苏教版学高中数学必修一指数函数对数函数和幂函数函数与方程用二分法求方程的近似解讲义

学习目标核心素养１．通过实例理解二分法的概念．（难点）２．了解二分法是求方程近似解的常用方法．３．能够借助计算器用二分法求方程的近似解．（重点）通过学习本节内容，培养学生的逻辑推理的数学核心素养.１．二分法的定义对于在区间[a，b]上的图象连续不断且f（a）·f（b）<0的函数y＝f（x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．２．用二分法求函数f（x）零点近似值的步骤（１）确定区间[a，b]，使f（a）·f（b）<0.（２）求区间（a，b）的中点x１＝错误!.（３）计算f（x１）．１若f（x１）＝0，x１就是函数的零点；２若f（a）·f（x１）<0，则令b＝x１，此时零点x0∈（a，x１）；３若f（x１）·f（b）<0，则令a＝x１，此时零点x0∈（x１，b）．（４）判断是否达到题目要求，即若达到，则得到零点近似值，否则重复步骤（２）～（４）．３．用“二分法”求方程的近似解时，应通过移项问题转化为求函数的零点近似值．如求f（x）＝g （x）的近似解时可构造函数h（x）＝f（x）—g（x），将问题转化为求h（x）的零点近似值的问题．１．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）二分法所求出的方程的解都是近似解．（）（２）函数f（x）＝|x|可以用二分法求零点．（）（３）用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内．（）（４）用“二分法”求方程的近似解一定可将y＝f（x）在[a，b]内的所有零点得到．（）[答案] （１）×（２）×（３）×（４）×[提示] 四句话都是错的．（１）中，二分法求出的解也有精确解，如f（x）＝x—１在（0,２）上用二分法求解时，中点为x＝１，而f（１）＝0．（２）中，f（x）＝|x|≥0，不能用二分法．（３）中，二分法求零点时，零点可以在等分区间后的右侧，也可以在左侧．（４）中f（x）在[a，b]内的近似解可能有多个，而二分法求解时，只须达到一定的精确度即可，故可能会漏掉一些，另外在等分区间后，中点的函数值与某一端点函数值同号时内部也未必没有零点，故采用“二分法”不一定求出函数的所有零点的近似解．２．用二分法求函数y＝f（x）在区间[２,３]上的零点的近似值，验证f（２）·f（３）＜0，取区间[２,３]的中点x１＝错误!＝２．５，计算得f（２．５）·f（３）＞0，此时零点x0所在的区间是________．（２,２．５）[由于错误!所以f（２）·f（２．５）＜0，所以x0∈（２,２．５）．]３．已知函数f（x）＝错误!—log２x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）Ａ．（0,１）Ｂ．（１,２）Ｃ．（２,４）Ｄ．（４，＋∞）C[由题意知，函数f（x）在（0，＋∞）上为减函数，又f（１）＝6—0＝6>0，f（２）＝３—１＝２>0，f（４）＝错误!—log２４＝错误!—２＝—错误!<0，由零点存在性定理，可知函数f（x）在区间（２,４）上必存在零点．]“二分法”求方程的近似解x到0．１）思路点拨：错误!→错误!→错误!→错误![解] 分别画出函数y＝２x和y＝6—３x的图象，如图所示：在两个函数图象的交点处，函数值相等，因此，这个点的横坐标就是方程6—３x＝２x的解．由函数y＝２x和y＝6—３x的图象可以发现，方程6—３x＝２x有唯一解，记为x１，并且这个解在区间（１,２）上．设f（x）＝２x＋３x—6，用二分法逐次计算，得：f（１）<0，f（２）>0⇒x１∈（１,２），f（１）<0，f（１．５）>0⇒x１∈（１,１．５），f（１）<0，f（１．２５）>0⇒x１∈（１,１．２５），f（１．１２５）<0，f（１．２５）>0⇒x１∈（１．１２５,１．２５），f（１．１87 ５）<0，f（１．２５）>0⇒x１∈（１．１87 ５,１．２５），f（１．２１8 7５）<0，f（１．２５）>0⇒x１∈（１．２１8 7５，１．２５），f（１．２１8 7５）<0，f（１．２３４３7５）>0⇒x１∈（１．２１8 7５，１．２３４３7５）．因为１．２１8 7５与１．２３４３7５精确到0．１的近似值都为１．２，所以原方程的近似解为x≈１．２．１１．由方程的解与函数零点的等价性知，用二分法求方程的近似解问题可通过构造函数，转化为求函数的零点近似值问题．２．求方程f（x）＝g（x）的近似值注意的问题：１确定初始区间时，一般采用图象法，作函数y＝f（x），y＝g（x）的图象，观察两个函数图象的交点的横坐标的取值范围；２实施二分法时，需构造函数F（x）＝f（x）—g（x），求F（x）＝0的近似解．１．求错误!的近似值（精确到0．１）．[解] 错误!是x３＝２的根，因此可构造f（x）＝x３—２，问题转化为“求f（x）的零点的近似解”．用二分法求其零点．由f（１）＝—１<0，f（２）＝6>0．故可取区间[１,２]为计算的初始区间．用二分法逐次计算，如下：f（１）<0，f（１．５）>0⇒x１∈（１,１．５），f（１．２５）<0，f（１．５）>0⇒x１∈（１．２５,１．５），f（１．２５）<0，f（１．３7５）>0⇒x１∈（１．２５,１．３7５），f（１．２５）<0，f（１．３１２５）>0⇒x１∈（１．２５,１．３１２５），至此可见，区间[１．２５,１．３１２５]上所有值精确到0．１均为１．３，所以１．３是错误!精确到0．１的近似值．使用二分法的注意事项１．使用二分法求方程近似解的理论依据是什么？[提示] 理论依据是零点存在性定理．２．能用二分法求方程近似解的条件是什么？[提示] 条件共三点：（１）f（x）图象连续不断；（２）起始的两个端点处的函数值异号；（３）每次区间等分后，必须有端点函数值异号．【例２】（１）下列函数没有零点的是________，在有零点的函数中，必须用二分法求零点的是________，一定不能用二分法求零点的是________．（填序号）１y＝x—7；２y＝错误!错误!—２；３y＝log４x＋３；４y＝２x＋x；５y＝x２；⑥y＝—２x２；⑦y ＝—２x—１．（２）下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求零点的是________，能用二分法求零点的是________．（填序号）思路点拨：根据二分法的概念进行判断．（１）⑦４５⑥（２）１５２３４[（１）⑦中y<0，故没有零点，１２３可通过解方程求零点，４必须用二分法，５⑥虽有零点，但零点左右两侧没有变号，故不能用二分法．（２）１５图中，与x轴交点两侧符号一致，不能用二分法，２３４均可用二分法，但４应该注意区间的选择．]判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不间断的，且该零点为变号零点（在零点两侧函数值的符号相反）．因此，用二分法求函数的零点的近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．２．（１）下面关于二分法的叙述，正确的是______．（填序号）１用二分法可求所有函数零点的近似值；２用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位；３二分法无规律可循；４只有在求函数零点时才用二分法．（２）观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是________．（填序号）（１）２（２）１[（１）只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右函数值异号，才可以用二分法求函数的零点的近似值，故１错；二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故３错；求方程的近似解也可以用二分法，故４错．（２）由图象可知１中零点左侧与右侧的函数符号不同，故可用二分法求零点．]１．二分法求函数的零点，只适用于变号零点．当f（a）·f（b）>0时，在[a，b]上也可能存在零点．２．用二分法求函数的近似零点（或方程的近似解）需注意两点（１）在探索初始区间时，区间长度不易过长，否则会导致计算量增大，出现错误．（２）求解过程中，区间两端点的值按要求精确到某一值x i时，是否具有相同的值，若相同即为所求，否则继续，直到满足要求为止.１．用“二分法”可求近似解，对于精确到ε的说法正确的是（）Ａ．ε越大，零点的精确度越高Ｂ．ε越大，零点的精确度越低Ｃ．重复计算次数就是εＤ．重复计算次数与ε无关B[依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．]２．在用二分法求函数f（x）零点近似值时，第一次取的区间是[—２,４]，则第三次所取的区间可能是（）Ａ．[１,４] Ｂ．[—２,１]Ｃ．[—２,２．５] Ｄ．[—0．５,１]．D[因第一次所取的区间是[—２,４]，所以第二次所取的区间可能是[—２,１]，[１,４]；第三次所取的区间可能为[—２，—0．５]，[—0．５,１]，[１,２．５]，[２．５,４]，只有D在其中，故答案为Ｄ．]３．用二分法求函数y＝f（x）在区间（２,４）上的近似解，验证f（２）·f（４）<0，精确到0．１，取区间（２,４）的中点x１＝错误!＝３，计算得f（２）·f（x１）<0，则此时零点x0∈________（填区间）．（２,３）[由f（２）·f（３）<0可知，x0∈（２,３）．]４．用二分法求函数f（x）＝３x—x—４的一个零点，其参考数据如下：[解] 由表中f（１．５6２５）＝0．00３，f（１．５５6 ２）＝—0．0２9，得f（１．５6２５）·f（１．５５6 ２）<0．又因为１．５6２５和１．５５6 ２精确到0．0１的近似值都为１．５6，故f（x）＝３x—x—４的一个零点近似值为１．５6．。