广东省汕头市金山中学2021届高三年级上学期联考数学试题含答案解析

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2021届广东省汕头市金山中学高三上学期开学摸底考试数学文试题Word版含答案

2021届广东省汕头市金山中学上学期开学摸底考试高三数学文试题—、选择题:本大题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数z=1-i,则z z+1对应的点所在的象限为 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象跟 D.第四象限2. 若集合}822|{2≤<∈=+x Z x A ，}02|{2>-∈=x x R x B ，则)(B C A R 所含的元素个数为A. OB. 1C. 2D. 33. 某学校高三年级一班共有60名学生，现采用系统抽样的方法从中抽取6名学生做“早餐与健康”的调查，为此将学生编号为1、2、…、60，选取的这6名学生的编号可能是A. 1,2,3,4,5,6B. 6，16，26，36，46，56C. 1,2，4，8，16，32D. 3,9,13 ,27,36,544 已知双曲线的一个焦点与抛物线x 2=20y 的焦点重合，且其渐近线的方程为3x ±4y=0,则该双曲线的标准方程为A. 116922=-y xB. 191622=-y xC. 116922=-x yD. 191622=-x y5.设l 、m 是两条不同的直线，a,β是两个不同的平面,有下列命题：①l//m,m ⊂a,则l//a ② l//a,m//a 则 l//m ③a 丄β，l ⊂a ，则l 丄β ④l 丄a ，m 丄a,则l//m其中正确的命题的个数是A. 1B. 2C. 3D. 46.下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A 1，A 2，…，A 16，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是 A ．6 B ．10 C ．91 D ．927. 已知等比数列{a n }，且a 4+a 8=-2,则a 6(a 2+2a 6+a 10）的值为A. 4B. 6C. 8D. -98. 设曲线2()1cos ()f x m x m R =+∈上任一点(,)x y 处切线斜率为()g x ，则函数2()y x g x =的部分图象可以为9. 巳知点(x,y)在ΔABC 所包围的阴影区域内(包含边界),若B(3,25)是使得z=ax-y 取得最大值的最优解,则实数a 的取值范围为 A. 21-≥a B. 0≥a C. 21-≤a D. 021≤≤-a10. 已知函数|)62sin(|)(π-=x x f ，下面说法正确的是A.函数的周期为4πB.函数图象的一条对称轴方程为3π=x C.函数在区间]65,32[ππ上为减函数 D 函数是偶函数11. 已知正三棱锥P-ABC 的主视图和俯视图如图所示,则此三棱锥的外接球的表面积为 A 4π B, 12πC.316π D. 364πBCDAPFE12. 已知函数2(1)(0)()2x f f f x e x x e '=⋅+⋅-，若存在实数m 使得不等式 2()2f m n n ≤-成立，则实数n 的取值范围为A. [)1-,1,2⎛⎤∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦ B. (]1,1,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭C. (]1,0,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭D. [)1-,0,2⎛⎤∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分a13.已知向量(1,2),(,1)a b x ==，2,2u a b v a b =+=-,且 u ∥v ，则实数x 的值是____14.若⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=)1(2)1(1)(2x x x x f x ，则21(log 6)f f ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=________15. 已知点P (x ,y )在直线x+2y=3上移动，当2x+4y取得最小值时，过点P 引圆21)41()21(22=++-y x 的切线，则此切线段的长度为_______16. 已知12,F F 分别是椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点,P 是椭圆上一点（异于左、右顶点），过点P 作12F PF ∠的角平分线交x 轴于点M ，若2122PMPF PF =⋅，则该椭圆的离心率为三、解答题 : 本大题共6小题，共 70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17. (本小题满分10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足（1）求角C 的大小；（2）若bsin （π﹣A ）= acosB ，且，求△ABC 的面积．18. (本小题满分12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，∠ADC=90°，AD ∥BC ，BC=CD=AD=1，PA ⊥平面ABCD ，PA=2AD ，E 是线段PD 上的点，设PE=λPD ，F 是BC 上的点，且AF ∥CD（Ⅰ）若λ=，求证：PB ∥平面AEF（Ⅱ）三棱锥P ﹣AEF 的体积为时，求λ的值．19. (本小题满分12分）已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出吨该商品可获利润万元，未售出的商品，每吨亏损万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如下图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了吨该商品．现以（单位：吨，）表示下一个销售季度的市场需求量，（单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量的平均数与中位数的大小；（结果精确到小数后1位）（Ⅱ）根据直方图估计利润不少于57万元的概率.20. (本小題满分12分）已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左、右焦点分别为F1(-1，0)，F2(1,0)，过F1作与x轴不重合的直线l交椭圆于A,B两点.(I)若ΔABF2为正三角形，求椭圆的标准方程；(II)若椭圆的离心率满足215 0-<<e,O为坐标原点，求证：AOB∠为钝角.（可供参考：351 32-<）21 (本小题满分14分）已知函数f（x）=x2+1，g（x）=2alnx+1（a∈R）（1）求函数h（x）=f（x）-g（x）的极值；（2）当a=e时，是否存在实数k，m，使得不等式g（x）≤ kx+m ≤f（x）恒成立？若存在，请求实数k，m的值；若不存在，请说明理由．请考生在22〜23三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为:θθρcos sin 2=(I)求曲线C 的直角坐标方程；(II)若直线l 的参数方程为22222x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求|AB|的值。

广东省汕头市金山中学2021届高三数学上学期期末考试试题文.doc

广东省汕头市金山中学2021届高三数学上学期期末考试试题文一、选择题 (本题共12小题，每小题5分，共60分．每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求．) 1．已知集合，Q ={1，2，3，4}，则（∁R P ）∩Q =（） A ．{1，4} B ．{2，3} C ．{2，3，4} D ．{x |1≤x ＜4}2. 已知复数21z i=-，则下列结论正确的是（） A ．的虚部为iB ．2z = C ．的共轭复数1z i =-+ D ．为纯虚数3. 设a,b,c,d 是非零实数，则“ad=bc ”是“a,b,c,d 成等比数列”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．在等差数列中，前项和满足，则（）A ． 7B ． 9C ． 14D ． 185. 已知0.223log 7,log 8,0.3a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b << 6. 定义在R 上的奇函数满足，且当时，，则（）A ．B ．C ．D ．17.在中，为边上的中线，点满足，则（）A ．5166AC AB - B ．5166AC AB + C ．1566AC AB -D ． 1566AC AB + 8. 已知，则（）A. B. C. D.9. 函数，的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A.的图象关于直线对称B.的图象关于点对称C.将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象D.若方程在上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是10. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球表面积是（）A ．B ．C ．D ．11. 设数列{}n a 满足12a =，且，若[]x 表示不超过x 的最大整数，（例如[][]1.61, 1.62=-=-）则＝（）A ．2021B ．2021C ．2021D ．202112. 已知函数方程有5个不同的实根，则取值范围是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题 (本题共4小题，每小题5分，共20分) 13. 已知曲线在处的切线过点，那么实数 _______．14. 设向量且，则向量在向量方向上的投影是 .15.如图，在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为 .16. 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段的长度为a ，在线段上取两个点，，使得，以为一边在线段的上方做一个正六边形，然后去掉线段，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为，则（1）；（2）如果对恒成立，那么线段的长度a 的取值范围是_______.三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)在函数f (x )＝12x 2＋12x 的图像上．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为T n ，证明：T n < 34.18.（本小题满分12分）如图，三棱柱的所有棱长都是2，面，分别是的中点.（1）求证：平面; （2）求三棱锥的体积.19.（本小题满分12分）汕头市有一块如图所示的海岸，，为岸边，岸边形成角，现拟在此海岸用围网建一个养殖场，现有以下两个方案：方案l ：在岸边，上分别取点，用长度为的围网依托岸边围成三角形. 方案2：在的平分线上取一点，再从岸边，上分别取点，使得，用长度为的围网依托岸边围成四边形.记三角形的面积为，四边形. 请分别计算的最大值，并比较哪个方案好.D EA 1AC 1CB 1 B20.（本小题满分12分）设椭圆的左焦点为，离心率为，为圆的圆心．（1）求椭圆的方程；（2）已知过椭圆右焦点的直线交椭圆于，两点，过且与垂直的直线与圆交于，两点，求四边形面积的取值范围．21. （本小题满分12分）已知函数， g(x)＝x2e ax (a∈R).（1）证明：的导函数在区间上存在唯一零点；（2）若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围.注：复合函数y=e ax的导函数=a e ax.请考生从第22、23两题中任选一题作答。

广东省汕头金山中学2021届高三上学期期末考试（文数）word版

金山中学2011届高三上学期期末考试文科数学试题一、选择题（以下题目从4项答案中选出一项，每小题5分，共50分）1．已知53)2sin(=+απ，则αcos 的值是（）A ．53-B ．53±C ．54D ．532．已知集合为则N M x x x N x x M ⋂>--=≤≤-=},06|{},74|{2（）A ．}7324|{≤<-<≤-x x x 或B ．}7324|{<≤-≤<-x x x 或C ．}32|{>-≤x x x 或D ．}32|{≥-<x x x 或3．在ABC ∆中，“0>⋅AC AB ”是“ABC ∆为锐角三角形”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件4．已知等比数列{}n a 满足122336a a a a +=+=，，则7a =（）A ．64B ．81C ．128D ．2435．设向量a b 与的模分别为6和5，夹角为120︒，则||a b +等于（）A ．23 B ．23- C ．91 D ．31 6．数列{}n a 中，23n a n =+，前n 项和2(*)n S an bn c n N =++∈，a 、b 、c 为常数，则a -b +c =（）A ．3-B ．4-C ．5-D ．6-7．设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22(xf x x b b =++为常数），则(1)f -=（）A ．-3B ．-1C ．1D ．38．已知)3sin(3)3cos()(ϕϕ+-+=x x x f 为偶函数，则ϕ可以取的一个值为（）A ．π6B ．π3C ．－π6D ．－π39．对于任意实数a ，b ，定义, ,min{,}, .a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩设函数2()3, ()log f x x g x x =-+=，则函数()min{(),()}h x f x g x =的最大值是（）A ． 0 B.1 C.2 D.310．已知()f x 为偶函数，且(1)(3),20,()3xf x f x x f x +=--≤≤=当时,若*2011,(),n n N a f n a ∈==则（）A ．13-B ．13C ．3-D ．3二、填空题（每小题5分，共20分）11．已知平面向量),2(),2,1(m b a -==，且a ∥b ，则b a 32+=.12．在ABC ∆中，a b c ，，分别为角A B C ，，所对边，若2cos a b C =，则此三角形一定是.13．设a a b +-113和是的等比中项，则b a 3+的最大值为.14．给出下面的四个命题：①函数sin(2)3y x π=+的最小正周期是2π; ②函数3sin()2y x π=-在区间3[,]2ππ上单调递增; ③54x π=是函数5sin(2)2y x π=+的图象的一条对称轴．④函数)sin(2)(x x f ω=在]4,3[ππ-上是增函数，ω可以是1或2。

广东省汕头市金山中学2020-2021学年高三上学期期末数学(理)试题

三、解答题
17．在中，角，，的对边分别为，，， .
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范围．
18．已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，
.
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和 .
19．如图，在四棱锥中，平面ABCD平面PAD，，，，，E是PD的中点．
当m=﹣5时，两条直线分别化为：x﹣2y=10，x=4，此时两条直线不平行；
2．D
【分析】
利用向量加法和减法运算，求得的表达式.
【详解】
依题意 .
故选：D.
【点睛】
本小题主要考查向量加法和减法运算，属于基础题.
3．D
【解析】
【分析】
由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由S6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人第五天走的路程．
【详解】
记每天走的路程里数为{an}，
对于命题，由于，所以，所以 .
所以的取值范围是 .
故选：A.
【点睛】
本小题主要考查根据含有逻辑连接词命题的真假性求参数的取值范围.考查存在性问题和恒成立问题的求解策略，属于基础题.
6．A
【分析】
对x，y的系数分类讨论，利用两条直线平行的充要条件即可判断出．
【详解】
当m=﹣3时，两条直线分别化为：2y=7，x+y=4，此时两条直线不平行；
③化基本量求公比．利用等比数列的定义和性质，建立方程组求解．
④化基本量求和．直接将基本量代入前项和公式求解或利用等比数列的性质求解．
4．D
【分析】
根据三视图判断出几何体的结构，由此计算出几何体的体积.

广东省揭阳一中、汕头金山中学联考高三上学期期中数学试卷(文科)Word版含解析

2021-2021学年广东省揭阳一中、汕头金山中学联考高三〔上〕期中数学试卷〔文科〕一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1．假设集合B={x|x≥0}，且A∩B=A，那么集合A可能是〔〕A．{1，2}B．{x|x≤1} C．{﹣1，0，1}D．R2．复数z=的共轭复数在复平面上对应的点位于〔〕A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．平面向量、满足•〔+〕=5，且||=2，||=1，那么向量与夹角的余弦值为〔〕A．B．﹣C．D．﹣4．执行如下图的程序框图，假设输入的a值为1，那么输出的k值为〔〕A．1 B．2 C．3 D．45．在?张邱建算经?中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布比同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日〞，由此推断，该女子到第10日时，大约已经完成三十日织布总量的〔〕A．33% B．49% C．62% D．88%6．某几何体的三视图如下图，其中俯视图为扇形，那么该几何体的体积为〔〕A． B．C． D．7．为了得到y=cos2x，只需要将y=sin〔2x+〕作如下变换〔〕A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位8．假设A为不等式组表示的平面区域，那么当a从﹣2连续变化到1时，那么直线x+y=a扫过A中的那局部区域的面积为〔〕A．1 B．C．D．9．A，B是球O的球面上两点，∠AOB=60°，C为该球面上的动点，假设三棱锥O﹣ABC 体积的最大值为，那么球O的体积为〔〕A．81πB．128π C．144π D．288π10．焦点在x轴上的椭圆方程为+=1〔a＞b＞0〕，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，那么椭圆的离心率为〔〕A．B．C．D．11．函数f〔x〕=，那么关于方程f〔|x|〕=a，〔a∈R〕实根个数不可能为〔〕A．2 B．3 C．4 D．512．函数f〔x〕=Asin〔2x+φ〕〔|φ|≤，A＞0〕局部图象如下图，且f〔a〕=f〔b〕=0，对不同的x1，x2∈[a，b]，假设f〔x1〕=f〔x2〕，有f〔x1+x2〕=，那么〔〕A．f〔x〕在〔﹣，〕上是减函数B．f〔x〕在〔﹣，〕上是增函数C．f〔x〕在〔，〕上是减函数D．f〔x〕在〔，〕上是增函数二、填空题〔本大题共4个小题，每题5分，总分值20分〕13．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，那么抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为．14．x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，那么+的最小值是．15．抛物线y2=2px〔p＞0〕上一点M〔1，m〕到其焦点的距离为5，双曲线x2﹣=1的左顶点为A，假设双曲线一条渐近线与直线AM垂直，那么实数a=．16．设函数f〔x〕=，g〔x〕=，对任意x1，x2∈〔0，+∞〕，不等式≤恒成立，那么正数k的取值范围是．三、解答题〔本大题共5小题，共70分．〕17．等差数列{a n}的前n项和为S n，且S9=90，S15=240．〔1〕求{a n}的通项公式a n和前n项和S n；〔2〕设a n b n=，S n为数列{b n}的前n项和，假设不等式S n＜t对于任意的n∈N*恒成立，求实数t的取值范围．18．国家某5A级大型景区对拥挤等级与每日游客数量n〔单位：百人〕的关系有如下规定：当n∈[0，100〕时，拥挤等级为“优〞；当n∈[100，200〕时，拥挤等级为“良〞；当n∈[200，300〕时，拥挤等级为“拥挤〞；当n≥300时，拥挤等级为“严重拥挤〞．该景区对6月份的游客数量作出如图的统计数据：〔Ⅰ〕下面是根据统计数据得到的频率分布表，求出a，b的值，并估计该景区6月份游客人数的平均值〔同一组中的数据用该组区间的中点值作代表〕；游客数量[0，100〕[100，200〕[200，300〕[300，400]〔单位：百人〕天数 a 10 4 1频率 b〔Ⅱ〕某人选择在6月1日至6月5日这5天中任选2天到该景区游玩，求他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优〞的概率．19．在多面体ABCDEFG中，四边形ABCD与CDEF是边长均为a正方形，CF⊥平面ABCD，BG⊥平面ABCD，且AB=2BG=4BH〔1〕求证：平面AGH⊥平面EFG〔2〕假设a=4，求三棱锥G﹣ADE的体积．20．椭圆C： +=1〔a＞b＞0〕短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3x+4y+6=0与圆x2+〔y﹣b〕2=a2相切．〔1〕求椭圆C的方程；〔2〕过椭圆C的左顶点A的两条直线l1，l2分别交椭圆C于M，N两点，且l1⊥l2，求证：直线MN过定点，并求出定点坐标；〔3〕在〔2〕的条件下求△AMN面积的最大值．21．函数f〔x〕=a〔x﹣1〕〔e x﹣a〕〔常数a∈R且a≠0〕．〔Ⅰ〕证明：当a＞0时，函数f〔x〕有且只有一个极值点；〔Ⅱ〕假设函数f〔x〕存在两个极值点x1，x2，证明：0＜f〔x1〕＜且0＜f〔x2〕＜．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴非负半轴重合，直线l的参数方程为：〔t为参数〕，曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ．〔1〕写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；〔2〕设直线l与曲线C相交于P，Q两点，求|PQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．函数f〔x〕=|2x﹣a|+|2x+3|，g〔x〕=|x﹣1|+2．〔1〕解不等式|g〔x〕|＜5；〔2〕假设对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f〔x1〕=g〔x2〕成立，求实数a的取值范围．2021-2021学年广东省揭阳一中、汕头金山中学联考高三〔上〕期中数学试卷〔文科〕参考答案与试题解析一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1．假设集合B={x|x≥0}，且A∩B=A，那么集合A可能是〔〕A．{1，2}B．{x|x≤1} C．{﹣1，0，1}D．R【考点】子集与真子集．【分析】集合B={x|x≥0}，且A∩B=A，那么故A⊆B，进而可得答案．【解答】解：∵集合B={x|x≥0}，且A∩B=A，故A⊆B，故A答案中{1，2}满足要求，应选：A2．复数z=的共轭复数在复平面上对应的点位于〔〕A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法那么、几何意义即可得出．【解答】解：复数z===的共轭复数为在复平面上对应的点为在第四象限．应选：D．3．平面向量、满足•〔+〕=5，且||=2，||=1，那么向量与夹角的余弦值为〔〕A．B．﹣C．D．﹣【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件进行向量数量积的运算便可得出，从而得出向量夹角的余弦值．【解答】解：根据条件，=；∴．应选：C．4．执行如下图的程序框图，假设输入的a值为1，那么输出的k值为〔〕A．1 B．2 C．3 D．4【考点】程序框图．【分析】根据的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：输入的a值为1，那么b=1，第一次执行循环体后，a=﹣，不满足退出循环的条件，k=1；第二次执行循环体后，a=﹣2，不满足退出循环的条件，k=2；第三次执行循环体后，a=1，满足退出循环的条件，故输出的k值为2，应选：B5．在?张邱建算经?中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布比同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日〞，由此推断，该女子到第10日时，大约已经完成三十日织布总量的〔〕A．33% B．49% C．62% D．88%【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：由题意可得：每日的织布量形成等差数列{a n}，且a1=5，a30=1，设公差为d，那么1=5+29d，解得d=﹣．∴S10=5×10+=．S30==90．∴该女子到第10日时，大约已经完成三十日织布总量的×≈0.49=49%．应选：B．6．某几何体的三视图如下图，其中俯视图为扇形，那么该几何体的体积为〔〕A． B．C． D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图判断几何体是圆锥的一局部，再根据俯视图与左视图的数据可求得底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，把数据代入圆锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知几何体是圆锥的一局部，由俯视图与左视图可得：底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，∴几何体的体积V=××π×22×4=．应选：D．7．为了得到y=cos2x，只需要将y=sin〔2x+〕作如下变换〔〕A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【考点】函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．【分析】利用诱导公式，函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将y=sin〔2x+〕=cos〔2x﹣〕=cos2〔x﹣〕的图象向左平移个单位，可得y=cos2x的图象，应选：C．8．假设A为不等式组表示的平面区域，那么当a从﹣2连续变化到1时，那么直线x+y=a扫过A中的那局部区域的面积为〔〕A ．1B ．C ．D ．【考点】简单线性规划．【分析】先由不等式组画出其表示的平面区域，再确定动直线x +y=a 的变化范围，最后由三角形面积公式解之即可．【解答】解：如图，不等式组表示的平面区域是△AOB ，动直线x +y=a 〔即y=﹣x +a 〕在y 轴上的截距从﹣2变化到1．知△ADC 是斜边为3的等腰直角三角形，△EOC 是直角边为1等腰直角三角形，所以区域的面积S 阴影=S △ADC ﹣S △EOC =×3×﹣×1×1= 故答案为：D ．9．A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB=60°，C 为该球面上的动点，假设三棱锥O ﹣ABC 体积的最大值为，那么球O 的体积为〔〕 A ．81π B ．128π C ．144π D ．288π 【考点】球的体积和外表积．【分析】当点C 位于垂直于面AOB 时，三棱锥O ﹣ABC 的体积最大，利用三棱锥O ﹣ABC 体积的最大值为18，求出半径，即可求出球O 的体积．【解答】解：如下图，当点C 位于垂直于面AOB 时，三棱锥O ﹣ABC 的体积最大，设球O 的半径为R ，此时V O ﹣ABC =V C ﹣AOB =，故R=6，那么球O 的体积为πR 3=288π，应选D ．10．焦点在x轴上的椭圆方程为+=1〔a＞b＞0〕，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，那么椭圆的离心率为〔〕A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆的性质AB=2c，AC=AB=a，OC=b，根据三角形面积相等求得a和c的关系，由e=，即可求得椭圆的离心率．【解答】解：由椭圆的性质可知：AB=2c，AC=AB=a，OC=b，S ABC=AB•OC=•2c•b=bc，S ABC=〔a+a+2c〕•r=•〔2a+2c〕×=，∴=bc，a=2c，由e==，故答案选：C．11．函数f〔x〕=，那么关于方程f〔|x|〕=a，〔a∈R〕实根个数不可能为〔〕A．2 B．3 C．4 D．5【考点】分段函数的应用．【分析】由题意可得求函数y=f〔|x|〕的图象和直线y=a的交点个数．作出函数y=f〔|x|〕的图象，平移直线y=a，即可得到所求交点个数，进而得到结论．【解答】解：方程f〔|x|〕=a，〔a∈R〕实根个数即为函数y=f〔|x|〕和直线y=a的交点个数．由y=f〔|x|〕为偶函数，可得图象关于y轴对称．作出函数y=f〔|x|〕的图象，如图，平移直线y=a，可得它们有2个、3个、4个交点．不可能有5个交点，即不可能有5个实根．应选：D．12．函数f〔x〕=Asin〔2x+φ〕〔|φ|≤，A＞0〕局部图象如下图，且f〔a〕=f〔b〕=0，对不同的x1，x2∈[a，b]，假设f〔x1〕=f〔x2〕，有f〔x1+x2〕=，那么〔〕A．f〔x〕在〔﹣，〕上是减函数B．f〔x〕在〔﹣，〕上是增函数C．f〔x〕在〔，〕上是减函数D．f〔x〕在〔，〕上是增函数【考点】正弦函数的图象．【分析】根据题意，得出函数f〔x〕的最小正周期，且b﹣a为半周期，再根据f〔x1〕=f 〔x2〕时f〔x1+x2〕的值求出φ的值，从而写出f〔x〕的解析式，判断f〔x〕的单调性．【解答】解：∵f〔x〕=Asin〔2x+φ〕，∴函数最小正周期为T=π；由图象得A=2，且f〔a〕=f〔b〕=0，∴•=b﹣a，解得b﹣a=；又x1，x2∈[a，b]，且f〔x1〕=f〔x2〕时，有f〔x1+x2〕=，∴sin[2〔x1+x2〕+φ]=，即2〔x1+x2〕+φ=，且sin〔2•+φ〕=1，即2•+φ=，解得φ=，∴f〔x〕=2sin〔2x+〕；令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，∴﹣+2kπ≤2x≤+2kπ，k∈Z，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，∴函数f〔x〕在区间[﹣+kπ， +kπ]，k∈Z上是单调增函数，∴f〔x〕在区间〔﹣，〕上是单调增函数．应选：B．二、填空题〔本大题共4个小题，每题5分，总分值20分〕13．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，那么抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为12．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】根据系统抽样方法，从840人中抽取42人，那么从20人抽取1人．从而得出从编号481～720共240人中抽取的人数即可．【解答】解：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．∴从编号1～480的人中，恰好抽取=24人，接着从编号481～720共240人中抽取=12人．故答案为：12．14．x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，那么+的最小值是4．【考点】根本不等式在最值问题中的应用；对数的运算性质．【分析】由对数的运算性质，lg2x+lg8y=lg2x+lg23y=〔x+3y〕lg2，结合题意可得，x+3y=1；再利用1的代换结合根本不等式求解即可．【解答】解：lg2x+lg8y=lg2x+lg23y=〔x+3y〕lg2，又由lg2x+lg8y=lg2，那么x+3y=1，进而由根本不等式的性质可得，=〔x+3y〕〔〕=2+≥2+2=4，当且仅当x=3y时取等号，故答案为：4．15．抛物线y2=2px〔p＞0〕上一点M〔1，m〕到其焦点的距离为5，双曲线x2﹣=1的左顶点为A，假设双曲线一条渐近线与直线AM垂直，那么实数a=．【考点】双曲线的简单性质；抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的焦半径公式得1+=5，p=8．取M〔1，4〕，由AM的斜率可求出a的值．【解答】解：根据抛物线的焦半径公式得1+=5，p=8．取M〔1，4〕，那么AM的斜率为2，由得﹣×2=﹣1，故a=．故答案为：．16．设函数f〔x〕=，g〔x〕=，对任意x1，x2∈〔0，+∞〕，不等式≤恒成立，那么正数k的取值范围是．【考点】函数恒成立问题．【分析】利用参数别离法将不等式恒成立进行转化，利用根本不等式求出函数f〔x〕的最小值，利用导数法求出函数g〔x〕的最大值，利用最值关系进行求解即可．【解答】解：对任意x1，x2∈〔0，+∞〕，不等式≤恒成立，那么等价为≤恒成立，f〔x〕==x+≥2=2，当且仅当x=，即x=1时取等号，即f〔x〕的最小值是2，由g〔x〕=，那么g′〔x〕==，由g′〔x〕＞0得0＜x＜1，此时函数g〔x〕为增函数，由g′〔x〕＜0得x＞1，此时函数g〔x〕为减函数，即当x=1时，g〔x〕取得极大值同时也是最大值g〔1〕=，那么的最大值为=，那么由≥，得2ek≥k+1，即k〔2e﹣1〕≥1，那么，故答案为：．三、解答题〔本大题共5小题，共70分．〕17．等差数列{a n}的前n项和为S n，且S9=90，S15=240．〔1〕求{a n}的通项公式a n和前n项和S n；〔2〕设a n b n=，S n为数列{b n}的前n项和，假设不等式S n＜t对于任意的n∈N*恒成立，求实数t的取值范围．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】〔1〕设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由题意可知，解得即可，〔2〕求出数列b n的通项公式，根据裂项求和求出S n，即可求出t的范围．【解答】解：〔1〕设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S9=90，S15=240，得，解得a1=d=2，∴a n=2+2〔n﹣1〕=2n，S n=2n+=n〔n+1〕，〔2〕∵a n b n=，∴b n==〔﹣〕，∴S n=〔1﹣+…+﹣〕=〔1﹣〕＜，∴不等式S n＜t对于任意的n∈N*恒成立，∴t≥18．国家某5A级大型景区对拥挤等级与每日游客数量n〔单位：百人〕的关系有如下规定：当n∈[0，100〕时，拥挤等级为“优〞；当n∈[100，200〕时，拥挤等级为“良〞；当n∈[200，300〕时，拥挤等级为“拥挤〞；当n≥300时，拥挤等级为“严重拥挤〞．该景区对6月份的游客数量作出如图的统计数据：〔Ⅰ〕下面是根据统计数据得到的频率分布表，求出a，b的值，并估计该景区6月份游客人数的平均值〔同一组中的数据用该组区间的中点值作代表〕；游客数量[0，100〕[100，200〕[200，300〕[300，400]〔单位：百人〕天数 a 10 4 1频率 b〔Ⅱ〕某人选择在6月1日至6月5日这5天中任选2天到该景区游玩，求他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优〞的概率．【考点】列举法计算根本领件数及事件发生的概率．【分析】〔Ⅰ〕游客人数在[0，100〕范围内的天数共有15天，由此能求出a，b的值，并估计该景区6月份游客人数的平均值．〔Ⅱ〕利用列举法求出从5天中任选两天的选择方法的种数和其中游客等级均为“优〞的有多少种，由此能求出他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优〞的概率．【解答】解：〔Ⅰ〕游客人数在[0，100〕范围内的天数共有15天，故a=15，b=，…游客人数的平均数为=120〔百人〕．…〔Ⅱ〕从5天中任选两天的选择方法有：〔1，2〕，〔1，3〕，〔1，4〕，〔1，5〕，〔2，4〕，〔2，5〕，〔3，4〕，〔3，5〕，〔4，5〕，共10种，…其中游客等级均为“优〞的有〔1，4〕，〔1，5〕，〔4，5〕，共3种，故他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优〞的概率为．…19．在多面体ABCDEFG中，四边形ABCD与CDEF是边长均为a正方形，CF⊥平面ABCD，BG⊥平面ABCD，且AB=2BG=4BH〔1〕求证：平面AGH⊥平面EFG〔2〕假设a=4，求三棱锥G﹣ADE的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】〔1〕连接FH，由题意，知CD⊥平面BCFG，从而CD⊥GH．再求出GH⊥FG，由此能证明平面AGH⊥平面EFG．〔2〕由V G﹣ADE =V E﹣ADE，能求出三棱锥G﹣ADE的体积．【解答】证明：〔1〕连接FH，由题意，知CD⊥BC，CD⊥CF，∴CD⊥平面BCFG．又∵GH⊂平面BCFG，∴CD⊥GH．又∵EF∥CD，∴EF⊥GH，…由题意，得BH=，CH=，BG=，∴GH2=BG2+BH2=，FG2=〔CF﹣BG〕2+BC2=，FH2=CF2+CH2=，那么FH2=FG2+GH2，∴GH⊥FG．…又∵EF∩FG=F，GH⊥平面EFG．…∵GH⊂平面AGH，∴平面AGH⊥平面EFG．…解：〔2〕∵CF⊥平面ABCD，BG⊥平面ABCD，∴CF∥BG，又∵ED∥CF，∴BG∥ED，∴BG∥平面ADE，∴V G﹣ADE =V E﹣ADE，∵AB∥CD，∴AB⊥平面ADE，∴三棱锥G﹣ADE的体积V G﹣ADE =V E﹣ADE=．20．椭圆C： +=1〔a＞b＞0〕短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3x+4y+6=0与圆x2+〔y﹣b〕2=a2相切．〔1〕求椭圆C的方程；〔2〕过椭圆C的左顶点A的两条直线l1，l2分别交椭圆C于M，N两点，且l1⊥l2，求证：直线MN过定点，并求出定点坐标；〔3〕在〔2〕的条件下求△AMN面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】〔1〕根据椭圆C： +=1〔a＞b＞0〕短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3x+4y+6=0与圆x2+〔y﹣b〕2=a2相切，建立方程组，求出a，b，即可求椭圆C的方程；〔2〕由得〔m2+4〕y2﹣4my=0，求出M的坐标，同理可得N的坐标，分类讨论，即可证明结论；〔3〕求出三角形的面积，变形，利用根本不等式求△AMN面积的最大值．【解答】解：〔1〕由题意即…〔2〕∵A〔﹣2，0〕设l1：x=my﹣2，由得〔m2+4〕y2﹣4my=0∴同理∴i〕m≠±1时，过定点ii〕m=±1时过点∴l MN过定点〔3〕由〔2〕知=令时取等号，∴时去等号，∴21．函数f〔x〕=a〔x﹣1〕〔e x﹣a〕〔常数a∈R且a≠0〕．〔Ⅰ〕证明：当a＞0时，函数f〔x〕有且只有一个极值点；〔Ⅱ〕假设函数f〔x〕存在两个极值点x1，x2，证明：0＜f〔x1〕＜且0＜f〔x2〕＜．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】〔Ⅰ〕证明：当a＞0时，f′〔x〕=0只有一个根，即可证明函数f〔x〕有且只有一个极值点；〔Ⅱ〕求出函数f〔x〕存在两个极值的等价条件，求出a的取值范围，结合不等式的性质进行求解即可．【解答】〔Ⅰ〕证明：函数的导数f′〔x〕=a[e x﹣a+〔x﹣1〕e x]=a〔xe x﹣a〕，当a＞0时，由f′〔x〕=0，得xe x=a，即e x=，作出函数y=e x和y=的图象，那么两个函数的图象有且只有1个交点，即函数f〔x〕有且只有一个极值点；〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，当a＞0时，函数f〔x〕有且只有一个极值点；不满足条件，那么a＜0，∵f〔x〕存在两个极值点x1，x2，∴x1，x2，是h〔x〕=f′〔x〕=a〔xe x﹣a〕的两个零点，令h′〔x〕=a〔x+1〕e x=0，得x=﹣1，令h′〔x〕＞0得x＜﹣1，令h′〔x〕＜0得x＞﹣1，∴h〔x〕在〔﹣∞，﹣1]上是增函数，在[﹣1，+∞〕上是减函数，∵h〔0〕=f′〔0〕=﹣a2＜0，∴必有x1＜﹣1＜x2＜0．令f′〔t〕=a〔te t﹣a〕=0，得a=te t，此时f〔t〕=a〔t﹣1〕〔e t﹣a〕=te t〔t﹣1〕〔e t﹣te t〕=﹣e2t t〔t﹣1〕2=﹣e2t〔t3﹣2t2+t〕，∵x1，x2，是h〔x〕=f′〔x〕=a〔xe x﹣a〕的两个零点，∴f〔x1〕=﹣e〔x13﹣2x12+x1〕，f〔x2〕=﹣e〔x23﹣2x22+x2〕，将代数式﹣e2t〔t3﹣2t2+t〕看作以t为变量的函数g〔t〕=﹣e2t〔t3﹣2t2+t〕．g′〔t〕=﹣e2t〔t2﹣1〕〔2t﹣1〕，当t＜﹣1时，g′〔t〕=﹣e2t〔t2﹣1〕〔2t﹣1〕＞0，那么g′〔t〕在〔﹣∞，﹣1〕上单调递增，∵x1＜﹣1，∴f〔x1〕=g〔x1〕＜g〔﹣1〕=，∵f〔x1〕=﹣e x1〔x1﹣1〕2＞0，∴0＜f〔x1〕＜，当﹣1＜t＜0时，g′〔t〕=﹣e2t〔t2﹣1〕〔2t﹣1〕＜0，那么g′〔t〕在〔﹣1，0〕上单调递减，∵﹣1＜x2＜0，∴0=g〔0〕=g〔x2〕=f〔x2〕＜g〔﹣1〕=综上，0＜f〔x1〕＜且0＜f〔x2〕＜．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴非负半轴重合，直线l的参数方程为：〔t为参数〕，曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ．〔1〕写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；〔2〕设直线l与曲线C相交于P，Q两点，求|PQ|的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】〔1〕利用极坐标与直角坐标的对于关系即可得出曲线C的方程；对直线l的参数方程消参数可得直线l的普通方程；〔2〕把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得出关于参数t的一元二次方程，利用参数的几何意义和根与系数的关系计算|PQ|．【解答】解：〔1〕∵ρ=4cosθ．∴ρ2=4ρcosθ，∵ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，∴x2+y2=4x，所以曲线C的直角坐标方程为〔x﹣2〕2+y2=4，由〔t为参数〕消去t得：．所以直线l的普通方程为．〔2〕把代入x2+y2=4x得：t2﹣3t+5=0．设其两根分别为t1，t2，那么t1+t2=3，t1t2=5．所以|PQ|=|t1﹣t2|==．[选修4-5：不等式选讲]23．函数f〔x〕=|2x﹣a|+|2x+3|，g〔x〕=|x﹣1|+2．〔1〕解不等式|g〔x〕|＜5；〔2〕假设对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f〔x1〕=g〔x2〕成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】〔1〕利用||x﹣1|+2|＜5，转化为﹣7＜|x﹣1|＜3，然后求解不等式即可．〔2〕利用条件说明{y|y=f〔x〕}⊆{y|y=g〔x〕}，通过函数的最值，列出不等式求解即可．【解答】解：〔1〕由||x﹣1|+2|＜5，得﹣5＜|x﹣1|+2＜5∴﹣7＜|x﹣1|＜3，得不等式的解为﹣2＜x＜4…〔2〕因为任意x1∈R，都有x2∈R，使得f〔x1〕=g〔x2〕成立，所以{y|y=f〔x〕}⊆{y|y=g〔x〕}，又f〔x〕=|2x﹣a|+|2x+3|≥|〔2x﹣a〕﹣〔2x+3〕|=|a+3|，g〔x〕=|x﹣1|+2≥2，所以|a+3|≥2，解得a≥﹣1或a≤﹣5，所以实数a的取值范围为a≥﹣1或a≤﹣5．…2021年1月6日。

广东省汕头市金山中学四校2021届高三上学期10月联考数学试题

广东省汕头市金山中学四校2021届高三上学期10月联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合A Z =，(){}2ln 9B x y x ==-，则AB 为（）A ．{}2,1,0--B ．{}2,1,0,1,2--C ．{}0,1,2D ．1,0,1,22．已知向量(cos ,2)a α=-， ()sin ,1b α=，且//a b ，则 2sin cos αα等于（） A ．45-B ．-3C ．3D ．453．若命题“0x R ∃∈，使得200x mx 2m 30++-<”为假命题，则实数m 的取值范围是( ) A ．[]2,6B ．[]6,2--C ．()2,6D ．()6,2--4．设a,b,c,d 是非零实数，则“ad=bc ”是“a,b,c,d 成等比数列”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知i 为虚数单位，复数z 满足121ii z-=++，则z =（）A ．1B C D ．56．设函数()32tan 21f x ax b x c x =+⋅++，如果()210f =，则()2f -的值是（） A ．-10B ．8C ．-8D ．-77．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意的*n N ∈有2233n n S a =-，且112k S <<，则k 的值为（） A ．2或4B ．2C ．3或4D ．68．已知点P 为函数()ln f x x =的图象上任意一点，点Q 为圆2211x e y e ⎡⎤⎛⎫-++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦上任意一点，则线段PQ 的长度的最小值为（）A ．e e B ．e e - C ．e e- D ．11e e+- 9．设32()f x x bx cx d =+++，又k 是一个常数，已知k 0<或4k >时，()0f x k -=只有一个实根，当04k <<时，()0f x k -=有三个相异实根，给出下列命题： ①()40f x -=和'()0f x =有一个相同的实根； ②()0f x =和'()0f x =有一个相同的实根；③()30f x +=的任一实根大于()10f x -=的任一实根； ④()50f x +=的任一实根小于()20f x -=的任一实根．其中正确命题的个数为（） A ．3B ．2C ．1D ．010．已知偶函数()y f x =对于任意的[0,)2x π∈满足'()cos ()sin 0f x x f x x +>（其中'()f x 是函数()f x 的导函数），则下列不等式中成立的是（）A ()()34f ππ-<B ()()34f ππ-<-C ．(0)()4f π>-D ．()()63f ππ<二、多选题11．在锐角三角形ABC 中，A 、B 、C 是其三内角，则下列一定成立的有（） A ．()sin sin sin A B A B +>+ B ．sin cos A B >C ．sin cos B A >D ．sin sin 2cos A B C +<12．下列指定的函数()f x 中，一定有()00f =的有（） A ．指定的函数()f x 是奇函数；B ．指定的函数()f x 满足：,x y R ∀∈，都有()()()1()()f x f y f x y f x f y --=+；C ．指定的函数()f x 满足：,x y R ∀∈，都有()()()f x y f x f y +=且当0x >时，()1f x >；D ．设())lgh x x =，指定的函数()f x 满足：,x y R ∀∈都有()()()f x h x y h x y =++-.三、双空题13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2321n S n n =++，则数列{}n a 的通项公式是_______，1359a a a a +++⋅⋅⋅+=_______.四、填空题14．已知ABC 的内角3A π=，3AB =，2AC =，O 为ABC 所在平面上一点，且满足OA OB OC ==，AO mAB nAC =+，则96m n +的值为_______. 15．若函数()f x 为R 上的单调递增函数，且对任意实数x ∈R ，都有()1xf f x e e ⎡⎤-=+⎣⎦（e 是自然对数的底数），则()ln 2f =_______. 16．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知274sin 2cos 222A B C +-=，且5a b +=，c =ABC 的面积为_______.五、解答题17．已知()3,2a =-，()2,1b =，O 为坐标原点.（1）若ma b +与2a b -的夹角为钝角，求实数m 的取值范围；（2）设OA a =，OB b =，求OAB 的面积.18．已知函数()24sin 214πf x x x ⎛⎫=+--⎪⎝⎭，且给定条件p ：“42ππx ≤≤”.（1）求()f x 的最大值和最小值；（2）若又给条件q ：“()2f x m -<”，且p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围. 19．已知函数2()2f x x x x a =+-，其中a R ∈．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若不等式4()16f x ≤≤在[1,2]x ∈上恒成立，求a 的取值范围． 20．如图，在ABC 中，3B π∠=，D 为边BC 上的点，E 为AD 上的点，且8AE =，AC =4CED π∠=.（1）求CE 的长；（2）若5CD =，求cos DAB ∠的值.21．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，如果N n *∀∈都有112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21n nb a =，数列{}n b 的前n 项的和为n T ，试证明：22n T n <. 22．已知关于x 的函数()()()()22ln ,g x a x x R f x x g x x=-∈=+ ，（I ）试求函数()g x 的单调区间；（II ）若()f x 在区间()0,1 内有极值，试求a 的取值范围；（III ）0a > 时，若()f x 有唯一的零点0x ，试求[]0x .（注：[]0x 为取整函数，表示不超过0x 的最大整数，如[][][]0.30,2.62, 1.42,==-=- ；以下数据供参考：()ln20.6931,ln3 1.099,ln5 1.609,ln7 1.946====参考答案1．B 【分析】根据对数函数的性质，求得{}33B x x =-<<，再结合集合交集的运算，即可求解. 【详解】由不等式290->x ，解得33x -<<，即集合(){}{}2ln 933B x y x x x ==-=-<<，又由A Z =，所以{}2,1,0,1,2A B =--.故选：B. 【点睛】本题主要考查集合交集的概念及运算，以及对数函数的图象与性质的应用，其中解答中根据对数函数的图象与性质，正确求解集合B 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 2．A 【解析】试题分析：由已知，，又，故，所以2sin cos αα.考点：向量平行等价条件、三角函数同角关系式． 3．A 【详解】试题分析：因命题“0x ∃∈R ，使得x 02+mx 0+2m-3<0”为假命题，故 “,x R ∀∈x 2+mx+2m-3≥0恒成立”为真命题，由二次函数开口向上，故24(23)0,[2,6]m m m ∆=--≤∴∈考点：特称命题. 4．B 【分析】只需举出反例说明不充分即可，利用等比数列的性质论证必要性【详解】当14,1,1,4a b c d ====时，a b c d ,,,不成等比数列，所以不是充分条件；当a b c d ,,,成等比数列时，则ad bc =，所以是必要条件.综上所述，“ad bc =”是“a b c d ,,,成等比数列”的必要不充分条件故选B. 【点睛】此题主要考查充分必要条件，实质是判断命题“p q ⇒”以及“q p ⇒”的真假.判断一个命题为真命题，要给出理论依据、推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例即可，或者当一个命题正面很难判断真假时，可利用原命题与逆否命题同真同假的特点转化问题. 5．A 【分析】先利用复数的除法运算求解z,再求模长即可【详解】由题可得1(2)(1)i i z -=++,则z=12111222i i iii i4355i --，||1z ==故选A . 【点睛】本题考查复数的运算，模长公式，熟记运算及公式准确计算是关键，是基础题 6．B 【分析】令()3tan g x ax b x c =+⋅+()()g x g x -=-，化简计算可求得结果. 【详解】令()3tan g x ax b x c =+⋅+则()()g x g x -=-，所以()()221f x g x x =++，由()210f =可知，()()224=2110f g =+⨯+，即()12=g ，()()()2=929=1298f g g --+=-+-+=，故选：B. 【点睛】本题考查奇函数性质，考查计算能力，属于基础题.7．A 【分析】利用递推关系式求出{}n a 的通项公式，再求出{}n a 的前n 项和为n S ，即可求出k 的值. 【详解】对任意的*n N ∈有2233n n S a =-，可得：1112233a S a ==- ，解得：1=2a -，当2n ≥时：2233n n S a =-，112233n n S a --=- 两式相减得112233n n n n n S S a a a ---=-=，即12n n a a -=-，所以{}n a 是首项为2-，公比为2-的等比数列，所以()2nn a =-，()()()212212123n n n S ⎡⎤-⨯--⎣⎦⎡⎤==---⎣⎦--，所以211(2)123k k S ⎡⎤<=---<⎣⎦，所以5(219)2k <-<，当2k =和4k =时不等式成立，所以k 的值为2或4，故选：A. 【点睛】本题主要考查了由递推公式求通项公式，考查了等比数列前n 项和公式，属于中档题. 8．A 【分析】将PQ 的最小值，转化为P 到圆心的最小距离再减去半径来求得PQ 的最小值.设出函数ln x 上任意一点的坐标，求得圆心C 的坐标，利用两点间的距离公式求得PC 的表达式，利用导数求得这个表达式的最小值，再减去1求得PQ 的最小值. 【详解】依题意，圆心为1,0C e e ⎛⎫+⎪⎝⎭，设P 点的坐标为(),ln x x ，由两点间距离公式得()222222111ln 2ln PC x e x x e x e x e e e ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++=-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，设()222112ln f x x e x e x e e ⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()12ln 22x f x x e e x ⎛⎫=-++⎪⎝'⎭()ln 122x x e xe ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，令'0f x解得x e =，由于'2ln 1ln x xx x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，可知当()0,x e ∈时，ln x x 递增，(),x e ∈+∞时，'ln 0x x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，ln x x 递减，故当x e =时取得极大值也是最大值为1e，故ln 10x x e -≤，故()0,x e ∈时，0x e -<且ln 10x x e -<，所以()'0f x <，函数单调递减.当(),x e ∈+∞时，()()2'22ln 1x x f x x -+⎡⎤=⎣'⎦，()2'2121ln 12x x x x x x--+=-=，当x e >时，()'2ln 10x x -+>，即2ln 1x x -+单调递增，且22ln 10e e e -+=>，即()'0f x ⎡⎤⎦'>⎣，()'fx 单调递增，而()0f e '=，故当(),x e ∈+∞时，()'0f x >函数单调递增，故函数在x e =处取得极小值也是最小值为()211f e e =+，故PC e=，此时1e PQ e e =-=.故选A.【点睛】本小题主要考查圆的方程，考查导数在研究函数中的应用，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 9．A 【解析】根据三次函数()32f x x bx cx d =+++，满足对k 是一个常数，当0k <或4k >时，()0f x k -=只有一个实根，当04k <<时，()0f x k -=有三个相异实根这样的条件，满足画出函数()f x 的模拟图象如图：()32f x x bx cx d =+++,当04k k 或时，()0f x k -=只有一个实数根；当04k <<时，()0f x k -=有三个相异实根，故函数即有极大值，又有极小值，且极小值为0，极大值为4，故()40f x -= 与()0f x '=有一个相同的实数根，即极大值点，故（1）正确.()0f x =与()0f x '= 有一个相同的实根，即极小值点，故（2）正确； ()30f x +=有一实根且函数最小的零点，()10f x -=有3个实根均大于函数的最小零点，故（3）错误； ()50f x +=有一实根且小于函数最小零点，()20f x -=有三个实根均大于函数最小的零点，故（4）正确；所以A 选项正确.【点睛】三次函数图象时，要关注三次函数的极值点个数，三次函数的三次项系数为正，如果有两个极值点，那么函数为先再减最后增，满足对k 是一个常数，当0k <或4k >时，()0f x k -=只有一个实根，当04k <<时，()0f x k -=有三个相异实根这样的条件，说明有极小值为0，极大值为4，据此可画出函数的模拟图像，数形结合，逐一验证. 10．D 【解析】试题分析：令,因,故由题设可得,即函数在上单调递增且是偶函数.又因,故,即,所以()3()63f f ππ<,故应选D.考点：导数在研究函数的单调性方面的运用.【易错点晴】本题将导数的知识和函数的单调性及不等式的解法等知识有机地结合起来,综合考查学生的数学思想和数学方法及运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时,先将巧妙地构造函数,再运用求导法则求得,故由题设可得,即函数在上单调递增且是偶函数.再运用检验的方法逐一验证四个答案的真伪,从而使得问题获解. 11．BC 【分析】由正弦定理可判断A ；由90A B +>︒结合正弦函数的单调性、诱导公式可判断BC ；由BC 结论可判断D. 【详解】对于A ，在三角形中，两边之和大于第三边，则a b c +>，由正弦定理得()sin sin sin sin A B C A B +>=+，故A 错误.因为ABC 是锐角三角形，所以()90sin sin 90cos A B A B B +>︒⇒>︒-=所以B 对，同理C 对；对于D ，由于sin cos A C >，sin cos sin sin 2cos B C A B C >⇒+>，所以D 错.故选：BC. 【点睛】本题考查三角形中角对应的正弦余弦大小关系，属于基础题. 12．BD 【分析】由()f x 在0x =处可能没有意义可判断A ；令x y =可判断B ；令0,2x y ==可判断C ；直接可计算()0f ，即可判断D. 【详解】对于A ，函数()f x 在0x =处可能没有意义，所以A 错；对于B ，令()f x 中x y =得()00f =，所以B 对；对于C ，令0x =，()()()2202y f f f =⇒=因为有()21f >，∴()20f ≠，()010f =≠，所以C 错；对于D ，由()22(0)()()lg 10f h y h y y y =+-=+-=，所以D 对.故选：BD. 【点睛】本题考查抽象函数的相关计算，属于基础题.13．()()61612n n a n n =⎧⎪=⎨-≥⎪⎩146【分析】根据已知n 与n S 的关系式，利用11n nn S a S S -⎧=⎨-⎩求数列{}n a 的通项公式；由所得通项公式有奇数项通项公式为21125n a n +=+，求前9项中奇数项的和即可. 【详解】由2321n S n n =++，当1n =时，211312116a S ==⨯+⨯+=，当2n ≥时，2213213(1)2(1)161n n n a S S n n n n n -=-=++-----=-，∴()()61612n n a n n =⎧⎪=⎨-≥⎪⎩， ∴奇数项通项为21125n a n +=+，*n N ∈，39135914()...62(12151245)1462a a a a a a a ⨯+++++=+=+⨯⨯++⨯+=.故答案为：()()61612n n a n n =⎧⎪=⎨-≥⎪⎩；146.【点睛】本题考查了利用n a 与n S 的关系求数列通项公式，求前n 项中奇数项的和，注意奇数项构成等差数列，属于基础题. 14．5 【分析】由题意可知，O 为ABC 外接圆的圆心，在圆O 中，延长AO 交BC 于点D ，已知等式两边同乘以AB 得：623m n +=，同理得：342m n +=，从而有：965m n +=. 【详解】由题意可知，O 为ABC 外接圆的圆心，设半径为r ，在圆O 中，过O 作,OD AB OE AC ⊥⊥，AO mAB nAC =+，两边乘AB ，2AO AB mAB nAC AB ⋅=∴+⋅，31239232r m n r ∴⨯⨯=+⨯⨯⨯，得623m n +=，同理两边乘AC ，2AO AC mAB AC nAC ⋅=⋅+∴,1123242r m n r ∴⨯⨯=⨯⨯⨯+，得342m n +=，从而有：965m n +=. 故答案为：5. 【点睛】本题考查向量数量积的运算，属于中档题. 15．3 【分析】先利用换元法求出函数()f x 的表达式，然后求解()ln 2f 的值. 【详解】设()xt f x e =-，则()xf x e t =+，则条件等价为()1f t e +=，令x t =，则()1tf t e t e =+=+，因为函数()f x 为单调递增函数，所以t 只有唯一解，1t =，所以()1xf x e =+，即()ln2ln 21213f e=+=+=.故答案为：3. 【点睛】本题考查函数解析式的求解及应用问题，较简单，确定出函数解析式是关键.16【分析】首先根据274sin2cos 222A B C +-=得到1cos 2C =，根据余弦定理得到6ab =，再计算ABC 的面积即可.【详解】因为274sincos 222A B C +-=，所以()2721cos 2cos 12A B C -+-+=⎡⎤⎣⎦，2722cos 2cos 12C C +-+=，21cos cos 04C C -+=，解得1cos 2C =，根据余弦定理有2222cos c a b ab C =+-，即()222727ab a b a b ab =+-=+--，解得6ab =.又因为sin C =，所以11sin 622S ab C ==⨯=【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，同时考查了正弦定理的面积公式和三角函数的恒等变换，属于简单题. 17．（1）116,,225⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）72S =. 【分析】（1）由题意，求得,2ma b a b +-的坐标，令()()20ma b a b +⋅-<，解得65m <，再由当12m =-时，得到2a b -与ma b +方向相反，求得12m ≠-，即可求解；（2）设AOB θ∠=，OAB 面积为S ，则1sin 2S a b θ=⋅，结合向量的夹角公式和向量的坐标运算，即可求解. 【详解】（1）由题意，向量()3,2a =-，()2,1b =，可得()32,21ma b m m +=+-+，()21,4a b -=--，令()()20ma b a b +⋅-<，即32840m m --+-<，解得65m <，当12m =-时，12ma b a b +=-+，此时2a b -与ma b +方向相反，夹角为π，不合题意，∴12m ≠-，综上可得，实数m 的取值范围为116,,225⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）设AOB θ∠=，OAB 面积为S ，则1sin 2S a b θ=⋅，因为222sin 1cos 1a ba b θθ⎛⎫⋅⎪=-=- ⎪⋅⎝⎭，又由()3,2a =-，()2,1b =，可得()22222224sin 651649S a b a b a b θ=⋅=-⋅=-=，解得72S =，即OAB 的面积为72OABS =. 【点睛】本题主要考查了向量的角公式，向量的数量积的坐标运算的综合应用，其中解答中熟记向量的基本概念，以及向量的数量积和夹角公式的坐标运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.18．（1）()max 5f x =，()min 3f x =；（2）35m <<. 【分析】（1）首先根据降幂公式化简24sin 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭，再根据辅助角公式化简函数()f x ，最后根据函数的定义域求函数的最值；（2）先解不等式得()f x 取值范围，再因为p 是q 的充分条件，得值域之间包含关系，解得m 的取值范围. 【详解】（1）()1cos 224212x f x x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⨯--，2sin 2214sin 213x x x π⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭ ，42x ππ≤≤∴22633x πππ≤-≤，1sin 2,132x π⎛⎫⎡⎤∴-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∴ ()[]3,5f x ∈()max 5f x =，()min 3f x =.（2）()22m f x m -<<+，p 是q 的充分条件，[]()3,52,2m m ∴⊆-+ 2325m m -<⎧⎨+>⎩，得35m <<. 【点睛】本题考查三角函数的化简和性质，以及与充分条件结合的子集问题求参数取值范围，意在考查转化和变形，计算求解能力，本题的第二问的关键是根据p 是q 的充分条件转化为()f x 取值范围的包含关系.19．（Ⅰ）当0a ≥时，()f x 在R 上递增；当0a <时，()f x 在(,)a -∞和(,)3a+∞上递增，在在(,)3a a 上递减；（Ⅱ）113a -≤≤-或535a ≤≤．【详解】试题分析：（1）首先分类讨论将()f x 的表达式中的绝对值号去掉，可知其为两个二次函数构成的分段函数，利用二次函数的性质再对a 的分类讨论即可求解；（2）分析题意可知问题等价于min ()4f x ≥，max ()16f x ≤，从而问题等价转化为求函数()f x 的最值，而根据（1）中的结论可知()f x 在[1,2]上递增，建立关于a 的不等式，即可求解．试题解析：（1）∵2()2f x x x x a =+-，∴2222()()(){3()()33x a a x a f x a a x x a --+≤=-->，∴当0a ≥时，()f x 在(,)a -∞和(,)a +∞上均递增，又∵2()f a a =，∴()f x 在R 上递增当0a <时，()f x 在(,)a -∞和(,)3a+∞上递增，在(,)3a a 上递减；（2）由题意只需min ()4f x ≥，max ()16f x ≤即可，由（1）可知，()f x 在[1,2]x ∈上恒递增，则min ()(1)1214f x f a ==+-≥⇒13a ≤-或53a ≥， max ()(2)4421615f x f a a ==+-≤⇒-≤≤，综上，实数a 的取值范围是15[1,][,5]33--⋃．考点：1．函数的单调性；2．分类讨论的数学思想．【方法点睛】关于恒成立问题可通过参变分离将其转化为函数最值问题来考虑，常见的重要结论有： 1．设()f x 在某个集合D 上有最小值，m 为常数，则()f x m ≥在D 上恒成立的充要条件是min ()f x m ≥；2．设()f x 在某个集合D 上有最大值，m 为常数，则()f x m ≤在D 上恒成立的充要条件是max ()f x m ≤．20．（1）CE =（2. 【分析】（1）在AEC ∆中可得AEC ∠的大小，运用余弦定理得到关于CE 的一元二次方程，通过解方程可得CE 的值；（2）中先在CDE ∆中由正弦定理得4sin 5CDE ∠=，并根据题意判断出CDE ∠为钝角，根据3DAB CDE π∠=∠-，求出cos DAB ∠．【详解】（1）因为344AEC πππ∠=-=，在AEC 中，由余弦定理得2222cos AC AE CE AE CE AEC =+-⋅∠，所以216064CE =++，所以2960CE +-=，所以CE =（2）在CDE △中，由正弦定理得sin sin CE CD CDE CED =∠∠，所以5sin 2CDE ∠=，所以4sin 5CDE ∠=.因为点D 在边BC 上，所以3CDE B π∠>∠=，而45<，所以CDE ∠只能为钝角，所以3cos 5CDE ∠=-，所以cos cos cos cos sin sin 333DAB CDE CDE CDE πππ⎛⎫∠=∠-=∠+∠ ⎪⎝⎭314525=-⨯+=. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力，属于基础题 21．（1）=n a （2）证明见解析【分析】（1）将()12n n n a S S n -=-≥代入112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可得到2211n n S S --=，从而可知数列{}2nS 是等差数列，即可求出2nS的表达式，进而可得到n S 的表达式，再结合()12n n n a S S n -=-≥，可求出n a 的表达式；（2）由（1）可得nb 21n =-+22>+，可得42n b n <-，从而2610(42)n T n <++++-，通过计算可证明结论.【详解】（1）当1n =时，1111112S a a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，整理得211a =，因为0n a >，所以11a =，当2n ≥时，11112n n n n n S S S S S --⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭，可得111n n n n S S S S --+=-，所以2211n n S S --=，即数列{}2n S 是一个以1为首项，1为公差的等差数列，所以21(1)n S n n =+-=，由0n a >，可得0n S >，则n S >所以，当2n ≥时，1-=-=n n n a S S经验证，11a =符合=n a所以正项数列{}n a的通项公式是=n a （2）由（1）得2221n n b a ===21n =-+因为20>，所以22>+，所以21n -+2221n +<-+42n =-，即42n b n <-，从而122610(42)n n T b b b n =+++<++++-2(242)22n nn +-==.【点睛】本题考查求数列的通项公式，考查数列不等式的证明，考查转化思想、放缩法的应用，考查学生的推理能力与计算能力，属于中档题. 22．（I ）单调递减区间20,a ⎛⎫-⎪⎝⎭；单调递增区间2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；（II ）f(x)在区间(0,1)内有极值，则a 的取值范围为(),0-∞.（III ）[]02x =. 【分析】（I ）由题意()g x 的定义域为()0,+∞ ()22ax g x x =-'+，对a 分类讨论：当a≥0时，当a ＜0时，即可得出单调性；（II ）()()2f x xg x =+ , 所以()f x 的定义域也为()0,+∞，且()3222x ax f x x--'=，令h （x ）=2x 3-ax-2，x ∈[0，+∞），h′（x ）=6x 2-a ，当a ＜0时，可得：函数h （x ）在（0，1）内至少存在一个变号零点x 0，且x 0也是f′（x ）的变号零点，此时f （x ）在区间（0，1）内有极值．当a≥0时，由于函数f （x ）单调，因此函数f （x ）无极值．（III ）a ＞0时，由（II ）可知：f （1）=3知x ∈（0，1）时，f （x ）＞0，因此x 0＞1．又f′（x ）在区间（1，+∞）上只有一个极小值点记为x 1，由题意可知：x 1即为x 0．得到()()0000f x f x ⎪⎩'⎧⎪⎨＝＝，即200030020220x alnx x x ax ⎧+-⎪⎨⎪--⎩＝＝，消去a 可得：3002131lnx x +-＝，a ＞0，令()()123321101t x lnx x t x x x =+-（）（＞），＝＞，分别研究单调性即可得出x 0的取值范围．【详解】（I ）由题意()g x 的定义域为()0,+∞ ()2222-a ax g x x x x +=-=-' （i ）若0a ≥，则()0g x '<在()0,+∞上恒成立，()0,+∞为其单调递减区间；（ii ）若0a <，则由()0g x '=得2x a=-， 20,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x '<，2,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，所以20,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭为其单调递减区间；2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭为其单调递增区间；（II ）()()2f x x g x =+ 所以()f x 的定义域也为()0,+∞，且()()()3'2222222ax x ax f x xg x x x x +--=+=-='' 令()()322,0,h x x ax x =--∈+∞ (*)则()26-h x x a =' (**)（i ）当0a <时, ()0h x '≥恒成立,所以为()0,+∞上的单调递增函数，又，所以在区间内存在唯一一个零点，由于为()0,+∞上的单调递增函数，所以在区间内()()()()00000,001h x f x x x h x f x x x <⇔<⇔⇔⇔<'<'，从而在()000,,1x x 单调递减在区间（，）单调递增，所以此时在区间内有唯一极值且为极小值()0f x ，0a <适合题意, （ii ）当时,即在区间(0,1)上恒成立,此时, 无极值.综上所述,若在区间内有极值，则a 的取值范围为. (III) ,由（II ）且知时, .由(**)式知，()0h x +∞在区间（）单调递增．由于()020h =-<，所以()0,0x h x ∀∈<（，又由于0h <，()()()332121122550h a a a a a a a +=+-+-=++>所以()110,1h x x x a +∞∈+在区间（，）内有唯一零点设为且）亦即()f x ' 10x +∞在区间（，）内有唯一零点，由()h x +∞）单调递增从而得()()()()()()110,,0,0,0,0x x h x f x x x h x f x ∀∈∀'+'∈∞即；，即所以，()()()110,f x x x +∞在递减；在，递增, 从而()()1f x f x 有最小值，又因为()f x 有唯一的零点0x ，所以即为,消去a ,得时令, 则在区间上为单调递增函数, 为单调递减函数, 且【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论方法，考查了分析问题与解决问题的方法，考查了零点存在但是求不出准确值的情况下的解决方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

广东省四校(佛山一中、广州六中、金山中学、中山一中)2024届高三上学期11月联考数学试题(解析版)

2024届高三级11月四校联考数学试题佛山市第一中学、广州市第六中学汕头市金山中学、中山市第一中学试卷总分：150分，考试时间：120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.本次考试采用特殊编排考号，请考生正确填涂.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第一部分选择题（共60分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}lg 0A x x =≤，{}11B x x =−≤，则A B = （）A. AB. BC. R AD. B R【答案】A 【解析】【分析】根据对数函数的性质、绝对值的性质确定集合,A B ，再由交集定义计算．【详解】由已知{|01}A x x =<≤，02{}|B x x ≤≤=，所以{|01}A B x x =< ≤=A ，故选：A2. 已知向量()3,a m =−，()1,2b =− ，若()//b a b −，则m 的值为（）A. 6−B. 4−C. 0D. 6【答案】D 【解析】【分析】根据向量的坐标运算结合向量平行的坐标表示运算求解.【详解】由题意可得：()4,2−=−+a b m，若()//b a b −，则28m +=，解得6m =. 故选：D.3. 若函数 ()3,4,4,4x a x f x ax x − ≥= −+< （0,1a a >≠）是R 上的单调函数, 则a 的取值范围为（）A. ()50,11,4 ∪B. 51,4C. 4,15D. 40,5【答案】D 【解析】【分析】根据指数函数和一次函数的单调性，结合分割点处函数值的大小关系，列出不等式，求解即可.【详解】因为 4y ax =−+是减函数，且()f x 是R 上的单调函数，根据题意，()f x 为R 上的单调减函数；故可得 01,,44a a a <<≤−+ 解得405a <≤，即a 的取值范围为40,5 ．故选：D .4. 若复数z 满足()1i 1i z +=+，则z 的虚部为（）A. B. C.D.【答案】D 【解析】【分析】先根据复数的模及除法运算求出复数z ，进而得到z ，从而求解.【详解】由()1i 1i z +=+=得z =，所以z=，即z 故选：D ．5. 数列{}n a 满足12019a =，且对*n ∀∈N ，恒有32n n n a a +=+，则7a =（） A. 2021 B. 2023C. 2035D. 2037【答案】D【解析】【分析】由已知可依次求出47,a a 的值，即可得出答案.【详解】由已知可得，14112202a a =+=，47472203a a =+=. 故选：D.6. 如图，已知圆锥的顶点为S ，AB 为底面圆的直径，点M ，C 为底面圆周上的点，并将弧AB 三等分，过AC 作平面α，使SB α∥，设α与SM 交于点N ，则SMSN的值为（）A.43B.32C.23D.34【答案】B 【解析】【分析】连接MB 交AC 于点D ，连接,,ND NA NC ，根据线面平行得性质证明SB DN ∥，再根据MC AB ∥可得DM MCDB AB=，进而可得出答案. 【详解】连接MB 交AC 于点D ，连接,,ND NA NC ，则平面NAC 即为平面α，因为SB α∥，平面SMB DN α∩=，SB ⊂平面SMB ，所以SB DN ∥，因为AB 为底面圆的直径，点M ，C 将弧AB 三等分，所以30ABM BMC MBC BAC ∠=∠=∠=∠=°，12MCBC AB ==，所以MC AB ∥且12MC AB =，所以12DM MC DB AB ==，又SB DN ∥，所以12MNDM SNDB ==，所以32SM SN =. 故选：B .7. 已知函数()f x 及其导函数()f x ′的定义域均为ππ,22 − ，且()f x 为偶函数，π26f =−，()()3cos sin 0f x x f x x ′+>，则不等式3π1cos 024f x x+−>的解集为（）A. π,03−B. ππ,32C. 2ππ,33−D. 2π,03−【答案】D 【解析】【分析】构建()()3ππsin ,,22=∈− g x f x x x ，求导，利用导数判断原函数单调性，结合单调性解不等式.【详解】令()()3ππsin ,,22=∈−g x f x x x ，则()()()()()2323sin co 3cos s sin si sin n ′′=+=′+ g x f x x x f x x f x x f x x x ，因为ππ,22x∈−，则sin 0x >，且()()3cos sin 0f x x f x x ′+>，可知()0g x ′>，则()g x 在ππ,22−上单调递增，又因为()f x 为偶函数，ππ266f f −==−，可得3πππ1sin 6664−=−−= g f 令()1π46>=−g x g ，可得ππ62x −<<，注意到33ππππsin cos 2222g x f x x f x x+=++=+，不等式3π1cos 024f x x +−>，等价于ππ26+>−g x g ，可得πππ622−<+<x ，解得2π03−<<x ，所以不等式3π1cos 024f x x+−>的解集为2π,03 −. 故选：D.【点睛】关键点睛：构建函数()()3ππsin ,,22 =∈−g x f x x x ，利用单调性解不等式()14g x >，利用诱导公式可得3π1cos 024f x x +−>，等价于ππ26+>− g x g ，即可得结果. 8.已知函数21()sin 0)22xf x x ωωω=+>，若()f x 在3,22ππ上无零点，则ω的取值范围是（）A. 280,,99+∞B. 228(0,][,]939C. 28(0,][,1]99D. [)28,991,∞+ 【答案】B 【解析】【分析】先结合二倍角公式和辅助角公式将函数进行化简,得到 ()sin 3f x x πω=−,由题可得323232T ωππωπππω −−−≤=和233(1)23k k ωπππωπππ ≤− +≥−,结合0ω>即可得解.【详解】因为211()sin 0)cos )sin 222xf x x x x ωωωωω+>−+−1sin sin 23x x x πωωω==−若322x ππ<<，则323323x ωπππωππω−<−<−，∴323232T ωππωπππω −−−≤=，则21ω≤，又0ω>，解得01ω<≤.又233(1)23k k ωπππωπππ ≤−+≥− ，解得2282()339k k k Z ω+≤≤+∈. 228233928039k k k +≤+ +> ，解得4132k −<≤，k Z ∈ ，0k ∴=或1−.当0k =时，2839ω≤≤；当1k =−时，01ω<≤，可得209ω<≤.∴2280,,939ω∈. 故选B.【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，还涉及二倍角公式和辅助角公式，考查学生数形结合的思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有至少两项符合题目要求.全部选对的得2分，有选错的得0分）9. 若{}n a 是公比为q 的等比数列，记n S 为{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的是（） A. 若{}n a 是递增数列，则1q > B. 若10a >，01q <<，则{}n a 是递减数列 C. 若0q >，则4652S S S +> D. 若1n nb a =，则{}n b 是等比数列【答案】BD 【解析】【分析】对于AC ：举反例分析判断；对于B ：根据数列单调性的定义结合等比数列通项公式分析判断；对于D ：根据等比数列定义分析判断.【详解】对于选项A ：例如111,2a q =−=，则112n n a − =−，可知数列{}n a 是递增数列，但1q <，故A 错误；对于选项B ：因为()1111111n n n n n a a a q a qa q q −−+−=−=−，若10a >，01q <<，则110,0,10−>>−<n a q q ，可得10n n a a +−<，即1n n a a +<，所以数列{}n a 是递减数列，故B 正确；对于选项C ：例如1q =，则11461541026=++==a a S S a S ，即4652S S S +=，故C 错误；对于选项D ：因为{}n a 是公比为q 的等比数列，则0n a ≠，则111111n n n n n nb a a b a q a +++===，所以数列{}n b 是以公比为1q 的等比数列，故D 正确；故选：BD.10.已知(a = ，若1b = ，且π6,a b = ，则（）A. a b b −=B. b 在a方向上投影向量的坐标为 C. ()2a a b ⊥−D. ()23b a b ⊥−【答案】ACD 【解析】【分析】根据模长公式判断A 选项,根据投影向量公式判断B 选项,根据数量积公式结合向量垂直计算判断C,D 选项.【详解】(,a a =∴=，1a b −=, A 选项正确；b 在a方向上投影向量的坐标为π1cos 162a b a ⋅=×=， B 选项错误；()22π2=22cos 32106a a b a a b a a b ⋅−−⋅=−⋅=−×= ，()2a a b ∴⊥− ，C 选项正确；()22π23=232cos 321306b a b a b b a b b ⋅−⋅−=⋅−=×−= ，D 选项正确；故选：ACD.11. 定义{}max ,a b 为a ，b 中较大的数，已知函数(){}max sin ,cos f x x x =，则下列结论中正确的有（）A. ()f x 的值域为[]1,1−B. ()f x 是周期函数C. ()f x 图像既有对称轴又有对称中心D. 不等式()0f x >的解集为π2π2ππ,2x k x k k−+<<+∈Z 【答案】BD 【解析】【分析】做出函数()f x 的图像，利用图像确定出值域，周期，单调区间，即可求解.【详解】做出函数()f x 的图像，如图所示：令sin cos x x =π04x−=，则ππ4x k −=，k ∈Z ，解得ππ4x k =+，k ∈Z ，当5π2π4xk =+，k ∈Z 时，()f x =由图可知，()f x 的值域为，故A 错误；且()f x 是以2π为最小正周期的周期函数，故B 正确；由图可知函数()f x 有对称轴，但是没有对称中心，故C 错误；由图可知，()π2π2ππ2k x k k −+<<+∈Z 时，()0f x >，故D 正确. 故选：BD.12. 定义在()1,1−上的函数()f x 满足()()1x y f x f y f xy−−=−，且当()1,0x ∈−时，()0f x <，则下列结论中正确的有（） A. ()f x 奇函数 B. ()f x 是增函数 C. 112243f f f+=D. 111342f f f+<【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ：根据题意结合奇函数的定义分析判断；对于B ：根据题意结合函数单调性分析判断；对于C ：根据题意令21,34==xy 代入运算即可；对于D ：令11,24x y ==，结合函数单调性分析判断. 【详解】对于选项A ：因为()()1x y f x f y f xy −−=−，令0xy ==，则()()()000f f f −=，可得()00f =，令y x =−得：22()()1x f x f x f x −−= +，再以x −代x ，得：22()()1x f x f x f x −−−=+，两式相加得：2222011x x f f x x −+=++，即222211x x f f x x −=− ++ ，令()()22,1,11=∈−+x g x x x ，则()()()2222101−′=>+x g x x 对任意()1,1x ∈−恒成立，可知()g x 在()1,1−上单调递增，且()()11,11g g −=−=，所以()g x 在()1,1−内的值域为()1,1−，由222211x x f f x x −=−++，()1,1x ∈−，即()()f x f x −=−，()1,1x ∈−，是所以定义在(1,1)−上的函数()f x 为奇函数，故A 正确；对于选项B ：因为函数()f x 为定义在(1,1)−上的奇函数，且当(1,0)x ∈−时，()0f x <，不妨设1211x x −<<<，则121212()()1x x f x f x f x x−−=−，因为1211x x −<<<，则121201x x x x −<−且12121212(1)(1)1011x x x x x x x x −+−+=>−− 可知1212101x x x x −−<<−，所以121201x x f x x−< −，则12())0(f x f x −<，即12()()f x f x <，故函数()f x 在(1,1)−上为增函数，B 正确；对于选项C ，令21,34==x y ，且()()1x y f x f y f xy −−=−，则211342−=f f f ，即112243f f f+=，故C 正确；对于选项D ：令11,24x y ==，且()()1x y f x f y f xy −−= −，则112247−=f f f ，因为2173<，且函数()f x 在(1,1)−上为增函数，可得2173<f f ，即111243−<f f f ，所以111342+>f f f ，故D 错误. 故选：ABC.【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．第二部分非选择题（共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知()2y f x x =−为奇函数，且()13f =，则()1f −=________.【答案】1− 【解析】【分析】由题意()()2y g x f x x ==−为奇函数，所以由奇函数的性质有()()()()111120g g f f +−=+−−=，结合()13f =即可求解. 【详解】由题意()()2y g x f x x ==−为奇函数，所以由奇函数的性质可得()()()()()()()221111111120g g f f f f +−=−+−−−=+−−=，又因为()13f =，所以解得()11f −=−. 故答案为：1−.14. 设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且2cos π3=−nnS n ，则6a =________. 【答案】212##10.5 【解析】【分析】根据n a 与n S 之间的关系，结合诱导公式运算求解.【详解】因为2cos π3=−n n S n ，则255ππ15cos π25cos 2π25cos 253332 =−=−−=−=−S ， 266cos 2π36135−−S ，所以665121352522=−=−−=a S S 故答案为：212. 15. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .120ABC ∠=°，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则43a c +的最小值为________.【答案】7+【解析】【分析】利用等面积法可得ac a c =+，从而111a c+=，再利用乘“1”法及基本不等式可求解．【详解】因为ABCABD BCD S S S =+△△△，所以111sin1201sin 601sin 60222ac c a ⋅°=××°+××°，所以ac a c =+，可得111a c+=．所以()41134773437a c a c c a a c a c=+=+++≥+=++ .（当且仅当34c a a c=，即1a =+，1c =+．故答案为：7+16. 设()()ln ,024,24x x f x f x x <≤= −<<，若方程() f x m =恰有三个不相等的实根，则这三个根之和为________；若方程() f x m =有四个不相等的实根()1,2,3,4i x i =，且1234x x x x <<<，则()2221234x x x x +++的取值范围为______. 【答案】 ①. 6 ②. 45(22,)2【解析】【分析】由函数解析式知函数图象关于直线2x =对称，作出图象，可知212x <<，234x x +=，144x x +=，即可求得12348x x x x +++=，同时把()2221234x x x x +++用2x 表示，利用换元法，函数的单调性求得其范围．【详解】()(4)f x f x =−，因此()f x 的图象关于直线2x =对称，作出函数()f x 的图象，如图，作直线y m =，若是三个根，则1m =，12317,2,22x x x ===，1236x x x ++=，若是四个根，由图可知212x <<，234x x +=，144x x +=，所以12348x x x x +++=， 12ln ln x x -=，因此121=x x ，()222222222123422222221121()(4)(4)28()34x x x x x x x x x x x x =++−+−=+−+++++22222112()8()30x x x x =+−++，令221t x x =+，则()222123422(2)22t x x x x +=+−++，对函数1(12)y m m m=+<<，设1212m m <<<，1212121212111()(1)y y m m m m m m m m −=+−−=−−，因为1212m m <<<，所以120m m −<，12110m m −>，所以120y y −<，即12y y <，即1(12)y m m m=+<<是增函数，所以522y <<，因素2215(2,)2t x x =+∈，22(2)22y t =−+在5(2,)2t ∈时递增，所以2452(2)22(22,)2y t =−+∈．故答案为：6；45(22,)2．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 若()()πsin 0,0,2y f x A x A ωϕωϕ+>><的部分图象如图所示．（1）求函数()y f x =的解析式；（2）将()y f x =图象上所有点向左平行移动(0)θθ>个单位长度，得到()y g x =的图象；若()y g x =图象的一个对称中心为5π06，，求θ的最小值．【答案】（1）()π2sin 26f x x=+（2）π12【解析】【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由代入点法求出ϕ的值，从而可得函数的解析式．（2）根据函数sin()yA x ωϕ+的图象变换规律求得()g x 的解析式，再利用整体代换法与正弦函数的对称性得到θ关于k 的表达式，从而求得θ的最小值．【小问1详解】根据()f x 的部分图象易知其最大值为2，又0A >，故2A =，周期11πππ1212T=−−=，则2ππω=，又0ω>，所以2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+，又π,012−在图象上，所以π2sin 06ϕ −+=，故11π2π,6k k ϕ−+=∈Z ，则11π2π,6k k ϕ=+∈Z ，又π2ϕ<，所以π6ϕ=，所以()π2sin 26f x x=+. 【小问2详解】将()y f x =图象上所有点向左平行移动(0)θθ>个单位长度，得到()()ππ2sin 22sin 2266y g x x x θθ==++=++的图象，因为()y g x =图象的一个对称中心为5π06，，所以5ππ22π,66k k θ×++=∈Z ，即π11π,212k k θ=−∈Z ，因为0θ>，所以π11π0212k −>，则116k >，又k ∈Z ，所以当2k =时，θ取得最小值为π12． 18. 已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，12a =，且139,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足11111,2n n n b a b b −−，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）2n a n =；（2）1n n S n =+. 【解析】【分析】（1）设{}n a 的公差为d ，由等比中项的性质有()2(22)228d d +=+可求d ，进而写出{}n a 的通项公式；（2）应用累加法求{}n b 的通项公式，再由裂项相消法求{}n b 的前n 项和n S .【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由12a =，2319a a a =有：()2(22)228d d +=+，解得2d =或0d =(舍去)∴2n a n =. （2）1112n n n b b −−=， ∴()112211111112,21,,22n n n n n n b b b b b b −−−−=−=−−=× ，将它们累加得：2111 2.n n n b b −=+− ∴21n b n n=+，则()111111223111n n S n n n n =+++=−=××+++ . 19. 如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=°，侧面PAD 为等边三角形．（1）求证：AD PB ⊥；（2）若P AD B −−的大小为120°，求A PB C −−的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】【分析】(1)取AD 的中点O ，连接OB ，OP ，BD ，证明AD ⊥平面POB 即得；(2)在平面POB 内过O 作Oz OB ⊥，以射线OA ，OB ，Oz 分别为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，借助空间向量推理计算即可得解.【详解】（1）取AD 的中点O ，连接OB ，OP ，BD ，如图，因PAD 为正三角形，则OP AD ⊥，又底面ABCD 是菱形，且60BAD ∠=°，则ABD △是正三角形，于是得OB AD ⊥，而OP OB O = ，,OP OB ⊂平面POB ，则AD ⊥平面POB ，又PB ⊂平面POB ，所以AD PB ⊥；（2）由(1)知P AD B −−的平面角为POB ∠，即120POB ∠=°，==OP OB ，显然平面POB ⊥平面ABD POB 内过O 作Oz OB ⊥，平面POB 平面ABD OB =，则Oz ⊥平面ABD ，如图，以O 为原点建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，B ，(C −，3(0,)2P ，(AB − ，3)2PB =− ，(2,0,0)CB = ，设平面PAB 的法向量为1111(,,)n x y z =，则1111113020n PB y z n AB x ⋅=−= ⋅=−+= ，令11y =，得1n =，设平面PBC 的法向量为2222(,,)n x y z =，则2222220302n CB x n PBz ⋅==⋅=−=，令21y =，得2n =，121212cos ||||n n n n n n ⋅〈⋅〉==⋅，设A PB C −−的大小为θ，从而得sin θ=，所以A PB C −−. 20. 已知()()1ln 0f x x ax a x=−≥，e 为自然对数的底数. （1）若函数()f x 在e x =处的切线平行于x 轴，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在1,e e上有且仅有两个零点，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）()f x 的单调递增区间为()0,e ，单调递减区间为()e,+∞（2）211e 2ea << 【解析】【分析】（1）求出()f x ′，利用导数的几何意义得到0a =，再利用导数与函数性质的关系即可得解；（2）构造函数()2ln xF x x=，将问题转化为()F x 与y a =的图象有两个交点，利用导数分析()F x 的性质，结合图象即可得解. 【小问1详解】因为()()1ln 0f x x ax a x=−≥，所以()21ln x f x a x −′=−，的又函数()f x 在e x =处的切线平行于x 轴，则()e 0f ′=，即21ln e0ea −−=，解得0a =，此时()21ln xf x x−′=，令()0f x ′=，解得e x =，当0e x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增，当e x >时，()0f x ′<，()f x 单调递减，所以()f x 的单调递增区间为()0,e ，单调递减区间为()e,+∞. 【小问2详解】因()f x 在1,e e上有且仅有两个零点，令()0f x =，则1ln 0x ax x −=，即2ln x a x =在1,e e上有且仅有两个零点，令()2ln x F x x =，1,e e x∈，则问题转化为()F x 与y a =的图象有两个交点，又()312ln xF x x−′=，当1ex ∈ 时，()0F x ′>，)F x 单调递增，当)x ∈时，()0F x ′<，()F x 单调递减，所以()F x在x =12eF=，又201e e F =− <，()2e e 1F =，作出()F x 与y a =的大致图象，如图，为结合图象可得211e 2ea <<，所以实数a 的取值范围为211e 2ea <<. 21. 某单位为端正工作人员仪容，在单位设置一面平面镜.如图，平面镜宽BC 为2m ，某人在A 点处观察到自己在平面镜中所成的像为A ′.当且仅当线段AA ′与线段BC 有异于B ，C 的交点D 时，此人能在镜中看到自己的像.已知π3BAC ∠=.（1）若在A 点处能在镜中看到自己的像，求ACAB的取值范围；（2）求某人在A 处与其在平面镜中的像的距离AA ′的最大值. 【答案】（1）1,22（2）【解析】【分析】（1）设ACB θ∠=，则ππ62θ<<，利用正弦定理结合三角恒等变换可得)sin AC θθ=+，AB θ=，进而整理可得12AC AB =，结合正切函数运算求解；（2）根据（1）中结果结合三角恒等变换整理得π26AA θ=−+′，结合正弦函数分析求解. 【小问1详解】设ACB θ∠=，由题意可知ABC 为锐角三角形，则π022ππ032θθ<<<−<，可得ππ62θ<<，由正弦定理sin sin sinAC AB BCABC ACB BAC===∠∠∠，可得)πsin3AC ABCθθθ=∠=+=+，AB ACBθ=∠=，则12ACAB=+，因为ππ62θ<<，则tanθ>，可得1tanθ<<，即32<<，所以1,22ACAB∈.【小问2详解】由（1）可知：)sinACθθ=+，ABθ=，由题意可知：A A BC′⊥，AD AA=′，利用等面积法可得)1112sin222AAθθθ××=+′整理得2π4sin cos2sin2226 AAθθθθθθ==−−′，因为ππ62θ<<，则ππ5π2,666θ−∈，当ππ262θ−=，即π3θ=时，AA′取到最大值.22. 设()2cos1f x ax x=+−，a∈R.（1）当1πa=时，求函数()f x的最小值；（2）当12a≥时，证明：()0f x≥；（3）证明：()*1114coscos cos ,1233+++>−∈>n n n nN . 【答案】22. π14− 23. 证明见解析 24. 证明见解析【解析】【分析】（1）由题意可知：()f x 为偶函数，所以仅需研究0x ≥的部分，求导，分π2x >和π02x ≤<两种情况，利用导数判断原函数的单调性和最值；（2）由题意可知：()f x 为偶函数，所以仅需研究0x ≥的部分，求导，利用导数判断原函数的单调性和最值，分析证明；（3）由（2）可得：()211cos12>−≥n n n ，分2n =和3n ≥两种情况，利用裂项相消法分析证明；【小问1详解】因为()f x 的定义域为R ，且()()()()22cos 1cos 1−−+−−+−f x a x x ax x f x ，所以()f x 为偶函数，下取0x ≥，当1πa =时，()21cos 1π=+−f x x x ，则()2sin π′=−f x x x ，当π2x >时，则()2sin 1sin 0π′=−>−≥f x x x x ，可知()f x 在π,2∞ +内单调递增，当π02x ≤≤时，令()()g x f x ′=，则()2cos π′=−g x x ，可知()g x ′在π0,2内单调递增，因为201π<<，则0π0,2x ∃∈ ，使得02cos πx =，当[)00,x x ∈时，()0g x ′<；当0π,2x x ∈ 时，()0g x ′>；所以()g x 在[)00,x 上单调递减，在0π,2x上单调递增，且()π002g g == ，则()()0f x g x ′=≤在π0,2 内恒成立，可知()f x 在π0,2内单调递减；综上所述：()f x 在π0,2 内单调递减，在π,2∞ + 内单调递增，所以()f x 在[)0,∞+内的最小值为ππ124f =−，又因为()f x 为偶函数，所以()f x 在R 内的最小值为π14−. 【小问2详解】由（1）可知()f x 为定义在R 上的偶函数，下取0x ≥，可知()2sin f x ax x ′=−，令()()2sin ϕ′==−x f x ax x ，因12a ≥，则()2cos 1cos 0x a x x ϕ≥−′=−≥，则()x ϕ在[)0,∞+内单调递增，可得()()00x ϕϕ≥=，即()0f x ′≥在[)0,∞+内恒成立，可知()f x 在[)0,∞+内单调递增，所以()f x 在[)0,∞+内的最小值为()00f =，结合偶函数性质可知：()0f x ≥.【小问3详解】由（2）可得：当1a =时，()2cos 10=+−≥f x x x ，当且仅当0x =时，等号成立，即2cos 1≥−x x ，令*1,2,=≥∈x n n nN ，则211cos 1>−n n ，当2n =时，211324cos 1222433>−=>=−，不等式成立；当3n ≥时，222114411cos 111124412121 >−=−>−=−− −−+n n n n n n ，即111cos 122121 >−− −+n n n ，则有： 111cos 12235 >−− ，111cos 12357 >−− ，⋅⋅⋅，111cos 122121 >−− −+n n n ，相加可得：()()11111425cos cos cos 12233213321− +++>−−−=−− ++n n n n n n ，为因为3n ≥，则()250321−>+n n ，所以1114cos cos cos 233+++>− n n ；综上所述：()*1114cos cos cos ,1233+++>−∈>n n n nN . 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形；（2）构造新的函数()f x ；（3）利用导数研究()f x 的单调性或最值；（4）根据单调性及最值，得到所证不等式；特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．。

广东省汕头市金山中学2021届高三数学上学期期中试题理

广东省汕头市金山中学2021届高三数学上学期期中试题理一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知集合，则等于（）A. B. C.D.2．已知复数12z i =+，且复数12,z z 在复平面内对应的点关于实轴对称，则12z z =( ) A ．1i +B ．3455i + C ．3455i - D ．413i +3．下列说法正确的是（）A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”B ．已知()y f x =是R 上的可导函数，则“()00f x '=”是“x 0是函数()y f x =的极值点”的必要不充分条件C ．命题“存在x ∈R ，使得210x x ++<”的否定是：“对任意x ∈R ，均有210x x ++<”D ．命题“角α的终边在第一象限角，则α是锐角”的逆否命题为真命题 4．已知函数2()3cos cos f x x x x =+，则（） A ．()f x 的图象关于直线6x π=对称B ．()f x 的最大值为2C ．()f x 的最小值为1-D ．()f x 的图象关于点(,0)12π-对称5．一物体在力F (x )＝3x 2－2x ＋5(力单位：N ，位移单位：m)作用力下，沿与力F (x )相同的方向由x ＝5 m 直线运动到x ＝10 m 处做的功是( )． A ．925 J B ．850 J C ．825 J D ．800 J 6．如果'()f x 是二次函数，且'()f x 的图象开口向上，顶点坐标为3)，那么曲线()y f x =上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是（）A ．(0,]3πB ．[,)32ππC ．2(,]23ππD ．[,)3ππ7．已知()()sin (0,0,,)2f x A x A x R πωϕωϕ=+>><∈在一个周期内的图像如图所示，则()y f x =的图像可由函数cos y x =的图像（纵坐标不变）（）得到．A ．先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向左平移6π单位 B ．先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移12π单位C ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移6π单位D ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，，再向左平移12π单位 8．已知函数，，则下列说法正确的是（）A.与的定义域都是B.为奇函数，为偶函数C.的值域为，的值域为 D.与都不是周期函数9．设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a b ⨯是一个向量，它的模sin a b a b θ⨯=⋅⋅，若()()3,1,1,3a b =--=，则a b ⨯=（）A ．2B ．3C ．23D ．410．如图，可导函数()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线方程为()y g x =，设()()()h x g x f x =-，)'(h x 为()h x 的导函数，则下列结论中正确的是（）A ．0'()0h x =，0x 是()h x 的极大值点B ．0'()0h x =，0x 是()h x 的极小值点C ．0'()0h x ≠，0x 不是()h x 的极值点D ．0'()0h x ≠，0x 是()h x 是的极值点11．已知函数()()f x x ∈R 满足，若函数与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅ 则1()miii x y =+=∑ （）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m 12．设a 为常数，函数()()2ln 1f x x x ax =--，给出以下结论：（1）若2a e -=，则()f x 存在唯一零点（2）若1a >，则()0f x < （3）若()f x 有两个极值点12,x x ，则1212ln ln 1x x x x e-<-其中正确结论的个数是（） A.3B.2C.1D.0二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知一个扇形的周长为，则当该扇形的半径__________时，面积最大.14．如图，在直角三角形ABC 中，2AB =，60B ∠=，AD BC ⊥，垂足为D ，则 AB AD ⋅的值为_____ 15．已知角3πα+的始边是x 轴非负半轴．其终边经过点34(,)55P --，则sin α的值为__________． 16．下列是有关ABC ∆的几个命题，①若tan tan tan 0A B C ++>，则ABC ∆是锐角三角形；②若sin2sin2A B =，则ABC ∆是等腰三角形；③若()0AB AC BC +⋅=，则ABC ∆是等腰三角形；④若 cos sin A B =，则ABC ∆是直角三角形；其中所有正确命题的序号是_______三、解答题（共70分。

专题04 离子反应方程式与离子推断(解析版)

专题03 离子方程式与离子推断1．（广东实验中学2021届高三阶段测试）下列离子方程式书写正确的是( )A ．向硫酸铜溶液中加入过量的NaHS 溶液：Cu 2++2HS －=CuS↓+H 2S↑B ．用铜电极电解氯化钙溶液：2Cl －+2H 2O =======通电Cl 2↑+H 2↑+2OH －C ．将FeI 2溶液和稀硝酸混合：Fe 2++4H ++3NO -=Fe 3++2H 2O+NO↑D ．Mg(HCO 3)2溶液中加入足量NaOH 溶液：Mg 2++23HCO -+2OH －=MgCO 3↓+CO 32-+2H 2O【答案】A【解析】向硫酸铜溶液中加入过量的NaHS 溶液，反应生成硫化铜沉淀和硫化氢气体：Cu 2++2HS －=CuS↓ +H 2S↑，故A 正确；用铜电极电解氯化钙溶液，阳极是铜失去电子变为铜离子，阴极是水中氢离子得到电子变为氢气：Cu+2H 2O =======通电H 2↑+Cu(OH)2↓，故B 错误；将FeI 2溶液和稀硝酸混合，碘离子的还原性大于亚铁离子还原性，因此碘离子先与硝酸反应，故C 错误；Mg(HCO 3)2溶液中加入足量NaOH 溶液，镁离子变为氢氧化镁沉淀：Mg 2++2HCO 3-+4OH －=Mg(OH)2↓+2CO 32-+2H 2O ，故D 错误。

综上所述，答案为A 。

2．（河北省衡水中学2021届高三联考）下列离子方程式中能正确表达反应现象的是A ．向偏铝酸钠溶液中加入小苏打溶液，出现白色沉淀：AlO -2+HCO -3+H 2O=Al(OH)3↓+CO 2-3B ．将酸性KMnO 4溶液滴入双氧水中，得到无色溶液：2MnO 4-+H 2O 2+6H +=2Mn 2++3O 2↑+4H 2OC ．将铁棒和铜棒靠紧插入AgNO 3溶液中，铜棒表面附着银白色金属：2Ag ++Cu=2Ag+Cu 2+D ．向久置的浓硝酸中通入空气，浓硝酸的黄色消失：4NO+3O 2+2H 2O=4H ++4NO -3【答案】A【解析】偏铝酸钠与碳酸氢钠发生双水解反应，生成碳酸钠和氢氧化铝沉淀，反应方程式为：NaAlO 2+NaHCO 3+H 2O=Na 2CO 3+Al(OH)3↓，离子方程式为： AlO -2+HCO 3-+H 2O=Al(OH)3↓+CO 32-，故A 正确；将酸性KMnO 4溶液滴入双氧水中，得到无色溶液，离子方程式：2MnO 4-+5H 2O 2+6H +═2Mn 2++5O 2↑+8H 2O ，故B 错误；将铁棒和铜棒靠紧插入AgNO 3溶液中，铜棒表面附着银白色金属，离子方程式：2Ag ++Fe═ 2Ag+Fe 2+，故C 错误；向久置的浓硝酸中通入空气，浓硝酸的黄色消失：4NO 2+O 2+2H 2O═4H ++4NO 3-，故D 错误；故选A 。

广东省汕头市金山中学2021届高三年级上学期联考数学试题

厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为( )
A．41
B．42
C ． 43
D．44
6． Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立
了某地区新冠肺炎累计确诊病例数， I （t）（t 的单位：天）的 Logis模ti型c：
I(t) = K
1+ e −0.23(t−53) ,其中 K 为最大确诊病例数．当 I (t*) = 0.95K 时，标志着已初步遏制
疫情，则 t*约为( ) (In19 3)
A．60
B．63
C．66
D．69
1
7．若函数
f
(x)
=
−2 cos2
x
+
2 sin
x
+
a
[−
在
6
,
3
]
上的最小值为
2
，则
f
(x)
[−
在
6
,
3
]
上的最大值为( )
A．4
B．5
3+ 3 C． 2
5+ 3 D． 2
1
8．已知双曲线 E 的中心为原点，F (3,0) 是 E 的焦点，过 F 的直线 l 与 E 相交于 A，B 两点，
15．正四棱锥 S-ABCD 底面边长为 2，高为 l，E 是边 BC 的中点，动点 P 在四棱锥表面上
运动，并且总保持 PE AC = 0 ，则动点 P 的轨迹的周长为＿＿＿＿＿＿
16．己知数列{bn} 的前 n 项和为Tn ，且 2bn = Tn + 2 ,数列{bn} 的通项公式为＿＿＿；数列
A．第一象限

广东省汕头市金山中学2021届高三数学上学期期中试卷理(1)

广东省汕头市金山中学2021届高三数学上学期期中试卷理第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：(本大题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．设集合}021|{≤-+=x x x M ，}212|{>=x x N ，那么M N =（）A ．),1(+∞-B ．)2,1[-C ．)2,1(-D ．]2,1[- 2．已知,αβ角的终边均在第一象限，那么“αβ>”是“sin sin αβ>”的（）A ．充分没必要要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．函数周期为π，其图像的一条对称轴是3x π=，那么此函数的解析式能够是（）A ．sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B ．sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ．sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．sin 26x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 4．设a 、b 都是非零向量,以下四个条件中,必然能使0||||a ba b +=成立的是（） A ．2a b = B ．//a b C ． 13a b =- D ．a b ⊥5．方程()()2ln 10,0x x x+-=>的根存在的大致区间是（） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,e D ．()3,4 6．已知向量,a b 的夹角为45︒，且1a =，210a b -=，那么b =（）A B ．2 C ． D ．7．已知函数()()21,f x x g x kx =-+=，假设方程()()f x g x =有两个不相等的实根，那么实数k 的取值范围是（） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,2D ．()2,+∞ 8．设向量),(21a a a =，),(21b b b =，概念一种向量积：),(),(),(22112121b a b a b b a a b a =⊗=⊗．已知向量)4,21(=m ，)0,6(π=n ，点P 在cos y x =的图象上运动，点Q 在()y f x =的图象上运动，且知足n OP m OQ +⊗=（其中O 为坐标原点），那么()y f x =在区间]3,6[ππ上的最大值是（）A ．2B ．C ．D ． 4第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：(本大题共７小题，作答６小题，每题5分，共30分.) （一）必做题（9～13题） 9．函数21()log 1f x x =-的概念域为。

2021年广东省汕头市金山中学高考数学联考试卷(5月份)(附答案详解)

2021年广东省汕头市金山中学高考数学联考试卷（5月份）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（本大题共9小题，共45.0分）1.已知集合M={x|y=ln(x+6)}，N={y|y=2x−1}，则下列关系正确的是()A. M⊆NB. N⊆MC. N∈MD. M∩N=⌀2.己知C n5=252，则自然数n的值是()A. 9B. 10C. 11D. 123.已知函数f(x)=sinx+e x−1，则函数f(x)的图象为()e x+1A.B.C.D.4.a>2是a+2a>3的()A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件5.如图，我国古代珠算算具算盘每个档(挂珠的杆)上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面两颗叫上珠，下面5颗叫下珠．若从某一档的7颗算珠中任取3颗，至少含有一颗上珠的概率为()A. 57B. 47C. 27D. 176.对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是()A. r2<r4<0<r3<r1B. r4<r2<0<r1<r3C. r4<r2<0<r3<r1D. r2<r4<0<r1<r37.△ABC中，BD是AC边上的高，A=π4，cosB=−√55，则BDAC=()A. 14B. 12C. 23D. 348.如图，已知双曲线x2a2−y2b2=1(b>a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A，若△AF1F2的内切圆半径为b4，则双曲线的离心率为()A. 2√33B. 54C. 53D. 3√229.用一个平面去截正方体，则截面不可能是()A. 正三角形B. 正方形C. 正五边形D. 正六边形二、多选题（本大题共3小题，共15.0分） 10. 若复数z 满足z−iz+1=i ，则( )A. z −=1+i B. |z|=√2C. z 在复平面内对应的点位于第四象限D. z 2为纯虚数11. 已知圆M ：x 2+y 2−4x −1=0，点P(x,y)是圆M 上的动点，则下列说法正确的有( )A. 圆M 关于直线x +3y −2=0对称B. 直线x +y =0与M 的相交弦长为√3C. t =yx+3的最大值为12 D. x 2+y 2的最小值为9−4√512. 关于函数f(x)=2x +lnx ，下列判断正确的是( )A. x =2是f(x)的极大值点B. 函数y =f(x)−x 有且只有1个零点C. 存在正实数k ，使得f(x)>kx 成立D. 对任意两个正实数x 1，x 2，且x 1>x 2，若f(x 1)=f(x 2)，则x 1+x 2>4三、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 若cos(x −π6)=13，则sin(2x +π6)= ______ ．14. 若(x 4+1) (x +a√x 3)6的展开式中x 2的系数为224，则正实数a 的值为______ ． 15. 已知数列{a n }满足a 1=1，a 2n+1−a 2n =1，a 2n =2a 2n−1，则a 2021= ______ ． 16. 如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M ，N 分别是边BC ，CD 上的两个动点，且|MN|=2，P 为MN 的中点，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则1λ+1μ的最大值是______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知{a n}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．(1)求数列{a n}的通项．}的前n项和为T n．(2)设数列{a n}的前n项和为S n，求数列{1S n18.在①b=√3，②sinB+sinC=2sinA，③bc=10这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出△ABC的面积；若问题中的三角形不存在，请说明理由．问题：是否存在△ABC它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3sin(A+B)= csin B+C，a=3，____？219.如图，在直角梯形ABCD中，AB//DC，且AB=2DC，∠ABC=90°，BC=CD=2，E为AB的中点.连接DE，以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC=2√3．(Ⅰ)证明：PD⊥EB；(Ⅱ)求PB与平面PDC所成角θ的大小．20.为加强进口冷链食品监管，某省于2020年底在全省建立进口冷链食品集中监管专仓制度，在口岸、目的地市(或县区、市)等进口冷链食品第一入境点，设立进口冷链食品集中监管专仓，集中开展核酸检测和预防性全面消毒工作，为了进一步确定某批进口冷冻食品是否感染病毒，在入关检疫时需要对其采样进行化验，若结果呈阳性，则有该病毒；若结果呈阴性，则没有该病毒，对于n(n∈N∗)份样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需检验n次：二是混合检验，将k份样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这k份全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份究竟哪些为阳性，就需要对它们再次取样逐份检验，则k份检验的次数共为k+1次，若每份样本没有该病毒的概率为√p(0< p<1)，而且样本之间是否有该病毒是相互独立的．(1)若p=2，求2份样本混合的结果为阳性的概率；3(2)若取得4份样本，考虑以下两种检验方案；方案一：采用混合检验；方案二：平均分成两组，每组2份样本采用混合检验．若检验次数的期望值越小，则方案越“优”.试间方案一、二哪个更“优”？请说明理由．21.已知函数f(x)=e x−alnx．(1)若函数f(x)在定义域内为增函数，求实数a的取值范围；(2)当a=e2时，求证：f(x)>0．22.已知椭圆C：x2+y2=1的右焦点为F，过点F的直线(不与x轴重合)与椭圆C相2交于A，B两点，直线l：x=2与x轴相交于点H，过点A作AD⊥l，垂足为D．(Ⅰ)求四边形OAHB(O为坐标原点)面积的取值范围；(Ⅱ)证明直线BD过定点E.并求出点E的坐标答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵y=ln(x+6)，∴x+6>0，∴x>−6，∴A={x|x>−6}，∵y=2x−1>−1，∴B={y|y>−1}，∴B⊆A．故选：B．先求出集合A，B，再根据集合的基本关系即可求解．本题主要考查集合的基本关系，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：当n=9，11，12时，则C n5≠252，∴A，C，D错误，当n=10时，则C105=10×9×8×7×65×4×3×2×1=252，∴B正确．故选：B．利用组合数公式，分别求出C n5的值即可．本题考查组合数公式的应用，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：根据题意，函数f(x)=sinx+e x−1e x+1，其定义域为R，且有f(0)=0，故f(x)的图像经过原点，排除B，f(−x)=sin(−x)+e−x−1e−x+1=−sinx+1−e x1+e x=−(sinx+e x−1e x+1)=−f(x)，即函数f(x)为奇函数，排除D，f(π)=sinπ+eπ−1eπ+1=eπ−1eπ+1>0，排除A，故选：C．根据题意，由函数的解析式可得f(0)=0，排除B，分析函数为奇函数排除D，再由f(π)> 0排除A，即可得答案．本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性以及函数值符号的分析，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：由a+2a>3，解得0<a<1或a>2，故由a>2可推出a+2a>3，由a+2a>3不能推出a>2，故a>2是a+2a>3的充分不必要条件，故选：C．化简不等式，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：我国古代珠算算具算盘每个档(挂珠的杆)上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面两颗叫上珠，下面5颗叫下珠．从某一档的7颗算珠中任取3颗，基本事件总数n=C73=35，至少含有一颗上珠包含的基本事件个数m=C22C51+C21C52=25，∴至少含有一颗上珠的概率为P=mn =2535=57．故选：A．从某一档的7颗算珠中任取3颗，基本事件总数n=C73=35，至少含有一颗上珠包含的基本事件个数m=C22C51+C21C52=25，由此能求出至少含有一颗上珠的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】A【解析】解：由题意知，图2与图4是负相关，相关系数小于0，图1和图2的点相对更加集中，相关性更强，所以r1接近于1，r2接近于−1，由此可得r2<r4<0<r3<r1．故选：A．根据散点图中点的分布情况判断是正相关还是负相关，以及相关系数的大小即可．本题考查了根据散点图中点的分布情况判断是相关性以及相关系数大小的判断问题，是基础题．7.【答案】A【解析】解：△ABC中，BD是AC边上的高，A=π4，在等腰直角三角形ABD中，设BD=ℎ，可得AD=ℎ，在直角三角形BDC中，cos∠DBC=cos(∠ABC−45°)=cos∠ABCcos45°+sin∠ABCsin45°=√22(−√55+2√55)=√1010，即有sin∠DBC=√1−110=3√1010，则tan∠DBC=sin∠DBCcos∠DBC=3，可得CD=BDtan∠DBC=3ℎ，即AC=AD+CD=4ℎ，则BDAC =14．故选：A．在等腰直角三角形ABD中，设BD=ℎ，可得AD，再由两角差的余弦公式可得cos∠DBC，求得tan∠DBC，由正切函数的定义，可得CD，进而得到所求值．本题解直角三角形的知识，考查锐角三角函数的定义，以及运算能力，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：设双曲线的左、右焦点分别为F1(−c,0)，F2(c,0)，设双曲线的一条渐近线方程为y=bax，可得直线AF2的方程为y=ba(x−c)，联立双曲线x2a −y2b=1(b>a>0)，可得A(c2+a22c,b(a2−c2)2ac)，设|AF1|=m，|AF2|=n，由三角形的面积的等积法可得12⋅b4(m+n+2c)=12⋅2c⋅b(c2−a2)2ac，化简可得m+n=4c2a−4a−2c①由双曲线的定义可得m−n=2a②在三角形AF1F2中nsinθ=b(c2−a2)2ac，(θ为直线AF2的倾斜角)，由tanθ=ba ，sin2θ+cos2θ=1，可得sinθ=√a2+b2=bc，可得n=c2−a22a，③由①②③化简可得3c2−2ac−5a2=0，即为(3c−5a)(c+a)=0，可得3c=5a，则e=ca =53．故选：C．设双曲线的左、右焦点分别为F1(−c,0)，F2(c,0)，设双曲线的一条渐近线方程为y=bax，可得直线AF2的方程为y=ba(x−c)，联立双曲线的方程可得A的坐标，设|AF1|=m，|AF2|=n，运用三角形的等积法，以及双曲线的定义，结合锐角三角函数的定义，化简变形可得a，c的方程，结合离心率公式可得所求值．本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是渐近线方程和离心率，考查三角形的等积法，以及化简变形能力和运算能力，属于难题．9.【答案】C【解析】解：画出截面图形如图显然A正三角形，B正方形：D正六边形可以画出五边形但不是正五边形；故选：C．画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，即可判断选项．本题是基础题，考查学生作图能力，判断能力，以及逻辑思维能力，明确几何图形的特征，是解好本题的关键．10.【答案】BD【解析】解：∵z−iz+1=i，∴z=2i1−i=2i(1+i)(1−i)(1+i)=2(−1+i)2=−1+i，∴z−=−1−i，|z|=√2，z在复平面内对应的点(−1,1)位于第二象限，z2=(−1+i)2=−2i为纯虚数，可得：BD正确．故选：BD．利用复数的运算法则、模的计算公式、共轭复数的性质、纯虚数的定义即可判断出正误．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式、共轭复数的性质、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.【答案】ACD【解析】解：由圆M：x2+y2−4x−1=0，得(x−2)2+y2=5，得圆心M(2,0)，半径r=√5，可得M在直线x+3y−2=0上，故A正确；点M到直线x+y=0的距离d=√2=√2，则写出l=2√r2−d2=2√(√5)2−(√2)2= 2√3，故B错误；由t=yx+3，得y=t(x+3)，代入圆的方程并整理，得(1+t2)x2+(6t2−4)x+9t2−1=0．△=(6t2−4)2−4(1+t2)(9t2−1)=−80t2+20≥0，解得−12≤t≤12．∴t的最大值为12，故C正确；∵|OM|=2，∴|OP|min=√5−2，则x2+y2的最小值为(|OP|min)2=9−4√5，故D 正确．故选：ACD．化圆的方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，把圆心坐标代入直线方程成立判断A；求出圆心到直线的距离，利用垂径定理求弦长判断B；把t=yx+3化为y=t(x+3)，代入圆的方程，利用判别式法求t的范围判断C；由x2+y2的几何意义，即圆上点的到原点距离的平方判断D．本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线距离公式的应用，训练了利用垂径定理求弦长，是中档题．12.【答案】BD【解析】解：A.函数的的定义域为(0,+∞)，函数的导数f′(x)=−2x2+1x=x−2x2，∴(0,2)上，f′(x)<0，函数单调递减，(2,+∞)上，f′(x)>0，函数单调递增，∴x=2是f(x)的极小值点，即A错误；B.y=f(x)−x=2x +lnx−x，∴y′=−x2+x−2x<0，函数在(0,+∞)上单调递减，且f(1)−1=2+ln1−1=1>0，f(2)−2=1+ln2−2=ln2−1<0，∴函数y=f(x)−x有且只有1个零点，即B正确；C.若f(x)>kx，可得k<2x +lnxx．令g(x)=2x2+lnxx，则g′(x)=−4+x−xlnxx3，令ℎ(x)=−4+x−xlnx，则ℎ′(x)=−lnx，∴在x∈(0,1)上，函数ℎ(x)单调递增，x∈(1,+∞)上函数ℎ(x)单调递减，∴ℎ(x)⩽ℎ(1)<0，∴g′(x)<0，∴g(x)=2x +lnxx在(0,+∞)上函数单调递减，函数无最小值，∴不存在正实数k，使得f(x)>kx恒成立，即C不正确；D.令t∈(0,2)，则2−t∈(0,2)，2+t>2，令g(t)=f(2+t)−f(2−t)=22+t +ln(2+t)−22−t−ln(2−t)=4tt2−4+ln2+t2−t，则g′(t)=4(t 2−4)−8t2(t2−4)2+2−t2+t⋅2−t+2+t(2−t)2=−4t2−16(t2−4)2+44−t2=−8t2(t2−4)2<0，∴g(t)在(0,2)上单调递减，则g(t)<g(0)=0，令x1=2−t，由f(x1)=f(x2)，得x2>2+t，则x1+x2>2−t+2+t=4，当x2≥4时，x1+x2>4显然成立，∴对任意两个正实数x1，x2，且x2>x1，若f(x1)=f(x2)，则x1+x2>4，故D正确．故选：BD．A.求函数的导数，结合函数极值的定义进行判断；B.求函数的导数，结合函数的单调性，结合函数单调性和零点个数进行判断即可；C.利用参数分离法，构造函数g(x)=2x2+lnxx，求函数的导数，研究函数的单调性和极值进行判断即可；D.令g(t)=f(2+t)−f(2−t)，求函数的导数，研究函数的单调性进行证明即可．本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的单调性和极值，函数零点个数的判断，以及构造法证明不等式，综合性较强，运算量较大，属难题．13.【答案】−79【解析】解：因为cos(x −π6)=13，所以sin(2x +π6)=sin[2(x −π6)+π2]=cos2(x −π6)=2cos 2(x −π6)−1=2×(13)2−1=−79．故答案为：−79．利用角的变换将要求解的角转化为已知的角表示，然后利用诱导公式以及二倍角公式求解即可．本题考查了三角函数的求值问题，主要考查了“角的变换”的应用，二倍角公式以及诱导公式的应用，考查了逻辑推理与化简运算能力，属于中档题．14.【答案】2【解析】解：(x √x 3)6的展开式的通项公式为T r+1=C 6r x 6−r a r (x −13)r ，所以r =3时，得到x 2的系数为C 63a 3=20a 3， r =6时，得到x −2的系数为C 66a 6=a 6，从而(x 4+1) (x √x 3)6的展开式中x 2的系数为a 6+20a 3=224，解得a 3=8或a 3=−28，所以正实数a 的值为2．故答案为：2．求出(x √x 3)6的展开式的通项公式，分别令x 的指数为2和−2，求出对应的r 的值，从而可得(x 4+1) (x +√x3)6的展开式中x 2的系数，列方程可求得正实数a 的值．本题主要考查二项式定理的应用，考查二项展开式的通项公式，考查方程思想与运算求解能力，属于中档题．15.【答案】21011−1【解析】解：∵a 2n+1−a 2n =1，a 2n =2a 2n−1， ∴a 2n+1−2a 2n−1=1，化为：a 2n+1+1=2(a 2n−1+1)， ∴数列{a 2n−1+1}为等比数列，首项为a 1+1=2，公比为2， ∴a 2n−1+1=2×2n−1，可得：a 2n−1=2n −1． ∴a 2021=21011−1．故答案为：21011−1．a 2n+1−a 2n =1，a 2n =2a 2n−1，代入a 2n+1−2a 2n−1=1，化为：a 2n+1+1=2(a 2n−1+1)，可得数列{a 2n−1+1}为等比数列，利用等比数列的通项公式即可得出．本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.【答案】2√7+43【解析】解：以A 为原点，以AB ，AD 所在的直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示：设M(2,2a)，N(2b,2)，则P(1+b,1+a)，由|MN|=2可得(a −1)2+(b −1)2=1，所以可设a =1+cosθ，b =1+sinθ，θ∈[−π,−π2]，因为AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1+b,1+a)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0),AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2)，由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得λ=b+12，μ=a+12，所以1λ+1μ=2 a+1+2b+1=22+sinθ+22+cosθ=8+2(sinθ+cosθ)4+2(sinθ+cosθ)+sinθcosθ，设t =sinθ+cosθ∈[−√2．−1]，则1λ+1μ=16+4t7+4t+t 2=4t+7t+4=4t+4+7t+4−4≤2√7−4=2√7+43，当且仅当t +4=7t+4时取等号，此时1λ+1μ取得最大值为2√7+43．以A 为原点，以AB ，AD 所在的直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，设M(2,2a)，N(2b,2)，则P(1+b,1+a)，然后利用|MN|=2，得出a ，b 的方程，根据圆的参数方程设出a ，b 的关系式，进而可以求出1λ+1μ的关系式，利用基本不等式即可求解．本题考查了平面向量基本定理的应用，考查了向量的坐标的运算性质以及基本不等式的应用，考查了学生的运算转化能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，d ≠0，∵a 1=1，且a 1，a 3，a 9成等比数列．∴a 32=a 1⋅a 9，即(1+2d)2=1×(1+8d)，化为：d(d −1)=0，d ≠0，解得d =1．∴数列{a n }的通项a n =1+n −1=n ． (2)数列{a n }的前n 项和为S n =n(n+1)2，∴1S n=2n(n+1)=2(1n−1n+1)，∴数列{1S n}的前n 项和为T n =2(1−12+12−13+⋯…+1n −1n+1)=2(1−1n+1)=2nn+1．【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，d ≠0，由a 1=1，且a 1，a 3，a 9成等比数列．可得a 32=a 1⋅a 9，即(1+2d)2=1×(1+8d)，解出d 即可得出．(2)数列{a n }的前n 项和为S n =n(n+1)2，可得1S n=2n(n+1)=2(1n −1n+1)，利用裂项求和方法即可得出数列{1S n}的前n 项和为T n ．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：方案一：选条件①．因为3sin(A +B)=csinB+C 2,a =3，所以asin(A +B)=csinB+C 2，由正弦定理可得sinAsin(A +B)=sinCsin B+C 2，又A +B +C =π，所以sinAsinC =sinCsin B+C 2=sinCsin(π2−A2)=sinCcos A2，因为sinC ≠0，所以sinA =cos A2，即2sin A2cos A2=cos A2，因为cos A2≠0，所以sin A2=12，又A ∈(0,π)，故A2=π6，即A =π3．因为b =√3,a =3，所以由正弦定理a sinA =b sinB ，得3sin π3=√3sinB ，解得sinB =12，因为b <a ，所以B =π6，所以C =π2．所以△ABC 的面积S =12ab =3√32．方案二：选条件②．因为3sin(A +B)=csinB+C 2,a =3，所以asin(A +B)=csinB+C 2，由正弦定理可得sinAsin(A +B)=sinCsin B+C 2，又A+B+C=π，所以sinAsinC=sinCsin B+C2=sinCsin(π2−A2)=sinCcos A2，因为sinC≠0，所以sinA=cos A2，即2sin A2cos A2=cos A2，因为cos A2≠0，所以sin A2=12，又A∈(0,π)，故A2=π6，即A=π3．因为sinB+sinC=2sinA，所以由正弦定理得b+c=6，由余弦定理得a2=b2+c2−2bccosA，即b2+c2−bc=9，联立得化简得解得b=c=3，所以△ABC的面积S=12bcsinA=9√34．方案三：选条件③．因为3sin(A+B)=csin B+C2,a=3，所以asin(A+B)=csin B+C2，由正弦定理可得sinAsin(A+B)=sinCsin B+C2，又A+B+C=π，所以sinAsinC=sinCsin B+C2=sinCsin(π2−A2)=sinCcos A2，因为sinC≠0，所以sinA=cos A2，即2sin A2cos A2=cos A2，因为cos A2≠0，所以sin A2=12，又A∈(0,π)，故A2=π6，即A=π3．由余弦定理得a2=b2+c2−2bccosA，即b2+c2−bc=9，联立得消去c，并整理得b4−19b2+100=0，此时△=(−19)2−4×100=−39<0，故方程无实数根，所以选条件③时问题中的三角形不存在．【解析】方案一：选条件①.由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin A2=12，结合范围A∈(0,π)，可求A的值，根据正弦定理解得sinB=12，可求B，利用三角形内角和定理可求C=π2，利用三角形的面积公式即可求解；方案二：选条件②.由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin A2=12，结合范围A∈(0,π)，可求A的值，利用正弦定理化简已知等式可得b+c=6，由余弦定理进而可求b，c的值，根据三角形的面积公式即可得解；方案三：选条件③.由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin A 2=12，结合范围A ∈(0,π)，可求A 的值，由余弦定理整理得b 4−19b 2+100=0，可得△<0，可得选条件③时问题中的三角形不存在．本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形内角和定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和方程思想，属于中档题．19.【答案】(Ⅰ)证明：如图，由题意可知四边形EBCD 是边长为2的正方形，由折叠的性质可得，PE ⊥ED ，连结EC ，则EC =√EB 2+BC 2=2√2，在△PEC 中，因为PE =AE =12AB =2,PC =2√3，所以PE 2+EC 2=PC 2，所以△PEC 为直角三角形，且PE ⊥EC ，因为ED ∩EC =E ，所以PE ⊥平面EBCD ，又EB ⊂平面EBCD ，所以PE ⊥EB ，又因为ED ⊥EB ，ED ∩PE =E ，所以EB ⊥平面PED ，又PD ⊂平面PED ，所以PD ⊥EB ；(Ⅱ)解：以点E 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则E(0,0，0)，B(0,2，0)，C(−2,2，0)，D(−2,0，0)，P(0,0，2)，所以PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−2),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,−2),PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,−2)，设平面PDC 的法向量为n⃗ =(x,y,z)，则{n ⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−2x +2y −2z =0−2x −2z =0，令z =1，则x =−1，y =0，故n ⃗ =(−1,0,1)，设PB 于平面PDC 所成的角为θ，则sinθ=|cos <PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=22√2×√2=12，又θ∈(0,π2]，所以θ=π6，故直线PB 与平面PDC 所成的角为π6．【解析】(Ⅰ)利用折叠的性质可得PE ⊥ED ，连结EC ，利用勾股定理可得PE ⊥EC ，从而证明PE ⊥平面EBCD ，即可得到PE ⊥EB ，又ED ⊥EB ，由线面垂直的判定定理证明EB ⊥平面PED ，即可证明PD ⊥EB ；(Ⅱ)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式求解即可．本题以翻折问题为背景考查了线线垂直的证明以及线面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．20.【答案】解：(1)该混合样本阴性的概率是(√p)2=23，根据对立事件可得阳性的概率为：1−23=13．(2)方案一：混在一起检验，方案一的检验次数记为X，则X的可能取值为1，5，P(X=1)=(√p)2=p2，P(X=5)=1−p2，∴X的分布列为：∴E(X)=1×p2+5(1−p2)=5−4p2．方案二：由题意分析得每组2份样本混合检验时，若阴性则检验次数为1，概率为(√p)2=p，若阳性，则检测次数为3，概率为1−p，方案二的检验次数记为Y，则Y的可能取值为2，4，6，P(Y=2)=p2，P(Y=4)=C21p(1−p)=2p(1−p)，P(Y=6)=(1−p)2，∴Y的分布列为：∴E(Y)=2p2+4(2p−2p2)+6(1−p)2=6−4p，E(Y)−E(X)=6−4p−(5−4p2)=4p2−4p+1，当p≠12时，可得E(X)<E(Y)，∴方案一更优；当p=12时，可得E(X)=E(Y)，∴方案一、二一样．【解析】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，涉及到相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是中档题．(1)先求出该混合样本阴性的概率，根据对立事件可得阳性的概率．(2)方案一：混在一起检验，方案一的检验次数记为X，则X的可能取值为1，5，分别求出P(X=1)，P(X=5)，由此能求出X的分布列和E(X)；方案二：由题意分析得每组2份样本混合检验时，若阴性则检验次数为1，概率为(√p)2=p，若阳性，则检测次数为3，概率为1−p，方案二的检验次数记为Y，则Y的可能取值为2，4，6，分别求出相应的概率，从而求出Y的分布列和E(Y)，由此能求出结果．21.【答案】解：(1)∵f(x)=e x−alnx(x>0)在定义域内为增函数，∴当x∈(0,+∞)时，f′(x)=e x−ax≥0恒成立，即a≤xe x恒成立．令g(x)=xe x，x∈(0,+∞)，则g′(x)=(x+1)e x>0恒成立，∴g(x)=xe x在(0,+∞)上单调递增，∴g(x)>g(0)=0，∴a≤0，即a∈(−∞,0]；(2)证明：当a=e2时，f(x)=e x−e2lnx(x>0)，∵f′(x)=e x−e2x 在(0,+∞)上单调递增，又f′(1)=e−e2<0，f′(2)=12e2>0，∃x0∈(1,2)使得f′(x0)=e x0−e2x0=0，即e x0=e2x0⇒x0=2−lnx0⇒lnx0=2−x0(∗)，当x∈(0,x0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(x0,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，∴f(x)min=e x0−e2lnx0，将e x0=e2x0与lnx0=2−x0(∗)，分别代入，得f(x)min=e2x0−e2(2−x0)=e2x0+e2x0−2e2≥2e2−2e2=0(当且仅当x0=1时取等号)，又x0∈(1,2)，∴f(x)min>0，即当a=e2时，f(x)>0．【解析】(1)由f′(x)=e x−ax≥0恒成立⇒a≤xe x恒成立，令g(x)=xe x，x∈(0,+∞)，可得g(x)=xe x在(0,+∞)上单调递增，结合g(x)>g(0)=0，可得实数a的取值范围；(2)当a=e2时，f′(x)=e x−e2x在(0,+∞)上单调递增，∃x0∈(1,2)使得f′(x0)=e x0−e2 x0=0，即e x0=e2x0⇒x0=2−lnx0⇒lnx0=2−x0(∗)，进一步分析可得f(x)min=e x0−e2lnx0，将e x0=e2x0与lnx0=2−x0(∗)，联立得f(x)min=e2x0+e2x0−2e2≥2e2−2e2=0(当且仅当x0=1时取等号)，而x0∈(1,2)，于是f(x)min>0，从而可得结论成立．本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查等价转化思想题与逻辑推理能力和运算能力，属于难题．22.【答案】解：(Ⅰ)由题意F(1,0)，设直线AB的方程：x=my+1，A(x1,y1)，B(x2,y2)，与抛物线联立(m2+2)y2+2my−1=0，因为△=4m2+4(m2+2)>0，y1+y2=−2m2+m2，y1y2=−12+m2，所以|y1−y2|=√(y1−y2)2−41yy2=2√2√1+m22+m，所以四边形OAHB的面积S=12|OH|⋅|y1−y2|=|y1−y2|=2√2⋅√1+m22+m2，令t=√1+m2≥1，S=2√2t1+t2=2√2t+1t≤√2，当且仅当t=1时，即m=0时取等号，所以0<S≤√2，所以四边形OAHB的面积的取值范围为(0,√2,](Ⅱ)B(x2，y2)，D(2,y1)，k BD=y1−y22−x2，所以直线BD的方程：y−y1=y1−y22−x2(x−2)，令y=0，得x=x2y1−2y2y1−y2=my1y2+y1−2y2y1−y2由(Ⅰ)得，y1+y2=−2m2+m2，y1y2=−12+m2，所以y1+y2=2my1y2，化简得x=12(y1+y2)+y1−2y2y1−y2=32(y1−y2)y1−y2=32，所以直线BD过定点E(32,0)．【解析】(Ⅰ)由题意设直线AB的方程，带入椭圆整理设而不求得出纵坐标之和与之积，将四边形的面积分成2个三角形，底相同与纵坐标之差的绝对值之积的二分之一，然后又均值不等式可得面积的取值范围；(Ⅱ)由(Ⅰ)得，B，D的坐标，设直线BD的方程，令纵坐标为零得横坐标是定值，即直线BD过定点．考查直线与椭圆的综合应用，属于中难题．。

广东省汕头市金山中学2021届高三数学上学期期中试题文(含解析)

广东省汕头市金山中学2021届高三数学上学期期中试题文（含解析）一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =-或，那么集合()U A C B ⋂=（）A. {}|24x x -≤<B. {}|34x x x ≤≥或 C. {}|13x x -≤≤ D. {}|21x x -≤<-【答案】C 【解析】本试题主要是考查了集合的交集和补集的求解运算，是一道基础试题．已知全集,{|23},,{41}U R A x x B x x x ==-≤≤=<-∴或根据补集的定义结合数轴法可知，{|14}{|13}U U C B x x A C B x x =-≤≤∴⋂=-≤≤故选C.解决该试题的关键是对于数轴法的准确表示和运用． 2.命题“2,240x R x x ∀∈-+≤”的否定为 A. 2,240x R x x ∀∈-+≥ B. 2000,240x R x x ∃∈-+> C. 2,240x R x x ∀∉-+≤ D. 2000,240x R x x ∃∉-+>【答案】B 【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题，符合换量词否结论,按照这一规律写出即可.【详解】由全称命题否定的定义可知，“2,240x x x ∀∈-+≤R ”的否定为“2,240x x x ∃∈-+>R ”，故选B ．【点睛】一般命题的否定通常是保留条件否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定，是在否定结论的同时，改变量词的属性，即全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词．注意：命题的否定只否定结论，而否命题是条件与结论都否定． 3.“函数f （x ）＝－x 2＋2mx 在区间[1，3]上不单调”的一个必要不充分条件是（） A. 23m ≤<B.1522m ≤≤ C. 13m ≤< D.522m ≤≤【答案】C 【解析】【分析】首先求区间[]1,3上不单调的充要条件，然后根据集合的包含关系，判断命题的必要不充分条件.【详解】函数的对称轴是x m =，由已知可知13m <<，由选项判断，命题成立的必要不充分条件是13m ≤<. 故选：C【点睛】本题考查命题成立的必要不充分条件，属于基础题型，当命题以集合形式时，:p x A ∈，:q x B ∈，若A B ≠⊂，则p 是q 的充分不必要条件，同时q 是p 的必要不充分条件.4.已知2(0)()2(0)xx f x x x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，则[()]1f f x ≥的解集是（）A. (,-∞B. )+∞C. (,1][42,)-∞-+∞ D.(,[4,)-∞+∞【答案】D 【解析】【分析】分0x ≥和0x < 先求()f x ，根据()f x 的值域，再解不等式()1f f x ≥⎡⎤⎣⎦. 【详解】当0x ≥时，()02xf x =≥()124x xf f x f ⎛⎫==≥⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ ，解得：4x ≥，当0x <时，()20f x x =>，()()2212x f f x f x ==≥⎡⎤⎣⎦，解得：x ≥（舍）或x ≤，综上可知：4x ≥或x ≤故选：D【点睛】本题考查分段函数不等式的解法，意在考查计算能力，属于基础题型，本题的关键是需根据x 的范围，求()f x 的范围. 5.将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（） A. 在区间7[,]1212ππ上单调递减 B. 在区间7[,]1212ππ上单调递增 C. 在区间[,]63ππ-上单调递减 D. 在区间[,]63ππ-上单调递增【答案】B 【解析】试题分析：将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，得23sin(2())3sin(2)233y x x πππ=-+=-，∵71212x ππ≤≤，∴22232x πππ-≤-≤，∴函数3sin(2)3y x π=+在7[,]1212ππ上为增函数．考点：函数图象的平移、三角函数的单调性．6.函数3()2xy x x =-的图像大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：由，得，则为奇函数，故其图象关于原点对称，排除C；当时，，，故，故排除A、D，故选B.考点：函数的图象. 7.若cos2sin5,αα+=-则tan()πα-=（）A. 2- B. 12- C. 12 D. 2 【答案】A 【解析】【分析】首先用辅助角公式化简()cos2sin55αααϕ+=-=-tan2ϕ=，然后求两个角的关系，求()tanπα-. 【详解】()cos2sin55αααϕ+=-=-且25sinϕ=5cosϕ=，tan2ϕ=()cos1αϕ∴-=-，2,k k Zαϕππ-=+∈2kαϕππ∴=++，tan tan2αϕ∴==，()tan tan2παα∴-=-=- .故选：A【点睛】本题考查诱导公式，辅助角公式和三角函数的性质，意在考查转化与变形和计算能力，属于基础题型.8.若实数,x y满足不等式330{23010x yx yx my+-≥--≥-+≥，且x y+的最大值为9，则实数m=（）A. 2- B. 1- C. 1 D. 2【答案】C【解析】考点：简单线性规划的应用．分析：先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线x+y=9过可行域内的点A时，从而得到m值即可．解：作出满足题设条件的可行域如图所示，设x+y=9，显然只有在x+y=9与直线2x-y-3=0的交点处满足要求．联立方程组9230x yx y+=⎧⎨--=⎩解得45xy=⎧⎨=⎩即点A（4，5）直线x-my+1=0上，∴4-5m+1=0，得m=1．故答案为1．9.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱线长为1，线段11B D 上两个动点E ，F ，且2EF =，则下列结论中错误的是（）A. AC BE ⊥B. 三棱锥E ABF -的体积为定值C. //EF 平面ABCDD. 异面直线,AE BF 所成的角为定值【答案】D 【解析】【分析】根据点，线，面的位置关系，逐一分析选项，得到正确答案. 【详解】A.因为AC BD ⊥，1AC DD ⊥，且1BDDD D =，所以AC ⊥平面11BDD B ，又因为BE ⊂平面11BDD B ，所以AC BE ⊥，正确； B.1111233212E ABF A BEF BEF V V S AB EF BB AB --∆==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=所以三棱锥E ABF -的体积为定值，正确；C.因为//EF BD ,且EF ⊄平面ABCD ，而BD ⊂平面ABCD ，所以//EF 平面ABCD ，正确；D.如上图，当点E在11B D的中点时，点F与1B重合，O是BD的中点，1//OE BB，AO EO⊥，此时AE与BF所成的角是AEO∠，6cos362OEAEOAE∠===.如上图，当点E和1D重合时，点F是11B D的中点，O是BD的中点，如图1AD O∠是AE与BF所成的角，12AD=2AO=，116122OD=+=，1612342cos26222AD O+-∴∠==⨯⨯,这两种情况下异面直线,AE BF所成的角的余弦值不相等，所以所成角不是定值，故不正确. 故选：D【点睛】本题考查点，线，面的位置关系的判断，意在考查空间想象能力，和计算能力，属于中档题型.10.如图，树顶A离地面4.8m，树上另一点B离地面2.4m，在离地面1.6m的C处看此树，离此树多少m 时看,A B 的视角最大（）A. 2.2B. 2C. 1.8D. 1.6【答案】D 【解析】【详解】过C 作CD ⊥AB 于D ，设CD x =，则5tan AD ACD CD x ∠==，2tan BD BCD CD x∠==， ()23.20.8 2.43tan tan 3.20.8 1.621x x ACB ACD BCD x x x x-∴∠=∠-∠==≤+⨯+，当且仅当21.6x x=，即 1.6x =时等号成立.11.已知曲线()3:x ,C f x ax a =-+若过点A (1.1)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为（） A. 38B. 1C.98D.158【答案】D 【解析】【分析】设切点()3000,x x ax a -+，利用导数的几何意义求切线方程，并且求切点，由题意可知切线在切点处的导数和为0，求a . 【详解】()23f x x a '=-，设切点为()3000,x x ax a -+，()2003f x x a '∴=-∴过切点的切线方程为：()()()3200003y x ax a x a x x --+=--，切线过点()1,1A ，()()()320000131x ax a x a x ∴--+=-- ，整理为：32002310x x -+= ，化简为：()()2001210x x -+= ，01x ∴=或012x =-，()13f a '=-，1324f a ⎛⎫'-=- ⎪⎝⎭，由两条切线的倾斜角互补，得3304a a -+-=，解得158a =.故选：D【点睛】本题考查导数的几何意义，求切线方程，并且求参数，意在考查转化与化归和计算能力.12.已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤⎪⎝⎭，4πx =-和4x π=分别是函数()f x 取得零点和最小值点横坐标，且()f x 在,1224ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调，则ω的最大值是 ( ) A. 3 B. 5C. 7D. 9【答案】B 【解析】【分析】由题意可得4424kT Tππ⎛⎫--=+ ⎪⎝⎭，即21()24k T k Z π+=∈，根据2T πω=，可推出()21k k N ω*=+∈，再根据()f x 在,1224ππ⎛⎫-⎪⎝⎭单调，可推出24122T ππ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，从而可得ω的取值范围，再通过检验ω的这个值满足条件．【详解】∵()()sin (0,)2f x x πωϕωϕ=+>≤，4x π=-和4x π=分别是函数()f x 取得零点和最小值点横坐标∴4424kT Tππ⎛⎫--=+ ⎪⎝⎭，即21()24k T k Z π+=∈. 又∵2T πω=，0ω>∴()21k k N ω*=+∈又∵()f x 在,1224ππ⎛⎫-⎪⎝⎭单调 ∴24122T ππ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭ 又∵2T πω=∴8ω≤当3k =，7ω=时，()()sin 7f x x ϕ=+，由4x π=是函数()f x 最小值点横坐标知4πϕ=-，此时，()f x 在,1228x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝-⎭-递减，,2824x ππ⎛∈-⎫ ⎪⎝⎭递增，不满足()f x 在,1224ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调，故舍去；当2k =，5ω=时，()()sin 5f x x ϕ=+由4x π=是函数()f x 最小值点横坐标知4πϕ=，此时()f x 在,1224ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，故5ω=.故选B ．【点睛】对于函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>，如果它在区间(,)a b 上单调，那么基本的处理方法是先求出()f x 单调区间的一般形式，利用(,)a b 是单调区间的子集得到ω满足的不等式组，利用0ω>和不等式组有解确定整数k 的取值即可.二．填空题 (本大题共4小题，每小题5分，满分20分) 13.已知直线20ax by --=与曲线2y x 在点P (1,1)处的切线互相垂直，则ab的值为________ 【答案】12-; 【解析】【分析】先求2yx 在1x =处的导数，根据已知条件可知()11a f b '⨯=-，解得ab的值. 【详解】直线20ax by --=的斜率ak b=， 2yx ，2y x '=，当1x =，2y '=，由题意可知，21ab⨯=-， 12a b ∴=-. 故答案为：12-. 【点睛】本题考查导数的几何意义和两直线的位置关系，意在考查计算能力，属于基础题型. 14.函数()sin cos ,[0,]f x x x x π=+∈的值域为___________【答案】[-; 【解析】【分析】首先化简函数()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据函数的定义域求值域.【详解】()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，[]0,x π∈5,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，sin 4x π⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭值域是2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， ()f x ∴的值域是⎡-⎣.故答案为：1,2⎡⎤-⎣⎦【点睛】本题考查三角函数的化简和简单函数的性质，主要考查计算能力，属于基础题型. 15.设函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωφωφ=+>><的部分图象如图所示，若6()(0)52f παα=<<，则()6f πα+=_______433+; 【解析】【分析】首先根据函数图象特征求函数的解析式()2sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，然后再利用两角和的正弦公式求6f πα⎛⎫+⎪⎝⎭. 【详解】由图象可知，2A =，2233T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭2T π=,22ππω∴= ，1ω∴=，当23x π=时，函数取得最大值， 22,32k k Z ππφπ∴+=+∈， 26k πφπ=-+ ，2πφ<6πφ∴=-，()2sin 6f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭ ，()62sin 65f παα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，3sin 65πα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭ ，02πα<<，663πππα∴-<-<，4cos 65πα⎛⎫∴-== ⎪⎝⎭那么2sin 6f παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 2sin 2sin cos 2cos sin 666666ππππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，34122552=⨯+⨯⨯==故答案为：45+ 【点睛】本题考查根据图象求三角函数的解析式，以及两角和的正弦公式的应用，意在考查转化与化归和计算能力，属于中档题型. 16.已知 01x ≤≤，若3112x ax -≤恒成立，则实数a 的取值范围是_______. 【答案】[13,]22-. 【解析】【分析】首先不等式等价于31112x ax -≤-≤，参变分离转化为2max 22a x x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭ ，且2min 112a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，转化为求函数的最值.【详解】由题意可知31112x ax -≤-≤，当(]0,1x ∈时，32222x a x x x-≥=- ，且2112a x x ≤+即2max 22a x x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭ ，且2min 112a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭设()22g x x x=-，函数在(]0,1上是单调递增函数， ()g x ∴的最大值是()11g =-，1212a a ∴≥-⇒≥-，设()2112h x x x=+ ，(]0,1x ∈()322110x h x x x x-'=-=< ，()h x ∴单调递减，()h x 的最小值是()312h =，32a ∴≤，当0x =时恒成立，综上：a 的取值范围是13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【点睛】本题考查不等式恒成立求参数的取值范围，意在考查转化与变形，和计算能力，一般不等式在给定区间恒成立，可以参变分离转化为求函数的最值，而导数，基本不等式，判断函数单调性求最值，函数图象，都是求最值的常有方法. 三、解答题17.已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列，3cos 5B =. （1）求cos cos sin sin A CA C+的值；（2）若△ABC 的面积为2，求△ABC 的周长．【答案】(1) 54【解析】分析】（1）首先根据题意可知2b ac =，根据正弦定理转化为2sin sin sin B A C =，再变形cos cos sin sin sin sin sin A C BA C A C+=，代入求值；（2）首先根据面积求b ，再根据余弦定理求a c +. 【详解】解：(1)△ABC 中，∵cosB=35＞0，∴sinB=241cos =5B -由a ，b ，c 成等比数列，得b 2=ac ，根据正弦定理得：sin 2B=sinAsinC ，∴cos cos +sin sin A CA C=cos sin sin cos sin()=sin sin sin sin A C A C A C A C A C ++sin()sin sin sin sin sin B B A C A C π-== =2sin sin B B =15=sin 4B ； (2)△ABC 的面积为S △ABC =12acsinB=12b 2•45=2，∴b=5；由余弦定理b 2=a 2+c 2﹣2accosB=a 2+c 2﹣2×5×35，∴a 2+c 2=b 2+6=5+5=11，∴（a+c ）2=a 2+2ac+c 2=11+2×5=21， ∴a+c=21；∴△ABC 的周长为a+b+c=21+5【点睛】本题考查根据正余弦定理解三角形，意在考查转化与化归，和计算能力，属于基础题型.18.某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润60元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利40元.（1）若商品一天购进该商品10件，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：件，n N ∈）的函数解析式；（2）商店记录了50天该商品的日需求量n （单位：件，n N ∈），整理得下表：若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润在区间[500,650]内的概率.【答案】(1) 40200(10,)70100(10,)n n n N y n n n N +≥∈⎧=⎨-<∈⎩(2) 3350 【解析】【分析】（1）根据题意分10n <和10n ≥两段，求分段函数；（2）根据表格计算不同的日需求量对应的利润，并且计算利润在[]500,650时，对应的频数，并计算频率，就是所求概率.【详解】解：（1）当日需求量10n ≥时，利润为6010(10)4040200y n n =⨯+-⨯=+；当日需求量10n <时，利润为60(10)1070100y n n n =⨯--⨯=-. 所以利润y 关于需求量n 的函数解析式为40200(10,)70100(10,)n n n N y n n n N +≥∈⎧=⎨-<∈⎩.（2）50天内有4天获得的利润为390元，有8天获得的利润为460元，有10天获得的利润为530元，有14天获得的利润为600元，有9天获得的利润为640元，有5天获得的利润为680元. 若利润在区间[500,650]内，日需求量为9、10、11，其对应的频数分别为10、14、9. 则利润在区间[500,650]内的概率为10149335050++=【点睛】本题考查分段函数和统计结合的综合问题，意在考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题型.19.如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，△PAD 为正三角形，AB ∥CD ，AB =2CD ，∠BAD =90°，PA ⊥CD ，E 为棱PB 的中点（1）求证：平面PAB ⊥平面CDE ；（2）若AD=CD=2，求点P 到平面ADE 的距离．【答案】(1)证明见解析；(2) 19【解析】【分析】（1）要证明面面垂直，需证明线面垂直，取AP 的中点F ，连结EF ，DF ，根据题中所给的条件证明PA CE ⊥，即证明PA ⊥平面CDE ；（2）利用等体积P ADE E PAD V V --=，根据所给的条件，易求PAD S ∆，点E 到平面PAD 的距离就是CD ，并且根据点，线，面的关系和边长求ADE ∆的面积. 【详解】证明：（1）取AP 的中点F ，连结EF ，DF ， ∵E 是PB 中点，∴EF∥AB，EF=12AB ，又CD∥AB，CD=12AB ， ∴CD∥EF，CD=EF ∴四边形CDEF 为平行四边形， ∴DF∥CE，又△PAD 为正三角形， ∴PA⊥DF，从而PA⊥CE，又PA⊥CD，CD∩CE=C， ∴PA⊥平面CDE ，又PA ⊂平面PAB ， ∴平面PAB⊥平面CDE ． ⑵∵AB∥CD，AB⊥AD， ∴CD⊥AD，又PA⊥CD，PA∩AD=A， ∴CD⊥平面PAD ，又（1）知，CD∥EF，∴EF⊥平面PAD ， ∴EF 为三棱锥的E ﹣PAD 的高，且EF=CD=2，易得△PAD 的面积S △PAD 2Rt△PAB 中，PB=2，AE=12PB=5，在矩形CDEF 中，CD=2，CE=DF=3，∴DE=7 在△ADE 中，AE=5，DE=7，AD=2，222cos 235AE ED AD AED AE ED +-∠==⋅219sin 1cos 35AED AED ∴∠=-∠=∴△ADE 的面积119sin 2ADE S AE ED AED ∆=⋅⋅∠=，设点P 到平面ADE 的距离为d ，由V P ﹣ADE =V E ﹣PAD 得13×3×2=13×192d ，解得d=45719 ∴点P 到平面ADE 的距离为45719【点睛】本题考查面面垂直的判断定理和点到平面的距离，意在考查推理证明和转化与化归，计算能力，属于中档题型，本题的难点是第一问分析线线，和线面关系，并且第二问求解边长时，需要用到点，线，面的位置关系.20.如图，椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3，设A ，B 分别为椭圆C 的右顶点，下顶点，OAB ∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知不经过点A 的直线l ：(0,)y kx m k m R =+≠∈交椭圆于P ，Q 两点，且PA QA ⊥,求证：直线l 过定点.【答案】(1) 2214x y += (2)证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意建立,,a b c 的方程组求解；（2）直线方程和椭圆方程联立，得到根与系数的关系，122841km x x k -+=+，21224441m x x k -⋅=+，由已知可知0AP AQ ⋅=，转化为坐标关系，代入根与系数的关系得到12k m =-或56k m =-，再验证是否成立，证明直线过定点.【详解】解：（1）由已知，3c a =，22221c b a a =-，可得224a b =，又因1AOB S ∆=，即112ab =，所以222()4b b=，即21b =，24a =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222418440k x kmx m +++-=， ()2216140k m ∆=⨯+->，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则122841km x x k -+=+，21224441m x x k -⋅=+， ① 因为PA QA ⊥ , ∴0AP AQ ⋅=，即1122(2,)(2,)0x y x y -⋅-= 即()121212240x x x x y y ⋅-++⋅+=，又11y kx m =+，22y kx m =+，()22121212y y k x x m km x x =+++，即()()2212121(2)40k x x km x x m +⋅+-+++=， ②把①代入②得：2222224444816k m k m k m km -+--+()22224164k m k m =-+++22121650k km m ++=得12k m =-或56k m =-，所以直线l 的方程为1(2)2y m x =--或5665y m x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以直线l 过定点6(,0)5或(2,0)（舍去），综上所述直线l 过定点6(,0)5.【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系的综合问题，涉及椭圆中直线过定点问题，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.21.已知函数()[2(1)]2,xxf x e e a ax =-++（e 为自然对数的底数，且1a ≤）. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】(1)见解析；(2) 1(,0).2- 【解析】【分析】（1）首先求函数的导数，并化简()()()21x xf x e e a '=--，然后再分情况讨论函数的单调性；（2）根据（1）的判断单调性的结果，也需分情况讨论函数的单调性和极值点的正负，并且结合零点存在性定理说明零点个数，讨论求参数的取值范围. 【详解】解：(1)/()[2(1)]2xxxxf x e e a e e a =-++⋅+222(1)2x x e a e a =-++ 2(1)()x x e e a =--①当0a ≤时，0x e a ->，则当0x <时，/()0f x <，故()f x 在(,0)-∞单调递减；当0x >时，/()0f x >，故()f x 在(0,)+∞单调递增.②当0a >时，由/()0f x =得12ln ,0.x a x ==若1a =，则/()0f x ≥，故()f x 在R 上单调递增.若01a <<，则：当ln x a <或0x >时，/()0f x >，故()f x 在(,ln )a -∞，(0,)+∞单调递增.当ln 0a x <<时，/()0f x <，故()f x 在(ln ,0)a 单调递减.(2)①当1a =时， ()f x 在R 上单调递增，不可能有两个零点.②当01a <<时，()f x 在(,ln )a -∞，(0,)+∞单调递增，(ln ,0)a 单调递减故当ln x a =时，()f x 取得极大值，极大值为(ln )(2)2ln 0f a a a a a =-++<此时，()f x 不可能有两个零点.③当0a =时，()(2)x x f x e e =-，由()0f x =得ln 2x =此时，()f x 仅有一个零点.④当0a <时，()f x 在(,0)-∞单调递减；在(0,)+∞单调递增.min ()(0)12f x f a ∴==--()f x 有两个零点， (0)0f ∴<解得12a >- ∴102a -<< 而则(1)[2(1)]20f e e a a =-++> 取2(1)2ab a+<，则222()[(1)](1)2[(1)]0b b f b e a a ab e a =-+-++>-+≥ 故()f x 在(,0)-∞、 (0,)+∞各有一个零点综上，a 的取值范围是1(,0).2-【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，以及分析零点个数的问题，判断零点个数不仅需要讨论极值点的位置，还需根据单调性验证零点存在性定理，解决零点问题常用方法还有：分离参数、构造函数、数形结合，讨论法.请考生从第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.已知平面直角坐标系xOy ，直线l 过点P ，且倾斜角为α，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为24cos()103πρρθ---=．（1）求直线l 的参数方程和圆C 的标准方程；（2）设直线l 与圆C 交于M 、N两点，若||||PM PN -=l 的倾斜角α的值．【答案】(1) 直线l的参数方程为cos ? sin x t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)；圆C的标准方程为：22(1)(5x y -+= (2) 4πα=或34π 【解析】【分析】（1）根据直线的参数方程的形式直接求解，根据极坐标和直角坐标的转化公式解圆C 的标准方程；（2）直线的参数方程代入圆的标准方程，利用t 的几何意义表示1212PM PN t t t t -=-=+，代入根与系数的关系求解.【详解】解：（1）因为直线l过点P ，且倾斜角为α所以直线l的参数方程为cos ? sin x t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数) 因为圆C 的极坐标方程为24cos()103πρρθ---=所以22cos sin 10ρρθθ---=所以圆C的普通方程为：22210x y x +---=，圆C的标准方程为：22(1)(5x y -+-= （2）直线l的参数方程为cos ? sin x t y t αα=⎧⎪⎨=+⎪⎩，代入圆C 的标准方程得22(cos 1)(sin )5t t αα-+=整理得22cos 40t t α--=设M 、N 两点对应的参数分别为1t 、2t ，则122cos t t α+=所以||||PM PN -=12|||2cos |t t α+=，cos α=因为0απ≤<，所以4πα=或34π 【点睛】本题考查直角坐标，参数方程和极坐标方程之间的转化以及利用直线的参数方程解决弦长问题，意在考查转化与化归和计算能力，属于基础题型.23.已知0, 0, 0a >b >c >，函数()f x =|a x|+|x+b|+c -.（1）当2a b c ===时，求不等式()8f x <的解集；（2）若函数()f x 的最小值为1，证明：22213a b c ++≥. 【答案】（1）{|33}-<<x x （2）见证明【解析】【分析】（1）根据题意，当a ＝b ＝c ＝2时，f （x ）＝|x ﹣2|+|x +2|+2，据此可得f （x ）＜8⇔2228x x ≤-⎧⎨-⎩＜或2268x -⎧⎨⎩＜＜＜或2228x x ≥⎧⎨+⎩＜，解可得不等式的解集；（2）根据题意，由绝对值不等式的性质可得f （x ）的最小值为1，得a +b +c ＝1，进而可得（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc ＝1，结合基本不等式的性质分析可得结论．【详解】（1）当2a b c ===时，()222f x x x =-+++，所以()28228x f x x ≤-⎧<⇔⎨-<⎩或2268x -<<⎧⎨<⎩或2228x x ≥⎧⎨+<⎩. 所以不等式的解集为{|33}x x -<<.（2）因为0a >，0b >，0c >，所以()f x a x x b c a x x b c =-+++≥-+++ a b c a b c =++=++，当且仅当()() 0a x xb -+≥等号成立；因为()f x 的最小值为1，所以1a bc ++=，所以()22222221a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，因为222ab a b ≤+，222bc b c ≤+，222ac a c ≤+，当且仅当a=b=c 等号成立所以()22222212223a b c ab ac bc a b c=+++++≤++，所以22213a b c ++≥. 【点睛】本题考查绝对值不等式的性质以及不等式的证明，涉及基本不等式的性质，属于基础题．。