附录1-截面的几何性质 杨大方
附录Ⅰ-常见截面的几何性质
取微面积dA=dzdy，则：Izy 0;
例5-3 圆形截面对其形心轴的惯性矩。 解：取yoz坐标系。取微面积dA=2zdy,则：
由 Iz 对 A y 2 称 dIy A 性 R IR z2 y ： 2 6D 44R ;2 由 y 几 2 d 何 y 关 R 4 4 系 2＝ ： 6 D y24 ;4 z2,
当Sz=0或Sy=0时，必有yc=0或zc=0，可知截面对某轴的
静矩为零时，该轴必通过截面形心；反之，若某轴通过形心，
Байду номын сангаас
则截面对该轴的静矩为零。
返回 下一张 上一张 小结
二、形心公式：
yc
SAz ;zc
Sy A
.
三、组合截面的静矩：n个简单图形组成的截面，其静矩为：
n
Sz Ai yci; i1
z2dA;
A
圆形截面：Iy
Iz
D4 ;
64
几何关系： IP A2 d A A (y 2 z 2 ) d A I Z Iy .
四、惯性积：
Izy
zydA;
A
五、平行移轴公式：
Iz1za2A; y1 y b2A; Iz1y1 Izyab;A
特点：①两个形心主惯性矩是截面对过形心所有各轴的惯性矩 中的极大值和极小值；
②有一根对称轴的截面，形心主轴是对称轴和与之垂直 的形心轴；
③有两根对称轴的截面，形心主轴是两根对称轴； ④无对称轴的截面，由转轴公式求对形心的惯性积为零 的 o 角，即 形心主惯性轴。
第五节 组合截面惯性矩的计算 工程中常遇到组合截面。计算其形心主惯性矩时，应先确定形 心位置、形心主轴，再求形心主惯性矩。
孙训方材料力学第五版1课后习题答案
第七章应力状态和强度理论7-17-27-37-47-57-67-77-87-97-107-117-127-137-1(7-3) 一拉杆由两段杆沿m-n面胶合而成。
由于实用的原因，图中的角限于范围内。
作为“假定计算”，对胶合缝作强度计算时可以把其上的正应力和切应力分别与相应的许用应力比较。
现设胶合缝的许用切应力为许用拉应力的3/4，且这一拉杆的强度由胶合缝的强度控制。
为了使杆能承受最大的荷载F，试问角的值应取多大？解：按正应力强度条件求得的荷载以表示：按切应力强度条件求得的荷载以表示，则即：当时，，，时，，，时，，时，，由、随而变化的曲线图中得出，当时，杆件承受的荷载最大，。
若按胶合缝的达到的同时，亦达到的条件计算则即：，则故此时杆件承受的荷载，并不是杆能承受的最大荷载。
返回7-2(7-7)试用应力圆的几何关系求图示悬臂梁距离自由端为0.72m的截面上，在顶面以下40mm的一点处的最大及最小主应力，并求最大主应力与x轴之间的夹角。
解：=由应力圆得返回7-3(7-8)各单元体面上的应力如图所示。
试利用应力圆的几何关系求：（1）指定截面上的应力；（2）主应力的数值；（3）在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。
解：（a），，，，（b），，，，（c）, , ,（d），，，，，返回7-4(7-9) 各单元体如图所示。
试利用应力圆的几何关系求：（1）主应力的数值；（2）在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。
解：（a），，，（b），，，（c），，，（d），，，返回7-5(7-10)已知平面应力状态下某点处的两个截面上的应力如图所示。
试利用应力圆求该点处的主应力值和主平面方位，并求出两截面间的夹角值。
解：由已知按比例作图中A，B两点，作AB的垂直平分线交轴于点C，以C 为圆心，CA或CB为半径作圆，得（或由得半径）（1）主应力（2）主方向角（3）两截面间夹角：返回7-6(7-13) 在一块钢板上先画上直径的圆，然后在板上加上应力，如图所示。
截面的几何性质截面的几何性质
I y1 z1 =
Iz − I y
sin 2α + I yz cos 2α
• 图形对通过一点的任一对相互垂直的轴的惯
性矩之和为一常数。
I y1 + I z 1 = I z + I y
30
截面的几何性质 • 平面图形的静矩和形心 • 平面图形的惯性矩、惯性积和惯性半径 • 惯性矩和惯性积的平行移轴公式 • 惯性矩和惯性积的转轴公式 • 主惯性轴和主惯性矩
组合图形的静矩和形心位置 • 组合图形 — 由几个简单图形（如矩形、圆形
或三角形等规则图形）组成的图形。
• 组合图形的静矩 — 整个图形对某一轴的静矩
等于各组成部分对该轴静矩的代数和。
S z = ∑ Ai yC i S y = ∑ Ai zC i
Ai − 第i 个简单图形的面积；
( yC i , zC i ) − 第i 个简单图形的形心坐标。
I y = ∫A z 2dA
I P = ∫ A r 2 dA
• 惯性矩及极惯性矩与截面面积有关； • 惯性矩及极惯性矩与坐标设置有关； • 惯性矩及极惯性矩恒为正值； • 惯性矩及极惯性矩的单位为m4或mm4。
11
平面图形的惯性半径 • 定义
iz = Iz A iy = Iy A
分别为图形对于z 轴和y 轴的惯性半径。
• 组合图形形心位置的计算式
yC =
∑ Ai yC i ∑ Ai
zC =
8
∑ Ai zC i ∑ Ai
截面的几何性质 • 平面图形的静矩和形心 • 平面图形的惯性矩、惯性积和惯性半径 • 惯性矩和惯性积的平行移轴公式 • 惯性矩和惯性积的转轴公式 惯性矩 • 定义
yzyz2012123232组合图形的惯性矩1121主惯性轴和主惯性矩截面的几何性质22ababs惯性矩和惯性积的平行移轴公式1223ababs惯性矩和惯性积的平行移轴公式24在截面对所有平行轴的惯性矩中以对通过其形心的轴的惯性矩为最小
截面的几何性质33页PPT
截面的几何性质
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔பைடு நூலகம்
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
材料力学截面的几何性质课件
目录
• 截面的基本性质 • 截面的二次矩 • 截面的抗弯截面系数 • 截面的抗扭截面系数 • 材料力学截面的应用
01 截面的基本性质
截面的面积
面积
截面面积是二维平面图形被截后，与 原图形相比增加的面积。对于矩形、 圆形、三角形等简单形状，截面面积 可以通过几何公式直接计算。
的刚度和稳定性。
截面惯性矩
截面惯性矩是衡量截面抗弯刚度 的指标，对于承受弯矩的构件， 选择具有较大惯性矩的截面可以
减少挠度和转角。
截面抵抗矩
截面抵抗矩是衡量截面抗剪切能 力的指标，对于承受剪力的构件 ，选择具有较大抵抗矩的截面可
以增加构件的承载能力。
工程设计中的应用
桥梁设计
在桥梁设计中，需要考虑梁的截面尺寸、材料类型和截面形式等 因素，以确保桥梁具有足够的强度和刚、单位等因素，以确保数 据处理结果的准确性和可靠性。
1.谢谢聆 听
根据微面积和其对应的主 轴方向余弦，计算出截面 二次矩。
主轴的确定
根据计算出的惯性矩，找 出三个主轴的方向余弦和 角度。
实例分析
圆截面
圆截面的二次矩为常数， 且各主轴与截面垂直，说 明圆截面在弯曲时没有翘 曲的趋势。
矩形截面
矩形截面的二次矩与宽度 的平方成正比，说明矩形 截面有较好的抗弯能力。
工字形截面
工字形截面的二次矩比同 样面积的矩形截面小，但 抗弯能力仍高于同样重量 的实心杆件。
03 截面的抗弯截面系数
定义与性质
01
抗弯截面系数是截面对其轴线的惯性矩除以截面的面积 得到的数值，用来度量截面在弯矩作用下抵抗变形的能 力。
02
不同形状的截面有不同的抗弯截面系数，如圆截面为1 ，矩形截面为1.13，工字形截面为1.44等。
附录 截面的几何性质(材料力学)
b b( y ) ( h y ) h
b(y )
S x A y d A 0
b bh2 (h y ) y d y h 6
h
dy
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
例 试确定图示截面心 C 的位置。 解：将截面分为 1，2 两个矩形。 取 x 轴和 y 轴分别与截面 的底边和左边缘重合 y
10
1
x1
C( y, x )
y1
o
2
y2
10
x2
80
x
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
思考： 求下图所示截面的形心位置
50
10 A1
z
60
A2
10
y
12
yc1 A1 yc 2 A2 yc A1 A2
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
例 半径为r的半圆：求半圆的形心。 解 在距 z 轴任意高度 y 处取狭长条 作为微面积，即
分别称为截面图形对于z轴和y 轴的惯性矩。 惯性矩的数值恒为正，常用单位为m4 。
14
dA
y x
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
二、极惯性矩
y
I p 2 dA
A
称为截面图形对O点的极惯性矩。
x
dA y x
2 x2 y 2
I p 2dA x 2 y 2 dA x 2dA y 2dA I y I x
A
y
z y A o
A
A
y
dA z
y
ydA S A z A A
求静矩的另一公式：
Sy x A
5
Sx y A
《材料力学》附录I截面的几何性质习题解
附录I 截里的几许本量 习题解之阳早格格创做[习题I-1]试供图示各截里的阳影线里积对付x 轴的静积.（a ）解：)(24000)1020()2040(3mm y A S c x =+⨯⨯=⋅= （b ） 解：)(42250265)6520(3mm y A S c x =⨯⨯=⋅=（c ）解：)(280000)10150()20100(3mm y A S c x =-⨯⨯=⋅= （d ）解：)(520000)20150()40100(3mm y A S c x =-⨯⨯=⋅= [习题I-2]x 轴的静矩，并决定其形心的坐标.解：用二条半径线战二个共心圆截出一微分里积如图所示.dx xd dA ⋅=)(θ；微分里积的纵坐标：θsin x y =；微分里积对付x 轴的静矩为：半圆对付x 轴的静矩为：[习题I-3]试决定图示各图形的形心位子. （a ） 解：(b) 解：(c) 解：[习题I-4]解：用二条半径线战二个共心圆截出一微分里积如图所示.为：[习题I-5].解：圆的圆程为：里积，微分里积为：[习题I-6] 试供图示正圆形对付其对付角线的惯性矩.解：正圆形四条边的曲线圆程如图所示（设火仄坐标轴为.[习题I-7] 试分别供图示环形战箱形截里对付其对付称轴x 的惯性矩. (a) 解：)(21177368])175150(1[17514.3641)1(64144424mm D I x =-⨯⨯=-=απ(b)[习题I-8]试供图示三角形截里对付通过顶面A 并仄止于底边BC 的轴的惯性矩.解：已知三角形截里对付以BC 边为轴的惯性矩是，利用仄止轴定理，可供得截里对付形心轴的惯性矩 所以再次应用仄止轴定理，得[习题I-9]试供图示的半圆形截里对付于轴的惯性矩，其中轴取半圆形的底边仄止，相距1 m. 解：已知半圆形截里对付其底边的惯性矩是，用仄止轴定理得截里对付形心轴的惯性矩 再用仄止轴定理，得截里对付轴的惯性矩[习题I-10] 试供图示拉拢截里对付于形心轴x 的惯性矩. 解：由于三圆曲径相等，并二二相切.它们的圆心形成一个边少为的等边三角形.该等边三角形的形心便是拉拢截里的形心，果此底下二个圆的圆心，到形心轴的距离是上头一个圆的圆心到轴的距离是d 632.利用仄止轴定理，得拉拢截里对付轴的惯性矩如下： [习题I-11]试供图示各拉拢截里对付其对付称轴的惯性矩. 解：（a ）22a 号工字钢对付其对付称轴的惯性矩是.利用仄止轴定理得拉拢截里对付轴的惯性矩（b ）等边角钢的截里积是，其形心距中边沿的距离是28.4 mm ，供得拉拢截里对付轴的惯性矩如下：习题I-11（b ）图图形 b h Ixc a A Ix中间矩形 10 600 180000000 0 6000 180000000 上矩形 250 10 20833 305 2500 232583333 下矩形 250 10 20833 305 2500 232583333 左上L 形 1795100 1926 143869495 左上L 形 1795100 1926 143869495 左下L 形 1795100 1926 143869495 左下L 形17951001926143869495 A a I I xc x 2+=1220644645[习题I-12]试供习题I-3a 图所示截里对付其火仄形心轴的惯性矩.闭于形心位子，可利 用该题的截止.解：形心轴位子及几许尺寸如图所示.惯性矩估计如下：试供图示各截里对付其形心轴x的惯性矩.习题I-13(a)图形bi hi Ai Yci AiYci Yc ai Ixc Ix(mm4)上矩形1000 100 100000 650 65000000 225 83333333 5145833333 下矩形300 600 180000 300 54000000 125 5400000000 8212500000 齐图280000 119000000 425习题I-13(c)图形bi hi r Ai Yci AiYci Yc Ixc(mm4) ai Ix(mm4)矩形2140 1150 2461000 575 1415075000 271222708333 159 333213698275 半圆790 -980333 335 -328692667 42750202791 399齐图1480667 1086382333 734半圆：π3/4ryc=半圆：ππ9/88/44rrIxc-=习题I-13(d)图形bi hi Ai Yci AiYci Yc ai Ixci Ix(mm4)从下往上2216 3520 8 28160 37475093 4924386131814 2520 23 57960 35941160 324821280 16 674 10784 367 3957728 0 408242699 408242699 2214 3080 711 2189880 32950307 333432587 449 4005 2893613 3427034 464367735习题I-13( b)图形bi hi Ai Yci AiYci Yc ai Ixc Ix(mm4)上图(3) 25 150 3750 275 1031250 148 7031250 89601489 中图(2) 200 150 30000 125 3750000 2 56250000 56328044 下图(1) 100 50 5000 25 125000 102 1041667 52667577 齐图38750 4906250 127 1985971105 123909 9127341 382 202330291 4[习题I-14] 正在曲径aD8=圆截里中，启了一个aa42⨯的矩形孔，如图所示.试供截里对付其火仄形心轴战横曲轴形心的惯性矩xI战y I.解：先供形心主轴的位子截里图形对付形心轴的静矩（里积矩）等于整：（y轴背下为正）（拉拢图形对付过圆心轴x1的惯性矩）（拉拢图形对付形心轴x的惯性矩）习题I-14b(a) h(a) r(a) Ai(a2) Yci(a) AiYci Yc(a) Ixc ai Ix(a4) 矩形4 2 -8.00 1 -8 2.667 1.1893 14.0圆 4 50.27 0 0 201.062 -0.1893 202.942.27 -8 -0.1893 188.9 [习题I-15]正圆形截里中启了一个曲径为mmd100=的半圆形孔，如图所示.试决定截里的形心位子，并估计对付火仄形心轴战横曲形心轴的惯性矩.解：习题I-15图形 bi hi rAiYci AiYciYcIxci ai Ix正圆形 200 20040000 100 4000000 133333333 2 133546801 半圆 50 -3927 79 -30936568597724 2860346 齐图360733690635 102130686455π34100r y c -=ππ98844r r I xc -⋅=A a I I xc x 2+=形心位子：X （0，102）.对付火仄形心轴的惯性矩：4130686455m m I x =.对付横曲形心轴的惯性矩：习题I-15图形 a r Iy （mm 4） 正圆形 200半圆 50 2454367齐图13087896681244r a I y ⋅-=π[习题I-16] 图示由二个a 20号槽钢组成的拉拢截里，若欲使截里对付二对付称轴的惯性矩x I 战y I 相等，则二槽钢的间距a 应为几？解：20a 号槽钢截里对付其自己的形心轴、的惯性矩是，；横截里积为；槽钢背到其形心轴的距离是.根据惯性矩定义战仄止轴定理，拉拢截里对付，轴的惯性矩分别是 ；若即等式二边共除以2，而后代进数据，得 于是所以，二槽钢相距[习题I-17] 试供图示截里的惯性积xy I解：设矩形的宽为b 下为h ，形心主惯性轴为c c y x 0，则由仄止移轴公式得：故，矩形截里对付其底边取左边所形成的坐标系的惯性积为：2241h b I xy =[习题I-18] 图示截里由二个mm mm mm 10125125⨯⨯的等边角钢及缀板（图中实线）拉拢而成.试供该截里的最大惯性矩max I 战最小惯性矩习题I-17 图形 b h Ixy 左矩形 10 100 250000 下矩形: 100 10 250000 沉复加的矩形 10102500齐图上图+下图-沉复图= 497500解：从图中可知，该截里的形心C位于二缀板共共的形心上.过C C.C后所得到的坐标系是截里的的二条对付称轴，也便是该截查型钢表得：12.5号等边角钢的参数如下：，，，角钢形心主惯性轴取截里形心主惯性轴之间的距离：（注：缀板用实线绘出，表示其里积可忽略没有计）[习题I-19].论断：1、过正圆形形心的一对付相互笔曲的轴，它们的惯性矩相等，它们的惯性积为整；2、过正圆形形心的一对付相互笔曲的轴，绕形心转化之后，惯性矩、惯性积脆持没有变.[习题I-20]决定图示截里的形心主惯性轴的位子，并供形心主惯性矩.（a ）解：截里的形心主惯性轴取横曲矩形的形心主惯性轴沉合.Ix Iy Ixy-259200000 Ix0= 704109187-259200000Iy0=54184146224)(2120xy y x yx y x I I I I I I I +-±+=(b)解：以20号槽钢（图I ）的下边沿为x 轴，左边沿为y 轴，修坐坐标系.8号槽钢编号为图II.则拉拢截里的形心估计如下：习题I-20(b) 少度单位:cm图形 Ai Xci Yci AiXci AiYci Xc Yc I 10 64 II 16 -15 齐图习题I-20（b ）图形 Ai iabiIxci' Iyci' Ixci Iyci Ixciyci' Ixciyci tan2a0a0Ix0Iy0I 1981 165 0 II齐2296249[习题21]试用近似法供习题I-4出的透彻值相比较.解：圆的圆程为：把y轴的半径10过仄分面，做x轴的仄止线.从下往上，每个分块的中面的y坐标取x坐标如下表所示.[习题I-22]（提示：最简朴的证法是利用惯性积的仄止移轴公式，并利用一对付相互笔曲的坐标轴中有一为截里的对付称轴时，其惯性积为整的特性.）解。
附录 截面的几何性质
y
y1
α逆时针转为正。
2 dA I y1 z1 A 2 dA I z1 y1 A
z
dA z1
y1
O
y
I y1 z1 y1 z1 dA
A
y1 cos cos cos sin sin y cos z sin
64 64 D 4 5 d 4 64 64 17
d4
[例3]
求图示圆对其切线AB的惯性矩。 解：建立形心坐标如图,求图 形对形心轴的惯性矩。
Ip
z
d4
32
I y Iห้องสมุดไป่ตู้z 2I y
d A
y
O
B
I AB
Iy Iz
2
d4
64
4 4 4 d d d 5 d A Iy 64 16 64 2
Iz A
10
例：求图示矩形截面对其对称轴的惯性矩和惯性半径。
z
dz
I y z 2 dA
A
z
h C
b y
h 2 h 2
3 bh bz2dz 12
iy
Iy bh3 h A 12bh 12
b3h 同理： I z 12
iz
Iz A
b3h 12bh
b 12
11
y1 y cos z sin z1 y sin z cos
22
z1 z
y
y1
z
dA z1
y1 y cos z sin z1 y sin z cos
附录部分课件
由 Ixy
xy d A可知，只要x 轴
A
或y 轴为截面的对称轴，则由于与
该轴对称的任何两个面积元素dA的
惯性积xydA数值相等而正负号相反，
致使整个截面的惯性积必定等于零。
图a所示截面的x 轴和y 轴都是对称
轴，当然Ixy=0。
第四章 弯曲应力
第四章 弯曲应力
例题Ⅰ- 6 图示组合截 面由一个25c号槽钢截面和两 个90 mm×90 mm×12 mm等 边角钢截面组成。试求此截 面分别对于形心轴x和y的惯 性矩Ix 和 Iy 。
至于I x2 则需先求出半圆形对其自身 形心轴的惯性矩。根据平行移轴公式可
得 直径Ix轴xI'(xC图b)23的dπ 惯2 性 πd8矩2，等而于半圆圆形形对对x'轴于
的惯性矩 πd 4 的一半，于是得 64
I xC
I
x
2d 3π
2
πd 2 8
πd 4
2d
2
128 3π
πd 2 8
第四章 弯曲应力
第四章 弯曲应力
解：由型钢规格表查得：
25c号槽钢截面 A 44.91cm2， I xC 3 690 .45 cm4 I yC 218 .415 cm4 形心位置如图所示 90 mm×90 mm×12 mm等边角 钢截面
A 20.30 cm2 I xC I yC 149.22 cm4 形心位置如图所示
1 100 203 100 20 (46.7)2 12
I yC
I1 yC
I2 yC
12.12 106m4
20
yC 1 z2
y
20 140
100 2
第四章 弯曲应力
例题Ⅰ- 5 试求图a所示截 面对于x轴的惯性矩Ix ，对于y轴 的惯性矩Iy ，以及对于x，y轴的 惯性积Ixy 。
截面的几何性质课件
目录
• 截面的基本概念 • 截面的形状分类 • 截面的力学性质 • 截面的设计原则 • 截面的优化设计 • 截面的实验研究 • 截面的工程实例
01
截面的基本概念
截面的定义
二维图形
截面是指用一个平面去截一个三 维图形（如长方体、正方体、球 体等），得到的二维图形。
几何形状
根据所用的平面和三维图形的相 对位置不同，截面可以是圆、椭 圆、矩形、三角形等不同的几何 形状。
01
进行实验
按照实验方案进行实验操作，并详细记录实验数据。
02
数据清洗与预处理
对采集到的实验数据进行清洗和预处理，以消除异常值和缺失值，确保
数据质量。
03
数据转换与统计分析
对预处理后的数据进行转换和统计分析，以挖掘截面几何性质的特征和
规律。
结果评估与应用
结果评估
根据统计分析结果，对截面几何性质的特征和规律进行评估 ，验证实验设计的合理性和结果的可靠性。
截面的形状、尺寸、材料、截面系数等。
计算公式
最大剪力 = 截面系数 x 剪力系数 x 跨度 x 集中荷载。
截面的抗扭强度
定义
截面的抗扭强度是指截面在承受扭矩作用下的最大抗扭能力。
影响因素
截面的形状、尺寸、材料、截面系数等。
计算公式
最大扭矩 = 截面系数 x 扭矩系数 x 跨度 x 集中荷载。
04
截面的设计原则
安全性原则
确保截面结构强度
在设计截面时，需要考虑结构强度和 稳定性，以避免在承载重量或受到外 力作用时发生变形或损坏。
保障截面安全使用
设计时应考虑到使用者的安全，避免 出现尖锐边角或易滑倒的表面，确保 使用过程中不会发生意外伤害。
09工程力学答案附录A 截面的几何性质
A-3 图示各截面对水平形心轴z 的惯性矩。
解：a.截面有两个对称轴，形心是对称轴的交点。
方法一（分割法）：332743014012030+2=+2[+12030100-15] 5.94101212z zzI I I mm ⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯中上（）方法二（负面积法）：337412020060-151402=2=5.94101212z zzI I I mm ⨯⨯=--⨯⨯大小（）方法三（积分法）：组合图形一般不采用该法。
701002274-7070+2=302120 5.9410z z z I I I y dy y dy mm =+⨯=⨯⎰⎰中上(a)题A -3图b:查表得20a 工字钢4200,100mm 2370z h mm b cm ===，I3727410010+2=2.3710+2[+10010100+5] 4.571012z zzI I I mm ⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯工板（）33774200+2=2.37102[]=4.57101212z z z I I I mm ⨯⨯=⨯+⨯-⨯工板100（200+20）100A-4a解：（1）以对称轴为y 轴建立图示zy 坐标，z C =011221+10020(1401402070mm=103.3mm 1002014020C A y A y y y A ⨯⨯+⨯⨯===⨯+⨯+10) （2）计算图形对形心轴惯性矩33122274100202014010020(16010331020140(103.37012110mm 1212z z z I I I ⨯⨯=+=+⨯⨯--++⨯⨯-=⨯))..A-5 题图示组合截面由两根28a的普通热扎槽钢组成，z和y轴为两条对称轴。
（1）若a=180mm ,试求I y、I z。
（2）欲使I y=I z ,a应为多大？解：（1）查表得28a普通热扎槽钢：442 0128, 2.097cm4764.59217.989,40.02z yh cm z cm cm A cm=====槽槽槽槽槽，，I I（2）若a=180mm，则组合图形对其形心y轴、z轴的惯性矩分别为：4742=24764.59=9.5310z zI I cm mm=⨯⨯槽22484102+A]=2[217.989+40.029+2.097] 1.03102y yaI I cm mm=⋅⨯⨯=⨯槽槽槽[（+z）（）（3）欲使I y=I z ,a应为多大42241024764.59=2+A]=2[217.989+40.02+2.097]17.1222z y ya aI I cm I cm a cm=→⨯⋅⨯⨯→=槽槽槽[（+z）（）补充1：确定图示平面图形力的形心位置。
材料力学 附录Ⅰ截面的几何性质
材料力学附录Ⅰ截面的几何性质随着材料科学的不断发展，材料力学成为研究材料内部结构和力学行为的重要学科之一。
在材料力学中，研究截面的几何性质是必不可少的一部分。
本文将着重介绍截面几何性质的相关知识，探讨其在材料力学中的应用。
一、截面的定义截面是指在任意平面上与某个物体相交的部分，一般用于描述杆件、梁、板等结构物体的断面形态。
材料力学中，截面的几何参数是研究杆件、梁、板等结构物体受力行为的重要基础。
二、常见截面形状和特征常见的截面形状包括矩形、圆形、三角形、梯形、T形等。
其几何参数如截面面积、惯性矩、位置矩、受压、受弯等，均是描述结构物体受力行为的重要指标。
对于矩形截面来说，其惯性矩最大的方向是短边方向，即截面中心距离短边较远的一侧。
圆形截面的惯性矩与位置矩均与截面对称轴有关。
对于三角形截面来说，其惯性矩与位置矩也是与截面对称轴有关的，而梯形截面和T形截面的惯性矩和位置矩则需要具体计算得出。
三、截面的常见计算公式在计算截面的几何性质时，需要用到一些公式。
以下是一些常见的公式：1、截面面积截面面积是截面内部曲线及其间距离所组成的面积。
不同截面形状的截面面积计算公式如下：矩形截面：A = bh圆形截面：A = πr²三角形截面：A = 1/2bh梯形截面：A = 1/2(a+b)hT形截面：A = (bh₁+ (b₂-h₂)h₂/2)2、截面惯性矩截面惯性矩是描述结构物体受弯作用时截面抵抗弯曲的能力的重要参数，其计算公式如下：Ixx = ∫(y²)dAIyy = ∫(x²)dA其中，x，y分别表示离截面中心最远的两侧点的坐标，dA表示一个面积微元。
3、位置矩位置矩是描述结构物体受纵向荷载作用时截面的抵抗能力的参数，其计算公式如下：Qx = ∫(y)dAQy = ∫(x)dA其中，x，y分别表示离截面中心最远的两侧点的坐标，dA表示一个面积微元。
四、截面几何性质在材料力学中的应用截面几何性质在材料力学中具有广泛的应用。
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Ix
C
2 πd 4 2d πd 2 2d πd I x 128 3π 8 3π 8
2
2
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
附录Ⅰ 截面的几何性质
然后再利用平行移轴公式求半圆形对x轴的惯性矩：
I x2 I x C
2d πd 2 a 3π 8
I p dA ( x y )dA
2 2 2 A A
O 二、惯性矩： 是面积与它到轴的距离的平方之积。
A A
x 2dA y 2dA I x I y
图形对x轴的惯性矩: 图形对y轴的惯性矩:
11
I x y 2 dA
A
量钢：L4
I y x 2 dA
tg2 0 2I xCyC I xC I yC
⑥求形心主惯性矩
31
I xC0 I xC I yC I xC I yC 2 2 ( ) I xCyC 2 2 I yC0
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附录Ⅰ 截面的几何性质
例3 在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴。(b=1.5d)
附录Ⅰ 截面的几何性质
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附录Ⅰ 截面的几何性质
Ⅰ-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式·
一、平行移轴定理： 以形心为原点，建立与原坐标轴平行 的坐标轴如图
y
y
yC x dA xC C b y x
xa xC yb yC
I x y 2 dA
A
a
( yC b) 2 dA
2
2 πd 4 2d 2 πd 2 2d πd 2 a 8 3π 8 128 3π
将 d = 80 mm，a = 100 mm 代入后得
I x2 3 467104 mm4
从而得图a所示截面对x轴的惯性矩：
圆
I P d I x I y 2 64
4
I AB
d d 4 d 4 5d 4 Ix A 64 16 64 2
20
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附录Ⅰ 截面的几何性质
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附录Ⅰ 截面的几何性质
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x x1 y
dA y1 x1 x
I y1
27
Ix Iy 2
Ix Iy 2 cos 2 I xy sin 2
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I x I y I x I y I y1 2 cos2 I xy sin 2 2 I x I y I x1 y1 2 sin 2 I xy cos2
O
h
b
x
b 解： 取平行于x轴的狭长条， 易求 b( y) (h y) h b 因此 d A (h y ) d y 所以对x轴的静矩为
7
h hb bh2 S x A y d A 0 (h y ) y d y h 6
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附录Ⅰ 截面的几何性质
13
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附录Ⅰ 截面的几何性质
y
若截面是高度为h的平行 四边形（图b），则其对形心 轴x 的惯性矩同样为
h C x
bh3 Ix 12
b
(b)
14
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附录Ⅰ 截面的几何性质
例4 求圆形截面的惯性矩。
y
已知 则 而 所以
I P 2 dA
I x I x1 2I x2 12 270104 mm4
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Ⅰ-4* 惯性矩和惯性积的转轴公式· 截面的主惯性轴和主惯性距
y 一、 惯性矩和惯性积的转轴定理 y1
x1 xcos ysin y1 xsin ycos
主惯性轴位置:
tg 0 2
2I xy Ix I y
29
I x0 I x I y I x I y 2 2 主惯性矩： ( ) I xy 2 2 I y0
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2.形心主轴和形心主惯性矩：
主惯性轴过形心时，称其为形心主轴。 平面图形对形心主轴之惯性矩，称为形心主惯性矩.
32
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I xC I矩xC I圆xC I矩x A矩 y 2 [ I圆x1A圆 (0.5d y)2 ]
1.5d(2d )3 d 4 d 2 3d 2 (0.177d ) 2 [ (0.5d 0.177d ) 2 ]0.685d 4 12 64 4
I x1 I y1 I x I y
28
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附录Ⅰ 截面的几何性质
二、截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩 1.主惯性轴和主惯性矩：如坐标旋转到= 0 时；恰好有
I x0 y0 (
I x I y 2
sin2 0 I xy cos2 0 )0
则与 0 对应的旋转轴x0 ,y0 称为主惯性轴。即平面图形 对其惯性积为零的一对坐标轴. 平面图形对主轴之惯性矩为主惯性矩。
z
dA d d
I y z 2 dA
2
2 (cos )2 d d
D 2
D4
64
I z y 2 dA
16
0 0 D 2 2
2 (sin )2 d d
0 0
D4
64
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组合截面的惯性距和惯性积 Ⅰ-4* 惯性矩和惯性积的转轴公式 截面的主惯性轴和主惯性距
2
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Ⅰ-1 截面的静距和形心位置
设任意形状截面如图所示。 1. 静矩（或一次矩）
y
S y Ax d A
x y
S x A y d A
常用单位： m3 或mm3 。
i 1
n
Sx A y
解得组合截面的形心坐标公式为：
x
i 1 n
Ai x i
i 1
n
Ai
y
i 1 n
Ai y i
i 1
n
Ai
6
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例1 试计算图示三角形截面对于与其底边重合的x轴 y 的静矩。
dy b (y ) y
A
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三、惯性积：面积与其到两轴距离之积。 图形对xy轴的惯性积: I xy xydA
A
y x
量钢：L4
如果 x 或 y 是对称轴，则Ixy =0
四、惯性半径 图形对x轴的惯性半径: 图形对y轴的惯性半径: O
dA y x
ix I x / A iy I y / A
y 2d d yC O x1
解： ①建立坐标系如图。
②求形心位置。
x xC
b
xi Ai 0 0 x A A d d 2 yi Ai 2 4 0.177d y 2 A 2 d 3d 4
③ 建立形心坐标系；求：IyC ， IxC ， I xCy
其中： I x1
d 2a 80 mm200 mm 5 333104 mm4 12 12
3 3
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附录Ⅰ 截面的几何性质
至于I x 则需先求出半圆形对其自身 2 形心轴的惯性矩。根据平行移轴公式可 2 2 2d πd ，而半圆形对于 得 I x I x C 8 3π 直径轴x'(图b)的惯性矩等于圆形对x'轴 πd 4 的一半，于是得 的惯性矩 64
tg 2 0
形心主C I yC
I xC I yC 2 2 I xC0 I xC I yC ( ) I xCyC 2 2 I yC0
若平面图形有两个对称轴,此二轴均为形心主轴; 若平面图形有一个对称轴,则该轴为一形心主轴, 另一形心主轴
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附录Ⅰ 截面的几何性质
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附录Ⅰ 截面的几何性质
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Ⅰ-2 极惯性矩· 惯性矩· 惯性积
一、极惯性矩：是面积对极点的二次矩。 图形对O点的极惯性矩: y x 量钢：L4 dA y x
dA
值：可为正、负或 0 。
x
3
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2、形心
x
y
A
xdA
A
A ydA
A
Sy A
y
x
A
C
Sx A
o
y
x
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附录Ⅰ 截面的几何性质
3. 静矩与形心坐标的关系
Sy A x
Sx A y
结论：截面对形心轴的静矩恒为0，反之亦然。 4. 组合截面的静矩 由静矩的定义知：整个截面对某轴的静矩应 等于它的各组成部分对同一轴的静矩的代数和:
12
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