第2讲 分段函数及函数的单调性

第二讲 分段函数及函数的单调性

一.分段函数

若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．

分段函数无论分成几段，都是一个函数，不要误解为是“由几个函数组成”．求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．

常见的命题类型有：

(1)分段函数的函数求值问题；

(2)分段函数的自变量求值问题；

(3)分段函数与函数性质、方程、不等式问题．

二.函数的单调性

1.单调性的定义

自左向右看图象是__________

自左向右看图象是_________

如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)_______，区间D 叫做函数y ＝f (x )的___________.

2．函数的最值

题型一分段函数的函数求值（域）问题

1.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

log 2x ，x >0，3x ＋1，x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14的值是________． 2. 若函数f(x)={x 2+1,x ≤1lgx,x >1

，则f(f(10))=（ ） A ．lg101 B ．2 C ．1 D ．0

3.设定义在N 上的函数f （x ）满足f （n ）=⎩

⎨⎧-+)]18([13n f f n ),2000(),2000(>≤n n 试求f （2002）的值.

4.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

1x ， x >1，－x －2，x ≤1，

则f (f (2))＝________，函数f (x )的值域是________．

题型二 分段函数的自变量求值问题 1．已知f (x )＝⎩⎨⎧ x 12，x ∈[0，＋∞)，|sin x |，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，若f (a )＝12，则a ＝________. 2.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －2，x ≤0，－log 3x ，x >0，且f (a )＝－2，则f (7－a )＝( ) A ．－log 37 B ．－34 C ．－54 D ．－74

3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (a －1)x ＋1，x ≤1，a x －1，x >1，

若f (1)＝12，则f (3)＝________. 题型三 分段函数与函数性质、方程、不等式问题．

1.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

x 2＋2ax ，x ≥2，2x ＋1，x <2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________． 2.已知函数f （x ）=⎩⎨⎧<-≥-),

2(2),2(2x x x 则f （lg30－lg3）=___________________； 不等式xf （x －1）＜10的解集是___________________.

题型四.常见函数的单调性

一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性、单调区间。

题型五.判定函数的调性

1.f(x)图像 如图所示，请写出f(x)

的单调区间

2.判断下列函数的单调性

(1)y =x +

x

1（x>0）；(对勾函数) (2) 设函数f （x ）＝b x a x ++（a ＞b ＞0），求f （x ）的单调区间，并证明f （x ）在其单调区间上的单调性.（真分数的性质）

(3) 讨论函数f （x ）=1

2-x ax （a ＞0）在x ∈（－1，1）上的单调性.(分类讨论) (4) 指出函数y =log 3（x 2＋2x －3）的单调区间，指出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫

13-223+1x x 的单调区间。

题型六 函数单调性的简单应用

1.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1

的最大值为________． 2.已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，

设a ＝f ⎝⎛⎭

⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系是_______________. 3.已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f(x-2)

4. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

(a －2)x －1，x ≤1，log a x ，x >1，若f (x )在R 上单调递增，则实数a 的取值区间为________．

函数单调性的应用

(1)求函数值域、最值；

(2)比较大小；

比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．

(3)解不等式

在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．

(4)利用单调性求参数

视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．

[提醒] ①若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．