[北京交通大学信号与系统课件]第七章连续时间信号与系统的S域分析

六拉普拉斯反变换部分分式展开法计算拉普拉斯反变换方法 1 利用复变函数中的留数定理 2 采用部分分式展开法 [例] 采用部分分式展开法求下列的反变换解 Fs为有理真分式极点为一阶极点解解 Fs为有理假分式将Fs化为有理真分式归纳 1 Fs为有理真分式m n极点为一阶极点 2 Fs为有理真分式 m n极点为r重阶极点 3 Fs为有理假分式 m n 为真分式根据极点情况按1或2展开[例] 求下列Fs的反变换解解令s2q 解 k2 k3用待定系数法求信号的复频域分析小结信号的复频域分析实质是将信号分解为复指数信号的线性组合信号的复频域分析使用的数学工具是拉普拉斯变换利用基本信号的复频谱和拉普拉斯变换的性质可对任意信号进行复频域分析复频域分析主要用于线性系统的分析连续系统响应的复频域分析微分方程描述系统的S域分析电路的S域模型微分方程描述系统的S域分析时域微分方程时域响应yt S域响应Ys 拉氏变换拉氏反变换解微分方程解代数方程 S域代数方程二阶系统响应的S域求解已知 f ty0-y 0- 求yt 1 经拉氏变换将域微分方程变换为域代数方程 2 求解s域代数方程求出Yxs Yf s 3 拉氏反变换求出响应的时域表示式求解步骤 Yxs Yfs yt a1yt a2y t 系统的微分方程为 yt5yt6yt2ft8ft 激励fte-tut初始状态y0-3 y0-2求响应yt 例1 解对微分方程取拉氏变换可得电路的s域模型时域复频域 RLC串联形式的s域模型 [例2]图示电路初始状态为vc0--E 求电容两端电压 vct 解建立电路的s域模型由s域模型写回路方程求出回路电流电容电压为系统函数Hs与系统特性系

统函数Hs 系统函数的定义Hs与ht的关系s域求零状态响应求Hs的方法零极点与系统时域特性零极点与系统频响特性连续系统的稳定性一系统函数Hs 1定义系统在零状态条件下输出的拉氏变换式与输入的拉式变换式之比记为Hs 2 Hs与ht的关系 ht t yft tht 一系统函数Hs 3求零状态响应 4求Hs的方法①由系统的冲激响应求解HsL[ht] ③由系统的微分方程写出Hs ht Hs ft yftftht Fs YfsFsHs ②由定义式第七章连续时间信号与系统的S域分析连续时间信号的复频域分析连续时间系统的复频域分析连续时间系统函数与系统特性连续时间系统的模拟 71 连续时间信号的复频域分析从付立叶变换到拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换及其存在的条件常用信号的拉普拉斯变换拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换反变换一从傅里叶变换到拉普拉斯变换f teatut a 0的傅里叶变换不存在将ft乘以衰减因子推广到一般情况令s j 定义对 fte-t求傅里叶反变换可推出拉普拉斯正变换拉普拉斯反变换拉普拉斯变换符号表示及物理含义符号表示物理意义信号ft可分解成复指数est的线性组合 Fs为单位带宽内各谐波的合成振幅是密度函数 s是复数称为复频率Fs称复频谱关于积分下限的说明二单边拉普拉斯变换及其收敛条件积分下限定义为零的左极限目的在于分析和计算时可以直接利用起始给定的0-状态单边拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换的收敛域对任意信号ft 若满足上式则 ft应满足 0 拉氏变换存在的充要条件为绝对可积 0称收敛条件收敛区 j 0 0称收敛坐标 S平面右

半平面左半平面 [例] 计算下列信号拉普拉斯变换的收敛域分析

求收敛域即找出满足的取值范围收敛域为全S平面不存在 1指数

型函数e t ut 三常用信号的拉普拉斯变换同理正弦信号 2 阶跃

函数ut 4 t的正幂函数t nn为正整数根据以上推理可得四拉普拉

斯变换与傅里叶变换的关系 [例] 计算下列信号的拉普拉斯变换与

傅里叶变换解时域信号傅里叶变换拉普拉斯变换不存

在结论 1当收敛域包含纵轴时拉普拉斯变换和傅里叶变换均存在

2当收敛域不包含纵轴时拉普拉斯变换存在而傅里叶变换不存在 3

当收敛域的收敛边界位于纵轴时拉普拉斯变换和傅里叶变换均存

在五拉普拉斯变换的性质 1线性特性若则 2展缩特性若则 3

时移右移特性若则例题p241 4卷积特性 5乘积特性乘积性质两

种特殊情况 1 指数加权性质s域平移特性若则 2线性加权性质s

域微分特性 6微分特性 [证明] 重复应用微分性质求得若ft0 t 0

则有 f r0 - 0r012 7积分特性若 f -10- 则有 [证明] 其中右边第一项第二项按部分分式得 8初值定理和

终值定理若注意事项p247