2.2数列的极限

课 题：2.2

数列的极限

教学目的：

1. 理解数列极限的概念；

教学重点：会判断一些简单数列和函数的极限 教学难点：数列极限的理解 授课类型：新授课 课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：

这节课一开始就把学生引入数列是否“趋向于”一个常数的讨论中，虽然学生对“趋向于”并没有精确的认识，但是凭借他们的自身的感受，运用“观察”“分析”“归纳”“概括”也能得到一些数列的“极限”的肤浅认识，这是感性认识 数列的极限是一个十分重要的概念，它的通俗定义是：随着项数n 的无限增大，数列的项a n 无限地趋近于某个常数a (即|a n －a |无限地接近于0)，它有两个方面的意义. 教学过程：

一、复习引入：

1.战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的

过程可以无限制地进行下去（1）可以求出第n 天剩余的木棒长度n a ＝

1

2n

(尺)；（2）前n 天截下的木棒的总长度n b ＝1-

1

2

n (尺) 分析变化趋势. 2. 观察下列数列，随n 变化时，n a 是否趋向于某一个常数： (1)n n a n

12+=

; (2)n n a )3

1(3-=; (3)a n =4·(－1)n －1

; (4)a n =2n ; (5)a n =3; (6)a n =n n 2)1(1--; (7)a n =(2

1)n

; (8)a n =6+n 101

二、讲解新课：

1.数列极限的定义：

一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是

数列}{n a 的极限．记作lim n n a a →∞

=，读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等

于a ”

“n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思n a a →∞

=有

时也记作：当n →∞时，n a →a ．

理解：数列的极限的直观描述方式的定义，只是对数列变化趋势的定性说明，而不是定量化的定义.“随着项数n 的无限增大，数列的项a n 无限地趋近于某个常数a ”的意义有两个方面：一方面，数列的项a n 趋近于a 是在无限过程中进行的，即随着n 的增大a n 越来越接近于a ；另一方面，a n 不是一般地趋近于a ，而是“无限”地趋近于a ，即|a n －a |随n 的增大而无限地趋近于0. 2.几个重要极限： （1）01

lim

=∞→n n （2）C C n =∞

→lim （C 是常数） （3）无穷等比数列}{n

q （1

→q q n

n

三、讲解范例：

例1判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由

（1）1，

21，31，…，n 1

，… ； （2）21，32，43，…，1

+n n ，…；

（3）－2，－2，－2，…，－2，…；

（4）－0.1，0.01，－0.001，…，n

)1.0(-，…； （5）－1,1，－1，…，n

)1(-，…； 解：（1）1，

21，31，…，n

1

，… 的项随n 的增大而减小，且当n 无限增大时，n 1无限地趋近于0.因此，数列｛n 1｝的极限是0，即lim n →∞n

1

＝0. （2）

21，32，43，…，1

+n n

，…的项随n 的增大而增大，且当n 无限增大时，1+n n 无限地趋近于1.因此，数列｛1+n n ｝的极限是1，即lim n →∞1

+n n ＝1.

（3）－2，－2，－2，…，－2，…的项随n 的增大都不变，且当n 无限增大时，无限地趋近于－2.因此，数列｛-2｝的极限是-2，即

lim n →∞

(-2)＝-2.

（4）－0.1，0.01，－0.001，…，n

)1.0(-，…的项随n 的增大而绝对值在减小，且当n 无限增大时，n

)1.0(-无限地趋近于0.因此，数列｛n

)1.0(-｝的极限是0，即

lim

n →∞

n

)1.0(-＝0. （5）－1,1，－1，…，n

)1(-，…的项随n 的增大而在两个值－1与1上变化，且当n 无限增大时，n )1(-不能无限地趋近于同一个定值.因此，数列｛n

)1(-｝无极限

四、课堂练习：

1．下列命题正确的是（ ）

①数列

(){}31n

-没有极限 ②数列()

⎭

⎬⎫

⎩

⎨⎧-n n

21的极限为0 ③数列⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n

233的极限为3 ④ 数列()

⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧n n 32没有极限 A ①② B ②③④ C ①②③ D ①②③④

答案：D

2. 判断下列数列是否有极限，若有，写出极限

（1）1，

41，91，…，21

n

，… ； （2）7，7，7，…，7，…； （3）ΛΛ,2)1(,

,81,41,21n

n

---； （4）2，4，6，8，…，2n ，…； （5）0.1，0.01，0.001，…，

n

10

1，…； （6）0，,32,21--…，11

-n ，…； （7）,41,31,21-…，11)1(1

+-+n n ，…； （8）,51,5

9,54…，52n ，…；

（9）－2, 0，－2，…，1)1(--n

,…，

答案：⑴0 ⑵7 ⑶0 ⑷不存在 ⑸0 ⑹-1 ⑺0 ⑻不存在 ⑼不存在．