广东省汕头市金山中学2021届高三年级上学期联考数学试题含答案解析

x2 a2
y2 b2
1 (a
0, b
0)
，设
A( x1 ,
y1)
， B(x2,
y2 ) ，则有：
x12 a2
y12 b2
1,
x22 a2
y22 b2
1
x12
，两式作差得：
a2
x22
y12 y22 b2
，即
y1 y2 x1 x2
b2 (x1 x2 ) a 2 ( y1 y2 )
，
F (3, 0) ，AB 的中点为 N ( 12 , 15 ),
15 12
0 3
12 b 2 15 a 2
4b 2 5a 2
,
4b2
5a2
，即
4(c2
a2)
5a 2 , 4c 2
9a 2 ,
得
e
c a
3 2
.
故选：B.
9 ． AB
椭圆
x2 y2 1 16 m 的 焦 距 为
2
7
，即
2c 2
7 得c
7. 依 题 意 得
16 m 7或m 16 7, 解得 m 9 或 m 23 ，m 的值为 9 或 23
(3 , 1)
5 5 复数 z 在复平面内对应的点 5 5 位于为第一象限.
3．D 先从 4 名学生中选择两名组成一个复合元素，然后再将 3 个元素（包含复合元素）安
排到甲、乙，丙三地，不同的安排方案共有 C42 A33 36 种．
1 4．D 中学共有学生 2000 人，抽取了一个容量为 200 的样本，抽取比例为 10 ，样本中男生
3
19．(12 分) 我国是全球最大的口罩生产国，在 2020 年 3 月份，我国每日口罩产量超一亿只，已基
本满足国内人民的需求，但随着疫情在全球范围扩散，境外口罩需求量激增，世界卫生组织
公开呼吁扩大口罩产能，常见的口罩有 KN90 和 KN95(分别阻挡不少于 90.0%和 95.0%的 0.055 到 0.095 微米的氯化钠颗粒)两种.某口罩厂两条独立的生产线分别生产 KN90 和 KN95 两种口罩，为保证质量对其进行多项检测并评分（满分 100 分），规定总分大于或等于 85 分为合格，小于 85 分为次品.现从流水线上随机抽取这两种口罩各 100 个进行检测并评分， 结果如下：
三、填空题（本大题共 4 小题，20 分）
13．在数列 a
n
中，
a1
1,
an 1
an
2
，则
a6
的值为＿＿＿.
14．已知二项式 ( 5x 1)3 a0 a1x a2x2 a3x3 ，则 a0 a2 2 a1 a3 2 =＿＿＿＿＿
15．正四棱锥 S-ABCD 底面边长为 2，高为 l，E 是边 BC 的中点，动点 P 在四棱锥表面上
均收入为 6
万元，故 D 错误。
11. ABC 由 题 意 可 得 a 2a 3a 4a 5a 1 ， 所 以 a 1 ， 故 15a 1 ， 故 A 正 15
确 ; P(0.5 0.8) p( 0.6) 1 3 0.2 ， 故 B 正 确 ； 15
P(0.1 0.5) p( 0.2) p( 0.4) 1 1 1 2 3 0.2 ， 故 C 正 15 15 15
面问题中并作答.
18．(12 分)
已知等差数列 an 满足 a5 4, 2a6 a9 18 ，等比数列 {bn} 的各项均为正数，且
b2 2, b3 b4 a4a5 . (I)求{an} 和{bn} 的通项公式；
(Ⅱ)设 Tn 为数列 anbn的前 n 项和，求满足 Tn 2020 的最大正整数 n ．
运动，并且总保持 PE AC 0 ，则动点 P 的轨迹的周长为＿＿＿＿＿＿
16．己知数列{bn} 的前 n 项和为 Tn ，且 2bn Tn 2 ,数列{bn} 的通项公式为＿＿＿；数列
{an} 的前
n
项和为
Sn
，且
an
4 n, (n奇数) bn, (n为偶数)
，若使
S2m S 2 m 1
A．1030 人
B．97 人
C．950 人
D．970 人
5．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首
创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上
下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分
成三组，经 90。榫卯起来，若正四棱柱的高为 6，底面正方
形的边长为 l，现将该鲁班锁放进一个球形容器（容器壁的
(2)若直线 SD 与底面 ABCD 所成的角为 60 ，是否存在点 M,使得二面角 A- BD M 余 2 7?
弦值为 7 若存在，确定点 M 的位置，若不存在，请说明理由．
4
21．(12 分)
已知函数 f (x) ex ax (a R). (1)讨论函数 f (x) 的单调性； (2)若函数 f (x) 的图象与直线 y a 交于 A，B 两点，记 A，B 两点的横坐标分别为 x1, x2 , 且 x1 x2 ，证明： x1 x2 ln a2 .
曲线 C 于 M,N 两个不同的点，求四边形 ABNM 面积的最大值．
5
数学参考答案
1．C 依题意得 A B {0,1,2} ，故选 C．
2．A
复数
z
满 足 (2 i) z 1 i5, 则
z
1 i5 2i
1i 2i
(1 i)(2 i)
2 i2 i
3 5
1 i, 5
所以
z 3 1 i,
确; P( 1) 1 1 0.3 ，故 D 不正确． 15
12．AD 对于 A，由指数函数的单调性可得 f (x) 在 R 上递增，即有 m 0 ，则 A 正确；对
于
B，由二次函数的单调性可得
10．ABC 由图可知，收入最高值为 90 万元，收入最低值为 30 万元，其比是 3：1，故 A 正确。由图可知，结余最高为 7 月份，为 80-20=60，故 B 正确。由图可知，1 至 2 月份的 收入的变化率为与 4 至 5 月份的收入的变化率相同．故 C 正确。由图可知，前 6 个月的平
1 (40 60 30 30 50 60) 45
厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为( )
A．41
B．42
C ． 43
D．44
6． Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立
了某地区新冠肺炎累计确诊病例数， I （t）（t 的单位：天）的 Logistic 模型：
I t
K 1 e 0.23(t53)
20．(12 分)
如图，四棱锥 S -ABCD 的底面 ABCD 是直角梯形，ABC 90 , AD // BC, 侧面△SCD
为 钝 角 三 角 形 ， CD SD , 平 面 SCD⊥ 平 面 ABCD ， 点 M 是 棱 SA 上 的 动 点 ， AB AD 1 BC.
2
(1)求证：平面 MBD⊥平面 SCD;
恰为{an} 中的奇数项，
则所有正整数 m 组成的集合为＿＿＿＿.
四、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分） 17．(10 分)
b sin A a cos(B )
在△ABC 中，
6
(1)求 B；
(2)若 c=5，＿＿＿＿.
求 a ，从① b 7 ，② C
4
这两个条件中任选一个，补充在上
,其中 K 为最大确诊病例数．当 I (t*) 0.95K 时，标志着已初步遏制
疫情，则 t*约为( ) (In19 3)
A．60
B．63
C．66
D．69
7．若函数
f
(x)
2 cos2
x
2 sin
x
a
[
在
6
,]
3 上的最小值为
1 2
，则
f
(x)
[
在
6
,
3
]
上的最大值为( )
A．4
B．5
3 3 C． 2
103 人，样本中女生 97 人，中学共有女生 970 人．
1 36 4 1 41
5．A 由题意，该球形容器的半径的最小值为： 2
2 ，该球形容器的表面
4 41 41 . 积的最小值为 4
6．C
K 由题可知 1 e0.23(t 53)
0.95K , 1
所以
e 0.23 ( t 53 )
5 3 D． 2
1
8．已知双曲线 E 的中心为原点，F (3,0) 是 E 的焦点，过 F 的直线 l 与 E 相交于 A，B 两点， 且 AB 的中点为 N (12,15) ,则 E 的离心率为( )
3 A． 2
3 B． 2
5 C． 2
35 D． 5
二、不定项选择题（本大题共 4 小题，共 20 分）
时，函数取得最小值为
5 a 1
2
2
，解得
a3
.所以
f (x) 2(sin x 1 )2 5 3 2(sin x 1 )2 1
22
22
由
于
sin
x
1
,
2
3
,
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
所
以
当
sin x
3 2
时，函数取得最大值为
2( 3 1 )2 1 5 3. 2 2 22
6
8．B
设双曲线的标准方程为
汕头市金山中学 2021 届高三年级上学期联考
数学
一、选择题（本大题共 8 小题，共 40 分）
1．已知集合 A {x | x 2}, B x N | x 2, 则A B ( )
A． x | 2 x 2
B．1, 2
C．{0, 1, 2}
D．{2, 1, 0, 1, 2}
2．已知复数 z 满足 (2 i) z 1 i5 ，则复数 z 在复平面内对应的点位于( )
22．(12 分)
已知点 F1(2,0) ，点 P 是圆 F2 : (x 2)2 y2 36 上的任意一点，线段 PF1 的垂直平分 线与直线 PF2 交于点 Q ，记动点 Q 的轨迹为曲线 C．
(I)求曲线 C 的方程；
(Ⅱ)设 l1. , l2 是分别过点 F1, F2 的两条平行直线，l1 交曲线 C 于 A,B 两个不同的点，l2 交
11．设随机变量
的分布列为
P
k 5
ak(k 1,2,3,4,5)
，则(
)
A．15a 1 C． P(0.1 0.5) 0.2
B． P(0.5 0.8) 0.2 D． P( 1) 0.3
12．已知函数 f ( x) 2 x , g ( x) x 2 ax （其中 a R) .对于不相等的实数 x1 ， x2 ，设
x2 y2 1 9．椭圆 16 m 的焦距为 2 7 ，则 m 的值为( )
A． 9
B． 23
C．16 7
D．16 7
10．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中正确的是( )
（注：结余=收入－支出） A．收入最高值与收入最低值的比是 3：l B．结余最高的月份是 7 月 C．1 至 2 月份的收入的变化率与 4 至 5 月份的收入的变化率相同 D．前 6 个月的平均收入为 40 万元
20 19
, e 0.23 ( t 53 )
1 19
0.23(t 53) ln19 3 ,解得 t 66
7．D
x [ , ]
sin
由于，
63 所以
x
1 2
,
3 2
,
则函数
f
(x)
2 cos2
x
2 sin
x
a
2 sin2
x
2
2 sin
x
a
2(sin
x
1 )2 2
5 2
a,
当
sin x 1 2
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．将 4 名学生分别安排甲、乙、丙三个地方参加实践活动，每个地方至少安排一名学生，
则不同的安排方案共有( )
A．12
B．18
C．24
D．36
4．某防疫站对学生进行健康调查，采用分层抽样的方法抽取样本．某中学共有学生 2000
人，抽取了一个容量为 200 的样本，样本中男生 103 人，则该中学共有女生( )人．
总分
[75,80) [80,85) [85,90) [90,95) [95,100]
KN90
6
14
42
31
7
KN95
4
6
47
35
8
(1)试分别估计两种口罩的合格率； (2)假设生产一个 KN90 口罩，若质量合格，则盈利 3 元，若为次品则亏损 1 元；生产 一个 KN95 口罩，若质量合格，则盈利 8 元，若为次品则亏损 2 元，在(1)的前提下， ①设 X 为生产一个 KN90 口罩和生产一个 KN95 口罩所得利润的和，求随机变量 X 的 分布列和数学期望； ②求生产 4 个 KN90 口罩所得的利润不少于 8 元的概率．
m f (x1 ) f (x2 ) n g(x1 ) g(x2 )
x1 x2
，
x1 x2 下列说法正确的是（ ）
A．对于任意不相等的实数 x1, x2 都有 m 0 ;
2
B．对于任意的 a 及任意不相等的实数 x1, x2 ，都有 n 0 ； C．对于任意的 a ，存在不相等的实数 x1, x2 ，使得 m n ； D．对于任意的 a ，存在不相等的实数 x1, x2 ，使得 m n .