2021年高中数学第三章导数及其应用第4课时导数教学案苏教版选修11

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高中数学第三章导数及其应用3.4导数在实际生活中的应用学案苏教版选修11

3.4 导数在实际生活中的应用学习目标：1.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题的方法．(重点) 2.通过对实际问题的研究，促进学生分析问题、解决问题以及数学建模能力的提高．(难点)[自主预习·探新知]1．导数的实际应用导数在实际生活中有着广泛的应用，如用料最省、利润最大、效率最高等问题一般可以归结为函数的最值问题，从而可用导数来解决．2．用导数解决实际生活问题的基本思路[基础自测]1．判断正误：(1)应用导数可以解决所有实际问题中的最值问题．( )(2)应用导数解决实际应用问题，首先应建立函数模型，写出函数关系式．( )(3)应用导数解决实际问题需明确实际背景．( )【解析】(1)×.如果实际问题中所涉及的函数不可导、就不能应用导数求解．(2)√.求解实际问题一般要建立函数模型，然后利用函数的性质解决实际问题．(3)√.要根据实际问题的意义确定自变量的取值．【答案】(1)×(2)√(3)√2．生产某种商品x单位的利润L(x)＝500＋x－0.001x2，生产________单位这种商品时利润最大，最大利润是________．【解析】L′(x)＝1－0.002x，令L′(x)＝0，得x＝500，∴当x＝500时，最大利润为750.【答案】500 750[合作探究·攻重难]r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上．设CD＝2x，梯形的面积为S.(1)求面积S关于x的函数，并写出其定义域；(2)求面积S的最大值.【导学号：95902246】[思路探究] (1)建立适当的坐标系，按照椭圆方程和对称性求面积S 关于x 的函数式；(2)根据S 的函数的等价函数求最大值．【自主解答】 (1)依题意，以AB 的中点O 为原点建立直角坐标系如图所示，则点C的坐标为(x ，y )．∵点C 在椭圆上，∴点C 满足方程x 2r 2＋y 24r2＝1(y ≥0)，则y ＝2r 2－x 2(0< x <r )，∴S ＝12(2x ＋2r )·2r 2－x 2＝2(x ＋r )r 2－x 2(0< x <r )．(2)记S ＝4(x ＋r )2(r 2－x 2)(0＜x ＜r ) 则S ′＝8(x ＋r )2(r －2x )令S ′＝0，解得x ＝12r 或x ＝－r (舍去)．当x 变化时， S ′，S 的变化情况如下表：∴x ＝12r 时，S [规律方法]1．求面积、体积的最大值问题是生活、生产中的常见问题，解决这类问题的关键是根据题设确定出自变量及其取值范围，利用几何性质写出面积或体积关于自变量的函数，利用导数的方法来求解．2．选择建立适当的坐标系，利用点的坐标建立函数关系或曲线方程，以利于解决问题． [跟踪训练]1.在一个半径为1的半球材料中截取两个高度均为h 的圆柱，其轴截面如图341所示．设两个圆柱体积之和为V ＝f (h )．图341(1)求f (h )的表达式，并写出h 的取值范围． (2)求两个圆柱体积之和V 的最大值．【解】 (1)自下而上两个圆柱的底面半径分别为：r 1＝1－h 2， r 2＝1－h2.它们的高均为h ，所以体积之和V ＝f (h )＝πr 21h ＋πr 22h ＝π[]()1－h 2＋()1－4h 2h ＝π()2h －5h 3.因为0＜2h ＜1，所以h 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.(2)由f (h )＝π(2h －5h 3)，得f ′(h )＝π(2－15h 2)，令f ′(h )＝0，因为h ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，得h ＝3015. 所以当h ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3015时，f ′(h )＞0；当h ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3015，12时，f ′(h )＜0. 所以f (h )在⎝⎛⎭⎪⎫0，3015上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫3015，12上为减函数，所以当h ＝3015时，f (h )取得极大值也是最大值， f (h )的最大值为f ⎝⎛⎭⎪⎫3015＝430π45. 答：两个圆柱体积之和V 的最大值为430π45.如图342A 处，乙厂与甲厂在海岸的同侧，乙厂位于离海岸40 km 的B 处，乙厂到海岸的垂足D 与A 相距50 km.两厂要在此岸边合建一个供水站C ，从供水站到甲厂和乙厂铺设的水管费用分别为每千米3a 元和5a 元，则供水站C 建在何处才能使水管费用最省？【导学号：95902247】图342[思路探究] 先列出自变量，通过三角知识列出水管费用的函数，然后求导，根据单调性求出最小值．【自主解答】设C 点距D 点x km ，则BD ＝40 km ，AC ＝(50－x )km ， ∴BC ＝BD 2＋CD 2＝402＋x 2(km)．又设总的水管费用为y 元，依题意，得y ＝3a (50－x ) ＋5a x 2＋402(0≤x ≤50)，则y ′＝－3a ＋5axx 2＋402，令y ′＝0，解得x ＝30.当x ∈[0,30)时，y ′＜0，当x ∈(30,50]时，y ′＞0,∴当x ＝30时函数取得最小值，此时AC ＝50－x ＝20(km)，即供水站建在A ，D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省．[规律方法]1．像本例节能减耗问题，背景新颖，信息较多，应准确把握信息，正确理清关系，才能恰当建立函数模型．2．实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等都需要利用导数求解相应函数的最小值，此时根据f ′(x )＝0求出极值点(注意根据实际意义舍弃不合适的极值点)后，函数满足左减右增，此时惟一的极小值就是所求函数的最小值．[跟踪训练]2．某工厂需要建一个面积为512 m 2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，则要使砌墙所用的材料最省，则堆料场的长为________，宽为________．【解析】如图所示，设场地一边长为x m ，则另一边长为512xm ，因此新墙总长度L ＝2x ＋512x (x ＞0)，L ′＝2－512x 2.令L ′＝2－512x2＝0，得x ＝16或x＝－16.∵x ＞0，∵x ＝16.∵L 在(0，＋∞)上只有一个极值点，∴它必是最小值点．∵x ＝16，∴512x＝32.故当堆料场的宽为16 m ，长为32 m 时，可使砌墙所用的材料最省．【答案】 16 m 32 m[探究问题]1．在有关利润最大问题中，经常涉及“成本、单价、销售量”等词语，你能解释它们的含义吗？【提示】成本是指企业进行生产经营所耗费的货币计量，一般包括固定成本(如建设厂房、购买机器等一次性投入)和可变成本(如生产过程中购买原料、燃料和工人工资等费用)，单价是指单位商品的价格，销售量是指所销售商品的数量．2．什么是销售额(销售收入)？什么是利润？【提示】销售额＝单价×销售量，利润＝销售额－成本．3．根据我们以前所掌握的解决实际应用问题的思路，你认为解决利润最大问题的基本思路是什么？【提示】在解决利润最大问题时，其基本思路如图所示．某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w (单位：百千克)与肥料费用x (单位：百元)满足如下关系：w ＝4－3x ＋1，且投入的肥料费用不超过5百元．此外，还需要投入其他成本(如施肥的人工费等)2x 百元．已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克(即16百元/百千克)，且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为L (x )(单位：百元)．(1)求利润函数L (x )的函数关系式，并写出定义域；(2)当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？ [思路探究] (1)利润＝收入－总成本．其中，收入＝产量×售价，总成本＝肥料费用＋其他成本；(2)利用求导、列表、定最值．【自主解答】 (1)当肥料费用为x 百元时，收入为16⎝ ⎛⎭⎪⎫4－3x ＋1百元，总成本为(x ＋2x )百元．所以L (x )＝16⎝⎛⎭⎪⎫4－3x ＋1－(x ＋2x )＝64－48x ＋1－3x (百元)，其中x ∈[0,5]． (2)L ′(x )＝48x ＋2－3，x ∈[0,5]．令L ′(x )＝0，得x ＝3. 列表如下：max 答：当投入的肥料费用为300元时，该水蜜桃树获得的利润最大，最大利润是 4 300元．[规律方法] 解决最优化问题的一般步骤：根据各个量之间的关系列出数学模型；对函数求导，并求出导函数的零点，确定函数极值；比较区间端点处函数值和极值之间的大小，得到最优解. [跟踪训练]3．某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本为20元，并且每公斤蘑菇的加工费为t 元(t 为常数，且2≤t ≤5)，设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x 元(25≤x ≤40)，根据市场调查，日销售量q 与e x成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100公斤．(1)求该工厂的每日利润y 元与每公斤蘑菇的出厂价x 元的函数关系式；(2)若t ＝5，当每公斤蘑菇的出厂价为多少元时，该工厂的每日利润最大？并求最大值.【导学号：95902248】【解】 (1)设日销量q ＝k e x ，则ke 30＝100，∴k ＝100e 30， ∴日销量q ＝100e30e x ，∴y ＝100e 30x －20－tex(25≤x ≤40)．(2)当t ＝5时，y ＝100e30x －ex，∴y ′＝100e30－x ex.由y ′＞0，得25≤x ＜26，由y ′＜0，得26＜x ≤40， ∴y 在[25,26)上单调递增，在(26,40]上单调递减，∴当x ＝26时，y max ＝100e 4.故当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的每日利润最大，最大值为100e 4元．[构建·体系][当堂达标·固双基]1．一个圆锥形漏斗的母线长为20，高为h ，则体积V 的表达式为________．【解析】设圆锥的高为h ，则圆锥的底面半径为r ＝400－h 2，则V ＝13π(400－h 2)h .【答案】 13π(400－h 2)h2．某产品的销售收入y 1(万元)是产品x (千台)的函数，y 1＝17x 2；生产总成本y 2(万元)也是x 的函数，y 2＝2x 3－x 2(x ＞0)，为使利润最大，应生产________千台.【导学号：95902249】【解析】构造利润函数y ＝y 1－y 2＝18x 2－2x 3(x ＞0)，y ′＝36x －6x 2，由y ′＝0是x ＝6(x ＝0舍去)，x ＝6是函数y 在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点．即生产6千台时，利润最大．【答案】 63．某箱子的容积与底面边长x 的关系为V (x )＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫60－x 2(0＜x ＜60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为________．【解析】 V ′(x )＝2x ·⎝⎛⎭⎪⎫60－x 2＋x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32x 2＋60x ＝－32x (x －40)．令V ′(x )＝0，得x ＝40或x ＝0(舍)．不难确定x ＝40时，V (x )有最大值．即当底面边长为40时，箱子容积最大．【答案】 404．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其容积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．【解析】设圆柱的底面半径为R ，母线长为L ，则V ＝πR 2L ＝27π，∴L ＝27R2.要使用料最省，只需使圆柱形表面积最小，∴S 表＝πR 2＋2πRL ＝πR 2＋2π·27R，∴S ′表＝2πR －54πR2.令S ′＝0，解得R ＝3.∵R ∈(0,3)时，S 表单调递减，R ∈(3，＋∞)时，S 表单调递增，∴当R ＝3时，S 表最小．【答案】 35．某厂生产某种产品x 件的总成本c (x )＝1200＋275x 3(万元)，已知产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为多少件时，总利润最大？并求出最大总利润．【解】由题意，可设p 2＝kx，其中k 为比例系数．因为当x ＝100时，p ＝50，所以k ＝250 000，所以p 2＝250 000x，p ＝500x，x ＞0.设总利润为y 万元，则y ＝500x·x －1200－275x 3＝500x －275 x 3－1 200.求导数得，y ′＝250x －225x 2.令y ′＝0得x ＝25.故当x ＜25时，y ′＞0；当x ＞25时，y ′＜0.因此当x ＝25时，函数y 取得极大值，也是最大值，即最大利润为2 6503万元．【答案】 25。

苏教版选修(1-1)3.4《导数在实际生活中的应用》word教案

3. 4 导数在实际生活中的应用江苏省泰兴中学吴卫东邵艳郭红梅潘翠萍教学目标：1.通过生活中优化问题的学习，体会导数在解决实际问题中的作用，促进学生全面认识数学的科学价值、应用价值和文化价值；2.通过实际问题的研究，促进学生分析问题、解决问题以及数学建模能力的提高．教学重点：如何建立实际问题的目标函数．教学难点：如何建立实际问题的目标函数．教学过程：一、问题情境问题1 把长为60cm 的铁丝围成矩形，长宽各为多少时面积最大?问题2 把长为100cm 的铁丝分成两段，各围成正方形，怎样分法，能使两个正方形面积之和最小？问题3 做一个容积为256L 的方底无盖水箱，它的高为多少时材料最省？二、新课引入导数在实际生活中有着广泛的应用，利用导数求最值的方法, 可以求出实际生活中的某些最值问题．1．几何方面的应用（面积和体积等的最值）．2．物理方面的应用（功和功率等最值）．3．经济学方面的应用（利润方面最值）．三、知识应用例1 在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？说明1解应用题一般有四个要点步骤：设—列—解—答.说明2用导数法求函数的最值，与求函数极值方法类似，加一步与几个极值及端点值比较即可.例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？说明1这种在定义域内仅有一个极值的函数称单峰函数•说明2用导数法求单峰函数最值，可以对一般的求法加以简化，其步骤为：S1列：列出函数关系式；S2求：求函数的导数；S3述：说明函数在定义域内仅有一个极大（小）值，从而断定为函数的最大（小）值，必要时作答.例3在如图所示的电路中，已知电源的内阻为r，电动势为；.外电阻R为多大时，才能使电功率最大？最大电功率是多少？I ---- M ------ 1w说明求最值要注意验证等号成立的条件，也就是说取得这样的值时对应的自变量必须有解.例4强度分别为a,b的两个光源A,B，它们间的距离为d，试问：在连接这两个光源的线段AB上，何处照度最小？试就a =8,b=1,d =3时回答上述问题•(照度与光的强度成正比，与光源的距离的平方成反比)例5在经济学中，生产x单位产品的成本称为成本函数，记为C(x);出售x单位产品的收益称为收益函数，记为R(x) ; R(x)-C(x)称为利润函数，记为P(x) •(1)设C(x) =10 "x30003 X25 x1000 ，生产多少单位产品时，边际成本C'(x)最低？(2)设C(x^50x 10000，产品的单价p=100-0.1x，怎样的定价可使利润最大？变式已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C= 100+ 4q,价格p1与产量q的函数关系式为P=25--q .求产量q为何值时，利润L最大？8分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格.由此可得出利润L 与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润.四、课堂练习1. _________________________________________________________ 将正数a分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成________________________ 和_.2._________________________________________________________ 在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为___________________________ 时，它的面积最大.3.有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起作成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形边长应为多少？4.一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD的面积为定值S时，使得湿周I = AB+ BC+ CD最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h和下底边长b.五、回顾反思（1）解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义.（2）根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较.（3）相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单.六、课外作业1.课本第96页第1，2，3，4题.2.补充练习：为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位: cm）满足关系：C x k 0沁叮0，若不建隔热层，每年能源消耗费3x +5用为8万元.设f x为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.（I）求k的值及f x的表达式；（U）隔热层修建多厚对，总费用 f x达到最小，并求最小值.。

高中数学第三章导数及其应用章末专题整合课件苏教版选修11

0－6x0－12＝－6x20－6x0，得 3x20－3＝0，∴x0＝±1. 当 x0＝1 时，g′(1)＝12，切点坐标为(1,21)， ∴切线方程为 y＝12x＋9；当 x0＝－1 时，g′(－1)＝0，切点坐标为(－1,9)， ∴切线方程为 y＝9，下面求曲线 y＝f(x)的斜率为 12 和 0 的切线方程：由(1)知 f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11. ∴f′(x)＝－6x2＋6x＋12.
利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不
是切点,常见的类型有两种,一是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得; 另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定
是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝ f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得 y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)．① 又y1＝f(x1)，② 由①②求出x1，y1的值．即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．
[解] f(x)的定义域是(0，＋∞)，则 f′(x)＝1＋x22－ax＝x2－xa2x＋2. 设 g(x)＝x2－ax＋2，二次方程 g(x)＝0 的判别式 Δ＝a2－8. ①当 Δ<0，即 0<a<2 2时，对一切 x>0 都有 f′(x)>0.此时 f(x) 是(0，＋∞)上的单调递增函数． ②当 Δ＝0，即 a＝2 2时，仅对 x＝ 2时，有 f′(x)＝0，对其余的 x>0 都有 f′(x)>0. 此时 f(x)也是(0，＋∞)上的单调递增函数．
(2)求已知函数单调区间的步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数f′(x)； ③解不等式f′(x)>0或f′(x)<0； ④结合定义域写出函数的单调增区间或减区间．当函数具有相同单调性的单调区间有多个时，绝对不能用 “∪”连结，而应用“和”或“，”隔开．

江苏省宿迁市高中数学第3章导数及其应用第4课时导

课题：导数的概念姓名_____________班级日期：【学习任务】 1．了解导数的概念．2．掌握用导数的定义求导数的一般方法．3．在了解导数与几何意义的基础上，加深对导数概念的理解．【课前预习】1、函数223y x x =+在3x =时的导数为，在x a =时的导数为2、导数的物理意义是指如果物体运动的规律是s=s(t)，那么物体在时刻t 的瞬时速度即为v (t )=3、函数()y f x =在点经x 0处的导数0'()f x 的几何意义就是曲线()y f x =在点P(x 0,,0'()f x )处的4、如图，函数()y f x =的图象在点Ｐ处的切线方程是8y x =-+，(5)f =______，'(5)f =【合作探究】例题１．已知 ()f x =2x +2. （1）求()f x 在x=1处的导数。

（2）求()f x 在x=a 处的导数。

变式１求下列函数在已知点处的导数：（１）31y x =+在3x =处的导数；（２）21y x =+在x a =处的导数；（３）1y x=在2x =处的导数．例题２已知曲线331x y =上一点⎪⎭⎫⎝⎛38,2P ．求：（1）点P 处的切线的斜率；（2）点P 处的切线方程．变式２已知曲线512++=x x y 上一点⎪⎭⎫⎝⎛219,2P ，求点P 处的切线方程．课题：3.1.2导数的概念当堂检测姓名1. 已知过点P （2，0）的曲线2()24f x x x =-，则该曲线在点P处的切线的斜率为2. 如右图，函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程是29y x =-+，则(4)'(4)f f +的值为3. 设()4,f x ax =+若'(1)f =2，则a= .4. 若300(),'()3,f x x f x x ==则= __________5已知曲线2311y x y x =-=-与曲线在点x 0 处的切线互相平行，则x 0=６过点P （—1，2），且与曲线2342y x x =-+在点M （1，1）处的切线平行的直线方程。

高中数学第3章导数及其应用 4 导数在实际生活中的应

3.4 导数在实际生活中的应用1.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题的方法.(重点)2.提高学生综合运用导数知识解题的能力，培养化归转化的思想意识.(难点)[基础·初探]教材整理导数的实际应用阅读教材P93～P96练习以上部分，完成下列问题.1.导数的实际应用导数在实际生活中有着广泛的应用，如用料最省、利润最大、效率最高等问题一般可以归结为函数的最值问题，从而可用导数来解决.2.用导数解决实际生活问题的基本思路1.判断正误：(1)应用导数可以解决所有实际问题中的最值问题.( )(2)应用导数解决实际应用问题，首先应建立函数模型，写出函数关系式.( )(3)应用导数解决实际问题需明确实际背景.( )【解析】(1)×.如果实际问题中所涉及的函数不可导、就不能应用导数求解.(2)√.求解实际问题一般要建立函数模型，然后利用函数的性质解决实际问题.(3)√.要根据实际问题的意义确定自变量的取值.【答案】(1)×(2)√(3)√2.生产某种商品x单位的利润L(x)＝500＋x－0.001x2，生产________单位这种商品时利润最大，最大利润是________.【解析】L′(x)＝1－0.002x，令L′(x)＝0，得x＝500，∴当x ＝500时，最大利润为750. 【答案】 500 750[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问2：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问3：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________[小组合作型]面积容积的最值问题有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上.设CD ＝2x ，梯形的面积为S .(1)求面积S 关于x 的函数，并写出其定义域； (2)求面积S 的最大值.【精彩点拨】 (1)建立适当的坐标系，按照椭圆方程和对称性求面积S 关于x 的函数式；(2)根据S 的函数的等价函数求最大值.【自主解答】 (1)依题意，以AB 的中点O 为原点建立直角坐标系如图所示，则点C的坐标为(x ，y ).∵点C 在椭圆上，∴点C 满足方程x 2r 2＋y 24r2＝1(y ≥0)，则y ＝2r 2－x 2(0< x <r )，∴S ＝12(2x ＋2r )·2r 2－x 2＝2(x ＋r )r 2－x 2(0< x <r ).(2)记S ＝4(x ＋r )2(r 2－x 2)(0＜x ＜r ) 则S ′＝8(x ＋r )2(r －2x )令S ′＝0，解得x ＝12r 或x ＝－r (舍去).当x 变化时， S ′，S 的变化情况如下表：x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，r 2 r2⎝ ⎛⎭⎪⎫r 2，r S ′ ＋0 － S33r22∴x ＝12r 时，S 取得最大值33r 22，即梯形面积S 的最大值为33r22.1.求面积、体积的最大值问题是生活、生产中的常见问题，解决这类问题的关键是根据题设确定出自变量及其取值范围，利用几何性质写出面积或体积关于自变量的函数，利用导数的方法来求解.2.选择建立适当的坐标系，利用点的坐标建立函数关系或曲线方程，以利于解决问题.[再练一题]1.用总长为14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器的底面的一边长比另一边长长0.5 m ，那么高为多少时，容器的容积最大？并求它的最大容积.【解】设容器底面一边长为x m ，则另一边长为(x ＋0.5)m ，高为14.8－4x －4x ＋0.54＝(3.2－2x )m 由⎩⎪⎨⎪⎧3.2－2x ＞0，x ＞0，解得0＜x ＜1.6.设容器的容积为y m 3，则y ＝x (x ＋0.5)(3.2－2x )＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x ，所以y ′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6.令y ′＝0，则15x 2－11x －4＝0，解得x 1＝1，x 2＝－415(舍去).在定义域(0,1.6)内只有x ＝1处使y ′＝0，x ＝1是函数y ＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x 在(0,1.6)内的唯一的极大值点，也就是最大值点.因此，当x ＝1时，y 取得最大值，y max ＝－2＋2.2＋1.6＝1.8，这时高为3.2－2×1＝1.2(m).故高为1.2 m 时，容器的容积最大，最大容积为1.8 m 3.用料最省、节能减耗问题海岸的岸边A 处，乙厂与甲厂在海岸的同侧，乙厂位于离海岸40 km 的B 处，乙厂到海岸的垂足D 与A 相距50 km.两厂要在此岸边合建一个供水站C ，从供水站到甲厂和乙厂铺设的水管费用分别为每千米3a 元和5a 元，则供水站C 建在何处才能使水管费用最省？图341【精彩点拨】先列出自变量，通过三角知识列出水管费用的函数，然后求导，根据单调性求出最小值.【自主解答】设C 点距D 点x km ，则BD ＝40 km ，AC ＝(50－x )km ， ∴BC ＝BD 2＋CD 2＝402＋x 2(km).又设总的水管费用为y 元，依题意，得y ＝3a (50－x ) ＋5a x 2＋402(0≤x ≤50)，则y ′＝－3a ＋5axx 2＋402，令y ′＝0，解得x ＝30.当x ∈[0,30)时，y ′＜0，当x ∈(30,50]时，y ′＞0,∴当x ＝30时函数取得最小值，此时AC ＝50－x ＝20(km)，即供水站建在A ，D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省.1.像本例节能减耗问题，背景新颖，信息较多，应准确把握信息，正确理清关系，才能恰当建立函数模型.2.实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等都需要利用导数求解相应函数的最小值，此时根据f ′(x )＝0求出极值点(注意根据实际意义舍弃不合适的极值点)后，函数满足左减右增，此时惟一的极小值就是所求函数的最小值.[再练一题]2.某工厂需要建一个面积为512 m 2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，则要使砌墙所用的材料最省，则堆料场的长为________，宽为________.【导学号：24830090】【解析】如图所示，设场地一边长为x m ，则另一边长为512xm ，因此新墙总长度L ＝2x ＋512x (x ＞0)，L ′＝2－512x 2.令L ′＝2－512x2＝0，得x ＝16或x＝－16.∵x ＞0，∵x ＝16.∵L 在(0，＋∞)上只有一个极值点，∴它必是最小值点.∵x ＝16，∴512x＝32.故当堆料场的宽为16 m ，长为32 m 时，可使砌墙所用的材料最省.【答案】 16 m 32 m[探究共研型]利润最大问题探究1 它们的含义吗？【提示】成本是指企业进行生产经营所耗费的货币计量，一般包括固定成本(如建设厂房、购买机器等一次性投入)和可变成本(如生产过程中购买原料、燃料和工人工资等费用)，单价是指单位商品的价格，销售量是指所销售商品的数量.探究2 什么是销售额(销售收入)？什么是利润？【提示】销售额＝单价×销售量，利润＝销售额－成本.探究3 根据我们以前所掌握的解决实际应用问题的思路，你认为解决利润最大问题的基本思路是什么？【提示】在解决利润最大问题时，其基本思路如图所示.图(2016·滨州高二检测)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2.其中3＜x ＜6，a 为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售商品所获得的利润最大.【精彩点拨】利用待定系数法先求得参数a 的值，由题意列出利润关于价格的函数关系式，转化为求函数在(3,6)上的最大值问题.【自主解答】 (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，解得a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10x －62＝2＋10(x －3)(x －6)2,3＜x ＜6. 从而f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)(x －6). 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (3,4) 4 (4,6) f ′(x ) ＋0 －f (x )极大值由上表可得，x ＝4是函数f (x )在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点. 所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42. 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.解决最优化问题的一般步骤：(1)根据各个量之间的关系列出数学模型；(2)对函数求导，并求出导函数的零点，确定函数极值； (3)比较区间端点处函数值和极值之间的大小，得到最优解.[再练一题]3.某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本为20元，并且每公斤蘑菇的加工费为t 元(t 为常数，且2≤t ≤5)，设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x 元(25≤x ≤40)，根据市场调查，日销售量q 与e x成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100公斤.(1)求该工厂的每日利润y 元与每公斤蘑菇的出厂价x 元的函数关系式；(2)若t ＝5，当每公斤蘑菇的出厂价为多少元时，该工厂的每日利润最大？并求最大值. 【解】 (1)设日销量q ＝k e x ，则ke 30＝100，∴k ＝100e 30，∴日销量q ＝100e30e x ，∴y ＝100e 30x －20－tex(25≤x ≤40).(2)当t ＝5时，y ＝100e30x －25ex，∴y ′＝100e3026－xex.由y ′＞0，得25≤x ＜26，由y ′＜0，得26＜x ≤40， ∴y 在[25,26)上单调递增，在(26,40]上单调递减， ∴当x ＝26时，y max ＝100e 4.故当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的每日利润最大，最大值为100e 4元.[构建·体系]1.一个圆锥形漏斗的母线长为20，高为h ，则体积V 的表达式为________.【解析】设圆锥的高为h ，则圆锥的底面半径为r ＝400－h 2，则V ＝13π(400－h 2)h .【答案】 13π(400－h 2)h2.某产品的销售收入y 1(万元)是产品x (千台)的函数，y 1＝17x 2；生产总成本y 2(万元)也是x 的函数，y 2＝2x 3－x 2(x ＞0)，为使利润最大，应生产________千台.【解析】构造利润函数y ＝y 1－y 2＝18x 2－2x 3(x ＞0)，y ′＝36x －6x 2，由y ′＝0是x ＝6(x ＝0舍去)，x ＝6是函数y 在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点.即生产6千台时，利润最大.【答案】 63.(2016·盐城高二检测)某箱子的容积与底面边长x 的关系为V (x )＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫60－x 2(0＜x＜60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为________.【导学号：24830091】【解析】 V ′(x )＝2x ·⎝⎛⎭⎪⎫60－x 2＋x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32x 2＋60x ＝－32x (x －40).令V ′(x )＝0，得x ＝40或x ＝0(舍).不难确定x ＝40时，V (x )有最大值. 即当底面边长为40时，箱子容积最大. 【答案】 404.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其容积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________.【解析】设圆柱的底面半径为R ，母线长为L ，则V ＝πR 2L ＝27π，∴L ＝27R2.要使用料最省，只需使圆柱形表面积最小， ∴S 表＝πR 2＋2πRL ＝πR 2＋2π·27R，∴S ′表＝2πR －54πR2.令S ′＝0，解得R ＝3.∵R ∈(0,3)时，S 表单调递减，R ∈(3，＋∞)时，S 表单调递增，∴当R ＝3时，S 表最小. 【答案】 35.某厂生产某种产品x 件的总成本c (x )＝1200＋275x 3(万元)，已知产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为多少件时，总利润最大？并求出最大总利润.【解】由题意，可设p 2＝kx，其中k 为比例系数.因为当x ＝100时，p ＝50，所以k ＝250000，所以p 2＝250000x，p ＝500x，x ＞0.设总利润为y 万元，则y ＝500x·x －1200－275x 3＝500x －275 x 3－1200.求导数得，y ′＝250x －225x 2.令y ′＝0得x ＝25.故当x ＜25时，y ′＞0；当x ＞25时，y ′＜0.因此当x ＝25时，函数y 取得极大值，也是最大值，即最大利润为26503万元.【答案】 25我还有这些不足：(1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________学业分层测评(二十) 导数在实际生活中的应用 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的距离为s ＝43t 3－2t 2，那么速度为24的时刻是________秒末.【解析】由题意可得t ≥0，且s ′＝4t 2－4t ，令s ′＝24，解得t ＝3(t ＝－2舍去). 【答案】 32.已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为________万件.【解析】令y ′＝－x 2＋81＝0，解得x ＝9或x ＝－9(舍去).f (x )在区间(0,9)内是增函数，在区间(9，＋∞)上是减函数， ∴f (x )在x ＝9处取最大值.【答案】 93.已知某矩形广场面积为4万平方米，则其周长至少________米.【解析】设广场的长为x 米，则宽为40000x米，于是其周长为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋40000x (x ＞0)，所以y ′＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－40000x2，令y ′＝0，解得x ＝200(x ＝－200舍去)，这时y ＝800. 当0＜x ＜200时，y ′＜0；当x ＞200时，y ′＞0. 所以当x ＝200时，y 取得最小值，故其周长至少为800米. 【答案】 8004.要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm.要使其体积最大，则高为________. 【解析】设圆锥的高为h cm(0＜h ＜20)，则圆锥的底面半径r ＝202－h 2＝400－h 2(cm)，V ＝V (h )＝13πr 2h ＝13π(400－h 2)h ＝13π(400h －h 3)，∴V ′＝13π(400－3h 2)，令V ′＝13π(400－3h 2)＝0，解得h ＝2033.由题意知V 一定有最大值，而函数只有一个极值点，所以此极值点就是最大值点. 【答案】2033cm 5.要做一个底面为长方形的带盖的盒子，其体积为72 cm 3，其底面两邻边边长之比为1∶2，则它的长为________、宽为________、高为________时，可使表面积最小.【解析】设底面的长为2x cm ，宽为x cm ，则高为36x 2cm ，表面积S ＝2×2x ·x ＋2×x ·36x 2＋2×2x ·36x 2＝4x 2＋216x(x ＞0)，S ′＝8x －216x2，由S ′＝0，得x ＝3，x ∈(0,3)时，S ′＜0，x ∈(3，＋∞)时，S ′＞0，∴x ＝3时，S 最小.此时，长为6 cm ，宽为3 cm ，高为4 cm. 【答案】 6 cm 3 cm 4 cm6.(2016·四川高考改编)设直线l 1，l 2分别是函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x ，0<x <1，ln x ，x >1图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是________.【导学号：24830092】【解析】由图象易知P 1，P 2位于f (x )图象的两段上，不妨设P 1(x 1，－ln x 1)(0<x 1<1)，P 2(x 2，lnx 2)(x 2>1)，则函数f (x )的图象在P 1处的切线l 1的方程为y ＋ln x 1＝－1x 1(x －x 1)，即y ＝－xx 1＋1－ln x 1.①则函数f (x )的图象在P 2处的切线l 2的方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，即y ＝xx 2－1＋ln x 2.②由l 1⊥l 2，得－1x 1×1x 2＝－1，∴x 1x 2＝1.由切线方程可求得A (0,1－ln x 1)，B (0，ln x 2－1)，由①②知l 1与l 2交点的横坐标x P ＝2－ln x 1－ln x 21x 1＋1x 2＝2x 1＋x 2.∴S △PAB ＝12×(1－ln x 1－ln x 2＋1)×2x 1＋x 2＝2x1＋x2＝2x1＋1x1.又∵x1∈(0,1)，∴x1＋1x1>2，∴0<2x1＋1x1<1，即0<S△PAB<1.【答案】(0,1)7.内接于半径为R的球且体积最大的圆柱体的高为________.【解析】设圆柱的高为2h，则底面圆的半径为R2－h2，则圆柱的体积为V＝π(R2－h2)·2h＝2πR2h－2πh3，∴V′＝2πR2－6πh2.令V′＝0，解得h＝33R.∵h∈⎝⎛⎭⎪⎫0，33R时，V单调递增，h∈⎝⎛⎭⎪⎫33R，R时，V单调递减，故当h＝33R时，即2h＝233R时，圆柱体的体积最大.【答案】23 3R8.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170p－p2.则最大毛利润(毛利润＝销售收入－进货支出)为________.【解析】设毛利润为L(p)，由题意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，所以L′(p)＝－3p2－300p＋11700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去).因为在p＝30附近的左侧L′(p)＞0，右侧L′(p)＜0，所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，此时，L(30)＝23 000.即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元.【答案】23 000元二、解答题9.设有一个容积V一定的铝合金盖的圆柱形铁桶，已知单位面积铝合金的价格是铁的3倍，则如何设计可使总造价最少？【解】设圆柱体的高为h，底面半径为r，设单位面积铁的造价为m，桶的总造价为y，则y ＝3m πr 2＋m (πr 2＋2πrh ).由V ＝πr 2h ，得h ＝V πr 2，∴y ＝4m πr 2＋2mV r(r ＞0)， ∴y ′＝8m πr －2mV r 2.令y ′＝0，得r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫V 4π13.此时h ＝V πr 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫V 4π13.该函数在(0，＋∞)内连续可导，且只有一个使函数的导数为零的点，问题中总造价的最小值显然存在.∴当r ＝⎝⎛⎭⎪⎫V 4π13时，y 有最小值，即h ∶r ＝4∶1时，总造价最少.10.(2016·南京高二检测)某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a 件.通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x (0＜x ＜1)，那么月平均销售量减少的百分率为x 2.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y (元).(1)写出y 与x 的函数关系式；(2)改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大. 【解】 (1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1＋x )，月平均销售量为a (1－x 2)件，则月平均利润y ＝a (1－x 2)[20(1＋x )－15]元，所以y 与x 的函数关系式为y ＝5a (1＋4x －x 2－4x 3)(0＜x ＜1).(2)由y ′＝5a (4－2x －12x 2)＝0得x 1＝12或x 2＝－23(舍)，当0＜x ＜12时，y ′＞0；当12＜x ＜1时，y ′＜0，所以函数y ＝5a (1＋4x －x 2－4x 3)(0＜x ＜1)在x ＝12处取得最大值.故改进工艺后，产品的销售价为20⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝30(元)时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.[能力提升]1.用边长为48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为________.【解析】设四角截去的正方形边长为x .∴铁盒容积V ＝4(24－x )2x ，所以V ′＝4(24－x )2－8(24－x )x ＝4(24－x )(24－3x )，令V ′＝0，得x ＝8，即为极大值点也是最大值点，所以在四角截去的正方形的边长为8 cm.【答案】 8 cm2.某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k (k ＞0).已知贷款的利率为0.0486，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去.设存款利率为x ，x ∈(0,0.0486)，若使银行获得最大收益，则x 的取值为________.【解析】依题意，存款量是kx 2，银行支付的利息是kx 3，获得的贷款利息是0.0486kx 2，其中x ∈(0，0.0486).所以银行的收益是y ＝0.0486kx 2－kx 3(0＜x ＜0.0486)，则y ′＝0.0972kx －3kx 2. 令y ′＝0，得x ＝0.0324或x ＝0(舍去).当0＜x ＜0.0324时，y ′＞0；当0.0324＜x ＜0.0486时，y ′＜0.所以当x ＝0.0324时，y 取得最大值，即当存款利率为0.0324时，银行获得最大收益. 【答案】 0.03243.如图342，内接于抛物线y ＝1－x 2的矩形ABCD ，其中A ，B 在抛物线上运动，C ，D 在x 轴上运动，则此矩形的面积最大值是________.图342【解析】设CD ＝x ，则点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x2，0，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22. ∴矩形ABCD 的面积 S ＝f (x )＝x ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＝－x 34＋x (x ∈(0,2)).由f ′(x )＝－34x 2＋1＝0，得x 1＝－23(舍去)，x 2＝23，∴当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23时，f ′(x )＞0，f (x )是递增的，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫23，2时，f ′(x )＜0，f (x )是递减的，∴当x ＝23时，f (x )取最大值439.【答案】4394.甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失，并获得一定净收入.在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x (元)与年产量t (吨)满足的函数关系是x ＝2000t ，乙方每年产一吨产品必须赔付甲方s元(以下称s 为赔付价格).(1)将乙方的年利润W (元)表示为年产量t (吨)的函数，并求出乙方获得最大利润时的年产量；(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y ＝0.002t 2，在乙方按照获得最大利润的年产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s 是多少？【解】 (1)由题意，得W ＝2000t －st ＝－s ⎝⎛⎭⎪⎫t －103s 2＋106s (t ＞0)，∴当t ＝103s，即t ＝106S 2时，W 取得最大值，为106s2，∴乙方获得最大利润时的年产量为106s2吨.(2)设在乙方按照获得最大利润的年产量进行生产的前提下，甲方在索赔中获得的净收入为V 元.∵t ＝106s 2，∴V ＝st －0.002t 2＝106s 2－2×109s4.V ′＝－106s 2＋8×109s5，令V ′＝0，得s ＝20，当s ＞20时，V ′＜0，∴V 在(20，＋∞)上单调递减；当S ＜20时，V ′＞0， ∴V 在(0,20)上单调递增.∴当s ＝20时，V 取得极大值，也就是最大值，∴在乙方按照获得最大利润的年产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格S 是20元.。

高考数学一轮复习第三章导数及其应用 3.4 利用导数证明不等式教学案苏教版-苏教版高三全册数学

第四节利用导数证明不等式考点1 单变量不等式的证明单变量不等式的证明方法(1)移项法：证明不等式f (x )＞g (x )(f (x )＜g (x ))的问题转化为证明f (x )－g (x )＞0(f (x )－g (x )＜0)，进而构造辅助函数h (x )＝f (x )－g (x )；(2)构造“形似〞函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数；把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构〞构造辅助函数；(3)最值法：欲证f (x )＜g (x )，有时可以证明f (x )max ＜g (x )min .直接将不等式转化为函数的最值问题函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋(2a ＋1)x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＜0时，证明f (x )≤－34a－2.［解］ (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x＋2ax ＋2a ＋1＝〔x ＋1〕〔2ax ＋1〕x.当a ≥0，那么当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增. 当a ＜0，那么当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12a 时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，＋∞时，f ′(x )＜0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，＋∞上单调递减.(2)证明：由(1)知，当a ＜0时，f (x )在x ＝－12a 取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a －1－14a.所以f (x )≤－34a －2等价于ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a －1－14a ≤－34a －2，即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12a＋1≤0.设g (x )＝ln x －x ＋1，那么g ′(x )＝1x－1.当x ∈(0,1)时，g ′(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＜0.所以g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.故当x ＝1时，g (x )取得最大值，最大值为g (1)＝0.所以当x ＞0时，g (x )≤0.从而当a ＜0时，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12a＋1≤0，即f (x )≤－34a－2. 将不等式转化为函数最值来证明不等式，其主要思想是依据函数在固定区间的单调性，直接求得函数的最值，然后由f (x )≤f (x )max 或f (x )≥f (x )min 直接证得不等式.转化为两个函数的最值进行比较f (x )＝x ln x .(1)求函数f (x )在［t ，t ＋2］(t ＞0)上的最小值； (2)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x ＞1e x －2e x 成立.［解］ (1)由f (x )＝x ln x ，x ＞0，得f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )＝0，得x ＝1e.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增. ①当0＜t ＜1e ＜t ＋2，即0＜t ＜1e时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e＝－1e； ②当1e ≤t ＜t ＋2，即t ≥1e时，f (x )在［t ，t ＋2］上单调递增，f (x )min ＝f (t )＝t ln t .所以f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧－1e ，0＜t ＜1e ，t ln t ，t ≥1e.(2)证明：问题等价于证明x ln x ＞x e x －2e(x ∈(0，＋∞)).由(1)可知f (x )＝x ln x (x ∈(0，＋∞))的最小值是－1e，当且仅当x ＝1e时取到.设m (x )＝x e x －2e(x ∈(0，＋∞))，那么m ′(x )＝1－xex ，由m ′(x )＜0得x ＞1时，m (x )为减函数，由m ′(x )＞0得0＜x ＜1时，m (x )为增函数，易知m (x )max ＝m (1)＝－1e，当且仅当x ＝1时取到.从而对一切x ∈(0，＋∞)，x ln x ≥－1e ≥x e x －2e ，两个等号不同时取到，即证对一切x ∈(0，＋∞)都有ln x ＞1e x －2e x成立.在证明的不等式中，假设对不等式的变形无法转化为一个函数的最值问题，可以借助两个函数的最值进行证明.构造函数证明不等式函数f (x )＝e x －3x ＋3a (e 为自然对数的底数，a ∈R ).(1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a ＞ln 3e ，且x ＞0时，e xx ＞32x ＋1x－3a .［解］ (1)由f (x )＝e x－3x ＋3a ，x ∈R ，知f ′(x )＝e x－3，x ∈R . 令f ′(x )＝0，得x ＝ln 3，于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，ln 3)ln 3 (ln 3，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ f (x )↘极小值↗故f (x )单调递增区间是［ln 3，＋∞)，f (x )在x ＝ln 3处取得极小值，极小值为f (ln 3)＝e ln 3－3ln 3＋3a ＝3(1－ln 3＋a ).无极大值.(2)证明：待证不等式等价于e x＞32x 2－3ax ＋1，设g (x )＝e x－32x 2＋3ax －1，x ＞0，于是g ′(x )＝e x－3x ＋3a ，x ＞0.由(1)及a ＞ln 3e ＝ln 3－1知：g ′(x )的最小值为g ′(ln 3)＝3(1－ln 3＋a )＞0.于是对任意x ＞0，都有g ′(x )＞0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增. 于是当a ＞ln 3e ＝ln 3－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )＞g (0).而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，g (x )＞0. 即e x＞32x 2－3ax ＋1，故e xx ＞32x ＋1x－3a .假设证明f (x )＞g (x )，x ∈(a ，b )，可以构造函数h (x )＝f (x )－g (x )，如果能证明h (x )在(a ，b )上的最小值大于0，即可证明f (x )＞g (x )，x ∈(a ，b ).函数f (x )＝a e x－b ln x ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －1x ＋1.(1)求a ，b ； (2)证明：f (x )＞0.［解］ (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞).f ′(x )＝a e x －b x ，由题意得f (1)＝1e ，f ′(1)＝1e－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a e ＝1e，a e －b ＝1e－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1e2，b ＝1.(2)证明：由(1)知f (x )＝1e 2·e x－ln x .因为f ′(x )＝ex －2－1x在(0，＋∞)上单调递增，又f ′(1)＜0，f ′(2)＞0，所以f ′(x )＝0在(0，＋∞)上有唯一实根x 0，且x 0∈(1,2).当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )＜0，当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )＞0，从而当x ＝x 0时，f (x )取极小值，也是最小值. 由f ′(x 0)＝0，得e x 0－2＝1x 0，那么x 0－2＝－ln x 0.故f (x )≥f (x 0)＝e x 0－2－ln x 0＝1x 0＋x 0－2＞21x 0·x 0－2＝0，所以f (x )＞0.考点2 双变量不等式的证明破解含双参不等式证明题的3个关键点(1)转化，即由条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式.(2)巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值.(3)回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.函数f (x )＝ln x －ax (x ＞0)，a 为常数，假设函数f (x )有两个零点x 1，x 2(x 1≠x 2).求证：x 1x 2＞e 2.［证明］不妨设x 1＞x 2＞0，因为ln x 1－ax 1＝0，ln x 2－ax 2＝0，所以ln x 1＋ln x 2＝a (x 1＋x 2)，ln x 1－ln x 2＝a (x 1－x 2)，所以ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝a ，欲证x 1x 2＞e 2，即证ln x 1＋ln x 2＞2. 因为ln x 1＋ln x 2＝a (x 1＋x 2)，所以即证a ＞2x 1＋x 2，所以原问题等价于证明ln x 1－ln x 2x 1－x 2＞2x 1＋x 2，即ln x 1x 2＞2〔x 1－x 2〕x 1＋x 2，令c ＝x 1x 2(c ＞1)，那么不等式变为ln c ＞2〔c －1〕c ＋1.令h (c )＝ln c －2〔c －1〕c ＋1，c ＞1，所以h ′(c )＝1c －4〔c ＋1〕2＝〔c －1〕2c 〔c ＋1〕2＞0，所以h (c )在(1，＋∞)上单调递增，所以h (c )＞h (1)＝ln 1－0＝0，即ln c －2〔c －1〕c ＋1＞0(c ＞1)，因此原不等式x 1x 2＞e 2得证.换元法构造函数证明不等式的基本思路是直接消掉参数a ，再结合所证问题，巧妙引入变量c ＝x 1x 2，从而构造相应的函数.其解题要点为：联立消参利用方程f (x 1)＝f (x 2)消掉解析式中的参数a 抓商构元令c ＝x 1x 2，消掉变量x 1，x 2构造关于c 的函数h (c ) 用导求解利用导数求解函数h (c )的最小值，从而可证得结论函数f (x )＝ln x －12ax 2＋x ，a ∈R .(1)当a ＝0时，求函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线方程；(2)假设a ＝－2，正实数x 1，x 2满足f (x 1)＋f (x 2)＋x 1x 2＝0，求证：x 1＋x 2≥5－12. ［解］ (1)当a ＝0时，f (x )＝ln x ＋x ，那么f (1)＝1，所以切点为(1,1)，又因为f ′(x )＝1x＋1，所以切线斜率k ＝f ′(1)＝2，故切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.(2)证明：当a ＝－2时，f (x )＝ln x ＋x 2＋x (x ＞0). 由f (x 1)＋f (x 2)＋x 1x 2＝0，得ln x 1＋x 21＋x 1＋ln x 2＋x 22＋x 2＋x 1x 2＝0，从而(x 1＋x 2)2＋(x 1＋x 2)＝x 1x 2－ln(x 1x 2)，令t ＝x 1x 2(t ＞0)，令φ(t )＝t －ln t ，得φ′(t )＝1－1t ＝t －1t，易知φ(t )在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，所以φ(t )≥φ(1)＝1，所以(x 1＋x 2)2＋(x 1＋x 2)≥1，因为x 1＞0，x 2＞0，所以x 1＋x 2≥5－12成立. 考点3 证明与正整数有关的不等式问题函数中与正整数有关的不等式，其实质是利用函数性质证明数列不等式，证明此类问题时常根据的函数不等式，用关于正整数n 的不等式替代函数不等式中的自变量，通过多次求和达到证明的目的.假设函数f (x )＝e x －ax －1(a ＞0)在x ＝0处取极值.(1)求a 的值，并判断该极值是函数的最大值还是最小值； (2)证明：1＋12＋13＋ (1)＞ln(n ＋1)(n ∈N *).［解］ (1)因为x ＝0是函数极值点，所以f ′(0)＝0，所以a ＝1.f (x )＝e x －x －1，易知f ′(x )＝e x －1.当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＜0，故极值f (0)是函数最小值. (2)证明：由(1)知e x≥x ＋1.即ln(x ＋1)≤x ，当且仅当x ＝0时，等号成立，令x ＝1k(k ∈N *)，那么1k ＞ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ，即1k ＞ln 1＋k k，所以1k＞ln(1＋k )－ln k (k ＝1,2，...，n )，累加得1＋12＋13＋ (1)＞ln(n ＋1)(n ∈N *).函数式为指数不等式(或对数不等式)，而待证不等式为与对数有关的不等式(或与指数有关的不等式)，要注意指、对数式的互化，如e x ≥x ＋1可化为ln(x ＋1)≤x 等.函数f (x )＝ln(x ＋1)＋ax ＋2.(1)假设x ＞0时，f (x )＞1恒成立，求a 的取值X 围； (2)求证：ln(n ＋1)＞13＋15＋17 ＋…＋12n ＋1(n ∈N *).［解］ (1)由ln(x ＋1)＋ax ＋2＞1，得a ＞(x ＋2)－(x ＋2)ln(x ＋1).令g (x )＝(x ＋2)［1－ln(x ＋1)］，那么g ′(x )＝1－ln(x ＋1)－x ＋2x ＋1＝－ln(x ＋1)－1x ＋1. 当x ＞0时，g ′(x )＜0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减. 所以g (x )＜g (0)＝2，故a 的取值X 围为［2，＋∞). (2)证明：由(1)知ln(x ＋1)＋2x ＋2＞1(x ＞0)，所以ln(x ＋1)＞xx ＋2.令x ＝1k (k ＞0)，得ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1＞1k 1k＋2，即lnk ＋1k ＞12k ＋1. 所以ln 21＋ln 32＋ln 43＋…＋ln n ＋1n ＞13＋15＋17＋…＋12n ＋1，即ln(n ＋1)＞13＋15＋17＋…＋12n ＋1(n ∈N *).课外素养提升③ 逻辑推理——用活两个经典不等式逻辑推理是得到数学结论，构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证.利用两个经典不等式解决其他问题，降低了思考问题的难度，优化了推理和运算过程.(1)对数形式：x ≥1＋ln x (x ＞0)，当且仅当x ＝1时，等号成立.(2)指数形式：e x≥x ＋1(x ∈R )，当且仅当x ＝0时，等号成立.进一步可得到一组不等式链：e x＞x ＋1＞x ＞1＋ln x (x ＞0，且x ≠1).[例1] (1)函数f (x )＝1ln 〔x ＋1〕－x，那么y ＝f (x )的图象大致为( )(2)函数f (x )＝e x，x ∈R .证明：曲线y ＝f (x )与曲线y ＝12x 2＋x ＋1有唯一公共点.(1)B ［因为f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，ln 〔x ＋1〕－x ≠0，即{x |x ＞－1，且x ≠0}，所以排除选项D. 当x ＞0时，由经典不等式x ＞1＋ln x (x ＞0)，以x ＋1代替x ，得x ＞ln(x ＋1)(x ＞－1，且x ≠0)，所以ln(x ＋1)－x ＜0(x ＞－1，且x ≠0)，即x ＞0或－1＜x ＜0时均有f (x )＜0，排除A ，C ，易知B 正确.］(2)证明：令g (x )＝f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋x ＋1＝e x －12x 2－x －1，x ∈R ，那么g ′(x )＝e x－x －1，由经典不等式e x ≥x ＋1恒成立可知，g ′(x )≥0恒成立，所以g (x )在R 上为单调递增函数，且g (0)＝0. 所以函数g (x )有唯一零点，即两曲线有唯一公共点. [例2] (2017·全国卷Ⅲ改编)函数f (x )＝x －1－a ln x . (1)假设f (x )≥0，求a 的值；(2)证明：对于任意正整数n ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＜e.［解］ (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，①假设a ≤0，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12＋a ln 2＜0，所以不满足题意. ②假设a ＞0，由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax知，当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0；所以f (x )在(0，a )单调递减，在(a ，＋∞)单调递增，故x ＝a 是f (x )在(0，＋∞)的唯一最小值点.因为f (1)＝0，所以当且仅当a ＝1时，f (x )≥0，故a ＝1. (2)证明：由(1)知当x ∈(1，＋∞)时，x －1－ln x ＞0. 令x ＝1＋12n ，得ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＜12n.从而ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122＋…＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＜12＋122＋…＋12n ＝1－12n ＜1.故⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＜e.[例3] 设函数f (x )＝ln x －x ＋1. (1)讨论f (x )的单调性；(2)求证：当x ∈(1，＋∞)时，1＜x －1ln x＜x .［解］ (1)由题设知，f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－1，令f ′(x )＝0，解得x ＝1.当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0，f (x )在(0,1)上单调递增；当x ＞1时，f ′(x )＜0，f (x )在(1，＋∞)上单调递减.(2)证明：由(1)知f (x )在x ＝1处取得最大值，最大值为f (1)＝0. 所以当x ≠1时，ln x ＜x －1.故当x ∈(1，＋∞)时，ln x ＜x －1，x －1ln x＞1.①因此ln 1x ＜1x－1，即ln x ＞x －1x ，x －1ln x＜x .② 故当x ∈(1，＋∞)时恒有1＜x －1ln x＜x .。

高中数学第3章导数及其应用常见函数的导数导学案苏教

江苏省响水中学高中数学第3章《导数及其应用》3.2.1常见函数的导数导学案苏教版选修1-1学习目标：1．能按照导数的概念推导部份大体初等函数的导数公式；2．能利用导数公式求简单函数的导数．教学重点：大体初等函数的导数公式的应用．课前预习：1．在上一节中，咱们用割线逼近切线的方式引入了导数的概念，那么如何求函数的导数呢？2．用导数的概念求下列各函数的导数：（1）bkxxf+=)(（bk,为常数）；（2）Cxf=)(（C为常数）；（3）xxf=)(；（4）2)(xxf=；（5）3)(xxf=；（6）xxf1)(=；（7）xxf=)(．试探由上面的结果，你能发觉什么规律？3．大体初等函数的导数：课堂探讨：1.利用求导公式求下列函数导数．（1）5-=xy；（2）xxxy=； (3)3sinπ=y；（4）xy4=；(5)x y 3log =；（6）)2sin(x y +=π；（7）)2cos(x y -=π．5.已知直线1:-=x y l ，点P 为2x y =上任意一点，求P 在什么位置时到直线l 的距离最短．课堂检测：1．求下列函数的导函数（1）2y x -= （2）35y x =（3）41y x =（4）2x y =（5）4log y x = （6）ln y x =π=-（8）3cos()2y xπ=+（7）sin()2y x。

高中数学第三章导数及其应用疑难规律方法学案苏教版选修11

第三章导数及其应用1 巧用法则求导数导数的计算包括八个基本初等函数的导数公式，以及和、差、积、商的导数运算法则，它们是导数概念的深化，也是导数应用的基础，起到承上启下的作用．那么在掌握和、差、积、商的导数运算法则时，要注意哪些问题？有哪些方法技巧可以应用？下面就以实例进行说明．1．函数和(或差)的求导法则 (f (x )±g (x ))′＝f ′(x )±g ′(x ) 例1 求下列函数的导数： (1)f (x )＝1x＋ln x ；(2)y ＝x 3－2x ＋3. 解 (1)f ′(x )＝－1x 2＋1x.(2)y ′＝(x 3)′－(2x )′＋3′＝3x 2－2.点评记住基本初等函数的导数公式是正确求解导数的关键，此外函数和(或差)的求导法则可以推广到任意有限个可导函数和(或差)的求导．2．函数积的求导法则[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) 例2 求下列函数的导数： (1)f (x )＝x 2e x；(2)f (x )＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)．解 (1)f ′(x )＝(x 2e x)′＝(x 2)′e x ＋x 2(e x)′ ＝2x e x ＋x 2e x.(2)f ′(x )＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(2x ＋3)·(x ＋3)＋x 2＋3x ＋2＝3x 2＋12x ＋11.点评特别要注意：[f (x )g (x )]′≠f ′(x )g ′(x )．同时要记住结论：若c 为常数，则[cf (x )]′＝cf ′(x )，由此进一步可以得到[af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )．3．函数商的求导法则⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f x g x －f x gx[g x2(g (x )≠0)例3 求下列函数的导数： (1)f (x )＝ln xx；(2)f (x )＝tan x ；(3)f (x )＝11－x ＋11＋x .解 (1)f ′(x )＝(ln xx)′＝xx －ln xxx 2＝1－ln xx2. (2)f ′(x )＝(tan x )′＝(sin xcos x )′＝xx －sin x xcos 2x＝1cos 2x. (3)因为f (x )＝11－x ＋11＋x ＝1＋x ＋1－x －x＋x＝21－x ，所以f ′(x )＝(21－x )′＝－－x －x2＝2－x2.点评应在求导之前，先利用代数、三角恒等变换对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算，提高运算效率． 4．分式求导对于能够裂项的分式型函数，可将函数转化为几个单项式的和差形式，然后再利用和差的导数公式来解决．例4 求下列函数的导数：(1)y ＝x 2－2x ＋3x －1；(2)y ＝x 5＋x 7＋x 9x.解 (1)因为y ＝x 2－2x ＋3x －1＝x －1＋2x －1，所以y ′＝1＋0－2×1x －2＝1－2x －2.(2)因为y ＝x 5＋x 7＋x 9x＝x 2＋x 3＋x 4，所以y ′＝2x ＋3x 2＋4x 3.点评本题启示我们，对于某些函数式，我们应先根据它的结构特点，适当地对函数式中的项进行合理的“拆”，然后“各个击破”.2 导数计算中的“陷阱”导数的计算是导数学习中的一个重要方面．但由于同学们不能熟记公式及法则，不能理解公式中的对应量的含义，不能灵活的运用化简及变形技巧而导致各种错误．下面对求导过程中的常见错误进行梳理，希望对同学们有所帮助． 1．未能区分好变量与常量而致错例1 求f (x )＝a x＋cos a 的导数(其中a 为常数)．错解 f ′(x )＝a xln a －sin a .错因分析本题错在忽视变量a x与常量cos a 的不同，常量的导数应为0. 正解 f ′(x )＝a xln a . 2．忽视导数定义中严谨结构例2 已知函数f (x )＝2x 3＋5，求当Δx →0时，f－3Δx －fΔx趋近于何值．错解一因为Δy Δx ＝f＋Δx －fΔx＝＋Δx3＋5－3＋Δx＝24＋12Δx ＋2Δx 2. 当Δx →0时，Δy Δx→24.所以f－3Δx －fΔx→24.错解二因为Δy Δx ＝24＋12Δx ＋2Δx 2，当Δx →0时，ΔyΔx →24.所以f－3Δx －fΔx→3×24＝72.错因分析未能把握导数定义中Δy 与Δx 的严格对应关系，实际上f x ＋Δx －f xΔx中增量Δx 分子与分母要一致，这与用哪个字母没关系．正解因为Δy Δx＝24＋12Δx ＋2Δx 2，当Δx →0时，ΔyΔx →24.所以f－3Δx －fΔx→(－3)×24＝－72.3．混淆函数的导函数与函数在某一点处的导数例3 已知f (x )＝2 015－xx，求f ′(2 015)．错解 ∵f (2 015)＝2 015－2 0152 015＝0，∴f ′(2 015)＝(0)′＝0.错因分析 f ′(2 015)表示的含义不是在一点处的函数值的导数，应先求f ′(x )，再求f ′(2 015)．正解 ∵f ′(x )＝－ 2 015x2， ∴f ′(2 015)＝－2 0152 0152＝－12 015. 指点迷津上述的错误都说明了对导数定义及运算规律不理解，因此大家学习中应注重基础，注重知识生成及本质规律．错误并不可怕，可怕的是舍本逐末，不吸取教训．3 导数运算的常用技巧同学们是否有这样的感受，求导公式及运算法则已经背得很熟但在求某些函数的导数时，仍然很困难，甚至无从下手？虽然掌握了基础知识，但还要掌握一定的方法和技巧，方能彻底解决问题，下面举几例来说明．1．多项式函数展开处理例1 求f (x )＝(x －3)(x －2)(x －1)的导数．分析若f (x )的表达式为两个因式相乘可以展开求导，也可以不展开而利用积的求导法则，但三个因式相乘最佳方法就是先展开再求导．解 ∵f (x )＝(x －3)(x －2)(x －1)＝x 3－6x 2＋11x －6， ∴f ′(x )＝3x 2－12x ＋11. 2．分式函数化整式函数例2 求函数f (x )＝x x ＋2＋2x ＋2的导数．分析如果直接利用积与商的求导法则，运算将很烦琐，不如先看分子、分母有无公因式可约分．解 ∵f (x )＝x 3＋2x 2＋x ＋2x ＋2＝x 2x ＋＋x ＋x ＋2＝x 2＋1(x ≠－2)．∴f ′(x )＝(x 2＋1)′＝2x (x ≠－2)． 3．无理函数化有理函数例3 求函数y ＝1＋x 1－x ＋1－x1＋x的导数．分析直接利用商的求导法则，运算量很大，且容易出错，不妨先通分变“无理”为“有理”．解 ∵y ＝＋x2＋－x 21－x＝＋x 1－x ＝41－x －2，∴y ′＝(41－x－2)′＝－－x －x2＝4－x2.整体总评上述三个实例虽然细节处理不相同，但都体现了化归思想这一重要方法，先变形(化简)再解决问题；当然化归是为了更简捷、更方便处理问题，化归不一定要化简到最简单，而是化归到最合适．比如求tan x 的导数，tan x 本身形式已较简单，但仍然用不上所学知识，因此可考虑将tan x 变形为sin xcos x ，从而使问题得到解决，总之同学们要明确化归的目的，是为更容易用所学知识解决问题.4 导数妙求数列前n 项和数列的求和是数列中特别重要的一个知识块，如我们常用的求和方法有公式求和、分组求和、裂项求和、错位相减求和、倒序相加求和等，但同学们想过用导数法求和吗？下面的例子将为我们展示导数法求和的魅力．例已知x ≠0，求数列{nxn －1}的前n 项和S n .解对于{a n b n }的求和，若{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，一般用错位相减法求和，但计算量较大，且很容易出错，此时我们可构造函数f n (x )＝x n ，则f ′n (x )＝nx n －1.∴S n ＝f ′1(x )＋f ′2(x )＋…＋f ′n (x )＝1＋2x ＋3x 2＋…＋nxn －1＝[f 1(x )＋f 2(x )＋…＋f n (x )]′＝(x ＋x 2＋x 3＋…＋x n )′.讨论如下：(1)当x ＝1时，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋2；(2)当x ≠1时，S n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －x n1－x′ ＝1－n ＋x n ＋nx n ＋1－x2. 感悟本题用导数方法让人耳目一新，但需要注意的是导数加法法则仅对有限项成立．5 利用导数求切线方程曲线的切线问题是高考的常见题型之一．而导数f ′(x 0)的几何意义为曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，所以利用导数解决相切问题是常用的方法．下面对“求过一点的切线方程”的题型做以下归纳． 1．已知切点，求曲线的切线方程此类题只需求出曲线的导数f ′(x )，并代入点斜式方程即可．例1 曲线f (x )＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为________________．解析由f ′(x )＝3x 2－6x 知，在点(1，－1)处的斜率k ＝f ′(1)＝－3. 所以切线方程为y －(－1)＝－3(x －1)，即y ＝－3x ＋2. 答案 y ＝－3x ＋22．已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．例2 求过曲线f (x )＝x 3－2x 上的点(1，－1)的切线方程．解设P (x 0，y 0)为切点，则切线的斜率为f ′(x 0)＝3x 20－2. 所以切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)，即y －(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)·(x －x 0)．又知切线过点(1，－1)，所以－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)．解得x 0＝1，或x 0＝－12.故所求切线方程为y －(1－2)＝(3－2)(x －1)，或y －(－18＋1)＝(34－2)·(x ＋12)，即x －y －2＝0，或5x ＋4y －1＝0.点评可以发现直线5x ＋4y －1＝0并不以(1，－1)为切点，实际上是经过点(1，－1)，且以(－12，78)为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点．3．已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．例3 求过点(2,0)且与曲线f (x )＝1x相切的直线方程．解设P (x 0，y 0)为切点，则切线的斜率为f ′(x 0)＝－1x 20.所以切线方程为y －y 0＝－1x 20(x －x 0)，即y －1x 0＝－1x 20(x －x 0)．又已知切线过点(2,0)，代入上述方程，得－1x 0＝－1x 20(2－x 0)．解得x 0＝1，y 0＝1x 0＝1，即x ＋y －2＝0.点评点(2,0)实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，这充分反映出待定切点法的高效性． 4．求两条曲线的公切线例4 已知曲线C 1：y ＝x 2与C 2：y ＝－x 2＋4x －4，直线l 与C 1，C 2都相切，求直线l 的方程．分析设出直线与两条曲线的切点坐标，分别求出曲线在切点处的切线方程，再利用两个方程所表示的直线重合，建立方程组求解．解设l 与C 1相切于点P (x 1，x 21)，与C 2相切于点Q (x 2，－x 22＋4x 2－4)．由C 1：y ＝x 2，得y ′＝2x ，则与C 1相切于点P 的切线方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)，即y ＝2x 1x －x 21，由C 2：y ＝－x 2＋4x －4，得y ′＝－2x ＋4，则与C 2相切于点Q 的切线方程为y ＝－2(x 2－2)x ＋x 22－4.因为两切线重合，所以2x 1＝－2(x 2－2)，且－x 21＝x 22－4，解得x 1＝0，x 2＝2或x 1＝2，x 2＝0. 所以直线l 的方程为y ＝0或y ＝4x －4.点评公切线问题的一般解法是分别求出曲线在切点处的切线方程，再利用两直线重合的条件建立方程组求解．6 导数中的分类讨论思想分类讨论思想在导数中的应用非常广泛，尤其是在求含参数的函数的单调区间、极值或最值的问题中，那么如何确定分类讨论的标准呢？ 1．按导数为零的根的大小来分类例1 设函数f (x )＝－x (x －a )2(x ∈R )，其中a ∈R 且a ≠0，求函数f (x )的极大值和极小值．解 f ′(x )＝－(3x －a )(x －a )，令f ′(x )＝0，解得x ＝a 或x ＝a3.当a >a 3，即a >0，x ∈(－∞，a3)时，f ′(x )<0，x ∈(a3，a )时，f ′(x )>0，x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )<0，因此，函数f (x )在x ＝a 3处取得极小值－427a 3，在x ＝a 处取得极大值0.当a <a3，即a <0，x ∈(－∞，a )时，f ′(x )<0，x ∈(a ，a 3)时，f ′(x )>0，x ∈(a3，＋∞)时，f ′(x )<0，因此，函数f (x )在x ＝a 3处取得极大值－427a 3，在x ＝a 处取得极小值0.点评本题对f (x )求导后，得到一个二次函数，令f ′(x )＝0得到的两个根是含有参数的，因此应按两个根的大小来分类． 2．按是否为二次函数来分类例2 已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－a x －1(a ≤12)，讨论f (x )的单调性．解 f ′(x )＝－ax 2－x ＋1－ax 2，x ∈(0，＋∞)，令h (x )＝ax 2－x ＋1－a ，x ∈(0，＋∞)， (1)当a ＝0时，h (x )＝－x ＋1，x ∈(0，＋∞)，当x ∈(0,1)时，h (x )>0，此时f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0，此时f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． (2)当a ≠0时，由f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝1a－1，①当a ＝12，即x 1＝x 2时，h (x )≥0恒成立，此时f ′(x )≤0，f (x )在(0，＋∞)上单调递减； ②当0<a <12，即1a－1>1>0，x ∈(0,1)时，h (x )>0，f ′(x )<0，f (x )单调递减， x ∈(1，1a －1)时，h (x )<0，f ′(x )>0，f (x )单调递增，x ∈(1a－1，＋∞)时，h (x )>0，f ′(x )<0，f (x )单调递减；③当a <0时，1a－1<0<1，x ∈(0,1)时，h (x )>0，f ′(x )<0，f (x )单调递减， x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0，f ′(x )>0，f (x )单调递增．综上所述，当a ≤0时，函数f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；当a ＝12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当0<a <12时，函数f (x )在(0,1)和(1a －1，＋∞)上单调递减，在(1，1a －1)上单调递增．点评由于f ′(x )的分子是一个二次项含参的函数，因此在分类讨论时，首先应按a 是否为零，即该函数是否为二次函数来分类，然后当a ≠0时，再按根的大小来分类(与例1类似)，另外，应注意参数的范围． 3．按最值来分类例3 设函数f (x )＝e x －e －x，若对所有x ≥0都有f (x )≥ax ，求实数a 的取值范围．解令g (x )＝f (x )－ax ，则g ′(x )＝f ′(x )－a ＝e x ＋e －x－a ，由于e x ＋e －x ＝e x＋1e x ≥2(当且仅当x ＝0时等号成立)，所以当a ≤2时，g ′(x )＝e x＋e －x－a ≥2－a ≥0，故g (x )在(0，＋∞)上为增函数．所以当x ≥0时，g (x )≥g (0)＝0，即f (x )≥ax . 当a >2时，方程g ′(x )＝0的根为x 1＝lna －a 2－42<0，x 2＝lna ＋a 2－42>0，此时，若x ∈(0，x 2)，则g ′(x )<0，故g (x )在区间(0，x 2)内为减函数．所以当x ∈(0，x 2)时，g (x )<g (0)＝0，即f (x )<ax ，与题设f (x )≥ax 相矛盾．综上所述，满足条件的实数a 的取值范围为a ≤2.点评本题对函数求导后应根据导数中含自变量部分的最值对a 进行分类讨论．小结通过以上几例我们可以总结出分类讨论的原则：(1)要有明确的分类标准；(2)分类要不重复、不遗漏；(3)当讨论的对象不止一种时，应分层次进行．分类讨论的一般步骤：先明确讨论对象，确定对象的范围，再确定分类标准，逐段分析，获得阶段性结果，最后归纳总结得出结论.7 “极值点类型”大揭密通过求导，我们能够探索函数极值的情况，根据对多种题型的分析，可从极值的有无和多少进行分类，有的函数仅有唯一极值点，有的函数无极值点，有的却有两个或两个以上的极值点，这些数量的不同从哪里体现出来呢？下面通过三个实例来讨论． 1．破解无极值点类型例1 若已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－a 2x ＋m (a >0)在x ∈(－1,1)内没有极值点，试求实数a 的取值范围．分析 “没有极值点”即导数方程在区间(－1,1)内无解；在实数集上无解，或在实数集上有解但其根均在区间(－1,1)之外．解析由题意，得f ′(x )＝3x 2＋2ax －a 2，令f ′(x )＝0，解得x ＝a3或x ＝－a .依题意知，两根不在区间(－1,1)内，则⎩⎪⎨⎪⎧a 3≥1，－a ≤－1，所以a ≥3，因此a 的取值范围为[3，＋∞)．点评本题还可以利用补集思想，先求出函数在(－1,1)内有极值点时a 的取值范围，再取其补集即可．2．破解唯一极值点类型例2 若函数f (x )＝x 4＋ax 3＋2x 2＋b ，其中a ，b ∈R ，仅在x ＝0处存在极值，则实数a 的取值范围是________．分析问题中的“仅”即“存在且唯一”的意思，由此可得对应符号语言．解析由题意f ′(x )＝4x 3＋3ax 2＋4x ＝x (4x 2＋3ax ＋4)，而已知函数f (x )仅在x ＝0处存在极值，这说明方程4x 2＋3ax ＋4＝0要么无解，要么有两个相同实数根，因此它的判别式Δ＝(3a )2－64≤0，解得－83≤a ≤83，即a 的取值范围是[－83，83]．答案 [－83，83]点评对于导函数为三次函数的情形，要充分对三次式进行因式分解，这样便于显现出f ′(x )＝0的根的情况． 3．破解多个极值点类型例3 如果函数f (x )＝ax 5－bx 3＋c (a >0)在x ＝±1时有极值，极大值为4，极小值为0，试求a ，b ，c 的值．分析本题主要考查利用函数的极值来确定参数的值，解决本题的关键是运用待定系数法求a ，b ，c 的值．解 ∵y ′＝5ax 4－3bx 2，令y ′＝0，即5ax 4－3bx 2＝0， ∴x 2(5ax 2－3b )＝0. ∴x 2＝0或5ax 2－3b ＝0. ∵x ＝±1是极值点，∴5a (±1)2－3b ＝0，∴5a ＝3b . ∴极值点可能为x ＝0，x ＝±1. ∵a >0，∴y ′＝5ax 2(x 2－1)．当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表：由上表可知，当x ＝－1时，f (x )有极大值，当x ＝1时，f (x )有极小值． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋b ＋c ＝4，a －b ＋c ＝0，5a ＝3b⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝5，c ＝2.经检验a ＝3，b ＝5，c ＝2符合题意．点评对于导函数的零点较多时，要充分利用表格寻找极值点．8 导数应用中的常见误区虽然导数确实为我们解决函数问题带来了便利，但如果混淆某些概念，忽视了定理的应用条件，就会得出错误的结论．本文将介绍在解题中出现的几种典型错误，以帮助大家走出误区，加深对概念的理解． 1．误把切点当极值点例1 已知函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 的图象经过点(0,1)，且在x ＝1处的切线方程是y ＝x －2，求f (x )的解析式．错解 f ′(x )＝4ax 3＋2bx .将x ＝1代入y ＝x －2中，得y ＝－1.由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧f ＝1，f＝－1，f＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a ＋b ＋c ＝－1，4a ＋2b ＝0，解得a ＝2，b ＝－4，c ＝1.因此f (x )＝2x 4－4x 2＋1.剖析本题错在将切点当做极值点，得到f ′(1)＝0的错误结论．其实，虽然切点和极值点都与导数有关，但它们却是两个完全不同的概念，不能混为一谈．正解 f ′(1)表示函数f (x )的图象在点(1，－1)处的切线斜率，应有f ′(1)＝1，再联立f (0)＝1，f (1)＝－1便可得到正确答案：a ＝52，b ＝－92，c ＝1，因此f (x )＝52x 4－92x 2＋1.2．误把零点当极值点例2 求函数f (x )＝x 4－x 3的极值，并说明是极小值还是极大值．错解 f ′(x )＝4x 3－3x 2，令f ′(x )＝0，即当4x 3－3x 2＝0，得x 1＝0，x 2＝34.所以f (0)＝0，f (34)＝－27256，又f (34)<f (0)，故极小值为－27256，极大值为0.剖析本题错在将导数为零的点都认为是极值点，其实不然，导数为零仅是零点是极值点的必要不充分条件，错解中还有一个误区就是认为极大值一定大于极小值．事实上，极值仅描述函数在该点附近的局部特征，极大值未必一定大于极小值．正解 f ′(x )＝4x 3－3x 2，令f ′(x )＝0，即4x 3－3x 2＝0时，得x 1＝0，x 2＝34.当x 变化时，f (x )、f ′(x )的变化情况如下表：由上表可知，函数f (x )在区间(－∞，0)上是减函数，在区间(0，34)上还是减函数，所以x＝0不是函数的极值点，而函数f (x )在区间(0，34)上是减函数，在区间(34，＋∞)上是增函数，所以函数f (x )在x ＝34处取得极小值，极小值为－27256.3．误把必要不充分条件当作充要条件例3 已知f (x )＝ax 3＋3x 2－x ＋1在R 上是减函数，求实数a 的取值范围．错解 f ′(x )＝3ax 2＋6x －1. ∵f (x )在R 上是减函数，∴f ′(x )<0，即3ax 2＋6x －1<0在x ∈R 上恒成立， ∴a <0且Δ＝36＋12a <0，因此a <－3.剖析 f (x )在R 上是减函数是f ′(x )<0的必要不充分条件，而不是充要条件，实际上f (x )在R 上是减函数可能存在着f ′(x )＝0的情况，只要f ′(x )不恒为0即可，本题可采用先由f ′(x )≤0求解，然后验证f ′(x )＝0的特殊情况即可．正解由f ′(x )≤0，即不等式3ax 2＋6x －1≤0在x ∈R 上恒成立，于是a <0且Δ＝36＋12a ≤0，解得a ≤－3.当a ＝－3时，f (x )＝－3x 3＋3x 2－x ＋1＝－3(x －13)3＋89，显然是R 上的减函数，故a ≤－3符合题意．点评上述三个例题虽然错误根源不同，但为了防止出错，我们应该正确理解有关概念，掌握概念之间的区别和联系．在例3中我们应加强检验的意识．。

高中数学第三章导数及其应用阶段复习课学案苏教版

第三课导数及其应用[体系构建][题型探究]利用导数的几何意义求曲线的切线方程运用导数的几何意义，可以求过曲线上任一点的切线的斜率，从而进一步求出过此点的切线方程．还可以结合几何的有关知识，求解某些点的坐标、三角形面积等．导数的几何意义是近几年高考的要点和热点之一，常结合导数的运算进行考查，常以选择题、填空题的形式出现．对于较为复杂的此类问题，一般要利用k ＝f ′(x 0)((x 0，f (x 0))为切点)及切点的坐标满足切线方程和曲线方程列方程组求解．求过曲线y ＝x 3－2x 上的点(1，－1)的切线方程.[思路探究] 切线过曲线上一点(1，－1)，并不代表(1，－1)就是切点，故需先设出切点，再求解.【规范解答】设切点为P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－2x 0.∵y ′＝3x 2－2，则切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－2，∴切线方程为y －(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(x －x 0)．又∵切线过点(1，－1)，∴－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)，整理，得(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0，解得x 0＝1或x 0＝－12.∴切点为(1，－1)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，78，相应的切线斜率为k ＝1或k ＝－54.故所求切线方程为y －(－1)＝x －1或y －78＝－54·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，即x －y －2＝0或5x ＋4y－1＝0.[跟踪训练]1．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝2处取得极值，并且它的图象与直线y ＝－3x ＋3在点(1,0)处相切，则函数f (x )的表达式为________.【导学号：95902257】【解析】 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .∵f (x )与直线y ＝－3x ＋3在点(1,0)处相切，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝－3，f 1＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝－3，①1＋a ＋b ＋c ＝0.②∵f (x )在x ＝2处取得极值，∴f ′(2)＝12＋4a ＋b ＝0.③由①②③解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝0，c ＝2.∴f (x )＝x 3－3x 2＋2.【答案】 f (x )＝x 3－3x 2＋2利用导数研究函数的单调性1x )＞0，f ′(x )＜0的解集确定单调区间，这是函数中常见问题，是考查的重点．2．求含参数的函数的单调区间讨论时要注意的三个方面：(1)f ′(x )＝0有无根，(2)f ′(x )＝0根的大小，(3)f ′(x )＝0的根是否在定义域内．另外当f ′(x )＝0的最高次项系数含有字母时，则要讨论系数是否为0.3．已知函数的单调性求参数的取值范围有两种思路：①转化为不等式在某区间上恒成立问题，即f ′(x )≥0(或≤0)恒成立，用分离参数求最值或函数的性质求解，注意验证使f ′(x )＝0的参数是否符合题意，②构造关于参数的不等式求解，即令f ′(x )＞0(或＜0)求得用参数表示的单调区间，结合所给区间，利用区间端点列不等式求参数的范围．已知函数f (x )＝x 3－ax －1. (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )在R 上为增函数，求实数a 的取值范围．[思路探究] (1)求出f ′(x )，讨论f ′(x )＝0的根是否存在，求函数的单调区间； (2)根据题意有f ′(x )≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，分离参数后可求实数a 的取值范围．【规范解答】 (1)f ′(x )＝3x 2－a .①当a ≤0时，f ′(x )≥0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数． ②当a ＞0时，令3x 2－a ＝0得x ＝±3a 3；当x ＞3a 3或x ＜－3a3时，f ′(x )＞0；当－3a 3＜x ＜3a 3时，f ′(x )＜0. 因此f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 3，＋∞上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数．综上可知，当a ≤0时，f (x )在R 上为增函数；当a ＞0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 3，＋∞上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数．(2)因为f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立．因为3x 2≥0，所以只需a ≤0.又因为a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，f (x )＝x 3－1在R 上是增函数，所以a ≤0，即a 的取值范围为(－∞，0]．[跟踪训练]2．设函数f (x )＝12x 2＋e x －x e x.(1)求f (x )的单调区间；(2)若当x ∈[－2,2]时，不等式f (x )＞m 恒成立，求实数m 的取值范围.【导学号：95902258】【解】 (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝x ＋e x －(e x ＋x e x )＝x (1－e x)．若x ＜0，则1－e x＞0，所以f ′(x )＜0；若x ＞0，则1－e x＜0，所以f ′(x )＜0；若x ＝0，则f ′(x )＝0.∴f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，即f (x )的单调减区间为(－∞，＋∞)． (2)由(1)知f (x )在[－2,2]上单调递减， ∴f (x )min ＝f (2)＝2－e 2.∴当m <2－e 2时，不等式f (x )＞m 恒成立．即实数m 的取值范围是(－∞，2－e 2).利用导数研究函数的极值和最值1.2．求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤： (1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．3．注意事项：(1)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论． (2)解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f ′(x )＝0时的情况；区分极值点和导数为0的点．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ：3x －y＋1＝0，若x ＝23时，y ＝f (x )有极值．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值．[思路探究] (1)利用f ′(1)＝3、f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝0、f (1)＝4构建方程组求解； (2)令f ′x ＝0→列表→求极值和区间端点的函数值→比较大小→得最大值和最小值【规范解答】 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 当x ＝1时，切线l 的斜率为3，可得2a ＋b ＝0，①当x ＝23时，y ＝f (x )有极值，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝0，可得4a ＋3b ＋4＝0，② 由①②，解得a ＝2，b ＝－4.由于切点的横坐标为1，所以f (1)＝4. 所以1＋a ＋b ＋c ＝4，得c ＝5.(2)由(1)可得f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，f ′(x )＝3x 2＋4x －4.令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝23.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的取值及变化情况如下表所示：x －3 (－3，－2) －2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23 23 ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 1f ′(x)＋ 0 －0 ＋f (x ) 8↗ 13 ↙ 9527↗ 4由表可知，函数y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值为13，最小值为9527.[跟踪训练]3．已知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋cx ＋d 有极值．(1)求c 的取值范围；(2)若f (x )在x ＝2处取得极值，且当x ＜0时，f (x )＜16d 2＋2d 恒成立，求d 的取值范围.【导学号：95902259】【解】 (1)∵f (x )＝13x 3－12x 2＋cx ＋d ，∴f ′(x )＝x 2－x ＋c ，要使f (x )有极值，则方程f ′(x )＝x 2－x ＋c ＝0有两个实数解，从而Δ＝1－4c ＞0，∴c ＜14.(2)∵f (x )在x ＝2处取得极值，∴f ′(2)＝4－2＋c ＝0，∴c ＝－2.∴ f (x )＝13x 3－12x2－2x ＋d .∵f ′(x )＝x 2－x －2＝(x －2)(x ＋1)，∴当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )＞0，函数单调递增，当x ∈(－1,2]时，f ′(x )＜0，函数单调递减．∴x ＜0时，f (x )在x ＝－1处取得最大值76＋d ， ∵x ＜0时，f (x )＜16d 2＋2d 恒成立，∴ 76＋d ＜16d 2＋2d ，即(d ＋7)(d －1)＞0，∴d ＜－7或d ＞1，即d 的取值范围是(－∞，－7)∪(1，＋∞).分类讨论思想在含参数的问题中，无论是研究单调性，还是极值、最值，一般都需要分类讨论．已知函数f (x )＝x －ln(x ＋a )的最小值为0，其中a ＞0.(1)求a 的值；(2)若对任意的x ∈[0，＋∞)，有f (x )≤kx 2成立，求实数k 的最小值. [思路探究] (1)求出函数f (x )的最小值用a 表示解方程可得a 的值；(2)构造函数g (x )＝f (x )－kx 2，分类讨论求其在[0，＋∞)的最大值，使其最大值≤0可得k 的取值范围，即得其最小值．【规范解答】 (1)f (x )的定义域为(－a ，＋∞)．f ′(x )＝1－1x ＋a ＝x ＋a －1x ＋a. 由f ′(x )＝0，得x ＝1－a ＞－a .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－a,1－a )1－a (1－a ，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ f (x )↘极小值↗因此，f (x )a ＝1. (2)当k ≤0时，取x ＝1，有f (1)＝1－ln 2＞0，故k ≤0不合题意．当k ＞0时，令g (x )＝f (x )－kx 2，即g (x )＝x －ln(x ＋1)－kx 2.g ′(x )＝x x ＋1－2kx ＝－x [2kx －1－2k ]x ＋1.令g ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝1－2k2k＞－1.①当k ≥12时，1－2k2k≤0，g ′(x )＜0在(0，＋∞)上恒成立，因此g (x )在[0，＋∞)上单调递减．从而对于任意的x ∈[0，＋∞)，总有g (x )≤g (0)＝0，即f (x )≤kx 2在[0，＋∞)上恒成立．故k ≥12符合题意．②当0＜k ＜12时，1－2k 2k ＞0，对于x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1－2k 2k ，g ′(x )＞0，故g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－2k 2k 内单调递增，因此当取x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1－2k 2k 时， g (x 0)＞g (0)＝0，即f (x 0)≤kx 20不成立．故0＜k ＜12不合题意.综上，k 的最小值为12.[跟踪训练]4．设函数f (x )＝a e x＋1a e x＋b (a ＞0)． (1)求f (x )在[0，＋∞)内的最小值；(2)设曲线y ＝ f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值.【解】 (1)f ′(x )＝a e x－1a e x，当f ′(x )＞0，即x ＞－ln a 时，f (x )在(－ln a ，＋∞)上单调递增；当f ′(x )＜0，即x ＜－ln a 时，f (x )在(－∞，－ln a )上单调递减．①当0＜a ＜1时，－ln a ＞0，f (x )在(0，－ln a )上单调递减，在(－ln a ，＋∞)上单调递增，从而f (x )在[0，＋∞)上的最小值为f (－ln a )＝2＋b;②当a ≥1时，－ln a ≤0，f (x )在[0，＋∞)上单调递增，从而f (x )在[0，＋∞)上的最小值为f (0)＝a ＋1a＋b .(2)依题意f ′(2)＝a e 2－1a e 2＝32，解得a e 2＝2或a e 2＝－12(舍去)，所以a ＝2e2，代入原函数可得2＋12＋b ＝3，即b ＝12，故a ＝2e 2，b ＝12.[链接高考]1．曲线y ＝x 2＋1x在点(1,2)处的切线方程是__________.【导学号：95902260】【解析】因为y ′＝2x －1x 2，所以在点(1,2)处的切线方程的斜率k ＝2×1－112＝1，所以切线方程为y －2＝x －1，即y ＝x ＋1.【答案】 y ＝x ＋12．已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．【解析】 ∵f ′(x )＝a －1x，∴f ′(1)＝a －1.又∵f (1)＝a ，∴切线l 的斜率为a －1，且过点(1，a )， ∴切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)．令x ＝0，得y ＝1，故l 在y 轴上的截距为1. 【答案】 1 3．函数f (x )＝xx －1(x ≥2)的最大值为________．【解析】 f ′(x )＝x －1－x x －12＝－1x －12，当x ≥2时，f ′(x )＜0，所以f (x )在[2，＋∞)上是减函数，故f (x )max ＝f (2)＝22－1＝2.【答案】 24．已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________.【导学号：95902261】【解析】因为f (－x )＝(－x )3－2(－x )＋e －x－1e－x ＝－x 3＋2x －e x＋1e x ＝－f (x )，所以f (x )＝x 3－2x ＋e x－1e x 是奇函数．因为f (a －1)＋f (2a 2)≤0，所以f (2a 2)≤－f (a －1)，即f (2a 2)≤f (1－a )．因为f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋e －x ≥3x 2－2＋2e x ·e －x ＝3x 2≥0，所以f (x )在R 上单调递增，所以2a 2≤1－a ，即2a 2＋a －1≤0，所以－1≤a ≤12.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 5．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1(a >0，b ∈R )有极值，且导函数f ′(x )的极值点是f (x )的零点．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； (2)证明：b 2>3a .【解】 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 32＋b －a 23. 当x ＝－a 3时，f ′(x )有极小值b －a 23.因为f ′(x )的极值点是f (x )的零点，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＝－a 327＋a 39－ab 3＋1＝0.又a >0，故b ＝2a 29＋3a.因为f (x )有极值，故f ′(x )＝0有实根，从而b －a 23＝19a (27－a 3)≤0，即a ≥3.当a ＝3时，f ′(x )>0(x ≠－1)，故f (x )在R 上是增函数，f (x )没有极值；当a >3时，f ′(x )＝0有两个相异的实根 x 1＝－a －a 2－3b 3，x 2＝－a ＋a 2－3b 3.列表如下：12从而a >3.因此b ＝2a 29＋3a ，定义域为(3，＋∞)．(2)证明：由(1)知，b a ＝2a a 9＋3a a.设g (t )＝2t 9＋3t ，则g ′(t )＝29－3t 2＝2t 2－279t 2. 当t ∈⎝⎛⎭⎪⎫362，＋∞时，g ′(t )>0，从而g (t )在⎝⎛⎭⎪⎫362，＋∞上单调递增．因为a >3，所以a a >33，故g (a a )>g (33)＝3，即ba> 3. 因此b 2>3a .。

高中数学第三章导数及其应用 3.2.1 常见函数的导数学案苏教版选修11

3．2.1 常见函数的导数学习目标 1.能用导数的定义求比较简单的幂函数的导数.2.准确记忆基本初等函数的导数公式，并灵活运用公式求某些函数的导数．知识点一幂函数与一次函数的导数思考1 函数y ＝kx (k ≠0)增(减)的快慢与什么有关？思考2 你能结合x ′＝1，(x 2)′＝2x ，(x －1)′＝－x －2及(x 12)′＝12x 12 归纳出f (x )＝xn的导数有怎样的规律吗？梳理 (1)(kx ＋b )′＝k (k ，b 为常数)，特别地C ′＝0(C 为常数)． (2)(x α)′＝α·x α－1(α为常数)．知识点二基本初等函数的求导公式思考1 计算过程(cos π6)′＝－sin π6＝－12正确吗？思考2 如何利用(ln x )′推出(log a x )′？梳理类型一利用导数公式求函数的导数例1 求下列函数的导数： (1)y ＝x 12；(2)y ＝1x4；(3)y ＝5x 3；(4)y ＝2sin x 2cos x2；(5)y ＝log 12x ；(6)y ＝3x.反思与感悟若题目中所给出的函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化成指数幂的形式求导．跟踪训练1 求下列函数的导数： (1)y ＝(1－x )(1＋1x)＋x ；(2)y ＝2cos 2x2－1.类型二导数公式的综合应用命题角度1 利用导数公式解决切线问题例2 已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上两点，是否存在与直线PQ 垂直的切线，若有，求出切线方程；若没有，说明理由．引申探究若本例条件不变，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．反思与感悟解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用： (1)切点处的导数是切线的斜率； (2)切点在切线上；(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决．跟踪训练2 已知两条曲线y ＝sin x ，y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．命题角度2 利用导数公式求最值问题例3 求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离．反思与感悟利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P (x 0，y 0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．跟踪训练3 已知直线l: 2x －y ＋4＝0与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，试求与直线l 平行的抛物线的切线方程，并在弧AOB 上求一点P ，使△ABP 的面积最大．1．设函数f (x )＝log a x ，f ′(1)＝－1，则a ＝________. 2．下列结论：①(sin x )′＝－cos x ；②⎝ ⎛⎭⎪⎫1x′＝1x2；③(log 3x )′＝13ln x ；④(ln x )′＝1x .其中正确的结论是________．3．在曲线y ＝4x2上求一点P ，使得曲线在该点处的切线倾斜角为135°，则点P 的坐标为__________．4．设正弦函数y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是________．5．求下列函数的导数．(1)y ＝cos π6；(2)y ＝1x 5；(3)y ＝x 2x ；(4)y ＝lg x ；(5)y ＝5x；(6)y ＝cos(π2－x )．1．利用常见函数的导数公式可以比较简便地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． 2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y ＝1－2sin 2x2的导数．因为y ＝1－2sin 2x2＝cos x ，所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化．提醒：完成作业第3章 §3.2 3.2.1答案精析问题导学知识点一思考1 当k >0时，函数增加的快慢与系数k 有关，k 越大，增加的越快；当k <0时，函数减少的快慢与|k |有关，|k |越大，函数减少的越快．思考2 f ′(x )＝(x n )′＝nx n －1.知识点二思考1 不正确．因为cos π6＝32为常数，其导数为0.思考2 (log a x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ln a ′＝1ln a (ln x )′＝1ln a ·1x ＝1x ·ln a .题型探究例1 解 (1)y ′＝(x 12)′＝12x 12－1＝12x 11.(2)y ′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x5.(3)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x 315-＝35x 25-＝355x2. (4)∵y ＝2sin x 2cos x2＝sin x ，∴y ′＝cos x . (5)y ′＝(log 12x )′＝1x ln12＝－1x ln 2. (6)y ′＝(3x )′＝3xln 3.跟踪训练1 解 (1)∵y ＝(1－x )(1＋1x)＋x＝1－x x ＋x ＝1x＝x 12-，∴y ′＝－12x 32-.(2)∵y ＝2cos 2x2－1＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .例2 解因为y ′＝(x 2)′＝2x ，假设存在与直线PQ 垂直的切线．设切点为(x 0，y 0)，则PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线与PQ 垂直，所以2x 0＝－1，即x 0＝－12.所以切点为(－12，14)．所以所求切线方程为y －14＝(－1)(x ＋12)，即4x ＋4y ＋1＝0. 引申探究解因为y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)，则y ′|0x x ＝＝2x 0，又因为PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ，所以k ＝2x 0＝1，即x 0＝12.所以切点为M (12，14)．所以所求切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.跟踪训练2 解设存在一个公共点(x 0，y 0)，使两曲线的切线垂直，则在点(x 0，y 0)处的切线斜率分别为k 1＝y ′|0x x ＝＝cos x 0，k 2＝y ′|0x x ＝＝－sin x 0. 要使两切线垂直，必须有k 1k 2＝cos x 0(－sin x 0)＝－1，即sin 2x 0＝2，这是不可能的．所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．例3 解依题意知抛物线y ＝x 2与直线x －y －2＝0平行的切线的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)．∵y ′＝(x 2)′＝2x ，∴2x 0＝1， ∴x 0＝12，∴切点坐标为(12，14)，∴所求的最短距离d ＝|12－14－2|2＝728.跟踪训练3 解设M (x 0，y 0)为切点，过点M 与直线l 平行的直线斜率k ＝ y ′＝2x 0， ∴k ＝2x 0＝2，∴x 0＝1，y 0 ＝1. 故可得M (1,1)，∴切线方程为2x －y －1＝0.由于直线l: 2x －y ＋4＝0与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点， ∴AB 为定值，要使△ABP 的面积最大，只要P 到AB 的距离最大，故点M (1,1)即为所求弧AOB 上的点，使△ABP 的面积最大．当堂训练1.1e 2.④ 3.(2,1) 4．[0，π4]∪[3π4，π)5．解 (1)y ′＝0. (2)∵y ＝1x5＝x －5，∴y ′＝(x －5)′＝－5x －6＝－5x6.(3)∵y ＝x 2x＝x 32，∴y ′＝(x 32)′＝32x 12＝32x .(4)y ′＝1x ln 10. (5)y ′＝5xln 5.(6)∵y ＝cos(π2－x )＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .。

苏教版高中数学导数教案

苏教版高中数学导数教案课题名称：导数的定义与求法适用对象：苏教版高中数学教材教学目标：1. 理解导数的定义及意义；2. 掌握导数的求法；3. 能够应用导数解决相关问题。

教学内容：1. 导数的定义：导数的概念和意义；2. 导数的求法：利用导数的定义和性质求导的基本方法；3. 导数的应用：解决相关问题。

教学重点：1. 导数的定义及求法；2. 导数的应用。

教学难点：1. 导数的概念和意义的理解；2. 导数的应用解题能力的培养。

教学准备：1. 教材资料：苏教版高中数学教材；2. 教学工具：黑板、彩色粉笔、PPT等；3. 教学辅助：例题、习题、实例等。

教学步骤：一、导入：通过简单的例子引入导数的概念，让学生了解导数在数学上的重要性。

二、讲解导数的定义及意义：1. 通过导数的定义引导学生理解导数的概念；2. 解释导数的意义及其在数学和实际生活中的应用。

三、讲解导数的求法：1. 利用导数的定义和性质，介绍导数的求法；2. 讲解求导的基本方法和技巧。

四、导数的应用：通过综合例题和实例，引导学生掌握导数在不同情境下的应用方法，并培养解题能力。

五、巩固练习：布置相关习题或实例，让学生进行巩固练习，检验学生对导数的理解和掌握程度。

六、作业布置：布置相关作业，要求学生在家完成，以进一步巩固所学知识。

教学反思：通过本节课的教学，学生能够初步了解导数的概念及意义，掌握导数的求法，并能够应用导数解决相关问题。

在教学中要注重培养学生的数学思维和解题能力，引导学生积极思考和探索。

高中数学第3章导数及其应用导数与函数的综合性问题导学案苏教版选修11

江苏省响水中学高中数学第3章《导数及其应用》导数与函数的综合性问题导学案苏教版选修1-1学习目标：1.掌握用导数法求解函数单调性、极值、最值、参数等问题.2.理解导数与方程、函数、不等式等知识的综合.重点：导数与方程、函数、不等式等知识的综合课前预习：1.已知e为自然对数的底数,则函数y=xex的单调递增区间是2.已知曲线f(x)=ln x在点(x0,f(x0))处的切线通过点(0,-1),则x0的值为3.函数f(x)的概念域为开区间(a,b),导函数f'(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点个.4.等比数列{an}中,a1=1,a2012=4,函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a2012),求函数f(x)在点(0,0)处的切线方程.课堂探讨：一、若函数xaxxxf221ln)(2--=存在单调递减区间,求实数a的取值范围.二、已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx.(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处有公共切线, 求a,b的值;(2)当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-∞,-1]上的最大值.3、已知x>0,证明不等式x >ln(1+x).五、已知函数f(x)=ax-ln x,x ∈(0,e],g(x)x x ln =，其中e 是自然常数,a ∈R.(1)当a=1时,求f(x)的极值,并证明f(x)>g(x)21+恒成立.(2)是不是存在实数a,使f(x)的最小值为3?若存在,求出a 的值;若不存在,请说明理由.课堂检测：1.函数f(x)的概念域为(0,+∞),且f(x)>0,f'(x)>0,则函数y=xf(x)( ).A.存在极大值 B .存在极小值 C .是增函数 D.是减函数2.函数x x y 33+=在(0,+∞)上的最小值为3.已知函数f(x)=aln x+x 在区间[2,3]上单调递增,则实数a 的取值范围是 .4.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是( ).A.∃x0∈R,f(x0)=0B.函数y=f(x)的图象是中心对称图形C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x0)单调递减D.若x0是f(x)的极值点,则f'(x0)=05.若函数b ae ae x f x x ++=1)( (a>0)在点(2,f(2))处的切线方程为x y 23=, 求a,b 的值.。