最新坐标系与参数方程知识点
坐标系和与参数方程
坐标系和与参数方程
知识点一（参数方程化普通方程）
【知识梳理】
参数方程：
（1）一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任何一点P 的坐标x 和y 都可以表示为
某个变量t 特色函数： ⎩⎨⎧==)()(t g y t f x ；反过来，对于t 的每个允许值，由函数式⎩⎨⎧==)
()
(t g y t f x ，所确定
的点P （x ，y ） 都在曲线C 上 ，那么方程⎩
⎨⎧==)()
(t g y t f x 叫作曲线C 的 参数方程 ，变量t 是参变
数，简称参数。
相对于参数方程而言，直接给出 点的坐标间关系 的方程叫做普通方程，参数方程可以转化为普通方程。
（2）参数方程中参数可以有物理意义、几何意义、也可以没有明显意义。
参数方程与xy 方程的互相转换：
曲线的参数方程可以通过消去参数而得到普通方程；若知道变数x 、y 中的一个与参数t 的
3cos θ.
2C 与3C 交点的直角坐标；1C 与2C 相交于点
【课堂练习】
1．已知曲线C 的极坐标方程2cos ρθ=，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标
系，则曲线C 的参数方程为 ．
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐
标方程为2cos ρθ=，0,2θπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
. （1）求C 的参数方程；
（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:32l y x =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.
一、参数方程化普通方程
二、普通方程化参数方程
三、极坐标方程化直角坐标方程
四、直角坐标方程化极坐标方程
五、参数方程与极坐标方程的互化。
坐标系与参数方程知识点
坐标系与参数方程知识点在数学中，坐标系与参数方程是两个重要且密切相关的概念。
坐标系是我们描述点的位置和相互关系的工具，而参数方程则是一种表示曲线或曲面的常用方法。
让我们来深入了解这两个知识点，它们的应用领域和一些实际问题的解决方法。
一、坐标系在平面几何学和空间几何学中，坐标系用于表示点的位置。
常用的坐标系有直角坐标系和极坐标系。
1. 直角坐标系直角坐标系是最常见的坐标系之一，由两条相互垂直的直线组成。
通常，水平直线被称为x轴，垂直直线被称为y轴。
任何点P都可以通过其与这两条轴的交点来表示，用一个有序数对(x, y)表示。
其中，x 称为横坐标，y称为纵坐标。
这种表示方法可以简化许多几何问题的求解，如计算两点之间的距离、判断点是否在某一区域内等。
2. 极坐标系极坐标系是另一种常用的坐标系，用于描述平面上的点。
与直角坐标系不同，它使用极径和极角来表示点的位置。
极径表示点到坐标原点的距离，极角则表示点与正半轴的夹角。
在极坐标系下，点的坐标用一个有序数对(r, θ)表示。
这种坐标系在描述圆形运动、天文学等领域具有重要应用。
二、参数方程参数方程是一种常用的表示曲线或曲面的方法，它使用一个或多个参数来描述点的位置。
通常，参数方程将x和y（或x、y、z）用一个或多个参数t表示。
1. 二维参数方程对于二维参数方程，曲线上的点可以用参数t与x、y的关系表示。
例如，对于抛物线y = x^2，我们可以使用参数方程x = t和y = t^2来表示。
通过改变参数t的值，我们可以得到这条曲线上的各个点。
参数方程的优势在于它可以描述一些传统的直角坐标系难以表示的曲线，如椭圆、双曲线等。
此外，参数方程还可以用于描述运动轨迹、弹道轨迹等。
2. 三维参数方程三维参数方程与二维参数方程类似，不同之处在于曲面上的点需要用参数t与x、y、z的关系表示。
例如，对于球体的参数方程x = r *sinθ * cosφ，y = r * sinθ * sinφ，z = r * cosθ，其中r、θ和φ是参数，描述了点与球心的关系。
坐标系与参数方程高考知识点 2024数学
坐标系与参数方程高考知识点 2024数学2024年的高考数学考试中，坐标系与参数方程是一个重要的知识点。
本文将对坐标系和参数方程的概念、性质以及应用进行详细的论述。
一、坐标系的概念与性质坐标系是一种用来确定平面或空间中点位置的方法。
在平面上，常用的坐标系有直角坐标系和极坐标系；在空间中，常用的坐标系有直角坐标系和球坐标系。
1. 直角坐标系：直角坐标系是平面上最常用的一种坐标系，使用两个数值来确定平面上的点的位置。
我们用横坐标x和纵坐标y来表示一个点的位置，记作P(x, y)。
直角坐标系具有以下性质：- 原点：坐标系的交叉点称为原点，表示为O(0, 0)。
- 坐标轴：直角坐标系由两条相互垂直的直线组成，分别称为x轴和y轴。
- 单位长度：直角坐标系中x轴和y轴的单位长度相等。
2. 极坐标系：极坐标系是另一种表示点位置的方法，它使用距离和角度来确定点的位置。
对于平面上的点P，极坐标系表示为(r, θ)，其中r为点P到原点的距离，θ为点P与正半轴的夹角。
极坐标系具有以下性质：- 极轴：极坐标系有一条特殊的直线称为极轴，通常与x轴重合。
- 极角：极坐标系中，与极轴正向的夹角称为极角，通常用θ表示。
- 极径：点P到原点的距离称为极径，用r表示。
二、参数方程的概念与性质参数方程是用参数的变化规律来确定点的位置的方法。
它通常由一组含有参数的方程组成，通过给参数赋值，可以确定出点的坐标。
在坐标系中，参数方程可以用来表示一条曲线或曲面。
常见的参数方程有平面曲线的参数方程和空间曲线的参数方程。
1. 平面曲线的参数方程：平面曲线的参数方程通常用两个参数t、u来表示。
例如，曲线C可以由参数方程表示为：x = f(t)y = g(t)其中t的取值范围确定了曲线上点的位置。
平面曲线的参数方程具有以下性质：- 曲线上的点的坐标是参数t的函数，参数t的值域决定了曲线的范围。
- 在参数方程中，可以通过改变参数的取值来绘制不同部分的曲线。
(完整版)坐标系与参数方程知识点
坐标系与参数方程 知识点1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩g g 的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M直角坐标(,)x y极坐标(,)ρθ互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩222tan (0)x y yx xρθ=+=≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程曲线 图形 极坐标方程圆心在极点,半径为r 的圆(02)r ρθπ=≤<圆心为(,0)r ,半径为r 的圆2cos ()22r ππρθθ=-≤<圆心为(,)2r π,半径为r 的圆2sin (0)r ρθθπ≤<过极点,倾斜角为α的直线(1)()()R R θαρθπαρ=∈=+∈或 (2)(0)(0)θαρθπαρ=≥=+≥和过点(,0)a ,与极轴垂直的直线cos ()22a ππρθθ=-<<过点(,)2a π,与极轴平行的直线sin (0)a ρθθπ=<<注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(,)44M ππ可以表示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方程ρθ=.二、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
2024高考数学坐标系与参数方程
2024高考数学坐标系与参数方程数学一直是高考中重要的一门科目，而在数学中，坐标系与参数方程是常见的概念与应用。
本文将围绕2024年高考数学坐标系与参数方程这一题目展开讨论，并通过几个例子来加深我们对这一知识点的理解。
一、坐标系的概念与应用坐标系是数学中表示点的位置的一种方法，常见的有直角坐标系和极坐标系。
直角坐标系由x轴和y轴组成，通过确定点与坐标轴的交点来确定点的位置；而极坐标系则通过半径和极角来表示点的位置。
在解决实际问题中，坐标系有着广泛的应用。
例如，在地图上，我们可以利用坐标系确定两个城市之间的距离；在物理学中，通过坐标系可以确定物体在空间中的位置等。
因此，对坐标系的理解与应用非常重要。
二、参数方程的概念与应用参数方程是一种描述曲线、曲面等几何对象的方法。
它通过一个或多个参数的变化来表示对象上的点的坐标。
常见的参数方程有二维参数方程和三维参数方程。
在数学中，参数方程的应用非常广泛。
例如，在物理学中，我们可以通过参数方程描述质点在空间中的运动轨迹；在计算机图形学中，参数方程可以用来描述各种曲线和曲面等。
因此，对参数方程的理解与应用也是非常重要的。
三、坐标系与参数方程的联系与区别虽然坐标系和参数方程都是描述几何对象的方法，但它们之间存在一定的联系与区别。
首先，坐标系可以通过确定坐标轴和交点来确定点的位置，而参数方程则通过参数的变化来表示点的位置。
其次，坐标系通常是直角坐标系或极坐标系，而参数方程可以是二维参数方程或三维参数方程。
此外，在解决问题时，选择使用坐标系还是参数方程，取决于问题的特点和需要。
对于某些问题，坐标系可能更直观、更方便，而对于另一些问题，参数方程则可能更简洁、更易于处理。
四、案例分析为了更好地理解坐标系与参数方程的应用，我们通过几个案例进行分析。
案例一：求解直线与圆的交点已知直线的方程为y = 2x + 1，圆的方程为x^2 + y^2 = 9。
我们可以将直线和圆的方程转化为参数方程，求解它们的交点。
坐标系与参数方程知识点归纳
坐标系与参数方程知识点一、极坐标（方程）与直角坐标（方程）的相互转化:),(θρP 与直角坐标),(y x P222y x +=ρ θρcos =x θρsin =y xy =θtan 二、参数方程1.经过点),(000y x M 倾斜角为α的直线)(tan :00x x y y l -=-α的参数方程为(直线参数方程标准型:定点和倾斜角)t t y y t x x (,sin cos 00⎩⎨⎧+=+=αα为参数) 特别注意: ||t 表示直线上任意一点),(y x M 到0M 的距离,即||||0MM t =,当M 在0M 上方时,0>t ,当M 在0M 下方时,0<t .2.圆222)()(:r b y a x C =-+-(圆心为),(b a C 半径为r )的参数方程为ααα(,sin cos ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x 为参数) 3.椭圆1:2222=+by a x C 的参数方程为ϕϕϕ(,sin cos ⎩⎨⎧==b y a x 为参数) 4.抛物线)0(2:2>=p px y C 的参数方程为t pt y pt x (,222⎩⎨⎧==为参数)三、直线l 与曲线C 相交于两点),(),,(2211y x B y x A 问题 ①将直线l 化为参数方程的标准型(过定点0M 和倾斜角);②曲线C 使用普通方程;③将直线l 的参数方程带入曲线C 的普通方程,得到关于t 的一元二次方程02=++c bt at ;④设),(),,(2211y x B y x A 对应的参数分别为21,t t ,由韦达定理得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅-=+a c t t ab t t 2121 (021>⋅t t ,21,t t 同号,021<⋅t t ,21,t t 异号,再根据21t t +的正负性来判断) (1)若求||||00BM AM +,则求出21,t t ,则||||||||2100t t BM AM +=+ (根据21,t t 的正负性去掉绝对值即可)(2)若求||||00BM AM ⋅,则||||||2100t t BM AM ⋅=⋅ (3)若求弦长||AB ,则21221214)(||||t t t t t t AB ⋅-+=-=(4)若0M 为线段AB 的中点,求直线l 方程令021=+t t ,即可求出直线l 的斜率,带入直线l 的点斜式方程)(tan 00x x y y -=-α,化简记得直线l 方程.四、有关距离问题1.常规方法(化为普通方程,利用两点的距离公式或者弦长公式求解):212212)()(||y y x x AB -+-=, )4)(1||212212x x x x k AB -++=2.极径思想:当直线通过原点时,直线的倾斜角即为极角,带入极坐标方程即可求出极径.3.直线参数方法思想(要注意直线参数方程必须是通过倾斜角和定点所得): ||t 表示直线上任意一点),(y x M 到0M 的距离,即||||0MM t =,当M 在0M 上方时,0>t ,当M 在0M 下方时,0<t .。
坐标系与参数方程_知识点总结
坐标系与参数方程_知识点总结一、坐标系1.直角坐标系直角坐标系是最常见的坐标系，在平面上由两个垂直的坐标轴组成，分别为x轴和y轴。
一个点在直角坐标系中的位置可以用坐标(x,y)来表示，其中x为横坐标，y为纵坐标。
2.极坐标系3.球坐标系球坐标系是一种用于描述空间点位置的坐标系统，它由径向距离、极角和方位角组成。
一个点的位置可以用有序数组(r,θ,φ)来表示，其中r为点到原点的距离，θ为点与一些固定轴的夹角，φ为点的方位角。
二、参数方程1.一维参数方程一维参数方程是指由一个参数确定的直线或曲线的方程。
例如，一个点在直线上的一维参数方程可以表示为x=f(t)，其中x为点在直线上的位置，t为参数，f(t)为关于参数t的函数。
2.二维参数方程二维参数方程是指由两个参数确定的平面曲线的方程。
一个点在平面上的位置可以表示为(x(t),y(t))，其中x(t)和y(t)分别为关于参数t的函数。
二维参数方程常用于描述曲线、圆、椭圆等几何图形。
3.三维参数方程三维参数方程是指由三个参数确定的空间曲线的方程。
一个点在空间中的位置可以表示为(x(t),y(t),z(t))，其中x(t)、y(t)和z(t)分别为关于参数t的函数。
三维参数方程常用于描述空间曲线、曲面等几何图形。
三、坐标系与参数方程的关系坐标系和参数方程之间存在着密切的关系。
在直角坐标系中，一个函数的参数方程可以通过将x和y用参数表示来得到，即将x=f(t)和y=g(t)的参数方程转化为直角坐标系中的函数y=f(x)的形式。
反之，一个函数的直角坐标系方程也可以通过将x和y用参数表示来得到参数方程。
参数方程在极坐标系和球坐标系中也可以通过类似的方式转化。
总结：坐标系是描述点的位置的系统，常见的坐标系有直角坐标系、极坐标系和球坐标系。
参数方程是用参数表示的函数方程，常用于描述直线、曲线、曲面等几何图形。
坐标系和参数方程之间存在密切的关系，可以通过转化将一个方程从坐标系表示转化为参数方程，反之亦然。
坐标系与参数方程 知识点
坐标系与参数方程 知识点1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数.特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(,)44M ππ可以表示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方程ρθ=.二、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
完整版坐标系与参数方程知识点
完整版坐标系与参数方程知识点一、坐标系的概念坐标系是为了方便描述平面或空间中点的位置而引入的一种系统。
常见的坐标系包括直角坐标系、极坐标系和参数方程坐标系。
二、直角坐标系直角坐标系是最常见的一种坐标系。
在二维空间中，直角坐标系由两个相互垂直的坐标轴构成，分别是x轴和y轴。
点在直角坐标系中的位置可以用有序数对(x,y)表示，分别代表点在x轴和y轴上的距离。
三、极坐标系极坐标系是一种以原点为中心，以角度和半径表示点的位置的坐标系。
在极坐标系中，点的位置由有序数对(r,θ)表示，其中r代表点到原点的距离，θ代表与正x轴的夹角。
四、参数方程与轨迹参数方程是一种用参数来表示曲线上的点的坐标的方法。
一般形式的参数方程为x=f(t)，y=g(t)，其中t是参数，f(t)和g(t)是定义在参数域上的函数。
通过改变参数t的取值范围，可以获得曲线上的一系列点，从而绘制出整条曲线。
五、参数方程与直角坐标系的转换将直角坐标系的点(x,y)转换为参数方程的形式，可以使用以下步骤：1.将x和y分别表示为t的函数：x=f(t)，y=g(t)。
2.给定t的取值范围，求出对应的x和y的取值。
将参数方程的点(x,y)转换为直角坐标系的形式，可以使用以下步骤：1.通过解参数方程的两个方程，消去t，得到一个方程只包含x和y。
2.求解得到与x和y的关系式。
六、参数方程的性质参数方程可以表示各种各样的曲线，具有以下性质：1.参数方程可以用来表示直线、圆、椭圆、双曲线等曲线。
2.参数方程可以描述曲线的形状、方向、起点和终点等信息。
3.参数方程可以通过调整参数的取值范围来绘制出曲线的其中一部分或整条曲线。
七、应用场景参数方程在数学和物理学中有广泛的应用，例如：1.研究物体的运动轨迹，包括抛体运动、行星运动等。
2.描述动态系统的变化过程，如混沌系统、非线性振动等。
3.研究曲线的特殊性质，如曲率、曲线的长度等。
八、参数方程的解析与图像通过解析参数方程，可以得到曲线的方程，从而进一步研究曲线的性质。
坐标系与参数方程知识点汇总
坐标系与参数方程知识点汇总知识点一 坐标系（一）、平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点(,)P x y 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换,(0),:,(0).x x y y λλϕμμ'=⋅>⎧⎨'=⋅>⎩的作用下，点(,)P x y 对应到点(,)P x y '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.（二）、极坐标系的有关概念1．极坐标系如图，在平面内取一个定点O ，叫做极点；从O 点引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就确定了一个平面极坐标系，简称极坐标系．2．极坐标（1）极径：设M 是平面内任意一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；（2）极角：以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的∠xOM 叫做点M 的极角，记为θ.（3）极坐标：有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)．（三）、直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则它们间的关系为：1.直角坐标化为极坐标： 222,tan (0).y x y x xρθ=+=≠ 2.极坐标化为直角坐标：cos ,sin .x y ρθρθ==（四、）直线的极坐标方程 1.直线l 过极点，且极角为，则直线l 的极坐标方程是:,()R θαρ=∈. 化为直角坐标方程为：y=tan .x2.过点(,0)(0)A a a >，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是:cos a ρθ=. 化为直角坐标方程为：x=a .3.过点M (b ，π2),且平行于极轴的直线l 的极坐标方程是：ρsin θ＝b . 化为直角坐标方程为：y=b.(五）、圆的极坐标方程αα1.圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程是：r ρ=；直角坐标方程为：x 2＋y 2＝a 22. 圆心在极轴以上的点(,0),(0)C a a >处，且过极点O 的圆的极坐标方程 是:2cos a ρθ=；直角坐标方程为：(x －a )2＋y 2＝a 23.圆心在点(,),(0)2C a a π>处，且过极点O 的圆的极坐标方程是:2sin a ρθ=. 直角坐标方程为：x 2＋(y －a )2＝a 2知识点二 参数方程（一）、曲线的参数方程在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(,)x y 都是某个变数t 的函数(),().x f t y g t =⎧⎨=⎩并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系,x y 之间的变数t 叫做参变数，简称参数.（二）、直线的参数方程1．过点000(,)M x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos ,(sin .x x t t y y t αα=+⎧⎨=+⎩为参数）. （三）、圆的参数方程1.圆222()()x a y b r -+-=的参数方程可表示为cos ,(sin .x a r y b r θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数）.（四）、椭圆的参数方程 1.椭圆22221,(0)x y a b a b +=>>的参数方程可表示为cos ,(sin .x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）. （五）、抛物线的参数方程1. 抛物线22(0)y px p =>的参数方程可表示为22,(2.x pt t y pt ⎧=⎨=⎩为参数）. （六）、参数方程与普通方程的互化1.将参数方程化为普通方程：消去参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换。
(完整版)高中数学选修4—4(坐标系与参数方程)知识点总结
坐标系与参数方程 知识点1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩g g 的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M直角坐标(,)x y极坐标(,)ρθ互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩222tan (0)x y yx xρθ=+=≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程曲线 图形 极坐标方程圆心在极点,半径为r 的圆(02)r ρθπ=≤<圆心为(,0)r ,半径为r 的圆2cos ()22r ππρθθ=-≤<圆心为(,)2r π,半径为r 的圆2sin (0)r ρθθπ≤<过极点,倾斜角为α的直线(1)()()R R θαρθπαρ=∈=+∈或 (2)(0)(0)θαρθπαρ=≥=+≥和过点(,0)a ,与极轴垂直的直线cos ()22a ππρθθ=-<<过点(,)2a π,与极轴平行的直线sin (0)a ρθθπ=<<注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(,)44M ππ可以表示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方程ρθ=.二、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
坐标系与参数方程(知识总结)
坐标系与参数方程【要点知识】一、坐标系1.平面直角坐标系中的伸缩变换设点(,)P x y 是平面直角坐标系xOy 中的任意一点，在变换(0):(0)x x y y λλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩的作用下，点(,)P x y 对应到点(,)P x y '''，我们把ϕ称为平面直角坐标系xOy 中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.2.极坐标系〔1〕极坐标系的概念如下图，在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位〔通常取弧度〕及其正方向〔通常取逆时针方向〕，这样我们就建立了一个极坐标系.〔2〕极坐标设点M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ. 我们把有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标，记为(,)M ρθ. 〔3〕极径、极角的取值范围一般地，极径0ρ≥，极角R θ∈.3.极坐标与直角坐标之间的互化如下图，设点M 是平面内任意一点，记点M 的直角坐标为(,)x y ，极坐标为(,)ρθ. 我们可以得到极坐标与直角坐标之间如下关系：〔ⅰ〕直角坐标化极坐标：cos x ρθ=，sin y ρθ=； 〔ⅱ〕极坐标化直角坐标：222x y ρ=+，tan yxθ=〔0x ≠〕.【注】上面两类关系式是我们进行极坐标与直角坐标互化的重要关系式. 解题时，大家要根据题意灵活选用.4.几个简单曲线的极坐标方程〔1〕圆的极坐标方程：圆心在(,0)C a 〔0a >〕，半径为a 的圆的极坐标方程为2cos a ρθ=；〔2〕直线的极坐标方程：经过极点，从极轴到直线的角是4π的直线l 的极坐标方程为4πθ=和54πθ=.5.柱坐标系与球坐标系 〔1〕柱坐标系如下图，建立空间直角坐标系Oxyz ，设点P 是空间中任意一点，它在Oxy 平面上的射影为点Q ，用(,)ρθ〔0ρ≥，02θπ≤<〕表示点Q 在Oxy 平面上的极坐标，这时点P 的位置可用有序数组(,,)z ρθ〔z R ∈〕表示. 我们把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系；相应地，把有序数组(,,)z ρθ叫做点P 的柱坐标，记作(,,)P z ρθ，其中0ρ≥，02θπ≤<，z R ∈.【注】直角坐标与柱坐标互化的变换公式： 〔2〕球坐标系如下图，建立空间直角坐标系Oxyz ，设点P 是空间中任意一点，连结OP ，记OPr =，OP 与Oz 轴正向所夹的角为ϕ，设点P 在Oxy 平面上的射影为点Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的正角为θ，这样点P 的位置就可以用有序数组(,,)r ϕθ表示. 我们把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系〔或空间极坐标系〕；相应地，把有序数组(,,)r ϕθ叫做点P 的球坐标，记作(,,)P r ϕθ，其中0r ≥，0ϕπ≤≤，02θπ≤<.【注】直角坐标与球坐标互化的变换公式：cos cos cos sin sin x r y r z r θϕθϕθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩二、参数方程1.参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点(,)P x y 都在这条曲线上，那么我们就把方程组①叫做这条曲线的参数方程，而把联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数.2.参数方程与普通方程之间的互化曲线的参数方程与普通方程是曲线方程的两种不同形式. 一般地，可以通过消去参数，由参数方程得到普通方程；反之，如果变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如()x f t =，那么我们可以通过把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系()y g t =，由此得到的方程组()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是该曲线的参数方程.【注】在解决参数方程与普通方程互化的问题时，必须要使x ，y 的取值范围保持一致.3.几个简单曲线的参数方程〔1〕圆的参数方程：圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩〔θ为参数〕；〔2〕椭圆的参数方程：中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆的参数方程为cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩〔ϕ为参数〕；〔3〕双曲线的参数方程：中心在原点O ，焦点在x 轴上的双曲线的参数方程为sec tan x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩〔ϕ为参数〕，这里，sec ϕ是ϕ的正割函数，并且1sec cos ϕϕ=； 〔4〕抛物线的参数方程：以原点O 为顶点，以x 轴为对称轴，开口向右的抛物线22y px =〔0p >〕〔不包括原点〕的参数方程为22tan 2tan p x p y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩〔α为参数〕；〔5〕直线的参数方程：过点000(,)M x y ，倾斜角为α〔2πα≠〕的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩〔t 为参数〕；〔6〕渐开线的参数方程：(cos sin )(sin cos )x r y r ϕϕϕϕϕϕ=+⎧⎨=-⎩〔ϕ为参数〕；〔7〕摆线的参数方程：(sin )(1cos )x r y r ϕϕϕ=-⎧⎨=-⎩〔ϕ为参数〕.。
坐标系与参数方程_知识点
互化公式
x cos y sin
2 x2 y2
tan y ( x 0) x
在一般情况下,由 tan 确定角时,可根据点 M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程
圆心在极点,半 径为 r 的圆 圆心为 (r , 0) ,半 径为 r 的圆 圆 心 为 (r , ) , 2 半径为 r 的圆
x f (t ) 方程,求出另一个变数与参数的关系 y g (t ) ,那么 就是曲线的参数方程, y g (t )
在参数方程与普通方程的互化中,必须使 x, y 的取值范围保持一致. 注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解 轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的 参数方程的形式也不同。 3．圆的参数 如图所示，设圆 O 的半径为 r ，点 M 从初始位置 M 0 出发，按逆时针方向在
x r cos 圆 O 上作匀速圆周运动，设 M ( x, y ) ，则 ( 为参数) 。这就是圆心在原 y r sin
点 O ，半径为 r 的圆的参数方程，其中 的几何意义是 OM 0 转过的角度。 圆心为 (a, b) ，半径为 r 的圆的普通方程是 ( x a) 2 ( y b) 2 r 2 ，它的参数
过点 (a, 0) ,与极 轴垂直的直线
cos a(
2
2
)
过 点 ( a, ) , 与 2 极轴平行的直线
sin a(0 )
注 : 由 于 平 面 上 点 的 极 坐 标 的 表 示 形 式 不 唯 一 , 即
( , ), ( , 2 ), ( , ), ( , ), 都表示同一点的坐标,这与点的直角坐
坐标系与参数方程_知识点总结
坐标系与参数方程1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x ，y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩的作用下，点P （x ，y ）对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念(1）极坐标系 如图所示，在平面内取一个定点O ,叫做极点, 自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴；再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度）及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。
注：(i ）极坐标系以角这一平面图形为几何背景，而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;（ii ）平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系，而极坐标系则不可。
但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.（2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径，记为ρ； 以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ。
有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ。
一般地，不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数。
特别地，当点M 在极点时,它的极坐标为（0， θ）（θ∈R ）。
和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的。
3。
极坐标和直角坐标的互化（1)互化背景：把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴 作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图所示：（2）互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角 坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ（0ρ≥）,于是极坐标与 直角坐标的互化公式如下:极坐标(,)ρθ 直角坐标(,)x y ： cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩直角坐标(,)x y 极坐标(,)ρθ：222tan (0)x y yx xρθ=+=≠ 在一般情况下，由tan θ确定角时，可根据点M 所在的象限最小正角。
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坐标系与参数方程知识点1、平面直角坐标系中的伸缩变换：//,(0),(0)x x y y λλμμ⎧=>⎪⎨=>⎪⎩2、ρ、θ为点M 的极径、极角，有序数对(,)ρθ就叫做M 的极坐标。
[注] ：①一般地0ρ≥，当极角θ的取值范围是[0,2)π时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(,)ρθ建立一一对应的关系，否则点与极坐标就不是一一对应。
极点的极坐标是(0,)θ，其中极角θ是任意角，②负极径的规定：在极坐标系中，（ρ-， θ）与（ρ，θ）关于原点对称。
4、极坐标与直角坐标互化公式：（看课本）5、球坐标系：空间点P 直角坐标),,(z y x 与球坐标),,(ϕθr 的变换关系：2222sin cos sin sin cos x y z r x r y r z r θϕθϕθ⎧++=⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩；6、柱坐标系：空间点P 的直角坐标(,,)x y z 与柱坐标(,,)z ρθ的变换关系为：cos sin x y z z ρθρθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩；7、参数方程化为普通方程，常见方法有三种：（1）代入法（2）三角消元（注：范围易错） 8、常见曲线的参数方程：（1）圆22200()()x x y y r -+-=的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00r y y r x x （θ为参数）；（2）椭圆12222=+b y a x 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ为参数）；（3）双曲线12222=-by a x 的参数方程⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x （θ为参数）； （4）抛物线22y px =参数方程222x pt y pt ⎧=⎨=⎩(t 为参数）；（6）过定点),(00y x P 、倾斜角为α的直线的参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）；1、把圆224x y +=变换为椭圆2211625x y +=的伸缩变换ϕ：__________________。
2、参数方程()2()t tt tx e et y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为__________________。
3、已知曲线C 的参数方程212(,x t a t y at=+⎧⎨=⎩分别为常数、参数），点(5,4)M 在曲线C 上，则曲线C 的普通方程是_____________________。
4、实数x 、y满足2220x y x ++-=，则22x y +的最大值为_______，x y +的最小值为_______5、圆的参数方程为3sin 4cos ()4sin 3cos x y θθθθθ=+⎧⎨=-⎩为参数，则此圆的半径为_______________6.p F px y 2|AB |, 2 AB 2≥=求证：的任一弦焦点是过抛物线设7、求直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+=ty t x 531541（t 为参数）被曲线ρ=2cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πθ所截的弦长.1、在极坐标系中)32,6(),6,6(ππB A ，求AB 的中点M 的极坐标为_______2、在极坐标系中，经过极点与直线cos 2ρθ=切于点7,)4M π的圆的方程是_______。
3、抛物线22(0)y px p =>与直线cos (2sin p x t t y t αα⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数，α为直线倾斜角）相交于A 、B 两点，则线段AB 的中点M 所对应的参数0t =_________。
4、过点A （2，3）的直线的参数方程⎩⎨⎧+=+=ty tx 232（t 为参数），若此直线与直线x-y+3=0相交于点B ，则|AB|= .5、直线cos sin 0x y αα+=的极坐标方程为____________________6、已知椭圆C ：2213616x y +=。
（1）求椭圆C 的内接矩形的最大面积（2）在椭圆C 第一象限内的弧AB 上一点P ，使PAB ∆的面积最大（A 、B 分别是椭圆的长轴、短轴的端点），求PAB ∆的面积的最大值，及相应的点P 的坐标7、在极坐标系中，求过点A ⎪⎭⎫⎝⎛6,6π，并且平行于极轴的直线l 的极坐标方程.1、复平面中点P 对应于复数33i -+，以原点为极点、实轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，则点P 的极坐标为____________。
2、在极坐标系中，如果等边ABC ∆的两个顶点是(2,)4A π、5(2,)4B ，则第三个顶点C 的坐标是_________。
3、若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线4cos ρθ=于点A 、B ，则||AB =_________。
4、已知曲线22()2x pt t p y pt⎧=⎨=⎩为参数,为正常数上的两点,M N 对应的参数分别为12,t t 和，120t t +=且，那么MN =_______________。
5、已知点P （x,y ）在曲线⎩⎨⎧=+-=θθsin cos 2y x (θ为参数)上，则x y的取值范围为 .6、点P 在椭圆221169x y +=上，求点P 到直线3424x y -=的最大距离和最小距离。
7、已知曲线C 1：⎩⎨⎧==,sin ,cos θθy x (θ为参数)，曲线C 2：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.22,222t y t x (t 为参数).（1）指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数；（2）若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线1C ',2C '.写出1C ',2C '的参数方程. 1C '与2C '公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同?说明你的理由.1、直线cos sin x t y t θθ=⎧⎨=⎩与圆42cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩相切，则θ=_______________。
2、在极坐标系中，圆5cos ρθθ=-的圆心的极坐标是________3、已知直线l 经过点P （1，1），倾斜角α=6π，直线l 的参数方程为 4、已知曲线的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00t y y t x x ,分别以t 和θ为参数得到两条不同的曲线,这两条曲线公共点个数为 .5、求圆心为A （2，0），且经过极点的圆的极坐标方程6、过点P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛0,210作倾斜角为α的直线与曲线x 2+2y 2=1交于M ，N ，求|PM|·|PN|的最小值7、经过曲线C ：⎩⎨⎧=+=θθsin 3,cos 33y x (θ为参数)的中心作直线l :⎪⎩⎪⎨⎧==ty tx 33（t 为参数）的垂线，求中心到垂足的距离.1、极坐标系中，圆ρ=10cos ⎪⎭⎫⎝⎛-θπ3的圆心坐标为 .2、点P 的直角坐标为(1,-3),则点P 的极坐标为 .3、圆2cos ρθ=与圆2sin 20ρθ++=有____条公切线；4、曲线C ：___________（填上曲线的方程）经过伸缩变换ϕ：//23x x y y⎧=⎪⎨=⎪⎩后得到圆224x y +=5、已知2x 2+3y 2-6x=0 （x,y ∈R ），则x 2+y 2的最大值为 .6、从极点O 作直线与另一直线l ∶4cos =θρ相交于点M ，在OM 上取一点P ，使12=•OP OM ，求点P P 的轨迹方程7、过点P 作倾斜角为α的直线与曲线22121x y +=交于点,M N ，求PM PN ⋅的值及相应的α的值。
坐标系与参数方程日历（6）1.曲线的极坐标方程ρ=4sin θ化为直角坐标方程为 .2.直线⎪⎩⎪⎨⎧+=-=ty t x 2221(t 为参数)上到点A （1，2）的距离为42的点的坐标为 .3.若直线x+y=m 与圆⎪⎩⎪⎨⎧==ϕϕsin cos m y m x (ϕ为参数，m ＞0)相切，则m 为 .4. 直线122()112x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数被圆224x y +=截得的弦长为______________5.将参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==θθ2cos 4,sin 32y x (θ为参数)化为普通方程，并指出它表示的曲线.6.设点O 为坐标原点，直线l:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 22422(参数t ∈R ）与曲线C ：⎪⎩⎪⎨⎧==μμ442y x （参数μ∈R ）交于A ，B两点.（1）求直线l 与曲线C 的直角坐标方程；（2）求证：OA ⊥OB.7．分别在下列两种情况下，把参数方程1()cos 21()sin 2t t t t x e e y e e θθ--⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩化为普通方程：（1）θ为参数，t 为常数；（2）t 为参数，θ为常数；芬芳在握“赠人玫瑰，手有余香。
”直到今年暑假我才明白这句话的意思。
（开头简洁，设置悬念）漫长的两个月暑假，要是总在家里呆着就无聊透了。
于是我去表姐开的花店帮忙，主要任务是送花。
（开端）表姐的生意不错，我去帮忙第一天便有7份订单。
我接过地址和包装精美的7束花，便开始了长途跋涉。
炙热的太阳自顾自地像要把它全部的热情倾泻给大地，路边的小香樟树被这热情烤得抬不起头来，而我却兴高采烈地蹬着车子穿街绕巷，一路飞奔。
（以景衬情。
对炎热的夏日环境的描写，反衬“我”兴高采烈的心情，也表明乐观坚强的人生态度）“建设街28号，没错，就是这家。
”我有点紧张，心里像揣了只小兔子。
“叮冬…”我深吸一口气，按响了门铃。
开门的是一位四十多岁的阿姨。
“阿姨您好！我是温馨花店的，这是您女儿送给您的康乃馨，她希望您工作顺利，天天开心！“这孩子，就会乱花钱！”虽然她的语气是在责备孩子，但我分明从她的眼神中读出了喜悦，一种被幸福包围的喜悦。
那一刻，我也觉得自己好幸福！父母为孩子付出，从没想过要什么回报，而孩子的一束花或许就能使她幸福得彻夜难眠。
（传神的细节描写下提示幸福的真谛作铺垫）第二家是一位三十来岁的妇女，她丈夫送给她一束玫瑰。
第三家是一个双目失明的小伙子，那花是他曾经的同学送给他的。
（这两段略写，但也可联想到当时的幸福感）一束束鲜花，一句句祝福，接受祝福的人幸福无比。
而我，作为传送祝福的使者，也感受列了幸福。
（由点到面的议论渲染了“赠人玫瑰，手有余香”的引题）时光飞逝，暑假结束，我送花的日子也随之结束了。
最后，我向表姐提出一个要求，要三束花儿。
表姐爽快地答应了，并且按我的要求包装好。
（送花结束，文章却未终止，设置悬念）我从中抽出一束百合花，郑重地递给她说：“姐，这束花送给你，祝你的花店越办越红火，希望你青春永驻，笑口常开！”表姐非常吃惊，也很感动，我分明看到她的眼里有晶莹的东西在闪。