1.7张量的代数运算(精)

T i, j,k,l,m T
ijk lm
张量分析 及连Βιβλιοθήκη Baidu介质力学
1.7 张量的代数运算
1.7.1 张量的相等
若T = S，则 T ij S ij,
Tij Sij, T i j S i j,
且 T ij S ij，
1.7.2 张量的相加
若T + S =U，则
T ij S ij U ij,
k l T Tij g g g g kl i j
对第1，2指标的转置张量是
ji k l ij k l S T g g g g S g g g g kl i j kl i j
对第1，3指标的转置张量是
R T
ji k l
gi g j g g R
k l
ij kl
gi g j g g
·
S T T
·
ij kl
l k ij k i k gi g j g k gl Tij δ g g T g g S g g kl j i kj i k i
·
1.7.6 张量的点积
阶张量。例如：
点积：若T，S分别是m阶和n阶张量，则 TS U 是m+n－2 ·
·
k l rs t ij rs k l t TS Tij g g g g S g g g T S δ g g g g g kl i j t r s kl t s i j r rk l t ij r l t Tij S g g g g g U g g g g g U kl t i j r l t i j r
1.7.9 张量的商法则
设有一组数的集合（例如T（i, j, k, l, m）），如 果它满足对于任意一个q阶张量S（例如q=2，二阶张 量Slm）的内积均为一个p阶张量（例如p=3，三阶张量 Uijk），即在任意坐标系内以下等式均成立
T i, j,k,l,mS lm U ijk
（上式左侧的l，m为哑标）则这组数的集合T（i, j, k, l, m） 必定是一个p+q阶张量
量均与原张量的对应分量差一符号，则该张量对这两个指标 来说是反对称张量。若T是反对称张量，S是与其对应的转置 张量，则S=－T。 ii ij T T 反对称张量的对角分量均为零。例如 kl k k 0
设S是T的转置。则有 对称化运算： 反对称化运算：
1 A T S 为对称张量； 2 1 B T S 为反对称张量。 2
且 T ij S ij U ij,
1.7.3 标量与张量相乘
若kT=U，则
kT ij U ij ,
且 kT ij U ij ,
张量相减：T－S=T + (－1)S
1.7.4 张量与张量并乘
若T，S 分别是m阶和n阶张量，则TS=U是m+n 阶张量。 U的分量指标的前后顺序和上下位置都与TS 的指标顺序和 上下位置相一致。例如
l k l ijl k TS T ij gi g j Sk g gl T ij Sk gi g j g k gl U g g g gl U k i j
TS ST
1.7.5 张量的缩并
若T是m阶张量，则 S T 是将T的任意两个基矢 量（一般选一个协变基和一个逆变基）进行点积得到的 m－2阶张量。例如：
k
l
张量转置仅调换分量指标的前后顺序，它们的协逆变 性质（即指标上下位置）仍保持不变。
1.7.8 张量的对称化和反对称化
若调换张量分量的某两个指标的顺序而张量保持 不变，则该张量对这两个指标来说是对称张量。若T是 对称张量，S是与其对应的转置张量，则S=T。 若调换张量分量的某两个指标的顺序后所得到的张量分


·

W T : S T
双点积：若T，S分别为m阶和n阶张量，则T : S=W, T · ·S=Z 均为m+n-4阶张量。例如： · ·
ij kl
S gi g j g g g r g s g T
rs t k l t
ij kl
S δ δ gi g j g
rs k l t r s


·

k l rs t ij rs l k t T S Tij g g g g S g g g T S δ g g g g g kl i j t r s kl t r i j s ls k t ij s k t Tij S g g g g g V g g g g g V kl t i j s k t i j s
t
kl t ij t Tij S g g g W g g g kl t i j t i j
Z T S T
ij kl
S gi g j g g g r g s g T
rs t k l t
· ·
ij kl
S δ δ gi g j g
rs l k t r s
t
lk t ij t Tij S g g g Z g g g kl t i j t i j
1.7.7 转置张量
如果保持基矢量的排列顺序不变，而调换张量 分量的指标顺序，则一般说来将得到一个同阶的新 张量，称为原张量的转置张量。对高阶张量来说， 应指明是对哪两个指标的转置张量。例如：