流体力学第五章
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流体力学 第5章孔口管嘴出流与管路水力计算
5.2.3 其他类型管嘴出流
对于其他类型的管嘴出流，其流速、流量的计算公式与圆柱形管嘴公式形式相似。但 流速系数及流量系数各不相同，下面是几种常用的管嘴。
1. 流线形管嘴 如图 5.4(a)所示，流速系数ϕ = μ = 0.97 ，适用于水头损失小，流量大，出口断面上速 度分布均匀的情况。
2. 扩大圆锥形管嘴 如图 5.4(b)所示，当θ = 5°～7°时，μ＝ϕ＝0.42～0.50 。适合于将部分动能恢复为压能的 情况，如引射器的扩压管。
流体力学
收缩产生的局部损失和断面 C―C 与 B―B 间水流扩大所产生的局部损失，相当于一般锐缘
管道进口的局部损失，可表示为 hw
=ζ
VB 2 2g
。将
hw 代入上式可得到：
H0
=
(α
+ζ
) VB2 2g
其中， H 0
=
H
+
α
AV
2 A
2g
，则可解得：
V=
1 α + ζ 2gH 0
=ϕ
2gH 0
(5-8)
1. 自由出流 流体经孔口流入大气的出流称为自由出流。薄壁孔口的自由出流如图 5.1 所示。孔口 出流经过容器壁的锐缘后，变成具有自由面周界的流股。当孔口内的容器边缘不是锐缘状 时，出流状态会与边缘形状有关。
图 5.1 薄壁孔口自由出流
由于质点惯性的作用，当水流绕过孔口边缘时，流线不能成直角地突然改变方向，只 能以圆滑曲线逐渐弯曲，流出孔口后会继续弯曲并向中心收敛，直至离孔口约 0.5d 处。流
5.3.1 短管计算
1. 自由出流
流 体 经 管 路 流 入 大 气 ， 称 为 自 由 出 流 ( 图 5.5) 。 设 断 面 A ― A 的 总 水 头 为
流体力学第五章 量纲分析和相似理论
第五章 量纲分析与相似原理
5.2 量纲分析与П定理
2. П定理
提议用量纲分析的是瑞利（L.Reyleigh,1877),奠定理论基础的是美国物理
学家布金汉（E.Buckingham,1914):
Π定理
若某一物理过程包含 n 个物理量，即：
f(q1 ， q 2，q 3, ……, q n )＝0
其中有 m 个基本量（量纲独立，不能相互导出的物理 量），则该物理过程可由 n个物理量构成的 n-m 个无 量纲的关系表达式来描述。即：
5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性
1. 物理量的量纲（因次）：物理量的本质属性。
2. 物理量的单位：物理量的度量标准。
基本量纲和导出量纲：根据物理量之间的关系把无 任何联系且相互独立的量纲作为基本量纲，可由基本量 导出的量纲为导出量纲。
SI制中的基本量纲：
dim m = M , dim l = L , dim t = T ，dim θ=Θ
第五章 量纲分析与相似原理
5.1 量致性原则，也叫量纲齐次性原理（量纲和谐原理）
物理方程可以是单项式或多项式，甚至是微分方程等，同 一方程中各项的量纲必须相同。
用基本量纲的幂次式表示时，每个基本量纲的幂次应相等，
这就是物理方程的量纲一致性原则，也叫量纲齐次原则或量纲
1. 客观性 2. 不受运动规模的影响 3. 可以进行超越函数运算
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第五章 量纲分析与相似原理
5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性
2. 量纲一的量(无量纲量)
基本量独立性判别条件：
设A、B、C为三个基本量，他们成立的条件是：指数行列式 不等于零。
diB m M 2L 2T 2 diA m M 1L 1T1 diC m M 3L 3T 3
流体力学 第5章 圆管流动..
第5章圆管流动一.学习目的和任务1.本章学习目的（1）掌握流体流动的两种状态与雷诺数之间的关系；（2）切实掌握计算阻力损失的知识，为管路计算打基础。
2.本章学习任务了解雷诺实验过程及层流、紊流的流态特点，熟练掌握流态判别标准；掌握圆管层流基本规律，了解紊流的机理和脉动、时均化以及混合长度理论；了解尼古拉兹实验和莫迪图的使用，掌握阻力系数的确定方法；理解流动阻力的两种形式，掌握管路沿程损失和局部损失的计算；了解边界层概念、边界层分离和绕流阻力。
二.重点、难点重点：雷诺数及流态判别，圆管层流运动规律，沿程阻力系数的确定，沿程损失和局部损失计算。
难点：紊流流速分布和紊流阻力分析。
由于实际流体存在黏性，流体在圆管中流动会受到阻力的作用，从而引起流体能量的损失。
本章将主要讨论实际流体在圆管内流动的情况和能量损失的计算。
5.1 雷诺(Osborne Reynolds)实验和流态判据5.1.1 雷诺实验1883年，英国科学家雷诺通过实验发现，流体在流动时存在两种不同的状态，对应的流体微团运动呈现完全不同的规律。
这就是著名的雷诺实验，它是流体力学中最重要实验之一。
105如图5－1所示为雷诺实验的装置。
其中的阀门T1保持水箱A 内的水位不变，使流动处在恒定流状态；水管B 上相距为l 处分别装有一根测压管，用来测量两处的沿程损失f h ，管末端装有一个调节流量的阀门T3，容器C 用来计量流量；容器D 盛有颜色液体，T2控制其流量。
进行实验时，先微开阀门T3，使水管中保持小速度稳定水流，然后打开颜色液体阀门T2放出连续的细流，可以观察到水管内颜色液体成一条直的流线，如图5－2（a ）所示；从这一现象可以看出，在管中流速较小时，它与水流不相混和，管中的液体质点均保持直线运动，水流层与层间互不干扰，这种流动称为层流（Laminar flow ）。
比如，实际中黏性较大的液体在极缓慢流动时，属层流运动。
随后，逐渐开大阀门T3，增大管中液体流速，流速达到一定速度时，管内颜色液体开始抖动，具有波形轮廓，如图5－2（b ）所示。
流体力学第五章
5.2 边界层流动
5.2 边界层流动
*
0
u 1 u e e
dy
5.2 边界层流动
**
0
u eue
u 1 u dy e
5.2 边界层流动
平面边界层流动方程
边界层近似假定 1. 纵向偏导数远小于横向偏导数
5.2 边界层流动
边界层分离
理想流体能量转换过程 边界层内粘性对机械能的耗散使得流体微团在逆 压区 MF 段间的某个点处 V 降为零，后来的质点 将改道进入主流区，使来流边界层与物面分离； 在分离点下游区域，受逆压作用而发生倒流。
5.2 边界层流动
边界层分离
分离点：紧邻壁面顺流区与倒流区分界点。 边界层分离的必要条件：粘性、逆压梯度。
湍流边界层摩阻系数大
0.664 C fL Re x
C fT
0.0576 /5 Re 1 x
5.2 边界层流动
边界层分离
边界层流动：流体质点受惯性力、粘性力和压力 作用；粘性力阻滞流体质点运动，使流体质点减 速和失去动能；压力的作用取决于绕流物体形状； 顺压梯度有助于流体加速前进，而逆压梯度阻碍 流体运动。
研究方法：实验、数值(RANS、LES、DNS)
5.1 粘流的基本特性
层流、紊流速度型 紊流粘性应力比层流大
5.2 边界层流动
边界层概念的提出
高 Re流动，惯性力远大于粘性力，研究忽略粘 性的流动有实际意义。 阻力、分离、涡扩散等问题，无粘解与实际相 差甚远。 研究表明：虽然 Re很大，但在靠近物面的薄层 流体内，沿物面法向存在很大的速度梯度，粘 性力与惯性力相当而不可忽略。 Prandtl把物面附近粘性力起重要作用的薄层称 为边界层。
流体力学第5章管流损失和阻力计算
流体内部的各种因素
除了流体与管壁之间的摩擦外，流体内部的粘性、湍流等也会导致能量损失。 例如，湍流会使流体的流动变得不规则，增加流体之间的相互碰撞和摩擦，从 而产生更多的能量损失。
损失和阻力的影响
01
能量消耗
管流损失和阻力会导致流体在 流动过程中能量不断损失，这 需要额外提供能量来克服这些 损失，如泵或风机的能耗会增 加。
02 系统效率
管路中的损失和阻力会降低整 个系统的效率，使得系统需要 更多的输入能量才能达到预期 的输出效果。
03
设备选型
04
在进行设备选型时，需要考虑管 路中的损失和阻力，以确保所选 设备能够满足实际需求。例如， 在选择泵时，需要考虑到管路中 的损失和阻力，以确保泵能够提 供足够的扬程和流量。
安全风险
理论发展
实验结果可为流体力学理论的发展提 供实证支持，进一步完善管流损失和 阻力的计算模型。
THANKS
感谢观看
过大的管流损失和阻力可能会导 致流体流动受阻，甚至产生流体 过热、压力过高等问题，这可能 对设备和人员安全造成威胁。因 此，需要进行合理的设计和操作 ，以避免这些问题的发生。
02
管流损失的计算
局部损失计算
局部损失是由于流体在管道中 流动时，遇到突然扩大、缩小、 弯曲等局部障碍而产生的能量 损失。
控制流体流速和压力
降低流体流速
01
适当降低流体在管路中的流速，可以减小流体流动的阻力，从
而降低管流损失。
控制流体压力
02
合理控制流体在管路中的压力，避免过高的压力导致流体流动
阻力的增加。
使用减压阀和稳压阀
03
在管路中安装减压阀和稳压阀，可以稳定流体压力，减小流体
除了流体与管壁之间的摩擦外，流体内部的粘性、湍流等也会导致能量损失。 例如，湍流会使流体的流动变得不规则，增加流体之间的相互碰撞和摩擦，从 而产生更多的能量损失。
损失和阻力的影响
01
能量消耗
管流损失和阻力会导致流体在 流动过程中能量不断损失，这 需要额外提供能量来克服这些 损失，如泵或风机的能耗会增 加。
02 系统效率
管路中的损失和阻力会降低整 个系统的效率，使得系统需要 更多的输入能量才能达到预期 的输出效果。
03
设备选型
04
在进行设备选型时，需要考虑管 路中的损失和阻力，以确保所选 设备能够满足实际需求。例如， 在选择泵时，需要考虑到管路中 的损失和阻力，以确保泵能够提 供足够的扬程和流量。
安全风险
理论发展
实验结果可为流体力学理论的发展提 供实证支持，进一步完善管流损失和 阻力的计算模型。
THANKS
感谢观看
过大的管流损失和阻力可能会导 致流体流动受阻，甚至产生流体 过热、压力过高等问题，这可能 对设备和人员安全造成威胁。因 此，需要进行合理的设计和操作 ，以避免这些问题的发生。
02
管流损失的计算
局部损失计算
局部损失是由于流体在管道中 流动时，遇到突然扩大、缩小、 弯曲等局部障碍而产生的能量 损失。
控制流体流速和压力
降低流体流速
01
适当降低流体在管路中的流速，可以减小流体流动的阻力，从
而降低管流损失。
控制流体压力
02
合理控制流体在管路中的压力，避免过高的压力导致流体流动
阻力的增加。
使用减压阀和稳压阀
03
在管路中安装减压阀和稳压阀，可以稳定流体压力，减小流体
高等流体力学第五章
5.5 空间区域离散
5.4 例子－一维稳态导热
导热方程
d dT k S 0 dx dx
导热方程对控制容积积分
dT dT k k Sdx 0 dx e dx w w
用分段线性分布来计算方程dT/dx所得的方程将为：
e
k e (TE TP ) k w TP TW S x 0 x e x w
d dT k S 0 dx dx
其中k是导热系数，T是温度， S是单位容积的发热率
5.4 例子－一维稳态导热
( δ x )w
w W P Δx
(δ x )e
e E
X
d dT k S 0 dx dx
5.4 例子－一维稳态导热
网格结点P，该点以网格结点E及W作为 它的两个邻点。 (E表示东例，即正的x方向，而W表示西 侧，或是负的x方向)．虚线表示控制容 积面。字母e与w代表控制面． 对于所考虑的一维问题，假设在y与z方 向为单位厚度。
离散方程标准形式 a P TP a E TE aW TW b
其中
ke aE x e
kw aW x w
a P a E aW
b S x
5.5 空间区域离散
把所计算的区域划分成许多互不重迭的子区域，确 定节点在于区域中的位置及其代表的容积(即控制容 积)，这一过程称为区域离散化。 区域离散化过程结束后，可以得到以下四种几何要 素： 1）节点— 需要求解的未知物理量的几何位置； 2）控制容积—应用控制方程或守恒定律的最小儿何 单位； 3）界面 —它规定了与各节点相对应的控制容积的 分界面位置； 4）网格线 — 沿坐标轴方向联结相邻两节点而形成 的曲线簇
流体力学实验_第五章
28
§5.4 流动显示的光学方法
1. 适用范围 光学显示方法：利用流场的光学性质，如流体的密 度变化会造成光学折射率或传播速度的变化，通过 适当的光学装置可以显示流体的流动特性。
流场的温度、压力、浓度和马赫数等状态参数与密度 有确定的函数关系，而流体的光学折射率是其密度的 函数，因此下列流动可以采用光学流动显示的方法：
分光镜 补偿片
单色 点光 源
全反镜
风洞实验段
屏幕
40
密度均匀：干涉条纹彼此平行 密度不均匀：干涉条纹发生移动或变形，干涉条纹的改变与
流体密度的变化有关
干涉条纹 41
§5.5 流动显示技术的新发展——定量的流 动显示和测量技术
1. 激光诱导荧光（LIF）技术
激光诱导荧光技术：是一种20世纪80年代发展起来的光 致发光流动显示与测量技术，把某些物质（如碘、钠或 荧光染料等）溶解或混合于流体中，这些物质的分子在 特定波长的激光照射下能激发荧光。
照明光源：高亮度的白光碘钨灯
25
26
27
3. 荧光微丝法
采用直径为0.01 ~0.02mm的合成 纤维丝，经柔化 和抗静电处理， 使微丝染上荧光 物质，粘贴于模 型表面。
光源：采用连续 紫外光源
照相：选用合适 的滤光片
Flourescent minitufts on aircraft wing
在定常流动中，流线、迹线和染色线相同。
但在非定常流动中，是互不相同的。
4
3. 流动显示方法的分类
（1）示踪粒子流动显示：在透明无色的气流或水流中加
入一些可见的粒子，通过可见的外加粒子跟随流体微团的运 动来使各种流动现象显示出来。 固态示踪粒子：
水流（铝粉、有机玻璃粉末或聚苯乙烯小球等） 气流（烟颗粒） 液态示踪粒子：水流（牛奶、染料溶液） 气态示踪粒子：水流（氢气泡、空气泡）
§5.4 流动显示的光学方法
1. 适用范围 光学显示方法：利用流场的光学性质，如流体的密 度变化会造成光学折射率或传播速度的变化，通过 适当的光学装置可以显示流体的流动特性。
流场的温度、压力、浓度和马赫数等状态参数与密度 有确定的函数关系，而流体的光学折射率是其密度的 函数，因此下列流动可以采用光学流动显示的方法：
分光镜 补偿片
单色 点光 源
全反镜
风洞实验段
屏幕
40
密度均匀：干涉条纹彼此平行 密度不均匀：干涉条纹发生移动或变形，干涉条纹的改变与
流体密度的变化有关
干涉条纹 41
§5.5 流动显示技术的新发展——定量的流 动显示和测量技术
1. 激光诱导荧光（LIF）技术
激光诱导荧光技术：是一种20世纪80年代发展起来的光 致发光流动显示与测量技术，把某些物质（如碘、钠或 荧光染料等）溶解或混合于流体中，这些物质的分子在 特定波长的激光照射下能激发荧光。
照明光源：高亮度的白光碘钨灯
25
26
27
3. 荧光微丝法
采用直径为0.01 ~0.02mm的合成 纤维丝，经柔化 和抗静电处理， 使微丝染上荧光 物质，粘贴于模 型表面。
光源：采用连续 紫外光源
照相：选用合适 的滤光片
Flourescent minitufts on aircraft wing
在定常流动中，流线、迹线和染色线相同。
但在非定常流动中，是互不相同的。
4
3. 流动显示方法的分类
（1）示踪粒子流动显示：在透明无色的气流或水流中加
入一些可见的粒子，通过可见的外加粒子跟随流体微团的运 动来使各种流动现象显示出来。 固态示踪粒子：
水流（铝粉、有机玻璃粉末或聚苯乙烯小球等） 气流（烟颗粒） 液态示踪粒子：水流（牛奶、染料溶液） 气态示踪粒子：水流（氢气泡、空气泡）
《流体力学》第五章孔口管嘴管路流动
2g
A
C O
C
(C
1)
vc2 2g
(ZA
ZC )
pA
pC
Av
2 A
2g
令
H0
(Z A
ZC )
pA
pC
AvA2
2g
§5.1孔口自由出流
1
则有
vc
c 1
2gH0
H0
(Z A
ZC )
pA
pC
AvA2
2g
H0称为作用水头,是促使
力系数是不变的。
§5.4 简单管路
SH、Sp对已给定的管路是一个定数，它综合 反映了管路上的沿程和局部阻力情况，称为 管路阻抗。
H SHQ2
p SpQ2
简单管路中，总阻力损失与体积流量平方成 正比。
§5.4 简单管路
例5-5：某矿渣混凝土板风道，断面积为1m*1.2m, 长为50m，局部阻力系数Σζ=2.5，流量为14m3/s, 空气温度为20℃，求压强损失。
2v22
2g
1
vc2 2g
2
vc2 2g
令 H0 (H1 ζH12:局)液部体p阻1 经力p孔2系口数处1v的122g1 2v22
1
H1 H
H2
2
2
H0 (1 2 ) 2vcg2突ζ然2:液扩体大在的收局缩部断阻面力之系后数 C
C
§5.2 孔口淹没出流
1
c 1
2gH0
Q A 2gH0 A 2gH0
出流
H0
流体力学第五章：旋涡理论
Ｂˊ Ａˊ ＢＡ
Ｌ
Ｅ
C
即 Γｃ＝ΓＬ (与积分路径方向一致时)
§5-2 汤姆逊定理
假设：
（1）理想流体；
（2）质量力有势； （3）正压流体（流体密度仅为压力的数）
汤姆逊定理: 沿流体质点组成的任一封闭流体 周线的速度环量不随时间而变.
即 d 0
dt
（5－14）
证明:
C上微分长 ds 经dt时间后移到C′，移动速度 v '
θ: 是ds与ｒ的夹角
dH的方向: 垂直于ds和ｒ所在的平面，按右手法则确定。
流体力学中毕奥——沙伐尔公式的形式 旋涡强度为Ｊ（环量Γ＝2Ｊ）的ds段涡丝
对于Ｐ点所产生的诱导速度：
流场中单一有限长涡丝在P点的诱导速度沿 整个涡丝积分：
该式可算出任意单一涡丝所引起的诱导速度场
流场中多条涡丝可组成一涡面, 每条 涡丝的诱导速度求得后，沿涡面积分就可 求得整个涡面上的诱导速度。流体力学中 速度场可以看成是涡丝诱导出来的。
旋涡场的几个基本概念：
一、涡线,涡管,旋涡强度 涡线(vortex line)：
3 2
涡线上所有流体质点在
同瞬时的旋转角速度矢量
与此线相切。
涡线微分方程：
1 ds
取涡线上一段微弧长 ds dxi dyj dzk
该处的旋转角速度 xi y j zk
由涡线的定义（涡矢量与涡线相切），得 涡线微分方程式：
c
dt
c
c2
而积分式
d d dt dt
c
vds
c
dv dt
ds
c
v
d dt
ds
由欧拉方程
第一项积分可写成
c
流体力学-第5章
F ( x1 , x2 ,...xn ) = 0
而这些变量中含有m个基本量纲， 而这些变量中含有 个基本量纲，则这个物理过 个基本量纲 程可以由n个物理量组成的 个物理量组成的n-m个无量纲量（相似 个无量纲量（ 程可以由 个物理量组成的 个无量纲量 的函数关系来描述, 准则数πi）的函数关系来描述 即:
和管径d有关，试用瑞利量纲分析法建立vc的公式结构。 和管径 有关，试用瑞利量纲分析法建立 的公式结构。 有关 [解] 假定 vc = kρ α ⋅ µ β ⋅ d γ 式中k为无量纲常数。 式中 为无量纲常数。 为无量纲常数 将各物理量的量纲
dim vc = LT −1 , dim ρ = ML−3 dim µ = ML−1T −1 , dim d = L
F′ F = 2 2 ρ ′l ′2v′2 ρl v
——牛顿数 牛顿数
二、各单项力相似准则
1.基本量纲和导出量纲 1.基本量纲和导出量纲 基本量纲：无任何联系、相互独立的量纲。 基本量纲：无任何联系、相互独立的量纲。 导出量纲： 导出量纲：可以由基本量纲导出的量纲 基本量纲具有独立性、唯一性， 基本量纲具有独立性、唯一性，如： 具有独立性 质量（ ）、长度 长度（ ）、时间 时间（ ）、温度 温度（ 质量（M）、长度（L）、时间（T）、温度（Θ）
解上述三元一次方程组得： 解上述三元一次方程组得： α1 = −1, β1 = −2, γ 1 = −2 其中 同理： 同理：
π1 =
FD ρv 2 d 2
µ 1 π2 = = ρvd Re
并就F 解出， 代入 ϕ (π 1 , π 2 ) = 0 ，并就 D解出，可得
FD = f (Re) ρv 2 d 2 = C D ρv 2 d 2
流体力学第五章
A A A
� V
Vcosα α
� ds
B
� � � � � � � � 其中： V = ui + υj + wk ， ds = dxi + dyj + dzk 若 A 与 B 重合，便成了封闭曲线，则： � � Γ＝∫ k V ⋅ ds = ∫ k V cos αds = ∫ k udx + υdy + wdz 即逆时针方向速度环量为“+”
A i →0 A i →0
A1
A2
K
Γ＝2 ∫ A ω n dA
这就是平面上有限大小封闭周线的斯托克斯定理。 以上定理仅适用于单连通
4
域。上述结论也适用于强于任意空间封闭曲线的任意空间曲面。 与数学上定义相同，单连域-即区域内任一条封闭周线都能连续地收缩成一 点，而不越出流体的边界。或：不经过区域外的点。 对多连通域，则先将多连域化为单连域 因为假设速度方向是 A→B，则 Γ AB 为“+” ，而 B′ → A ′ 时，速度方向与环 量规定的正向相反，故 Γ B′A′ 为“-” 。
Γ AB K 2B′A′K1A＝Γ AB + Γ B K 2B′ + Γ B′A′ + Γ A′ K1A ＝Γ K1 − Γ K 2 = 2∫ A ω n dA
这就是多连通域的斯托克斯定理。 推而广之，对存在多个洞的多连域则有：
Γ K1 − ∑ Γ K 2 = 2∫ A ω n dA
即：通过多连通域的旋涡强度等于沿这个区域的外周 线的速度环量同沿所有内周线的速度环量总和之差。 显然，环量等于零，总旋涡强度等于零。环量不等于 零，必然存在旋涡。 用速度环量来研究旋涡运动的优点如下： 1、因为速度环量是线积分，被积分函数是速度本身； 2、而旋涡强度是面积分，被积分函数是速度本身的偏导数； 3、所以，无论是实验，还是理论计算，利用速度环量来研究旋涡要简单一 些，这就是斯托克斯定理的用处。
� V
Vcosα α
� ds
B
� � � � � � � � 其中： V = ui + υj + wk ， ds = dxi + dyj + dzk 若 A 与 B 重合，便成了封闭曲线，则： � � Γ＝∫ k V ⋅ ds = ∫ k V cos αds = ∫ k udx + υdy + wdz 即逆时针方向速度环量为“+”
A i →0 A i →0
A1
A2
K
Γ＝2 ∫ A ω n dA
这就是平面上有限大小封闭周线的斯托克斯定理。 以上定理仅适用于单连通
4
域。上述结论也适用于强于任意空间封闭曲线的任意空间曲面。 与数学上定义相同，单连域-即区域内任一条封闭周线都能连续地收缩成一 点，而不越出流体的边界。或：不经过区域外的点。 对多连通域，则先将多连域化为单连域 因为假设速度方向是 A→B，则 Γ AB 为“+” ，而 B′ → A ′ 时，速度方向与环 量规定的正向相反，故 Γ B′A′ 为“-” 。
Γ AB K 2B′A′K1A＝Γ AB + Γ B K 2B′ + Γ B′A′ + Γ A′ K1A ＝Γ K1 − Γ K 2 = 2∫ A ω n dA
这就是多连通域的斯托克斯定理。 推而广之，对存在多个洞的多连域则有：
Γ K1 − ∑ Γ K 2 = 2∫ A ω n dA
即：通过多连通域的旋涡强度等于沿这个区域的外周 线的速度环量同沿所有内周线的速度环量总和之差。 显然，环量等于零，总旋涡强度等于零。环量不等于 零，必然存在旋涡。 用速度环量来研究旋涡运动的优点如下： 1、因为速度环量是线积分，被积分函数是速度本身； 2、而旋涡强度是面积分，被积分函数是速度本身的偏导数； 3、所以，无论是实验，还是理论计算，利用速度环量来研究旋涡要简单一 些，这就是斯托克斯定理的用处。
工程流体力学-第五章
……………………
三、Π定理
对于某个物理现象或过程，如果存在有n个变量互为函数关
系， f(a1,a2, …an)=0 而这些变量含有m个基本量纲，可把这n个变量转换成为有 (n-m)=i个无量纲量的函数关系式
F(1,2, … n-m)=0
这样可以表达出物理方程的明确的量间关系，并把方程中的 变量数减少了m个，更为概括集中表示物理过程或物理现 象的内在关系。
之间函数关系的一种方法，也可以得出相似准
则。
量纲分析法有两种：瑞利法和π定理
瑞利法
解题步骤：首先找出影响流动的物理量，并用它们
写出假拟的指数方程； 然后以对应的量纲代替方程中的物理量本身，并 根据量纲和谐性原理求出各物理量的指数，整理 出最后形式。
例题a：自由落体运动的位移s与时间t、重力加速度g有关。 试求位移s的表达式。
实验研究 发展流体 力学理论 验证流体 力学假说 解释流 动现象 解决流体 力学问题
流体力学的研究方法中实验研究既是理论分析 的依据，同时也是检验理论的准绳，具有很重要的 作用。 本章将探讨其理论基础： 量纲分析 相似理论
直接实验法 物理规律 理论分析法 模型研究法 相似理论
从相似的概念入手，引入相似准数； 从相似原理和量纲分析出发导出相似准数的结 构； 分析实际问题与实验模型相似的条件；
[B]=MLT
4 基本量 导出量
一个物理问题中诸多的物理量分成基本物理量（基本量：
具有独立性、唯一性）和其他物理量（导出量），后者可由前 者通过某种关系到除，前者互为独立的物理量。基本量个数取 基本量纲个数，所取定的基本量必须包括三个基本量纲在内， 这就是选取基本量的原则。 流速 密度 力 压强 dimv＝LT－1 dimρ＝ML－3 dimF＝MLT－2 dim p=M L－1 T－2
三、Π定理
对于某个物理现象或过程，如果存在有n个变量互为函数关
系， f(a1,a2, …an)=0 而这些变量含有m个基本量纲，可把这n个变量转换成为有 (n-m)=i个无量纲量的函数关系式
F(1,2, … n-m)=0
这样可以表达出物理方程的明确的量间关系，并把方程中的 变量数减少了m个，更为概括集中表示物理过程或物理现 象的内在关系。
之间函数关系的一种方法，也可以得出相似准
则。
量纲分析法有两种：瑞利法和π定理
瑞利法
解题步骤：首先找出影响流动的物理量，并用它们
写出假拟的指数方程； 然后以对应的量纲代替方程中的物理量本身，并 根据量纲和谐性原理求出各物理量的指数，整理 出最后形式。
例题a：自由落体运动的位移s与时间t、重力加速度g有关。 试求位移s的表达式。
实验研究 发展流体 力学理论 验证流体 力学假说 解释流 动现象 解决流体 力学问题
流体力学的研究方法中实验研究既是理论分析 的依据，同时也是检验理论的准绳，具有很重要的 作用。 本章将探讨其理论基础： 量纲分析 相似理论
直接实验法 物理规律 理论分析法 模型研究法 相似理论
从相似的概念入手，引入相似准数； 从相似原理和量纲分析出发导出相似准数的结 构； 分析实际问题与实验模型相似的条件；
[B]=MLT
4 基本量 导出量
一个物理问题中诸多的物理量分成基本物理量（基本量：
具有独立性、唯一性）和其他物理量（导出量），后者可由前 者通过某种关系到除，前者互为独立的物理量。基本量个数取 基本量纲个数，所取定的基本量必须包括三个基本量纲在内， 这就是选取基本量的原则。 流速 密度 力 压强 dimv＝LT－1 dimρ＝ML－3 dimF＝MLT－2 dim p=M L－1 T－2
流体力学第5章
对空气，T0=52℃，k=1.4，R=287J/kg，
v=200m/s,则 T=32.1℃,T-T0≈20℃
可见必须予以修正
四、临界参数
v=a的状态参数：
p pc , c ,T Tc , a ac
则：
k
pc 2 k1 , p0 k 1
对空气k=1.4,则
pc 0.528 p0
另外： Tc
l D
V
2
2
（即达西公式）。
四、一般等径管流
其结果介于绝热和等温之间。应采用数值递推解法。
传热方程: (k为管壁综合传热系数)
q 4k Dl T T D2 l
4k
D
T
T
4k RT pD
T
T
能量方程： q cp T2 T1V V2 V1
2
动量方程：R T2
T1
RT
⑶ 存在最大管长lmax
lmax
D
1
k
M12
1 ln
k
M12
沿程流速v2：
RT V12
1
V12 V22
ห้องสมุดไป่ตู้
l
D
2 ln
V2 V1
沿程压力p2：
p12
p22
p12V12 RT
l
D
2ln
p1 p2
体积流量：
Q A
p12 p22
RT1
l
D
2 ln
p1 p2
对小压差流动：p1p2，
则：
p
p1
p2
习题：
5-34 5-35 5-37
kl
D
k
p1
1
k
流体力学第五章(理想不可压缩流体的平面势流)
流体力学——理想不可压缩流体的平面势流内容¾基本方程组，初始条件及边界条件¾速度势函数及无旋运动的性质¾平面流动及其流函¾不可压缩流体平面无旋流动的复变函数表示¾基本的平面有势流动¾有势流动叠加P=Pa , Pa为大气压强。
在直角坐标系中有一个线性的二阶偏微分方程(拉普拉斯方程线性方程的一个优点是解的可叠加性对于定常流：则由伯努利方程得到理想不可压缩无旋流的基本方程为：边界条件静止固壁上自由面上：P = Pa 无穷远处：速度势函数及无旋运动的性质在无旋流中有若已知函数，则可求出若已知速度矢量V，则可由积分求出势函数上式中为任意常数，因此的值相对于不同的Mo点可以差一个，为某一常数，但并不影响流动的实质，因为当求流动的特征量ui, P时，常数的差别便消失不见了，所谓的结果完全一样φ涉及到单值和多值问题在单连通区域 与积分路线无关，而只与起点M0及终点M的位置 有关。
因而势函数为单值函数。
在多连通区域 ， 是封闭曲线L绕某一点的圈数， 称为环量 势函数 为多值函数。
速度势函数及无旋运动的性质(已作介绍)内容 ¾ 基本方程组，初始条件及边界条件 ¾ 速度势函数及无旋运动的性质¾ ¾平面流动及其流函数 不可压缩流体平面无旋流动的复变函数表示 基本的平面有势流动 有势流动叠加¾ ¾平面流动及其流函数 平面问题是指 流动在平面内进行，即 u z = 0 ; 垂直平面的垂线上个物理量相 等即适用范围 无限长柱体，它的一个方向的尺寸比其它两个方向的尺寸大得 多，在长方向的速度分量很小，其它物理量的变化也很小。
如：低速机翼表面的压力分布问题的理论计算等，无限长的柱 体平板的绕流等研究平面无旋运动，在平面运动中，涡旋矢量Ω的三个分量为只有 而无旋，可推出存在着速度势函数 使得：速度势函数的性质我们已经讨论过了流函数的意义 如果能够找到某一函数Ψ，满足流动的可能判据 —— 连续性 方程，则称这一函数Ψ为流函数 在平面运动时，不可压缩流体的连续性方程为：若有一函数Ψ（x,y,t）并令 则连续性方程为称为流函数知道了流函数 •若与流速ux ，uy 之间的关系之后 求出流速场已知，可由• 若 ux ，uy 已知，可用积分速度势与流函数 平面流动垂直与z轴的每个平面流动 都相同，称平面流动速度势函数 速度势函数存在的条件∂w ∂v − = 0 ∂y ∂z ∂u ∂w − = 0 ∂z ∂x ∂v ∂u − = 0 ∂x ∂y此条件称 柯西—黎曼条件由高数知识可知，柯西—黎曼条件是使udx + vdy + wdz全微分的充要条件，即成为某一个函数ϕ(x ,y ,z ,t )d ϕ = udx + vdy + wdz而当 t 为参变量， ϕ(x ,y ,z ) 的全微分为∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ dϕ = dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z比较两式有∂ϕ u = ∂x ∂ϕ v = ∂y ∂ϕ w = ∂z∂ϕ 柱坐标 V r = ∂r 1 ∂ϕ Vθ = r ∂θ ∂ϕ Vz = ∂z把ϕ(x ,y ,z ) 称为速度势函数简称势函数无论流体是否可压缩，是否定常流只要满足无旋条件 ，总有 势函数存在。
流体力学 第五章 涡旋动力学基础
①不可压缩流体 ρ ＝常数； ②等温的运动过程 T＝常数； ③等熵的运动过程 ＝，式中为常数；为比热比 。在这些情况下，流体压力都只和密度有关， 而和温度无关，因此它们是正压流体。
2.开尔文定理
理想（无粘）正压流体在有势的质量力作用下， 速度环流不随时间变化，其证明如下：
d dt
d dt
udx
vdy
得出结论：对于理想的正压流体，在有势的质 量力作用下，沿任何封闭的流体线的环量永远 不会改变。又由斯托克斯定理知，在流场中已 有的旋涡将永远不会消失，即理想流体中，旋 涡不生不灭。
3、拉格朗日（Lagrange）定理
拉格朗日定理是开尔文定理的直接推论，又称 为涡旋不生不灭定理。
拉格朗日定理可陈述如下：在质量力有势的条 件下，理想、正压流体的流动中，若在某一时 刻某一部分流体内没有涡旋，则在该时刻以前 及以后的时间内，该部分流体内也不会有涡旋 。反之，若某一时刻该部分流体内有涡旋，则 在此时刻以前及以后的时间内这部分流体皆为 有旋。
三、皮耶克尼斯环流定理
设流体无粘非正压，但质量力为有势力，则：
d dt
1
p x
dx
p y
dy
p z
dz
1
dp
dp
上式中引入比容：
1
p=常数的面称为等压面，α=常数的面为等容 面。对于正压流体 p p() ，显然等压面和等 容面是重合的。但对于一般的非正压流体，等 压面和等容面将相交，作一系列彼此相差一个 单位的等压面，同时作一系列彼此相差一个单 位的等容面，这样整个流体空间被隔成一系列 有两个相邻的等压面和两个相邻的等容面构成 管子，通常称为等压、等容管。
本节先从速度环流变化的角度来刻画涡旋运动 的变化。先引入速度环流变化的基本关系式， 从而推出有关速度环流变化的两个守恒定律— —开尔文定理和皮耶克尼斯定理。
2.开尔文定理
理想（无粘）正压流体在有势的质量力作用下， 速度环流不随时间变化，其证明如下：
d dt
d dt
udx
vdy
得出结论：对于理想的正压流体，在有势的质 量力作用下，沿任何封闭的流体线的环量永远 不会改变。又由斯托克斯定理知，在流场中已 有的旋涡将永远不会消失，即理想流体中，旋 涡不生不灭。
3、拉格朗日（Lagrange）定理
拉格朗日定理是开尔文定理的直接推论，又称 为涡旋不生不灭定理。
拉格朗日定理可陈述如下：在质量力有势的条 件下，理想、正压流体的流动中，若在某一时 刻某一部分流体内没有涡旋，则在该时刻以前 及以后的时间内，该部分流体内也不会有涡旋 。反之，若某一时刻该部分流体内有涡旋，则 在此时刻以前及以后的时间内这部分流体皆为 有旋。
三、皮耶克尼斯环流定理
设流体无粘非正压，但质量力为有势力，则：
d dt
1
p x
dx
p y
dy
p z
dz
1
dp
dp
上式中引入比容：
1
p=常数的面称为等压面，α=常数的面为等容 面。对于正压流体 p p() ，显然等压面和等 容面是重合的。但对于一般的非正压流体，等 压面和等容面将相交，作一系列彼此相差一个 单位的等压面，同时作一系列彼此相差一个单 位的等容面，这样整个流体空间被隔成一系列 有两个相邻的等压面和两个相邻的等容面构成 管子，通常称为等压、等容管。
本节先从速度环流变化的角度来刻画涡旋运动 的变化。先引入速度环流变化的基本关系式， 从而推出有关速度环流变化的两个守恒定律— —开尔文定理和皮耶克尼斯定理。
流体力学第5章管内不可压缩流体运动
p 32vl 32 0.285 6 50 273600N / m2
d2
0.12
• （3）管路中的最大速度： • （4）壁面处的最大切应力：
umax 2v 2 6 12m / s
max
p 2l
r0
273600 0.05 2 50
136.8N
/ m2
5.2 湍流流动及沿程摩擦阻力计算
Re数越大——粘性底层的厚度越薄；流速越低，
第5章 管内不可压缩流体运动
5.1 管内层流流动及粘性摩擦损失
• 【内容提要】 本节主要讨论流动阻力产生的原因及分类 ，同时讨论两种流态及转化标准
并且在此基础上讨论圆管层流状态下流速分布、流量计算、切应力分布、沿 程水头损失计算等规律。
5.1.0概述（阻力产生的原因）
1、阻力产生的原因 （1）外因 • ①断面面积及几何形状 • ② 管路长度 L：水流阻力与管长成正比。 • ③管壁粗糙度：一般而言，管路越粗糙，水流阻力越大。
• 【内容提要】 • 本节简要介绍紊流理论及湍流沿程阻力系数的计算
5.2.1 湍流漩涡粘度与混合长度理论
• 湍流的产生
5.2.1 湍流漩涡粘度与混合长度理论
• 湍流的产生 • ① 层流在外界环境干扰的作用下产生涡体（湍流产生的先决条件）。 • ② 雷诺数大于临界雷诺数（湍流产生的必要条件）。
5.2.1 湍流漩涡粘度与混合长度理 论
5.1.1 层流与湍流流动
2、流态的判别：
（3）雷诺数
（无量纲数）
Re dv dv 式中，ρ—流体密度；v—管内流速；d—管径；μ—动力粘性系数；—运动粘性系
数
5.1.1 层流与湍流流动
2、流态的判别： （3）雷诺数 • ① 雷诺数Re是一个综合反映流动流体的速度、流
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布西内斯克 兰哈尔
L*＝0.065dRe L*＝0.058dRe
紊流: L*≈（25～40）d
L*(层流)> L*（紊流）
二、充分发展的流动(入口段以后的流动)
第五节 圆管中的层流流动
一、圆管有效截面上的切应力分布.
1.
取微体：如图. 半径 r ,长 dl
中心线和轴重合.
w
g
mg
vl
l
2.
受力分析
七、其它系数:
因沿程损失而消耗的功率： 动能修正系数： 动量修正系数：
2 128LqV P pqV d 4
vl 3 1 16 r0 2 2 3 ( ) dA 8 (r0 r ) rdr 2 AA v r0 0
vx 2 1 8 ( ) dA 6 A v r0
(a)
水力光滑
δ＞ε 光滑管
(b)
水力粗糙
δ <ε 粗糙管
第六节 粘性流体的紊流流动
2. 圆管中紊流的速度分布
1)紊流光滑管 vx 5.75lg yv 5.5 或：
v v 2 vxmax (n 1)(n 2)
v
v* ——切应力常数
n f ( Re )
2)紊流粗糙管 vx 5.75lg y 8.48
由前述沿程损失公式： 及
d 2 qV Ava va 4
h f p g
2 2 2 p 128Lqv 64 L va 64 L va L va hf 4 g gd va d d 2 g Re d 2 g d 2g
得： 64 Re
可见 ，层流流动的沿程损失与平均流速的一次方成正比
3. 总能量损失：
hw hf hj
能量损失的量纲为长度，工程中也称其为水头损失
第三节 粘性流体的两种流动状态
粘性流体两种流动状态：
紊流状态 层流状态
第三节 粘性流体的两种流动状态
一、雷诺实验.
1. 装置如图.
5 6 1 7 2 3
（揭示两种六种状态）
2. 实验条件. 液面高度恒定——保证 v 恒定. 水温恒定——保证 u c .
y
vx vx vy x
o
F v Av
' ' y
' x
t v v
, , x y
脉动速度示意图
普朗特的混合长假说 ：
dvx vx ~ l dy
'
l
—做混合长度
第六节 粘性流体的紊流流动
v y ~ vx
' '
dvx vy ~ l dy
'
' x ' y 2
dvx 2 t v v l ( ) dy
第四节 管道进口段中粘性流体的流动
第四节 管道进口段中粘性流体的流动
d
L
层流边界层
充分发展的流动
紊流边界层
d
L
粘性底层
圆管进口段的流动
第四节 管道进口段中粘性流体的流动
一、入口段 (边界层相交之前的管段L*) 0.89max
希累尔
{
L* 经 验 公 式
L*＝0.2875dRe
层流:
(r02
4 r ) rdr 3
2 2
对水平放置的圆管
w
r r0
r0 p 2 v 2L 8
此式对于圆管中粘性流体的层流和紊流流动都适用
第六节 粘性流体的紊流流动
一、紊流流动时均值
时均速度 脉动速度 瞬时速度 同理
1 vx v xi dt t 0
t
vxi
2 12a 2 p1 p2 z1 1 z2 2 a hw g 2g g 2g
第一节 粘性流体总流的伯努利方程
方程适用条件:
1. 流动为定常流动；
2. 流体为粘性不可压缩的重力流体；
3. 沿总流流束满足连续性方程，即qv=常数；
4. 方程的两过流断面必须是缓变流截面，而不必顾
8
v2
第五节 圆管中的层流流动
二、速度分布.
dv l 根据牛顿内摩擦定律： , dr 1 d dvl ( p gh)rdr 2 dl
对r积分，得
vl
1 d ( p gh)r 2 C 4 dl
边界条件 当r=r0时，vl=0
r02 d C ( p gh), 4 dl
r2 p r2 ( p
由：sin d h /d l ；
p ) 2 rdl r 2dl gsin 0 l p gh 不随r变化
方程两边同除 r 2 dl 得： r d ( p gh)
2 dl
粘性流体在圆管中作层流流动时，同一截面上的切向应力 的大小与半径成正比
ro2 r 2 d vl ( p gh) 4 dl
旋转抛物面
第五节 圆管中的层流流动
三、最大流速:
vl max ro2 d ( p gh) 4 dl
四、平均流速: 旋转抛物体的体积等于它的外切圆柱体体积
的一半，
r02 d 1 va vl max ( p gh) 2 8 dl
a ——截面平均速度
第一节 粘性流体总流的伯努利方程
流体微团间摩擦 热 损失——用hw表示 内能: 温度升高 内能增大 机械能
1 u u 1 ( g dA g dA) gqV A2 g g gqV A1
qV
(u
2
u1 )dqV hw
粘性流体单位重量形式的伯努力方程：
洛巴耶夫公式
1.42 lg Re 1.42 lg 1.273 V
d
2
q
2
V. 湍流平方阻力区
λ=f ( ε / d )
工程流体力学
第五章 粘性流体的一维流动
第一节 粘性流体总流的伯努利方程
能量方程式（3－44）
u 2 p u 2 p g ( z )dA g ( z )dA 0 g 2g g g 2g g A2 A1
内能+动能+势能（位置势能+压强势能）＝常数
及两截面间是否有急变流。
第一节 粘性流体总流的伯努利方程
伯努利方程的几何意义：
2 1
hw
总水头线 静水头线
2
1
2g
p1
2g
2 2
p2
g dA
g
z1
z2
例题:
已知： a 4m/s；
0
a
0
h1 9m；h2 0.7m；
H 2 h2 2
hw 13m
求： H
h1
2 p p 解： （H h1 ) a 0 h2 a 2 2 hw g g 2g
dv t t x dy
dv x t l dy
2
u t 与 μ 不同，它不是流体的属性，它只决定
于流体的密度、时均速度梯度和混合长度
第六节 粘性流体的紊流流动
三、圆管中的速度分布和沿程损失
1.圆管中的紊流区划，粘性底层，水力光滑与水力粗糙 1) 区划 ：如图
层流底层
过渡区
紊流充分发展区
紊流流动: 2 2
1 .0
42 H hw h2 h1 13 0.7 9 5.52 (m) 2g 2 9.806
第二节 粘性流体管内流动的两种损失
1. 沿程损失：发生在缓变流整个流程中的能量损失，是由
流体的粘滞力造成的损失。 达西——魏斯巴赫公式 ：
式中 ：
紊流 层流
v vcr ——上临界速度 vcr vcr
——下临界速度
第三节 粘性流体的两种流动状态
二、流态的判别
雷诺数
Re
d
cr d Recr
' ' cr d Recr
对于圆管流：Recr 2320
工程上取
Recr 2000
当Re≤2000时，流动为层流；当Re＞2000时，即认为流动是紊流。 对于非圆形截面管道： 雷诺数 Re de
v x
v x
v xi v x v
pi p p'
, x
v xi
o
t
vx
t
瞬时轴向速度与时均速度图
时均参数不随时间改变的紊流流动称为准定常流动或时均定常流
第六节 粘性流体的紊流流动
二、雷诺应力 t
定义： 流体质点在相邻流层 之间的交换，在流层之间进行 动量交换，增加能量损失 dv x v t ( t ) dy
3.圆管中的沿程损失
紊流光滑管
紊流粗糙管
1
1 d 2lg 1.74
2lg Re 0.8
第七节 沿程损失的实验研究
一、实验
1. 目的：
f ( Re .
d
)
2. 原理和装置： 用不同粗糙度的人工粗糙管，测出
不同雷诺数下的 hf ，然后由
l v2 hf d 2g
4
排水 进水
第三节 粘性流体的两种流动状态
3.
实验步骤
(a)
层流状态 过渡状态 紊流状态
(b)
(c)
第三节 粘性流体的两种流动状态
实验说明：
a.
v 0 vcr
层流=>过渡状态
b.
c. d.
v vcr