透镜焦距公式

6.6 透镜组成像
利用逐次成像物象距公式或逐次成像作图法即可求透镜组最后成像的性质，性质包括 （像的位置，缩放，倒正虚实等） 举例说明： 例题1 （投影膜） 凸透镜L1和凹透镜L2 的焦距分别为20.0CM和40.0CM，L2 在L1之右40.0CM，傍轴小屋放在 L1之左30.0CM，求它的像。 解：（1）作图法 第一次成像用特殊光作图，第二次以后成像利用焦面性质，这样可保证入射的两光线与 出射光线共轭，光线在透射组中是连续的。
（1） n n ,通过光心O的光线，经透镜后方向不变。 （2）通过物方焦点F的光线，经透镜后平行与光轴。 （3）平行与光轴的光线经透镜后的出射光线一定通过像方焦点 F （以上3条光线可用于凹透镜）
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∴
=60.0cm s1
（实象）
V1
s1 2 s1
s2= - 20.0cm
（放大） f2= - 40.0cm
第2次对成像 计算起点O2
1 1 1 s2 s2 f2
∴
40.0 cm （实象） s2
V2
∴ ∴
s2 2 s2
（放大） （放大的，倒立的）
V V1V2
设 A1 A2 =d则 s 2 s1 d
d为透镜的厚度，d很小的透镜称为薄透镜 在薄透镜中A1和A2，几乎重合为一点，这个点叫透镜的光心记为O 薄透镜的物距S和像距 S 都是从光心算的。
于是，对薄透镜 S s1 ， S s 2 ， s 2 s1 ，代入上式得
ns y ns y
1 1 2 s s r f f s s r 2
V
及共轴球面光具组成像用逐次成像的方法 下面我们研究薄透镜成像问题
图6-1 透镜： 如图：透镜是由两个折射球面组成的光具组，两球面间是构成透镜的媒质（通常是玻璃）， 其折射率为nL。透镜前后媒质的折射率（物象方折射率）分别为 n 和 n ，在多数场合下，透
nL s ns 2
s 2 s1
V V1V2
ns fs n s fs
或
V
f x x f
如果 n n 1 ，即，透镜置于空气中
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图6-2
6.2 成像公式
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将焦距公式代入（6.1）式中，则有
f f 1 这便是薄透镜的物象距公式 s s
如 n n , f f
s x f s x f ,
（实物），否则 （实象）。 s, s 也可以从 F , F 算起
代入物象距公式得xx'=ff',这便是薄透镜公式的牛顿公式。
焦距公式： 物象距公式： 横向放大率公式： 薄透镜的横向放大率分别为：
V1
所以
ns1 nL s
V2
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1 1 光焦度单位为屈光度记为D(diopter)[( f )or 米 ]
1 例：透镜焦距以m为单位，则D= m
f= 50.0 cm的凹透镜的光焦度
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以上三条光线中任选两条做图，出射后的交点即为像点 P 求轴上物点的像或任意入射光线的共轭线，可利用焦面的性质 这种作图一般用于联合光具组中间成像时作图用，（目的为了保证入射光线经光具组的路径 连续） 物：
1区 实物——5区 缩小的倒立的实象（在2倍焦距处成等大倒立实像） 2区 实物——6区 放大的倒立的实象 3区 实物——1，2，3区 放大的正立的虚象 4区 虚物——4区 缩小的正立的实象 … 5区 … 6区 （同学们可总结凹透镜成像规律，用作图法）
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（2）高斯公式 第一次对成像 计算起点为O1
1 1 1 s1 s1 f1
s1=30.0cm
f1=20.0cm
f1 f 2 f 2 f1
f
f1 f 2 f 2 f1
f
n nL 1 1 f 1 f 2 n nL 1 1 f 2 f 1
f1 n L f1 n
f
f2 n f2 nL
将单个球面焦距公式代入得
1 n n L f2 n L r2 1 nL n f1 n L r1
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§6 薄透镜
6.1 焦距公式
我们研究了单个球面的折射，反射成像的物象距公式。横向放大率公式及规定的符号法则
n n n n r s s f f 1 s s f nr n n n r n n
f
f n f n 反射：
V
P
1 2.00 D , f
眼镜的度数→是屈光度的100倍，上面的凹透镜作眼镜片是200度。
6.4 焦面
入射光线从左→右入射 物方焦面——（第一焦面，前焦面）记 像方焦面——（第二焦面，后焦面）记
F F
通过物方焦点F与光轴垂直的平面叫物方焦面。 焦面的共轭平面 因焦点与轴上无穷远点共轭 焦面的共轭也在无穷远处 焦面上轴外点的共轭在轴外无穷远 即 以物方焦面上轴外一点P发出的同心光束转化为与光轴成一定倾角的出射平行光束。 同样，与光轴成一定倾角的入射平行光束转化为像方焦面 F 上轴外一点 P 为中心的出射同 心光束。 倾斜的平行光束的方向可由 P 或 P 与光心O的连线来确定，这连线叫副光轴。相应的对称轴 称主光轴。 画出图6-5 P63
磨镜者公式 正透镜或会聚透镜：
具有实焦点（ f 和 f >0）的透镜叫正透镜。 负透镜或发散透镜： 具有虚焦点（ f 和 f <0）的透镜叫负透镜。 画图用符号代表凸凹透镜 会聚透镜的共同特点：中央厚，边缘薄，这类透镜叫凸透镜。 发散透镜的共同特点：中央薄，边缘厚，这类透镜叫凹透镜。 如图6-2各种形状的透镜
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6.5 作图法
除利用物象公式外，求物象关系的另一方法是作图法。 作图法依据：是共轭点之间同心光束转化的性质。 每条入射光线经光具组后转化为 一条出射线，这一对光线称为共轭光线。 按照成像的含义：通过物点每条光线的共轭光线都通过像点 “通过”指光线本身或其延长线。 因此只需选两条通过物点的入射光线，画出它们的出射光线，即可求的像点。 在薄透镜的情形里，对轴外物点P有三种特殊的共轭光线可共选择。
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如果物象方折射率 n n 1 ，则有
f f 1 (n L 1)( 1 1 ) r1 r2
此式给出了薄透镜焦距与 n L , r1 , r2 的关系，称为磨镜者公式。
f f 1 (n L 1)( 1 1 ) r1 r2
第一次
f1 f1 1 s1 s 1
nr1 f1 nL n f1 n L r1 nL n
ns1 V1 n L s1
第二次
f2 f2 1 s2 s 2
n r f2 L 2 n n L nr2 f2 n n L
n s 2 V2 nL s2
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则有
1 1 1 s s f 这便是薄透镜的物象距公式的高斯形式，按此式可绘出 s s 曲线，物像距关系 由图可见特点有几个。 对凸透镜，虚物不能成像，在2倍焦距出物象距相等。 对凹透镜，实物不能成实象，在2倍焦距处物象距相等。
s, s 符号规则与单个球面相同
入射光从左→右， s, s 从光心O算起。 (Ⅰ) 若 Q 在O点之左，则s>0 (Ⅱ) Q 在O点之右，则 s >0 ； (Ⅲ) 当物点 Q 在 Fi 之左，则x>0 (Ⅳ) 当象点 Q 在 Fi 右，则 x >0 不难看出
f n n L n n n L r1 r2 n n L n n n L r1 r2
f
f n f n 这是薄透镜焦距公式
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1 通常把焦距的倒数 f 称为透镜的光焦度P。 P n n f f n n n n r f f
如果物象方折射率为 n, n 。则
单个折射球面的光焦度定义为
P
可见密接复合透镜的光焦度是组成它的透镜光焦度之和。
1 1 1 f f1 f 2
or P P1 P2
1 1 1 s1 s1 f1 1 1 1 s2 s2 f2
s1 s s2 s s 2 s1 (密接)
∴
1 1 1 1 s s f1 f 2
s ∞ , s f
1 1 1 f1 f 2 ∴ f
即
密接复合透镜焦距的倒数是组成它的透镜焦距倒数之和。
V V1V2 4
最后成像在O2右侧距离40.0cm处，成放大的倒立的实象。
（3）用牛顿公式 第1次对成像x1=10.0cm，f1=20.0cm
f1 x1 x1
2
∴
=40.0cm （实象） x1
V1
x1 f 1 2 f1 x1
（倒立，放大）
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f1 f1 1 s s 1
f2 f2 1 s
f2
s1
f1
推出 f1 f 2 f 2 f 1 f2 s s1
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f 2 f1 f f 2 1 f1 s s1
两式相加消去 s 2 , s1 得
Hale Waihona Puke Baidu
f1 f 2 f1 f 2 f 2 f1 s s
(6,1)
据焦距定义 s f , s ∞或 s f ,s=∞
f
推出
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镜置于空气中，则 n n 1 . 在轴上一物点Q经Σ1折射成像于Q1, Q1作为Σ2虚物经第二次折射成像于Q2, 两次成像可分别写出两折射成像的物象公式
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V
s s ( n n , f f )
这便是薄透镜的横向放大率公式
6.3 密接薄透镜组
在实际中，我们往往需要将两个或更多的透镜组合起来使用，透镜组合最简单的情形是两个 薄透镜紧密接触在一起，有时还用胶将它们粘和起来，成为复合透镜，下面讨论这种复合透 镜与组成它的每个透镜焦距之间的关系，我们用逐次成像方法，两次用高斯公式