微分方程中的几个基础概念

微分方程中的几个基础概念

微分方程—基础

微分方程(Differential equation, DFQ)是一种用来描述函数与其导数之间关系的数学方程。与之前所接触初等数学代数方程的解不同，它的解不是数，而是符合方程关系的函数。

微分方程的起源约在十七世纪末，为了解决自然科学发展中遇到物理及天文学问题而产生，随着微积分的诞生与在各个科学领域中的广泛应用，很多问题被归化为某类微分方程的问题。

在微分方程分支中，存在很多各种各样已知类型的微分方程。实事上，提高对微分方程的理解的最好的方法之一是首先处理基本的分类系统。为什么？因为你可能永远不会遇到完全陌生的微分方程。大多数微分方程已经被解决了，因此，普遍适用的解决方法很可能已经存在。

除了描述方程本身的性质外，对微分方程进行分类和识别的真正附加值来自于为跳转点提供一张导图。求解微分方程的诀窍不是创造原始解法，而是对已证明的解法进行分类和应用；有时，可能需要几步把一类方程转换为另一类等效方程，以获得可实现的广义解。

最常用于描述微分方程的四个属性是：

•常微分与偏微分

•线性与非线性

•齐次与非齐次

•微分阶数

虽然这个列表并非详尽无遗，但是它是我们学习首先要掌握的知识，通常在微分方程学期课程的前几周会进行回顾；通过快速回顾每一个类别，我们将会配备基本的入门工具包来处理常见的微分方程问题。

常微分与偏微分

首先，我们在自然中所发现的微分方程最常见的分类来源于从我们手边的问题中所发现的导数类型;简单地说，方程是否包含偏导数？

如果不包含，那么它是一个常微分方程（, Ordinary differential equation）。如果包含，那么它是一个偏微分方程（, Partial differential equation）。

常微分方程是未知函数只含有一个自变量的微分方程，其微分基于该单一的自变量，通常是时间。一个常微分方程有一组离散的（有限的）变量；它们通常是一维动力系统的模型，例如：钟摆随时间的摆动。

另一方面，偏微分方程相当复杂，因为它们通常涉及多个自变量，其多种多样的偏微分方程可能基于也可能并不基于一个已知的自变量。偏微分方程常被用来描述自然界中各种各样的现象，例如：热，空间中的流体速度，或电动力学。这些似乎完全不同的物理现象被化为偏微分方程；它们在随机偏微分方程中得到推广。

下面的这些例子有助于我们分辨微分方程的导数类型包括：

很多科学问题都可以表示为常微分方程，例如根据牛顿第二运动定律，物体在力的作用下的位移s 和时间t 的关系就可以表示为如下常微分方程：

其中m 是物体的质量，f(s) 是物体所受的力，是位移的函数。所要求解的未知函数是位移s，它只以时间t 为自变量。

线性与非线性

如果方程中的未知函数及其各阶导数都是一次方，那么它是一个线性微分方程。否则，我们认为它是一个非线性方程。考虑到线性微分方程较为简单，其解决的理论发展得相当不错；你可能已经在物理上遇到到过它们了。

尽管如此，为了清楚起见，值得回顾一下几个例子——下面是一张分辨微分方程的线性性质的表格：

齐次与非齐次

第三种分类微分方程的方法是，当且仅当被加减运算符分开的所有项都包含因变量时，微分方程是齐次的(Homogeneous)；否则就是非齐次的(Non-homogeneous)。检查此项性质的一个简单方法是变换所有包含因变量的项到等号的左边，如果右边不是0，那么它就是非齐次的。

下面是更加正式的定义。我们根据微分方程定义，用下图的公式将其表示出来：

在下面的图表中如果方程的右边g(x)等于0，则微分方程是齐次的。下面是一些例子：

一阶微分与二阶微分

最后一个基本分类，它一定是确认其数学分支的一个必要性质：微分方程的阶(Order)。与在多项式中描述最高n 阶的顺序不同，对于微分方程来说，其阶数与方程中最高阶导数的作用相同。最基本的有：

在物理学中，二阶微分方程(Second order)是最为常见的。高阶微分方程是包含三阶及以上更高阶导数的微分方程。

最后

好了！这就是用来识别和分类微分方程最常见的四个概念。当你现在可以分辨，微分方程之路就与植物学的分类是类似的；当你一开始学习微分方程时，掌握区分并归类微分方程到它的类别中能力是很有用的。一旦掌握后，就能用此工具建立起你对所研究问题的模型，至于怎样计算可以交给计算机来完成。然而要找到详尽彻底的解决方案，请先从更简单的类型开始，比如一阶常系数齐次微分方程！