几何最值问题(习题及答案)

几何最值问题（习题）

例题示范

例 1：如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B 落在边AD 上，折痕EF 的两端分别在A B，BC 上（含端点）．若A B=6cm，BC=10cm，则AB' 的取值范围是．

B F C

E

A B' D

【思路分析】

1.明确目标，分析定点、动点

要求AB' 的取值范围，即求AB' 的最大值与最小值，定点是A，动点是B' ；

2.分析动点的形成因素，寻找不变特征

动点B' 是由点B 折叠得到的，所以B'E =BE，B'F =BF，因

为AE+BE=6，CF+BF=10，

所以AE +B'E =6，C F +B'F =10（不变特征）．先

求AB' 的最大值：

把AE，B'E ，AB' 放在一个三角形中，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得：AB' < AE +B'E ，即AB' < 6 ，如果AB' 有最大值，则三角形三个顶点应该共线，即点E 与点A 重合，此时AB'=6 ，由此可得，AB' ≤6，即AB' 的最大值是 6．

再求AB' 的最小值：

转化为求B'D 的最大值，考虑把B'D 放入 Rt△B'DC 中，只需B'C 最大即可，把CF，B'F ，B'C 放在一个三角形中，根据三角形三边关系，类比上面求解AB' 最大值的方法得到

B'C 的最大值为 10，由此得到B'D 的最大值是 8，即AB' 的最小值是 2．

综上，AB' 的取值范围是：2cm≤AB' ≤6cm．

3.作出图形，验证是否符合题意．

B F

C B C(F)

E

A(E)

B' D A B' D

图1图2

巩固练习

1.如图，在△ABC 中，∠BAC=120°，AB=AC=4，点M，N 分别在

边A B，AC 上，将△AMN 沿M N 翻折，点A的对应点为A' ，连接BA' ，则B A' 长度的最小值为．

A

M N

A'

B C

2.如图，在三角形纸片ABC 中，已知∠ABC=90°，AC=5，BC=4．过

点A 作直线l 平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点

B 落在直线l上的点P处，折痕为M N．当点P在直线l上移动

时，折痕的端点M，N 也随之移动，若限定端点M，N 分别在AB，BC 边上（包括端点）移动，则线段A P 长度的最大值与最小值之差为．

A P l

B N C

3.在锐角△ABC 中，AB=4，BC=5，将△ABC 绕点B按逆时针方

向旋转，得到△A1BC1．若E为线段A B 的中点，则在△ABC绕点

B 按逆时针方向旋转的过程中，线段EC1 长度的最大值是

，最小值是．

C1

B C

4.如图，在△ABC 中，AB=5，AC=12，BC=13，P 为BC 边上任

一点，PE⊥AB 于点E，PF⊥AC 于点F，M 为E F 中点，则线段P M 长度的最小值为．

A

B P C

5.正方形ABCD 的边长为a，P 是BC 边上任意一点（可与B，

C 重合），B，C，

D 三点到射线A P 的距离分别是h1，h2，h3

，设h1+h2+h3=y，则y的最大值是，最小值是

D C

A B

6.如图，已知AB=10，P 是线段AB 上任意一点，在AB 的同侧分

别以AP 和PB 为边作等边△APC 和等边△BPD，则线段

CD 长度的最小值为．

C

A P B

7.如图，在R t△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，在△ABC 内

部以A C 为斜边任意作R t△ACD，连接B D，则线段B D 长度的最小值为．

B

C A

8.如图，正方形ABCD 的边长是2，以正方形ABCD 的边AB 为

边，在正方形内作等边三角形A BE，P 为对角线A C 上的一动点，则P D+PE 的最小值为．

A D

B C

9.如图，在菱形ABCD 中，AB=2，∠A=120°，若P，Q，K 分别

为线段BC，CD，BD 上的任一点，则PK+QK 的最小值为

A D

B P C

思考小结

1．几何最值问题的处理思路

①分析定点、动点，寻找不变特征；

②若属于常见模型、结构，调用模型、结构解决问题；

若不属于常见模型，要结合所求目标，根据不变特征转化为基本定理或表达为函数解决问题．

2．转化原则：

尽量减少变量，向定点、定线段、定图形靠拢，或使用同一变量表达所求目标．

3．基本定理：

两点之间，线段最短（已知两个定点）

垂线段最短（已知一个定点、一条定直线）

三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定）

4．常用模型、结构示例：

①轴对称最值模型

A

l

l

B

求P A+PB 的最小值，求|PA-PB|的最大值，

对称至异侧对称至同侧

B' B

l

M N

固定长度线段MN 在直线l 上滑动，求AM+MN+BN 的最小值，需平移BN（或AM），转化为AM +MB'解决．

②折叠求最值结构

A

M N

A'

B C

求BA′的最小值，转化为求BA′+A′N+NC 的最小值（利用A′N+NC 为定值）．