 2a ⎡⎤⎣⎦上单调递减，在区间()(ln 2,1a ⎤⎦上单调递增．因此()(10,ln 2x a ∈⎤⎦，()()2ln 2,1x a ∈，必有()010g b =->，()1e 20g a b =-->．由()10f =，有e 12a b +=-<，有()01e 20g b a =-=-+>，()1e 210g a b a =--=->．解得e 21a -<<．当e 21a -<<时，()g x 在区间[]0,1内有最小值()()ln 2g a ． 若()()ln 20g a …，则()[]()00,1g x x ∈…，从而()f x 在区间[]0,1上单调递增，这与()()010f f ==矛盾，所以()()ln 20g a <．又()0e 20g a =-+>，()110g a =->，故此时()g x 在()()0,ln 2a 和()()ln 2,1a 内各只有一个零点1x 和2x ．由此可知()f x 在[]10,x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在[]2,1x 上单调递增．所以()()100f x f >=，()()210f x f <=，故()f x 在()12,x x 内有零点．综上可知，a 的取值范围是()e 2,1-．。
2014年高考理科数学四川卷-答案
【提示】（1）设每盘游戏获得的分数为X ，求出对应的概率，即可求X 的分布列； （2）求出有一盘出现音乐的概率，独立重复试验的概率公式即可得到结论. （3）计算出随机变量的期望，根据统计与概率的知识进行分析即可. 【考点】排列组合，古典概型，分布列，用期望分析问题
18.【答案】（1）由三棱锥A BCD -及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥A BCD -中：平面ABD ⊥平面CBD ，
2AB AD BD CD CB =====，设O 为BD 的中点，连接OA ，OC ，
于是OA BD ⊥，OC BD ⊥所以BD ⊥平面OAC ⇒BD AC ⊥，
因为M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点，所以//MN BD ，又MN NP ⊥，故BD NP ⊥， 假设P 不是线段BC 的中点，则直线NP 与直线AC 是平面ABC 内相交直线， 从而BD ⊥平面ABC ，这与60DBC ∠=o 矛盾，所以P 为线段BC 的中点.
【提示】（1）用线面垂直的性质和反证法推出结论，
（2）先建空间直角坐标系，再求平面的法向量，即可求出二面角的余弦值.
【提示】（1）求出()f x 的导数得()g x ，再求出()g x 的导数，对它进行讨论，从而判断()g x 的单调性，求出()g x 的最小值；
（2）利用等价转换，若函数()f x 在区间(0,1)内有零点，则函数()f x 在区间(0,1)内至少有三个单调区间，所以()g x 在(0,1)上应有两个不同的零点.
【考点】函数的导函数，极值，最值，函数的零点。
2014四川高考数学答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学(理工类)参考答案及评分意见第I卷(选择题共50分)一、选择题:(每小题5分,共50分)1.A2.C;3.A;4.D;5.C;6.B;7.D;8.B;9.C; 10.B.第II卷(非选择题共100分)二、填空题:(每小题5分,共25分)11. ; 12.13.; 14.; 15.①③④.三、解答题:(共75分)16.令得故的单调增区间为6分由题设得7分8分若且为第二象限角,有此时9分若有而10分可得12分17.经分析知可取故分布列为6易知每一盘不出现音乐的概率为8分故三盘至少有一盘出现音乐的概率为10分由得11分由概率学知识得的数学期望为负,故许多人经过若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而会减少. 12分18.取中点,由三视图知识得两两垂直故可建立如图所示空间直角坐标系可得,取中点,有又,故与重合,即有点为中点6分设平面的法向量为有可得一解同理可得平面的一个法向量为11分经分析知所求二面角的余弦值为12分19.由题设可得,为定值故数列是以为公比的等比数列由题设得,可得6分7分函数在处切线方程为8分而点在该直线上,可得9分故10分①①×得②①－②得化简整理得12分20.由题设条件得故椭圆的方程为4分当直线斜率不存在时,易得平分线段5分当直线斜率存在时,设必有,有7分此时,线段中点坐标为在直线上综上所述平分线段9分当直线斜率不存在时,易得当直线斜率存在时,由可得10分令得因为当仅当即时,等号成立12分故,又最小时,点的坐标为13分21.1分当时,恒成立,此时单调递增2分当时,恒成立,此时单调递增3分当时,恒成立,此时单调递减4分当时,可得唯一零点此时有5分综上所述:时,7分由题设得故在上有零点在在有解记函数令故14分。
2014年普通高等学校招生全国统一考试四川理科数学试题及答案解析(Word版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类）一. 选择题1. 已知集合2{|20},A x x x B =--≤集合为整数集，则A B =（ A ）A ．{-1,0,1,2} B.{-2,-1,0,1} C.{0,1} D.{-1,0} 2.在6(1)x x +的展开式中，含3x 的系数的为（ C ） A ．30 B.20 C.15 D.10 解析：即求6226(1)15x x C +=中的系数为.3.为了得到函数sin(21)y x =+的图像，只需把函数sin 2y x =的图像上所有的点（ A ）A.向左平移12个单位长度 B.向右平移12个单位长度C.向左平移1个单位长度D.向右平移1个单位长度解析：1sin(21)=sin 2()2y x x =++，将sin 2y x =向左平移12个单位长度. 4.若0,0,a b c d >><<则一定有（ D ）A.a b c d > B. a b c d < C. a b d c > D. a b d c<解析：（1）特殊值法：取2,1,2,1a b c d ===-=-即可； （2）利用不等式的性质：110,0,c d c d d c<<∴->->->- 又0,0,a b a ba b d c d c >>∴->->∴<5.执行如图的程序框图，如果输入的,x y R ∈， 那么输出的S 的最大值为（ C ） A ．0 B.1C ．2 D.3解析：本题将程序框图和线性规划结合起来，有一定的新颖性，摆脱了传统的线性规划考题模式，关键是能够理解程序框图表达的含义，将原题转化为：已知001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，求解2S x y =+的最大值. 作图易知，S 在(1,0)处取得最大值2.6.六个人从左自右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法有（ B ） A ．192种 B. 216种 C ．240种 D.288种 解析：由甲，乙的位置分两种情况：（1）最左端排甲，有5!120=种；（2）最左端排乙，有44!96⨯=种. 共120+96=216种. 7.平面向量(1,2),(4,2),a b c ma b ===+，且c a c b 与的夹角等于与的夹角，则m=（ D ） A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析：==a cb cc a c b a b⋅⋅⇔与的夹角与的夹角 8.在正方体1111ABCD A BC D -中，点O 为线段BD 的中点，设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BDαα的夹角为，则sin 的取值范围是（ B ）A.3B. 3C.3D. [,1]3结束输出S S=1S=2x+y否是x≥0，y≥0,x+y≤1？输入x,y开始C解析：设棱长为1，则11111AC AC AO OC OC =====所以1111111cos ,sin 333AOC AOC AOC AOC ====. 9.已知()ln(1)ln(1),(1,1)f x x x x =+--∈-. 现有下列命题： ①()()f x f x -=-；②22()2()1xf f x x=+；③()2f x x ≥ 其中所有的正确命题序号是（ C ）A. ①②③B. ②③C. ①③D. ①② 解析：①()()f x f x -=-显然成立；②左边22()1xf x+中的x 只是不能为1，右边()f x 中的(1,1)x ∈-，故不对；③由于左右两边均为偶函数，只需判断()2,(0,1)f x x x ≥∈即可， 记()()2,(0,1)g x f x x x =-∈，则22'()20,(0,1)1g x x x =->∈-，故()(0)0g x g >=，于是③成立.10.已知F 为抛物线2y x =的焦点，点,A B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=. 则ABO AFO ∆∆与面积之和的最小值是 A ．2 B.3D.10 解析：由题意得22112211221(,0),(,),(,),,,4F A x y B x y y x y x ==设则由2OA OB ⋅=得，22121212122x x y y y y y y +=+=，于是1221y y =-或，又点,A B 位于x 轴的两侧，故122y y =-. 所以2212211122111111122428ABO AFO S S x y x y y y y y y y ∆∆+=⨯-+⨯⨯=-+12111111121293888y y y y y y y y =-+=++=+≥. 注：已知原点1122,(,),(,)O A x y B x y ，设过点A ，B 的直线斜率为k ，则 直线AB 为211121()y y y x x y x x -=-+-，所以1112122122111222ABOx y S x x y x yx y ∆=-=-=. 二．填空题11.复数221ii-=+2i-12.设()f x是定义在R上的周期为2的函数，当[1,1)x∈-时，242,10,(),01,x xf xx x⎧-+-≤<=⎨≤<⎩则3()2f=113.从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的府角分别是67,30，此时气球的高度是46m，则河流的宽度BC约等于60 m(四舍五入将结果精确到个位.参考数据：sin670.92,cos670.39,sin370.60,cos37 1.73≈≈≈≈≈) 解析：解三角形的实际问题，利用正弦定理即可.14.设m R∈，过定点A的动直线0x my+=和过定点B的动直线30mx y m--+=交于点(,)P x y，则PA PB⋅的最大值是 5解析：由题意得(0,0),(1,3)A B，消去m得P点方程为：2230x y x y+--=上，所以点P 在以AB为直径的圆上，且PA PB⊥，故222522PA PB ABPA PB+⋅≤==.15.以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数()xϕ组成的集合：对于函数()xϕ，存在一个正数M，使得函数()xϕ的值域包含于区间[,]M M-. 例如，当312(),()sinx x x xϕϕ==时，12(),()x A x Bϕϕ∈∈. 现有如下命题①设函数()f x的定义域为D，则“()f x A∈”的充要条件是“,,()b R a D f a b∀∈∃∈=”；②函数()f x B∈的充要条件是()f x有最大值和最小值；③若函数(),()f xg x的定义域相同，且(),(),f x Ag x B∈∈则()()f xg x B+∉；④若函数2()ln(2)(2,)1xf x a x x a R x =++>-∈+有最大值，则()f x B ∈. 其中证明题有_________________________解析：①集合A 的特点是：函数是满射；②()x ϕ一定有上下确界，不一定有最值； ③正确；④要使函数()f x 取到最大值，则必有0a =，故2()1xx B x =∈+. 三．解答题16.已知函数()sin(3)4f x x π=+（1）求()f x 的单调递增区间； （2）若α是第二象限角，4()cos()cos 2,cos sin 354f απαααα=+-求的值. 解：（1）由232242k x k πππππ-≤+≤+得()f x 的单调递增区间为：22[,],34312k k k Z ππππ-+∈；（2）由4()cos()cos 2354f απαα=+得4sin()cos()cos 2454ππααα+=+整理得25(cos sin )4αα-=，又α是第二象限角，所以cos sin 0αα-<，故cos sin 2αα-=-. 17.击鼓游戏规则如下，每盘游戏都需要击鼓三次，没次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获10分，出现2次音乐获20分，出现三次音乐获100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得-200分）. 设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立. (1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； （2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发. 若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少. 请运用概率统的相关知识分析分数减少的原因.解析：（1）X 的可能取值为-200，10，20，100，所以X 的分布列为(2) 至少有一盘出现音乐的概率是311()8-=511512； （3）54EX =-，说明获得分数X 的均值为负，因此多次游戏后分数减少的可能性更大. 18.三棱锥A BCD -及其侧视图，俯视图如图所示. 设,M N 分别为线段,AD AB 的中点，P 为线段BC 上的点，且MN NP ⊥.俯视图11侧视图1BC（1）证明：P 是线段BC 的中点； （2）求二面角A NP M --的余弦值.519.设等差数列{}n a 的公差为d,点(,)n n a b 在函数()2xf x =的图像上（*n N ∈） （1）若12a =-，点87(,4)a b 在函数()f x 的图像上，求数列{}n a 的前n 项和n S ； （2）若11a =，函数()f x 的图像在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为12ln 2-，求数列{}n nab 的前n 项和n T . 解析： 点(,)n n a b 在函数()2xf x =的图像上，∴ 2n an b =（1）点87(,4)a b 在函数()f x 的图像上，∴8742ab =，即872722a a b -==，所以87872,2a a d a a -==-=，故{}22n a -是首项为，公差为的等差数列.因此，2(1)2232n n n S n n n -=-+⨯=-； （2）由'()2ln 2xf x =得，函数()f x 的图像在点22(,)a b 处的切线为：2222ln 2()a y x a b =-+，其在x 轴上的截距为：22221122ln 2ln 2ln 2a b a a -=-=-， 所以22a =，故{}11n a 是首项为，公差为的等差数列，=,2n n n a n b =由=2n n n a nb 得，12311231++++22222n n n n n T --=⋅⋅⋅+ ①234111231++++222222n n n n nT +-=⋅⋅⋅+ ② ①-②得，12311111[1()]11111222++12222222212n n n n n n n n n T +++-+=+⋅⋅⋅+-=-=-- 所以222n n nT +=-.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的的一个端点构成正三角形，（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设F 是椭圆C 的左焦点， T 为直线x=-3上任意一点，过F 做TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q ，（i ）证明：OT 平分线段PQ ；（ii ）当TP PQ最小时，求点T 的坐标.解析：（1）由题意得24,c a ==，解得a b ==所以椭圆C 的标准方程为：22162x y +=；21.已知函数2()1x f x e ax bx =---，其中,a b R ∈（1）设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间[0,1]的最小值； （2）若(1)0f =，函数()f x 在区间（0,1）内有零点，求a 的取值范围. 解：（1）()'()2,[0,1],'()2xxg x f x e ax b x g x e a ==--∈=-则 当0a ≤时，'()0g x >，min ()(0)1g x g b ==-； 当0a >时，令'()0g x =得ln 2x a =,(i)当10ln 202a a <≤≤时，，()g x 在[0,1]上单调递增， min ()(0)1g x g b ==-；（ii ）当1ln 2122ea a <<<<时，0，()g x 在[0,ln 2]a 上单调递减，在[ln 2,1]a 上单调递增，所以min ()(ln 2)2(ln 2)g x g a ab a a ==--； （iii ）当ln 212ea a ≥≥时，，()g x 在[0,1]上单调递减，所以 min ()(1)2g x g e a b ==--.综上所述，min11,21()2(ln 2),222,2b a e g x a b a a a e e a b a ⎧-≤⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩（2）由(1)0f =得，1b e a =--注意到(0)(1)0f f ==，()f x 在区间[0,1]内连续， (i)当102a <≤时，min ()120g x b a e =-=+-<；。
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(四川卷,含答案)
2014年普通高等学校招生全国统一考试理科（四川卷）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．已知集合2{|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B ⋂= A ．{1,0,1,2}- B ．{2,1,0,1}-- C ．{0,1} D ．{1,0}- 【答案】A【解析】{|12}A x x =-≤≤，B Z =，故A B ⋂={1,0,1,2}- 2．在6(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为 A ．30 B ．20 C ．15 D ．10 【答案】C【解析】含3x 项为24236(1)15x C x x ⋅=3．为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上 所有的点 A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动12个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度 【答案】A【解析】因为1sin(21)sin[2()]2y x x =+=+，故可由函数sin 2y x =的图象上所有的点向左平行移动12个单位长度得到4．若0a b >>，0c d <<，则一定有 A ．a b c d > B ．a b c d < C ．a b d c > D ．a b d c< 【答案】D【解析】由1100c d d c<<⇒->->，又0a b >>，由不等式性质知：0a b d c ->->，所以a bd c< 5．执行如图1所示的程序框图，如果输入的,x y R ∈，则输出的S 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C【解析】当001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时，函数2S x y =+的最大值为2.6．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 A ．192种 B ．216种 C ．240种 D ．288种 【答案】B【解析】当最左端为甲时，不同的排法共有55A 种；当最左端为乙时，不同的排法共有14C 44A 种。
2014年四川高考数学试卷(理科)(含答案解析)
2014年四川高考数学试卷(理科)(含答案解析)2014年四川省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）（2014•四川）已知集合A={x|x 2﹣x ﹣2≤0}，集合B 为整数集，则A ∩B=（ ） A ． {﹣1，0，1，2} B ． {﹣2，﹣1，0，1}C ． {0，1}D ． {﹣1，0}2．（5分）（2014•四川）在x （1+x ）6的展开式中，含x 3项的系数为（ ） A ． 30 B ． 20C ． 15D ． 103．（5分）（2014•四川）为了得到函数y=sin （2x+1）的图象，只需把y=sin2x 的图象上所有的点（ ） A ． 向左平行移动个单位长度 B ． 向右平行移动个单位长度 C ． 向左平行移动1个单位长度 D ． 向右平行一定1个单位长度4．（5分）（2014•四川）若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有（ ） A ． ＞ B ． ＜ C ． ＞ D ． ＜5．（5分）（2014•四川）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（）A．0B．1C．2D．36．（5分）（2014•四川）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A．192种B．216种C．240种D．288种7．（5分）（2014•四川）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1D．28．（5分）（2014•四川）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）A．[，1]B．[，1]C．[，]D．[，1]9．（5分）（2014•四川）已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）．现有下列命题：①f（﹣x）=﹣f（x）；②f（）=2f（x）③|f（x）|≥2|x|其中的所有正确命题的序号是（）A．①②③B．②③C．①③D．①②10．（5分）（2014•四川）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）A．2B．3C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）（2014•四川）复数=_________．12．（5分）（2014•四川）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）=_________．13．（5分）（2014•四川）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于_________m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）14．（5分）（2014•四川）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB|的最大值是_________．15．（5分）（2014•四川）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx 时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B．现有如下命题：①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B．④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B．其中的真命题有_________．（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（2014•四川）已知函数f（x）=sin（3x+）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值．17．（12分）（2014•四川）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．18．（12分）（2014•四川）三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP．（1）证明：P是线段BC的中点；（2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值．19．（12分）（2014•四川）设等差数列{a n}的公差为d，点（a n，b n）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）．（1）若a1=﹣2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{a n}的前n项和S n；（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{}的前n项和T n．20．（13分）（2014•四川）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；②当最小时，求点T的坐标．21．（14分）（2014•四川）已知函数f（x）=e x﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．2014年四川省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）（2014•四川）已知集合A={x|x 2﹣x ﹣2≤0}，集合B 为整数集，则A ∩B=（ ） A ． {﹣1，0，1，2} B ． {﹣2，﹣1，0，1}C ． {0，1}D ． {﹣1，0}考点：交集及其运算．专题： 计算题．分析： 计算集合A 中x 的取值范围，再由交集的概念，计算可得．解答： 解：A={x|﹣1≤x ≤2}，B=Z ， ∴A ∩B={﹣1，0，1，2}．故选：A ． 点评：本题属于容易题，集合知识是高中部分的基础知识，也是基础工具，高考中涉及到对集合的基本考查题，一般都比较容易，且会在选择题的前几题，考生只要够细心，一般都能拿到分．2．（5分）（2014•四川）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）A．30 B．20 C．15 D．10考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：利用二项展开式的通项公式求出（1+x）6的第r+1项，令x的指数为2求出展开式中x2的系数．然后求解即可．解答：解：（1+x）6展开式中通项T r+1=C6r x r，令r=2可得，T3=C62x2=15x2，∴（1+x）6展开式中x2项的系数为15，在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为：15．故选：C．点评：本题考查二项展开式的通项的简单直接应用．牢记公式是基础，计算准确是关键．3．（5分）（2014•四川）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动1个单位长D．向右平行一定1个单位长度度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据y=sin（2x+1）=sin2（x+），利用函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．解答：解：∵y=sin（2x+1）=sin2（x+），∴把y=sin2x的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，即可得到函数y=sin（2x+1）的图象，故选：A ．点评：本题主要考查函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．4．（5分）（2014•四川）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．＞B．＜C．＞D．＜考点：不等式比较大小；不等关系与不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用特例法，判断选项即可．解答：解：不妨令a=3，b=1，c=﹣3，d=﹣1，则，，∴A、B不正确；，=﹣，∴C不正确，D正确．故选：D．点评：本题考查不等式比较大小，特值法有效，导数计算正确．5．（5分）（2014•四川）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（）A．0B．1C．2D．3考点：程序框图．专题：计算题；算法和程序框图．分析：算法的功能是求可行域内，目标还是S=2x+y的最大值，画出可行域，求得取得最大值的点的坐标，求出最大值．解答：解：由程序框图知：算法的功能是求可行域内，目标还是S=2x+y的最大值，画出可行域如图：当时，S=2x+y的值最大，且最大值为2．故选：C．点评：本题借助选择结构的程序框图考查了线性规划问题的解法，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．6．（5分）（2014•四川）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A．192种B．216种C．240种D．288种考点：排列、组合及简单计数问题．专题：应用题；排列组合．分分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排析：甲，根据加法原理可得结论．解答：解：最左端排甲，共有=120种，最左端只排乙，最右端不能排甲，有=96种，根据加法原理可得，共有120+96=216种．故选：B．点评：本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题．7．（5分）（2014•四川）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1D．2考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由已知求出向量的坐标，再根据与的夹角等于与的夹角，代入夹角公式，构造关于m的方程，解方程可得答案．解答：解：∵向量=（1，2），=（4，2），∴=m +=（m+4，2m+2），又∵与的夹角等于与的夹角，∴=，∴=，∴=，解得m=2，故选：D点评：本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，难度中档．8．（5分）（2014•四川）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）A．[，1]B ．[，1]C ．[，]D．[，1]考点：直线与平面所成的角．专题：空间角．分析：由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪．再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出．解答：解：由题意可得：直线OP 于平面A 1BD 所成的角α的取值范围是∪．不妨取AB=2．在Rt△AOA1中，==．sin∠C1OA 1=sin（π﹣2∠AOA1）=sin2∠AOA1=2sin∠AOA 1cos∠AOA1=，=1．∴sinα的取值范围是．故选：B．点评：本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系即可、线面角的求法，考查了推理能力，属于中档题．9．（5分）（2014•四川）已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x ∈（﹣1，1）．现有下列命题：①f（﹣x）=﹣f（x）；②f（）=2f（x）③|f（x）|≥2|x|其中的所有正确命题的序号是（）A．①②③B．②③C．①③D．①②考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据已知中函数的解析式，结合对数的运算性质，分别判断三个结论的真假，最后综合判断结果，可得答案．解答：解：∵f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1），∴f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣f（x），即①正确；f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln（）﹣ln（）=ln（）=ln[（）2]=2ln（）=2[ln （1+x）﹣ln（1﹣x）]=2f（x），故②正确；当x∈[0，1）时，|f（x）|≥2|x|⇔f（x）﹣2x≥0，令g （x）=f（x）﹣2x=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）﹣2x（x∈[0，1））∵g′（x）=+﹣2=≥0，∴g（x）在[0，1）单调递增，g（x）=f（x）﹣2x≥g（0）=0，又f（x）≥2x，又f（x）与y=2x为奇函数，所以丨f （x）丨≥2丨x丨成立，故③正确；故正确的命题有①②③，故选：A点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了对数的运算性质，代入法求函数的解析式等知识点，难度中档．10．（5分）（2014•四川）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）A．2B ．3C．D．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及•=2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题．解答：解：设直线AB 的方程为：x=ty+m，点A（x1，y1），B （x2，y2），直线AB与x轴的交点为M（（0，m），由⇒y 2﹣ty﹣m=0，根据韦达定理有y1•y2=﹣m，∵•=2，∴x1•x2+y1•y 2=2，从而，∵点A，B位于x轴的两侧，∴y1•y 2=﹣2，故m=2．不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，又，∴S△ABO+S△AFO==．当且仅当，即时，取“=”号，∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3，故选B．点评：求解本题时，应考虑以下几个要点：1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式．2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高．3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）（2014•四川）复数=﹣2i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用两个复数代数形式的乘除法法则化简所给的复数，可得结果．解答：解：复数===﹣2i，故答案为：﹣2i．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．12．（5分）（2014•四川）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）=1．考点：函数的值．专题：计算题．分析：由函数的周期性f（x+2）=f（x），将求f（）的值转化成求f（）的值．解答：解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的函数，∴=1．故答案为：1．点评：本题属于容易题，是考查函数周期性的简单考查，学生在计算时只要计算正确，往往都能把握住，在高考中，属于“送分题”．13．（5分）（2014•四川）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于60m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）考点：余弦定理的应用；正弦定理；正弦定理的应用．专题：应用题；解三角形．分析：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，分别在Rt△ACD、Rt△ABD中利用三角函数的定义，算出CD、BD的长，从而可得BC，即为河流在B、C两地的宽度．解答：解：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，则Rt △ACD中，∠C=30°，AD=46m∴CD==46≈79.58m．又∵Rt△ABD中，∠ABD=67°，可得BD==≈19.5m∴BC=CD﹣BD=79.58﹣19.5=60.08≈60m故答案为：60m点评：本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题．14．（5分）（2014•四川）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB|的最大值是5．考点：点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值．解答：解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）故答案为：5点评：本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．15．（5分）（2014•四川）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx 时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B．现有如下命题：①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B．④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B．其中的真命题有①③④．（写出所有真命题的序号）考点：命题的真假判断与应用；充要条件；函数的值域．专题：新定义；极限思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：根据题中的新定义，结合函数值域的概念，可判断出命题①②③是否正确，再利用导数研究命题④中函数的值域，可得到其真假情况，从而得到本题的结论．解答：解：（1）对于命题①“f（x）∈A”即函数f（x）值域为R，“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”表示的是函数可以在R中任意取值，故有：设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”∴命题①是真命题；（2）对于命题②若函数f（x）∈B，即存在一个正数M，使得函数f（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．∴﹣M≤f（x）≤M．例如：函数f（x）满足﹣2＜f（x）＜5，则有﹣5≤f（x）≤5，此时，f（x）无最大值，无最小值．∴命题②“函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值．”是假命题；（3）对于命题③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g （x）∈B，则f（x）值域为R，f（x）∈（﹣∞，+∞），并且存在一个正数M，使得﹣M≤g（x）≤M．∴f（x）+g（x）∈R．则f（x）+g（x）∉B．∴命题③是真命题．（4）对于命题④∵函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，∴假设a＞0，当x→+∞时，→0，ln（x+2）→+∞，∴aln（x+2）→+∞，则f（x）→+∞．与题意不符；假设a＜0，当x→﹣2时，→，ln（x+2）→﹣∞，∴aln（x+2）→+∞，则f（x）→+∞．与题意不符．∴a=0．即函数f（x）=（x＞﹣2）当x＞0时，，∴，即；当x=0时，f（x）=0；当x＜0时，，∴，即．∴．即f（x）∈B．故命题④是真命题．故答案为①③④．点评：本题考查了函数值域的概念、基本不等式、充要条件，还考查了新定义概念的应用和极限思想．本题计算量较大，也有一定的思维难度，属于难题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（2014•四川）已知函数f（x）=sin（3x+）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值．考点：两角和与差的余弦函数；正弦函数的单调性．专题：三角函数的求值．分析：（1）令2k π﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z ，求得x的范围，可得函数的增区间．（2）由函数的解析式可得f （）=sin （α+），又f（）=cos（α+）cos2α，可得sin（α+）=cos（α+）cos2α，化简可得（cosα﹣sinα）2=．再由α是第二象限角，cosα﹣sinα＜0，从而求得cos α﹣sinα的值．解答：解：（1）∵函数f（x）=sin（3x+），令2k π﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得﹣≤x≤+，故函数的增区间为[﹣，+]，k∈z．（2）由函数的解析式可得f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，∴sin（α+）=cos（α+）cos2α，即sin（α+）=cos（α+）（cos2α﹣sin2α），∴sinαcos+cosαsin=（cos2α﹣sin2α）（sinα+cosα）．又∵α是第二象限角，∴cosα﹣sinα＜0，当sinα+cosα=0时，此时cosα﹣sin α=﹣．当sinα+cosα≠0时，此时cosα﹣sinα=﹣．综上所述：cosα﹣sinα=﹣或﹣．点评：本题主要考查正弦函数的单调性，三角函数的恒等变换，属于中档题．17．（12分）（2014•四川）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分（1）设每盘游戏获得的分数为X，求出对应的概率，即析：可求X的分布列；（2）求出有一盘出现音乐的概率，独立重复试验的概率公式即可得到结论．（3）计算出随机变量的期望，根据统计与概率的知识进行分析即可．解答：解：（1）X可能取值有﹣200，10，20，100．则P （X=﹣200）=，P （X=10）==P（X=20）==，P（X=100）==，故分布列为：X ﹣200 10 20 100P由（1）知，每盘游戏出现音乐的概率是p=+=，则至少有一盘出现音乐的概率p=1﹣．由（1）知，每盘游戏或得的分数为X的数学期望是E （X）=（﹣200）×+10×+20××100=﹣=．这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，入最初的分数相比，分数没有增加反而会减少．点评：本题主要考查概率的计算，以及离散型分布列的计算，以及利用期望的计算，考查学生的计算能力．18．（12分）（2014•四川）三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP．（1）证明：P是线段BC的中点；（2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角．专题：空间向量及应用．分析：（1）用线面垂直的性质和反证法推出结论，（2）先建空间直角坐标系，再求平面的法向量，即可求出二面角A﹣NP﹣M的余弦值．解答：解：（1）由三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥A﹣BCD中：平面ABD⊥平面CBD，AB=AD=BD=CD=CB=2设O为BD的中点，连接OA，OC于是OA⊥BD，OC⊥BD 所以BD⊥平面OAC⇒BD⊥AC因为M，N分别为线段AD，AB的中点，所以MN∥BD，MN∥NP，故BD ⊥NP假设P 不是线段BC的中点，则直线NP 与直线AC是平面ABC内相交直线从而BD ⊥平面ABC，这与∠DBC=60°矛盾，所以P 为线段BC的中点（2）以O为坐标原点，OB，OC ，OA分别为x，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，），M （，O，），N（，0，），P （，，0）于是，，设平面ANP和平面NPM的法向量分别为和由，则，设z1=1，则由，则，设z2=1，则cos===所以二面角A﹣NP﹣M的余弦值点评：本题考查线线的位置关系，考查二面角知识的应用，解题的关键是掌握用向量的方法求二面角大小的步骤，属于中档题．19．（12分）（2014•四川）设等差数列{a n}的公差为d，点（a n，b n）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）．（1）若a1=﹣2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{a n}的前n项和S n；（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{}的前n项和T n．考点：数列的求和；数列与函数的综合．专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：（1）由于点（a8，4b7）在函数f（x）=2x的图象上，可得，又等差数列{a n}的公差为d，利用等差数列的通项公式可得=2d．由于点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，可得=b8，进而得到=4=2d，解得d．再利用等差数列的前n项和公式即可得出．（2）利用导数的几何意义可得函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程，即可解得a2．进而得到a n，b n．再利用“错位相减法”即可得出．解答：解：（1）∵点（a8，4b7）在函数f（x）=2x的图象上，∴，又等差数列{a n}的公差为d，∴==2d，∵点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，∴=b8，∴=4=2d，解得d=2．又a1=﹣2，∴S n==﹣2n+=n2﹣3n．（2）由f（x）=2x，∴f′（x）=2x ln2，∴函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程为，又，令y=0可得x=，∴，解得a2=2．∴d=a2﹣a1=2﹣1=1．∴a n=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n，∴b n=2n．∴．∴T n=+…++，∴2T n=1+++…+，两式相减得T n=1++…+﹣=﹣==．点评：本题综合考查了指数函数的运算性质、导数的几何意义、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力、计算能力、“错位相减法”，属于难题．20．（13分）（2014•四川）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；②当最小时，求点T的坐标．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：第（1）问中，由正三角形底边与高的关系，a2=b2+c2及焦距2c=4建立方程组求得a 2，b2；第（2）问中，先设点的坐标及直线PQ的方程，利用两点间距离公式及弦长公式将表示出来，由取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点T的坐标．解解：（1）依题意有解得答：所以椭圆C的标准方程为+=1．（2）设T（﹣3，m），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为N（x0，y0），①证明：由F（﹣2，0），可设直线PQ的方程为x=my﹣2，由⇒（m2+3）y2﹣4my﹣2=0，所以于是，从而，即，则，所以O，N，T三点共线，从而OT平分线段PQ，故得证．②由两点间距离公式得，由弦长公式得==，所以，令，则（当且仅当x2=2时，取“=”号），所以当最小时，由x2=2=m2+1，得m=1或m=﹣1，此时点T的坐标为（﹣3，1）或（﹣3，﹣1）．点评：本题属相交弦问题，应注意考虑这几个方面：1、设交点坐标，设直线方程；2、联立直线与椭圆方程，消去y或x，得到一个关于x 或y一元二次方程，利用韦达定理；3、利用基本不等式或函数的单调性探求最值问题．21．（14分）（2014•四川）已知函数f（x）=e x﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：（1）求出f（x）的导数得g（x），再求出g（x）的导数，对它进行讨论，从而判断g（x）的单调性，求出g（x）的最小值；（2）利用等价转换，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，所以g（x）在（0，1）上应有两个不同的零点．解答：解：∵f（x）=e x﹣ax2﹣bx﹣1，∴g（x）=f′（x）=e x﹣2ax﹣b，又g′（x）=e x﹣2a，x∈[0，1]，∴1≤e x≤e，∴①当时，则2a≤1，g′（x）=e x﹣2a≥0，∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递增，g（x）min=g （0）=1﹣b；②当，则1＜2a＜e，∴当0＜x＜ln（2a）时，g′（x）=e x﹣2a＜0，当ln（2a）＜x＜1时，g′（x ）=e x﹣2a＞0，∴函数g（x）在区间[0，ln（2a）]上单调递减，在区间[ln（2a），1]上单调递增，g（x）min=g[ln（2a）]=2a﹣2aln（2a）﹣b；③当时，则2a≥e，g′（x）=e x﹣2a≤0，∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递减，g（x）min=g（1）=e﹣2a﹣b，综上：函数g（x）在区间[0，1]上的最小值为；（2）由f（1）=0，⇒e﹣a﹣b﹣1=0⇒b=e﹣a﹣1，又f（0）=0，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f （x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，由（1）知当a≤或a≥时，函数g（x）在区间[0，1]上单调，不可能满足“函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间”这一要求．若，则g min（x）=2a ﹣2aln（2a）﹣b=3a﹣2aln（2a）﹣e+1令h（x）=（1＜x＜e）则．由＞0⇒x＜∴h（x）在区间（1，）上单调递增，在区间（，e）上单调递减，=+＜0，即g min（x）＜0 恒成立，∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间⇔⇒，又，所以e﹣2＜a＜1，综上得：e﹣2＜a＜1．点评：本题考查了，利用导数求函数的单调区间，分类讨论思想，等价转换思想，函数的零点等知识点．是一道导数的综合题，难度较大．参与本试卷答题和审题的老师有：任老师；王老师；孙佑中；刘长柏；qiss；尹伟云；翔宇老师；szjzl；caoqz；清风慕竹；静定禅心；maths（排名不分先后）菁优网2014年6月24日。
2014年高考理科数学四川卷答案及解析(word版)
2014四川理科卷一、选择题1. 答案：A解析：{|12},{1,0,1,2}A x x AB =-≤≤∴=-，选A.【考点定位】集合的基本运算.2. 答案：C 解析：623456(1)(161520156)x x x x x x x x x +=++++++，所以含3x 项的系数为15.选C【考点定位】二项式定理.3. 答案：A 解析：1sin(21)sin 2()2y x x =+=+，所以只需把sin 2y x =的图象上所有的点向左平移12个单位.选A. 【考点定位】三角函数图象的变换.4. 答案：D 解析：110,0,0c d c d d c <<∴->->->->，又0,0,a b a b a b d c d c>>∴->->∴<.选D 【考点定位】不等式的基本性质.5. 答案：C解析：该程序执行以下运算：已知001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，求2S x y =+的最大值.作出001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩表示的区域如图所示，由图可知，当10x y =⎧⎨=⎩时，2S x y =+最大，最大值为202S =+=.选C.【考点定位】线性规划6. 答案：B解析：最左端排甲，有5!120=种排法；最左端排乙，有44!96⨯=种排法，共有12096216+=种排法.选B.【考点定位】排列组合.7. 答案： D.解析：由题意得：25c ac bc ac bm c a c b a b ⋅⋅⋅⋅=⇒=⇒=⇒=⋅⋅，选D.【考点定位】向量的夹角及向量的坐标运算.8. 答案：B解析：设正方体的棱长为1，则11111,,A C A C A O OC ==，所以1111332122cos ,sin 3322AOC AOC +-∠==∠=⨯，11313cos AOC AOC +-∠==∠=.所以sin α的范围为3，选B. 【考点定位】空间直线与平面所成的角.9. 答案：C解析：对①，()ln(1)ln(1)()f x x x f x -=--+=-，成立；对②，左边的x 可以取任意值，而右边的(1,1)x ∈-，故不成立；对③，作出图易知③成立【考点定位】1、函数的奇偶性；2、对数运算；3、函数与不等式.10. 答案：B 解析：据题意得1(,0)4F ，设1122(,),(,)A x y B x y ，则221122,x y x y ==，221212122,2y y y y y y +==-或121y y =，因为,A B 位于x 轴两侧所以.所以122y y =-两面积之和为12211111224S x y x y y =-+⨯⨯111218y y y =++⨯112938y y =+≥. 【考点定位】1、抛物线；2、三角形的面积；3、重要不等式.二、填空题11. 答案：2i -. 解析：2222(1)21(1)(1)i i i i i i --==-++-. 【考点定位】复数的基本运算.12. 答案：1 解析：311()()421224f f =-=-⨯+=. 【考点定位】周期函数及分段函数.13. 答案：60解析：92AC =，46cos 67AB =，sin 37,60sin 30sin 37sin 30AB BC AB BC =∴=≈. 【考点定位】解三角形.14. 答案：解析：易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ，则消去m 得：2230x y x y +--=，所以点P 在以AB 为直径的圆上，PA PB ⊥，所以2||||||52AB PA PB ⨯≤=. 法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PA PB ⊥，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法一.【考点定位】1、直线与圆；2、重要不等式.15. 答案：①③④解析：对①，若对任意的b R ∈，都a D ∃∈，使得()f a b =，则()f x 的值域必为R ；反之，()f x 的值域为R ，则对任意的b R ∈，都a D ∃∈，使得()f a b =.故正确.对②，比如函数()(11)f x x x =-<<属于B ，但是它既无最大值也无最小值.故错误. 对③正确，对④正确.【考点定位】命题判断。
2014年四川高考理科数学试卷(带详解)
14四川理第I 卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.已知集合2{|20}A x x x =--…，集合B 为整数集，则A B = ( ) A.{1,0,1,2}- B.{2,1,0,1}-- C.{0,1} D.{1,0}-【测量目标】集合的基本运算(交集),一元二次不等式.【考查方式】综合考查一元二次不等式的求解和交集运算. 【难易程度】容易. 【参考答案】A【试题解析】由题意可知，集合{|12}A x x ＝－剟，其中的整数有－1，0，1，2，故A B ＝{－1，0，1，2}，故选A.2.在6(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为( )A.30B.20C.15D.10 【测量目标】二项式定理.【考查方式】考查二项式定理的某项指数为定值时，此项的系数. 【难易程度】容易. 【参考答案】C【试题解析】6(1)x x ＋的展开式中3x 项的系数与6(1)x ＋的展开式中2x 项的系数相同，故其系数为26C 15=.故选C.3.为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( )A.向左平行移动12个单位长度 B.向右平行移动12个单位长度 C.向左平行移动1个单位长度 D.向右平行移动1个单位长度【测量目标】函数图像的变换.【考查方式】考查为了达到目标函数的图像，需要将原图像所做的变换.. 【难易程度】容易. 【参考答案】A【试题解析】因为1=sin(2+1)=sin22y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以为得到函数sin(21)y x ＝＋的图像，只需要将sin 2y x ＝的图像向左平行移动12个单位长度,故选A.4.若0a b >>，0c d <<，则一定有( ) A.a b c d > B.a b c d < C.a b d c > D.a b d c< 【测量目标】分式不等式.【考查方式】由已知不等关系判断分式不等式是否成立. 【难易程度】容易. 【参考答案】D【试题解析】因为0c d ＜＜，所以11<<0d c ，即11>>0d c --，与0a b ＞＞对应相乘得，>>0a bd c--，所以<a bd c.故选D. 5.执行如图1所示的程序框图，如果输入的,x y ∈R ，则输出的S 的最大值为( ) A.0 B.1 C.2 D.3第5题图 SCL01【测量目标】程序框图，判断语句，选择语句,线性规划. 【考查方式】当输入值不确定时，求最大的输出值. 【难易程度】容易. 【参考答案】C【试题解析】题中程序输出的是在100x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩………的条件下2S x y ＝＋的最大值与1中较大的数.结合图像可得，当1x ＝，0y ＝时，2S x y ＝＋取得最大值2，2>1，故选C.6.六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( ) A.192种 B.216种 C.240种 D.288种 【测量目标】排列组合.【考查方式】考查将特殊元素优先排列的排列组合思想. 【难易程度】容易. 【参考答案】B【试题解析】当甲在最左端时，有55A =120 (种)排法；当甲不在最左端时，乙必须在最左端，且甲也不在最右端，有114144A A A =424=96⨯ (种)排法，共计120＋96＝216(种)排法.故选B.7.平面向量a =(1,2)， b =(4,2), c ma b =+ (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b的夹角，则m =( )A.2-B.1-C.1D.2 【测量目标】向量的运算.【考查方式】通过中间参数夹角的公式将夹角联系在一起，解出未知数. 【难易程度】容易. 【参考答案】D【试题解析】c ma b =+ ＝(m ＋4，2m ＋2)，由题意知a c b ca cb c，即221(4)2(22)12m m ++++ 224(4)2(22)42m m +++=+ ，即8205+8=2m m +，解得m ＝2,故选D. 8.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点.设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是( ) A.3[,1]3 B.6[,1]3 C.622[,]33 D.22[,1]3第8题图SCL02【测量目标】直线与平面的夹角.【考查方式】考查分类讨论思想和三角函数. 【难易程度】容易. 【参考答案】B【试题解析】连接1A O ，OP 和1PA ，不难知1POA ∠就是直线OP 与平面1A BD 所成的角(或其补角)设正方体棱长为2，则1=6A O .(1)当P 点与C 点重合时，2PO =，123A P =，且66123c o s =3262α+-=-⨯⨯，此时1AOP α∠＝为钝角26sin = 1cos 3αα-=；(2)当P 点与1C 点重合时，16PO AO ==，122A P =，且6681cos =3266α+-=⨯⨯，此时1AOP α∠＝为锐角，222sin = 1cos 3αα-=；(3)在α从钝角到锐角逐渐变化的过程中，1CC 上一定存在一点P ，使得190A OP α∠︒＝＝.又因为62233α<<，故sin α的取值范围是6,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选B. 9.已知()ln(1)ln(1)f x x x =+--，(1,1)x ∈-.现有下列命题：①()()f x f x -=-； ②22()2()1xf f x x =+；③|()|2||f x x ….其中的所有正确命题的序号是( ) A.①②③ B.②③ C.①③ D.①② 【测量目标】函数的奇偶性，对数函数.【考查方式】考查判断函数可能具有的某些性质的方法. 【难易程度】中等. 【参考答案】A【试题解析】()=ln(1)ln(1+)=f x x x ---1ln =1x x -+[]1ln =ln(1)ln(1)=()1xx x f x x +--+----，故①正确；当x ∈(－1，1)时，221+x x ∈(－1，1)，且222222=ln 1+ln 11+1+1x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭-=222221121ln =ln 21211xx x x x x x x +++++--+ =211ln =2ln 11x x x x ++⎛⎫⎪--⎝⎭()2[ln(1)ln(1)]2x x f x ＝＋－－＝，故②正确；由①知，f (x )为奇函数，所以()f x 为偶函数，则只需判断当x ∈ [0，1)时，f (x )与2x 的大小关系即可.记g (x )＝f (x )－2x ，01x <…，即()ln(1)ln(1)2g x x x x ＝＋－－－，01x <…，22112()=+21+11x g x x x x '-=--，01x <….当0≤x ＜1时，()g x '≥0，即g (x )在[0，1)上为增函数，且g (0)＝0，所以g (x )≥0，即f (x )－2x ≥0，x ∈[0，1)，于是()2f x x …正确.综上可知，①②③都为真命题，故选A.10.已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=(其中O 为坐标原点)，则ABO △与AFO △面积之和的最小值是( )A.2B.3C.1728D.10 【测量目标】向量的运算，最小值问题.【考查方式】考察向量的数量积，点到直线距离等，围成图形的面积等. 【难易程度】中等. 【参考答案】B【试题解析】设直线AB 的方程为：x =ty +m ，点A (1x ，1y )，B (2x ，2y )，直线AB 与x 轴的交点为M (m ，0)，由2x ty my x =+⎧⎨=⎩⇒2y -ty -m =0，根据韦达定理有1y •2y =-m ，∵OA •OB =2，∴1x •2x +1y •2y =2，从而()212y y ⋅+1y •2y −2＝0，∵点A ，B 位于x 轴的两侧，∴1y •2y =-2，故m =2．不妨令点A 在x 轴上方，则1y ＞0，又F (14，0)， ∴ABO S +AFO S =12×2×(1y −2y )+12×14×1y =198y +12y ≥119228y y ⋅＝3．当且仅当198y =12y ， 即1y ＝43时，取“=”号，∴△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是3，故选B. 第II 卷(非选择题 共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.复数22i1i-=+ .【测量目标】含有分式的复数基本运算.【考查方式】考查带有分式的复数的分母实数化. 【难易程度】容易. 【参考答案】-2i 【试题解析】原式=2(22i)(1i)(1i)2i (1i)(1i)--=-=-+-12.设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当[1,1)x ∈-时，242,10,(),01,x x f x x x ⎧-+-<=⎨<⎩……，则3()2f = . 【测量目标】分段函数和周期函数.【考查方式】给出分段函数的表示形式和某些性质，求在某点的函数值. 【难易程度】容易. 【参考答案】1【试题解析】由已知得，2311()()4()2 1.222f f =-=--+=13.如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67 ，30 ，此时气球的高是46m ，则河流的宽度BC 约等于 m .(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin 670.92≈ ，cos 670.39≈ ，sin 370.60≈ ，cos370.80≈ ，3 1.73≈)第13题图SCL03【测量目标】三角函数，正弦定理.【考查方式】考察对三角函数和正弦定理的应用以及利用公共边求解未知数. 【难易程度】容易. 【参考答案】60【试题解析】过A 点向地面作垂线，记垂足为D ，则在Rt ADB △中，ABD ∠＝67°，AD ＝46 m ，∴46AB==50sin670.92AD =(m)，在ABC △中，30ACB ∠︒＝，673037BAC ∠︒︒︒＝－＝，AB ＝50 m ，由正弦定理得，sin37==60sin30AB BC(m)，故河流的宽度BC 约为60 m.14.设m ∈R ，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB ⋅的最大值是 .【测量目标】线段长度乘积的最值问题.【考查方式】考察了动直线的定点，两直线关系的判定以及均值不等式的应用. 【难易程度】中等. 【参考答案】5【试题解析】由题意可知，定点A (0，0)，B (1，3)，且两条直线互相垂直，则其交点P (x ，y )落在以AB 为直径的圆周上，所以22210PA PB AB ＋＝＝，∴22||+|||PA||PB|=52PA PB …，当且仅当|PA PB ＝|时等号成立.15.以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数()x ϕ组成的集合：对于函数()x ϕ，存在一个正数M ，使得函数()x ϕ的值域包含于区间[,]M M -.例如，当31()x x ϕ=，2()sin x x ϕ=时，1()x A ϕ∈，2()x B ϕ∈.现有如下命题：①设函数()f x 的定义域为D ，则“()f x A ∈”的充要条件是“b R ∀∈，a D ∃∈，()f a b =”；②函数()f x B ∈的充要条件是()f x 有最大值和最小值；③若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()g x B ∈，则()()f x g x B +∉；④若函数2()ln(2)1xf x a x x =+++(2x >-，a ∈R )有最大值，则()f x B ∈.其中的真命题有 .(写出所有真命题的序号)【测量目标】充要条件，最值，定义域，复合函数，真假命题. 【考查方式】综合考查函数和简单逻辑用语. 【难易程度】中等. 【参考答案】①③④【试题解析】若()f x A ∈，则f (x )的值域为R ，于是，对任意的b ∈R ，一定存在a ∈D ，使得f (a )＝b ，故①正确.取函数f (x )＝x (－1<x <1)，其值域为(－1，1)，于是，存在M ＝1，使得f (x )的值域包含于[－M ，M ]＝[－1，1]，但此时f (x )没有最大值和最小值，故②错误.当f (x )∈A 时，由①可知，对任意的b ∈R ，存在a ∈D ，使得f (a )＝b ，所以，当g (x )∈B 时，对于函数f (x )＋g (x )，如果存在一个正数M ，使得f (x )＋g (x )的值域包含于[－M ，M ]，那么对于该区间外的某一个0b ∈R ，一定存在一个0a ∈D ，使得f (0a )＝b －g (0a )，即f (0a )＋g (0a )∈ [-M ，M ]，故③正确.对于2()=ln(+2)++1xf x a x x (x >－2)，当a >0或a<0时，函数f (x )都没有最大值.要使得函数f (x )有最大值，只有a ＝0，此时2()=+1xf x x (x ＞－2).易知f (x )∈11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，所以存在正数M ＝12，使得f (x )∈[－M ，M ]，故④正确.三、解答题：本大题共6小题，共 75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)已知函数()sin(3)4f x x π=+.(1)求()f x 的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，4()cos()cos 235f ααα=+π4，求cos sin αα-的值.【测量目标】正弦函数的性质，三角恒等变换.【考查方式】考查正弦型函数的性质，简单的三角恒等变换等基础知识，考察运算求解能力，考察分类与整合，化归与转化等数学思想. 【难易程度】中等.【试题解析】(1)由πππ2π32π242k x k -++剟⇒2ππ2ππ34312k k x -+剟,所以()f x 的单调递增区间为2ππ2ππ[,]34312k k -+(k ∈Z ).(2)由4π()cos()cos 2354f ααα=+⇒4πsin()cos()cos 2454αααπ+=+,因为πcos 2sin(2)sin[2()]24πααα=+=+ππ2sin()cos()44αα=++,所以2π8ππsin()cos ()sin()4544ααα+=++,又α是第二象限角，所以πsin()04α+=或2π5cos ()48α+=.①由πsin()04α+=⇒π3π2ππ2π44k k αα+=+⇒=+(k ∈Z ),所以33cos sin cos sin 244ππαα-=-=-;②由2π5π5cos ()cos()48422αα+=⇒+=-15(cos sin )222αα⇒-=-,所以5cos sin 2αα-=-;综上，cos sin 2αα-=-或5cos sin 2αα-=-. 17.一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得200-分).设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.【测量目标】排列组合，古典概型，分布列，用期望分析问题. 【考查方式】考查排列组合，古典概型，分布列的综合运用. 【难易程度】中等.【试题解析】(1)X 可能取值有-200，10，20，100,0033111(200)C ()(1)228P X =-=-=，1123113(10)C ()(1)228P X ==-=，2213113(20)C ()(1)228P X ==-=，3303111(100)C ()(1)228P X ==-=,故分布列为: X-2001020100P1838 38 18 (2)由(1)知：每盘游戏出现音乐的概率是33178888p =++=,则玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是00313775111C ()(1)88512p =--=.(3)由(1)知，每盘游戏获得的分数为X 的数学期望是133110()(200)102010088888E X =-⨯+⨯+⨯+⨯=-分.这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而会减少.18.三棱锥A BCD -及其侧视图、俯视图如图所示.设M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点，P 为线段BC 上的点，且MN NP ⊥. (1)证明：P 为线段BC 的中点； (2)求二面角A NP M --的余弦值.第18题图SCL04【测量目标】三视图，二面角的余弦值，证明题.【考查方式】考查了几何体的三视图，由三视图求出几何体尺寸，建立立体坐标系求二面角. 【难易程度】中等. 【试题解析】(1)由三棱锥A BCD -及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥A BCD -中：平面ABD ⊥平面CBD ，2AB AD BD CD CB =====,设O 为BD 的中点，连接OA ，OC ,于是OA BD ⊥，OC BD ⊥ 所以BD ⊥平面OAC ⇒BD AC ⊥,因为M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点，所以//MN BD ，又MN NP ⊥，故BD NP ⊥,假设P 不是线段BC 的中点，则直线NP 与直线AC 是平面ABC 内相交直线,从而BD ⊥平面ABC ，这与60DBC ∠= 矛盾,所以P 为线段BC 的中点.(2)以O为坐标原点，OB 、OC 、OA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,3)A ，13(,0,)22M -，13(,0,)22N ，13(,,0)22P ,于是13(,0,)22AN =- ，33(0,,)22PN =- ，(1,0,0)MN = ,设平面ANP 和平面NPM 的法向量分别为111(,,)m x y z = 和222(,,)n x y z =,由00AN m PN m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩⇒11111302233022x z y z ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，设11z =，则(3,1,1)m = ,由00MN n PN n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ⇒222033022x y z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，设21z =，则(0,1,1)n = , 210cos ,5||||52m n m n m n ⋅===⋅⋅,所以二面角A NP M --的余弦值105. 19.设等差数列{}n a 的公差为d ，点(,)n n a b 在函数()2xf x =的图象上(*n ∈N ).(1)若12a =-，点87(,4)a b 在函数()f x 的图象上，求数列{}n a 的前n 项和n S ； (2)若11a =，函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为12ln 2-，求数列{}n na b 的前n 项和n T .【测量目标】等数数列，导函数的应用，复合数列前n 项和的求解. 【考查方式】数列和函数综合考查. 【难易程度】较难.【试题解析】(1)点(,)n n a b 在函数()2xf x =的图象上，所以2n an b =，又等差数列{}n a 的公差为d ,所以1112222n n n n a a a d n a n b b ++-+===,因为点87(,4)a b 在函数()f x 的图象上，所以87842a b b ==，所以8724d b b ==2d ⇒=,又12a =-，所以221(1)232n n n S na d n n n n n -=+=-+-=-.(2)由()2()2ln 2x x f x f x '=⇒=,函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线方程为222(2ln 2)()a y b x a -=-,所以切线在x 轴上的截距为21ln 2a -，从而2112ln 2ln 2a -=-，故22a =,从而n a n =，2n nb =，2n n n a nb =,231232222n n n T =++++ ,2341112322222n n n T +=++++ ,所以23411111112222222n n n n T +=+++++- 111211222n n n n n +++=--=-,故222n n n T +=-. 20.已知椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线3x =-上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q . (i)证明：OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)； (ii)当||||TF PQ 最小时，求点T 的坐标. 【测量目标】椭圆的方程，椭圆和直线的关系，均值不等式.【考查方式】考查数形结合思想，几何条件和代数关系的相互转化，曲线和直线联立求解的方法，均值不等式的应用. 【难易程度】较难.【试题解析】(1)依条件2222226324c a a b b a b c =⎧⎧=⎪⎪=⇒⎨⎨=⎪⎩⎪-==⎩,所以椭圆C 的标准方程为22162x y +=.(2)设(3,)T m -，11(,)P x y ，22(,)Q x y ，又设PQ 中点为00(,)N x y .(i)因为(2,0)F -，所以直线PQ 的方程为：2x my =-,22222(3)420162x my m y my x y =-⎧⎪⇒+--=⎨+=⎪⎩,所以222122122168(3)24(1)04323m m m m y y m y y m ⎧⎪∆=++=+>⎪⎪+=⎨+⎪-⎪=⎪+⎩,于是1202223y y m y m +==+， 20022262233m x my m m -=-=-=++,所以2262(,)33m N m m -++.因为3OT ON mk k =-=,所以O ，N ，T三点共线,即OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点).(ii)2||1TF m =+，22212224(1)||||113m PQ y y m m m +=-+=++, 所以222222||13||24(1)24(1)13TF m m PQ m m m m ++==++++，令21m x +=(1x …), 则2||2123()||32626TF x x PQ x x +==+…(当且仅当22x =时取“=”), 所以当||||TF PQ 最小时，22x =即1m =或1-，此时点T 的坐标为(3,1)-或(3,1)--.21.已知函数2()1x f x e ax bx =---，其中,a b ∈R ， 2.71828e = 为自然对数的底数. (1)设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间[0,1]上的最小值； (2)若(1)0f =，函数()f x 在区间(0,1)内有零点，求a 的取值范围【测量目标】函数的导函数，极值，最值，函数的零点.【考查方式】考查函数的求导，单调区间的确定，分类讨论思想，数形结合思想的应用. 【难易程度】较难.【试题解析】(1)因为2()1xf x e ax bx =--- 所以()()2xg x f x e ax b '==-- 又()2xg x e a '=-,因为[0,1]x ∈，1xee 剟,所以：①若12a …，则21a …，()20xg x e a '=-…，所以函数()g x 在区间[0,1]上单增，min ()(0)1g x g b ==-;②若122ea <<，则12a e <<，于是当0ln(2)x a <<时()20x g x e a '=-<，当ln(2)1a x <<时()20x g x e a '=->，所以函数()g x 在区间[0,ln(2)]a 上单减，在区间[ln(2),1]a 上单增，min ()[ln(2)]22ln(2)g x g a a a a b ==--;③若2ea …，则2a e …，()20x g x e a '=-…,所以函数()g x 在区间[0,1]上单减，min ()(1)2g x g e a b ==--;综上：()g x 在区间[0,1]上的最小值为min 11,,21()22ln(2),222,,2b a e g x a a a b a e e a b a ⎧-⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--⎪⎩…….(2)由(1)0f =⇒10e a b ---=⇒1b e a =--，又(0)0f =,若函数()f x 在区间(0,1)内有零点，则函数()f x 在区间(0,1)内至少有三个单调区间,由(1)知当12a …或2ea …时，函数()g x 即()f x '在区间[0,1]上单调，不可能满足“函数()f x 在区间(0,1)内至少有三个单调区间”这一要求.若122ea <<，则min ()22ln(2)32ln(2)1g x a a ab a a a e =--=--+, 令3()ln 12h x x x x e =--+(1x e <<),则1()ln 2h x x '=-.由1()ln 02h x x x e '=->⇒<,所以()h x 在区间(1,)e 上单增，在区间(,)e e 上单减,max 3()()ln 1102h x h e e e e e e e ==--+=-+<即min ()0g x <恒成立,于是，函数()f x 在区间(0,1)内至少有三个单调区间⇔(0)20(1)10g e a g a =-+>⎧⎨=-+>⎩21a e a >-⎧⇒⎨<⎩,又122ea <<, 所以21e a -<<,综上，a 的取值范围为(2,1)e -.。
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(四川.理)含详解
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数 学(理工类)本试卷分第一部分(选择题)和第二部分(非选择题)。
第一部分1至2页，第二部分3至4页，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上及试题卷，草稿纸上答题无效，满分150分，考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 P(A+B) =P(A)+P(B) 24s R π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P(A·B)=P(A)·P(B) 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么243v R π=在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径n ()(1)(0,1,2,...)k k n kn P k C p p k n -=-= 第一部分（选择题 共60分）注意事项：1.选择题必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上。
2.本部分共12小题，每小题5分，共60分。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5，15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5，23．5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5，31.5) 1l [31.5，35.5) 12 [35.5．39.5) 7 [39.5,43.5) 3 根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5，43.5)的概率约是 (A)16 (B)13 (C)12 （D ）23答案：B解析：从31.5到43.5共有22，所以221663P ==。
2、复数1i i-+=(A)2i - （B ）12i （C ）0 （D ）2i 答案：A解析：12i i i i i-+=--=- 3、1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是(A)12l l ⊥，23l l ⊥13l l ⇒ （B ）12l l ⊥，23l l ⇒13l l ⊥ (C)233l l l ⇒ 1l ，2l ，3l 共面 （D ）1l ，2l ，3l 共点⇒1l ，2l ，3l 共面 答案：B解析：A 答案还有异面或者相交，C 、D 不一定 4、如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++=(A)0 (B)BE (C)AD (D)CF答案D 解析：B AC ++=+5、5函数，()f x 在点0x x =处有定义是()f x 在点0x x =处连续的(A)充分而不必要的条件 (B)必要而不充分的条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要的条件 答案：B解析：连续必定有定义，有定义不一定连续。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)_数学(理)
2014年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学(理工类)第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．(2014四川，理1)已知集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，集合B 为整数集，则A ∩B ＝( )． A ．{－1,0,1,2} B ．{－2，－1,0,1} C ．{0,1} D ．{－1,0} 答案：A解析：∵A ＝{x |x 2－x －2≤0}＝{x |－1≤x ≤2}， ∴A ∩B ＝A ∩Z ＝{x |－1≤x ≤2}∩Z ＝{－1,0,1,2}．2．(2014四川，理2)在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( )． A ．30 B ．20 C ．15 D ．10 答案：C解析：含x 3的项是由(1＋x )6展开式中含x 2的项与x 相乘得到，又(1＋x )6展开式中含x 2的项的系数为26C 15=，故含x 3项的系数是15.3．(2014四川，理3)为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( )．A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度 答案：A解析：∵y ＝sin(2x ＋1)＝1sin 22x ⎛⎫+⎪⎝⎭， ∴需要把y ＝sin 2x 图象上所有的点向左平移12个单位长度即得到y ＝sin(2x ＋1)的图象． 4．(2014四川，理4)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( )．A ．a b c d >B ．a b c d <C ．a b d c >D ．a b d c<答案：D解析：∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0，∴110c d<<--. 即110d c>>--. 又∵a ＞b ＞0， ∴a b d c >--，∴a b d c<. 5．(2014四川，理5)执行如图的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为( )．A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：C解析：先画出x ，y 满足的约束条件0,0,1,x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩对应的可行域如图中阴影部分：移动直线l 0：y ＝－2x .当直线经过点A (1,0)时，y ＝－2x ＋S 中截距S 最大，此时S max ＝2×1＋0＝2. 再与x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1不成立时S ＝1进行比较，可得S max ＝2.6．(2014四川，理6)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )．A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种 答案：B解析：(1)当最左端排甲的时候，排法的种数为55A ；(2)当最左端排乙的时候，排法种数为1444C A . 因此不同的排法的种数为514544A +C A ＝120＋96＝216.7．(2014四川，理7)平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( )．A ．－2B ．－1C ．1D ．2 答案：D解析：∵a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，∴c ＝m (1,2)＋(4,2)＝(m ＋4,2m ＋2)． 又∵c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角， ∴cos 〈c ，a 〉＝cos 〈c ，b 〉．∴·||||||||⋅=c a c bc a c b .=解得m ＝2.8．(2014四川，理8)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为线段BD 的中点．设点P 在线段CC 1上，直线OP 与平面A 1BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是( )．A ．⎤⎥⎣⎦ B．⎤⎥⎣⎦ C ．⎣⎦ D ．⎤⎥⎣⎦答案：B解析：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．不妨设DC ＝DA ＝DD 1＝1，则D (0,0,0)，B (1,1,0)，A 1(1,0,1)，11,,022O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，并设点P (0,1，t )且0≤t ≤1.则11,,22OP t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1(1,01)A D =--，，1(0,1,1)A B =-． 设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)，则有110,0,A D A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即00000,0,x z yz --=⎧⎨-=⎩取x 0＝1，y 0＝－1，z 0＝－1，∴n ＝(1，－1，－1)． ∴sin α＝|cos 〈OP ，n 〉|(0≤t ≤1)，∴22221sin 13()2t t t α++=+，0≤t ≤1.令()222113()2t t f t t ++=+，0≤t ≤1.则()2222221(21)(1)113()3()22t t t t f t t t +--+'==--++， 可知当10,2t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，f ′(t )＞0；当1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，f ′(t )≤0.又∵()203f =，1()12f =，()819f =，∴()max 1()12f t f ==，()min 2(0)3f t f ==.∴sin α的最大值为1∴sin α的取值范围为⎤⎥⎣⎦. 9．(2014四川，理9)已知f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，x ∈(－1,1)．现有下列命题：①f (－x )＝－f (x )；②222()1x f f x x ⎛⎫=⎪+⎝⎭；③|f (x )|≥2|x |. 其中的所有正确命题的序号是( )．A ．①②③B ．②③C ．①③D ．①② 答案：A解析：对于①，∵f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )＝1ln1xx+-，()11()lnln 11x xf x f x x x-+-==--+-，又x ∈(－1,1)， ∴f (－x )＝－f (x )，故命题①正确； 对于②，222222ln 1ln 1111x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝22222(1)(1)11ln ln ln 2ln 2()1111x x x x f x x x x x +-++⎛⎫-=== ⎪++--⎝⎭， 故命题②正确；对于③，由于f (x )和2x 均为奇函数，不妨仅研究x ∈[0,1)时的情形，此时1|()|ln 1xf x x+=-，2|x |＝2x ＝ln e 2x .令()21e 1x x x x ϕ+=--，则()2212e 1x x x ϕ⎡⎤'=-⎢⎥(-)⎣⎦，令φ′(x )＝0，得x ＝0，且当x ∈[0,1)时，φ′(x )＞0，因此φ(x )在[0,1)上为增函数，∴φ(x )≥φ(0)＝0，即21e 1x xx+≥-在x ∈[0,1)上恒成立，故1ln 21xx x+≥-也成立； 同理根据对称性可知对x ∈(－1,1)均有1|ln ||2|1xx x+≥-，即|f (x )|≥2|x |成立，③为真命题． 综上可知，正确命题的序号为①②③.10．(2014四川，理10)已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x轴的两侧，2OA OB ⋅=(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )．A ．2B ．3C ．8D 答案：B解析：设AB 所在直线方程为x ＝my ＋t .由2,,x my t y x =+⎧⎨=⎩消去x ，得y 2－my －t ＝0.设211(,)A y y ，222(,)B y y (不妨令y 1＞0，y 2＜0)， 故2212y y m +=，y 1y 2＝－t . 而2212122OA OB y y y y ⋅=+=. 解得y 1y 2＝－2或y 1y 2＝1(舍去)． 所以－t ＝－2，即t ＝2.所以直线AB 过定点M (2,0)．而S △ABO ＝S △AMO ＋S △BMO ＝12|OM ||y 1－y 2|＝y 1－y 2， 1111111||2248AFO S OF y y y ∆=⨯=⨯=，故S △ABO ＋S △AFO ＝y 1－y 2＋118y ＝198y －y 2.由121299()388y y y y -=≥=+-， 得S △ABO ＋S △AFO 的最小值为3，故选B.第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．(2014四川，理11)复数22i1i-+＝__________. 答案：－2i 解析：22i (22i)(1i)224i2i 1i (1i)(1i)2-----===-++-. 12．(2014四川，理12)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝242,10,,01,x x x x ⎧-+-≤<⎨≤<⎩则32f ⎛⎫⎪⎝⎭＝__________. 答案：1解析：∵f (x )的周期为2，∴3312222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又∵1[1,0)2-∈－，∴21142122f ⎛⎫⎛⎫-=-⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.即312f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.13．(2014四川，理13)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m ，则河流的宽度BC 约等于__________m ．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，1.73)答案：60解析：如图所示，过A 作AD ⊥CB 且交CB 的延长线于D .在Rt △ADC 中，由AD ＝46 m ，∠ACB ＝30°得AC ＝92 m. 在△ABC 中，∠BAC ＝67°－30°＝37°，∠ABC ＝180°－67°＝113°，AC ＝92 m ，由正弦定理sin sin AC BC ABC BAC =∠∠，得92sin113sin37BC =︒︒，即92sin67sin37BC=︒︒，解得92sin3760m sin67BC ︒≈≈︒.14．(2014四川，理14)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是__________．答案：5解析：由题意可知点A 为(0,0)，点B 为(1,3)．又∵直线x ＋my ＝0的斜率11k m=-，直线mx －y －m ＋3＝0的斜率k 2＝m ，∴k 1k 2＝－1.∴两条动直线互相垂直．又∵圆的性质可知，动点P (x ，y )的轨迹是圆，∴圆的直径为AB ==∴222||||||=52PA PB AB PA PB +⋅≤=.当且仅当|P A |＝|PB |∴|P A |·|PB |的最大值是5.15．(2014四川，理15)以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合：对于函数φ(x )，存在一个正数M ，使得函数φ(x )的值域包含于区间[－M ，M ]．例如，当φ1(x )＝x 3，φ2(x )＝sin x 时，φ1(x )∈A ，φ2(x )∈B .现有如下命题：①设函数f (x )的定义域为D ，则“f (x )∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a )＝b ”； ②函数f (x )∈B 的充要条件是f (x )有最大值和最小值；③若函数f (x )，g (x )的定义域相同，且f (x )∈A ，g (x )∈B ，则f (x )＋g (x )∉B ；④若函数f (x )＝a ln(x ＋2)＋21xx +(x ＞－2，a ∈R )有最大值，则f (x )∈B . 其中的真命题有__________．(写出所有真命题的序号) 答案：①③④解析：对于①，“f (x )∈A ”说明f (x )的值域为R ，显然能推出“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a )＝b ”，反之对满足“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a )＝b ”的函数其值域也必为R .所以①为真命题；对于②，“函数f (x )∈B ”“f (x )有最大值和最小值”．如函数()21xf x x =+的值域为(0,1]⊆[－1,1]，但()21xf x x=+无最小值．但“f (x )有最大值和最小值”⇒“f (x )∈B ”． 综上知②为假命题；对于③，因为f (x )∈A ，所以f (x )的值域为R .因为g (x )∈B ，所以存在正数M 使得－M ≤g (x )≤M ， 所以f (x )＋g (x )的值域为R ∪[－M ，M ]＝R . 所以f (x )＋g (x )∉B .因此③为真命题；对于④，易证当x ＞－2时，211,122x x ⎡⎤∈-⎢⎥+⎣⎦，要使f (x )＝a ln(x ＋2)＋21x x +(x ＞－2，a ∈R )有最大值，则a 必为0.此时()21xf x B x =∈+，故命题④为真． 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分12分)(2014四川，理16)已知函数()πsin 34f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，4πcos cos 2354f ααα⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求cos α－sin α的值．分析：在第(1)问，通过整体思想，将π34x +看作一个整体，借助y ＝sin x 的单调递增区间，解不等式求出x 的范围得到f (x )的单调递增区间，要注意k ∈Z 不要漏掉；在第(2)问，利用已知条件求出3f α⎛⎫⎪⎝⎭，然后利用和角公式展开整理，得到关于sin α＋cos α与cos α－sin α的方程，再对sin α＋cos α与0的关系进行讨论，得到cos α－sin α的值．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为ππ2π,2π22k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ，由πππ2π32π242k x k -+≤+≤+，k ∈Z ，得π2ππ2π43123k k x -+≤≤+，k ∈Z .所以，函数f (x )的单调递增区间为π2ππ2π,43123k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . (2)由已知，有π4πsin cos 454αα⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(cos 2α－sin 2α)，所以22ππ4ππsin cos cos sin (cos cos sin sin )(cos sin )44544αααααα+=--，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，知α＝3π4＋2k π，k ∈Z .此时，cos α－sin α＝当sin α＋cos α≠0时，有(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，知cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝-综上所述，cos α－sin α＝17．(本小题满分12分)(2014四川，理17)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立． (1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列；(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．分析：对于第(1)问，通过已知条件，得到X 所有可能取值，然后借助独立重复试验概率公式分别计算每一个值所对应的概率，再结合所求结果写出X 的分布列；对于第(2)问，充分利用第(1)问的分布列，结合对立事件的概率求出“没有出现音乐”的概率，然后利用互斥事件概率公式求出至少有一盘出现音乐的概率；对于第(3)问，利用第(1)问的分布列，借助数学期望公式求出数学期望，然后作出相应判断．解：(1)X 可能的取值为：10,20,100，－200.根据题意，有1213113(10)C 1228P X ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，2123113(20)C 1228P X ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=， 333111(100)C 1228P X ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，0303111(200)C 1228P X ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=. 所以X 的分布列为(2)设“第i i 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18. 所以，“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为()31231151111()18512512P A A A =-=-=-.因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512. (3)X 的数学期望为EX ＝10×38＋20×38＋100×18－200×18＝54-.这表明，获得分数X 的均值为负，因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大． 18．(本小题满分12分)(2014四川，理18)三棱锥A －BCD 及其侧视图、俯视图如图所示．设M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点，P 为线段BC 上的点，且MN ⊥NP .(1)证明：P是线段BC的中点；(2)求二面角A－NP－M的余弦值．分析：在第(1)问中，利用三视图，得到△ABD，△BCD为正三角形，然后取BD中点O，连接AO，CO，得到线线垂直，从而得到BD⊥平面AOC，再取BO的中点H，利用垂直关系得到BD⊥HP，最后利用中位线的性质得到P为BC中点；在第(2)问中，若利用几何法，需作二面角的平面角，由已知MN与二面角的棱NP垂直且MN⊂平面MNP，故只需过点N 在平面ANP内作与NP垂直的直线即可，由(1)知NP∥AC，故可过N作NQ⊥AC于点Q，连接MQ，则∠MNQ为二面角的平面角．然后利用解三角形相关知识求解即可．若利用空间向量，应建立空间直角坐标系，然后利用线面关系，求出相应点的坐标，从而求出两个半平面的法向量，再利用两个法向量的夹角求出二面角的余弦值．(1)证明：如图，取BD中点O，连接AO，CO.由侧视图及俯视图知，△ABD，△BCD为正三角形，因此AO⊥BD，OC⊥BD.因为AO，OC⊂平面AOC，且AO∩OC＝O，所以BD⊥平面AOC.又因为AC⊂平面AOC，所以BD⊥AC.取BO的中点H，连接NH，PH.又M，N分别为线段AD，AB的中点，所以NH∥AO，MN∥BD.因为AO⊥BD，所以NH⊥BD.因为MN⊥NP，所以NP⊥BD.因为NH，NP⊂平面NHP，且NH∩NP＝N，所以BD⊥平面NHP.又因为HP⊂平面NHP，所以BD⊥HP.又OC⊥BD，HP⊂平面BCD，OC⊂平面BCD，所以HP∥OC.因为H为BO中点，故P为BC中点．(2)解法一：如图，作NQ⊥AC于Q，连接MQ.由(1)知，NP∥AC，所以NQ ⊥NP .因为MN ⊥NP ，所以∠MNQ 为二面角A －NP －M 的一个平面角． 由(1)知，△ABD ，△BCD 为边长为2的正三角形，所以AO ＝OC由俯视图可知，AO ⊥平面BCD .因为OC ⊂平面BCD ，所以AO ⊥OC ，因此在等腰Rt △AOC中，AC =. 作BR ⊥AC 于R ，在△ABC 中，AB ＝BC ，所以BR ==. 因为在平面ABC 内，NQ ⊥AC ，BR ⊥AC ，所以NQ ∥BR .又因为N 为AB 的中点，所以Q 为AR 的中点，因此2BR NQ ==.同理，可得MQ =所以在等腰△MNQ中，24cos MN BDMNQ NQ NQ ∠===故二面角A －NP －M解法二：由俯视图及(1)可知，AO ⊥平面BCD .因为OC ，OB ⊂平面BCD ，所以AO ⊥OC ，AO ⊥OB . 又OC ⊥OB ，所以直线OA ，OB ，OC 两两垂直．如图，以O 为坐标原点，以OB ，OC ，OA 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O －xyz.则A (0,0，B (1,0,0)，C (00)，D (－1,0,0)． 因为M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点， 又由(1)知，P 为线段BC 的中点，所以1,0,22M ⎛- ⎝⎭，1,0,22N ⎛ ⎝⎭，1,22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.于是(1,0,AB =，(BC =-，(1,0,0)MN =，NP =. 设平面ABC 的一个法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则11,,AB BC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n即110,0,AB BC ⎧⊥=⎪⎨⊥=⎪⎩n n有111111(,,)(1,0,0,(,,)(0,x y z x y z ⎧⋅=⎪⎨⋅-=⎪⎩从而11110,0.x x ⎧=⎪⎨-=⎪⎩取z 1＝1，则1x y 1＝1，所以n 1＝1,1)．设平面MNP 的一个法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则22,,MN NP ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n 即220,0,MN NP ⎧⊥=⎪⎨⊥=⎪⎩n n有222222(,,)(1,0,0)0,(,,)0,22x y z x y z ⋅=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩从而2220,0.22x y z =⎧-=⎪⎩ 取z 2＝1，所以n 2＝(0,1,1)．设二面角A －NP －M 的大小为θ，则1212cos ||||5θ⋅===n n n n . 故二面角A －NP －M19．(本小题满分12分)(2014四川，理19)设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图象上(n ∈N *)．(1)若a 1＝－2，点(a 8,4b 7)在函数f (x )的图象上，求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)若a 1＝1，函数f (x )的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为12ln 2-，求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和T n .分析：在第(1)问中，利用已知条件(a 8,4b 7)在f (x )的图象上，得到关于a 8，a 7的方程，然后结合(a 7，b 7)在f (x )的图象上，求出公差d ，再利用等差数列前n 项和公式求出数列{a n }的前n 项和S n ；在第(2)问中，充分利用已知条件求出切线方程，得到a 2，然后利用a 1＝1，求出公差d ，从而得到a n ，b n ，再利用乘公比错位加减法求出T n .解：(1)由已知，b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7，有2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋2.解得d ＝a 8－a 7＝2.所以，S n ＝na 1＋12n n d (-)＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n . (2)函数f (x )＝2x 在(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)，它在x 轴上的截距为21ln 2a -.由题意，2112ln 2ln 2a -=-， 解得a 2＝2.所以，d ＝a 2－a 1＝1.从而a n ＝n ，b n ＝2n . 所以231123122222n n n n n T --=+++++， 2112321222n n n T -=++++. 因此，12111111222122222222n n n n n n n nn n n T T +-----=++++-=--=. 所以，1222n n nn T +--=. 20．(本小题满分13分)(2014四川，理20)已知椭圆C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．(1)求椭圆C 的标准方程．(2)设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝－3上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .①证明：OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)；②当||||TF PQ 最小时，求点T 的坐标． 分析：在第(1)问中，利用已知条件，借助a ，b ，c 的几何意义，列出关于a ，b ，c 的方程组，求出a2，b 2，然后写出椭圆的标准方程；在第(2)问①中，设出T 点坐标，充分利用所给条件，表示出PQ 的方程，然后设出P ，Q 两点坐标，联立曲线方程得到关于y 的一元二次方程，再利用根与系数的关系表示出PQ 的中点坐标，最后利用斜率得出要证结论；在②中，利用①的结论，分别表示出|TF |，|PQ |，然后借助基本不等式得到||||TF PQ 的最小值并求出T 点坐标．(1)解：由已知可得2,24,b c ===⎪⎩解得a 2＝6，b 2＝2，所以椭圆C 的标准方程是22162x y +=. (2)①证明：由(1)可得，F 的坐标是(－2,0)，设T 点的坐标为(－3，m )．则直线TF 的斜率032TF m k m -==---(-). 当m ≠0时，直线PQ 的斜率1PQ k m =.直线PQ 的方程是x ＝my －2. 当m ＝0时，直线PQ 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得222,1.62x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去x ，得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0，其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)＞0. 所以12243m y y m =++，12223y y m -=+， x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝2123m -+. 所以PQ 的中点M 的坐标为2262,33m m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭. 所以直线OM 的斜率3OM m k =-， 又直线OT 的斜率3OT m k =-，所以点M 在直线OT 上， 因此OT 平分线段PQ .②解：由①可得，TF =PQ =221)3m m +=+.所以||||TF PQ ==≥=. 当且仅当22411m m =++，即m ＝±1时，等号成立，此时||||TF PQ 取得最小值． 所以当||||TF PQ 最小时，T 点的坐标是(－3,1)或(－3，－1)． 21．(本小题满分14分)(2014四川，理21)已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值；(2)若f (1)＝0，函数f (x )在区间(0,1)内有零点，求a 的取值范围．分析：在第(1)问中，利用已知条件求出g (x )，然后借助导数g ′(x )求最值，在求解过程中需根据参数a 的取值范围进行讨论，再利用g (x )在区间上的单调性求出g (x )的最值；在第(2)问中，充分利用f (x )在(0,1)内有零点这一条件，借助第(1)问的结论根据参数a 的范围，结合区间端点处函数值的符号来判断在区间内是否存在零点，从而得到a 的取值范围．解：(1)由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，有g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b .所以g ′(x )＝e x －2a .因此，当x ∈[0,1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]． 当12a ≤时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0,1]上单调递增， 因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ； 当e 2a ≥时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0,1]上单调递减， 因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ； 当1e 22a <<时，令g ′(x )＝0，得x ＝ln(2a )∈(0,1)． 所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增．于是，g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2a ln(2a)－b.综上所述，当12a≤时，g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)＝1－b；当1e22a<<时，g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2a ln(2a)－b；当e2a≥时，g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b.(2)设x0为f(x)在区间(0,1)内的一个零点，则由f(0)＝f(x0)＝0可知，f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减．则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负．故g(x)在区间(0，x0)内存在零点x1.同理g(x)在区间(x0,1)内存在零点x2.所以g(x)在区间(0,1)内至少有两个零点．由(1)知，当12a≤时，g(x)在[0,1]上单调递增，故g(x)在(0,1)内至多有一个零点．当e2a≥时，g(x)在[0,1]上单调递减，故g(x)在(0,1)内至多有一个零点．所以1e 22a<<.此时g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增．因此x1∈(0，ln(2a)]，x2∈(ln(2a)，1)，必有g(0)＝1－b＞0，g(1)＝e－2a－b＞0.由f(1)＝0有a＋b＝e－1＜2，有g(0)＝1－b＝a－e＋2＞0，g(1)＝e－2a－b＝1－a＞0. 解得e－2＜a＜1.当e－2＜a＜1时，g(x)在区间[0,1]内有最小值g(ln(2a))．若g(ln(2a))≥0，则g(x)≥0(x∈[0,1])，从而f(x)在区间[0,1]单调递增，这与f(0)＝f(1)＝0矛盾，所以g(ln(2a))＜0.又g(0)＝a－e＋2＞0，g(1)＝1－a＞0，故此时g(x)在(0，ln(2a))和(ln(2a)，1)内各只有一个零点x1和x2.由此可知f(x)在[0，x1]上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在[x2,1]上单调递增．所以f(x1)＞f(0)＝0，f(x2)＜f(1)＝0，故f(x)在(x1，x2)内有零点．综上可知，a的取值范围是(e－2,1)．。
2014年全国高考理科数学试题及答案-四川卷
A ． a ，2014 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科数学一．选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．已知集合 A = {x | x 2 - x - 2 ≤ 0}，集合 B 为整数集，则 A ⋂ B =A ．{-1,0,1,2}B ．{-2, -1,0,1}C ．{0,1}D ．{-1,0}2．在 x(1+ x)6 的展开式中，含 x 3项的系数为A ． 30B ． 20C ．15D ．103．为了得到函数 y = sin(2 x + 1) 的图象，只需把函数 y = sin 2 x 的图象上所有的点A ．向左平行移动 1 1个单位长度 B ．向右平行移动 个单位长度2 2C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度4．若 a > b > 0 ， c < d < 0 ，则一定有b a b a b a b >B ． <C ． >D ． <c dc d d c d c5．执行如图 1 所示的程序框图，如果输入的 x, y ∈ R ，则输出的 S 的最大值为A ． 0B ．1C ． 2D ． 36．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能拍甲，则不同的排法共有A ．192 种B ． 216 种C ． 240 种D ． 288 种7．平面向量 a = (1,2) ，b = (4, 2) ，c = ma + b （ m ∈ R ）且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角，则 m =A ． -2B ． -1C ．1D ． 28．如图，在正方体 ABCD - A B C D 中，点 O 为线段 BD 的中点。
设点 P 在线段 CC 上，直线 OP1 1 1 1 1与平面 A BD 所成的角为α ，则 sin α 的取值范围是1A ． [ 3（6,1]B ． [ ,1]33C ． [ 6 2 2 2 2, ] D ． [ ,1]3 3 39．已知 f ( x ) = ln(1+ x) - ln(1- x) ， x ∈ (-1,1)。
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2014年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科数学一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．已知集合2{|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B ⋂=A ．{1,0,1,2}-B ．{2,1,0,1}--C ．{0,1}D ．{1,0}- 2．在6(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为A ．30B ．20C ．15D ．103．为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动12个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度 4．若0a b >>，0c d <<，则一定有A ．a b c d > B ．a b c d < C ．a b d c > D ．a bd c< 5．执行如图1所示的程序框图，如果输入的,x y R ∈，则输出的S 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．36．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能拍甲，则不同的排法共有A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种 7．平面向量(1,2)a =，(4,2)b =，c ma b =+（m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m = A ．2- B ．1- C ．1 D ．28．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点。
设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是A ．3[,1]3 B ．6[,1]3 C ．622[,]33 D ．22[,1]39．已知()ln(1)ln(1)f x x x =+--，(1,1)x ∈-。
现有下列命题：①()()f x f x -=-； ②22()2()1xf f x x =+； ③|()|2||f x x ≥。
其中的所有正确命题的序号是 A ．①②③ B ．②③ C ．①③ D ．①②10．已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是 A ．2 B ．3 C ．1728D ．10 二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11．复数221ii-=+ 。
12．设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当[1,1)x ∈-时，242,10,(),01,x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨≤<⎩，则3()2f = 。
13．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67，30，此时气球的高是46m ，则河流的宽度BC 约等于 m 。
（用四舍五入法将结果精确到个位。
参考数据：sin 670.92≈，cos 670.39≈，sin 370.60≈，cos370.80≈，1.73≈）14．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB ⋅的最大值是 。
15．以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数()x ϕ组成的集合：对于函数()x ϕ，存在一个正数M ，使得函数()x ϕ的值域包含于区间[,]M M -。
例如，当31()x x ϕ=，2()sin x x ϕ=时，1()x A ϕ∈，2()x B ϕ∈。
现有如下命题：①设函数()f x 的定义域为D ，则“()f x A ∈”的充要条件是“b R ∀∈，a D ∃∈，()f a b =”； ②函数()f x B ∈的充要条件是()f x 有最大值和最小值；③若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()g x B ∈，则()()f x g x B +∉； ④若函数2()ln(2)1xf x a x x =+++（2x >-，a R ∈）有最大值，则()f x B ∈。
其中的真命题有 。
（写出所有真命题的序号）三．解答题：本大题共6小题，共 75分。
解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．已知函数()sin(3)4f x x π=+。
（1）求()f x 的单调递增区间； （2）若α是第二象限角，4()cos()cos 2354f απαα=+，求cos sin αα-的值。
17．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得200-分）。
设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立。
（1）设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； （2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了。
请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因。
18．三棱锥A BCD -及其侧视图、俯视图如图所示。
设M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点，P为线段BC 上的点，且MN NP ⊥。
（1）证明：P 为线段BC 的中点； （2）求二面角A NP M --的余弦值。
19．设等差数列{}n a 的公差为d ，点(,)n n a b 在函数()2xf x =的图象上（*n N ∈）。
（1）若12a =-，点87(,4)a b 在函数()f x 的图象上，求数列{}n a 的前n 项和n S ； （2）若11a =，函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为12ln 2-，求数列{}n na b 的前n 项和n T 。
20．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形。
（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线3x =-上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点,P Q 。
（ⅰ）证明：OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点）； （ⅱ）当||||TF PQ 最小时，求点T 的坐标。
21．已知函数2()1xf x e ax bx =---，其中,a b R ∈， 2.71828e =为自然对数的底数。
（1）设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间[0,1]上的最小值； （2）若(1)0f ，函数()f x 在区间(0,1)内有零点，求a 的取值范围参考答案一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
1．A2．C3．A4．D5．C6．B7．D8．B9．C10．B二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11．2i - 12．1 13．60 14．5 15．①③④三．解答题：本大题共6小题，共 75分。
解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．已知函数()sin(3)4f x x π=+。
（1）求()f x 的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，4()cos()cos 2354f απαα=+，求cos sin αα-的值。
解：（1）由232242k x k πππππ-≤+≤+⇒2234312k k x ππππ-≤≤+所以()f x 的单调递增区间为22[,]34312k k ππππ-+（k Z ∈）（2）由4()cos()cos 2354f απαα=+⇒4sin()cos()cos 2454ππααα+=+因为cos 2sin(2)sin[2()]2sin()cos()2444ππππααααα=+=+=++所以28sin()cos ()sin()4544πππααα+=++ 又α是第二象限角，所以sin()04πα+=或25cos ()48πα+= ① 由3sin()022444k k πππααππαπ+=⇒+=+⇒=+（k Z ∈）所以33cos sin cos sin 44ππαα-=-=② 由25cos ()cos()sin )484ππαααα+=⇒+=⇒-=所以cos sin αα-=综上，cos sin αα-=或cos sin αα-=17．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得200-分）。
设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立。
（1）设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； （2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了。
请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因。
解：（1）X 可能取值有200-，10，20，1000033111(200)()(1)228P X C =-=-=，1123113(10)()(1)228P X C ==-=，2213113(20)()(1)228P X C ==-=，3303111(100)()(1)228P X C ==-=故分布列为（2）由（1）知：每盘游戏出现音乐的概率是33178888p =++=则玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是00313775111()(1)88512p C =--=（3）由（1）知，每盘游戏获得的分数为X 的数学期望是133110()(200)102010088888E X =-⨯+⨯+⨯+⨯=-分这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而会减少。
18．三棱锥A BCD -及其侧视图、俯视图如图所示。
设M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点，P为线段BC 上的点，且MN NP ⊥。
（1）证明：P 为线段BC 的中点； （2）求二面角A NP M --的余弦值。
解：（1）由三棱锥A BCD -及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥A BCD -中：平面ABD ⊥平面CBD ，2AB AD BD CD CB ===== 设O 为BD 的中点，连接OA ，OC于是OA BD ⊥，OC BD ⊥ 所以BD ⊥平面OAC ⇒BD AC ⊥因为M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点，所以//MN BD ，又MN NP ⊥，故BD NP ⊥ 假设P 不是线段BC 的中点，则直线NP 与直线AC 是平面ABC 内相交直线 从而BD ⊥平面ABC ，这与60DBC ∠=矛盾 所以P 为线段BC 的中点（2）以O 为坐标原点，OB 、OC 、OA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则3)A ，13(22M -，13(22N ，13(22P 于是13(,0,22AN =，33(0,22PN =，(1,0,0)MN = 设平面ANP 和平面NPM 的法向量分别为111(,,)m x y z =和222(,,)n x y z =由00AN m PN m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩⇒11111302233022x z y z ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，设11z =，则(3,1,1)m =由00MN n PN n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩⇒22200x y z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，设21z =，则(0,1,1)n =2cos ,||||5m n m nm n ⋅===⋅⋅ 所以二面角A NP M --19．设等差数列{}n a 的公差为d ，点(,)n n a b 在函数()2xf x =的图象上（*n N ∈）。