微分方程中的几个基础概念
二阶微分方程的解
二阶微分方程的解二阶微分方程是一种常见的微积分学中的数学问题，它的解法涉及到高级的数学知识，需要深入研究和理解。
本文将从基础概念入手，探讨二阶微分方程的解法，并且给出几个实际的例子以供读者参考。
一、基础概念二阶微分方程的一般形式为：y''+P(x)y'+Q(x)y=F(x) ，其中y是关于x 的未知函数， P(x)、Q(x)和F(x)是已知的函数。
这个方程可以看作是对未知函数y进行了两次微分，其中y''代表二阶导数，P(x)y'代表一阶导数，Q(x)y代表零阶导数（即y本身），F(x)则是与y无关的已知函数。
我们的目标是求出y的解函数，也就是y关于x的表达式。
二、常系数齐次二阶微分方程首先让我们考虑最简单的情况，那就是常系数齐次二阶微分方程。
这种情况下，方程的一般形式为：y''+ay'+by=0，其中a和b是常数。
按照常规方法，假设y=e^λx是方程的一个解，将它代入方程中得到：λ^2e^λx+aλe^λx+be^λx=0整理得到：(λ^2+aλ+b)e^λx=0由于e^λx≠0，所以我们可以得到：λ^2+aλ+b=0这个方程的根（解）就是在这个线性齐次方程的情况下我们所需要的！让我们来看一个例子：例1：解y''-3y'+2y=0由于这是一个常系数齐次方程，所以我们可以设y=e^λx，然后代入方程中，得到以下特征方程：λ^2-3λ+2=0解这个二次方程可以得到λ=1或λ=2。
因此我们得到以下两个解：y1=e^xy2=e^2x这两个解都可以作为原方程的解。
三、带有特定右端项的二阶非齐次微分方程接下来我们考虑带有特定右端项的二阶非齐次微分方程。
这种情况下，方程的一般形式为：y''+ay'+by=f(x)，其中a和b是常数，f(x)是已知函数。
我们可以采用“待定系数法”求解这类方程。
高等数学基础概念解读及例题演练-常微分方程
22
＋
lnx.
习题7.3【答案】 y=-2 x�.1. +-1 .
33
习题7.4【答案】C
习题7.5【答案】 1 习题7.6【答案】 y=[;ex+C2e2x -x(x+2)<f.
’
一 功F dx
＝
一 φp dt
·
一 dt dx
＝
－ 1 e1
－一 ddyt ’，
I j. 今 且_ ddx2y2 _-_ ddx
，( ＼、
＿1…秒 －1e' dt)
d I( I圳 ·-I·- dt
dt飞e1 dt J dx
1( － l
－ e1' 命 ·－ dt ＋l－ e'
·－ ddt2一2y ｜J ··e一1' －
［例 13］在下列微分方程中，以y=C1ex +C2 cos2x+C3 sin2x为通解的是一·
m+
’－4 0
m
(A)y y" -4y y =
(B)y +y" +4y’ ＋4y=O
(C)ym -y" -4y’ ＋4y = 0
－ (D)ym -y" +4y’ 4y=O
－ 解：容易看出微分方程的三个特征根分别是1，匀， 2i，对比应当（。是正确的．
～CB) Axe2x+e2x(Bcos2x+Csin衍）
CD) Axe xe2x(Bcos2x +Csin2x)
［答案JC
［例10］以 y=Glf+c;e-2x+xe为通解的微分方程是一一·
(A) y"-y’ －2y=3x<f
变系数微分方程的概念
变系数微分方程的概念一、引言微分方程是描述自然界中许多现象的重要工具，它们在物理、化学、生物等领域都有广泛的应用。
而变系数微分方程是一类特殊的微分方程，它的系数随着自变量而变化。
本文将从基础概念、解法方法、应用等方面对变系数微分方程进行全面详细的介绍。
二、基础概念1. 变系数微分方程定义变系数微分方程是指微分方程中的系数不仅与未知函数有关，还与自变量有关。
2. 常见形式常见的变系数微分方程包括但不限于以下几种：（1）Bernoulli型变系数微分方程：$$ \frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)y^n $$（2）Riccati型变系数微分方程：$$ \frac{dy}{dx}=p(x)y^2+q(x)y+r(x) $$（3）Bessel型变系数微分方程：$$ x^2\frac{d^2y}{dx^2}+x\frac{dy}{dx}+(x^2-\alpha^2)y=0 $$其中，$p(x),q(x),r(x)$为$x$的函数，$n$为常数，$\alpha$为常数。
三、解法方法1. 变量可分离法对于形如$y'=f(x)g(y)$的变系数微分方程，可以利用变量可分离法求解。
具体步骤为：（1）将微分方程写成$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$的形式。
（2）将方程两边同时除以$g(y)$，得到$\frac{1}{g(y)}\frac{dy}{dx}=f(x)$。
（3）对上述等式两边同时积分，得到$\int\frac{1}{g(y)}dy=\intf(x)dx$。
（4）对上述等式进行积分即可得到最终解。
2. 线性微分方程法对于形如$y''+p(x)y'+q(x)y=0$的二阶线性微分方程，可以利用线性微分方程法求解。
具体步骤为：（1）先求出一阶齐次线性微分方程的通解$y_1(x)$和$y_2(x)$。
（2）设特解为$y_p(x)$，代入原微分方程中求出特征值$\lambda$和特征向量$\boldsymbol{v}$。
微分方程的求解方法例题
微分方程的求解方法例题1. 基础概念简介在数学中，微分方程是描述未知函数及其导数之间关系的方程。
它是很多科学领域的基础理论，包括物理、工程、经济等。
求解微分方程可以帮助我们理解和预测自然界的现象。
常见的微分方程类型包括常微分方程和偏微分方程。
常微分方程仅涉及一个未知函数的变量和它的导数，而偏微分方程涉及多个未知函数和它们的偏导数。
2. 常见的求解方法2.1 分离变量法分离变量法适用于一阶常微分方程。
它的基本思想是将未知函数和它的导数分离到等式的两边，然后对两边积分。
例如，考虑一阶常微分方程 dy/dx = x/y，我们可以将其改写为y dy = x dx。
将两边同时积分得到：∫y dy = ∫x dx解这两个积分后得到：y^2/2 = x^2/2 + C其中C为常数。
2.2 变量替换法变量替换法适用于一阶或高阶常微分方程。
它的思想是通过引入新的变量替换原方程，使得新方程容易求解。
例如，考虑二阶常微分方程 y'' + y = 0，我们可以引入新变量 v = y'，得到一阶常微分方程 v' + y = 0。
我们可以用分离变量法解得v = -y + C1，再对 v = y' 进一步积分得到 y = -x + C2*e^x，其中 C1 和 C2 是常数。
2.3 特征方程法特征方程法适用于线性常系数常微分方程。
它的基本思想是将未知函数假设为指数函数形式，然后根据方程的特征求解。
例如，考虑二阶常微分方程 y'' + 3y' + 2y = 0，我们可以假设 y= e^(rx)，其中 r 是未知常数。
将这个假设带入原方程得到特征方程r^2 + 3r + 2 = 0。
解这个特征方程得到 r1 = -1 和 r2 = -2。
因此，通解可以表示为 y = C1*e^(-x) + C2*e^(-2x)，其中 C1 和 C2 是常数。
2.4 数值方法数值方法适用于无法用解析方法求解的微分方程。
高中数学常微分方程知识点总结
高中数学常微分方程知识点总结微分方程是数学中的一个重要分支，它描述了变量之间的关系以及它们的变化率。
在高中数学课程中，学生们需要学习常微分方程的知识，并且利用这些知识解决实际问题。
本文将对高中数学中常微分方程的主要知识点进行总结。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是包含未知函数的泛函方程，其一般形式为：dy/dx = f(x, y)。
其中，y是未知函数，f(x, y) 是已知的函数。
常微分方程的解是能够满足该方程的函数。
二、常微分方程的分类常微分方程可分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。
1.一阶常微分方程一阶常微分方程是指未知函数的导数最高次数为一的微分方程，其一般形式为：dy/dx = f(x, y)。
一阶常微分方程的解可以通过分离变量、齐次方程、一阶线性方程等方法求解。
2.高阶常微分方程高阶常微分方程是指未知函数的导数最高次数大于一的微分方程。
高阶常微分方程的求解可以通过转换为一阶方程组、特解叠加法、特征方程等方法求解。
三、常微分方程的解法1.分离变量法对于一阶常微分方程，若可以将未知函数y和自变量x分离，则可以将方程化简为两个变量的乘积形式，从而可以通过分离变量的方式求解出y的表达式。
2.齐次方程法对于一阶常微分方程，若可以将未知函数y和自变量x在方程中通过同一个变量替换成比值的形式，则可以将方程化简为一个纯含有未知函数y的方程，从而可以通过变量代换解出y的表达式。
3.线性方程法对于一阶常微分方程，若可以将方程化简为形如dy/dx + P(x)y =Q(x)的线性方程，则可以通过积分因子或待定系数法等方法求解出未知函数y的表达式。
4.特解叠加法对于高阶常微分方程，可以通过叠加一般解和特解的方式求解出方程的解。
一般解是该方程的任意解，特解是方程的一个特殊解。
5.特征方程法对于高阶常微分方程，可以通过求解该方程的特征方程得到方程的特解形式。
特征方程是该方程对应的齐次方程的根的特征方程，通过求解特征方程的根可以得到方程的特解形式。
多元微分方程
多元微分方程多元微分方程是数学中一种比较重要的领域，它研究的是关于多个未知量的微分方程，如F(x,y,y',y'',...,xn),其中x,y,z,...,n 表示多个未知量，F表示与这些变量相关的函数。
在物理、工程、经济、生物等领域中，多元微分方程广泛应用于描述实际问题，并对问题进行求解和分析。
本文将介绍多元微分方程的基础知识、常见的解法和其应用。
一、多元微分方程的基础概念1、概念多元微分方程是一种微积分方程，在数学中可表示为：dy1/dx=f1(x,y1,y2,...,yn)dy2/dx=f2(x,y1,y2,...,yn)...dyn/dx=fn(x,y1,y2,...,yn)其中，x表示自变量，y1,y2,...,yn表示因变量，f1,f2,...,fn为已知的函数。
2、分类根据方程中的未知量的个数，可以将多元微分方程分为：二阶、三阶、n-阶微分方程等。
同时，按照微分方程中的未知量是否相互独立，多元微分方程又可以分为：常微分方程和偏微分方程。
3、初始条件的确定为了确定多元微分方程的解，常常需要给出初始条件，它用来确定常微分方程的特解。
初始条件通常是指未知量在某一时刻的取值，如y(x0)=y0。
通过充分、严格和恰当的初始条件设定，可以使得解的存在性唯一，易于计算。
二、多元微分方程的通解和特解1、通解多元微分方程的通解是指可以满足微分方程中所有解的函数解。
在求解多元微分方程时，我们通常使用变换方法或工具方法进行通解的求解。
2、特解多元微分方程的特解是一种满足微分方程的特定解，当满足一些特定的条件时，可以求得方程的特解。
在多元微分方程的求解中，特解对于问题的解决具有非常重要的意义。
三、多元微分方程的常见解法1、分离变量法分离变量法是求解常微分方程的常用方法，可以比较容易地将未知量和已知量分离出来，从而简化微分方程的求解过程。
此外，分离变量法还可以用于求解偏微分方程，在有限元模拟等领域中应用广泛。
高等数学基础第十一章
形如 y'' +py' qy f (x)
（11-2）
的方程(其中p，q为常数)，称为二阶常系数非齐次线性微分方
程。称 y'' +py' qy 0为方程（11-2）所对应的齐次方程。
定理11.2 (非齐次线性方程解的结构) 若 yp是线性非齐次方程(2)的 某个特解， yc 为对应的齐次线性方程的通解，则 y yp yc 为
以 s t
t0 0
，ds
dt
t0 0
。代入上式得
C1 C2=0
所以
s t 1 gt2
2
二、微分方程的基本概念
定义11.1 凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系 的方程称为微分方程。未知函数是一元函数的微分方程称为常微 分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程。 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶
把初始条件y x0 2 代入上式,得C 2
所以方程的特解为
y (x2 2)ex2
第三节 可降阶的高阶微分方程
一、y(n) f (x) 型的微分方程
例1 求微分方程 y 2x sinx 的通解。
解
因为 y 2x sinx，所以
y' x2 cosx C1
y
1 3
x3
sinx
C1x
x3
1 5
x5 )
+
C2
例4 求微分方程(1 ex ) y'' y' 0 的通解。
解
设 y' p(x) ，代入方程，得
(1 ex ) p' p 0
分离变量得
dp p
经济数学基础微积分课件 常微分方程
例2 验证函数 y e x e x 是不是方程
y 2 y y 0的解.
解 求 y e x e x 的导数，得 y e x e x , y e x e x
将y、y及y 代入原方程的左边，有
e x e x 2e x 2e x e x e x 0 即函数 y e x e x 不满足原方程，
前页 后页 结束
M1(x) N1(x)
d
x
N2(y) M 2( y)
d
y
0
将（9.2.3）式两边积分后，
（9.2.3）
M1(x) N1(x)
d
x
N2(y) M 2( y)
d
y
C
（C为任意常数）
可验证，此结果即用隐式给出的方程（9.2.3）的通解．
约定:
在微分方程这一章中不定积分式表示被积函数的一
y e p(x)d x q(x)e p(x)d x d x C
即为所求（9.3.1）的通解．
前页 后页 结束
例1 求微分方程 dy 2xy 2xe x2 的通解． dx
解 p(x) 2x, q(x) 2xex2
代入公式
y e2xd x 2xex2 e2xd x d x C
常微分方程
9.1 常微分方程的基本概念 9.2 可分离变量的微分方程 9.3 一阶微分方程与可降阶
的高阶微分方程 9.4 二阶常系数微分方程 9.5 常微分方程的应用举例
结束
9.1 常微分方程的基本概念
定义一 含有未知函数的导数（或微分）的方程称为 微分方程。
常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程 偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程 定义二 在微分方程中，所出现的未知函数的最高阶
常微分方程主要内容
常微分方程主要内容
摘要：
1.常微分方程的概述
2.常微分方程的主要内容
3.常微分方程的应用
4.学习常微分方程的方法和技巧
正文：
一、常微分方程的概述
常微分方程是微分方程的一个分支，主要研究变量随时间变化的规律。
它在数学、物理、化学、生物学等领域有着广泛的应用，是解决许多实际问题的关键工具。
二、常微分方程的主要内容
1.基本概念：常微分方程涉及的基本概念包括导数、微分、积分等，这些概念是理解常微分方程的基础。
2.基本定理：常微分方程的基本定理包括解的存在唯一性定理、解的延展定理等，这些定理是研究常微分方程的关键。
3.解法：常微分方程的解法包括初等基分法、线性微分方程组解法、n 阶线性微分方程解法等，这些解法是求解常微分方程的具体方法。
4.特殊类型：常微分方程中的特殊类型包括线性微分方程、非线性微分方程、隐式微分方程、显式微分方程等，这些特殊类型需要特殊的处理方法。
三、常微分方程的应用
常微分方程在实际应用中具有广泛的应用，包括数值计算、微分方程建模等。
例如，在物理学中，常微分方程可以用来描述物体的运动规律；在生物学中，常微分方程可以用来描述生物种群的演化规律等。
四、学习常微分方程的方法和技巧
学习常微分方程需要掌握一定的数学基础，包括微积分、线性代数等。
此外，学习常微分方程还需要掌握一些基本的数学分析方法，如极限、连续、导数、微分等。
在解决常微分方程问题时，需要灵活运用这些方法和技巧，以求得问题的解决。
总之，常微分方程是数学中的一个重要分支，它在实际应用中具有广泛的应用。
微分方程及其应用的基础知识
6.2 一阶线性微分方程
6.2.1 一阶线性微分方程
1．定义： 形如
dy P x y Q x (1)
dx
的方程，称为一阶线性微分方程，其中P(x)、Q(x)是已知的连
续函数, Q(x)称为自由项．
特点： 方程中的未知函数y及导数 dy
2．分类
dx
若 Q(x)= 0, 即
dy P x y 0
程． 解 设鱼雷的航行曲线方程为 y = y(x)，
在时刻，鱼雷的坐标为P(x,y)，敌舰
的坐标为Q(1, v0t)． 因为鱼雷始终对准敌舰，所以
y v0t y 1 x
即
v0t y1 x y
又OP 的长度为
x 0
1 y2 dx 2v0t
23
从上面两式消去v0t得：
y1 x y 1
解 设任一时刻t的电流为i．
我们知道，电流在电阻R上产生一个电压降uR = Ri，
di
在电感L上产生的电压降是
uL
L dt
由回路电压定律知道，闭合电路中电动势等于电压降之和，即
亦即
uR uL E
Ri
L
di dt
E0
sin
wt
整理为
di R i E0 sin wt
①
dt L L
18
式①为一阶非齐次线性方程的标准形式，其中
x 1
解 P x 2 ， Q x x 13
x 1
由公式可得
y
e
2 dx x 1
x
1
3
e
2 dx
x1 dx
C
x
12
x
13
x
1
12
dx
微分方程的基本概念和解法
微分方程的基本概念和解法微分方程是数学中非常重要的一种工具。
它是数学中最重要的一个分支之一，也是其他许多学科的基础。
微分方程在物理、化学、工程学、经济学、生物学以及计算机科学等领域都有着广泛的应用。
本文将介绍微分方程的基本概念和解法。
一、微分方程的定义微分方程是用来描述一些量的变化率的方程。
在微分方程中，自变量通常是时间或空间，因变量是需要得到的量。
微分方程通常由一个或多个未知函数及其导数或微分构成。
二、微分方程的类型微分方程可分为常微分方程和偏微分方程两类。
常微分方程是只涉及一个自变量的微分方程。
偏微分方程是涉及到多个自变量的微分方程。
另外，微分方程还可分为一阶微分方程和高阶微分方程两类。
一阶微分方程的未知函数只出现一次导数，高阶微分方程的未知函数出现多次导数。
三、微分方程的解法1.分离变量法分离变量法是求解一阶微分方程的一种常用方法。
假设一个未知函数y是由x的函数所支配的，即y=f(x)。
将y的微分表达式dy表示成dx的函数，然后将各变量分离出来，即得到dy/g(y)=f(x)dx，再将其两边同时积分，即可求出y的解函数。
例如，考虑求解y'=2xy的一般解。
首先将dy=y'dx，将y的微分表达式代入原方程，得到dy=2xydx。
将dy除以y并将dx除以2x，得到dy/y=xdx。
对其两边同时积分，可得ln|y|=x^2+C，其中C为常数。
解出y，得y=±e^(x^2+C)，即为通解。
2.齐次方程法齐次方程也是求解一阶微分方程的一种方法。
若一个一阶微分方程可以化为dy/dx=f(y/x)的形式，则称其为齐次方程。
求解齐次方程的方法为令v=y/x，等价于y=vx，然后对v关于x求导数，即dv/dx=y'x-y/x^2，代入原方程即可得到f(v)dv=vdx。
对其两边同时积分即可得到通解y=Cx^m，其中m为常数。
例如，考虑求解y'=x/2y的一般解。
首先令v=y/x，则y'=v+x dv/dx。
数学的微分方程基础
数学的微分方程基础微分方程是数学中的一种重要工具，被广泛应用于各个领域，如物理学、工程学、经济学等。
它描述了自然界中许多变化过程的数学模型，并通过求解微分方程，我们可以得到这些变化的具体解析解或数值解。
本文将介绍微分方程的基础知识，包括微分方程的定义、分类、求解方法等。
一、微分方程的定义与分类微分方程是描述未知函数与其导数之间关系的方程。
一般形式为：\[F(x,y,y',y'',...,y^{(n)})=0\]其中，\[y^{(n)}\]表示未知函数y的n阶导数。
根据方程中所涉及的未知函数和导数的阶数，微分方程可以分为以下几类：1. 常微分方程：只涉及一元函数y及其有限阶导数的微分方程，如：\[y''+y=0\]2. 偏微分方程：涉及多元函数及其偏导数的微分方程，如：\[\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0\]3. 隐式微分方程：即在微分方程中未明确给出未知函数y，而是通过方程中的其他条件来确定未知函数y的方程，如：\[x^2+y^2=1\]二、常微分方程的解法常微分方程的求解是微分方程研究的重点之一。
根据方程的类型和特征，可以采用不同的方法求解常微分方程。
1. 变量可分离方程变量可分离方程即可将微分方程转化为两个变量的乘积对数形式。
例如，对于方程：\[\frac{dy}{dx}=x^2\]可以通过变量分离，将方程化简为：\[\frac{dy}{y}=x^2dx\]然后对方程两边同时积分，即可得到解析解。
2. 齐次方程齐次方程是具有特殊形式的常微分方程，可通过引入新的变量进行变换后，化简成可积分的方程。
例如，对于方程：\[xy' - y = x\ln x\]引入新变量u=x/y，可以得到较为简洁的形式：\[u' - \frac{u}{x} = \ln x\]再通过变量分离、两边积分的方法即可求解出u，然后通过u与x 的关系，得到y的解析解。
微分方程的基础知识
微分方程的基础知识微分方程是数学中重要的一部分，它是描述自然现象中变化规律的方程。
微分方程经常被应用在物理学、工程学、经济学等众多领域。
在这篇文章中，我们将介绍微分方程的基础知识，包括微分方程的定义、分类以及解法等内容。
1. 微分方程的定义微分方程是包含未知函数及其导数的方程。
一般形式可以表示为：$$F(x, y, y', y'', ..., y^{(n)}) = 0$$其中，$x$是自变量，$y$是未知函数，$y'$表示$y$的一阶导数，$y''$表示二阶导数，$y^{(n)}$表示$y$的$n$阶导数，$F$是关于$x, y, y', y'', ..., y^{(n)}$的函数。
2. 微分方程的分类微分方程可以根据方程中出现的未知函数的阶数以及方程中的变量个数进行分类。
2.1 根据阶数分类根据未知函数的阶数，微分方程可分为一阶微分方程、二阶微分方程、n阶微分方程等。
一阶微分方程中只包含一阶导数，二阶微分方程中包含一阶导数和二阶导数，以此类推。
2.2 根据变量个数分类根据方程中的自变量个数，微分方程可分为常微分方程和偏微分方程。
常微分方程中只含有一个自变量，例如：$$\frac{dy}{dx} + y = 0$$偏微分方程中含有多个自变量，例如：$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$$3. 微分方程的解法解微分方程是找到满足方程的未知函数。
根据方程的类型和特点，可以采用不同的方法求解。
3.1 可分离变量法对于一些形如$\frac{dy}{dx} = g(x)f(y)$的方程，可以通过将变量分离后进行积分来求解。
3.2 齐次方程法对于一些形如$\frac{dy}{dx} = f\left(\frac{y}{x}\right)$的方程，可以通过将变量进行代换后化简为可分离变量的方程来求解。
第7节微分方程基础
第七章 微分方程内容提要： 一、 微分方程的概念1． 微分方程：0),,,,()(='n y y y x F 2． 微分方程的阶3． 微分方程的解)(x f y =隐式解0),(=y x f 4． 微分方程的通解c x f y +=)(与隐式通解0),,(=c y x f5． 微分方程的特解 6． 微分方程的初值问题 7． 微分方程的积分曲线8．增根与失根问题：（奇解：不能从通解中取得的解） 例1求微分方程的通解 xdx y dy =。
解：kx ：y c x y ：，xdx y dy =+==⎰⎰显式通解隐式通解;||ln ||ln 。
增根：原方程解的曲线不过原点 例2解方程dx dy xy dx dy x y =+22。
解：JCP306，通解为：c xy y +=||ln ；失根：实际上微分方程的解包括)0,0(或说积分曲线过原点。
建议：注意题目是 解方程 仍是 求方程的通解 二、 一阶微分方程1可分离变量方程： dx x f dy y g )()(= 例 y x dxdy +=。
解：拆不成绩捆令1,1,+==+=+u dxdu dx du dx dy u y x 成可分离了注意倒过来的情况：y x dx dy +=1----JCP3132齐次方程： ux y xy dx dy == ),(令ϕ3一阶线性方程：)()(x Q yx P y =+'其解：[]⎰+=⎰⎰-C dx ex Q e y dxx P dx x P )()()(建议：⎰-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰dxx P e x A C dx x A x Q x A y )()(,)()()(例y x dxdy +=即：x y y =-' 注意倒过来的情况：yx dx dy +=1，即y x x =-'4*贝努利方程 )1,0()()(≠=+'n y x Q y x P y n 解法：令n y z -=1 变成)()1()()1(x Q n z x P n z -=-+'5*全微分方程 0),(),(=+dy y x Q dx y x P 知足 xy Q P '=' 例：0)()(=-++dy y x dx y x 解1：齐次方程；解2：凑微分法；解3：拆微分法；…三、 *可降阶的微分方程：直接积分型；不显含Y 型；不显含X 型 1.()y f x ''=型的微分方程 特点：右端仅含x . 解法：积分两次. 2.(,)y f x y '''=型的微分方程特点：右端不显含未知函数y .解法：换元，化为一阶方程求解. 步骤如下： ⑴ 令y p '=，则dpy p dx'''==，方程化为(,)p f x p '= （这是关于变量x ，p 的一阶方程）；⑵ 解出p ；⑶ 再由y p '=解出y .例题1 求微分方程x y y +'=''的通解. （JCP323T1-5）3.(,)y f y y '''=型的微分方程特点：右端不显含x .解法：换元，化为一阶方程求解. 步骤如下： ⑴ 令y p '=，则dp dp dy dpy p dx dy dx dy''===，方程化为(,)dp p f y p dy = （这是关于变量y ，p 的一阶方程）；⑵ 解出p ；⑶ 再由y p '=解出y .例题2 求微分方程y y y '+'=''3)(的通解.（JCP323T1-10） 练习题1.微分方程03='+''y y x 的通解为 . 【221x C Cy +=】2.求初值问题2(1)2,(0)1,(0)3x y xy y y '''⎧+=⎨'==⎩的解. 【y3.解方程20yy y '''-=. 【12C x y C e =】4.求初值问题0)1(,1)1(,12='='+=''y y y y y 的解. 【)(2111x x e e y --+=】5.求微分方程2()y x y y ''''+=知足初始条件(1)(1)1y y '==的特解. 【07-2，322133y x =+】四、 高阶线性微分方程解的结构1．齐次的：0)()(=+'+''y x Q y x P y结论1：若是)(1x y 与)(2x y 是方程的两个解，则)()(2211x y C x y C y +=也是其解 结论2：若是)(1x y 与)(2x y 是方程的两个无关的解，则)()(2211x y C x y C y +=是方程的通解推论：若是)()(1x ，y ，x y n 是齐次方程0)()()(1)1(1)(=+'+++--y x a y x a y x a y n n n n 的N 个无关的解，则其通解为)()()(2211x y C x y C x y C y n n +++= 2． 非齐次的：)()()(x f y x Q y x P y =+'+''结论1：设)(*x y 是方程)()()(x f y x Q y x P y =+'+''的一个特解，)(x Y 则是对应的齐次方程的通解，则)(*)(x y x Y y +=是非齐次的通解结论2：若是非齐次方程为)()()()(21x f x f y x Q y x P y +=+'+''而)(*1x y 与)(*2x y 别离是方程)()()(1x f y x Q y x P y =+'+''和)()()(2x f y x Q y x P y =+'+''的特解，则+)(*1x y )(*2x y 是原方程的特解五、 二阶常系数线性微分方程1．常系数齐次线性微分方程0 0)()(=+'+''⇒=+'+''qy y p y y x Q y x P y例1：065 =+'+''y y y ；例2：044 =+'-''y y y ；例3：052 =+'-''y y y ，i，r 2121±= 2． 常系数非齐次线性微分方程（简单的）)( x f qy y p y =+'+'' 特解的求法：待定系数法，（常数变易法，微分算子法）结论1：若是x m e x P x f λ)()(=，则方程有形如x m k e x Q x y λ)(*=的特解，⎪⎩⎪⎨⎧=是特征方程的重根是特征方程的单根不是特征方程的根λλλ，，k 21 ,0例1：x e y y y 22 =-'+'' 例2：x xe y y y -=+'+''323 例3x e x y y y 3)1(96 +=+'-''解1：1=λ不是特征方程2/12,11,0122=-==-+r r r r 的根，故x Ce y =*代入原方程得C=1解2：1-=λ是特征方程22,11,0232-=-==++r r r r 的单根，故x e B Ax x y -+=)(* ，代入原方程得3,2/3-==B A解3：3=λ是特征方程321,0962===+-r r r r 的重根， 故x e B Ax x y 32)(*+=代入原方程得2/1,6/1==B A结论2：若是[]x x P x x P e x f n l x ωωλsin )(cos )()(+=，则方程有形如[]x x R x x R e x y m m x k ωωλsin )(cos )(*21+=的特解，⎩⎨⎧-+-+=是特征方程的单根不是特征方程的根)( ,1)( 0ωλωλωλωλi i i i ，k ，},max{n l m =，次多项式是m x R x R m m )(),(21例4：x e y y y x 2sin 52 =+'-'' 例5x x y y cos 4 =+''解4：i i 21+=+ωλ是特征方程i r r r 212,1,0522±==+-的单根，故[]x B x A xe y x 2sin 2cos *+=代入原方程得0,4/1=-=B A 即：4/)2cos (*x xe y x-=解5：i i =+ωλ不是特征方程i r r 22,1,042±==+的单根，故x D Cx x B Ax y sin )(cos )(*+++=代入原方程得9/2,0,0,3/1====D C B A 即：x x x y sin 92cos 31*+=六、 微分方程的简单应用1．几何中的应用 2．*力学中的应用例1一质量均匀的链条挂在一无摩擦的钉子上，运动开始时，链条的一边下垂8米，另一边下垂10米，试问整个链条滑过钉子需多长时间？解：设链条的线密度为μ，通过t 时间下滑了x 米，由牛顿第二定律，得g x g x dtxd m μμ)8()10(22--+=，μ18=m ，0)0(,0)0(='=x x即：⎪⎩⎪⎨⎧='==-''0)0(,0)0(99x x g x g x 解得1)(21)(3131-+=-gt gte e t x ，令8=x ，则)809ln(3+=gt3． 经济应用第七讲 微分方程-题型一、解与通解问题例2ydxdy =，通解c x y +-=1，不包括0=y二、一阶线性方程：)()(x Q y x P y =+'其解：[]⎰+=⎰⎰-C dx ex Q e y dxx P dxx P )()()(例1．设)(x f 可导，且1)(21)(1+=⎰x f du ux f ，求)(x f 解：将原方程两边乘以X ，得x x xf x du ux f +=⎰)(21)(1对左端积分令 t ux = x x xf dt t f x+=⎰)(21)(0，求导得：1)]()([21)(+'+=x f x x f x f 即：xx f xx f 2)(1)(-=-'通解：2)(+=Cx x f例2．求解微分方程1)2sin cos (=+'y y x y解：yx y x y y x x yy x y 2sin )(cos ,2sin cos ,2sin cos 1=-'+='+='， 对应的齐次方程：0)(cos =-'x y x 的解为y Ce x sin =，再用常系数变易法y e y C x sin )(=代入原方程求出解。
常微分方程基础概念
常微分方程基础概念常微分方程（Ordinary Differential Equation，简称ODE）是数学中研究函数和它的导数之间关系的重要分支。
常微分方程具有广泛的应用，可以用于描述动力学系统、物理问题、生物学过程等领域。
本文将介绍常微分方程的基础概念，帮助读者了解其基本定义、分类和解的求解方法。
一、常微分方程的定义常微分方程是描述一个未知函数的导数与自变量之间的关系的方程。
一般形式为：dy/dx = f(x, y)其中，y是未知函数，x是自变量，f(x, y)是已知函数。
在这个方程中，y的导数dy/dx 是未知函数y的变化率，f(x, y)则给出了此变化率的具体表达。
二、常微分方程的分类常微分方程可以根据方程中未知函数、自变量和导数的阶数进行分类。
常见的分类如下：1. 一阶常微分方程一阶常微分方程是指方程中未知函数的最高阶导数为一阶导数的方程。
一阶常微分方程的一般形式为：dy/dx = f(x, y)2. 高阶常微分方程高阶常微分方程是指方程中未知函数的最高阶导数大于一阶导数的方程。
高阶常微分方程的一般形式为：d^n y / dx^n = f(x, y, dy/dx, d^2y/dx^2, ..., d^(n-1)y/dx^(n-1))其中，d^n y / dx^n 表示y的n阶导数。
三、常微分方程的解的求解方法常微分方程的求解是指找到满足方程的未知函数y的表达式。
常微分方程的求解方法有多种，常见的几种方法如下：1. 分离变量法分离变量法是指将常微分方程的变量分离到等式两侧，并分别积分求解。
常用于求解可以写成dy/dx = g(x)h(y)的一阶常微分方程。
2. 变量代换法变量代换法是指通过引入新的变量或通过代换将原方程转化为更简单的形式，然后进行求解。
常用于求解一些特殊形式的方程。
3. 齐次方程法齐次方程法是指通过引入新的变量将非齐次方程转化为齐次方程，然后进行求解。
常用于求解一阶线性常微分方程。
高一数学中的常微分方程基础是什么
高一数学中的常微分方程基础是什么在高一数学的学习中，常微分方程是一个相对较新且具有一定难度的内容。
它不仅是数学学科中的重要组成部分，也在物理学、工程学、经济学等众多领域有着广泛的应用。
那么，高一数学中的常微分方程基础究竟是什么呢？首先，我们要明白常微分方程的定义。
简单来说，常微分方程是指含有一个自变量和它的未知函数及其导数的等式。
例如，形如＄y' ＋2y ＝ 0$ 这样的式子就是一个常微分方程，其中＄y'＄表示＄y$ 对自变量＄x$ 的导数。
在高一阶段，我们接触到的常微分方程通常是比较简单的一阶常微分方程。
一阶常微分方程的一般形式可以写成＄y' ＝ f(x,y)＄。
这意味着未知函数＄y$ 的一阶导数＄y'＄是自变量＄x$ 和未知函数＄y$ 的某个已知函数＄f(x,y)＄。
为了求解常微分方程，我们需要掌握一些基本的方法。
其中，分离变量法是一种常见且重要的方法。
当方程可以写成＄g(y)y' ＝ h(x)＄的形式时，我们就可以将变量＄x$ 和＄y$ 分离到等式的两边，然后分别对两边进行积分，从而求得方程的解。
比如说，对于方程＄y' ＝ 2xy$ ，我们可以将其变形为＄＼frac{dy}｛y} ＝ 2xdx$ ，然后对两边分别积分：＄＼int\frac{1}｛y}dy ＝＼int2xdx$ ，得到＄＼ln|y| ＝ x^2 ＋ C$ （其中＄C$ 为常数），进而求出＄y ＝ e^｛x^2 ＋ C} ＝ Ce^｛x^2}＄。
另一种常见的方法是一阶线性常微分方程的求解方法。
一阶线性常微分方程的一般形式是＄y' ＋ p(x)y ＝ q(x)＄。
我们可以通过一个称为积分因子的东西来求解这类方程。
积分因子＄＼mu(x)＄通常为＄e^｛＼int p(x)dx}＄，将方程两边乘以积分因子后，方程的左边就可以凑成一个全微分的形式，从而方便求解。
例如，对于方程＄y' ＋ 2xy ＝ x$ ，积分因子为＄e^｛＼int 2xdx} ＝ e^｛x^2}＄。
偏微分方程基础概念
偏微分方程基础概念偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDE）是数学中一个重要的分支，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
本文将介绍偏微分方程的基础概念，包括方程分类、解的性质和求解方法等内容。
一、方程分类偏微分方程可以根据其阶数、类型和系数特性等进行分类。
根据阶数，可以将偏微分方程分为一阶、二阶和高阶偏微分方程。
一阶偏微分方程中最简单的形式是线性一阶偏微分方程，例如常见的热传导方程。
二阶偏微分方程则包括波动方程和扩散方程等。
高阶偏微分方程的例子有泊松方程和亥姆霍兹方程等。
根据类型，偏微分方程可分为椭圆型、抛物型和双曲型。
椭圆型偏微分方程主要描述静态问题，如静电场分布；抛物型偏微分方程则对应时变问题，如热传导；而双曲型偏微分方程则适用于描述波动传播，如声波、电磁波等。
二、解的性质偏微分方程的解可以是函数、函数的导数或它们的线性组合。
根据解的性质，可以将偏微分方程的解分为通解和特解。
通解是一个含有任意常数的解，可以通过将常数任意取值来得到所有解。
特解则是满足特定边界条件的解，它是通过给定边界条件唯一确定的。
另外，偏微分方程的解可以分为解析解和数值解。
解析解是由解析方法求得的，通常表示为一系列解析表达式。
数值解则是通过数值计算方法得到的近似解，多用于复杂的偏微分方程或无法求得解析解的情况。
三、求解方法求解偏微分方程的方法有多种，常见的方法包括分离变量法、变换法和数值方法等。
分离变量法是一种常用的求解方法，适用于可以进行变量分离的偏微分方程。
它通过假设解可写成多个变量的函数乘积形式，并将其代入偏微分方程，进而得到一系列常微分方程，再通过求解常微分方程得到偏微分方程的解。
变换法是通过引入适当的变量变换，将原方程转化为更简化的形式。
常见的变换包括特征变量法和拉普拉斯变换法等，具体的变换方式取决于方程的形式和特点。
数值方法适用于无法求得解析解或复杂的偏微分方程。
常微分方程基本理论
常微分方程基本理论常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODE）是数学中的一个重要分支，研究微分方程的性质和解的存在性、唯一性以及稳定性等基本理论。
本文将从常微分方程的基础概念入手，逐步介绍一些常见的常微分方程及其解法，并探讨一些常微分方程在科学和工程问题中的应用。
一、基本概念在进一步深入研究常微分方程之前，我们首先需要了解一些基本概念。
常微分方程是包含未知函数及其导数的方程，通常用符号表示为：\[F(x,y,y',y'',...,y^{(n)})=0\]其中，\(y\)是未知函数，\(y'\)表示\(y\)的一阶导数，\(y''\)表示\(y\)的二阶导数，\(y^{(n)}\)表示\(y\)的\(n\)阶导数。
\(F\)是关于\(x,y,y',y'',...,y^{(n)}\)的函数。
二、一阶常微分方程一阶常微分方程是指未知函数的导数只涉及到一阶导数的方程。
常见的一阶常微分方程形式如下：\[y'=f(x,y)\]其中，\(f(x,y)\)是关于\(x\)和\(y\)的已知函数。
我们可以通过分离变量、变量代换、常数变易法等方法求解这类方程。
三、二阶常微分方程二阶常微分方程是指未知函数的导数涉及到一阶和二阶导数的方程。
常见的二阶常微分方程形式如下：\[y''=f(x,y,y')\]同样可以通过变量代换、常数变易法等方法求解这类方程。
四、常微分方程的应用常微分方程在科学和工程领域有着广泛的应用。
例如，生态学中可以通过常微分方程模型研究物种数量的变化规律；经济学中可以利用常微分方程模拟经济增长和波动等现象；物理学中可以运用常微分方程描述运动方程和波动方程等；工程学中常微分方程也用于探讨电路、振动等问题。
五、常微分方程的解法常微分方程的解法主要包括解析解和数值解两种方法。
微分方程的基础知识
微分方程的基础知识微分方程是数学中重要的一部分，它是研究变化规律的工具，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
本文将介绍微分方程的基础知识，包括什么是微分方程，微分方程的分类，微分方程的解法等方面。
一、什么是微分方程微分方程是描述自变量和它的导数之间关系的方程。
它是从“微分”的角度出发，描述了一个变量关于自变量的变化率，通常用y表示一个关于x的函数，它的导数用y’(dy/dx)表示。
微分方程一般写成形式为：F(x,y,y',y'',...,y(n))=0其中F(x,y,y',y'',...,y(n))表示关于x、y、y'、y''...、y(n)的一个函数关系式，称之为微分方程。
微分方程可以是一阶、二阶、三阶或更高阶的。
二、微分方程的分类微分方程可以分为几类，根据它们的性质来区分。
1.按照阶数分类微分方程按照阶数可以分为一阶、二阶、三阶或更高阶的微分方程。
一阶微分方程只含有一阶导数，二阶微分方程含有二阶导数，以此类推。
2.按照线性分类微分方程根据它们的系数是否与未知函数y成线性关系可以分为线性微分方程和非线性微分方程。
3.按照齐次、非齐次分类微分方程如果可被分解成一个关于未知函数y自身的函数，和一个只与自变量x有关的函数，那么它称之为齐次微分方程。
反之，则称之为非齐次微分方程。
三、微分方程的解法1.变量分离法变量分离法是求解一阶微分方程的基本方法。
将微分方程中自变量x和未知函数y分离出来，将所有含y的项移到等式左边，含x的项移到等式右边，然后两边同时积分。
2.二阶线性微分方程的求解二阶线性微分方程具有一定的规律性。
一般有两种求解方法，一种是齐次情况，另一种是非齐次情况。
对于齐次情况（即F(x,y,y’’)=0），首先要对它的形式进行变换，使之变成一个更方便求解的方程。
然后，可以通过代入通解的方式求得解。
对于非齐次情况（即F(x,y,y’,y’’...)≠0），可以通过先求得齐次方程的通解，再求特解的方式求解。
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微分方程中的几个基础概念
微分方程—基础
微分方程(Differential equation, DFQ)是一种用来描述函数与其导数之间关系的数学方程。
与之前所接触初等数学代数方程的解不同，它的解不是数，而是符合方程关系的函数。
微分方程的起源约在十七世纪末，为了解决自然科学发展中遇到物理及天文学问题而产生，随着微积分的诞生与在各个科学领域中的广泛应用，很多问题被归化为某类微分方程的问题。
在微分方程分支中，存在很多各种各样已知类型的微分方程。
实事上，提高对微分方程的理解的最好的方法之一是首先处理基本的分类系统。
为什么？因为你可能永远不会遇到完全陌生的微分方程。
大多数微分方程已经被解决了，因此，普遍适用的解决方法很可能已经存在。
除了描述方程本身的性质外，对微分方程进行分类和识别的真正附加值来自于为跳转点提供一张导图。
求解微分方程的诀窍不是创造原始解法，而是对已证明的解法进行分类和应用；有时，可能需要几步把一类方程转换为另一类等效方程，以获得可实现的广义解。
最常用于描述微分方程的四个属性是：
•常微分与偏微分
•线性与非线性
•齐次与非齐次
•微分阶数
虽然这个列表并非详尽无遗，但是它是我们学习首先要掌握的知识，通常在微分方程学期课程的前几周会进行回顾；通过快速回顾每一个类别，我们将会配备基本的入门工具包来处理常见的微分方程问题。
常微分与偏微分
首先，我们在自然中所发现的微分方程最常见的分类来源于从我们手边的问题中所发现的导数类型;简单地说，方程是否包含偏导数？
如果不包含，那么它是一个常微分方程（, Ordinary differential equation）。
如果包含，那么它是一个偏微分方程（, Partial differential equation）。
常微分方程是未知函数只含有一个自变量的微分方程，其微分基于该单一的自变量，通常是时间。
一个常微分方程有一组离散的（有限的）变量；它们通常是一维动力系统的模型，例如：钟摆随时间的摆动。
另一方面，偏微分方程相当复杂，因为它们通常涉及多个自变量，其多种多样的偏微分方程可能基于也可能并不基于一个已知的自变量。
偏微分方程常被用来描述自然界中各种各样的现象，例如：热，空间中的流体速度，或电动力学。
这些似乎完全不同的物理现象被化为偏微分方程；它们在随机偏微分方程中得到推广。
下面的这些例子有助于我们分辨微分方程的导数类型包括：
很多科学问题都可以表示为常微分方程，例如根据牛顿第二运动定律，物体在力的作用下的位移s 和时间t 的关系就可以表示为如下常微分方程：
其中m 是物体的质量，f(s) 是物体所受的力，是位移的函数。
所要求解的未知函数是位移s，它只以时间t 为自变量。
线性与非线性
如果方程中的未知函数及其各阶导数都是一次方，那么它是一个线性微分方程。
否则，我们认为它是一个非线性方程。
考虑到线性微分方程较为简单，其解决的理论发展得相当不错；你可能已经在物理上遇到到过它们了。
尽管如此，为了清楚起见，值得回顾一下几个例子——下面是一张分辨微分方程的线性性质的表格：
齐次与非齐次
第三种分类微分方程的方法是，当且仅当被加减运算符分开的所有项都包含因变量时，微分方程是齐次的(Homogeneous)；否则就是非齐次的(Non-homogeneous)。
检查此项性质的一个简单方法是变换所有包含因变量的项到等号的左边，如果右边不是0，那么它就是非齐次的。
下面是更加正式的定义。
我们根据微分方程定义，用下图的公式将其表示出来：
在下面的图表中如果方程的右边g(x)等于0，则微分方程是齐次的。
下面是一些例子：
一阶微分与二阶微分
最后一个基本分类，它一定是确认其数学分支的一个必要性质：微分方程的阶(Order)。
与在多项式中描述最高n 阶的顺序不同，对于微分方程来说，其阶数与方程中最高阶导数的作用相同。
最基本的有：
在物理学中，二阶微分方程(Second order)是最为常见的。
高阶微分方程是包含三阶及以上更高阶导数的微分方程。
最后
好了！这就是用来识别和分类微分方程最常见的四个概念。
当你现在可以分辨，微分方程之路就与植物学的分类是类似的；当你一开始学习微分方程时，掌握区分并归类微分方程到它的类别中能力是很有用的。
一旦掌握后，就能用此工具建立起你对所研究问题的模型，至于怎样计算可以交给计算机来完成。
然而要找到详尽彻底的解决方案，请先从更简单的类型开始，比如一阶常系数齐次微分方程！。