优先权排队论模型

1. 模型
公共假设： （1）两个模型都存在 N 个优先级（1 级代表最高） （2）服务顺序首先基于优先级，同一优先级内，依据“先到先服务” （3）对任意优先级，顾客到达服从 Poisson 分布，服务时间服从负指 数分布 （4）对任意优先级顾客的服务时间相同 （5）不同优先级顾客的平均到达率可以不同 非强占性优先权（Nonpreemptive Priorities）是指，即使一个高优先级的 顾客到达， 也不能强制让一个正在接受服务的低优先级顾客返回排队。 也就是说， 一旦服务员开始对一个顾客服务，这项服务就不能被打断直至服务结束。 强占性优先权 （Preemptive Priorities） 是指， 一旦有高优先级的顾客到达， 服务员即中断对低优先级顾客的服务（这名顾客重新回到排队中） ，并马上开始 为高优先级顾客服务。 结束这项服务后， 再按照公共假设中的原则选取下一个被 服务的顾客。 （这里由于负指数分布的无记忆性，我们不必关注被中断顾客的服 务进度， 因为剩余服务时间的 分布与从起点开始的服务时间的分布总是相同的。 ） 对这两个模型来说，如果忽略顾客的优先级，它们是完全等同于一般的 M/M/s 排队模型的。因此，当计算整个队列中顾客的总人数（L,������������ ）时，M/M/s 模 型的结论是适用的；实际上，若随机选择一个顾客，其等待时间（W,������ ������ ）也可以 通过 Little 公式计算得出。我们改变的只是顾客们等待时间的分布。在优先权 排队模型下，等待时间的的方差更大，高优先级的顾客缩短了等待时间，而低优 先级的顾客增长了等待时间。 为了体现优先权对排队模型的影响， 我们需要计算 每 一 个 优 先 级 上 顾 客 的 平 均 等 待 时 间 （ ������������ ,k=1,2,……N ） 和 平 均 队 长 （������������ ,k=1,2,……N） 。
λ=������1 +������2 + ������3 =2 时 W 的取值相同。 W 13 与一般 M/M/s 模型中当 s=2, μ=3， 即 从而 故
W 13 W =0.375 小时，
W3
W3
1 0.375 0.1(0.3337) 0.3(0.34126) 0.39875 小时, 0.6
强占性模型（M/M/1）
for k = 1,2,...,N
Wk
1 , Bk 1 Bk
for k = 1,2,...,N
注意到这里的结论适用于仅有一个服务台的情况，但实际上对于 s > 1 的 情况， ������������ 可以通过简单的迭代得出， 该方法在案例中会做介绍。 同样， 应用 Little 公式， 可得第 k 个优先级在稳定状态下的平均队长 （包括正在接受服务的顾客） ：
取值相同。 即 从而
W 12 W =0.33937 小时，
W2
W2
4 1 0.33937 (0.3337) 0.34126 小时， 3 4
1
故

0.00793 小时。
同理，令 W 13 为随机到达的病人的平均等待时间， 有
W 13 0.1W1 0.3W2 0.6W3 ,
2. 结论
用������������ 表示稳定状态下 k 优先级的顾客平均等待时间（包括服务时间） ，则两 个模型的结论可以表示如下。
非抢占性模型（M/M/s）
Wk
1 1 , ABk Bk 1
for k = 1,2,...,N,
where
s s 1 r j A s ! s s , r j 0 j !
P 1 W1 W Wq 0 0.00037 小时， s !(1 )2 1 Lq 1
s
其中

, s
s 1 n s 1 P0 1 , n ! s ! 1 / ( s ) n 0
1

0.06542 小时。
所以，完整的数据对比表如下： Preemptive Priorities s=1 s=2 0.024 hour 0.00037 hour 0.154 hour 0.00793 hour 1.033 hour 0.06542 hour Nonpreemptive Priorities s=1 s=2 0.238 hour 0.029 hour 0.325 hour 0.033 hour 0.889 hour 0.048 hour
W1-1/μ W2-1/μ W3-1/μ
下面来计算 s=2 时，强占性模型下的每个优先级病人的平均等待时间。 由于第一优先级的病人的等待时间并不受其他优先级的影响， 所以对任意的 ������2 、������3 ，������1 取值相同，当������2 =������3 =0 时，������1 与一般 M/M/s 模型中当 s=2, μ=3，λ =������1 =0.2 时 W 的取值相同。 即
带优先权的排队论模型
在优先权排队模型中，队中的成员被服务的顺序基于他们被赋予的优先级。 相比一般的排队模型， 很多真实存在的排队系统实际上更符合带优先权的排 队论模型，比如紧急工作的招聘优先于其他一般的工作；VIP 客户较其他一般客 户，在服务上享有优先权等等。因此，带优先权的排队论模型有其实际意义。 这里介绍两种最基本的优先权排队模型 ——非强占性优先权模型和强占性 优先权模型。两个模型除优先权行使方式之外，其他假设均一致。我们首先描述 这两个模型， 之后分别给出其结论， 最后通过一个案例来阐述其在实际中的应用。
Lk kWk ,
for k = 1,2,...,N
3. 案例——市医院急诊中心的问题
管理咨询顾问注意到市医院的急诊病人并没有简单地按照达到顺序接受治 疗，实际上病人大致被分为三类： （1）病危型，病情致命，必须马上治疗； （2 ） 严重型，拖延治疗会使病情加重； （3）平稳型，治疗不及时并没有严重的后果。 病人们按照以上优先级进行排队，每个优先级内部再按照到达顺序排队。 预测显示， 大约有 10%的病危型病人， 30%的严重型病人， 60%的平稳型病人。 因为严重的疾病在紧急处理后还要进行进一步治疗， 所以花在急诊室的时间并不 是很长，进而我们可以认为三种类型的病人接受治疗的时间是相同的。 由于病危病人和严重型病人的治疗不能耽误， 所以这是一个强占性优先权排 队模型。数据显示 μ=3，λ=2，因此可求得������1 =0.2，������2 =0.6，������3 =1.2。通过对比 s=1 和 s=2 时的情况，说明是否有必要在急诊室增加一个医生。 用 Excel 计算的数据如下表所示。 （为了对比，同时给出在非抢占性模型下 的各项数据。 ） Preemptive Priorities s=1 s=2 0.024 hour 0.154 hour 1.033 hour Nonpreemptive Priorities s=1 s=2 0.238 hour 0.029 hour 0.325 hour 0.033 hour 0.889 hour 0.048 hour
i ,
i 1 N
r
,
k
（这里假设了 i s ，从而使第 k 个优先级能够达到稳定状态。 ）
i 1
Little 公式对任意优先级仍然适用，所以������������ ——第 k 个优先级在稳定状态 下的平均队长（包括正在接受服务的顾客）故
W1 1

0.00037 小时。
下面考虑前两个优先级。 同理， 这两个优先级的病人也不受第三优先级的影 响。 令 W1-2 为随机到达的前两个优先级的病人的平均等待时间， 则该病人是第一 优先级的概率为 1 (1 2 ) 1/ 4 ，是第二优先级的概率为 2 (1 2 ) 3 / 4 。 1 3 W 12 W1 W2 , 故 4 4 另一方面， W 1 2 与一般 M/M/s 模型中当 s=2, μ=3，λ=������1 +������2=0.8 时 W 的
W1-1/μ W2-1/μ W3-1/μ
从中可以看出，强占性模型下，若只有一名医生，在接受治疗前，病危型病 人平均等待时间约为 1.5 分钟， 严重型病人平均等待时间大于 9 分钟， 平稳型病 人平均等待时间大于 1 小时。 在两个模型下， 多派一名医生均能大幅缩减任一优 先级病人的平均等待时间； 尤其在强占性模型中， 多派一名医生几乎消除了除平 稳型以外病人的等候治疗时间。因此，该案例下，在急诊室中多派一名医生是十 分有必要的。
B0 1 ,
Bk
1
k i 1
i
s
,
s number of servers ,
m e a n s e r v i c e r a t e p e r ,b u s y s e r v e r
m e a n a r r i v i a l r a t e f o, r p r i o r i t y i