第二章 对偶理论和灵敏度分析PPT课件

OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 1350.000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1
0.000000
4.000000
X2
100.000000 0.000000
X3
230.000000 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
c
CB
x
b
XB
CN θ
XN
XB
B-1b
-Z -CBB-1b
B-1B 0
B-1N CN－CBB-1 N
二、对偶问题的经济含义
每一个线性规划问题，都存在一个与它密切相关的线性 规划的问题，我们称其中的任一个为原问题，另一个为对 偶问题。任何线性规划问题都有其对偶问题。
对偶思想： 周长一定的矩形,以正方形面积最大 面积一定的矩形,以正方形周长最小
4、对偶问题的约束条件的系数矩阵A是原问题约束条件 的系数矩阵的转置AT。
P59 例1.18
非标准型的对偶变换 例 2 . 原线性规划问题
max z 4 x 1 5 x 2
s .t.
3 x 1 2 x 2 20 4 x 1 3 x 2 10
x1 x2 5
x 2 不限 , x 1 0
2、原问题的目标函数中的变量系数为对偶问题中的约束 条件的右边常数项，并且原问题的目标函数中的第i个变量的 系数就等于对偶问题中的第i个约束条件的右边常数项。
3、原问题的约束条件的右边常数项为对偶问题的目标函 数中的变量的系数。并且原问题的第i个约束条件的右边常数 项就等于对偶问题的目标函数中的第i个变量的系数。
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4) 20.00来自百度文库000
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Chapter 1
Slide 8
对偶问题:
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 4
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 1350.000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
三、原问题和对偶问题的关系
原问题: maxz CX
对偶问题 : minYb
s.t.
AX b
X0
YAC
s.t.
Y0
上两式中
X (x1, x2 , , xn )T Y ( y1, y2 , , ym ) C (c1,c2 , ,cn ) b (b1 , b2 , , bm )T
a11
A
多少。这表明生产计划中安排生
产的产品甲、乙、丙的产量是多
少。
Chapter 1
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对偶价格——对偶变量yi(i=1,2,…,m)表示原问题的第i个 约束条件的影子价格（P72-73），它表示在其它条件不变的 情况下，单位资源变化所引起的目标函数的最优值的变化。
对于两个有对偶关系的线性规划的问题我们只要求得了 其中一个最优解，就可以从这个问题的对偶价格而求得其对 偶问题的最优解。
a21
a12
a22
a1n
a2n
am1 am2 amn
Chapter 1
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标准(max,)型的对偶变换
1、求目标函数最大值的线性规划问题中有n个变量m个 约束条件，它的约束条件都是小于等于不等式。而其对偶则 是求目标函数为最小值的线性规划问题，有m个变量n个约束 条件，其约束条件都为大于等于不等式。
目标函数知道了其中一个最优值也就找到了其对偶问题 的最优值，因为这两个最优值相等。
所以以后我们求解一个线性规划问题时，我们可以把其 对偶问题一起来加以考虑，找一个比较容易求解的来求解， 求出了一个最优值同时也就求出了另一个问题的最优值。
Chapter 1
Slide 7
原问题:
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2
第二章 对偶理论和灵敏度分析
第一节 对偶问题和对偶单纯形法
一、单纯形的矩阵描述
用矩阵语言描述单纯形法的关键是写出两个基本的表达 式，设线性规划的标准型为
maxz=CX
AX=b
X≥0
C=(CB,CN),X=(XB,XN)’,A=(B,N) 由约束条件AX=(B,N)(XB,XN)=BXB+NXN=b,可以得到用非 基变量表示基变量的表达式:
格，即原问题中各道工序每分钟
+420Y3
加工能力变化一个单位，对目标 函数总利润的影响。
S.T.
原问题的最优解，即生产产品 Y1+3Y2+Y3 >=3
的产量，恰是对偶问题的对偶价 2Y1 +4Y3>=2
格，即生产产品甲、乙、丙的利 Y1+2Y2 >=5
润增加一个单位，总租金要增加 Y1、Y2、Y3>=0
Y1
1.000000 0.000000
Y2
2.000000 0.000000
Y3
0.000000 20.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 4.000000
0.000000
3) 0.000000
-100.000000
4) 0.000000
-230.000000
XB=B-1b－B-1NXN
(1)
将(1)式代入目标函数的表达式，可以得到用非基变量表
示目标函数的表达式。
Chapter 1
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Z=CX=(CB,CN)(XB,XN)’=CBXB+CNXN =CB(B-1b－B-1NXN)+CNXN =CBB-1b+(CN－CBB-1N)XN =CBB-1b+σXN 注意XB检验数为零，实质上是CB－CBB-1B=0 Y=CBB-1为单纯形乘子
P71 例1.1：MAXZ=3X1+2X2+5X3
S.T.
X1+2X2+X3<=430
3X1+2X3<=460
X1+4X2<=420
X1,X2,X3>=0
Chapter 1
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设X1、X2、X3分别为生产甲、乙、丙三种产品的产量。
假如有另外一个工厂要求租用该厂的全部生产能力另做 他用。
那么该厂的厂长应该如何来确定合理的租金（各道工序 的每分钟加工能力的定价）呢?
出租所得的利润应不小于原来用于生产甲、乙、丙三种 产品的利润。
而对于租用生产能力的厂家，考虑的是在尽量满足上述 条件的基础上，总的租用花费最少。
设Y1、Y2、Y3为第一、第二、第三道工序每分钟的租金 。
Chapter 1
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对偶问题的最优解，即生产能
力的租金，恰是原问题的对偶价 MINz＝430Y1+460Y2