高二数学选修4-1《几何证明选讲》综合复习题
【高考精品复习】选修4-1 几何证明选讲 第2讲 圆周角定理与圆的切线
第2讲 圆周角定理与圆的切线【高考会这样考】考查圆的切线定理和性质定理的应用． 【复习指导】本讲复习时，牢牢抓住圆的切线定理和性质定理，以及圆周角定理和弦切角等有关知识，重点掌握解决问题的基本方法.基础梳理1．圆周角定理(1)圆周角：顶点在圆周上且两边都与圆相交的角． (2)圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半． (3)圆周角定理的推论①同弧(或等弧)上的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． ②半圆(或直径)所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径． 2．圆的切线(1)直线与圆的位置关系直线与圆交点的个数 直线到圆心的距离d 与圆的半径r 的关系 相交 两个 d ＜r 相切 一个 d ＝r 相离无d ＞r(2)切线的性质及判定①切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． ②切线的判定定理过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线． (3)切线长定理从圆外一点引圆的两条切线长相等． 3．弦切角(1)弦切角：顶点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆相交的角．(2)弦切角定理及推论①定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半．②推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角与圆周角相等．双基自测1．如图所示，△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝6，以AC 为直径的圆与斜边交于点P ，则BP 长为________．解析 连接CP .由推论2知∠CP A ＝90°，即CP ⊥AB ，由射影定理知，AC 2＝AP ·AB .∴AP ＝3.6，∴BP ＝AB －AP ＝6.4. 答案 6.42．如图所示，AB 、AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B 、C ，D是优弧BC 上的点，已知∠BAC ＝80°， 那么∠BDC ＝________. 解析 连接OB 、OC ，则OB ⊥AB ，OC ⊥AC ，∴∠BOC ＝180°－∠BAC ＝100°，∴∠BDC ＝12∠BOC ＝50°. 答案 50°3．(2011·广州测试(一))如图所示，CD 是圆O 的切线，切点为C ，点A 、B 在圆O 上，BC ＝1，∠BCD ＝30°，则圆O 的面积为________．解析 连接OC ，OB ，依题意得，∠COB ＝2∠CAB ＝2∠BCD ＝60°，又OB ＝OC ， 因此△BOC 是等边三角形，OB ＝OC ＝BC ＝1，即圆O 的半径为1， 所以圆O 的面积为π×12＝π. 答案 π4．(2011·深圳二次调研)如图，直角三角形ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝4，以BC 为直径的圆交AC 边于点D ，AD ＝2，则∠C 的大小为________．解析 连接BD ，则有∠ADB ＝90°.在Rt △ABD 中，AB ＝4，AD ＝2，所以∠A ＝60°；在Rt △ABC 中，∠A ＝60°，于是有∠C ＝30°. 答案 30°5．(2011·汕头调研)如图，MN 是圆O 的直径，MN 的延长线与圆O 上过点P 的切线P A 相交于点A ，若∠M ＝30°，AP ＝23，则圆O 的直径为________．解析 连接OP ，因为∠M ＝30°，所以∠AOP ＝60°，因为P A 切圆O 于P ，所以OP ⊥AP ，在Rt △ADO 中，OP ＝AP tan ∠AOP ＝23tan 60°＝2，故圆O 的直径为4.答案 4考向一 圆周角的计算与证明【例1】►(2011·中山模拟)如图，AB 为⊙O 的直径，弦AC 、BD 交于点P ，若AB＝3，CD ＝1，则sin ∠APB ＝________.[审题视点] 连结AD ，BC ，结合正弦定理求解． 解析 连接AD ，BC .因为AB 是圆O 的直径，所以∠ADB ＝∠ACB ＝90°.又∠ACD ＝∠ABD ，所以在△ACD 中，由正弦定理得：CD sin ∠DAC ＝AD sin ∠ACD ＝AD sin ∠ABD ＝AB sin ∠ABD sin ∠ABD ＝AB ＝3，又CD ＝1，所以sin ∠DAC ＝sin ∠DAP ＝13，所以cos ∠DAP ＝23 2.又sin∠APB＝sin (90°＋∠DAP)＝cos∠DAP＝23 2.答案23 2解决本题的关键是寻找∠APB与∠DAP的关系以及AD与AB的关系．【训练1】如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝30°，则圆O的面积等于________．解析连接AO，OB.因为∠ACB＝30°，所以∠AOB＝60°，△AOB为等边三角形，故圆O的半径r＝OA＝AB＝4，圆O的面积S＝πr2＝16π.答案16π考向二弦切角定理及推论的应用【例2】►如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过B引⊙O的切线分别交DA、CA的延长线于E、F.已知BC＝8，CD＝5，AF＝6，则EF的长为________．[审题视点] 先证明△EAB∽△ABC，再由AE∥BC及AB＝CD等条件转化为线段之间的比例关系，从而求解．解析∵BE切⊙O于B，∴∠ABE＝∠ACB.又AD∥BC，∴∠EAB＝∠ABC，∴△EAB∽△ABC，∴BEAC＝ABBC.又AE∥BC，∴EFAF＝BEAC，∴ABBC＝EFAF.又AD∥BC，∴AB＝CD，∴AB＝CD，∴CDBC＝EFAF，∴58＝EF6，∴EF＝308＝154.答案15 4(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直线(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．【训练2】(2010·新课标全国)如图，已知圆上的弧AC＝BD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE×CD.证明(1)因为AC＝BD，所以∠BCD＝∠ABC.又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故BCBE＝CDBC，即BC2＝BE×CD.高考中几何证明选讲问题(二)从近两年的新课标高考试题可以看出，圆的切线的有关知识是重点考查对象，并且多以填空题的形式出现．【示例】►(2011·天津卷)如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB 延长线上一点，且DF＝CF＝2，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE与圆相切，则线段CE的长为________．。
人教版高中数学选修4-1《几何证明选讲》基础训练及答案
高中数学选修 4-1《几何证明选讲》练习题（三）一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 ．1．已知三角形的3 条中位线分别为 3cm 、4cm 、 6cm ，则这个三角形的周长是（）．A ． 3cmB ． 26cmC ． 24cmD ． 65cm2．要做甲、乙两个形状同样 (相像 )的三角形框架 ,已知三角形框架甲的三边分别为50cm 、 60cm 、80cm ，三角形框架乙的一边长为 20cm ，那么切合条件的三角形框架乙共有 （）．A ．1种B ．2 种C ．3 种D ．4 种3．在 RtABC 中， CD 是斜边上的高线， AC ∶BC=3 ∶ 1，则 SABC ∶ S ACD 为（ ）．A ．4∶3B ．9∶1C ． 10∶ 1D ．10∶94．如图，在正方形ABCD 中， E 为 AB 中点， BF ⊥ CE 于 F ，那么 S △BFC :S 正方形ABCD =（ ）．A ．1：3B ． 1：4C ． 1：5D ．1：65．在 △ ABC 中，∠ A ∶∠ B ∶∠ C ＝ 1∶2∶ 3，CD ⊥ AB 于 D ， AB ＝ a ，则 DB ＝（）aaC ．a D ．3aA ．B ．24436．若梯形的中位线被它的两条对角线三均分，则梯形的上底 a 与下底 b(a<b)的比是（）．1122A ．2B ． 3C ． 3D ． 57．如图，在正方形ABCD 中， E 是 BC 的中点， F 是 CD 上一点，且 CF1CD ，4以下结论： ① BAE 30AD，② △ABE ∽△ AEF ， ③ AEEF ，④ △ADF ∽△ECF ．此中正确的个数为（ ）FA ． 1B ． 2C ． 3D ． 4BEC8．直角梯形的一条对角线把梯形分红两个三角形，此中一个是边长为30 的等边三角形，则这个梯形的中位线长是（ ）．A ．15B ．22.5C ．45D ．909．以下图，在 △ABC 中， AC=5 ，中线 AD=4 ，则 AB 边的取值范围是（）．A ．1 AB 9B ． 3 AB 13C ． 5AB 13D ． 9AB13D CFAEB10 ABCD中， AE : EB m : n，若AEF的面积等于 a ，则CDF．如图，平行四边形的面积等于（）．m 2 n 2(m n)2D ．( m n)2A ． 2 aB ． 2 aC ．2a 2anmmn11．如图，在梯形 ABCD 中， AD //BC ，对角线 AC ⊥BD ，AD且 AC=12 ，BD=9 ，则此梯形的中位线长是（）．A ． 10B ．2115D ． 12BCC ．2212．如图，设 P 为ABC 内一点，且 2 1CAPAB AC，55则ABP 的面积与ABC 的面积之比等于（ ）． P1B ．2 31A ．5 C ．D ．552AB二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上．13．若两个相像三角形的周长比为3: 4 ，则它们的三角形面积比是 ____________ ．14．如图，在梯形 ABCD 中， AD //BC ， AC ⊥ BA ， AD=DC=5 ，则 BC 的长是 __________ ．15．已知： △ ABC 中， AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 的中点， BE 的延伸线交AC 于点 F ，则AF____________ ．AC16．在 △ABC 中， AB9，AC 6 ，点 M 在 AB 上且 AM 3 ，点 N 在 AC 上，联络 MN ，使△ AMN 与原三角形相像，则 AN ＝ ___________三、解答题：本大题共 6小题，共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ．17．如图，在ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， F 为 AB 上随意一点， CF 交 AD 于点 E ，求证： AE BF 2DE AF ．（ 10 分）CDEA F B18．如图，正方形DEMF内接于△ ABC，若S ADE1， S正方形DEFM 4 ，求 S ABC（12分）AD P EB M Q F C例 2 图19．已知：如图，△ＡＢＣ中，ＡＤ均分∠ＢＡＣ，ＡＤ的垂直均分线交ＡＢ于点Ｅ，交ＡＤ于点Ｈ，交ＡＣ于点Ｇ，交ＢＣ的延伸线于点Ｆ，求证：ＤＦ２＝ＣＦ ?ＢＦ．（ 12分）20．如图，CD是 Rt△ ABC的斜边AB上的高， E 是BC上随意一点，EF⊥AB于 F．求证：AC 2AD AF CD EF ．（12 分）21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB90 ，CD AB ，垂足为 D ，设 BC a ， AC b ，111AB c ． CD b ，试说明：2b 2h2．（ 12分）aCb h aA c D B22． 如图，在△ ABC 中，BAC90 ， AD 是BC 边上的高，E 是 BC 边上的一个动点（不与B ，C 重合）， EFAB ，EGAC ，垂足分别为F ，G ．（ 1）求证：EGCG；AD CD（ 2） FD 与 DG 能否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明原因；（ 3）当 AB AC 时， △ FDG 为等腰直角三角形吗？并说明原因． （ 12 分）AFGBD EC答案与分析：1-5 BCCCA 6-10AABBC 11-12 CA13． 9:1614． 101915．16． 2，或3 217．证明：过 D 作 DG // AB ，交 CF 于 G ，∴AEF DEG ， CDG CBF ，AEDE DG CD ∴，BF，AFDGCB ∵ D 为BC 的中点， CD1 CB ，2DG 1 ， DG 1BF ，BF 2 2AE 2DEAE BF 2DE AF ．AF，即 BF18．解：∵正方形的面积为 4，∴ DE ＝ MF ＝ 2,过 A 点作 AQ ⊥BC 于 Q ，交 DE 于 P ，∵SADE1，∴ AP ＝1，∵DE ∥ BC ，∴△ ADE ∽△ ABC ，∴ APDE ，即 1 2 AQBC 3 BC∴BC ＝6，故 S ABC ＝919．证明：连ＡＦ，∵ＦＨ垂直均分ＡＤ，∴ＦＡ＝ＦＤ，∠ＦＡＤ＝∠ＦＤＡ，∵ＡＤ均分∠ＢＡＣ，∴∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＤ，∴∠ＦＡＤ－∠ＣＡＤ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ，∵∠Ｂ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ，∴∠ＦＡＣ＝∠Ｂ，又∠ＡＦ∴△ＡＦＣ∽△ＢＦＡ，∴ＡＦ＝C Ｆ，ＢＦ ＡＦ∴ＡＦ ２＝ＣＦ ?ＢＦ，∴ＤＦ ２＝ＣＦ ?ＢＦ．20．证明： AC 2 AD AB ,AC 2 AD AFAD (AB AF) AD BF由于 Rt ADCRt EFB ,因此 ADEF ,CDBF则ADBFCD EF ，AC 2 AD AFCD EF ,即 AC 2 AD AF CD EF ．11121．解：等式 a 2b 2 h 2 建立．原因以下：∵ ACB 90 ,CD AB ，C 公共，∴1ab1AB h ， AB 2a 2b 2 ，2 2 ∴ ab c h ，∴ a 2 b 2 c 2 h 2 ，∴ a 2 b 2(a 2 b 2 )h 2 ，∴a 2b 2 (a 2b 2 )h 2，a 2b 2h2a 2b 2 h 2∴1 a 2b 2，h2a 2b2∴11 1．h 2a 2b 222．证明：在四边形AFEG 中，∵ FAG AFEAGE 90 ，∴ 四边形 AFEG 为矩形， ∴ AFEG ，（ 1）易证∴AFAD EG CG ，而 AFEG ，AD CD CG；CD（ 2） △ ABC 为直角三角形， ADBC ，∴ FADC ， 即 △ AFD ∽△CGD ，∴ ADFCDG ，又CDG ADG 90∴ADFADG90，，即FDG 90 ，∴ FD DG ； （ 3）当 ABAC 时， △ FDG 为等腰直角三角形，原因以下：AB AC ，BAC 90 ，∴ AD DC又由于 △ AFD ∽△ CGD∴FD AD1， FD DGGD DC又 FDG 90∴ △FDG ,△ FDG 为等腰直角三角形．。
人教版高中数学选修4-1《几何证明选讲》基础训练题[综合训练B组](含答案)
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高中数学选修 4-1《几何证明选讲》练习题（一）1．如图，已知在△ ABC 中， CD ⊥AB 于 D 点， BC 2＝ BD ·AB ，则∠ ACB ＝______. 分析： 在△ ABC 与△ CBD 中，由 BC 2＝ BD ·AB ，得 BC ＝ AB，且∠ B ＝∠ B ， BD BC因此△ ABC ∽△ CBD.则∠ ACB ＝∠ CDB ＝ 90°. 答案： 90°2．如图，已知在△ ABC 中，∠ ACB ＝ 90°， CD ⊥ AB 于 D ， AC ＝ 6，DB ＝ 5，则 AD 的长为 ________．分析：在 Rt △ABC 中，∠ ACB ＝ 90°， CD ⊥ AB ，∴ AC 2＝ AB ·AD.设 AD ＝ x ，则 AB ＝ x ＋ 5，又 AC ＝ 6， ∴ 62＝ x(x ＋ 5)，即 x 2 ＋5x － 36＝0. 解得 x ＝4 或 x ＝－ 9( 舍去 )，∴ AD ＝ 4. 答案： 43．如下图， 已知在△ ABC 中，∠C ＝ 90°，正方形 DEFC 内接于△ ABC ，DE ∥ AC ，EF ∥ BC ，AC ＝1， BC ＝ 2，则 AF ∶ FC 等于 ________．分析： 设正方形边长为 x ，则由△ AFE ∽△ ACB ，AF FE x 1－ x可得 AC ＝ CB ，即 2＝1 ，因此 x ＝2，于是 AF ＝1.3 FC 2 答案： 124．如图， 平行四边形 ABCD 中，AE ∶ EB ＝ 1∶ 2，△ AEF 的面积为 6，则△ ADF的面积为 ________．分析： 由题意可得△ AEF ∽△ CDF ，且相像比为 1∶ 3，由△ AEF 的面积为 6，得△ CDF 的面积为54，由题意易知SADF ∶ S CDF ＝ 1∶ 3，因此 S ADF ＝ 18.△△ △答案： 185．如图，△ ABC 中，∠ BAC ＝ 90°， AB ＝ 4 cm ， AC ＝3 cm ， DE ∥ BC 且 DE 把△ABC 的周长分为相等的两部分，则 DE ＝ ________.分析： ∵∠ BAC ＝ 90°， ∴ BC ＝ 5 cm.设 AD ＝ x cm ，AE ＝ y cm ，则 x ＋ y ＝ 6.①∵ DE ∥ BC ，得 AD＝ AE ，即 x ＝ y.②ABAC43 由①②得 x ＝24，y ＝18，77∴ DE ＝ x 2＋ y 2＝307 cm.30答案：7cm6．在△ ABC 中，点 D 在线段 BC 上，∠ BAC ＝∠ ADC ，AC ＝ 8，BC ＝ 16，则 CD 为 ________．分析： ∵∠ BAC ＝∠ ADC ，∠ C ＝∠ C ，∴△ ABC ∽△ DAC ，22∴BC ＝AC，∴ CD ＝AC＝ 8＝4.ACCDBC 16答案：4和7．如图，已知在梯形 BD 订交于点 P ，ABCD中，上底长为2，下底长为6，高为4，对角线AC(1)若 AP 长为 4，则 PC ＝ ________；(2)△ ABP 和△ CDP 的高的比为 ______． 分析： (1) ∵AB ∥ CD ， ∴△ APB ∽△ CPD ，∴ AP CP ＝ CD AB ，即 CP 4＝ 26，解得 PC ＝12.(2)由 (1) 及△ ABP 和△ CDP 的高的比等于它们的相像比， 得这两个三角形的高的比为1∶3.答案：(1)12(2)1∶ 38． (2010 ·东卷广 )如图，在直角梯形 ABCD 中， DC ∥AB ， CB ⊥AB ，AB ＝AD ＝ a ， CD＝ a，点 E ， F 分别为线段 AB ，AD 的中点，则 EF ＝ ________. 2分析：连结 DE ，因为 E 是 AB 的中点，故 a BE ＝ .2又 CD ＝a， AB ∥ DC ， CB ⊥ AB ，∴四边形 EBCD 是矩形．2在 Rt △ADE 中， AD ＝a ， F 是 AD 的中点，故 EF ＝a.2【答案】a2AE 29．如图，已知 AD ∥EG ∥ BC ， AD ＝ 6，BC ＝ 9， AB ＝ 3，则 GF 的长为 ________．分析： ∵ AD ∥ EG ∥BC ，EG AE EF BE∴BC＝AB ， AD ＝BA.∵ AE＝2，∴BE＝1，EF 1 EG 2∴ AD ＝ 3， BC ＝ 3. 又∵ AD ＝ 6， BC ＝ 9， ∴ EF ＝ 2， EG ＝ 6， ∴ GF ＝ EG －EF ＝4.答案： 410．如图，在直角梯形AB ＝ 6，在 AB 上选用一点ABCD P ，使△中，上底 AD ＝ 3，下底 BC ＝ 3 3，与两底垂直的腰和△PBC 相像，这样的点 P 有 ________个． PAD分析： 设 AP ＝ x ，AD AP(1)若△ ADP ∽△ BPC ，则 BP ＝ BC ，即 3 ＝ x，因此 x 2－ 6x ＋ 9＝ 0，解得 x ＝ 3. 6－ x 3 3(2)若△ ADP ∽△ BCP ，则AD＝ AP， BC BP即 3 ＝x ，解得 x ＝3， 3 3 6－ x 2因此切合条件的点 P 有两个． 答案： 两11．如图，在△ ABC 中， AD ⊥ BC 于 D ，DE ⊥AB 于 E ， DF ⊥AC 于 F. 求证： AE ·AB ＝ AF ·AC . 证明： ∵AD ⊥BC ，∴△ ADB 为直角三角形，又∵ DE ⊥ AB ，由射影定理知，AD 2＝ AE ·AB.同理可得 AD 2＝ AF ·AC ，∴ AE ·AB ＝ AF ·AC .12．如下图，在△ ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， F 为 AB 上随意一点， CF 交 AD 于点E.求证： AE ·BF ＝ 2DE ·AF.证明： 过点 D 作 AB 的平行线 DM 交 AC 于点 M ，交 FC 于点 N. 在△ BCF 中， D 是 BC 的中点， DN ∥ BF ，1 ∴ DN ＝ 2BF.∵ DN ∥AF ，∴△ AFE ∽△ DNE ，∴AE ＝DE . AF DN1 AE 2DE又 DN ＝2BF ，∴ AF ＝ BF ， 即 AE ·BF ＝2DE ·AF .13．如图，△ ABC 中， AB ＝ AC ， AD 是中线， P 为 AD 上一点， CF ∥ AB ， BP 延伸线交 AC ，CF 于 E ， F ，求证： PB 2＝ PE ·PF.证明：如图，连结 PC ，易证 PC ＝PB ，∠ ABP ＝∠ ACP.∵ CF ∥ AB ，∴∠ F ＝∠ ABP ， 进而∠ F ＝∠ ACP ，又∠ EPC 为△ CPE 与△ FPC 的公共角， 进而△ CPE ∽△ FPC ，∴CP ＝ PE， FP PC∴ PC 2＝ PE ·PF ，又 PC ＝ PB ，∴ PB 2＝ PE ·PF .14．已知： 在 Rt △ABC 中， ∠ ACB ＝ 90°，M 是 BC 的中点， CN ⊥ AM ，垂足是 N ，求证： AB ·BM ＝AM ·BN.2证明：∵ CM ＝ MN ·AM ，∴ BM 2＝ MN ·AM ，∴ BM AM ＝ MN BM ，又∵∠ BMN ＝∠ AMB ，∴△ AMB ∽△ BMN ，∴ AB BN ＝ AM BM ，∴ AB ·BM ＝ AM ·BN.15．如图，在等腰三角形 ABC 中， AB ＝ AC ，底边 BC 上的高 AD ＝ 10 cm ，腰 AC 上的高 BE ＝ 12 cm.(1)求证：AB ＝5； BD 3(2)求△ ABC 的周长 . 【分析方法代码 108001159】 分析： (1) 证明：在△ ADC 和△ BEC 中，∵∠ ADC ＝∠ BEC ＝ 90°，∠ C ＝∠ C ，∴△ ADC ∽△ BEC ，∴AC ＝ AD ＝ 10＝ 5.BCBE126∵ AD 是等腰三角形 ABC 底边 BC 的高线， ∴ BC ＝ 2BD ，又 AB ＝ AC ， ∴ AC ＝ AB 5 AB 5 BC 2BD＝ ，∴ BD ＝ .6 3 5(2)设 BD ＝ x ，则 AB ＝ 3x ，在 Rt △ABD 中，∠ ADB ＝ 90°， 依据勾股定理，得 AB 2 ＝BD 2 ＋AD 2，∴53x 2＝ x 2＋102，解得 x ＝ 7.5.5∴ BC ＝ 2x ＝ 15， AB ＝ AC ＝ 3x ＝ 12.5，∴△ ABC 的周长为 40 cm.16．如右图， 在平行四边形 ABCD 中，过点 B 作 BE ⊥ CD ，垂足为 E ，连结 AE ， F 为 AE 上一点，且∠ BFE ＝∠ C.(1)求证：△ ABF ∽△ EAD . (2)若 AB ＝ 4，∠ BAE ＝ 30°， AD ＝ 3，求 BF 的长． 分析： (1) 证明：∵ AB ∥ CD ，∴∠ BAF ＝∠ AED .又∵∠ BFE ＝∠ C ，∠ BFE ＋∠ BFA ＝∠ C ＋∠ EDA ， ∴∠ BFA ＝∠ ADE . ∴△ ABF ∽△ EAD .4＝8 3， (2)∵ AE ＝ sin 60° 3BF ABAB3 3又AD ＝ AE ，∴ BF ＝AE ·AD ＝ 2 .17．如图， 梯形 ABCD 中，AD ∥ BC ，EF 经过梯形对角线的交点 O ，且 EF ∥ AD .(1)求证： OE ＝OF ；OE OE (2)求 AD ＋ BC 的值；112 (3)求证： AD ＋BC ＝EF . 【分析方法代码 108001160】 分析： (1) 证明：∵ EF ∥ AD ，AD ∥ BC ，∴ EF ∥ AD ∥ BC.OE AE OF DF∵ EF ∥ BC ，∴ BC ＝AB ， BC ＝ DC .AE DF ∵ EF ∥ AD ∥ BC ，∴ AB ＝ DC .∴ OE ＝ OF，∴ OE ＝ OF.BC BCOE BE (2)∵ OE ∥ AD ，∴ AD ＝ AB .由 (1)知， OE BC ＝AEAB ，∴OE ＋ OE ＝BE ＋AE ＝ BE ＋ AE ＝ 1.AD BC AB AB ABOE OE2OE 2OE(3)证明：由 (2)知 AD ＋ BC ＝ 1，∴ AD ＋ BC ＝2.又 EF ＝ 2OE ，∴ EF＋ EF＝ 2， AD BC∴1＋1＝2AD BC EF.18．一块直角三角形木板， 如下图， ∠ C ＝ 90°，AB ＝ 5 cm ，BC ＝ 3 cm ，AC ＝ 4 cm.依据需要， 要把它加工成一个面积最大的正方形木板， 设计一个方案， 应如何裁才能使 正方形木板面积最大，并求出这个正方形木板的边长． 分析： 如图 (1)所示，设正方形 DEFG 的边长为 x cm ，过点 C 作 CM ⊥ AB 于 M ，交DE 于N ，因为 S △ABC ＝ 1AC ·BC ＝1AB ·CM ，2 2因此 AC ·BC ＝ AB ·CM ，12即 4×3＝ 5·CM ，因此 CM ＝ 5 .因为 DE ∥AB ，因此△ CDE ∽△ CAB .12因此 CN ＝ DE ，即 5 － x.＝ x CM AB 125560因此 x ＝37.如图 (2)所示，设正方形 CDEF 的边长为 y cm ，因为 EF ∥ AC ，因此△ BEF ∽△ BAC .BF EF 3－ y y12因此 BC ＝ AC ，即 3 ＝4，因此 y ＝ 7.60 12 60因为 x ＝37， y ＝ 7 ＝35，因此 x<y.因此当按图 (2) 的方法裁剪时，正方形面积最大，其边长为12cm.7。
数学选修4-1几何证明选讲总复习题(学生版)
数学选修4-1几何证明选讲总复习题一、相似三角形（一）相似三角形与全等三角形的区别（二）相似三角形的判定方法（三）相似三角形性质：（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比；（2）相似三角形的周长比等于相似比；（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方. （四）直角三角形的射影定理二、圆的相关概念 （一）垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD .中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD （二）圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。
此定理也称1推3定理，即上述四个结论中， 只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；③OC OF =；④ 弧BA =弧BD （二）圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角∴2AOB ACB ∠=∠ 2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； 即：在⊙O 中，∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角，∴C D ∠=∠推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵90C ∠=︒ ∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
全国高考数学第二轮复习 选修4—1 几何证明选讲 理
选修4—1 几何证明选讲真题试做1．(·北京高考，理5)如图，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，以BD 为直径的圆与BC 交于点E ，则( )．A ．CE ·CB ＝AD ·DB B ．CE ·CB ＝AD ·ABC ．AD ·AB ＝CD 2 D ．CE ·EB ＝CD 22．(·天津高考，理13)如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D .过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF ＝3，FB ＝1，EF＝32，则线段CD 的长为________．3．(·课标全国高考，理22)如图，D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 的中点，直线DE 交△ABC 的外接圆于F ，G 两点．若CF ∥AB ，证明：(1)CD ＝BC ；(2)△BCD ∽△GBD . 考向分析从近几年的高考情况看，本部分内容主要有两大考点，一是会证明并应用圆周角定理、圆的切线的判定定理及其性质定理；二是会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理等．在高考中常以圆为背景，主要考查最基本、最重要的内容，试题多以填空题、解答题的形式呈现，试题难度属中低档．预计在今后高考中，几何证明选讲主要考查最基本、最重要的内容，如相似三角形，圆的切线、弦切角，圆内接四边形的性质与判定，与圆有关的比例线段等，试题难度中等．另外，对平行线等分线段定理及平行线分线段成比例定理、直角三角形的射影定理、切线长定理等内容的考查，也应引起足够的重视．热点例析热点一 相似三角形问题【例１】如图，点P 是⊙O 的直径CB 的延长线上一点，PA 和⊙O 相切于点A ，若PA =15，PB=5.(1)求tan∠ABC 的值；(2)若弦AD 使∠BAD =∠P ，求AD 的长．规律方法 在求线段的长度或计算比例线段的比值时，应注意的问题： (1)应先寻找所求线段或比例线段所在的两个三角形． (2)判断寻找的两个三角形是否具备相似的条件． (3)如果条件不能直接找出时，可巧添辅助线．(4)如果有平行线时可应用平行线分线段成比例定理加以解决．变式训练1 如图，过圆O 外一点M作它的一条切线，切点为A ，过A 点作一直线AP 垂直于直线OM ，垂足为P .(1)证明OM ·OP =OA 2；(2)N 为线段AP 上一点，直线NB 垂直直线ON ，且交圆O 于B 点，过B 点的切线交直线ON 于K ，证明∠OKM ＝90°.热点二 有关圆的切线、弦切角问题【例２】如图，已知圆上的弧AC BD ，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点，证明：(1)∠ACE ＝∠BCD ；(2)BC 2＝BE ·CD .规律方法 与圆的切线有关的几何证明问题处理思路：(1)若两圆相切，往往需要添加两圆的公切线，转化为弦切角与圆心角、圆周角之间的关系． (2)在利用圆的切线、弦切角解题时，应特别注意圆周角、圆心角与弦切角的特殊关系． 变式训练2 如图，圆O 1与圆O 2内切于点A ，其半径分别为r 1与r 2(r 1＞r 2)．圆O 1的弦AB 交圆O 2于点C (O 1不在AB 上)．求证：AB ∶AC 为定值．热点三 圆内接四边形的判定与性质【例３】如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P .若PB =1，PD =3，则BCAD的值为__________.规律方法 有关圆内接四边形问题的处理思路：(1)圆内接四边形(亦即四点共圆)的判定与性质，在近几年高考中常有考查，处理此类问题的关键是掌握对角的互补关系，同边所形成的弦、角的等量关系以及外角与其内对角的相等关系等．(2)通常情况下先把圆内接四边形问题转化为圆周角、圆心角、圆内角、圆外角、弦切角以及圆内接四边形的对角等问题，再利用题设条件来解决问题．(3)值得注意的有，在平面几何中求角的大小，经常考虑借助三角形内角和定理及其推论；在圆中求角的大小常常借助与圆有关的角的定理来完成．变式训练3 如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC ＝ED . (1)证明：CD ∥AB ；(2)延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF ＝EG ，证明：A ，B ，G ，F 四点共圆．热点四 有关与圆相关的比例线段问题【例４】如图，在△ABC 中，∠C =90°，BE 是∠CBD 的角平分线，DE ⊥BE 交AB 于D ，⊙O 是△BDE 的外接圆．(1)求证：AC 是⊙O的切线；(2)如果AD =6，62AE =，求BC 的长．规律方法 与圆有关的比例线段问题的处理思路：解决与圆有关的比例线段问题，常常结合圆的切割线定理、割线定理、相交弦定理等来进行分析，当然，在解题过程中善于发现、构造相似三角形，寻找平行线截线段成比例等也是解决问题的关键环节．变式训练4 如图，已知⊙O 的割线PAB 交⊙O 于A ，B 两点，割线PCD 经过圆心，若PA ＝3，AB ＝4，PO ＝5，则⊙O 的半径为__________．1．如图，ABCD 中，N 是AB 延长线上一点，BCBM －ABBN的值等于( )．A ．12B ．1C ．32D ．232．(原创题)如图，矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于点E ，则图中与△ABC 相似的三角形有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．(·北京丰台区3月模拟，12)如图所示，Rt△ABC 内接于圆，∠ABC ＝60°，PA 是圆的切线，A 为切点，PB 交AC 于点E ，交圆于点D .若PA ＝AE ，PD ＝3，BD ＝33，则AP ＝__________，AC ＝__________.4．(·湖北华中师大一附中5月模拟，15)如图所示，圆O 的直径为6，C 为圆周上一点，BC ＝3，过点C 作圆的切线l ，过点A 作l 的垂线AD ，垂足为D ，则CD ＝__________.5．如图，已知Rt △ABC 的两条直角边AC ，BC 的长分别为3 cm,4 cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于点D ，则BDDA=__________.6．(·江苏镇江5月模拟，21)如图，⊙O 的半径OB 垂直于直径AC ，D 为AO 上一点，BD 的延长线交⊙O 于点E ，过E 点的圆的切线交CA 的延长线于P .求证：PD 2＝PA ·PC .7．(·吉林长春实验中学模拟，22)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，过点A 的直线与△ABC 的外接圆交于点P ，交BC 的延长线于点D.(1)求证：PC AC ＝PD BD；(2)若AC ＝3，求AP ·AD 的值．参考答案命题调研·明晰考向 真题试做1．A 2．433．证明：(1)因为D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以DE ∥BC . 又已知CF ∥AB ，故四边形BCFD 是平行四边形， 所以CF ＝BD ＝AD . 而CF ∥AD ，连接AF ，所以ADCF 是平行四边形，故CD ＝AF . 因为CF ∥AB ，所以BC ＝AF ，故CD ＝BC . (2)因为FG ∥BC ，故GB ＝CF . 由(1)可知BD ＝CF ，所以GB ＝BD .而∠DGB ＝∠EFC ＝∠DBC ，故△BCD ∽△GBD . 精要例析·聚焦热点 热点例析【例1】解：(1)连接AC ，∵BC 为⊙O 的直径， ∴∠BAC ＝90°. 又∵PA 为切线， ∴∠BAP ＝∠C . 又∵∠P ＝∠P ， ∴△PAB ∽△PCA . ∴AP BP ＝AC BA ＝155＝3. ∴在Rt△ABC 中，tan∠ABC ＝AC AB ＝3. (2)由切割线定理，得PA 2＝PB ·PC ，即PA 2＝PB (PB ＋BC )．又PA ＝15，PB ＝5，∴BC ＝40. 设AB ＝x ，则AC ＝3x .由勾股定理，得AC 2＋AB 2＝BC 2，即x 2＋(3x )2＝402，得x ＝410(舍去负根)．连接BD ，在△PAB 和△ADB 中， ∠PAB ＝∠D ，∠P ＝∠BAD ， ∴△PAB ∽△ADB . ∴AD AP ＝AB PB， ∴AD ＝AP ·AB PB ＝15×4105＝1210.【变式训练1】证明：(1)因为MA 是圆O 的切线，所以OA ⊥AM .又因为AP ⊥OM ，在Rt△OAM 中，由射影定理，知OA 2＝OM ·OP . (2)因为BK 是圆O 的切线，BN ⊥OK ，同(1)，有OB 2＝ON ·OK ，又OB ＝OA ，所以OP ·OM ＝ON ·OK ， 即ON OP ＝OM OK， 又∠NOP ＝∠MOK ， 所以△ONP ∽△OMK ， 故∠OKM ＝∠OPN ＝90°.【例2】 证明：(1)因为AC BD ， 所以∠BCD ＝∠ABC ，又因为EC 与圆相切于点C ， 故∠ACE ＝∠ABC ， 所以∠ACE ＝∠BCD .(2)因为∠ECB ＝∠CDB ，∠EBC ＝∠BCD ， 所以△BDC ∽△ECB ， 故BC BE ＝CD BC，即BC 2＝BE ·CD .【变式训练2】证明：过A 作两圆的公切线，连接O 1A ，O 1B ，O 2C ，由弦切角定理，易得∠AO 2C ＝∠AO 1B ，所以O 1B ∥O 2C ，所以△O 1AB ∽△O 2AC ，所以AB ∶AC ＝O 1A ∶O 2A ＝r 1∶r 2. 故AB ∶AC 为定值．【例3】13 解析：∵∠P ＝∠P ，∠A ＝∠PCB ，∴△PCB ∽△PAD .∴PB PD ＝BC AD ＝13. 【变式训练3】证明：(1)因为EC ＝ED ，所以∠EDC ＝∠ECD . 因为A ，B ，C ，D 四点在同一圆上， 所以∠EDC ＝∠EBA ，故∠ECD ＝∠EBA ，所以CD ∥AB . (2)由(1)知，AE ＝BE ，因为EF ＝EG ，故∠EFD ＝∠EGC ， 从而∠FED ＝∠GEC .连接AF ，BG ，则△EFA ≌△EGB ，故∠FAE ＝∠GBE .又CD ∥AB ，∠EDC ＝∠ECD ， 所以∠FAB ＝∠GBA .所以∠AFG ＋∠GBA ＝180°. 故A ，B ，G ，F 四点共圆． 【例4】(1)证明：连接OE ，因为OE ＝OB ，所以∠OEB ＝∠OBE . 又因为BE 平分∠CBD ， 所以∠CBE ＝∠DBE .所以∠OEB ＝∠CBE . 所以EO ∥CB . 因为∠C ＝90°，所以∠AEO ＝90°，即AC ⊥OE .因为E 为⊙O 半径OE 的外端，所以AC 是⊙O 的切线． (2)解：因为AC 是⊙O 的切线，所以AE 2＝AD ·AB .因为AE ＝62，AD ＝6，所以(62)2＝6×AB .解得AB ＝12，则OD ＝OB ＝3. 因为EO ∥CB ，所以AO AB ＝OE BC. 所以912＝3BC.解得BC ＝4.【变式训练4】2 创新模拟·预测演练1．B 2．C 3．2 3 3 3 4．332 5．1696．证明：连接OE ，因为PE 切⊙O 于点E ， 所以∠OEP ＝90°.所以∠OEB ＋∠BEP ＝90°.因为OB ＝OE ，所以∠OBE ＝∠OEB . 因为OB ⊥AC 于点O ，所以∠OBE ＋∠BDO ＝90°.故∠BEP ＝∠BDO ＝∠PDE ，PD ＝PE . 又因为PE 切⊙O 于点E ，所以PE 2＝PA ·PC .故PD 2＝PA ·PC .7．(1)证明：∵∠CPD ＝∠ABC ，∠D ＝∠D ， ∴△DPC ∽△DBA ， ∴PC AB ＝PD BD. 又∵AB ＝AC ，∴PC AC ＝PD BD.(2)解：由(1)可得，∠ACD ＝∠APC ， ∵∠CAP ＝∠CAP ，∴△APC ∽△ACD ，∴AP AC ＝AC AD.∴AC 2＝AP ·AD ＝9.。
4-28几何证明选讲(选修4-1)
高考专题训练二十八 几何证明选讲(选修4－1) 班级________ 姓名_______ 时间：45分钟 分值：100分 总得分_______一、填空题(每小题6分，共30分)1．(2011·陕西)如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则BE ＝________.解析：由∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，知△ABE ∽△ADC ，∴AE AC ＝AB AD ，∴AE ＝AB AD ·AC ＝6×412＝2，∴BE ＝AB 2－AE 2＝32＝4 2.答案：4 22.(2011·湖南)如图，A 、E 是半圆周上的两个三等分点，直线BC ＝4，AD ⊥BC ，垂足为D ，BE 与AD 相交于点F ，则AF 的长为________．解析：如图所示，∵A 、E 是半圆周上两个三等分点，∴△ABO 和△AOE 均为正三角形．∴AE ＝BO ＝12BC ＝2.∵AD ⊥BC ， ∴AD ＝22－12＝3，BD ＝1.又∠BOA ＝∠OAE ＝60°，∴AE ∥BD .∴△BDF ∽△EAF ，∴DF AF ＝BD AE ＝12. ∴AF ＝2FD ，∴3AF ＝2(FD ＋AF )＝2AD ＝23，∴AF ＝233. 答案：2333．(2011·深圳卷)如图，A ，B 是两圆的交点，AC 是小圆的直径，D 和E 分别是CA 和CB 的延长线与大圆的交点，已知AC ＝4，BE ＝10，且BC ＝AD ，则DE ＝________.解析：连接AB ，设BC ＝AD ＝x ，结合图形可得△CAB 与△CED 相似，于是AC EC ＝CB CD. 即4x ＋10＝x 4＋x⇒x ＝2. 又因为AC 是小圆的直径，所以∠CBA ＝90°，由于∠CDE ＝∠CBA ，所以∠CDE ＝90°.在直角三角形CDE 中，DE ＝CE 2－CD 2＝122－62＝6 3.答案：6 34．(2011·佛山卷)如图，过圆外一点P 作⊙O 的割线PBA 与切线PE ，E 为切点，连接AE 、BE ，∠APE 的平分线分别与AE 、BE 相交于点C 、D ，若∠AEB ＝30°，则∠PCE ＝________.解析：由切割线性质得：PE 2＝PB ·PA ，即PE PA ＝PB PE， ∴△PBE ∽△PEA ，∴∠PEB ＝∠PAE ，又△PEA 的内角和为2(∠CPA ＋∠PAE )＋30°＝180°，所以∠CPA ＋∠PAE ＝75°，即∠PCE ＝75°.答案：75°5.如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD＝a ，CD ＝a 2，点E ，F 分别为线段AB ，AD 的中点，则EF ＝________.分析：本题考查勾股定理及三角形中位线的性质．解析：连接BD 、DE ，由题意可知DE ⊥AB ，DE ＝32a ，BC ＝DE ＝32a ，∴BD ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2＝a ，∴EF ＝12BD ＝a 2. 答案：a 2二、解答题(每小题10分，共70分) 6．如图，已知△ABC 的两条角平分线AD 和CE 相交于H ，∠B ＝60°，F 在AC 上，且AE ＝AF .(1)求证：B ，D ，H ，E 四点共圆；(2)求证：CE 平分∠DEF .证明：(1)在△ABC中，因为∠B＝60°，所以∠BAC＋∠BCA＝120°.因为AD，CE是角平分线，所以∠HAC＋∠HCA＝60°，故∠AHC＝120°.于是∠EHD＝∠AHC＝120°.因为∠EBD＋∠EHD＝180°，所以B，D，H，E四点共圆．(2)连接BH，则BH为∠ABC的平分线，所以∠HBD＝30°.由(1)知B，D，H，E四点共圆，所以∠CED＝∠HBD＝30°.又∠AHE＝∠EBD＝60°，由已知可得EF⊥AD，可得∠CEF＝30°，所以CE平分∠DEF.7．如图所示，⊙O为△ABC的外接圆，且AB＝AC，过点A的直线交⊙O于D，交BC的延长线于F，DE是BD的延长线，连接CD.(1)求证：∠EDF＝∠CDF；(2)求证：AB2＝AF·AD.证明：(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠CDF＝∠ABC.又∠ADB与∠EDF是对顶角，∴∠ADB＝∠EDF.又∠ADB＝∠ACB，∴∠EDF＝∠CDF.(2)由(1)知∠ADB ＝∠ABC .又∵∠BAD ＝∠F AB ，∴△ADB ∽△ABF ，∴AB AF ＝AD AB，∴AB 2＝AF ·AD . 8．(2011·辽宁)如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC ＝ED .(1)证明：CD ∥AB ；(2)延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF ＝EG ，证明：A ，B ，G ，F 四点共圆．证明：(1)因为EC ＝ED ，所以∠EDC ＝∠ECD .因为A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，所以∠EDC ＝∠EBA ，故∠ECD ＝∠EBA .所以CD ∥AB .(2)由(1)知，AE ＝BE ，因为EF ＝EG ，故∠EFD ＝∠EGC ，从而∠FED ＝∠GEC .连接AF ，BG ，则△EFA ≌△EGB ，故∠F AE ＝∠GBE .又CD ∥AB ，∠EDC ＝∠ECD ，所以∠F AB ＝∠GBA ，所以∠AFG ＋∠GBA ＝180°，故A ，B ，G ，F 四点共圆．9．已知，如图，AB 是⊙O 的直径，G 为AB 延长线上的一点，GCD 是⊙O 的割线，过点G 作AB 的垂线，交直线AC 于点E ，交AD 于点F ，过G 作⊙O 的切线，切点为H .求证：(1)C ，D ，F ，E 四点共圆；(2)GH 2＝GE ·GF .证明：(1)连接CB ，∵∠ACB ＝90°，AG ⊥FG ，又∵∠EAG ＝∠BAC ，∴∠ABC ＝∠AEG .∵∠ADC ＝180°－∠ABC ＝180°－∠AEG ＝∠CEF ，∴∠ADC ＋∠FDC ＝∠CEF ＋∠FDC ＝180°，∴C ，D ，F ，E 四点共圆．(2)由C ，D ，F ，E 四点共圆，知∠GCE ＝∠AFE ，∠GEC ＝∠GDF ，∴△GCE ∽△GFD ，故GC GF ＝GE GD，即GC ·GD ＝GE ·GF .∵GH 为圆的切线，GCD 为割线，∴GH 2＝GC ·GD ，∴GH 2＝GE ·GF .10．(2011·课标)如图，D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程x 2－14x ＋mn ＝0的两个根．(1)证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；(2)若∠A ＝90°，且m ＝4，n ＝6，求C ，B ，D ，E 所在圆的半径． 解：(1)证明：连接DE ，根据题意在△ADE 和△ACB 中，AD ×AB ＝mn ＝AE ×AC ，即AD AC ＝AE AB.又∠DAE ＝∠CAB ，从而△ADE ∽△ACB . 因此∠ADE ＝∠ACB .所以C ，B ，D ，E 四点共圆．(2)m ＝4，n ＝6时，方程x 2－14x ＋mn ＝0的两根为x 1＝2，x 2＝12.故AD ＝2，AB ＝12.取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH .因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH .由于∠A ＝90°，故GH ∥AB ，HF ∥AC .从而HF ＝AG ＝5，DF ＝12(12－2)＝5.故C，B，D，E四点所在圆的半径为5 2.11.(2011·哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学第一次联考)已知四边形PQRS是圆内接四边形，∠PSR＝90°，过点Q作PR、PS的垂线，垂足分别为点H、K.(1)求证：Q、H、K、P四点共圆；(2)求证：QT＝TS.证明：(1)∵∠PHQ＝∠PKQ＝90°，∴Q、H、K、P四点共圆．(2)∵Q、H、K、P四点共圆，∴∠HKS＝∠HQP，①∵∠PSR＝90°，∴PR为圆的直径，∴∠PQR＝90°，∠QRH＝∠HQP，②而∠QSP＝∠QRH，③由①②③得，∠QSP＝∠HKS，TS＝TK，又∠SKQ＝90°，∵∠SQK＝∠TKQ，∴QT＝TK，∴QT＝TS.12．(2011·河南省教学质量调研)如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB、FC.(1)求证：FB ＝FC ；(2)求证：FB 2＝FA ·FD ；(3)若AB 是△ABC 外接圆的直径，∠EAC ＝120°，BC ＝6 cm ，求AD 的长．解：(1)证明：∵AD 平分∠EAC .∴∠EAD ＝∠DAC .∵四边形AFBC 内接于圆，∴∠DAC ＝∠FBC .∵∠EAD ＝∠F AB ＝∠FCB ，∴∠FBC ＝∠FCB ，∴FB ＝FC .(2)证明：∵∠F AB ＝∠FCB ＝∠FBC ，∠AFB ＝∠BFD ，∴△FBA ∽△FDB ，∴FB FD ＝FA FB， ∴FB 2＝FA ·FD .(3)∵AB 是圆的直径，∴∠ACB ＝90°.∵∠EAC ＝120°，∴∠DAC ＝12∠EAC ＝60°，∠BAC ＝60°. ∴∠D ＝30°.∵BC ＝6 cm ，∴AC ＝23cm ，∴AD ＝2AC ＝43cm.。
高考复习数学(理)试题：选修4-1几何证明选讲Word版含答案
第一节相似三角形的判定及有关性质考纲要求：1.了解平行线截割定理．2．会证明并应用直角三角形射影定理．1．平行线的截割定理(1)平行线等分线段定理定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．(2)平行线分线段成比例定理定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．2．相似三角形的判定及性质(1)相似三角形的判定定理①判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．②判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．③判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似．(2)相似三角形的性质定理①性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．②推论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．(3)直角三角形相似的判定定理①判定定理1：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似．②判定定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似．③判定定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(4)直角三角形射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．[自我查验]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)梯形的中位线平行于两底，且等于两底和．( )(2)若一条直线截三角形的两边(或其延长线)所得对应线段成比例，则此直线与三角形的第三边平行．( )(3)在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，若AD 2＝BD ·CD ，则∠A 为直角．( ) (4)在直角三角形ABC 中，AC ⊥BC ，CD ⊥AD ，则BC 2＝BD ·AB .( ) (5)若两个三角形的相似比等于1，则这两个三角形全等．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√2.如图，F 为▱ABCD 的边AD 延长线上的一点，DF ＝AD ，BF 分别交DC ，AC 于G ，E 两点，EF ＝16，GF ＝12，则BE 的长为________．解析：由DF ＝AD ，AB ∥CD 知BG ＝GF ＝12，又EF ＝16知EG ＝4，故BE ＝8. 答案：83.如图，AB ∥EM ∥DC ，AE ＝ED ，EF ∥BC ，EF ＝12 cm ，则BC 的长为________ cm.解析：⎭⎪⎬⎪⎫AB ∥EM ∥DC AE ＝ED⇒E 为AD 中点，M 为BC 的中点，又EF ∥BC ⇒EF ＝MC ＝12 cm. ∴BC ＝2MC ＝24 cm. 答案：244.如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC 且ADDB ＝2，那么△ADE 与四边形DBCE 的面积比是________．解析：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴S △ADE S △ABC ＝AD 2AB 2. ∵AD DB ＝2，∴AD AB ＝23， ∴S △ADE S △ABC ＝49，故S △ADE S 四边形DBCE ＝45. 答案：45[典题1] (1)如图，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，点E 是BD 的中点，AE 交BC 于点F ，求BFFC的值．第(1)题图 第(2)题图(2)如图，等边三角形DEF 内接于△ABC ，且DE ∥BC ，已知AH ⊥BC 于点H ，BC ＝4，AH ＝3，求△DEF 的边长．[听前试做] (1)如图，过点D 作DM ∥AF 交BC 于点M . ∵点E 是BD 的中点，∴在△BDM 中，BF ＝FM . 又点D 是AC 的中点， ∴在△CAF 中，CM ＝MF ，∴BF FC ＝BF FM ＋MC ＝12. (2)设DE ＝x ，AH 交DE 于点M ，显然MH 的长度与等边三角形DEF 的高相等，又DE ∥BC ，则DE BC ＝AM AH ＝AH －MHAH ，∴x4＝3－32x 3＝2－x 2，解得x ＝43.即△DEF 的边长为43.对于平行线分线段成比例定理，往往会以相似三角形为载体，通过三角形相似来构建相应线段比，从而解决问题．解题时要充分利用中点来作辅助线，建立三角形的中位线或梯形的中位线，从而有效利用平行线分线段成比例定理．如图，在四边形ABCD 中，EF ∥BC ，FG ∥AD ，求EF BC ＋FGAD的值．解：由平行线分线段成比例定理得 EF BC ＝AF AC ，FG AD ＝FC AC ， 故EF BC ＋FG AD ＝AF AC ＋FC AC ＝AC AC＝1.[典题2] 如图，已知在△ABC 中，D 是BC 边的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F .(1)求证：△ABC ∽△FCD ；(2)若S △FCD ＝5，BC ＝10，求DE 的长．[听前试做] (1)证明：因为DE ⊥BC ，D 是BC 的中点，所以EB ＝EC ，所以∠B ＝∠BCE .又因为AD ＝AC ，所以∠ADC ＝∠ACB .所以△ABC ∽△FCD .(2)如图，过点A 作AM ⊥BC ，垂足为点M .因为△ABC ∽△FCD ，BC ＝2CD ，所以S △ABCS △FCD ＝⎝⎛⎭⎫BC CD 2＝4.又因为S △FCD ＝5，所以S △ABC ＝20. 因为S △ABC ＝12BC ·AM ，BC ＝10，所以20＝12×10×AM ，所以AM ＝4.因为DE ∥AM ，所以DE AM ＝BDBM .因为DM ＝12DC ＝52，BM ＝BD ＋DM ，所以DE 4＝55＋52，解得DE ＝83.(1)判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题．(2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间接证明线段相等．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，E 为AC 的中点，ED ，CB 延长线交于一点F .求证：FD 2＝FB ·FC .证明：∵E 是Rt △ACD 斜边中点，∴ED ＝EA ，∴∠A ＝∠1， ∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠A ，∵∠FDC ＝∠CDB ＋∠2＝90°＋∠2，∠FBD ＝∠ACB ＋∠A ＝90°＋∠A ， ∴∠FBD ＝∠FDC .∵∠F 是公共角，∴△FBD ∽△FDC ， ∴FB FD ＝FDFC ，∴FD 2＝FB ·FC .[典题3] 如图，在△ABC 中，D 、F 分别在AC 、BC 上，且AB ⊥AC ，AF ⊥BC ，BD ＝DC ＝FC ＝1，求AC .[听前试做] 在△ABC 中，设AC 为x ， ∵AB ⊥AC ，AF ⊥BC ，又FC ＝1，根据射影定理，得AC 2＝FC ·BC ，即BC ＝x 2.再由射影定理，得AF 2＝BF ·FC ＝(BC －FC )·FC ，即AF 2＝x 2－1， ∴AF ＝x 2－1.在△BDC 中，过D 作DE ⊥BC 于E . ∵BD ＝DC ＝1，∴BE ＝EC ＝12x 2.又∵AF ⊥BC ，∴DE ∥AF ，∴DE AF ＝DCAC ，∴DE ＝DC ·AF AC＝x 2－1x. 在Rt △DEC 中，∵DE 2＋EC 2＝DC 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x 2＋⎝⎛⎭⎫12x 22＝12，∴x 2－1x 2＋x 44＝1. 整理得x 6＝4，∴x ＝32，即AC ＝32.(1)在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”． (2)证题时，作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法．如图所示，在△ABC 中，∠CAB ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，BE 是∠ABC 的角平分线，交AD 于点F ，求证：DF AF ＝AE EC.证明：∵BE 是∠ABC 的角平分线， ∴DF AE ＝BDAB ，① AF EC ＝AB BC.② 在Rt △ABC 中，由射影定理知， AB 2＝BD ·BC ，即BD AB ＝ABBC .③由①③得DF AE ＝ABBC ，④由②④得DF AF ＝AEEC.—————————————[课堂归纳——感悟提升]——————————————[方法技巧]1．证明两个三角形相似的关键是根据判定定理找(证)两个三角形的边和角之间的数量关系．有的证明起来比较简单，但有的找边角关系比较困难，这就要求我们必须提高读图、识图、添加必要辅助线的能力．2．等积式的证明方法证明等积式，化成比例式，用分子、分母四个字母构造三角形，或等号同侧四个字母构造三角形，证此两三角形相似．不能构成三角形或三角形不相似需转化．[易错防范]1．平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例，在运用平行线分线段成比例定理时要注意平行线的不同位置，以及在三角形与四边形中的灵活应用．2．证明线段成比例，若已知条件中没有平行线，但有三角形相似的条件(如角相等，有相等的比例式等)，常考虑相似三角形的性质构造比例或利用中间比求解．1.在△ABC 中，∠BAC ＝90°，BC 边的垂直平分线EM 和AB 以及CA 的延长线分别交于D 、E ，连接AM ，求证：AM 2＝DM ·EM .证明：∵∠BAC ＝90°，M 是BC 边的中点，∴AM ＝CM ，∠MAC ＝∠C . 又∵EM ⊥BC ，∴∠E ＋∠C ＝90°.又∵∠BAM ＋∠MAC ＝90°，∴∠E ＝∠BAM . 又∵∠EMA ＝∠AMD ，∴△AMD ∽△EMA . ∴AM DM ＝EM AM，∴AM 2＝DM ·EM . 2.如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，DE ＝12CD ，BE 与AD 交于点F .(1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)若△DEF 的面积为2，求平行四边形ABCD 的面积． 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠BAF ＝∠BCD ，AB ∥CD ， ∴∠ABF ＝∠CEB ，∴△ABF ∽△CEB . (2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴△DEF ∽△CEB ，△DEF ∽△ABF .∴S △DEF S △CEB ＝⎝⎛⎭⎫DE CE 2，S △DEF S △ABF ＝⎝⎛⎭⎫DE AB 2. 又DE ＝12CD ＝12AB ，∴CE ＝DE ＋CD ＝DE ＋2DE ＝3DE . ∴S △DEF S △CEB ＝⎝⎛⎭⎫DE CE 2＝19，S △DEF S △ABF ＝⎝⎛⎭⎫DE AB 2＝14. ∵S △DEF ＝2，∴S △CEB ＝18，S △ABF ＝8.∴平行四边形ABCD 的面积S ＝S △ABF ＋S △CEB －S △DEF ＝8＋18－2＝24.3．如图，M 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点，直线l 过点M 分别交AD ，AC 于点E ，F ，交CB 的延长线于点N .若AE ＝2，AD ＝6，求AFAC的值．解：∵AD ∥BC ，∴△AEF ∽△CNF ， ∴AF CF ＝AE CN， ∴AF AF ＋CF ＝AE AE ＋CN. ∵M 为AB 的中点，∴AE BN ＝AMBM ＝1，∴AE ＝BN ，∴AF AC ＝AF AF ＋CF ＝AE AE ＋BN ＋BC ＝AE 2AE ＋BC . ∵AE ＝2，BC ＝AD ＝6，∴AF AC ＝22×2＋6＝15.4.如图所示，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，F 为AB 上任意一点，CF 交AD 于点E .求证：AE ·BF ＝2DE ·AF .证明：过点D 作AB 的平行线DM 交AC 于点M ，交FC 于点N .在△BCF 中，D 是BC 的中点，DN ∥BF ， ∴DN ＝12BF .∵DN ∥AF ，∴△AFE ∽△DNE ， ∴AE AF ＝DE DN. 又DN ＝12BF ，∴AE AF ＝2DEBF ，即AE ·BF ＝2DE ·AF .5. (2016·南阳模拟)如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE ＝13AC ，BD ＝13AB ，点F 在BC 上，且CF ＝13BC .求证：(1)EF ⊥BC ； (2)∠ADE ＝∠EBC .证明：设AB ＝AC ＝3a ，则AE ＝BD ＝a ，CF ＝2a . (1)CE CB ＝2a 32a ＝23，CF CA ＝2a 3a ＝23. 又∠C 为公共角，故△BAC ∽△EFC ， 由∠BAC ＝90°，∴∠EFC ＝90°，∴EF ⊥BC . (2)由(1)得EF ＝2a ，故AE EF ＝a 2a ＝22，AD FB ＝2a 22a ＝22， ∴AE EF ＝AD FB. ∵∠DAE ＝∠BFE ＝90°，∴△ADE ∽△FBE ，∴∠ADE ＝∠EBC .6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AB ，AC 上的点，AD ，EF 交于P ，若BD ＝DC ，AE ＝AF .求证：AB AC ＝PFPE.证明：过F 作MN ∥AD 交BA 的延长线及DC 于M ，N .对△MEF 有PF PE ＝AMAE ，因为AE ＝AF ，所以PF PE ＝AMAF .对△MBN 有AB AM ＝BDDN ，因为BD ＝DC ，所以AB AM ＝DCDN .对△ADC 有AC AF ＝DC DN ，所以AB AM ＝ACAF .所以AB AC ＝AM AF ，所以AB AC ＝PFPE.第二节 直线与圆的位置关系考纲要求：1.会证明并应用圆周角定理，圆的切线的判定定理与性质定理． 2．会证明并应用相交弦定理，圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理．1．圆周角(1)定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． (2)推论1：①同弧或等弧所对的圆周角相等． ②同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． (3)推论2：①半圆(或直径)所对的圆周角是直角． ②90°的圆周角所对的弦是直径． 2．圆的切线(1)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．3．弦切角定理及其推论(1)定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半．(2)推论：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．4．圆中的比例线段(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．(4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．[自我查验]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)同弧所对的圆心角与圆周角相等．()(2)若一个四边形的一个外角等于它的内角，则这个四边形的四个顶点共圆．()(3)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．()(4)弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角的一半．()(5)从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的乘积．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×2.如图，P是圆O外一点，过P引圆O的两条割线PB，PD，P A＝AB＝5，CD＝3，则PC 的长为________．解析：设PC＝x，由割线定理知P A·PB＝PC·PD.即5×25＝x(x＋3)，解得x＝2或x＝－5(舍去)．故PC＝2.答案：23．如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B.过P A的中点Q作割线交⊙O于C，D两点．若QC＝1，CD＝3，则PB＝________.解析：由切割线定理，得QA2＝QC·QD＝4⇒QA＝2，则PB＝P A＝2QA＝4.答案：44．如图所示，A，B是两圆的交点，AC是小圆的直径，D，E分别是CA，CB的延长线与大圆的交点，已知AC＝4，BE＝10，且BC＝AD，则AB＝________.解析：设x＝BC＝AD，由圆外一点向圆引两条割线的结论得到x(x＋10)＝4(x＋4)，∴x＝2，∴AB＝42－22＝2 3.答案：2 3[典题1](2015·新课标全国卷Ⅰ)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E.(1)若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；(2)若OA＝3CE，求∠ACB的大小．[听前试做](1)证明：如图，连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB.在Rt△AEC中，由已知得DE＝DC，故∠DEC＝∠DCE.连接OE，则∠OBE＝∠OEB.又∠ACB＋∠ABC＝90°，所以∠DEC＋∠OEB＝90°，故∠OED＝90°，即DE是⊙O的切线．(2)设CE＝1，AE＝x.由已知得AB＝23，BE＝12－x2.由射影定理可得AE2＝CE·BE，即x2＝12－x2，即x4＋x2－12＝0.解得x＝3，所以∠ACB＝60°.(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．(2015·新课标全国卷Ⅱ)如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．(1)证明：EF∥BC；(2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝23，求四边形EBCF的面积．解：(1)证明：由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB的平分线．又因为⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AE＝AF，故AD⊥EF，从而EF∥BC.(2)由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF，故AD是EF的垂直平分线．又EF 为⊙O 的弦， 所以O 在AD 上． 连接OE ，OM ，则OE ⊥AE .由AG 等于⊙O 的半径得AO ＝2OE ，所以∠OAE ＝30°. 因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形． 因为AE ＝23，所以AO ＝4，OE ＝2.因为OM ＝OE ＝2，DM ＝12MN ＝3，所以OD ＝1.于是AD ＝5，AB ＝1033.所以四边形EBCF 的面积为12×⎝⎛⎭⎫10332×32－12×(23)2×32＝1633.[典题2] 如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E 、F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC ·AE ＝DC ·AF ，B ，E ，F ，C 四点共圆．(1)证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；(2)若DB ＝BE ＝EA ，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值． [听前试做] (1)证明：因为CD 为△ABC 外接圆的切线，所以∠DCB ＝∠A ，由题设知BC AF ＝DCAE ，故△CDB ∽△AEF ，所以∠DBC ＝∠EF A .因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以∠CFE ＝∠DBC ，故∠EF A ＝∠CFE ＝90°.所以∠CBA ＝90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．(2)连接CE ，因为∠CBE ＝90°，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE ，由DB ＝BE ，有CE ＝DC ，又BC 2＝DB ·BA ＝2DB 2，所以CA 2＝4DB 2＋BC 2＝6DB 2.而DC 2＝DB ·DA ＝3DB 2，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12.证明四点共圆的常用方法(1)利用圆内接四边形的判定定理，证明四点组成的四边形的对角互补；(2)证明它的一个外角等于它的内对角；(3)证明四点到同一点的距离相等．当证明四点共圆以后，圆的各种性质都可以得到应用．如图，AB是⊙O的直径，G是AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AG的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F，过点G作⊙O的切线，切点为H.(1)求证：C，D，E，F四点共圆；(2)若GH＝6，GE＝4，求EF的长．解：(1)证明：连接DB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，在Rt△ABD和Rt△AFG中，∠ABD＝∠AFE，又∵∠ABD＝∠ACD，∴∠ACD＝∠AFE.∴C，D，E，F四点共圆．(2)∵C，D，E，F四点共圆，∴GE·GF＝GC·GD.∵GH是⊙O的切线，∴GH2＝GC·GD，∴GH2＝GE·GF.又GH＝6，GE＝4，∴GF＝9.∴EF＝GF－GE＝9－4＝5.[典题3]如图，P是⊙O外一点，P A是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2P A，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：(1)BE＝EC；(2)AD·DE＝2PB2.[听前试做]连接AB，AC.由题设知P A＝PD，故∠P AD＝∠PDA.(1)因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，∠P AD＝∠BAD＋∠P AB，∠DCA＝∠P AB，所以∠DAC＝∠BAD，从而BE＝EC.因此BE＝EC.(2)由切割线定理得P A2＝PB·PC.因为P A＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，所以AD·DE＝2PB2.涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段，常利用圆周角或弦切角证明三角形相似，在相似三角形中寻找比例线段；也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例，在实际应用中，一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理，涉及两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时要注意应用切割线定理．如图所示，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1，⊙O2于点D，E，DE与AC相交于点P.(1)求证：AD ∥EC ；(2)若AD 是⊙O 2的切线，且P A ＝6，PC ＝2，BD ＝9，求AD 的长． 解：(1)证明：连接AB .因为AC 是⊙O 1的切线，所以∠BAC ＝∠ADB . 又∠BAC ＝∠CEP ，所以∠ADB ＝∠CEP ， 所以AD ∥EC .(2)法一：因为P A 是⊙O 1的切线，PD 是⊙O 1的割线， 所以P A 2＝PB ·PD ，即62＝PB ·(PB ＋9)． 所以PB ＝3或PB ＝－12(舍去)．在⊙O 2中由相交弦定理，得P A ·PC ＝BP ·PE ，所以PE ＝4. 所以DE ＝BD ＋PB ＋PE ＝9＋3＋4＝16. 因为AD 是⊙O 2的切线，DE 是⊙O 2的割线， 所以AD 2＝DB ·DE ＝9×16.所以AD ＝12. 法二：设BP ＝x ，PE ＝y . 因为P A ＝6，PC ＝2，所以由相交弦定理得P A ·PC ＝BP ·PE ，即xy ＝12.① 因为AD ∥EC ，所以DP PE ＝APPC ，所以9＋x y ＝62.②联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝－1(舍去)，所以DE ＝9＋x ＋y ＝16.因为AD 是⊙O 2的切线，DE 是⊙O 2的割线， 所以AD 2＝DB ·DE ＝9×16.所以AD ＝12.—————————————[课堂归纳——感悟提升]——————————————[方法技巧]1．处理与圆有关的比例线段问题的常见思路：(1)利用相似三角形；(2)利用圆的有关定理；(3)利用平行线分线段成比例定理及推论；(4)利用面积关系．2．圆内接四边形的性质定理是探求圆中角相等或互补关系的常用定理，使用时要注意观察图形，弄清四边形的外角和它的内对角的位置．其性质定理是沟通角的相等关系的重要依据，解题时要注意与圆周角、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系以及垂径定理的联系与综合．3．切点与圆心的连线与圆的切线垂直；过切点且与圆的切线垂直的直线过圆心．4．相离两圆的内公切线夹在外公切线间的线段长等于两圆外公切线的长．[易错防范]1．圆周角定理与弦切角定理多用于证明角的关系，从而证明三角形全等或相似，也可用于求线段的长或角的大小及与圆的切线有关的问题．2．相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明，解决问题时要注意相似三角形的知识及相关圆的性质的综合应用．1．如图，AB为圆O的直径，BC为圆O的切线，连接OC.D为圆O上一点，且AD∥OC.(1)求证：CO平分∠DCB；(2)已知AD·OC＝8，求圆O的半径．解：(1)证明：连接OD，BD，∵AB是直径，∴AD⊥BD，∴OC⊥BD.设BD∩OC＝E，OD＝OB，OE＝OE，∴△BOE≌△DOE，∴BE＝DE，同理，△CBE≌△CDE，∴∠BCO＝∠DCO，∴CO平分∠DCB.(2)∵AO＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，又∵AD∥OC，∴∠DOC＝∠ODA，∴∠DOC＝∠OAD，∴Rt△BDA∽Rt△CDO.∴AD·OC＝AB·OD＝2OD2＝8.所以所求圆的半径为2.2．(2015·湖南高考)如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：(1)∠MEN＋∠NOM＝180°；(2)FE·FN＝FM·FO.证明：(1)如图所示，因为M，N分别是弦AB，CD的中点，所以OM⊥AB，ON⊥CD，即∠OME＝90°，∠ENO＝90°，因此∠OME＋∠ENO＝180°.又四边形的内角和等于360°，故∠MEN＋∠NOM＝180°.(2)由(1)知，O，M，E，N四点共圆，故由割线定理即得FE·FN＝FM·FO.3．(2015·陕西高考)如图，AB 切⊙O 于点B ，直线AO 交⊙O 于D ，E 两点，BC ⊥DE ，垂足为C .(1)证明：∠CBD ＝∠DBA;(2)若AD ＝3DC ，BC ＝2，求⊙O 的直径．解：(1)证明：因为DE 为⊙O 的直径，所以∠BED ＋∠EDB ＝90°.又BC ⊥DE ，所以∠CBD ＋∠EDB ＝90°，从而∠CBD ＝∠BED .又AB 切⊙O 于点B ，得∠DBA ＝∠BED ，所以∠CBD ＝∠DBA .(2)由(1)知BD 平分∠CBA ，则BA BC ＝AD CD＝3. 又BC ＝2，从而AB ＝3 2.所以AC ＝AB 2－BC 2＝4，所以AD ＝3. 由切割线定理得AB 2＝AD ·AE ，即AE ＝AB 2AD＝6， 故DE ＝AE －AD ＝3，即⊙O 的直径为3.4. (2016·开封模拟)如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB ＝CE .(1)证明：∠D ＝∠E;(2)设AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为M ，且MB ＝MC ，证明：△ADE 为等边三角形． 证明：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.由已知CB＝CE得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．5．(2016·南昌模拟)如图所示，P A为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，P A＝20，PB＝10，∠BAC 的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E.(1)求证：AB·PC＝P A·AC；(2)求AD·AE的值．解：(1)证明：∵P A为圆O的切线，∴∠P AB＝∠ACP，又∠P为公共角，∴△P AB∽△PCA，∴AB·PC＝P A·AC.(2)∵P A为圆O的切线，PBC是过点O的割线，∴P A2＝PB·PC，∴PC＝40，BC＝30.又∠CAB＝90°，∴AC2＋AB2＝BC2＝900，又由(1)知ABAC＝P APC＝12，∴AC＝125，AB＝65，连接EC，则∠CAE＝∠EAB，∠CEA＝∠DBA，∴△ACE∽△ADB，∴AB AE ＝AD AC，AD ×AE ＝AB ×AC ＝65×125＝360. 6．(2016·唐山模拟)如图，圆周角∠BAC 的平分线与圆交于点D ，过点D 的切线与弦AC 的延长线交于点E ，AD 交BC 于点F .(1)求证：BC ∥DE ；(2)若D ，E ，C ，F 四点共圆，且AC ＝BC ，求∠BAC .解：(1)证明：因为∠EDC ＝∠DAC ，∠DAC ＝∠DAB ，∠DAB ＝∠DCB ，所以∠EDC ＝∠DCB ，所以BC ∥DE .(2)因为D ，E ，C ，F 四点共圆，所以∠CF A ＝∠CED ，由(1)知∠ACF ＝∠CED ，所以∠CF A ＝∠ACF .设∠DAC ＝∠DAB ＝x ，因为AC ＝BC ，所以∠CBA ＝∠BAC ＝2x ，所以∠CF A ＝∠FBA ＋∠F AB ＝3x ，在等腰三角形ACF 中，π＝∠CF A ＋∠ACF ＋∠CAF ＝7x ，则x ＝π7，所以∠BAC ＝2x ＝2π7.。
选修4-1几何证明选讲练习题
几何证明选讲专项练习1. (2008梅州一模文)如图所示，在四边形ABCD 中，EF//BC ，FG//AD ，则EF FG+=BC AD． 2. (2008广州一模文、理)在平行四边形ABCD 中， 点E 在边AB 上，且AE ：EB=1：2，DE 与AC 交于 点F ，若△AEF 的面积为6cm 2，则△ABC 的面积为 cm 2．3.(2007广州一模文、理)如图所示，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，CD=4，BD=8，则圆O 的半径等于 ．4.(2007深圳二模文)如图所示，从圆O作圆O 的割线PAB 、PCD ，AB 是圆O 若PA=4，PC=5，CD=3，则∠CBD= __. 5. (2008广东文、理)已知PA 是圆O PA=2. AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点则圆O 的半径R=_______.6. (2007广东文、理) 如图所示，圆O AB=6，C 圆周上一点，BC=3，过C 过A 作l 的垂线AD ，AD 分别与直线l D 、E，则∠DAC ＝ __，线段AE 的长为7. (2008韶关一模理)如图所示，PC 切⊙O 于 点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD ⊥AB 于点E ，PC=4，PB=8，则CD=________.8.(2008深圳调研文)如图所示，从圆O 外一点A 引圆的切线AD 和割线ABC ，已知AD=，AC=6，圆O 的半径为3，则圆心O 到AC 的距 离为________. 9.(2008东莞调研文、理)如图所示,圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，CD=4，则圆O 的半径等于 ．10. (2008韶关调研理)如图所示，圆O 是△ABC 的外接圆，过点C 的切线交AB的延长线于点D ，CD=AB=BC=3.则BD 的长______，AC 的长_______． 11.(2007韶关二模理) 如图， ⊙O′和⊙O 相交于A 和B ， PQ 切⊙O 于P ，交⊙O′于Q 和M ，交AB 的延长线于N ， MN=3，NQ=15，则 PN ＝______．12. (2008广州二模文、理)如图所示, 圆的内接△ABC 的∠C 的平分线CD 延长后交圆于点E ， 连接BE ，已知BD=3，CE=7，BC=5，则线段 BE= .13.（2007湛江一模文）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，MN 切⊙O 于A ，∠MAB=250，则∠D= ___ .14.(2007湛江一模理)如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 交BC于F ，则BF =FC .15.(2008惠州一模理)如图：EB 、EC 是⊙O 的两 条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E ＝460，∠DCF ＝320，则∠A 的度数是 .16. (2008汕头一模理) 如图，AB 是圆O 直线CE 和圆O 相切于点C ，AD ⊥CE 于D ， 若AD=1，∠ABC=300，则圆O 的面积是______.17.(2008佛山一模理)如图，AB 、CD 是圆O 的两条弦，且AB 是线段CD 的中垂线，已知AB=6，CD=52， 则线段AC 的长度为 ．18.已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ∥EF ， E 是AB 的中点，EF 交BD 于G ，交AC 于H. 若 AD=5，BC=7，则GH=________. 19.如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D.AD=2，AC= 52，则AB=____ __,CD=___ __.A B CDE FBA DCENBADCE ABCDABCDE FGHB20.如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且1PB =BC 2，则PAPB的值是________.21.如图，⊙O 的割线PAB 交⊙O 于A 、B 两点，割线 PCD 经过圆心O ，PE 是⊙O 的切线。
人教版高中数学选修4-1《几何证明选讲》专题练习
《几何证明选讲》习题一考试纲领说明的详细要求：1.认识平行线截割定理，会证直角三角形射影定理.2 会证圆周角定理、圆的切线的判断定理及性质定理.3.会证订交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判断定理、切割线定理.4.认识平行投影的含义，经过圆柱与平面的地点关系，认识平行投影；会证平面与圆柱面的截线是椭圆(特别情况是圆).5.认识下边定理：O，定理在空间中，取直线l 为轴，直线l′与l 订交于点其夹角为α，l′环绕l旋转获得以O 为极点， l′为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l 交角为β( π与 l 平行，记β＝0)，则：①β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；②β=α，平面π与圆锥的交线为抛物线；③β<α，平面π与圆锥的交线为双曲线.一、基础知识填空：1.平行线均分线段定理:假如一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其余直线上截得的线段_________.推论1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必______________.推论2:经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线________________.2.平行线分线段成比率定理：三条平行线截两条直线，所得的________________ 成比率.推论：平行于三角形一边的直线截其余两边(或两边的延伸线)所得的对应线段___________.3.相像三角形的性质定理：相像三角形对应高的比、对应中线的比、对应角均分线的比都等于______；相像三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于_________________ ；相像三角形面积的比、外接圆的面积比都等于____________________ ；4.直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是 ______________________ 的比率中项；两直角边分别是它们在斜边上 _______与 _________的比率中项 .5.圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的____________的一半.圆心角定理：圆心角的度数等于_______________ 的度数.推论1：同弧或等弧所对的圆周角_________；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧_______.推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是____； 90o的圆周角所对的弦是________.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的______________.6.圆内接四边形的性质定理与判断定理：圆的内接四边形的对角______；圆内接四边形的外角等于它的内角的_____.假如一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个极点______；假如四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个极点_________.7.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的__________.推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过_______；经过切点且垂直于切线的直线必经过______.切线的判断定理：经过半径的外端而且垂直于这条半径的直线是圆的________.8.订交弦定理 :圆内两条订交弦，_____________________ 的积相等 .割线定理 :从圆外一点引圆的两条割线，_____________ 的两条线段长的积相等.切割线定理 :从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是__________ 的比率中项 .切线长定理 :从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长____；圆心和这点的连线均分_____的夹角 .A二、经典试题：1.如下图，在四边形ABCD 中，E FBDG CEF//BC ， FG//AD ，则EF+FG=．BC AD2.在平行四边形ABCD 中，点 E 在边 AB 上，且 AE ： EB=1 ：2， DE 与 AC 交于D C 点 F，若△ AEF 的面积为 6cm2，则△ ABC 的面积为2．Fcm A E B3.如下图，圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D ， CD=4 ， BD=8 ，C则圆 O 的半径等于．ABDO4.如下图，从圆O 外一点 P 作圆 O 的割线 PAB 、 PCD， AB 是圆 O 的直径，若 PA=4 ， PC=5， CD=3 ，则∠ CBD=__ .CDP A O B 5.已知 PA 是圆 O 的切线，切点为A， PA=2. AC 是圆 O 的直径，APC 与圆 O 交于点 B， PB=1，PB则圆 O 的半径 R=_______.C 6. 如下图，圆 O 的直径 AB=6 ， C 圆周上一点， BC=3，过 C 作圆的切线 l，过 A 作 l 的垂线 AD ，AD 分别与直线 l 、圆交于点DE CD、 E，则∠ DAC ＝__，线段 AE 的长为__.AOB三、基础训练：1.如下图， PC 切⊙ O 于点 C，割线 PAB 经过圆心 O，弦 CD⊥ AB 于C点 E， PC=4，PB=8 ，则 CD=________.PB O E AD C2.如下图，从圆 O 外一点 A 引圆的切线 AD 和割线 ABC ，已知 AD= 2 3，AC=6 ，圆 O 的半径为3，则圆心 O 到 AC 的距B O离为 ________.A DC3.如下图 ,圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D， CD=4 ，BD=8 ，则圆 O 的半径等于．A D O B4.如下图，圆O 是△ ABC的外接圆，过点 C 的切线交 AB C的延伸线于点D，CD= 2 7， AB=BC=3.O D 则 BD 的长 ______， AC 的长 _______．A B5. 如图，⊙O′和⊙ O 订交于 A 和 B， PQ 切⊙ O 于 P，交⊙ O′于 Q 和 M ，交 AB 的延伸线于 N，AO O′MN=3 ，NQ=15 ，则 PN＝ ______．MBQ N P6.如下图 , 圆的内接△ ABC 的∠C 的均分线 CD 延伸后交圆于点E，AE连结 BE，已知 BD=3 ， CE=7 ，BC=5 ，则线段DBE=.B CM A7.如图，四边形B N ABCD 内接于⊙ O， BC 是直径， MN 切⊙ O 于 A ，∠ MAB=25 0，则∠ D=___.ODCA8.如图，在△ ABC 中， D 是 AC 的中点， E 是 BD 的中点， AE 交 BCEDB CF于F，则BF=. FC9.如图： EB、 EC 是⊙ O 的两条切线， B、 C 是切点， A 、 D 是⊙ O 上两点，AB假如∠ E＝ 460，∠ DCF ＝ 320，则∠ A 的度数是.ODE C F10.如图， AB 是圆 O 的直径，直线 CE 和圆 O 相切于点 C，AD ⊥ CE 于 D，若 AD=1 ，∠ ABC=30 0，则圆 O 的面积是 ______.BOA E C D11.如图， AB 、 CD 是圆 O 的两条弦，且 AB 是线段 CD 的中垂线，已知AB=6 ， CD= 2 5 ，则线段 AC 的长度为．DABC12.已知：如图，在梯形 ABCD 中， AD ∥ BC∥ EF，E 是 AB 的中点， EF交BD于 G，交 AC 于H. 若AD=5 ， BC=7 ，则 GH=________.13.如图，圆O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D. AD=2 ， AC= 2 5 ，则AB=____ __,CD=_____.14.如图， PA 是圆的切线， A 为切点， PBC 是圆的A DE G H FBCCA D O BBC POA割线，且PB =1BC，则PA的值是 ________.2PBB 15.如图，⊙ O 的割线 PAB 交⊙ O 于 A、 B 两点，割线PCD 经过圆心O，PE 是⊙ O 的切线。
高中数学第十一章 几何证明选讲(选修4-1)
第十一章⎪⎪⎪几何证明选讲(选修4－1)第一节 相似三角形的判定及有关性质1．平行线的截割定理 (1)平行线等分线段定理定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边． 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰． (2)平行线分线段成比例定理定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例． 2．相似三角形的判定定理(1)判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．(2)判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． (3)判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似． 3．相似三角形的性质定理(1)性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．(2)推论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．4．直角三角形相似的判定定理(1)判定定理1：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似． (2)判定定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似． (3)判定定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．5．直角三角形射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．[小题体验]1.(教材习题改编)如图，AB ∥EM ∥DC ，AE ＝ED ，EF ∥BC ，EF＝12 cm ，则BC 的长为________ cm.解析：由⎭⎪⎬⎪⎫AB ∥EM ∥DC AE ＝ED ⇒E 为AD 中点，M 为BC 的中点， 又EF ∥BC ⇒EF ＝MC ＝12 cm. ∴BC ＝2MC ＝24 cm. 答案：242.(教材习题改编)如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC 且ADDB＝2，那么△ADE 与四边形DBCE 的面积比是________．解析：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴S △ADE S △ABC ＝AD 2AB 2. ∵AD DB ＝2，∴AD AB ＝23，∴S △ADE S △ABC ＝49，故S △ADE S 四边形DBCE ＝45. 答案：451．在使用平行线截割定理时易出现对应边的对应顺序混乱，导致错误． 2．在解决相似三角形的判定或应用时易出现对应边和对应角的对应失误．3．射影定理是直角三角形中的一个重要结论，其实质就是三角形的相似．但要注意满足直角三角形射影定理结论的三角形不一定是直角三角形，所以要搞清楚定理中的条件和结论之间的关系，不能乱用．[小题纠偏]1.(2016·鞍山模拟)如图，在▱ABCD 中，E 是BC 上一点，BE ∶EC ＝2∶3，AE 交BD 于点F ，则BF ∶FD 的值为________．解析：因为AD ＝BC ，BE ∶EC ＝2∶3， 所以BE ∶AD ＝2∶5，因为AD ∥BC ， 所以BF ∶FD ＝BE ∶AD ＝2∶5， 所以BF ∶FD 的值为25.答案：252.如图，在Rt △ABC 中 ，∠BAC ＝90°，AD 是斜边BC 上的高，若AB ∶AC ＝2∶1，则AD ∶BC 为________．解析：设AC ＝k ，则AB ＝2k ，BC ＝5k ， ∵∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ， ∴AC 2＝CD ·BC ， ∴k 2＝CD ·5k ，∴CD ＝55k ， 又BD ＝BC －CD ＝455k ， ∴AD 2＝CD ·BD ＝55k ·455k ＝45k 2， ∴AD ＝255k ，∴AD ∶BC ＝2∶5. 答案：2∶5考点一 平行线分线段成比例定理的应用(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD 与AC 相交于点O ，过点O 的直线分别交AB ，CD 于E ，F ，且EF ∥BC ，若AD ＝12，BC ＝20，求EF 的值．解：∵AD ∥BC ， ∴OB OD ＝BC AD ＝2012＝53， ∴OB BD ＝58.∵OE ∥AD ，∴OE AD ＝OB BD ＝58.∴OE ＝58AD ＝58×12＝152，同理可求得OF ＝38BC ＝38×20＝152，∴EF ＝OE ＋OF ＝15.2．如图，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，点E 是BD 的中点，AE 交BC 于点F ，求BFFC 的值．解：如图，过点D 作DM ∥AF 交BC 于点M . ∵点E 是BD 的中点，∴在△BDM 中，BF ＝FM . 又点D 是AC 的中点， ∴在△CAF 中，CM ＝MF ， ∴BF FC ＝BF FM ＋MC ＝12.[谨记通法]平行线分线段成比例定理及推论的应用的一个注意点及一种转化(1)一个注意点：利用平行线分线段成比例定理来计算或证明，首先要观察平行线组，再确定所截直线，进而确定比例线段及比例式，同时注意合比性质、等比性质的运用．(2)一种转化：解决此类问题往往需要作辅助的平行线，要结合条件构造平行线组，再应用平行线分线段成比例定理及其推论转化比例式解题．考点二 相似三角形的判定及性质 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领]如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D ，E ，F 分别在AB ，AC ，BC 上，AE ＝13AC ，BD ＝13AB ，且CF ＝13BC .求证：(1)EF ⊥BC ； (2)∠ADE ＝∠EBC . 证明：设AB ＝AC ＝3a ， 则AE ＝BD ＝a ，CF ＝2a . (1)CE CB ＝2a 32a ＝23，CF CA ＝2a 3a ＝23. 又∠C 为公共角， 故△BAC ∽△EFC ，由∠BAC ＝90°，得∠EFC ＝90°， 故EF ⊥BC .(2)由(1)得EF ＝FC AC ·AB ＝2a ， 故AE EF ＝a 2a ＝22，AD BF ＝2a 22a ＝22，∴AE EF ＝AD BF， ∴△ADE ∽△FBE ， 所以∠ADE ＝∠EBC .[由题悟法]证明相似三角形的一般思路(1)先找两对内角对应相等．(2)若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例． (3)若无角对应相等，就要证明三边对应成比例．[即时应用]如图，已知在△ABC 中，D 是BC 边的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F .(1)求证：△ABC ∽△FCD ；(2)若S △FCD ＝5，BC ＝10，求DE 的长．解：(1)证明：因为DE ⊥BC ，D 是BC 的中点，所以EB ＝EC ，所以∠B ＝∠BCE .又因为AD ＝AC ，所以∠ADC ＝∠ACB.所以△ABC ∽△FCD.(2)如图，过点A 作AM ⊥BC ， 垂足为点M .因为△ABC ∽△FCD ，BC ＝2CD ， 所以S △ABC S △FCD ＝⎝⎛⎭⎫BC CD 2＝4.又因为S △FCD ＝5，所以S △ABC ＝20. 因为S △ABC ＝12BC ·AM ，BC ＝10，所以20＝12×10×AM ，所以AM ＝4.因为DE ∥AM ，所以DE AM ＝BDBM . 因为DM ＝12DC ＝52，BM ＝BD ＋DM ，所以DE 4＝55＋52，解得DE ＝83.考点三 直角三角形中的射影定理 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领]如图所示，CD 垂直平分AB ，点E 在CD 上，DF ⊥AC ，DG ⊥BE ，F ，G 分别为垂足．求证：AF ·AC ＝BG ·BE . 证明：因为CD 垂直平分AB ， 所以∠ADC ＝∠BDC ＝90°，AD ＝D B.在Rt △ADC 中，因为DF ⊥AC ， 所以AD 2＝AF ·AC . 同理BD 2＝BG ·BE . 所以AF ·AC ＝BG ·BE .[由题悟法]对射影定理的理解和应用(1)利用直角三角形的射影定理解决问题首先确定直角边与其射影．(2)要善于将有关比例式进行适当的变形转化，有时还要将等积式转化为比例式或将比例式转化为等积式，并且注意射影定理的其他变式．(3)注意射影定理与勾股定理的结合应用．[即时应用]在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ∶AD ＝1∶9，求tan ∠BCD 的值． 解：由射影定理得CD 2＝AD ·BD ， 又BD ∶AD ＝1∶9， 令BD ＝x ，则AD ＝9x (x >0)． ∴CD 2＝9x 2， ∴CD ＝3x .Rt △CDB 中，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 3x ＝13.1.如图，在四边形ABCD 中，EF ∥BC ，FG ∥AD ，求EF BC ＋FGAD 的值．解：由平行线分线段成比例定理得 EF BC ＝AF AC ，FG AD ＝FC AC ，故EF BC ＋FG AD ＝AF AC ＋FC AC ＝AC AC ＝1.2.如图，等边三角形DEF 内接于△ABC ，且DE ∥BC ，已知AH ⊥BC 于点H ，BC ＝4，AH ＝3，求△DEF 的边长．解：设DE ＝x ，AH 交DE 于点M ，显然MH 的长度与等边三角形DEF 的高相等，又DE ∥BC ，则DE BC ＝AM AH ＝AH －MH AH ， 所以x4＝3－32x 3＝2－x 2，解得x ＝43.故△DEF 的边长为43.3.如图，M 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点，直线l 过点M 分别交AD ，AC 于点E ，F ，交CB 的延长线于点N .若AE ＝2，AD ＝6，求AFAC的值． 解：∵AD ∥BC ， ∴△AEF ∽△CNF ， ∴AF CF ＝AE CN ， ∴AF AF ＋CF ＝AEAE ＋CN.∵M 为AB 的中点，∴AE BN ＝AMBM ＝1，∴AE ＝BN ， ∴AF AC ＝AF AF ＋CF ＝AE AE ＋BN ＋BC ＝AE 2AE ＋BC. ∵AE ＝2，BC ＝AD ＝6， ∴AF AC ＝22×2＋6＝15.4.如图，AD ，BE 是△ABC 的两条高，DF ⊥AB ，垂足为F ，交BE 于点G ，交AC 的延长线于H ，求证：DF 2＝GF ·HF .证明：在△AFH 与△GFB 中， 因为∠H ＋∠BAC ＝90°， ∠GBF ＋∠BAC ＝90°，所以∠H ＝∠GBF .因为∠AFH ＝∠BFG ＝90°， 所以△AFH ∽△GFB ， 所以HF BF ＝AF GF ， 所以AF ·BF ＝GF ·HF .因为在Rt △ABD 中，FD ⊥AB ， 所以DF 2＝AF ·BF . 所以DF 2＝GF ·HF .5.(2016·大连模拟)如图，已知D 为△ABC 中AC 边的中点，AE ∥BC ，ED 交AB 于G ，交BC 延长线于F ，若BG ∶GA ＝3∶1，BC ＝8，求AE 的长．解：因为AE ∥BC ，D 为AC 的中点， 所以AE ＝CF ，AE BF ＝AG BG ＝13.设AE ＝x ，又BC ＝8， 所以x x ＋8＝13，所以x ＝4. 所以AE ＝4.6.(2016·大连模拟)如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 的延长线交BC 于F .(1)求BFFC 的值；(2)若△BEF 的面积为S 1，四边形CDEF 的面积为S 2，求S 1∶S 2的值． 解：(1)过点D 作DG ∥BC ，并交AF 于点G ，因为E 是BD 的中点，所以BE ＝DE . 又因为∠EBF ＝∠EDG ，∠BEF ＝∠DEG ， 所以△BEF ≌△DEG ，则BF ＝DG ， 所以BF ∶FC ＝DG ∶FC .又因为D 是AC 的中点，则DG ∶FC ＝1∶2， 则BF ∶FC ＝1∶2，即BF FC ＝12.(2)若△BEF 以BF 为底，△BDC 以BC 为底， 则由(1)知BF ∶BC ＝1∶3，又由BE ∶BD ＝1∶2，可知h 1∶h 2＝1∶2， 其中h 1，h 2分别为△BEF 和△BDC 的高， 则S △BEF S △BDC ＝13×12＝16， 则S 1∶S 2＝1∶5. 故S 1∶S 2的值为15.7.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，过点A 的直线与其外接圆交于点P ，交BC 的延长线于点D.(1)求证：PC AC ＝PDBD ；(2)若AC ＝3，求AP ·AD 的值．解：(1)证明：因为∠CPD ＝∠ABC ，∠PDC ＝∠PDC ， 所以△DPC ∽△DBA ，所以PC AB ＝PD BD . 又AB ＝AC ，所以PC AC ＝PD BD. (2)因为∠ABC ＋∠APC ＝180°，∠ACB ＋∠ACD ＝180°， ∠ABC ＝∠ACB ， 所以∠ACD ＝∠APC .又∠CAP ＝∠DAC ，所以△APC ∽△ACD ， 所以AP AC ＝AC AD. 所以AP ·AD ＝AC 2＝9.8.△ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AB ，AC 上的点，AD ，EF 交于点P ，若BD ＝DC ，AE ＝AF .求证：AB AC ＝PF PE .证明：过F 作MN ∥AD 交BA 的延长线及DC 于M ，N .对△MEF ，有PF PE ＝AMAE ，因为AE ＝AF ，所以PF PE ＝AM AF. 对△MBN ，有AB AM ＝BDDN ， 因为BD ＝DC ，所以AB AM ＝DCDN . 对△ADC ，有AC AF ＝DC DN ，所以AB AM ＝ACAF . 所以AB AC ＝AM AF ，所以AB AC ＝PF PE .第二节 直线与圆的位置关系1．圆周角(1)定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． (2)推论1：①同弧或等弧所对的圆周角相等； ②同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． (3)推论2：①半圆(或直径)所对的圆周角是直角； ②90°的圆周角所对的弦是直径． 2．圆的切线(1)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． (2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．(3)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．3．弦切角定理及其推论(1)定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． (2)推论：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半． 4．圆中的比例线段(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．[小题体验]1.(教材习题改编)如图，已知AB ，BC 是⊙O 的两条弦，AO ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝22，则⊙O 的半径等于________．解析：设垂足为D ，⊙O 的半径等于R ， ∵AB ，BC 是⊙O 的两条弦， AO ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝22， ∴AD ＝1，∴R 2＝2＋(R －1)2， ∴R ＝1.5.故⊙O 的半径为1.5. 答案：1.52.如图，AC 为⊙O 的直径，OB ⊥AC ，弦BN 交AC 于点M .若OC ＝3，OM ＝1，则MN 的长为________．解析：由题意得： CM ＝CO ＋OM ＝3＋1， AM ＝AO －OM ＝3－1， BM 2＝OB 2＋OM 2＝4，BM ＝2， 根据相交弦定理有CM ·AM ＝BM ·MN ，代入数值可解得MN ＝CM ·AM BM ＝(3＋1)(3－1)2＝1.答案：13.如图，⊙O 的直径AB ＝6 cm ，P 是AB 延长线上的一点，过P 点作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ，若∠CPA ＝30°，PC ＝________ cm.解析：连接OC ，则OC ⊥PC .又OC ＝3，∠CPA ＝30°， ∴CP ＝OCtan 30°＝3 3.答案：3 31．解决圆周角、圆心角及弦切角问题时，角之间关系易于混淆导致错误．2．使用相交弦定理与切割线定理时，注意对应线段成比例及相似三角形知识的应用．[小题纠偏]1.如图所示，CD 是圆O 的切线，切点为C ，点B 在圆O 上，BC ＝2，∠BCD ＝30°，则圆O 的面积为________．解析：设圆O的半径为r，过B作⊙O的直径BA，连接AC，则∠ACB＝90°.又由弦切角定理得∠CAB＝∠BCD＝30°，∴AB＝2BC＝4.∴r＝2，∴S＝πr2＝4π.答案：4π2.如图所示，已知⊙O的割线PAB交⊙O于A，B两点，割线PCD经过圆心，若PA＝3，AB＝4，PO＝5，则⊙O的半径为________．解析：设⊙O的半径为r.由割线定理得PA·PB＝PC·PD,3×7＝(PO－r)(PO＋r)，即21＝25－r2，∴r2＝4，∴r＝2.答案：2考点一圆周角、弦切角和圆的切线问题(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1.(2016·黄冈模拟)已知点C在圆O的直径BE的延长线上，直线CA与圆O相切于A，∠ACB的平分线分别交AB，AE于D，F两点，求∠AFD的大小．解：因为AC为圆O的切线，由弦切角定理，得∠B＝∠EAC.又因为CD平分∠ACB，则∠ACD＝∠BCD，所以∠B＋∠BCD＝∠EAC＋∠ACD.根据三角形外角定理，∠ADF＝∠AFD.因为BE是圆O的直径，则∠BAE＝90°，所以△ADF是等腰直角三角形．所以∠ADF＝∠AFD＝45°.2．(2015·广东高考改编)如图，已知AB是圆O的直径，AB＝4，EC是圆O的切线，切点为C，BC＝1.过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，求OD的长．解：由题意得OP ＝12BC ＝12，OA ＝2，于是PA ＝CP ＝22－⎝⎛⎭⎫122＝152. 因为∠DCP ＝∠B ＝∠POA ，又∠DPC ＝∠APO ，所以△DCP ∽△AOP ， 故PD PA ＝PCPO， 即PD ＝15212×152＝152，所以OD ＝152＋12＝8.[谨记通法]1．圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．2．涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端作圆周角或弦切角．考点二 圆内接四边形的性质及判定 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2016·昆明模拟)如图所示，已知D 为△ABC 的BC 边上一点，⊙O 1经过点B ，D ，交AB 于另一点E ，⊙O 2经过点C ，D ，交AC 于另一点F ，⊙O 1与⊙O 2的另一交点为G .(1)求证：A ，E ，G ，F 四点共圆；(2)若AG 切⊙O 2于G ，求证：∠AEF ＝∠ACG . 证明：(1)如图，连接GD ，四边形BDGE ，四边形CDGF 分别内接于⊙O 1，⊙O 2， ∴∠AEG ＝∠BDG ， ∠AFG ＝∠CDG ，又∠BDG ＋∠CDG ＝180°， ∴∠AEG ＋∠AFG ＝180°，∴A，E，G，F四点共圆．(2)∵A，E，G，F四点共圆，∴∠AEF＝∠AGF，∵AG与⊙O2相切于点G，∴∠AGF＝∠ACG，∴∠AEF＝∠ACG.[由题悟法]证明四点共圆的常用方法(1)若四个点到一定点等距离，则这四个点共圆．(2)若一个四边形的一组对角的和等于180°，则这个四边形的四个顶点共圆．(3)若一个四边形的一个外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆．(4)若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆．[即时应用](2016·吉林实验中学)如图，圆周角∠BAC的平分线与圆交于点D，过点D的切线与弦AC的延长线交于点E，AD交BC于点F.(1)求证：BC∥DE；(2)若D，E，C，F四点共圆，且AC＝BC，求∠BAC.解：(1)证明：因为DE为圆的切线，所以∠EDC＝∠DAC.又因为∠DAC＝∠DAB，∠DAB＝∠DCB，所以∠EDC＝∠DCB，所以BC∥DE.(2)因为D，E，C，F四点共圆，所以∠CFA＝∠CED，由(1)知∠ACF＝∠CED，所以∠CFA＝∠ACF.设∠DAC＝∠DAB＝x，因为AC＝BC，所以∠CBA＝∠BAC＝2x，所以∠CFA＝∠FBA＋∠FAB＝3x，在等腰△ACF中，180°＝∠CFA＋∠ACF＋∠CAF＝7x，则x≈25.7°，所以∠BAC＝2x≈51.4°.考点三 与圆有关的比例线段 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2015·陕西高考)如图，AB 切⊙O 于点B ，直线AO 交⊙O 于D ，E 两点，BC ⊥DE ，垂足为C .(1)证明：∠CBD ＝∠DBA;(2)若AD ＝3DC ，BC ＝2，求⊙O 的直径． 解：(1)证明：因为DE 为⊙O 的直径， 所以∠BED ＋∠EDB ＝90°.又BC ⊥DE ，所以∠CBD ＋∠EDB ＝90°， 从而∠CBD ＝∠BED.又AB 切⊙O 于点B ，得∠DBA ＝∠BED ， 所以∠CBD ＝∠DBA . (2)由(1)知BD 平分∠CBA ， 则BA BC ＝ADCD＝3. 又BC ＝2，从而AB ＝3 2. 所以AC ＝AB 2－BC 2＝4， 所以AD ＝3.由切割线定理得AB 2＝AD ·AE ， 即AE ＝AB 2AD ＝6，故DE ＝AE －AD ＝3， 即⊙O 的直径为3.[由题悟法]与圆有关的比例线段解题思路(1)见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理． (2)见到圆的两条割线就要想到割线定理． (3)见到圆的切线和割线就要想到切割线定理．[即时应用]1．(2015·天津高考改编)如图，在圆O 中，M ，N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N ，若CM ＝2，MD ＝4，CN ＝3，求线段NE 的长．解：由题意可得CM ·MD ＝AM ·MB ， 则2×4＝2AM 2，AM ＝2. 又CN ·NE ＝AN ·NB ， 即3NE ＝4×2，解得NE ＝83.2．(2015·湖北高考改编)如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且BC ＝3PB ，求ABAC的值． 解：因为PA 是圆的切线， A 为切点，PBC 是圆的割线，由切割线定理，知PA 2＝PB ·PC ＝PB (PB ＋BC )， 因为BC ＝3PB ，所以PA 2＝4PB 2，即PA ＝2PB. 由弦切角定理，得∠PAB ＝∠PCA ， 又∠APB ＝∠CPA ，故△PAB ∽△PCA ， 所以AB AC ＝PB PA ＝12.1．(2015·重庆高考改编)如图，圆O 的弦AB ，CD 相交于点E ，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P ，若PA ＝6，AE ＝9，PC ＝3，CE ∶ED ＝2∶1，求BE 的长．解：由切割线定理，知PA 2＝PC ·PD ， 即62＝3PD ， 解得PD ＝12，所以CD ＝PD －PC ＝9， 所以CE ＝6，ED ＝3.由相交弦定理，知AE ·EB ＝CE ·ED ，即9BE ＝6×3，解得BE ＝2.2．(2016·兰州双基测试)如图，在正△ABC 中，点D ，E 分别在BC ，AC 上，且BD ＝13BC ，CE ＝13CA ，AD ，BE 相交于点P .求证：(1)P ，D ，C ，E 四点共圆； (2)AP ⊥CP .证明：(1)在正△ABC 中，由BD ＝13BC ，CE ＝13CA ，知：△ABD ≌△BCE ，∴∠ADB ＝∠BEC ，即∠ADC ＋∠BEC ＝180°， ∴P ，D ，C ，E 四点共圆．(2)连接DE ，在△CDE 中，CD ＝2CE ，∠ACD ＝60°， 由正弦定理知∠CED ＝90°，由P ，D ，C ，E 四点共圆知，∠DPC ＝∠DEC ， ∴AP ⊥CP .3．(2016·陕西一检)如图，设AB 为⊙O 的任一条不与直线l 垂直的直径，P 是⊙O 与l 的公共点，AC ⊥l ，BD ⊥l ，垂足分别为C ，D ，且PC ＝PD.(1)求证：l 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径OA ＝5，AC ＝4，求CD 的长．解：(1)证明：连接OP ， ∵AC ⊥l ，BD ⊥l ， ∴AC ∥BD.又OA ＝OB ，PC ＝PD ， ∴OP ∥BD ，从而OP ⊥l .∵点P 在⊙O 上，∴l 是⊙O 的切线． (2)由(1)可得OP ＝12(AC ＋BD )，∴BD ＝2OP －AC ＝10－4＝6. 过点A 作AE ⊥BD ，垂足为E ， 则BE ＝BD －AC ＝6－4＝2. ∴在Rt △ABE 中，AE ＝AB 2－BE 2＝102－22＝4 6. ∴CD ＝4 6.4.(2015·全国卷Ⅰ)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC交⊙O 于点E .(1)若D 为AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线； (2)若OA ＝3CE ，求∠ACB 的大小． 解：(1)证明：如图，连接AE ，由已知得AE ⊥BC ，AC ⊥AB. 在Rt △AEC 中，由已知得DE ＝DC ，故∠DEC ＝∠DCE . 连接OE ，则∠OBE ＝∠OEB. 又∠ACB ＋∠ABC ＝90°， 所以∠DEC ＋∠OEB ＝90°，故∠OED ＝90°，即DE 是⊙O 的切线． (2)设CE ＝1，AE ＝x .由已知得AB ＝23，BE ＝12－x 2. 由射影定理可得AE 2＝CE ·BE ， 所以x 2＝12－x 2，即x 4＋x 2－12＝0. 解得x ＝3，所以∠ACB ＝60°.5．(2015·沈阳一模)如图所示，已知AB 为圆O 的直径，C ，D 是圆O 上的两个点，CE ⊥AB 于E ，BD 交AC 于G ，交CE 于F ，CF ＝FG .(1)求证：C 是劣弧BD 的中点； (2)求证：BF ＝FG .证明：(1)∵CF ＝FG ，∴∠CGF ＝∠FCG . ∵AB 是圆O 的直径，∴∠ACB ＝∠ADB ＝π2.∵CE ⊥AB ，∴∠CEA ＝π2.∵∠CBA ＝π2－∠CAB ，∠ACE ＝π2－∠CAB ，∴∠CBA ＝∠ACE .∵∠CGF ＝∠DGA ，∠DGA ＝∠ABC ， ∴π2－∠DGA ＝π2－∠ABC ， ∴∠CAB ＝∠DAC ， ∴C 为劣弧BD 的中点．(2)∵∠GBC ＝π2－∠CGB ，∠FCB ＝π2－∠GCF ，∴∠GBC ＝∠FCB ，∴CF ＝FB ，∴BF ＝FG .6．(2016·贵州七校联考)如图，⊙O 1和⊙O 2的公切线AD 和BC 相交于点D ，A ，B ，C 为切点，直线DO 1交⊙O 1于E ，G 两点，直线DO 2交⊙O 2于F ，H 两点．(1)求证：△DEF ∽△DHG ；(2)若⊙O 1和⊙O 2的半径之比为9∶16，求DEDF 的值． 解：(1)证明：∵AD 是两圆的公切线， ∴AD 2＝DE ·DG ，AD 2＝DF ·DH ， ∴DE ·DG ＝DF ·DH ，∴DE DH ＝DF DG ， 又∵∠EDF ＝∠HDG ， ∴△DEF ∽△DHG .(2)连接O 1A ，O 2A ， ∵AD 是两圆的公切线， ∴O 1A ⊥AD ，O 2A ⊥AD ， ∴O 1，A ，O 2共线，∵AD 和BC 是⊙O 1和⊙O 2的公切线， DG 平分∠ADB ，DH 平分∠ADC ， ∴DG ⊥DH ，∴AD 2＝O 1A ·O 2A .设⊙O 1和⊙O 2的半径分别为9x 和16x ，则AD ＝12x ， ∵AD 2＝DE ·DG ，AD 2＝DF ·DH ，∴144x 2＝DE (DE ＋18x )，144x 2＝DF (DF ＋32x )， ∴DE ＝6x ，DF ＝4x ， ∴DE DF ＝32.7．(2016·沈阳模拟)如图，已知圆O 1与圆O 2外切于点P ，直线AB 是两圆的外公切线，分别与两圆相切于A ，B 两点，AC 是圆O 1的直径，过C 作圆O 2的切线，切点为D.(1)求证：C ，P ，B 三点共线； (2)求证：CD ＝CA .证明：(1)连接PC ，PA ，PB ，BO 2，∵AC是圆O1的直径，∴∠APC＝90°.连接O1O2必过点P，∵AB是两圆的外公切线，A，B为切点，∴设∠BAP＝∠ACP＝α，∴∠AO1P＝2α.由于O1A⊥AB，O2B⊥AB，∴∠BO2P＝π－2α，∴∠O2BP＝α.又∠ABP＋∠O2BP＝90°，∴∠ABP＋∠BAP＝90°，∴C，P，B三点共线．(2)∵CD切圆O2于点D，∴CD2＝CP·CB.在△ABC中，∠CAB＝90°，又∵AP⊥BC，∴CA2＝CP·CB，故CD＝CA.8．(2015·全国卷Ⅱ)如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．(1)证明：EF∥BC；(2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝23，求四边形EBCF的面积．解：(1)证明：由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB的平分线．又因为⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AE＝AF，故AD⊥EF，从而EF∥BC.(2)由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF，故AD是EF的垂直平分线．又EF为⊙O的弦，所以O在AD上．连接OE，OM，则OE⊥AE.由AG等于⊙O的半径得AO＝2OE，所以∠OAE ＝30°.因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形． 因为AE ＝23，所以AO ＝4，OE ＝2.因为OM ＝OE ＝2，DM ＝12MN ＝3， 所以OD ＝1.于是AD ＝5，AB ＝1033. 所以四边形EBCF 的面积为12×⎝⎛⎭⎫10332×32－12×(23)2×32＝1633.。
高二数学选修4-1《几何证明选讲》综合复习题
第1题图 第6题图 高二数学选修4-1《几何证明选讲》综合复习题一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.圆的切线l ,过A 作l 的垂线AD ,垂足为D ,则∠DAC =( )A .15︒B .30︒C .45︒D .60︒【解析】由弦切角定理得60DCA B ∠=∠=︒,又AD l ⊥,故30DAC ∠=︒, 故选B .2.在Rt ABC ∆中,CD 、CE 分别是斜边AB 上的高和中线,是该图中共有x 个三角形与ABC ∆相似,则x =( )A .0B .1C .2D .3【解析】2个：ACD ∆和CBD ∆,故选C .3.一个圆的两弦相交,一条弦被分为12cm 和18cm 两段,另一弦被分为3:8,则另一弦的长为( )A .11cmB .33cmC .66cmD .99cm【解析】设另一弦被分的两段长分别为3,8(0)k k k >,由相交弦定理得381218k k ⋅=⨯,解得3k =,故所求弦长为381133k k k +==cm .故选B . 4.如图,在ABC ∆和DBE ∆中,53AB BC AC DB BE DE ===,若ABC ∆与 DBE∆的周长之差为10cm ,则ABC ∆的周长为( ) A .20cm B .254cm C .503cm D .25cm 【解析】利用相似三角形的相似比等于周长比可得答案D .5.O 的割线PAB 交O 于,A B 两点,割线PCD 经过圆心,已知226,12,3PA PO AB ===,则O 的半径为( ) A .4 B .614-C .614+ D .8【解析】设O 半径为r ,由割线定理有226(6)(12)(12)3r r ⨯+=-+,解得8r =.故选D .6.如图,AB 是半圆O 的直径,点C 在半圆上,CD AB ⊥于点D ,且DB AD 3=,设COD θ∠=,则2tan 2θ＝( ) A .13 B .14 C .423- D .3【解析】设半径为r ,则31,22AD r BD r ==,由2CD AD BD =⋅得32CD r =,从而A B C D E 第4题图P C A B Q第11题图P M N CA BQ 第10题图第9题图3πθ=,故21tan 23θ=,选A . 7.在ABC ∆中,,D E 分别为,AB AC 上的点,且//DE BC ,ADE ∆的面积是22cm ,梯形DBCE 的面积为26cm ,则:DE BC 的值为( )A .3B .1:2C .1:3D .1:4【解析】ADE ABC ∆∆,利用面积比等于相似比的平方可得答案B .8.半径分别为1和2的两圆外切,作半径为3的圆与这两圆均相切,一共可作( )个.A .2B .3C .4D .5【解析】一共可作5个,其中均外切的2个,均内切的1个,一外切一内切的2个,故选D . 9.如图甲,四边形ABCD 是等腰梯形,//AB CD .由4个这样的等腰梯形能够拼出图乙所示的平行四边形,则四边形ABCD 中A ∠度数为 ( )A .30︒B .45︒C .60︒D .75︒【解析】6360A ∠=︒,从而60A ∠=︒,选A .10.如图,为测量金属材料的硬度,用一定压力把一个高强度钢珠压向该种材料的表面,在材料表面留下一个凹坑,现测得凹坑直径为10mm ,若所用钢珠的直径为26 mm ,则凹坑深度为( )A .1mmB .2 mmC .3mmD .4 mm【解析】依题意得222OA AM OM =+,从而12OM mm =,故13121CM mm =-=,选A . 11.如图,设,P Q 为ABC ∆内的两点,且2155AP AB AC =+,AQ ＝23AB ＋14AC ,则ABP ∆的面积与ABQ ∆的面积之比为( )A . 15B . 45C . 14D . 13 【解析】如图,设25AM AB =,15AN AC =,则AP AM AN =+. 由平行四边形法则知//NP AB ,所以ABP AN ABC AC ∆=∆＝15,• 第 14 题图 O C D B A 第15题图 第17题图同理可得14ABQ ABC ∆=∆．故45ABP ABQ ∆=∆,选B . 12.如图,用与底面成30︒角的平面截圆柱得一椭圆截线,则该椭圆的离心率为 ( )A ．12B ．33C ．32D ．非上述结论 【解析】用平面截圆柱,截线椭圆的短轴长为圆柱截面圆的直径,弄清了这个概念,考虑椭圆所在平面与底面成30︒角,则离心率1sin 302e =︒=.故选A . 二、填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.13.一平面截球面产生的截面形状是_______;它截圆柱面所产生的截面形状是________【解析】圆;圆或椭圆.14.如图,在△ABC 中,AB ＝AC ,∠C ＝720,⊙O 过A 、B 两点且 与BC 相切于点B ,与AC 交于点D ,连结BD ,若BC ＝15-,则AC ＝【解析】由已知得BD AD BC ==,2()BC CD AC AC BC AC =⋅=-,解得2AC =.15.如图,AB 为O 的直径,弦AC 、BD 交于点P ,若3,1AB CD ==,则sin APD ∠=【解析】连结AD ,则sin AD APD AP∠=,又CDP BAP ∆∆, 从而1cos 3PD CD APD PA BA ∠==, 所以2122sin 1()33APD ∠=-=. 16.如图为一物体的轴截面图,则图中R 的值是 【解析】由图可得22230()(180135)2R R =+--,解得25R =. 17 如图：,EB EC 是O 的两条切线,,B C 是切点,,A D 是 O 上两点,如果46,32E DCF ∠=︒∠=︒,试求A ∠的度数.第12题图135 R180 30 第16题图AC PD O EF B第18题图 AC PD OEF B 【解析】连结,,OB OC AC ,根据弦切角定理,可得1(180)6732992A BAC CAD E DCF ∠=∠+∠=︒-∠+∠=︒+︒=︒. 18.(本小题满分12分)如图,⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P , E 为⊙O 上一点,AE AC =,DE 交AB 于点F ,且42==BP AB , 求PF 的长度.【解析】连结,,OC OD OE ,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系 结合题中条件AE AC =可得CDE AOC ∠=∠,又CDE P PFD ∠=∠+∠, AOC P C ∠=∠+∠,从而PFD C ∠=∠,故PFD ∆PCO ∆,∴PF PD PC PO =, 由割线定理知12PC PD PA PB ⋅=⋅=,故1234PC PD PF PO ⋅===.。
2017年春季学期新人教A版高中数学选修4-1--《几何证明选讲》练习卷
《几何证明选讲》综合练习卷一、填空题1 ．如图,已知AB 和AC 是圆的两条弦,过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于D .过点C 作BD 的平行线与圆交于点E ,与AB 相交于点F ,3AF =,1FB =,32EF =,则线段CD 的长为____________2 ．如图,在圆O 中,直径AB 与弦CD 垂直,垂足为E,EF ⊥DB,垂足为F,若AB=6，AE=1,则DF*DB=______.3、在直角三角形ABC 中,点D 是AB 的中点,点P 为CD 的中点,则 = ______.4．如图,过点P 的直线与圆O 相交于A,B 两点.若PA=1,AB=2,PO=3,则圆O 的半径等于_______.5．如图,点D 在⊙O 的弦AB 上移动,,连接OD ,过点D 作的垂线交⊙O 于点C ,则CD 的最大值为__________.6．如图,圆O 的半径为1,A 、B 、C 是圆周上的三点,满足30ABC ∠=︒,过点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ,则PA =__________.二、解答题7．如图,⊙O 和⊙相交于两点,过A 作两圆的切线分别交两圆于C ,D 两点,连接DB 并延长交⊙O 于点E .证明(Ⅰ); (Ⅱ) .8．如图,D,E 分别是△ABC 边AB,AC 的中点,直线DE 交△ABC 的外接圆与F,G 两点,若CF∥AB,证明: (Ⅰ) CD=BC;4AB =OD /O ,A B AC BD AD AB ⋅=⋅AC AE =第1题图 第2题图 第4题图(Ⅱ)△BCD∽△GBD.9、已知△ABC 中，AB=AC ，D 是△ABC 外接圆劣弧AC 的点（不与点A ，C 重合），延长BD 至E 。
（I ）求证：AD 的延长线平分∠CDE ；（II ）若∠BAC=30°，△ABC 中BC 边上的高为，求△ABC 外接圆的面积。
10．如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA=OB ，CA=CB ，⊙O 交直线OB 于E 、D ，连结EC 、CD.（Ⅰ）求证：直线AB 是⊙O 的切线；（Ⅱ）若tan ∠CED=21,⊙O 的半径为3，求OA 的长.11. 如图,已知四边形ABCD 内接于O ,且AB 是O 的直径,过点D 的O 的切线与BA 的延长线交于点M.(1)若MD=6，MB=12,求AB 的长；(2)若AM=AD ，求∠DCB 的大小.32 OA B CDE参考答案一、填空题1. 【解析】如图连结BC,BE,则∠1=∠2,∠2=∠A1A ∠=∠∴,又∠B=∠B,CBF ∆∴∽ABC ∆,ACCFAB CB BC BF AB CB ==∴,,代入数值得BC=2,AC=4,又由平行线等分线段定理得FBAFCD AC =,解得CD=34.2. 解析:5BE =,25DE AE EB =⋅=,DE ,在Rt DEB D 中,25DF DB DE ⋅==3. D 【解析】本题主要考查两点间的距离公式,以及坐标法这一重要的解题方法和数形结合的数学思想.不失一般性,取特殊的等腰直角三角形,不妨令4AC BC ==,则AB =,CD =12AB =1||2PC PD CD ===PA PB ====所以222||||101010||2PA PB PC ++==. 【点评】对于非特殊的一般图形求解长度问题,由于是选择题,不妨尝试将图形特殊化,以方便求解各长度,达到快速求解的目的.体现考纲中要求掌握两点间的距离公式.来年需要注意点到直线的距离公式.4. 【解析】设PO 交圆O 于C,D,如图,设圆的半径为R,由割线定理知,1(12)(3-)(3),PA PB PC PD r r r ⋅=⋅⨯+=+∴=即【点评】本题考查切割线定理,考查数形结合思想,由切割线定理知PA PB PC PD ⋅=⋅,从而求得圆的半径. 5.考点分析:本题考察直线与圆的位置关系解析:(由于因此,线段长为定值, 即需求解线段长度的最小值,根据弦中点到圆心的距离最短,此,CD OD⊥22OD OC CD -=OC OD时为的中点,点与点重合,因此. 6.解析连接OA ,则60AOC ∠=︒,90OAP ∠=︒,因为1OA =,所以PA二、解答题7. 【答案与解析】【命题意图】本题主要考查圆的切线的性质、三角形相似的判断与性质，考查推理论证能力和数形结合思想，重在考查对平面几何基础知识、基本方法的掌握，难度较小。
几何证明选讲知识点汇总与练习（内含答案）
⼏何证明选讲知识点汇总与练习（内含答案）《⼏何证明选讲》知识点归纳与练习(含答案)⼀、相似三⾓形的判定及有关性质平⾏线等分线段定理平⾏线等分线段定理：如果⼀组平⾏线在⼀条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
推理1：经过三⾓形⼀边的中点与另⼀边平⾏的直线必平分第三边。
推理2：经过梯形⼀腰的中点，且与底边平⾏的直线平分另⼀腰。
平分线分线段成⽐例定理平分线分线段成⽐例定理：三条平⾏线截两条直线，所得的对应线段成⽐例。
推论：平⾏于三⾓形⼀边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成⽐例。
相似三⾓形的判定及性质相似三⾓形的判定：定义：对应⾓相等，对应边成⽐例的两个三⾓形叫做相似三⾓形。
相似三⾓形对应边的⽐值叫做相似⽐（或相似系数）。
由于从定义出发判断两个三⾓形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应⾓是否分别相等，三组对应边是否分别成⽐例，显然⽐较⿇烦。
所以我们曾经给出过如下⼏个判定两个三⾓形相似的简单⽅法：（1）两⾓对应相等，两三⾓形相似；（2）两边对应成⽐例且夹⾓相等，两三⾓形相似；（3）三边对应成⽐例，两三⾓形相似。
预备定理：平⾏于三⾓形⼀边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三⾓形与三⾓形相似。
判定定理1：对于任意两个三⾓形，如果⼀个三⾓形的两个⾓与另⼀个三⾓形的两个⾓对应相等，那么这两个三⾓形相似。
简述为：两⾓对应相等，两三⾓形相似。
判定定理2：对于任意两个三⾓形，如果⼀个三⾓形的两边和另⼀个三⾓形的两边对应成⽐例，并且夹⾓相等，那么这两个三⾓形相似。
简述为：两边对应成⽐例且夹⾓相等，两三⾓形相似。
判定定理3：对于任意两个三⾓形，如果⼀个三⾓形的三条边和另⼀个三⾓形的三条边对应成⽐例，那么这两个三⾓形相似。
简述为：三边对应成⽐例，两三⾓形相似。
引理：如果⼀条直线截三⾓形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成⽐例，那么这条直线平⾏于三⾓形的第三边。
定理：（1）如果两个直⾓三⾓形有⼀个锐⾓对应相等，那么它们相似；（2）如果两个直⾓三⾓形的两条直⾓边对应成⽐例，那么它们相似。
人教版数学选修4-1《几何证明选讲》基础训练题[综合训练B组](含答案)
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高中数学选修4-1《几何证明选讲》练习题（一）1．如图，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D 点，BC 2＝BD·AB，则∠ACB ＝______.解析： 在△ABC 与△CBD 中，由BC 2＝BD·AB， 得BC BD ＝ABBC，且∠B ＝∠B ， 所以△ABC ∽△CBD.则∠ACB ＝∠CDB ＝90°.答案： 90°2．如图，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AC ＝6，DB ＝5，则AD 的长为________．解析： 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴AC 2＝AB·AD.设AD ＝x ，则AB ＝x ＋5，又AC ＝6，∴62＝x(x ＋5)，即x 2＋5x －36＝0. 解得x ＝4或x ＝－9(舍去)， ∴AD ＝4. 答案： 43．如图所示，已知在△ABC 中，∠C ＝90°，正方形DEFC 内接于△ABC ，DE ∥AC ，EF ∥BC ，AC ＝1，BC ＝2，则AF∶FC 等于________．解析： 设正方形边长为x ，则由△AFE ∽△ACB ，可得AF AC ＝FE CB ，即x 2＝1－x 1，所以x ＝23，于是AF FC ＝12.答案： 124．如图，平行四边形ABCD 中，AE∶EB＝1∶2，△AEF 的面积为6，则△ADF 的面积为________．解析： 由题意可得△AEF ∽△CDF ，且相似比为1∶3，由△AEF 的面积为6，得△CDF 的面积为54，由题意易知S △ADF ∶S △CDF ＝1∶3，所以S △ADF ＝18.答案： 185．如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝4 cm ，AC ＝3 cm ，DE ∥BC 且DE 把△ABC 的周长分为相等的两部分，则DE ＝________.解析： ∵∠BAC ＝90°， ∴BC ＝5 cm.设AD ＝x cm ，AE ＝y cm ，则x ＋y ＝6.①∵DE ∥BC ，得AD AB ＝AE AC ，即x 4＝y3.②由①②得x ＝247，y ＝187，∴DE ＝x 2＋y 2＝307cm.答案： 307cm6．在△ABC 中，点D 在线段BC 上，∠BAC ＝∠ADC ，AC ＝8，BC ＝16，则CD 为________． 解析： ∵∠BAC ＝∠ADC ，∠C ＝∠C ， ∴△ABC ∽△DAC ，∴BC AC ＝AC CD ，∴CD ＝AC 2BC ＝8216＝4. 答案： 47．如图，已知在梯形ABCD 中，上底长为2，下底长为6，高为4，对角线AC 和BD 相交于点P ，(1)若AP 长为4，则PC ＝________； (2)△ABP 和△CDP 的高的比为______． 解析： (1)∵AB ∥CD ， ∴△APB ∽△CPD ， ∴AP CP ＝AB CD ，即4CP ＝26， 解得PC ＝12.(2)由(1)及△ABP 和△CDP 的高的比等于它们的相似比，得这两个三角形的高的比为1∶3. 答案： (1)12 (2)1∶38．(2018·广东卷)如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD ＝a ，CD ＝a2，点E ，F 分别为线段AB ，AD 的中点，则EF ＝________.解析： 连接DE ，由于E 是AB 的中点，故BE ＝a2.又CD ＝a2，AB ∥DC ，CB ⊥AB ，∴四边形EBCD 是矩形．在Rt △ADE 中，AD ＝a ，F 是AD 的中点，故EF ＝a2.【答案】 a29．如图，已知AD ∥EG ∥BC ，AD ＝6，BC ＝9，AEAB ＝23，则GF 的长为________．解析： ∵AD ∥EG ∥BC ， ∴EG BC ＝AE AB ，EF AD ＝BE BA . ∵AE AB ＝23，∴BE AB ＝13， ∴EF AD ＝13，EG BC ＝23. 又∵AD ＝6，BC ＝9， ∴EF ＝2，EG ＝6， ∴GF ＝EG －EF ＝4. 答案： 410．如图，在直角梯形ABCD 中，上底AD ＝3，下底BC ＝33，与两底垂直的腰AB ＝6，在AB 上选取一点P ，使△PAD 和△PBC 相似，这样的点P 有________个．解析： 设AP ＝x ，(1)若△ADP ∽△BPC ，则AD BP ＝APBC，即36－x ＝x 33，所以x 2－6x ＋9＝0，解得x ＝3. (2)若△ADP ∽△BCP ，则AD BC ＝AP BP， 即333＝x 6－x，解得x ＝32，所以符合条件的点P 有两个．答案： 两11．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F. 求证：AE·AB＝AF·AC.证明： ∵AD ⊥BC ， ∴△ADB 为直角三角形，又∵DE ⊥AB ，由射影定理知， AD 2＝AE·AB.同理可得AD 2＝AF·AC，∴AE·AB＝AF·AC.12．如图所示，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，F 为AB 上任意一点，CF 交AD 于点E.求证：AE·BF＝2DE·AF.证明： 过点D 作AB 的平行线DM 交AC 于点M ，交FC 于点N. 在△BCF 中，D 是BC 的中点，DN ∥BF ，∴DN ＝12BF.∵DN ∥AF ，∴△AFE ∽△DNE ， ∴AE AF ＝DE DN. 又DN ＝12BF ，∴AE AF ＝2DEBF，即AE·BF＝2DE·AF.13．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 为AD 上一点，CF ∥AB ，BP 延长线交AC ，CF 于E ，F ，求证：PB 2＝PE·PF.证明： 如图，连结PC ，易证PC ＝PB ，∠ABP ＝∠ACP. ∵CF ∥AB ，∴∠F ＝∠ABP ， 从而∠F ＝∠ACP ，又∠EPC 为△CPE 与△FPC 的公共角，从而△CPE ∽△FPC ，∴CP FP ＝PEPC，∴PC 2＝PE·PF，又PC ＝PB ，∴PB 2＝PE·PF.14．已知：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，M 是BC 的中点，CN ⊥AM ，垂足是N ， 求证：AB·BM＝AM·BN.证明： ∵CM 2＝MN·AM， 又∵M 是BC 的中点，∴BM 2＝MN·AM， ∴BM AM ＝MN BM， 又∵∠BMN ＝∠AMB ，∴△AMB ∽△BMN ， ∴AB BN ＝AM BM， ∴AB·BM＝AM·BN.15．如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，底边BC 上的高AD ＝10 cm ，腰AC 上的高BE ＝12 cm.(1)求证：AB BD ＝53；(2)求△ABC 的周长.【解析方法代码108001159】 解析： (1)证明：在△ADC 和△BEC 中，∵∠ADC ＝∠BEC ＝90°，∠C ＝∠C ，∴△ADC ∽△BEC ， ∴AC BC ＝AD BE ＝1012＝56. ∵AD 是等腰三角形ABC 底边BC 的高线， ∴BC ＝2BD ，又AB ＝AC ， ∴AC BC ＝AB 2BD ＝56，∴AB BD ＝53. (2)设BD ＝x ，则AB ＝53x ，在Rt △ABD 中，∠ADB ＝90°，根据勾股定理，得AB 2＝BD 2＋AD 2， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫53x 2＝x 2＋102，解得x ＝7.5. ∴BC ＝2x ＝15，AB ＝AC ＝53x ＝12.5，∴△ABC 的周长为40 cm.16．如右图，在平行四边形ABCD 中，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，连结AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE ＝∠C.(1)求证：△ABF ∽△EAD.(2)若AB ＝4，∠BAE ＝30°，AD ＝3，求BF 的长． 解析： (1)证明：∵AB ∥CD ，∴∠BAF ＝∠AED. 又∵∠BFE ＝∠C ，∠BFE ＋∠BFA ＝∠C ＋∠EDA ， ∴∠BFA ＝∠ADE. ∴△ABF ∽△EAD.(2)∵AE ＝4sin 60°＝833，又BF AD ＝AB AE ，∴BF ＝AB AE ·AD＝332.17．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 经过梯形对角线的交点O ，且EF ∥AD. (1)求证：OE ＝OF ；(2)求OE AD ＋OEBC的值；(3)求证：1AD ＋1BC ＝2EF.【解析方法代码108001160】解析： (1)证明：∵EF ∥AD ，AD ∥BC ， ∴EF ∥AD ∥BC.∵EF ∥BC ，∴OE BC ＝AE AB ，OF BC ＝DFDC.∵EF ∥AD ∥BC ，∴AE AB ＝DFDC.∴OE BC ＝OFBC，∴OE ＝OF. (2)∵OE ∥AD ，∴OE AD ＝BEAB.由(1)知，OE BC ＝AEAB，∴OE AD ＋OE BC ＝BE AB ＋AE AB ＝BE ＋AE AB＝1.(3)证明：由(2)知OE AD ＋OE BC ＝1，∴2OE AD ＋2OEBC ＝2.又EF ＝2OE ，∴EF AD ＋EFBC＝2，∴1AD ＋1BC ＝2EF.18．一块直角三角形木板，如图所示，∠C ＝90°，AB ＝5 cm ，BC ＝3 cm ，AC ＝4 cm.根据需要，要把它加工成一个面积最大的正方形木板，设计一个方案，应怎样裁才能使正方形木板面积最大，并求出这个正方形木板的边长．解析： 如图(1)所示，设正方形DEFG 的边长为x cm ，过点C 作CM ⊥AB 于M ，交DE 于N ，因为S △ABC ＝12AC·BC＝12AB·CM，所以AC·BC＝AB·CM，即4×3＝5·CM，所以CM ＝125.因为DE ∥AB ，所以△CDE ∽△CAB.所以CN CM ＝DE AB ，即125－x 125＝x5.所以x ＝6037.如图(2)所示，设正方形CDEF 的边长为y cm ， 因为EF ∥AC ，所以△BEF ∽△BAC.所以BF BC ＝EF AC ，即3－y 3＝y 4，所以y ＝127.因为x ＝6037，y ＝127＝6035，所以x<y.所以当按图(2)的方法裁剪时，正方形面积最大，其边长为127cm.。
高中数学选修4-1几何证明选讲专题(广东)
高中数学选修4-1几何证明选讲专题(广东)选修4-1：几何证明选讲（0618）1．(天津卷)如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC 相交于点P.若PB＝1，PD＝3，则BCAD的值为________．2．(湖南卷)如图所示，过⊙O外一点P作一条直线与⊙O交于A，B 两点，已知PA＝2，点P到⊙O的切线长PT＝4，则弦AB的长为______．3．如图所示，已知PC、DA为⊙O的切线，C、A分别为切点，AB为⊙O的直径，若DA＝2，CD1DP2，则AB＝________.4．(陕西卷)如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BDDA＝________.5．(广东东莞)如图，已知PA、PB是圆O的切线，A、B分别为切点，C为圆O上不与A、B重合的另一点，若∠ACB＝120°，则∠APB＝________.6．(广东佛山)如图，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB＝OB＝2，PC切圆O于C点，CD⊥AB于D点，则CD＝________.7．如图，AB为⊙O的直径，AC切⊙O于点A，且AC＝2cm，过C的割线CMN交AB的延长线于点D，CM＝MN＝ND，则AD的长等于________cm.8．(广东卷)如图，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD＝2a3，∠OAP＝30°，则CP＝______.9．(北京卷)如图，⊙O的弦ED，CB的延长线交于点A.若BD⊥AE，AB＝4，BC＝2，AD＝3，则DE＝______，CE＝______.10．如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，已知⊙O的半径为3，PA＝2，则PC＝________，OE＝________.11．如图，已知在△ABC中，∠ABC＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，连结DB、DE、OC.若AD＝2，AE＝1，求CD的长．12．如图，AB、CD是圆的两条平行弦，BE∥AC，并交CD于E，交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC＝ED＝1，PA＝2.(1)求AC的长；(2)求证：EF＝BE.13．（07广东）如图所示，圆O的直径AB6，C为圆周上一点，BC3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，垂足为D，则DACAl14．（08广东）已知PA是圆O的切线，切点为A，PA2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于B点，PB＝1，P则圆O的半径R=_______．15．（09广东）如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB4，ACB30o，则圆O的面积等于________。
高中数学选修4-1几何证明选讲知识点及练习含答案(精品)
相似三角形的判定及有关性质知识点1：比例线段的相关概念比例线段：对于四条线段a b c d 、、、，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即a cb d=（或:=a b c d :）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 注意：⑴在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位．⑵当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式．⑶比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b=． 知识点2：比例的性质基本性质：(1)bc ad d c b a =⇔=::；(2)b a c b c c a ⋅=⇔=2::．反比性质(把比的前项、后项交换)：cd a b d c b a =⇒=． 合比性质：ddc b b ad c b a ±=±⇒=．发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a c cd a a b d c b a 等． 等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a ΛΛ，那么ban f d b m e c a =++++++++ΛΛ．知识点3：比例线段的有关定理平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.（三角形中位线定理的逆定理）推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰.（梯形中位线定理的逆定理）平行线等分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：(1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．(2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边． 知识点:4：黄金分割把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=0.618AB ≈．知识点5：相似图形1、相似图形的定义：把形状相同的图形叫做相似图形（即对应角相等、对应边的比也相等的图形）.相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）2、相似三角形的判定方法预备定理：平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．定理的基本图形语言：数学符号语言表述是：BC DE //Θ∴ADE ∆∽ABC ∆．判定定理1：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似.判定定理2：如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.判定定理3：如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两个三角形相似.判定定理4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似．三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法. 3、相似三角形的性质定理：（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比； （2）相似三角形的周长比等于相似比； （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方；（4）相似三角形内切圆与外接圆的直径比、周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 4、相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一ABC ∆有ABC ∆∽ABC ∆． (2)对称性：若ABC ∆∽'''C B A ∆，则'''C B A ∆∽ABC ∆．(3)传递性：若ABC ∆∽C B A '∆''，且C B A '∆''∽C B A ''''''∆，则ABC ∆∽C B A ''''''∆． 5、相似直角三角形引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的线段成比例，那么这两条直线平行于三角形的第三边.（与三角形的中位线定理类似）定理：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么这两个直角三角形相似.定理：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.定理：如果两个直角三角形的斜边和一直边对应成比例，那么这两个直角三角形相似. 6、直角三角形的射影定理从一定向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影；一条线段在直线上的正射影，是指线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段.点和线段的正射影简称为射影直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项.推论：直角三角形中其中一条直角边是该直角边在斜边上的射影与斜边的比例中项.经过归纳和总结，相似三角形有以下几种基本类型知识点6：与位似图形有关的概念1、如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应顶点的连线都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形.这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.2、位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.3、画位似图形⑴画位似图形的一般步骤：①确定位似中心；②分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）；③根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置；④顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形.⑵位似中心的选取：①位似中心可以在图形外部，此时位似中心在两个图形中间，或在两个图形之外；②位似中心可取在多边形的一条边上；③位似中心可取在多边形的某一顶点上.说明：位似中心的选取决定了位似图形的位置，以上位似中心位置的选取中，每一种方法都能把一个图形放大或缩小.圆的章节知识点总结一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合； 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线； 二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇔d r <⇔点C 在圆内；2、点在圆上⇔d r =⇔点B 在圆上；3、点在圆外⇔d r >⇔点A 在圆外； 三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇔d r >⇔无交点；2、直线与圆相切⇔d r =⇔有一个交点；3、直线与圆相交⇔d r <⇔有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇔ 无交点 ⇔d R r >+； 外切（图2）⇔ 有一个交点⇔d R r =+；AD相交（图3）⇔ 有两个交点⇔R r d R r -<<+； 内切（图4）⇔ 有一个交点⇔d R r =-； 内含（图5）⇔ 无交点 ⇔d R r <-；五、垂径定理弦：连接圆上任意两点之间的线段叫做弦.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧.推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；推论3：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论.即：AB 是直径;②AB CD ⊥;③CE DE =;④ 弧BC =弧BD ( );⑤ ;中任意2个条件推出其他3个结论. 推论4：圆的两条平行弦所夹的弧相等.即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 六、 圆心角定理圆心角的定义：顶点在圆心且两边与圆相交的角叫做圆心角.圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数. （同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等——也称一推三定理）即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论也即：①AOB DOE ∠=∠;②AB DE =;③图4图5»»BCBD =»»AC AD =DB AB AOOC OF=;④推论1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；推论2：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等；推论3：在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等；七、圆周角定理圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等且都等于它所对的圆心的角的一半.符号语言：①∵在Oe中，C D∠∠、都是弧AB所对的圆周角∴C D∠=∠②∵AOB∠和ACB∠是弧AB所对的圆心角和圆周角∴2AOB ACB∠=∠图形语言：推论1：同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；（90︒的圆周角所对的弧是半圆，所对的弦是直径）符号语言：∵在Oe中，AB是直径∴=90C︒∠;或∵=90C︒∠∴AB是直径推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形符号语言：在△ABC中，∵OA OB OC==∴△ABC是直角三角形或=90C︒∠八、圆内接四边形圆内接四边形：如果多边形的所有顶点都在一个圆上，那么这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆.圆的内接四边形的性质定理：圆的内接四边形的对角互补，圆的内接四边形的外角等于它的内角的对角.»»BA ED=符号语言：∵在O e 中，四边形ABCD 是内接四边形 ∴180180C BAD B D DAE C ︒︒∠+∠=∠+∠=∠=∠，， 图形语言：圆的内接四边形的判定定理1：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形四个顶点共圆.符号语言：∵在四边形ABCD 中，180180C BAD B D ︒︒∠+∠=∠+∠=， ∴A B C D 、、、四点共圆圆的内接四边形的判定定理2：如果四边形的一个外角等于它内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆.符号语言：∵在四边形ABCD 中，DAE C ∠=∠ ∴A B C D 、、、四点共圆 九、 切线的性质与判定定理1、切线的定义：当直线和圆有且只有一个公共点时，我们把这条直线叫做圆的切线. （1）判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.符号语言：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端∴MN 是O e 的切线 图形语言：（2）性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径. 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经经过切点. 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经经过圆心.2、切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，该点和切点之间的线段的长叫做该点到圆的切线长.切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等且该点和圆心的连线平分两条切线的夹角.符号语言：∵PA PB 、是的两条切线 ∴=PAPB 且PO 平分APB ∠图形语言：3、弦切角：顶点在圆上，且一边和圆相交而另一边和圆相切的角叫做弦切角.(弦与切线的夹角叫做弦切角)弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角.符号语言：∵BAC ∠是圆的一个弦切角 ∴BAC APC ∠=∠4、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等. 符号语言： ∵在⊙O 中，弦AB 、CD 相交于点P ，∴PA PB PC PD ⋅=⋅ 图形语言：推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项. 符号语言：∵在⊙O 中，直径AB CD ⊥， ∴2CE AE BE =⋅5、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的乘积相等.符号语言：∵在⊙O 中，PB 、PE 是割线 ∴PC PB PD PE ⋅=⋅6、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.符号语言：∵在⊙O 中，PA 是切线，PB 是割线 ∴ 2PA PC PB =⋅图形语言：PO DC BA OE DCBADEC BPAO十、圆内正多边形的计算（1）正三角形：在O e 中，△ABC 是正三角形，有关计算在Rt △BOD 中进行，::2OD BD OB =（2）正四边形：同理，四边形的有关计算在Rt △OAE 中进行，::OE AE OA =（3）正六边形：同理，六边形的有关计算在Rt △OAB 中进行，::2AB OB OA =十一、圆的有关概念1、三角形的外接圆、外心. →用到：线段的垂直平分线及性质2、三角形的内切圆、内心. →用到：角的平分线及性质3、圆的对称性。
数学选修4-1几何证明选讲解答题
数学选修4-1几何证明选讲解答题第一篇：数学选修4-1几何证明选讲解答题选修4-1：几何证明选讲一、填空题1.(2011·陕西)如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则BE＝________.2．(2011·湖南)如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC＝4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为________．二、解答题3.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD于点F，∠ECA＝∠D.求证：AC·BE＝CE·AD.4．(2011·江苏)如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1>r2)．圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB 上)．求证：AB∶AC为定值．5．如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD，点E，F分别为线段AB，AD的中点，求EF的长． a 26．如图所示，点P是圆O直径AB延长线上的一点，PC切圆O 于点C，直线PQ平分∠APC，分别交AC、BC于点M、N.求证：(1)CM＝CN；(2)MN2＝2AM·BN.7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD.过A点的切线交CB的延长线于E点．求证：AB2＝BE·CD.8．如图，PA切⊙O于点A，割线PBC经过圆心O，OB＝PB＝1，OA绕点O逆时针旋转60°到OD，求PD的长．9.如图，已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于点H，∠ABC＝60°，F在AC上，且AE＝AF.求证：(1)B、D、H、E 四点共圆；(2)CE平分∠DEF.10．如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连结FB，FC.(1)求证：FB＝FC；(2)求证：FB2＝FA·FD；(3)若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝6 cm，求AD的长．答案231．2 2.3CE3．证明因为四边形ABCD是平行四边形，所以AF∥BC，所以BE＝.又因为AE∥CD，所以△AFE∽△DFC，EFEAEAEFCFEFCE所以＝＝.CDCFCDEABE又因为∠ECA＝∠D，∠CAF＝∠DAC，ACCF所以△AFC∽△ACD，所以，ADDCACCE所以，ADBE所以AC·BE＝CE·AD.4.证明如图，连结AO1并延长，分别交两圆于点E和点D.连结BD，CE.因为圆O1与圆O2内切于点A，所以点O2在AD上，故AD，AE分别为圆O1，圆O2的直径．π从而∠ABD＝∠ACE.2所以BD∥CE，ABAD2r1r1于是＝＝.ACAE2r2r2所以AB∶AC为定值．5．解连结DE，由于E是AB的中点，故BE＝.又CD＝，AB∥DC，22CB⊥AB，∴四边形EBCD是矩形．在Rt△AED中，AD＝a，F是AD的中点，故EF26．证明(1)∵PC切圆O于点C，∴∠PCB＝∠PAC，又∵∠CPM＝∠APM，∴∠CNM＝∠CPM＋∠PCB＝∠APM＋∠PAM＝∠CMN，∴CM＝CN.(2)∵∠CPN＝∠APM，∠PCN＝∠PAM，aaaPCCN∴△PCN∽△PAM＝，①PAAM同理△PNB∽△PMCPBBN.② PCCM又∵PC2＝PA·PB，③由①②③可知CM·CN＝AM·BN，∵CM＝CN，∴CM2＝AM·BN.∵AB是圆O的直径，∴∠ACB＝90°.∴MN2＝2CM2，即MN2＝2AM·BN.7．证明连结AC.∵EA切⊙O于A，∴∠EAB＝∠ACB，∵AB ＝AD，∴∠ACD＝∠ACB，AB＝AD.∴∠EAB＝∠ACD.又四边形ABCD 内接于⊙O，所以∠ABE＝∠D.∴△ABE∽△CDA.ABBE，即AB·DA＝BE·CD.CDDA∴AB2＝BE·CD.8．解方法一连结AB，∵PA切⊙O于点A，B为PO中点，∴AB＝OB＝OA，∴∠AOB＝60°，∴∠POD＝120°.在△POD 中，由余弦定理得PD2＝PO2＋DO2－2PO·DO·cos∠POD＝4＋1－14×(－＝7.∴PD7.2方法二过D作DE⊥PC，垂足为E，∴∠POD＝120°，13∴∠DOE ＝60°，可得OE，DE＝，22在Rt△PED中，25322PDPE＋DE＝7.449．证明(1)在△ABC中，∵∠ABC＝60°，∴∠BAC＋∠BCA＝120°.∵AD，CE分别是△ABC的角平分线，∴∠HAC＋∠HCA＝60°，∴∠AHC＝120°.∴∠EHD＝∠AHC＝120°.∴∠EBD＋∠EHD＝180°.∴B，D，H，E四点共圆．(2)连结BH，则BH为∠ABC的平分线，∴∠EBH＝∠HBD＝30°.由(1)知B，D，H，E四点共圆，∴∠CED＝∠HBD＝30°，∠HDE＝∠EBH ＝30°.∴∠HED＝∠HDE＝30°.∵AE＝AF，AD平分∠BAC，∴EF⊥AD.∴∠CEF＝30°.∴CE平分∠DEF.10．(1)证明因为AD平分∠EAC，所以∠EAD＝∠DAC.因为四边形AFBC内接于圆，所以∠DAC ＝∠FBC.因为∠EAD＝∠FAB＝∠FCB，所以∠FBC＝∠FCB，所以FB＝FC.(2)证明因为∠FAB＝∠FCB＝∠FBC，∠AFB＝∠BFD，FBFA所以△FBA∽△FDB.所以＝ FDFB所以FB2＝FA·FD.(3)解因为AB是圆的直径，所以∠ACB＝90°.又∠EAC＝120°，所以∠ABC＝30°，1∠DAC＝EAC＝60°.因为BC＝6，2所以AC＝BCtan∠ABC＝23，AC所以AD＝＝43(cm)．cos∠DAC第二篇：2007-2012新课标数学几何证明选讲解答题汇总1、如图，已知AP是εO的切线，P为切点，AC是εO的割线，与εO交于B，C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．，P，O，M四点共圆；（Ⅰ）证明A（Ⅱ）求∠OAM+∠APM的大小．（2007新课标）A【解析】（Ⅰ）证明：连结OP，OM．因为AP与εO相切于点P，所以OP⊥AP．因为M是εO的弦BC 的中点，所以OM⊥BC．于是∠OPA+∠OMA=180°．，P，O，M四点共圆．由圆心O在∠PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆，所以∠OAM=∠OPM．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得A由（Ⅰ）得OP⊥AP．由圆心O在∠PAC的内部，可知∠OPM+∠APM=90°．所以∠OAM+∠APM=90°．A2、如图，过圆O外切点为A，过A点作直线AP垂直直线OM，垂足为P．一点M 作它的一条切线，OP=OA；（Ⅰ）证明：OMε（Ⅱ）N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点．过B点的切线交直线ON于K．证明：∠OKM=90．（2008课标卷）ο23、如图,已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于H,∠B＝60°,F在AC上,且AE＝AF.（2009课标卷）(1)证明B,D,H,E四点共圆;(2)证明CE平分∠DEF.分析:此题考查平面几何知识,如四点共圆的充要条件,角平分线的性质等.证明:(1)在△ABC中，因为∠B＝60°,所以∠BAC+∠BCA＝120°.因为AD,CE是角平分线,所以∠HAC+∠HCA＝60°.故∠AHC＝120°.于是∠EHD＝∠AHC＝120°,因为∠EBD+∠EHD＝180°,所以B,D,H,E四点共圆.(2)连结BH,则BH为∠ABC的平分线,得∠HBD＝30°.由(1)知B,D,H,E四点共圆,所以∠CED＝∠HBD＝30°.又∠AHE＝∠EBD ＝60°,由已知可得EF⊥AD,可得∠CEF＝30°.所以CE平分∠DEF.4、如图，已经圆上的弧，过C点的圆切线与BA的延长线交于E点，证明：（Ⅰ）∠ACE=∠BCD；2（Ⅱ）BC=BF×CD。
高考数学 试题汇编 第一节 几何证明选讲(选修4-1) 理(含解析)
第一节 几何证明选讲(选修41)相似三角形的判定与性质1.(2012年北京卷,理5,5分)如图,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于点D,以BD 为直径的圆与BC 交于点E,则( )(A)CE ·CB=AD ·DB (B)CE ·CB=AD ·AB(C)AD ·AB=CD 2 (D)CE ·EB=CD 2解析:∵∠ACB=90°,CD ⊥AB, ∴△ADC ∽△CDB,∴=,∴CD 2=AD ·DB ①又∵E 为以BD 为直径的圆上一点,∴DE ⊥EB. 又CD ⊥AB,∴△CDB ∽△CED, ∴=,∴CD 2=CB ·CE,②由①②得,CB ·CE=AD ·DB. 答案:A. 2.(2012年陕西卷,理15B,5分)如图,在圆O中,直径AB与弦CD垂直,垂足为E,EF⊥DB,垂足为F,若AB=6,AE=1,则DF·DB= .解析:由圆内相交弦定理,知:CE·DE=AE·EB且CE=DEDE2=1×5=5.Rt△BDE中,由三角形相似知DE2=DF·DB∴DF·DB=5.答案:53.(2012年天津卷,理13,5分)如图,已知AB和AC是圆的两条弦,过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E,与AB相交于点F,AF=3,FB=1,EF=,则线段CD的长为.解析:连接BC,由相交弦定理得AF·BF=EF·CF,∴3×1=×CF,∴CF=2.∵BD是圆的切线,∴∠1=∠2.∵CF∥BD,∴∠3=∠4且=.∴=,∴BD=.∵∠1=∠2,∠3=∠4,∴△ACF∽△BDC,∴=.∴=,∴CD·AC=,又∵==3,∴AC=3CD.∴3CD2=,∴CD2=,∴CD=.答案:4.(2011年陕西卷,理15)如图,∠B=∠D,AE⊥BC,∠ACD=90°,且AB=6,AC=4,AD=12,则BE= .解析:∵AC=4,AD=12,∠ACD=90°,∴CD2=AD2-AC2=128,∴CD=8,即DC=8,又∵AE⊥BC,∠B=∠D,∴△ABE∽△ADC,∴=,∴BE===4.答案:45.(2010年天津卷,理14)如图,四边形ABCD是圆O的内接四边形,延长AB和DC相交于点P.若=,=,则的值为.解析:如图,令PB=t,PA=2t,PC=x,PD=3x,由割线定理得:PB·PA=PC·PD,即2t2=3x2,∴=,=.又易知△PBC∽△PDA,∴===.答案:6.(2012年新课标全国卷,理22,10分)如图,D,E分别为△ABC边AB,AC的中点,直线DE交△ABC 的外接圆于F,G两点.若CF∥AB,证明:(1)CD=BC;(2)△BCD∽△GBD.证明:(1)∵D、E分别为AB、AC的中点,∴DE∥BC又∵CF∥AB,∴四边形BCFD为平行四边形,∴CF=BD=AD,而CF∥AD,连结AF,则ADCF为平行四边形,∴CD=AF又∵CF∥AB∴BC=AF,故CD=BC.(2)∵FG∥BC,∴GB=BD,∴∠DGB=∠BDG,而∠DGB=∠EFC=∠DBC=∠GDB,故△BCD∽△GBD.本题涉及平面几何中圆的简单性质应用,来证线段相等及三角形相似,难度不大.7.(2012年辽宁卷,理22,10分)如图,☉O和☉O'相交于A,B两点,过A作两圆的切线分别交两圆于C,D两点,连结DB并延长交☉O于点E.证明:(1)AC·BD=AD·AB;(2)AC=AE.证明:(1)由AC与☉O'相切于A,得∠CAB=∠ADB,同理∠ACB=∠DAB,所以△ACB∽△DAB.从而=.即AC·BD=AD·AB.(2)由AD与☉O相切于A,得∠AED=∠BAD,又∠ADE=∠BDA,得△EAD∽△ABD,从而=.即AE·BD=AD·AB.结合(1)的结论得AC=AE.8.(2010年辽宁卷,理22)如图,△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.(1)证明:△ABE∽△ADC;(2)若△ABC的面积S=AD·AE,求∠BAC的大小.(1)证明:由已知条件,可得∠BAE=∠DAC.因为∠AEB与∠ACD是同弧所对的圆周角,所以∠AEB=∠ACD,故△ABE∽△ADC.(2)解:因为△ABE∽△ADC,所以=,即AB·AC=AD·AE.又S=AB ·ACsin ∠BAC,且S=AD ·AE,故AB ·ACsin ∠BAC=AD ·AE, 则sin ∠BAC=1.又∠BAC 为三角形内角, 所以∠BAC=90°.直线与圆的位置关系9.(2012年广东卷,理15,5分)如图,圆O 的半径为1,A 、B 、C 是圆周上的三点,满足∠ABC=30°,过点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交于点P,则PA= .解析:如图,连OA,∠AOC=2∠ABC=60°, Rt △AOP 中,PA=OA=×1=.答案:10.(2012年湖北卷,理15,5分)如图,点D 在☉O 的弦AB 上移动,AB=4,连接OD,过点D 作OD 的垂线交☉O 于点C,则CD 的最大值为 .解析:因为CD=,且OC为☉O的半径,是定值,所以当OD取最小值时,CD取最大值.显然当OD⊥AB时,OD取最小值,故此时CD=AB=2,即为所求的最大值.答案:2本题将求解CD的最大值转化为求OD的最小值,进而转化为点到直线的距离,体现了转化与化归的数学思想.11.(2012年湖南卷,理11,5分)如图,过点P的直线与☉O相交于A,B两点.若PA=1,AB=2,PO=3,则☉O的半径等于.解析:如图,设PO与圆O相交于E,并延长PO交圆O于F,由割线定理PE·PF=PA·PB,得(3-r)(3+r)=1×(1+2),r=.答案:12.(2011年广东卷,理15)如图所示,过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A,B,且PB=7,C是圆上一点使得BC=5,∠BAC=∠APB,则AB= .解析:∵PA为圆O的切线,∴∠PAB=∠ACB,又∠APB=∠CAB,∴△APB∽△CAB,∴=,∴AB2=PB·CB=35.∴AB=.答案:13.(2011年天津卷,理12)如图,已知圆中两条弦AB与CD相交于点F,E是AB延长线上一点,且DF=CF=,AF∶FB∶BE=4∶2∶1.若CE与圆相切,则线段CE的长为.解析:设AF,FB,BE分别为4x,2x,x.由相交弦定理得AF·FB=DF·FC,即4x·2x=×,∴x=,∴AF=2,FB=1,BE=.又由切割线定理得EC2=BE·EA=×=,∴EC=.答案:14.(2011年湖南卷,理11)如图,A,E是半圆周上的两个三等分点,直径BC=4,AD⊥BC,垂足为D,BE与AD相交于点F,则AF的长为.解析:连接AO,AB,CE.∵A、E为半圆周上的三等分点,∴∠AOB=∠ECB=60°,∴∠EBO=30°,∴△AOB为正三角形,边长为2.又∵AD⊥BO,BE为∠ABO的角平分,∴F为△AOB的中心,∴AF=AD=×2×=.答案:15.(2010年广东卷,理14)如图,AB,CD是半径为a的圆O的两条弦,它们相交于AB的中点P,PD=,∠OAP=30°,则CP= .解析:由题意知OP⊥AB,∠OAP=30°,∴OP=a,且AP=a,根据相交弦定理得AP2=CP·PD,∴a2=CP·a,解得CP=a.答案:a16.(2012年江苏数学,21A,10分)如图,AB是圆O的直径,D,E为圆O上位于AB异侧的两点,连结BD并延长至点C,使BD=DC,连结AC,AE,DE.求证:∠E=∠C.证明:连接OD,因为BD=DC,O为AB的中点,所以OD∥AC,于是∠ODB=∠C.因为OB=OD,所以∠ODB=∠B.于是∠B=∠C.因为点A,E,B,D都在圆O上,且D,E为圆O上位于AB异侧的两点,所以∠E=∠B为同弧所对的圆周角,故∠E=∠B,所以∠E=∠C.17.(2011年全国新课标卷,理22)如图,D,E分别为△ABC的边AB,AC上的点,且不与△ABC的顶点重合.已知AE的长为m,AC的长为n,AD,AB的长是关于x的方程x2-14x+mn=0的两个根.(1)证明:C,B,D,E四点共圆;(2)若∠A=90°,且m=4,n=6,求C,B,D,E所在圆的半径.(1)证明:连接DE,根据题意在△ADE和△ACB中,AD·AB=mn=AE·AC,即=.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB,因此∠ADE=∠ACB,∴∠ACB+∠EDB=180°,∴C、B、D、E四点共圆.(2)解:m=4,n=6时,方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12,故AD=2,AB=12.取CE的中点G,DB的中点F,分别过G、F作AC、AB的垂线,两垂线相交于H点,连接DH.因为C、B、D、E四点共圆,∴C、B、D、E四点所在圆的圆心为H,半径为DH.由于∠A=90°,故GH∥AB,HF∥AC,从而HF=AG=5,DF=×(12-2)=5,故C、B、D、E四点所在圆的半径为5.18.(2011年辽宁卷,理22)如图,A,B,C,D四点在同一圆上,AD的延长线与BC的延长线交于E 点,且EC=ED.(1)证明:CD∥AB;(2)延长CD到F,延长DC到G,使得EF=EG,证明:A,B,G,F四点共圆.证明:(1)因为EC=ED,所以∠EDC=∠ECD.因为A,B,C,D四点在同一圆上,所以∠EDC=∠EBA.故∠ECD=∠EBA.所以CD∥AB.(2)由(1)知,AE=BE.因为EF=EG,故∠EFD=∠EGC,从而∠FED=∠GEC.连接AF,BG,则△EFA≌△EGB,故∠FAE=∠GBE.又CD∥AB,∠EDC=∠ECD,所以∠FAB=∠GBA.所以∠AFG+∠GBA=180°.故A,B,G,F四点共圆.19.(2010年全国新课标卷,理22)如图,已知圆上的弧=,过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点,证明:(1)∠ACE=∠BCD;(2)BC2=BE×CD.证明:(1)因为=,所以∠BCD=∠ABC.又因为EC与圆相切于点C,故∠ACE=∠ABC.所以∠ACE=∠BCD.(2)因为∠ECB=∠BDC,∠EBC=∠BCD,所以△BDC∽△ECB,故=, 即BC2=EB×CD.即BC2=BE×CD.。
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第1题图
第6题图 高二数学选修4-1《几何证明选讲》综合复习题
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.如图4所示,圆O 的直径AB =6,C 为圆周上一点,BC =3过C 作
圆的切线l ,过A 作l 的垂线AD ,垂足为D ,则∠DAC =( )
A .15︒
B .30︒
C .45︒
D .60︒
【解析】由弦切角定理得60DCA B ∠=∠=︒,又AD l ⊥,故30DAC ∠=︒,
故选B .
2.在Rt ABC ∆中,CD 、CE 分别是斜边AB 上的高和中线,是该图中共有x 个三角形与ABC ∆相似,则x =( )
A .0
B .1
C .2
D .3
【解析】2个:ACD ∆和CBD ∆,故选C .
3.一个圆的两弦相交,一条弦被分为12cm 和18cm 两段,另一弦被分为3:8,则另一弦的长为( )
D .99cm
【(0)k k >,由相交弦定理得
33k =cm .故选B .
4.ABC ∆与 cm D .
5.P C D 经过圆心,已知
C .6
)(12)r r -+,解得8r =.故选6.如图,AB 是半圆O 的直径,点C 在半圆上,CD AB ⊥于点D ,
且DB AD 3=,设COD θ∠=,则2
tan 2θ＝( ) A .13 B .14 C .4- D .3
A B C
D E 第4题图
第11题图
第10题图
第9题图
【解析】设半径为r ,则31,22AD r BD r ==,由2CD AD BD =⋅得2
CD r =,从而3π
θ=,
故21tan 23
θ=,选A . 7.在ABC ∆中,,D E 分别为,AB AC 上的点,且//DE BC ,ADE ∆的面积是22cm ,梯形DBCE 的面积为26cm ,则:DE BC 的值为( )
A .
B .1:2
C .1:3
D .1:4
【解析】ADE ABC ∆∆ ,利用面积比等于相似比的平方可得答案B .
8.半径分别为1和2的两圆外切,作半径为3的圆与这两圆均相切,一共可作( )个.
A .2
B .3
C .4
D .5 1个,一外切一内切的2个,9..由4个这样的
,
( )
D .4 mm
,
AC ,AQ ＝23AB ＋14AC , A . 15 B . 45 C . 14 D . 13 【解析】如图,设25AM AB = ,15AN AC = ,则AP AM AN =+ .
第15题图 由平行四边形法则知//NP AB ,所以ABP AN ABC AC
∆=∆ ＝15, 同理可得1ABQ ∆=．故4ABP ∆=,选B . , 是 【解析】由图可得22230((180135)2
R R =+--,解得25R =. 135 180 第16题图
第17
题图 第20题图 三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
如图:,EB EC 是O 的两条切线,,B C 是切点,,A D 是
O 上两点,如果46,32E DCF ∠=︒∠=︒,试求A ∠的度数.
【解析】连结,,OB OC AC ,根据弦切角定理,可得
1(180)6732992
A BAC CAD E DCF ∠=∠+∠=︒-∠+∠=︒+︒=︒. 18.(本小题满分12分) 如图,⊙O 的直径A
B 的延长线与弦CD E 为⊙O 上一点, AE A
C =,DE 交AB 于点F ,且=AB 求PF 的长度.
【解析】连结,,OC OD OE ,结合题中条件 AE AC =可得CDE AOC ∠=∠,又∠AOC P C ∠=∠+∠,从而PFD C ∠=∠,故PFD ∆ PCO ∆
点BD ．
＝DB ＝∠DCB
，∠EAD ＝∠DCB
·DC ＝AE ·BD.
CF ∥AB ，BP 延长线交AC 、【解析】连结PC ,易证,PC PB ABP ACP =∠=∠
∵//CF AB ∴F ABP ∠=∠,从而F ACP ∠=∠
又EPC ∠为CPE ∆与FPC ∆的公共角,
从而CPE FPC ∆∆ ,∴CP PE FP PC = ∴2PC PE PF =⋅ 解答用图
A B C
E
D 第19题图
C 又PC PB =, ∴2PB PE PF =⋅,命题得证. 解得B
D =．BD FH ==∴．12
FG HG CG DG ==∵，12
FG CG =∴．3CF FG =∴． 在Rt FBC △中，3CF FG =∵，BF FG =，由勾股定理，得222CF BF BC =+．
222(3)FG FG =+∴．解得3FG =（负值舍去）
．3FG =∴． C
［或取CG 的中点H ，连结DH ，则2CG HG =．易证AFC DHC △≌△，FG HG =∴，故2CG FG =，3CF FG =．由GD FB ∥，易知CDG CBF △∽△，2233
CD CG FG CB CF FG ===∴．
23=
，解得BD =Rt CFB △中，由勾股定理，得 的，则D 线使它不经过ABCD 各边黄金分割点.
(1)直线CD 是ABC △的黄金分割线.理由如下:设ABC △的边AB 上的高为 ABC △，BDC ADC S BD S AD
=△△ 又因为点D 为边AB 的黄金分割点，所以有AD BD AB AD =．因此ADC BDC ABC ADC
S S S S =△△△△． 所以，直线CD 是ABC △的黄金分割线.
第22题图
(2)因为三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分,此时1212s s s ==
,即121
s s s s ≠，所以三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线. (3)因为DF CE ∥,∴DEC △和FCE △的公共边CE 上的高也相等,所以有DEC FCE S S =△△
设直线EF 与CD 交于点G ．所以DGE FGC S S =△△DGE AEF AFGD S S S =+=△△四边形，BDC BEFC S S =△四边形．又因为ADC BDC ABC ADC S S S S =△△△△，所以BEFC AEF ABC AEF S S S S =四边形△△△因此，直线EF 也是ABC △的黄金分割线． (4)画法不惟一，现提供两种画法；
画法一：如答图1，取EF 的中点G ，再过点G M ,N 点,则直线MN 就是ABCD 画法二:如答图2,在DF 上取一点N ,连接EN ,再过点点M ，连接MN ，则直线MN 就是ABCD 的黄金分割线．。