第5章 框架结构近似计算方法

梁柱线刚度比。
Dij 为第 i 层第 j 柱的抗侧刚度。第 i 层层剪力为 V pi ，第 i 层第 j 柱柱端
力 Vij 为
Vij = Dij ∆ i =
Dij
m
V pi
ik
∑D
k =1
一般层中柱 ∑ ib = ib1 + ib 2 + ib 3 + ib 4 ，边柱 ∑ ib = ib1 + ib 3 。顶层虽无 上柱，但一般层的 D 值公式仍近似可用。
第 5 章 框架结构近似计算方法 框架结构近似计算方法
5.1 在竖向荷载作用下框架结构近似计算方法
5.1.1 分层力矩分配法 在多层框架中，各层荷载产生的轴力除了向下传以外，对其他层构件内 力分配影响不大。因此可采用分层法。 分层法近似计算的基本假定： 分层法近似计算的基本假定： 近似计算的基本假定 （1）忽略梁、柱轴向变形及剪切变形； ）忽略梁、柱轴向变形及剪切变形； （2）在竖向荷载下结构的侧移很小，可以忽略不计； ）在竖向荷载下结构的侧移很小，可以忽略不计； （3）本层梁上的荷载只影响本层梁和上下柱的内力； ）本层梁上的荷载只影响本层梁和上下柱的内力； （4）为减小计算误差，除首层外，其它各层柱线刚度均乘以 0.9，传递 ）为减小计算误差，除首层外， ， 系数改为 1/3。 。
综上所述，D 值法是修正的反弯点法。 1．一般层 D 值 D 值法基本假定： 值法基本假定 基本假定： （1）各节点转角均为 θ ； ） （2）各柱弦转角均为ψ ； ） 且柱高相同。 （3）各柱线刚度均为 ic ，且柱高相同。 ） 节点 A 有：
M AD = 6icθ − 6icψ M AB = 6icθ − 6icψ M AF = 6ib1θ M AG = 6ib 2θ
[例 5.1] 用分层计算法做图 5-2 所示框架的弯矩图，括弧内为杆件的线刚度，i＝EI／L 例 的相对值。 [解] 分两层，见图 5-2 上层柱线刚度先乘 0.9，然后计算刚度分配系数，各杆分配系数写 解 在长方框内，带星号的数据为固瑞弯矩；各节点都分配了两次，上层各柱远端弯矩等于柱 分配弯矩的 l／3（即传递系数为 1／3） ，下柱底截面弯矩为柱分配弯矩的 1／2（传递系数 为 1／2） ，最底行数据是最终分配弯矩。上层柱的分配弯矩要叠加，各杆最终弯矩见图 5-4 所示。 为了解分层计算的误差，图 5-4 括号内给出了精确解的数值。本例题中梁的误差较小， 而柱的误差较大。
2．首层 D 值 因首层与二层的转角θ 相差较大， 不能假定各节点转角相同。 故假定第一层节点转角均
M cu 1 为 θ ，根据工程经验 a = =− 。 l 3 M b + M br
节点 A 有：

M AB = 4icθ − 6icψ

M BA = 2icθ − 6icψ M AD = 6ib1θ M AE = 6ib 2θ
V = V AB = VBA
V = 12
EI c M AB + M BA =− = 12 3 ∆ h h
EI c ∆ = d∆ 3 h
EI c Kc d = 12 3 = 12 2 h h
图 5-5 柱抗侧刚度 d 值
2. 剪力分配法 反弯点法根据结构力学位移法建立柱剪力分配公式 （1）设基本未知量为层间侧移 ∆ i （2）写出第 i 层第 j 柱剪力 Vij

图 5-9 一般层 D 值计算
节点平衡条件：
∑ M =M AD + M AB + M AF + M AG = 0
12icθ − 12icψ + 6ib1θ + 6ib 2θ = 0
则有： 节点 B 则有：
12icθ − 12icψ + 6ib 3θ + 6ib 4θ = 0
将上面两式相加，得
2 hij
d ij ——柱抗侧刚度，其物理意义是柱顶产生单位侧移时，在柱顶所需
施加的水平力。 k cij = EIc/h 为第 i 层第 j 柱的线刚度。
M AB
EI c ∆ EI c = −6 = −6 2 ∆ h h h EI c ∆ EI = −6 2c ∆ h h h
M BA பைடு நூலகம் −6
EI /h
24icθ − 24icψ + 6ib1θ + 6ib 2θ + 6ib 3θ + 6ib 4θ = 0
(4ic + ∑ ibj )θ − 4icψ = 0
4ic θ= ψ ，θ = 4ic + ∑ ibj
2 2 ψ ，θ = ψ ∑ ibj 2+K 2+ 2ic
2 公式中 K = ∑ ibj / 2ic ，为梁柱刚度比。 θ = ψ 2+ K M AB + M BA V = V AB = VBA = − h 12icθ − 12icψ ic =− = 12 (ψ − θ ) h h ic 2 ic K = 12 (1 − )ψ = 12 ψ h 2+ K h 2+ K ic K ic = 12 2 ∆ = α (12 2 )∆ = D∆ h 2+ K h ic D = α (12 2 ) h K 令α = 其中 K 为 , α 为梁柱线刚度比对柱抗侧刚度影响系数。 2+ K
（4）计算和确定梁、柱弯矩分配系数和传递系数。 按修正后的刚度计算各结点周围杆件的杆端分配系数。所有 上层柱的传递系数取 1／3，底层柱的传递系数取 1／2。 （5）按力矩分配法计算单层梁、柱弯矩。 （6）将分层计算得到的弯矩，按同一层柱的柱端弯矩叠加得 到柱的弯矩。 一般情况下，分层计算法所得杆端弯矩在各节点不平衡。如 果需要更精确的结果时，可将节点的不平衡弯矩再进行一次分 配。 柱子的轴力可由其上柱传来的竖向荷载和本层轴力（与梁的 剪力平衡求得）叠加得到。
图 5-2 例题 5-1
图 5-3(a) 例题 5-1
图 5-3(b) 例题 5-1
图 5-4 例题 5-1
5.1.2 力矩分配法 在工程设计中采用力矩分配法，一般认为分配两次，传递一 次，即可满足工程设计要求。因此，为了保证节点弯矩平衡， 计算步骤是： （1）各节点做第一次平衡分配； （2）各节点所得平衡弯矩相互传递； （3）各节点做第二次平衡分配。 （4）计算各节点杆端弯矩。
图5-1 分层力矩分配法
分层力矩分配法的计算步骤是： （1）计算各层梁上竖向荷载值和梁的固端弯矩。 （2）将框架分层，柱端假定为固端。 （3）计算梁、柱线刚度。 有现浇楼面的梁，宜考虑楼板的作用，计算梁的有效翼缘宽度。设计 中，可近似按下式计算梁的截面惯性矩： 一边有楼板 ic＝1.5 i0 两边有楼板 ic＝2.0 i0 式中，i0 为按矩形截面计算的梁截面惯性矩。为了减少梁的类型，也可 均取 ic＝1.5 i0。 对于柱，假设分层后中间各层柱柱端固定与实际不符，因而，除底层 外，上层各柱线刚度均乘以 0.9 修正。
Vij = d ij ∆ i
（3）列出层剪力平衡方程 第 i 层层剪力为 V pi ，第 i 层第 j 柱柱端力 Vij 为
V pi = ∑ Vik = ∑ d ik ∆ i
k =1 k =1
m
m
（4）求解基本未知量层间侧移 ∆ i
∆i =
V pi
k =1
∑ d ik
m
（5）求解第 i 层第 j 柱剪力 Vij
反弯点的物理意义：杆件中弯矩为零的点； 反弯点的物理意义：杆件中弯矩为零的点； 弯矩为零的点 反弯点的几何意义： 反弯点的几何意义： 的几何意义 杆件变形曲线的拐点， 杆件变形曲线的拐点， 变形曲线的拐点 根据材料力学 M = EIy ' ' 。 1．柱抗侧刚度 d 值
d ij = 12
k cij
表 5-1
4.框架内力计算 柱上、下端弯矩
b M cij = Vij yh ；
u M cij = Vij (1 − y )h 。
梁端弯矩及梁剪力、柱轴力计算同反弯点法。 5．柱反弯点高度比的确定 多层多跨框架在节点水平力作用下， 多层多跨框架在节点水平力作用下， 柱反弯点高度比的计算基本假 定如下： 定如下： （1）梁的反弯点位于梁跨度的中点，该点处无竖向位移； ）梁的反弯点位于梁跨度的中点，该点处无竖向位移； （2）梁和柱的线刚度沿高度不变； ） 和柱的线刚度沿高度不变； （3）层高沿高度不变。 ）层高沿高度不变。 根据基本假定， 在特定荷载作用下， 标准反弯点高度比 y 0 可按结构 力学的方法计算。
r
l
M br =
ib1 ( M cu + M cb ) ib1 + ib 2 ib 2 ( M cu + M cb ) ib1 + ib 2
l Mb =
图 5-7 梁端弯矩计算
梁剪力计算公式为
l r Mb + Mb Vb = l
图 5-8 梁剪力计算
5.2.2 D 值法 在反弯点法中，由于假定横梁线刚度无穷大，柱端无转角，抗侧刚度 只与柱的线刚度和层高有关。但是实际上柱梁节点有转角，其转角使柱 的抗侧刚度降低。梁柱节点的转角显然与梁柱线刚度比、反弯点位置、 荷载类型等因素相关。考虑梁柱线刚度比影响的柱抗侧刚度，即称为 D 考虑梁柱线刚度比影响的柱抗侧刚度， 考虑梁柱线刚度比影响的柱抗侧刚度 值。 另外，柱的反弯点位置与梁柱线刚度比、层高、建筑物总层数、柱所 柱的反弯点位置与梁柱线刚度比、层高、建筑物总层数、 柱的反弯点位置与梁柱线刚度比 在层、荷载类型相关。 在层、荷载类型相关。应考虑其对反弯点高度的影响。
=
。
∑ d ik
∑ I cik
u b
（6）求解柱端弯矩 M ij 、 M ij 柱上下端弯矩为
u 一般层： M ij = Vij
hi h b ， M ij = Vij i 2 2
图 5-6 柱端弯矩计算
首层： M 1uj = V1 j
h1 2h b ， M 1 j = V1 j 1 3 3
（7）求解梁端弯矩 M b 、 M b 梁端弯矩根据节点平衡条件， 梁端弯矩可按梁的线刚度比值进行分配。 如图 5-7， 梁左、右端弯矩为
0.5 + K ，第 1 层第 j 柱的 D 值为 α= 2+K
ic D = α (12 2 ) h
D1 j = α
12ic1 j h12
首层中柱 ∑ ib = ib1 + ib 2 ，边柱 ∑ ib = ib1 。
V1 j = D1 j ∆1 =
D1 j
m
V p1
1k
∑D
k =1
梁柱线刚度比对抗侧刚度影响系数
(6icψ − 4icθ ) = 2(ib1 + ib 2 )θ
(4ic + 2∑ ibj )θ = 6icψ
θ=
6ic ψ = 4ic + 2∑ ibj
3
∑i 2+
ic
ψ =
bj
3 ψ 2+ K
∑i K=
ic
bj
，为梁柱刚度比。
V = VAB = VBA = −
M AB + M BA i θ = 12 c (ψ − ) h h 2 i 1.5 i 0.5 + K = 12 c (1 − )ψ = 12 c ψ h 2+ K h 2+ K i 0.5 + K i = 12 c2 ∆ = α (12 c2 )∆ = D∆ h 2+ K h
5.2 5.2 在水平荷载作用下框架结构近似计算方法
对比较规则的、层数不多的框架结构，当柱轴向变形对内力及位移影 响不大时，可采用反弯点法或 D 值法计算水平荷载作用下的框架内力及 位移。 5.2.1 反弯点法 适用条件：梁柱线刚度比 Kb／Kc 大于 3，且层数不多的框架。 适用条件： ，且层数不多的框架。 反弯点法基本假定为 反弯点法基本假定为 和剪切变形； （1）忽略梁柱的轴向变形和剪切变形； ）忽略梁柱的轴向变形和剪切变形 无限大， （2）梁线刚度无限大，结点无转角； ）梁线刚度无限大 结点无转角； （3）除底层外，各层柱的反弯点均位于柱 1／2 柱高处，底层柱的反 ）除底层外， ／ 柱高处， 弯点位于 2／3 柱高处。 ／ 柱高处。
图 5-10 首层 D 值计算
M cu 4icθ − 6icψ M AB 1 a= l = = =− r M b + M b M AD + M AE 6(ib1 + ib 2 )θ 3
M cu 4i θ − 6icψ M AB 1 a= l = = c =− 3 M b + M br M AD + M AE 6(ib1 + ib 2 )θ
Vij = d ij ∆ i =
d ij
m k =1
V pi
∑ d ik
d ij
m k =1
其中
d ij
m k =1
为剪力分配系数。若 hij 同一层相同，则
=
k cij
m k =1
， 若 hij 与 E ij 同一层
∑ d ik I cij
m k =1
∑ d ik
∑ k cik
相同，则
d ij
m k =1