[北京交通大学信号与系统课件]第七章连续时间信号与系统的S域分析
第四章 连续时间信号与系统的s域分析 (1)
F s
0
f t e st dt
其中，s j 称为复频率
§ 4-1 拉普拉斯变换
1.拉普拉斯变换的定义 F s 实际上就是指数加权后的因果信 t e 号 f t , 0 t ，的FT。因此，求F s 的 t e f t ，并进而得到因果 逆FT，就可得到 信号f t ，即 f t e 1 F s e d F s e ds 2 2 j
0
e
f t dt
这使得增长速度不快于指数增长函数的信号都存在LT。使 LT收敛的取值范围称为LT的收敛域。 拉普拉斯变换的缺点是：不象傅里叶变换有明确的物理意 义，它没有明确的物理意义。复频率更多的是数学意义。
§ 4-1 拉普拉斯变换
2.典型信号的拉普拉斯变换 （1）单位冲激信号
f1 t u t f2 t u t F1 s F2 s
对于有冲激响应 ht 的因果LTI系统而言， 因果激励 f t 产生的零状态响应为yt ht f t 在s域中有 Y s H s F s 其中，系统函数 H s 是系统冲激响应 ht 的LT。
n t
n!
te
t
u t
s
1
2
t e
2
t
u t
s 3
2
§ 4-2 拉普拉斯变换的性质
n t t 例4-11 求因果指数加权正弦信号 e cos0 t ut
和 t n e t sin0 t ut 的LT。
t e
§ 4-1 拉普拉斯变换
1.拉普拉斯变换的定义
尽管奇异函数的使用扩大了傅里叶变换的应用范 围，仍有不少常见信号，例如指数增长因果信号， 不存在傅里叶变换。为了进一步扩大傅里叶变换 应用范围，先把信号进行恰当的指数衰减，然后 对它进行傅里叶变换。这就产生了如下定义的拉 普拉斯变换（Laplace Transformation，简写 LT）。 因果信号f t , 0 t 的拉普拉斯变换 F s 定义为
连续时间信号与系统的S域分析课件
VS
频谱分析
在信号处理中，频谱分析是了解信号特性 的重要手段。通过s域分析，可以将时域 信号转换为频域信号，实现对信号的频谱 分析，了解信号的频率成分和功率分布等 特性。
THANKS.
系统的实现与仿真
控制系统硬件实现
根据系统设计要求，选择合适的硬件设备，如 传感器、执行器、控制器等，搭建控制系统。
控制系统软件实现
编写控制算法程序，实现控制系统的软件部分。
系统仿真
通过仿真软件对控制系统进行模拟实验，验证系统设计的正确性和有效性。
s域分析的用
05
在通信系统中的应用
信号传输
在通信系统中，信号经常需要经过长距离传输。在传输过程中，信号会受到各种 噪声和干扰的影响，导致信号质量下降。通过s域分析，可以对信号进行滤波、 均衡等处理，提高信号的抗干扰能力，保证信号的传输质量。
调制解调
在通信系统中，调制解调是实现信号传输的关键技术。通过s域分析，可以对信 号进行调制和解调，将低频信号转换为高频信号，或者将高频信号转换为低频信 号，实现信号的传输和接收。
在控制系统中的应用
系统稳定性分析
在控制系统中，系统的稳定性是非常重要的。通过s域分析，可以对系统的极点和零点进行分析，判断系统的稳 定性，以及系统对外部干扰的抑制能力。
稳定性分类
根据系统对输入信号的响应速度 和超调量，可以将系统的稳定性 分为渐近稳定、指数稳定和超调 稳定等类型。
系的s域
04
系统的状态空间表示
状态空间模型
描述系统的动态行为，包括状态方程和输出 方程。
输出方程
描述系统输出与状态变量和输入之间的关系。
状态方程
描述系统内部状态变量的变化规律。
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六拉普拉斯反变换部分分式展开法计算拉普拉斯反变换方法 1 利用复变函数中的留数定理 2 采用部分分式展开法 [例] 采用部分分式展开法求下列的反变换解 Fs为有理真分式极点为一阶极点解解 Fs为有理假分式将Fs化为有理真分式归纳 1 Fs为有理真分式m n极点为一阶极点 2 Fs为有理真分式 m n极点为r重阶极点 3 Fs为有理假分式 m n 为真分式根据极点情况按1或2展开[例] 求下列Fs的反变换解解令s2q 解 k2 k3用待定系数法求信号的复频域分析小结信号的复频域分析实质是将信号分解为复指数信号的线性组合信号的复频域分析使用的数学工具是拉普拉斯变换利用基本信号的复频谱和拉普拉斯变换的性质可对任意信号进行复频域分析复频域分析主要用于线性系统的分析连续系统响应的复频域分析微分方程描述系统的S域分析电路的S域模型微分方程描述系统的S域分析时域微分方程时域响应yt S域响应Ys 拉氏变换拉氏反变换解微分方程解代数方程 S域代数方程二阶系统响应的S域求解已知 f ty0-y 0- 求yt 1 经拉氏变换将域微分方程变换为域代数方程 2 求解s域代数方程求出Yxs Yf s 3 拉氏反变换求出响应的时域表示式求解步骤 Yxs Yfs yt a1yt a2y t 系统的微分方程为 yt5yt6yt2ft8ft 激励fte-tut初始状态y0-3 y0-2求响应yt 例1 解对微分方程取拉氏变换可得电路的s域模型时域复频域 RLC串联形式的s域模型 [例2]图示电路初始状态为vc0--E 求电容两端电压 vct 解建立电路的s域模型由s域模型写回路方程求出回路电流电容电压为系统函数Hs与系统特性系统函数Hs 系统函数的定义Hs与ht的关系s域求零状态响应求Hs的方法零极点与系统时域特性零极点与系统频响特性连续系统的稳定性一系统函数Hs 1定义系统在零状态条件下输出的拉氏变换式与输入的拉式变换式之比记为Hs 2 Hs与ht的关系 ht t yft tht 一系统函数Hs 3求零状态响应 4求Hs的方法①由系统的冲激响应求解HsL[ht] ③由系统的微分方程写出Hs ht Hs ft yftftht Fs YfsFsHs ②由定义式第七章连续时间信号与系统的S域分析连续时间信号的复频域分析连续时间系统的复频域分析连续时间系统函数与系统特性连续时间系统的模拟 71 连续时间信号的复频域分析从付立叶变换到拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换及其存在的条件常用信号的拉普拉斯变换拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换反变换一从傅里叶变换到拉普拉斯变换f teatut a 0的傅里叶变换不存在将ft乘以衰减因子推广到一般情况令s j 定义对 fte-t求傅里叶反变换可推出拉普拉斯正变换拉普拉斯反变换拉普拉斯变换符号表示及物理含义符号表示物理意义信号ft可分解成复指数est的线性组合 Fs为单位带宽内各谐波的合成振幅是密度函数 s是复数称为复频率Fs称复频谱关于积分下限的说明二单边拉普拉斯变换及其收敛条件积分下限定义为零的左极限目的在于分析和计算时可以直接利用起始给定的0-状态单边拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换的收敛域对任意信号ft 若满足上式则 ft应满足 0 拉氏变换存在的充要条件为绝对可积 0称收敛条件收敛区 j 0 0称收敛坐标 S平面右半平面左半平面 [例] 计算下列信号拉普拉斯变换的收敛域分析求收敛域即找出满足的取值范围收敛域为全S平面不存在 1指数型函数e t ut 三常用信号的拉普拉斯变换同理正弦信号 2 阶跃函数ut 4 t的正幂函数t nn为正整数根据以上推理可得四拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系 [例] 计算下列信号的拉普拉斯变换与傅里叶变换解时域信号傅里叶变换拉普拉斯变换不存在结论 1当收敛域包含纵轴时拉普拉斯变换和傅里叶变换均存在2当收敛域不包含纵轴时拉普拉斯变换存在而傅里叶变换不存在 3当收敛域的收敛边界位于纵轴时拉普拉斯变换和傅里叶变换均存在五拉普拉斯变换的性质 1线性特性若则 2展缩特性若则 3时移右移特性若则例题p241 4卷积特性 5乘积特性乘积性质两种特殊情况 1 指数加权性质s域平移特性若则 2线性加权性质s域微分特性 6微分特性 [证明] 重复应用微分性质求得若ft0 t 0则有 f r0 - 0r012 7积分特性若 f -10- 则有 [证明] 其中右边第一项第二项按部分分式得 8初值定理和终值定理若注意事项p247。
信号与线性系统分析-第7章
2
σ
根据初值定理，有
Ks h(0 ) lim sH ( s ) lim 2 K s s s 2 s 5
2s H ( s) 2 s 2s 5
第 3页
二、系统函数H(· )与系统的因果性
因果系统是指：系统的零状态响应yzs(.)不会出现于f(.)
第 13 页
§7.2
一、稳定系统的定义
系统的稳定性
一个系统，若对任意的有界输入，其零状态响应 也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出(Bound Input Bound Output------ BIBO)稳定的系统，简称为稳 定系统。 即：若系统对所有的激励 |f(.)|≤Mf ，其零状态响应 |yzs(.)|≤My(M为有限常数），则称该系统稳定。
③ H(s)在虚轴上的高阶极点或右半平面上的极点，其 所对应的响应函数都是递增的。 即当t→∞时，响应均趋于∞。系统稳定？
第 8页
复习：s域与z域的关系
z=esT
s
1 ln z 式中T为取样周期 T
如果将s表示为直角坐标形式 s = +j ，将z表示为 极坐标形式 z = ej = eT ， = T 由上式可看出： s平面的左半平面（<0)--->z平面的单 位圆内部（z=<1) s平面的右半平面（>0)--->z平面的单位圆外部（z=>1)
第 6页
系统稳定性问题？
系统的稳定性如何？
系统稳定：若系统对所有的激励 |f(.)|≤Mf ，其零状态 响应 |yzs(.)|≤My(M为有限常数），则称该系统稳定。 （2）在虚轴上 (a)单极点p=0或p12=±jβ， 则响应为Kε(t)或Kcos(βt+θ)ε(t)→稳态分量 (b) r重极点，相应A(s)中有sr或(s2+β2)r，其响应函数为
信号与系统课件：连续信号与系统的频域分析
双边谱指的是当 n 为任何值时( -∞< n <∞ )， 和 θn 随频
率 nω 0变化的图形。
连续信号与系统的频域分析
若某周期信号傅里叶级数为
连续信号与系统的频域分析
图 3.3－1 周期信号频谱
连续信号与系统的频域分析
【例 3.3－1 】 试画出图 3. 2－1 所示的周期方波信号
的单边频谱和双边频谱。
A 2 =8 ， A 3 =0 ， A 4 =2 ，相位 φ 1 =-180° ， φ 2 =0° ，
φ 3 =0° ， φ 4 =90° 。于是 f ( t )的单边频谱如图 3. 3 4 所
示。
连续信号与系统的频域分析
图 3.3－4 信号 f ( t )的单边谱
连续信号与系统的频域分析
由单边频谱和双边频谱的关系，可得 f (t )的双边频谱如
种简洁形式:
连续信号与系统的频域分析
两种表达式中的系数的关系为
由式( 3. 2－5 )可知， A n 是 n 的偶函数; φ n 是 n 的奇函数。
连续信号与系统的频域分析
也可由式(3. 2－4 )得到式( 3. 2－2 )，系数的关系为
连续信号与系统的频域分析
式( 3. 2－4 )表明，任意周期信号可以分解为直流和许
指函数 ej ωt 为基本信号，将任意连续信号分成一系列不同频
率的正弦信号或虚指函数信号线性组合，并加分析。对周期
信号的分解工具是傅里叶级数，对非周期信号的分解工具是
傅里叶变换。利用信号的正弦分解思想，系统的响应可看做
各不同频率正弦信号产生响应的叠加，这种思想将时域映射
到频域，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与频
信号与系统PPT课件(共9章)第2章连续时间信号的时域分析可修改全文
2.3 奇异信号
在信号与系统分析中，经常要遇到函数本身有不连续 点或其导数与积分有不连续点的情况，这类函数统称为奇 异函数或奇异信号。
1. 单位斜变信号
斜变信号指的是从某一时刻开始随时间正比例增长的 信号。其表达式为
R(t)
t 0
t0 t0
(2.2 1)
R(t)
R(t
t0
)
t 0
t0
t t0 t t0
0 cos
e jt cos t j sin t -1 12
2.2 常用连续时间信号
3. Sa(t)函数（抽样函数）
所谓抽样函数是指sin t与 t 之比构成的函数，以符号
Sa(t)表示 Sa(t) sin t t
波形如图：
(2.2 5)
13
2.2 常用连续时间信号
Sat 的性质：
（1） Sat Sa(t) 偶信号
6
2.2 常用连续时间信号
1. 实指数信号 2. 正弦信号 3. 抽样函数 4. 复指数信号 重点：典型确定性信号的描述 难点：复指数信号，抽样信号
7
2.2 常用连续时间信号
下面，我们将给出一些典型信号的表达式和波形。
1. 指数信号 指数信号的表达式为
f (t) Aet
(2.2 1)
f (t) Aet ( 0)
34
2.4 信号的运算
1. 信号的加减 2. 信号的乘法和数乘 3. 信号的反褶、时移、尺度变换 4. 信号的微分与积分运算 5. 信号的卷积
重点：信号的尺度变换，信号的卷积积分 难点：信号时移、反褶、尺度变换同时都有的情况
35
2.4 信号的运算
1. 信号的加减
两个信号的和（或差）仍然是一个信号，它在任意 时刻的值等于两信号在该时刻的值之和（或差），即
《信号与系统》连续时间信号与系统的S域分析
f2(t)
1
2
j
F1(s) F2 (s)
X
第
十．对s微分
24 页
若L f (t) F(s)，则
L tn
f
(t)
(1)n
dn F(s) d sn
常用形式：Ltf (t) d F(s)
ds
n取正整数
十一．对s积分
若L
f
(t)
F ( s)，则L
f
(t) t
s
F(s)d
s
X
信号与系统
VC
(s)
1 C
IC (s) s
iC (1) (0 s
)
1
1
sC IC (s) s vC (0 )
1
C
i (1)
C
(0
)
1 C
0
iC
(
)
d
vC (0 )
X
第
电容元件的s 域模型
16 页
iC t C vC t
1 vC (t) C
t
ic ( )d
VC
(s)
1 C
IC (s) s
4.4 拉普拉斯逆变换
(1)利用像函数直接求原函数 (2)部分分式法 (3)利用留数定理——围线积分法 (4)数值计算方法——利用计算机
信号与系统
部分分式法 求拉普拉斯逆变换
* 找F(s)的极点 * 部分分式展开法 * 求拉普拉斯逆变换 * 两种特殊情况
拉氏逆变 换的过程
第
一．找F(s)的极点
27 页
X
第
五．s域平移
19 页
若若LL ff ((tt)) FF((ss)，)，则则LLf (ft()te)eαtαt F(Fs (sα) α) 若L f (t) F(s)，则 L f (t)eαt F(s α)
信号与系统的S域分析
三、常用信号的拉普拉斯变换
3. (t ),
0
( n)
(t )
st
L[ (t )] (t )e dt 1
' 0 st
Re(s) , 即整个s平面
d st L[ (t )] ' (t )e dt (e ) t 0 s ds
1
F(s)为单位带宽内各谐波的合成振幅，是密度函数。 S 是复 数，称为复频率，F(s)称复频谱。 F(j)是频谱密度函数，简称频谱。
如果仅考虑信号加入之后 t≧0 的情况，就成为单边拉氏变换 (下式为正变换式，其反变换式与双边拉氏反变换式相同) ：
LT [ f (t )] F ( s) f (t )e st dt
7 信号与系统的S域分析 p 10
lim f (t )e
t
s t
0 ,s s 0
二、单边拉普拉斯变换及其存在的条件
拉氏变换与单边拉氏变换存在的充分条件
lim f (t )e s t 0
t
,s s 0
右半平面 收敛域（ROC）
左半平面
虚部Hale Waihona Puke jS平面s0
s
实部
s0 称绝对收敛坐标，s s0 称收敛条件(仅针对实部Re(s)而言)。
7 信号与系统的S域分析 p 14
三、常用信号的拉普拉斯变换
1. 指数型函数 e t u(t)
cos 0 t u (t )
LT
正弦型信号
e
j 0 t
1 1 1 s ( ) 2 2 2 s j0 s j0 s 0
e 2
j 0 t
u (t )
信号与系统PPT课件(共10章)第8章 离散时间信号与系统的z域分析
7
8.1.2 z变换的收敛域
2．右边序列：
x[n] x[n]u[n n1]
x[n],
0,
n n1 z变换 X (z) x[n]zn
n n1
nn1
令 lim n x[n]zn 1 n
则ROC： z
lim n n
x[n]
R
离散序列： x[n] x1(t) tnT x1(nT )
采样信号： xs (t) x1(t) (t nT ) x1(nT ) (t nT )
n
n
2. 离散序列x[n] 的z变换与采样信号xs (t) 的拉氏变换
x[n]ZT X (z) x[n]zn n
xs (t)LT Xs (s)
an zn an1zn1 a1z a0
zn An1zn1 A1z A0
其中，系数 Bi和 Ai（或ai和bi，i = 0，1，…，m，…，n）
都是实数。一般情况下， n m。
单位圆
jImz
X (z) Bm (z z1)(z z2 ) (z zm ) (z p1)(z p2 ) (z pn )
0, n
x[n],
n1, n1
n n
n2 n2
z变换 X (z) n2 x[n]zn
nn1
——双边序列z变换的收敛域至少为：0 < | z | < 。
例1：x1[n] = [n+1] ]+ [n+2]； X1(z) = z + z2 (z ) x2[n] = [n1]+[n2]； X2(z) = z1 + z2 (z 0) x3[n] = [n+1] + [n]+ [n 1] ；
信号与系统课件第五章-连续系统的S域分析
拉氏变换的基本性质
⑻ 复频域微分与积分特性
若 f t Fs
则
t f t d Fs
ds
,
tn
f
t
dn dsn
Fs
f
t
t
s
F
d
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2022/1/13
信号与线性系统——连续时间信号与系统的s 域分析
24
拉氏变换的基本性质
⑼ 初值定理：若 f 及t 其各阶导数存在，不包含 及 t其 各
阶导数，且有
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2022/1/13
信号与线性系统——连续时间信号与系统的s 域分析
3
引言
傅里叶变换是将一个连续时间信号从 时域特性的描述变换为频域特性的描述， 而拉普拉斯变换是将时域特性描述变换为 复频域特性的描述。
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2022/1/13
信号与线性系统——连续时间信号与系统的s 域分析
4
信号与线性系统——连续时间信号与系统的s 域分析
1
复频域分析
通过变换将时间变量转变为复频率 变量，在复频域内分析信号特性、系统 特性及其系统响应的方法。
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2022/1/13
信号与线性系统——连续时间信号与系统的s 域分析
2
本章主要内容
拉普拉斯变换 拉普拉斯变换的性质 拉普拉斯反变换 系统响应的分析
13
拉氏变换的收敛域
拉氏变换有收敛域：要注意的是并不是 f te一t概可积， 而要取决于 的性f t质 及σ 的大小，在一个区域可积，在另一 个区域不一定可积。
收敛域：满足绝对可积时， f te中tσ 的取值范围。对大部 分信号而言，收敛域是存在的，故后面将不再讨论（研究）收 敛域而直接变换。
北交大信号与系统课件
可见三个离散余弦信号的周期都为 N=25 。
利用MATLAB产生基本信号
x(t ) cos(πt )
T=0.16
x2 [k ] cos(0.16k )
连续时间信号的尺度变换、翻转、时移（平移）
已知三角波x(t)，利用MATLAB画出的x(2t)和x(2-2t) 波形 t=-3:0.001:3; ft=tripuls(t,4,0.5);
plot(t, ft); x(t)
利用MATLAB实现基本运算
已知三角波x(t)，利用MATLAB画出的x(2t)和x(2-2t) 波形
利用MATLAB产生基本信号
抽样信号Sa(t) t=-3*pi: pi/100: 3*pi; xt=sinc(t/pi); plot(t, xt) xt=sinc(t);
利用MATLAB产生基本信号
矩形脉冲信号 xt = rectpuls(t, width);
用以产生一个幅度为1，宽度为width以零点为对称的矩形波。
相加用算术运算符“+”实现 相乘用数组运算符“.*”实现 k=-1:5; x=(k>=0); stem(k,x.*k)
r[k]
利用MATLAB实现基本运算
[例]440Hz正弦乘以4Hz正弦波（震音）
x(t)
×
y(t)
sin( 2 π f c t ) , fc较小
440Hz正弦波
震音处理后
4Hz正弦波
k= -50: 50; delta=[zeros(1,50),1,zeros(1,50)]; stem(k,delta)
利用MATLAB产生基本信号
【实验】连续时间系统S域零极点分析
【关键字】实验实验七连续时间系统S域零极点分析一、目的（1）掌握连续系统零极点分布与系统稳定性关系（2）掌握零极点分布与系统冲激响应时域特性之间的关系（3）掌握利用MATLAB进行S域分析的方法二、零极点分布与系统稳定性根据系统函数的零极点分布来分析连续系统的稳定性是零极点分析的重要应用之一。
稳定性是系统固有的性质，与激励信号无关，由于系统函数包含了系统的所有固有特性，显然它也能反映出系统是否稳定。
对任意有界信号，若系统产生的零状态响应也是有界的，则称该系统为稳定系统，否则，则称为不稳定系统。
上述稳定性的定义可以等效为下列条件：●时域条件：连续系统稳定充要条件为，即冲激响应绝对可积；●复频域条件：连续系统稳定的充要条件为系统函数的所有极点位于S平面的左半平面。
系统稳定的时域条件和频域条件是等价的。
因此，只要考察系统函数的极点分布，就可判断系统的稳定性。
对于三阶以下的低阶系统，可以利用求根公式方便地求出极点位置，从而判断系统稳定性，但对于告阶系统，手工求解极点位置则显得非常困难。
这时可利用MATLAB来实现这一过程。
例7-1：已知某连续系统的系统函数为：试用MATLAB求出该系统的零极点，画出零极点图，并判断系统是否稳定。
解：调用实验六介绍的绘制连续系统零极点图函数sjdt即可解决此问题，对应的MATLAB命令为：a=[8 2 3 1 5];b=[1 3 2];[p,q]=sjdt(a,b)运行结果为：p =-0.6155 - 0.6674i -0.6155 + 0.6674i 0.4905 - 0.7196i 0.4905 + 0.7196iq =-2 -1绘制的零极点图如图7-1所示。
由程序运行结果可以看出，该系统在S平面的右半平面有一对共轭极点，故该系统是一个不稳定系统。
三、零极点分布与系统冲激响应时域特性设连续系统的系统函数为，冲激响应为，则显然，必然包含了的本质特性。
对于集中参数的LTI连续系统，其系统函数可表示为关于s的两个多项式之比，即（7-1）其中为的M个零点，为的N个极点。
北京交通大学信号与系统时域分析
【研讨题目2】 信号与系统时域分析专题研讨【目的】1.研究用离散方法近似计算连续信号的卷积积分；2.通过分析近似计算卷积积分过程中出现的问题，锻炼学生分析问题和解决问题的能力； 【知识点】信号时域分析，卷积积分，卷积和 【研讨题目】连续信号卷积积分的数值近似计算 两个连续信号的卷积积分定义为τττd )()()(-=⎰∞∞-t h x t y为了能用数值方法进行计算，需对连续信号进行抽样。
记x [k ]=x (k), h [k ]=h (k ),为进行数值计算所选定的抽样间隔，可以证明连续信号卷积积分可近似的表示为(Δ)Δ([][])y k x k h k ≈⨯*(1)由式(1)可知，可以利用Matlab 提供的conv 函数近似计算连续信号的卷积积分。
一、(*)理论分析为了对近似计算的结果进行分析，用解析的方法计算下列卷积积分，推出卷积积分的解析表达式； (1) 时限信号卷积积分x 1(t )=u (t )u (t 1)，y 1(t )=x 1(t )x 1(t );卷积结果为：y1(t)= x 1(t )x 1(t )=r(t)-2*r(t-1)+r(t-2) (2) 分段常数信号卷积积分x 2(t )= x 1(t )+2 x 1(t 1)+ x 1(t 2)，h 2(t )= x 1(t ) x 1(t 1)， y 2(t )=x 2(t )h 2(t );卷积结果为：y2(t)= x 2(t )h 2(t )=y1(t)+y1(t-1)-y1(t-2)-y1(t-3)=r(t)-r(t-1)-2*r(t-2)+2*r(t-3)+r(t-4)-r(t-5) (3) 非时限信号卷积积分x 3(t )=u (t )，h 3(t )=e t u (t ), y 3(t )=x 3(t )h 3(t )卷积结果为：y3= x 3(t )h 3(t ) =[1-exp(-t)]*u(t) 二、(*)时限信号卷积积分的近似计算取不同的△值，用Matlab 函数conv 近似计算卷积积分y 1(t )并画出其波形，讨论的取值对计算结果的影响。
信号与系统--连续时间信号和系统的时域分析课件65页PPT
i1
i2
(p25p2 3)i2(t)0.5p(ft)
d d2 2it2(t)5d di2 t(t)2 3i2(t)0 .5d dft(t)
温州大学瓯江学院
信号与系统
例6、由模拟框图H(p)
x 2
t
x1d
1 p
x1
x 3
t
x2d
1 p
x2
1 p2
x1
23
x1f(t)2x33x2 f(t)p2 x1px1
Dprz it0
r0,r0,rn10
例、 d d2 2it2(t)5d di2 t(t)2 3i2(t)0 .5d dft(t)
温州大学瓯江学院
KCL: C 2dd (rtt)r(R t)i(t).......2 (.)...
温州大学瓯江学院
信号与系统
将（2）式两边微分，得
C 2d2 d r(2tt)R 1dd (rtt)dd (it)t.....(.3.)...
将（3）代入（1）
Ld(it)r(t)e(t).......1(.)... dt
温州大学建立系统数学模型
类似电路分析中向量法：
L j L, C 1 ,
j C
L pL , C 1 ,
pC
仅适用于正弦稳 态电路中
温州大学瓯江学院
信号与系统
例4、用算子法求系统微分方程，输出为2欧姆电阻的电流。
i1
i2
(p25p2 3)i2(t)0.5p(ft)
ddnnrt an1ddnnt1r1 ....a1ddrta0r bmddmm tebm1ddmm t1e1 ... b1ddetb0e
n阶常系数微分方程
e(t)
r(t)
64连续时间信号与系统的S域分析
b
s
b
0
s
jw
0
Di i
pi
Nj j
zj
jw 系统函数的向量表示
s
( jw z j ) N j e j j
0
( jw pi ) Di e ji
11
例1 已知 H (s) 1 ，求系统的频响特性。
s 1
解：
H ( jw) H (s)
s jw
1
jw 1
H ( jw) w0
1 D0
1
( jw) w0 0 0 0
2.级联型结构
将系统函数分解为一阶或二阶相乘的形式 H(s) = H1(s) H2(s) ….. Hn(s)
画出每个子系统直接型模拟流图，然后 将各子系统级联。
25
二、连续系统的模拟框图
3.并联型结构
将系统函数分解为一阶或二阶相加的形式
H(s) = H1(s) + H2(s) + …. + Hn(s) 画出每个子系统直接型模拟流图, 然后 将各子系统并联。
1.直接型结构 再由②式即得直接型模拟框图
bn x (n) (t) bn1x(n1) (t) b1x' (t) b0 x(t) y(t)
bn bn 1
y (t )
bn2
f (t)
x (n) (t)
• •
•
b1
x(t)
•
•
b0
a n 1
an2
a1
23
a0
二、连续系统的模拟框图
直接型结构框图 规律(s域)
1.直接型结构
H1(s)
n
1 X (s) ai si F(s)
i0
连续时间信号与系统的S域分析课件
03
S域分析的理论基础
S域的定义和性质
S域的定义
S域，也称为拉普拉斯变换域，是通过拉普拉斯变换将时间函数映射到复平面上的频域表示。
S域的性质
线性性、时移性、频移性、微分性、积分性等，这些性质使得S域分析在信号处理、控制系统等领域具有广泛的 应用。
S域与时域的关系
时域到S域的转换
通过拉普拉斯变换，可以将时域信号转换为S域信号，从而方便进行频域分析 。
教学方法：本课程将 采用理论授课、案例 分析、实验实践等多 种教学方法，以确保 学生能够全面、深入 地理解和掌握课程内 容。
学习建议：为了更好 地学习本课程，学生 应
认真听讲，积极参与 课堂讨论；
及时完成课后作业， 巩固所学知识；
多做实践，提高分析 问题和解决问题的能 力。
02
连续时间信号与系统的基 础知识
S域分析的局限性和挑战
局限性
S域分析在处理某些具有复杂时间特性的信号和系统时，可能表现 出一定的局限性，需要结合其他时域、频域分析方法进行综合研究 。
计算复杂性
对于高阶、复杂的系统，S域分析涉及的计算可能变得繁琐和复杂 ，需要借助计算机辅助工具进行高效求解。
理解难度
S域分析涉及较多的数学概念和抽象思维，对学生的学习和理解能力 提出了一定的挑战。
S域分析的实验和仿真方法
实验设计
设计针对S域分析的实验，通过采集实源自信号并对其进行S域变换，以验证理论分析的正确性和有效性。
仿真工具的应用
利用仿真工具，如Simulink等，建立S域分析的仿真模型，对信号进行模拟和仿真分析，进一步加深对S域分析的理解和掌握。
结果可视化与分析
通过实验和仿真获得的结果，可以进行可视化展示和分析，直观地观察信号的S域特性，为后续的理论学习和实践应用提供有力支持。
信号与系统课件-2.连续系统时域分析
确定状态变量和输出变量，并写出状态方程和输出方程。
03
根据系统的物理特性和参数，确定状态变量的初始值。
状态方程的求解
01 利用数值方法求解状态方程，如欧拉法、龙格-库 塔法等。
02 求解过程中要考虑数值稳定性，避免计算误差的 积累。
03 根据需要选择合适的步长和时间区间，以获得精 确的解。
状态空间分析的应用
02
信号的调制与解调
在通信系统中，通过调制将低频 信息信号加载到高频载波信号上， 再
在控制系统中，频域分析用于分 析系统的稳定性、性能和鲁棒性， 指导控制器的设计和优化。
05 连续系统的状态空间分析
状态空间模型的建立
01
根据系统动态方程和初始条件，建立系统的状态空间模型。
时域分析的基本概念
输入输出描述
时域分析通过输入输出描述来研究系统的动态行为，即根据系统的输 入信号和初始状态，求解系统的输出信号。
微分方程
连续系统的动态行为通常由微分方程描述，如线性时不变系统的常系 数微分方程。
初始条件
在时域分析中，需要考虑系统的初始状态，即系统在初始时刻的输出 信号或状态变量的值。
连续系统的状态变量可以取实数域上 的任意值，系统的响应和传递函数具 有连续的频率特性。
时域分析的重要性
实际应用需求
在工程实际中，许多系统都是连续系统，如电路、控制系统、机械系统等。对 这些系统进行时域分析可以帮助我们更好地理解系统的动态行为和性能。
系统建模基础
时域分析是连续系统建模的基础，通过时域分析可以确定系统的传递函数、微 分方程等数学模型，进而进行频域分析和复频域分析。
劳斯-赫尔维茨稳定性判据
劳斯-赫尔维茨判据是一种通过计算系统的极点和零点来判定系统稳定性 的方法。
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六拉普拉斯反变换部分分式展开法计算拉普拉斯反变换方法 1 利用复变函数中的留数定理 2 采用部分分式展开法 [例] 采用部分分式展开法求下列的反变换解 Fs为有理真分式极点为一阶极点解解 Fs为有理假分式将Fs化为有理真分式归纳 1 Fs为有理真分式m n极点为一阶极点 2 Fs为有理真分式 m n极点为r重阶极点 3 Fs为有理假分式 m n 为真分式根据极点情况按1或2展开[例] 求下列Fs的反变换解解令s2q 解 k2 k3用待定系数法求信号的复频域分析小结信号的复频域分析实质是将信号分解为复指数信号的线性组合信号的复频域分析使用的数学工具是拉普拉斯变换利用基本信号的复频谱和拉普拉斯变换的性质可对任意信号进行复频域分析复频域分析主要用于线性系统的分析连续系统响应的复频域分析微分方程描述系统的S域分析电路的S域模型微分方程描述系统的S域分析时域微分方程时域响应yt S域响应Ys 拉氏变换拉氏反变换解微分方程解代数方程 S域代数方程二阶系统响应的S域求解已知 f ty0-y 0- 求yt 1 经拉氏变换将域微分方程变换为域代数方程 2 求解s域代数方程求出Yxs Yf s 3 拉氏反变换求出响应的时域表示式求解步骤 Yxs Yfs yt a1yt a2y t 系统的微分方程为 yt5yt6yt2ft8ft 激励fte-tut初始状态y0-3 y0-2求响应yt 例1 解对微分方程取拉氏变换可得电路的s域模型时域复频域 RLC串联形式的s域模型 [例2]图示电路初始状态为vc0--E 求电容两端电压 vct 解建立电路的s域模型由s域模型写回路方程求出回路电流电容电压为系统函数Hs与系统特性系
统函数Hs 系统函数的定义Hs与ht的关系s域求零状态响应求Hs的方法零极点与系统时域特性零极点与系统频响特性连续系统的稳定性一系统函数Hs 1定义系统在零状态条件下输出的拉氏变换式与输入的拉式变换式之比记为Hs 2 Hs与ht的关系 ht t yft tht 一系统函数Hs 3求零状态响应 4求Hs的方法①由系统的冲激响应求解HsL[ht] ③由系统的微分方程写出Hs ht Hs ft yftftht Fs YfsFsHs ②由定义式第七章连续时间信号与系统的S域分析连续时间信号的复频域分析连续时间系统的复频域分析连续时间系统函数与系统特性连续时间系统的模拟 71 连续时间信号的复频域分析从付立叶变换到拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换及其存在的条件常用信号的拉普拉斯变换拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换反变换一从傅里叶变换到拉普拉斯变换f teatut a 0的傅里叶变换不存在将ft乘以衰减因子推广到一般情况令s j 定义对 fte-t求傅里叶反变换可推出拉普拉斯正变换拉普拉斯反变换拉普拉斯变换符号表示及物理含义符号表示物理意义信号ft可分解成复指数est的线性组合 Fs为单位带宽内各谐波的合成振幅是密度函数 s是复数称为复频率Fs称复频谱关于积分下限的说明二单边拉普拉斯变换及其收敛条件积分下限定义为零的左极限目的在于分析和计算时可以直接利用起始给定的0-状态单边拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换的收敛域对任意信号ft 若满足上式则 ft应满足 0 拉氏变换存在的充要条件为绝对可积 0称收敛条件收敛区 j 0 0称收敛坐标 S平面右
半平面左半平面 [例] 计算下列信号拉普拉斯变换的收敛域分析
求收敛域即找出满足的取值范围收敛域为全S平面不存在 1指数
型函数e t ut 三常用信号的拉普拉斯变换同理正弦信号 2 阶跃
函数ut 4 t的正幂函数t nn为正整数根据以上推理可得四拉普拉
斯变换与傅里叶变换的关系 [例] 计算下列信号的拉普拉斯变换与
傅里叶变换解时域信号傅里叶变换拉普拉斯变换不存
在结论 1当收敛域包含纵轴时拉普拉斯变换和傅里叶变换均存在
2当收敛域不包含纵轴时拉普拉斯变换存在而傅里叶变换不存在 3
当收敛域的收敛边界位于纵轴时拉普拉斯变换和傅里叶变换均存
在五拉普拉斯变换的性质 1线性特性若则 2展缩特性若则 3
时移右移特性若则例题p241 4卷积特性 5乘积特性乘积性质两
种特殊情况 1 指数加权性质s域平移特性若则 2线性加权性质s
域微分特性 6微分特性 [证明] 重复应用微分性质求得若ft0 t 0
则有 f r0 - 0r012 7积分特性若 f -10- 则有 [证明] 其中右边第一项第二项按部分分式得 8初值定理和
终值定理若注意事项p247。