附录1-截面的几何性质 杨大方

Ix
C
2 πd 4 2d πd 2 2d πd I x 128 3π 8 3π 8
2
2
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附录Ⅰ 截面的几何性质
然后再利用平行移轴公式求半圆形对x轴的惯性矩：
I x2 I x C
2d πd 2 a 3π 8
I p dA ( x y )dA
2 2 2 A A

O 二、惯性矩： 是面积与它到轴的距离的平方之积。
A A
x 2dA y 2dA I x I y
图形对x轴的惯性矩: 图形对y轴的惯性矩:
11
I x y 2 dA
A
量钢：L4
I y x 2 dA
tg2 0 2I xCyC I xC I yC
⑥求形心主惯性矩
31
I xC0 I xC I yC I xC I yC 2 2 ( ) I xCyC 2 2 I yC0
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附录Ⅰ 截面的几何性质
例3 在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴。(b=1.5d)
附录Ⅰ 截面的几何性质
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附录Ⅰ 截面的几何性质
Ⅰ-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式·
一、平行移轴定理： 以形心为原点，建立与原坐标轴平行 的坐标轴如图
y
y
yC x dA xC C b y x
xa xC yb yC
I x y 2 dA
A
a

( yC b) 2 dA
2
2 πd 4 2d 2 πd 2 2d πd 2 a 8 3π 8 128 3π
将 d = 80 mm，a = 100 mm 代入后得
I x2 3 467104 mm4
从而得图a所示截面对x轴的惯性矩：
圆
I P d I x I y 2 64
4
I AB
d d 4 d 4 5d 4 Ix A 64 16 64 2
20
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附录Ⅰ 截面的几何性质
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附录Ⅰ 截面的几何性质
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x x1 y
dA y1 x1 x

I y1
27
Ix Iy 2
Ix Iy 2 cos 2 I xy sin 2
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附录Ⅰ 截面的几何性质
I x I y I x I y I y1 2 cos2 I xy sin 2 2 I x I y I x1 y1 2 sin 2 I xy cos2
O
h
b
x
b 解： 取平行于x轴的狭长条， 易求 b( y) (h y) h b 因此 d A (h y ) d y 所以对x轴的静矩为
7
h hb bh2 S x A y d A 0 (h y ) y d y h 6
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附录Ⅰ 截面的几何性质
13
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附录Ⅰ 截面的几何性质
y
若截面是高度为h的平行 四边形（图b），则其对形心 轴x 的惯性矩同样为
h C x
bh3 Ix 12
b
(b)
14
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附录Ⅰ 截面的几何性质
例4 求圆形截面的惯性矩。
y
已知 则 而 所以
I P 2 dA
I x I x1 2I x2 12 270104 mm4
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附录Ⅰ 截面的几何性质
Ⅰ-4* 惯性矩和惯性积的转轴公式· 截面的主惯性轴和主惯性距
y 一、 惯性矩和惯性积的转轴定理 y1
x1 xcos ysin y1 xsin ycos
主惯性轴位置:
tg 0 2
2I xy Ix I y
29
I x0 I x I y I x I y 2 2 主惯性矩： ( ) I xy 2 2 I y0
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附录Ⅰ 截面的几何性质
2.形心主轴和形心主惯性矩：
主惯性轴过形心时，称其为形心主轴。 平面图形对形心主轴之惯性矩，称为形心主惯性矩.
32
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附录Ⅰ 截面的几何性质
I xC I矩xC I圆xC I矩x A矩 y 2 [ I圆x1A圆 (0.5d y)2 ]
1.5d(2d )3 d 4 d 2 3d 2 (0.177d ) 2 [ (0.5d 0.177d ) 2 ]0.685d 4 12 64 4
I x1 I y1 I x I y
28
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二、截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩 1.主惯性轴和主惯性矩：如坐标旋转到= 0 时；恰好有
I x0 y0 (
I x I y 2
sin2 0 I xy cos2 0 )0
则与 0 对应的旋转轴x0 ,y0 称为主惯性轴。即平面图形 对其惯性积为零的一对坐标轴. 平面图形对主轴之惯性矩为主惯性矩。
z
dA d d
I y z 2 dA
2
2 (cos )2 d d
D 2
D4
64
I z y 2 dA
16
0 0 D 2 2
2 (sin )2 d d
0 0
D4
64
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组合截面的惯性距和惯性积 Ⅰ-4* 惯性矩和惯性积的转轴公式 截面的主惯性轴和主惯性距
2
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附录Ⅰ 截面的几何性质
Ⅰ-1 截面的静距和形心位置
设任意形状截面如图所示。 1. 静矩（或一次矩）
y
S y Ax d A
x y
S x A y d A
常用单位： m3 或mm3 。
i 1
n
Sx A y
解得组合截面的形心坐标公式为：
x
i 1 n
Ai x i
i 1
n
Ai
y
i 1 n
Ai y i
i 1
n
Ai
6
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附录Ⅰ 截面的几何性质
例1 试计算图示三角形截面对于与其底边重合的x轴 y 的静矩。
dy b (y ) y
A
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附录Ⅰ 截面的几何性质
三、惯性积：面积与其到两轴距离之积。 图形对xy轴的惯性积: I xy xydA
A

y x
量钢：L4
如果 x 或 y 是对称轴，则Ixy =0
四、惯性半径 图形对x轴的惯性半径: 图形对y轴的惯性半径: O

dA y x
ix I x / A iy I y / A
y 2d d yC O x1
解： ①建立坐标系如图。
②求形心位置。
x xC
b
xi Ai 0 0 x A A d d 2 yi Ai 2 4 0.177d y 2 A 2 d 3d 4
③ 建立形心坐标系；求：IyC ， IxC ， I xCy
其中： I x1
d 2a 80 mm200 mm 5 333104 mm4 12 12
3 3
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附录Ⅰ 截面的几何性质
至于I x 则需先求出半圆形对其自身 2 形心轴的惯性矩。根据平行移轴公式可 2 2 2d πd ，而半圆形对于 得 I x I x C 8 3π 直径轴x'(图b)的惯性矩等于圆形对x'轴 πd 4 的一半，于是得 的惯性矩 64
tg 2 0
形心主C I yC
I xC I yC 2 2 I xC0 I xC I yC ( ) I xCyC 2 2 I yC0
若平面图形有两个对称轴,此二轴均为形心主轴; 若平面图形有一个对称轴,则该轴为一形心主轴, 另一形心主轴
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Ⅰ-2 极惯性矩· 惯性矩· 惯性积
一、极惯性矩：是面积对极点的二次矩。 图形对O点的极惯性矩: y x 量钢：L4 dA y x
dA
值：可为正、负或 0 。
x
3
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2、形心
x
y
A
xdA
A
A ydA
A

Sy A
y
x
A
C
Sx A
o
y
x
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3. 静矩与形心坐标的关系
Sy A x
Sx A y
结论：截面对形心轴的静矩恒为0，反之亦然。 4. 组合截面的静矩 由静矩的定义知：整个截面对某轴的静矩应 等于它的各组成部分对同一轴的静矩的代数和:
12
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例3 试计算图a所示矩形截面对于其对称轴（即形心 轴）x和y的惯性矩。
解： 取平行于x轴的狭长条，
则 dA=b dy
2 h 2 h 2 3 2
y
dy h y C x b (a)
bh I x A y d A by d y 12 3 hb 同理 Iy 12
30
过形心, 且与该轴垂直.
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3.求截面形心主惯性矩的方法 ①建立坐标系 ②计算面积和面积矩 ③求形心位置
S y xi Ai x A A y S x yi Ai A A
④建立形心坐标系；求：IyC ， IxC ， IxCyC ⑤求形心主轴方向 — 0
I xy I xCyC abA
I I C (ab) 2 A
19
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附录Ⅰ 截面的几何性质
例5： 求图示圆对其切线AB的惯性矩。 y 解 ：用平行移轴定理等知识求。 建立形心坐标如图,求图形对形 O B x 心轴的惯性矩。
d
A
Ip
d 4
32
2
I x I y 2I x
S y Ai xi
i 1
n
S x Ai yi
i 1
n
( Ai和xi , yi分别为第i个简单图形的面积及其形心坐标）
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5. 组合截面的形心坐标公式 将 S y i Ai xi 1
代入 S y A x
n
S x Ai yi
A 2 ( yC 2byC b 2 )dA A
x
18
I xC 2bSxC b 2 A
S xC AyC 0
I x I xC b 2 A
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I x I xC b 2 A
同理:
I y I yC a 2 A
注意: C点必须为形心
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附录Ⅰ
截面的几何性质
2013年7月31日
1
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附录Ⅰ 截面的几何性质
附录Ⅰ 截面的几何性质
本章内容: Ⅰ-1 截面的静距和形心位置 惯性积 Ⅰ-2 极惯性矩· 惯性矩· Ⅰ-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式
附录Ⅰ 截面的几何性质
例7 试求图a所示截面对于x 轴的惯性矩Ix 。
(a)
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解：将截面看作由一个矩形和两个半圆
形组成，半圆形的形心位置如图b所示。
(1)求Ix 设矩形对x轴的惯性矩为 I x ，每个半圆形
1
对x轴的惯性矩为 I x ，则有
2
I x I x1 2I x2
A

d4
32
d x
I y Ix I p I y Ix
1 d4 I y Ix I p 64 2
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附录Ⅰ 截面的几何性质
另解： 设圆截面直径D，则圆方程为
y
D2 y2 z2 4 y sin z cos

d

dA