101高数试卷A1.pdf
1011高数A一补考试题及解答
f x dx f x .
知识点：不定积分和导数的关系， 分析 微分运算与求不定积分的运算是互逆的. d d[ f ( x )dx] f ( x )dx f ( x )dx f ( x ) dx
F ( x )dx F ( x ) C
key : A
分析 利用函数的一阶导数和二阶导数符号判断函数 的单调性和凹凸性.
key : D
5.
下列等式正确的是
( A)
A .
d ( B) f x dx f x C ; dx ( D)
df x f x C ;
b a
(C ) d f x dx f x dx;
2 2
5 2 3 x 4. ( x 1) dx 3 x xC 1 5
5.
0
1 x
1 dx _______ . 2 2
二、 选择题（每小题2分，共10分）
1. “数列有界{xn }? 是“数列极限 lim xn 存在”的 C . n
( A) 充分必要条件;
2e x sin x .
四、计算题（每小题8分，共16分）
1. 设y e cos x, 求y.
x
x x 解： y e cos x e sin x
x x x x y e cos x e sin x e sin x e cos x.
2e x sin x .
证明： 设 f ( x ) x 3 x 1， f (0) 1，f (1) 1，
由零点定理 x0 (0,1), 使 f ( x0 ) 0.
即方程至少有一个小于1的正实根.
北京101中学10月高一数学试题
北京一零一中 2019-2020 学年度第一学期高一数学统练二 第 2 页（共 2 页）
(D) 既不充分也不必要条件
5. 已知 x1, x2 是关于 x 的方程 x2 + bx − 3 = 0 的两根, 且满足 x1 + x2 − 3x1 x2 = 5, 那么 b 的 值为 ( )
(A) 4
(B) −4
(C) 3
(D) −3
6. 已知集合 A = {x | x2 − 2x − 3 < 0}, B = {x | −1 < x < m}, 若 x ∈ A 是 x ∈ B 的充分不必要条
(A) ab > ac
(B) c(b − a) > 0
(C) cb2 < ab2
(D) ac(a − c) < 0
2.
不等式
x−3 x−1
0 的解集为 ( )
(A) {x | x < 1 或 x 3}
(B) {x | 1 x 3}
(C) {x | 1 < x 3}
(D) {x | 1 < x < 3}
3.
“a,
b
∈
R+”
是
“
a
+ 2
b
(A) 充分不必要条件
√ ab”
成立的
( )
(B) 必要不充分条件
(C) 充要条件
(D) 既不充分也不必要条件
4. 设 x ∈ R, 则 “x2 − 5x < 0” 是 “|x − 1| < 1” 的 ( )
(A) 充分而不必要条件
(B) 必要而不充分条件
(C) 充要条件
数 13关4x,系+
北京市101中高一数学上学期期中试卷(含解析)
2015-2016学年北京101中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，共40分．1．下列四个选项表示的集合中，有一个集合不同于另三个集合，这个集合是（）A．{x|x=0} B．{a|a2=0} C．{a=0} D．{0}2．函数y=f（x）的定义域为[1，5]，则函数y=f（2x﹣1）的定义域是（）A．[1，5] B．[2，10] C．[1，9] D．[1，3]3．下列四组函数，表示同一函数的是（）A．f（x）=，g（x）=xB．f（x）=x，g（x）=C．f（x）=，g（x）=D．（x）=|x+1|，g（x）=4．如图是函数y=f（x）的图象，f（f（2））的值为（）A．3 B．4 C．5 D．65．已知函数f（x）=3x+x﹣5，用二分法求方程3x+x﹣5=0在x∈（0，2）内近似解的过程中，取区间中点x0=1，那么下一个有根区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（1，2）或（0，1）都可以D．不能确定6．函数f（x）=4x2﹣ax﹣8在区间（4，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．a≤32B．a≥32C．a≥16D．a≤167．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．28．定义区间（a，b）、[a，b）、（a，b]、[a，b]的长度均为d=b﹣a，用[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.2]=3，[﹣2.3]=﹣3．记{x}=x﹣[x]，设f（x）=[x]•{x}，g（x）=x﹣1，若用d表示不等式f（x）＜g（x）解集区间长度，则当0≤x≤3时有（）A．d=1 B．d=2 C．d=3 D．d=4二、填空题：本大题共6小题，共30分．9．若f（2x）=3x2+1，则函数f（4）= ．10．求值：2﹣（）+lg+（﹣1）lg1= ．11．设函数y=f（x+2）是奇函数，且x∈（0，2）时，f（x）=2x，则f（3.5）= ．12．函数f（x）=3x的值域是．13．已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足f（2x﹣1）＜f（1）的x的取值范围是．14．函数f（x）的定义域为A，若x1，x2∈A且f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，则称f（x）为单函数．例如，函数f（x）=2x+1（x∈R）是单函数．下列命题：①函数f（x）=x2（x∈R）是单函数；②若f（x）为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）；③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，A中至多有一个元素与之对应；④函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数．其中正确的是．（写出所有正确的编号）三、解答题：本大题共4小题，共50分．15．已知集合A={x|3≤x＜7}，B={2＜x＜10}，C={x|5﹣a＜x＜a}．（1）求A∪B，（∁R A）∩B；（2）若C⊆（A∪B），求a的取值范围．16．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，已知x≥0时，f（x）=x2﹣2x．（1）画出偶函数f（x）的图象的草图，并求函数f（x）的单调递增区间；（2）当直线y=k（k∈R）与函数y=f（x）恰有4个交点时，求k的取值范围．17．已知g（x）=﹣x2﹣3，f（x）=ax2+bx+c（a≠0），函数h（x）=g（x）+f（x）是奇函数．（1）求a，c的值；（2）当x∈[﹣1，2]时，f（x）的最小值是1，求f（x）的解析式．18．已知定义在R上的函数是奇函数（1）求a，b的值；（2）判断f（x）的单调性，并用单调性定义证明；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t﹣2t2）+f（﹣k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．2015-2016学年北京101中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，共40分．1．下列四个选项表示的集合中，有一个集合不同于另三个集合，这个集合是（）A．{x|x=0} B．{a|a2=0} C．{a=0} D．{0}【考点】集合的表示法．【分析】对于A，B，D的元素都是实数，而C的元素是等式a=0，不是实数，所以选C．【解答】解：通过观察得到：A，B，D中的集合元素都是实数，而C中集合的元素不是实数，是等式a=0；∴C中的集合不同于另外3个集合．故选：C．2．函数y=f（x）的定义域为[1，5]，则函数y=f（2x﹣1）的定义域是（）A．[1，5] B．[2，10] C．[1，9] D．[1，3]【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据y=f（x）的定义域，得出y=f（2x﹣1）中2x﹣1的取值范围，从而求出x的取值范围即可．【解答】解：∵y=f（x）的定义域为[1，5]，∴1≤x≤5，∴1≤2x﹣1≤5，即1≤x≤3，∴y=f（2x﹣1）的定义域是[1，3]．故选：D．3．下列四组函数，表示同一函数的是（）A．f（x）=，g（x）=xB．f（x）=x，g（x）=C．f（x）=，g（x）=D．（x）=|x+1|，g（x）=【考点】判断两个函数是否为同一函数．【分析】观察A选项两者的定义域相同，但是对应法则不同，B选项两个函数的定义域不同，C选项两个函数的定义域不同，这样只有D选项是同一函数．【解答】解：A选项两者的定义域相同，但是f（x）=|x|，对应法则不同，B选项两个函数的定义域不同，f（x）的定义域是R，g（x）的定义域是{x|x≠0}C选项两个函数的定义域不同，f（x）的定义域是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）g（x）的定义域是（2，+∞）D选项根据绝对值的意义，把函数f（x）整理成g（x），两个函数的三个要素都相同，故选D．4．如图是函数y=f（x）的图象，f（f（2））的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】函数的值．【分析】当0≤x≤3时，根据 y=f（x）=2x求得f（2）=4．当3＜x≤9时，根据f（x）=9﹣x，求得 f（ f（2））=f（4）的值．【解答】解：由图象可得，当0≤x≤3时，y=f（x）=2x，∴f（2）=4．当3＜x≤9时，由 y﹣0=（x﹣9），可得 y=f（x）=9﹣x，故 f（ f（2））=f（4）=9﹣4=5，故选C．5．已知函数f（x）=3x+x﹣5，用二分法求方程3x+x﹣5=0在x∈（0，2）内近似解的过程中，取区间中点x0=1，那么下一个有根区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（1，2）或（0，1）都可以D．不能确定【考点】二分法的定义．【分析】方程的实根就是对应函数f（x）的零点，由 f（2）＞0，f（1）＜0 知，f（x）零点所在的区间为（1，2）．【解答】解：∵f（x）=3x+x﹣5，∴f（1）=3+1﹣5＜0，f（2）=9+2﹣5＞0，∴f（x）零点所在的区间为（1，2）∴方程3x+x﹣5=0有根的区间是（1，2），故选：B．6．函数f（x）=4x2﹣ax﹣8在区间（4，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．a≤32B．a≥32C．a≥16D．a≤16【考点】二次函数的性质．【分析】先求出函数的对称轴，结合二次函数的性质得到不等式，解出即可．【解答】解：∵f（x）=4x2﹣ax﹣8在区间（4，+∞）上为增函数，∴对称轴x=≤4，解得：a≤32，故选：A．7．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【考点】函数的值．【分析】利用奇函数的性质，f（﹣1）=﹣f（1），即可求得答案．【解答】解：∵函数f（x）为奇函数，x＞0时，f（x）=x2+，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，故选A．8．定义区间（a，b）、[a，b）、（a，b]、[a，b]的长度均为d=b﹣a，用[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.2]=3，[﹣2.3]=﹣3．记{x}=x﹣[x]，设f（x）=[x]•{x}，g（x）=x﹣1，若用d表示不等式f（x）＜g（x）解集区间长度，则当0≤x≤3时有（）A．d=1 B．d=2 C．d=3 D．d=4【考点】其他不等式的解法．【分析】先化简f（x）=[x]•{x}=[x]•（x﹣[x]）=[x]x﹣[x]2，再化简f（x）＜（x），再分类讨论：①当x∈[0，1）时，②当x∈[1，2）时③当x∈[2，3]时，求出f（x）＜g（x）在0≤x≤3时的解集的长度．【解答】解：f（x）=[x]•{x}=[x]•（x﹣[x]）=[x]x﹣[x]2，g（x）=x﹣1f（x）＜g（x）⇒[x]x﹣[x]2＜x﹣1即（[x]﹣1）x＜[x]2﹣1当x∈[0，1）时，[x]=0，上式可化为x＞1，∴x∈∅；当x∈[1，2）时，[x]=1，上式可化为0＞0，∴x∈∅；当x∈[2，3]时，[x]﹣1＞0，上式可化为x＜[x]+1，∴x∈[2，3]；∴f（x）＜g（x）在0≤x≤3时的解集为[2，3]，故d=1，故选：A．二、填空题：本大题共6小题，共30分．9．若f（2x）=3x2+1，则函数f（4）= 13 ．【考点】函数的值．【分析】由2x=4得x=2，代入解析式即可得到结论．【解答】解：∵f（2x）=3x2+1，∴由2x=4得x=2，即f（4）=f（2×2）=3×22+1=12+1=13，故答案为：13．10．求值：2﹣（）+lg+（﹣1）lg1= ﹣3 ．【考点】有理数指数幂的化简求值．【分析】由已知条件利用对数函数、指数函数的性质和运算法则求解．【解答】解：2﹣（）+lg+（﹣1）lg1=﹣[（）3]﹣2+（）0=﹣﹣2+1=﹣3．故答案为：﹣3．11．设函数y=f（x+2）是奇函数，且x∈（0，2）时，f（x）=2x，则f（3.5）= ﹣1 ．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由x∈（0，2）时，f（x）=2x，可得f（0.5）=1．由于函数y=f（x+2）是奇函数，可得f（﹣x+2）=﹣f（x+2），即可得出．【解答】解：∵x∈（0，2）时，f（x）=2x，∴f（0.5）=1．∵函数y=f（x+2）是奇函数，∴f（﹣x+2）=﹣f（x+2），∴f（3.5）=﹣f（﹣1.5+2）=﹣f（0.5）=﹣1．故答案为：﹣1．12．函数f（x）=3x的值域是[0，+∞）．【考点】函数的值域．【分析】化分数指数幂为根式，再由x2≥0求得原函数的值域．【解答】解：f（x）=3x=，∵x2≥0，∴，则函数f（x）=3x的值域是[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．13．已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足f（2x﹣1）＜f（1）的x的取值范围是（0，1）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由f（x）为偶函数且在[0，+∞）上单调递增，便可由f（2x﹣1）＜f（1）得出|2x ﹣1|＜1，解该绝对值不等式便可得出x的取值范围．【解答】解：f（x）为偶函数；∴由f（2x﹣1）＜f（1）得，f（|2x﹣1|）＜f（1）；又f（x）在[0，+∞）上单调递增；∴|2x﹣1|＜1；解得0＜x＜1；∴x的取值范围是（0，1）．故答案为：（0，1）．14．函数f（x）的定义域为A，若x1，x2∈A且f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，则称f（x）为单函数．例如，函数f（x）=2x+1（x∈R）是单函数．下列命题：①函数f（x）=x2（x∈R）是单函数；②若f（x）为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）；③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，A中至多有一个元素与之对应；④函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数．其中正确的是②③．（写出所有正确的编号）【考点】命题的真假判断与应用；函数的值．【分析】在①中，举出反例得到函数f（x）=x2（x∈R）不是单函数；在②中，由互为逆否命题的两个命题等价判断正误；在③中，符合唯一的函数值对应唯一的自变量；在④中，在某一区间单调并不一定在定义域内单调．【解答】解：在①中，函数f（x）=x2（x∈R），由f（﹣1）=f（1），但﹣1≠1，得到函数f（x）=x2（x∈R）不是单函数，故①错误；在②中，“x1，x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）”的逆否命题是“若x1，x2∈A且f（x1）=f（x2）时总有x1=x2”．互为逆否命题的两个命题等价．故②的逆否命题为真，故②正确；在③中，符合唯一的函数值对应唯一的自变量，∴若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，A中至多有一个元素与之对应，故③正确；在④中，在某一区间单调并不一定在定义域内单调，∴f（x）不一定是单函数，故④错误．故答案为：②③．三、解答题：本大题共4小题，共50分．15．已知集合A={x|3≤x＜7}，B={2＜x＜10}，C={x|5﹣a＜x＜a}．（1）求A∪B，（∁R A）∩B；（2）若C⊆（A∪B），求a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算．【分析】（1）在数轴上表示出集合A，B，从而解得；（2）由题意分类讨论，从而求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵集合A={x|3≤x＜7}，B={2＜x＜10}在数轴上表示可得：故A∪B={x|2＜x＜10}，C R A={x|x＜3，或x≥7}（C R A）∩B={2＜x＜3，或7≤x＜10}；（2）依题意可知①当C=∅时，有5﹣a≥a，得；②当C≠∅时，有，解得；综上所述，所求实数a的取值范围为（﹣∞，3]．16．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，已知x≥0时，f（x）=x2﹣2x．（1）画出偶函数f（x）的图象的草图，并求函数f（x）的单调递增区间；（2）当直线y=k（k∈R）与函数y=f（x）恰有4个交点时，求k的取值范围．【考点】二次函数的性质；函数奇偶性的性质．【分析】（1）根据已知条件画出函数f（x）的图象，根据图象即可得到f（x）的单调递增区间；（2）通过图象即可得到k的取值范围．【解答】解：（1）画出f（x）的图象如下图：由图象知，函数f（x）单调递增区间为[﹣1，0]，[1，+∞）；（2）由图象可知，当﹣1＜k＜0时，直线与函数y=f（x）的图象的交点个数为4；∴k的取值范围为（﹣1，0）．17．已知g（x）=﹣x2﹣3，f（x）=ax2+bx+c（a≠0），函数h（x）=g（x）+f（x）是奇函数．（1）求a，c的值；（2）当x∈[﹣1，2]时，f（x）的最小值是1，求f（x）的解析式．【考点】函数奇偶性的性质；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）法一：化简h（x）=g（x）+f（x）=（a﹣1）x2+bx+c﹣3，由（a﹣1）x2﹣bx+c ﹣3=﹣（a﹣1）x2﹣bx﹣c+3对x∈R恒成立得到，从而求解，法二：化简h（x）=g（x）+f（x）=（a﹣1）x2+bx+c﹣3，由奇函数可得a﹣1=0，c﹣3=0，从而求解；（2）根据二次函数的性质，讨论对称轴所在的位置，从而确定f（x）的最小值在何时取得，从而求f（x）的解析式．【解答】解：（1）（法一）：f（x）+g（x）=（a﹣1）x2+bx+c﹣3，又f（x）+g（x）为奇函数，∴h（x）=﹣h（﹣x），∴（a﹣1）x2﹣bx+c﹣3=﹣（a﹣1）x2﹣bx﹣c+3对x∈R恒成立，∴，解得；（法二）：h（x）=f（x）+g（x）=（a﹣1）x2+bx+c﹣3，∵h（x）为奇函数，∴a﹣1=0，c﹣3=0，∴a=1，c=3．（2）f（x）=x2+bx+3，其图象对称轴为，当，即b≥2时，f（x）min=f（﹣1）=4﹣b=1，∴b=3；当，即﹣4≤b＜2时，，解得或（舍）；当，即b＜﹣4时，f（x）min=f（2）=7+2b=1，∴b=﹣3（舍），∴f（x）=x2+3x+3或∴．18．已知定义在R上的函数是奇函数（1）求a，b的值；（2）判断f（x）的单调性，并用单调性定义证明；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t﹣2t2）+f（﹣k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．【分析】（1）由f（x）是定义在R上的奇函数，知，故b=1，，，由此能求出a=b=1．（2），f（x）在R上是减函数．证明：设x1，x2∈R且x1＜x2，=﹣，由此能够证明f（x）在R上是减函数．（3）不等式f（t﹣2t2）+f（﹣k）＞0，等价于f（t﹣2t2）＞f（k），由f（x）是R上的减函数，知t﹣2t2＜k，由此能求出实数k的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴，解得b=1，∴，∴∴a•2x+1=a+2x，即a（2x﹣1）=2x﹣1对一切实数x都成立，∴a=1，故a=b=1．（2）∵a=b=1，∴，f（x）在R上是减函数．证明：设x1，x2∈R且x1＜x2则=﹣，∵x1＜x2，∴，，，∴f（x1）﹣f（x2）＞0即f（x1）＞f（x2），∴f（x）在R上是减函数，（3）∵不等式f（t﹣2t2）+f（﹣k）＞0，∴f（t﹣2t2）＞﹣f（﹣k），∴f（t﹣2t2）＞f（k），∵f（x）是R上的减函数，∴t﹣2t2＜k∴对t∈R恒成立，∴．11。
2022-2023北京101中学高一(上)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年北京市101中学高一（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．设集合A ＝{1，3，5，7}，B ＝{x |（x ﹣2）（x ﹣5）≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，3}B ．{3，5}C ．{5，7}D ．{1，7}2．若实数a 、b 满足a ＞b ＞0，下列不等式中恒成立的是（ ） A ．a +b ＞2√abB ．a +b ＜2√abC ．a2+2b ＞2√abD ．a2+2b ＜2√ab3．已知关于x 的方程x 2﹣6x +k ＝0的两根分别是x 1，x 2，且满足1x 1+1x 2=3，则k 的值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．函数f （x ）＝x +2x ，x ∈[1，3]的值域为（ ） A ．[2√2，3]B ．[3，113] C ．[2√2，113] D ．[3，+∞）5．已知f （x ）＝|x |，g （x ）＝x 2，设h （x ）={f(x)，f(x)＞g(x)g(x)，f(x)≤g(x)，函数h （x ）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知p ：x ≥k ，q ：2−x x+1＜0，如果p 是q 的充分不必要条件，则k 的取值范围是（ ）A ．[2，∞）B ．（2，+∞）C ．[1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1]7．已知奇函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增，且f （1）＝0，则不等式f(x)−f(−x)x＜0的解集为（ ）A ．（﹣1，0）∪（0，1）B ．（﹣1，0）∪（1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）8．已知函数f （x ）＝mx 2﹣mx ﹣1，对一切实数x ，f （x ）＜0恒成立，则m 的范围为（ ） A ．（﹣4，0）B ．（﹣4，0]C ．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）D ．（﹣∞，﹣4）∪[0，+∞）9．已知函数f(x)={−x 2−ax −7，x ≤1a x，x ＞1在R 上单调递增，则实数a 的取值范围（ ）A ．[﹣4，0）B ．（﹣∞，﹣2]C ．[﹣4，﹣2]D ．（﹣∞，0）10．设f （x ）是定义在R 上的函数，若存在两个不等实数x 1，x 2∈R ，使得f(x 1+x 22)=f(x 1)+f(x 2)2，则称函数f （x ）在R 上具有性质P ，那么，下列函数：①f （x ）＝2x ；②f （x ）={1x，x ≠00，x =0；③f （x ）＝x 2；④f （x ）＝|x 2﹣1|．具有性质P 的函数的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
大一第一学期高数1试题A及答案
2009—2010学年第一学期《高等数学I(一)》课程考试试卷(A 卷)参考答案及评分标准注意：1、本试卷共 3 页； 2、考试时间120分钟3、姓名、学号必须写在指定地方 阅卷负责人签名：一、填空题（共5个小题，每小题2分，共10分）.1.设，则 .()lim 1tt x f x t →+∞⎛⎫=+⎪⎝⎭()0x ≠=)3(ln f 2.设是的一个原函数，则= ．x e xsin +()f x ()f 'x 3.曲线的拐点坐标是 .16623-+=x x y 4.若，则 ．2121A dx x -∞=+⎰A =5． .21lim(2)cos2x x x →-=-二、单项选择题（共10个小题，每小题2分，共20分）.将每题的正确答案的代号A 、B 、C 或D 填入下表中.1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）.()f x []12,-()()()22F x f x f x =++A ．；B ．；C ．；D ．.[]30,-[]31,-112,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦102,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2．是函数的（ ）.3x =1()arctan 3f x x=-A ．连续点；B ．可去间断点；C ．跳跃间断点；D ．第二类间断点.3．当时，与等价，则（ ）.0→x 1ax e -x 2sin a = A ．1 ；B ．2 ；C ． ；D ．.2-214．函数 在处（）.()21sin,00,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩0=x A ．有定义但不连续； B ．连续但不可导； C ．连续且可导；D ．不连续且不可导.5.下列等式中正确的是（ ）．A ．； B .；()()ba d f x dx f x dx =⎰()()()x ad f x dx f x f a dx=-⎰C ．；D . .()()df x dx f x dx=⎰()()f x dx f x '=⎰6．函数（ ）.()21xf x x =+ A ．在内单调增加；B ．在内单调减少；(),-∞+∞(),-∞+∞C ．在内单调增加；D ．在内单调减少.()11,-()11,-7．若可导，且，则（）.()f u ()x y f e = A ．；B ．；()x dy f e dx '=()x x dy f e e dx '= C ．；D ．.()xxdy f e e dx =()xxdy f e e dx '⎡⎤=⎣⎦8．（ ）.20|1|x dx -=⎰A ．0 ；B ．2 ；C ．1 ；D ．.1-9．方程的通解是( ).sin y x '''=A .； B .；21231cos 2y x C x C x C =+++21231sin 2y x C x C x C =+++C .； D ..1cos y x C =+2sin 2y x =10.曲线与该曲线过原点的切线及轴围成的图形的面积为（ ）．xe y =y A ． ；B ．；10()xe ex dx -⎰1(ln ln )ey y y dy -⎰C ．； D ．．1()ex x e xe dx -⎰10(ln ln )y y y dy -⎰题号一二三四五六七八总分得分阅卷人得分阅卷人得分三峡大学 试卷纸 教学班号序号学号姓名………………….………….……答 题 不 要 超 过 密 封 线………….………………………………三、解下列各题（每小题6分，共12分）.1．计算.)lim x xx →+∞-2．计算．xx x x 1022lim ⎪⎭⎫⎝⎛-+→四、解下列各题（每小题6分，共12分).1.已知，求．076333=--++y xy x y 2=x dxdy2. 设函数由参数方程所确定，求和.)(x y y =⎩⎨⎧+==tt t y t x sin cos sin ln dx dy22dx y d五、解下列各题（每小题6分，共18分).1. 计算．⎰++dx xx x 221)(arctan 2．计算.204ln(1)limx x t dt x→-⎰3. 计算.220cos x e xdx π⎰阅卷人阅卷人阅卷人得分阅卷人得分三峡大学 试卷纸 教学班号序号学号 姓名………………….………….……答 题 不 要 超 过 密 封 线………….………………………………六、（本题10分）.设曲线上任意一点处的切线斜率为,且该曲线经过点，)(x f y =),(y x 2x x y +11,2⎛⎫⎪⎝⎭（1）求函数；)(x f y =（2）求曲线，,所围成的图形绕轴旋转所形成的旋转体的体积．)(x f y =0y =1x =x七、(本题10分).由半径为的圆上，割去一个扇形，把剩下的部分围成一个圆锥，试求割去扇形的中R 心角，使圆锥的容积为最大.S阅卷人得分三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号姓名……………….………….……答 题 不 要 超 过 密 封 线………….………………………………参考答案一、填空题1.3；2.sin x e x -3.()2,0-4.1π5. 0二、单项选择题题号12345678910答案DCBCCCBCAA三、解下列各题1. 解：)lim x xx →+∞3分limx =. 6分12=2．． 解：3分xx x x 1022lim ⎪⎭⎫⎝⎛-+→()222202lim 12x xx x x x x x -⋅-→⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭.6分()02lim2x xx x e→-=1e e ==四、解下列各题1. 解：两边分别对求导，得x ，3分22333360dy dy dyy x y x dx dx dx+++-= 当时，，代入上式，得2x =1y =-. 6分23x dy dx==- 2..解： 3分dx dy dydt dx dt=sin sin cos cos sin t t t tt t-++=sin t t = . 6分22dxy d dy dtdx dt'=sin cos cos sin t t t t t +=2sin sin cos cos t t t tt+=五、解下列各题1.．解：⎰++dx x x x 221)(arctan ()222arctan 11x xdx dx x x =+++⎰⎰ 3分()()()22211arctan arctan 21d x x d x x +=++⎰⎰. 6分()()3211ln 1arctan 23x x C =+++2．.解： 3分204ln(1)limx x t dtx→-⎰()232ln 1lim4x x x x→-= .6分220lim 2x x x →-=12=-3..解：2分220cos xe xdx π⎰()22sin xe d x π=⎰222200sin 2sin xx e x e xdx ππ⎡⎤=-⎣⎦⎰()2202cos xe e d x ππ=+⎰2222002cos 4cos xx e e x e xdx πππ⎡⎤=+-⎣⎦⎰5分22024cos x e e xdx ππ=--⎰.6分∴22cos xe xdx π⎰()125e π=-三峡大学 试卷纸 教学班号序号学号姓名………………….………….……答 题 不 要 超 过 密 封 线………….………………………………六、解：(1)，即，且当时，， 2分2y y x x '=+2y y x x '-=1x =12y =与之对应的齐次线性微分方程的通解为，y Cx = 令，将其代入非齐次线性方程得，所以，()y u x x =u x '=212u x C =+所以非齐次线性微分方程的通解为，代入初始条件得，312y Cx x =+0C =故所求函数为. 6分312y x =(2) .10分23102x V dx π⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰28π=七、解：设留下的扇形的中心角为，圆锥的高为，底面半径为，则其容积为ϕh r V ，又，213V r h π=2rR πϕ=h =故 4分V =()02ϕπ<<6分3224RV π'=令 得，0V '=ϕ=当时，时，，0ϕ<<0V '>2ϕπ<<0V'<因此为极大值点，又驻点唯一，从而也是最大值点. 8分ϕ=ϕ=即当割去扇形的中心角为时，圆锥的容积最大，2π. 10分3R 八、证明：方程在区间内有唯一实根.4013101xx dt t --=+⎰)1,0( 证明：令，()401311x f x x dt t =--+⎰则，()010f =-< ，()1401121f dt t =-+⎰0>由零点定理知，至少存在一点，使. 4分()0,1ξ∈()0f ξ=由，，()41301f x x'=->+()0,1x ∈知在内单调增加，()f x )1,0(所以方程在区间内有唯一实根. 8分4013101xx dt t --=+⎰)1,0(。
北京市一零一中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含解析
2019-2020学年北京市101中学高一第二学期期末数学试卷一､填空题1. 已知角α的终边经过点()3,4P -，则sin α=______. 【答案】45【解析】 【分析】由三角函数的定义可直接求得sin α.【详解】解：∵角α的终边经过点()3,4P -， ∴()224sin 534α==-+.故答案为：45. 【点睛】本题考查了三角函数的定义，考查了基本知识掌握情况，属于基础题. 2. 函数22()cos sin f x x x =-的最小正周期为 ． 【答案】π 【解析】试题分析： 因为()cos 2f x x =，所以函数f(x)＝cos 2x －sin 2x 的最小正周期为2.2T ππ== 考点：三角函数的周期3. 已知()1,2A ，()2,3B ，()2,5C -，则AB AC ⋅=______. 【答案】0 【解析】 【分析】首先求出AB ､AC 的坐标，而后可求0AB AC ⋅=. 【详解】解：()1,1AB =，()3,3AC =-，()13130AB AC ⋅=⨯-+⨯=.故答案为：0.【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示，属于基础题.4. 在△ABC 中,若2,3,30,a b A ===︒则角B 等于______ . 【答案】060或0120 【解析】∵2,23,30a b A ===︒∴由正弦定理sin sin a b A B=得：123sin 32sin 22b A B a === ∵b a >∴60B =︒或120︒ 故答案为060或01205. 设α，β是两个不同的平面，l 是直线且l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”的______.条件(参考选项：充分不必要，必要不充分，充分必要，既不充分也不必要). 【答案】充分不必要 【解析】 【分析】面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.根据题意由判断定理得l βαβ⊥⇒⊥.若αβ⊥，直线l α⊂则直线l β⊥，或直线l β∥，或直线l 与平面β相交，或直线l 在平面β内.由αβ⊥，直线l α⊂得不到l β⊥，故可得出结论.. 【详解】面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 因为直线l α⊂且l β⊥ 所以由判断定理得αβ⊥.所以直线l α⊂，且l βαβ⊥⇒⊥若αβ⊥，直线l α⊂则直线l β⊥，或直线l β∥，或直线l 与平面β相交，或直线l平面β内.所以“l β⊥”是“αβ⊥”成立的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要.【点睛】本题考查充分条件，必要条件的判断，涉及到线面、面面关系，属于基础题. 6. 如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是60，E 为1CC 的中点，则三棱锥C EBD -的体积是________.【答案】5 【解析】 【分析】由长方体1111ABCD A B C D -的体积为60,即160V BC DC CC =⋅⋅=,而三棱锥C EBD -的体积为1111322C EBD V BC DC CC -⎛⎫=⨯⋅⨯ ⎪⎝⎭,代入求解即可 【详解】由题,长方体1111ABCD A B C D -的体积为160V BC DC CC =⋅⋅=, 所以11111116053221212C EBD V BC DC CC BC DC CC -⎛⎫=⨯⋅⨯=⋅⋅=⨯= ⎪⎝⎭, 故答案为：5【点睛】本题考查三棱锥的体积,属于基础题 7. 在ABC 中，60A =︒，1b =3sin sin sin a b cA B C________．239【解析】 【分析】由已知利用三角形面积公式可求c ，进而利用余弦定理可求a 的值，根据正弦定理即可计算求解. 【详解】60A =︒，1b =31133sin 1222bc A c ==⨯⨯⨯, 解得4c =， 由余弦定理可得：2212cos 116214132a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯= 所以13239sin sin sin sin 3a b ca A B C A故答案为：393【点睛】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.8. 已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若3cm AB =，4cm AC =，AB AC ⊥，112cm AA =，则球O 的表面积为______2cm .【答案】169π 【解析】 【分析】由于直三棱柱111ABC A B C -的底面ABC 为直角三角形，我们可以把直三棱柱111ABC A B C -补成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，求出外接球的直径后，代入外接球的表面积公式，即可求出该三棱柱的外接球的表面积.【详解】由题意，三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱111ABC A B C -，底面ABC 为直角三角形，把直三棱柱111ABC A B C -补成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的直径， 所以外接球半径为222113341222++=， 则三棱柱111ABC A B C -外接球的表面积是22134169cm 2ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故答案为：169π.【点睛】本题考查几何体的外接球问题，属于基础题. 9. 如图，在矩形ABCD 中，2AB =，2BC =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF ⋅=，则AF BF ⋅的值是______.2 【解析】 【分析】根据所给的图形，把已知向量用矩形的边所在的向量来表示，做出要用的向量的模长，表示出要求得向量的数量积，注意应用垂直的向量数量积等于0，得到结果. 【详解】∵AF AD DF =+，()22AB AF AB AD DF AB AD AB DF AB DF DF ⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅==，∴1DF =，21CF =-，∴()()AE BF AB BEBC CF AB CF BE BC ⋅=++=⋅+⋅()221122222=--+⨯=-++=，故答案为：2.【点睛】本题考查平面向量数量积的运算，属于基础题.10. 如图，以正方形的各边为底可向外作四个腰长为1的等腰三角形，则阴影部分面积的最大值是___________.【答案】222+ 【解析】 【分析】设等腰三角形底角为θ，阴影面积为2sin2θ2cos2θ2++，根据正弦函数的图象与性质即可得到结果.【详解】设等腰三角形底角为θ，则等腰三角形底边长为2cos θ，高为sin θ， 阴影面积为：()21422cos θ2sin2θ2cos2θ22cos sin θθ⨯⨯⨯+=++ 22224sin πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,当8πθ=时，阴影面积的最大值为222+故答案为222+【点睛】本题考查平面图形的面积问题，考查三角函数的图象与性质，解题关键用等腰三角形底角为θ表示等腰三角形的底边与高.二､选择题11. 设向量a ，b 满足2a =，1b =，,60a b =︒，则2a b +=（ ） A. 2 B. 310D. 12【答案】B 【解析】 【分析】直接利用向量的模以及数量积的运算法则求解即可.【详解】解：向量a ，b 满足2a =，1b =，,60a b =︒， 则222124444214122a b a a b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯+=， 则223a b +=. 故选：B .【点睛】本题考查了利用向量的数量积求向量的模，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 12. 下列函数中，周期为1的奇函数是 ( ) A. y=1-2sin 2πxB. y=sin π2πx 3⎛⎫+⎪⎝⎭C. y=tanπ2x D. y=sin πxcos πx【答案】D 【解析】 【分析】对A ，利用二倍角的余弦公式化简后判断；对B 直接判断奇偶性即可；对C ，直接利用正切函数的周期公式判断即可；对D ，利用二倍角的正弦公式化简后判断即可.【详解】化简函数表达式y=1-2sin 2πx=cos ()2πx 是偶函数，周期为1，不合题意；y=sin π2πx 3⎛⎫+ ⎪⎝⎭的周期为1，是非奇非偶函数，周期为1，不合题意； y=tanπ2x 是奇函数，周期为2，不合题意； y=sinπxcosπx=12sin2πx 是奇函数，周期为1，合题意；故选D.【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及三角函数的周期公式，属于中档题.由函数()cos y A x ωϕ=+可求得函数的周期为2πω；由函数()sin y A x ωϕ=+可求得函数的周期为2πω；由函数()tan y A x ωϕ=+可求得函数的周期为πω. 13. 要想得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需将函数sin y x =的图象上所有的点A. 先向右平移π3个单位长度，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变 B. 先向右平移π6个单位长度，横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变C. 横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度D. 横坐标变伸长原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移π3个单位长度【答案】C 【解析】函数sin y x =的图象上所有的点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变得到sin2x y =，再向右平移π6个单位长度πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故选C14. 在ΔABC 中,2sin (22c a Ba b c c -=、、分别为角A B C 、、的对边),则ΔABC 的形状为A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】A 【解析】依题意，利用正弦定理及二倍角公式得sin sin 1cos 2sin 2C A BC --=，即sin sin cos A C B =，又()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，故sin cos 0B C =，三角形中sin 0B ≠，故πcos 0,2C C ==，故三角形为直角三角形，故选 A.15. 在正方体1AC 中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1A F 与平面1D AE 的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确．．．的是（ ）A. 点F 的轨迹是一条线段B. 1A F 与BE 是异面直线C. 1A F 与1D E 不可能平行D. 三棱锥1F ABD -的体积为定值【答案】C 【解析】 【分析】分别根据线面平行的性质定理以及异面直线的定义，体积公式分别进行判断．【详解】对于A ，设平面1AD E 与直线BC 交于点G ，连接AG 、EG ，则G 为BC 的中点 分别取1B B 、11B C 的中点M 、N ，连接AM 、MN 、AN ，11//A M D E ，1A M ⊂/平面1D AE ，1D E ⊂平面1D AE ， 1//A M ∴平面1D AE ．同理可得//MN 平面1D AE ， 1A M 、MN 是平面1A MN 内的相交直线∴平面1//A MN 平面1D AE ，由此结合1//A F 平面1D AE ，可得直线1A F ⊂平面1A MN ，即点F 是线段MN 上上的动点．A ∴正确． 对于B ，平面1//A MN 平面1D AE ，BE 和平面1D AE 相交，1A F ∴与BE 是异面直线，B ∴正确．对于C ，由A 知，平面1//A MN 平面1D AE ，1A F ∴与1D E 不可能平行，C ∴错误．对于D ，因为//MN EG ，则F 到平面1AD E 的距离是定值，三棱锥1F AD E -的体积为定值，所以D 正确； 故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质、空间位置关系、空间角、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三､解答题16. 已知函数()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的对称轴； （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值与最小值. 【答案】（1）对称轴方程为：23k x ππ=+(k Z ∈)；（2）最大值为2，最小值为1-. 【解析】 【分析】（1）直接利用正弦型函数的性质的应用求出函数的对称轴方程.（2）利用函数的定义域的应用求出函数的值域，进一步求出函数的最大和最小值.【详解】（1）函数()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.令262x k πππ-=+(k Z ∈)，解得23k x ππ=+(k Z ∈)，所以函数()f x 的对称轴方程为：23k x ππ=+(k Z ∈). （2）由于0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 故1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.则：()12f x -≤≤故当0x =时，函数的最小值为1-. 当3x π=时，函数的最大值为2.【点睛】本题考查正弦型函数的性质，属于基础题. 17. 在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2c =105A =︒，30C =︒（1）求b 的值 （2）ABC 的面积. 【答案】（1）2；（213+. 【解析】 【分析】（1）由A 与C 度数求出B 的度数，再由c 及C 的度数，利用正弦定理求出b 的值即可； （2）由b ，c 及sin A 的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC 的面积. 【详解】（1）∵105A =︒，30C =︒，∴45B =︒， 又2c =1sin 2C =， ∴由正弦定理sin sin b c B C =得：22sin 221sin 2c Bb C===；（2）∵2b =，2c =()61sin sin105sin 6045sin 60cos 45cos 60sin 45A +=︒=︒+︒=︒︒+︒︒=， ∴116113sin 2222ABC S bc A ++==⨯=△【点睛】本题考查正弦定理解三角形，考查三角形面积公式的应用，属于基础题. 18. 如图，三棱柱111ABC A B C -中，D ，E ，F 分别为棱AB ，BC ，11C B 中点.（1）求证：//AC 平面1B DE ； （2）求证：//AF 平面1B DE .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由已知利用三角形的中位线的性质可证//DE AC ，进而利用线面平行的判定定理即可证明//AC 平面1B DE .（2）由已知可证1B ECF 是平行四边形，进而证明1//FC B E ，利用线面平行的判定证明//FC 平面1B DE ，根据面面平行的判定证明平面//ACF 平面1B DE ，根据面面平行的性质即可可证//AF 平面1B DE .【详解】（1）在ABC 中，D ，E 分别为棱AB ，BC 中点. 所以//DE AC ，因为DE ⊂平面1B DE ，AC ⊄平面1B DE ， 所以//AC 平面1B DE .（2）在三棱柱111ABC A B C -中，11BC BC ∥， 因为E ，F 分别为BC ，11C B 中点， 所以1CE B F ∥，所以1B ECF 是平行四边形， 所以1//FC B E ，因为⊄FC 平面1B ED ，1B E ⊂平面1B ED ， 所以//FC 平面1B DE ，又因为//AC 平面1B DE ，AC CF C ⋂=， 所以平面//ACF 平面1B DE ， 所以//AF 平面1B DE .【点睛】本题考查线面平行的证明，考查利用面面平行证明面面平行，属于基础题. 19. 已知ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1cos 2a C cb +=. （1）求角A 的大小；（2）若1a =，求ABC 周长l 的最大值. 【答案】（1）3A π=；（2）3.【解析】 【分析】（1）由题意利用正弦定理，两角和差的三角公式，求得cos A 的值，可得A 的值.（2）利用正弦定理求得b ､c 的解析式，可得周长l 的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得ABC 的周长l 的最大值. 【详解】解：（1）ABC 中，∵cos 12a cC b b+=， ∴由正弦定理可得()1sin cos sin sin sin sin cos cos sin 2A C CB AC A C A C +==+=+， ∴1sin cos sin 2C A C =，∴1cos 2A =. 结合()0,A π∈，可得3A π=.（2）由正弦定理得sin sin 3B a B A b ==，3c C =， ∴周长)()11sin sin 1sin sin 33a b c B C B A B =++=+=++⎡⎤⎣⎦3112sin cos12sin226B B Bπ⎛⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.∵3Aπ=，∴20,3Bπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，5,666Bπππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴1sin,162Bπ⎛⎫⎛⎤+∈⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，故ABC的周长l的最大值为3.【点睛】本题考查了正弦定理的边角互化、三角恒等变换以及正弦函数的性质，属于基础题.20. 如图1，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，25AB AC==，4BC=．将△ADE沿DE折起到△1A DE的位置，使得平面1A DE⊥平面BCED，F为1A C的中点，如图2．（1）求证：//EF平面1A BD；（2）求证：平面1AOB⊥平面1A OC；（3）线段OC上是否存在点G，使得OC⊥平面EFG？说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】试题分析：（1）取线段1A B的中点H，由三角形中位线性质以及平行四边形性质得四边形DEFH为平行四边形，即得//EF HD．再根据线面平行判定定理得结论，（2）先根据等腰三角形性质得1A O DE⊥．再根据面面垂直性质定理得1A O⊥平面BCED，即得1CO A O⊥，根据勾股定理得CO BO⊥，所以由线面垂直判定定理得CO⊥平面1A OB，最后根据面面垂直判定定理得结论，（3）假设线段OC上存在点G，使得OC⊥平面EFG，则EO EC=，与条件矛盾.试题解析：解：（1）取线段1A B 的中点H ，连接HD ，HF ．因为在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以 //DE BC ，12DE BC =． 因为 H ，F 分别为1A B ，1A C 的中点，所以 //HF BC ，12HF BC =， 所以 //HF DE ，HF DE =，所以 四边形DEFH 为平行四边形，所以 //EF HD ． 因EF ⊄平面1A BD ， HD ⊂平面1A BD ，所以 //EF 平面1A BD ．（2）因为在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以 AD AE =． 所以11A D A E =，又O 为DE 的中点， 所以 1A O DE ⊥．因为平面1A DE ⊥平面BCED ，且1AO ⊂平面1A DE ， 所以 1A O ⊥平面BCED ，所以 1CO A O ⊥． 在△OBC 中，4BC =，易知 22OB OC == 所以 CO BO ⊥，所以 CO ⊥平面1A OB ，所以 平面1AOB ⊥平面1A OC ． （3）线段OC 上不存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ． 否则，假设线段OC 上存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ， 连接 GE ，GF ，则必有 OC GF ⊥，且OC GE ⊥．在Rt △1A OC 中，由F 为1A C 的中点，OC GF ⊥，得G 为OC 的中点． 在△EOC 中，因为OC GE ⊥，所以EO EC =， 这显然与1EO =，5EC =矛盾！所以线段OC 上不存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ．。
北京101中学2022-2023学年高一数学第一学期期末监测试题含解析
则有 ，即 ，即函数 是周期为4的周期函数，
所以 ，
故答案为：
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）由图象得到 ，且 ，得到 ，结合五点法，列出方程求得 ，即可得到函数的解析式；
（2）由题意，求得 ， ，结合利用两角和的正弦公式，即可求解.
【详解】由题意，“ ”是“ ”的充分不必要条件
故
故
故选：B
5、C
【解析】先计算弓所在的扇形的弧长，算出其圆心角后可得双手之间的距离.
【详解】
弓形所在的扇形如图所示，则 的长度为 ，
故扇形的圆心角为 ，故 .
故选：C.
6、B
【解析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定，即可求解，得到答案.
D选项： ，排除；
根据图像知
选项： ，排除；
故选：
【点睛】本题考查了三角函数图像的识别，计算特殊值可以快速排除选项，是解题的关键.
8、D
【解析】∵a∥α，∴a与α没有公共点，b⊂α，∴a、b没有公共点，
∴a、b平行或异面．
故选D
9、D
【解析】写出与 角终边相同的角的集合，即可得出结论.
【详解】与 角终边相同角的集合为 ，
9．与 角的终边相同的最小正角是（）
A. B.
C. D.
10．下列函数中，在R上为增函数的是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知向量 ， ，则向量 在 方向上的投影为___________.
12．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算方法.如图所示，弧田是由圆弧 和其对弦 围成的图形，若弧田所在圆的半径为6，弦 的长是 ，则弧田的弧长为________；弧田的面积是________.
2019-2020学年北京市101中学高一(上)期中数学试卷试题及答案(PDF版 含答案)
奇函数，
f (x) f (x) ， g(x) f (x) x ，
g(x) f (x) x ，
g(x) f (x) x f (x) x g(x) ， 对于任意的 x ， y R ，有 | f (x) f ( y) || x y | ，
g(2x x2 ) g(x 2) 0 的解集是 ( )
A． ( ，1) (2 ， ) C． ( ， 1](2, )
B． (1, 2) D． (1, 2)
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．
9．已知 x1 ， x2 是方程 x2 2x 5 0 的两根，则 x12 2x1 x1x2 的值为
2．“ x 2 ”是“ x2 4 ”的 ( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．下列函数中，在区间 (1, ) 上为增函数的是 ( )
A． y 3x 1
B． y 2 x
C． y x2 4x 5 D． y | x 1| 2
f （1） g （1）的值等于 ．
13．若函数 f (x) x2 2x 1在区间 [a ，a 2] 上的最小值为 4，则实数 a 的取值集合为 ．
14．已知函数
f
(x)
x | x x, x
| 2x, x a a
（1）若 a 0 ，则函数 f (x) 的零点有
g(2x x2 ) g(x 2) 0 的解集是 ( )
A． ( ，1) (2 ， ) C． ( ， 1](2, )
B． (1, 2) D． (1, 2)
【解答】解：由函数 f (x 1) 的对称中心是 (1, 0) ，可得 f (x) 的图象关于 (0,0) 对称即 f (x) 为
2019-2020学年北京市101中学高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年北京市101中学高一第二学期期末数学试卷一、填空题（共10小题）.1．已知角α的终边经过点P（﹣3，4），则sinα＝．2．已知f（x）＝cos2x﹣sin2x，则f（x）的最小正周期是．3．已知A（1，2），B（2，3），C（﹣2，5），则＝；4．在△ABC中，a＝2，b＝2，A＝30°，则角B＝．5．设α，β是两个不同的平面，1是直线且1⊂α，则“1⊥β”是“α⊥β”的条件（参考选项：充分不必要，必要不充分，充分必要，既不充分也不必要）．6．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为60，E为CC1的中点，则三棱锥E﹣BCD的体积是．7．若在△ABC中，∠A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则＝．8．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3cm，AC＝4cm，AB ⊥AC，AA1＝12cm，则球O的表面积为cm2．9．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若＝，则的值是．10．如图，以正方形的各边为底可向外作四个腰长为1的等腰三角形，则阴影部分面积的最大值是．二、选择题（共5小题）.11．设向量，满足||＝2，||＝1，＜，＞＝60°，则|+2|＝（）A．2 B．2 C．D．1212．下列函数中，周期为1的奇函数是（）A．y＝1﹣2sin2πx B．C．D．y＝sinπx cosπx13．要想得到函数的图象，只需将函数y＝sin x的图象上所有的点（）A．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变B．先向右平移个单位长度，横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变C．横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度D．横坐标变伸长原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度14．在△ABC中，＝sin2（a、b、c分别为角A、B、C的对边），则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形15．在正方体AC1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F与平面D1AE 的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确的是（）A．点F的轨迹是一条线段B．A1F与BE是异面直线C．A1F与D1E不可能平行D．三棱锥F﹣ABD1的体积为定值三、解答题共5小题，共55分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16．已知函数f（x）＝2sin（2x﹣）．（1）求函数f（x）的对称轴；（2）当x∈[0，]时，求函数f（x）的最大值与最小值．17．在△ABC中，a，b，c分别是角A．B，C的对边，且c＝（1）求b的值（2）△ABC的面积．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E，F分别为棱AB，BC，C1B1中点．（1）求证：AC1∥平面B1DE；（2）求证：AF∥平面B1DE．19．已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos C+c＝b．（1）求角A的大小；（2）若a＝1，求△ABC周长l的最大值．20．如图1，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，，BC＝4．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，F为A1C 的中点，如图2．（Ⅰ）求证：EF∥平面A1BD；（Ⅱ）求证：平面A1OB⊥平面A1OC；（Ⅲ）线段OC上是否存在点G，使得OC⊥平面EFG？说明理由．参考答案一、填空题．共10道小题．每道小题4分，共40分．1．已知角α的终边经过点P（﹣3，4），则sinα＝．【分析】由三角函数的定义可直接求得sinα．解：∵知角a的终边经过点P（﹣3，4），∴sinα＝＝．故答案为：．2．已知f（x）＝cos2x﹣sin2x，则f（x）的最小正周期是π．【分析】利用二倍角的余弦函数以及函数的周期求解即可．解：函数f（x）＝cos2x﹣sin2x＝cos2x，函数的周期为：＝π．故答案为：π．3．已知A（1，2），B（2，3），C（﹣2，5），则＝0；【分析】首先求出、的坐标，而后可求•＝0．解：＝（1，1），＝（﹣3，3），•＝1×（﹣3）+1×3＝0．故答案为：0．4．在△ABC中，a＝2，b＝2，A＝30°，则角B＝60°或120°．【分析】由已知及正弦定理可求sin B的值，结合范围B∈（30°，180°），可求B的值．解：∵，A＝30°，∴由正弦定理，可得：sin B＝＝＝，∵b＞a，可得：B∈（30°，180°），∴B＝60°或120°．故答案为：60°或120°．5．设α，β是两个不同的平面，1是直线且1⊂α，则“1⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件（参考选项：充分不必要，必要不充分，充分必要，既不充分也不必要）．【分析】面面平行的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．根据题意由判断定理得l⊥β⇒α⊥β．若α⊥β，直线l⊂α则直线l⊥β，或直线l∥β，或直线l与平面β相交，或直线l在平面β内．由α⊥β，直线l⊂α得不到l⊥β，故可得出结论．．解：面面平行的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．因为直线l⊂α，且l⊥β所以由判断定理得α⊥β．所以直线l⊂α，且l⊥β⇒α⊥β若α⊥β，直线l⊂α则直线l⊥β，或直线l∥β，或直线l与平面β相交，或直线l在平面β内．所以“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．6．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为60，E为CC1的中点，则三棱锥E﹣BCD的体积是5．【分析】设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，由题意可得abc＝60，再由棱锥体积公式求得三棱锥E﹣BCD的体积．解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，由题意可得，abc＝60，∵E为CC1的中点，∴．故答案为：5．7．若在△ABC中，∠A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则＝．【分析】又A的度数求出sin A和cos A的值，根据sin A的值，三角形的面积及b的值，利用三角形面积公式求出c的值，再由cos A，b及c的值，利用余弦定理求出a的值，最后根据正弦定理及比例性质即可得到所求式子的比值．解：由∠A＝60°，得到sin A＝，cos A＝，又b＝1，S△ABC＝，∴bc sin A＝×1×c×＝，解得c＝4，根据余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝1+16﹣4＝13，解得a＝，根据正弦定理＝＝＝＝，则＝．故答案为：8．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3cm，AC＝4cm，AB ⊥AC，AA1＝12cm，则球O的表面积为169πcm2．【分析】由于直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面ABC为直角三角形，我们可以把直三棱柱ABC﹣A1B1C1补成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，求出外接球的直径后，代入外接球的表面积公式，即可求出该三棱柱的外接球的表面积．解：由题意，三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面ABC为直角三角形，把直三棱柱ABC﹣A1B1C1补成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，所以外接球半径为＝13，则三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的表面积是4πR2＝169πcm2．故答案为：169π．9．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若＝，则的值是．【分析】根据所给的图形，把已知向量用矩形的边所在的向量来表示，做出要用的向量的模长，表示出要求得向量的数量积，注意应用垂直的向量数量积等于0，得到结果．解：∵，＝＝＝＝||＝，∴||＝1，||＝﹣1，∴＝（）（）＝＝﹣＝﹣2++2＝，故答案为：10．如图，以正方形的各边为底可向外作四个腰长为1的等腰三角形，则阴影部分面积的最大值是2+2．【分析】由三角函数的定义设等腰三角形的底角为θ，则θ∈（0，），则等腰三角形的底边为2cosθ，高为sinθ，由二倍角公式及辅助角公式S阴＝（2cosθ）2+4×＝2sin2θ+2cos2θ+2＝2sin（2θ+）+2，再求函数的最大值即可解：设等腰三角形的底角为θ，则θ∈（0，），则等腰三角形的底边为2cosθ，高为sinθ，则S阴＝（2cosθ）2+4×＝2sin2θ+2cos2θ+2＝2sin（2θ+）+2，又2（，），当2θ＝，即时，S阴取最大值2+2，故答案为：2+2．二、选择题．共5道小题，每道小题5分，共25分．每道小题给出的选项中有且仅有一个选项正确．11．设向量，满足||＝2，||＝1，＜，＞＝60°，则|+2|＝（）A．2 B．2 C．D．12【分析】直接利用向量的模以及数量积的运算法则求解即可．解：向量，满足||＝2，||＝1，＜，＞＝60°，则|+2|2＝＝4+4××1+4＝12，则|+2|＝2．故选：B．12．下列函数中，周期为1的奇函数是（）A．y＝1﹣2sin2πx B．C．D．y＝sinπx cosπx【分析】对A先根据二倍角公式化简为y＝cos2πx为偶函数，排除；对于B验证不是奇函数可排除；对于C求周期不等于1排除；故可得答案．解：∵y＝1﹣2sin2πx＝cos2πx，为偶函数，排除A．∵对于函数，f（﹣x）＝sin（﹣2πx+）≠﹣sin（2πx+），不是奇函数，排除B．对于，T＝≠1，排除C．对于y＝sinπx cosπx＝sin2πx，为奇函数，且T＝，满足条件．故选：D．13．要想得到函数的图象，只需将函数y＝sin x的图象上所有的点（）A．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变B．先向右平移个单位长度，横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变C．横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度D．横坐标变伸长原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度【分析】根据函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解：将函数y＝sin x的图象上所有的点横坐标缩短为原来的倍，可得y＝sin2x，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，可得y＝sin2（x﹣）＝sin（2x﹣）．故选：C．14．在△ABC中，＝sin2（a、b、c分别为角A、B、C的对边），则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形【分析】由倍角公式化简已知可得＝，结合余弦定理可得＝，可得：a2+b2＝c2，即可判定得解．解：∵＝sin2，∴＝，∵cos B＝，又由余弦定理可得cos B＝，∴可得：a2+b2＝c2，∴三角形为以∠C为直角的直角三角形．故选：A．15．在正方体AC1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F与平面D1AE 的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确的是（）A．点F的轨迹是一条线段B．A1F与BE是异面直线C．A1F与D1E不可能平行D．三棱锥F﹣ABD1的体积为定值【分析】分别根据线面平行的性质定理以及异面直线的定义，以及体积公式分别进行判断．解：对于A．设平面AD1E与直线BC交于点G，连接AG、EG，则G为BC的中点分别取B1B、B1C1的中点M、N，连接AM、MN、AN，则∵A1M∥D1E，A1M⊄平面D1AE，D1E⊂平面D1AE，∴A1M∥平面D1AE．同理可得MN∥平面D1AE，∵A1M、MN是平面A1MN内的相交直线∴平面A1MN∥平面D1AE，由此结合A1F∥平面D1AE，可得直线A1F⊂平面A1MN，即点F是线段MN上上的动点．∴A正确．对于B．∵平面A1MN∥平面D1AE，BE和平面D1AE相交，∴A1F与BE是异面直线，∴B正确．对于C，由A知，平面A1MN∥平面D1AE，∴A1F与D1E不可能平行，∴C错误．对于D，因为MN∥EG，则F到平面AD1E的距离是定值，三棱锥F﹣AD1E的体积为定值，所以D正确；故选：C．三、解答题共5小题，共55分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16．已知函数f（x）＝2sin（2x﹣）．（1）求函数f（x）的对称轴；（2）当x∈[0，]时，求函数f（x）的最大值与最小值．【分析】（1）直接利用正弦型函数的性质的应用求出函数的对称轴方程．（2）利用函数的定义域的应用求出函数的值域，进一步求出函数的最大和最小值．解：（1）函数f（x）＝2sin（2x﹣）．令2x﹣（k∈Z），解得x＝（k∈Z），所以函数f（x）的对称轴方程为：x＝（k∈Z）．（2）由于x∈[0，]，所以，故sin（2x﹣）．则：﹣1≤f（x）≤2．故：当x＝0时，函数的最小值为﹣1．当x＝时，函数的最大值为2．17．在△ABC中，a，b，c分别是角A．B，C的对边，且c＝（1）求b的值（2）△ABC的面积．【分析】（1）由A与C度数求出B的度数，再由c及C的度数，利用正弦定理求出b 的值即可；（2）由b，c及sin A的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．解：（1）∵A＝105°，C＝30°，∴B＝45°，又c＝，sin C＝，∴由正弦定理＝得：b＝＝＝2；（2）∵b＝2，c＝，sin A＝sin105°＝sin（60°+45°）＝sin60°cos45°+cos60°sin45°＝，∴S△ABC＝bc sin A＝×2××＝．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E，F分别为棱AB，BC，C1B1中点．（1）求证：AC1∥平面B1DE；（2）求证：AF∥平面B1DE．【分析】（1）由已知利用三角形的中位线的性质可证DE∥AC，进而利用线面平行的判定定理即可证明AC∥平面B1DE．（2）由已知可证B1ECF是平行四边形，进而证明FC∥B1E，利用线面平行的判定证明FC∥平面B1DE，根据面面平行的判定证明平面ACF∥平面B1DE，根据面面平行的性质即可可证AF∥平面B1DE．【解答】证明：（1）在△ABC中，D，E分别为棱AB，BC中点．所以DE∥AC，因为DE⊂平面B1DE，AC⊄平面B1DE，所以AC∥平面B1DE．（2）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC B1C1，因为E，F分别为BC，C1B1中点，所以CE B1F，所以B1ECF是平行四边形，所以FC∥B1E，因为FC⊄平面B1ED，B1E⊂平面B1ED，所以FC∥平面B1DE，又因为AC∥平面B1DE，AC∩CF＝C，所以平面ACF∥平面B1DE，所以AF∥平面B1DE．19．已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos C+c＝b．（1）求角A的大小；（2）若a＝1，求△ABC周长l的最大值．【分析】（1）由题意利用正弦定理，两角和差的三角公式，求得cos A的值，可得A的值．（2）利用正弦定理求得b、c的解析式，可得周长l的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得△ABC的周长l的最大值．解：（1）△ABC中，∵，∴由正弦定理可得sin A cos C+sin C＝sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C，∴sin C＝cos A sin C，∴cos A＝．结合A∈（0，π），可得A＝．（2）由正弦定理得，∴周长＝．∵，∴，∴，故△ABC的周长l的最大值为3．20．如图1，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，，BC＝4．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，F为A1C的中点，如图2．（Ⅰ）求证：EF∥平面A1BD；（Ⅱ）求证：平面A1OB⊥平面A1OC；（Ⅲ）线段OC上是否存在点G，使得OC⊥平面EFG？说明理由．【分析】（Ⅰ）取线段A1B的中点H，连接HD，HF，推导出四边形DEFH为平行四边形，从而EF∥HD．由此能证明EF∥平面A1BD．（Ⅱ）推导出A1O⊥DE，CO⊥A1O，CO⊥BO，从而CO⊥平面A1OB，由此能证明平面A1OB⊥平面A1OC．（Ⅲ）假设线段OC上存在点G，使得OC⊥平面EFG，连接GE，GF，则必有OC⊥GF，且OC⊥GE．推导出EO＝EC，这与EO＝1，矛盾，从而线段OC上不存在点G，使得OC⊥平面EFG．【解答】（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）取线段A1B的中点H，连接HD，HF．（1分）因为在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC，．因为H，F分别为A1B，A1C的中点，所以HF∥BC，，所以HF∥DE，HF＝DE，所以四边形DEFH为平行四边形，所以EF∥HD．因为EF⊄平面A1BD，HD⊂平面A1BD，所以EF∥平面A1BD．（Ⅱ）因为在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，所以AD＝AE．所以A1D＝A1E，又O为DE的中点，所以A1O⊥DE．因为平面A1DE⊥平面BCED，且A1O⊂平面A1DE，所以A1O⊥平面BCED，所以CO⊥A1O．在△OBC中，BC＝4，OB＝OC＝＝＝2，所以CO⊥BO，所以CO⊥平面A1OB，所以平面A1OB⊥平面A1OC．解：（Ⅲ）线段OC上不存在点G，使得OC⊥平面EFG．否则，假设线段OC上存在点G，使得OC⊥平面EFG，连接GE，GF，则必有OC⊥GF，且OC⊥GE．在Rt△A1OC中，由F为A1C的中点，OC⊥GF，得G为OC的中点．在△EOC中，因为OC⊥GE，所以EO＝EC，这与EO＝1，矛盾！所以线段OC上不存在点G，使得OC⊥平面EFG．。
北京101中学2021学年下学期高一年级期末考试数学试卷
北京101中学2020-2021学年下学期高一年级期末考试数学试卷一、选择题：共10小题。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知=2−i ，则i z z ++= A2−2iB4−iC22iD4i2．下列区间中，函数f =7sin −6π单调递增的区间是 A0，2πB 2π，π Cπ，32π D 32π，2π3．在△ABC 中，已知a ，b =2，B =45°，则A =A30°或60° B30° C60°或120° D150°4．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内．直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“α⊥β”是“a ⊥b ”的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件5．在△ABC 中，C =90°，AC =4，BC =3，点·CB CP 9492，n 是两条不同的直线，下列命题中错误的是 A 若m ⊥α，n ∥m ，n ⊂β，则α⊥β B 若m ⊂α，α∥β，n ⊂β，则n ∥m C 若m ⊥α，α∥β，n ⊥β，则n ∥mD 若β⊥α，α∩β=n ，m ⊂α，n ⊥m ，则m ⊥β7．若tanθ=−2，则()sin 1sin2sin cos θθθθ+=+ A 65-B 25-C25D568．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是 A 该地农户家庭年收入低于万元的农户比率估计为6% B 该地农户家庭年收入不低于万元的农户比率估计为10% C 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过万元D 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4．5万元至8．5万元之间9．如图，在空间四边形ABCD 中，两条对角线AC ，BD 互相垂直，且长度分别为4和6，平行于这两条对角线的平面与边AB ，BC ，CD ，DA 分别相交于点E ，F ，G ，H ，记四边形EFGH 的面积为y ，设BEx AB=，则A 函数y =f 的值域为0，4]B 函数y =f 的最大值为8C 函数y =f 在0，13上单调递增 D 函数y =f 满足f =f23− 10．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则A 甲与丙相互独立B 甲与丁相互独立C 乙与丙相互独立D 丙与丁相互独立二、填空题：共6小题。
《高等数学1(一)》课程考试试卷A及答案
《高等数学1（一）》课程考试试卷(A 卷参考答案)注意：1、本试卷共3页； 2、考试时间:120分钟； 3、姓名、学号必须写在指定地方。
一. 单项选择题，请将答案填入题后的方括号内(每小题2分， 共20分)1．与函数2()f x ln x =相同的函数是[ C ]. A ．lnx B ．21()2ln x C ．lnx D ．ln x2．若(1)(2)(3)(4)(5)lim (32)x x x x x x x αβ→∞-----=-，则α与β的值为[ D ]. A ．11,3αβ== B ．15,3αβ== C ．511,3αβ== D ．515,3αβ==3．设函数()y f x =在点0x 处可导，dy 为()f x 在0x 处的微分，当自变量x 由0x 增加到0x x +∆时， 极限0limx y dyx∆→∆-∆等于[ B ].A ．－1B ．0C ．1D ．∞4．若()f x 在x a =的某个邻域内有定义，则()f x 在x a =处可导的一个充分条件是[ D ].A ．1lim [()()]h h f a f a h →+∞+-存在B ．0(2)()lim h f a h f a h h→+-+存在C ．0()()lim2h f a h f a h h →+--存在 D ．0()()lim h f a f a h h→--存在5．已知函数1sin ,0(),0x x f x xax b x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩在(,)-∞+∞内连续，则a 与b 等于[ C ].A ．1,1a b ==B ．0,a b R =∈C ．,0a R b ∈=D ．,a R b R ∈∈6．若函数32()f x x ax bx =++在1x =处取得极值2-，则下列结论中正确的是[ B ].A ．3,0a b =-=，且1x =为函数()f x 的极小值点B ．0,3a b ==-，且1x =为函数()f x 的极小值点C ．1,0a b =-=，且1x =为函数()f x 的极大值点D ．0,3a b ==-，且1x =为函数()f x 的极大值点7．设1()1f x x =-，其n 阶麦克劳林展开式的拉格朗日型余项()n R x 等于[ C ]. A ．11,(01)(1)(1)n n x n x θθ++<<+- B ．11(1),(01)(1)(1)n n n x n x θθ++-<<+-C ．12,(01)(1)n n x x θθ++<<-D ．11(1),(01)(1)n n n x x θθ++-<<-8．若sin 2x 为函数()f x 的一个原函数，则()xf x dx ⎰等于[ D ]. A ．sin 2cos 2x x x C ++ B ．sin 2cos 2x x x C -+C ．1sin 2cos 22x x x C -+ D ．1sin 2cos 22x x x C ++9．若非零向量,,a b c满足0a b ⋅= 与0a c ⨯= ，则b c ⋅ 等于[ A ].A ．0B ．－1C ．1D ．310．直线2020x y z x y z -+=⎧⎨+-=⎩与平面1x y z ++=的位置关系是[ C ].A ．直线在平面内B ．平行C ．垂直D ．相交但不垂直二．填空题(每小题2分，共10分)1．一质点作直线运动，其运动规律为426s t t t =-+，则速度增加的时刻t = 1 . 2．若21arctan (1)2y x x ln x =-+，则dy =arctan xdx . 3．已知21adx x π+∞-∞=+⎰，则a = 1 .4．已知()xf x e =，则()f lnx dx x'=⎰ x C + . 5．设向量,,m n p 满足0m n p ++=，且6m = ，8n = ，10p = ，则m n n p p m ⨯+⨯+⨯=144 .三．求解下列各题（每小题5分，共10分)阅卷人 得分阅卷人 得分阅卷人 得分三峡大学试卷 教学班号 序号 班级学号 姓名密 封 线1．11lim(1)21n n n +→∞-+解：原式=((21)(1)1)/21lim(1)21n n n -+-+→∞-+ 2=(21)(1/2)(1/2)11lim(1)lim(1)2121n n n n n -+-→∞→∞-⋅-++ 41/2e -= 52．20(13)lim (sec cos )x ln x x x →+-解：原式=203cos lim (1cos )(1cos )x x xx x →-+ 2=223cos lim1(1cos )2x x x x x →+ 4=6 5四. 求解下列各题（每小题6分，共12分)1．若方程arctan 1xyy e =+确定了y 是x 的函数，求函数y 的微分dy . 解：原方程两边同时对x 求导，有2()1xyy e y xy y ''=++ 则22(1)1(1)xy xyy y e y x y e+'=-+ 4 则22(1)1(1)xyxyy y e dy dx x y e +=-+ 62．设参数方程21cos x t y t⎧=+⎨=⎩确定了y 是x 的函数，求22d ydx .解：sin 2dy tdx t-= 3 222cos sin 122t t td y t dx t-=- 5 3sin cos 4t t tt-= 6五．求解下列各题（每小题6分，共18分)1．222()lnx dx xlnx +⎰解：原式=212()()d xlnx xlnx ⎰ 42C xlnx-=+ 6 2．222max{,}x x dx -⎰解：原式=0122221x dx xdx x dx -++⎰⎰⎰ 4323012201[][][]323x x x -=++ 5=11/2 63．设21sin ()x tf x dt t =⎰，求10()xf x dx ⎰解：21100()()()2x xf x dx f x d =⎰⎰ 2221100[()](())22x x f x d f x =-⎰ 422112200sin 02sin 2x x xdx x x dx x =-=-⎰⎰ 2101[cos ]2x =cos112-= 6六. （本题10分）y阅卷人 得分阅卷人 得分阅卷人 得分已知星形线33cos sin x a ty a t⎧=⎨=⎩如右图所示，其中0a >， a 1） 计算星形线的全长； a - 0 a x 2） 求星形线与坐标轴所围成图形的面积.解：1）长度 2224()()dy dx L dt dt dtπ=+⎰2 a - 222249sin cos a t tdt π=⎰46a = 52）面积024202443sin cos a S ydx a t tdt π==-⎰⎰ 82422012sin cos at tdt π=⎰238a π= 10七. （本题7分）已知某直角三角形的边长之和为常数，求该直角三角形面积的最大值. 解：设两直角边与斜边分别为,,x y z ，其和为常数k ，所求面积为S因x y z k ++=及222x y z +=，则222()kx k y x k -=- 3则221224()kx xk S xy x k -==-，且222(24)()4()k x kx k S x x k -+'=- 有驻点222x k -= 5 则22max132241282S k k -==+为所求 7八. （本题7分）求过点(2,1,3)M 且与直线11321x y z+-==-垂直相交的直线方程. 解：记直线111:321x y zL +-==-，设过点(2,1,3)M 且垂直相交于直线1L 的平面为π 则平面π方程为3(2)2(1)(3)0x y z -+---= 2令11321x y zt +-===-则13,12,x t y t z t =-+=-+=- 代入平面π得3/7t =，即交点为2133(,,)777A - 4以12624(,,)777MA --= 为所求直线的方向向量得到 所求直线为：213214x y z ---==- 7九. （本题6分）设函数()f x 在闭区间[0,1]上连续且0()1f x <<，试判断方程02()1x x f t dt -=⎰在(0,1)内有几个实根，并证明你的结论. 证：记0()2()1x g x x f t dt =--⎰则10(0)10,(1)1()0g g f t dt =-<=->⎰2且0()1f x <<知()2()0g x f x '=->，即在闭区间[0,1]上单调增加 4 故02()1x x f t dt -=⎰在(0,1)内有一个实根 6阅卷人 得分阅卷人 得分阅卷人 得分。
北京101中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含解析
=，则cosB.【答案】ααα．故选：D．M={N={ZB. N MC. M N=D.∴又；下列函数为奇函数，且在（－A. B. C. D. 【答案】B）＝是奇函数，则（﹣∞，f（x）是非奇非偶函数，不满足条件．已知函数R，）的最小正周期为的图象，只要将的图象（向左平移向右平移个单位长度向左平移向右平移个单位长度试题分析：由的最小正周期是，即象可由的图象向左平移个单位得到．故选A．考点：函数的图象与性质．（）的图象是（当当本题选择（209T•，由此••，求得ω的最小值为，设偶函数在（－与A. B. C. D.，解得，。
又递增，递减，所以。
且递减，所以应选2+=解：（lg1）]2+（）02+1＝﹣3．，【答案】【解析】根据【详解】解：∵；＝；∴故答案为：．本题考查平行向量的坐标关系，同角基本关系式可，已知三角函数值求角．【答案】【解析】θ．故答案为：本题考查了同角三角函数的基本关系的灵活应用，若函数x+（则试题分析：由题意得，，所以的最小值是考点：三角函数及其性质.的值域是，，]，]内一点，+3=可以得到有【详解】解：如图，取∴∴D，O，E三点共线，即DE∴故答案为：3计算：【答案】，，∴原式【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，特殊角的三角函数值，属于基础题．已知函数=+，其中）求函数的定义域；）若函数有最小值而无最大值，求的单调增区间。
；）要使函数有意义，则，得，，函数是奇函数。
c的值；的最小值是，求或恒成立得到，从而求解，）x2+bx+c﹣3，由奇函数可得∴，解得；（法二）：h，其图象对称轴为，当（x）min＝当解得或（舍）当（x）min．本题考查了函数的奇偶性的应用与及二次函数的最值的求法，属于基础题．设函数=Asin（，，≤）在处取得最大值相邻两个交点的距离为的解析式；）求函数=2 sin（2x+）；（2，处取得最大值）由三角函数恒等变换的应用化简可得，由）的值域．【详解】解：（1）由题意可得：，于是，（x）＝2sin（2x+处取得最大值（＜π，故）的解析式为）可得：故令t＝cos2x，可知0≤t≤且即从而，因此，函数g（x）的值域为y＝Asin（ωx+已知函数+，若）上为增函数，则称比增函数”；若）上为增函数，则称“一阶比增函数”组成的集合记为12，若∈0<a<b<c，∈的部分函数值由下表给出：求证：；+<k}M，使得任意的，任意的，有x得h由x，对∈Ω2；当h＜，函数在（0，+，可得＜a＜b＜c＜a+b+c，利用“一阶比增函数”可得，再利用不等式的性质即可得出．）根据“二阶比增函数”先证明y，当舍去；时，，此时函数综上可得：当h＜0时，∈Ω1且）因为，且所以，所以同理可证，，三式相加得，所以因为，所以，而0<a<b，所以d<0，所以。
北京101中学2018-2019学年上学期高二年级期末考试数学试题(解析版)
北京101中学2018－2019学年上学期高二年级期末考试数学试卷本试卷满分120分，考试时间100分钟一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知z轴上一点N到点A（1，0，3）与点B（－l，1，－2）的距离相等，则点N的坐标为（）A. （0，0，）B. （0，0，）C. （0，0，）D. （0，0，）【答案】D【解析】【分析】根据点N在z轴上，设出点N的坐标，再根据N到A与到B的距离相等，由空间中两点间的距离公式求得AN，BN，解方程即可求得N的坐标．【详解】解：设N（0，0，z）由点N到点A（1，0，3）与点B（﹣1，1，﹣2）的距离相等，得：12+02+（z﹣3）2＝（﹣1﹣0）2+（1﹣0）2+（﹣2﹣z）2解得z，故N（0，0，）故选：D．【点睛】考查空间两点间的距离公式，空间两点的距离公式和平面中的两点距离公式相比较记忆，利于知识的系统化，属基础题．2.如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，正确的命题是（）A. BD与CF成60°角B. BD与EF成60°角C. AB与CD成60°角D. AB与EF成60°角【答案】C【解析】试题分析：由正方体的平面展开图，还原成正方体，利用正方体的结构特征，得到BD与CF成0°角，BD与EF成90°角，AB与CD成60°角，AB与EF成90°角．解：由正方体的平面展开图，还原成如图所示的正方体，∵BD∥CF，∴BD与CF成0°角，故A错误；∵BD∥平面A1EDF，EF⊂平面A1EDF，∴BD与EF成90°角，故B错误；∵AE∥CD，∴∠BAE是AB与CD所成角，∵△ABE是等边三角形，∴∠BAE=60°，∴AB与CD成60°角，故C正确；∵AB∥A1D，又A1D⊥EF，∴AB与EF成90°角，故D错误．故选：C．考点：异面直线及其所成的角．3.若椭圆+=1（a>b>0）的焦距为2，且其离心率为，则椭圆的方程为（）A. +=1B. +=1C. +=1D. +=1【答案】B【解析】【分析】由题意可知2c＝2，c＝1，根据离心率公式e，求得a，b，即可求得椭圆C的标准方程.【详解】由题意可知：2c＝2，即c＝1，由椭圆的离心率e，解得：a，b2＝a2﹣c2＝1，∴椭圆C的标准方程：；故选：B【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆简单的几何性质，属于基础题.4.5名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有（）A. 24种B. 48种C. 96种D. 120种【答案】B【解析】【分析】5名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起，对于相邻的问题，一般用捆绑法，首先把甲和乙看做一个元素，与另外3个元素全排列，再者甲和乙之间还有一个排列，根据分步计数原理得到结果．【详解】解：∵5名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起，∴首先把甲和乙看做一个元素，使得它与另外3个元素排列，再者甲和乙之间还有一个排列，共有A44A22＝48，故选：B．【点睛】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查相邻问题，是一个比较简单的题目，这种题目一般有限制条件，首先排列有限制条件的元素．5.某公司对下属员工在蛇年春节期间收到的祝福短信数量进行了统计，得到了如图所示的频率分布直方图。
【优质文档】2020-2021学年北京市101中学高二(上)期末数学试卷(理科)与答案
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，且△ AF2B 的面积为
，求
以 F2 为圆心且与直线 l 相切的圆的方程．
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2017-2018 学年北京市 101 中学高二上学期期末数学试卷 （理科）
参考答案与试题解析
一、选择题共 8 小题．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
C．? x0∈（ 0，+∞），lnx0≠x0﹣ 1 D．? x0?（0，+∞），lnx0=x0﹣1
3．（5 分）抛物线 y=4x2 的焦点坐标是（
）
A．（0，1） B．（0， ） C．（1，0） D．（ ，0）
4．（5 分）有下列三个命题：
① “若 x+y=0，则 x，y 互为相反数 ”的逆命题； ②“若 x＞y，则 x2＞y2”的逆否命题；
1．（5 分）双曲线的两焦点坐标是 F1（3，0），F2（﹣ 3， 0），2b=4，则双曲线的
标准方程是（
）
A． ﹣ =1 B．
=1 C． ﹣ =1 D． ﹣ =1
2．（5 分）命题 “? x0∈（ 0， +∞）， lnx0=x0﹣ 1”的否定是（
）
A．? x?（0，+∞），lnx=x﹣1 B． ? x∈（ 0，+∞），lnx≠x﹣ 1
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2017-2018 学年北京市 101 中学高二上学期期末数学试卷 （理科）
101高数试卷A1
♥π10 浙江工业大学高等数学(上)考试试卷 A学院 班级姓名 学号一、试解下列各题（每小题 3 分）：1． lim x cot x ＝。
x →02． d [sin(1 + 3x 2 )] = dx 。
♣x = at 2 dy3.设♦ y = bt 3，则 dx = 。
4. 设 y = y (x ) 由方程xy = e x + y所确定，则 dy = 。
dx5. 曲线 y = 2x + 8x ♣ x 2 (x > 0) 在区间 是单调增加的。
x ≤ 16. 设函数 f (x ) = ♦ ♥ax + bx > 1 在 x = 1处连续且可导，则常数 a , b = 。
7.设 f ''(x ) 在 x = 0 的邻域内连续，则lim f (x ) + f (- x ) - 2 f (0)＝ 。
8.limx →02xcos t 2dt 03xx →0 x 2＝ 。
9. 曲线 y = x 2 ， x = y 2 所围成图形绕 y 轴旋转所成旋转体的体积为。
10．⎰1 - sin2 xdx = 。
二、试解下列各题（每小题 3 分）：1.设 f (x ) 的导数在 x = a 处连续，又limf '(x )= 1，则下列选项正确的是（ ）x →ax - aA ） x = a 是 f (x ) 的极大值点；B ） x = a 是 f (x ) 的极小值点；C ） (a , f (a )) 是 y = f (x ) 的拐点；D ） x = a 不是 f (x ) 的极小值点， (a , f (a )) 也不是 y = f (x ) 的拐点。
1⎰R⎰⎰ π 1+ sin x 2．设 f (x ) 可导，且 f (0) = 0 ，则 x = 0 是函数φ (x ) =f (x ) 的（ ）。
xA ） 可去间断点； B) 跳跃间断点； C ） 无穷间断点； D) 震荡间断点。
07--13高等数学C1B1(A卷及答案)(已改)
（07卷）一、单项选择题（每小题3分，共12分）1．下列极限存在的是( )A ．lim xx e →∞； B ．01lim cosx x→； C ． 1lim sin x x x →∞； D ．lim arctan x x →∞；2．若'0()3f x =，则000(2)(2)limx f x x f x x x→+--=( ) A ．3； B ．6； C ．9； D ．12；3．若()f x 为可微函数，当0x ∆→时，在点x 处，y dy ∆-是关于x ∆的( ) A ．高阶无穷小；B ．等价无穷小；C ．低阶无穷小；D ．同阶但不是等价无穷小； 4．'()f kx dx =⎰( )（0k ≠）A ．1()f x C k +； B ．1()f kx C k+； C ．()kf x C +； D ．()kf kx C +； 二、填空题（每小题4分，共16分）1．22()1x xf x x -=-的可去间断点为2．曲线()ln f x x =在点(,1)e 处的切线方程为3．微分方程0tan sec tan sec 22=+xdy y ydx x 的通解 4．2(ln )edxx x +∞=⎰三、解答题（每小题6分，共48分）1．求方程0)cos 2()1(2=-+-dx x xy dy x 的通解．2．求 2 02 0ln(13)lim(1cos )(1)xx x tt t dtt e dt→+--⎰⎰．3．设函数1,()=,1,arcsin ,11,x f x b x a x x ⎧<-⎪⎪=-⎨⎪+-<≤⎪⎩试确定a ，b 的值，使()f x 在1x =-连续．4．2y x e =，求dy dx． 5．函数()y y x =由方程arccot 0x y y =－＋确定，求dydx，dy ． 6．计算不定积分⎰．7．计算不定积分2ln(1)x dx x +⎰．8．计算定积分3(xππ-+⎰．四、应用题与证明题（每小题8分，共24分）1．求函数3223121y x x x =--+的单调区间、极值、凹凸区间、拐点．2．0x >时，证明不等式ln(1)x x >+．3．证明方程b x a x +=sin 至少有一个正根，并且它不超过b a +，其中0 ,0>>b a ．答案 一、C ；D ；A ；B ；二、1．1x =；2．xy e=；3．C x y =⋅tan tan ；4．1；三1.1sin 2-+=x c x y .2.3.3.,2a b π==3122(1ln )sin 2xxx x e x --+-.5. 2212dy y dx y+=+.6. 532253C =-+.7. 1ln(1)ln ln 1x x x C x=-++-++.8. =四、1.(,)f D =-∞+∞，由'()6(1)(2)f x x x =+-=，11x =-，22x =，由''()6(21)f x x =-=，得312x =；单调增加区间(,1),(2,)-∞-+∞，单调减少区间(1,2)-，(1)8y f =-=极大，(2)19y f ==-极小． 下凸区间1(,)2+∞，上凸区间1(,)2-∞，拐点111(,)22-．2．证明：记()ln(1),[0,)f x x x x =-+∈+∞，'()01xf x x=>+，(0,)x ∈+∞， 所以()f x 在[0,)+∞内严格单调增加，即0x ∀>，()(0)0f x f >=，得l n (1),x x x >+>．（08卷）一、选择题（每题3分，共15分）1．设⎩⎨⎧>≤=111)(x x x f ，则=))((x f f （ ） A ．⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤3,10311x x x B ．⎩⎨⎧>≤1211x x C ．1 D ．⎩⎨⎧>-≤--222)2(222x x x 2．=--→2211)1sin(limx x x x （ ） A ．2 B ．21C ．1D ．0 3．已知2)0(='f ，则=--→hf h f h 2)0()(lim0（ ） A ．1- B ．1 C ．0 D ．214．x x f 22cos )(sin ='，则=)(x f ( )A ．C x x +-2sin 21sin B ．C x x +-221C ．C x x +-sin cosD ．C x x +-2215．设)(x f 在区间[0,4]上连续，且3)(221-=⎰-x dt t f x ，则=)2(f ( )A ．2B ．- 2C ．1/2D ．-1/4 二、填空题（每小格3分，共15分）6．如果函数)(x f 的定义域为]2,1[，则函数)()(2x f x f +的定义域为 ；7．若x x f 2)(='，且2)1(=f ，则=)(x f ； 8．=⎰-dx x x ππ4sin ；9．设C x dx x f x +=⎰arcsin )(，则=⎰dx x f )(1________________； 10.设函数)(x f 在2=x 的某一领域内可导，且)()(x f e x f ='，1)2(=f ，则=''')2(f ________。
北京市101中学高一数学下学期期末考试试题
北京一零一中2015－2016学年度第二学期期末考试高一数学一、选择题：1. 某市2013年各月的平均气温（）数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是A. 19B. 20C. 21.5D. 232.等差数列中，则数列的公差为A. 4B. 3C. 2D. 13.在区间上随机选取一个数，则的概率为A. B. C. D.4.执行如图所示的程序框图，输出的值为A.3B. 4C. 5D. 65.已知满足约束条件，则的最大值为A. B. C. D.6.在梯形中，将梯形绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为A. B. C. D.7.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是A． B．C． D．58.对于集合和常数，定义：为集合相对的“正弦方差”，则集合相对的“正弦方差”为A． B． C． D．与有关的一个值二、填空题：9. 某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间内，其频率分布直方图如图所示. 在这些购物者中，消费金额在区间内的购物者的人数为_________.10.在中，则_________.11.等比数列的前项和为，公比不为1，若，且对任意的都有，则_________.12.已知，则的取值范围是______.13.如图，在正三棱柱中，，分别是棱的中点，为棱上的动点，则周长的最小值为_________.14.已知函数（1）若的解集为，则的值等于_________；（2）对任意，恒成立，则的取值范围是_________.北京一零一中2015－2016学年度第二学期期末考试高一数学答题卷一、选择题：本大题共8小题，共40分.二、填空题：本大题共6小题，共30分.9. __________________________. 10. __________________________.11. __________________________. 12. __________________________.13. __________________________. 14. ____________, ___________.三、解答题：本大题共5小题，共50分.15. 海关对同时从三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如下表所示. 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.（Ｉ）求这6件样品中来自各地区商品的数量；（II）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.16.如图，长方体中，点分别在上，，过点的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形. （Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由），并说明在棱上的具体位置；（Ⅱ）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.17.已知，三个内角的对边分别为且.（I）求角的大小；（Ⅱ）若，，求的值.18.某超市随机选取位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．5×中，同时购买乙和丙的频率；（Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买种商品的概率；（Ⅲ）用样本估计总体，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？说明理由.19.已知数列和满足，若为等比数列，且（I）求与；（Ⅱ）设,记数列的前项和为（i）求；（ii）求正整数，使得对任意，均有．北京一零一中2015－2016学年度第二学期期末考试高一数学答题卷一、选择题：本大题共8小题，共40分.二、填空题：本大题共6小题，共30分.9. __________6000____________. 10. _____________1____________.11. __________11______________. 12. ____________(7,14)____ _____.13. ____________________. 14. _________, ____.三、解答题：本大题共5小题，共50分.15. 海关对同时从三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如下表所示. 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.（Ｉ）求这6件样品中来自各地区商品的数量；（II）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.(1)共进口300件商品，其中来自A地区的商品占的比例为；其中来自B地区的商品占的比例为；其中来自C地区的商品占的比例为；根据分层抽样的原则，6件样品中来自A地区1件，自B地区3件，自C地区2件.(2)共有15个基本事件，其中2件商品来自相同地区对应的基本事件有4个，设事件A=“6件样品中随机抽取2件，这2件商品来自相同地区”，则P(A)=16.如图，长方体中，点分别在上，，过点的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形. （Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由），并说明在棱上的具体位置；（Ⅱ）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.（Ⅰ）如图，（Ⅱ）平面把该长方体分成的两部分是两个棱柱，高相同，体积比等于底面积的比；两个棱柱的底面均为直角梯形，所以体积比=17.已知，三个内角的对边分别为且.（I）求角的大小；（Ⅱ）若，，求的值.解：（I）因为又，，所以，（Ⅱ）由余弦定理得到，所以解得（舍）或18.某超市随机选取位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．√（Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买种商品的概率；（Ⅲ）用样本估计总体，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？说明理由.【答案】（1）0.2；（2）0.3；（3）同时购买丙的可能性最大.（Ⅰ）从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的频率为.（Ⅱ）从统计表可以看出，在在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为.（Ⅲ）与（Ⅰ）同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为，所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大.19.已知数列和满足，若为等比数列，且（I）求与；（Ⅱ）设,记数列的前项和为（i）求；（ii）求正整数，使得对任意，均有．解答：（I）由题意，，，知，又有，得公比（舍去），所以数列的通项公式为，所以，故数列的通项公式为，；（II）（i）由（I）知，，所以；（ii）因为；当时，，而，得，所以当时，，综上对任意恒有，故．。
高考数学普通高等学校招生全国统一考试101
高考数学普通高等学校招生全国统一考试101理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后：将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 注意事项：1.答题前：考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚：并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后：用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改动：用橡皮擦干净后：再选涂其他答案标号：在试题卷上作答无效。
3．本卷共12小题：每小题5分：共60分。
在每小题给出的四个选项中：只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果时间A 、B 互斥：那么()()()P A B P A P B +=+ 如果时间A 、B 相互独立：那么()()()P A B P A P B =如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ：那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()()1n kk kn n P k C P P -=-球的表面积公式24S R π=：其中R 表示球的半径 球的体积公式343V R π=：其中R 表示球的半径 一、选择题⑴、设集合{}20M x x x =-<：{}2N x x =<：则 A ．M N =∅ B ．M N M = C ．MN M = D ．MN R =⑵、已知函数x y e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称：则 A ．()22()x f x e x R =∈ B ．()2ln 2ln (0)f x x x => C ．()22()x f x e x R =∈ D ．()2ln ln 2(0)f x x x =+> ⑶、双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍：则m =A ．14-B ．4-C ．4D ．14⑷、如果复数2()(1)m i mi ++是实数：则实数m =A ．1B ．1-C ．⑸、函数()tan 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调增区间为A ．,,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ B ．()(),1,k k k Z ππ+∈C ．3,,44k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D ．3,,44k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭⑹、ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ：若a 、b 、c 成等比数列：且2c a =：则cos B =A ．14 B ．34 C ．4 D ．3⑺、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4：体积为16：则这个球的表面积是A ．16πB ．20πC ．24πD ．32π⑻、抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是 A ．43 B ．75 C ．85D ．3 ⑼、设平面向量1a 、2a 、3a 的和1230a a a ++=。
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x 2 4x 3 及其在点（ 0， -3）和（ 3， 0）处的切线所围成
六、（ 8 分） 设函数 y( x) 二阶导数连续，满足 且 y (0) 0 ，试求 y(x) 。
y(x)
1
1x [ y (t)
2y( t )
6te t ]dt ，
30
4
七、试解下列各题（每小题 4 分）：
1. 设 f (x) 在 [a, b] 上非负连续，求证在 [ a, b] 上存在一点 ，使直线 x
y f (x) 与直线 x a, x b, y 0 所围曲边梯形的面积二等分。
2. 证明恒等式
sin 2 x
arcsin tdt
0
cos2 x
arccos tdt
0
(0 x )
4
2
3. 设 p
n
0 ，求
lim
n
1
01
x p x
dx
。
将曲线
5
8. lim 0
x0
3x
＝
。
9. 曲线 y x2 ， x y2 所围成图形绕 y 轴旋转所成旋转体的体积为
。
10．
1 sin2 xdx 。
0
二、 试解下列各题（每小题 3 分）：
f (x)
1. 设 f (x) 的导数 x a 处连续，又 lim
1，则下列选项正确的是（
）
A） x a 是 f (x) 的极大值点；
10 浙江工业大学高等数学 ( 上 ) 考试试卷 A
学院
班级
任课教师
题号 一 二 三
得分
姓名 四五
学号 六 七 总分
一、试解下列各题（每小题 3 分）：
1． lim xcot x ＝
。
x0
2． d[sin(1 3x 2 )] dx 。
x at 2
dy
3. 设
y
，则
bt 3
dx
。
4. 设 y y(x) 由方程
）
0 ，则
三、计算下列积分（每小题
1. sec xdx
6 分）：
2. 4 x
dx
4 1 sin x
2
四、试解下列各题（每小题 6 分）：
1.
求极限
lim x2 (1
1 xsin )
x
x
2. 求函数 y x3 6x 2 9x 4 的极值
3. 求微分方程 xy y x2 的通解
3
五、（ 8 分） 求抛物线 y
4. 设 f (x) 在 [a, b] 上二次可导，满足 f (x) f (x) f (x) ， f (a) f (b)
在 [a,b] 上（
）
A ） f (x) 恒为零； C） f (x) 不恒为零；
B) 存在一个点 x0 ，使 f (x0 ) 0 ； D) 存在一个点 x0 ，使 f (x0) 0 。
x ax a
B） x a 是 f (x) 的极小值点；
C） (a, f (a)) 是 y f (x) 的拐点；
D） x a 不是 f ( x) 的极小值点， (a, f (a)) 也不是 y f (x) 的拐点。
1
f (x)
2．设 f (x) 可导，且 f (0) 0 ，则 x 0是函数 (x)
的（
xy
ex
y
所确定，则
dy
dx
8
5. 曲线 y 2x
( x 0) 在区间
xx2
x1
。 是单调增加的。
6. 设函数 f (x)
在 x 1处连续且可导，则常数 a, b 。
ax b x 1
f ( x) f ( x) 2 f (0)
7. 设 f (x) 在 x 0的邻域内连续，则 lim
＝
。
x0
x2
2x cost 2dt
）。
x
A ） 可去间断点； B) 跳跃间断点； C） 无穷间断点； D) 震荡间断点。
3. 半径为 R 的圆柱形水桶内有半桶水，横放在地上，一个端面受到的压力是（
R
A） 2g
R2 x2 dx ；
0
B) R 2g x R2 x2 dx ； 0
C)
R
g
x R2
x2 dx ；
0
D) R 2 g x R2 x2 dx 。 0